P1-Allens Made Physics Theory {PART-2}

JEE-Physics FRICTION Whenever  surfaces  in  contact  are  pressing  each  other  slide  or  tend  to  slide  over  each  other,  opposing  forces are  generated  tangentially  to  the  surfaces  in  contact.  These  tangential  forces,  which  oppose  sliding  or  tendency of  sliding  between  two  surfaces  are  called  frictional  forces.  Frictional  forces  on  both  bodies  constitute  third  law action-reaction  pair. Types  of  Friction Before  we  proceed  further  into  detailed  account  of  frictional  phenomena,  it  is  advisable  to  become  familiar with  different  types  of  frictional  forces.  All  types  of  frictional  phenomenon  can  be  categorized  into  dry  friction, fluid  friction,  and  internal  friction. Dry  Friction It  exists  when  two  solid  un-lubricated  surfaces  are  in  contact  under  the  condition  of  sliding  or  tendency  of sliding.  It  is  also  known  as  Coulomb  friction. Fluid  Friction Fluid  friction  is  developed  when  adjacent  layers  of  a  fluid  move  at  different  velocities  and  gives  birth  to phenomena,  which  we  call  viscosity  of  the  fluid.  Resistance  offered  to  motion  of  a  solid  body  in  a  fluid also  comes  in  this  category  and  commonly  known  as  viscous  drag.  We  will  study  this  kind  of  friction  in fluid  mechanics. Internal  Friction When  solid  materials  are  subjected  to  deformation,  internal  resistive  forces  developed  because  of  relative movement  of  different  parts  of  the  solid.  These  internal  resistive  forces  constitute  a  system  of  force, which  is  defined  as  internal  friction.  They  always  cause  loss  of  energy. Frictional  forces  exist  everywhere  in  nature  and  result  in  loss  of  energy  that  is  primarily  dissipated  in  form  of heat.  Wear  and  tear  of  moving  bodies  is  another  unwanted  result  of  friction.  Therefore,  sometimes,  we  try  to reduce  their  effects  –  such  as  in  bearings  of  all  types,  between  piston  and  the  inner  walls  of  the  cylinder  of  an IC  engine,  flow  of  fluid  in  pipes,  and  aircraft  and  missile  propulsion  through  air.  Though  these  examples  create a  negative  picture  of  frictional  forces,  yet  there  are  other  situations  where  frictional  forces  become  essential and  we  try  to  maximize  the  effects.  It  is  the  friction  between  our  feet  and  the  earth  surface,  which  enables  us  to walk  and  run.  Both  the  traction  and  braking  of  wheeled  vehicles  depend  on  friction. Types  of  Dry  Friction In  mechanics  of  non-deformable  bodies,  we  are  always  concerned  with  the  dry  friction.  Therefore,  we  often drop  the  word  “dry”  and  simply  call  it  friction. To  understand  nature  of  friction  let  us  consider  a  box  of  weight  W W Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 placed  on  a  horizontal  rough  surface.  The  forces  acting  on  the  box N are  its  weight  and  reaction  from  the  horizontal  surface.  They  are shown  in  the  figure.  The  weight  does  not  have  any  horizontal component,  so  the  reaction  of  the  horizontal  surface  on  the  box  is normal  to  the  surface.  It  is  represented  by  N  in  the  figure.  The  box is  in  equilibrium  therefore  both  W  and  N  are  equal  in  magnitude, opposite  in  direction,  and  collinear. Now  suppose  the  box  is  being  pulled  by  a  gradually  increasing  horizontal  force  F  to  slide  the  box.  Initially  when the  force  F  is  small  enough,  the  box  does  not  slide.  This  can  only  be  explained  if  we  assume  a  frictional  force, which  is  equal  in  magnitude  and  opposite  in  direction  to  the  applied  force  F  acts  on  the  box.  The  force  F produces  in  the  box  a  tendency  of  sliding  and  the  friction  force  is  opposing  this  tendency  of  sliding.  The frictional  force  developed  before  sliding  initiates  is  defined  as  static  friction.  It  opposes  tendency  of  sliding. 20 E

JEE-Physics W F W F fs f sm fs = F N fsm = F N Static Friction Limiting friction: The maximum Static Friction As  we  increase  F,  the  box  remains  stationary  until  a    value    of  F  is  reached W F fk when  the  box  starts  sliding.  Before  the  box  starts  sliding,  the  static  friction increases  with  F  and  counterbalances  F  until  the  static  friction  reaches  its maximum  value  known  as  limiting  friction  or  maximum  static  friction  f . N sm When  the  box  starts  sliding,  to  maintain  it  sliding  still  a  force  F  is  needed  to Kinetic friction over  come  frictional  force.  This  frictional  force  is  known  as  kinetic  friction  (f ). k It  always  opposes  sliding. D r y  F r ic tio n   S t a t ic  F r ic t io n   Kinetic Friction O p po se s ten de n c y  o f slidin g   O p po se s slid in g  a n d  h a s a  c o n sta n t  characteristic value.  Laws  of  Friction When  a  normal  force  N  exists  between  two  surfaces,  and  we  try  to  slide  them  over  each  other,  the  force  of static  friction  (f )  acts  before  sliding  initiates.  It  can  have  a  value  maximum  up  to  the  limiting  friction  (f ). s sm fs  fsm The  limiting  friction  is  experimentally  observed  proportional  to  the  normal  reaction  between  surfaces  in  contact. fsm  s N Here  S is  the  constant  of  proportionality.  It  is  known  as  the  coefficient  of  static  friction  for  the  two  surfaces involved. When  sliding  starts  between  the  surfaces,  the  frictional          Friction Static Friction Kinetic Friction force  rapidly  drops  to  a  characteristic  value,  which always  opposes  the  sliding.  This  characteristic  frictional fsm fk force  is  known  as  kinetic  friction  (f ).  Kinetic  friction  is k experimentally  found  proportional  to  the  normal reaction  between  surfaces  in  contact. fk  k N Tangentially applied force F Here  k  is  the  constant  of  proportionality.  It  is  known  as  the  coefficient  of  kinetic  friction  for  the  two  surfaces involved. Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 The  frictional  forces  between  any  pair  of  surfaces  are  decided  by  the  respective  coefficients  of  friction.  The coefficients  of  friction  are  dimensionless  constants  and  have  no  units.  The  coefficient  of  static  fiction  (s)  is generally  larger  than  the  coefficient  of  kinetic  friction  (k)  but  never  become  smaller;  at  the  most  both  of  them may  be  equal.  Therefore,  the  magnitude  of  kinetic  friction  is  usually  smaller  than  the  limiting  static  friction  (f ) sm and  sometimes  kinetic  friction  becomes  equal  to  the  limiting  static  friction  but  it  can  never  exceed  the  limiting friction. The limiting static friction and the kinetic friction between any pair of solid surfaces follow these two empirical laws. • Frictional  forces  are  independent  of  measured  area  of  contact. • Both  the  limiting  static  friction  and  kinetic  friction  are  proportional  to  the  normal  force  pressing  the surfaces  in  contact. E 21

JEE-Physics Angle  of  Friction The  angle  of  friction  is  the  angle  between  resultant  contact  force  of and  normal  reaction  N,  when  sliding  is  initiating.  It  is  denoted  by   tan   fsm  sN  s N N •  For  smooth  surface    =  0 Angle  of  Repose  () A body is placed on an inclined plane and the angle of inclination is gradually increased. At some angle of inclination the body starts sliding down the plane due to gravity. This angle of inclination is called angle of repose (). Angle of repose is that minimum angle of inclination at which a body placed on the inclined starts sliding down due to its own weight. Thus,  angle  of  repose  =  angle  of  friction. Example A  block  of  mass  1  kg  is  at  rest  on  a  rough  horizontal  surface,  where  coefficients  of  static and  kinetic  friction  are  0.2  and  0.15.  Find  the  frictional  forces  if  a  horizontal  force (a)  F  =  1N (b)  F  =  1.96  N (c)  F  =  2.5  N    is  applied  on  a  block        Solution Maximum  force  of  friction  is  the  limiting  friction  f   =  0.2  ×  1  ×  9.8  N  =  1.96  N sm (a) For    F  =  1  N,    F  <  f sm So,  body  is  in  rest  means  static  friction  is  present  and  hence  f   =  F=  1  N s (b) For F  =  1.96  N, F =    fsm  =  1.96  N.  The  block  is  about  to  slide,  therefore  f  =  1.96  N (c) For F  =  2.5  N, So  F >  f   sm Now  body  is  sliding  and  kinetic  friction  acts. Therefore  f =  f  =  kN  =  k  mg  =  0.15  ×    1  ×  9.8  =  1.47  N   k Example Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Length  of  a  uniform  chain  is  L  and  coefficient  of  static  friction  is    between  the  chain  and  the  table  top.  Calculate the  maximum  length  of  the  chain  which  can  hang  from  the  table  without  sliding. Solution Let  y  be  the  maximum  length  of  the  chain  that  can  hang              without  causing  the  portion  of  chain  on  table  to  slide. Length  of  chain  on  the  table  =  (L  –  y) Weight  of  part  of  the  chain  on  table  M L  y g L M Weight  of  hanging  part  of  the  chain   yg L For  equilibrium  with  maximum  portion  hanging,  limiting  friction  =  weight  of  hanging  part  of  the  chain  M L  y g  M yg   y  L L L 1 22 E

JEE-Physics Example An  insect  crawls  on  the  inner  surface  of  hemispherical  bowl  of  radius  r.  If  the  coefficient  of  friction  between  an insect  and  bowl  is    and  the  radius  of  the  bowl  is  r,  find  the  maximum  height  to  which  the  insect  can  crawl  up. Solution The  insect  can  crawl  up,  the  bowl  till  the  component  of  its  weight  tangent  to  the  bowl  is  balanced  by  limiting frictional  force.  Fn  0  N  mg cos  ...(i)  F  0  fsm  mgin ...(ii) Force  of  limiting  friction  f  =  N ...(iii) ...(iv) sm From  equation  (i),  (ii)  and  (iii),  tan  =   h  r  r cos   r 1  1  1  2   Example A  body  of  mass  M  is  kept  on  a  rough  horizontal  ground  (static  friction  coefficient  =  s).  A  person  is  trying to  pull  the  body  by  applying  a  horizontal  force  F,  but  the  body  is  not  moving.  What  is  the  contact  force between  the  ground  and  the  block. Solution Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Therefore   Mg  R  Mg 1+ 2s Example A  block  rest  on  a  rough  inclined  plane  as  shown  in  fig.  A  horizontal  force  F is  applied  to  it  (a)  Find  the  force  of  normal  reaction,  (b)  Can  the  force  of  friction be  zero,  if  yes  when?  and  (c)  Assuming  that  friction  is  not  zero  find  its  magnitude and  direction  of  its  limiting  value. 23 E

JEE-Physics Solution (a)   Fy  0  N  mg cos   F sin  (b)   Fx  0  F cos   mg sin   F  mg tan  (c)  Limiting  friction  fsm  =  µN  =  µ  (mgcos  +  Fsin); It  acts  down  the  plane  if  body  has  tendency  to  slide  up  and  acts  up  the  plane  if  body  has  tendency  to  slide down. Example Two  blocks  with  masses  m1=1  kg  and  m2  =  2  kg  are  connected by  a  string  and  slide  down  a  plane  inclined  at  an  angle  =45°  with the  horizontal.  The  coefficient  of  sliding  friction  between  m1  and  plane is  1=0.4  and  that  between  m2  and  plane  is  2=0.2.  Calculate  the common  acceleration  of  the  two  blocks  and  the  tension  in  the  string. Solution As  2  <  1,  block  m2  has  greater  acceleration  than  m1  if  we  separately  consider  the  motion  of  blocks. But  they  are  connected  so  they  move  together  as  a  system  with  common  acceleration. So  acceleration  of  the  blocks  : a  =  m1  m2  g sin   1m1g cos   2m2g cos  m1  m2 1  2  10   1   0.4 1  10  1  0.2  2  10  1 22  2  2 2=       = ms–2 12 32 For  block  m2  :  m2gsin  – 2m2g cos  –T  =  m2a    T =  m2gsin  – 2m2g cos   m2a =  2×10×  1 1 –  2×  22   =  2N 2   –  0.2  ×  2  ×  10  ×  2 32 32 Example Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 A  block  of  mass  m  rests  on  a  rough  horizontal  surface  as  shown  in  figure  (a)  and  (b).  Coefficient  of  friction between  block  and  surface  is  .  A  force  F  =  mg  acting  at  an  angle    with  the  vertical  side  of  the  block.  Find  the condition  for  which  block  will    move  along  the  surface. 24 E

JEE-Physics Solution For  (a)  :  normal  reaction  N  =  mg  –  mg  cos   frictional  force  =  N  =  (mg  –  mg  cos  ) Now  block  can  be  pulled  when  :  Horizontal  component  of  force >  frictional  force i.e. mg sin  > (mg – mg cos ) or 2 sin  cos   (1  cos )                   22 or 2 sin  cos   2 sin2   or  cot    22 2 2 For  (b)  :  Normal  reaction  N  =  mg  +  mg  cos    =  mg  (1  +  cos  ) Hence,  block  can  be  pushed  along  the  horizontal  surface  when horizontal  component  of  force  >  frictional  force i.e. mg sin   > mg(1  + cos  ) or 2 sin  cos     2 cos2    tan    Example 22 22 A  body  of  mass  m  rests  on  a  horizontal  floor  with  which  it  has  a  coefficient  of  static  friction  . It  is  desired  to  make  the  body  move  by  applying  the  minimum  possible  force  F.  Find  the  magnitude  of  F  and  the direction  in  which  it  has  to  be  applied. Solution Let the force F be applied at an angle with the horizontal as shown in figure.          Fy  0   N = mg – F sin  ...(i) N = mg –  F sin  ...(i)  Fx  0    F  cos    >  f  F  cos    >  N        [as  f  =  N] ...(ii) sm sm Substituting  value  of  N  from  equation  (i)  in  (ii), F  mg ...(iii) (cos    sin ) Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 For  the  force  F  to  be  minimum  (cos    +   sin  )  must  be  maximum, mg maximum value of cos  + sin  is  1  2  so that  Fmin  1  2  with  = tan–1  () Example A  book  of  1  kg  is  held  against  a  wall  by  applying  a  force  F  perpendicular  to  the  wall.  If  µS  =  0.2,  what is  the  minimum  value  of  F  ? E 25

