Lecture บทที่4

สมบตั ิของเลขชก้ี าํ ลงั สมมตใิ ห้ a, b  0 โดย a, b  1 และ x, y เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ 1. ax  ay = ax + y 2. a1x  ax 3. ax  axy 4. (ax )y = ax y ay 6. baxx  ba x 5. axb x = (ab)x

ตวั อย่างท่ี 13 จงทาํ ให้พจน์ต่อไปน้ี อยใู่ นรปู อยา่ งงา่ ย (3)4 1) 22x  4 2x 2) 9x

ตวั อยา่ งที่ 13 จงทําใหพ้ จน์ต่อไปนี้ อยใู่ นรปู อย่างงา่ ย 3) ((4x )2x )x (231x ) 4) 5  8 2  8141 3

ตัวอยา่ งท่ี 13 จงทาํ ใหพ้ จนต์ ่อไปนี้ อยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย 5) (am 2n )n   aa74nn mn a5mna8

ตวั อย่างท่ี 14 กาํ หนดให้ 2x2222x + 1 = 64 จงหา 2x2+ 3 x

ตวั อย่างท่ี 15 จงหาค่าของ 6n2  (12  6n1)  7n2  (14  7n1) 6n  7n  3 3

ฟงั ก์ชนั ชีก้ าํ ลังธรรมชาติ (Natural exponential function) ฟังก์ชันชี้กําลังธรรมชาติ (Natural exponential function) นิยาม ดังน้ี f(x)  ex เมือ่ e  2.7182818245905... ลักษณะของฟงั กช์ ันช้กี าํ ลงั ธรรมชาตมิ ี ลักษณะเปน็ ฟงั ก์ชันเพิ่ม

ตวั อย่างที่ 16 ถ้าการเตบิ โตของประชากรในเมอื งเมอื งหนึ่ง เป็นไปตามสมการ P = 50,000e0.05t เมือ่ P แทน จํานวนประชากร และ t แทน จาํ นวนปหี ลังจากปี พ.ศ. 2540 จงประมาณจํานวนประชากรของเมืองนีใ้ นปี พ.ศ. 2560

ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Functions) จากฟังก์ชันช้ีกาํ ลงั ฐาน a อินเวอร์ส ฟังกช์ นั ลอการทิ ึมฐาน a f(x)  y  ax x  ay x  ay เขียนแทนดว้ ย y  log a x เมอื a  0 โดยที่ a  1 และ x  0 y  loga x เชน่ y  log2 8 หมายถงึ 8  2y ดงั นนั้ y  3

ฟังก์ชนั ลอการทิ ึมสาํ คญั ที่ควรรู้จัก ฟังกช์ ันลอการิทึมสามญั (common logarithms) คอื ฟังกช์ ัน ลอการิทึมฐาน 10 แต่โดยท่ัวไปจะไมน่ ิยมเขียนฐาน นนั่ คอื y  log10 x  logx ฟังกช์ นั ลอการทิ มึ ธรรมชาติ (natural logarithms ) คือ ฟังกช์ นั ลอการิทมึ ฐาน e โดยท่ัวไปจะนยิ มเขียนแทนดว้ ย ln นน่ั คอื loge x  lnx

ตวั อย่างกราฟของฟงั กช์ นั เลขชี้กาํ ลงั และ ฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ

ตวั อยา่ งที่ 17 จงเขียนสมการลอการทิ มึ ตอ่ ไปน้ใี ห้อยใู่ นรปู สมการเลขช้ีกาํ ลงั จาก loga x  y คือ x  ay 1) log2 16  4 2) log4 64  3 3) log 1 0

ตวั อย่างที่ 18 จงเขียนสมการเลขช้ีกาํ ลงั ให้อย่ใู นรปู สมการลอการทิ มึ จาก ay  x จะได้ y  loga x 1 (1) 64 6  2 (2) 25  5 (3) 52  0.04

สมบตั ิของลอการทิ ึม สมมติให้ a, x และ y ท่เี ป็นจาํ นวนจริงบวก โดยท่ี n เป็นจาํ นวนจริงและ a  1 (1) loga a  1 (2) loga 1  0 (3) loga x y  y loga x (4) loga (xy)  loga x  loga y (5) loga ( xy )  loga x  loga y (6) alog a x  x (7) log a x  llooggbb x a

ตวั อย่างท่ี 19 จงหาค่าลอการิทมึ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) log2 16  2) log4 16  3) log 1 36  6 4) log3 287  2

ตวั อย่างท่ี 19 จงหาคา่ ลอการิทมึ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 5) ln3 e  6) log1000  7) log0.1

ตวั อย่างท่ี 19 จงหาค่าลอการิทึมในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 8 กาํ หนด log 5.760 = 0.7604 จงหา 8.1) log5760 8.2) log 0.5760

