Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore unit-3 final

unit-3 final

Published by jaykathrotiya33, 2020-11-03 15:24:59

Description: unit-3 final

Search

Read the Text Version

UNIT: 3: MODERN PHYSICS AND ELEMENTARYQUANTUM MECHANICS

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 1. Explain Compton’s effect and derive an expression for the change in wavelength between incident and scattered X-ray. OR Explain Compton’s effect and derive an expression of frequency ofthescattered X-ray. (GU 2017, 2016, 2013) Ans. “When monochromatic x-rays are scattered form target, part of the scattered x-rays has wavelength higher than that of incident x-ray. This phenomenon isknown as Compton’s effect.” ➢ A.H. Compton, in 1923 reported experimental results about scattering of x-ray from light elements. He assumed x-ray with wavelength λ and quanta of energy E =hv =ℎ������. ������ ➢ When x-ray hits stationary target electron. The electron recoils. Obviously, part of energy of x-ray transferred to target electron. Therefore, scattered x-ray has less energy (E’) than it had (E) before scattering. So, E’ (scattered) < E (incident) according to E =ℎ������ => ������ ������ ∝ 1⁄������ ∴ λ’ (scattered) > λ (incident) That is what Compton has concluded. Change in wavelength: Change in wavelength (∆λ) can be found from law of conservation of momentum and law of conservation of energy during the scattering phenomenon. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 47

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Let us take quanta of energy of photon of x-ray is hv₀, E =h₀ But E = mc² So, mc² = h₀ ∴ mc = ℎ������₀ ������ But 0 = ������ => mc = ℎ ������0 ������0 Here ℎ = p = momentum of photon ������0 ℎ ℎ 2������ ������0 = 2������ . ������0 = ℏ ������0 ������������ = ℏ������0 = ������ (1) Energy of incident photon in term ofis, ������������² = (������������) . ������ = ℏ������0������ (2) Where ℏ = ℎ and ������ = 2������ = wave vector of x-ray. 2������ ������������ Let p’ is momentum of scattered x-ray, ������′ = ℏ������ (3) Similarly, energy of scattered x-ray, ������′ = ������������² = ℏ������������ (4) Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 48

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Eq: (1), (2), (3) & (4) are momentum and energy of x-ray photon before scattering Momentum of electron before scattering is zero. ……. (5) Momentum of electron after scatteringis pe. ………(6) Energy of electron before scattering is m0c² ……..(7) Energy of electron after scattering is, ������������² = ������02������4 + ������������²������² ……… (8) According to law of conservation of energy, Energy before scattering = Energy after scattering ∴ ℏ������0������ + ������0������2 = ℏ������������ + ������������ { (2), (4), (7), (8)} ℏ������ (������������ − ������) = ������������ − ������0������2 ∴ ℏ2������2(������0 − ������)2 = ������������² − 2������0������²������������ + ������0²������⁴ ∴ ℏ2������2(������02 + ������2 − 2������0������) = ������������² − 2������0������²������������ + ������0²������⁴ ………(9) According to Law of conservation of momentum. Momentum(Before scattering)= momentum(After scattering) ℏ������0+ (0) = ℏ���⃗��� + ���⃗⃗���⃗⃗������{(1), (3), (5), (6)} ∴ ℏ(���⃗⃗���⃗⃗₀ − ���⃗���) = ���⃗⃗���⃗⃗������ ∴ ℏ²(|������₀|2 + |������|2 − 2|������₀| ∙ |������|) = |������������|² Substituting value of |pe|² from eq:(8) ∴ ℏ2(������02 + ������2 − 2������₀������������������������������) = 1 (������������2 − ������₀2������4) ������2 ∴ ℏ2������2(������₀2 + ������2 − 2������₀������������������������������) = ������������² − ������₀²������⁴ ……… (10) Subtracting eq: (9) from eq: (10) ∴ ℏ2������2(2������₀������ − 2������₀������������������������ ������) = 2������������������₀������2 − 2������₀²������⁴ Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 49

