Analytic Geometry

Analytic Geometry จัดทาโดย นาย ณัฐธีร์ ติวาชัยวิรัตน์ ม.4/10 1 นายณัฐธรี ์ ติวาชยั วิรตั น์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชนิ ูทศิ เตรียมอดุ มศึกษาพัฒนาการ

เรขาคณิตวเิ คราะห์ [Analytic geometry] เ ร ข า ค ณิ ต วิ เ ค ร า ะ ห์ เ ป็ น ก า ร เ ชื่ อ ม โ ย ง ค ว า ม รู้ ร ะ ห ว่ า ง พี ช ค ณิ ต แ ล ะ เ ร ข า ค ณิ ต เข้าด้วยกัน ซึ่งการแก้ปัญหาทางพีชคณิตอาจนาความรู้ทางเรขาคณิตมาช่วย แก้ปัญหา หรือการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตบางปัญหาก็อาจนาความรู้พีชคณิตมาช่วย แก้ปัญหา เทพเจ้าแห่ง วิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ René Descartes เกิดวันที่ 31 มีนาคม ค.ศ. 1596 และเสียชีวิตเมื่อวันท่ี 11 กุมภาพันธ์ ค.ศ.1650 นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ และนักปราชญ์ชาว ฝรั่งเศษ ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ ที่มีการเชื่อมโยง พชี คณติ และเรขาคณิตเข้าด้วยกัน โดยมงุ่ ศกึ ษาการลงจุด บนระบบพิกัดฉากแล้วหาสมการ นายณฐั ธีร์ ติวาชัยวริ ัตน์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4/10 โรงเรียนนวมนิ ทราชินทู ิศ เตรยี มอดุ มศึกษาพัฒนาการ 2

บทท่ี 1 สรปุ การใช้สตู รในเรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะระหว่างจดุ การหาคา่ ของสิ่งต่าง ๆทอ่ี ยูบ่ นแกน X-Y โดยจะมีสตู รตา่ ง ๆมากมายสตู รแรกเปน็ สูตรใน การหาระยะทางระหวา่ งจดุ 2 จุดทีก่ าหนดให้ √(������2 − ������1)2 + (������2 − ������1)2 EXAMPLE 1. ระหว่างจุด (1,2) กบั (4,6) คือ √(4 − 1)2 + (6 − 2)2 = √32 + 42 = √25 = 5 2. ระหว่างจุด (-6, 4) (-6, 17) คอื x เทา่ กันใหเ้ อา y มาลบกนั ไดเ้ ลย 17-4 = 13 3. ระหว่างจดุ (2, 5) (9, 5) คือ y เท่ากนั ใหเ้ อา x มาลบกันได้เช่นกนั 9-2 = 7 4. จงพจิ ารณาวา่ สามเหลย่ี มทีม่ จี ดุ A(-1, 1) , B(0, -1) , C(5, 1) เปน็ จุดยอด เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธที า สามเหลย่ี มมุมฉาก จะต้องมคี วามยาวด้านทั้งสาม สอดคล้องกบั สตู ร ������2 + ������2 = ������2 AB= √(−1 − 0)2 + (1 − (−1))2 = √5 BC= √(5 − 0)2 + (1 − (−1))2 = √29 AC= √(5 − (−1))2 + (1 − 1)2 = √36 จะเหน็ ว่า 2 +√292= 5+29 = 34 ≠36 √5 ดงั นนั้ สามเหลีย่ ม ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก นายณัฐธีร์ ตวิ าชยั วิรัตน์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4/10 โรงเรยี นนวมินทราชนิ ทู ศิ เตรยี มอดุ มศกึ ษาพัฒนาการ 3

บทที่ 2 สรุปการใช้สตู รในเรื่อง เรขาคณติ วิเคราะห์ จดุ กึ่งกลาง สตู รท่ีสอง เปน็ สตู รสาหรับหาพกิ ดั ของจดุ ทอี่ ยูก่ ่ึงกลางระหวา่ งจุด 2 จุดท่ีกาหนดให้ ������ = (������1 + ������2) , ������ = (������1 + ������2) 2 2 EXAMPLE 1. จดุ ทอ่ี ยกู่ งึ่ กลางระหวา่ ง (1, 2) กับ (5, 8) คือ (1+25) , (2+28) = (3, 5) (−3+1) (0+4) 2. จดุ ท่อี ยู่กึง่ กลางระหวา่ ง (-3, 0) กบั (1, 4) คอื , = (−1, 2) 2 2 3. กาหนดให้ A(1,3), B(-2,2) และ C(0,6) เปน็ จุดยอดของสามเหล่ยี มรปู หนงึ่ จงหาความยาวส่วนของ เสน้ ตรงท่ีลากจากจดุ A ไปแบ่งคร่ึงดา้ น BC วธิ ีทา จุดทแี่ บ่งครึ่งด้าน BC คอื (−2+0) , (2+6) = (−1, 4) 22 ดังนัน้ ระยะจาก A ไปยงั (-1,4) = √(−1 − (−1))2 + (3 − 4)2 = √5 นายณฐั ธีร์ ตวิ าชัยวริ ัตน์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรียนนวมินทราชนิ ทู ิศ เตรียมอดุ มศกึ ษาพฒั นาการ 4

