1จำนวนจริง คนิตเพิ่ม

เอกสารเสรมิ บทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 เรื่องจานวนจริง หน้าที่ 1 เอกสารประกอบการเรยี น จานวนจริง (Real numbers) ชอื่ -นามสกุล......................................................................................เลขที่...........ชั้น........... แผนผงั แสดงความสัมพันธข์ องจานวนชนิดตา่ ง ๆ จานวนเชิงซอ้ น( ) จานวนจรงิ ( ) จานวนเชิงซ้อนทไ่ี มใ่ ช่จานวนจริง( ) จานวนอตรรกยะ( ) จานวนตรรกยะ ( ) จานวนเตม็ ( , ) จานวนตรรกยะท่ีไม่ใช่จานวนเต็ม จานวนเต็มลบ ( ) ศนู ย์ จานวนเต็มบวกหรอื จานวนนับ( , ) จานวนจรงิ (Real numbers) 1. จานวนนับ (counting numbers) หรือ จานวนธรรมชาติ (natural numbers) ใช้สัญลักษณ์ หรอื น่นั คือ 1,2,3, 2. จานวนท่ีใช้แทนคาว่า “ไม่มี” เรียกว่า จานวนศูนย์ หรือ 0 ต่อมาได้มีการคิดค้นจานวนท่ีแทน สงิ่ ของทขี่ าดหายไปเกิดเปน็ จานวน -1, -2, -3, … ข้นึ และเมื่อนาจานวนท้ังหมดมารวมกันเปน็ กลุม่ จะได้เซต ของ ซง่ึ เรียกวา่ จานวนเต็ม (integers) นน่ั คือ , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 3. จานวนตรรกยะ (rational numbers) คือ จานวนท่ีอยู่ในรูปเศษส่วน a เม่ือ a และ b เป็น b จานวนเตม็ และ b 0 เช่น 1 , 2 , 1 , -2 , 4 ,… ใชส้ ัญลกั ษณ์ ซ่งึ จะประกอบดว้ ย 3 5 -5 3.1 จานวนเตม็ , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 3.2 จานวนตรรกยะทไี่ ม่ใชจ่ านวนเตม็ ประกอบด้วย 3.2.1 เศษสว่ นโดยทีส่ ่วนไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ a ; b 0 เช่น 1 , 3 , 2 , 22 , b 2 45 7 3.2.2 ทศนยิ มรจู้ บ เช่น 0.3 3 , 1.5 15 , 1.414 1414 , … 10 10 1000

เอกสารเสรมิ บทเรยี นรายวชิ า ค 31201 คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1 เร่ืองจานวนจริง หน้าที่ 2 3.2.2 ทศนยิ มซ้าไมร่ ้จู บ เช่น 0.3 3 1 1.93 193 19 174 9 3 90 90 0.25 25 1.23 123 12 111 99 90 90 0.125 125 0.1241 1241 12 999 9900 4. จานวนอตรรกยะ (irrational number) คือ จานวนท่ีไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ใช้สัญลกั ษณ์ เช่น 2 1.4142135... 3.14159265... 3 1.7320508... e 2.7182818... 5. จานวนจรงิ (real numbers) คอื จานวนทเี่ ป็นจานวนตรรกยะหรอื จานวนอตรรกยะใชส้ ญั ลักษณ์ อยา่ งไรกต็ ามยังมีจานวนอีกชนิดหนึ่งที่ได้จาการแก้สมการ x2 1ซง่ึ บอกไม่ได้ว่ามากกว่าศนู ย์หรือน้อยกว่า ศูนย์ จานวนพวกนี้ไม่ใช่จานวนจริง นาไปสู่จานวนท่ีอยู่ในรูป a + bi เม่ือ a, b เป็นจานวนจริง และ i2 1 เรียกจานวน a + bi น้ีว่า จานวนเชิงซ้อน (complex numbers) สาหรับในเร่ืองจานวน จรงิ นีจ้ ะศึกษาเฉพาะในส่วนของจานวนจรงิ เท่าน้นั ใบงานท่ี 1 ให้นกั เรียนกาเคร่ืองหมาย  ลงในช่องวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปน้ีให้ตรงกบั ชนิดของ จานวนนน้ั ๆ ให้ถกู ตอ้ ง ข้อท่ี จานวนท่ีกาหนดให้ จานวนนบั จานวนเต็ม จานวนจริง จานวนอตรรกยะ จานวนเต็มลบ จานวนตรรกยะ 15 2 -9 30 4 12 3 5 0.3 8 62 77 8 1.121314151... 9 0.31357618 10 2 3