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 ∴ 2������₀������ℏ2������2(1 − ������������������ ������ ) = 2������₀������2(������������ − ������₀������2) ∴ ������₀������. ℏ2(1 − ������������������ ������ ) = ������₀(������������ − ������₀������2) Putting ������������ = ℏ������₀������ and ������₀������2 = ℏ������������ ������₀ ∴ 1 − ������������������ ������ = ℏ2������₀. ������ (ℏ������₀������ − ℏ������ ������) ℏ������ ������₀ 1 1 ∴ 1 − ������������������ ������ = ℏ2 (������ − ������0) 11 ℏ ∴ ������ − ������₀ = ������₀������ (1 − ������������������ ������) Now ������ = 2������ ; ������₀ = 2������ ������������������ ℏ = ℎ So ������ ������₀ 2������ ∴ ������ − ������₀ = 2ℎ������.2������ (1 − ������������������ ������) ������₀������ ∴ ������ − ������₀ = ������ (������ − ������������������ ������ ) ………. (11) ������₀������ Above equation is change in wavelength between incident and scattered x- ray. For the frequency equation, Putting, ������ = ������⁄������ and ������0 = ������⁄������0 ������ ������ ℎ ∴ ������ − ������0 = ������₀������ (1 − ������������������ ������ ) 11 ℎ ∴ ������ − ������0 = ������₀������2 (1 − ������������������ ������ ) 11 ℎ ∴ ������ = ������0 + ������₀������2 (1 − ������������������ ������ ) Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 50

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 ∴ ������ = 1 1 + ℎ (1 − ������������������ ������ ) ������0 ������₀������2 Multiplying (������0⁄������0) on the right side of the equation, ∴ ������ = ������ + ������������������ ������������ ������������������ ������ ) ������₀������������ (������ − 2. Explain Frank-Hertz experiment in detail. (GU 2017, 2016, 2014, 2013) Ans. Frank-hertz, In1914 experimentally measured critical potential of hydrogen gas. This experiment gave direct verification of presence of discrete energy level atomic spectra. ❖ Aim: →To measure the critical potential for a given gas. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 51

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 ❖ Experiment: The schematic of Frank-Hertz (F-H) experiment is shown in fig: (1). Thegas element is filled in chamber with appropriate pressure. Filament is heated with battery B₁, so it emits electrons, which accelerated with help of battery B₂. Here grid G is kept at positive potential with respect to the filament F. This arrangement controls the number of electrons that reach the plate P. Battery B supply finite voltage V between plate and grid. The electron which has high kinetic energy can reach to plate P. If eV> eV₀, then electron reach to plate and anode current is measured by current meter A. Here pressure of gas inside the tube maintained to such magnitude, so that molecule can go under frequent collision between G and P. F-H experiment gave I-Vcurve as shown in fig: (2). It is noted that maxima and minima are increasing in regular fashion. For H₂ gas, at 10.2 V, the current becomes minimum. It further increases and again at 12.09 V the current become minimum. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 52

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 It was concluded that at 10.2 V, electrons give-off all its kinetic energy to H₂ atoms, during inelastic collision and electron undergo the transition. Thus, minima of current in F-H experiment are corresponding discrete energy level of atomic spectra. ➢ Conclusions from F-H experiments (i) This experiment has supported the discrete nature of atomic spectra. (ii) Electron need supply of finite energy to get free from atom.i.e. for H2 gas, electron required 13.6 eV energy to get free from ground state. (iii) It supported plank’s idea about emission of energy in from of quanta, indiscrete fashion. (iv) It also justified the Einstein idea for an absorption of radiation in the form of quanta. 3. Obtainthe energy equation in case of (i) a particle in a box(GU 2014) (ii) simple harmonic oscillator (old quantum theory) (GU 2014) (iii) a rigid rotator Ans. (i) Energy of particle in a box Let the particle oscillating in a box, covers displacement from 0 to 2L insingle oscillation Acc to quantum mechanics, ∫ ������������ ������������������ = ������������ ℎ Where, ������������ = ������������ = ������������������������������������������������ ������������ ������ − ������������������������������������������������������ ������������ = ������ = ������������������������������������������������������������������������ ������������ = ������������������������������������������������������ ������������������������������������������ ������������������������������������andh = Plank’s constant Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 53

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Eq:(1) transform to, 2������ ������������ ∫ ������������ = ������ℎ 0 ∴ ������������ (2������) = ������ℎ ∴ ������������ = ������ℎ ……… (2) 2������ The K.E of particle is E=������������2 2������ ∴ E = (������ℎ)2• 1 {������������������������(2)} 2������ 2������ ∴ E = ( ������² ) ������² ………. (3) ������������²������ The phase diagram for the motion particle is as follow. (ii) Energy of simple Harmonic oscillator [S.H.O] Let the particle moves along straight path in x-direction about a fixed point. According to quantum mechanics ∫ ������������ ������������������ = ������������ ℎ Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 54

