основы милогии 1999

Рис.4.2-5Особенностьэтихструктурныхсхемзаключаетсяпреждевсеговтом, чтоониотражаютсвойствооператоровконцептуализации,котороезаключаетсявтом,чтосколькобы нипроизводиликонцептуализаций,внутренняяорганизацияконцепцииперсонажейянеизменной,инвариантнойотносительнооператораСО,хотясложность каждогогаструктурывозрастает.Новозрастание этойсложностипроисходит такимобразом,чтокаждыйэлементурысодержитвсебеоднуилинесколькоболееэлементарных структурныхсхем.,юдитрасщеплениеуровнейиерархиинаподуровни. Подуровнивсвоюочередьмогут:щеболее тонкую структурурасщепленияит.д.Врезультатемыполучаем вложенныедругвдругаупорядоченные совокупностиуктур. Другимисловами,можносказать, чтовсеподобные подструктурыбудутмежду подобны.Анализсхем Рис.4.2-1ирис.4.2.-2показывает,чтоврезультате концептуализацииюдитперестройка оболочекструктурнойсхемытакимобразом, чтоэлементысоднимичислом вхожденийсимволовперсонажей,находятсянаодномитомжеуровнеиерархиидиняютсявоболочки.Такдлясхемы(4.2-2)мыимеемдвауровняиерархии,соответственнодвеоболочкиЛ =(О0<х(О0),у(Ц))»томкаждаяоболочкасостоитвсвоюочередьизподоболочек=(Q)X^2=(44)4=<x(Q0),y(Q0)>,b 2=<х(х(О0)),х(у(О0)),у(ЯЦ)))»Будем считать, чтоесли элементыоболочки

Беляев1У1.И.основыjuamutuIi .yz.удовлетворяютусловиюЦ)С fljС ...С2 пД(4.2-6)томыимеемупорядоченнуюсистемуподоболочек, вложенных,частичноилиполностью, другвдруга.Аналогично, еслимыимеемконцептуальнуюцепочку,вкоторойвыполняетсяусловиеЭ О,Z)...Z>а„(4.2-7)тотакуюконцептуальнуюцепочкубудемназыватьнисходящей. Еслижес а,а ...с а птоданнаяцепочкабудетвосходящей.Приэтомначальныйэлементцепочкибудемназыватькорнем,конечный листом.-Анализ структурныхмногочленовисоответствующихструктурныхсхемпоказывает,чтоконцептуальные структурыданноготипаявляютсядревовидными.4.3.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯКОНЦЕПТУАЛЬНЫХСТРУКТУРРассмотримосновные техническиеприемы,используемыеприработесоструктурнымимногочленами.4.3.1.РАСКРЫТИЕ СКОБОК.Пустьмы имеемструктурный многочленQi(х)=1(х(Ц)+х(х(Ц,))+*(х(Ж))))Тогда,полагая,что длямногочлена справедливзакондистрибутивности, мыполучимQi(х)= 1(х(Ц)+ х 2(Ц )+ х 3(Ц))Вынесемза внешние скобкисимволперсонажаX.Тогдамыполучим многочленQ,(х) =х((Ц,) +х(Ц)+ х 2(Оо))),структурнаясхемакоторогобудетиметьвид

CDРис.4.3-2Мыполучилидляданногоструктурногомногочленакомпактнуюформу записи,ейшее«сжатие»структуры рамкахвданногопредставленияужеявляется невозможным,им,что символ«1»вструктурных многочленахозначает формальноеобъединениечастейурыиозначает,чтовдальнейшем этот символ будетзамещаться каким-либосимволом1ажасистемы.4.3.3. УМНОЖЕНИЕСТРУКТУРНЫХМНОГОЧЛЕНОВx°Q,(x)иx°Q2(y)груктурныемногочлены, тоx°Q,(x)*x°Q 2 ( x )1кжеструктурный многочлен.Здесьсимволх°означаеткорень структурногодерева,|которогобудетвдальнейшемзаписан некоторыйсимволперсонажаи,темсамым,осуществлятьсяпреобразованиедеревавнекоторое новоеподдерево.кениемногочленов даётx’Q^x)*x°Q,(x)=x°(Q1(x)*fi2(x))(4.3-2)Здесь структурныймногочлен£2,(х)занялместопеременнойх°Э,(х) =1+х,аQ 2 ( x )=(Q,+x(Q 0))(4.3-3)X°(Q,(x)*Q 2 (x ))=X°(Q1( )x*X^Q^X^Qo)))4.3.4. СЛОЖЕНИЕСТРУКТУРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ:°Q,(x)иy°Q2(y)-структурные многочлены, тоx 0Q,(x)+y°Q2(y)(4.3-4)структурныймногочлен, представляющий собойдецентрализованнуюструктурусгальнойсложностью отношенийсубординациивмодулях,еёсоставляющих(Q,(x)и4.3.5.СДВИГ СТРУКТУРНОГОМНОГОЧЛЕНАстный случайумноженияструктурных многочленов.ЕслиQ l(x)=xn-структурныйшен,aQ 2(x)= естьтакжеструктурный многочлен,товрезультатеумножения получим

ЖЦ(х)*Ц(Х)=x n(Q 2(x))структурныймногочлен, сдвинутыйнапуровнейиерархиивправо(наструктурнойсхеме -вниз),приэтом пустые“”уровнииерархиизаполняютсясимволомперсонажа X.Пусть мы имееммногочленЩх)= х°(Оо+х(Ц0)(43’ 5 >Тогдаx 2Lij(x)даетО,(х) =х 2(Ц+х(Ц)) =х(х(Ц+х(Оц)))(4.3-6)Структурнаясхемабудет иметьвидт.е.мыполучили структуру, сдвинутую надвауровня иерархиивниз.4.3.6.РАЗВЁРТКАСТРУКТУРНЫХМНОГОЧЛЕНОВ.Этотоже частный случай умноженияструктурных многочленоввидаQi(х)=1(х+х(1+х(1+...(1))..)(43 7).Q 2 (x )=1(х(Л0 )+х(Д+х(4+...(Д))..)Структурные схемыэтихмногочленовимеютвидТогда,выполняя умножение, получимQ1(х)Ог(х)=Х°(4+Х(4+4)+Х4+4 +4)+ -(4.3-8)

Последняяструктурная схемаможетслужить хорошейматематическойиллюстрацией□мерностипреемственностииэкспоненциального ростаструктурысистемывпроцесселюции,когдана каждомэтапесистемакакбыкопирует самусебяипотомдобавляет)уникальнуюоболочку, всоответствии рекуррентнымисправиламиформирования тогозогоуровня иерархии.Тотфакт,что любуюструктуру можнопредставитьввидесовокупности древовидныхтурзасчет введенияизбыточныхэлементов,означает,чтомыимеемделосфункциональнымиэлементами, чтомытаким образомимеемвозможностьвыделитьдельные функцииэлемента,обособитьихврамкахотдельнойдревовиднойструктуры,аябудет служитьдля достижения системойоднойизеефункций.Использованиеструктурныхмногочленовможет быть полезноидлядругих классов'ур,анетолькодревовидных.Дляэтогоможнотольковвестинекоторыедополнительныеции,илимодернизируя операции,введенныевыше.4.3.7. СВЕРТКАСТРУКТУРНЫХ МНОГОЧЛЕНОВВрезультате свертки структурный многочлен преобразуетсятаким образом,чтопо структуребудеттождественнейкисходномуконцептуальномумногочлену.Процесс:изаключаетсявтом, чтопроисходитпреобразованиеструктуры более простомуквиду.,например,мыимеем следующиеструктурныемногочленыQ]== (£lo(x(Qo )+_y(Q0)))Q 2=«(□! )=(Q](x(Q,)+ у(Q,)))Ц ==(^2+j(^)))каждыйпоследующиймногочленявляется сверткой.Используяметод подстановки,всеногочленыможно развернуть,выражаямногочленQ.через£24.4. ОСТРУКТУРНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИОднимизярчайших примеровторжестваидейзаконовиерархииможетслужить>циявычислительнойтехникии,впервую очередь,программногообеспеченияютеров.Программноеобеспечениекомпьютеров появилосьпозднееаппаратного.Померезениясложностиаппаратурывозрасталиивозможностипрограммногообеспечения,юзданыассемблеры,компиляторы,операционныесистемыисистемыуправлениябазамих.

ЖХотявоснове рядадисциплин,смежныхсвычислительнойтехникой,например,матемагическойлогики,лингвистики, теорииавтоматов др., лежитиматематика, у большинстваспециалистовдосихпорбылиостаетсяподходкразработкепрограммногообеспеченияскореепрагматический,нежелитеоретический.А междутемэволюцияпрограммногообеспечения,эволюция компьютеров,совсейочевидностьюсвидетельствуетотом, чтоименно этойвсфере наиболее яркопроявляютсязаконыэволюции,законыиерархии.Предшествующеепоколениепрограммистовобучалосьпрограммированиюнепосредственнопрограммированием. Программистымыслилиабстрактными категориями(машиннымидвоичнымикодами).Пользовательполучалрезультата,незнаяход (пути)решениязадачи.Выходизтупикавначале былнайденнапутиструктурного(модульного)программирования,прикоторомзадачарасчленяласьнаблоки(модули) изкоторых потомкакизкирпичиков,складываласьтаилиинаяпрограмма. Формировалисьбиблиотекистандартныхпрограмм,изкоторыхкакизкирпичиков,строилисьдругиепрограммы.Здесьуженачалвозникатьсовершенноновыймеханизм( впрограммировании,но невматематике,идр. науках),прикоторомнанекоторыйстандартныйнаборкирпичиковотражалосьбесконечноечислопространственных“образов” .Последовательноепрохождениедереваконкретного“образа”программыприводилокполучениюконкретногорезультата.Впрограммированиисталразвиватьсяестественный механизм,которыйпосвоимвозможностямможносравнить,пожалуй,толькосмозгомчеловека.Структурноепрограммированиеявилосьпрообразом“образногомышления”компьютера, котороепостоянносовершенствуется.Приэтом,естественно,чтоодниитежекирпичикимогли использоватьсямногократно,нетольковрамках одногообраза,ноиприсоздании других компьютерныхобразов.Самижекирпичикиявлялисьлистьями конкретных“образов” .Приэтом,чемсложнеесетьдеревьевсобразами,тем болеесильнымиукомпьютерабудутвозможности находитьиопределять“аналогичные образы,”тембольше интеллектуальных возможностей“”будетукомпьютера.Дальнейшаяэволюцияподтвердиластратегическуюлиниюнаразвитиеэтихвозможностей.Вкачествекирпичиковсталииспользоватьсамиданные.Приэтомчембольшенакапливалосьданных,темостреестановиласьпроблемауправленияэтимиданными. Поэтомувозникли хранилища данных,смеханизмамиихконтроляиуправления,которыесталиназыватьбазамиданных.Программноеобеспечениеибазы данныхвсеболееиболеесталинапоминатьмозгчеловека.Действительно,здесь естьполнаяаналогия.Водном“полушарии”компьютерахранятсялистьяобразов(программыиданные),авдругом-самиобразы, которыепредставляютсобоймногоуровневыецепочкипроизвольнойдлины, имеющиемногочисленныезацикливания.Припрохождениидереваобразавстрогоопределенном порядкевозникает“пространственный”объект-оригиналобраза.Этотпроцессможетбытьмногоуровневым, многослойным.Составляяцепочкиизкирпичиков,каждыйизкоторыхбудет деревомобразов,мыполучимболеесложноедерево,получим болеесложныйобраз,ит.д.Этадвойственнаясовокупностьцепочекикирпичиковбудет составлятьпервый уровеньиерархиисистемы,первыйслойееоболочек,Если теперьвкачествекирпичиковиспользоватьобразную частьоболочкииначатьформироватьизэтогонабораразличные образы,томыполучим следующийдвойственныйслойсистемы,ит.д.Впринципе, именнопотакомуобразуиподобию функционируютвсеиерархическиесистемы.Поэтому можносказать,чтопрограммированиеявляетсяпроцессомспектральногоразложенияобразаобъектана двесоставляющие,изкоторых перваясвязываетвсесоставляющиевстрогоопределенномпорядкевсеэлементарныекирпичикиобраза,асамикирпичики размещаетвовтором“полушарии” .Можносказать,чтооднополушариекомпьютера отвечает заобразноемышление,другое-заабстрактное,таккаксодержиттолько

Lljimc»М.И.\"Основымилогии\".1999юл.Оii.icданные.Этополушарие составляетсамыйнизкийуровень“интеллекта”компьютера,ipne,отвечающееitобразноемышление,естественно,составляетболеевысокий уровеньжта компьютера.Такимобразом,прогрессввычислительнойтехникеобязан,преждевсеготому,что:,незная обэтом,скопировалуприроды самыйоптимальныйспособорганизации1ческихсистем.Зо-первых,этоувязываниевсехэлементоввединуюцелостную многоуровневую.Во-вторых,этопоследовательный,строгоэволюционныйхарактерсозданиявсеболеехиерархическихсистем.В-третьих,этоидвойственныйхарактервсехпрограммных:киподоболочек,ихограниченностьизамкнутость,наличиепрямыхиобратныхсвязей, т.п.Дальнейшаяэволюция вычислительнойтехникибудетсвязанассозданиемпиальноновогокомпьютера, которыйбудет способенкопировать,воспроизводитьигь”пространственнымиобразами,точно так,какэто делает человек.3принципе,этиуспехичеловеканеявляются новыми дляпрограммирования.Этиидеи|ьносоставляютосновулингвистикиислужатдляописаниясинтаксисаисемантикиственных языков,такиязыков, созданныхисключительнодлянуждпрограммирования.3ЕЗЮМЕ.Структурныемногочленымогутбытьпримененыдляструктурногоописания<айносложныхинтегрированныхиерархическихсистемсиспользованиемнекоторых:еизвестныхприемов,которые широко распространенывматематикеимогут бытьjдляработыс концептуальнымимногочленами.!.Вводятеилииныеоперациимыможемполучатьсамыеразличныеклассыструктурныхленовдляописания концептуальныхструктур.Рассмотренные структурныесхемыцийнагляднопоказываютсущностьпоследовательногопримененияоператоров'уализациикисходномуконцептуальномумногочлену. Структурные'схемыраскрываютностьконцептуальных оболочекиподоболочекдругвдруга,ихспособностьироватьсядругсдругом,ихспособностькформированиюдвойственныхищойственныхотношений.I.Структурныесхемымогутбытьиспользованыипри анализеоболочекиподоболочекической системы химическихэлементов,ядерныхоболочек подоболочек, такжеиапри*классификаций элементарныхчастиц.ва5.СЛОЖНОСТЬИЕРАРХИЧЕСКИХСТРУКТУР.ОПИСАНИЕПРАВИЛ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ И СТРУКТУРНОЙСЛОЖНОСТИаописанияотношенийпреемственностииструктурной сложности могут быть заданыиспособами.Рассмотримнекоторыеизэтихспособов.5.1.1ПРОИЗВОДЯЩИЕФУНКЦИИИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР.<задаче описанияправилпреемственности-структурныхмногочленовможно подойти,|уяметодпроизводящихфункцийДействительно,сучетомвложенностивнутренних миров персонажейдругвдруга,мымслучаебудемиметьсистемувложенныхдругвдругаоболочекиподоболочекщескойсистемы,образованных операторамиконцептуализации.4зматематикиизвестно,чтовсякийраз,когданамнужнополучитьинформациюо>вательностичисел

fcftiiliiilШ1,УшшкМ1шиш.л1УД.< а„>=а0 ,а,,а а,,2 ,...>мыможемобразоватьбесконечнуюсуммупо степенямпараметра“ х ”G(x)=a0+а,х' + а 2х 2+ а 3х ’ +...+anx\"=а п х п(5.1-2)т.е.производящуюфункциюдлячисловойпоследовательности(5.1-1).Еслиэтапоследовательностьопределенаинтуитивно,т.е.еслиа нопределяетсяпоа,а,а,тоэтодаетважныепреимуществаприисследовании. Многиепоколенияматематиковвсвоихисследованияхиспользовалипроизводящиефункции. Важноезначениеприиспользованиипроизводящихфункций имеетвопрососходимостибесконечнойсуммы(5.1-2).Однако,сдругойстороны,работаяспроизводящимифункциями,частоможнонебеспокоитьсяосходимостиряда, посколькумылишьисследуемвозможныеподходыкрешениюнекоторойзадачи.Когдамынайдемрешениекаким-либо способом,какбынестрогоннибыл,можновсегданезависимым способомубедитьсявверностиэтогорешения.Производящиефункцииоченьширокоиспользуютсявматематике,т.к.являютсямощныморужиемприрешениипрактическихзадач,связанных,например,сперечислением,распределениемиразбиениеммножествобъектовразличнойприроды.Отметим,чтовнекоторых разделахматематики,например,вкомбинаторике,переменнаяхникакнеопределенаисчитаетсяпросто абстрактнымсимволом, ролькоторогосводитсяктому, чтобыразличатьэлементычисловыхпоследовательностей. Приэтом различныепреобразованиятакихпоследовательностей заменяютсясоответствующимиоперацияминадпроизводящимифункциями.Действительно,вслучае, еслипроцессыосознанияосуществляютсяспомощьюодногоитогожеоператораосознания(0= +х,1то, например, структурный многочленвидаQ,=(0\"(Q)=(1+х)\"(Q)гдеп—числоосознанийбудетпорождатьнужнуюнампоследовательность коэффициентов<а >= <ап0 ,а,,а 2 ,а 3 ,...>Такимобразом,мыполучили первоепредставлениеотехалгоритмах,покоторымПриродаможетпроизводитьосознание самойсебяиосуществлять синтезновых более сложныхиерархическихсистем.— Ш2.(5.1-1)5.1.2. БИНОМИАЛЬНЫЕРЯДЫПравилазадания структурнойсложностимеждуэлементамииерархическихсистемиподсистеммогутбытьзаданы методами перебора различных возможных значений,т.е.числомсочетанийизmэлементовпо п .Общеечислосочетаний,котороеобычно обозначаетсячерезесть(п> =П(п-!)...(«-/и+1)Iтт(п-1)...1(5.1-2)Величину( тназываютбиномиальнымикоэффициентами.Соотношения(5.1-2)можно использоватьдляопределениядаже томвслучае,еслипнеявляетсяцелымчислом(нодля:лыхт).Вка^ес^ве частных случаевсправедливы=пСуществуютбуквальнотысячитождеств,включающихвсебябиномиальныекоэффициенты.Таких соотношений настолько много, чтокаждоеновое тождествоуженикогоневолнует,разве чтосамогоавтора.Всеэтоговоритобихчрезвычайноширокой областиприменения.Извсехсвойствбиномиальныхкоэффициентов наиболее важноезначениеимеет

