ฟิสิกส์ทั่วไป 1 บรรยายครั้งที่ 11

Physics 207105 ฟสิ ิกส์ทัว่ ไป 1 บรรยายครงั้ ท่ี 11http://www.physics.science.cmu.ac.th/courses/207105/index.htm

เน้อื หาวันนี้  การเคลอ่ื นทีแ่ บบหมุน  พลงั งานจลนข์ องการหมุน  โมเมนตมั เชิงมุม

คาถาม: โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยโมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยของวัตถมุ วล M ก) เป็นคณุ สมบัตเิ ฉพาะของวัตถุ ข) ขน้ึ อยกู่ บั แกนหมนุ ทก่ี าหนด ค) ขน้ึ อยกู่ ับมวล M ของวตั ถเุ ทา่ น้ัน ไม่ ข้ึนอยกู่ บั แกนหมนุ ง) ไม่มีข้อใดถกู ต้อง

พลังงานจลน์ของวัตถุเกรง็ ในการหาพลงั งานจลนข์ องวตั ถเุ กรง็ พจิ ารณาใหว้ ตั ถุเกรง็ มีกล่มุ ของมวล หมนุ รอบแนวแกน z ด้วยความเร็ว เชิงมุม คงท่ี โดยท่ีแต่ละ mi มี อัตราเรว็ เชงิ เสน้ เป็น vi จะได้พลังงาน จลน์ของแต่ละมวลเปน็ Ki  1 mi vi2 2จหามกุนvคiือ ri    KR  สามารหาค่าพลังงานจลนร์ วมทไี่ ด้จากการ Ki  1 vi2  1 miri2 2  1( mi ri 2 ) 2 2mi 2 2i i i i KR  1 I 2 2

การเคลื่อนทแี่ บบกล้ิงของทรงกระบอกตันกรณที ี่ 1: กลิ้งโดยไมไ่ ถล vcm  ds  R d  R dt dt acm  dvcm  R d  R dt dtกรณีที่ 2: กลง้ิ และเกดิ การไถลเมอ่ื วตั ถไุ ถลและกลิ้ง จะทาให้เงือ่ นไข vcm  Rและ acm  R ไม่เปน็ จรงิ

การเคลือ่ นทแ่ี บบกลง้ิ ของทรงกระบอกตนั โดยไมไ่ ถล จ า ก รู ป จ ะ เ ห็ น ไ ด้ ว่ า จุ ด บ น ทรงกระบอกเคล่ือนท่ีตั้งฉากกับ แกนหมุน (จุดหมนุ ช่ัวขณะ P ) เราสามารถหาพลงั งานจลนข์ อง ทรงกระบอกได้เปน็ K  1 IP 2 2 IP คือ โมเมนต์ความเฉ่อื ยเม่ือจดุ หมุนอยทู่ ี่ Pแต่เนื่องจาก IP  Icm  mR2 จะได้ จากvcm  R จะไดว้ า่K  1 Icm 2  1 mR2 2 K  1 Icm 2  1 mvc2m 2 2 2 2

การเคลื่อนทแ่ี บบกลงิ้ ของทรงกระบอกตนั โดยไม่ไถลจ า ก รู ป จ ะ เ ห็ น ไ ด้ ว่ า จุ ด บ นทรงกระบอกเคล่ือนท่ีต้ังฉากกับแกนหมุน (จุดหมนุ ชว่ั ขณะ P )เราสามารถหาพลงั งานจลนข์ องทรงกระบอกได้เป็น K  1 Icm 2  1 mvc2m 2 2วตั ถสุ ามารถกลิ้งอยา่ งเดยี วโดยไม่ไถลเพราะกรณี 1 วัตถจุ ะกลิ้งโดยไม่ กรณี 2 วตั ถุจะกลง้ิ ได้บนพ้นืไถล P ได้นนั้ จะตอ้ งมีแรง ลืน่ หรือแรงเสยี ดทานเปน็ ศูนย์เสยี ดทานกระทา เพ่อื ให้จุด Pเคล่ือนท่ีชา้ กวา่ จดุ P` ก็ตอ่ เมอื่ วตั ถถุ กู โยนให้มี vcm และ  ทาใหว้ ตั ถุกลง้ิ ไม่ไถล