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Now, Pᵢ → Pₓ and dqᵢ → dₓ ∴ ∫ pₓ dₓ = nh …... (4) For S.H.O. ������ = ������ sin ������������ So, pₓ = mvₓ = m (������������ ������������������ ������������) …………. (5) and ������������ = ������������������������������������������ ������������ ……………… (6) Putting value from eq: (5) & (6) in eq: (4) ∴ ∫ mA²²������������������2������������ ������������ = ������ℎ Taking limit for period o → T of S.H.O. ∴ ������������²������² ������ ������������ ������(������������) = ������ℎ ������ ∫ ������������������2 0 ∴ mA²∫0������ 1+ ������������������(2������������) ������(������������) = ������ℎ 2 ∴ mA² (������) = nh {������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ������ℎ������ ������������������������������������ ������} Multiplying by ������⁄2 both sides, ∴½ m²A² = ½������ℎ������ ������ ∴ ½ m²A² = ������ℎ.(2������������) 2������ ∴ ½ m²A² = nhv ………. (7) But mechanical energy (E) of S.H.O. is. ∴E = ½ m²A² So, from eq: (7) ∴ ������ = ������������������ Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 55

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Above is the equation of energy of particle doing simple Harmonic oscillations. (iii) Energy of a rigid rotator “A system of two particles, with constant distance between them and rotating about an axis perpendicular to the line joining the particles is called rigid rotator.” The motion of a rigid rotator shown in above figure can be shown to be equivalent to the circular motion of a single particle of mass equal to reduced mass and radius of the circle equal Here, reduced mass, ������= ������₁������₂ ������₁+������₂ The moment of inertia about axis of rotation is. I= ������������² ………. (1) Kinetic energy of rotation. K = ½ I² = ½ ������������²������² …………. (2) Now, phase integral for rigid rotator, with uniform rotational motion, ∫02������ ������������ ������������ = nh …………… (3) Lθ= angular momentum = I. 2������ ∴ ∫ ������ ������������ = ������ℎ 0 Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 56

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 ∴ I∫02������ ������������ = 2������ (������) = ������ℎ ∴ I = ������ℎ 2������ Energy of rigid rotator, E = ������²⁄2������ = (������)²⁄2������ E = ������2ℎ²⁄4������² × 1⁄2������ ∴ ������������ = (������������⁄������������������������) ������������ , n = 1,2,3………. Above is energy of rigid rotator. 4. Explain De-Broglie hypothesis.(GU 2013) Ans. Louis de Broglie,in 1924-25 suggested in his hypothesis that tight (made classical picture) can sometimes behave like particles. Then it should be possible for matter to exhibit wave-like behavior under the suitable circumstances. He made up hypothesis that relation between the energy ‘E’ of a particle and the frequency ‘’ of associated wave is exactly the same as that between the energy of photon and the frequency of light radiation. E = h = ℏ …… (1) Where  = 2������ is the angular frequency. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 57

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 He noted down that according to theory of relativity, the energy E and momentumof a particle form the components of a sing four-vector, and so do the angular frequency w and the propagation vector ���⃗⃗⃗��� of a wave. Since the components of both the four-vectors have to transform in an identical manner, for a given change of reference frame, any proportionality relation like eq: (1) Between E and  must necessarily hold also between⃗���⃗⃗��� and ���⃗⃗⃗��� . It was concluded there after, that ���⃗⃗⃗��� = ℏ⃗���⃗⃗��� (2) In terms of the magnitudes of the vectors, this gives ���⃗⃗⃗��� = ℏ���⃗⃗⃗��� =ℎ⁄������ Or λ =ℎ⁄������ λ = ������⁄������ is known as ‘de Broglie wavelength’ De Broglie’s hypothesis attributing a dual particle-wave character to matter appears very strange at first sight, looks against common sense at microscopic level. But at atomic level, it defines fundamental nature of particle. PROBLEM(GU 2015) Calculate De-Broglie wavelength for a stationary electron accelerated by 250 volts of potential difference. Change of electron = 1.6 × ������������−������������ coulomb Mass of electron = ������. ������ × ������������−������������ ������������ Ans. Kinetic energy of electron = E = eV ∴ E = 1.6 × 10−19 × 250 J Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 58

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 = 400 × 10−19 ������ ∴ E = 4 × 10−17 ������ Now, ������ = ������2⁄2������ ⟹ ������2 = 2������������ ������ = √2������������ De-Broglie’s wavelength, λ = ℎ⁄������ 6.62 ������ 10−34 ∴ ������ = √2 ������ 9.1 ������ 10−31 ������ 4 ������ 10−17 6.62 ������ 10−34 = 8.53 ������ 10−24 λ = 0. 77608 X 10−10 m OR λ = 0.776 Å 5. Using the formula ������(������)������������ = ������������������²⁄������³ ������������, derive the formula for the energy density of the radiation with frequency ‘’ in the cavity of black body.(GU 2015) Ans. Here, the formula given is number of modes of oscillation in the cavity per unit volume is. ������(������)������������ = ������(������)������������ = 8������������² ������������ …… (1) ������³ ������³ Where, L³ = volume of the cavity Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 59

