5) เหตุ 1. แมงบางตวั มี 2 ขา 2. นกยูงทกุ ตวั มีสองขา ผล นกบางตวั เปนแมง ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู อื การเรยี น...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 51
บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมิตแิ ละการนาํ ไปใช บทสรปุ อัตราสว นตรีโกณมติ ิ คืออัตราสว นทเี่ กดิ จากความยาวของดาน ของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 1. อัตราสว นของความยาวของดานตรงขา มุม A ตอ ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก เรียกวา ไซนข องมมุ A หรอื sin A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ A ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก 2. อัตราสว นของความยาวของดา นประชดิ มมุ A ตอ ความยาวของดานตรงขา มมุ ฉาก เรียกวา โค ไซมข องมุม A cos A = ความยาวของดานประชิดมมุ A ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก 3. อัตราสว นของความยาวของดา นตรงขา มมุม A ตอความยาวของความยาวของดา นประชิดมมุ A เรียกวาแทนเจนติของมมุ A tan A = ความยาวของดา นประชิดมมุ A ความยาวของดานประชดิ มมุ A คมู อื การเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 52
แบบฝกหัดท่ี 1 1. จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉากท่ีกาํ หนดใหตอ ไปน้ี จงเขยี นความสมั พนั ธของความยาวของรปู สามเหล่ียม มุมฉาก โดยใชทฤษฎบี ทปทาโกรัสและหาความยาวของดา นที่เหลือ (1) ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (2) ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 53
2. กาํ หนด ABC เปนรปู สามเหล่ียมมุมฉากมี Cˆ = 90o และความยาวของดานทงั้ 3 รปู ดงั รูปจงหา 1) sin A, cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. จงหาอตั ราสว นตรีโกณมติ ทิ ีก่ ําหนดใหต อ ไปน้เี ปน คา ไซน (sin) หรือโดไซน (cos) หรอื แทนเจนต (tan) ของมมุ ที่กาํ หนดให 1) ................................... A = b c 2) ................................... B = b a 3) ................................... A = a c 4) ................................... B = b c คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 54
4. กาํ หนดให ABC เปน รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยมมี ุม C เปน มมุ ฉากมดี าน AB = 10 และ AC = 8 จง หา 1) ความยาวของดา น BC 2) sin A, cos A, tan A 3) sin B , cos B , tan B ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... การหาอตั ราสว นตรีโกณมิตขิ องมุม 30, 45, 60 องศา คาอตั ราสว นตรีโกณท่ีสาํ คญั ดังน้ี sin 30° = 1 cos 30° = 3 tan 30° = 1 2 2 3 sin 45° = 1, 2 cos 45° = 1, 2 tan 45° = 1 = 1 2 2 2 2 1 sin 60° = 3 cos 60° = 3 tan 60° = 3 = 3 2 2 1 แบบฝก หัดที่ 2 1. จงหาคาตอไปนี้ 1) sin 30°.sin 60° − cos 30°.cos 60° ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 55
2) (sin 60°)2 + (cos 60°)2 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3) 1 − tan 45° ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. จงหาคา อัตราสว นตรโี กณมติ ิตอไปนจี้ ากตาราง 1) sin 20° ........................................................................................................................................ 2) sin 38° ........................................................................................................................................ 3) cos 50° ........................................................................................................................................ 4) cos 52° ........................................................................................................................................ 5) tan 77° ........................................................................................................................................ 6) tan 89° ........................................................................................................................................ คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 56