การเคล่ือนที่แบบกลิ้งของทรงกระบอกตัน โดยไมไ่ ถลเลอ่ื นตาแหนง่ หมุนอย่าง เลอ่ื นตาแหนง่ และอย่างเดยี ว เดียว หมนุ พร้อมกันKt  1 mvc2m Kr  1 Icm 2 2 2สาหรบั วัตถทุ ท่ี งั้ เลอื่ นตาแหน่งและหมุน พลังงานจลน์ของวตั ถคุ อื K  1 Icm 2  1 mvc2m 2 2

พลงั งานรวมของระบบหมนุ  วัตถุทม่ี ีการหมุนรอบแกนหน่ึง ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม , ω, จะ มีคา่ พลงั งานจลน์เนื่องจากการหมนุ เท่ากบั ½Iω2  สามารถนาหลักการของพลังงานไปใช้ในการวิเคราะห์การ เคลื่อนที่แบบหมนุ ได้  จากหลกั การอนุรกั ษพ์ ลังงานกล จะได้ว่า (KEt  KEr  PEg )i  (KEt  KEr  PEg ) f สมการน้ี ใช้ได้กับเฉพาะแรงอนุรักษ์(แรงที่ไม่ขี้นอยู่กับ ทิศทางจากจุดหน่ึงไปยังอีกจุดหน่ึง)เท่านั้น ในกรณีของ แรงเสียดทานนั้นไมส่ ามารถนามาคดิ ในสมการน้ีได้ ยกเวน้ กรณกี ารกลิ้งโดยไม่ไถล ที่มแี รงเสียดทานสถติ ทา ใหเ้ กดิ การหมนุ

งานและพลงั งานพิจารณางานท่ีเกิดข้นึ เน่อื งจากแรงF กระทาบนวัตถโุ ดยทาใหว้ ัตถุเคล่อื นท่ไี ปรอบแกนหมนุ สาหรบั การกระจัดเชิงมุมเล็กๆ d งานที่เกิดข้นึ มคี ่าท่ากับ: พจารณาจดุ ทหี่ มุนเปน็ ระยะ ds ซึ่งมีคา่ เทา่ กบ rd : dW  F.ds มีเพยี งแรงเดียวคอื แรงในแนวสมผสิ F  F sin ทที่ าใหเ้ กดิ งาน dW  (F sin )rd      90 จาก rF sin   dW  d r ds  F W   

งานและพลังงาน  I  I d  I d d  I d  d d dt dtd  dW  Id  d  Id 1I 2 1 I 2 0 2 0 0 2 W   งานที่เกดิ จากแรงภายนอกในการหมุนวัตถุรอบจุดหมนุ จะมีคา่ เท่ากบัการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ในการหมนุ ของวตั ถุ

 พลงั งานจลน์ (Kinetic Energy)ท่ีเกดิ ขึน้ เน่อื งจากการหมนุ มีคา่ เท่ากับ K1 2 I f2  i2  WNET กาลังทไ่ี ด้จาก ทอรก์  คงท่มี ีคา่ เท่ากบั P  dW   d   dt dt

โจทย์ เชอื กเบาพันรอบรอกเป็นจานวน10รอบโดยทร่ี อกมมี วล M = 40 g และมรี ศั มี R = 10 cm. ออกแรงดึงเชอื กดว้ ยแรง F = 10 N ออกแรงดงึ จนเชือกหมดมว้ น จงหาความเร็วท่ีรอกหมนุ หลังจากทเี่ ชือกหมดม้วน RM F

เฉลย งาน W มคี า่ เท่ากับ   ทอรก์ มคี า่ เทา่ กับ = RF ( เพราะว่า  = 90o)  การกระจัดเชงิ มุม  มคี า่ เท่ากบั 2 rad/rev x 10 rev.ดังน้ัน W = (.1 m)(10 N)(20rad) = 62.8 J     Rev =1รอบ RM F