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Now to find average energy (������) we will use Boltzmann statistics. Here we have considered that radiation particles are doing oscillations, E = nh And, Number of modes of oscillation whose energy is nhv are, ( ������−������ℎ������/������������) Where k = Boltzmann’s constant T = Absolute temperature. Total energy of mode of oscillation corresponding one oscillator is, nh������−������ℎ������/������������ Total energy of all such oscillator in the cavity = ∑���∞���=0 ������ℎ������ ������−������ℎ������/������������…….(2) Average energy, Ē = ������������������������������ ������������������������������������⁄������������. ������������ ������������������������������������������������������������ Hence, Ē(v) = ∑∞������=0 ������ℎ������������−������ℎ������/������������⁄∑������������=0 ������−������ℎ������/������������ If we take, z =∑∞������=0 ������−������ℎ������/������������ =∑∞������=0 ������−������������ Where, ������ = ℎ������ ������������ = 1 1−������ −������ And so, ∑���∞���=0 ������ℎ������������−������ℎ������/������������ = h(− ������������ ) = ℎ������ ������ −������ (1−������−������)² ������������ So, average energy per oscillator can be seen as ℎ������ ������−������ Ē = (1−������−������)⁄² 1 1−������ −������ Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 60

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 = ℎ������ ������−������ × ������ ������ 1−������ −������ ������ ������ = ℎ������ ������ ������ −1 Putting ������ = ℎ������ ������������ So, Ē = ℎ������ ……. (3) ℎ������ ������ ������������ −1 Now, Energy density of radiation, u(v) dv = [ N(v) dv] Ē(v) ……… (4) Putting values from eq: (1) and (3) We get ������(������) = ������������������² . ������������ −������ ………. (5) ������³ ������������������/������������ Above equation is known as Plank’s formula for black body. NOTE (a) Rayleigh – Jeans formula: From the plank’s formula ������(������) = 8������������² . ℎ������ ������³ ������ ℎ������/������������−1 In the case of very low frequencies, so ℎ������<< 1. ������������ Hence, ������ℎ������/������������ = 1 + ℎ������ + ℎ ������² + ℎ ������³ +. . . . . . . . .. ������������ ������������ 2! ������������ 3! As <<, we neglect ² and higher order terms, So, putting ������ℎ������/������������ = 1 + ℎ������in plank’s formula, ������������ Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 61

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 u(v) = 8������������² × ℎ������ ������³ ℎ������/������������ ∴ u(v) = (������������������������) ������² OR u(v) ������������² ������³ Above equation is known as ‘Rayleigh–Jeans law’. It is applicable to law frequency. (b) Wien’s Low: For small wavelength, λ << So, frequency is high >> ⟹ ������ℎ������/������������ >> So, plank’s formula turns u(v) = 8������������² × ℎ������ ������³ ������ ℎ������/������������ u(v) = 8������ℎ������³ . ������−ℎ������/������������ ������³ putting  = ������ we get, ������ u(v) = ������������������������ −������������ ������⁵ ������������������������ Above equation is known as ‘Wien’s law’. (c) Displacement law: For maximum wavelength (λm) at a given temperature, we can write, ������������������⁄������������ = 0 Now, plank’s formula 8������������² ℎ������ 8������ℎ������ 1 ������(������) = ������³ ������ℎ������/������������ − 1 ⟹ ������(������) = ������⁵ × ������ℎ������/������������������ − 1 Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 62

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Differentiate eq. w.r.t. to wavelength λ, We can reduce equation to, λmax = ������������ ������������ ������.������������������ This is known as Wien “displacement law.” (d) Stefan-Boltzmann’s Law: We know, plank’s formula in ‘λ’ form. u(λ) =8������ℎ������ 1 ������ ℎ������/������������������ −1 ������⁵ Total energy density (U) can be obtained by taking integration of above equation from λ = 0 to λ = ������ i.e. ∞ ������ = ∫ ������(������) ������������ 0 ∞ ������−5 ������ = 8������������ℎ ∫ ������ℎ������/������������������ − 1 ������������ 0 The answer of above integration for black body, (������������)⁴ ������⁴ ������ = 8������ℎ������ (ℎ������)⁴ . 15 So, ������ = ������ ������⁵ (������������)⁴ or ������ ������ ������⁴ ������������ (������������)³ Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 63

