Probability theory

NMRTU P

NMRTU Pกฏเกณฑก์ ารนบั เบ้ืองตน้ การทดลองสมุ่ แซมเปิ ลสเปซ เหตกุ ารณ์ความน่าจะเป็ น

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เกี่ยวกบั การนบั การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มีวธิ ีการเดินทางได้ 3 วิธี ไดแ้ ก่ ทางรถยนต์ ทางรถไฟและทางเคร่ืองบิน จากเมือง B ไปเมือง C มีวธิ ีการเดินทางได้ 2วธิ ี ไดแ้ ก่ ทางรถยนตแ์ ละทางเครื่องบิน จงหาวา่ ในการเดินทางจากเมือง A ไปเมืองC โดยหยุดพกั ที่เมือง B มีก่ีวิธีเมือง A ไปเมือง B เมือง B ไปเมือง C

กฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เก่ียวกบั การนบั NMRTU Pเมือง A ไปเมือง B เมือง B ไปเมือง C เมือง A ไปเมือง C รถยนต,์ รถยนต์ รถยนต,์ เครื่องบิน รถไฟ, รถยนต์ รถไฟ, เครื่องบิน เคร่ืองบิน, รถยนต์ เครื่องบิน, เคร่ืองบิน

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ อื งตน้ เก่ียวกบั การนบั จงหาวธิ ีการแตง่ กายท่ีเป็ นไปไดท้ ้งั หมด จากเส้ ือสามตวั ซ่ึงไดแ้ ก่ สีแดงสีน้าเงิน และสีชมพู และกางเกงขายาวและขาส้นั โดยใหใ้ ส่ท้งั เส้ ือและกางเกงอยา่ งละ 1 ตวั (ด, ย) (ด, ส) (ง, ย) (ง, ส) (ช, ย) (ช, ส)

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เก่ียวกบั การนบั มีอาหารคาว 4 ชนิด และของหวาน 3 ชนิด ถา้ ตอ้ งเลือกรบั ประทานอาหารคาวและของหวานอยา่ งละ 1 ชนิด จะมีวธิ ีเลือกรบั ประทานไดก้ ี่วธิ ี ค1 ค2 ค3 ค4ว1 ว2 ว3 ว1 ว2 ว3 ว1 ว2 ว3 ว1 ว2 ว31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

NMRTU Pกฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เก่ียวกบั การนบั ในการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 2 คร้งั ผลลพั ธท์ ่ีเป็ นไปไดท้ ้งั หมดมีกี่อยา่ งคร้งั ท่ี 1 ครง้ั ท่ี 2

NMRTU Pกฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เกี่ยวกบั การนบั ในการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 2 คร้งั ผลลพั ธท์ ี่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดมีกี่อยา่ ง

NMRTU Pกฏเกณฑเ์ บ้ อื งตน้ เก่ียวกบั การนบัในการทางานอยา่ งหน่ึง ซ่ึงตอ้ งมีการทางานยอ่ ย ๆ ท่ีต่อเน่ืองกนั 2 อยา่ ง โดยที่งานยอ่ ยที่ 1 เลือกทาได้ n1 วธิ ีในแต่ละวิธีของงานยอ่ ยที่ 1 เลือกทางานยอ่ ยที่ 2 ได้ n2 วิธีจะมีวธิ ีทางานใหเ้ สร็จสมบรู ณไ์ ดท้ ้งั หมด n1n2 วธิ ีถา้ ใชว้ ธิ ีการน้ ีก็ไม่จาเป็ นตอ้ งเขยี นแผนภาพตน้ ไมเ้ พื่อหาวิธีท้งั หมด

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เก่ียวกบั การนบั มีเรือขา้ มฟากอยู่ 3 ลา ถา้ ผูโ้ ดยสารคนหนึ่งตอ้ งการขา้ มฟาก โดยที่เที่ยวไปและเท่ียวกลบั ตอ้ งไม่นัง่ เรือลาเดิม จะมีวิธีขา้ มฟากท้งั หมดก่ีวธิ ีเที่ยวไป เที่ยวกลบั วธิ ีการขา้ มฟากท้งั หมด  3  2  6 วธิ ี

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เก่ียวกบั การนบั ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลกู เต๋า 1 ลกู อยา่ งละคร้งัผลลพั ธท์ ่ีไดจ้ ะมีก่ีอยา่ ง ผลลพั ธท์ ี่ไดท้ ้งั หมด  2  6  12 อยา่ ง