WNET = W = 62.8 J = K  1 I 2 2 สำหรับรอกหมุน โดยมจี ุดหมุนอยู่ตรงกลำง I  1 MR 2 RM 2 ดังนน้ั K  1  1 MR2  2  W = 792.5 rad/s 2 2 4W  462.8J MR2 .04kg.12

โจทย์ รอกสองอันพันด้วยเชือก หมนุ จากสภาพหยุดน่ิง ดว้ ยแรงท่เี หมอื นกันโดยใหร้ ะยะทีเ่ ชอื กเคลือ่ นทม่ี ีคา่ เทา่ กนั ดังรปู รอก1 มีรศั มใี หญ่กวา่ รอก2แต่ให้รอกทงั้ สองมคี ่าโมเมนตค์ วามเฉื่อยเท่ากัน จงหาวา่ รอกอนั ไหนมีความเร็วเชงิ มมุ มากกว่ากนั 1 2 (a) รอก1 (b) รอก2 (c) มคี ่ำเท่ำกัน F F

เฉลย งานที่ทาใหก้ บั ระบบมีคา่ เท่ากนั คือ W = Fd งานที่ได้จะถกู เปล่ียนาปเปน็ พลังงานจลน์ทม่ี ีค่าเท่ากัน W = K.แตเ่ ราทราบว่า K  1 I 2 2 2 1จากโจทย์ I1 = I2 F F d  1 = 2

ตวั อยา่ ง : พจิ ารณาเพลาอนั หนงึ่ ที่มมี วล M=5 kg และคา่ รศั มีR=0.2 เมตร ที่มนี ้าหนัก 9.8 นวิ ตัน แขวนอย่บู นเชอื กที่ผา่ นเพลานั้น โดยที่เพลาไม่มีแรงเสยี ดทานจงึ ไม่เกิดการไถลจงหาแรงตงึ เชอื กและคา่ ความเรง่ ของนา้ หนกั นี้

กาหนดให้ :มวล : M = 5 kg 1. วาด FBD ของทั้งเพลาและกอ้ นนา้ หนกั Nนา้ หนัก :w = 9.8 Nรัศมี : R=0.2 m 2. หาคา่ โมเมนตค์ วามเฉอ่ื ยของเพลา Mgหา :T =? a =? I  1 MR2  0.10 kg  m2 23. เขยี นสมการการเคลอ่ื นท่ี ทเี่ กีย่ วขอ้ งกับ at  R เพลาและกอ้ นน้าหนัก at  TR 2 เพลา—การหมนุ I   T  R  I  T  I at  0.10 kg  m2 at R2   TR 0.2 m2 I T  2.5 kg at กอ้ นน้าหนกั —การเล่ือนที่  F mg T  ma ค่าความเร่งในแนวสมั ผัส ณ ตาแหนง่ ปลายของเพลา

กาหนดให้ : I  1 MR2  0.10 kg  m2 Nมวล : M = 5 kg 2นา้ หนกั :w = 9.8 Nรัศมี : R=0.2 m 0.10 kg  m2 Mgหา :T =? a =? T  I at  0.2 m2 at R2 T  2.5 kg at ก้อนน้าหนกั —การเลอ่ื นที่  F mg T  ma  F mg T  ma mg  2.5 kgat  ma a  m mg kg   9.8 N  2.8 m s2  2.5 3.5 kg T  (2.5kg)(2.8m / s2 )  7N

การกลิง้ (Rolling Motion) เปน็ พิจำรณำกำรเคลอ่ื นท่ีแบบหมุน โดยท่ีแกนหมนุ ไม่ได้ถูกตรงึ ไว้ การเคลื่อนทีแ่ บบกล้งิ ประกอบด้วยกำรหมนุ (rotation) รอบจดุ CM และกำรเลือ่ นตำแหน่ง (translation) ของจดุ CM สาหรับวตั ถทุ เ่ี กดิ การเคลื่อนท่แี บบกลิง้ เช่นรูปทรงกระบอกรศั มี R มีความสัมพันธ์ระหว่างการเลอ่ื นตาแหนง่ กบั การหมุนดงั นี้ s  RvCM  ds  R d  R dt dtaCM  dvCM  R d  R dt dt