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 6. Obtain the Schrödinger equation for a free particle in one dimension. (GU 2017,2016, 2014, 2013) From that, obtain Schrodinger equation for free particle in three dimensions. Ans. Consider one dimensional motion of a free particle having momentum P and energy E. Particle is free and so not subjected to only force. For non-relativistic free particle, total Energy. ������ = 1 ������������2 = ������² 2 2������ Momentum of particle and associated wavelength are related by, ������ = ℎ = ℏ������ …… (1) ������ Where ℏ = ℎ and ������ = 2������ 2������ ������ Energy of photon is related with angular frequency by, ������ = ℏ������ ……… (2) Now, harmonic wave representing such particle, is spared over region between x = -∞ to x= +∞ ������ = ������ ������������������(������������ − ������������) ……… (3) ������ = ������ ������������������(������������ − ������������) ………. (4) Wave function can be written as, ������ = ������ ������������������(������������ − ������������) + ������ ������������������(������������ − ������������) …………. (3) Let us eliminate A and B by double differentiation of eq: (3) w.r.t. x and t to obtain desired differential equation. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 64

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 P a g e | 65 First differentiating w.r.t. the x, ������������ ������������ = ������[−������������������������(������������ − ������������) + ������������������������(������������ − ������������)] ∴������������ = ������������…. (4) ������������ Where,������ = −������������������������(������������ − ������������) + ������������������������(������������ − ������������) Again differentiating w.r.t. the x ∴ ������²������ −������2[������������������������ ������ + ������ ������������������ ������] ������������² = Where ������ = ������������ − ������������ ������²������ = −������²������ ………… (5) ������������² And, ……… (6) Differentiating w.r.t. the t, ������������ ������������ = −������[−������������������������ ������ + ������������������������ ������] ∴ ������������ = −������������ ������������ Again differentiating w.r.t. the t, ∴ ������2������ −������2[������������������������ ������ + ������������������������ ������] ������������2 = ∴ ������²������ = −������²������ ……………. (7) ������������² Dividing eq:(6) by eq:(5) we get, Physics Department  L J Institute of Applied Sciences

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 ������������ ������ −������������������������ ������ + ������������������������ ������ ] ������2 [ ������������������������ ������ + ������������������������ ������ ���������⁄��� ������2������ = ������������ 2 We have to solve the bracket term to obtain desired equation, If −������������������������ ������ + ������������������������ ������ = ������[������������������������ ������ + ������������������������ ������ ] We compare the co-efficient, ∴ −������ = ������������ ������������������ ������ = ������������ ∴ ������ = ������ ������2 = −������2 − ������ ������ ������ = ± ������������ Here,������ = √−1 Taking ������ = ������������ we get, ������������ ������ −������������������������ ������ + ������������������������������ ������ ] ������2 [ ������������������������ ������ + ������������������������������ ������ ∴ ���������⁄��� ������2������ = ������������2 = ������������ [−������������������������ ������+������������������������������ ������ ] {∵ × ������} ������2 ������−������������������������ ������ ������������������������������ ������ ∴ ������������ = ������������ ������2 ���������⁄��� ������2������ ������������2 ������������ = ������������ ������2������ × ℏ² ∴ ������������ ������2 ������������2 ℏ² ∴ ������������ = (������ℏ)(ℏ������) ������2������ ������������ ℏ2������2 ������������2 ∴ ������������ = ������ℏ������ ������²������ {������������ = ℏℏ������������((������������������������:.12))} ������������ ������2 ������������² = ∴ ������������ = ������ℏ������² ������²������ {������ = ������² } ������������ (2������)������2 ������������² (2������) Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 66

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Multiplying (������ℏ) on both sides, ������������ −ℏ² ������²������ ∴ ������ℏ ������������ = (������������) ������������² This is Schrodinger equation. for a free particle in one dimension. ➢ Schrodinger equation of a free particle in three dimensions ������(������, ������) = ������ ������������������[������(������������ − ������������)] Three-dimensional harmonic wave function can be represented as, ������(������, ������) = ������ ������������������[������(���⃗��������� − ������������)] In order to obtain desired equation, we differentiate above function oncew.r.t t and twice w.r.t. x,y,z we get, Similar to that in one dimension, ������������ −ℏ² ������²������ ������²������ ������²������ ������ℏ ������������ = (2������) [������������² + ������������² + ������������² ] Now,������²������ + ������²������ + ������²������ Is replaced by the Laplacian operator,������2������ ������������² ������������² ������������² ������������ −ℏ² ∴ ������ℏ ������������ = ������������ ������²������ This is Schrodinger equation for a free particle in three dimensions. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 67