3. ให A B C เปนรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก มมี ุม C เปน มมุ ฉาก ดังรูป จงหา cos B = ……………………………………….. sin B = ………………………………………… tan B = ………………………………................ sec B = ............................................................... cos ec B = ........................................................... cot B = ................................................................ 4. จงหาคา a , b , c จากรูปสามเหลยี่ มตอ ไปน้ี (1) B a =…………………………………………………. c …………………………………………………….. a …………………………………………………….. 30 c = …………………………………………………. A C …………………………………………………….. 2 3 …………………………………………………….. (2) B 3 a =…………………………………………………. 45 …………………………………………………….. a …………………………………………………….. b = …………………………………………………. A b C …………………………………………………….. ……………………………………………………. คมู อื การเรยี น...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 57
(3) 32 a = ………………………………………………………….. b =…………………………………………………………… c =……………………………………………………………. 5. กาํ หนดใหร ูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A , มมุ B และมมุ C ตามลาํ ดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b , c …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan 5 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… คมู ือการเรยี น...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 58
การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ไิ ปใชห าระยะทางและความสงู และการวัด เสน ระดับสายตา คอื เสนท่ขี นานกบั แนวพน้ื ราบ มมุ กม คอื มมุ ทแ่ี ขนขางหนง่ึ ของมุมอยูตาํ่ กวาระดับสายตา มมุ เงย คือมุมท่แี ขนชางหนงึ่ อยสู งู กวา เสน ระดบั สายตา แบบฝก หัดท่ี 3 1. ตนไมต นหน่งึ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสน ตรงทลี่ ากผานปลายของเงาตน ไมแ ละยอดตน ไม ทํา มุม 30 องศา กับเงาของตน ไม จงหาความสูงของตนไม สมมุติใหตน ไมส ูง n เมตร ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู อื การเรียน...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 59
2. วนิ ัยตองการหาความสงู ของเสาธงโรงเรียน จงึ ทํามมุ ขนาด 45 องศา เพอื่ ใชใ นการเลง็ ไปท่ียอดเสาธง ถา ในขณะทเ่ี ล็งนน้ั เขามองไปที่ยอดเสาธงไดพ อดี เมอ่ื กาวไปอยูท จ่ี ุดซง่ึ อยหู า งโคนเสาธง 16 เมตร วินัยมคี วามสูง 160 เซนตเิ มตร จงหาวาเสาธงสงู ประมาณกเ่ี มตร ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 60
3. จดุ พลุขึ้นไปในแนวดง่ิ โดยกาํ หนดจุดสงั เกตการณบนพ้ืนดนิ หางจากตาํ แหนงทจี่ ดุ พลุ 1 กโิ ลเมตร ในขณะที่มองเห็นพลทุ าํ มุม 60 องศา กับพนื้ ดิน พลขุ ้นึ ไปสงู เทาใด และอยหู า งจากจดุ สงั เกตการณ เปน ระยะทางเทา ใด ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 61
บทท่ี 6 การใชเ ครอ่ื งมอื และการออกแบบผลิตภัณฑ บทสรปุ 1. การสรา งรปู เรขาคณติ โดยใชเครือ่ งมือ 1.1 รปู เรขาคณิตสองมิติ สามารถสรา งไดโ ดยใชเสนตรง เชน ไมบรรทดั ฟตุ เหลก็ ไมฉาก ไมท ี เพื่อวัดความยาว ใชไมโ ปรแทรกเตอร เพือ่ วดั มุมหรือขนาดของมมุ ใชวงเวียน เพ่อื ประกอบการสรางเสน โคง ที่แทนความยาวรอบวงกลม เชน รูปสี่เหลีย่ มผืนผา สเ่ี หล่ยี มจตั ุรัส ส่ีเหล่ยี มดา นขนาน สเ่ี หล่ียมขนม เปยกปนู รปู สีเ่ หลี่ยมวาว รูปส่ีเหล่ียมคางหมู รปู วงกลม 1.2 รปู ทรงเรขาคณติ ทแี่ สดงรปู รา งซงึ่ มที งั้ ความกวา ง ความยาว ความสงู หรือความหนา เชน รูปปริซึม พีระมิด 1.3 รูปเรขาคณติ ท่ีเกดิ จากการซอ นกนั ของรปู เรขาคณิตสองมิติ 1.4 การคลร่ี ปู เรขาคณติ สามมิติ ภาพทไี่ ดจะเปนภาพของรปู เรขาคณติ สองมิติ 1.5 การตัดขวางรูปเรขาคณติ สามมติ ิ 1.6 มมุ มองของรปู เรขาคณิตสามมติ ิ 1.7 รูปทรงเรขาคณิตสามมิตทิ เ่ี กิดจากากรหมนุ รูปเรขาคณติ สองมิติ 1.8 การเขียนภาพของรูปเรขาคณติ สามมติ ิ เชน การเขยี นภาพของทรงกระบอก , ภาพของปริซมึ ทรงส่ีเหลีย่ มมมุ ฉาก คูมือการเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 62
1. กาํ หนดมมุ สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากดงั รปู แบบฝก หดั ที่ 1 ก. สี่เหล่ียม ABCD เปน รูปส่เี หล่ียมชนดิ ใด ข. BDˆE มขี นาดก่ีองศา ค. สีเ่ หล่ยี ม BDEG เกดิ จากการใชร ะนาบตดั ทรง ส่ีเหลีย่ มมมุ ฉากตามแนวใด ง. สามเหลยี่ ม BDE เก่ียวของกบั สีเ่ หลยี่ ม BDEG อยางไร ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 63
2. จงเขยี นรูปคล่ีของทรงสามมติ ติ อไปน้ี (1) (2) (3) คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 64
3. จงเขียนรูปทรงสามมติ จิ ากมุมมองภาพดา นบน ภาพดา นหนา ภาพดา นขา งทก่ี าํ หนดให (1) (2) คมู อื การเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 65