การเคลอ่ื นทแี่ บบกลงิ้ ( Rolling Motion ) เปลยี่ นจากพลังงานพลังงานศักย์ไปเป็นพลังงานจลน์ Mgh = Kv=0 K  1 I 2  1 Mv2= 0K=0 22 v = R

 มกี ารไถล

 ไม่มีการไถล v 2v v  v โดยที่ v = RIn the lab reference frame In the CM reference frame

hoop: c = 1 disk: c = 1/2 sphere: c = 2/5 etc...K = 1 I 2 + 1 Mv 2 ใช้ v = R และ I = cMR2 . 22K = 1 c MR22 + 1 Mv 2 = 1 ( c +1)Mv 2 2 22ดังนนั้ 1 ( c +1)Mv 2 = Mgh 1 v = 2gh c +1 2

ตวั อยา่ งพิจารณาเพลาอนั หนงึ่ ท่มี มี วล M=5 kg และค่ารัศมี R=0.2 เมตร ทม่ี ีน้าหนกั 9.8 นิวตัน แขวนอยบู่ นเชอื กทผี่ า่ นลอ้ นนั้มแี รงอะไรบ้างท่เี ข้ามากระทากับล้อ และน้าหนกั ที่แขวนไว้ และ จงหาค่าความเรง่ ของนา้ หนกั นี้ แต่ละสว่ นเลก็ ๆ ของเพลาเคลื่อนที่ดว้ ยความเร็วเทา่ กนั แสดงวา่ แตล่ ะสว่ นของเพลานี้มคี า่ พลงั งานจลน์ KEpulleyi  mass pulley i v2 KE pulley  1 I 2 2 pulleyi 2ดังนนั้ คา่ พลังงานจลนร์ วมของระบบนีค้ อื : KEtot  1 I 2  1 mv 2 2 2 pulley

คาถาม: การกลง้ิวัตถทุ รงกระบอกตันและวัตถทุ รงกลมตันมมี วลเทา่ กนั วัตถทุ ั้งสองกลิ้งโดยไมไ่ ถลไปบนพน้ื ราบถา้ พลงั งานจลนข์ องวัตถุท้งั สองเทา่ กัน ดังนน้ั : ก) อัตราเรว็ เชงิ เสน้ ของทรงกระบอกมากกว่าทรงกลม ข) อตั ราเรว็ เชงิ เส้นของทรงกระบอกนอ้ ยกว่าทรงกลม ค) อัตราเรว็ เชิงเสน้ ของทงั้ สองวัตถเุ ท่ากัน ง) ทงั้ ขอ้ ก), ข), และ ค) มีสว่ นถูกขึ้นอยกู่ บั รศั มีของวตั ถุ ท้ังสองIcm  1 MR2 vcm  R 2 K  1 Icm 2  1 mvc2m vs  15 2 2 2 14 vcIcm  5 MR2

ทรงกระบอกตนั และวงแหวนมมี วลเท่ากัน วัตถุท้ังสองเรมิ่กลง้ิ โดยไมไ่ ถลจากบนพน้ื เอียงพร้อมกัน วัตถุใดจะถึงพ้ืนเอียงดา้ นลา่ งก่อนกัน?วงแหวนIcm  MR2ทรงกระบอกตนัIcm  1 MR2 2

โจทย์ ล้อหมนุ ด้วยอตั ราเรว็ เชิงมุมเรมิ่ ต้น0 = 500 rad/s. ทเี่ วลา t = 0 ลอ้ เร่ิมหมุนชา้ ลงดว้ ย0.5 rad/s2. นานแคไหนลอ้ จงึ จะหยดุ หมนุ  = - 0.5 rad/s2.  ใช้   0  t หำเวลำที่  = 0 :  t  0  t  500 rad / s  1000 s  16.7 min 0.5 rad / s2

โจทย์ วัตถุมวล M, รศั มี R, และโมเมนตค์ วามเฉ่ือย I กลิง้ โดยการไถลลงมา บนพน้ื เอียงที่ทามมุ  จงหาความเร่งเชิงมุมของวัตถุนี้  แยกพิจารณาการเคล่อื นทก่ี ารหมนุ ของCM เพ่ือแกป้ ญั หาน้ี I MR 

