อ.พจนีย์ มาสุข ความน่าจะเป็น ฉบับสมบูรณ์

บทท่ี 4 ความนา่ จะเปน็ 95 14 ที่ร้านขายขนมหวานแหง่ หน่งึ ความนา่ จะเปน็ ที่นายเอจะซ้ือข้าวเหนยี วมะมว่ งเปน็ 8 ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะ 15 23 ซ้อื กลว้ ยบวชชเี ปน็ 3 ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะซ้อื ขนมหวานอยา่ งมากหนง่ึ อยา่ งเปน็ 5 แลว้ จงหาความนา่ จะเปน็ ที่นายเอจะซ้ือขนมหวานอย่างนอ้ ยหน่งึ อยา่ ง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 15 อาคารหลังหน่งึ มลี ิฟต์อยูส่ องตัว ความนา่ จะเปน็ ท่ีลิฟต์ตัวที่หน่งึ จะรออยู่ช้ันล่างเปน็ 3 ความนา่ จะเปน็ ที่ 10 13 ลฟิ ตต์ ัวทส่ี องจะรออยชู่ น้ั ลา่ งเปน็ 5 และความนา่ จะเปน็ ท่ลี ฟิ ตท์ ้งั สองตวั จะรออยูพ่ รอ้ มกนั ทชี่ น้ั ลา่ งเปน็ 50 แล้ว จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะมลี ิฟต์เพียงตัวเดียวรออยู่ท่ีช้ันล่าง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

96 ความนา่ จะเปน็ ลบั สมองประลองปัญญา PAT1 ก.พ. 2563 1 บริษัทแหง่ หน่งึ มพี นกั งาน 20 คน เปน็ ผชู้ าย 10 คน ฝา่ ยบริหารมผี ชู้ าย 3 คน ฝา่ ยผลิตมี 8 คน และฝา่ ยขาย มี 7 คน โดยท่ีฝา่ ยผลิตและฝา่ ยขายมจี �ำนวนผหู้ ญิงเท่ากัน ถ้าส่มุ พนกั งานมา 4 คน ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ พนกั งานฝา่ ยผลิตผชู้ ายจ�ำนวน 3 คนและพนกั งานฝา่ ยขายผหู้ ญงิ 1 คนเท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 วิชาสามญั คณติ 1 ม.ี ค. 63 2 ก�ำหนดให้ S = {1, 2, 3, …, 9, 10} ถ้าสมุ่ หยบิ สมาชิก 5 ตัวพรอ้ มกันจาก S แล้ว ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้เลข 8 เปน็ จ�ำนวนท่ีมคี ่ามากเปน็ อันดับท่ี 2 ของสมาชิก 5 ตัวน้นั เท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 วิชาสามญั คณติ 2 ม.ี ค. 63 3 อายุของพนกั งานในบรษิ ัทแหง่ หน่งึ มกี ารแจกแจงความถี่ดังน้ี อายุ (ป)ี จ�ำนวนพนกั งาน (คน) 20 - 29 42 30 - 39 96 40 - 49 38 50 - 59 40 60 ปขี ้นึ ไป 4 ถ้าสมุ่ พนกั งานมา 1 คน แล้วความนา่ จะเปน็ ที่พนกั งานคนนี้ จะมอี ายุนอ้ ยกว่า 60 ปี เท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 4 ความนา่ จะเปน็ 97 9 วิชาสามญั คณติ 2 ม.ี ค. 63 4 ก�ำหนดให้ A = {1 , 2 , 3}, B = {4, 5, 6, 7}, S = {(a, b) | a Î A และ b Î B} ถ้า (a, b) เปน็ สมาชิกหน่งึ ตัวของ S ท่ีได้จากการสุ่ม แล้วความนา่ จะเปน็ ที่ b = 2a เท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... PAT1 ม.ี ค. 2564 5 บตั รสแี ดงจ�ำนวน 5 ใบ ได้แก่ บตั รหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 และบตั รสนี ้ำ� เงินจ�ำนวน 7 ใบ ได้แก่ บัตรหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 เอมสุ่มเลือกบัตรสองใบจากบตั รสแี ดงหน่งึ ใบและบัตรสนี ้ำ� เงินหน่งึ ใบ เพ่อื นำ� มาสร้างเปน็ จ�ำนวนที่มสี องหลัก ความนา่ จะเปน็ ท่ีเอมจะได้จ�ำนวนที่มสี องหลักเปน็ จ�ำนวนคู่เท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... PAT1 ม.ี ค. 2564 6 โรงเรยี นแหง่ หน่งึ สำ� รวจความชอบของนกั เรียนท่ีเข้าร่วมกิจกรรมค่าย ซ่ึงประกอบด้วยฐานวิทยาศาสตร์และ ฐานคณติ ศาสตร์ พบว่า มนี กั เรยี นรอ้ ยละ 9 ไมช่ อบกิจกรรมท้ังสองฐาน มนี กั เรยี นร้อยละ 61 ชอบกิจกรรมฐานวิทยาศาสตร์ มนี กั เรียนรอ้ ยละ 35 ชอบกิจกรรมท้ังสองฐาน ถา้ สมุ่ นกั เรยี นทเี่ ขา้ รว่ มกจิ กรรมคา่ ยนม้ี า 1 คน แลว้ ความนา่ จะเปน็ ทนี่ กั เรยี นคนนช้ี อบกจิ กรรมฐานคณติ ศาสตร์ เท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