เอกสารเสรมิ บทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 เรื่องจานวนจรงิ หนา้ ที่ 3 2. พิจารณาว่าขอ้ ความต่อไปนี้ถกู หรอื ผิด ………….1) จานวนเต็มบางจานวนเปน็ จานวนนับ ………….2) 0 เปน็ จานวนอตรรกยะ ………….3) จานวนจริงบางจานวนเป็นจานวนอตรรกยะ ………….4) มจี านวนนับที่มคี ่านอ้ ยที่สดุ ………….5) มีจานวนเตม็ ทมี่ ีคา่ น้อยทีส่ ุด ………….6) ไมส่ ามารถหาจานวนตรรกยะทมี่ ากท่ีสุดทนี่ ้อยกวา่ 2 ………….7) 5 เป็นจานวนตรรกยะจานวนเดียวที่อยรู่ ะหว่าง 4 กับ 6 ………….8) 15 เป็นจานวนอตรรกยะท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 3 กับ 4 ………….9) 0.415628... เปน็ จานวนอตรรกยะ ………….10) 3 2 เปน็ จานวนเต็มลบ ………….10) จานวนนบั เป็นจานวนเตม็ ………….12) จานวนเต็มเป็นจานวนตรรกยะ ………….13) จานวนนับเป็นจานวนตรรกยะ ………….14) จานวนตรรกยะเปน็ จานวนจริง ………….15) จานวนอตรรกยะเป็นจานวนจริง ………….16) จานวนเตม็ เป็นจานวนอตรรกยะ ………….17) จานวนเต็มมี 3 พวกคือ จานวนเต็มบวก ศูนย์ จานวนเต็มลบ ………….18) จานวนตรรกยะมี 3 พวกคือ ตรรกยะบวก ศนู ย์ ลบ ………….19) จานวนอตรรกยะมี 3 พวกคอื อตรรกยะบวก ศูนย์ ลบ ………….20) จานวนจริงมี 3 พวกคือ จานวนจรงิ บวก ศูนย์ ลบ ………….21) เปน็ จานวนตรรกยะ ………….22) e เปน็ จานวนอตรรกยะ ………….23) จานวนตรรกยะบวกกบั จานวนตรรกยะ เป็นจานวนตรรกยะ ………….24) จานวนอตรรกยะคูณกับจานวนอตรรกยะ เป็นจานวนอตรรกยะ ………….25) จานวนเต็มลบบวกกับจานวนเตม็ ลบ เป็นจานวนเตม็ ลบ

เอกสารเสริมบทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 เรอื่ งจานวนจรงิ หน้าที่ 4 สมบตั กิ ารเท่ากนั ของจานวนจริง การเทา่ กันในระบบจานวนจรงิ เม่อื a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ 1. สมบัตกิ ารสะท้อน (reflexive property) a=a 2. สมบัติการสมมาตร (symmetric property) ถา้ a = b แล้ว b = a 3. สมบตั กิ ารถา่ ยทอด (transitive property) ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4. สมบัตกิ ารบวกด้วยจานวนที่เทา่ กัน ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c 5. สมบตั ิการคณู ด้วยจานวนทเ่ี ท่ากัน ถ้า a = b แลว้ ac = bc ; c 0 ใบงานท่ี 2 ให้นักเรียนบอกสมบตั กิ ารเท่ากนั ในระบบจานวนแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ให้ถูกตอ้ ง ขอ้ ที่ จานวน สมบัติของการเท่ากัน 1. 8 = 8 2. 9 = 9 3. 100 = 100 4. ถา้ 6 = 5 + 1 แล้ว 5 + 1 = 6 5. ถา้ 8 = 3 + 5 แลว้ 3 + 5 = 8 6. ถ้า 10 = 7 + 3 แลว้ 7 + 3 = 10 7. ถา้ 42 = 16 และ 16 = 7 + 9 แลว้ 42 = 7 + 9 8. ถา้ 52 = 25 และ 25 = 20 + 5 แล้ว 52 = 20 + 5

เอกสารเสริมบทเรยี นรายวชิ า ค 31201 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 1 เรื่องจานวนจริง หนา้ ที่ 5 ขอ้ ท่ี จานวน สมบตั ิของการเท่ากนั 9. ถา้ 72 = 49 และ 49 = 40 + 9 แลว้ 72 = 40 + 9 10. ถ้า 4  5 = 20 แล้ว (4  5) + 3 = 20 + 3 11. ถา้ (2  6) = 12 แล้ว (2  6) + 2 = 12 + 2 12. ถา้ 3  2 = 6 แลว้ (3  2) + 5 = 6 + 5 13. ถา้ (4  3) = 12 แล้ว (4  3)  5 = 12  5 14. ถา้ (5  2) = 10 แล้ว (5  2)  6 = 10  6 15. ถ้า 8 = 4 แลว้ 8  4 = 4  6 22 สรุป ถา้ ให้ a , b , c เปน็ จานวนใด ๆ แลว้ สมบตั ขิ องการเทา่ กันในระบบจานวนมดี ังน้ี ............................................................................................................................. ............................................... ................................................................................................................................................... ......................... ......................................................................................................... ................................................................... ............................................................................................................................. ............................................... ............................................................................................................................................ ................................ .................................................................................................. .......................................................................... ............................................................................................................................. ............................................... ............................................................................................................................. ............................................... ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ............................................... ............................................................................................................................. ............................................... ............................................................................................................................................................................