บทที่ 3 สรปุ การใช้สตู รในเรื่อง เรขาคณติ วเิ คราะห์ ความชนั ความชันของเสน้ ตรงท่ผี า่ นจุด (x1, y1) และ (x2, y2) หาไดจ้ ากสูตร ������2−������1 หรอื ������1−������2 ก็ได้ ������2−������1 ������1−������2 EXAMPLE 1. ความชนั = 10−4 = 6 = 3 3−1 2 2. ความชนั =0−(−3) = − 3 −2−6 2 นายณฐั ธรี ์ ติวาชยั วิรัตน์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรียนนวมนิ ทราชนิ ทู ศิ เตรียมอดุ มศกึ ษาพฒั นาการ 5

ค่าความชันในแตล่ ะคา่ จะมีความหมาย สามารถนาความชนั ไปใช้ในการตรวจสอบการขนานกัน หรือ ตงั้ ฉากกันของเสน้ ตรง 2 เสน้ ได้ ดงั น้ี 1. เสน้ ตรงที่ขนานกัน จะมีความซนั เทา่ กัน 2. เส้นตรงที่ตงั้ ฉากกัน จะมคี วามชนั คูณกนั ได้ -1 EXAMPLE 1. จงพิจารณาวา่ A(-1,3), B(1,2) และ C(6,0) อยู่บนส้นตรงเดียวกันหรอื ไม่ ความชัน ส่วนของเส้นตรง ������������ = 3−2 = − 1 −1−1 2 ความชัน สว่ นของเส้นตรง ������������ = 3−2 = − 1 −1−1 2 ดังนัน้ ท้งั สามจดุ ไมอ่ ยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั เนอ่ื งจากคา่ ของความชนั ไมเ่ ทา่ กัน 2. กาหนด A(-1,6), B(O,3), C(1,5) จงพิจารณาวา่ สามเหล่ยี ม ABC เป็นสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่ วธิ ที า ความชนั ������������ = 6−3 = −3 −1−0 ความชัน ������������ = 5−3 = −2 1−0 ความชัน ������������ = 6−5 = − 1 −1−1 2 ความชัน สว่ นของเส้นตรง ������������ × ������������ = -1 แสดงวา่ ������������ ⊥ ������������ ดงั นน้ั ⊿ABC เป็นสามเหล่ยี มมุมฉาก นายณัฐธรี ์ ติวาชัยวริ ตั น์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4/10 โรงเรียนนวมินทราชินทู ิศ เตรยี มอดุ มศึกษาพฒั นาการ 6

ถ้ากาหนดเง่อื นไขต่าง ๆของกราฟมา เราต้องสามารถยอ้ นกลบั ไปหาสมการ กราฟไดส้ ตู รสาหรบั หาสมการกราฟ จากเงือ่ นไขต่าง ๆ มีดงั นี้ 1. ผา่ นจุด (x1, y1) และมีความชัน = m ������−������1 = ������ ������−3 = ������ ������−������1 ������−(−1) 3y-9 = -2x-2 2x+3y-7 = 0 2. มีความชนั = m และ มรี ะยะตดั แกน Y คอื c เมอ่ื c เปน็ คา่ คงตวั ������ = 2 ������ + (−2) 3 3y = 2x-6 0 = 2x-3y-6 3. มีระยะตดั แกน X คือ a และ มีระยะตดั แกน Y คอื b ������ + ������ = 1 32 2x+3y = 6 2x+3y-6 = 0 4. ผ่านจดุ (x1, y1) และ (x2, y2) y−5 5−1 x − 1 = 1 − (−1) 2y-10 = 4x-4 0 = 4x-2y+6 0 = 2x-y+3 นายณัฐธีร์ ตวิ าชยั วิรตั น์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชินทู ศิ เตรยี มอดุ มศกึ ษาพัฒนาการ 7