JEE-Physics Solution The  situation  is  shown  in  fig.  The  forces  acting  on  the  book  are–                                  ` For  book  to  be  at  rest  it  is  essential  that   Mg  =  fs But    fs max  =  µSN and  N  =  F    Mg  =  µSF     F  Mg   =  1  9.8   =  49  N s 0.2 Example A  is  a  100  kg  block  and  B  is  a  200  kg  block.  As  shown  in  fig.,  the      block  A  is  attached  to  a  string  tied  to  a  wall.  The  coefficient  of  friction  between A  and  B  is  0.2  and  the  coefficient  of  friction  between  B  and  floor  is  0.3.  Then calculate  the  minimum  force  required  to  move  the  block  B.(g  =10  m/s2). Solution When  B  is  tied  to  move,  by  applying  a  force  F,  then  the  frictional  forces  acting  on  the  block  B  are  f1  and f2  with  limiting  values,  f1  =  (µS)AmAg  and  f2  =  (µS)B  (mA  +  mB)g Then  minimum  value  of  F  should  be  (for  just  tending  to  move), F  =  f1  +  f2  =  0.2  ×  100  g  +  0.3  ×  300  g    =  110  g  =  1100  N Example In  the  given  figure  block  A  is  placed  on  block  B  and  both  are  placed              A   on  a  smooth  horizontal  plane.  Assume  lower  block  to  be  sufficiently  long. s=0.2,k=0.1 10kg B 20kg F The  force  F pulling  the  block  B horizontally is increased according to smooth law  F  =  10t  N (a) When  does  block  A  start  slipping  on  block  B?  What  will  be  force  F  and  acceleration  just before slipping  starts? (b)  When  F  is  increased  beyond  the  value  obtained  in  part  (a),  what  will  be  acceleration  of  A  ? (c)  Draw  acceleration-time  graph. Solution Direction  of  friction  forces Block  A  moves  forward  always,  due  to  friction,  therefore  friction  on  it  must  be  in Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 A forward  direction. f B f F Friction  between  two  adjacent  surfaces are  equal  and  opposite  because  they  make Newton's  is  third  law  action  reaction  pair. Range  of  Value  of  friction Before  slipping  starts,  friction  is  static  f   <  20  N s After  slipping  starts,  friction  is  kinetic  f   =  10  N k 26 E

JEE-Physics Maximum  possible  acceleration A  can  accelerate  only  due  to  friction,  its  maximum  possible  acceleration  is  a (when  f   =  f   =  20  N) AM  s sm mAg=100N A =A maA=10aAM Block  A fsm=20N   S o   20   =  1 0 a     a   =   2   m / s 2 N1=100N AM AM Sequence  of  slipping  : Since ground is smooth, block B first starts slipping on  the ground and carries A together with it. When acceleration of  A  &  B  becomes  equal  to  a ,  Block  A  starts  slipping  on  B. AM ( a ) Just  before  the  moment  A  starts  slipping,  both  were  moving  together  with  acceleration  a . AM Considering  them  as  a  one  body. A A (mA+mB)aAM=60 F=10t B B (On a  smooth  stationary  surface  we  will not  show  the  normal  forces i.e. FBD of combined  block showing  horizontal forces  only). Value  of  F F  =  60  N and  Time 10t  = 60   t  =  6s ( b ) If  F  is  increased  beyond  60  N,  A  slides  and  kinetic  friction  acts  on  it.  Now  acceleration  of  A A= A     1 0   =  1 0 a      a  =   1   m / s 2 fk=10 A 10aA A ( c ) When  F  <  60  N,  both  are  moving  with  same  acceleration  a.  We  treat  them  as  one  body. AA 30a    So  10t  =  30a  a  =  1 t 3 B F=10t= B This  acceleration  increases  to  a   =  2  m/s2,  when  F  =  60  N  at  t  =  6  s.  Thereafter  A  starts  slipping  and  its AM acceleration  provided  by  kinetic  friction,  drops  to  a  constant  value  a   =  1  m/s2.  However  acceleration  of  B  keeps A on  increasing  according  to  equation 10 B 20aB 11 F=10t 1 0 t   –  1 0   =  20a     a  =   t  B B 2 2 B= Graph  between  acceleration  and  time Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 E 27

JEE-Physics Example Block  A  is  placed  on  another  block  B,  which  rests  on  a  rough  horizontal  ground.  Horizontal  force  F  pulling  the block  B  is  increased  gradually. A  s=0.2, k=0.1 10kg F B 20kg  s=0.3, k=0.2 (a) Find  the  maximum  value  of  F  so  that  no  motion  occurs. (b) Find  maximum  F  so  that  A  does  not  slide  on  B. (c) If  F  is  increased  beyond  the  value  obtained  in  part  (b)  what  are acceleration  of  both  the  blocks  ?  Explain  your  answer  in  terms  of  F. (d) If  F  is  increased  according  to  law  F  =10t  N  draw  a–t  graph Solution Directions  of  friction  forces                                   Range  of  values  of  frictional  forces A  A f   =  10  N  (A  is  slipping) 1k f1 f   =  20  N  (A  is  not  slipping) 1s B F B f1 f2 F f  = 60 N  (B is slipping) 2k f2 Before  B  starts  slipping         After  B  starts  slipping f   <  90  N  (B  is  at  rest) 2s Maximum  possible  acceleration    :  A  can  move  only  due  to  friction.  Its  maximum  possible  acceleration  is Block A           A =A 10aAm  aAm=2 m/s2 f1 sm=20 Sequence  of  slipping    :  When  F  >  f block  B  starts  slipping  on  ground  and  carries  block  A  together  with 2s  ,  it  till  its  acceleration  reaches  value  a .  Thereafter  A  also  starts  slipping  on  B. AM ( a) F  =  90  N ( b ) When  A  does  not  slide  on  B,  both  move  with  the  same  acceleration  (a )  and  can  be  treated  as  one  body,  which Am can  have  maximum  acceleration  a =  2  m/s2. AM  A A (10+20)×  2 F =B B F  –  60  =  60    F  =  120  N              f2k=60 ( c ) When  F  is  increased  beyond  F  =  120  N,  block  A  starts  sliding  and  friction  between  A  &  B  drops  to  f   =  10 Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 1K N.  Both  the  blocks  now  move  with  different  acceleration  so  we  treat  them  separate  bodies.  Now  acceleration A  also  drops  to  a  constant  value  a . A Acceleration  of  A  : A = A 10aA           10  =  10  a   a  =  1  m/ s2 A A Acceleration  of  B  : f1k = 10 20aB        So  F–70  =  20aB   a B  F  70 f1k=10 20 F= f2k=60 28 E

JEE-Physics ( d ) If  F  =  10t,  values  of  acceleration  of  both  the  blocks  in  different            time  intervals  are  as  under: • F  <  90  N   t  <  9  s a   =  a   =  0 AB • 90  N  <  F  <  120  N 9  s  <  t  <  12  s t a   =  a   =  2 A B3 In  the  interval  both  the  blocks  move  as  one  body F=10t = 30a   a  10t  60  t  2 30 3 60 • F > 120 N   t  >  12s a   =  1;  aB  t  3.5 A 2 Example Block  A  is  placed  on  another  block  B,  which  rests  on  a  rough  horizontal  ground.  Horizontal  force  pulling  A  is increased  gradually A  s=0.6, k=0.5 10kg F B 10kg s=0.2,k=0.1 (a) Find  maximum  F  so  that  none  of  the  blocks  move.  Which  block  starts  sliding  first  ? (b) Express  acceleration  of  each  block  as  function  of  F  for  all  positive  values  of  F. (c) If  F=10t  draw  a-t  graph Solution Range  of  values  of  friction  forces Directions  of  friction  forces f1 F f   <  60  N 1s f1 f2 f   = 50  N 1k f   <  40  N 2s f   = 20  N 2k Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 M a x i m u m  p o s s i b l e  a c c e l e r a t i o n  o f  B  :  B l o c k  B  a c c e l e r a t i o n  d u e  t o  f r i c t i o n  o n l y .  I t s  m a x i m u m  a c c e l e r a t i o n  i s B f1s=60 B 10aBm 6 0 – 2 0   =   1 0 a   a   =   4   m / s 2 f2k=20 = m Bm  B Sequence  of  slipping  :  Smaller,  limiting  friction  is  between  B  and  ground  so  it  will  start  sliding  first.  Then  both will  move  together  till  acceleration  B  reaches  its  maximum  possible  values  4  m/s2.  Thereafter  A  starts  sliding on  B E 29

JEE-Physics ( a ) Till  the  F  reaches  the  limiting  friction  between  block  B  and  the  ground  none  of  the  blocks  move. AF B =0   F  =  40  N f2 Sm=40 (b) If   F   <  4 0    a  =   a = 0 ...(i) A B If F > 40 N, block B starts sliding and carries A together with it with the same acceleration till acceleration reach to 4 m/s2. At this moment A starts slipping.  Before this moment we may treat both of them as single body. A FA 20aAB    F  –  20  =  20a    a  aA  aB  F  20 B =B AB AB 20 20 When  A  starts  sliding  on  B,  a   =  a   =4,  from  the  above  equation,  we  have  F  =  100  N. AB When  F    100  N  block  A  also  starts  slipping  on  B  and  friction  between  A  &  B  drops  to  value  50  N. Now  since  they  move  with  different  acceleration  we  treat  them  separately. F 10aA F  50 A =A Block  A   aA  10 50 Block  B 50 10aB   a B  50  20  3 m/s2 B =B 10 20 a (m/s2)  t–5 = (c) F  <  40  N   t  <  4  s a   =  a   =  0         a AB 5 A 40  <  F  <  100 4  <  t  <  10 t 3 aB a   =  a   =  –1 4 10 1 t (s) A B2 0 a =t  –5,  a   =  3  m/s2 100  <  F   t  >  10 AB Example Block  A  is  placed  on  B  and  B  is  placed  on  block  C,  which  rests  on  smooth  horizontal  ground  as  shown  in  the figure. Block  A  is  pulled  horizontally  by  a  force  F  which  increases  gradually. A Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 =0.1 10kg B 20kg =0.2 C 30kg F =0 (a)  Decide  sequence  of  slipping. (b)  If  F  is  increased  gradually  find  acceleration  of  each  block  for  all  values  of  F. (c)  If  F  =  15t  N,  draw  a–t  graph. 30 E

JEE-Physics Solution Direction  of  friction  forces  : Range  of  values  of  friction  forces A f1 f1 f   <  10 N  (A  does  not  slides  on  B) 1 B F f1  =  10  N    (A  slides  on  B) f2 f   <  60  N    (B  does  not  slides  on  C) C 2 f2 f   =  60  N    (B  slides  on  C) 2 Maximum  possible  acceleration  :  Blocks  A  and  B  move  due  to  friction  forces  only,  we  find  their  maximum possible  acceleration. Block  A  A = A 10aAm   a   =  1  m/s2   Am f1sm=10 Block  B 10 20aBm a Bm  60  10  2.5 m / s2 B =B 20 60 (a) Sequence  of  slipping Since  ground  is  smooth  the  block  C  starts  sliding  first A  starts  slipping  on  B  secondly  till  that  moment  all  the  three  blocks  move  with  same  acceleration,  which  can achieve  maximum  value  of  a   =  1  m/s2. AM Thirdly  B  starts  sliding  on  C,  till  that  moment  B  &  C  move  with  the  same  acceleration  a   =  2.5  m/s2 Bm ( b ) Before  A  starts  slipping,  all  the  three  were  moving  with  the  same  acceleration  a   =  1  m/s2.  We  therefore AM treat  then  as  a  single  body. A A 60aABC F  B   aABC  60 =B C F C When  A  starts  sliding a   <  a     F  < 1  F < 60  N AB C AM 60 When  F    60  N,  block  A  starts  slipping  on  B  and  its  acceleration  decided  by  friction  f ,  achieves  a  constant  value 1 a   =  1  m/s2. A Now,  F  is  increased  beyond  60  N  and  B  and  C  will  continue  to  move  together  till  their  acceleration  a   becomes BC aBm  =  2.5  m/s2,  when  slipping  between  B  and  C  starts.  Till  this  moment,  we  treat  B  and  C  as  one  body. Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 10 B B (20+30)aBC       aBC  F  10 C F= C 50 When  slipping  between  B  &  C  starts  :  a   =  a    F  10 =  2.5    F    135  N BC Bm 50 When  F  >  135  N,  block  B  also  starts  slipping  on  C.  Now  acceleration  of  A  &  B  achieves  the  maximum  value a   =  2.5  m/s2  and  acceleration  of  block  C  is  decided  by  F. Bm E 31

JEE-Physics 60 F = C 30aC F  60 C    F  –  60  =  30  aC   aC  =  30 Acceleration  of  blocks  for  different  values  of  force. • F    60  N a   =  a   =  a =  a   =  F A B C ABC 60 • 60  <  F    135  N a   =  a   =  1  m/s2,  a   =  a   =  a   =  F  10 A Am B C BC 50 • 135  <  F a   =  a =1,  a   =  a   =  2.5,  and  a   =  F  60 A Am B Bm C 30 (c) If F  = 15t a(m/s2) • F  60 t   4  s Ft t–2 a   =  a   =  a   =  =  =  0.25t 0.5 A B C 60 4 = • 60  <  F    135 4  <  t    9 a   =  1  m/s2 a A C F  10 2.5 0.3t–0.2 aB 2 aA a   =  a   =  =  0.3t  –  0.2 1 0.25t t(s) BC 50 • 135  <  F 9  <  t a   =  1  m/s2 A 4s 9s a   =  2.5  m/s2 B F  60 aC  =  30 =  0.5t  –  2 Inertial  and  Non-inertial  Reference  Frames Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 A  body  is  observed  in  motion,  when  it  changes  its  position  or  orientation  relative  to  another  body  or  another  set of  bodies.  A  frame  of  reference  consists  of  a  set  of  coordinate  axes  fixed  with  the  body  relative  to  which  the motion  is  observed  and  a  clock.  The  coordinate  axes  are  required  to  measure  position  of  the  moving  body  and the  clock  is  required  to  measure  time. All  the  kinematical  variables  position,  velocity,  and  acceleration  are  measured  relative  to  a  reference  frame; therefore  depend  on  the  state  of  motion  of  the  reference  frame  and  we  say  that  motion  is  essentially  a  relative concept.  When  the  reference  frame  and  a  body  both  are  stationary  or  move  identically,  the  body  is  observed stationary  relative  to  the  reference  frame.  It  is  only  when  the  reference  frame  and  the  body  move  in  different manner,  the  body  is  observed  moving  relative  the  reference  frame. Now  think  about  the  whole  universe  where  the  planets,  stars,  galaxies  and  other  celestial  bodies  all  are  in motion  relative  to  each  other.  If  any  one  of  them  can  be  assumed  in  state  of  rest,  we  can  attach  a  reference frame  to  it  and  define  motion  of  all  other  bodies  relative  to  it.  Such  a  body,  which  we  assume  in  state  of  rest  with respect  to  all  other  bodies  in  the  universe,  is  known  in  absolute  rest  and  the  reference  frame  attached  to  it  as most  preferred  reference  frame.  Unfortunately,  the  very  notion  of  the  reference  frame  and  the  idea  motion  as a  relative  concept,  make  it  impossible  to  find  a  body  anywhere  in  the  universe  at  absolute  rest.  Therefore,  the idea  of  absolute  rest  and  a  preferred  reference  frame  become  essentially  meaningless.  Now  we  can  have  only two  categories  of  reference  frames.  In  one  category,  we  can  have  reference  frames  that  move  with  uniform velocities  and  in  the  other  category;  we  can  have  reference  frames  that  are  in  accelerated  motion. To  understand  the  above  ideas  let  us  think  an  experiment.  Consider  a  closed  container  on  a  goods  train  either at  rest  or  moving  with  constant  velocity  v   on  a  level  track.  The  floor  of  the  container  is  smooth  and  a  block  is o placed  in  the  center  of  the  container.  We  observe  the  situation  relative  to  two  reference  frames,  one  fixed  with 32 E