98 ความนา่ จะเปน็ บรรณานุกรม เจริญ ภภู ัทรพงศ์ และศรลี ัดดา ภภู ัทรพงศ.์ (มปป.). คู่มอื และเทคนคิ คิดลัดโจทย์ คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 6 ค 016, ค 046. กรุงเทพฯ: สำ� นกั พมิ พ์ Science Center. สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2562). หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ช้ัน มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 ตามผลการเรยี นรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตาม หลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: สำ� นกั พมิ พจ์ ฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั . ทม่ี าของภาพ หนา้ 1 https://www.freepik.com หนา้ 2 (บน) https://commons.wikimedia.org (ล่าง) https://commons.wikimedia.org หนา้ 17 https://www.freepik.com หนา้ 63 https://pixabay.com หนา้ 73 https://www.freepik.com

เฉลยแบบฝกึ หดั 99 เฉลยแบบฝกึ หดั บทท่ี 1 กฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนับ แบบฝกึ หดั ท่ี 1 (หนา้ 13) (2) 6 วิธี 1. 240 วิธี 2. 4,536 วิธี (2) 2,240 จ�ำนวน 3. (1) 27 วิธ ี (4) 952 จ�ำนวน 4. 120 วิธี (2) 216 วิธี 5. (1) 2,296 จ�ำนวน (3) 1,792 จ�ำนวน (2) 12 วิธี 6. (1) 729 วิธ ี (3) 120 วิธี 7. 2,600,000 รหสั 8. (1) 16 วิธ ี (3) 6 วิธี 9. 12 วิธี เฉลยแนวคิด 3. (1) นกตัวที่ 1 เลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ 3 วิธี นกตัวท่ี 2 เลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ 3 วิธี นกตัวที่ 3 เลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ 3 วิธี โดยหลักการคูณ จะได้ว่า จ�ำนวนวิธที ่ีนกจะเลือกเกาะกิ่งไมอ้ ยา่ งไมม่ เี ง่ือนไขเท่ากับ 3´3´3 = 9 วิธี (2) นกตัวที่ 1 เลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ 3 วิธี นกตัวที่ 2 เลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ 2 วิธี นกตัวที่ 3 เลือกเกาะกิ่งไมไ้ ด้ 1 วิธี โดยหลักการคณู จะได้ว่า จ�ำนวนวิธที ่ีนกจะเลือกเกาะกิ่งไมไ้ มซ่ ้ำ� กันเท่ากับ 3´2´1 = 6 วิธี 7. 26 10 10 10 10 10 a-z 0-9 0-9 0-9 0-9 0-9 เน่อื งจาก ตัวอักษรภาษาอังกฤษมี 26 ตัว (a - z) และเลขโดดมี 10 ตัว (0 - 9) ดังน้นั พจมานจะต้ังรหสั ผา่ นได้ท้ังหมด 26´10´10´10´10´10 = 2,600,000 รหสั