บทท่ี 4 สรุปการใชส้ ตู รในเร่ือง เรขาคณิตวเิ คราะห์ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงกับจุด หัวข้อนจ้ี ะเปน็ สูตรสาหรบั หา ระยะหา่ งระวา่ งเสน้ ตรง แต่ก่อนจะใช้สตู รนไ้ี ด้ ตอ้ งจัดสมการเส้นตรงให้อย่ใู นรปู แบบนก้ี ่อน “Ax + By + C = 0” ดงั นั้น การหาระยะห่างระหว่างเสน้ ตรง Ax + By + C = 0 กบั จดุ (x1, y1) โดยท่ี A B C เป็นค่าคงตัวที่ A B ไม่เปน็ ศนู ยพ์ รอ้ มกัน หาไดจ้ ากสตู ร ������ = |������������1 + ������������1 + ������| √������2 + ������2 EXAMPLE ������ = |������������1+������������1+������| √������2+������2 1. = 18√3 13 2. จงหาระยะหา่ งระหวา่ งจดุ (-2,1) กบั เส้นตรง y = 2x -3 วิธที า จดั y= 2x -3 ใหอ้ ยใู่ นรปู Ax+ By +C=0 ก่อน ได้เป็น 2x-y-3 = 0 จะได้ ระยะหา่ ง คือ |2+(−2)−1−3| = |−8| = 8√5 √22+(−1)2 √5 5 นายณัฐธีร์ ติวาชัยวิรัตน์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมินทราชนิ ูทศิ เตรยี มอุดมศึกษาพัฒนาการ 8

บทท่ี 5 สรปุ การใช้สตู รในเร่ือง เรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงกบั เส้นตรง หวั ข้อนจี้ ะเปน็ สตู รสาหรบั หา ระยะหา่ งระวา่ งเส้นตรง แต่ก่อนจะใช้สตู รนไ้ี ด้ ต้องจดั สมการเสน้ ตรงใหอ้ ยู่ในรูปแบบนก้ี ่อน “Ax + By + C = 0” ดงั นนั้ การหาระยะห่างระหว่างเสน้ ตรง Ax + By + C1 = 0 และเสน้ ตรง Ax + By + C2 = 0 โดยที่ A B C1 และ C2 เป็นค่าคงตวั ท่ี A B ไมเ่ ปน็ ศูนย์พรอ้ มกัน หาไดจ้ ากสูตร EXAMPLE ������ = |������1 + ������2| √������2 + ������2 1. ������ = |������1+������2| √������2+������2 5 − (−1) = √32 + (−1)2 =6 5 นายณฐั ธีร์ ตวิ าชยั วริ ตั น์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4/10 โรงเรียนนวมินทราชินูทศิ เตรยี มอดุ มศึกษาพัฒนาการ 9

2. จงหาระยะหา่ งระหวา่ ง 2(x-y) = 5 และ y = x+2 วธิ ที า จัดรปู ทัง้ สองสมการให้เป็นรปู Ax+By+C = 0 ทมี่ ี Ax +By เหมือนกันกอ่ น 2 (x - y) = 5 y=x+2 คูณ 2 เพ่อื ให้เป็น 2x - 2y เทา่ กนั 2x - 2y = 5 0= x–y+2 2x - 2y + 5 = 0 0 = 2x - 2y + 4 ดังนั้น ระยะหา่ ง = 4−(−5) = |9| = 9√2 √22+22 √8 4 3. จงหาระยะห่างระหวา่ ง x–y+1= 0 และ x+y-2 = 0 วธิ ที า จะเห็นว่าท้ังสองสมการอยู่ในรปู Ax+ By +C = 0 แลว้ แตอ่ นั แรก เปน็ x - y อกี อันเป็น x + y ดังน้ัน เอาอะไรมาคณู กไ็ มม่ ีทางเป็น Ax + By เหมือนกันได้ ดังนั้น สองเส้นนี้ไม่ขนานกนั หาระยะหา่ งไมไ่ ด้ เส้นมธั ยฐาน จุด Centroid จุด Centroid นายณฐั ธรี ์ ตวิ าชัยวิรัตน์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชินูทศิ เตรียมอุดมศกึ ษาพัฒนาการ 10