เอกสารเสรมิ บทเรยี นรายวชิ า ค 31201 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 1 เรอื่ งจานวนจริง หน้าท่ี 6 สมบตั ขิ องระบบจานวนจริง การบวกและการคณู จานวนจริง  สมบตั ิของระบบจานวนจริงเกย่ี วกับการบวก กาหนดให้ a , b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ 1) สมบัติปิด : a+ b เปน็ จานวนจรงิ 2) สมบัติการสลับท่ี : a+ b = b + a 3) สมบัตกิ ารเปล่ียนหมู่ : a+ (b + c) = (a+ b) + c 4) สมบัติการมเี อกลักษณก์ ารบวก มีจานวนจรงิ 0 ซงึ่ ทาให้ 0 + a = a+ 0 สาหรบั a ทุกตวั 5) สมบัตกิ ารมีอินเวอรส์ การบวก สาหรับ aแตล่ ะตัว จะมีจานวนจรงิ -a จานวนเดยี ว ซ่งึ ทาให้ a+ (-a) = 0 = (-a) + a  สมบัตเิ ก่ียวกบั การคณู ของจานวนจรงิ กาหนดให้ a , b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 1) สมบัติปดิ : a  b เปน็ จานวนจริง 2) สมบัติการสลับท่ี : a  b = b  a 3) สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่ : (a  b)  c = a  (b  c) 4) สมบัตกิ ารมีเอกลักษณก์ ารคูณ มีจานวนจรงิ 1 ซึง่ ทาให้ 1  a = a = a 1 สาหรับ a ทกุ ตวั 5) สมบัติการมีอินเวอรส์ การคูณ สาหรบั a แต่ละตวั จะมจี านวนจรงิ a 1จานวนเดียวซงึ่ ทาให้ a  a 1 = 1 = a 1 a 6) สมบัติการแจกแจงทางซ้าย : a(b + c) = ab + a c 7) สมบัตกิ ารแจกแจงทางขวา : (b + c) a = ba+ c a

เอกสารเสริมบทเรยี นรายวชิ า ค 31201 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 เร่อื งจานวนจริง หน้าที่ 7 จากสมบัติเกีย่ วกบั การบวกของจานวนจริง เม่ือ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ สมบัติการบวกและ การคณู ของจานวนจริง ( ) สรุปได้ดงั น้ี สมบตั ิ การบวก การคูณ สมบัตปิ ิด สมบตั กิ ารสลับท่ี 1. a b 6. ab สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์ 2. a b b a 7. ab = ba สมบตั กิ ารมตี ัวผกผัน 3. (a b) c a (b c) 8. (ab)c = a(bc) (อนิ เวอร์ส) 4. a + 0 = a = 0 + a 9. a 1 a 1 a สมบตั กิ ารแจกแจง เรียก 0 ว่าเอกลักษณ์การบวก เรยี ก 1 ว่าเอกลักษณก์ ารคูณ 5. a + (-a) = 0 = (-a) + a 10. ถ้า a 0 แล้ว เรียก -a วา่ ตัวผกผนั การบวก aa1 1 a1 a หรอื อนิ เวอร์สการบวกของ a เรยี ก a 1 ว่า ตวั ผกผันการคณู หรืออนิ เวอรส์ การคูณของ a 11. a( b + c) = ab + ac และ a( a + b )c = ac + bc ระบบจานวนจรงิ ยังมีสมบตั เิ ฉพาะของ โดยที่ 12. 0 และถา้ a เปน็ จานวนจริงที่ a 0 แลว้ a หรือ a อย่างใดอย่างหนึ่ง 13. ถา้ a,b แล้ว a b 14. ถ้า a,b แล้ว ab

เอกสารเสริมบทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 เรือ่ งจานวนจริง หนา้ ท่ี 8 ใบงานที่ 3 ใหน้ กั เรียนบอกสมบตั ิในระบบจานวนแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนใี้ หถ้ ูกตอ้ ง ข้อท่ี ข้อความ สมบัติ 1. ถา้ 2, 6  R แล้ว 2 + 6  R 2. 7 + 3 = 3 + 7 3. 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 4. มีจานวนจรงิ 0 ซึง่ 0 + 3 = 3 = 3 + 0 5. (-7) + 7 = 0 = 7 + (-7) 6. 6 × 3 = 3 × 6 7. 10 + (2 + 8) = (10 + 2) + 8 8. ถ้า 4, -3  R แลว้ 4 + (-3)  R 9. 0 + 8 = 8 = 8 + 0 10. (-15) + 15 = 0 = 15 + (-15) 11. ถ้า 5, 4  R แล้ว 5 × 4  R 12. 6 × (2 × 3) = (6 × 2) × 3 13. 1 × 23 = 23 = 23 × 1 14. ถา้ -4, 7  R แล้ว (-4) × 7 R 15. 10 × 4 = 4 × 10 สรุป ถ้าให้ a , b , c เปน็ จานวนใด ๆ แลว้ สมบตั ขิ องจานวนจรงิ เก่ียวกับการบวกและการคณู มดี ังนี้ สมบัติของจานวนจรงิ เกย่ี วกับการบวก สมบตั ขิ องจานวนจรงิ เกย่ี วกับการคณู 1........................................................................................... 1.............................................................................. 2........................................................................................... 2.............................................................................. 3........................................................................................... 3.............................................................................. 4........................................................................................... 4.............................................................................. 5........................................................................................... 5..............................................................................

เอกสารเสริมบทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1 เรื่องจานวนจริง หนา้ ที่ 9 จากสจั พจน์เชิงพีชคณิตของระบบจานวนจริงทก่ี ล่าวมาขา้ งตน้ ก็เพียงพอทจ่ี ะพิสูจนท์ ฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎบี ท 1 กฎการตัดออกสาหรบั การบวก ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ 1. ถา้ a + c = b + c แลว้ a = b 2. ถา้ a + b = a + c แล้ว b = c ทฤษฎีบท 2 กฎการตัดออกสาหรบั การคณู ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริง 1. ถ้า ac = bc และ c 0 แล้ว a = b 2. ถา้ ab = ac และ a 0 แล้ว b = c ทฤษฎีบท 3 ให้ a เป็นจานวนจริง จะได้ a 0 0 ทฤษฎบี ท 4 ให้ a เป็นจานวนจริง จะได้ ( 1)a a ทฤษฎบี ท 5 ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ จะได้ ab = 0 กต็ อ่ เม่ือ a = 0 หรอื b = 0 ทฤษฎีบท 6 ให้ a และ b เป็นจานวนจริง จะได้ว่า 1. a (-b) = -ab 2. (-a) b = -ab 3. (-a)(-b) = ab ทฤษฎบี ท 7 ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ จะไดว้ ่า 1. a(b - c)= ab - ac 2. (a – b)c = ac - bc ทฤษฎบี ท 8 ให้ a เปน็ จานวนจรงิ ถา้ a 0 แลว้ a 1 0

เอกสารเสรมิ บทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 1 เรื่องจานวนจรงิ หน้าท่ี 10 ทฤษฎบี ท 9 ให้ a, b , c และ d เปน็ จานวนจริง จะไดว้ ่า a 1. b a เม่ือ b 0 และ c 0 c bc เมื่อ b 0 และ c 0 2. a ac เมอ่ื b 0 และ d 0 b bc เมอ่ื b 0 และ d 0 3. a c ad bc เมอ่ื b 0 และ c 0 b d bd 4. a c ac b d bd 5. b1 c c b a ad เม่ือ b 0 , c 0 และ d 0 bc 6. b c d ในระบบจานวนจรงิ สามารถนยิ ามการลบและการหารระหว่างจานวนจรงิ โดยใชต้ ัวผกผนั การบวกและ ตวั ผกผนั การคณู ตามลาดับไดด้ ังนี้ บทนิยาม 1 ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ a ลบดว้ ย b เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ a – b โดยท่ี a – b = a + (-b) บทนิยาม 2 ให้ a และ b เป็นจานวนจริง โดยท่ี b ≠ 0 a หารดว้ ย b เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ a b โดยที่ a a b 1 b

เอกสารเสริมบทเรยี นรายวิชา ค 31201 คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 1 เร่อื งจานวนจริง หน้าท่ี 11 ใบงานที่ 4 ใหน้ ักเรียนเติมคาตอบลงในช่องวา่ งแตล่ ะข้อให้ถูกต้องสมบูรณ์ ขอ้ ท่ี จานวน เอกลักษณ์การบวก อินเวอรส์ การบวก เอกลักษณ์การคูณ อนิ เวอรส์ การคูณ 0. -5 0 5 1 1 5 1. 8 2. 5 3. 1 7 4. 2.9 5.  2 3 6. 1  3 7. 1  2 2 3 8. 3 9. 0.7 10. 2  7 3