Lecture บทที่4

ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน คู่อันดับ (Order Pairs) ความสัมพันธ์ (Relations) ฟงั กช์ ัน (Functions) บรรยายโดย: ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

ค่อู ันดบั (Order Pairs) เป็นการแสดงถงึ ส่ิงของ 2 สงิ่ ที่มีความสมั พันธก์ ันในลกั ษณะเขา้ กนั เป็นค่ๆู เชน่ ในการตรวจร่างกาย พยาบาลจะบนั ทึกขอ้ มูลเบอื้ งต้นของคนไข้ เชน่ ส่วนสูงคู่กบั นาํ้ หนกั

การเขยี นคู่อนั ดบั จะเขียนอยูใ่ นรปู ( สมาชกิ ตวั หน้า , สมาชิกตวั หลงั ) เช่น คู่อันดับของขอ้ มลู เบ้ืองต้นของคนไข้ คอื ( น้ําหนัก , ส่วนสูง ) ดงั น้นั จะเขียนเปน็ คอู่ ันดบั ไดเ้ ป็น ( 45, 155 ) เปน็ ตน้ การเขียนคู่อันดับจะให้ความสาํ คญั กับลาํ ดับ กอ่ น และ หลัง ดงั นั้น (a, b)  (b, a)

การเทา่ กนั ของคอู่ นั ดบั คู่อันดบั (a, b) จะเท่ากับคู่อันดับ (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x และ y จากคู่อนั ดบั ทก่ี ําหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 1.1) (3x + y, 5) = (2x, y +1)

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ x และ y จากคู่อันดับที่กําหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ 1.2) (7, 1) = (2x+1, 4)

ผลคณู คาร์ทีเชยี น (Cartesian Product) ผลคณู คารท์ เี ชยี นของเซต A และ เซต B ใดๆ คือ เซตของทกุ คอู่ นั ดบั (a, b) เมอ่ื aA และ b  B ซงึ่ อาจเขียนได้ดงั น้ี เขียนแทนด้วย A B อา่ นวา่ A cross B เช่น A = {a, b, c} และ B = {1, 2} จะไดว้ ่า AB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} BA = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} AA = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} BB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

ตวั อยา่ งท่ี 2 กาํ หนดให้ A = {x ||xxI แIล+ะแ2ละ≤-2x  4} , 2} และ C =  จงหา B = {x ≤ x≤ ในท่ีน้ี A = …{…2,…3}…… B = …{…1, 2…} …… 1) AA = …{…(2,…2)…, (2…, 3…), …(3,…2)…, (3…, 3…)}…………………… 2) B A = …{(…1, 2…), …(1, …3),…(2…, 2…), (…2, …3)}……………………… 3) C B = …{ …} ห…รือ…………………………………………

คณุ สมบัตขิ องผลคูณคารท์ เี ซยี น 1) AB  BA , เม่อื A  B หรอื A, B   2) A  = A =  3) n(AB ) = n(A)  n(B) , เมือ่ A , B เป็นเซตจํากัด 4) ถา้ AB = A C แล้ว B ไมจ่ ําเปน็ ตอ้ งเท่ากับ C 5) A (B  C) = (AB)  (AC) 6) A (B  C) = (AB)  (AC) 7) A (B - C) = (AB) - (AC)

ตวั อย่างท่ี 3 กาํ หนดให้ A = {2, 4, 6}, B = {a, b} และ C = {2, a, b} จงหา 1) A(B - C) = …………………………………… 2) B(A C) = ……………………………………. 3) n((A – C ) B) = ……………………………… 4) A(B  C) = ……………………………………

ความสัมพนั ธ์ (Relations) เม่ือ A และ B เป็นเซตใดๆ และ r แทนความสมั พนั ธ์ จาก A ไป B จะเขียนไดด้ งั น้ี r = {(a, b) | (a, b)  AB } ซึ่ง r  A B เชน่ A = {2, 3} และ B = {1, 5} จะไดว้ ่า AB = {(2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5)} ให้ r แทนความสมั พันธ์มากกว่าจาก A ไป B จะไดว้ ่า r = {(2, 1), (3, 1)}

ความสัมพันธ์ (Relations) ความหมายของสญั ลกั ษณ์ r  A  B หมายถงึ r เป็นความสมั พนั ธ์ จาก A ไป B r  B  A หมายถึง r เป็นความสมั พนั ธ์ จาก B ไป A r  A  A หมายถึง r เป็นความสมั พันธ์ ใน A r  B  B หมายถึง r เป็นความสัมพนั ธ์ใน B