ตวั อยา่ งที่ 19 จงหาค่าลอการทิ มึ ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 9) log3 81 log2 32  log41 64 

ตัวอยา่ งท่ี 20 จงแก้สมการลอการิทมึ และสมการเลขช้กี าํ ลงั ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1) log2 x  4 2) ln(x+1) = 7

ตวั อย่างท่ี 20 จงแกส้ มการลอการทิ ึมและสมการเลขช้ีกําลงั ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 3) logx 49  2

ข้นั ตอนในการแก้สมการเลขชก้ี าํ ลงั 1. เขียนสมการให้อยู่ในรปู ax = b 2. take log ท้งั สองขา้ งของสมการ 3. ใช้ สมบัติของฟงั ก์ชัน log คอื log ax = x(log a) 4. แกส้ มการเพอ่ื หาค่า x หรือ ใช้การเปลี่ยนรปู จากเลขชกี้ ําลังใหอ้ ยูใ่ นรูปลอการทิ มึ เชน่ จาก ax = b เขียนใหม่เป็น x = loga (b)

ข้นั ตอนในการแก้สมการลอการทิ ึม 1. ย้ายพจนท์ อี่ ย่ใู นรูป log ไวด้ า้ นหน่งึ ของสมการและพจน์ที่ไมไ่ ดอ้ ย่ใู นรูป log ไว้ฝง่ั ตรงขา้ ม 2. รวมพจนท์ ีอ่ ยู่ในรูป log ใหเ้ ปน็ พจนเ์ ดียวกัน โดยใชค้ ณุ สมบตั ิ log a x  log a y  log a ( xy ) หรอื log a x  log a y  log a ( xy ) 3. ยกกําลังฐาน 10 ทง้ั สองข้างของสมการ 4. ใช้คุณสมบตั ิอินเวอร์ส น่นั คอื 10logx  x 5. แกส้ มการหาคา่ x หรอื ใช้การเปลย่ี นรปู จากลอการทิ ึมให้อยู่ในรูปเลขชีก้ ําลัง เชน่ จาก loga (x) = b จะไดว้ า่ x  ab

ตวั อย่างท่ี 21 จงแกส้ มการลอการทิ มึ และสมการเลขชก้ี ําลังในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) e5x = 4 2) 5e0.01x = 8

ตวั อย่างท่ี 21 จงแกส้ มการลอการิทมึ และสมการเลขชก้ี ําลงั ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 3) logx  5  log3 4) log(x) 1 log(x  9)

โจทยป์ ระยุกต์ อัตราการเตบิ โตแบบฟังก์ชันชกี้ ําลงั ธรรมชาต(ิ Exponential Growth Rate) A  Pert เมือ่ P เปน็ คา่ หรอื จาํ นวนเรม่ิ ตน้ (จาํ นวนเมื่อเวลา t  0) r แทน อัตราการเติบโตหรอื อัตราการลดลง โดยท่ี r  0 t แทน เวลา (หน่วยของเวลาใช้หน่วยเดยี วกับในหน่วยเวลาของ r) A แทน ปรมิ าณหรือจํานวนเมอื่ ส้ินสุดช่วงเวลาทส่ี นใจ

ตัวอยา่ งที่ 22 ขอ้ มูลจากหน่วยงานหนง่ึ ระบุว่า ประชากรโลกหลงั จากชว่ งสงครามโลกครงั้ ท่ี 2 มีอตั ราการเตบิ โตเท่ากบั 1.9% ต่อปี ดังน้ันถ้า องค์การสหประชาชาติ ระบุไวว้ ่า ในปี 1975 ประชากรโลกมอี ยปู่ ระมาณ 4 พันล้านคน และสมมติ ว่า จํานวนประชากรโลกเป็นไปตามอัตราการเติบโตแบบฟงั ก์ชนั เลขช้ีกาํ ลงั ธรรมชาติ จงหา (1) ประชากรโลกในปี 2020 มีจํานวนเท่ากับเท่าไหร่ (2) ประชากรโลกจะมจี าํ นวนเทา่ กับ 7 พันล้านคนในปีใด

ตัวอยา่ งท่ี 22 ในการทดลองเพาะเชอื้ แบคทเี รยี ชนิดหนึ่งในห้องทดลอง โดยท่ี แบคทเี รยี ชนิดดังกลา่ วมอี ตั ราการเตบิ โต 4.6% ตอ่ วนั จงหาจาํ นวนแบคทีเรียหลังจากผา่ นไป 36 ชว่ั โมง ถา้ จาํ นวนแบคทีเรยี เม่อื เรมิ่ ตน้ ทดลองมจี ํานวนเท่ากบั 250 เซลล์และมอี ัตราการเติบโตแบบฟงั กช์ ันเลขชี้กาํ ลงั ธรรมชาติ