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 7. Explain operator correspondence and using it, derive the Schrodinger equation for particle subjected to force. (GU 2015, 2013) Ans. Considering Schrodinger equation of free particle in three dimensions, we can see that operator on left side is (iℏ ������ ) and operator on right side ������������ is ( ℏ² ������²),which operates on ������(������, ������) (2������) Now, ������ = ������² ……..(1) (2������) If we put following differential operator for energy E, ������ → ������ℏ ������ ………….(2) ������������ And putting following differential operator for momentum ������ of a free particle, ������ → −������ℏ������ ������2 → (−������ℏ������) ∙ (−������ℏ������) → −ℏ2∇2 ∴ ������² → −ℏ² ������² ………….(3) (2������) (2������) ������������: (1), (2)������������������ (3) ������������������������������������������ ������ℎ������������, ������ −ℏ² ������ℏ ������������ → (2������) ������² If the operates on ������ then, ������ℏ ������������(������,������) = −ℏ² ������²������(������, ������) ……………(4) ������������ (2������) That is Schrodinger equation , So, we can say that equation of quantum physics can obtain by mechanical variables of classical mechanics, using appropriate operators. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 68

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Now, we postulate to establish Schrodinger Equation for a particle subjected to force. We note that the operator correspondence is valid for the case of particle subjected to force.Forthat, let us consider the case where total force������=(������) acting on particle is, ������=������������(������,t) Where ������(������,t)=potential energy of particle ∴ total mechanical energy, E=kinetic energy + potential energy ∴E=������²⁄(2������) + ������(������,t) Now ,using ������ → −������ℏ������, ������ → ������ℏ ������ ������������ ∴ ������ℏ ������ = −ℏ² ������² + ������(������, ������) ………..(5) ������������ (2������) Operating both the sides of eq:(5) by ������(������, ������) ∴ ������ℏ ������������(���⃗���,������) = −ℏ² ������²������ + ������(���⃗���, ������) ������(���⃗���, ������) ……….(6) ������������ (������������) Above equation is three-dimensional Schrodinger equation for a particle subjected to force {i.e. moving in a potential} Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 69

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 8. What is normalized and non-normalized wave function? How to donormalization of non-normalized wave function? OR Explain Box normalization.(GU 2017, 2016, 2015) Ans. Assume that ������’(������, ������) is a solution of Schrodinger equation for which value of integral N² is, Where, N²=∫ |������’(������, ������)|²d3r N²is a finite positive number ,here N is called “norm” “The wave function having unit Norm, is called Normalized Wave function.” Now, let us consider a free particle having momentum ������=ℏ������,the corresponding wave finction ������(������, ������) = Aexp[i (���⃗⃗⃗��� • ������ − ������������) The norm of this function, N²= ∫������*(������, ������) • ������(������, ������) ������³������ = |������|² ∫ ������−������ (���⃗⃗⃗��� •������−������������) • ������������ (���⃗⃗⃗��� •������−������������)������³������ = |������|² • ∞ ∴ N² =∞ ∴ N =∞ Hence,the normalization of function is not possible such wave function iscalled “Non- normalizable” wave function. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 70

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Box Normalization:- To do normalization of non-normalizable wave-function,assume the wave function within a large cuboid box having volume L and the integral for normalization is taken over the volume of this box. Then,the normalized wave function is used in the necessary calculation and ������ → ∞ is finally used in the results of the calculations.this method is called “box normalization”. Let us do normalization of the wave function ������(������) = ������������ (���⃗⃗⃗��� •������) On the volume of box ∫������* (������) • ������(������)������3������ = ∫ ������−������(���⃗⃗⃗��� •������) • ������������ (⃗���⃗⃗��� •������)������³������ =∫−+2���������2��� ������������ ∫+���2��� ������������ ∫+���2��� ������������ {������³������ = ������������������������������������ } −2������ −���2��� ∫ |������|²������³������ = ������3 1 ∴ ������³ ∫ |������|²������³������ = 1 ∴ ∫ 1 ������*(������) 1 ������(������)������³������ = 1 ������3⁄2 ������3⁄2 Or ������−3⁄2������(������) i.e. ������−3⁄2������������ (⃗���⃗⃗��� •������)is a box normalized wave function. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 71