ตวั อย่างของการเขียนความสัมพนั ธ์ กําหนดให้ A = {5, 10, 30, 40} , B = {10, 20, 30} A B r1 เปน็ ความสัมพนั ธ์ “มากกวา่ จากเซต A ไปเซต B” 10 r1 = {(30, 10), (30, 20), (40, 10), (40, 20), (40, 30)} 5 20 10 30 30 40

การเขยี นความสมั พนั ธ์ การเขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ r1= { (soap, 25) , (shampoo, 65) , (toothbrush, 45) } r2= { (1, a) , (2, b) , (3, c) , (4, c) } การเขียนแบบระบเุ ง่ือนไข r1 = {(x, y)  I+ I+ | 0 < x < 3 , 1< y < 5 และ x < y} r2 = {(x, y)  RR | 2x + y = 0}

ตัวอย่างท่ี 4 กําหนดให้ A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 3, 4, 5 } จงเขยี นความสัมพนั ธ์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 1) ความสัมพันธ์ มากกว่า จาก A ไป B …{(4…, 3…)} ……… 2) ความสัมพันธ์ นอ้ ยกว่า จาก B ไป A …{(…3, …4)}……… 3) ความสัมพันธ์ เท่ากบั จาก A ไป B …{(3…, 3…), (…4, 4…)}… 4) ความสัมพันธ์ เป็นรากทสี่ อง จาก A ไป B …{(2…, 4…)}…… 5) ความสมั พนั ธ์ มากกว่า ใน B …{(…4, …3),…(5…, 3…), (…5, …4)}…

ตวั อยา่ งท่ี 5 ให้ A = {0, 2, 3} ถา้ r = {(x, y)  AA | y = x+1 } จงเขยี น r แบบแจกแจงสมาชกิ

ฟงั กช์ ัน (Functions) ฟังกช์ นั เปน็ ความสัมพันธ์แบบหนึ่ง ซ่ึงถา้ สมาชิกตัวหน้า ของคอู่ นั ดบั เหมือนกนั แล้วสมาชิกตวั หลงั ต้องเหมอื นกันด้วย เช่น A = {(1, a), (2, b), (3, c)} เปน็ ฟังกช์ ัน B = {(1, a), (2, b), (1, c)} ไม่เป็นฟังกช์ นั

ฟงั ก์ชนั (Functions) พิจารณาความสมั พันธ์ r1 , r2 , r3 และ r4 ดงั นี้ 1aa1 1a1a 2b b22b2b 3c c33c3c d d4

หลกั การพจิ ารณาฟงั กช์ ัน กรณีแจกแจงสมาชกิ เช่น f  {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 2)} ถ้าหน้าไมซ่ ้ํา เปน็ ฟงั กช์ ัน ถา้ หน้าซํ้าและหลงั ซํ้า เปน็ ฟงั กช์ ัน กรณรี ะบเุ ง่ือนไข เช่น f  { (x, y)RxR | y  x2 } จาก y = f(x) แทนคา่ x เข้าไป 1 คา่ ได้คา่ y เพียง 1 ค่า  เป็นฟังกช์ นั กรณีกราฟ ลากเส้นตรงขนานแกน y ถา้ 1 เส้น ตัด 1 จดุ เปน็ ฟังกช์ นั

การพจิ ารณาฟงั กช์ ันจากกราฟ เปน็ ฟงั กช์ นั ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั เปน็ ฟงั กช์ นั

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงใสเ่ ครื่องหมาย หนา้ ขอ้ ทเ่ี ปน็ ฟงั กช์ ัน ……6.1) { (d, 1), (h, 4), (k, 2), (j, 2) } .… .. 6.2) เมอ่ื A = {-1, 0, 1, 2} และ r = {(x, y)AA | y = 3x -1} r = {(0, -1), (1, 2)} .…✕.. 6.3) { (x, y) | x = | y | } เช่น x = 1 จะได้ y = -1, 1 ....... 6.4) {(x,y)R R | y  x  2 } …✕…6.5) …✕…6.6)

ตวั อย่างท่ี 6 จงใส่เครือ่ งหมาย หน้าข้อทีเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน ……6.7) ……6.8)