L l .imc»М.И.\"Осшнымилогии\".1999■од.гальння теорема(y+xfk=0,r,г-целоечисло> О(5.1-3)ношении (5.1-3)наиндекскненаложеноникакихограничений,т.к.прик<гствующие членыравнынулю,праведливо длявсехг,еслиБиномиальнаятеоремаутверждает, чтосоотношение<1;У_хйслучай,когдау=1имеетбольшоезначение,поэтому отметимегоспециально(1+х)г=(£)Дк=0,гд-целоечисло>0,или|х|<1(514)яг=0,1,2,...мыполучимпоследовательностьбиномиальных рядов,котораяноситшноеназвание треугольник Паскаля.-Наиболееважноесвойствобиномиальныхциентовзаключаетсявихудивительнойсимметричности.Действительно,записываяили1111111234561361015211410203556151535170126162156126252(5.1-6)1зматрицвидно,чтоихэлементыотносительно главнойдиагонали образуютсимметрическиерифметическийтреугольник.5.1.3.АРИФМЕТИЧЕСКИЕРЯДЫАрифметическийрядпорядкак-этопоследовательностьзначениймногочленастепениР(х)= а 0+ а | х+ а 2 х 2+...+ак х к(5.1-7)аемых имприпоследовательныхцелых,неотрицательныхзначенияхпеременныхх,...).Еслисоставитьрядизразностейсоседних членоварифметического ряда,затемученнойпоследовательности разностейобразоватьихразности(вторыеразности),для

bc.iacuМ.И.Ооючымилкнн'.1999год.С111вторыхразностейобразоватьтретьи разностиит.д.,тонак-мэтапе окажется,чтовсек-ыеразностиравнымеждусобой.Обратно,еслидлянекоторойпоследовательностичиселеек-ые разностиравнымеждусобой, эта топоследовательностьестьарифметическийряд порядкак.Пользуясьэтимсвойством, можностроить арифметические ряды различных порядков,отправляясьотихразностей.Например, последовательность1,1,1,...можнорассматриватькакпервыеразностипоследовательностинатуральныхчиселN1,2,3,4,(5.1-8)как вторыеразности последовательности треугольныхчисел1,3,6,10,. ..(5.1-9)кактретьиразностипоследовательности тетраэдрическихчисел1,4,10,20,...(5.1-10)Названиеэтихчиселобъясняетсятем,чтотреугольные числавыражаютчислошаров,уложенныхввиде треугольника,атетраэдрические- ввидететраэдра(пирамиды).Рис5.1-1Треугольныечиславыражаютсяформулой„= ]232’Ъ^5^5•••Атетраэдрические-±1X^.2)Л= 123>AJ— A,A,...(5.1-11)(5.1-12)видОбобщением треугольныхчиселявляютсяк-угольные,илифигурные числа,имеющиел+л=1,2,3,...(5.1-13)прик=3получаются треугольные числа,прик=4-квадратныечисла,прик=5-пентагональныечисла,ит.д.Названиеэтихчиселвыражаютчислошаров,расположенныхввидеквадратаилипятиугольника.Однакоарифметический треугольник можно представитьивболееобщемвидеР(х)=(1-х)\"(5.1-14)Прип=1мыполучимпоследовательностьединиц1,1, 1,.....При п=2 получимпоследовательность натуральныхчисел(2),прип=3-последовательность треугольныхчисел(3),прип=4 последовательность -тетраэдрическихчисел(4)ит.д.Рассматриваявыражение(8)какбиномНьютонасотрицательным показателем-п,формальнозаписываем

атакжесразуследует формальноесоотношение(Г)=(Г‘ )!м,чтоспомощью соотношенияр(х)=(1+х+...+хя,- 1 )л=(:)х г''т(5.1-16)построить обобщенныйарифметическийтреугольник.Заметимвначале,что1ьникПаскаляможно получить помощью срекуррентнойформулыТогдасмыслформулы(5.1-16)заключаетсявтом,чтоприразложении ряда(5.1-16)помхкоэффициентыприх гвыражаютчислоспособов получитьсуммуг,складываяп(ых,каждоеизкоторыхравноодномуиз^чцсел(5.1-17)s(г+1)-ечислов(п+1)-йстрокеравнот-числукортежейдлиныпссуммойзатг.1рит=2получаетсятаблицабиномиальныхкоэффициентов(1 +1)\"=(;)2 ,Г=0,Я(5.1-18)1рит=3-таблицатриномиальныхкоэффициентов(1+ 1+1)\"=(;)з ,г = 6^<51-19)ИТ.Д.[риэтомвобобщенномарифметическомтреугольникеегоэлементы прит=2к(четное)гаютсятак,чточислапредшествующейстрокинаходятсянадпромежуткамимежду следующейстроки. Приэтомкаждое числоравносуммекчиселпредыдущейстроки,1ейсяслеваотнего,икчисел,находящихсясправа.елижет=2к+1(нечетное),то числапишутсядругнаддругом,акаждоечислоравносходящихсянаднимкчисел,расположенныхвпредыдущейстрокеслеваотнего,ик^положенныхвтойже строке справаотнего.обеихслучаяхсуммарасполагаетсясимметричноотносительнослагаемых,астрокиольникаобразуютправильныесимметрическиеряды.Заметим,чтоеслислеваилитискомого числавпредыдущейстрокеменьшечисел, чемнужнодляобразованияонедостающиеслагаемые полагаютсяравныминулю.Данные последовательностиарифметических рядовимеютмногозамечательных>стей.Главнаяизэтих особенностейзаключаетсявтом,чтовсечислаэтихрядовtбиномиальнымикоэффициентамии,крометого,процессполучения арифметическихIсутиделаявляется операциейразворачиванияряда,образованногоразностямиiчисловойпоследовательности1,1,1,1,...

5.2.ПОКАЗАТЕЛИСЛОЖНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХСТРУКТУР.Подтермином сложность иерархической структурымыбудемпониматьхарактеристикуилисовокупностьхарактеристик,используемыхвкачествемерыдлясравненияоднихиерархическихструктурсдругими.Вобщем случаеэтамерапредставляетсобойдиалектическоеединствокачестваиколичества.Следовательно,сложность иерархической структурыможновыразитьтолькопосредствомнекоторогомножествапоказателейсложностиW.Всоответствиис определениеммерысложностиструктуры множествоWразбивается на дваподмножества:W'-множество количественныхпоказателейсложности;W k-мнoжecтвo качественныхпоказателейсложности;Этодиалектическое единствокачества количестваисодной стороны,идействительнаясложность структур другойсстороны, обусловливают многозначность отображениямножестваW всебя.Нахождениеэтогоотображения(качественныхиколичественныхсвязеймеждупоказателямисложности)составляеттруднуюпроблему.Дляиерархическихструктур можновобщемслучаевыделитьнекоторыенаиболееобщие,наиболееважныепоказатели, которые характеризуютструктурные, качественныеиколичественныесвязимеждуэлементами, модулями.Отметим,прежде всего,чтоструктурахарактеризуетсясоставомивнутреннейорганизацией(собственноструктурой).Всоответствиисэтимможноразличатьколичественнуюикачественнуюмерусложности структуры.Количественнуюмерусложностибудемопределятьеёсоставом,т.е.числом структурныхединиц (элементовилимодулей),принадлежащих заданному множествуэлементов(модулей),входящихвсоставструктуры.Подкачественноймеройсложностимыбудемпониматьсобственно структурнуюее,учитывающейуровеньдекомпозициисистемы(структуры),уровеньичислоуровнейиерархииит.д.Другими словами, понятиекачественной сложности структурыявляетсяпонятиемотносительным иопределяетсярассматриваемымуровнем иерархии модуля(элемента)иегорангом.Вомногихслучаяхэтопонятиеможетвключатьвсебянетолькосинтаксическуючастьописания, характеризующуючистоструктурные свойства,ноисмысловую, семантическую частьописания.Вначалеограничимсятолькосравнительнымопределениемэтого термина.Будемговорить,чтопризаданноммножествеэлементов(модулей)идвухсистемахправилидентификацииэтихэлементов,таких,чтоgi+=^(то<1R,)g^rg/modR 2 )(5.2-1)Качественная«сложность»структурG(R,),регулярныхвсмыслеR,- большекачественной сложности структур G(R2),регулярныхвсмыслеR 2 ,еслиG(R,)Z>G(R2 )Две структурыбудутсчитатьсяэквивалентнымитольковслучае,еслии ихсоставы,иихструктурысовпадают,т.е. ониимеютодинаковуюколичественную качественную сложность.иДругимисловами,структурная сложностьопределяетсяотношениями сравнимостиэлементов,модулейструктуры. Заметим,чтоструктуракаждойсистемыхарактеризуетсяеемультидвойственным спектромиможет бытьвыраженачисломвсоответствующейиерархическойсистемесчисления,котороеможетбытьиспользованодляотношенийсравнимостимеждуэлементамисистемыисистемами.Мерасложностиэтоявляетсятойхарактеристикойэлемента, модуля,спомощьюкоторойустанавливаютсяэтиотношениясравнимостимеждуэлементами(модулями)структуры.Приэтомкачественная сложностьмодуляпроявляется,какэтобыловыше,веговнутреннейорганизации.Этавнутренняяорганизацияхарактеризуетсяопределённымисвойствами,каждое которыхизхарактеризуетмодульскакой-тооднойстороны.Именно этасовокупностьвсехсвойств модуляисоставляет качество.Сдругой стороны,кромеопределённого качества, характеризующегомодульвцелом,,последнийобладаетиколичественной характеристикой.Вотличиеот качества, количествохарактеризуетсостороныинтенсивностиприсущихемусвойствивыражаетсячислом.Количествоикачествоедины,посколькуонипредставляют собойстороныодногоитогоже

1кЛ|М.И.\"Основымилогии\".1999год.СkinИменнониiniик iи'кч коеединствокачестваиколичестваиобразуетмерусложностисигаилимодули,Мерисложности-этосвоего рода граница, рамки,вкоторыхэлемент;уль)остаётсясамимсобой.Изменениеэтоймеры,этого определённогосочетанияшественнойикачественныхсторон, приводиткизменениюэлементаилимодуля,кнениюегосложности,кизменениюего места, функцийвструктуреи,следовательно,кращениюеговдругойэлементилимодуль.Следуетотметить,чтомеждуколичественноййсложностиикачественнойсуществуют приэтомсерьёзныеотличия.Такизменение:тва(изменениеструктурных отношениймеждуэлементамиимодулями структуры)одитккоренномуизменениюэлемента(модуля)ипревращению еговдругоймодуль,пениежеколичества,визвестных пределах,неприводит заметномукизменениюкачества■нта(модуля), т.к.существующиесвязисвведениемдополнительныхэлементовизменяютсячительно.Количественнуюмерусложностиэлемента.илимодулябудемоцениватьеёвом,т.е..числомструктурныхединиц,объединенных уровнивиерархииипринадлежащихномумножествуэлементов(модулей):Количественныйсоставиерархическойструктурыможнооценитьследующимобразом:G l(Q)=<g',...,gi>=Sgi ,(5.2-2)целые числа,характеризующиеуровеньиерархииэлементов;целыечисла,характеризующие количественный составееп-гоуровняиерархии,кение(5.2-2)будемназыватьспектром1-горанга.кеструктураимеетболее сложный спектр,О 2(П)=<8',...,8>>=22^,(5.2-3)юуровнейиерархии первойоболочкиструктурылоуровнейиерархиивторой оболочкиструктурыД.<ойспектрбудемназыватьспектром2-горанга.Здесь ужекаждыйуровень иерархиизпляется»наподуровни.Аналогично,вспектре3-горангабудет иметьместозлениеподуровнейиерархии,т.е.мыполучимещёболее«тонкий”спектррасщепленияуры:G ’(Q)=«gl,...,gi>,<g',...,gj>,<g',...,gk»=ZZEgkj.,(5.2-4)Изпоследнеговыраженияследует,чтовобщемслучае,осуществляядекомпозициюы,спектр болеевысокогорангаможновыразитьчерезспектры болеенизкого ранга,вом итоге-черезспектр1-горанга.Этозначит,чтоприоценке сложностисистемымыдолжныучитыватьуровеньеёозиции.Особьенноважно это при сравнении сложностидвухилиболееструктурнагихэквивалентности.Действительно,притакомподходедляописания однойитойже системымыбудемнекоторое множествоописаний,имеющихразличную степеньдетализациипозиции).Крометого,дажевслучаеодногоитогожеуровнядекомпозициириваемыхмодулей существуетпроблемаопределения, являютсяли две сравниваемыерыэквивалентными. Делоздесьвтом,чтодляпроизвольных структур всеизвестныетмы«сравнимости»,гарантирующиеоднозначнуюоценку,являютсянциальными. Фактическидляструктур,имеющихнебольшоечислоуровнейиерархии,чурешить нелегко. Передлицом этогокомбинаторноговзрываисследователичастоаются от поиска эффективногоалгоритмасравненияивзаменэтого строятпростыеры,от которыхожидаетсяхорошаяработавбольшинствеслучаев.(нвариантом структурыназывают параметр,имеющийодноитожезначениедляземыхструктур.Среди самых очевидных можно назвать:числоэлементов,числосвязей,эдулейсоответствующегоранга,числоуровнейиерархии,уровень декомпозицииилсравнениидвух структур,кактолькообнаруживается,чтодвазначенияодногоипараметраотличаются другдруга, топриходят кзаключению, что данные структурыалентны.