2. การแปลงทางเรขาคณติ 2.1 การเลื่อนขนานตองมีรูปตนแบบ ทิศทางและระยะทางท่ีตองการเล่ือนรูป การเล่ือนขนาน เปนการแปลงทจี่ บั คจู ุดแตละจุดของรปู ตน แบบกบั จุดแตละจดุ ของรูปทไ่ี ดจ ากการเลอื่ นรปู ตนแบบ 2.2 การหมุน จะตองมีรูปตนแบบ จุดหมุนและขนาดมุมที่ตองการในรูปน้ัน การหมุนเปนการ แปลงที่จับคูจุดแตละจุดของรูปตนแบบกับจุดแตละจุดของรูปที่ไดจากการหมุน โดยที่จุดแตละจุดบนรูป ตนแบบ เคลอื่ นที่รอบจุดหมุนดา นขนาดของมมุ ทก่ี าํ หนด 2.3 การสะทอน จะตองมีรูปตนแบบท่ีตองการสะทอนและเสนสะทอน การสะทอนรูปขามเสน สะทอน เสมือนกับการพลิกรูปขาม เสนสะทอนหรือการดูเงาสะทอนบนกระจกเงาท่ีวางบนเสนสะทอน การสะทอนเปนการแปลงที่มีการจับคูกันระหวางจุด แตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดแตละจุดบนรูป สะทอน แบบฝก หดั ที่ 1 1. ใหเ ขียนภาพท่เี กิดจากการเล่อื นขนานจากรปู ตน แบบและทศิ ทางทก่ี ําหนดให ก. ข. A C B C D AB 2. ใหเขียนภาพการเล่ือนขนาดโดยกาํ หนดภาพตน แบบ ทศิ ทางและระยะทางของการเลือ่ นขนานเอง ก. ข. คูมอื การเรยี น...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 66
ขอ 3 พิกัดของตาํ แหนง ทกี่ ําหนดให ภาพ Y A(- C(- C′( , ) B(- 0 A/(2,- X B/(1,- C Y D C A′ (........,..........) A B′ (........,..........) C′ (........,.........) D/(- B X 0 A/(- C/(0,- B/(- คมู ือการเรยี น...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 67
แบบฝกหดั ที่ 2 คาํ ชี้แจง จงพจิ ารณารูปที่กาํ หนดใหแ ลว - เขยี นรูปสะทอน - เขียนเสนสะทอน - บอกจุดพิกัดของจุดยอดของมุมของรปู สามเหล่ียมทเ่ี กดิ ขึ้นจากการสะทอ น - บอกจุดพิกัดบางจดุ บนเสนสะทอนที่ได คูมือการเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 68
แบบฝกหัดที่ 3 1. Y B ใหเ ตมิ รปู สามเหลย่ี ม A′B′C′ C ท่เี กดิ จากการหมุนสามเหลยี่ ม X ABC เพยี งอยางเดียว โดยหมุน ทวนเขม็ นาฬกิ า 90๐ และใชจดุ (0 0) เปน จดหมน 2. Y Y ใหเ ติมรปู ส่ีเหลี่ยม O/X/Y/Z/ ทเ่ี กดิ X จากการหมนุ สเ่ี หล่ยี ม OXYZ X เพยี งอยา งเดยี ว โดยหมนุ ทวนเขม็ Z นาฬกิ า 270๐ และใชจดุ (0 , 0) เปน จุดหมนุ 3. Y Bi ใหเติมสว นของเสนตรง A′B′ ที่ เกิดจากการหมุนสวนของเสนตรง i AB เพยี งอยางเดยี ว โดยหมนุ ตาม X เข็มนาฬกิ า 90๐ และใชจ ดุ (-2, -2) 0 เปน จุดหมุน คมู อื การเรียน...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 69
4. Y B ใหเตมิ รปู สามเหลีย่ ม A′B′C′ ท่ี C เกิดจากการหมุนสามเหลย่ี ม ABC เพยี งอยา งเดยี ว โดยหมนุ ทวนเข็ม X นาฬกิ า 90๐ และใชจ ดุ (-4 , -2) เปนจุดหมุน 3. การสรางสรรคงานศลิ ปะจากกสนแปลงทางคณิตศาสตรและทางเรขาคณิต 1. การใชรูปสเ่ี หลีย่ ม 2. การใชรปู สเ่ี หล่ียมกับสามเหล่ยี ม 3. การใชสี่เหล่ียมกบั วงกลม 4. การใชร ูปส่เี หล่ยี มและหกเหลย่ี ม 4. การออกแบบโดยใชก ารแปลงเรขาคณติ _____________________________________ คูมือการเรยี น...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 70
บทที่ 7 สถติ ิเบ้ืองตน บทสรุป 1. ความหมาย “สถิต”ิ 1.1 หมายถึงตัวเลขที่แทนขอเท็จจริงที่มีการเปล่ียนแปลงไปตามปริมาณส่ิงของที่วัดเปนคา ออกมา 1.2 หมายถึงวิชาหรือศาสตรท่ีตรงกับภาษาอังกฤษวา “Statistic” หมายถึงกระบวนการจัด กระทําของขอมูลต้ังแตการเก็บรวบรวมขอมูล การวิเคราะหขอมูล การนําเสนขอมูล และการตีความหรือ แปลความหมายขอ มูล 2. ชนดิ ของขอ มูล 2.1 ขอมูลจําแนกตามคุณภาพ เปนขอมูลที่แสดงถึงคุณสมบัติสภาพ สถานะ หรือความคิดเห็น เชน สถิติของนักศึกษาที่ไมไดสอบ แยกเปน รายจังหวัด จํานวนผูปวยแยกตามอาการของโรคที่ปวย เปน ตน 2.2 ขอ มลู จาํ แนกตามปรมิ าณ เปนขอมูลที่เกิดจากการวัด ชั่ง ตวง หรือ คาของขอมูลท่ีนําปริมาณ มาเปรยี บเทียบได เชน ความยาว , น้ําหนัก , สวนสูง นอกจากนี้ยังมีขอมูลท่ีสามารถแยกตามกาลเวลาและ สภาพภมู ศิ าสตรอีกดว ย 3. แหลงที่มาของขอ มลู 3.1 ขอมูลปฐมภูมิ หมายถึง ขอมลู ทีร่ วบรวมมาจากผูใ หห รอื แหลงท่เี ปน ขอมูลโดยตรง 3.2 ขอมลู ทุติยภูมิ หมายถงึ ขอมลู ท่ีรวบรวมหรือเก็บจากแหลงขอ มลู ทีม่ กี ารรวมรวมมาแลว 4. การเก็บรวบรวมขอมูล มี 3 วธิ ีดงั น้ี 2.1 วิธีเก็บขอมลู จากการสํารวจ 1.1 การสอบถาม 1.2 การสัมภาษณ 2.2 วธิ ีการเกบ็ ขอ มูลจากการสังเกต 2.3 วธิ ีเกบ็ ขอมูลจากการทดลอง คมู ือการเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 71
5. การวิเคราะหขอมูล เปนการแยกขอ มูลสถิตทิ ไ่ี ดเ ปนตัวเลขหรอื ขอ ความจากการรวบรวมขอมลู มีวธิ ีดําเนนิ การดังนี้ 3.1 การแจกแจงความถ่ีท่วั ไป 3.2 การแจกแจงความถ่ีสะสม 3.3 การแจกแจงความถี่สัมพนั ธ 3.4 การแจกแจงความถส่ี ะสมสัมพันธ แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเขียนขอมลู สถิตทิ ่เี ก่ียวขอ งกบั บคุ คลในครอบครัว เชน เพศ อายุ สถานภาพ อาชพี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. จงยกตวั อยา งขอ มูลเชงิ คณุ ภาพ และเชงิ ปรมิ าณมาอยา งละ 5 ชนดิ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรยี น...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 72