JEE-Physics the  ground  and  other  fixed  with  the  container.  Relative  to  the  ground  frame  both  the  container  and  the  block are  at  rest  or  move  together  with  the  same  velocity  and  relative  to  the  container  frame  the  block  is  at  rest  as shown  in  the  figure. vo a t=0s 1 at 2 2 vot 1 at2 a vot  1 at2 2 2 1 at2 t s        Uniformly moving container accelerates 2 Container accelerates from restNode-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Now  let  the  driver  of  the  train  accelerates  the  container  at  uniform  rate  a.  If  the  train  were  initially  at  rest, relative  to  the  ground,  the  block  remains  at  rest  and  the  container  moves  forward.  Relative  to  the  container  the block  moves  backwards  with  the  same  magnitude  of  acceleration  as  with  the  container  moves  forward.  If  the train  were  initially  moving  uniformly,  relative  to  the  ground  the  block  continues  to  move  with  the  same  original velocity  and  train  accelerates  and  becomes  ahead  in  space.  Relative  to  the  container  the  block  appears  moving backward  with  acceleration  that  is  equal  in  magnitude  to  the  acceleration  of  the  container. Now  consider  a  man  sitting  on  a  fixed  chair  in  the  container.  He  is  always  stationary  relative  to  the  container.  If he  does  not  look  outs  side,  in  no  way  he  can  know  whether  the  container  is  at  rest  or  moving  uniformly. However,  he  can  definitely  say  whether  the  container  accelerates  or  not,  by  observing  motion  of  the  block relative  to  the  container.  Because  net  forces  acting  on  the  block  are  still  zero,  therefore  observed  acceleration of  the  block  can  only  be  due  to  acceleration  of  the  container  as  per  Newton’s  laws  of  motion. Now  we  can  conclude  that  there  can  be  only  two  kinds  of  reference  frames  either  non-accelerated  or  accelerated. The  reference  frames  that  are  non-accelerated  i.e.  at  rest  or  moving  with  uniform  velocities  are  known  as inertial  reference  frames  and  those  in  accelerated  motion  as  non-inertial  reference  frames. Inertial  Reference  Frames  and  Newton’s  laws  of  motion In  Newton’s  laws  of  motion,  force  is  conceived  as  two-body  interaction  that  can  be  the  only  agent  producing acceleration  in  a  body.  As  far  as  we  observe  motion  of  a  body  from  an  inertial  frame,  any  acceleration  observed in  a  body  can  only  be  due  to  some  forces  acting  on  the  body.  All  the  three  laws  are  in  perfect  agreement  with the  observed  facts  and  we  say  that  all  the  laws  holds  true  in  inertial  reference  frames. Non-Inertial  Reference  Frames  and  Newton’s  laws  of  motion A  body  if  at  rest  or  in  uniform  velocity  motion  relative  to  some  inertial  frame  net  forces  acting  on  it  must  be zero.  Now  if  motion  of  the  same  body  is  observed  relative  to  a  non-inertial  frame,  it  will  be  observed  moving with  acceleration  that  is  equal  in  magnitude  and  opposite  in  direction  to  the  acceleration  of  the  non-inertial frame.  This  observed  acceleration  of  the  body  is  purely  a  kinematical  effect.  But  to  explain  this  observed acceleration  relative  to  the  non-inertial  frame  according  to  Newton’s  laws  of  motion,  we  have  assume  a  force must  be  acting  on  the  body.  This  force  has  to  be  taken  equal  to  product  of  mass  of  the  body  and  opposite  of acceleration  vector  of  the  non-inertial  frame.  Since  this  force  is  purely  an  assumption  and  not  a  result  of interaction  of  the  body  with  any  other  body,  it  is  a  fictitious  force.  This  fictitious  force  is  known  as  pseudo  force or  inertial  force. E 33

JEE-Physics Until  now,  we  have  learnt  the  idea  that  how  we  can  apply  Newton’s yy laws of motion in non-inertial frame to a body in  equilibrium in inertial x ao x A B frame.  Now  it  is  turn  to  discuss  how  we  can  apply  Newton’s  laws  of Reference frames A is an inertial frame and B motion  to  analyze  motion  in  non-inertial  frame  of  a  body,  which  is  in is  a  n o n  in e rtia l fr a m e . accelerated  motion  relative  to  an  inertial  frame.  Consider  a  net  physical  force  F   in  positive  x-direction  applied  on the  box.  Here  by  the  term  physical  force,  we  refer  forces  produced by  two  body  interactions.  Relative  to  inertial  frame  A,  the  box  is F =  ma ma observed  to  have  an  acceleration     / m   defined  by  the  second a F law  of  motion  and  a  force  equal  in  magnitude  and  opposite  in A  n e t ph y sic a l fo rce   im p a rts  a c ce le ra tio n   to    the box in inertial frame A. direction  to  F   can  be  assigned  to  the  body  exerting  F   on  the  box constituting  Newton’s  third  law  pair.  All  the  three  laws  of  motion hold  equally  well  in  inertial  frame  A. F  Fo maB Relative  to  non-inertial  frame  B,  the  box  is  observed  moving  in A net physical force  and pseudo force  imparts    a cce le ra tio n  to  th e  b ox  in  n on -in e rtia l fra m e  B . x-direction  with  acceleration  a B  a  a o ,  which  can  satisfy  Newton’s  second  law,  only  if  the  fictitious  force  Fo  mao   is  assumed  acting  together  with  the  net  physical  force  F   as  shown  in  the  figure.  Now we  can  write  modified  equation  of  Newton’s  second  law  in  non- inertial  frame.   F  Fo  maB  F  Fo  ma B From  the  above  discussion,  we  can  conclude  that  in  non-inertial  frames  Newton’s  second  law  is  made  applicable by  introducing  pseudo  force  in  addition  to  physical  forces.  The  pseudo  force  equals  to  the  product  of  mass  of the  concerned  body  and  the  acceleration  of  the  frame  of  reference  in  a  direction  opposite  to  the  acceleration of  the  frame  of  reference. Practical  inertial  frame  of  reference Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 The  definition  of  an  inertial  frame  of  reference  is  based  on  the  concept  of  a  free  body  in  uniform  velocity  motion or  absolute  rest.  It  is  impossible  to  locate  a  body  anywhere  in  the  universe,  where  forces  from  all  other  bodies exactly  balance  themselves  and  lead  to  a  situation  of  uniform  velocity  motion  according  to  the  first  law.  Thus, we  cannot  find  anywhere  in  the  universe  a  body,  to  which  we  attach  a  frame  of  reference  and  say  that  it  is  a perfect  inertial  frame  of  reference.  It  is  the  degree  of  accuracy,  required  in  analyzing  a  particular  physical situation  that  decides  which  body  in  the  universe  is  to  be  selected  a  preferred  inertial  frame  of  reference. The  earth  and  other  planets  of  the  sun  are  rotating  about  their  own  axis  and  revolving  around  the  sun  and  the sun  is  moving  too.  In  fact,  all  celestial  bodies  in  the  universe  the  sun,  its  planets,  other  stars,  our  galaxy  the Milky  Way,  and  other  galaxies  are  in  accelerated  motion  whose  nature  is  not  known  exactly.  Therefore,  none of  them  can  be  used  as  a  perfect  inertial  frame  of  reference.  However,  when  the  acceleration  of  any  one  of  the above-mentioned  celestial  bodies  becomes  negligible  as  compared  to  the  accelerations  involved  in  a  physical situation,  a  frame  of  reference  attached  with  the  corresponding  celestial  body  may  be  approximated  as  an inertial  frame  of  reference  and  the  physical  situation  under  consideration  may  be  analyzed  with  acceptable degree  of  accuracy. The  centripetal  acceleration  due  to  rotation  of  the  earth  at  any  point  on  its  surface  varies  from  zero  at  the  poles to  a  maximum  value  of  approximately  0.034  m/s2  at  the  equator.  The  physical  phenomena,  which  we  usually observe  describe  motion  of  a  body  on  or  near  the  earth  surface  such  as  motion  of  transport  vehicles,  short- 34 E

JEE-Physics range  missiles,  an  oscillating  pendulum  etc.  In  these  phenomena,  the  acceleration  due  to  rotation  of  the  earth may  be  neglected  and  a  frame  of  reference  attached  at  any  point  on  the  earth  surface  may  be  considered  as a  preferred  inertial  frame  of  reference.  If  the  moving  body  is  at  considerable  distance  from  the  earth  as  in  the case  of  satellites,  long-range  missiles  etc.,  the  effect  of  rotation  of  the  earth  become  significant.  For  these situations  or  like  ones  we  can  attach  the  frame  of  reference  at  the  earth’s  center  and  consider  it  as  an  inertial frame  of  reference.  In  astronomical  field  and  space  exploration  programs,  we  require  very  high  accuracy. Therefore,  a  frame  of  reference  attached  to  distant  stars  is  used  as  an  inertial  frame  of  reference.  These  stars are  situated  at  such  a  vast  distance  from  the  earth  that  they  appear  as  a  motionless  point  source  of  light  thus closely  approach  to  the  condition  of  absolute  rest. Example A  pendulum  of  mass  m  is  suspended  from  the  ceiling  of  a  train  moving  with  an  acceleration  'a'  as  shown in  figure.  Find  the  angle    in  equilibrium  position. Solution Non–inertial  frame  of  reference  (Train) Tcos T ma   mg' mg O' ma a Tsin F.B.D. of bob mg F.B.D.  of  bob  w.r.t.  train.  (physical  forces  +  pseudo  force)  :  with  respect  to  train,  bob  is  in  equilibrium  Fy  =  0    T  cos    =  mg    and  Fx  =  0    T  sin    =  ma  tan   a       tan 1  a g  g  Example The  weight  of  a  body  is  simply  the  force  exerted  by  earth  on  the  body.  If  body  is  on  an  accelerated  platform, the  body  experiences  fictitious  force,  so  the  weight  of  the  body  appears  changed  and  this  new  weight  is called  apparent  weight.  Let  a  man  of  weight  W  =  Mg  be  standing  in  a  lift. We  consider  the  following  cases  : (a)          (b)         (c)         (d) a > g a=0 a a<g g g g g Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 W´ = M(g – a) W´ = –M (g – a)    (Negative) W´ = Mg W´ = M(g + a) Case If  the  lift  moving  with  constant  velocity  v  upwards  or  downwards.  In  this  case    there  is  no  accelerated (a) motion  hence  no  pseudo  force  experienced  by  observer    inside  the  lift.    So  apparent  weight  W´  = Mg  Actual  weight. E 35

JEE-Physics ( b ) If  the  lift  is  accelerated  upward  with  constant  acceleration  a.  Then  net  forces  acting  on  the man  are  (i)  weight  W  =  Mg  downward  (ii)  fictitious  force  F0=Ma  downward. So  apparent  weight    W´  =  W  +  F0 =  Mg  +  Ma  =  M(g  +  a) ( c ) If  the  lift  is  accelerated  downward  with  acceleration  a  <  g  .  Then  fictitious  force  F0  =  Ma  acts  upward while  weight  of  man  W  =  Mg  always  acts  downward.    So  apparent  weight      W´=W+F0 =  Mg  –  Ma =  M(g–a) Special  Case  : If  a  =  g  then  W´  =  0  (condition  of  weightlessness).Thus,  in  a  freely  falling  lift  the  man  will  experience weightlessness. ( d ) If  lift  accelerates  downward  with  acceleration  a  >  g  .  Then  as  in  Case  c  .  Apparent  weight  W´  =M(g– a)  is  negative,  i.e.,  the  man  will  be  accelerated  upward  and  will  stay  at  the  ceiling  of  the  lift. Example A  spring  weighing  machine  inside  a  stationary  lift  reads  50  kg  when  a  man  stands  on  it.  What  would  happen to  the  scale  reading  if  the  lift  is  moving  upward  with  (i)  constant  velocity,  and  (ii)  constant  acceleration? Solution (i)  In  the  case  of  constant  velocity  of  lift,  there  is  no  fictitious  force;  therefore  the  apparent  weight             =  actual  weight.  Hence  the  reading  of  machine  is  50  kgwt. (ii)  In  this  case  the  acceleration  is  upward,  the  fictitious  force  ma  acts  downward,  therefore  apparent    weight   is  more  than  actual  weight  i.e.  W´=  m  (g  +  a). Hence  scale  shows  a  reading  =  m  (g  +  a)  =  mg 1  a    50  50a  kg wt.  g   g  g    Example Two  objects  of  equal  mass  rest  on  the  opposite  pans  of  an  arm  balance.  Does  the  scale  remain  balanced when  it  is  accelerated  up  or  down  in  a  lift? Solution Yes,  since  both  masses  experience  equal  fictitious  forces  in  magnitude  as  well  as  direction. Example A  passenger  on  a  large  ship  sailing  in  a  quiet  sea  hangs  a  ball  from  the  ceiling  of  her  cabin  by  means  of  a  long thread.  Whenever  the  ship  accelerates,  she  notes  that  the  pendulum  ball  lags  behind  the  point  of  suspension and  so  the  pendulum  no  longer  hangs  vertically.  How  large  is  the  ship’s  acceleration  when  the  pendulum  stands at  an  angle  of  5°  to  the  vertical? Solution T cos T The  ball  is  accelerated  by  the  force  T  sin5°. Therefore  T  sin5°  =  ma 5° Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Vertical  component  F  =  0,  so  T  cos5°  =  mg T ma 5° ma FBD of ball T sin  By  solving  a  =  g  tan  5°    =  0.0875  g  =  0.86  m/s² mg mg 36 E

JEE-Physics Example Consider  the  figure  shown  here  of  a  moving  cart  C.  If  the  coefficient            of friction between the block A and the  cart is µ, then calculate the minimum acceleration  a  of  the  cart  C  so  that  the  block  A  does  not  fall. Solution The  forces  acting  on  the  block  A  (in  block  A’s  frame (i.e.  non  inertial  frame)  are  : For  A  to  be  at  rest  in  block  A’s  frame  i.e.  no  fall, We  require W  =  fs  mg  =  µ(ma) Thus  a  = g  Example A  block  of  mass  1kg  lies  on  a  horizontal  surface  in  a  truck,  the coefficient  of  static  friction  between  the  block  and  the  surface  is 0.6,  What  is  the  force  of  friction  on  the  block.  If  the  acceleration of  the  truck  is  5  m/s2. Solution Fictitious  force  on  the  block    F  =  ma  =  1  ×  5  =  5N While  the  limiting  friction  force F  =  sN  =  Smg    =  0.6  ×  1  ×  9.8  =  5.88  N As  applied  force  F    lesser  than  limiting  friction  force.  The  block  will  remain  at  rest  in  the  truck and  the  force  of  friction  will  be  equal  to  5N  and  in  the  direction  of  acceleration  of  the  truck. Dynamics  of  Circular  Motion a Velocity  vector  points  always  tangent  to  the  path  and  continuously  change  its P direction,  as  a  particle  moves  on  a  circular  path  even  with  constant  speed  and give  rise  to  normal  component  of  acceleration,  which  always  points  toward ac the  center  of  the  circular  path.  This  component  of  acceleration  is  known  as centripetal  (center  seeking)  acceleration  and  denoted  by  a .  Moreover,  if  speed C c The centripetal and  tangential accelerations  also  changes  the  particle  will  have  an  additional  acceleration  component  along Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 the  tangent  to  the  path.  This  component  of  acceleration  is  known  as  tangential acceleration  and  denoted  by  a  The  centripetal  acceleration  accounts  only  for  continuous  change  in  the  direction  of  motion  whereas  the  tangential acceleration  accounts  only  for  change  in  speed.  v Consider  a  particle  moving  on  circular  path  of  radius  r.    It  passes  point  O  P with  velocity  v   at  the  instant  t  =  0  and  point  P  with  velocity  v  at  the  instant  t r s o  O C traveling  distance  s  along  the  path  and  angular  displacement   as  shown  in the  figure.  Kinematics  of  this  circular  motion  is  described  in  terms  of  linear variables  as  well  as  angular  variables. E 37