NMRTU Pกฏเกณฑเ์ บ้ อื งตน้ เกี่ยวกบั การนบัในการทางานอยา่ งหนึ่ง ซึ่งตอ้ งมีการทางานยอ่ ย ๆ ท่ีต่อเน่ืองกนั k อยา่ ง โดยท่ีงานยอ่ ยที่ 1 เลือกทาได้ n1 วธิ ี วิธีในแต่ละวิธีของงานยอ่ ยท่ี 1 เลือกทางานยอ่ ยท่ี 2 ได้ n2 วธิ ีในแตล่ ะวธิ ีของงานยอ่ ยที่ 2 เลือกทางานยอ่ ยที่ 3 ได้ n3งานยอ่ ยท่ี k หรืองานยอ่ ยสุดทา้ ยเลือกทางานได้ nk วธิ ีจะมีวิธีทางานใหเ้ สร็จสมบูรณไ์ ดท้ ้งั หมด n1n2n3 ... nk วิธี

NMRTU Pกฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เก่ียวกบั การนบัตอ้ งการทาป้ายเพือ่ แสดง แบบ สี และขนาด ของรองเทา้ กีฬา 6 แบบแตล่ ะแบบมี 3 สี และแต่ละสีมี 5 ขนาด จะตอ้ งจดั ทาป้ายท่ีแตกตา่ งกนั ท้งั หมดก่ีป้ายจงึ จะครบทุกแบบ สี และขนาดจากโจทยจ์ ะไดว้ า่ การทางานน้ ีมีขอ้ มลู ยอ่ ย ๆ อยู่ 3 อยา่ ง ไดแ้ ก่แบบของรองเทา้ กีฬา 6 แบบสีของรองเทา้ แตล่ ะแบบ 3 สีขนาดของรองเทา้ แต่ละสี 5 ขนาดดงั น้นั จะตอ้ งทาป้ายที่แตกตา่ งกนั ท้งั หมด  6  3 5  90 แบบ

NMRTU Pกฏเกณฑเ์ บ้ อื งตน้ เก่ียวกบั การนบั จานวนคู่บวกซ่ึงมีสามหลกั มีท้งั หมดก่ีจานวน เลขสามหลกั ท่ีเป็ นจานวนคู่ จะตอ้ งประกอบดว้ ยหลกั ตา่ ง ๆ ไดแ้ ก่ 02468 01234 56789 1234 56789 ดงั น้นั จานวนคบู่ วกสามหลกั มีท้งั หมด  510 9  450 จานวน

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ ืองตน้ เกี่ยวกบั การนบั ถา้ การกาหนดรหสั ประจาตวั พนักงานจะตอ้ งข้ นึ ตน้ ดว้ ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั และตามดว้ ยเลขโดด 3 ตวั จงหาวา่ รหสั ประจาตวั พนักงานที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดมีก่ีรหสั โดยท่ี รหสั ประจาตวั พนักงานตอ้ งไม่มีเลขโดดที่ซ้ากนั รหสั ประจาตวั พนักงานมีเลขโดดที่ซ้ากนั ได้ รปู แบบรหสั ประจาตวั พนักงานจะตอ้ งประกอบดว้ ย

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ อื งตน้ เกี่ยวกบั การนบั ถา้ การกาหนดรหสั ประจาตวั พนักงานจะตอ้ งข้ นึ ตน้ ดว้ ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั และตามดว้ ยเลขโดด 3 ตวั จงหาวา่ รหสั ประจาตวั พนักงานที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดมีกี่รหสั โดยท่ี รหสั ประจาตวั พนักงานตอ้ งไม่มีเลขโดดที่ซ้ากนั26 10 9 8ดงั น้นั รหสั ประจาตวั พนักงานท้งั หมด  26 10  9 8  18,720 รหสั

NMRTU P กฏเกณฑเ์ บ้ อื งตน้ เก่ียวกบั การนบั ถา้ การกาหนดรหสั ประจาตวั พนักงานจะตอ้ งข้ นึ ตน้ ดว้ ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั และตามดว้ ยเลขโดด 3 ตวั จงหาวา่ รหสั ประจาตวั พนักงานที่เป็ นไปไดท้ ้งั หมดมีก่ีรหสั โดยท่ี รหสั ประจาตวั พนักงานมีเลขโดดท่ีซ้ากนั ได้26 10 10 10ดงั น้นั รหสั ประจาตวั พนักงานท้งั หมด  26 10 10 10  26,000 รหสั