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 9. Explain conservation of probability and show that Schrodinger equation satisfies the conservation of probability.(GU 2014) Ans. Itis known that the value of probability of finding a particle in the entire space, ∫ |������|² ������³������is unity. This statement is for time independent condition as long as the particle is not destroyed or decayed. Therefore, the total probability is conserved. i.e. |������|² must be time independent. ∫|������|² ������³������ = 1 ,is time independent Therefore, ������ ∫ |������|² ������³������ = 0 ……….(1) ������������ ∴ ������ ∫|������|² ������³������ = ������ ∫ ������* ������������³������ ������������ ������������ =∫ (������∗ ������������ + ������������∗ ������) ������³������ ……(2) ������������ ������������ Now ,Schrodinger equation for a particle subjected to force-filed. ������ℏ ������������ = −ℏ² ������²������ + ������(������, ������) ������ ……….(3) ������������ (2������) ∴ ������������ =( ������ℏ)-1 [ −ℏ² ������²������ + ������ ������]………(4) ������������ (2������) Taking complex conjugate, ������������∗ = (− ������ℏ)-1 [ −ℏ² ������²������∗ + ������ ������∗] ������������ (2������) ∴ ������������∗ = ( ������ℏ)-1 [ ℏ² ������²������∗ − ������ ������∗] ………(5) ������������ (2������) Using eq.(4) &(5) in eq.(2) ∴ ������ ∫|������|² ������³������ =∫ {������ ∗ ( ������ℏ)¯1 [ −ℏ2 ������2������ + ������ ������] ������ + ������������ (2������) ( ������ℏ)¯1 [ ℏ² ������²������∗ − ������ ������∗] ������} ������³������ (2������) Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 72

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 ∴ ������ ∫|������|² ������3 ������ = −( ������ℏ)¯1 ℏ² ∫ [������∗������²������ − ������������²������∗]������³������ ������������ (2������) = −1 ℏ² ∫ [������∗������²������ − ������������²������∗]������³������ ������ℏ (2������) = ������ℏ ∫ [������∗������²������ − ������������²������∗]������³������ 2������ ∴ ������ ∫|������|² ������³������ = ������ℏ ∫ [������ ∙ {������∗������²������ − ������������²������∗}]������³������ ……(6) ������������ 2������ ∵ {������(∅������) = ∅(������ • ������) + ������ • (������∅)} Here ∅=scalar field=������∗ And ������ = ������������������������������������ ������������������������������ =������∗ ∴ ������ • (������∗������������)= ������∗(������ • ������������) + ������������ •(������������∗) Similarly, ������ • (������������������∗)= ������(������ • ������������∗) + ������������∗ •(������������) So, ������ • (������∗������������ − ������������������∗) = ������∗(������ • ������������) - ������(������ • ������������∗) ∴ ������ • (������∗������������ − ������������������∗) =������∗������²������ − ������������²������∗ Here In above question left hand side dot product of ‘������’ with vector, so its divergence. And hence,R.H.S of eq:(6) shows the volume integral of divergence of a vector, which resembles gauss theorem. i.e. volume integral of divergence of vector is equal to the surface integral over closed surface integral over closed surface enclosing that volume. We define the vector ���⃗⃗��� (������, ������) as follows ���⃗⃗��� (������, ������) = ������ℏ [������∗������������ − ������������������∗]…………..(7) (2������) Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 73

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 And |������|² =P(������, ������) ≅ probability density So,eq:(6) now written as, ������ ∫ ������(������, ������) ������³������ = − ∫ ������������������⃗⃗���⃗��� (������, ������) ������³������ ……..(8) ������������ Using Gauss’ theorem, ������ ∫ ������(������, ������) ������³������ = − ∫ ⃗⃗���⃗��� ∙ ���⃗��� ������������ ……..(9) ������������ Where, ������������ is surface element and ���⃗���is the unit vector normal to the surface element. The magnitude of ������ and������∗ are zero at infinite distance, hence the value of ⃗⃗���⃗��� will also be zero. Therefore, the surface integral on R.H.S of eq:(9) vanishes. Hence, ������ ∫|������|² ������³������ = 0 ……..(10) ������������ Hence, we derived eq:(10) using Schrodinger equation satisfies the conservation of the probability. and hence we can say that normalization is time independent. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 74