3. จงพจิ ารณาขอ มูลตอไปนี้เปนขอมลู เชงิ คณุ ภาพหรือขอ มลู เชงิ ปริมาณ พนักงานในโรงงานแหง หนง่ึ ถูกสอบถามถึงสุขภาพรา งกายในขณะปฏบิ ัตงิ าน
คณุ ภาพ
ปรมิ าณ เพราะวา .................................................................................................................... ................................................................................................................................... นักศกึ ษาจํานวนหนงึ่ ท่ีถกู สอบถามถึงคา ใชจ า ยในการไปพบกลุมท่ีหองสมุด
คณุ ภาพ
ปริมาณ เพราะวา .................................................................................................................... ................................................................................................................................... 4. ขอ มูลปฐมภูมิตา งจากขอ มูลทุตยิ ภมู ิอยา งไร อธบิ ายและยกตวั อยาง ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 5. ขอมลู ตอ ไปน้ีควรใชว ิธีใดในการรวบรวม (ตอบไดหลายคาํ ตอบ) 5.1 การใชเวลาวา งของนกั ศกึ ษา ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 5.2 รายไดข องคนงานในสถานประกอบการ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ คูมอื การเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 73
5.3 นา้ํ หนกั ของเดก็ อายุ 3 - ป ในหมูบาน ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 5.4 ผลของการใชส อ่ื การเรยี นการสอน 2 ชนิดทแี่ ตกตาง ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 5.5 การระบาดของโรคท่เี ปน อนั ตรายตอมนษุ ย ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 6. จงบอกขอ ดขี อ เสยี ของการเกบ็ รวบรวมขอ มูลโดยวธิ ีการตา ง ๆ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรยี น...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 74
7. ขอมลู การสาํ รวจอายุ (ป) ของคนงานจาํ นวน 50 คน ในโรงงานอุตสาหกรรมแหง หน่งึ ดังน้ี 27 35 21 49 24 29 22 37 32 49 33 28 30 24 26 45 38 22 40 46 20 31 18 27 25 42 21 30 25 27 26 50 31 19 53 22 28 36 24 23 21 29 37 32 38 31 36 28 27 41 กาํ หนดความกวา งของอินตรภาคช้ัน = 8 1. จงสรา งตารางแจกแจงความถ่ี 2. จงหาขีดจาํ กัดชน้ั ทแี่ ทจรงิ และจุดกึ่งกลางชน้ั 3. จงหาความถ่สี ะสม ความถ่ีสัมพัทธ และความถส่ี ะสมสัมพทั ธ 4. จงหาพิสยั ของขอมลู ชุดน้ี 5. จงหาจํานวนคนงานทม่ี อี ายุต่ํากวา 45 ป ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรยี น...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 75
2. การหาคากลางของขอมูล โดยใชคา เฉลยี่ เลขคณิต มธั ยฐานและฐานนิยม 2.1 คา เฉลยี่ เลขคณติ (Arithmetic mean) ใชส ญั ลกั ษณ x 1) คา เฉลี่ยเลขคณติ ของขอมลู ที่ไมแ จกแจงความถี่ ให x1 , x3 ............xn เปน ขอ มูล N คา n ∑x x หรือ x = ∑x i =1 Nn 2) คา เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ มลู ทแ่ี จกแจงความถี่ ถา f1 , f1 , f3 ....... fk เปน ความถขี่ องคา จากการสงั เกต x1 , x2 x3 .....xk k ∑ x fi x หรือ x = ∑ fx i =1 ∑ f k ∑ fi i =1 2.2 มัธยฐาน (Median) คอื คาทมี่ ตี าํ แหนง อยูกง่ึ กลางของขอมูลทัง้ หมด เม่ือไดเ รยี งขอ มลู ตามลาํ ดบั 1) การหามัธยฐานของขอมูลทไ่ี มไ ดแจกแจงความถ่ี - เรยี งขอ มูลที่มีอยทู ั้งหมดจากนอยไปมากหรือมากไปนอ ยกไ็ ด - ตาํ แหนง มธั ยฐานคอื ตําแหนง กึ่งกลางของขอ มลู ดงั นน้ั ตาํ แหนงของมธั ยฐาน = N+ 1 เมอื่ N คือจํานวนขอ มลู ทง้ั หมด 2 - มธั ยฐานคือคาทีม่ ีตาํ แหนง อยูกึ่งกลางของขอ มูลทั้งหมด 2) การหามัธยฐานของขอมลู ทีจ่ ัดเปนอนั ตรภาคชัน้ ใชส ญั ลกั ษณ Med มขี ัน้ ตอนดงั นี้ - สรา งตารางความถีส่ ะสม - หาตําแหนง ของมธั ยฐานคอื N 2 - ถา N เทากบั ความถ่สี ะสมของอันตรภาคชน้ั ใด อัตรภาคชน้ั นน้ั เปน ชัน้ มธั ยฐาน 2 และมมี ัธยฐานเทากับขอบบนของอนั ตรภาคชน้ั นั้น 2.3 ฐานนิยม (Mode) สญั ลักษณ Mo คอื คา กลางขอมลู ทม่ี ีความถ่ีมากทส่ี ุด หรือคา ทม่ี จี าํ นวนซํ้า ๆ กนั มากทีส่ ุด ความสัมพนั ธร ะหวา งตวั กลางเลขคณติ มธั ยฐานและฐานนยิ ม ฐานนิยม = ตัวกลางเลขคณติ – 3 (ตวั กลางเลขคณิต – มัธยฐาน) Mo = x − 3(x − Md ) คูมอื การเรยี น...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 76
แบบฝกหัดท่ี 2 1. จงหาคาเฉลย่ี เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยมของนาํ้ หนักเดก็ 20 คน ซงึ่ มีนํ้าหนกั เปน กโิ ลกรัมดงั นี้ 32 60 54 48 60 52 46 35 60 38 44 48 49 54 47 48 44 48 60 32 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู อื การเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 77