NMRTU Pความน่าจะเป็ น ความน่าจะเป็ น คือ โอกาสท่ีจะเกิดเหตุการณใ์ ดเหตุการณห์ นึ่งที่เราใหค้ วามสนใจ โดยจะระบุคา่ เป็ นตวั เลขทศนิยมหรือเศษส่วน

FMB Nการทดลองสุม่

NMRTU Pการทดลองสุม่ การทดลองสุม่ คือ การทดลองหรือการกระทาที่สามารถบอกผลลพั ธเ์ ป็ นไปไดท้ ้งั หมด แตไ่ ม่สามารถระบุช้ ชี ดั ลงไปไดอ้ ยา่ งแน่นอนวา่ ผลลพั ธจ์ ะเกิดข้ นึ ในคร้งั น้ัน ๆ เป็ นอะไร

NMRTU Pแซมเปิ ลสเปซ แซมเปิ ลสเปซ คือ เซตของผลลพั ธท์ ่ีเป็ นไปไดท้ ้งั หมดจากการทดลองสุม่ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ Sจงเขยี นแซมเปิ ลสเปซของการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้งัผลลพั ธท์ ่ีเป็ นไปไดท้ ้งั หมดของการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้งั ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6ดงั น้นั แซมเปิ ลสเปซ คือ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6}

NMRTU P แซมเปิ ลสเปซ จงเขยี นแซมเปิ ลสเปซของการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1เหรียญ พรอ้ มกนั 1 คร้งัดงั น้นั แซมเปิ ลสเปซ คือS  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}

NMRTU Pเหตกุ ารณ์ เหตกุ ารณ์ คือ เซตของผลลพั ธท์ ่ีสนใจของการทดลองสุ่ม เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E เขยี นแซมเปิ ลสเปซ จากแซมเปิ ลสเปซท่ีได้ ใหเ้ ลือกเฉพาะสมาชิกท่ีเราสนใจ นาสมาชกิ ท่ีไดม้ าเขียนไวใ้ น { } ซึ่งคนั่ ดว้ ย ,

NMRTU Pเหตกุ ารณ์ จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้งั จงเขียนเหตุการณต์ ่อไปน้ ี ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ นอ้ ยกวา่ 4 ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไมเ่ กิน 6 ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ มากกวา่ 6 ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ เป็ นจานวนเฉพาะหรือเลขเป็ นเลขค่ี ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ เป็ นเลขคี่และนอ้ ยกวา่ 4

NMRTU Pเหตกุ ารณ์ จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้งั จงเขียนเหตุการณต์ อ่ ไปน้ ี เขียนแซมเปิ ลสเปซ จะได้ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6} ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ E1  {2, 4, 6} ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ นอ้ ยกวา่ 4 E2  {1, 2, 3}

NMRTU Pเหตกุ ารณ์ จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้งั จงเขียนเหตุการณต์ อ่ ไปน้ ี เขยี นแซมเปิ ลสเปซ จะได้ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6} ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไมเ่ กิน 6 E3  {1, 2, 3, 4, 5, 6} ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ มากกวา่ 6 E4  {}

NMRTU Pเหตกุ ารณ์ จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้งั จงเขียนเหตุการณต์ ่อไปน้ ี เขียนแซมเปิ ลสเปซ จะได้ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6} ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ เป็ นจานวนเฉพาะหรือเลขเป็ นเลขคี่ E5  {1, 2, 3, 5} ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ เป็ นเลขค่ีและนอ้ ยกวา่ 4 E6  {1, 3}

NMRTU P เหตกุ ารณ์ จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลกู เต๋า 1 ลกู พรอ้ มกนั จงเขยี นเหตุการณท์ ่ี ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ เหรียญข้ นึ กอ้ ย ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ค่ีและเหรียญบาทข้ นึ หวั เหรียญบาทข้ นึ กอ้ ยหรือลกู เต๋าข้ นึ แตม้ นอ้ ยกวา่ 4 เขียนแซมเปิ ลสเปซ จะได้ S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}

NMRTU P เหตกุ ารณ์ จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลกู เต๋า 1 ลกู พรอ้ มกนั จงเขยี นเหตุการณท์ ่ี ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6} E1  {H 2, H 4, H 6, T 2, T 4, T 6} เหรียญข้ นึ กอ้ ย S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6} E2  {T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}