шУпорядочивая подобные параметрыпоихсложностиизначимости,мыгемсамымопределяемкод,покоторомуисравниваем две структуры.Очевидно,чтовнашемслучаетакимкодомможет служитьспектр соответствующегоранга,которыйфактическиявляется числомкакой-топозиционнойиерархическойсистемысчисления, дающегоотносительнуюоценкусложности структуры.При оценкеэквивалентностиструктурмы можемвэтомслучаеговорить,чтодвеструктуры эквивалентныдругсдругомсточностьюдо п-го уровня иерархии(доп-гоуровнядекомпозиции).Подобныйподходкоценкесложностиструктурпоихспектрусоответствующегорангапозволяетопределять сложностьрассматриваемыхструктурпо существу, т.е.стребуемойточностью.При этом синтаксическая часть описаниясистемыявляетсяописанием структурысистемы иеесостава, асемантическая часть описанияявляетсяописаниемеефункциональной,смысловой структуры(деревафункций).Структурасинтаксическойисемантическойчастиописаниямогутнесовпадать,номогутиполностьюнакладыватьсядругнадруга.Впоследнем случаеможноговоритьоболее целостной структуресистемы.Впределаходнойитойжеструктуры, можноввестиещё дополнительные показателиоценки количественной и качественной сложности элементовимодулей.Этипоказатели,всилуиерархичности строенияспектраструктурытакжебудутотносительными. Однимизтакихпоказателейколичественной оценкиможеткоторыйможно определитькакЫ/_Q<+1_Этот показательможет,использоваться для сравнительнойоценкиэлементовимодулей,расположенныхнаодном итомже уровнеиерархиисистемыинаходящихсямеждусобойвотношенияхкоординации,Аналогичноможно определитьпоказательэволюционностидля элементовимодулей,служитьпоказатель эволюционностиструктуры,а°+а 1+д 2+... +а ма°+а'+а 1+...+а!(5.2-5)находящихсянаразныхуровнях иерархиисистемы:а0 а'а2а йа'а2...а<a i+iа 1(5.2-6)Этотпоказательможет использоваться, длямодулей(элементов)сотношениями субординации.Определимтеперь общесистемныепоказателисложностииерархическихструктур.Изопределенияиерархической структурыследует,чтовсеэтиструктурыхарактерируютсямногоуровневостью.Всоответствиисэтимопределениемвведемпонятиемаксимальнодопустимый уровень иерархиип.Тогдатекущийуровень иерархиивтакойструктуребудетнаходитьсявпределахот до1п.Следующийочевидныйпоказательтакжебудетсвязансуровнямииерархии.Этотпоказательбудетхарактеризовать типструктурыибудетобозначатьсяследующимобразом(5.2-7)гдезначениеm s=+1/2будетхарактеризоватьсвязипоуправлению (прямыесвязи), азначениеm s=-1/2будетсоответственнохарактеризоватьсвязипоисполнению(обратныесвязи).Еслимыусловимся,чтопоказательm sхарактеризует вертикальные“”отношенияиерархии,товведяпоказатель,(5.2-8) характеризующий“горизонтальные”отношенияиерархии,дляпрямыхиобратныхсвязей,мыполучимполныйнаборкачественныххарактеристикиерархической структуры,характеризующийее отношениясубординации.W э вQ /+ 1

ишдццШТVtfOTlrfЛИ/.ГУьПИ.1УД.■м .iv'uicобщийпом....uII..характеризующийотношения координацииисубординации,можно1ип>нырижениемш=ш>Фт |^-означает двойственнуюаддитивнуюоперацию(сложение иливычитание).ОпределимSподоболочки1-гоуровняиерархическойструктурыследующим образомГде1,,i=l,2,..,n-определяет количественныйсоставподоболочек1-гоуровняиерархии,ti(илит.Из(5.2-9)видно, чтоэтаформуламожетиспользоватьсятолькодля оценки!остикакой-либо однойподоболочки(сотношениями субординации,иликоординации),щейилиположительную,илиотрицательнуюсвязь.Тогдаэволюционныйпоказательколичественнойикачественнойсложностихическойструктурыможетбытьопределен следующимобразом(5.2-10)Используя определенные такимобразомпоказатели,приведемследующийпример,мыимеемструктуру,для которойматрица-строкаимеет вид(5.2-11)Изэтой матрицы видно, чтовиерархической структуреимеется4подуровняиерархии,лыйпервыйподуровеньиерархиихарактеризуется количественнымсоставом<1,3,5,7>,даннойструктуревсеэлементыхарактеризуютсяналичиемтолькоуправляющихсвязей)ичтогоризонтальныеотношенияиерархииотсутствуют.“Горизонтальные”отношения иерархии,отражающиеколичественныйсоставэлочекпервого уровняиерархиибудутсоставлятьследующуюупорядоченнуюовательность(5.2-12)Такимобразом,задаваяпоказателипхарактеризует допустимоечислоуровнейиерархии,а,аш>(52.13)ризуетчислоитипыотношенийиерархиивструктуре.S -матрица-строка,характеризующаяколичественныйсостав отношенийиерархиихическойструктуре.Тогдаобщийпоказательсложностииерархической структурыбудет иметь,например,Ж,=±т,(1,3,5,7)ТЧ(1,3,5,7)4ыполучилиинтегральную характеристикуколичественнойикачественнойсложности^деленноготакимобразомкласса иерархическихструктур,которыйможноназватькомплексных структур.

ц!5.3.ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОДКАНАЛИЗУСЛОЖНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХСИСТЕМРассмотрим, какиевозможностииспособы исследования представляетинформационныйподход[1]канализуиерархических структур.Введемдля этогоряд дополнительныхновых понятийиопределений.Сложностьсистемы из J одинаковыхнезависимых элементов,т.е.таких, состояниякаждого изкоторыхнезависятот состоянийдругихэлементов,характеризуетсячисломвозможныхсостоянийсистемыкак целого,котороевданномслучае,очевидно,составляетK j ,гдеК -числоравновероятных состоянийодногоэлемента.Однакоданнаяоценкасложностистановитсянеудобной,как толькоречьпойдет системахоснеравновероятнымисостояниями.Поэтомуболееудобнойоказываетсяоценка сложности,котораяполучаетсяизвышеприведенной посредствомлогарифмирования:C=logК j= JlogК= -JlogР к(5.3-1)ГдеР -=1/К- вероятностьк -го состоянияэлемента.Обобщаявыражение(5.3-1)на случай примененияэлементовснеравновероятнымисостояниями,получаем:С =-/£ДlogР,=JH(s.3 .2)ГдеН-энтропияэлемента,поШеннону,отражающаяего сущностьвсистеме.Наконец,вобщем случаедляпримененияразличныхэлементов10§p j>(53-3)•■М7=1гдеm -числосостоянийсистемы,какцелого,Р.-вероятностьj-roсостояниясистемы.Вдальнейшемполученную оценку Сбудемименоватьсодержаниемсистемы,Н.-сущностьюэлемента,a J-информацией.Извыражения(5.3-1)следует,посколькувН=logКминимальное отличное отнулязначениеН соответствуетчислуКсостоянийэлемента,равномудвум,тоэто значениеНцелесообразнопринятьвкачестве единицы измерения (“кванта” )сущности.Тогдаоснованиелогарифмапридетсяпринять равным двум,чтобыобеспечитьlog2= 1.Этаединицаизмерения сущностиназываетсябит.Итак1бит=log22.Нетруднозаключить, чтонетолькосущностьН,ноиинформацияJизмеряетсявбитах,посколькувсегдаСправедливотождествоJ= log22 J= Jlog, 2= Jбит.Тогдасодержаниесистемысогласнодолжно измерятьсявбит2 .Такимобразом, согласносодержаниесистемыизтрехэлементовсдвумяравновероятнымисостояниямиукаждогосоставляетС,=3log2= 3бит2(здесьидалееоснованиелогарифма2будемопускать).Содержание элемента восемью состояниямистакже составляетС =С2=1log8=3бит2,асодержаниесистемы из двухнезависимых элементов тремя состояниями несколько большеси составляетС = 2log3=3,2бит2 .Практическийинтереспредставляетопределениесистемы с максимальной сущностьюэлементов,т.е.смаксимальнымсодержанием,приходящимсянаэлемент системы.Ограничимсяпокарассмотрениемтолькотакихсистем,вкоторыхчислосостоянийсистемыравночислуэлементов,изкоторыхонасостоит,т.е.равноинформацииJ.Вклассетакихсистемимеем согласно(2)Н =logJ./J.

L-uiluMil.\"Основыmu .ivcuu\" .1999юд.<|умiушноеiиi 1 1 <■Me111исоответствуетследуетJ=eиНкмах= 0,535бит'аким образом, максимальнойсущностьюэлементоввклассерассматриваемыхсистемабы системасчислом элементов,равнымчислуЭйлера,ближайшимцелымккоторому1число3,чем,вероятно,объясняетсятяготениечеловекаковсякогородатриадамиI.Приэтом,хотя число2дальшеотчисла Эйлера,чемчисло3,тем неменеедлясистемыэлементовН к=0,5бит,т.е.малочемотличаетсяотсущностиэлементоввиентнойсистеме,гдеН к=О,53бит.1ыше•мырассматривали толькотакназываемоесистемноесодержание,которомувгнечаетР.,представляющее собой совместнуювероятность соответствующихсостоянийэвсистемы,т.е.произведениеусловныхвероятностейтехили иныхсостояний различныхов.Междутем,помимо системногосодержанияС с ,можно выделитьещесобственноешиеС осистемы(которомув(5.3-3)соответствует Pj5представляющеесобой априорнуютуювероятность отдельных состоянийразличныхэлементовсистемы,т.е.произведениеэстейотдельныхаприорныхсостоянийсистемы,внесвязиихмеждусобой,ивзаимноениеС юсистемыэлементов, представляющеесобой разность системногоисобственногония.С ю=Сс-С 0(5.3-5)качествепримерарассмотрим3-хэлементнуюсистемустремяравновероятнымитями(Р,=1/3),имеющеймаксимально допустимуюсущностьдискретныхэлементов.1системысогласно(3)системноесодержание составляетC c=log3=1,6бит2[риэтом каждыйизэлементовсистемыможет,вообщеговоря,иметьсколькоугодно!Й,лишьбыэтисостояниябылитак сблокированы,чтовсовокупностиобеспечивалилсостояниясистемыкакцелого.елижесистемасостоитиз2-хпозиционныхэлементов,вкаждомизкоторыхоба1яравновероятны,тоихаприорнаясовместная вероятностьсоставитРр(0,5)3 ,чему >(3)соответствует собственное содержаниесистемыC =log 08= 3бит2бразом,взаимное содержание согласно(4)составитС ю=-1,4бит2нтересноотметить,чтособственное содержание Со такой оптимальнойпо сущностихарактернойдлянервнойсистемычеловека, соответствуетравновероятномувыборуи,чтоподтверждаетгипотезуМиллера[102],согласнокоторой оперативнаяпамятьспособнаоперироватьвсреднемтолькоссемьюобъектами.читываяобщностьэтогоявлениясзакономерностью,характеризующую свойстваи'Июиерархическихпространств,можносказать,чтоданнаязакономерностьтраняетсяиначисточеловеческие системыуправления,аоднойизпричинизациивообщеявляютсяограниченные возможностиэлементовсистемпотомуилиштерию,илипоихсовокупности..осмотренныйинформационныхподходканализусложности структурыматериальныхобъектовкиерархическим системамлюбойприроды.Приэтомпервый вопрос,которыйнеобходиморешить,этовопрос отом, составляетгмаясовокупность элементовцелое,т.е.являетсялионадействительносистемойили>здаетобманчивую видимостьсистемы.Решитьвопросоцелостностисистемыможно,содержаниесистемы.При этом,еслисистема,помимособственногосодержания,■ещеивзаимным содержанием тоонаимеетсвойствоцелостности.Взаимноешепрощевсегоопределить согласно(4)какразностьсистемногоисобственного1иясистемы.

ksi.irtVtfM.H.еч1шшеиш'\"WWл.119Следуетобратитьвнимание,чтоиз(3),есливестисуммированиепоэлементарнымносигеляминформации,каждыйизкоторыхсодержит1битинформации,следует,чтосистемноесодержаниечисленноравносистемнойсущности,асобственное содержаниечисленноравносуммесущностейотдельновзятыхэлементов.Рассмотримследующиесхемы:О Ооб)С)Схемаа), имеющая четыреравновероятныесостояния,обладаетсущностьюН с= -log0,25т.е.системнымсодержаниемС о= 2бит2 .Втожевремя схемаб),имеющаявсего2равновероятныхсостояния,обладаетсущностьюН с= -log0,5исистемнымсодержанием С -=с1бит2 .Всвоюочередь, схемав)имееттолькоодносостояние,т.е.еесистемное содержаниеравнонулю.Всеэти схемысостоятиздвухэлементов, собственноесодержаниекоторыхприравновероятныхсостояниях составляет, согласно(5.3-1)С о= 2бит2 .Таким образом,длясхемыа)взаимное содержаниеэлементов,согласно(5.3-4)равнонулюионанеобладаетсвойствомцелостности,длясхемы б)взаимное содержаниеэлементовсоставляетС ю =-1бит2 ,адлясхемыв)С ю = -С о= -2бит2и,следовательно,этисхемыобладаютсвойствомцелостности.Оценкасодержаниячастейицелогопозволяетсделать вывод,чтосутьювсякогоустойчивогообъединения является уменьшениесодержанияцелогопосравнению собственнымссодержаниемчастейзасчетустановленияихвзаимосвязанности,т.е.засчетпоявлениявзаимногосодержаниячастей, являющегосясмыслом целого.Например,вядернойфизикепоявлениевзаимногосодержания соответствуетявлениюдефектамассы.Другой пример.Еслимыимеемнаборизнесколькихбукв,которыйнепредставляет длячитателя понятного целого,тосодержание этого сочетания равносуммесодержанийотдельных букв,посколькумыздесь имеемдело последовательнымссоединениембукв,прикоторомихсущности Нсуммируются.Таким образом,вэтом случаеC0=J,н,гдеJ,-числобукввнаборе.Еслижеупомянутыйнаборбуквсоставляетпонятноецелое,тобуквывнаборестановятся взаимосвязанными(избыточными), чтопозволяетнамприбегатьксокращениямпонятныхслов. Еслимыиспользуембезубыточное сокращение слова,т.е. такоеслово, котороеуженельзясократитьбезущерба для понимания,содержащеетолько< J 2 ,тоC c=J2H<C0Аналогичная картинанаблюдается приобъединениисловвофразы.Этоужедругой,болеевысокий,уровеньиерархии. Приэтом системное содержаниевсейфразы,хотяименьшесуммарногосодержания слов, нонеможетбытьменьшесобственного содержанияодногослова.Этотпредельный случайимеет,например,местовофразе“масломасляное” ,гдесодержаниевсейфразы равносодержанию одногослова. Еслижесловавофразе вступаютвпротиворечие,тосистемноесодержание неустойчивойфразы должнобытьбольшесобственногосодержанияслов.Например,всловосочетании“круглыйквадрат”каждоеизсловимеетвполнеопределенное содержимое,авместе ониимеютбесконечноесодержание,аточнеенеопределенноесодержание.

вторымпопросим,который возникаетприанализесистем,являетсявопросостепениости,илипростооцелостности как,количественной“сложности”системы.Удобнеепользоватьдлянойцелиотносительные оценки-отношение“=_#-„ь оПриэтом нулеваяцелостностьозначаетпростую совокупность несвязанныхчастей,аэсть,равнаяединице-абсолютнуюцелостность.целесообразнасопряженнаяоценкаа=сс/с0= 1-акоторуюможноназватькоэффициентомиспользованиячастейвцелом.тгельнокрассматриваемым схемамэтаоценкадает соответственноа=1,а=о,5,а =о.Инымисловами,необладающаяцелостностьюсистемаэлементовподразумевает:универсальное,полное использование свойствсвоихчастей,аабсолютноцелостнаянапротив, вообщелишаетэлементыихпервоначальныхсвойств,используялишьте,которыеприсущи системекакцеломуикоторыенесодержатсявотдельновзятыхеех.Третийвопрос,которыйнеобходиморешитьпри анализе системы-это вопросоиентеиспользования каждогоизееэлементов.Решениеэтого вопросаособенноодля иерархическихструктур,элементыкоторыхпочтивсегдаимеют отличныедругсодержаниевзависимостиотуровня иерархии,которомуони принадлежат.Этотиеетуженепосредственную связьспонятиемоптимальнойструктуры.Смыслэтого5удетзаключатьсявтом, чточислоуровнейиерархиисистемыимеет определенныйусмотримследующую иерархическуюсхему.Этасхемасодержит4уровняиерархии,13которыхимеетдва равновероятныхсостояния,чемусоответствуетсистемное(иеС с=1бит2 .Однаконаверхнемуровневсеэтосодержание принадлежитному элементу,длякоторогоС=С0=1бит2 ,0=1.1автором уровне иерархииимеютсядваравноправныхэлемента,междукоторымиелитсясодержание уровня,такчто длякаждогоизнихС=0,5бит2 ,С о = 1бит2 ,С,= -0,5бит2 ,0=0,5.1атретьемуровнеегосодержание делитсяпоровнумеждучетырьмяравноправнымии,такчто длякаждогоизних1-йуровень2уровень3уровень4уровеньзконецдля 4-гоуровняегосодержаниеделитсяпоровнумеждувосемьютнымиэлементамиС =0,125сбит2 ,С о= 1бит2 ,С,= 0,875 -бит2 ,0=0,125

МЛ.ЛН.ШИ»\".ГЛ?ш.к■Вышемырассматривалислучаи,когдасистемноесодержаниеисмысл системысовпадали.Междутеминогда прикладноесодержание(смысл)системыбываетуже,чемееполноесодержание.Этоимеет место,когдадлядостиженияопределенныхцелейиспользуетсятолькочасть потенциальных возможностейсистемы.Четвертыйвопрос,возникающийприанализеструктурысистемы-этовопросокоэффициентеполезного действия(КПД)какотдельныхэлементов,такисистемывцелом.ПодКПДупонимаетсяприэтомотношениесмыслаСэлементаили системыксистемномусодержанию,т.е.У=С/Сс .Из этогоследует,чтотолькоэлемент верхнегоуровня используется полностью,элементысреднегоуровня-наполовину,а элементынижнегоуровня-тольконачетвертьихсобственногосодержания.Оставшаясячастьсобственногосодержания приходитсянаих взаимноесодержание,т.е.насодержание взаимодействияэлементов пределахвсвоегоуровня.Впринципе,еслинамизвестнывсесоотношениямеждуэлементами,оболочкамииподоболочкамисистемы, т.е.отношениямеждуихсобственным,системнымивзаимнымсодержанием,тотемсамыммыможемрешитьиобратнуюзадачу,аименно определитьструктурусистемы.Такимобразом,данныйинформационныйподходможетбыть использовандляоценкиструктурнойсложности самыхразнообразныхиерархическихсистем.Приведенный методоценки можетбытьсуспехомиспользованидляоценкиструктурной сложностиПериодическойсистемы химическихэлементов(иядератомов) послеопределенияихструктуры(см.ч.З,гл.1).Этобудетозначать,чтоПериодическаясистемахимических элементов,любойееэлемент,является сложной иерархическойсистемой.Приэтомнапервом этапеанализаможноиспользоватьотносительныеоценкисложности оболочекиподоболочекПериодическойсистемы.5.4.КЛАССЫПРОИЗВОДЯЩИХСТРУКТУР.Ниже,сучетомосновныхзакономерностейиерархическихсистем будутпостроенынекоторые“базисные”классыпроизводящихфункций.5.4.1.БИНОМИАЛЬНЫЕРЯДЫНамнеобходимосоздать такиеклассы производящихфункций,которыебыучитывалиосновныезакономерностииерархическихсистем,ихограниченность, замкнутостьидвойственность.Рассмотримвпервуюочередькласспроизводящихфункций,восновекоторогобудутбиномиальныеряды.Именнобиномиальныерядыучитываютвявномвидедвойственностьструктур.РассмотримследующуюпоследовательностьпроизводящихфункцийG 0(x)=l+2x+2x2+2x3+...G 1(x)=l+3x+5x2+7x’+(5.4-1)G 2(x)=l+4x+9х2+16х3+ ...G 3(x)=1+5х+14х+30хкоторыеможноформальнопереписать какG n(x)=(l-x)’n(1+х),п=1,2,3„...(5.1-2)Заметим, что дляфункцийG n(x)=(1+х) (1-х),\"п=1,2,3.....(5.4-3мыбудемиметьG 0(x)=l-2x+2х 2х2 ’3+ ..G ](x)=l-3x+5x2’7х3+ ...(5.4-4)G 2(x)=l-4x+9x2-16x3+ G 3(x)=l-5х+14х2-30х’+