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Q. What is Compton effect ? Ans. “when monochromatic X-rays are scattered from target, part of the scattered X-ray has wavelength higher than that of incident X-ray. This phenomenon is known as Compton effect” Q. 0.5 MeV photon is Compton scattered through an angle 600 what is energy of scattered photon? Ans. E0 =ℎ������ ⇒ ������0 =ℎ������ =60.6.52××11006−×314.×6×3×101−01+48 ������₀ ������₀ ������0 =103..886××110−0−1326 ������0 =24.825 × 10−13 m Now,= 0 + ℎ������ (1-cos������) ������₀������ = (24.825 × 10−13 ) + 6.62×10−34 (1-cos60) 9.1×10−31×3×108 = (24.825 × 10−13 ) + (6.62)(0.5)×10−34 27.3×10−231 {(1 − cos60) = (1 − 0.5) = 0.5} = (24.825 × 10−13 ) + (0.12125 × 10−11) ������ = (24.825 + 12.125) × 10−13 ������ =36.95 × 10−13 m Energy of scattered photon, E= ℎ������ =6.623×61.905−×3140×−31×3108 J ������ E = 0.5375 × 10−13 J OR E=0.336 MeV Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 75

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Q. Calculate de-Broglie wavelength of a bullet of mass 40 gm moving with speed of 360 Km/hr. Ans. ������=ℎ = ℎ = 6.62×10−34 ������������ 40×10−3×100 ������ {∵ 40 ������������ = 40 × 10−3������������ ������������������360 ������������⁄ℎ������ = 360 × 1000 ������⁄������} 3600 ������=6620 × 10−37 4 =1655× 10−37 ������ De-Broglie wavelength, ������=1.655× ������������−������������ ������ Q. Write the equation for Rayleigh-jeans law Ans. u(v) ∝ ������² OR u(v) =(8������������������) ������² ������³ Is known as Rayleigh-jeans law. Q. Determine the orbit of the electron in hydrogen for n=2 from the Sommerfield model. Ans. n=2, ∴ ������ = 1,2 For n=2,k=1 ������ = ������ a=2b a=4������₀ ,b=2������₀ ������ ������ Orbit of ‘H’ electron “elliptical”. Also, a=n²������₀ 2 For n=2,k=2 ������ = ������ a=b ������ ������ ∴ orbit is “circular”. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 76

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 Q. Define Rigid-rotator. Ans. “A system of two particles with constant distance between them and rotating about an axis perpendicular to the line joining the particles is called rigid rotator.” Q. Write Bohr’s correspondence principle. Ans. “For large orbits and for large energies,quantum calculations must agree with classical calculations.” It is known as Bohr’s correspondence principle. Q. Write the Schrödinger’s equation in three dimensions. Ans.Three-dimensional Schrodinger’s equation for a particle subjected to force is. ������ℏ ������������(������,������) = −ℏ² ������²������(������, ������) + ������(������, ������) ������(������, ������) ������������ (2������) Q. What is normalized wave function ? what is normalization ? Ans. “If the norm of the wave function is not unity, then it can be normalized by multiplying by 1 .this process is called normalization.” ������ Q. Write expression for plank’s formula. Ans. ������(������) = 8������������² • ℎ������ ������³ ℎ������ ������ ������������ −1 Q. Write expression for Stefan-Boltzmann law. Ans. U= 8 • ������5������4 ������4OR u ∝ ������4 15 ������³ ℎ³ Q. Give the formula and value of structure constant . Ans. ������=2������������²OR������= 8 is called structure constant. ℎ������ 137 Q. Calculate De-Broglie’s wavelength of thermal neutron at 300k. h= 6.62 × 10−34 J • S Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 77

B.Sc. Semester III Paper: 201 Unit: 3 K =Boltzmann const = 1.38 × 10−23 ������ ������ m=mass of neutron = 1.67 × 10−27 kg Ans. thermal energy,E=3 ������������ 2 And kinetic energy, E= ������² 2������ Now p=√2������������ = √2������ × 3 ������������ = √3������������������ 2 De-Broglie Wavelength , ������ =ℎ = ℎ ������ √3������������������ ∴ ������= 6.62 × 10−34 √3×1.67 × 10−27×1.38 × 10−23×300 = 6.62 × 10−34 −50 45.54×10 2 = 0.1454 × 10−9 ∴ ������= 1.454 × ������������−������������ m OR 1.454 Å Q. Give a physical interpretation of a wave function. Ans. The wave function, at a particular time, contain all information about the particle. Though the wave function is not measurable, the square of the value of wave function (|������(������, ������)|2) gives the probability density. Q. Write an equation of linear momentum. Ans. Linear momentum is defined as ������ = ������������ ������. Physics Department  L J Institute of Applied Sciences P a g e | 78


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook