Милогия 2019-том 01

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Обобщая выражение (5.3-1) на случай применения эле- ментов с не равновероятными состояниями, получаем: (5.3-2) где Н – энтропия элемента, по Шеннону, отражающая его сущность в системе. Наконец, в общем случае для применения различных элементов (5.3-3) где m - число состояний системы, как целого, Р -вероятность j-го состояния си- j стемы. В дальнейшем полученную оценку С будем именовать содержанием системы, Н – сущностью элемента, a – ин- ij формацией. Из выражения (5.3-1) следует, поскольку в Н = log К минимальное отличное от нуля значение Н соот- ветствует числу К состояний элемента, равному двум, то это значение Н целесообразно принять в качестве еди- ницы измерения (“кванта”) сущности. Тогда основание логарифма придется принять равным двум, чтобы обеспе- чить log 2 =1. Эта единица измерения сущности называ- ется бит. Итак 1 бит = log 2. 2 Нетрудно заключить, что не только сущность Н, но и информация J измеряется в битах, поскольку всегда спра- ведливо тождество J = log 2 J = J log 2 = J бит. 22 Тогда содержание системы согласно должно измеряться в бит2. 300

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Таким образом, согласно содержание системы из трех элементов с двумя равновероятными состояниями у каж- дого составляет С =3 log 2 = 3 бит21 (здесь и далее основание логарифма 2 будем опускать). Содержание элемента с восемью состояниями также со- ставляет С =С =1 log 8 =3 бит2, 21 а содержание системы из двух независимых элементов с тремя состояниями несколько больше и составляет С3= 2 log 3 =3,2 бит2. Практический интерес представляет определение си- стемы с максимальной сущностью элементов, т. е. с мак- симальным содержанием, приходящимся на элемент си- стемы. Ограничимся пока рассмотрением только таких систем, в которых число состояний системы равно числу элементов, из которых она состоит, т. е. равно информа- ции J. В классе таких систем имеем согласно (2) Н = log J./ J. к Максимум сущности элемента соответствует (5.3-4) Откуда следует J =e и Н = 0,535 бит к мах Таким образом, максимальной сущностью элементов в классе рассматриваемых систем обладала бы система с числом элементов, равным числу Эйлера, ближайшим це- лым к которому является число 3, чем, вероятно, объяс- няется тяготение человека ко всякого рода триадам и тро- ицам. При этом, хотя число 2 дальше от числа Эйлера, чем число 3, тем не менее для системы из двух элементов 301

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Н = 0,5 бит, т. е. мало чем отличается от сущности эле- к ментов в трехэлементной системе, где Н =0,53 бит. Выше к мы рассматривали только так называемое системное со- держание, которому в (5.3-3) отвечает Р , представляю- j щее собой совместную вероятность соответствующих со- стояний элементов системы, т.е. произведение условных вероятностей тех или иных состояний различных элемен- тов. Между тем, помимо системного содержания С , с можно выделить еще собственное содержание С си- 0 стемы (которому в (5.3-3) соответствует Рj, представляю- щее собой априорную совместную вероятность отдель- ных состояний различных элементов системы, т. е. про- изведение вероятностей отдельных априорных состояний системы, вне связи их между собой, и взаимное содержа- ние С системы элементов, представляющее собой раз- вз ность системного и собственного содержания. Свз = Сс – С0 (5.3-5) В качестве примера рассмотрим 3-х элементную систему с тремя равновероятными состояниями (Р = 1/3), имею- j щую максимально допустимую сущность дискретных элементов. Для этой системы согласно (3) системное со- держание составляет С =log 3 = 1,6 бит2 с При этом каждый из элементов системы может, вообще говоря, иметь сколько угодно состояний, лишь бы эти со- стояния были так сблокированы, что в совокупности обеспечивали всего три состояния системы как целого. Если же система состоит из 2-х позиционных элементов, в каждом из которых оба состояния равновероятны, то их априорная совместная вероятность составит Р =(0,5)3, j 302

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. чему согласно (5.3-3) соответствует собственное содер- жание системы С =log 8 = 3 бит2 0 Таким образом, взаимное содержание согласно (4) соста- вит С = - 1,4 бит2 вз Интересно отметить, что собственное содержание С та- 0 кой оптимальной по сущности системы, характерной для нервной системы человека, соответствует равновероят- ному выбору из восьми, что подтверждает гипотезу Мил- лера [102], согласно которой оперативная память чело- века способна оперировать в среднем только с семью объектами. Учитывая общность этого явления с законо- мерностью, характеризующую свойства и симметрию иерархических пространств, можно сказать, что данная закономерность распространяется и на чисто человече- ские системы управления, а одной из причин структури- зации вообще являются ограниченные возможности эле- ментов систем по тому или иному критерию, или по их совокупности. Рассмотренный информационных подход к анализу сложности структуры материальных объектов применим к иерархическим системам любой природы. При этом первый вопрос, который необходимо решить, это вопрос о том, составляет ли изучаемая совокупность элементов целое, т. е. является ли она действительно си- стемой или только создает обманчивую видимость си- стемы. Решить вопрос о целостности системы можно, ис- следуя содержание системы. При этом, если система, по- мимо собственного содержания, обладает еще и взаим- ным содержанием, то она имеет свойство целостности. Взаимное содержание проще всего определить согласно 303

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. (5.3-5) как разность системного и собственного содержа- ния системы. Следует обратить внимание, что из (5.3-3), если вести суммирование по элементарным носителям информации, каждый из которых содержит 1 бит информации, сле- дует, что системное содержание численно равно систем- ной сущности, а собственное содержание численно равно сумме сущностей отдельно взятых элементов. Рассмот- рим следующие схемы (рис. 5.3-1): Схема а), имеющая четыре равновероятные состояния, обладает сущностью Нс= - log 0,25 т. е. системным содержанием С = 2 бит2. 0 В то же время схема б), имеющая всего 2 равновероят- ных состояния, обладает сущностью Н = - log 0,5 и си- с стемным содержанием Сс= 1 бит2. В свою очередь, схема в) имеет только одно состояние, т. е. ее системное содер- жание равно нулю. Рис. 5.3-1 Все эти схемы состоят из двух элементов, собственное содержание которых при равновероятных состояниях со- ставляет, согласно (5.3-1) С = 2 бит2. Таким образом, для 0 схемы а) взаимное содержание элементов, согласно (5.3- 4) равно нулю и она не обладает свойством целостности, для схемы б) взаимное содержание элементов составляет 304

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Свз = - 1 бит2, а для схемы в) С вз = - С0 = - 2 бит2 и, следова- тельно, эти схемы обладают свойством целостности. Оценка содержания частей и целого позволяет сделать вывод, что сутью всякого устойчивого объединения явля- ется уменьшение содержания целого по сравнению с соб- ственным содержанием частей за счет установления их взаимосвязанности, т. е. за счет появления взаимного со- держания частей, являющегося смыслом целого. Напри- мер, в ядерной физике появление взаимного содержания соответствует явлению дефекта массы. Другой пример. Если мы имеем набор из нескольких букв, который не представляет для читателя понятного целого, то содержа- ние этого сочетания равно сумме содержаний отдельных букв, поскольку мы здесь имеем дело с последователь- ным соединением букв, при котором их сущности Н сум- мируются. Таким образом, в этом случае С = J H, 01 где J -число букв в наборе. 1 Если же упомянутый набор букв составляет понятное це- лое, то буквы в наборе становятся взаимосвязанными (из- быточными), что позволяет нам прибегать к сокраще- ниям понятных слов. Если мы используем безубыточное сокращение слова, т. е. такое слово, которое уже нельзя сократить без ущерба для понимания, содержащее только J < J , то 12 С =J H < С 0 с2 Аналогичная картина наблюдается при объединении слов во фразы. Это уже другой, более высокий, уровень иерар- хии. При этом системное содержание всей фразы, хотя и меньше суммарного содержания слов, но не может быть меньше собственного содержания одного слова. Этот 305