JEE-Physics Kinematics  of  Circular  Motion An g u la r  Va r ia b l es   Lin e a r  V a r ia b l e s   Distance traveled s  A n g ula r disp la ce m e n t   ds Angular velocity    d   Speed  v    dt dt d d2 d dv d2s dv Angular acceleration     dt2    dt d Tangential acceleration  a  dt  dt2  v ds   v2   Centripetal acceleration  aC  r   Relations  between  angular  and  linear  variable  in  circular  motion Distance  traveled s  = r Speed v  = r Tangential  acceleration a  = ar  Centripetal  acceleration aC  v2  2r  v r Application  of  Newton’s  law  in  Circular  Motion v Consider  a  particle  of  mass  m  moving  with  uniform  speed  v  in  a  circle Fc mac of  radius  r  as  shown  in  figure.  It  necessarily  posses  a  centripetal   acceleration  and  hence  there  must  be  a  net  force  F  FC   acting always  towards  the  center  according  to  the  second  law.  This  net  force F   acting  towards  the  center  is  known  as  centripetal  force. C   F  ma  FC  maC When  a  particle  is  whirled  with  the  help  of  a  string  in  a  horizontal  circle,  the  required  centripetal  force  is  the tension  in  the  string.  The  gravitational  attraction  between  a  satellite  and  the  earth,  between  moon  and  the earth,  between  the  sun  and  its  planets,  and  the  electrostatic  attraction  between  the  nucleus  and  electrons  are the  centripetal  forces  and  provide  the  necessary  centripetal  acceleration. Now  consider  a  particle  moving  on  circular  path  with  varying  speed.  The  net  acceleration  has  two  components, the  tangential  acceleration  and  the  centripetal  acceleration.  Therefore,  the  net  force  must  also  have  two components,  one  component  in  tangential  direction  to  provide  the  tangential  acceleration  and  the  other component  towards  the  center  to  provide  the  centripetal  acceleration.  The  former  one  is  known  as  tangential force  and  the  latter  one  as  centripetal  force. v ma v ma Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 F T F T ma T ma T C C F F C C Particle moving with increasing speed. Particle moving with decreasing speed. When  the  particle  moves  with  increasing  speed  the  tangential  force  acts  in  the  direction  of  motion  and  when  the particle  moves  with  decreasing  speed  the  tangential  force  acts  in  direction  opposite  to  direction  of  motion. To  write  equations  according  to  the  second  law,  we  consider  the  tangential  and  the  radial  directions  as  two 38 E

JEE-Physics mutually  perpendicular  axes.  The  components  along  the  tangential  and  the  radial  directions  are  designated  by subscripts  T  and  C. F   =  ma CC F   =  ma TT Example In  free  space,  a  man  whirls  a  small  stone  P  of  mass  m  with  the  help C of  a  light  string  in  a  circle  of  radius  R  as  shown  in  the  figure.  Establish R the  relation  between  the  speed  of  the  stone  and  the  tension  developed in  the  string.  Also,  find  the  force  applied  on  the  string  by  the  man. v P Solution. The  system  is  in  free  space  therefore  no  force  other  than  the  tension  acts  on  the  stone  to  provide  necessary centripetal  force.  The  tension  does  not  have  any  component  in  tangential  direction  therefore  tangential  component of  acceleration  is  zero.  In  the  adjoining  figure  it  is  shown  that  how  tension  (T)  in  the  string  produces  necessary centripetal  force. Applying  Newton’s  second  law  of  motion  to  the  stone,  we  have mv2 FC  ma C  T  ma C  R CT ma c The  end  where  man  holds  the  string  is  stationary  and  tension  applied  by  the  string  to  this  end  is  T  towards  the stone,  therefore  the  man  must  apply  a  force  equal  to  the  tension  in  magnitude  but  in  a  direction  away  from  the stone. mv2 T R Example A  boy  stands  on  a  horizontal  platform  inside  a  cylindrical  container  of  radius  R  resting his  back  on  the  inner  surface  of  the  container.  The  container  can  be  rotated  about the  vertical  axis  of  symmetry.  The  coefficient  of  static  friction  between  his  back  and the  inner  surface  of  the  container  is  s.  The  angular  speed  of  the  container  is  gradually increased.  Find  the  minimum  angular  speed  at  which  if  the  platform  below  his  feet removed,  the  boy  should  not  fall. Solution. As  the  container  rotates  at  angular  speed    the  boy  moves  in  a  circular  path  of  radius  R  with  a  speed  v  =  R. Since  the  angular  speed  is  increased  gradually  the  angular  acceleration  can  be  ignored  and  hence  the  tangential acceleration  of  the  boy  too.  Thus,  the  boy  has  a  centripetal  acceleration  of  2R,  provided  by  the  normal reaction  N  applied  by  the  wall  of  the  container.  The  weight  of  the  boy  is  balanced  by  the  force  of  static  friction. All  these  force  are  shown  in  the  adjoining  figure  where  the  boy  is  shown  schematically  by  a  rectangular  box  of mass  m. fs y x N m2R Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 mg  Fx  ma x  N  m2R ...(i)  Fy  ma y  fs  mg ...(ii) Since  force  of  static  friction  cannot  be  greater  than  the  limiting  friction  SN, we  have fs  sN ...(iii) g   From  the  above  equations,  the  minimum  angular  speed  is  min  sR E 39

JEE-Physics Example A  motorcyclist  wishes  to  travel  in  circle  of  radius  R  on  horizontal  ground  and  increases  speed  at  constant  rate  a. The  coefficient  of  static  and  kinetic  frictions  between  the  wheels  and  the  ground  are     and   .  What  maximum sk speed  can  he  achieve  without  slipping? Solution. The  motorcyclist  and  the  motorcycle  always  move  together  hence v they  can  be  assumed  to  behave  as  a  single  rigid  body  of  mass  equal a to  that  of  the  motorcyclist  and  the  motorcycle.  Let  the  mass  of  this a body  is  m.  The  external  forces  acting  on  it  are  its  weight  (mg),  the normal  reaction  N  on  wheels  from  ground,  and  the  force  of  static C friction  fs.  The  body  has  no  acceleration  in  vertical  direction  therefore; the  normal  reaction  N  balances  the  weight  (mg). C N  =  mg ...(i) The  frictional  force  cannot  exceed  the  limiting  friction. fsm  sN ...(ii) During  its  motion  on  circular  path,  the  only  external  force  in  c horizontal  plane  is  the  force  of  static  friction,  which  is  responsible  to F provide  the  body  necessary  centripetal  and  tangential  acceleration. f ma These  conditions  are  shown  in  the  adjoining  figure  where  forces  in vertical  direction  are  not  shown. s ma F   =  ma ...(iii) F ma  C C mv2 CC FC  ma C  r ...(iv) The above two forces are components of the frictional force in tangential and normal directions. Therefore, we have fs  F2  FC2  m a 2  a 2 ...(v)  C The  centripetal  acceleration  increases  with  increase  in  speed  and  the  tangential  acceleration  remains  constant. Therefore,  their  resultant  increases  with  speed.  At  maximum  speed  the  frictional  force  achieves  its  maximum value  (limiting  friction  f ),  therefore  from  eq.  (i),  (ii),  (iii),  (iv),  and  (v),  we  have sm   v  r2 1 sg 2  a2 4  Circular  Turning  of  Roads When  vehicles  go  through  turnings,  they  travel  along  a  nearly  circular  arc.  There  must  be  some  force  which  will produce  the  required  centripetal  acceleration.  If  the  vehicles  travel  in  a  horizontal  circular  path,  this  resultant force  is  also  horizontal.  The  necessary  centripetal  force  is  being  provided  to  the  vehicles  by  following  three  ways: •  By  friction  only. •  By  banking  of  roads  only. •  By  friction  and  banking  of  roads  both. In  real  life  the  necessary  centripetal  force  is  provided  by  friction  and  banking  of  roads  both. • By  Friction  only Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65   Suppose    a  car  of  mass  m  is  moving  at  a  speed  v  in    a  horizontal  circular  arc  of  radius  r.  In  this  case,  the necessary  centripetal  force  to  the  car  will  be  provided  by  force  of  friction  f  acting  towards  centre. Thus, f  =  mv       f  =N  =  mg r max Therefore,  for  a  safe  turn  without  sliding  mv2  fmax  mv2  mg  v rg r r 40 E

JEE-Physics • By  Banking  of  Roads  only N   Friction  is  not  always  reliable  at  circular  turns  if  high  speeds  and  sharp  turns  are  involved.  To  avoid  dependence  on  friction,  the  roads  are  banked  at  the  turn  so  that  the  outer  part  of  the  road  is  some  what  lifted  compared to  the  inner  part. mg v2  rg N sin   =  mv2   and  N  cos   mg    tan    v rg tan  r • Friction  and  Banking  of  Road  both N f   If  a  vehicle  is  moving  on  a  circular  road  which  is  rough  and  banked     also,  then  three  forces  may  act  on  the  vehicle,  of  these  the  first  force, mg i.e.,  weight  (mg)  is  fixed  both  in  magnitude  and  direction.    The  direction of  second  force,  i.e.,  normal  reaction  N  is  also  fixed  (perpendicular  to  road)  while  the  direction  of  the  third  force,  i.e.,  friction  f  can  be  either  inwards  or  outwards  while  its  magnitude can  be  varied  upto  a  maximum  limit  (fmax  =  N ).  So,  the  magnitude  of  normal  reaction  N  and  direction  plus mv2 magnitude  of  friction  f  are  so  adjusted  that  the  resultant  of  the  three  forces  mentioned  above  is    towards  the r centre. Conical  Pendulum   If  a  small  particle  of  mass  m  tied  to  a  string  is  whirled  in  a  horizontal  circle,  as  shown  in  figure.  The  arrangement is  called  the  'conical  pendulum'.  In  case  of  conical  pendulum  the  vertical  component  of  tension  balances  the weight  while  its  horizontal  component  provides  the  necessary  centripetal  force.  Thus,, mv2 T sin   r   and  T cos   mg v =  rg tan  Angular  speed v g tan    rr So,  the  time  period  of  pendulum  is  T  =  2   =  2 r L cos   g tan    =  2 g Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Example Find  the  maximum  speed  at  which  a  car  can  turn  round  a  curve  of  30  m  radius  on  a  level  road  if  the  coefficient of  friction  between  the  tyres  and  the  road  is  0.4  [acceleration  due  to  gravity  =  10  m/s2] Solution   Here  centripetal  force  is  provided  by  friction  so mv2  mg      v  =  rg   =  120    11  ms–1 max r E 41

JEE-Physics Example For  traffic  moving  at  60  km/hr,  if  the  radius  of  the  curve  is  0.1  km,  what  is  the  correct  angle  of  banking  of  the road  ?  (g  =  10  m/s2) Solution In  case  of  banking  tan   v2   Here  v=  60  km/hr  =  60  ×  5   ms–1  =  50 ms–1  r  =  0.1  km  =  100  m rg 18 3 50 / 3  50 / 3 5 5 So  tan   100  10 = 18      tan 1  18  Example A  hemispherical  bowl  of  radius  R  is  rotating  about  its  axis  of  symmetry  which is  kept  vertical.  A  small  ball  kept  in  the  bowl  rotates  with  the  bowl  without slipping  on  its  surface.  If  the  surface  of  the  bowl  is  smooth  and  the  angle  made by  the  radius  through  the  ball  with  the  vertical  is   .  Find  the  angular  speed  at which  the  bowl  is  rotating. Solution Ncos=mg  and  Nsin  =  mr2   but    r  =R  sin   Nsin  =  mRsin2  mR2   (mR2)  cos  =  mg g   =  R cos  Example N A  car  is  moving  along  a  banked  road  laid  out  as  a  circle  of  radius  r. (a) What  should  be  the  banking  angle     so  that  the  car  travelling  at  speed  v  needs  no  frictional  force  from  the  tyres  to  negotiate  the  turn?  (b) The  coefficients  of  friction  between  tyres  and  road  are  s   =  0.9  and  k mg Solution =  0.8.  At  what  maximum  speed  can  a  car  enter  the  curve  without sliding  towards  the  top  edge  of  the  banked  turn? N  mv2 v2 (a) N sin  =  r   and  Ncos=mg     tan  =  rg mg  Note  :  In  above  case  friction  does  not  play  any  role  in  negotiating  the N turn.  (b) If  the  driver  moves  faster  than  the  speed  mentioned  above,  a  friction force  must  act  parallel  to  the  road,  inward  towards  centre  of  the  turn.  mv2 f Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65  Fcos+Nsin=    and  Ncos  =  mg  +  fsin mg  r For  maximum  speed  of  f  =  N    N  cos   sin    =  mv2   and  N  cos    sin  =  mg r v2 sin    cos   v=   sin    cos   rg    rg  =  cos    sin   cos    sin   42 E

JEE-Physics SOME WORKED OUT EXAMPLES Example  #1 With  what  acceleration  'a'  shown  the  elevator  descends  so  that  the  block  of  mass  M  exerts  a  force  of Mg on the weighing machine? [ g= acceleration due to gravity] 10 a M weighing machine (A) 0.3 g (B) 0.1 g (C) 0.9 g (D) 0.6 g Solution Ans.  (C) N a Mg Mg  Mg 10 FBD of block  :       Mg – N = Ma; Now according to question N =   so a =   0.9 g 10 M Mg Example  #2 An astronaut accidentally gets separated out of his small spaceship accelerating in inter-stellar space at a constant acceleration of 10 m/s2. What is the acceleration of the astronaut at the instant he is outside the spaceship? (A) 10 m/s2 (B) 9.8 m/s2 (C)    0 m/s2 (D) could be anything Solution Ans.  (C) When the astronaut is outside the spaceship, the net external force (except negligible gravitational force due to spaceship) is zero as he is isolated from all interactions. Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Example  #3 If the string is pulled down with a force of 120 N as shown in the figure, then the acceleration of 8 kg block would be (A) 10 m/s2 (B) 5 m/s2 120N 8kg (D) 4 m/s2 E (C) 0 m/s2 43