100 ความนา่ จะเปน็ บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ แบบฝกึ หดั ท่ี 2.1 (หนา้ 20) (2) 5 1. (1) 720 (4) 60 (3) 9 (6) 48 (5) 720 (8) 60 (7) 42 (2) n = 4 2. (1) n = 8 (4) n = 3 (3) n = 8 3. 56 (2) 4,320 วิธี แบบฝกึ หดั ท่ี 2.2 (ก) (หนา้ 24) (4) 1,440 วิธี 1. 144 วิธี 2. 1,152 วิธี (2) 432 วิธี 3. (1) 40,320 วิธ ี (3) 14,400 วิธ ี 4. 20,736 วิธี 5. 72 วิธี 6. 3,840 วิธี 7. 10,800 วิธี 8. 48 วิธี 9. 72 วิธี 10. 576 วิธี 11. 1,440 วิธี 12. 480 วิธี 13. 1,200 วิธี 14. (1) 288 วิธ ี เฉลยแนวคิด 9. วิธกี ารจัดแบง่ ได้ 3 กรณี กรณที ่ี 1 ค1ค2ค3 อ1อ2 ท1ท2 หนงั สอื คณติ ศาสตรอ์ ยู่มดั ซา้ ยและหนงั สือภาษาอังกฤษอยู่มดั กลาง อ1อ2 กรณนี จ้ี ะจัดได้ 3!2!2! = 24 วิธี อ1อ2 หนงั สอื คณติ ศาสตร์อยู่มดั ซ้ายและหนงั สือภาษาอังกฤษอยูม่ ดั ขวา กรณีที่ 2 ค1ค2ค3 ท1ท2 กรณีนจี้ ะจัดได้ 3!2!2! = 24 วิธี หนงั สอื คณติ ศาสตร์อยูม่ ดั กลางและหนงั สือภาษาอังกฤษอยูม่ ดั ขวา กรณีนจี้ ะจัดได้ 2!3!2! = 24 วิธี กรณีที่ 3 ท1ท2 ค1ค2ค3 โดยหลักการบวก จะได้ว่า จ�ำนวนวิธจี ัดเรียงหนงั สอื โดยใหห้ นงั สือวิชาเดียวกันอยู่ติดกัน และหนงั สือคณิตศาสตร์ อยู่ทางซา้ ยมอื ของหนงั สือภาษาอังกฤษอยู่เสมอเท่ากับ 24 + 24 + 24 = 72 วิธี

แบบฝกึ หดั ที่ 2.2 (ข) (หนา้ 30) เฉลยแบบฝกึ หดั 101 1. 720 วิธี 2. 360 วิธี (2) 6 วิธี 3. 150 จ�ำนวน (2) 112 วิธี 4. 60 จ�ำนวน (2) 160 วิธี 5. 72 วิธี 6. 15 วิธี (2) 240 วิธี 7. 35 วิธี (4) 1,200 วิธี 8. (1) 1,260 วิธ ี (2) 80,640 วิธี (3) 980 วิธี (4) 40,320 วิธี 9. (1) 98 วิธ ี 10. (1) 50 วิธ ี 11. 560 วิธี 12. 75,600 วิธี 13. 10,080 วิธี 14. 240 วิธี 15. (1) 3,360 วิธ ี (3) 360 วิธ ี แบบฝกึ หดั ที่ 2.2 (ค) (หนา้ 40) 1. (1) 362,880 วิธ ี (3) 282,240 วิธ ี 2. 144 วิธี 3. 72 วิธี 4. 480 วิธี 5. 4 วิธี 6. 12,000 วิธี 7. 144 วิธี 8. 192 วิธี 9. 96 วิธี 10. 5 วิธี 11. 140 วิธี 12. 4 วิธี 13. 2 วิธี 14. 2 วิธี