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. предельный случай имеет, например, место во фразе “масло масляное”, где содержание всей фразы равно со- держанию одного слова. Если же слова во фразе всту- пают в противоречие, то системное содержание неустой- чивой фразы должно быть больше собственного содержа- ния слов. Например, в словосочетании “круглый квадрат” каждое из слов имеет вполне определенное содержание, а вместе они имеют бесконечное содержание, а точнее не- определенное содержание. Вторым вопросом, который возникает при анализе си- стем, является вопрос о степени целостности, или просто о целостности, как количественной “сложности” си- стемы. Удобнее всего использовать для этой цели отно- сительные оценки – отношение При этом нулевая целостность означает простую сово- купность несвязанных частей, а целостность, равная еди- нице – абсолютную целостность. Иногда целесообразна сопряженная оценка =Сс/С0= 1 -  которую можно назвать коэффициентом использования частей в целом. Применительно к рассматриваемым схе- мам эта оценка дает соответственно a =1, a = 0,5 , a = 0. аб в Иными словами, не обладающая целостностью система элементов подразумевает наиболее универсальное, пол- ное использование свойств своих частей, а абсолютно це- лостная система, напротив, вообще лишает элементы их первоначальных свойств, используя лишь те свойства, 306

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. которые присущи системе как целому и которые не со- держатся в отдельно взятых ее элементах. Третий вопрос, который необходимо решить при анализе системы – это вопрос о коэффициенте использования каждого из ее элементов. Решение этого вопроса осо- бенно актуально для иерархических структур, элементы которых почти всегда имеют отличное друг от друга со- держание в зависимости от уровня иерархии, которому они принадлежат. Этот вопрос имеет уже непосредствен- ную связь с понятием оптимальной структуры. Смысл этого понятия будет заключаться в том, что число уров- ней иерархии системы имеет определенный предел. Рас- смотрим следующую иерархическую схему. Эта схема содержит 4 уровня иерархии, каждый из которых имеет два равновероятных состояния, чему соответствует си- стемное содержание Сс= 1 бит2. Однако на верхнем уровне все это содержание принадлежит единственному элементу, для которого Сс=С0=1 бит2, =1. На втором уровне иерархии имеются два равноправных элемента, между которыми поровну делится содержание уровня, так что для каждого из них Сс=0,5 бит2 , С0= 1 бит2, Свз= - 0,5 бит2, = 0,5. На третьем уровне его содержание делится поровну между четырьмя равноправными элементами, так что для каждого из них Сс=0,25 бит2 , С0= 1 бит2, Свз= - 0,75 бит2, = 0,25. Наконец, для 4-го уровня его содержание делится по- ровну между восемью равновероятными элементами С =0,125 бит2 , С= 1 бит2, С= - 0,875 бит2, = 0,125 с 0 вз 307

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Выше мы рассматривали случаи, когда системное содержание и смысл системы совпадали. Между тем ино- гда прикладное содержание (смысл) системы бывает уже, чем ее полное содержание. Это имеет место, когда для до- стижения определенных целей используется только часть потенциальных возможностей системы. Четвертый вопрос, возникающий при анализе структуры системы – это вопрос о коэффициенте полез- ного действия (КПД) как отдельных элементов, так и си- стемы в целом. Под КПД  понимается при этом отношение смысла С элемента или системы к системному содержанию, т. е.. Из этого следует, что только элемент верхнего уровня ис- пользуется полностью, элементы среднего уровня - напо- ловину, а элементы нижнего уровня – только на четверть их собственного содержания. Рис. 5.3-2 Оставшаяся часть собственного содержания прихо- дится на их взаимное содержание, т. е. на содержание вза- имодействия элементов в пределах своего уровня.В прин- ципе, если нам известны все соотношения между элемен- тами, оболочками и подоболочками системы, т. е. отноше- ния между их собственным, системным и взаимным со- держанием, то тем самым мы можем решить и обратную задачу, а именно определить структуру системы. Таким 308

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. образом, данный информационный подход может быть использован для оценки структурной сложности самых разнообразных иерархических систем. Приведенный метод оценки может быть с успехом использован и для оценки структурной сложности Перио- дической системы химических элементов (и ядер атомов) после определения их структуры (см. часть 3, глава 1), как сложной иерархической системы. При этом на первом этапе анализа можно использовать относительные оценки сложности оболочек и подоболочек Периодической си- стемы. 5.4. КЛАССЫ ПРОИЗВОДЯЩИХ СТРУКТУР Ниже, с учетом основных закономерностей иерархиче- ских систем, будут построены некоторые “базисные” классы производящих функций. 5.4.1. БИНОМИАЛЬНЫЕ РЯДЫ Нам необходимо создать такие классы производящих функций, которые бы учитывали основные закономерно- сти иерархических систем, их ограниченность, замкну- тость и двойственность. Рассмотрим в первую очередь класс производящих функций, в основе которого будут биномиальные ряды. Именно биномиальные ряды учиты- вают в явном виде двойственность структур. Рассмотрим следующую последовательность производящих функций G0(x)=1+2x+2x2+2x3+ ... G (x)=1+3x+5x2+7x3+ ... 1 (5.4-1) G (x)=1+4x+ 9x2+16x3+ ... 2 G (х)=1+5х+14х+30х 3 которые можно формально переписать как G (x)=(1-x)-n (1+x), n=1,2,3,.. (5.4-2) n 309

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Заметим, что для функций G (x)=(1+x)-n (1-x), n=1,2,3,.... (5.4-3) n мы будем иметь G (x)=1- 2x+ 2x2- 2x3+ .. 0 G1(x)=1-3x+5x2- 7x3+... (5.4-4) G (x)=1-4x+9x2-16x3+ 2 G (x)=1-5x+14x2-30x3+ ... 3 Анализ последних выражений показывает, что мы имеем производящие функции для числовых последова- тельностей “деформированных” арифметических рядов, члены которых являются биномиальными коэффициен- тами. Полагая, что соседние члены производящих функ- ций сопряжены между собой по закону “отрицания отри- цания”, мы получим следующий полный набор произво- дящих функций Рис. 5.4-1. 310

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Gn(x)=Pn(x)(1-x) (5.4-5) где P (x)=(1+x)-1=1-x+x2-x3+ ...1 P (x)=(1+x)-2=1-2x+3x2-4x3+...2 P3(x)=(1+x)-3=1-3x+6x2-10x3+... P (x)=(1+x)-4=1-5x+14x2-30x3+...4 На рисунке 5.4-1 все возможные пути формирования конечной числовой последовательности изображены в виде графа. Заметим, что данные производящие функции обладают еще одним важным свойством. Формально они представляют собой произведение не- приводимых сомножителей n - многочленов. Анализ по- лученных выражений и рис. 5.4-1 показывают, что мы имеем ограниченное число вариантов формирования тре- буемой закономерности. Однако при рассмотрении этих вариантов следует учитывать возможную не коммутатив- ность мультипликативной операции умножения много- членов. Индексы у производящих многочленов в явном виде указывают уровень иерархии той или иной структуры, по- лученной с помощью соответствующего производящего многочлена. Выбирая, или ограничивая число членов ряда, мы будем получать то или иное подмножество иерархических систем с ограниченным числом уровней иерархии. Таким образом, мы определили класс производящих функций структур, который учитывает закономерность двойственности иерархических систем (как внутреннюю, так и внешнюю). Кроме того, этот класс производящих структур является “замкнутым”, ибо мы каждый раз будем получать инвариантные структуры, не выходящие за пре- делы данного класса структур. Определим в данном 311

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. классе уровни и подуровни иерархии. Ниже, при анализе структуры Периодической системы химических элемен- тов, будет показано, что именно этот класс производящих функций характеризует структуру химических элементов. 5.4.2. ОБОЛОЧКИ И ПОДОБОЛОЧКИ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ Условимся, что производящие многочлены вида P (x) i будут порождать подоболочки иерархического простран- ства i-го уровня, а производящие многочлены вида G (х) i соответствующие оболочки иерархического пространства i-го уровня. Напомним, что многочлены Gi(х) = (1-х) Pi(x), т.е. получаются путем удвоения P (x) многочлена подобо- i лочки, которое осуществляется со сдвигом.Таблица 5.4.2- 1 содержит числовые характеристики производящих функций, характеризующие “спектр” производящей функции того или иного уровня иерархии. Они отражают всеобщую закономерность строения материи, правила по- рождения подоболочек и оболочек иерархических систем. Таблица 5.4.2-1 В таблице отражены данные только для четырех уров- ней иерархии. Спектры для любого другого уровня иерар- хии можно легко построить по индукции. 5.4.3. ДРУГИЕ КЛАССЫ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР 312

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Рассмотренный выше класс производящих функций ос- нован на свойствах бинома Ньютона (1-х)-n. Фундамен- тальная особенность этой формулы заключается в том, что она отражает закономерность двойственности. Из других классов иерархических структур рассмотрим производя- щие функции для структур, порождаемые числами Фиб- боначи. Бытует очень широко распространенное мнение, что весь окружающий нас мир подчинен и построен с ис- пользованием пропорций, определяемый “золотым сече- нием”, определяемым пропорцией 1:1,618. Анализ рядов Фиббоначи, их сходимость к “золотому сечению”, позво- ляет сделать предположение о том, что при дальнейшей эволюции иерархических систем на более высоком уровне иерархии, в силу закономерности интеграции сложных си- стем, произошло искажение первоначальной закономер- ности, произошла “мутация” первородной производящей функции, вследствие структурной ограниченности иерар- хических структур. Однако у этих систем все же осталось одно общее свойство. Это свойство удвоения. При форми- ровании чисел Фиббоначи закономерность удвоения про- является в том, что для формирования очередного члена ряда берется сумма двух его последних членов. Поэтому данная закономерность должна на более элементарных уровнях проявляться как закон - закон двойственности. Этот принцип родственен принципу удвоения, который используется в основной закономерности построения иерархических систем и отражен в структуре рассмотрен- ного выше класса производящих функций. По мере услож- нения иерархических систем, по мере их интеграции, про- исходит взаимопроникновение оболочек и подоболочек друг в друга. Устанавливаются все новые связи, которые 313

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. будут носить мультидвойственный характер. Однако между ее любыми непосредственно взаимодействую- щими элементами всегда будут присутствовать отноше- ния двойственности. В самом общем случае можно ска- зать, что все мультидвойственные отношения в сложных (и соответствующие классы производящих функций) по- рождаются производящими многочленами вида: n  (1 x)(1 y)(1 z)()    x()  y(  x())  z(  x()  y(  x())) где х, у, z персонажи системы, а -сама система (исход- ный многочлен) Процедуре осознания соответствует теперь алгебраиче- ская операция умножения исходного многочлена на мно- гочлены 1+х, 1+у, 1+z. При этом персонажи производят осознание последовательно. Легко изобразить и случай, когда осознание производят все три персонажа одновре- менно. Оператор концептуализации будет таким:   (1  x  y  z) , а эволюция многочлена, характеризующего состояния концептуальных систем, выразится соотношением , где п—число концептуализаций. В более сложных случаях в операторах концептуализа- ции могут использоваться сложные персонажи вида , где матрицы Аn представляют собой оболочки из взаи- модействующих персонажей. В общем случае можно сказать, что на более высок их уровнях иерархии закономерность, в соответствии с кото- рой формируется «золотое сечение» будет проявляться 314

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. как чисто статистическая закономерность. Но нельзя ис- ключать и другой возможности, которая заключается в том, что рассмотренные выше производящие функции иерархических структур обязаны своим происхождением именно ряду Фиббоначи, что ряд Фиббоначи отражает не- которые фундаментальные принципы, в соответствии с которыми и рождаются производящие функции иерархи- ческих пространств, что данная закономерность имеет та- кое же фундаментальное значение, как двойная спираль в молекуле ДНК. Ниже при анализе собственных иерархи- ческих подпространств такая возможность будет рассмот- рена на примере формирования структуры ядерных обо- лочек. РЕЗЮМЕ 1. Показатели сложности иерархических структур имеют важное значение для описания процессов эволю- ции этих иерархических систем. Описаны правила преем- ственности и структурной сложности иерархических си- стем. Приведены показатели сложности этих систем. Рас- смотренные методы анализа сложности систем могут быть с успехом использованы во многих приложениях. 2. Проведен анализ свойств некоторых фундаменталь- ных классов производящих функций, используемых для порождения концептуальных оболочек и подоболочек иерархических структур. Показана прямая связь этих про- изводящих функций с закономерностями иерархии и, в первую очередь, с закономерностью двойственности иерархических систем. 3. Обосновано введение производящих функций для иерархических систем и проведен анализ свойств некото- рых фундаментальных классов производящих функций, 315

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. используемых для порождения концептуальных оболочек и подоболочек иерархических структур. 4. Приведенные классы производящих функций, как это будет показано дальше, используются Природой для опи- сания процессов эволюции звезд, элементарных частиц, ядер химических элементов, атомов, Периодической таб- лицы химических элементов в целом. 5. Рассмотрены приемы и методы формального постро- ения и описания концептуальных систем, позволяющие в общем виде описывать взаимодействие иерархических си- стем самой различной природы. Концептуальные обо- лочки, описывающие иерархические системы разной при- роды, являются инвариантами этих иерархических систем и могут служить основой для эволюционного подхода к анализу и синтезу иерархических систем, оценки преем- ственности и сложности их структуры. Глава 6. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 6.1. ЛИНЕЙНОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Иерархичность - фундаментальное свойство нашего мира. Поэтому целесообразно, чтобы эти фундаменталь- ные свойства в явном виде отражало бы и “обычное” ли- нейное n-мерное пространство . Все разделы естествозна- ния в явном или неявном виде используют понятия об иерархии, об иерархических пространствах, об иерархиче- ских системах. Не отстает в этом плане даже фантастика. Существует множество фантастических книг, в которых в явном или неявном виде фигурируют такие понятия, как гиперпространства, переход в другое измерение и т.п. вещи. Сущность нижеследующих основных понятий и определений, свойств иерархических пространств, их связь с окружающим нас миром, определяет не только ал- горитмы построения окружающего нас мира, но и дают 316

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. ключ к пониманию этих чисто фантастических понятий. В узком смысле данные понятия могут служить основой для создания полнокровной теории иерархических про- странств, призванной описывать и классифицировать объ- екты и явления окружающего нас мира. В широком смысле данная теория описывает основные фундамен- тальные свойства нашего мира и призвана служить мето- дологической основой для многих наук естествознания. Эта теория может быть применима и к таким сферам, как бизнес. В частности, в соответствии с положениями этой теории любая финансовая или маркетинговая пирамида должна быть ограничена определенными показателями уровня ее сложности. Эти показатели являются естествен- ными (например, число жителей ограничено определен- ным пределом и т. д.) или искусственными, цель которых направлена на стабилизацию функционирования пира- миды, на ее устойчивость. Формально к понятию линейного иерархического про- странства приводит и следующий пример. Пусть мы имеем вектор (j) =j 1,j 2,,j ,3, j ,4,… j ) (6.1-1) n элементами которого являются векторы - столбцы с действительными коэффициентами Из линейной алгебры известно, что всякую не особен- ную матрицу можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы на матрицу с ортогональ- ными строками, т. е. =тили т=т  (6.1-2) где - нижняя треугольная матрица с единичной диа- гональю, т,т - транспонированные матрицы 317

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Пусть = ((1),(2),(3),…,(n)) Полагая для простоты, что порядок матриц n=3, мы по- лучим (3)=T (3) (3)= ((1),(2),(3)) где (1)= (r , r, r) 11 12 13 (2)=(r21, r, r) 22 23 (3)=(r31, r, r) 32 33 аналогично, полагая, что матрица  является вектором – столбцом, со строками вида (1)=(1, 0, 0) (2)=(t21, 1, 0) (3)=(t31, t, 1) 32 Тогда окончательно (1)=(1) (1)1 (2)=t21(1)+ (2) (2)2 (3)=t31(1)+ t (1) + (3) (3)3 32 где 1, 2,  3 - множество векторов соответствующих линейных подпространств. Преобразование матриц к треугольному виду очень широко используется во многих прикладных науках, в частности, в линейной алгебре, для решения линейных уравнений методами ортогонализации. Перепишем тре- угольную матрицу  в виде матрицы - строки =((1),(2),(3), … ,(n)) (j)j , j=1,2, ... ,n Тогда множество векторов n()=((1),(2),(3),…,(n))={<(1),(2),(3), ... ,(n)> |(1)1, ... ,(n)n } (6.1-3) 318

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. образует упорядоченную совокупность линейных m- мерных (mn) подпространств, которую мы и будем назы- вать иерархическим n-мерным линейным пространством. Иерархические подпространства вида (3) будем назы- вать оболочками n-мерного иерархического пространства. Иерархическое пространство может иметь разные уровни сложности, т.е. могут иметь более тонкую структуру. По- ложим, что единичные орты, которые образуют треуголь- ную матрицу (1)=<1> (1)1 (2)=<0, 1 > (2)2 … (n)=<0,0,0, ... ,1 > (n)n являются векторами иерархического пространства ну- левого уровня, т.е. являются базисными ортами обычного линейного пространства. Тогда множество векторов <1>=<(1)> (1)1 <2>=<(1), (2) > (2)2 <n>=<(1), (2) , ... ,(n) > (n)n порождают n - мерное иерархическое пространство 1- го уровня. Взяв в качестве базиса векторы иерархического пространства 1-го уровня, мы получим иерархическое пространство 2-го уровня. Наконец, в общем случае мно- жество векторов <n>(<n>)={<<1>,<2>,<3>, … ,<n>>| <1><1>, ... ,<n><n> } (6.1-4) будет порождать иерархическое n-мерное простран- ство m-го уровня, которое мы будем обозначать символом <n>. Факт принадлежности иерархического пространства тому или иному уровню иерархии будем обозначать в 319

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. виде самого старшего индекса этого пространства, напри- мер, иерархическое n-мерное пространство m-уровня бу- дем обозначать через  ,<m,n> а соответствующие ему век- торы через  .<m,n> Очевидно, что в иерархических про- странствах с уровнем сложности более 1, оболочки про- странства, в свою очередь, образуют подоболочки, т.е. имеют более тонкую структуру.В общем случае для обо- значения подоболочек будем использовать символы  и <m,n,k,..><m,n,k,...> Последовательность индексов в обозначении подобо- лочки может быть упорядоченной или по уменьшению уровня иерархии рассматриваемого иерархического про- странства, или по их возрастанию, при этом последова- тельность индексов должна удовлетворять условию mnk… или m  n  k  … в зависимости от типа иерархического пространства. 6.1.1. ВОЗРАСТАЮЩЕЕ И УБЫВАЮЩЕЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Иерархическое пространство <m,n,k, ...> будем называть возрастающим, если оно порождается множеством векто- ров вида  ,<m,n,k,...> а последовательность индексов его обо- лочек и подоболочек удовлетворяет условию mnk… Если же в этом пространстве последовательность ин- дексов удовлетворяет условию mnk… то такое пространство будем называть убывающим. 6.1.2. СВЕРНУТОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Иерархическое пространство будем называть вложен- ным (или свернутым), если 320

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. <m,1> <m,2> <m,3> ...  <m,n> 0 и <m,1>  <m,2>  <m,3> ... <m,n> Во вложенном иерархическом пространстве базисы иерархических подпространств, т.е. все его оболочки и подоболочки, являются вложенными друг в друга. 6.1.3. РАЗВЕРНУТОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Если же <m,1>  <m,2> <m,3> ... <m,n>=0 и <m,1>  <m,2>  <m,3> ... <m,n> то такое иерархическое пространство мы будем назы- вать развернутым. В таком иерархическом пространстве все оболочки (и подоболочки) являются обособленными, т.е. не содержатся друг в друге. 6.2. БАЗИСНЫЕ МАТРИЦЫ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Представим базис линейного пространства 0-го уровня иерархии в виде следующей матрицы (0,n)=(e1, e, e, e, ... ,e ) 2 3 4 n Тогда базисную матрицу для линейного пространства 1- го уровня иерархии можно записать в следующем виде: для возрастающего иерархического пространства (1,n)=((0,n,1),( , , ,..., )0,n,2) (0,n,3) (0,n,4) (0,n,n) для убывающего иерархического пространства запись будет иметь вид (1,n)=((0,n,n),...,  , , ,..., )(0,n,4) (0,n,3) (0,n,2) (0,n,1) т.е. матрица записывается в обратном порядке Тогда для иерархического пространства m- уровня иерархии мы получим  =( , , , ,..., )(m,n) (m-1,n,1) (m-1,n,2) (m-1,n,3) (m-1,n,4) (m-1,n,n) 321

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Для убывающего иерархического пространства запись будет иметь вид  =( ,... , , , ,..., )(m,n) (m-1,n,n)) (m-1,n,4) (m-1,n,3) (m-1,n,2) (m-1,n,1) В общем случае базисная матрица такого m-мерного иерархического пространства является квазидиагональ- ной. На главной диагонали этой базисной матрицы распо- лагаются базисные матрицы иерархических собственных подпространств, которые содержат собственные значения и собственные векторы соответствующих им подпро- странств. Базисные матрицы для свернутых иерархиче- ских пространств являются треугольными 6.3. РАЗМЕРНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА Если <m,n>  <m,1>  <m,2>  <m,3> ... <m,n> является объединением иерархических подпространств, то, обозначая через <m,n>=  <m,1>  <m,2>  <m,3> ... <m,n> пересечение этих подпространств, можно определить размерность линейного иерархического пространства <m,n> . Пересечение этих подпространств позволяет опре- делить размерность линейного иерархического простран- ства как разность суммы размерностей всех подпро- странств пространства <m,n > и суммой размерностей всех пересеченных подпространств, т. е. В частном случае, для свернутого иерархического про- странства будем иметь Для развернутого иерархического пространства полу- чим 322

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. т. к. пересечение иерархических подпространств отсут- ствует. Соответственно, для свернутого иерархического про- странства квазидиагональная базисная матрица может быть представлена как матрица размерности n, а для раз- вернутого иерархического пространства  <m,n > квазидиаго- нальная матрица может быть преобразована к базисной матрице размерности. В общем случае для иерархиче- ского пространства  ,<m,n,k,... > когда имеет место дальней- шее расщепление уровней иерархии, размерность таких пространств можно определить как mn k mn k    r (m,n,k,...) ...p(n,k ,s,...) ...l (n,k,s,...)  n1 k 1 s1 n1 k 1 s1 (6.3-1) 6.4. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА ИЕРАРХИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1. Любое иерархическое пространство характеризуется допустимым числом уровней его иерархии (размерно- стью, числом оболочек). 2. Каждый текущий уровень иерархии характеризуется допустимым числом подуровней, в нем содержащихся (размерностью, числом подоболочек). 3. Каждый текущий подуровень иерархии характеризу- ется критерием его сложности, определяющим количе- ственный состав этого подуровня (подоболочки). 4. Количественный состав подуровня зависит от свойств базисных векторов, из которых формируется дан- ный подуровень иерархии (внутренняя и внешняя двой- ственность). Чем выше уровень иерархии, тем сложнее структура иерархического пространства, тем сложнее и спектр его 323

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. характеристик этого пространства. Параметры этого спек- тра характеристик будем называть квантовыми числами иерархического пространства, поскольку все они опреде- ляют условия порождения более сложных структур из бо- лее простых, определяют условия квантования уровней и подуровней иерархии. Для изображения квантовых чисел иерархических пространств будем использовать следую- щие обозначения: m - определяет число размерность иерархического пространства, n - определяет число подоболочек, входящих в состав m-ой оболочки, n=1,2,...,m, k - определяет число подоболочек, входящих в состав n- подоболочки, k=1,2,...,n, Очевидно, чем сложнее иерархическое пространство, тем большее число квантовых чисел необходимо для его характеристики. Из определения квантовых чисел и выражения (6.3-1) следует, что эти квантовые числа совпадают с соответ- ствующими индексами выражения (6.3-1) и характери- зуют размерности иерархических оболочек и подоболо- чек. Введем еще одно квантовое число - которое будет ха- рактеризовать двойственность подоболочек и оболочек иерархического пространства  .<m,n,k, ...> Тогда количествен- ный состав любой оболочки иерархического пространства с использованием введенных таким образом квантовых чисел будет определяться следующим выражением: (6.4-1) где -определяет количественный состав соответствую- щей подоболочки. 324

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Для комплексно-сопряженной структуры, вводя пока- затель ее двойственности, получим (6.4-2) Очевидно, что полную характеристику количествен- ного и качественного состава иерархической структуры можно получить, записав ее в следующем виде (6.4-3) Совокупность квантовых чисел отражает внутреннюю структуру материальных объектов, образующих иерархи- ческое пространство, вложенность оболочек и подоболо- чек иерархических подпространств (частичного или пол- ного) друг в друга. Они характеризуют спектр иерархиче- ского пространства. И этот спектр по своей сущности сов- падает с понятием спектра, принятого в физике, матема- тике. Из теории рядов известно, что для анализа спектров излучения материальных объектов используется матема- тический аппарат разложения функций в ряды Фурье, со- держащие гармонические составляющие этих спектров. Уже сам этот факт свидетельствует об иерархической при- роде происхождения этих спектров. Поэтому нас не дол- жен удивлять тот факт, что спектры излучения химиче- ских элементов содержат информацию о структурной сложности химических элементов, об их иерархических свойствах. Сам спектр излучения химических элементов является визитной карточкой этих химических элементов, которая содержит всю, или большую часть, информации о 325

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. свойствах и структуре этих элементов, геном, зафиксиро- ванным внешним исследователем, по которому можно не только “узнать” этот элемент, но и воссоздать его струк- туру. По этим спектрам можно судить не только о количе- ственном составе оболочек и подоболочек в данном атоме, не только о степени сложности структуры той или иной оболочки (подоболочки), не только о месте той или иной оболочки (подоболочки) в общей иерархической струк- туре материального объекта, но также и о правилах по- рождения той или иной оболочки (подоболочки). Это утверждение может быть использовано как факт принад- лежности Периодической системы химических элементов к иерархическому пространству определенного уровня иерархии, т. к. спектры химических элементов также от- ражают и внутреннюю структуру этих химических эле- ментов и, следовательно, Периодическая система химиче- ских элементов открыла пока еще не все свои тайны. Если со “сложностью” оболочек иерархического пространства <m,n,…> связать размерности подпространств (подоболо- чек), образующих его оболочки, то мы получим упорядо- ченное множество величин вида <m,n, к, ... > Первый символ m характеризует размерность самого старшего иерархического пространства. Этот показатель является главным квантовым числом иерархического про- странства, поскольку размерность иерархических подпро- странств не может быть больше m (главного квантового числа). Поэтому можно проводить анализ подоболочек, имеющих самую максимальную размерность, которая равна m. В этом случае мы будем иметь последовательно- сти кортежей длины m, характеризующие тонкий спектр 326

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. расщепления m-мерного пространства на n-мерные под- пространства, т.е. мы будем иметь самую сложную обо- лочку соответствующего иерархического подпростран- ства, которая содержит в себе все остальные подоболочки данного подпространства. Тогда для подпространства ну- левого уровня получим <1,1,1, ... 1>, для подпространств 1-го уровня иерархии мы будем иметь <1,2,3,... ..,m> для подпространств 2-го уровня получим соответ- ственно <1,3,6,10,... ..> для подпространств 3-го уровня получим соответ- ственно <1,4,10,20, ... ..> В свою очередь n - мерные подпространства также мо- гут иметь спектр расщепления. Из этих выражений можно обнаружить, что размерно- сти иерархических подпространств являются биномиаль- ными коэффициентами. Используя другие правила иден- тификации, можно построить и другие иерархические пространства, имеющие другие спектры расщепления. Эти спектры являются важнейшей характеристикой иерархического пространства. Они очень тесно перекли- каются с “обычным” понятием, используемым во многих прикладных разделах естественных наук, например, при анализе спектров атомов и т. д. Наличие у любого целост- ного объекта спектра разложения свидетельствует о том, что данный объект имеет иерархическое строение. Нали- чие тонкой структуры спектра у оболочек этого объекта свидетельствует о том, что в составе иерархической си- стемы имеются подоболочки. Тогда этот объект можно от- нести уже ко второму уровню иерархии и т. д. Система спектров объекта оказывается как бы вложенной друг в 327

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. друга. Наличие у объекта сложного спектра расщепления свидетельствует об их фундаментальном значении в ха- рактеристике этого объекта. Более того, поскольку каж- дый объект имеет свой индивидуальный спектр, то этот спектр и является самым первичным носителем “генной” информации об объекте. Поэтому не будет преувеличе- нием сказать, что совокупность спектров расщепления уровней иерархии объекта представляют собой генеалоги- ческое дерево, характеризующее историю эволюции мате- риального объекта, что эта совокупность спектров несет в себе некоторые собственные значения и собственные век- торы иерархического пространства, характеризующие только данный конкретный объект. Полный спектр рас- щепления иерархических структур будет характеризо- ваться следующим выражением: , (6.4-4) где -характеризует количественный и каче- ственный состав иерархической структуры, характеризу- ющей весь спектр ее расщепления, - характеризует количественный и качественный состав структуры с отношениями субординации и коор- динации , - характеризует количественный и качественный со- став двойственно-сопряженной структуры, m - определяет число размерность иерархического про- странства, 328

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. n - определяет число подоболочек, входящих в состав m-ой оболочки, n=1,2,...,m, k- определяет число подоболочек, входящих в состав n- подоболочки, k=1,2,...,n, - характеризует двойственность отношений субординации и координации в иерархической структуре, - определяет характер отношений в комплексно-сопряженной структуре, -определяет количественный состав соответ- ствующей подоболочки. Следовательно, квантовые числа, характеризующие спектр того или иного объекта, целиком и полностью определяют условия “квантования” этого иерархического объекта. 6.5. СОБСТВЕННЫЕ ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА Собственные иерархические пространства являются чрезвычайно важным звеном новой науки, т. к. они явля- ются всеобщим инвариантом, всеобщей категорией, при- сутствующей абсолютно во всех физических явлениях, на всех уровнях организации материи. Ниже будут рассмот- рены некоторые свойства этих пространств с точки зрения математики. В следующей главе, при рассмотрении свойств целевых функций, будут более подробно рассмот- рены свойства собственных подпространств, как физиче- ской категории. Возможно, что именно в самом феномене собственных подпространств Вселенной кроется разгадка ее вечности. Разные собственные подпространства, взаи- 329

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. модействуя между собой, формируют единое самосогла- сованное поле собственных подпространств, в соответ- ствии со своими собственными замкнутыми циклами эво- люции материи. 6.5.1. ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО. Ошибка! Закладка не опреде- лена. Инвариантность - самая главная отличительная черта всех физических законов. Следовательно, это свойство должны содержать и ее самые фундаментальные законы. В самом тривиальном случае инвариантность двух объек- тов, структур, явлений и т. д. означает, что в них суще- ствует симметрия относительно тех или иных преобразо- ваний. В общем случае инвариантность означает мульти- двойственную симметрию относительно тех или иных преобразований. Например, Понятие инвариантности лежит в основе всех матема- тических методов, использующих взаимно-однозначные преобразования математических объектов (систем, подси- стем). К таким методам можно отнести различные рекурсив- ные и итерационные математические процедуры. Основ- ная особенность всех этих методов заключается в том, что при каждом обращении к такой рекурсивной процедуре вычисления всегда осуществляются по одной и той же схеме (алгоритму), с сохранением всех входных парамет- ров до тех пор, пока не будет достигнут выход из соответ- ствующего уровня рекурсии. Можно сказать, что каждое рекурсивное обращение к процедуре является самодостаточным и в определенной 330

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. мере независимым от других обращений к ней. Этот про- стой пример дает первое интуитивное представление о собственном подпространстве систем любой природы. Определим вначале инвариантное пространство. Пусть Х - n-мерное линейное пространство и у=Ах - линейное преобразование на пространстве X. Пусть Х1 Х является некоторым подпространством X, обладающим, однако, тем свойством, что если х  Х, то и у=АхХ1. Подпро- 1 странство Х , обладающее подобным свойством, называ-1 ется инвариантным относительно линейного преобразо- вания у=Ах. Особенный интерес представляют собой одномер- ные инвариантные пространства, представляющие со- бой прямые в пространстве X, проходящие через начало координат. Рис. 6.5.1.-1 Одномерное инвариантное пространство. Если х - произвольная точка пространства Х и а - ве- щественная переменная, меняющаяся от -  до +, то х будет представлять собой одномерное подпро- странство X, проходящее через х (при =1) и через начало координат (при =0), как показано на рис. 6.5.1- 1 для п=2. Такое одномерное подпространство будем 331

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. обозначать R . Можно предположить, что среди беско- 1 нечного множества одномерных пространств R всегда 1 найдутся такие, которые будут инвариантны относи- тельно преобразования у=Ах, т. е. для любого хR1 имеет место у=АхR1. 6.5.2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦОшибка! Закладка не определена. Обозначим через  отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т. е. можем записать у=х. Тогда, если R - инвариантное подпространство, то 1 для х R имеет место равенство 1 (6.5.2-1) Вектор х0, удовлетворяющий соотношениям (6.5.2-1), называется собственным вектором матрицы А, а число  - собственным значением (характеристическим числом) матрицы А. Это число  является важнейшей характери- стикой инвариантного подпространства R . 1 Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (6.5.2-1) в ином виде, введя тож- дественное преобразование х=Iх. При этом получаем: (6.5.2-2) Соотношение (6.5.2-2) представляет собой систему ли- нейных однородных уравнений, которая может быть запи- сана в явном виде как 332

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. (6.5.2-3) Эта система имеет не тривиальное решение только в том случае, если выполняется условие (6.5.2-4) Соотношение (6.5.2-4) называется характеристическим уравнением матрицы А и представляет собой алгебраиче- ское уравнение n-й степени относительно l. Действи- тельно, раскрывая определитель и группируя члены с оди- наковыми степенями К, левую часть уравнения (6.5.2-4) можно представить в виде многочлена по степеням: Легко заметить, что здесь q =det А, q =(-1)n. Таким об- оп разом, для нахождения собственных значений матрицы А получаем уравнение п-й степени относительно : Это уравнение имеет п корней, среди которых могут быть и одинаковые, являющиеся собственными значени- ями матрицы А. Конечно, не все собственные значения обязательно будут действительными, но так как А- дей- ствительная матрица, то комплексные корни будут встре- чаться сопряженными парами. Возьмем любое собствен- ное значение li, и подставим его в исходную систему урав- нений (6.5.2-2) Получим уравнения 333

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. которое имеет нетривиальное решение, так как det (А - l I)=0. Это решение дает вектор хi, определяемый с точно- i стью до скалярного множителя. Этот вектор и называется собственным вектором матрицы А. Так как li, может быть комплексным числом, то хi может содержать комплексные компоненты. Однако поскольку комплексные корни встречаются сопряженными парами, то комплексные собственные векторы также будут встре- чаться сопряженными парами. Согласно (6.5.2-1) собственные векторы хi и соответ- ствующие им собственные значения li связаны соотноше- ниями которые могут быть записаны в более компактной форме как где V—квадратная матрица, составленная из собствен- ных векторов матрицы А; L—диагональная матрица, у ко- торой по главной диагонали расположены числа li, а все остальные элементы равны нулю: Инвариантное иерархическое подпространство, содер- жащее собственные значения, будем называть собствен- ным. Из математики известна следующая теорема о соб- ственных значениях матрицы А. 334

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. . Если собственные значения матрицы А размером n занумерованы так, что первые к из них различны, то соответствующие собственные век- торы линейно независимы. Таким образом к собственным значениям собствен- ного пространства предъявляется основное требование – все они должны быть различны. Введем в состав каждого иерархического подпространства собственное иерархиче- ское подпространство (0,n)   .(m,n) Собственное иерархи- ческое подпространство (0,n) содержит собственные значе- ния и собственные векторы иерархических подпро- странств  .(m,n) При этом собственные значения и собствен- ные векторы характеризуют не только “вес” данного иерархического подпространства в общей иерархии про- странства m-го уровня, не только ориентацию его началь- ного собственного вектора, но и “привязку” их к началу координат данного подпространства  .(m,n) В иерархиче- ском собственном пространстве совокупность собствен- ных значений и собственных векторов характеризует эво- люцию траекторий собственных векторов его собствен- ных подпространств, их взаимную ориентацию. В случае, если собственные значения и собственные векторы иерар- хического подпространства будут равны нулю, то мы бу- дем иметь вырожденный случай, а все подпространство в этом случае будет свернутым в нуль-точке. Если же соб- ственные значения и собственные векторы будут некото- рым образом упорядочены, будет иметь место условия их “квантования” и    (1,n) (2,n) (3,n) ...   ,(0,n) 335

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. то мы будем иметь упорядоченную цепочку подпро- странств, при этом по мере продвижения к более сложным иерархическим пространствам “начало координат” всего иерархического пространства будет последовательно пе- ремещаться по цепочке    (1,n) (2,n) (3,n) ...  (0,n) или   (1,n) (2,n) (3,n) ...  (0,n) Особое место в определении иерархического простран- ства играют собственные подпространства  .(0,n) Собствен- ные векторы собственных подпространств в иерархиче- ском пространстве определяют “вес” данной оболочки (подоболочки) в общей иерархии подпространств. Если “вес” рассматриваемого пространства является скалярной величиной, то это значит, что базисные орты иерархиче- ского пространства нулевого уровня являются нулевыми, но собственное значение - отлично от нуля. 6.5.3. ВИДЫ СОБСТВЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ Введенное таким образом понятие собственного иерар- хического пространства (подпространства) является есте- ственным обобщением для n-мерного линейного про- странства, которое будет являться частным случаем иерархического пространства. Действительно, если базис- ные векторы собственных подпространств иерархиче- ского пространства будут равны, а их начала координат в одной и той же точке, то мы будем иметь совокупность упорядоченных, вложенных друг в друга линейных под- пространств с началом координат в одной и той же точке. По этой причине иерархическое пространство с такими свойствами мы и будем называть вложенным. Всякий раз, когда мы имеем упорядоченную совокупность вложенных 336

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. друг в друга иерархических подпространств, мы можем говорить, что все эти подпространства имеют общее начало координат. Рис. 6.5.3-1. Если же базисные векторы собственных подпро- странств не являются равными нулю, а их вес такой, что иерархические пространства не пересекаются, то мы бу- дем иметь случай развернутого иерархического простран- ства. Совокупность иерархических подпространств, рас- положенных в виде некоторой цепочки, обладает тем свойством, что начало координат этих иерархических под- пространств не совпадают. При этом по мере продвиже- ния к более “сложным” иерархическим подпространствам “центр тяжести” (начало координат) всей рассматривае- мой структуры также будет последовательно переме- щаться по цепочке. По этой причине такие пространства уже обладают определенной структурной сложностью. 337

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. Наконец, может иметь место случай, когда в качестве нового “начала координат” будет выступать вся структура в целом. Это значит, что каждое иерархическое подпро- странство имеет свой собственный “вес”, свой масштаб измерений, свою метрику, свою собственную функцию, но все эти показатели сложности иерархического про- странства являются “квантованными”, получаются из по- казателей иерархических подпространств с меньшим уровнем иерархии, с меньшим уровнем сложности. В об- щем случае, при движении от собственной системы коор- динат одного собственного подпространства к другой бу- дет происходить и поворот собственной инвариантной си- стемы координат этого подпространства на некоторый определенный угол (рис. 6.5.3-1). В этом случае «траектория» поворотов систем коорди- нат в таком собственном пространстве будет выражаться кусочно-линейной зависимостью. Все базисные орты во всех без исключения собствен- ных системах координат являются одними и теми же. Раз- ница между ними заключается в том, что каждая собствен- ная система координат может содержать отличные от дру- гих собственных систем координат свои собственные зна- чения, определяющий «веса» и направление базисных орт. Ниже, при рассмотрении функциональных подпро- странств, будут описаны принципы формирования неко- торого специального класса собственных функциональ- ных подпространств, имеющих чрезвычайно важное зна- чение для понимания структурных аспектов формирова- ния электронных и протонных подоболочек атомов хими- ческих элементов. 338

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Все собственные подпространства иерархического пространства определенного класса являются по отноше- нию друг к другу инвариантными, имеющими один и тот же базисный набор орт, одну и ту же базисную функцию. Они будут отличаться друг от друга индивидуальным набором собственных значений, которые для каждого соб- ственного подпространства являются постоянными. Эти константы определяют «центр тяжести» собственной системы координат и ее ориентацию в пространстве (привязка к иерархическому подпростран- ству с меньшим уровнем иерархии). 6.5.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ Свойства собственных подпространств отражают, в первую очередь, самые фундаментальные закономерности иерархии. Разные классы собственных пространств отли- чаются функциями, заложенными в основу симметрии преобразования. Так, если положить, что при переходе из одного подпространства в другое происходит последова- тельное изменение числа измерений этого подпростран- ства, то в зависимости от этого мы можем получить и раз- личные классы производящих функций иерархических пространств. Понятие собственных подпространств предоставляет математикам и представителям других научных приложе- ний создавать удивительные теории, уже изначально со- гласованные с законами иерархии, создавая единую мно- гоуровневую теорию собственных пространств опреде- ленного класса, призванную решать конкретные задачи определенной науки, порождая Специальные Теории От- носительности, в которых в состав собственных значений включено уже не только время, но, например, и масса и т. 339

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. д. Эта Теория может служить иллюстрацией фантастиче- ской возможности порождения всей Вселенной из одной элементарной частицы, или, наоборот, поглощения одной элементарной частицей всей Вселенной. Ограниченность. Это свойство означает, что в соответствии с закономер- ностью об ограниченности каждое собственное подпро- странство является ограниченным. Если мы по образу и подобию начнем увеличивать мас- штабы некоторой иерархической системы, то через неко- торое число этапов система развалится под тяжестью «структурной перегрузки». Например, можно построить многоэтажный замок из спичек, но если мы попытаемся построить точно такой же из бревен, то он может ока- заться настолько высоким и тяжелым, что рухнул бы под собственной тяжестью. Этот пример свидетельствует о том, что вследствие действия закономерности об ограниченности иерархиче- ских систем все физические законы оказываются не инва- риантными относительно изменений пространственного масштаба. Иначе говоря, не инвариантность относительно преобразования подобия. Но может быть имеет место безграничное уменьшение этих масштабов? Закономерность об ограниченности сви- детельствует о том, что должна существовать и суще- ствует некоторая самая элементарная собственная си- стема, из которой могут складываться все остальные. Об этом свидетельствует, например, тот факт, что порядок размеров атома имеет абсолютное одинаковое для всей Вселенной значение. Размеры атома связаны с универ- сальной физической постоянной - постоянной Планка ( 340

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. ). Они определяются соотношением , где m и e - масса и заряд электрона. Указанное соотношение дает для порядка линейных размеров атома значение м. Закономерность ограниченности свиде- тельствует о том, что «электрон» также исчерпаем, как и атом». Но если микромир ограничен в размерах, если все иерархические системы являются по своим размерам огра- ниченными, то должен быть ограничен и Макромир. В силу дискретности собственных подпространств имеет место и квантованный характер преобразований собствен- ных значений этих подпространств. Из квантованного ха- рактера свойств следует, что значение целевой функции от ее аргумента является линейной или кусочно-линейной за- висимостью. Замкнутость. Второе свойство собственных подпро- странств заключается в их замкнутости. Именно законо- мерность замкнутости, «принцип порочного круга», поз- воляет обойти ограничения, связанные с ограниченностью собственных подпространств. Это свойство заключается в том, что на определенном этапе эволюции иерархическая система, существующая в рамках данного собственного подпространства, или должна перейти на новый уровень иерархии, в другое собственное подпространство с более высоким уровнем иерархии (эволюционная интеграция), или завершить цикл своей эволюции и начать эволюцию сначала (инволюционная дифференциация). Всегда, когда все потенциальные ниши текущего собственного подпро- странства будут заполнены, то у системы остается два вы- бора. В первом случае система замыкается сама на себя (инволюционная дифференциация). Этот процесс связан с 341

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. разрушением системы в рамках данного собственного подпространства, после чего система начинает заполнять вакантные ниши заново. Это локальное замыкание си- стемы в рамках текущего собственного подпространства. Это локальный кругооборот внутри собственного подпро- странства. В другом случае после заполнения вакантных ниш и попытки создания новой, более сложной системы, начинается фазовый переход в другое собственное под- пространство с более высоким уровнем иерархии (эволю- ционная интеграция). Осуществляется нормировка си- стемы, формируется скрытая масса и начинается строи- тельство новой системы с новыми собственными значени- ями, но по тем же самым правилам «игры». Инвариантность. Симметрия преобразований (инва- риантность) в каждом собственном подпространстве ха- рактеризуется линейной зависимостью вида у=кх. Не ин- вариантность преобразований будет иметь место только в отношении изменения масштабов. В общем случае сим- метрия преобразований собственного пространства харак- теризуется кусочно-линейной зависимостью. Самодостаточность. Каждое собственное подпро- странство является самодостаточным. В нем действуют все физические законы, с учетом симметрии преобразова- ния и ограничений, накладываемых на физические законы собственным подпространством. Закон сохранения «дефекта масс». Из физики из- вестно, что процессы взаимопревращения потенциальной и кинетической энергии происходят таким образом, что их сумма всегда остается постоянной, сохраняемой (без учета трения и других потерь). Поэтому, говоря о круго- обороте материи в природе, можно говорить о законе со- хранения «дефекта массы» собственных подпространств, 342

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. как следствие симметрии преобразований. Скрытая масса является эквивалентом потенциальной энергии собствен- ного подпространства, а ее высвобождение эквивалентно превращению потенциальной энергии в кинетическую. При переходе на более высокий уровень иерархии проис- ходит увеличение потенциальной энергии собственного подпространства, а при обратном переходе высвобожде- ние энергии за счет скрытой массы. В собственных под- пространствах это свойство отражается в форме суще- ствования собственных значений, выносимых в резуль- тате нормировки собственных подпространств за «скобки» этого подпространства. Поэтому свойства всех собственных подпространств собственного пространства одного и того же класса являются не отличимыми друг от друга, т. е. являются инвариантными. Все физические за- коны в них имеют одну и ту же форму. А сам закон сохра- нения «дефекта масс», обладающий симметрией преобра- зования, свидетельствует о глобальном характере закона сохранения энергии. Вообще говоря, закон сохранения де- фекта массы при переходе из одного собственного под- пространства в другое может привести к уточнению (или даже пересмотру) самого понятия «масса». 6.5.5. СИНГУЛЯРНЫЕ ТОЧКИ СОБСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВОшибка! За- кладка не определена. В каждом собственном подпространстве (пространстве) существуют две особые сингулярные точки. Через эти точки данные собственные подпространства (простран- ства) сообщаются и взаимодействуют с другими собствен- ными подпространствами (пространствами). Эти сингу- лярные точки обладают замечательными свойствами. В этих точках происходит трансформация собственных зна- 343

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. чений одного собственного подпространства (простран- ства) в собственные значения другого. Изучение свойств этих точек является чрезвычайно актуальной задачей, т.к. впервые ко всем аналогичным особым точкам в самых раз- ных иерархических системах, независимо от их природы, может быть применен один и тот же подход, с единых по- зиций законов иерархии, законов милогии. Так, например, при прохождении света через линзу про- исходит инверсия изображения, при отражении объекта в зеркале мы получаем зазеркальный мир. Линза и зеркало, обладая разными свойствами, привели к одному и тому же результату - преобразовали исходное изображение в за- зеркальное. Точка плавления льда, точка кипения жидко- сти и т.д. являются точками, в которых происходит преоб- разование одной формы материи в другую, трансформа- ция в зазеркальную противоположность. Подобные сингу- лярные точки существуют на всех уровнях иерархии мате- рии, как в микромире, так и в макромире. Эти сингуляр- ные точки имеют самое прямое отношение и к таким экзо- тическим объектам Вселенной, как кварки, как черные и белые дыры и, следовательно, дают возможность изучать свойства этих объектов. На входе в сингулярную точку старая форма материи как бы умирает, исчезает за гори- зонт «черной дыры», а затем появляется из «белой дыры» в новой зазеркальной форме. Именно в этих сингулярных точках начинаются (или заканчиваются) процессы эволю- ционной интеграции (или инволюционной дифференциа- ции), в локальных или глобальных масштабах, формируя замкнутые циклы эволюции материи. 344

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. 6.6. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВООшибка! За- кладка не определена. 6.6.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВАОшибка! Закладка не определена. Из строгой упорядоченности построения иерархиче- ского пространства следует, что все подпространства (m,j)  (m,n) , j=1,2,..,n должны быть инвариантными относительно некоторого оператора этого пространства, т. е. если х1.(m,j) является вектором некоторого подпространства (m,j) , обладающего тем свойством, что если хХ1 то у=вх Х. Следовательно, необходимо определить такую функцию, которая была бы инвариантной относительно некоторого оператора. По- скольку экспоненциальная зависимость является самой фундаментальной, самой основной закономерностью раз- вития иерархических систем, а экспоненциальные функ- ции обладают многими замечательными свойствами, то рассмотрим в первую очередь функцию вида e .ibx. Опера- торы дифференцирования и интегрирования оставляют функцию eibx инвариантной, а собственным вектором опе- ратора дифференцирования будет матрица ib (6.6 -1) Для обратного оператора - интегрирования мы будем иметь обратную матрицу ib-1 В качестве базисных единичных функций можно вы- брать только следующие e ibx, - e ibx, e - ibx, - e -- ibx Далее, инвариантность операторов дифференцирования и интегрирования проявляется в том, что эти операторы 345

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. изменяют только “вес” и “ориентацию” функции в ком- плексной плоскости. Например, (6.6-2) Кроме того, экспоненциальные функции имеют есте- ственный механизм для “перенормировки” иерархических экспоненциальных пространств любого уровня иерархии. Кроме того, экспоненциальные функции обладают также свойством “дискретности”, т. е. могут “расщеп- ляться”. Например, (6.6-3) где b =bi матрицы размерности r. Теперь вопрос о том, можно ли, используя подобные ба- зисные функции, получить иерархическое пространство. Для ответа на этот вопрос рассмотрим взаимосвязь между иерархическим линейным пространством (m,n) и функцио- нальным пространством  (m,n) . Из математики известно, что задать числовую функцию f на n-мерном линейном пространстве n над полем коэф- фициентом к - значит дать правило, позволяющее поста- вить в соответствие каждому вектору x  n некоторое число из поля к (значение функции f для этого вектора х). Если в пространстве задан некоторый базис e , e e поз- 1 2, 3,… воляющий каждый вектор x  n записать в виде х = х е +х е +х е +х е + ... х е 11 2 2+ 3 3+ 4 4+ nn то задача заключается в том, чтобы для каждого вектора х выразить значения f(x) через координаты х , х , х , х , …, 1234 х (посредством некоторой формулы). n 346

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. Экспоненциальная функция вида e ,ibx определенная на пространстве n, будет линейной, если она удовлетворяет условию линейности. F(1х1 +2х2++3х3++4х4++ …nхn )=1f(х1) +2f(х2)+3f(х3)++4f(х4)++…nf(хn ) (6.6-4) для любых векторов х1,х2,х3,х4, …, хn и любых чисел 1, ... ,n Экспоненциальная функция будет удовлетворять свой- ствам линейности только в том случае, если на левую часть уравнения (6.6-8) воздействовать оператором диф- ференцирования, который осуществляет операцию преоб- разования функции в линейную, т. е. является оператором “развертки” экспоненциальной функции и само условие линейности экспоненциальной функции приобретает вид F(1х1 +2х2++3х3++4х4++ …nхn )/x= F(1f(х1)) +F(2f(х2))/x+F(3f(х3))/x++F(4f(х4))/x++ …F(nf(хn ))/x= (6.6-5) 1f(х1) +2f(х2)+3f(х3)++4f(х4)++ …nf(хn) Обратное преобразование (свертка) осуществляется с помощью оператора интегрирования F(1х1 +2х2++3х3++4х4++ …nхn )/x= ( 6.6-6) 1f(х1) +2f(х2)+3f(х3)++4f(х4)++ …nf(хn ) +C Другими словами, оператор дифференцирования осу- ществляет преобразование функционального простран- ства n в линейное пространство n , а оператор интегри- рования, наоборот, осуществляет преобразование от ли- нейного пространства к функциональному. Таким образом, можно сказать, что оператор интегри- рования характеризует процессы интеграции системы в функционально единое целостное образование, а оператор 347

М.И.Беляев, Милогия, том 1, «Основы теории иерархии, ©, 2019г. дифференцирования, наоборот, характеризует процесс разбиения функционально целостной системы на части, в линейное пространство. С учетом этих преобразований можно считать, что экспоненциальные функции вида eibx , определенные на пространстве n, в котором определены операторы дифференцирования и интегрирования, явля- ются линейными. Из математики известно, что множество всех линейных функций, заданных в пространстве n над полем к, обра- зует линейное пространство той же размерности, при этом линейное пространство n, состоящее из всех линейных функций, определенных на пространстве n, называется сопряженным пространству n. Поскольку пространства n и n являются частными случаями соответствующих иерархических пространств, то эти пространства также будут сопряженными относительно друг друга, а их базис- ные матрицы будут транспонированными. Здесь речь идет пока только о симметрии этих базисных матриц, а не о со- ответствии численных коэффициентов. Подобный дуа- лизм пространств n и n можно интерпретировать следу- ющим образом. Если пространство n связать, например, со структурными свойствами элементов (корпускуляр- ными в случае атомов), то пространство n будет характе- ризовать их функциональные свойства. Несколько слов об основных особенностях функцио- нальных иерархических пространств. «Корпускулярные» иерархические пространства характеризуются наличием многоуровневой структуры. Функциональное простран- ство характеризуется только «разметкой» уровней иерар- хии - спектром возможных значений, которое может при- 348

М.И.Беляев, Милогия, том 1, ©, 2019г. нимать целевая функция системы. Так, в микромире функ- циональное иерархическое пространство характеризует все свойства той или иной потенциальной ямы, все воз- можные уровни энергии, которые может принимать та или иная элементарная частица в данной потенциальной яме. Другими словами, функциональное пространство, не об- ладающее структурными свойствами, тем не менее опре- деляет все структурные свойства вложенных в него «кор- пускулярных» иерархических пространств, демонстрируя единство функционального и линейного пространства. Частицы не могут занимать ниши этого функционального пространства как попало. Эти потенциальные ниши могут заниматься частицами только последовательно, формируя тем самым упорядоченные собственные корпускулярные пространства, двойственные функциональным. 6.7. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА Если через d/dx обозначить оператор дифференцирова- ния, ставящий в соответствие каждому элементу f  V его производную, то легко видеть, что оператор дифференци- рования есть линейный оператор пространства . Если   , то функция ex есть собственный вектор оператора дифференцирования, т. к. Поэтому любое действительное число является соб- ственным значением оператора дифференцирования. В более общем случае 349