คณิตศาสตร์พื้นฐาน

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ า คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 2000-1401 ช่ือหน่วย อตั ราสว่ นสาระสาคัญ 1.อตั ราส่วน คือ การเปรียบเทยี บปริมาณ 2 ปริมาณ ซึ่งอาจมหี น่วยเหมอื นกันหรือตา่ งกันก็ได้ถา้ มีหนว่ ยเหมือนกันไม่ต้องเขยี นหนว่ ยกากับ แต่ถ้ามีหน่วยไม่เหมือนกนั ให้เขียนหนว่ ยกากบั ดว้ ย และเขยี นแทน อัตราส่วนของ aตอ่ b แทนด้วย a : b อา่ นว่า a ตอ่ b เรยี ก \"a\" ว่า จานวนแรกหรอื จานวนที่หน่ึง และเรียก \"b\" วา่ จานวนหลังหรอืจานวนทส่ี อง เช่น กบมีปากกา 5 ดา้ ม กิ้มมีปากกา 4 ดา้ ม อัตราส่วนระหวา่ งจานวนปากกาของกบตอ่ จานวนปากกาของกิ้ม เป็น 5 ต่อ 4 ซึง่ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 5 : 4 หรือ ตาแหน่งของจานวนในแตล่ ะอตั ราสว่ นมีความสาคญั การสลับตาแหนง่ กนั จะได้อตั ราส่วนท่ีตา่ งกนั เชน่ อัตราส่วน 3 : 5 ไม่ใชอ่ ัตราส่วนเดยี วกบั อตั ราสว่ น 5 : 3 นอกจากนี้ ยงั ใชอ้ ัตราสว่ นเขยี นแทนอัตราไดด้ ว้ ย เนื่องจากอตั รา เป็นขอ้ ความท่แี สดงความเก่ยี วข้องของปริมาณสองปริมาณ (หรอื มากกว่า 2 ปรมิ าณ) และใชอ้ ตั ราส่วนแทน เช่น ข้อความ อัตรา อตั ราสว่ นรถยนต์ 1 คนั นั่งได้ 4 คน 1 คนั นงั่ ได้ 4 คน 1:4โทรศัพท์ 3 ครั้ง จ่ายเงนิ 6 บาท 3 ครัง้ ราคา 6 บาท 3:6เงิน 24 บาท ซือ้ นา้ อดั ลมได้ 2 ขวด 24 บาท ซ้อื ได้ 2 ขวด 24 : 2ส้มเขียวหวาน 40 ผล บรรจไุ ด้ 2 กลอ่ ง 40 ผล บรรจุได้ 2 กลอ่ ง 40 : 2พทิ กั ษข์ บั รถด้วยความเรว็ 130 กิโลเมตรต่อชวั่ โมง 130 กิโลเมตรต่อ 1 ชว่ั โมง 130 : 12. สมบตั ขิ องอัตราส่วน มี 2 ขอ้ คอื การทาอัตราสว่ นให้เทา่ กับอตั ราส่วนท่กี าหนดให้ สามารถทาไดโ้ ดยใช้หลักการดังน้ี 1. หลักการคูณ เมอื่ คูณแตล่ ะจานวนในอัตราส่วนใดด้วยจานวนเดยี วกนั โดยทีจ่ านวน นั้นไม่เทา่ กับศูนย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ท่เี ท่ากับอัตราส่วนเดมิ (1) ถ้า m เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ท่ี m  0 แลว้ a : b = am : bm 2. หลักการหาร เมื่อหารแตล่ ะจานวนในอัตราสว่ นใดดว้ ยจานวนเดยี วกัน โดยท่ีจานวนนน้ั มีคา่ ไม่เท่ากับ ศนู ย์ จะได้อัตราส่วนใหม่ท่ีมีค่าเทา่ กับอตั ราส่วนเดมิ (2) ถ้า m เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ท่ี m  0 แลว้ a : b = a/m : b/m