2. รายไดพเิ ศษตอ เดือนของพนกั งานในโรงเรียนแหงหนงึ่ เปนดังน้ี อันตรภาคชน้ั (บาท ) ความถ่ี ( f 1 ) 1001 – 1099 9 901 – 999 20 801 – 899 31 701 – 799 47 601 – 699 39 501 – 599 24 401 – 499 18 301 - 399 12 จงหาคา เฉลย่ี เลขคณิตมธั ยฐาน ฐานนยิ มและคากึ่งกลางพิสัย ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมือการเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 78
3. การนําเสนอขอ มูลสถติ ิ 3.1 การนาํ เสนออยางไมเปน แบบแผน เปน การนําเสนอขอมูลท่ไี มจําเปน ตอ งมกี ฎเกณฑอ ะไรมาก นัก เชน - การนําเสนอในรูปขอมูลความหรือบทความ - การนําเสนอในรปู ขอ ความก่งึ ตาราง 3.2 การนาํ เสนอในรูปขอ ความกึง่ ตาราง เปนการนําเสนอขอมลู ท่ีมกี ฎเกณฑ และตองปฏบิ ัตติ าม มาตรฐานทก่ี าํ หนดไวเปน แบบแผน การนาํ เสนอวธิ ีนีเ้ ปน ลกั ษณะตาราง แผนภมู ิ แผนภาพและกราฟตางๆ แบบฝก หดั ท่ี 3 1. กาํ หนดไวว า จํานวนคนไข (คนไขใ น) ของโรงพยาบาลอาํ เภอแหงหน่งึ ในป 2545 และ 2546 ซ่ึงไดมา จากการสาํ รวจของโรงพยาบาลเปนดังนี้ พ.ศ. 2545 มีเพศชาย 4,571 คน หญงิ 3,820 คน ป 2546 มีเพศ ชาย 5,830 หญงิ 4,259 คน จงนาํ เสนอขอ มลู ก. ในรูปบทความ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ข. ในรูปบทความ / ขอ ความก่ึงตาราง ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูม ือการเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 79
2. จากขอมลู ทีน่ าํ เสนอในรปู ตารางรอยละของนักศกึ ษาระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน ของสถาบันการศกึ ษา แหง หนงึ่ ไดผ ลการเรยี นใน 4 วิชาหลักในป 2546 ดังนี้ หมวดวชิ า ระดบั ผลการเรียน 4 3 2 10 คณิตศาสตร 4.49 9.51 22.88 43.58 16.28 ภาษาไทย 5.82 12.14 26.55 41.18 13.10 วทิ ยาศาสตร 4.82 11.23 23.50 39.81 19.91 สังคมศึกษา 9.04 16.60 29.10 34.75 9.09 รวม จากตารางจงตอบคําถามตอ ไปน้ี 1. หมวดวชิ าใดที่นกั ศกึ ษาไดร บั ผลการเรียน 4 มากท่สี ดุ และไดร ะดับ 0 นอ ยทสี่ ดุ และคิดเปนรอ ยละ เทา ไร 2. นกั ศึกษาสว นใหญไ ดร ะดบั การเรียนใด 3. ระดับการเรยี นทนี่ ักศกึ ษาไดรบั และมจี าํ นวนมากทีส่ ุด 4. ระดับผลการเรยี นที่นักศกึ ษาไดรับและมีจาํ นวนนอ ยท่ีสุด 5. กลา วโดยสรุปถงึ ผลการเรียนของสถาบนั แหงน้ีเปน อยา งไร ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู อื การเรยี น...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 80
3. ตารางแสดงปรมิ าณผลิตยางพาราของประเภทตาง ๆ ในป พ.ศ. 2544 และป พ.ศ. 2545 ดังน้ี ประเทศ ปริมาณการผลติ ( ลา นตัน ) ป 2544 ป 2545 มาเลเซีย 2.5 3.0 อนิ โดนเี ซยี 3.0 4.0 ไทย 2.0 3.5 เวียดนาม 1.5 2.0 ลาว 1.0 1.5 จงเขียน 1. แผนภูมแิ ทง การเปรยี บเทยี บการผลิตยางพาราในป 2544 2. แผนภมู แิ ทง และการเปรยี บเทยี บยางพาราในป 2544และในป 2545 3. แผนภมู วิ งกลมแสดงการเปรียบเทยี บการผลิตยางพาราของแตละประเทศในป 2544 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 81
4. จงเขียนกราฟแสดงการเปรยี บเทยี บปรมิ าณสัตวน า้ํ จดื และสตั วน า้ํ เคม็ ทจ่ี ะไดต ้ังแต พ.ศ. 2540 ถึง พ.ศ. 2546 พ.ศ. ปรมิ าณที่จบั ได ( พันตนั ) สัตวน ํ้าจืด สตั วน้ําเคม็ 2540 1,550 130 2541 1,529 141 2542 1,395 159 2543 2,068 161 2544 1,538 122 2545 1,352 147 2546 1,958 145 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 82
3.3 สถติ กิ บั การตัดสนิ ใจ แบบฝก หัดที่ 4 1. การเลือกขอมลู การใชป ระกอบการตดั สนิ ใจตอ งอาศยั หลกั การใดบา ง ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ขอ มลู ตา งกับสารสนเทศอยา งไร จงอธิบายพรอมยกตัวอยางประกอบดวย ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 83
บทท่ี 8 ความนาจะเปน บทสรปุ 1. กฎเบื้องตนเกยี่ วกบั การนบั และแผนภาพตนไม 1.1 การทํางานทีม่ ี 2 อยา งหรือสองขน้ั ตอน ถาทาํ งานอยางแรกมวี ิธีทําได n1 วิธี และในแตล ะวธิ ีทาํ งานอยางแรกมวี ธิ จี ะทํางานอยางท่ี สองได n2 วิธี แลวจาํ นวนวธิ ที ท่ี าํ ทั้งสองอยา งเทา กบั n1n2 วธิ ี 1.2 การทํางานทีม่ ี 3 อยา ง หรือสามขนั้ ตอน การนับจะมแี นวคดิ ในทาํ นองเดียวกนั แตจ าํ นวน ขน้ั ตอนในการเขียนแผนภาพตนไม หรือการหาผลคณู จะมีงาน 3 งานหรอื ขนั้ ตอนท่ตี อเนอ่ื งกนั แบบฝกหัดที่ 1 1. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 คร้ัง จงหาจํานวนที่เหรียญจะขึน้ หนาตาง ๆ โดยวิธเี ขยี นแผนภมู ติ น ไม ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ในการทดสอบวิชาคณติ ศาสตรประกอบดว ย โจทยแ บบปรนยั 4 ตวั เลอื ก จํานวน 5 ขอ โจทยแตล ะขอ มคี ําตอบที่ถกู ตองเพยี งหนึ่งตวั เลอื กเทานน้ั แลว จาํ นวนวธิ ีการตอบคําถามท่เี ปน ไปไดท้งั หมดก่วี ิธี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 84