Amiниiuncutiiiiixвыраженийпоказывает, чтомыимеемпроизводящиефункциидляi.ixпослсдовпiciii.iioiчей\"деформированных”арифметическихрядов,членыкоторыхсябиномиальнымикоэффициентами.А изматематикиизвестно,чтоарифметический1ьник,несмотряна всюсвою простоту,даетчрезвычайно большоечислоразличныхнийитождеств,которыхсуществуетбуквальнотысячи.Таких отношенийнастолькочтокогдакто-либооткрываетновоебиномиальноетождество,этоуженикогоне',разве что лишьсамогоавтора.Полагая,чтососедниечленыпроизводящихфункций;нымежду собойпозакону“отрицанияотрицания” ,мыполучимследующийполныйпроизводящихфункций,которыйсодержитвсепутиформированияконечнойвательности(4),котораяибудетхарактеризоватьсвойства структурыпериодическойIхимическихэлементов.G„(x)=P(x)(l-x)(5.4-5)Р 1(х)=(1+х)1=1-х+х2-х3+...Р (х)=( 21+х)-2= -2х+3х12-4х3+ ...Р,(х)=(1+х)’3 = 1-Зх+6х2- 10х’+ ...Р 4(х)=( 1+х)-4= 1-5х+14х -30х23+...Нарисунке5.4-1всевозможныепутиформированияконечной числовойвательностиизображеныввидеграфа.Заметим,чтоданныепроизводящиефункции>тещеоднимважным свойством.Формальноони представляютсобойпроизведение1ализполученныхвыраженийирис.5.4-1показывают,чтомыимеемограниченное>иантовформированиятребуемойзакономерности. Однакоприрассмотренииэтих вследуетучитыватьвозможнуюнекоммутативность мультипликативнойоперации1Ямногочленов.щексыу производящихмногочленоввявномвиде указываютуровень иерархиитойструктуры,полученнойспомощью соответствующегопроизводящегомногочлена,илиограничиваячисло членовряда,мыбудемполучатьтоилииноеподмножество:скихсистемсограниченнымчисломуровней иерархии.кимобразом,мыопределиликласспроизводящихфункцийструктур,которыйгзакономерностьдвойственностииерархическихсистем(каквнутреннюю,таки).Крометого,этоткласспроизводящих структурявляется“замкнутым” ,ибомы

каждыйразбудемполучать инвариантныеструктуры,невыходящиеза пределыданногоклассаструктур.Определимв данномклассеуровнииподуровнииерархии.5.4.2.ОБОЛОЧКИИПОДОБОЛОЧКИПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙУсловимся,чтопроизводящие многочлены видаР,(х)будутпорождатьподоболочкииерархическогопространстваi-roуровня,апроизводящиемногочленывидаG^x)соответствующиеоболочки иерархическогопространстваi-roуровня.Напомним,чтомногочленыG.(x)=(1-х)Н(х),т.е.получаютсяпутемудвоенияР.(х)многочленаподоболочки,котороеосуществляетсясосдвигом.Таблица54 2''содержитчисловыехарактеристикипроизводящихфункций,характеризующие“спектр”производящейфункциитогоилииногоуровняиерархии.Этихарактеристики играютчрезвычайноважнуюрольвстроении материи.Ониотражаютвсеобщуюзакономерностьстроения материи,правилапорожденияподоболочекиоболочекиерархическихсистем.Таблица14Л’ 1УровнииерархииПодоболочкиР|(х)ОболочкиGi(x)0<1.1,1,1,-><1,2,2,2,.„>1<1,2,3,4„..><1,3,5,7,...>2<1,3,6,10,...><1А9,16,.„>3<1,4,10,20,...><1,5,14,30,...>4<....................><...................>В таблицеотраженыданныетолькодлячетырехуровнейиерархии. Спектрыдлялюбогодругогоуровняиерархии можно легко построитьпоиндукции.5.4.3.МАТРИЧНАЯФОРМА ЗАПИСИ ОБОЛОЧЕКИПОДОБОЛОЧЕКПРОИЗВОДЯЩИХФУНКЦИЙ.5.4.3.1.СПЕКТРАЛБНЫЕМАТРИЦЫ ПОДОБОЛОЧЕКЗапишемтеперькоэффициенты производящихфункций,характеризующихспектрразложениядлялюбогоуровняиерархиивматричнойформе.Спектрразложения0-гоуровняиерархииизображаетсяввидеединичнойматрицыЧОО(Г01000010^0ОО1JСовокупностьединичныхматрицформируетспектральнуюматрицу-подоболочкуиерархическогопространства0-гоуровняиерархии.

tenM1M1\"енишшенш\".LW2тл2К2разложенияподоболочки2-гоуровняиерархии изобразимчлэлементомкоторойбудетявлятьсяовняиерархии./р1; .ОООоооооооооооО')оооог 0оо1I 1оооо1оооооввидевектора-строки,спектральная матрицакоэффициентовподоболочкиоооооО'!оооог 0о111ооо11оооо1оооооО'ОООО\"о111I 1оо111ооо11оооо1О'оооАспектральная матрицаееподоболочекбудетсоответственно0ооо1мтеперь■и/(ОООо1ооооопоиндукцииматрицу-вектордляспектральной матрицыуровняооооооооооО')оооо\"ооо1I 2оооо1ооооооооооооооо712к 3о122-гоГО0 sно~ оооооо _10000 0 00210010001?210 J t2 1оо;/го00 0О'/10 0 0 02100 0\" 3210 0|4321°JЧ)ООооЛ\"о о о о оИ10 0 00210 0 0//321О0/котораясостоитизподоболочекТогдадляспектральной1-гоуровня иерархии.матрицыоболочки3-гоуровня иерархиииметьфункциТТРАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫоболочекпроизводящихi,характеризующаяоболочку1-гоуровняиерархии,будетиметьвидоооооооооооооооО'Ооооооо1ооооооооооО')оооо7ооо1оооооооооооо■атрицаявляетсярезультатомсложенияследующихматриц110\"А!... о11о о 0о оioj000100 011о0]/АО111I 1оо122ооо12оооо1О']ооо°J/соответственнобудем'0000О'100004100094100Z[16941ОООО'0 000ООО.1оо110J111'ООО ОО']0 0 0 000 00 010 0 01 о 10 ;11июстоятизподоболочек0-гоуровняиерархии.(трица,характеризующая оболочку 2-гоуровняиерархии будетиметьвидА спектральнаяматрица, характеризующаяеетонкийспектрразложенияна подоболочки,будетиметьсследующий вид5.4.4.ДРУГИЕКЛАССЫИЕРАРХИЧЕСКИХСТРУКТУРРассмотренныйвышекласс производящихфункцийоснованна свойствахбиномаНьютона (1-х)п .Фундаментальнаяособенность этойформулызаключаетсявтом,чтоонаотражаетзакономерностьдвойственности.Из других классов иерархическихструктуррассмотрим производящиефункциидляструктур,порождаемыечисламиФиббоначи.Бытуеточень широко распространенное мнение,чтовесьокружающий насмир подчиненипостроенсиспользованиемпропорций,определяемый“золотымсечением определяемым” ,пропорцией1:1,618.Анализ рядовФиббоначи,ихсходимостьк“золотомусечению” ,позволяетсделать

--------------------------М.11.\"Основымилогии\".1999_ — «___июжсние оhim.чк>придальнейшейэволюциииерархическихсистем наболеевысоком:иерархии,асилузакономерности интеграции сложныхсистем,произошлоискажениешчальноЙзакономерности, произошла“мутация”первородной производящейфункции,гзиеструктурной ограниченности иерархическихструктур.Однакоуэтихсистемвсе жесьоднообщеесвойство. Этосвойствоудвоения.При формированиичиселФиббоначи'мерностьудвоенияпроявляетсявтом, что дляформирования очередногочленарядаясуммадвухего соседних членов.Поэтомуданнаязакономерность должнанаболеетарных уровнях проявлятьсякакзакон закон-двойственности.Этотпринципродствененпринципуудвоения,которыйиспользуетсявосновной'мерностипостроенияиерархическихсистемиотраженвструктурерассмотренногослассапроизводящихфункций.Помере усложненияиерархическихсистем,помереих>ации,происходитвзаимопроникновениеоболочекиподоболочекдругвдруга,'вливаютсявсеновыесвязи,которыебудутносить мультидвойственный характер.Норя наэто, любой всистемемеждуеенепосредственно взаимодействующимиэлементамибудутприсутствоватьотношения двойственности.Тогдавсамомобщем случае можносказать, чтовсе этимультдвойственныеотношенияэтветствующиеклассыпроизводящихфункций)порождаютсяпроизводящимишенамивида(гл.З)Q,=(l+x)(l+y)(l+z)(Q)=Q+x(Q)+(Q+x(Q))y+z (Q+x(Q)+y (Q+x(Q)))zперсонажисистемы, aQ-самасистема(исходный многочлен)Процедуреосознания соответствует теперь алгебраическая операцияумноженияого многочленаQнамногочлены1+х,1+у,1+z.Приэтом персонажипроизводятчиепоследовательно.Легко изобразитьислучай,когдаосознаниепроизводятвсетриажаодновременно.Операторконцептуализациибудет таким:СО= +1х +у+z,оциямногочлена,характеризующего состояния концептуальныхсистем,выразитсяшениемЦ,== (l+x+y+z)\"(Q),гдеп—числоконцептуализаций.!сложных случаяхвоператорахконцептуализациимогутиспользоватьсясложныезживида(0=1+А+А 2+А 3+..„рицыА\" представляют собойоболочкиизвзаимодействующих персонажейРЕЗЮМЕI .Содержаниеданнойглавыимеетважноезначениедля описания процессов эволюциияческихсистем,т.к. содержитправилапреемственностииструктурнойсложностизческихсистемипоказателисложностииерархическихсистем.-•Обосновановведениепроизводящихфункций для иерархическихсистемипроведенсвойствнекоторых фундаментальных классов производящихфункций, используемых'ожденияконцептуальных оболочекиподоболочекиерархическихструктур.1.Приведенныеклассыпроизводящихфункций,какэтобудетпоказанодальше,|уютсяПриродойдля описанияпроцессовэволюциизвезд,элементарных частиц,ядер:ких элементов,атомов,Периодическойтаблицыхимическихэлементоввцелом.милогии\".1999год.«?1~ ■Глава6. ИЕРАРХИЧЕСКИЕПРОСТРАНСТВАб.1.ЛИНЕЙНОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕПРОСТРАНСТВОИерархичность-фундаментальное свойствонашегомира. Поэтому целесообразно,чтобыэтифундаментальныесвойствавявномвидеотражалобыиобычное линейноеп-мерноепространство.Всеразделы естествознаниявявномилинеявномвидеиспользуют понятияобиерархии,обиерархическихпространствах,об иерархическихсистемах.Неотстаетвэтом планедажефантастика.Существуетмножество фантастических книг,вкоторыхвявномилинеявномвидефигурируюттакиепонятиякакгиперпространства,переходвдругоеизмерениеит.п.вещи. Сущностьнижеследующихосновных понятийи определений,свойств иерархическихпространств,ихсвязьсокружающим нас миром,определяетнетолькоалгоритмыпостроения окружающегонасмира,ноидаютключкпониманиютакихчистофантастическихпонятий,какгиперпространства,другиеизмеренияит.п.Вузкомсмыследанные понятиямогутслужитьосновойдлясозданияполнокровнойтеориииерархическихпространств,призваннойописыватьиклассифицировать объектыиявленияокружающегонасмира.Вширокомсмыследаннаятеорияописываетосновные фундаментальныесвойстванашего мира,ипризванаслужитьметодологической основойдлямногихнаукестествознания.Эта теорияможетбытьприменимаи к такимсферам,какбизнес.Вчастности,всоответствиисположениямиэтойтеориилюбаяфинансоваяилимаркетинговая пирамидадолжнабытьограниченаопределеннымипоказателямиуровняеесложности.Этипоказателиявляютсяестественными(например,числожителейограниченоопределенным пределомит.д.)илиискусственными,целькоторыхнаправленанастабилизациюфункционирования пирамиды,наееустойчивость.Формально понятию клинейного иерархическогопространстваприводитиследующийпример.Пустьмыимеемвектор...ж |п)(6.7-Dэлементамикоторогоявляются векторы столбцы действительными коэффициентами-сИзлинейной алгебры известно,чтовсякуюнеособеннуюматрицуможнопредставитьввиде произведениянижнейтреугольнойматрицынаматрицусортогональнымистроками,т.е.Ж=5Г^или(6.7-2)гденижняя треугольнаяматрицасединичнойдиагональю,Ж г,,9?'-транспонированныематрицыПустьПолагаядля простоты, чтопорядокматриц п=3,мы получимЖ 3>=Ж’Ж 3 >S$ 3>=гдеГ12>г1з)J?(2)=(r21,г 22,г 23).даз)=(г3„ Г 32,г 33)аналогично,полагая,чтоматрицаЗКявляетсявектором -столбцом,сострокамивида^ ’>=(1,0,0)<^ 2>=(t21, 1,0)^ 3)=(t31 32 ,t,1)Тогдаокончательно

iiiUMMМ.И.ШУ*l2)=t2|.j?H)+,^2)“WE.'/.iW”=t31a?\">+t^»*^де з>еS0V,r.& -множествовекторовсоответствующихлинейныхподпространств.Преобразованиематрицктреугольномувидуоченьширокоиспользуетсявомногих1адныхнауках,вчастности,влинейной алгебре,длярешениялинейных уравненийамиортогонализации.Перепишемтреугольную матрицуЖ ввидематрицы-строкиЖ=(Ж”,,9»2)ЗА...,5£\">)да>еда,j=l,2,...,пмножествовекторов)=даж'’,9б2 ’,ж»,|<В'>еда,...,^’бда1 }<б.7-з)/ет упорядоченнуюсовокупность линейныхm-мерных(т<п)подпространств,которую>удемназыватьиерархическим -мернымnлинейным пространством.Иерархическиеподпространствавида(3)будемназывать оболочкамип-мерногосическогопространства.Иерархическоепространствоможетиметьразныеуровниости,т.е.могутиметьболеетонкуюструктуру.сим,чтоединичныеорты, которыеобразуюттреугольную матрицуЖ ‘>=<1>Ж ”бдаЖ 2)=<0,1>,^»еда5©\">=<0,0,0,геявекторами иерархическогопространстванулевого уровня,т.е.сябазиснымиортамиобычного линейногопространства.Тогдамножествовекторов^ч»=<^>»Ж\">едаж <2>=<з©, > )Ж 2)> Ж 2>6даЖ <П>=<Ж\"),9№>.....>Ж е п)да1аютп -мерное иерархическоепространство1-гоуровня,качествебазисавекторыиерархическогопространства1-гоуровня,мыполучимическоепространство2-го уровня.Наконец,вобщемслучаемножество векторовдап>(Ж<п>)={<ж<|>,ж<2>,,%’<з>,...,$б<п>>|$£>*” 6да 1*......ж <п>еда-*}(6.7-4)юрождатьиерархическоеn-мерноепространствоm-го уровня,котороемыбудемгатьсимволомда\"’ .Пактпринадлежности иерархическогопространстватому илииному уровнюиерархиибозначатьввидесамогостаршегоиндексаэтого пространства, например,иерархическое>епространствоm-уровнябудемобозначатьчерезда*’*,а соответствующиеемувекторыОчевидно,чтовиерархическихпространствахсуровнем сложностиболее1,кипространства,всвоюочередь,образуютподоболочки,т.е.имеют более тонкуюру.Вобщемслучае для обозначенияподоболочекбудемиспользоватьсимволы^cm,n,k,..> р|0^<m,n,k,...>1оследовательность индексовв обозначении подоболочкиможетбытьупорядоченнойуменьшениюуровняиерархиирассматриваемогоиерархическогопространства,или•зрастанию, приэтом последовательностьиндексовдолжна удовлетворятьусловиюm>n> к>...m<п< к<...или