3. อัตราสว่ นแบบงา่ ย (อัตราส่วนอยา่ งตา่ ) คืออัตราส่วนท่ีปริมาณทง้ั สองเปน็ จานวนที่มคี ่าตา่ สุดการทาอัตราส่วนใหเ้ ป็นอัตราสว่ นอย่างต่า ทาได้โดยการนาจานวนใด ๆ มาหารทงั้ จานวนแรกและจานวนหลังของอตั ราสว่ นดว้ ยจานวนเดยี วกัน จนไมส่ ามารถหารได้อีก 4. อัตราส่วนต่อเนอ่ื ง คือ การเปรียบเทยี บปรมิ าณต้งั แต่ 3 ปริมาณข้นึ ไปอตั ราสว่ นทเ่ี ปรยี บเทยี บกนั ต้ังแต่ 3 จานวนขนึ้ ไป เขียนอยู่ในรปู a : b : c เชน่อัตราส่วนของเงิน นายแดง : นายดา = 5 : 7อตั ราสว่ นของเงิน นายดา : นายขาว = 7 : 3 สามารถเขียนอตั ราสว่ นต่อเนอื่ งเป็น นายแดง:นายดา:นายขาว = 5:7:3 ไดเ้ ลยในกรณีทีม่ ีตัวกลางหรือตวั เชื่อมเทา่ กนั ถ้าตวั กลางหรอื ตัวเชอื่ มไม่เท่ากันเราต้องทาตวั กลางหรือตัวเชือ่ มให้เทา่ กนั ก่อน โดยเอาค่าตัวกลางมาหา ค.ร.น. กอ่ น แลว้ จงึ นาไปเขยี นเปน็ อัตราสว่ นต่อเนื่องได้ตัวอย่างที่ ถ้าอตั ราส่วน A : B = 2 : 3 และอัตราส่วน B : C = 6 : 7 จงหาอัตราส่วนตอ่ เน่ือง A : B : Cวิธีทา ต้องทาอัตราสว่ นของ B ท้งั สองคือ 3 และ 6 ใหเ้ ท่ากันโดยการหา ค.ร.น. 3 และ 6 ได้ เทา่ กับ 6เอา 3 หาร ค.ร.น. 6 ได้ 2 แลว้ เอา 2 คูณ 2 2 : 3 2 ได้ 4 : 6เอา 6 หาร ค.ร.น. 6 ได้ 1 แลว้ เอา 1 คณู 6 1 : 7 1 ได้ 6 : 7จะได้ A : B = 4 : 6 และ B : C = 6 : 7 ดังนนั้ A : B : C = 4 : 6 : 75. การนาอัตราสว่ นไปใชใ้ นวิชาชพีตัวอย่าง กนกอรลงทนุ ขายสินค้าชนิดหนงึ่ โดยกาหนดอตั ราสว่ นระหวา่ งต้นทุนต่อยอดขายสนิ คา้ นไ้ี ว้4 : 9 ถา้ กนกอรขายสินคา้ ได้เงนิ ทัง้ ส้นิ 27,000 บาท จงหาว่ากนกอรลงทนุ ในการขายสนิ คา้ คร้ังน้ีเปน็ เงินเท่าไรวธิ ที า เนื่องจาก ตน้ ทุน : ยอดขาย และ ยอดขายจริง4  ... : 9  ... และ 27,000 เนอ่ื งจาก 93,000 = 27,000จะได้ ต้นทุน : ยอดขาย = 4  3,000 : 9  3,000 = 12,000 : 27,000