3. มนี กั เรยี น 5 คน ยนื เขา แถวเพอ่ื ซอ้ื อาหารกลางวันของรา นหน่ึง จงหาวาจาํ นวนวธิ ที ่ยี นื เขา แถวที่ แตกตางกันมที ัง้ หมดกวี่ ิธี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 4. มชี าย 6 คน หญิง 5 คน ตอ งการจัดคแู ขง ขนั ระหวา งชาย 1 คน หญิง 1 คน ในการแขง ขนั กีฬาเทนนสิ มี จํานวนทง้ั หมดกี่วิธี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 5. เพ่อื น 3 คน นดั กนั ไปรับประทานอาหารเยน็ ท่ีภตั ตาคารและซื้อของทห่ี างสรรพสินคา โดยเลือกท่ีจะ ไปรับประทานอาหารและซอื้ ของ ซึง่ มภี ัตตาคาร 5 แหง และมหี างสรรพสนิ คา 4 แหง ท้งั สามคนนจี้ ะ มีวธิ ีเลือกกระทาํ ดงั กลา วไดท งั้ หมดกว่ี ธิ ี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 85
6. บรษิ ทั แหง หนึง่ เปดรับสมัครพนักงานเขา ทํางาน โดยพจิ ารณาจากเงอ่ื นไข คือ เพศชาย หญงิ ระดบั อายุ มี 6 ระดบั และมสี าขาวิชาชพี 10 ประเภทแลวบริษัทนจ้ี ะมีวิธีการจําแนกผูส มคั รไดทั้งหมดกวี่ ธิ ี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 7. จากการสัมภาษณรบั คนเขา ทาํ งานจํานวน 8 คน จะมวี จี ะคดั เลอื กไดพ นกั งานหนงึ่ คนจากผูเ ขา สมั ภาษณ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 8. จงเขยี นแผนภาพตน ไมเพอื่ แสดงผลทเี่ กิดขึ้นจากการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 4 ครงั้ จงหาจาํ นวนวิธที ่ี แตกตา งกันในการโยนเหรียญครัง้ นี้ โดยท่ี 1. ไมม ีหนา หวั เลย 2. มีหนาหวั เพยี ง 1 ครั้ง 3. มีหนา ท้งั 2 ครงั้ 4. มหี นาหวั เพยี ง 3 ครงั้ 5. มหี นา หวั 4 คร้งั ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 86
2. ความนา จะเปน ของเหตุการณ 1. การทดลองสุม (Random Experiment) คือ การทดลองทไ่ี มส ามารถระบุผลลพั ธไ ดอยา ง แนน อน แตบอกไดว า ผลลพั ธของการทดลองน้นั มีโอกาสอะไรเกิดข้นึ ไดบาง 2. แซมเปล สเปซ (Sample Space ) เปนเซตทีส่ มาชิกประกอบดว ยสิง่ ท่ีตองการท้งั หมดจากการ ทดลองอยางใดอยางนง่ึ เขยี นแทนดวย S 3. เหตกุ ารณ (event) คือ เซตทีเ่ ปน สบั เซตของ sample space หรอื เหตกุ ารณท ่ีเราสนใจจากการ ทดลองสมุ 4. ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ คือ จาํ นวนท่ีแสดงใหท ราบวาเหตกุ ารณหน่งึ มโี อกาสขนึ้ มาก หรือนอ ยเพยี งใด ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ = จาํ นวนผลลพั ธข องเหตกุ ารณทเ่ี ราสนใจ จาํ นวนผลลัพธทั้งหมดทีอ่ าจจะเกิดขนึ้ ได หรือ p (E) = n (E ) n (S ) เมอ่ื กําหนดให E แทนเหตกุ ารณท ่ีเราสนใจ P (E) แทนความนาจะเปน ของเหตุการณ N (E) แทนจํานวนสมาชิกของเหตกุ ารณ N (S) แทนจาํ นวนสมาชิกของผลลัพธท้งั หมดทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ แบบฝกหัดที่ 2 1. จากการทดลองสุมตอไปน้ีจงเขียนแซมเปลสเปซและเหตกุ ารณท ่ีสนใจในการทดลองนน้ั ๆ (1) ไดท้ังสองหวั จากการโยนเหรียญสองอันคร้ังหนง่ึ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู อื การเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 87
(2) ไดผลรวมของแตม บนหนา ลูกเตา ท้ังสองเปน 2 หรือ 6 จากการโยนลูกเตาสองลกู คร้งั หนึ่ง ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (3) หยบิ ไดสลากหมายเลข 5 หรือ 6 หรอื 7 หรือ 8 จากสลาก 10 ใบ ซงึ่ เขียนหมายเลข 1 ถึง 10 กาํ กับไว ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (4) ไดน กั เรยี นทถี่ นัดมือซา ยในหอ งเรียนท่ีทา นเรยี นอยู ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (5) ไดสลากทมี่ รี างวัลจากการจบั สลากท่ีประกอบดว ยสลากท่ีมีรางวลั 3 ใบ และไมมรี างวลั 7 ใบ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (6) ไดค ําตอบจากครอบครวั 3 ครอบครัววา มีจกั รเย็บผา ใชท ัง้ สามครอบครัว ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 88
(7) ไดล กู บอลสขี าว 2 ลกู สีดํา 1 ลูก ในการหยิบลกู บอล 3 ลูกจากกลอ งซงึ่ บรรจลุ ูกบอลสีขาว 3 ลกู และสีดํา 2 ลกู ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (8) ไดแ ตม ทเ่ี หมอื นกนั หรอื ไดแ ตม 2 จากลกู เตาลกู หนึง่ ในการทอดลกู เตาพรอ มกันทง้ั สองลกู ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (9) ไดห วั และแตมทีม่ ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนง่ึ เหรยี ญและทอดลูกเตา หนึ่งลกู หน่งึ ครงั้ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (10) ไดส ีท่ีชอลคอื สฟี า สีชมพู จากการสอบถามนางสาวสชุ าดาถา สขี องกระดาษเชค็ หนาท่ชี อบ สองสจี ากสีทั้งหมด 5 สี คอื ขาว , ฟา , ชมพู , เขยี ว และเหลือง ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 89