คา่ ของฟังกช์ ัน กําหนดฟงั ก์ชนั y = f(x) คา่ ของฟงั กช์ ัน คอื คา่ ของตวั แปรตาม y เมือ่ กาํ หนดค่า x ซง่ึ สามารถ หาคา่ ของฟงั กช์ นั ไดโ้ ดยการแทนคา่ x ในสมการ ให้ f = {(x, y)RxR | y = 2x + 1 } เม่ือ x = 1 จะได้ y = 2(1) + 1 = 3 หรือ f(1) = 3 ให้ f = {(1, 3), (2, 4), (3, 6)} เม่อื x = 1 จะได้ y = 3 หรือ f(1) = 3 เม่อื x = 2 จะได้ y = 4 หรือ f(2) = 4 เมื่อ x = 3 จะได้ y = 6 หรือ f(3) = 6

ตวั อย่างท่ี 7 จงใสเ่ คร่อื งหมาย หน้าข้อท่เี ป็นฟงั กช์ นั กําหนดให้ f(x) = 2x + 1 , g(x) = x2 – 3x + 7 , h(x) = 3 และ k(x) 2 | x 1| ; x1 จงหาค่าฟังกช์ ันในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ x1 ; x1    1) g(-1) = …………………………………… 2) f(a+b) = …………………………………… 3) h(4) = …………………………………… 4) k(-3) = …………………………………… 5) k(2) = ……………………………………

โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ นั ให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ จาก A ไป B จะไดว้ า่ โดเมนของ f เขียนแทนดว้ ย Df คอื เซตของสมาชกิ ตัวหนา้ ทัง้ หมดของคู่อันดบั ของฟังก์ชัน เรนจ์ของ r เขยี นแทนด้วย Rf คอื เซตของสมาชิกตัวหลงั ทัง้ หมดของค่อู นั ดบั ของฟงั ก์ชัน

การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั แบบท่ี 1 เมื่อฟงั ก์ชัน เขยี นในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชกิ โดเมน คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ทั้งหมดของคอู่ ันดับของฟังกช์ ัน เรนจ์ คือ เซตของสมาชกิ ตวั หลงั ทง้ั หมดของคอู่ ันดับของฟงั ก์ชนั เช่น กําหนดให้ f  {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6)} ดงั นน้ั RDff  {2, 3, 4, 6}  {–3, –1, 6}

การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั แบบท่ี 2 เมื่อฟงั กช์ ัน เขียนแบบระบเุ ง่ือนไข หรือเขียนในรูปสมการ ขั้นตอนการหาโดเมน 1. เขียนสมการในรูป y = f(x) 2. พิจารณาค่า xf(xท)ีเ่ ป=น็ aไปไดจจ้ะไาดก้ว่าf(x)โด0ยมขี ้อทชี่ ว่ ยในการพจิ ารณา ดังน้ี ถ้า ถ้า f x ∆ จะได้ว่า   0

การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั แบบที่ 2 เมื่อฟังก์ชัน เขียนแบบระบเุ งื่อนไข หรอื เขยี นในรูปสมการ ขน้ั ตอนการหาเรนจ์ 1. เขียนสมการในรูป x = f(y) 2. พจิ ารณาค่า y ทaี่เป็นจไะปไดไดว้ จ้า่ าก f(y) โดยท่ี ถา้ f(y) = 0 ถ้า f x ∆ จะได้วา่   0 3. นอกจากน้ี มีประเด็นนา่ สนใจเพ่มิ เติม คือ ถ้า f(x) = 2 จะไดว้ ่า f(x)  0 ดงั นนั้ y  0 ถา้ f x ∆ จะไดว้ ่า f(x)  0 ดงั น้นั y  0 เชน่ กัน

ตัวอย่างท่ี 8 จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั 8.1) f  { (x,y)RR | y  3x  9} หาเรนจ์ หาโดเมน

ตัวอย่างที่ 8 จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั หาเรนจ์ 8.2) y 1 x4 หาโดเมน

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ัน หาเรนจ์ 8.3) f  { (x, y)R  R | y  2xx21} หาโดเมน

ฟงั ก์ชนั ผกผนั (Inverse Function) อินเวอร์สของฟงั กช์ นั เป็นการกระทาํ ย้อนกลับของฟงั กช์ นั พจิ ารณาจากรูปต่อไปน้ี เมอ่ื f เปน็ ฟงั กช์ ันใดๆ จะได้ว่า f -1 สัญลักษณแ์ ทน อนิ เวอรส์ ของฟังกช์ ัน ข้อควรระวัง อินเวอรส์ ของฟังกช์ นั จะเปน็ ฟังกช์ ันหรือไมเ่ ป็นฟังก์ชันกไ็ ด้ แต่ถ้าอินเวอร์สของฟงั ก์ชันยงั คงเป็นฟงั กช์ ัน จะนยิ มเรยี ก อินเวอรส์ ของฟงั กช์ นั น้นั วา่ ฟังกช์ ันอนิ เวอรส์ (Inverse function)