ภาคตัดกรวย บทท่ี 6 วงกลม รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม (������ − ������)������ + (������ − ������)������ = ������������ จดุ ศูนยก์ ลาง = (h, k) และ รศั มี = r ตัวอยา่ ง (������ − ������)������ + (������ − ������)������ = ������������ รศั มี = 3 จดุ ศูนยก์ ลาง = (1, 2) โจทยม์ กั จะกระจายจนเละไมเ่ หลือเค้าเดมิ เปน็ Ax2 + By2+ Cx + Dy + E = 0 กอ่ นค่อยเอา มาใหเ้ รา หนา้ ทขี่ องเราคอื ต้องจัดรูป Ax2+ By2 + Cx + Dy +E = 0 กลบั ไปเปน็ รูปง่ายๆกอ่ น ตัวอยา่ ง 1 จงหาจุดศนู ย์กลางและรศั มีของวงกลม 2x2 +2y2+ 4x-8y +8 = 0 จัดรูปจะได้ 2x2+2y2+4x-8y+8 = 0 x2+y2+2x-4y+4 = 0 (x2+2x)+(y2-4y) = -4 (x2+2x+12)+(y2-4y+22) =-4+12+22 (x+1)2+(y-2)2 = 1 ดงั นนั้ จะได้จุดศูนย์กลาง คอื (-1, 2) และรศั มี = 1 นายณัฐธีร์ ตวิ าชัยวริ ตั น์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชนิ ทู ศิ เตรียมอดุ มศึกษาพฒั นาการ 11

ตัวอย่าง 2 จงหาจุดศูนยก์ ลางและรศั มีของวงกลม 4x2+4y2+4x-15 = 0 ������2 + ������2 + ������ − 15 = 0 4 (������2 + ������) + ������2 = 15 4 (������2 + 2(������) (1) + (1)2) + ������2 = 15 + (1)2 22 42 (������ + 1)2 + ������2 = 4 2 ดงั น้ัน จงึ ไดจ้ ุดศนู ยก์ ลาง คอื (− ������ , 0) และรัศมี = 2 ������ ตวั อยา่ ง 3 วงกลมวงหนึง่ มสี มการคือ x2+y2+Cx+Dy+E = 0 ถ้าวงกลมนม้ี ีจดุ ศนู ย์กลางคือ (-3, 2) และมีรศั มี 5 หนว่ ยแลว้ จงหาคา่ ของ C, D และ E วธิ ที า วงกลมที่มี จดุ ศนู ย์กลาง (-3,2) และมีรัศมี5หน่วยคือ (x+3)2+(y-2)2 = 52 x2+6x+9+y2-4y+4 = 25 x2+y2+6x-4y-12 = 0 เทยี บกบั x2+y2+Cx+Dy+E = 0 จะได้ C=6 D=-4 และ E=-12 นายณัฐธรี ์ ตวิ าชยั วิรัตน์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4/10 โรงเรียนนวมินทราชนิ ทู ศิ เตรยี มอุดมศึกษาพัฒนาการ 12

บทท่ี 7 พาราโบลา พาราโบลา จะมรี ูปกราฟเป็นจานดาวเท่ยี ม โดยเราจะไดเ้ วียนพาราโบลา 4 แบบ คือ หงาย คว่าตะแคงขวา และ ตะแคงซ้าย โดยคาศพั ท์ สาหรับเรยี กสว่ นต่าง ๆของพาราโบลา จะมีดังนี้ จุดยอด (v) คือ จดุ ท่ีพาราโบลาวกกลับ แกนสมมาตร คอื แนวเส้นตรงทผี่ า่ พาราโบลาเป็น 2 ส่วน เท่ากัน จุดโฟกัส (F) คอื จดุ รวมลาแสงของจานดาวเทียม กล่าวคอื ถา้ มี ลาแสงพงุ่ ใสพ่ าราโบลาแบบตรง ๆ มนั จะสะท้อนไปทีจ่ ุดโฟกัสเสมอ ด้วยเหตนุ ี้ ตัวรบั สัญญาณของจานดาวเทียม จะวางไวท้ ่จี ดุ โฟกสั ลาตสั เรคตัม คอื แกนทีล่ ากผ่านจดุ โฟกสั ในแนวต้งั ฉากกบั แกนสมมาตร เส้นไดเรกตรกิ ซ์ คือ แนวเส้นตรงทเ่ี ป็นฐานรองพาราโบลาโดย ระยะจากเส้นไดเรกตรกิ ซ์ ถึง จุด ยอดจะเท่ากับระยะจากจดุ ยอด ถงึ จุดโฟกัส = c นายณฐั ธีร์ ตวิ าชยั วิรตั น์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชนิ ทู ศิ เตรยี มอุดมศึกษาพัฒนาการ 13