ดังนน้ั กนกอรจะลงทุนในการขายสินค้าครั้งน้ีเป็นเงิน 12,000 บาทตัวอยา่ ง เจ จา๋ และจ้อน ไปทางานพเิ ศษท่เี ดยี วกัน ถา้ อัตราสว่ นของค่าจ้างในการทางานของเจกบั จอ้ นเป็น 3 : 5 และของจ้อนกับจ๋าเป็น 8 : 6 ถ้าจา๋ ไดค้ ่าจา้ ง 300 บาท จงหาว่าเจกบั จ้อนจะไดร้ บั คา่ จ้างเทา่ ไรวิธที า อตั ราสว่ นค่าจา้ งที่ได้รบั ของ เจ : จ้อน และ จอ้ น : จ๋า เป็น 3 : 5 และ 8 : 6 ค.ร.น. ของ 5, 8 = 40 3  8 : 5  8 และ 8 5 : 6  5 24 : 40 และ 40 : 30 ตัวเชือ่ มคือจอ้ นมีค่าเทา่ กัน จะได้ อัตราส่วนค่าจ้างของ เจ : จอ้ น : จ๋า = 24 : 40 : 30 ถ้าจ๋าไดร้ ับค่าจ้างเปน็ เงิน 300 บาท แลว้ อตั ราส่วนของค่าจ้างของ เจ : จอ้ น : จา๋ = เจ : จอ้ น : จา๋ 24  10 : 40  10 : 30  10 = 240 : 400 : 300 เนื่องจากจา๋ ได้รับค่าจ้าง 300 บาท ดังนั้น อัตราสว่ นค่าจ้างของ เจ : จ้อน : จา๋ = 240 : 400 : 300 นัน่ คอื เจและจ้อนจะไดร้ ับคา่ จา้ งในการทางานพเิ ศษ 240 และ 400 บาทตามลาดบัตัวอยา่ ง ทางโรงเรียนของกร ก้อน และก้อง ไดจ้ ดั ไปทัศนศกึ ษายังสถานท่ีแหง่ หน่ึงเป็นเวลา 3 วัน ถ้าทัง้ สามคนมีเงนิ รวมกนั 5,800 บาท โดยอัตราส่วนจานวนเงิน ของก้อนต่อก้องเปน็ 4 : 3 และของกรตอ่ ก้องเป็น 5 : 2 จงหาวา่ กรก้อน และก้อง มเี งินในการไปทศั นศึกษาครัง้ นี้คนละเทา่ ไรวธิ ีทา อัตราส่วนจานวนเงนิ ของ กอ้ น : ก้อง และ กร : ก้อง 4 : 3 และ 5 : 2 ค.ร.น. ของ 3, 2 = 6

จะได้ 4  2 : 3  2 และ 5  3 : 2  3 8 : 6 และ 15 : 6ตวั เชื่อม (ก้อง) เท่ากันแลว้ ดังน้นั อัตราส่วนจานวนเงินของ กร : ก้อน : ก้อง = 15 : 8 : 6 จะเห็นวา่ ทงั้ สามคนมีเงินรวมกนั 15 + 8 + 9 = 29 ส่วน คิดเปน็ เงิน 5,800 บาท แสดงวา่ กร : ก้อน : ก้อง : เงินรวม = กร : ก้อน : ก้อง : เงนิ รวม = 15200 : 8200 : 6200 : 5,800 29  200 = 5,800 ดงั นัน้ กร กอ้ น และก้อง มีเงินคนละ 3,000, 1,600 และ 1,200 บาท ตามลาดับ

เอกสารแนะแนวทาง เร่ือง อตั ราส่วนหน่วยเหมอื นกัน หน่วยตา่ งกันปรมิ าณ 2 ปริมาณ อัตราสว่ น ปรมิ าณ 2 ปริมาณ อตั ราสว่ น1) จานวนแอปเปิลต่อจานวน 1) จานวนดอกไมเ้ ปน็ ดอกต่อ มะมว่ ง เป็น 2 : 3 หรอื 2 จานวนนกเป็นตัว เป็น 2 : 3 4 หรือ 2 จานวนมะมว่ งต่อจานวน 4 แอปเปิล เป็น 3 : 2 หรือ จ า น ว น น ก เ ป็ น ตั ว ต่ อ 3 จานวนดอกไม้เป็นดอก 4 2 เปน็ 4 : 2 หรือ 22) จานวนช้อนตอ่ จานวนสอ้ ม 2) จานวนแก้วเปน็ ใบตอ่ เปน็ ………. หรือ ………….. จานวนแปรงสฟี ันเปน็ อัน เปน็ …..… หรอื …… จานวนส้อมต่อจานวนช้อน จานวนแปรงสีฟนั เปน็ อัน เปน็ ….... หรือ …… ตอ่ จานวนแก้วเปน็ ใบ เป็น ….….. หรอื …..…3) ดอกบัวตมู 5 ดอก จ า น ว น ด อ ก บั ว ตู ม ต่ อ 3) ขนม 4 ชิ้น ไอศกรีม 7 จานวนขนมเป็นช้ินต่อดอกบวั บาน 4 ดอก จานวนดอกบัวบานเป็น แท่ง จานวนไอศกรีมเป็นแท่ง …………. หรือ ……….. เป็น……… หรอื ………