วธิ ีการหาอินเวอร์สของฟงั กช์ นั แบบที่ 1 : เม่ือฟงั ก์ชนั เขยี นอย่ใู นรูปแบบแจกแจงสมาชกิ หสลางั มขาอรงถคหู่อาันอดนิ บัเวแอตรล่ส์ ะไคดู่้โดยการสลบั สมาชิกระหว่างตวั หนา้ กับตัว ให้ f = { (a, 6), (b, 7), (c, 9), (d, 4)} ฟงั กช์ นั ดังนั้น f-1 = {(6, a), (7, b), (9, c), (4, d)} เปน็ ฟังก์ชัน ให้ g = {(g, 6), (k, 6), (l, 1), (e, 8)} ฟงั ก์ชนั ดังน้ัน g-1 = {(6, g), (6, k), (1, l), (8, e)} ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน

วธิ กี ารหาอนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ ัน แบบที่ 2 : เมื่อฟงั กช์ นั เขยี นอยูใ่ นรูปสมการ วธิ กี าร 1. เขยี นฟังกช์ นั อยู่ในรปู y = f(x) 2. สลบั คา่ ระหวา่ ง x และ y 3. จดั รปู สมการใหม่ให้อยู่ในรปู y = f(x)

ตัวอย่างที่ 9 : ให้ f = {(x, y)  RR | y = 3x – 4 } จาก y = 3x -4 x = 3y -4 เปลีย่ น x เปน็ y เปลย่ี น y เปน็ x จะได้ จดั รปู สมการใหม่ ให้อยใู่ นรปู y = f(x) จะได้ x + 4 =3yx ดังน้ัน 3 4 y f 1  { (x, y)R  R | y  x 3 4 }

วธิ ีการหาอนิ เวอร์สของฟงั กช์ นั แบบท่ี 3 : เม่ือฟังกช์ นั แสดงในรูปของกราฟ กราฟของอนิ เวอร์สของฟงั กช์ ันจะเป็นภาพสะท้อนจากกราฟของฟังก์ชัน เม่ือใช้ เส้นตรง y  x (หรือเรยี กว่า identity line) เป็นเส้นแบง่ เชน่ พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั yx2 23x 3 เมอื่ จะหาอนิ เวอรส์  ดงั รูป ของฟังกช์ ัน จะได้เป็นเส้นกราฟ y 

ตวั อย่างท่ี 10 กาํ หนดให้ f(x) = 2x +1 จงหา f-1(x) , f-1(2)

ตวั อยา่ งที่ 11 กําหนดให้ f(x)  x x 1 จงหา f 1(x)

ตวั อยา่ งท่ี 12 จงหาฟงั กช์ ันผกผันในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี พรอ้ มวาดกราฟ 12.1) {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 7) }

ตัวอยา่ งท่ี 12 จงหาฟงั ก์ชนั ผกผันในแต่ละข้อต่อไปนี้ พรอ้ มวาดกราฟ 12.2) f(x) = 8 – 2x

ฟงั กช์ นั พ้ืนฐาน (Basic Functions) ฟังกช์ ันพหุนาม (Polynomial Function) ฟังกช์ นั พหนุ าม คือ ฟงั กช์ ันท่สี ามารถเขียนในรูปของ f(x)  anxn  an1xn1  ...  a2x2  a1x  a0 โดยมเี งอื่ นไขว่า an, an – 1 , an – 2 ,..., a2, a1 , a0 เปน็ จํานวนจรงิ โดยเรียก an, an – 1 , an – 2 ,..., a2, a1 , a0 ว่า สัมประสิทธิ์ของพหนุ าม และ n  I และ n  0

การเรียกชอื่ ของฟังกช์ นั พหนุ าม จะเรียกตามกําลังสูงสดุ ของตัวแปร เชน่ f ( x )  a n x n  a n  1x n  1  ...  a 2 x 2  a 1 x  a 0 เป็นฟังก์ชนั พหุนาม ดกี รี n เชน่ f(x)  3x3  2x2  3x  1 เป็นฟังกช์ นั พหุนาม ดีกรี 3 เม่อื n หรือ ดกี รขี องฟงั ก์ชนั พหุนามมีคา่ แตกต่างกันไป จะได้ฟงั ก์ชันตา่ งๆ ดังนี้