สมบตั ิที่สาคัญอีกอนั ของพาราโบลา คือ ทุกจุดบนพาราโบลา จะห่างจากจดุ โฟกัส เท่ากับที่มนั หา่ งจากเส้นไดเรกตรกิ ซ์ กลา่ วคือ เตารังสีแสงอาทิตย์ (Solar Furnace) เป็นสิ่งก่อสร้างที่ออกแบบโดยนา กระจกมาเรียงต่อกันเป็นจานสะท้อน พาราโบลา จากสมบัติการสะท้อนของ พาราโบลา ทาให้แสงอาทิตย์รวมอยู่ที่ โ ฟกั ส ซึ่งมีอุณหภูมิสูงถึง 3,500 องศา ซึ่งพลงั งานจากแสงอาทิตยท์ ไี่ ด้นนี้ ิยมไปใช้ในการผลติ ไฟฟา้ การหลอมเหล็ก นายณฐั ธีร์ ตวิ าชัยวริ ัตน์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรียนนวมินทราชินทู ิศ เตรียมอดุ มศึกษาพฒั นาการ 14

สมการกราฟของพาราโบลา จะมี 4 รูป ไดแ้ ก่ หงาย (x-h)2 = 4c(y-k) คว่า (x-h)2 = -4c(y-k) ตะแคงขวา (y-k)2 = 4c(x-h) ตะแคงซา้ ย (y-k)2 = -4c(x-h) สังเกตวา่ พาราโบลา จะมีกาลังสองท่ี x หรอื y ตวั ใดตวั หนึ่งเพียงตวั เดียวเท่าน้นั สตู รทต่ี ้องทอ่ ง จะน้อยกว่ากราฟรปู อน่ื จุดยอด อยทู่ ่ี (h, k) ระยะจากจดุ โฟกัสถงึ จุดยอด = C = ระยะจากจดุ ยอดถงึ เสน้ ไดเรกตริกซ์ ความยาวลาตสั เรคตมั = 4c แกนสมมาตรา x = 3 เสน้ ไดเรกตริกซ์ x = -3 เสน้ ไดเรกตริกซ์: y = -2 แกนสมมาตรา y = 1 นายณฐั ธรี ์ ตวิ าชยั วิรตั น์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชนิ ทู ิศ เตรียมอดุ มศึกษาพัฒนาการ 15

ตัวอยา่ ง 1 จงหาจุดยอด จุดโฟกสั แกนสมมาตร เส้นไดเรกตรกิ ซ์ ความยาวลาตัสเรคตมั พรอ้ มท้ังวาด รปู พาราโบลาซ่ึงมสี มการกราฟ คอื (y-1)2 = -12(x + 2) วิธีทา สมการกราฟ อยู่ในรูปแบบ (y-k)2 = -4c(x-h) ดังนั้น เป็นพาราโบลาแบบ ตะแคงซ้าย จะได้ k=1, c=3, และ h=-2 ดังนั้น จุดยอด คือ V(-2, 1) ระยะจาก V ถึง F คือ c=3 ดังนั้น จุดโฟกัสคือ F(-5, 1) ระยะจาก V ถึง ไดเรกตริกซ์ คือ 3 ดว้ ย ดังน้ันไดเรกตวิกซ์ คือ x=1 แกนสมมาตร คือ เส้นแนวนอนที่ผ่าน V ดังนั้น แกนสมมาตรคือ y = 1 และสุดท้ายความยาว ลาตัสเรคตัม = 4c = 12 หน่วย ตวั อย่าง 2 จงหาสมการของพาราโบลา ซงึ่ มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 2) และจดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (0, -3) วิธที า จะเหน็ ว่าจุดโฟกสั อยใู่ ต้จดุ ยอด ดงั นน้ั เปน็ พาราโบลาควา่ ใชร้ ปู สมการ (x- h)2 = -4c(y-k) จุดยอด = (h, k) = (0,2) ดังนนั้ h=0 และ k=2 จุดยอดหา่ งจากจุดโฟกสั = 2-(-3) = 5 ดงั นั้น c=5 ดงั น้ัน สมการคือ (x-0)2 = -4(5)(y-2) x2 = -20(y-2) ในกรณที ่โี จทย์ใหส้ มการกราฟเละๆ แบบ Ax2 +By2+Cx +Dy+E = 0 จะต้องจดั รปู ใหส้ วยๆก่อน อย่างไรก็ตาม ตอ้ งรู้กอ่ นว่ากราฟพาราโบลาจะมีแคต่ ัว เดียวในระหวา่ ง x กบั y ที่มสี ทิ ธิถูกยกกาลงั สองตวั อยา่ งสมการกราฟพาราโบลา เชน่ x2-4x+8y+12 = 0 หรอื 2y2-3x+12y +24 = 0 นายณฐั ธีร์ ตวิ าชัยวริ ัตน์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชินทู ศิ เตรียมอุดมศกึ ษาพฒั นาการ 16