102 ความนา่ จะเปน็ แบบฝกึ หดั ท่ี 2.3 (หนา้ 50) (2) 72 วิธี 1. 525 วิธี (4) 12 วิธี 2. (1) 81 วิธ ี (3) 16 วิธ ี (2) 210 วิธี (5) 24 วิธี 3. (1) 164 วิธ ี (2) C13,4 + C13,4 + C13,4 + C13,4 = 2,860 วิธี (3) 60 วิธี (4) C4,2´C48,2 = 6,768 วิธี 4. (1) C52,4 = 270,725 วิธ ี (6) C1,1´C1,1´C48,2 = 1,128 วิธี (3) C4,2´C4,2 = 36 วิธ ี (5) C4,2´C48,2 + C4,3´C48,1 + C4,4 = 6,961 วิธ ี (2) 35 วิธี 5. 156 วิธี 6. (1) 126 วิธ ี (2) 10 วิธี (3) 91 วิธี (4) 14 วิธี 7. (1) 10 วิธ ี (3) 6 วิธ ี 8. 21 วิธี 9. 116 วิธี 10. 99 รูป 11. 54 เสน้ 12. 1,344 วิธี 13. 20 วิธี 14. 9 วิธี 15. 62 จุด เฉลยแนวคิด 10. กรณีที่ 1 เลือก 3 จุดจากท้ังหมด 7 จุด เพ่ือสร้างรูปสามเหลี่ยมได้ C7,3 = 35 รูป กรณีที่ 2 เลือก 4 จุดจากท้ังหมด 7 จุด เพ่อื สรา้ งรูปสี่เหลี่ยมได้ C7,4 = 35 รูป กรณีที่ 3 เลือก 5 จุดจากท้ังหมด 7 จุด เพ่อื สรา้ งรูปหา้ เหล่ียมได้ C7,5 = 21 รูป กรณที ี่ 4 เลือก 6 จุดจากท้ังหมด 7 จุด เพ่ือสร้างรูปหกเหลี่ยมได้ C7,6 = 7 รูป กรณที ี่ 5 เลือก 7 จุดจากท้ังหมด 7 จุด เพ่ือสร้างรูปเจ็ดเหล่ียมได้ C7,7 = 1 รูป โดยหลักการบวก จะได้ว่า จ�ำนวนรูปเหลี่ยมท่ีสรา้ งได้มที ้ังหมด 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 99 รูป แบบฝกึ หดั ที่ 2.4 (หนา้ 59) 1. 10! = 12,600 วิธ ี 2. 20! = 488,864,376 วิธี 4!3!2!1! (5!)4 4! 3. 31 วิธ ี 4. 25 วิธี 12! 17! 5. (4!)3 3! ´ 3! = 34,650 วิธ ี 6. 2!4!4!7!2! = 30,630,600 วิธี 7. 20 วิธ ี 8. 56 วิธี

เฉลยแบบฝกึ หดั 103 บทท่ี 3 ทฤษฎีบททวินาม แบบฝกึ หดั ท่ี 3 (หนา้ 69) 1. (1) x4 - 8x3y + 24x2y2 - 32xy3 + 16y4 (2) 64x6 192x5 240x4 160x3 60x2 12x + 1 +y + y2 + y3 + y4 + y5 y6 2. 3,360x6y4 3. 210 4. 252 5. -262,440 6. 80x6 7. 1,215 16 8. (1) 28 (2) 90,720 (3) 48,384 (4) 256 9. (1) 16,128 (2) 90,720x-8 10. (1) 0.96059601 (2) 161,051 11. 152 12. 58 2 13. -1 เฉลยแนวคิด 10. (1) (0.99)4= (1- 0.01)4 = 14 +  4  (1)3 ( -0.01) +  4  (1)2 ( -0.01)2 +  4  (1) ( -0.01)3 + ( -0.01)4  1   2   3        =1+ 4(-0.01) + 6(0.0001) + 4(-0.0000001) + 0.00000001 =1- 0.04 + 0.0006 - 0.000004 + 0.00000001 = 0.96059601 (2) (11=)5 (10 + 1)5 =105 +  51  (10)4 (1) +  5 (10)3 (1)2 +  5  (10 )2 (1)3 +  5  (10) (1)4 + 15     3   4    2      = 100,000 + 5(10,000) + 10(1,000) + 10(100) + 5(10) + 1 = 100,000 + 50,000 + 10,000 + 1,000 + 50 + 1 = 161,051 13. ให้ Ti เปน็ พจนท์ ี่ i ของการกระจาย  1 + 3 i 4 เม่อื i Î {1, 2, 3, 4, 5}  2 2  1 3  4  1 3 4 จะเหน็ ว่า  2 - 2   2 2 i + + i  = 2(T1 + T3 + T5)  1 4 1  4  1 2  3  2 1 3 18  3  4 9 2 16  2  2   2  4 4 - 16  2  16 เน่อื งจาก T1 =   = , T3 =    i = (6)  -  = และ T5 = i =       ดังน้นั 1 3 i 4 +  1 + 3 i 4 = 2 1 +  - 18  + 9  = 2  - 8  = -1  2 - 2   2 2  16  16  16   16  