ЬашсрМ.И.\"Основыми-шаш\".19991уд.L-------------------------------К2.взависимости оттипаиерархического пространства.ВозрастающееиубывающееиерархическоепространствоИерархическоепространство$ ст^-■■■*будемназыватьвозрастающим,еслионопорождаетсямножествомвектороввида,апоследовательностьиндексовегооболочекиподоболочек удовлетворяет условиюm< n< к<...Еслижевэтомпространствепоследовательностьиндексовудовлетворяетусловиюm> n> к>...тотакое пространствобудемназыватьубывающим.Свернутое иерархическоепространствоИерархическоепространствобудемназыватьвложенным(илисвернутым),еслиЙ*т '3>П ...£kmn>^0иJ^m,n>Вовложенномиерархическомпространствебазисыиерархическихподпространств,т.е.всеегооболочкииподоболочки,являются вложенныхдругвдруга.РазвернутоеиерархическоепространствоЕслиже(jp<m,3>^И^ fem,n>тотакоеиерархическоепространствомыбудемназыватьразвернутым. такомВиерархическомпространствевсеоболочки(иподоболочки)являются обособленными,т.е.несодержатся другвдруге.6.2. БАЗИСНЫЕ МАТРИЦЫИЕРАРХИЧЕСКИХПРОСТРАНСТВПредставим базислинейного пространства0-го уровняиерархииввидеследующейматрицы(е,, е2 ,е 3 ,е 4, ...,еп )Тогдабазиснуюматрицудля линейногопространства1-гоуровняиерархии можнозаписатьвследующемвидедлявозрастающегоиерархическогопространства$!.■>)=($0.4.1),$0,п,2),$0,п,3),$0.п,4),,$0,п,п))для убывающего иерархическогопространствазаписьбудетиметьвид$1.п)=($0.п.п),.. .,$0,п,4), $0,п,3),$0.4.2),..,$0.4,1))т.е.матрицазаписываетсявобратномпорядкеТогдадляиерархическогопространстват-уровняиерархиимыполучим$m.n)=($m-l,n,l),$m-l,n,2),$т-1,4,3),$т-1,а,4),,$in-l,n,a))Дляубывающего иерархическогопространствазаписьбудетиметьвид$14,4)—($41-1,4,п)),,.,$m-l,n,4),$m-l,n,3),$41-1,4.2),,..,$14-1,4,1))Вобщем случае базиснаяматрица такого m-мерногоиерархическогопространстваявляетсяквазидиагональной.Наглавнойдиагоналиэтойбазисной матрицырасполагаютсябазисныематрицыиерархическихсобственныхподпространств, которыесодержатсобственныезначенияисобственныевекторысоответствующихимподпространств.Базисныематрицыдлясвернутыхиерархическихпространствявляютсятреугольными5Зак.655

.3.РАЗМЕРНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВАm,n>(—^ Ст’|>О^ Cm ’3>^J^ст,п>Iобъединением иерархическихподпространств,то,обозначаячерез^m,n>=;ниеэтихподпространств,можноопределитьразмерность линейного иерархическогонсгва^=m ’n> .«ениеэтихподпространств позволяетопределитьразмерностьлинейноговескогопространствакакразностьсуммыразмерностейвсехподпространствнства^\"\"■п>исуммой размерностейвсехпересеченныхподпространств,т.е.тптпЛ=1/=|Л=|/=1>мслучае,длясвернутого иерархическогопространствабудемиметь=Пляразвернутогоиерархическогопространстваполучим(т,«)=££/<-■->Л=11=1сечениеиерархическихподпространствотсутствует.оответственно,длясвернутогоиерархическогопространстваквазидиагональнаяIматрицаможетбытьпредставленакакматрицаразмерностип,адля развернутогонекогопространства>квазидиагональная матрицаможетбыть преобразованаойматрице размерности.общемслучаедляиерархическогопространства,когдаимеетместонеерасщеплениеуровнейиерархии,размерностьтакихпространствможноопределитьл=1к=\"5=1л=1А=1 3=1(6.3-1)4. КВАНТОВЫЕЧИСЛАИЕРАРХИЧЕСКИХПРОСТРАНСТВ.Любое иерархическоепространствохарактеризуется допустимымчисломуровней>хии(размерностью, числомоболочек).2.Каждый текущийуровень иерархиихарактеризуетсядопустимымчислом1ей,внемсодержащихся(размерностью, числом подоболочек).3.Каждыйтекущийподуровеньиерархиихарактеризуется критерием егосложности,ющимколичественный составэтогоподуровня (подоболочки).4.Количественныйсоставподуровнязависитотсвойствбазисныхвекторов,изформируетсяданныйподуровень иерархии (внутренняяивнешняядвойственность).Чемвышеуровеньиерархии,тем сложнееструктура иерархического пространства,снееиспектрегохарактеристик этогопространства.Параметрыэтогоспектраистикбудемквантовымичисламииерархическогопространства,посколькувсе ониют условияпорожденияболеесложныхструктуризболеепростых, определяютквантования уровнейиподуровнейиерархии.Для изображения квантовыхчиселескихпространствбудемиспользоватьследующиеобозначения:-определяетчислооболочек(размерность) иерархическогопространства,определяетчисло подоболочек,входящихв составm-ойоболочки,определяетчисло подоболочек,входящих составвп-подоболочки.

Очевидно,чемсложнееиерархическоепространство,тембольшеечислоквантовыхчисел необходимо дляегохарактеристики.Изопределенияквантовыхчиселивыражения(6.3-1)следует,чтоэтиквантовыеЧисласовпадаютссоответствующимииндексамивыражения(6.3-1)ихарактеризуютразмерностииерархическихоболочекиподоболочек.Введемещеодноквантовоечисло-котороебудетхарактеризоватьдвойственностьподоболочекиоболочек иерархическогопространства ^ тлк.Тогдаколичественныйсостав любойоболочкииерархическогопространствасиспользованиемвведенныхтаким образомквантовыхчиселбудетопределятьсяследующимвыражением:тпк(6.4-1)и=1к=\"з=1Совокупность квантовыхчиселотражаетвнутреннююструктуру материальных объектов,образующих иерархическоепространство,вложенность оболочекиподоболочекиерархическихподпространств(частичногоилиполного)другвдруга.Онихарактеризуют спектриерархическогопространства.Иэтотспектрпосвоей сущностисовпадаетспонятиемспектра, принятоговфизике,математике.Изтеориирядов известно,чтодляанализаспектровизлученияматериальных объектовиспользуетсяматематическийаппаратразложенияфункцийврядыФурье,содержащиегармоническиесоставляющиеэтихспектров.Ужесамэтотфакт свидетельствуетобиерархической природепроисхожденияэтихспектров.Поэтомунаснедолжен удивлятьтотфакт,чтоспектрыизлучения химических элементовдолжны содержать информациюоструктурнойсложностихимическихэлементов,обихиерархическихсвойствах.Самспектр излученияхимическихэлементовявляетсявизитнойкарточкойэтиххимическихэлементов,котораясодержитвсю,илибольшуючасть,информацииосвойствахиструктуреэтихэлементов,геном,зафиксированнымвнешнимисследователем,покоторомуможнонетолько“узнать”этотэлемент, ноивоссоздатьегоструктуру.Поэтимспектрам можносудитьнетолькооколичественном составеоболочекиподоболочек данномватоме,нетолькоостепенисложностиструктурытойилиинойоболочки(подоболочки),нетолькооместетойилиинойоболочки(подоболочки) общейвиерархическойструктуре материального объекта,нотакже иоправилахпорождения той или иной оболочки(подоболочки).Этоутверждениеможетбытьиспользовано как фактпринадлежности Периодическойсистемыхимическихэлементовкиерархическомупространствуопределенногоуровняиерархии,т.к.спектрыхимическихэлементовтакжеотражаютивнутреннююструктуруэтиххимическихэлементови,следовательно,Периодическаясистема химических элементовоткрылапокаещене всесвоитайны.Еслисо“сложностью”оболочек иерархическогопространствасвязатьразмерности подпространств(подоболочек), образующихегооболочки,томыполучимупорядоченное множество величин вида<m,n,к...>Первыйсимволmхарактеризуетразмерностьсамогостаршегоиерархическогопространства.Остальныепараметрыявляютсяквантовымичисламиэтогопространства.Поскольку размерностьиерархическихподпространствнеможетбытьбольшет,томожнопроводить анализподоболочек,имеющихсамуюмаксимальную размерность,котораяравнат.Тогдамыбудемиметьпоследовательности кортежей длиныт,характеризующие тонкийспектр расщепленияm-мерногопространства наn-мерныеподпространства.Дляподпространстванулевогоуровня получим<1,1,1......1>

iiipoiI|»in<iиI11>\"poiuiHиерархиимы будемиметь<1,2,3.......m>uipocipiuicin2-гоуровняполучимсоответственно<1,3,6,10,......>[пространен!3-гоуровняполучимсоответственно<1,4,10,20,......>Iсвоюочередьп -мерныеподпространства также могут иметьспектррасщепления.В:лучае,мыбудемиметьсистемувложенныхдругвдругакортежейдлиныт. Изэтих1ийвидно,чторазмерностииерархическихподпространств являются биномиальнымициентами.Используядругиеправилаидентификации, можнопостроитьидругиеческиепространства. Спектрыявляютсяважнейшейхарактеристикойиерархическогонства. Они очень тесноперекликаютсяс“обычным”понятием, используемымвоприкладныхразделахестественныхнаук, например, прианализе спектров атомов,ипичиеулюбогоцелостного объекта спектраразложениясвидетельствуетотом,чтообъектимеетиерархическоестроение.Наличиетонкойструктурыспектра у оболочекбъектасвидетельствуетотом,чтовсоставе иерархическойсистемыимеютсяючки(надоболочки).Тогдаэтотобъектбудетотноситьсяужеко второму уровнюиит.д.Система спектров объекта оказывается какбывложеннойдругвдруга.Еслиючкииподоболочки оказываютсявложеннымидругвдруга,тотакиеспектрымывзыватьсвернутыми.Наличие объекта сложногоуспектра расщеплениясвидетельствует>ундаментальномзначениивхарактеристикеэтогообъекта. Болеетого,посколькуобъектимеетсвойиндивидуальный спектр,то этотспектр иявляетсясамымпервичным:м“генной”информацииоб объекте.Поэтомунебудетпреувеличениемсказать,жупностьспектроврасщепления уровней иерархииобъектапредставляютсобойическоедерево,характеризующее историю эволюцииматериальногообъекта,чтоэтазостьспектровнесетвсебенекоторые собственные значенияисобственные векторыческогопространства,характеризующихтолькоданный конкретныйобъект,ледовательно,квантовыечисла,характеризующиеспектртогоилииного объекта,иполностью определяютусловия“квантования”этого иерархическогообъекта.5.СОБСТВЕННЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕПОДПРОСТРАНСТВА6.5.1.ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО.'стьX —п-мерноелинейноепространствоиу=Ах—линейноепреобразованиенаэанствеX.ПустьХ,С.Xявляетсянекоторым подпространствомX,обладающим,э,темсвойством, чтоеслихGX,,тои y=AxGХ гПодпространствоX,,обладающеенымсвойством,называетсяинвариантнымотносительнолинейного преобразованияу=Ах.обенныйинтереспредставляютсобойодномерныеинвариантныепространства,являющие собой прямыевпространствеX,проходящиечерезначалокоординат,лих—произвольнаяточкапространстваX иа-вещественнаяпеременная,щаясяот— °сдо+°с,тоОСхбудетпредставлять собой одномерное подпространствоходящеечерезх(приСХ= 1)ичерезначалокоординат(при(Х=0),какпоказанона5.1-1дляп-2.ТакоеодномерноеподпространствобудемобозначатьR,.Рис.6.5.1.-1Одномерноеинвариантноепространство.

Можно предположить,чтосредибесконечногомножества одномерныхпроеiранеiиR,всегданайдутсятакие,которыебудутинвариантны относительно преобразованияуЛх.ге.длялюбогохЕR 1имеетместоу=АхЕR r6.5.2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫИСОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦОбозначимчерезXотношениеу кх,котороепри этомбудетпростовещественным числом,т.е.можемзаписатьу==А,х.Тогда,еслиR 1-инвариантноеподпространство, тодлях£R,имеетместоравенствоАх-ЛX(6.5.2-1)Векторх^О,удовлетворяющий соотношениям(6.5.2-1),называетсясобственнымвекторомматрицыА,ачислоА,-собственным значением (характеристическим числом)матрицыА.ЭточислоА.являетсяважнейшейхарактеристикойинвариантногоподпространства R,.Дляопределения характеристическихчиселматрицыперепишемсоотношение(6.5.2-1) вином виде,введятождественноепреобразованиех=1х.Приэтомполучаем:(6.5.2 2) .Соотношение(6.5.2-2)представляетсобойсистемулинейныходнородныхуравнений,которая можетбытьзаписанавявномлидекак-_(аи- Л)Х1+О|2Х2+...+O]„Xn= Оa 21xi+(О22- Л)Х2+...+ а ппх п= О >a nlxi+ ап2Х2+...+(я„„- Л)х„= О(6.5.2-3)Этасистемаимеетнетривиальноерешениетольковтомслучае,есливыполняетсяусловиеdet(y4-Z/)= 0’(6.5.2-4)Соотношение(6.5.2-4)называетсяхарактеристическимуравнениемматрицыАи представляетсобой алгебраическоеуравнениеn -йстепениотносительноА..Действительно,раскрываяопределительигруппируячленысодинаковымистепенямиК,левуючастьуравнения(6.5.2-4)можнопредставитьв видемногочленапостепеням:detfA-ЛГ)= q 0+...+qnA nЛегкозаметить,чтоздесьq o=detA,q n=(-l)n .Такимобразом,длянахождениясобственныхзначении матрицыА получаем уравнениеп-й степениотносительнол:”=0Этоуравнениеимеетпкорней,средикоторыхмогут бытьиодинаковые,являющиесясобственнымизначениямиматрицыА.Конечно,невсесобственныезначения обязательнобудутдействительными,нотаккакА-действительнаяматрица, токомплексныекорнибудутвстречатьсясопряженными парами.ВозьмемлюбоесобственноезначениеА.,,иподставим еговисходнуюсистемууравнений(6.5.2-2)Получимуравнения(Л-Д7)х= 0

>cимеемнстриниильносрешение,таккакdet(А-ХД)=О.Эторешениедаетвекторх 1 ,лясмый сточное!1.к>до скалярногомножителя.ЭтотвекториназываетсясобственнымомматрицыА.ккакА,,,можетбытькомплексным числом,тох'можетсодержатькомплексныетенты.Однакопосколькукомплексныекорнивстречаютсясопряженнымипарами,то;ксныесобственныевекторытакже будутвстречаться сопряженными парами.гласно(6.5.2-1)собственные векторых'исоответствующиеимсобственные значенияА,ысоотношениями_______Ах'=Лх ‘ ,i=1,п,ieмогут быть записанывболеекомпактнойформекакЛИ=ИЛквадратная матрица,составленнаяизсобственныхвекторовматрицыА;Л —альная матрица,укоторойпоглавнойдиагоналирасположенычислаX,,авсеостальныегыравнынулю:“1ч0. ..'х}...<0...V =(x',...,7 n )=................A =00...X •••_00•.VИнвариантноеиерархическоеподпространство,содержащеесобственныезначения,называтьсобственным.Изматематики известнаследующаятеоремаособственных1яхматрицы А.Теорема. Если собственные значенияматрицыАразмеромпзанумерованы так,чтокизнихл,л кразличны, то соответствующиесобственныевекторых 1,..., хплинейносимы.Такимобразомксобственным значениямсобственного пространствазляетсяосновноетребование-всеонидолжны бытьразличны.Введемвсоставкаждогоиерархическогоподпространства собственноеиерархическоестранство5?°’n)С.Жт 'п)Собственное иерархическоеподпространство,$°'п)содержитиныезначенияисобственные векторыиерархическихподпространств. Й?1 1 \"'” .Приэтом:нныезначенияисобственныевекторы характеризуютнетолько“вес”данноготческогоподпространствавобщей иерархиипространстваm-го уровня,нетолькощиюегоначальногособственноговектора,нои“привязку” ихкначалу координатзподпространстваиерархическом собственномпространствесовокупность:нныхзначенийисобственныхвекторовхарактеризует эволюциютраекторийиныхвекторовего собственныхподпространств,ихвзаимнуюориентацию.Вслучае,бственныезначенияисобственныевекторыиерархическогоподпространствабудутзулю,томыбудемиметьвырожденныйслучай,авсеподпространствовэтомслучаезернутымвнуль-точке.Еслижесобственныезначенияисобственныевекторыбудут>ымобразомупорядочены,будетиметьместоусловияих“квантования”и...сД$0 ,'п)удемиметьупорядоченнуюцепочку подпространств,приэтомпомерепродвижениясложнымиерархическимпространствам“началокоординат”всегоиерархического.нствабудет последовательно перемещатьсяпоцепочке

Lrw.irtWtfMiliiУушиж№>ии\".ш .1.LUОсобоеместовопределениииерархическогопространстваиграютсобственныеподпространства.^“ . п)Собственные векторы собственныхподпространств виерархическомпространствеопределяют“вес”даннойоболочки (подоболочки)вобщейиерархииподпространств.Если вес“”рассматриваемогопространстваявляетсяскалярнойвеличиной,тоэтозначит, чтобазисныеортыиерархическогопространстванулевогоуровняявляютсянулевыми,нособственное значение отлично-отнуля.6.5.3. ВИДЫСОБСТВЕННЫХПОДПРОСТРАНСТВВведенноетакимобразомпонятиесобственного иерархическогопространства(подпространства)является естественнымобобщением для -мерногоnлинейного пространства,котороебудетявляться частнымслучаемиерархического пространства.Действительно,еслибазисные векторысобственныхподпространствиерархическогопространствабудут равны,аихначала координатводнойитойжеточке,томы будемиметьсовокупность упорядоченных,вложенныхдругвдругалинейныхподпространствсначаломкоординатводнойитойжеточке.Поэтой причинеиерархическоепространствостакимисвойствамимыибудемназыватьвложенным.Всякийраз,когдамы имеемупорядоченнуюсовокупностьвложенныхдругвдругаиерархическихподпространствтомыможемговорить,чтовсеэтиподпространстваимеютобщееначалокоординат.Еслижебазисныевекторы собственныхподпространств, неявляютсяравныминулю,аихвестакой,чтоиерархическиепространстванепересекаются,томыбудемиметьслучайразвернутогоиерархического пространства.Совокупностьиерархическихподпространств,расположенныхввиденекоторойцепочкиобладаеттемсвойством, чтоначало координатэтихиерархическихподпространствнесовпадают.При этомпомерепродвижениякболее“сложным”иерархическимподпространствам“центртяжести”(началокоординат)всейрассматриваемойструктурытакжебудетпоследовательноперемещатьсяпо цепочке.Поэтойпричинетакиепространствауже обладаютопределеннойструктурнойсложностью.Наконец,может иметьместо случай,когдавкачественового“начала координат”будетвыступатьвсяструктуравцелом.Это значит,что каждоеиерархическоеподпространствоимеетсвойсобственный“вес” ,свой масштабизмерений,своюметрику,своюсобственнуюфункцию,новсеэтипоказателисложности иерархическогопространстваявляются“квантованными” ,получаютсяизпоказателейиерархическихподпространствсменьшимуровнемиерархии,сменьшим4уровнемсложности.6.6. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕИЕРАРХИЧЕСКОЕПРОСТРАНСТВОИзстрогойупорядоченностипостроенияиерархическогопространстваследует,чтовсеподпространствадолжныбытьинвариантнымиотносительнонекоторогооператораэтогопространства,т.е.еслиXjE.^mJ)являетсявекторомнекоторого подпространства,обладающеготемсвойством, чтоеслихбX,тоу=вхGXjСледовательно,необходимоопределитьтакуюфункцию,котораябылабыинвариантнойотносительнонекоторогооператора. Поскольку экспоненциальная зависимостьявляетсясамой фундаментальной, самой основнойзакономерностьюразвитияиерархическихсистем, аэкспоненциальныефункцииобладаютмногими замечательными свойствами,торассмотримвпервуюочередьфункциювидае'ЬхОператорыдифференцированияиинтегрирования оставляютфункциюе' 1” 1инвариантной,асобственным векторомоператорадифференцированиябудетматрицаib(6.6-5)

Ьелис»М.И.\"Основыми.'югии\".1999ц>л.•атногооперагора-интегрированиямыбудемиметьобратнуюматрицуib’ 11качествебазисныхединичных функцийможновыбратьтолькоследующие(алее,инвариантность операторовдифференцирования интегрирования ипроявляетсяпоэтиоператорыизменяюттолько“вес”и“ориентацию”функциивкомплекснойти.Например,(6.6-6)ого,экспоненциальныефункцииимеют естественный механизмдля перенормировки“”чсскихэкспоненциальныхпространствлюбогоуровняиерархии.ibx-ibx.е°е= 1ого,экспоненциальныефункцииобладаюттакжесвойством“дискретности” ,т.е.могут1ляться” .Например,ibxЦЬ +Ь12+...+Ь„)х-ематрицыразмерностиг'еперь вопросотом,можнолииспользуяподобные базисныефункции,получитьческоепространство.(ляответанаэтотвопрос рассмотримвзаимосвязьмеждуиерархическимлинейнымнствомифункциональнымпространством,У<тп >.1зматематикиизвестно,что задатьчисловую функциюfнаn-мерномлинейномнствеSiнад полемкоэффициентомк -значитдатьправило, позволяющеепоставитьтствиекаждомувекторух6Siнекотороечисло изполя (значениекфункции(длякторах).Есливпространствезаданнекоторыйбазис рее2 3 еющийкаждыйвекторхGSiзаписатьввидех=х,е,+х 1е2++х 3 е3++х4 е4++...х пе = п< Х|,х2 3 4,х ,х,...,Хл>зазаключаетсявтом,чтобыдлякаждого векторахвыразитьзначенияf(x)через[атых рх х2 ,3 ,х 4,..., хп(посредствомнекоторойформулы).•кспоненциальнаяфункциявидае ‘Ьх,определенная напространствеSi,будет>й,еслионаудовлетворяет условиюлинейности.\" Х 1 ++^ЭХ Э*+^4Х 4*+— \" Х .)=\" f (X l)+X 2f(x )+X x )23f(3++X4f (X + 4)+...f(x .)(6.6-8)ыхвекторовХрХ2,х ,х3 4,...,х лилюбыхчиселА,,,...,^•кспоненциальнаяфункциябудетудовлетворятьсвойствам линейноститольковтом:слиналевуючасть уравнения(6.6-8)воздействоватьоператоромдифференцирования,йосуществляетоперациюпреобразованияфункциивлинейную,т.е.являетсязром“развертки”экспоненциальнойфункции,исамо условие линейности-щиальнойфункцииприобретаетвид+А,2х 2++А 3х 3++А 4х 4++...Ах 1])/дх=:,))+aF(X2f(x2))/ax+dF(X3f(x3))/3x +3F(X+4f(x4))/9x+ +...8f(Xf(x„))/Эх=(6.7-9)X,f(x,)+X 2f(x2)+X3f(x3 ) ++X4f(x4+...X„f(xn>eпреобразование(свертка)осуществляетсяспомощьюоператораинтегрированияJaF(X,x,+Х 2х 2++Х 3х 3++Х 4х 4++...Хп пх)/Зх=(6.6-ю)X,f(x,)+Xif(x2)+X3f(x3 ) ++X 4f(x4 ) + +...X,f(xn )+с[ругимисловами,оператордифференцированияосуществляетпреобразованиеанальногопространствавлинейноепространствоSi, аоператоринтегрирования,т,осуществляетпреобразованиеот линейного пространствакфункциональному.

IСучетомэтихпреобразованийможносчитать,что экспоненциальныефункциииидие'Ьх,определенныенапространстве9ft,вкоторомопределеныоператорыдифференцированияиинтегрирования,являютсялинейными.Изматематикиизвестно,чтомножествовсехлинейныхфункций,заданных пространствев9ftнадполемк,образуетлинейное пространствотойжеразмерности,приэтом линейноепространствосостоящееизвсехлинейныхфункций,определенныхнапространстве9ft,называется сопряженнымпространству 9ft.Поскольку пространства9^и9ftявляются частными случаямисоответствующихиерархическихпространств,тоэтипространстватакжебудутсопряженными относительнодруг друга,аихбазисныематрицыбудуттранспонированными.Здесьречьидетпока толькоосимметрииэтихбазисныхматриц,анеосоответствиичисленных коэффициентов.Подобныйдуализмпространств9ftи3*можноинтерпретироватьследующимобразом.Еслипространство9ftсвязать,например,соструктурнымисвойствамиэлементов(корпускулярнымивслучаеатомов),топространствобудетхарактеризоватьихфункциональныесвойства(волновыевслучаеатомов).6.7.ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫСПРОСТЫМСПЕКТРОМПусть.<3.U— >V-отображение линейногопространстваU влинейноепространствоV,ставящеевсоответствие каждому векторуипространства Uвектор v= . cXiпространстваV.Отображениебудетлинейным,еслионоудовлетворяетследующим двумусловиям(условиямлинейности):-длялюбыхдвухвекторови,ии 2+ и 2 )= 1яй11+«л&2-длялюбоговектора иилюбого числаXимеем.wfXu)= X(.sA)Изэтих условийсразуследует,чтоприлинейномотображении всякая линейная комбинацияX,u15...,Xm u mкаких-либовекторовu pUпереходитвлинейную комбинациювекторовV,е...,vЕ.гЛ11 ’’mmстемижекоэффициентамиА,,,•••Дт .Линейныеотображения линейногопространствавсебяназываютлинейнымиоператорами.ПустьхестьсобственныйвектороператорацайV —->Vи99-пространстводействительныхфункций,определенныхнаVинепрерывнодифференцируемых(99-есть пространствонад полемдействительныхчисел31).Обозначимчерезd/dxоператордифференцирования,ставящий всоответствие каждомуэлементуfGVегопроизводную.Легковидеть,чтооператордифференцированияестьлинейныйоператорпространства.2?.ЕслиХеЙ?,тофункцияеХ хестьсобственный вектороператорадифференцирования,т.к.de_dxТаким образом,любое действительноечисло являетсясобственнымзначениемоператорадифференцирования.Вболее общемслучае*2=Йе-ах

138ГдеАматрицасобственных значенийоператорадифференцирования.В линейнойалгебредоказывается,чтоеслисобственныевекторых р х 2,...,хплинейногооператора.</имеютразличные собственные значенияА.р Х 2,...,Хптосистема{хр х 2,...,хп }линейнонезависима.Вэтом случае линейныйоператор.Vп-мерногопространстваУ* 1( п>0),имеющийпразличныхсобственныхзначений,называется операторомспростымспектром,анаборвсехсобственныхзначений-спектромоператора.6.8.СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫИСОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯФУНКЦИОНАЛЬНОГОИЕРАРХИЧЕСКОГОПРОСТРАНСТВАИзматематикиизвестно,что.состояниелюбой стационарнойсистемыможетбыть описаносистемойлинейных дифференциальных уравненийспостоянными коэффициентами.Общеерешениедля такихсистем имеетвидaiBxх-,Y-А е+с(6.8-1)ГдеА-произвольнаяпостоянная невырожденная матрица,В-исходнаяматрицаВсвоюочередь,всилуиерархичности строенияматериальных объектов,каждаяоболочка (подоболочка),может иметьсвой спектр расщепления..Поскольку каждаятакаяоболочка обладаетсвойством целостности,тоееможнорассматриватькакнекуючастицу,которуюможноописатьсистемойдифференциальных уравненийспостояннымикоэффициентами.Тогдасовместное решениеможетиметьвидили+С+С(6.8-2)гдеВ,C,...,Z-некоторые постоянныеневырожденныематрицы.Тогда, задаваясьнекоторыминачальнымиусловиями длясистемылинейныхдифференциальныхуравненийспостояннымикоэффициентами, мыбудемполучать, например,частные решениявидау =Д рix(B+c+...+Z)С(6.8-3)Таким образом, задачасводитсяктому,чтобыпринекоторых начальныхусловияхполучить требуемые частныерешениявида(6.8-3).Дляэтого необходимо решитьпроблемусобственных векторов собственных значенийисистемыдифференциальныхуравнений.Анализируяполученныечастныерешения, можноискатьболее общиечастныерешенияит.д.Эточрезвычайнотрудоемкийпуть.Однакоэтомупути естьальтернатива.Задачаставитсяследующимобразом.Требуетсяустановить, каким общимтребованиямдолжныудовлетворять собственные векторы собственныеизначения,определить ихсвойства и наэтойосновеопределитьвид матрицА,В,С,.....Какимижесвойствами должныобладатьсобственныевекторыисобственныезначениярешения(6.8-3)?Во-первых,этисвойства должныбыть уникальными, носитьвсеобщийхарактер.Во-вторых,этисвойствадолжныотражать всебезаконысимметриистроения материи.В-третьих,этисвойствадолжныбыть такими,чтобыониотражалииерархичностьстроенияматерииипреемственностьеестроения,т.е.такими, чтобыонивскрывалисампринциппорождениясобственныхвекторовисобственныхзначений,-Всем этимтребованиямсоответствуют спектрырасщепления уровнейиерархииматериальныхобъектов,аискомыематрицы какразибудут являтьсяискомыми собственнымизначениями.Таким образом,задачазначительно облегчается,т.к.зная спектрырасщепленияобъектанаоболочки,оболочек-на подоболочки ит.д.,иполагая,чтоматрицыА,В,С,...

ЬышM.Hi-Шхарактеризуют совокупностьспектровэтихоболочек(подоболочск),можносоеnumii>общеерешениесистемыдифференциальныхуравнений,иопрсдешн.некоторые начальныеусловия,которыесоответствуютнайденномурешению.Можно предположить,чтолюбойматериальныйобъектсодержит общеерешениепринекоторых начальныхусловиях., аматрицыА,В,С,...общеюрешения(6.8-2)могутотражап.(содержать)вявномвидеэточастное(ноестественное),решение системынеизвестныхдифференциальных уравненийспостоянными коэффициентами.Изсвойствлинейного иерархическогопространстваследует,что матрицыкоэффициентовА,В,С,,.,следуетискатьввидеквадратнойматрицы, отражающиепринципысимметрииисвойствасобственныхвекторовисобственныхзначенийсистемыдифференциальных уравненийспостояннымикоэффициентами.Поэтой причинетакиематрицыможноназыватьматрицамигруппсимметрии.Правилапорождениясобственныхвекторовэтихматрицдолжны удовлетворять требованиямвсеобщностииотражатьструктуруматериальных объектов.Всемэтимусловиямиудовлетворяютихспектрыразложениянауровни иерархии.Вышебылопоказано,чтообщее решениесистемыдифференциальных уравненийспостоянными коэффициентамиимеетвидУ =/Ле^+С(6.8-4)Вкачествеинтегральной матрицыуравненияможновзять(6.8-5)Полагаях=0,получим(6.8-6)Действительно, поскольку(6.8-7)Топодставляя полученное соотношениеиравенство(6.8-6)вматричноеуравнение(6.8-8)Имеем(6.8-9)Т.е.матрица(6.8-6)являетсяинтегральнойматрицейуравненияИсследуемструктуруинтегральной матрицы(6.8-6) ипокажем, чтоона. ..................|элементарными делителямиматрицы,которыевсвоюочередь являются собственныйзначениямиоператорадифференцирования.Случай1..Из линейнойалгебрыизвестно,что еслиматрицаА т-каноническаяидиагоналыш\"

i6engeB^J4ii^Oe«gewijjHWWW^b j i999jiO2 1J2,стыеэлементарные делителиХ-Х|;Х-Х2 ,Х-Х3,...,Х-ХпствуютвсемхарактеристическимчисламматрицыА тэкспоненциальнойфункцииe /[Atx,A2x,...,VJ_ei^xg'Vjтральнаяматрицавэтомслучаепринимает видV-[а‘^ х(№х<з'^хzA*lj(6.8-10)юненциальнаяфункцияотдиагональнойматрицыестьдиагональнаяматрица,щьнымиэлементамикот оройявляютсясоответствующие экспоненциальныефункции.3этомслучаеинтегральная матрица такжеявляетсядиагональнойматрицей.(6.8-11)2.VIатрицаА т-каноническаяквазидиагональная.Подобныеквазидиагональныеыбудутсоответствовать некоторому развернутому иерархическому пространству,т.е.ерархическиеподпространстванепересекаются.!1’\" ьл г=[4<л,),4^),4(a,),...4(A,)]iЛ/1Л(6.8-13)1\"дапорядка h,вкоторойна главнойдиагоналистоитчисло Xi,нанижеследующейаличисло1,авсеостальныеэлементыравнынулю.Отсюдаследует,чтоВматрицеА тсуммавсехпоказателейвсехэлементарныхделителейравнаеепорядку,h,+h,+...+h=n12nица вида (6.8-13)соответствует элементарнымделителям(АД),(X-X2),...,(X-Xr) h ri.\"'41 P...,hr-целыечисла.Посколькупространству&'-п>1-гоуровняиерархииудовлетворяютусловияh,=l,...,h=rиентарныеделителибудутиметьвид(Х-Х,)',(Х-Х2 ) 2,...,(Х-Хгу'ично,пространствуЙ* 2*»будут соответствовать элементарныеделители(Х-Х,)',(Х-Х2 ) ’,(Х-Х2 ) 6...,(Х-ХгуТогдав общем случаеинтегральнаяматрица принимает вид=eiAT xe Jii2Wx(6.8-14)кА тквазидиагональнаяматрицаА рА 2 ,А,,...,Аг,товсилу того,что=[ААт2,...,Ат г ]получить тождество

toilМ.И.Vmwim.ш.frОткуда)^=[/.<«*/,.№>«.....eJMU}(6glJ|т.е.и вэтомслучаеинтегральнаяматрица(6.8-6)являетсятакже квазидиагональной.По индукцииможно сделать вывод,чтоинтегральные матрицыиерархическихпространствсболеевысокимуровнемиерархиитакжебудут квазидиагональными.Вышемыпоказали,что каждому собственному векторусоответствуетматрицасобственныхзначенийвидаiA.Очевидно,чтодля оператораинтегрированияматрицасобственныхзначенийбудетравнаiAT ,гдеА т-транспонированная матрица.Рассмотрим теперьпространствос базисоме ре 2 ,...,еп.ВозьмемвэтомбазисеоператорF, задаваемыйформуламиF°e2=е 1+л е 2(6.8-16)/ ' ое„'= е 1+в2+ - + е п-1+л е лгдеХеN-поле целыхчисел.Матрицаэтогооператоравбазисее ре 2 ,...,епобозначается черезJ„(X)иназываетсяп-мернойжордановойклеткой, оответствующейсчислуЛ1000X.Таки образом00 ‘м 0л10000J.W-00л100000000л1(6.8-17)000000лНа главнойдиагоналистоятчисла,на параллельной ейсверху (илиснизу)диагонали-единицы,всеостальныеэлементыжордановойклетки-нули.Тогдабазиснуюматрицу n-мерного иерархическогопространства1-гоуровняиерархииможно записатьввиде следующейканоническойжордановойформыddxОоооООоd\"dxоооооF „оооооооооооd\"-'dxоооооооd\"dx .ПустьтеперьоператорFестьоператордифференцированиявида