ตัวอย่าง 3 จงหาจดุ ยอด จุดโฟกสั แกนสมมาตร เส้นไดเรกตรกิ ซ์ ความยาวลาตัสเรคตมั พรอ้ มทั้งวาดรูปพาราโบลาซึ่งมี สมการกราฟคอื x2+2x-4y-7 = 0 วธิ ีทา จัดรปู ก่อนจะได้ x2+2x-4y-7 = 0 x2+2x = 4y+7 x2+2(x)+1 = 4y+7+1 (x +1)2 = 4y+8 (x+1)2 = 4(1)(y +2) สมการอยู่ในรปู (x-h)2 = 4c(y-k) ดังนนั้ เปน็ กราฟหงาย จะได้ h=-1, c=1, k=-2 จุดยอด คอื V(-1,-2) ระยะจาก V ถงึ F คอื c=1 ดังนัน้ จดุ โฟกัสคือ F(-1,-1) ระยะจาก V ถึงไดเรกตริกซ์ คือ 1 ด้วย ดังนัน้ ไดเรกตริกซค์ ือ y= -3 แกนสมมาตร คือ เสน้ แนวต้งั ทีผ่ า่ นV ดังนั้นแกนสมมาตรคอื x=-1 ความยาวลาตัสเรคตัม = 4c = 4 หนว่ ย นายณัฐธรี ์ ติวาชัยวริ ัตน์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชินทู ศิ เตรียมอดุ มศึกษาพัฒนาการ 17

บทที่ 8 วงรี กราฟวงรี จะมี 2 แบบ คอื รีแนวนอน กับรีแนวต้ัง โดยคาศพั ท์ สาหรับเรียกส่วนต่าง ๆ ของวงรี จะมีดังนี้ จุดศูนยก์ ลาง คอื จดุ ทีอ่ ยตู่ รงกลางของวงรี แกนเอก คือ แกนท่ลี ากผ่านจุดศนู ย์กลาง ตามแนวยาวของวงรี แกนโท คือ แกนทล่ี ากผ่านจดุ ศูนยก์ ลาง ในแนวต้ังฉากกับแกนเอก จุดยอด คือ จุดปลายแกนเอกทั้งสองจดุ นิยมแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ V และ V2 จุดโฟกัส คอื จดุ พเิ ศษ 2 จดุ บนแกนเอก ทมี่ สี มบตั ิว่า ระยะจาก โฟกัส1 ไปจุดไหนกไ็ ด้ บนวงรี ซึง่ กลับไป โฟกสั 2 จะมีความยาวเทา่ กบั แกนเอกเสมอ โดยเรานิยมแทนจดุ โฟกัส ด้วยสญั ลกั ษณ์ F1 และ F2 เชน่ จะได้ F1AF2=F1BF2=F1CF2=F1DF2=F1EF2 นายณัฐธรี ์ ติวาชยั วริ ตั น์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4/10 โรงเรียนนวมนิ ทราชินูทิศ เตรยี มอุดมศึกษาพัฒนาการ 18

สมการกราฟของวงรี จะอยูใ่ นรูป (������−������)������ (������−������)������ + ������������ ������������ จะรแี นวนอนหรอื รีแนวต้งั ข้ึนกับ ตัวหาร x และ ตวั หาร y ว่าตวั ไหนมคี ่ามากกว่ากนั ถ้าตัวหาร x มากกวา่ จะรีแนวนอน แต่ถา้ ตัวหาร y มากกวา่ จะรีแนวต้งั EXAMPLE (������−1)2 + (������−2)2 = 1 รแี นวนอน 32 22 รแี นวตัง้ (������−1)2 √22 = 1(������+1)2+ 12 ปกติ เราจะให้ a แทนตวั มาก และ b แกนตวั น้อย ดงั น้นั (������−ℎ)2 + (������−������)2 = 1 รแี นวนอน ������2 ������2 รีแนวตงั้ (������−ℎ)2 + (������−������)2 = 1 ������2 ������2 ระยะจากจดุ ศูนยก์ ลางถงึ จุดโฟกสั ������ = √������2 − ������2 ตัวอย่าง 1 จงวาดรปู พรอ้ มทงั้ หาจุดยอด จุดโฟกสั จุดศนู ย์กลาง ความยาวแกนเอกและ แกนโท ความยาวลาตสั เรคตมั และค่าความเยื้องศูนยก์ ลางของวงรี ซ่งึ มีสมการกราฟ คอื (������−2)2 + (������+3)2 = 1 94 จุดศูนยก์ ลาง = (h,k) = (2,-3) ความยาวแกนเอค = 2a = 2(3) = 6 ความยาวแกนโท = 2b = 2(2) = 4 ความยาวลาตสั เรคตมั = 2������2 = 2(2)2 = 8 ������ 3 3 ระยะจากศนู ย์กลางถงึ โฟกัส = ������ = √32 − 22 = √5 ความเยือ้ งศนู ยก์ ลาง = ������ = √5 ������ 3 นายณัฐธรี ์ ติวาชัยวิรัตน์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4/10 โรงเรียนนวมินทราชินูทิศ เตรยี มอุดมศกึ ษาพฒั นาการ 19

บทที่ 9 ไฮเปอรโ์ พลา จดุ ศนู ยก์ ลาง คอื จดุ ที่อยตู่ รงกลางของไฮเพอรโ์ บลา เส้นกากับ คอื แนวกากบาททีก่ ากบั เส้นกราฟไฮเพอรโ์ บลา จดุ ยอด คือ จุดทไ่ี ฮเพอรโ์ บลาวกกลับ นยิ มแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ V1 และ V2 แกนตามขวาง คือ แกนทลี่ ากเชอ่ื มจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แกนสังยคุ คือ แกนที่ลากผา่ นจุดศนู ย์กลาง ในแนวต้งั ฉากกบั แกนตามขวาง จุดโฟกัส คอื จดุ พเิ ศษ 2 จุดที่มสี มบตั ิวา่ \"ทกุ จดุ บนไฮเพอรโ์ บลา ถา้ เอา ระยะทางไปจุดโฟกสั ท้งั สองมาลบกัน จะไดผ้ ลลบเทา่ กบั ความยาวแกนตามขวาง เสมอ\" โดยเรานยิ มแทนจดุ โฟกัส ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ F1 และ F2 ลาตสั เรคตมั คอื แกนท่ลี ากผ่านจดุ โฟกสั ในแนวตงั้ ฉากกับแนวไฮเพอรโ์ บลา นายณฐั ธีร์ ตวิ าชัยวิรตั น์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4/10 โรงเรียนนวมินทราชนิ ทู ิศ เตรียมอุดมศกึ ษาพัฒนาการ 20

สมการกราฟของไฮเพอรโ์ บลา จะคล้ายกบั สมการกราฟของวงรี แตเ่ คร่ืองหมาย ตรงกลางจะเปน็ \"ลบ\" โดยจะเปน็ ไฮเพอรโ์ บลาแนวนอน หรือแนวตง้ั จะข้ึนกบั ว่า เปน็ สมการแบบ x ลบ y หรอื แบบ y ลบ x ถ้าเปน็ x ลบ y จะเป็นไฮเพอร์โบลา แนวนอน แตถ่ า้ เปน็ y ลบ x จะเปน็ ไฮเพอรโ์ บลาแนวตง้ั (������−ℎ)2 + (������−������)2 = 1 รีแนวนอน ������2 ������2 (������−������)2 + (������−ℎ)2 = 1 รีแนวตัง้ ������2 ������2 จดุ ศูนย์กลาง อยูท่ ่ี (h, k) ความยาวลาตัสเรคตมั = 2������2 ������ ความยาวแกนสงั ยดุ = 2b ความยาวแกนตามขวาง = 2a ระยะระหว่างจดุ ศนู ยก์ ลางถึงจดุ โฟกสั = ������ = √������2+������2 จะเห็นว่าสมการและสูตรของไฮเพอรโ์ บลา คลา้ ยๆกับวงรี จะสรุปได้ดงั นี้ \"เสน้ กากับ\" จะเป็นเสน้ ตรง 2 เส้นไขวก้ ันเป็นกากบาท วธิ ีตอบเส้นกากับ ใหต้ อบเปน็ สมการ เสน้ ตรง 2 สมการ (������−������)2 ������2 +จะมีเส้นกากับคือ(������−ℎ)2=1 ������−ℎ = ������−������ หรอื ������−������ = − ������−ℎ ������2 ������ ������ ������ ������ จะมเี สน้ กากบั คือ(������−������)2 ������2 + (������−ℎ)2 = 1 ������−������ = ������−ℎ หรอื ������−������ = − ������−ℎ ������2 ������ ������ ������ ������ ไฮเพอรโ์ บลาทมี่ ีเส้นกากบั ทงั้ สองตัง้ ฉากกัน จะมชี ื่อเรยี กพเิ ศษว่า\"ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก\" โดย เสน้ กากับท้งั สองจะต้งั ฉากกันเมือ่ แกนตามขวางกบั แกนสังยุคยาวเทา่ กัน (น่นั คอื เมอื่ a = b) นายณัฐธีร์ ตวิ าชยั วิรตั น์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4/10 โรงเรยี นนวมนิ ทราชนิ ูทศิ เตรยี มอดุ มศึกษาพฒั นาการ 21