ฟงั ก์ชนั คงตวั (Constant function) รูปแบบ f(x) = c เม่ือ c เปน็ จาํ นวนจรงิ ใดๆ เช่น f(x)  3

ฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ (Linear function) รปู แบบ f(x) = ax + b เมอื่ a และ b เป็นจาํ นวนจริงใดๆ เชน่ f(x)  2x  6 f(x)  2x + 6 เม่อื a  0 เมื่อ a  0

ฟงั ก์ชันกําลังสอง (Quadratic function) รปู แบบ f(x)  ax²  bx  c เม่อื a , b , c เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ และ a  0 กราฟเป็นรูปพาราโบลาหงาย หรือ ควา่ํ ถา้ a  0 ได้กราฟพาราโบลาควํา่ (รปู ระฆังควาํ่ ) : จดุ ยอด เรยี ก จดุ สูงสดุ ถ้า a  0 ได้กราฟพาราโบลาหงาย (รปู ระฆังหงาย) : จดุ ยอด เรยี ก จดุ ตํา่ สุด

ฟังก์ชนั กําลังสอง (Quadratic function) พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั y  x²  4x  7 ในท่นี ี้ a  1, b  4, c  7 เม่ือ a  0 ดงั นัน้ กราฟจะเป็นพาราโบลาหงาย คํานวณคา่ พกิ ดั ของจดุ ยอด คือ x  2ab  2((14))  24  2 และ y  (4ac4ab2 )  (4(1)(74)(1)(4)2 )  28 4 16  142  3 เนอื่ งจากเปน็ พาราโบลาหงายและมีจุดยอดอยทู่ ี่ (2, 3) ดังนนั้ ลักษณะกราฟไม่มีสว่ นทตี่ ดั แกน x ดงั น้ี

ฟงั กช์ ันเลขชก้ี าํ ลัง (Exponential Functions) ฟังกช์ ันเลขชีก้ ําลงั สามารถเขยี นได้ในรูปเลขชีก้ าํ ลงั ทีม่ ฐี านเปน็ ค่าคงทีแ่ ละ กําลงั อยใู่ นรูปของตวั แปร x นั่นคือ f(x)  ax เมอ่ื a  0, a 1 และ x เปน็ จาํ นวนจริงใดๆ เราเรียกฟงั กช์ นั น้ีวา่ ฟงั ก์ชนั เลขชี้กาํ ลังทีม่ ฐี าน คอื a เชน่ y = 2x เป็นฟังกช์ ันเลขชก้ี ําลัง ฐาน 2

ประโยชนข์ องฟงั กช์ นั เลขชกี้ าํ ลัง อตั ราการเตบิ โต อตั ราการเสื่อมถอย การคาํ นวณดอกเบยี้ ทบต้น คา่ เสื่อมราคา การคาดการณจ์ าํ นวนประชากร หรอื จาํ นวนสัตวโ์ ลก การเสื่อมของสารกมั มันตภาพรังสี

ข้อควรทราบเกีย่ วกบั ฟงั กช์ นั ชก้ี ําลัง f(x)  ax (1) f(0) = a0 = 1 (2) f(x) = ax  0 (3) f(x) = ax  0 (4) โดเมนของฟงั กช์ นั ชี้กําลัง คือ (, ) และ เรนจข์ องฟงั ก์ชันชีก้ ําลงั คือ (0, )

ขอ้ ควรทราบเกีย่ วกบั ฟังกช์ นั ช้กี ําลัง f(x)  ax (5) ถา้ 0  a  1 แลว้ เมื่อ x   แล้ว y  0 เม่อื x    แล้ว y   ฟังกช์ ันจะเปน็ ฟงั ก์ชันลด (เมือ่ x เพ่ิม y ลด) (6) ถา้ a  1 แลว้ เมอ่ื x   แล้ว y   เม่ือ x   แลว้ y  0 ฟงั กช์ ันจะเปน็ ฟงั กช์ ันเพ่มิ (เม่ือ x เพม่ิ y เพม่ิ )

เปรยี บเทยี บ f(x)  21x และ f(x)  2x ถ้า a  1 แลว้ เมื่อ x   แลว้ y   เมอื่ x   แล้ว y  0 ฟงั กช์ นั จะเป็นฟงั กช์ ันเพ่ิม ( x เพ่มิ y เพ่ิม ) ถ้า 0  a  1 แล้ว เมอื่ x   แล้ว y  0 เมือ่ x แลว้ y   ฟังกช์ ันจะเป็นฟังกช์ ันลด (เมือ่ x เพม่ิ y ลด)