NMRTU P เหตกุ ารณ์ จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และทอดลกู เต๋า 1 ลกู พรอ้ มกนั จงเขียนเหตุการณท์ ี่ ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คี่และเหรียญบาทข้ นึ หวั S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6} E3  {H1, H3, H5} เหรียญบาทข้ นึ กอ้ ยหรือลกู เต๋าข้ นึ แตม้ นอ้ ยกวา่ 4 S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6} E4  {H1, H 2, H3, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}

NMRTU Pความน่าจะเป็ นพิจารณาการกระทาดงั ตอ่ ไปน้ ีโอกาสท่ีเหรียญจะข้ นึ เป็ น 1 ใน 2 1โอกาสท่ีเหรียญจะข้ นึ เป็ น 1 ใน 2 2 1 2

NMRTU Pความน่าจะเป็ นพจิ ารณาการกระทาดงั ต่อไปน้ ีโอกาสที่เหรียญจะข้ นึ แตม้ เป็ น 1 ใน 6 1โอกาสที่เหรียญจะข้ นึ แตม้ เป็ น 1 ใน 6โอกาสท่ีเหรียญจะข้ นึ แตม้ เป็ น 3 ใน 6 6 1 6 3 6

NMRTU Pความน่าจะเป็ นความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ E หาไดจ้ ากสูตรเมื่อ คือ ความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ E คือ จานวนสมาชกิ ของเหตุการณ์ E คือ จานวนสมาชิกของแซมเปิ ลสเปซ

NMRTU Pความน่าจะเป็ น

NMRTU Pความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่ ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ มากกวา่ 6 ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 6 จะได้ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S)  6

NMRTU Pความน่าจะเป็ นจากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S)  6ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ E1  {2, 4, 6}n(E1)  3P(E1)  n(E1)  3  1  0.5 n(S ) 6 2ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นที่ลกู เต๋าจะข้ นึ แตม้ คู่ เท่ากบั 0.5

NMRTU Pความน่าจะเป็ นจากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S)  6ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ มากกวา่ 6 E2  {}n(E2 )  0P(E2 )  (E2 )  0  0 n(S ) 6ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นท่ีลกู เต๋าจะข้ นึ แตม้ มากวา่ 6 เท่ากบั 0

NMRTU Pความน่าจะเป็ นจากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่ S  {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S)  6ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 6 E3  {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(E3 )  6P(E3)  (E3 )  6  1 n(S ) 6ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นท่ีลกู เต๋าจะข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 6 เท่ากบั 1

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่ ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ เหรียญบาทข้ นึ หวั แต่ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 3 เหรียญบาทข้ นึ กอ้ ยและลกู เต๋าข้ นึ แตม้ 4 เหรียญบาทข้ นึ หวั ส่วนลกู เต๋าข้ นึ แตม้ มากกวา่ 6 ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 6 ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ เป็ นจานวนเฉพาะ

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ่ีS  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}n(S)  12ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ คู่ n(E1)  6 E1  {H 2, H 4, H 6, T 2, T 4, T 6}P(E1)  n(E1)  6  1  0.5 n(S) 12 2

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ่ีS  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}n(S)  12เหรียญบาทข้ นึ หวั แต่ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 3E2  {H1, H 2, H 3} n(E1)  3P(E2 )  n(E2 )  3  1  0.25 n(S) 12 4

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ่ีS  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}n(S)  12เหรียญบาทข้ นึ กอ้ ยและลกู เต๋าข้ นึ แตม้ 4E3  {T 4} n(E1)  1P(E3)  n( E3 )  1 n(S ) 12

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}n(S)  12เหรียญบาทข้ นึ หวั ส่วนลกู เต๋าข้ นึ แตม้ มากกวา่ 6E4  {} n(E4 )  0P(E4 )  n(E4 ) 0  0 n(S ) 12

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}n(S)  12ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ ไม่เกิน 6E5  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}P(E5 )  n(E5 )  12  1 n(S) 12

NMRTU P ความน่าจะเป็ น จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู และเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 พรอ้ มกนั 1คร้งั จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณท์ ี่S  {H1, H 2, H3, H 4, H5, H 6, T1, T 2, T3, T 4, T5, T 6}n(S)  12ลกู เต๋าข้ นึ แตม้ เป็ นจานวนเฉพาะE6  {H 2, H3, H5, T 2, T3, T5}P(E6 )  n(E6 ) 6  1  0.5 n(S ) 12 2

NMRTU P