1. ถา S = {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} E1 = {0, 2, 4, 6,8} E2 = {1,3,5, 7,9} E3 = {2,3, 4,5} และ E4 = {1,6,7} จงหาสมาชกิ ของ S ทอ่ี ยใู นเหตกุ ารณต อไปนี้ (1) E1 ∪ E2 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... (2) E1 ∩ E2 ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... (3) E3′...................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (4) (E3′ ∩ E4 ) ∩ E2 ............................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (5) (S ∩ jE3′ )′....................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (6) (E2′ ∩ E2′ )∩ E3′ ............................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. จากเหตกุ ารณ E1 , E2 , E3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน - ออยเลอรแ สดงเหตุการณต อไปน้ี (1) E1 ∩ E2′ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 90
(2) (E1 ∪ E2 )′ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (3) (E1 I E3 ) ∪ E2 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... (4) (E1′ ∩ E3 ) ∪ E2 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. ในการสํารวจอายขุ องผูป ว ยแผนกเด็ก (อายุไมเ กนิ 15 ป) ของโรงพยาบาลแหง หนึง่ ถา E1 เปน เหตกุ ารณท ี่ผูปวยมอี ายตุ ั้งแต 1 ถึง 9 ป E2 เปนเหตกุ ารณทผี่ ูปวยมีอายนุ อยกวา 5 ป และ E2 เปนเหตกุ ารณท่ผี ปู ว ยมอี ายมุ ากกวา 9 ป จงหา (1) E1 ∪ E2 (3) (E1 ∩ E3 ) ∪ E2 (2) E1 ∩ E2 (4) E2 ∪ E3 ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมือการเรยี น...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 91
4. ในการจับสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซึ่งมเี ลข 0 ถงึ 9 กํากับอยูถา สนใจเลขที่เขยี นกาํ กัลไวใ นฉลากใบ ท่จี ับไดโ ดยให E1 เปน เหตกุ ารณท่ีเลขทเี่ ขยี นกํากบั ไวเปน จาํ นวนคู E2 เปน เหตกุ ารณทีเ่ ลขทีเ่ ขียนกํากับไวเ ปนจาํ นวนคี่ E3 เปน เหตกุ ารณท เี่ ลขทเ่ี ขยี นกํากบั ไวเ ปนจาํ นวนเฉพาะ E4 เปน เหตกุ ารณท่เี ลขที่เขียนกาํ กบั ไวเปน จาํ นวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตัว จงเขยี นเหตกุ ารณตอ ไปนใี้ นรูป E1 , E2 , E3 หรือ E4 พรอมทัง้ แจกแจงสมาชกิ เม่อื (1) เลขทเ่ี ขียนกาํ กับไวเปน จาํ นวนคูหรอื คหี่ รอื จาํ นวนเฉพาะ (2) เลขทเี่ ขยี นกาํ กบั ไวเ ปน จํานวนเฉพาะที่หารดว ย 3 ลงตัว (3) เลขทเี่ ขียนกํากบั ไวไ มเ ปนจาํ นวนคแ่ี ละไมเปนจาํ นวนท่หี ารดว ย 3 ลงตัว (4) เลขทเี่ ขยี นกํากบั ไวเปน จาํ นวนคทู เ่ี ปน จาํ นวนเฉพาะเปนจาํ นวน ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 6. ทอดลกู เตา 2 ลูกสองครั้ง ความนา จะเปน ท่จี ะไดแ ตม รวมเปน ในครง้ั แรกและไดแ ตม รวมเปน 10 ใน คร้ังท่ี 2 เทากบั เทา ใด ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คมู ือการเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 92
4. การนําความนา จะเปนไปใช แบบฝก หัดที่ 4 1. ในการโยนลกู เตา 1 ลกู 1 ครงั้ จงหาความนา จะเปน ของเหตกุ ารณและสรปุ ถงึ โอกาสทจ่ี ะเกดิ ขน้ึ วา มี มากหรือนอ ยเพียงใด 1) ไดแตม 4 2) ไดแตมคู 3) ไดแ ตมมากกวา 4 4) ไดแตม นอ ยกวา 5) ไดแ ตม มากกวา 0 6) ไดแตม มากกวา 6 หรือเปนแตม คี่ 7) ไดแตม มากกวา 3 และเปนแตมค่ี ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ชา งกอสรา งกลมุ หนง่ึ มี 10 คน ประกอบดวย ชางปนู 6 คน และชา งไม 4 คน ถา ตองการเลือกชาง 7 คน จากกลมุ น้ี ความนา จะเปนทจี่ ะไดช า งปนู 4 คน และชางไม 3 คน เทากบั เทา ใด ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมือการเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 93
3. กลองใบหนึง่ บรรจุหลอดไฟฟาสแี ดง 6 หลอดซง่ึ เปน หลอดดี 4 หลอดและหลอดสนี าํ้ เงิน 4 หลอด ซ่ึง เปนหลอดดี 2 หลอด ในการสมุ หยิบหลอดไฟคร้ังละ 1 หลอด 2 ครัง้ แบบไมใ สค ืน ความนาจะเปน ที่ จะไดหลอดไฟสเี ดยี วกัน และเปน หลอดดที ง้ั สองครง้ั มคี าเทากับเทาใด ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 4. กลอ งใบหนงึ่ มีลกู บอลสแี ดง 3 ลกู และสขี าวจํานวนหนง่ึ โดยที่จาํ นวนวีการหยบิ ลกู บอล 2 ลูก เปนลูก บอลสีเหมือนกัน เทา กับ 9 ถา สมุ หยบิ ลูกบอลพรอมกัน 2 ลกู แลวความนาจะเปนทจี่ ะไดล กบอลสี ขาวทัง้ 2 ลกู เทา กับเทาใด ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... คูมอื การเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 94
ภาพแนวแรงของเคร่อื งชงั่ สปริง ขนาดของแรง v + v ลักษณะท่ี 1 F1 F2 v v v F1 F2 F3 3N 3N 4N 4N ลกั ษณะท่ี 2 4N 4N 7N 7N ลกั ษณะที่ 3 5N 5N 9N 9N F1v + F 2v จะไดเทากับเสน ตรง F3v คูม อื การเรียน...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 95
3) แบบทดสอบตนเองหลงั เรียน คาํ ชแ้ี จง ใหน กั ศึกษาทาํ เคร่อื งหมาย x หนา คําตอบท่ถี ูกตองทส่ี ุดเพยี งขอเดียว 1. ขอ ใดเปน จาํ นวนอตรรกยะทกุ จํานวน ก. 22 , 3 − 27 , 5 7 ข. 2.9191919111, 7 ,π ค. 2.46666 , 4 + a , 11 ง. 2.513513531...,,π 29 2. ขอ ใดกลาวไมถกู ตอง ก. ผลบวกของอตรรกยะและตรรกยะเปน อตรรกยะ ข. ผลคณู ของอตรรกะและตรรกยะเปน อตรรกยะ ค. ไมม ีจํานวนตรรกยะทม่ี ากทส่ี ุดท่ีนอยกวา 5 ง. จาํ นวนท่ีสามารถเขียนในรูป a เมอื่ a,b∈I และ b ≠ 0 เรียกวาจํานวนตรรกยะ b 3. กาํ หนด R เปน จาํ นวนจรงิ Q เปน จาํ นวนตรรกยะ , Q′ เปนจาํ นวนอตรรกยะ , I เปน จํานวนเตม็ , I + เปนจํานวนเตม็ บวก I − เปน จํานวนเต็มลบ ขอใดถกู ตอง ก. I + ∪ I − = I ข. R − Q = I ค. R = Q ∪Q′ ง. R ⊂ a ⊂ I 4. ขอ ใดมสี มบตั ผิ ดิ ของการคูณ ก. A = {x x∈I −} ข. B = {x x∈N} ค. C = {10,1, 2} ง. D = {− 3,−2,−1} คูมือการเรียน...รายวชิ าคณิตศาสตร ม.ปลาย 96
5. อินเวอรสการบวกของ 1 − q คอื ขอ ใด p ก. 1 + q p ข. pq −1 p ค. p 1 + pq ง. 1− pq p 6. อินเวอรสการคณู ของ 2 +1 คอื ขอใด ก. − 2 +1 ข. 0 ค. 1 ง. 3 −1 7. กาํ หนดให A = (−α ,3], B =[− 2,5) A′∩ B ตรงกับเสน จาํ นวนในขอ ใด ก. ข. ค. ง. 8. ใหห าเปน จาํ นวนเต็มถา x +3 หาร x3 + mn2 + 4x +3 ลงตัวแลว หาคา เทา กับขอ ใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 คูม อื การเรียน...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 97
9. เซตคาํ ตอบของสมการ 2n3 −5n2 − x + 6 =0 เปนสบั เซตของเซตในขอ ใด ก. {−1,0, 2,3} ข. {−1,0, 2,3} ค. ⎧⎨− 2 , − 1, 3 , 2⎫⎬ ⎩ 2 ⎭ ง. ⎨⎧− 1, 3 , 2 , 3⎬⎫ ⎩ 2 ⎭ 10. ผลบวกของคาํ ตอบทกุ คําตอบท่ีเปน จาํ นวนเต็มท่ีสอดคลอ งกับอสมการ x(x − 2)<15 เทา กบั ขอ ใด ก. 4 ข. 7 ค. 12 ง. 15 11. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. x−5 ≤0 เซตคําตอบของสมการ คอื [5,8] x−8 2. (x − 4)(x + 5) ≥ 0 เซตคาํ ตอบของสมการคอื (−α , 4) ∪(− 5,2] x−2 3. (x − 2)(x +3)(x −7) >0 เซตคําตอบของอสมการคือ [− 3,2)∪(7,α ) ขอใดเปนจรงิ ก. ขอ 1 และ 2 ถูกตอ ง ข. ขอ 1 และ ขอ 3 ถูกตอ ง ค. ขอ 2 และ 3 ถูกตอ ง ง. ขอ ก , ข และ ค ผิดทกุ ขอ 12. ถา a เปนจาํ นวนเตม็ ทม่ี ากทสี่ ดุ ทีส่ อดคลอ งกับอสมการ (n2 +1)(n − 2)(n −6)<0 B เปน จํานวนเต็มท่นี อยที่สดุ ที่สอดคลองกบั อสมการ (3− x)(x2 −9) < 0 แลว a + b เทากบั ขอใด ก. 3 ข. 5 ค. 7 ง. 9 คูมือการเรียน...รายวิชาคณติ ศาสตร ม.ปลาย 98
13. อสมการแตละคูในขอ ใดตอไปนี้มีเซตคาํ ตอบเทากนั ก. x2 < x กับ x −1 < 0 ข. x+4 > 0 กับ (x −5) (x +6) > 0 5− x ค. x2 −9 ≥ − 6 กบั x−3 ≥ −6 x−3 ง. 2x + x 4 > x 4 5 − 7 กบั 2x + 7 > 0 −5 − 14. เซตคําตอบของอสมการ 2<(x + 4)<3 เทา กบั ขอ ใด ก. (− 7, −1)∪(− α , − 2)∪(− α , − 6) ข. (− 7, − 6)∪(− 2, −1) ค. (− 7, − 6)∪(−α , − 2) ง. (− 7, − 6)∪(−α , − 6) 15. เซตคําตอบของอสมการ 5x −6 > 2x +5 เทา กบั ขอใด ก. ⎜⎛ − α , 1 ⎞⎟ ⎝ 7 ⎠ ข. ⎛⎜ 11 ,α ⎟⎞ ⎝ 3 ⎠ ค. ⎜⎛ − α , 1 ⎟⎞ ∪ ⎜⎛ 11 ,α ⎟⎞ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ง. x∈⎜⎛ − α , 1 ⎞⎟ ∪ ⎡11 ,α ⎟⎞ ⎝ 7 ⎠ ⎢⎣ 3 ⎠ 16. ถา เซตของจํานวนท่ีนอ ยกวา 10 เขยี นแบบแจกสมาชกิ ไดเปน {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9} แลว เอกภพสมั พทั ธค วรเปน เซตใด ก. เซตของจํานวนมากกวา 0 ข. เซตของจาํ นวนทน่ี อ ยกวา 10 ค. เซตของจาํ นวนนบั ง. เซตของจํานวนเตม็ 17. ถาจาํ นวนทนี่ อยทส่ี ดุ ในเอกภพสัมพทั ธค อื – 1 แลว เซตของเอกภพสมั พัทธค วรเปน เซตใด ก. เซตของจํานวนเต็มลบ ข. เซตของจํานวนเตม็ ทนี่ อ ยกวา 0 ค. เซตของจํานวนเต็มทีน่ อยกวา 1 ง. เซตของจํานวนเตม็ ท่ีมากกวา – 2 คมู ือการเรยี น...รายวชิ าคณติ ศาสตร ม.ปลาย 99
18. { มกราคม , มนี าคม } เขยี นเปน เซตแบบบอกเงี่ยนไขตรงกับขอใด ก. {x x เปนชือ่ เดอื นทลี่ งทายดว ยคาํ วา “คม” } ข. {x x เปน ชอ่ื เดอื นทม่ี ี 31 วนั } ค. {x x เปนชอ่ื เดอื นลาํ ดบั แรกของป } ง. {x x เปนชอ่ื เดือนที่ขนึ้ ตนดว ย “ม” และมี 31 วัน } 19. ขอ ใดกลาวถูกตอง ก. 3∈{1, 2,3} ข. 3∉{1, 2,3} ค. 3⊂ {1, 2,3} ง. 3 เปนซบั เซตของ {3} 20. เซตในขอใดไมจ ดั วาเปน เซตทเ่ี ทยี บเทา กบั เซต (a , b, c,d ,e) ก. {a , e , i , o , u} ข. {1 , 2 , 3 , 1 , 2} ค. {a , b , e , 1 , 2} ง. { ก , ข , ค , ง , จ} 21. ขอใดเปน เซตจาํ กดั ก. {x x < 20} ข. {x x > 9} ค. {x x เปน จํานวนนับมากกวา 10 } ง. {x x เปนจํานวนเตม็ ลบที่มากกวา -5 } 22. เราสามารถเขยี นสับเซตของ {x x เปน จาํ นวนนบั ท่ีนอยกวา 8 } ไดท ง้ั หมดก่ีเซต ก. 128 ข. 124 ค. 120 ง. 112 คูมือการเรยี น...รายวิชาคณิตศาสตร ม.ปลาย 100
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