ตัวอยา่ ง 1 จงวาดรปู และหาส่วนประกอบตา่ ง ๆของไฮเพอรโ์ บลา ซง่ึ มสี มการกราฟ (������ + 4)2 (������ − 1)2 4 + 9 =1 หาส่วนประกอบต่างๆ จดุ ศนู ยก์ ลาง = (h,k) = (-4,1) ความยาวแกนตามขวาง = 2a = 2(2) = 4 ความยาวแกนสังยดุ = 2b = 2(3) = 6 ความยาวลาตัสเรคตมั = 2������2 = 2(3)2 = 9 ������ 2 ระยะจากศนู ยก์ ลางถึงโฟกสั = ������ = √22+32 = √13 เสรมิ ความร:ู้ ในโลกเรามีอะไร หอหลอ่ เยน็ สาหรับเครื่องปฏกิ รณ์นิวเคลยี รท์ อ่ี อกแบบโดยใหเ้ ปน็ ทรงไฮเปอร์โพลา ทาให้ใช้วสั ดนุ ้อย มคี วามแข็งแรง นายณฐั ธีร์ ติวาชัยวิรัตน์ ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4/10 โรงเรียนนวมินทราชินูทิศ เตรยี มอดุ มศึกษาพัฒนาการ 22

ตัวอย่าง 2 จงวาดรปู และหาสว่ นประกอบตา่ ง ๆของไฮเพอรโ์ บลา ซึ่งมีสมการกราฟ คอื x2-y2-4y-8 = 0 1. จดั รปู x2-y2-4-8 = 0 x2+ (-y2-4y) = 8 x2-y2+4y = 8 x2- (y2+2(y)+22) = 8+(-2)2 x2- (y+2)2= 4 (������)2 − (������+2)2 = 1 44 2. หาสว่ นประกอบตา่ ง ๆ จดุ ศูนย์กลาง = (h,k) = (0,-2) ความยาวแกนตามขวาง = 2a = 2(2) = 4 ความยาวแกนสงั ยุด = 2b = 2(2) = 4 ความยาวลาตัสเรคตมั = 2������2 = 2(2)2 = 4 ������ 2 ระยะจากศูนยก์ ลางถึงโฟกัส = ������ = √22+22 = 2√2 นายณัฐธีร์ ติวาชัยวิรัตน์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4/10 โรงเรยี นนวมินทราชนิ ทู ศิ เตรยี มอดุ มศกึ ษาพฒั นาการ 23

บทท่ี 10 ไฮเปอร์โพลาแบบเอยี ง นอกจากน้ี เรายังต้องรวู้ า่ สมการในรปู xy= ±m (เมือ่ mเปน็ ตัวเลขอะไรกไ็ ด้) กเ็ ป็น ไฮเพอรโ์ บลาดว้ ย ในเรอื่ งความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน เราไดเ้ หน็ กราฟของสมการ xy = ±m ดังน้ี ซึ่งถ้าสงั เกตให้ดี กราฟหลา่ นี้จะเปน็ ไฮเพอร์โบลาแบบเอียงๆ โดยมแี กน X กับ แกนY เป็นเส้นกากบั นนั่ เอง โดยไฮเพอรโ์ บลาในรปู xy = k จะเป็นไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉากเสมอ นายณัฐธีร์ ตวิ าชยั วิรัตน์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4/10 โรงเรียนนวมนิ ทราชนิ ูทิศ เตรียมอดุ มศกึ ษาพฒั นาการ 24

นอกจากน้ี เรายังสามารถ \"เลื่อน\" ไฮเพอรโ์ บลาไดด้ ้วย โดย (x-h)(y-k) = ±m จะมจี ุด ศูนยก์ ลางอยูท่ ่ี (h, k) และมีเสน้ กากับคือ x=h และ y=k โดยทุกจุดบนกราฟจะมี พกิ ัด x = พกิ ัด x เดมิ +h พิกัด y = พกิ ัด y เดิม +k นายณัฐธีร์ ตวิ าชยั วริ ัตน์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4/10 โรงเรียนนวมินทราชนิ ทู ิศ เตรยี มอุดมศกึ ษาพฒั นาการ 25