1999год,©ГЛ (А)0000000Л(Л)00000/,,(я)(Я)=00Л(Я)0000(6.8-19)00000Л_,(Л)0000000•W)Jдписываяэтотоператорвклеточнойформе, мы получим'Л00000О'0F 200000F„(n)=00Л0000(6.8-20)00000F„-,0о00000F n .5оператораF<п)на жордановуформупорождаетдиагональнуюматрицувидаS;n)(A) =F„J„=[А(1)5 (1),А(2)5 (2)5...,А( )л5 ,(и ) ]Где Л (/)=[Л’,Л2,Л3,...,Л'']S n{i)=А'+А +А23+...+ А\"(6.8-21)условияортогональностистрокистолбцов матрицыЛ\" ’(Л)думожнопереписатьвкомпактнойформеA„<n)(A)=F M F nX)=A (n)S (n)<6 -8 -22)S nM=[А',А2 А',А+3+А 2+А',...,А3+А 2+А',А2+А',А']зловиеортогональностивытекаетизгеометрическогосмыслаоператорадцирования.>перь,всилутого,чтополученнаяматрицаимеетсмыслтреугольнойматрицы, то)единственноесобственноезначение,мыможем,используянекоторыерекурентные,вычислитьвсеостальные.Имысноваполучимквазидиагональнуюматрицу,внаглавнойдиагоналистоят“единицы вида”i,-l,-l,1,iэтомслучаематрицаS n<n)будетсодержатьсобственныезначениявекторовескогопространства. Можнотакжесказать, чтоматрицаА п(п)будетхарактеризоватьцию”единичных собственныхвекторовиерархического пространства ивобщемвиде

’Я,/Л (я)=1*п^i 2Л/(6.8-23)VjгдеXi,i=1,..,пхарактеризуют веса“”иерархическихподпространств.Тогдаглавная побочные идиагоналиматрицыS nwвобщемслучаебудутсодержатьматрицысобственныхзначений, характеризующих отношениемеждусобственными векторамиоператораF n(n).И этисобственные значениятаковы,чтоонисоставляютарифметическиерядывида(6.8-24)<1,1,1,1,1,...><1,2,3,4,5,...><1,3,6,10,...>Этиотношенияобладаюттемсвойством,чтоглавноесобственноезначениевкаждомслучаеравносуммепобочныхсобственных значений.Так,еслипобочныесобственныезначениясоставляют ряд<1,2,3,4,...„4,3,2,1>Топоследовательность главныхсобственныхзначенийужеобразуетследующийряд<1,3,6,10,...,10,6,3,1>Этотпроцессформированиясобственных значений для иерархическихпространствсболее высоким уровнемиерархииможноописать,используяследующийоператордифференцирования симметричнойквазидиагональнойжордановойформыГ 1оо(1+^-)ахОооооооY (и)=•*л(1+-7-)ах(6.8-25)Ооооо<1+т>ахJСмыслэтогооператорабудет заключаться втом,чтоон из матрицыS n(n)“вырезает”дваееглавныхчлена (главнуюипобочную диагональ-двеглавные“гармоники” )S T n(\")=yw oSw(6.8-26)Врезультатемыполучимновуюжордановуформу(клетку),болеевысокогоуровняиерархии,укоторой на главной диагоналибудутстоятьсобственные значения,составляющиеряд<1,3,5,7,...,7,5,3,1>Применяяктакойклеткеоператордифференцирования,мыполучимматрицу,укоторойнаглавной диагоналибудетстоятьпоследовательностьчисел<1,4,9,16,...,16,9,4,1>Таким образом,используяпонятиеинвариантныхпространств,мывычислили(илиполучили возможность вычислить)всеихсобственные значенияввидеквазидиагональнойматрицы.

;ля1-гоуровняиерврхниэтисобственныезначениябудут иметь вид(матрицагрупп:трии1-гоуровняиерархии)’[I]00'1О'1100(6.8-27)<цагруппсимметрии2-гоуровняиерархиибудетиметьвид[1] о0[зоооо10031о531(6.8-28)Ооощагруппсимметрии3-гоуровня будетсоответственноО’ 1О'4 1ОООооО'О1(6.8-29)1О4194ОНиже,прианализеПериодическойсистемыхимическихэлементов будетпоказано, что:ние(6.8-28)характеризуетчисловойсоставиструктуруподоболочекПериодическойыхимическихэлементов,авыражение(6.8-29)характеризуетужеструктуруисоставек.Это дает основание предположить, чтовесьспектрсобственных значенийивекторовлочекПериодическойтаблицысоответствуетиерархическомупространству2-гоуровняли.Весьвопростеперьзаключается том,вчтобывыяснить пределыэтогоиерархическогоанства.Необходимо отметить, чтоименноэтотнаборсобственныхзначенийи:нныхвекторов иерархическогопространстваопределяетвсе егосвойства,всеегозты.Есливнутренняя“сущность”собственныхвекторовявляетсяиерархическиманствомк-гоуровня,то собственныевектораисобственные значенияэтогоическогопространства,являющегосянекоторымцелостнымобъектом,онимогутьбазиснымивекторами порождатьиновое болеесложноеиерархическое пространство|уровняиерархии,используя вышеприведенныематематические зависимости.

bi.iHi-DМ.И.“(tawwMWiT.1999юд.<■6.9. БАЗИСНЫЕФУНКЦИИИЕРАРХИЧЕСКОГОПРОСТРАНСТВАТеперьнаша задачазаключаетсявтом,чтобыпутемпоследовательногоиспользованияоператорадифференцированияопределитьнекоторыйбазисныйнаборфункцийе “ ,такой,чтобылинейныйоператордифференцированияимелбыпростойспектр.Рассмотримфункциюе'Ах .Припоследовательном дифференцированииисуммированииэтойфункции мы получимРДelAx(L4x-А 2х?-iAfx3+ Л4х 4+...)(6.9-1)Обратнаяоперация,интегрирование, даетeiATx(iATx-Ar2x 2-iA^x3+А г4х 4+...)(69 '2)гдеА т-транспонированнаяматрицаА.ЗдесьфункцияeiAxявляется собственнымвекторомоператорадифференцирования(интегрирования),авыражениявскобках-сутьихсобственныезначения.Всеэтисобственные значенияразличны. Следовательно,длятого,чтобы спектрдифференцирования(интегрирования)имелпростойспектр (принекоторыхначальныхусловиях),необходимо,чтобысобственныевекторы были линейно независимыми.Вышемыужеотмечали, чтовыбордлинысобственноговектораопределяетсянеоднозначно, но экспоненциальныефункцииобладаютсвойствоместественнойнормировкисобственных векторов.Однако и вэтомслучаевыбордлины всеещенеоднозначен.Так,еслие к-собственный вектор,тое ‘хе к-также собственныйвектор.Есливиерархическом функциональномпространстве.f'функцияе ‘хиграетрольбазиснойфункции, т.е.базис иерархическогопространствадолженсостоятьизнекоторогонаборафункцийвида е'х,то этотнабордолжен быть ограниченным.Этоможетозначать,чтонеоднозначностьсобственныхвекторов можноещеуменьшить,еслинамизвестенуровеньиерархии собственноговектораэтого пространства.Попытаемсяпостроитьбазис функционального иерархическогопространстваиспользуяфункции видае'х, е ‘х -е,‘ х,-е 'х(6.9-3)Рассмотрим некоторые особенностиэтихфункций,используя разложениеэтих функцийврядые “=cosх+1sinх=1+ix-(х2/2!)-(ix3/3!)+(х4/4!)+(ix5/5!)-...-е'х= cos -х-Isinх=-1- ix+(x2/2!)+(ix3/3!) (x-4/4!)-(ix3/5) +...(6.9-4)e ’“ =cosx-Isinx=1-ix (x-2/2!)+(ix3/3!)+(x4/4!)-(ix5/5!)-...- e -ix= -cosx+1sinx=-1+ix+(x /2!)2-(ix3/3!) (x-4/4!)+ (ix5/5!)+...Принекотором фиксированномxмыполучимвкомплексной плоскостиупорядоченнуюпоследовательностьзначенийчленовэтихразложений.Соединяяпоследовательнополученныеточкинаплоскости, мы получим семействаспиралей (рис.6.9- 1).Этирядыобладают замечательнойособенностью,котораязаключаетсявтом,чтоесличленыряда изобразитьвкомплекснойплоскости,томыполучим семейство спиралей.Дляположительныхфункций(е'хи eix)этиспиралибудутраскручивающимися.Дляотрицательныхфункций функций(-е‘хи-е'х )спиральбудет закручивающейся.Группируяполученные функциивсоответствиис их“спиральностью” ,мыполучаемвсего двегруппыфункций-однасправой спиральностью другая“” ,- слевой.Вкаждойгруппе,состоящейиз двухфункций,однафункцияотдругойсдвинутанауголЛ.Изрисунка6.9-1видно,чтопротивоположныеэлементыимеютодно тожеинаправление“вращения” ,носдвинутыхпофазе,аобратныефункции имеютпротивоположнуюспиральность.Используя элементарныепреобразования,получимтеперь для функциие |хследующую формулу- “экспоненциальнуюволну” :е'х= eix/2eix72=(cosx/2+1sinx/2) eix/2= eix/2cosх/2+ieix/2sinx/2

e ix▼ -I-1e-ixРис.6.9-1Анализполученнойформулыпоказывает,чтоаналогичныепреобразованиябудут5дливыдлялюбойэкспоненциальнойфункциивида(6.9-4),которыеиллюстрируютнеэзакономерность двойственности(зеркальногосопряжения),ноиматематическуюстьэтой двойственности.Извсеговышеизложенногоможносделатьпредположениеотом,чтоживаяинеживаядаиспользуютдля своегоразвития(эволюции)одниитежеэкспоненциальные“гены” ,тотжепериодическийзакон,а “экспоненциальная волна отражает”основное свойствошкона-принципвысшейсимметрии,принцип двойной спирали.Если мысейчасвключимвчислорассматриваемыхеще икомплексно-сопряженныеииie' iex ,’ix,-ie ,-ieix’ixтируемихвсоответствиисих “спиральностью” ,томыполучим всеговосемьразличныхенциальныхфункций,которыемогут быть использованывкачествебазисныхфункцийанства3*.Изэтихвосьмифункций,4функцииобладаютправой спиральностью,а 4-Вэтом находит своепроявлениезакономерностьдвойственностиэтихбазисных1Й.Изнихможнообразоватьследующийбазисныйнабордляправо - илевоспиральных1Й<eix,-eix,ie ‘x ,-ielx>,(6.9-5)<е'“ ,ie'ix,-e’ix,-ie-ix>(6.9-6)1часмыбудемпоследовательноскладыватьодноименныефункциикакого-либоиз двух>ixнабора,то мы получим соответственнобесконечныйправыйилилевый“винт” ,т.е.:емсказать,что экспоненциальныефункцииобладают“спином” .Этотбазисныйнаборфункцийобладаетещеоднимзамечательнымсвойством, аналогияюобнаруживаетсявлюбыхдругихоболочкахиерархических системлюбойприроды,йствозаключаетсявтом,чтобазисныенаборыобразуют правыйилилевый

Ц2.винттольковтомслучае,еслистрогособлюдаетсяпоследовательностьихсопряжениявэтих “винтах” .Таблица6.9-1УровнииерархииПодоболочкиР|(х)ОболочкиGi(x)0<2,2,2,2,...><2,4,4,4,.„>1<2,4,6,8,-><2,6,10,14,...>2<2,6,12,20,...><2,8,18,32,...>3<2,8,20,40,...><2,10,28,60,...>4<....................><.............>Таким образом,анализсвойств базисныхправоспиральныхфункций(6.9-5),всоответствиисзакономерностьюодвойственностииерархическихсистем, итаблицыпозволилиуточнить составподоболочекиоболочекиерархическихсистем(таблица6.9-1)Особенностьэтихнаборовбазисныхфункций(правоспиральныхилилевоспиральных)заключаетсявтом, что спин “”каждойочередной функцииэтогонаборасдвинутотносительнопредыдущейнаугол180°,при этомпоследняя функцияоказываетсязамкнутойнапервую.Нечто подобноеявлениенаблюдаетсявмолекулеДНК,вкоторой толькочетыреэлемента(Аденин,Тимин, Гуанин Цитин) ислужат дляформирования двойной спиралиДНК.Еслижевкачествепротивоположныхбазисных функцийпринятьобратныебазисныефункции,томы получимследующийнабор<е'х ,е'\",ieix,ie_ix>Вэтомнаборетакжедвепервыефункцииобладаютпротивоположным “спином” а, две другие-комплексносопряженыс первыми.Изматематикиизвестно,что самыми фундаментальнымиоператорамиявляютсяоператорыдифференцированияиинтегрирования,аэкспоненциальныефункции являютсяинвариантнымиотносительноэтихоператоров.Например,Э /ЛхР- уifa-Ь— =lXe(6.9-7)Т.е. этиоператорыизменяюттолько “вес функции”вкомплекснойплоскости.Экспоненциальныефункции имеютестественный механизмдляперенормировкиэкспоненциальныхподпространствлюбогоуровня иерархии.Например,ibx-ibx<е°е- 1(6.9-8)Изрис.6.9-1видно,чтофункциие|Ьхие'1Ьхобладаютразнойспиральностьюионизеркальносимметричны. Ониобладаютпротивоположнойдвойственностьюиобразуютединичный целостный обьект,которыйможетбыть использован дляпостроенияболеесложногоэкспоненциальногоряда,болеесложной экспоненциальной спирали.Рис. 6.9.-2

LuoШЬМмимм\".iu.,. 1Если функциипилас\"и-е'хсвязатьсотношениямикоординации, е' ах 'е с хотношениямищинации,томыполучимследующийспособ формирования оболочекиерархическихм.Вначалеформируютсяподоболочкисотношениямикоординации.Затемонишяютсядвойственнымиимподоболочками противоположным спином как толькос“” .И>чкаполностьюсформирована,товрезультатееезамыкания, онанормируетсяи,темлполучается целостнаяединичнаяоболочка,изкоторойможно“лепить”потомужеiyалгоритмуследующую болеесложнуюоболочку.Крометого,экспоненциальныефункцииобладаютсвойством дискретности,т.е.могутоваться.Например,разложениефункциидаетei2x=gix ix e=eix(cosх+Jsj n x )болееобщемвидеAiBx—Aix(b+b+...+b)CC12n=XВ,-матрицы размерностиг.Изрис.6.9-2видно,чторасщеплениеэкспоненциальнойфункциивкомплекснойостипорождаетпульсирующуюволну,котораяиллюстрирует универсальнуюИзрис.6.9-1можно,видимосделать вывод, чтовиерархическом экспоненциальноманствеЭ*существуют,сучетомкомплексногосопряжения,неболее8функций,;ныхдляиспользованиявкачествебазисныхфункций.Используяэтифункциииая,чтопереходкподпространствуболеевысокогоуровняиерархииосуществляетсястественногонормированиятекущегоэкспоненциальногоподпространства,врезультатеразуется “началокоординат”иерархическогоподпространствасболеевысокимуровнемии.Выберемдопустимые комбинации базисныхфункций, исходя изусловийестественнойлировки.Тогдамыполучимследующиедопустимыепары<eix,e_ix>,<е'х ,ie_ix><ieix,e ix>(6.9-9)ie'x ,ie'x>1чнодляотрицательныхбазисныхфункциймы получим<-е'х ,-е'“>,<-е“ ,-ie'ix><-ie'x ,-е'х> (6.9-10)<-ieix,-ieix>Исновамыполучилитолько8допустимых комбинаций.5орымогутхарактеризоватьусловия“замыкания”иерархическихподоболочеквсииправила формированиялевыхилиправыхспиралей.Наконец,изматематикиэ,чтоеслирядвидае |х+е2х+...е пхизобразитьввидеграфикас логарифмическойнатуральныхлогарифмов, томы получимграфикпрямой линии,т.е. мыполучим>ноеинвариантноепространство.