JEE-Physics Ans.  (B) Solution 120  FBD of 8 kg block  a 120  80  = 5 m/s2   a =  8 8g Example  #4 In the shown situation, which of the following is/are possible? F1 m1=60kg K=1000 N/m m2=40kg F2 smooth horizontal\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ surface (A) Spring force = 52 N, if F1 = 40 N and F2 = 60 N Ans.  (A,B,D) (B) Spring force = 52 N, if F1 = 60 N and F2 = 40 N (C) Spring force = 0, if F1 = F2 = 100 N (D) Spring force  0, if F1 = 0.2 N and F2 = 0.3 N Solution If F1  F2, then system will move with acceleration so spring force  0 F2  F1 20  1 m/s2 If F1 = 40 N & F2 = 60 N then a =  m1  m2  5 100 1 and spring force = F1 + m1a = 40 +  5 (60) = 52 N If F1 = 60 N & F2 = 40 N then spring force = 52 N Example  #5 As shown in figure, the left block rests on a table at distance  from   the edge while the right block is kept at the same level so that thread is unstretched and does not sag and then released. What will happen first ?   m m (A) Left block reach the edge of the table (B) Right block hit the table (C) Both (A) & (B) happens at the same time (D) Can't say anything Solution Ans.  (A) Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 Net force in horizontal direction is more for left block so it will reach the edge of the table first. Example  #6 The force exerted by the floor of an elevator on the foot of a person standing there is less than the weight of the person if the elevator is (A) going up and slowing down (B) going up and speeding up (C) going down and slowing down (D) going down and speeding up Solution Ans.  (A,D) If N < mg then N = m (g–a)  elevator is going down with acceleration or elevator is going up with retardation. 44 E

JEE-Physics Example  #7 If a body is placed on a rough inclined plane, the nature of forces acting on the body is(are) (A) gravitational (B) electromagnetic (C) nuclear (D) weak Solution Ans.  (A,B) When a body is placed on a rough inclined plane, it is acted upon by a reactional force due to plane [electromagnetic in nature], a frictional force due to roughness of plane [ electromagnetic in nature] and a gravitational force (due to its weight). Example  #8 AB C F1 m1 m2 For shown situation let m F2 3 N  = Normal reaction between A & B                        smooth 1 N  = Normal reaction between B & C 2 Which of the following statement (s) is/are correct ? (A)  I f F   > F   the n N    N  an d  F  <  N1N2  < F (B) If F  < F  then N  > N 1 12 21 1 2 1 2 2 (C) If F  = F  then N  = N (D )  If F  =  F  then  N    N 12 12 1 1 2 2 Solution Ans. (A, B, C) If F  > F , the system moves towards right so N  < F , N  < N  & F  < N 12 1 12 1 2 2 F  < N  or N  < F 21 21 If F  < F , the system moves towards left  so N  < N 12 12 If F  = F , the system does not move. 12 Example  #9  to  11 A smooth pulley P0 of mass 2 kg is lying on a smooth table. A light string passes round the pulley and has masses 1 kg and 3kg attached to its ends. The two portions of the string being perpendicular to the edge of the table so that the masses hang vertically. Pulleys P1 and P2 are of negligible mass. [ g=10m/s2] P0 Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 9 . Tension in string is (B) 6 N P1 (D) 18 N (A) 12 N P2 (D) 6 m/s2 A (D) 8 m/s2 1 0 . Acceleration of pulley P0 is 1kg (A) 2 m/s2 (B) 4 m/s2 B 3kg 1 1 . Acceleration of block A is (B) 4 m/s2 (A) 6 m/s2 (C) 24 N (C) 3 m/s2 (C) 3 m/s2 E 45

JEE-Physics Solution 9. Ans.  (B) Let acceleration of P0 = a0; acceleration of A = a1; acceleration of B = a2 By constraint relations a0 =  a1  a2 ...(i) 2 Now for pulley P0 : 2T = 2a0 T = a0...(ii) For block A : 1 g – T = 1(a1) 10 – T = a1...(iii) For block B : 3g – T = 3 (a2)  30 – T = 3a2...(iv) By putting the values of a0, a1 & a2 in equation (i) T =  10  T   10  T  T = 6N 3  2 10. Ans.  (D) Acceleration of pulley; a0 = T = 6 m/s2 11. Ans.  (B) Acceleration of block A; a1 = 10–T = 10–6 = 4 m/s2 Example  12 Five situations are given in the figure (All surfaces are smooth) AB II   AB F I  F m 2m F F 2m m III  AB 2F IV   AB F F m 2m 2F 2m m V   AB F F m 2m Column–I Column–II Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 (A) Accelerations of A & B are same (P) I (B) Accelerations of A & B are different (Q) II (C) Normal reaction between A & B is zero (R) III (D) Normal reaction between A & B is non zero (S) IV (T) V 46 E

JEE-Physics Solution A n s .   ( A )     ( P, R , S , T )   ;   ( B )     ( Q )   ;   ( C )     ( Q , R , S )   ;   ( D )     ( P,   T ) FF I  :  a  =   a  =  0   &   N     0 II : a  =  , a  =   & N = 0 A B A 2m B m F 2F F 2F F F III : a  =  , a  =   =   & N = 0 IV : a  =   , a  =   & N = 0 A 2m m B m A m B 2m m 2F  & N 0 V : a  = a  =  A B 3m Example  #13  to  15 A body of mass 10 kg is placed on a smooth inclined plane as shown in figure. The inclined plane is moved with a horizontal acceleration a. 10kg a = 4m/s2 37° 1 3 . The normal reaction between block and inclined plane is :- (A) 92 N (B) 44 N (C) 56 N           (D) Can't be determined 1 4 . The tension in thread is :- (B) 44 N (C) 56 N           (D) Can't be determined (A) 92 N 1 5 . At what acceleration 'a' will the body lose contact with the inclined plane ? (A) 10 m/s2 (B) 13.33 m/s2 (C) 3.33 m/s2 (D) 6.66 m/s2 Solution 13. Ans.  (C) FBD of block w.r.t. inclined plane  Fx  0 T cos 37° – N sin 37° – ma = 0 N y T  Fy  0 37°  4T – 3N = 200 ..........(i)                        37° x ma N cos 37° + T sin 37° – 10g = 0  4N + 3T = 500 .........(ii) 10g By solving equation (i) & (ii) , N = 56 newton Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 14. Ans.  (A) From above equation, T = 92 newton 15. Ans.  (B) ma T To lose contact, N = 0 37° mg mg  3  10    a =  40  13.33m / s2 tan 37° =  49 3 ma E 47

JEE-Physics Example  #16 A block of unknown mass is at rest on a rough horizontal surface. A force F is applied to the block. The graph in the figure shows the acceleration of the block w.r.t. the applied force. acceleration Applied force (m/s2) F(N) 3 2 1 0 2 4 6 8 10 -2 The mass of the block and coefficient of friction are (g = 10 m/s2) (A) 2 kg, 0.1 (B) 2 kg, 0.2 (C) 1 kg, 0.1      (D) can't be determined Solution Ans.  (B) F  mg a   1  F  g Acceleration of block, a =  m  m 11 From graph ; slope =  m  2  m  2kg  and y-intercept;  – g = –2  = 0.2  Example  #17 A body is placed on an inclined plane. The coefficient of friction between the body and the plane is . The plane is gradually tilted up. If  is the inclination of the plane, then frictional force on the body is (A) constant upto  = tan1() and decreases after that m (B) increases upto  = tan1() and decreases after that (C) decreases upto  = tan1() and constant after that  (D) constant throughout Solution Ans.  (B) Friction force F = mgsin if   tan–1()  and F = mgcos if  tan–1() which increases upto  = tan–1() and then decreases. Example  #18 Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 A block is placed on a rough horizontal surface and a horizontal force F is applied to it as shown in figure. The force F is increased from zero in small steps. The graph between applied force and frictional force f is plotted by taking equal scales on axes. The graph is (A) a straight line of slope 45° rough m F (B) a straight line parallel to F-axis (C) a straight line parallel to f-axis (D ) a  str a i ght  li n e of  slop e 4 5° for  s mal l  F a nd a  str ai gh t li ne p ar al lel  to F - a xi s fo r  la rge  F. 48 E

Solution JEE-Physics Ans.  (D) f 45° F Example  #19 A force F pushes a block weighing 10 kg against a vertical wall as shown in the figure. The coefficient of friction between the block and wall is 0.5. The minimum value of F to start the upward motion of block is [ g = 10 m/s2] =0.5 10kg 37° F (A) 100 N (B) 500 N 500 Solution (C)  N       (D) can't be determined 3 Ans.  (B) 4 Fcos37° N N = Fcos37° =  5 F  and to start upward motion Fsin37° = 10 g + N       3 F  100  0.5   4 F   F = 500 N 37° 10g mN 5  5  Fsin37° F Example  #20 A block is first placed on its long side and then on its short side on the same inclined plane (see figure). The block slides down in situation II but remains at rest in situation I. A possible explanation is Situation–I  m Situation–II m   Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 (A) The normal contact force is less in situation-II. Ans. (C, D) (B) The frictional force is less in situation-II because the contact area is less. (C) T he shor ter side is smoother. (D) In situation-I, frictional force is more. Solution This is due to less frictional force or low friction coefficient. E 49

JEE-Physics Example  #21 For the situation shown in the figure below, match the entries of column I with the entries of column II. [ g = 10 m/s2] =0.8 A 10kg F1 F2 =0.4 B 15kg F3 =0.1 C 25kg Column  I Column  II (A) If F1 = 160 N, F2 = 0 & F3 = 0, then (P) There is no relative motion between A & B (B) If F1 = 140 N, F2=0 & F3 = 0 N, then (Q) There is no relative motion between B & C (C) If F1 = F2 = 0 & F3 = 45 N, then (R) There is a relative motion between A & B (D) If F1 = 0, F2 = 160 N and F3 = 0, then (S) There is a relative motion between B & C (T) There is a relative motion between C & ground Solution A n s .   ( A )       ( Q , R , T )   ;   ( B )     ( Q , R , T )   ;   ( C )     ( P, Q )   ;   ( D )     ( S , T ) Maximum frictional force between A and B = (0.8) (10) (10) = 80 N Maximum frictional force between B and C = (0.4) (25) (10) = 100 N Maximum frictional force between C and ground  = (0.1) (50) (10) = 50 N Therefore there is no relative motion between B and C if F2 = 0 & F3 =0 To star t motion (F1 + F2 + F3)min = 50 N To star t slipping between B and C (if F3=0), (F1 + F2)min = 150 N If F2 = F3 =0 then to start slipping beween A & B F  1 min = 87.5 N Node-6\\E:\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\NLM\\English\\Theory.p65 50 E

JEE-Physics PRACTICAL PHYSICS SIGNIFICANT  FIGURES The  significant  figures  (SF)  in  a  measurement  are  the  figures  or  digits  that  are  known  with  certainty  plus  one  that is  uncertain.  Significant  figures  in  a  measured  value  of  a  physical  quantity  tell  the  number  of  digits  in  which  we have  confidence.  Larger  the  number  of  significant  figures  obtained  in  a  measurement,  greater  is  its  accuracy and  vice  versa. Rules  to  find  out  the  number  of  significant  figures  : • I  Rule : All  the  non-zero  digits  are  significant  e.g.  1984  has  4  SF. • II  Rule : All  the  zeros  between  two  non-zero  digits  are  significant.  e.g.  10806  has  5  SF. • III  Rule : All  the  zeros  to  the  left  of  first  non-zero  digit  are  not  significant.  e.g.00108  has  3  SF. • IV  Rule : If  the  number  is  less  than  1,  zeros  on  the  right  of  the  decimal  point  but  to  the  left  of  the  first  non-zero digit  are  not  significant.  e.g.  0.002308  has  4  SF. • V  Rule : The  trailing  zeros  (zero  to  the  right  of  the  last  non-zero  digit)  in  a  number  with  a  decimal  point  are significant.  e.g.  01.080  has  4  SF. • VI  Rule : When  the  number  is  expressed  in  exponential  form,  the  exponential  term  does  not  affect  the number  of  S.F.  For  example  in  x  =12.3=1.23  ×  101=0.123  ×  102 =0.0123  ×  103=123  ×  10–1  each term  has  3  SF  only. • VII  Rule : In  a  number  without  decimal,  zeros  to  the  right  of  non-zero  digit  are  not  significant,  but  when  same value  is  recorded  on  the  basis  of  actual  experiment,  they  becomes  significant. Ex.    15600  has  3  SF  but  15600  mA  has  5  SF GOLDEN  KEY  POINTS  • To  avoid  the  confusion  regarding  the  trailing  zeros  of  the  numbers  without  the  decimal  point    the  best  way  is  to report  every  measurement  in  scientific  notation  (in  the  power  of  10).  In  this  notation  every  number  is  expressed in  the  form  a  ×    10b ,  where  a  is  the  base  number  between  1  and  10  and  b  is  any  positive  or  negative  exponent of  10.  The  base  number  (a)  is  written  in  decimal  form  with  the  decimal  after  the  first  digit.  While  counting  the number  of  SF  only  base  number  is  considered  (Rule  VI).  • The  change  in  the  unit  of  measurement  of  a  quantity  does  not  affect  the  number  of  SF. For  example  in  2.308  cm  =  23.08  mm  =  0.02308  m  each  term  has  4  SF. Example Write  down  the  number  of  significant  figures  in  the  following  : (a) 165 3SF  (following  rule  I) ( b ) 2.05 3  SF  (following  rules  I  &  II) (c) 34.000  m 5  SF  (following  rules  I  &  V) ( d ) 0.005 1  SF  (following  rules  I  &  IV) NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 ( e ) 0.02340  N  m–1 4  SF  (following  rules  I,  IV  &  V) ROUNDING  OFF To  represent  the  result  of  any  computation  containing  more  than  one  uncertain  digit,  it  is  rounded  off  to appropriate  number  of  significant  figures. Rules  for  rounding  off  the  numbers  : • I  Rule : If the digit to be rounded off is more than 5, then the preceding digit is increased by one. e.g. 6.87 6.9 • II  Rule : If the digit to be rounded off is less than 5, than the preceding digit is unaffected and is left unchanged. e.g.  3.94    3.9 • III  Rule : If  the  digit  to  be  rounded  off  is  5  then  the  preceding  digit  is  increased  by  one  if  it  is  odd  and  is  left unchanged  if  it  is  even.  e.g.  14.35    14.4  and  14.45   14.4 E1

JEE-Physics Example The  following  values  can  be  rounded  off  to  four  significant  figures  as  follows  : (a) 36.879         36.88 (   9  >  5  7  is  increased  by  one i.e. I  Rule  ) (b) 1.0084         1.008 (   4  <  5  8  is    left  unchanged i.e. II  Rule  ) (c) 11.115         11.12 (   last  1  is  odd  it  is  increased  by  one i . e. III  Rule  ) (d) 11.1250      11.12 (   2  is  even  it  is  left  unchanged i.e. III  Rule  ) (e) 11.1251      11.13 (   51  >  50    2  is  increased  by  one i . e. I  Rule  ) • If  one  digit  is  rounded  off  then  compare  with  5. • If  two  digits  rounded  off  then  compare  with  50. Ex.  2.360    2.4  ,  2.350    2.4  &  2.250  2.2 • If  three  digits  rounded  off  then  compare  with  500. Rules  for  arithmetical  operations  with  significant  figures • Rule  I : In  addition  or  subtraction  the  number  of  decimal  places  in  the  result  should  be  equal  to  the  number of  decimal  places  of  that  term  in  the  operation  which  contain  lesser  number  of  decimal  places.  e.g. 12.587  –  12.5  =  0.087  =  0.1  ( second  term  contain  lesser  i.e.  one  decimal  place) • Rule  II : In  multiplication  or  division,  the  number  of  SF  in  the  product  or  quotient  is  same  as  the  smallest number  of  SF  in  any  of  the  factors.  e.g.  5.0  ×    0.125  =  0.625  =  0.62 Note  :  First  carry  out  actual  addition  or  subtraction  then  round  off. ORDER  OF  MAGNITUDE Order  of  magnitude  of  a  quantity  is  the  power  of  10  required  to  represent  that  quantity.  This  power  is  determined after  rounding  off  the  value  of  the  quantity  properly.  For  rounding  off,  the  last  digit  is  simply    ignored  if  it  is  less than  5  and,  is  increased  by  one  if  it  is  5  or  more  than  5. GOLDEN  KEY  POINTS  • When  a  number  is  divided  by  10x  (where  x  is  the  order  of  the  number)  the  result  will  always  lie  between  0.5  and 5,  i.e.  0.5   N/10x  <  5 Example Order  of  magnitude  of  the  following  values  can  be  determined  as  follows  : (a) 49 = 4.9  ×    101    101   Order  of  magnitude  =  1 (b) 5 1 = 5.1  ×    101    102   Order  of  magnitude  =  2 (c) 0.049 = 4.9  ×  10–2  10–2   Order  of  magnitude  =  –2 (d) 0.050 = 5.0  ×    10–2    10–1   Order  of  magnitude  =  –1 (e) 0.051 = 5.1  ×    10–2    10–1   Order  of  magnitude  =  –1 Example The  length,  breadth  and  thickness  of  a  metal  sheet  are  4.234  m,  1.005  m  and  2.01  cm  respectively.  Give  the NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 area  and  volume  of  the  sheet  to  correct  number  of  significant  figures. Solution •  Length  ()  =  4.234  m •  Breadth  (b)  =  1.005  m       •    Thickness  (t)  =  2.01  cm  =  2.01  ×    10–2  m Therefore  area  of  the  sheet = 2 (  ×  b +  b ×  t + t  ×   ) =  2  (  4.25517  +  0.0202005  +  0.0851034) =  2  (  4.255  +  0.0202  +  0.0851) =  2  (4.360)  =  8.7206  =  8.721 Since  area  can  contain  a  maximum of  3  SF  (Rule  II  of  article  2)  therefore,  rounding  off,  we  get  :Area    =  8.72  m2 Like  wise  volume =   ×    b  ×    t  =  4.234    ×    1.005  ×    0.0201  m3  =  0.0855289  m3 Since  volume  can  contain  3  SF,  therefore,  rounding  off,  we  get  :  Volume    =  0.0855  m3 2E

JEE-Physics ERROR  IN  MEASUREMENTS The  difference  between  the  true  value  and  the  measured  value  of  a  quantity  is  known  as  the  error  of  measurement. CLASSIFICATION  OF  ERRORS Errors  may  arise  from  different  sources  and  are  usually  classified  as  follows  :- Systematic  or  Controllable  Errors  : Systematic  errors  are  the  errors  whose  causes  are  known.  They  can  be  either  positive  or  negative.  Due  to  the known  causes  these  errors  can  be  minimised.  Systematic  errors  can  further  be  classified  into  three  categories  : ( i ) Instrumental  errors : These  errors  are  due  to  imperfect  design  or  erroneous  manufacture  or  misuse  of the  measuring  instrument.  These  can  be  reduced  by  using  more  accurate  instruments. (ii) Environmental  errors : These  errors  are  due  to  the  changes  in  external  environmental  conditions  such  as temperature,  pressure,  humidity,  dust,  vibrations  or  magnetic  and  electrostatic  fields. (iii) Observational  errors : These  errors  arise  due  to  improper  setting  of  the  apparatus  or  carelessness  in taking  observations.  Ex.  parallax  error. • Random  Errors  :    These  errors  are  due  to  unknown  causes.    Therefore  they  occur  irregularly  and  are  variable in  magnitude  and  sign.  Since  the  causes  of  these  errors  are  not  known  precisely  they  can  not  be  eliminated completely.  For  example,  when  the  same  person  repeats  the  same  observation  in  the  same  conditions,  he  may get  different  readings  at  different  times. Random  errors  can  be  reduced  by  repeating  the  observation  a  large  number  of  times  and  taking  the  arithmetic mean  of  all  the  observations.  This  mean  value  would  be  very  close  to  the  most  accurate  reading. Note  :-  If  the  number  of  observations  is  made  n  times  then  the  random  error  reduces  to  (1/n)  times. Ex.  :  If  the  random  error  in  the  arithmetic  mean  of  100  observations  is  'x'  then  the  random  error  in  the arithmetic  mean  of  500  observations  will  be  x/5. • Gross  Errors  :    Gross  errors  arise  due  to  human  carelessness  and  mistakes  in  reading  the  instruments  or calculating  and  recording  the  measurement  results. For  example  : (i)  Reading  instrument  without  proper  initial  settings. (ii)  Taking  the  observations  wrongly  without  taking  necessary  precautions. (iii)  Exhibiting  mistakes  in  recording  the  observations. (iv)  Putting  improper  values  of  the  observations  in  calculations. These  errors  can  be  minimised  by  increasing  the  sincerity  and  alertness  of  the  observer. REPRESENTATION  OF  ERRORS    :  Errors  can  be  expressed  in  the  following  ways  :- Absolute  Error  (a)  :  The  difference  between  the  true  value  and  the  individual  measured  value  of  the  quantity is  called  the  absolute  error  of  the  measurement.  Suppose  a  physical  quantity  is  measured  n  times  and  the measured  values  are  a ,  a ,  a   ........a . 123 n a1  a2  a3  ..............an 1 n n n The  am   ai arithmetic  mean  (a )  of  these  values  is      m i 1 NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 If  the  true  value  of  the  quantity  is  not  given  then  mean  value  (a )  can  be    taken  as  the  true  value. m Then  the  absolute  errors  in  the  individual  measured  values  are  – a1  =  a   –  a 1 m a2  =  a   –  a 2 m   an  =  a  –  a m n The  arithmetic  mean  of  all  the  absolute  errors  is  defined  as  the  final  or  mean  absolute  error  (a)m  or  a   of  the a1  a2  ...........  a n 1n n  n i1 a i value  of  the  physical  quantity  a,  a m  So,  if  the  measured  value  of  a  quantity  be  'a'  and  the  error  in  measurement  be  a,  then  the  true  value  (a )  can t be  written  as    a   =  a   a t E3

JEE-Physics • Relative  or  Fractional    Error  :  It  is  defined  as  the  ratio  of  the  mean  absolute  error  ((a)m or a) to  the  true value  or  the  mean  value  (a   or  a )  of  the  quantity  measured. m Relative  or  fractional  error  =  Mean absolute  error  (a)m   or  a Mean value am a When  the  relative  error  is  expressed  in  percentage,  it  is  known  as  percentage  error, Percentage  error  =  relative  error  ×    100    percentage  error= m ean  absolute  error  100% = a  100% true value a • Propagation  of  errors  in  mathematical  operations (a) If  x  =  a  +  b,  then  the  maximum  possible  absolute  error  in  measurements  of  x  will  be  x  =  a  +  b (b) If  x  =  a  –  b,  then  the  maximum  possible  absolute  error  in  measurement  of  x  will  be  x  =  a  +  b a x a b (c) If  x  =  b   then  the  maximum  possible  fractional  error  will  be x = a +  b (d) If  x  =  an  then  the  maximum  possible  fractional  error  will  be x   =  n a xa (e) anbm x = n a +m b +p c If  x  =  cp   then  the  maximum  possible  fractional  error  will  be x a b c x 1 a (f) If  x  =  log a  then  the  maximum  possible  fractional  error  will  be = e x xa GOLDEN  KEY  POINTS    • Systematic  errors  are  repeated  consistently  with  the  repetition  of  the  experiment  and  are  produced  due  to improper  conditions  or  procedures  that  are  consistent  in  action  whereas  random  errors  are  accidental  and their  magnitude  and  sign  cannot  be  predicted  from  the  knowledge  of  the  measuring  system  and  conditions  of measurement.  Systematic  errors  can  therefore  be  minimised  by  improving  experimental  techniques,  selecting better  instruments  and  improving  personal  skills  whereas  random  errors  can  be  minimised  by  repeating  the observation  several  times.     • Mean  absolute  error  has  the  units  and  dimensions  of  the  quantity  itself  whereas  fractional  or  relative  error  is unitless  and  dimensionless.     • Absolute  errors  may  be  positive  in  certain  cases  and  negative  in  other  cases. Example Following  observations  were  taken  with  a  vernier  callipers  while  measuring  the  length  of  a  cylinder  : 3.29  cm, 3.28  cm,    3.29  cm,    3.31  cm,    3.28  cm,    3.27  cm,    3.29  cm,    3.30  cm.  Then  find  : NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 (a)  Most  accurate  length  of  the  cylinder. (b)  Absolute  error  in  each  observation. (c)  Mean  absolute  error (d)  Relative  error (e)  Percentage  error Express  the  result  in  terms  of  absolute  error  and  percentage  error. Solution  (a) Most  accurate  length  of  the  cylinder  will  be  the  mean  length     =  3.28875  cm  =  3.29  cm (b) Absolute  error  in  the  first  reading =  3.29  –  3.29  =  0.00  cm Absolute  error  in  the  second  reading =  3.29  –  3.28  =  0.01  cm Absolute  error  in  the  third  reading =  3.29  –  3.29  =  0.00  cm Absolute  error  in  the  forth  reading =  3.39  –  3.31  =  –0.02  cm 4 E

JEE-Physics Absolute  error  in  the  fifth  reading =  3.29  –  3.28  =  0.01  cm Absolute  error  in  the  sixth  reading =  3.29  –  3.27  =  0.02  cm Absolute  error  in  the  seventh  reading =  3.29  –  3.29  =  0.00  cm Absolute  error  in  the  last  reading =  3.29  –  3.30  =  –0.01  cm (c) Mean  absolute  error  =   0.00  0.01  0.00  0.02  0.01  0.02  0.00  0.01 =  0.01  cm 8 (d) Relative  error  in  length  =   0.01   =  0.0030395  =  0.003  3.29 (e) Percentage  error  =   ×    100  =  0.003  ×    100  =  0.3%  So  length     =  3.29  cm  ±  0.01  cm  (in  terms  of  absolute  error  )   =  3.29  cm  ±  0.30%    (in  terms  of  percentage  error  ) Example The  initial  and  final  temperatures  of  water  as  recorded  by  an  observer  are  (40.6  ±  0.2)°C  and    (78.3  ±  0.3)°C. Calculate  the  rise  in  temperature. Solution Given  1  =  (40.6  ±  0.2)°C    and    2  =(78.3  ±  0.3)°C Rise  in  temperature    =  2  –  1  =  78.3  –  40.6  =  37.7°C.     =  ±  (1  +  2)  =  ±  (0.2  +  0.3)  =  ±  0.5°C Rise  in  temperature  =  (37.7  ±  0.5)°C Example The  length  and  breadth  of  a  rectangle  are  (5.7  ±  0.1)  cm  and  (3.4  ±  0.2)  cm. Calculate  area  of  the  rectangle  with  error  limits. Solution   =  (5.7  ±  0.1)  cm    and  b  =  (3.4  ±  0.2)  cm Given A  =   ×    b  =  5.7  ×    3.4  =  19.38  cm2 Area A      b     0.1  0.2     0.34  1.14    1.48 A   b   5.7 3.4   5.7  3.4  19.38  A 1.48 A 1.48  19.38 1.48          Area  =  (19.38  ±  1.48)  sq/cm 19.38 19.38 Example NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 A  body  travels  uniformly  a  distance  (13.8  ±  0.2)  m  in  a  time  (4.0  ±  0.3)  s.  Calculate  its  velocity  with  error  limits. What  is  the  percentage  error  in  velocity  ? Solution s 13.8 Given  distance    s  =  (13.8  ±  0.2)  m    and  time  t=(4.0  ±  0.3)  s,  velocity    v  =  =3.45ms–1=3.5  ms–1 t 4.0 v    s  t     0.2  0.3     0.8  4.14   4.49   0.0895 v  s t   13.8 4.0   13.8  4.0   13.8  4.0  v  =  ±  0.0895  ×    v  =  ±  0.0895  ×    3.45  =  ±  0.3087  =  ±  0.31        v  =  (3.5  ±  0.31)  ms–1 v Percentage  error  in  velocity= ×  100  =  ±  0.0895  ×    100  =  ±  8.95%  =  ±  9% v E5

JEE-Physics Example A  thin  copper  wire  of  length  L  increase  in  length  by  2%  when  heated  from  T   to  T .  If  a  copper  cube  having  side 12 10  L  is  heated  from  T   to  T   what  will  be  the  percentage  change  in 12 (i)area  of  one  face  of  the  cube (ii)  volume  of  the  cube. A L S o l . (i) Area A=10L  ×    10  L  =  100  L2,    %  change  in  area  = ×  100    =  2  ×  ×  100  =  2  ×    2%  =  4% AL (ii) Volume  V=10  L  ×    10  L  ×    10L=1000  L3 V L %  change  in  volume  = ×    100  =  3  ×    ×  100  =  3  ×    2%  =  6% VL Conclusion  :    The  maximum  percentage  change  will  be  observed  in  volume,  lesser  in  area  and  the  least (minimum)  change  will  be  observed  in  length  or  radius. LEAST  COUNT The  smallest  value  of  a  physical  quantity  which  can  be  measured  accurately  with  an  instrument  is  called  the Least  Count  (LC)  of  the  measuring  instrument. Least  Count  of  vernier  callipers  : Suppose  the  size  of  one  Main  Scale  Division  (MSD)  is  M units        and  that  of  one  Vernier  Scale  Division  (VSD)  is  V units.  Also  let  the  length  of  'a'  main  scale  divisions  is  equal to  the  length    of  'b'  vernier  scale  divisions. aM  =  bV    V  a M       M  –  V  =  M  –  a M  =   b  a  M b b  b  The  quantity  (M–  V)  is  called  Vernier  Constant  (VC)  or  Least  Count  (LC)  of  the  vernier  callipers. L.C.  M  V   b  a  M  b  Example One  cm  on  the  main  scale  of  vernier  callipers  is  divided  into  ten  equal  parts.  If  20  divisions  of  vernier  scale coincide  with  8  small  divisions  of  the  main  scale.  What  will  be  the  least  count  of  callipers ? Solution 20  division  of  vernier  scale  =  8  division  of  main  scale    1  V.  S  .D.  =  8    M.S.D  =   2  M.S.D. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65  20   5  L.C. =  1  M.S.D.–1  V.S.D.  =  1  M.S.D.  –  2  M.S.D.  =  1  2    M.S.D.  5  5  =  33   ×    0.1  cm  =  0.06  cm    (1  M.S.D.= 1   cm  =  0.1  cm)   M.S.D.  = 55 10 Note  :    for  objective  questions    L.C.  =  M  –  V  =   b  a M =  20  8   1    cm  = 3 cm  =  0.06  cm  b   20   10  50 6 E

NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 JEE-Physics Zero  Error If  there  is  no  object  between  the  jaws  (i.e.  jaws  are  in  contact),  the  vernier  should  give  zero  reading.  But  due  to some  extra  material  on  jaws    or  bending  of  jaws  even  if  there  is  no  object  between  the  jaws,  it  gives  some  excess reading.  This  excess  reading  is  called  zero  error. ZERO  CORRECTION Zero  correction  is  invert  of  zero  error.  Actual reading = observed  reading – excess reading (zero error)   = observed reading + zero correction  Zero  correction  =  –  (zero  error) Example The  figure  shows  a  situation  when  the  jaws  of  vernier  are  touching  each  other. Each  main  scale  division  is  of  1  mm 5th  division  of  vernier  scale  coincides  with  a  main  scale  division. 1 L.C.    =  10   =  0.1  mm.      Zero  error  =  +  5  ×  0.1  =  0.5  mm. This  error  is  to  be  subtracted  from  the  reading  taken  for  measurement. Also,  zero  correction  =  –  0.5  mm. Example The  figure  shows  a  situation  when  the  jaws  of  vernier  are  touching  each  other. Each  main  scale  division  is  of  1  mm 4th  division  of  vernier  scale  coincides  with  a  main  scale  division. 1 L.C.    =  10   =  0.1  mm.    Zero  error  =  –  (10–4)    ×    0.1  =  –  0.6  mm          . This  error  is  to  be  added  in  the  reading  taken  for  measurement. Also,  zero  correction  =  +  0.6  mm. E7

JEE-Physics • Least  Count  of  Screw  Gauge  &    Spherometer  : Pitch 2 h L.C.  =  Total no. of divisions on  the circular  scale Radius  of  curvature  =   where  pitch  is  defined  as  the  distance  moved by  the  screw  head  when  the  circular  scale 6h 2 is  given  one  complete  rotation.  i.e.   where         1 2 3 3 h=  difference  of  readings  taken  on curved  surface    &  that  on  flat  surface. Pitch  =  Distance moved by the screw on the linear scale No.of full rotations given Note  :  With  the  decrease  in  the  least  count  of  the  measuring  instrument,  the  accuracy  of  the  measurement increases  and  the  error  in  the  measurement  decreases. • Precision  of  a  measurement The  precision  of  a  measurement  is  determined  by  the  least  count  of  a  measuring  instrument.  The  smaller is  the  least  count  larger  is  the  precision  of  the  measurement. • Accuracy  of  a  measurement Accuracy  of  an  instrument  represents  the  closeness  of  the  measured  value  to  actual  value. • Zero  Error If  there  is  no  object  between  the  jaws  (i.e.  jaws  are  in  contact),  the  screw  gauge  should  give  zero  reading. But  due  to  extra  material  on  jaws,  even  if  there  is  no  object,  it  gives  some  excess  reading.  This  excess  reading is  called  zero  error. *  All  the  instruments  utilizing  threads  have  back-lash  error  which  belongs  to  random  category. Example Find  the  thickness  of  the  wire. Solution It  is  giving  7.67  mm  in  which  there  is  0.03  mm  excess NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 Excess  reading  (zero  error)  =  0.03  mm reading, which  has  to  be  removed  (substracted)  so  actual  reading =  7.67  -  0.03  =  7.64  mm E • Zero  correction Zero  correction  is  invert  of  zero  error  :  Zero  correction    =  –  (zero  error) Actual  reading      =  observed  reading  –  zero  error  =  observed  reading  +  zero  correction 8

JEE-Physics SOME  IMPORTANT  EXPERIMENTS 1 . Determination  of  g  using  a  simple  pendulum  :    A  simple  pendulum  is  an  arrangement  consisting  of  a  small metal  ball  with  a  fine  string  suspended  from  a  fixed  point  so  that  it  can  swing  freely. • Arrangement The  equation  for  the  periodic  motion  of  a  simple  pendulum  as  determined  by Galileo  is  T  2  .  Here,  is  the  length  of  the  pendulum,  g  is  acceleration  due g to  gravity  and  T  is  time  period  of  periodic  motion.  To  determine  g,  rearrange  the above  equation  to  get,  g  4 2  T2 • Procedure (a) Determine  the  time  for  20  complete  swings  for  six  different  lengths.  (The  length  means  the  distance  between point  of  suspension  and  centre  of  the  ball). (b) Repeat  the  time  measurement  five  times  for  each  length,  making  sure  to  get  consistent  readings. (c) Determine  the  average  time  for  20  swings  for  each  length.  Then,  calculate  the  time  of  one  swing. (d) Compute  the  acceleration  due  to  gravity  for  each  pendulum  length. (e) Calculate  the  mean  g  and  the  percentage  error  in  g  for  each  length. (f) Plot  length  versus  time  graph  and  length  versus  time  squared,  graph. Example In  an  experiment  to  determine  acceleration  due  to  gravity,  the  length  of  the  pendulum  is  measured  as  98  cm  by a  meter  scale  of  least  count  of  1cm.  The  period  of  swing/oscillations  is  measured  with  the  help  of  a  stop  watch having  a  least  count  of  1s. The  time  period  of  50  oscillations  is  found  to  be  98  s.  Express  value  of  g  with  proper error  limits. Solution  As  T  =  2 g   Now,  time  period  of  50  oscillation  is  98  s. 98   Time  period  of  one  oscillation  is  50 =  1.96  s.  We  have  g  4 2  =  4  ×  (3.14)2  ×  0.98 =  10.06  m/s2 As  T  =  2 g T2 1.96 1.96 Let  us  find  the  permissible  error  in  the  measurement. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 4 2    We  have  g    2T ,  g  =  10  ×   1  2 1 (  Least  count  of  meter  scale  is  1  cm As  g  T2 g  T  98 98  and  least  count  of  stop  watch  is  1s),  g  =  0.3  m/s2  So,  final  result  can  be  expressed  as  (10.1  ±  0.3)  ms–2. • Precautions (i) The  oscillations  amplitude  should  be  kept  small  (10°  or  below)  as  the  formula  for  time  period  is  applicable  for small  angular  displacements. (ii) While  measuring  the  length  and  time  periods,  an  average  of  several  readings  should  be  taken. (iii) The  instruments  used  should  be  checked  for  zero  error. E9

JEE-Physics •  Factors  Affecting  the  Time  Period  : The  time  period  of  a  simple  pendulum  is  affected  by  following  factors. (i) Time  period  is  clearly  a  function  of  the  length  of  pendulum.  From  the  formula,  it  is  clear  that T     or T2  .The  graphical  variation  is  shown  here T T2 T (a)  (b)  (c)     11 T2 (ii) Time  period  is  a  function  of  acceleration  due  to  gravity.  T    g or  T2    g Following  graphs  represent  the  above  variation T2 T (a)  (b)  (c)  g 1/g 1/g (iii) Time  period  is  independent  of  mass  of  ball  used  in  the  pendulum.  A  wooden  ball  or  a  steel  ball  will  have  same time  period  if  other  factors  are  same. (iv) The  time  period  of  a  simple  pendulum  is  independent  of  amplitude  (provided  amplitude  is  small).  This  type  of motion  is  called  isochrones  motion. 2 . Verification  of  Ohm's  law  using  voltmeter  and  ammeter  : According  to  ohm's  law,  the  current  flowing  through  a  metallic  conductor  is  directly  proportional  to  the  potential difference  across  the  ends  of  the  conductor  provided  the  physical  conditions  like  temperature  and  mechanical strain  etc  are  kept  constant. V  =  IR,  where  R  is  a  constant  called  resistance • Arrangement  : The  figure  shows  the  arrangement  used  to  verify  ohm's    law.  It  consists  of  a  cell  of emf  E,  connected  to  a  fixed  resistance  R  and  a  variable  resistance  R   (rheostat). H An  ammeter  is  connected  in  the  circuit  to  measure  current  I  and  a  voltmeter  is connected  across  the  fixed  resistance  R  to  measure  potential  difference  V, • Procedure  :  Following  steps  are  to  be  followed. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 (a) Close    the  switch  S  and  note  down  the  readings  of  voltmeter  and  ammeter. (b) Repeat  the  above  process  for  different  values  of  variable  resistance  R . V H    (c) Plot  a  graph  between  V  and  I  by  taking  V  along  y-axis  and  I  along  x-axis. V I (d) Slope  or  gradient  of  this  graph  is  I =  constant.  This  shows  that  V    I. Example In  the  circuit  shown,  voltmeter  is  ideal  and  its  least  count  is  0.1  V.  The  least  count  of  ammeter  is  1  mA.  Let reading  of  the  voltmeter  be  30.0  V  and  the  reading  of  ammeter  is  0.020  A.  We  shall  calculate  the  value  of resistance  R  within  error  limits. 10 E

JEE-Physics V 30.0 S o l . V  =  30.0;  I  =  0.020  A;  R  =   =  1.50  k I 0.020 RH V R V I  Error : As R =       VR A I R VI  R  R  V  I    =  1.50  ×  103   0.1  0.001  =  0.080  k.  V I   30.0 0.020  3 . Determi nat ion  of  Young's  Mo dulus  by  Searle's  Method  : When  a  deforming  force  is  applied  to  deform  a  body,  it  shows  some  opposition.  This  opposition  is  called stiffness.  Young's  modulus  is  a  physical  quantity  used  to  describe  the  stiffness  of  a  body.  It  is  the  ratio  of  stress applied  to  strain  produced,  where  stress  applied  is  force  applied  per  unit  area  and  strain  is  the  ratio  of  change in  length  to  original  length  Y   F   x  F   Here,  F  is  applied  force,  A  is  area  of  cross-section,    is  length  A   Ax and  x  is  increase  in  length. Arrangement  :  The  arrangement  consists  of  two  wires.  One  of  the  wires  is  a        Compensating Experimental reference  wire  loaded  with  a  fixed  weight.  The  other  wire  is  the  test  wire,  on wire wire which  variable  load  is  applied.  The  reference  wire  is  used  to  compensate  for the  thermal  expansion  of  the  wire.  The  extension  in  the  test  wire  is  measured Cross Metallic bars frame with  the  help  of  a  spherometer  and  a  spirit  level  arrangement. Spirit • Procedure  : level Spherometer The  following  steps  are  required  to  measure  the  young's  modulus. Dead Slotted (a) Using  micrometer  determine  the  radius  of  the  wire. weight weight Using  the  formula  for  area  of  circle  =  r2,  calculate  the  area. (b) Measure  the  length  of  the  wire  . (c) Note  down  the  load  applied  F  and  corresponding  increase  in  length  x. (d) Convert  load  in  kg  to  weight  in  newton  by  the  formula  1  kgf  =  9.81  N (e) Plot  a  graph  of  extension  x  (along  x-axis)  against  weight  (along  y-axis). (f) The  slope  of  this  graph  is  the  ratio  F . x F (g) Find  Y  using  the  formula  Y  . Ax NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 Example In  an  experiment  for  measurement  of  young's  modulus,  following  readings  are  taken.  Load  =  3.00  kg, length  =  2.820  m,  diameter  =  0.041  cm  and  extension  =  0.87.  We  shall  determine  the  percentage  error  in measurement  of  Y. Solution If  Y  =  Young's  modulus  of  wire,  M  =  mass  of  wire,  g  =  acceleration  due  to  gravity,  x  =  extension  in  the  wire, A=  Area  of  cross-section  of  the  wire,    =  length  of  the  wire. Y  Mgx  Y  M  x  A    Y  0.01  0.01  2  0.001  0.001  0.064  Y  100  6.4% A Y M x A  Y 3.00 0.87 0.041 2.820 Y E 11

JEE-Physics 4 . Measurement  of  specific  heat  of  a  liquid  using  a  calorimeter  :  Specific  heat  of  a  substance  is  the  heat required to  raise the  temperature of  unit mass  of a  substance by  one degree  Celsius. It  is given  by  S  Q where m ' Q  is  the  heat  supplied,  m  is  the  mass  of  substance  and    is   the  rise  in  temperature. Arrangement  :  The  arrangement  consists  of  a  joule  calorimeter  (JC)  with  a    churner  C,  thermometer(T), variable  resistor  R ,  cell  of  emf  E,  an  ammeter,  a    voltmeter  and  a  switch. H + V– CT – A + RH JC ES Procedure  :  The  following  steps  are  required. (a) Weigh  the  empty  calorimeter  with  churner  C.  This  is  m . C (b) Weigh  the  calorimeter  with  the  liquid  in  it.  The  difference  in  two  masses  gives  the  mass  of  liquid.  This  is  m. (c) Make  the  set  up  shown.  Keeping  the  switch  open,  note  the  reading  of  the  thermometer  1. (d) Close  the  switch  S  for  a  time  t  and  continuously  stir  the  liquid.  At  the  time  of  opening  the  switch,  note  the  reading of  thermometer  2,  voltmeter  V  and  ammeter  I. (e) Calculate  heat  supplied  to  the  colorimeter  using  H  =  VIt. (f) Calculate  rise  in  temperature  using    =  2  –  1  +  d  .....Here  d  is  the  correction  applied  for  radiation  loss.  d t is  the  fall  in  temperature  when  the  calorimeter  and  its  contents  are  left  to  cool  down  for  time  . 2 (g) Let  S  be  the  specific  heat  of  calorimeter  and  S  be  the  specific  heat  of  liquid,  then  the  heat  supplied  is C Q  =  mS  +  mcSc    S  Q  m c S c  1  VIt  m S  m  m    c c Precautions  :  Following  precautions  must  be  taken. (i) Correction  due  to  radiation  loss  d  must  be  taken  into  account. (ii) The  stirring  of  liquid  should  be  slow. (iii) While  reading  voltmeter  and  ammeter,  parallax  should  be  removed. 5 . Focal  length  of  a  convex  lens/concave  mirror  using  u-v  method  : NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 When  an  object  is  placed  at  a  distance  u  in  front  of  a  convex  lens/concave  mirror,  it  forms  an  image  at  a distance  v  from  the  lens/mirror.  The  two  values  u  and  v  are  related  to  each  other.  For  a  convex  lens,  the relationship  is  1  1  1 .    For  a  concave  mirror,  the  relationship  is  1  1  1 . vu f vu f Arrangement  :  The  lens/mirror  is  fixed  on  an  optical  bench  with  a  scale  marked  on  it  to  measure  the  distance of  object  and  image.  The  lens  or  mirror  is  fixed.  There  are  two  other  stands  in  which  two  pin  shaped  objects  are fixed.  One  of  these  is  the  object  pin.  This  acts  as  an  object.  The  other  one  is  called  image  pin.  It  is  used  to  locate the  image  position.  When  there  is  no  parallax  between  the  image  pin  and  image  seen  in  the  lens/mirror,  the image  pin  represents  the  position  of  the  image. 12 E

JEE-Physics Procedure  :  Following  steps  are  to  be  followed. (a) Fix  the  lens  on  the  lens  stand. (b) Place  object  pin  in  front  of  the  lens.  Measure  the  distance  between  the  two.  The  value  of  u  will  be  negative  of  the above  distance. (c) Place the image pin on the other side of the lens at such a distance from the lens, so that there is no parallax between image pin and image seen in the lens. The value of v will be the distance between the lens and image pin. (d) Compute  the  focal  length  of  the  lens  using  lens  formula  1  1  1 . v u f 11 For  a  concave  mirror,  the  shape  of (e) Plot  a  graph  between  u  and  v  and  and  . uv For  a  convex  lens,  the  shape  of  graphs obtained  are  shown. graphs  obtained  are  shown. v1 v1 v v     (a)  u (b)  1 (a)  u  (b)  1 u u NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 (f) In  the  u-v  curve,  we  draw  a  line  at  45°  as  shown  in  figure.This  line  intersect  the  curve  at  point  P.  PB  and  PA  are parallel  to  axes.      Here  OA  =  OB  =  2f.  So,  focal  length  f  OA 2 v P B Ou 45° A E 13