104 ความนา่ จะเปน็ บทท่ี 4 ความน่าจะเป็น แบบฝกึ หดั ที่ 4.1 (หนา้ 80) 17 1. 20 2. 1 4 3 3. 64 4. (1) 2 (2) 3 35 7 1 1 5 5. (1) 6 (2) 6 (3) 12 (4) 2 (5) 1 9 12 5 6. 9 7. 1 4 2 8. 5 9. 1 5 2 10. 9 11. 4 35 4 12. 5 13. (1) 1 (2) 21 (3) 79 4 40 120 2 4 23 14. (1) 35 (2) 21 (3) 35 15. (1) 2 (2) 64 (3) 1 41 729 21 3 1 3 16. (1) 10 (2) 2 (3) 20 17. 137 228 6 18. 11 19. 1 60 19 20. 42 21. (1) 8 (2) 12 (3) 1 15 125 15 4 22. 35 23. (1) 1 (2) 1 (3) 5 14 28 14

เฉลยแบบฝกึ หดั 105 แบบฝกึ หดั ที่ 4.2 (หนา้ 90) 1. (1) 3 (2) 1 4 4 1 5 (3) 3 (4) 6 2. 7 10 2 3. 3 4. 9 10 19 13 41 5. (1) 60 (2) 60 (3) 60 6. (1) 5 (2) 3 8 4 3 7. 8 8. 0.32 9. (1) 9 (2) 1 50 4 9 10. 35 11. 0.6 12. 0.4 13. 0.3 14. 4 5 19 15. 50

ประวัติผจู้ ัดท�ำ ช่ือ-นามสกลุ นางพจนยี ์ มาสุข (POTCHANEE MASUK) ประวัติการศกึ ษา พ.ศ. 2544 ระดับปริญญาตรี การศกึ ษาบณั ฑิต (กศ.บ.) สาขาวิทยาศาสตร์-คณิตศาสตร์ คณะศกึ ษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา พ.ศ. 2551 ระดับปริญญาโท ครุศาสตรมหาบณั ฑิต (คม.) สาขาวิจัยทางการศกึ ษา คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ประวัติการท�ำงาน พ.ศ. 2544 – 2546 ครูสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันประถมศกึ ษาปที ี่ 5 – 6 โรงเรียนวุฒิวิทยา จังหวัดชลบุรี พ.ศ. 2546 – 2560 อาจารยส์ อนวิชาคณติ ศาสตรร์ ะดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย โรงเรียนสาธติ “พิบูลบ�ำเพ็ญ” มหาวิทยาลัยบูรพา พ.ศ. 2560 – 2561 ผชู้ ว่ ยผอู้ �ำนวยการฝา่ ยวิชาการ โรงเรยี นสาธติ “พบิ ูลบ�ำเพญ็ ” มหาวิทยาลัยบูรพา พ.ศ. 2561 – 2562 รองผอู้ �ำนวยการฝา่ ยวิชาการ โรงเรยี นสาธติ “พบิ ูลบำ� เพ็ญ” มหาวิทยาลัยบูรพา พ.ศ. 2562 – ปจั จุบนั อาจารย์สอนวิชาคณิตศาสตร์ ระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 โรงเรียนสาธติ “พิบูลบำ� เพญ็ ” มหาวิทยาลัยบูรพา