เฉลย M f R แรงเสยี ดทานสถิตย์ f เปน็ ผลทาใหเ้ กดิ หมุนแต่เราไมท่ ราบคา่ พิจารณา free body diagram ของวัตถุ FNET = MACM : แนวแกน x ; Mg sin  - f = MA พจิ ารณาการหมุนของ CM ใช้  = I จะไดว้ ่า  = Rf และ A = RRf  I A A  Mg R I R2 f 

 มีสองสมการ Mg sin  - f = ma f  I A R2 แก้สมการเพอ่ื กาจดั f:สำหรับทรงกลม: MR2sin  A = g MR2 + I MR2sin  5 A IA = g MR 2 + 2 MR 2 = 7 gsin   MR 5

โจทย3์ แท่งทรงกระบอกตันสองช้นิ ประกอบดว้ ยอลมู เิ นียมเหมือนกัน โดยที่ ทรงกระบอกแทง่ หน่งึ มีรศั มีเปน็ สองเท่าของอกี อันหนง่ึ ถา้ ทงั้ คถู่ ูก วางอยบู่ นจดุ สงู สุดเดียวกนั ของพ้นื เอียงแลว้ ปล่อยให้กล้ิงลงมาตาม พื้นเอียง ถามว่าอนั ไหนจะถึงพืน้ กอ่ นกนั (a) อนั ใหญ่ (b) อนั เล็ก (c) พร้อมกัน

เฉลย3 พจิ ารณาอันหนงึ่ อนั ใด โดยมรี ัศมRี , มวล M กลิ้งตกมาจากทสี่ งู H.Energy conservation: MgH  1 I 2  1 MV 2 22 แต่ I  1 MR2 และ  V 2 R 1  1 MR2  V 2 1 2 2 2 R2 2 MgH   MVH MgH  1 MV 2  1 MV 2  3 MV 2 42 4

ดังนัน้ , MgH  3 MV 2 gH  3V 2 4 4 : V  4 gHH 3จะลงมาถึงพื้นพร้อมกันโดยจะไมข่ น้ึ กับขนำด ตรำบเท่ำที่รูปร่ำงยงั เหมอื นกนั





โจทย์ ลกู บอลและกลอ่ งมีมวลเท่ากันมีความเรว็ ในแนวระนาบเทา่ กนั ลกู บอล กลิง้ โดยปราศจากการไถลและกลอ่ งเกิดการไถลโดยไมค่ ดิ แรงเสียดทานอยาก ทราบวา่ วตั ถชุ นิดใดจะขึน้ ไปไดสูงกว่ากัน(a) ลกู บอล (b) กลอ่ ง (c) เทำ่ กัน

เฉลย ลกู บอลและกลอ่ งจะหยดุ เนอ่ื งจำกพลงั งำนจลน์เร่มิ ตน้ จะเปลยี่ นไปเป็นพลังงำน ศกั ย์เน่ืองจำกแรงโน้มถว่ ง (mgH). พลังงำนจลนเ์ ริม่ ต้นของกล่องมีค่ำเท่ำกับ K  1 mv 2 พลงั งำนจลนเรม่ิ ต้นของลูกบอลมคี ่ำเทำ่ กับ 2 1 v K  2 mv 2  1 I 2 มคี ่ามากกว่า 2  v

 พลงั งำนจลนเ์ รม่ิ ตน้ ของลกู บอลมีคำ่ มำกกวำ่ จงึ ขึ้นไปไดส้ ูงกวำ่

โจทย2์ ลกู โบวล์ ่งิ (uniform solid sphere) กลิ้งตามพน้ื โดยปราศจากการไถล จงหาอตั ราสว่ นระหว่างพลงั งานจลนข์ องการหมุนตอ่ พลังงานจลนข์ องการเคล่อื นท?่ี (a) 1 (b) 2 (c) 1 5 5 2สำหรบั solid sphere มแี กนหมุนรอบจุด CM : I  2 MR2 5

เฉลย พลงั งานจลนท์ ้งั หมดเกดิ เนอ่ื งจากการหมนุ และการเคล่อื นที่ของจดุ CM K = 1 I 2  1 MV 2 22 rotational translational KK