Анализэволюцииразличныхживыхорганизмов,или отдельныхихвидов,эволюциисоциальных формаций,эволюцииисторическихэтаповпланетыЗемля,ит.д.показывает,чтовсеэтиэтапы такжемогутбытьизображеныв логарифмическойшкалевремени.Поэтомуможноутверждать,чтомыимеемделосзакономерностьюэкспоненциальногоразвитияиерархическихсистем,котораявобщем случае определяетсябазиснымнаборомизвосьмиэкспоненциальныхфункций.6.10.ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ИОТРИЦАТЕЛЬНЫЕИЕРАРХИЧЕСКИЕСТРУКТУРЫ.Подпонятиемположительной иерархической структуроймыбудемпониматьструктуру,градиентсложностикоторойбудетвозрастать отперифериикцентру.Этотакиеструктуры,укоторыхвсямасса распределенапреимущественновцентре.Аналогично,подотрицательнойиерархическойструктуроймыбудемпониматьтакую,градиентсложностикоторойнаправленотцентракпериферии.Такиеструктурыподобнымыльномупузырю,вкоторомподавляющаячасть егомассыраспределенапопериферии.Группируябазисныефункции поихзнакуперед значениемэкспоненциальнойфункции,мыполучим две группы базисных функций.<е“ ,ieix,e ix,ieix> ,(6.10-1)<-eix,-ie'x ,-eix,-ieix>(6.10-2)Выражение(6.10-1)характеризуетположительные базисныефункциииерархическогопространства,авыражение(6.10-2)-отрицательные.Анализположительных базисныхфункцийпоказывает, чтовпервомнаборефункциие'хиieixбудут иметь однуспиральность,афункциие'х иieix-противоположнуюспиральность.Аналогично для отрицательныхфункций- -е'х и-ie'xбудут иметьоднуСпиральность,а функции-е'хи-ieix- противоположную.Длятого, чтобыизэтих функцийпостроить“винт” ,необходимоу обратныхфункцийизменить“спиральность” ,засчетзеркальногосопряженияихспинов.Взависимостиот того,укакойфункциимыбудемменятьориентациюспина, мыи будемполучатьлевую или правуюспираль.Допустимыепарыкомбинацийдляположительных базисныхфункцийпоказывают,что компонентыэтихпаркакразипредставляютсобойбазисныефункцииспротивоположнойспиральностью.6.11. НЕЙТРАЛЬНЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕСТРУКТУРЫ.Поднейтральнымиструктурамибудемпониматьтакие,укоторых“массасложности”равномернораспределенаповсемуиерархическому пространству.Избазисногонабора,состоящегоиз8функций,можнообразоватьдвавиданейтральныхструктурПоложительнаянейтральнаяструктура.Этотвидиерархической структурыможноформировать толькоизположительных базисныхфункций<eix,ie'x ,e ix,ie ‘x> ,(6.11-1)Выбираяизэтих функцийтакие,которыевсуммедаютнулевой“спин” ,мыполучим2допустимыхпары,характеризующиефункциональныесвойстваположительныхиерархических структур,мысноваполучимтолькодве комбинации<е'х ,е 'х>,<ie'x ,ie\">(6.11-2)Заметим, чтовэтихнейтральных структурахградиентсложностинеравеннулю,и направленотперифериикцентру.

LcihciiМ.И.\"Основымилогии'.1999юл.С---------------------------------------------timeibiuiHнейтральна»структура.Этотпилиерархической структурыможноформироватьтолькоизотрицательных/Р<-e'x,-ie'x ,-eix,-ieix>(6.11-3)Изэтогонабораможно получитьтолько2допустимые пары.Группируяэтибазисныегитакимжеобразом,мы получимдванабора<-eix,<-ie'x ,-ie'lx>(6.11-4)еихарактеризуют функциональные свойства отрицательныхиерархических структур.Вэтихиерархическихструктурахградиентвозрастанияихсложности направленоткпериферии.Таким образом, базисныйнабориз8экспоненциальныхфункцийопределяетвсетипыпыхкомбинацийбазисныхвекторов функциональныхиерархическихпространств.Нейтральныеструктурымогутбытьобразованыипутемсопряжения отрицательныхкительныхбазисныхфункций,нотолькопограницамих“сфервлияния” .;ЗЮМЕдержаниеданнойчасти книгиимеетважноезначение дляединой теорииэволюции(ческихсистем.Внейрассмотрены основныезакономерностиисвойства,присущиещескимсистемамиосновныеприемыиметодыихописанияисделанапопыткаипервого камнявфундаментновойнауки,призванной упорядочитьнашизнанияобющемнасмире:.Анализзакономерностей развитияиерархическихсистемпозволил сделать выводоюваниивсеобщихзакономерностей(закономерностьдвойственности,закономерностьтвенностиразвитиясистем,закономерность экспоненциального развития,мерностьограниченностиизамкнутости, закономерностьинтеграциииенциации)..Анализцелостностииерархическихсистемпозволил сделатьвыводотом,чтосамо:целостностисистемысвязано,прежде всего,сеедвойственностью,чтовлюбойой иерархическойсистемебудетсправедливзаконсохранениядвойственности,поэтомусохранениядвойственностиприменительнокцелостностисистем можноретироватькакзаконсохраненияцелостностисистемы.Аравновесиемеждуеннымиполюсамисистемподдерживаетсяспомощьюмеханизмов саморегуляции,сованием“принципанаименьшегодействия” .3.Всилузакономерностиобограниченностиизамкнутостисистемлюбая1ческаясистемаимеетоболочечноестроение. Эволюциясистемыподостижениююго предельно-допустимогоуровняиерархииосуществляетсяпутем“сжатия”ующейструктурысистемывцелостный элемент(оболочку),которыйиспользуетсявиболееглобальнойиерархическойсистемы,вкоторойстараясистемаиспользуетсяв:оболочки.4.Обоснованарольиописанысвойствасамыхвнешних(сенсорных)оболочекиючекиерархическихсистемлюбойприроды.Сенсорныеподоболочкиэкранируютниеподоболочкииоболочкиотнепосредственногоконтактасвнешней средой,1имтолькоусилительныеиисполнительскиефункции, которые“работают”науровнегания”системы.Сенсорныеоболочкифильтруютвнешниевозмущенияиопределяютадаптациикизменениювнешнейсреды,определяютстепеньчувствительностик:ниямэтойвнешнейсредыи являютсяответственными законтактысвнешней средой,овлениеснейотношенийполезности.юваныиописаны основныесвойстваинтегрированных оболочекиинтегрированных1интегрированныхоболочкахотношения двойственности преобразуютсявотношениявойственности.Отношенияпротивоположности

Беляев М.И.'Основымилогии\".1999год.<У'эволюцируютвотношенияполезности.Посвоей сущностиотношенияполезностиявляютсяравноправнымиотношениями координации. Придальнейшей эволюцииотношениявинтегрированныхоболочкахмогутпреобразовыватьсявотношения субординации,формируятемсамым интегрированнуюсистему.Возникаетустойчиваясистемапрямыхиобратныхсвязеймеждуинтегрированнымиоболочкамиисистемами.Винтегрированныхсистемахоболочки,чащевсего,являются многосенсорными,т.е.такиесистемымогутиметьболее однойсенсорнойоболочки(подоболочки).6.Описаныправилапреемственностииструктурнойсложности иерархическихсистем. Приведеныпоказателисложностиэтихсистем.Проведенанализсвойствнекоторыхфундаментальныхклассовпроизводящихфункций, используемыхдляпорожденияконцептуальных оболочекиподоболочекиерархическихструктур.7.Рассмотреныприемыиметодыформальногопостроенияиописанияконцептуальныхсистем,позволяющиевобщем видеописыватьвзаимодействиеиерархическихсистемсамой различнойприроды.Вкладываявконцептуальную структуру конкретнуюсемантику,мыможемполучать некотороемножествопрагматических структур,описывающихиерархическуюсистемутойилиинойприроды,сэлементами,обладающимиконкретнымисвойствами.Новсеонибудут иметь однуитужеструктуру, одниитежезакономерностиизменения свойствэтихструктур.Концептуальныеоболочки,описывающиеиерархическиесистемыразной природы являютсяинвариантамиэтих иерархическихсистемимогутслужитьосновойдляэволюционногоподходаканализуисинтезу иерархическихсистем,оценкипреемственностиисложностиихструктуры.8.Описаны основныесвойстваиерархическихпространств.Обоснованыпринципыформированиясобственныхзначенийисобственныхвекторовэтихпространств,которыеиграютрольфундаментальныхконстантихарактеризуютсвойства“началакоординат”дляэтихпространств,аихмногомерностьвозникаетврезультате многуровневогостроения.Используявведенныйформализм,полученынеизвестныеранееалгоритмыформированияоболочекиподоболочек иерархическихпространств. Этиалгоритмы,какэто будет показанониже,имеютфундаментальноезначение для формирования оболочексамыхнижних“этажей”Иерархии, томвчиследляПериодическойсистемы химическихэлементов,дляэлектронныхиядерныхоболочекатомов,дляклассификации элементарных частиц, для классификациизвездноговещества.Можносуверенностьюсказать,что выявлена новаянеизвестнаяранеевсеобщаязакономерностьстроения материи,определеныправила,покоторым«господьбогиграетвкости»,создаваясвоитворения.9.Из определения свойствиерархическихпространств становитсяочевиднойдискретностьуровнейиерархии.Важнейшимпоказателемсложности иерархическогопространстваявляетсяегоспектр,которыйнетолькохарактеризует уровеньиерархии этогопространства,ноиколичественный составоболочекиподоболочек этогоиерархическогопространства. Дискретностьиерархическихпространств порождаетдискретностьихспектров.Поэтомучисла,характеризующиевспектре иерархическогопространстваколичественныйсоставегооболочекиподоболочек,являютсяквантовымичисламиэтого иерархическогопространства.ПрианализеПериодическойтаблицыи ядерныхоболочек,будетпоказанаполнаятождественностьквантовыхчиселиерархическихпространствквантовымчислам,используемыхвфизике дляописанияпроцессовквантованияуровней энергииатомов.10.СистемныйанализПериодическойсистемыхимическихэлементов,ядерныхоболочек, классификации элементарных частиц,сединыхметодологическихпринциповбылбыневозможенбезиспользованияметодованализа,составляющих основыновойтеории.Результаты этогосистемногоанализаоткрываютпередисследователями новыенеизвестныеранее закономерности строенияматерии.11.Закономерностииерархии, описанныевданнойчастикниги,лежатвоснове естественныхмеханизмов саморегуляции,самовоспроизведенияисаморазвитиявсехбезисключенияиерархическихсистем,включаябиологическиеисоциальныеорганизмы.Эти

--------------------------ЬеяиемМ.И.\"Основымиссии.1999год.<___________________________ iiMi.iбуду!суспехомиспользованыприанализеПериодическойсистемы химическихтон,глсментарныхчасти извездныхэлементов.Закономерностииерархии являютсятемисамыми фундаментальнымиаксиомами,зуякоторыетакаянаукакакматематика можетописатьвесьмир.Тольковэтомслучаереодоленпринцип“порочногокруга” ,преодоленкризисматематики,когдана песке“”двойственныхпроизвольновыбранныхнаборовтехили иныхаксиом, порождаютсяыеиновыетеории.СТЬЗ.ЕДИНАЯ ТЕОРИЯЭВОЛЮЦИИМАТЕРИИва1.ЗАКОНОМЕРНОСТИПЕРИОДИЧЕСКОЙСИСТЕМЫМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ.1.1.АНАЛИЗПРИНЦИПОВПОСТРОЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙСИСТЕМЫХИМИЧЕСКИХЭЛЕМЕНТОВ.1.1.1.ВВЕДЕНИЕ.Вданнойглаве,спозицийновойтеории,будет проведенанализПериодическойIхимическихэлементов.Известно,чтоПериодическийзаконхимических элементов,.1йД.И.Менделеевымв1869году,являетсяоднимизнаиболее глубоких обобщенийиестествознания.Наоснове известныхсегоднянаукеданныхнебудетпреувеличениемчтоэтоединственныйуниверсальныйидостаточнопростой,чтобыбытьвсеобщим,роениявещества,открытый, новсееще недо конца осмысленныйчеловеком.Всвоейющейработе“Периодическаязаконностьхимическихэлементов”(1871г.)Д.И.:евтаксформулировалпериодическийзакон:“Свойстваэлементов,апотому свойстваилыхимипростыхисложныхтел,стоятвпериодической зависимости отихатомного(оПериодическийзаконхимическихэлементоввего существующейтрактовкеничегоитограницахПериодическойсистемы,атакжеосвойствахиструктуреэлементов,имисязапределами Периодической таблицы.сяокружающаянасреальная виртуальнаяидействительностьсуществуетвнекоторомiecKOMпространстве,котороеобладаетособыми свойствами.Всеэти пространстваякакбывложеннымидругвдруга, подобно куклам-матрешкам.Каждоетакоеоеподпространство образуетсвоесобственноеизмерение.Вобщуюсистемуиерархии:ебезисключенияобъектыокружающегонасмира.оэтомуиПериодическаясистемахимическихэлементовнедолжнаявляеться!ием изобщегоправила.Онатакжеявляетсяреальной иерархическойсистемой,>йстрого эволюционнымпутем,всоответствиисестественнымипринципами1ции.Следовательно, ив любойизееподсистем,будьтоатом,ядро,иликакая-либоочка(подоболочка),должныдействоватьвполном объемевсеосновныегрностииерархическихсистем.ПриэтомсобственноПериодическаясистемаихэлементовявляетсятолькооднимизпериодовЕдиной Периодическойсистемы,Периодического закона.крытыевышезакономерности позволяютсединыхпозицийновойнауки.1ватьструктуру(исвойства) нетолькохимических элементов,нетолькоих изотопов,ихсоединений, нотакжеи структуруядраатомаиграницы Периодическойсистемы,•этомуможноговоритьопредполагаемом открытии,значениекоторогосостоитвоновскрываетнетолькопринципыстроения Периодическойсистемыхимических>,нетолькопредсказываетконечныеэлементы этойПериодической таблицы,но 'глубокиепричинно-следственныесвязимеждуструктуройПериодическойсистемы

МЛ“gfflgmдмкик\",1222m V1Яхимическихэлементовистроениемядраатома,позволяющей построить молекулярную“”модельядра атома.Периодическаясистемахимическихэлементовотражаетвинтегрированномвсеосновныезакономерности,принципыиправилаиерархического строения материи.Инетолькохимических элементов.Именновэтомглавная суть предполагаемогооткрытия.Пространствоэлементарных частицхарактеризуетещеодноиерархическоепространство. Вэтомпространстве также должна существоватьсвояПериодическаятаблицаэлементарных частиц,имеющаяужедругуюструктуру,нежелиПериодическаятаблицахимическихэлементов.Этоследуетизпринциповпостроения иерархическихсистем,изложенныхвыше, вовторойчасти даннойкниги.Изосновтеориииерархииследует,что должнобытьещеодноизмерение,котороепорождают кварки,ичто этоизмерениетакжебудетхарактеризоватьсяиндивидуальнымисвойствами, характеризующими структуруэтогоизмерения.Ещеодна Периодическаятаблицадолжнахарактеризоватьсвойстваиерархическогопространства,порождаемогозвезднойматерией.Впринципевсехарактеристикиэтихиерархическихпространствможноопределитьчистоматематическипутем,еслимыбудемиметьодноединственноеправилопорожденияэтих иерархическихпространств.Однакокакимбыпутемнибылипорожденывсеэтиизмерения,становитсяясным,чтодействияТворцаимелицеленаправленный, эволюционныйхарактер,аего Возможностибыли ограниченными.Крометого, инициативаТворцаоказаласьограниченнойбазиснымнаборомэкспоненциальныхфункций,двойственныйнаборкоторыхравенвсеговосьми.Поэтомувегораспоряжении был ограниченныйнаборпервоначальныхэлементарных“кирпичиков” ,которыеобъединяясьдругсдругом построгоопределеннымправилам,моглиформироватьиерархическиепространстваразличнойсложности.Всоответствии сэтимиправилами строиласьиПериодическая системахимических элементов.1.1.2.ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯПЕРИОДИЧЕСКОЙСИСТЕМЫХИМИЧЕСКИХЭЛЕМЕНТОВ.Известно,чтовпериодическойсистеме химическихэлементоввнаиболее яркойиубедительной форме прослеживаетсядействиеосновныхзаконов диалектикивхимии.НаиболеераспространеннойформойотображенияпериодическойсистемыявляетсяПериодическаятаблица,разновидностейкоторойможетбыть много.Однаковсеэтиформынепозволяютполучить ответана вопросотом,гдежевсе-такиграницыпериодическойсистемы,ивчем заключаютсяпричиныритмическиповторяющейся“спонтанногонарушениясимметрии”врасположенииэлементов таблице, вкогдаизнее вобособленныегруппы выделяютсябольшоечислоэлементов(например,актиноиды, лантаноиды).Возможно,чтоэти“погрешности”могутисчезнуть, илиполучить новуюиерархическуютрактовку,еслипредположить,чтоПериодическаятаблицаесть“абстрактныйобраз”некойгипотетичной молекулы свернутой спираль“” ,виотражающейпроцессэволюциихимическихэлементов.Периодическаясистемахимическихэлементовдолжнаотражатьсвойства собственногоиерархическогои,следовательно, содержатьнаборсобственныхвекторови собственныхзначений иерархическогопространства,порожденногохимическимиэлементами.Решениеэтойзадачи,видимо,можно получитьтольковтомслучае, еслиПериодическуюсистемуможнобудетпредставитьввидеструктурногомногочлена,которыйбыописывалвсеэтапыэволюциихимических элементов.Рассмотримвначалеосновныепринципыипоследовательностьзаполненияэлектронных оболочекатома.Известно,что совокупность электроноввэлектронныхподоболочкахобразуетследующуючисловую последовательность:«2,6,10, И,в>(Ш)аихсовокупностьвоболочкаххарактеризуетсяужеследующимисоотношениями<2, 2+6,2+6+10,2+6+10+14,2+6+10+14,...>