JEE-Physics Example In  an  experiment  to  measure  the  focal  length  of  a  concave  mirror,  it  was  found  that  for  an  object  distance  of 0.30  m,  the  image  distance  come  out  to  be  0.60  m.  Let  us  determine  the  focal  length. Solution By  mirror  formula,  1  1  1   u  0.30m     1  1 1   1  3.0     f  =  0.20  m v u f v  0.60m f 0.30  f 0.60 0.60 As  1  1  1  df  dv  du  df  (0.20)2  0.01  0.01  f v u f2 v2 u2  (0.60)2 (0.30)2    df  =  0.0055   0.01  m   Focal  length    f  =  (0.20  ±  0.01)  m. • Precaution  :  Following  precautions  must  be  taken. (i)    Both  u  and  v  should  be  measured  carefully  on  the  bench. (ii)  While  locating  the  image,  parallax  should  be  removed. 6 . Determination  of  speed  of  sound  using  resonance  column  : It  is  a  simple  apparatus  used  to  measure  speed  of  sound  in  air  with  the  help  of  a  tuning  fork  of  known  frequency. The  resonance  column  is  an  air  column  closed  at  one  end.  Its  length  is  variable.  It  is  based  on  the  phenomenon  of standing  waves.  A  vibrating  tuning  fork  is  held  near  the  open  end  of  the  tube  which  is  partially  empty.  The  air- column  vibrates  with  the  frequency  of  tuning  fork.  As  the  length  of  air  column  is  increased  from  zero  onwards,  a stage  is  reached  when  very  intense  sound  is  observed.  At  this  stage  the  natural  frequency  of  the  air-column matches  with  the  frequency  of  tuning  fork.  This  state  is  known  as  resonance.  At  resonances,  the  vibration  of  air column  can  be  like  any  of  the  following  figures. • Arrangement  :  The  arrangement  is  shown  in  the  figure.  It  consists  of  a  metallic  tube  and  a  connected  glass tube.  There  is  a  reservoir  containing  water.  This  is  connected  to  the  metallic  tube  by  a  rubber  pipe.  Parallel  to the  glass  tube  is  a  scale  to  measure  the  length  of  air-column. e e 1 2 Fig.  1  Fig.  2    • Procedure  :  Following  steps  are  used  in  the  experiment. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 (a) Hold  the  vibrating  tuning  fork  at  the  open  end  of  the  column  and  start  increasing  the  length  of  the  air  column  by adjusting  the  height  of  reservoir. (b) Determine the first resonating length 1.  This  is  the  length  at  which  an  intense  sound  is  observed. (c) Determine  the  second  resonating  length   .  This  is  the  length  at  which  an  intense  sound  is  observed  again. 2 (d) Compute  the  wavelength.  It  can  be  calculated  as  shown.  From  the  figure-1  it  is  clear  that 1  e   ...(i) 2  e  3 ...(ii) 4 4 14 E

JEE-Physics Here   is  wavelength  of  sound  and  e  is  end  correction  (height  of  the  antinode  above  the  open  end) [Given  by  Lord  Rayleigh]                      Subtracting   –     =       =  2(   –   ) 21 2 21 (e) Using  the  formula  v  =  f,  compute  the  speed  of  sound. (f) Compute the end-correction from equation (i) and (ii) 1  e   , 2  e  3  2–3 1–2e=0   e =   2  31  4 4  2  (g) Compute  the  error  in  end-correction  by  comparing  it  with  Reyleigh's  formula  e  =  0.6  R.  Where  R  is  internal radius  of  resonance  tube. Example The  internal  radius  of  a  1  m  long  resonance  tube  is  measured  as  3.0  cm.  A  tuning  fork  of  frequency  2000  Hz is  used.  The  first  resonating  length  is  measured  as  4.6  cm  and  the  second  resonating  length  is  measured  as  14.0 cm.  We  shall  calculate  the  following Solution (i)Maximum  percentage  error  in  measurement  of  e,  as  given  by  Reyleigh's  formula. (Given  error  in  measurement  of  radius  is  0.1  cm)  e  =  0.6  R  =  0.6  ×  0.1  =  0.06  cm Percentage  error  is  e  100  0.06  100  3.33% e 0.6  3 (ii) Speed  of  sound  at  the  room  temperature.   =  4.6  cm,    =  14.0  cm,    =  2(   –   )  =  2(14.0  –  4.6)  =18.8  cm,  v=f  =  2000  ×    18.8 =  376  m/s. 1 2 2 1 100 (iii) End  correction  obtained  in  the  experiment.  e  2  31  14.0  3  4.6  0.1cm. 22 (iv) Percentage  error  in  the  calculation  of  e  with  respect  to  theoretical  value. NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 Percentage  error  =  0.6  3  0.1  100  94.44% 0.6  3 Example In  the  circuit  shown,  voltmeter  is  ideal  and  its  least  count  is  0.1  V.  The  least  count  of  ammeter    1  mA.  Let reading  of  the  voltmeter  be  30.0  V  and  the  reading  of  ammeter  is  0.020  A.  We  shall  calculate  the  value  of resistance  R  within  error  limits. Solution V 30.0 V  =  30.0,I  =  0.020  A, R   1.50k   I 0.020 RH VR  Error  :  As  R  V   R  V  I   R  =  R   V  I  I R V I  V I   0.1 0.001  A  30.0 0.020  =  1.50  ×  103    0.080 k   So,  resistance  is  (1.5  ±  0.08)  k. E 15

JEE-Physics 7 . Determination  of  resistivity  of  a  metal  using  :  (i)  Meter  bridge  (ii)  Post  office  box • Meter  bridge  :  The  resistance  of  a  metal  wire  depends  on  its  length,  area  of      cross-section  and  resistivity  of  the  metal.  The  formula  is  R  =   .Here,    is  the  resistivity.  Its  unit  is  -m  (ohm-meter).  To  measure  its  resistivity,  we A use    a  meter  bridge.  The  working  of  a  meter  bridge  is  based  on  Wheatstone  bridge  principle.  The  circuit  shown is  called  Wheatstone  bridge. B PQ II AGC RS D When  P  R ,  there  is  no  flow  of  current  in  the  branch  BD.  At  this  state,  galvanometer  shows  zero  deflection. Q S • Arrangement  :  The  arrangement  consists  of  a  100  cm  long  wire  connected    between  A  and  C.  It  is  tapped  at point  B  by  a  sliding  contact  called  jockey.  R  is  a  known  resistance.  S  is  the  resistance  wire  whose  resistivity  is  to be  determined.  A  cell  and  a  variable  resistance  R   are  connected  to  supply  current  in  the  circuit. H • Procedure  :  Following  steps  are  used  in  the  experiment. (a) Plug  the  key  and  slide  the  jockey  on  wire  AC  to  locate  point  B  where  the  galvanometer  does  not  show  deflection. Note  down  the  length  . (b) P  R  100   100   Compute the resistance S using the formula  Q S .  Here, P=wire ×  A , Q = wire ×   A  S = R    (c) Compute the value of S by determining values of length . This can be done by using different values of R. (d) Calculate  the  percentage  error  in  measurement  of  S. (e) Compute the resistivity by measuring length and area of cross-section of resistance wire S using the formula  S=  . NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 A Example In  an  experiment  to  determine  an  unknown  resistance,  a  100  cm  long  resistance  wire  is  used.  The  unknown resistance  is  kept  in  the  left  gap  and  a  known  resistance  is  put  into  the  right  gap.  The  scale  used  to  measure length  has  a  least  count  1  mm.  The  null  point  B  is  obtained  at  40.0  cm  from  the  left  gap.  We  shall  determine  the percentage  error  in  the  computation  of  unknown  resistance. Solution As  shown  in  the  figure.  P   ,  P      Q 100   100  P  (100  )   0.1 0.1 P       100    40.0  60.0      ×  100  =  0.42% P 100   P 16 E

JEE-Physics ( i i ) Post  office  box  :  This  apparatus  was  initially  used  in  post-offices    for  measuring  the  resistance  of  the  telephone or  telegraph  wires,  or  for  finding  the  faults  in  these  wires.  In  post  office  box,  the  two  arms  AB  and  BC  are connected  in  series.  Each  of  these  arms  contain  resistances  10,  100  and  1000  .  In  the  third  arm  AD  there are  resistances  from  1  to  5000    arranged  in  U  shape.  In  order  to  insert  keys  in  the  arms  AC  and  BD,  the point  A  is  connected  to  a  tapping  key  k   and  the  point  B  is  connected  to  another  tapping  key  k .  The  wire  whose 12 resistance  (S)  is  to  be  determined  is  connected  in  the  arm  CD.  The  galvanometer  G  is  connected  between  B  and D  through  the  key  k   and  the  cell  is  connected  between  A  and  C  through  the  key  k . 21 EQUIVALENT  CIRCUIT Working  :  First  of  all,  from  P  a  1000      resistor  is  selected  and  from  Q  also  1000    resistor  is  selected  Now  by PR pulling  plugs  from  R,  a  balance  condition  is  obtained.  As  Q  S   [P  =  1000  ,  Q  =  1000  ]  .  So  S  =  R P  B  A  Q  R  K2  K1  C  G S  D  E NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 R Now  in  order  to  increase  the  preciseness,  P  is  selected  to  be  1000    and  Q  =  10  .  In  this  case,  S  =  100   As the  least  count  decreases,  hence  preciseness  increases. E 17

JEE-Physics SOME WORKED OUT EXAMPLES Example#1 The  circular  scale  of  a  micrometer  has  200  divisions  and  pitch  of  2mm.  Find  the  measured  value  of  thickness of  a  thin  sheet. 10 0 1 2 3 50 0 40 0 (A)  3.41  mm (B)  6.41  mm (C)  3.46  mm (D)  3.51  mm Solution Ans.  (B) Least  count  =  No. pitch  2  0.01mm ;  Reading  =  3×  2  +  (46–5)  (0.01)  =  6.41  mm of divisions 200 Example#2 The  length  of  the  string  of  a  simple  pendulum  is  measured  with  a  meter  scale  to  be  63.5  cm,  the  radius  of  the bob  plus  the  hook  is  measured  with  the  help  of  vernier  caliper  to  be  1.55  cm.  Select  the  incorrect  statement  :- (A)  Least  count  of  meter  scale  is  0.1  cm (B)  Least  count  of  vernier  caliper  is  0.01  cm (C)  Effective  length  of  pendulum  is  65.1  cm (D)  Effective  length  of  pendulum  is  65.2  cm Solution Ans.  (C) From  measurements  least  count  of  meter  scale  is  0.1  cm  and  least  count  of  vernier  calliper  is  0.01  cm. Effective  length  of  simple  pendulum  =  63.5  +  1.55  =  65.15  =  65.2  cm Example#3 A  brilliant  student  of  Class  XII  constructed  a  vernier  calipers  as  shown.  He  used  two  identical  inclines  of  inclination 37°  and  tried  to  measure  the  length  of  line  AB.  The  length  of  line  AB  is A B 1mm 21 (B)  25 mm (C)  18 mm (D)  None  of  these (A)  mm 4 4 4 Ans.  (B) NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 Solution Least  count  =     1  4 1 5  1   5  1   1 mm cos   /   4  4 Length  AB  =  (4)       (5 )        4  5   5  1   5  5  25 mm  cos   cos   4   4  4 4 Example#4 The  side  of  a  cube  is  (2.00  ±  0.01)  cm.  The  volume  and  surface  area  of  cube  are  respectively  :– (A)  (8.00  ±  0.12)  cm3,  (24.0  ±  0.24)  cm2 (B)  (8.00  ±  0.01)  cm3,  (24.0  ±  0.01)  cm2 (C)  (8.00  ±  0.04)  cm3,  (24.0  ±  0.06)  cm2 (D)  (8.00  ±  0.03)  cm3,  (24.0  ±  0.02)  cm2 18 E

JEE-Physics Solution Ans.  (A) Volume  V=a3=8  cm3  .  Also V  3 a  V  3V  a   3 8   0.01   0.12 cm3 V a  a   2.00  Therefore  V  =  (8.00  ±  0.12)  cm3;  Surface  Area  A  =  6a2  =  6  (2.00)2  =  24.0  cm2. Also  A 2 a  A  2A  a   2 24 .0   0.01   0.24 .  Therefore  A  =  (24.0  ±  0.24)  cm2 A a  a   2.00  Example#5 Two  clocks  A  and  B  are  being  tested  against  a  standard  clock  located  in  the  national  laboratory  At  10:00  AM by  the  standard  clock,  the  readings  of  the  two  clocks  are  shown  in  following  table Day  C lock A  C lock  B   Is t  1 0:0 0 : 06   8:1 5:00   IIn d  1 0:0 1:13   8:1 5:01   I IIr d  8:1 5:04   IV th   9:5 9:0 8  8:1 4:58   Vth  1 0:0 2:15   8:1 5:02   9:5 8:1 0  If  you  are  doing  an  experiment  that  requires  precision  time  interval  measurements,  which  of  the  two  clocks  will you  prefer? (A)  clock  A (B)  clock  B (C)  either  clock  A  or  clock  B (D)  Neither  clock  A  nor  clock  B Solution Ans.  (B) The  average  reading  of  clock  A  is,  closure  to  the  standard  time  and  the  variation  in  time  is  smaller  for  clock  B. As  clock's  is  zero  error  is  not  significant  for  precision  work  because  a  zero  error  can  always  be  easily  corrected. Hence  clock  B  is  to  be  preferred. Example#6 The  main  scale  of  a  vernier  callipers  reads  in  millimeter  and  its  vernier  is  divided  into  10  divisions  which  coincides with  9  divisions  of  the  main  scale.  The  reading  for  shown  situation  is  found  to  be  (x/10)  mm.  Find  the  value  of  x. 0 12 3 0 12 3 cm cm Ans.  69 0 10 0 10 Solution Least  count  =  1mm   =  0.1  mm;    Zero  error  =    –(10–6)  ×  0.1  =  –  0.4  mm 10 Reading  =  6  +  5  ×  (0.1)  –  (–0.4)  =  6.9  mm NODE6\\E\\Data\\2014\\Kota\\JEE-Advanced\\SMP\\Phy\\Unit No-12\\Practical Physics\\Eng\\Sheet.p65 Example#7 Write  number  of  significant  digits (i)  62.3  cm (ii)  6.23  ×  101  cm (iii)  20.000 (iv)  0.02  ×  10–19 (v)  500.000 (vi)  0.5210 (vii)  896.80 (viii)  201 (ix)  1200 (x)  1200  N Solution                                                              Ans. (i) 3 (ii) 3 (iii) 5 (iv) 1 (v) 6 (vi) 4 (vii) 5 (viii) 3 (ix) 2 (x) 4 Example#8 Round  off  the  following  numbers  to  3  significant  digits- (i)  899.68 (ii)  987.52 (iii)  2.0082 (iv)  336.5   (v)  335.5 Solution                                                                                                                                                                        Ans.  (i)  900 (ii)  988  (iii)  2.01  (iv)  336 (v) 336 E 19