K = 1 I 2  1 MV 2 กำรกลง้ิ โดยปรำศจำกกำรไถล:   V 22 Rrotational Translational K K v2 R2 K Rot 1 I 2 25 MR2 2 2  KTrans 1 Mv 2 Mv2 5 2



โมเมนตัมเชงิ มุม (Angular Momentum)คล้ายๆกับเร่ืองโมเมนตัมเชิงเส้นของการเคลื่อนท่ีแบบเล่ือนตาแหน่ง (Translational Motion ) โมเมนตัมเชิง มุ ม ส าม าร ถ ใ ช้ในก าร ช่วยวิเค ร าะห์ วัต ถุ ท่ี มี ก า รเคลื่อนท่ีแบบหมุน คล้ายๆกับการใช้โมเมนตัมเชิงเส้นในL  r  Pการช่วยวิเคราะห์วัตถทุ ่ีมกี ารเคลื่อนท่ีแบบเลื่อนตาแหน่ง หPนว่ ยmvkg(.lmin2ea/ rsmomentum)ขนาดของโมเมนตัมเชงิ มมุ คอื L  mvr sin 

โมเมนตมั เชงิ มุม (Angular Momentum)เหมือนกับความสัมพันธ์ระหว่างแรงกับโมเมนตมั เชิงเสน้ คือ ค่าทอร์คน้ันแปรผันกบั คา่ โมเมนตัมเชงิ มุม   d L Fdp ) dt dt (เปรียบเทยี บกับ   r      r  dL dP Fdt dt*ทอรค์ ลพั ธท์ ี่กระทากบั อนภุ าคมคี า่ เทา่ กบัอัตราการเปลย่ี นแปลงของโมเมนตัมเชงิ มุมเทยี บกับเวลา

โมเมนตัมเชงิ มุมของระบบอนุภาคถา้ มีระบบทม่ี อี นภุ าคหลายๆตัวหมนุ รอบจุดใดๆจะไดว้ า่   L  L1  L2  L3  ....... Ln  Li iและถา้ มที อรค์ ภายนอกมากระทากับระบบจะทาให้โมเมนตมั เชิงมมุ ของระบบเกดิเปลยี่ นแปลงไป ดังนัน้ จะได้ความสัมพนั ธค์ ือ   dLi  d  dL dt dt Li dt  ext   i i

เราทราบวา่          r F r dp   d r       dt dL p r  p dp  dr dt dt dt dtแต่ dr  0 dt p  v  mv dL         r dp dL dt dt dtทอรก์ ทกี่ ระทาตอ่ อนุภาคจะมคี ่าทากบั อตั ราการเปล่ียนแปลงโมเมนตมั เชงิ มมุของอนภุ าคในหนงึ่ หนว่ ยเวลา

โมเมนตัมเชิงมมุ ของวตั ถุเกร็ง พจิ ารณา rigid object ท่ีหมุนรอบแกน z ดัง รูป แต่ละอนุภาคท่ีหมุนในระนาบ xy ด้วยค่า ความเร็วเชิงมุม  ค่าของโมเมนตัมเชิงมุม ของแต่ละมวล mi รอบจุด O คือ miviri แต่ เน่อื งจาก vi=ri  เราสามารถเขียนโมเมนตัม เชงิ มมุ ของแต่ละมวล miดงั น้นั โมเมนตัมเชิงมมุ ของ คL่าiโมเmมนirตi2ค์วามเฉอ่ื ยของระบบคือ rigid object มีค่าคงตัวจะได้ Lz  miri2  ( miri2 ) วา่ dLz  I d  I dt dti i หรอื จะได้ว่า dLz dtLz  I  ext   I

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชงิ มุม(Conservation of Angular Momentum )กฎการอนรุ กั ษโ์ มเมนตัมเชงิ มุม: ค่าโมเมนตัมเชงิ มุมของระบบจะมคี ่าคงท่ี ถา้ ผลรวมของทอรค์ ภายนอกทก่ี ระทากบัวัตถุนนั้ มคี า่ เปน็ ศนู ยค์ อื  dL ext  dt  0 L  constLi  Lf  constIii  I f  f  const