อ.พจนีย์ มาสุข ความน่าจะเป็น ฉบับสมบูรณ์

บทท่ี 2 วิธเี รียงสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 45 3 วิธจี ัดหมู่ (Combination) วิธจี ดั หมู่ คือการนำ� สงิ่ ของมาจดั ใหเ้ ปน็ กลมุ่ หรอื เปน็ หมู่ โดยไมส่ นใจลำ� ดบั ของสงิ่ ของ ไมค่ ำ� นงึ วา่ จะไดส้ งิ่ ของ ใดออกมาก่อนหรอื หลัง เช่น มตี ัวอักษร 3 ตัว คือ a, b, c ถ้าต้องการเลือกตัวอักษร 2 ตัว จาก 3 ตัวโดยไมค่ �ำนงึ ถึงล�ำดับ ก่อนหลังของการเลือก จะเลือกได้ 3 วิธี คือ ab, ac และ bc โดยตัวอย่างท่ีมกั จะพบว่าใชว้ ิธกี ารจัดหมู่ เช่น การเลือกหยบิ สิง่ ของ การหยิบไพ่ การสร้างเสน้ ตรงจากจุด การหาจ�ำนวนคร้งั ของการจับมอื ทักทาย เปน็ ต้น จะเหน็ ว่า มลี ักษณะของการเลือกหยิบสิง่ ของน้นั ๆ ให้ Cn,r แทนจำ� นวนวิธจี ดั หมขู่ องสงิ่ ของ n สงิ่ ท่ีแตกต่างกนั โดยเลอื กคราวละ r สงิ่ (0 < r < n) ในแตล่ ะวิธจี ดั หมขู่ องสงิ่ ของ r สง่ิ เม่อื นำ� มาจดั เรยี งในแนวเสน้ ตรง จะไดว้ ิธเี รยี งสบั เปลยี่ น r! วธิ ี ดงั นน้ั จำ� นวนวิธเี รยี งสบั เปลย่ี นของสงิ่ ของทีละ r สง่ิ จากสง่ิ ของ n สงิ่ ทีแ่ ตกต่างกนั เท่ากบั r!×Cn,r เน่อื งจาก Pn,r คอื จำ� นวนวิธเี รยี งสบั เปลยี่ นของสงิ่ ของทีละ r สงิ่ จากสง่ิ ของ n สงิ่ ที่แตกต่างกนั ดังนน้ั Pn,r = r!×Cn,r Pn,r n! เพราะฉะนน้ั Cn,r = r! = (n – r)!r! ทฤษฎบี ท 5 ก�ำหนด n และ r เปน็ จ�ำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยที่ r < n ให้ Cn,r แทนจ�ำนวนวิธจี ัดหมขู่ องสิ่งของ r ส่งิ จากสิ่งของท่ีแตกต่างกันท้ังหมด n สงิ่ จะได้ว่า Cn,r = Pn,r = (n n! r! – r)!r! หมายเหต ุ เราอาจใชส้ ญั ลกั ษณ์ n แทน Cn,r น่ารู้  r  1. Cn,0 = n = 1 2. Cn,1 = n =n  0   1  3. Cn,n = n = 1 4. n + n + n + ... + n = 2n  n   0   1   2   n  เทคนคิ 5. n + n + n + ... + n = 2n  1   2   3   n  การหาจำ� นวนวธิ จี ากโจทยเ์ กยี่ วกับการจดั หมู่ 1. การหยิบสิง่ ของ r สิ่ง จาก n สง่ิ โดยท่ี n  r  (1) หยบิ พร้อมกันทีเดียวท้ัง r สิง่ ท�ำได้ วิธี เช่น หยิบของพรอ้ มกัน 3 ช้นิ จากของท้ังหมด 5 ช้ิน จะท�ำได้ 5 วิธี  3 (2) หยิบคร้ังละ 1 สง่ิ เปน็ จ�ำนวน r คร้งั โดยหยบิ แล้วใส่คืนก่อนหยิบคร้ังต่อไป จะท�ำได้ n  n  ...  n  วิธี  1   1   1      r พจน์ เชน่ หยบิ ของ 3 ช้นิ จากของท้ังหมด 5 ชิน้ โดยหยิบทีละชนิ้ แล้วใส่คืนก่อนหยบิ คร้ังต่อไป จะท�ำได้ 555 วิธี  1  1  1 (3) หยิบคร้ังละ 1 สิง่ เปน็ จ�ำนวน r คร้งั โดยหยบิ แล้วไมใ่ ส่คืนก่อนหยิบคร้ังต่อไป จะท�ำได้  n   n -1  n-2  ... n- r  วิธี  1   1   1  1  เช่น หยบิ ของ 3 ชิ้นจากของท้ังหมด 5 ช้ิน โดยหยบิ ทีละช้นิ แล้วไมใ่ ส่คืนก่อนหยิบคร้ังต่อไป จะท�ำได้ 543 วิธี  1  1  1

46 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 29 มคี น 5 คน เลือกมา 2 คน เพ่อื เปน็ ตัวแทนเขา้ ร่วมการประชุม จะมวี ิธกี ารเลือกท่ีแตกต่างกันได้ก่ีวิธี วิธที �ำ สมมติว่าคน 5 คน คือ A, B, C, D และ E เลือกมา 2 คน จะได้ AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE และ DE จะได้ 10 วิธี น่นั คือ 5! 3!2! จ�ำนวนวิธเี ลือกคน 2 คนจากท้ังหมด 5 คน ท�ำได้ C5,2 = = 10 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 30 ข้อสอบคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติมมี 9 ข้อ นกั เรียนจะมวี ิธเี ลือกท�ำได้กี่วิธี โดยที่ 1. เลือกท�ำ 7 ขอ้ วิธที �ำ 2. เลือกท�ำ 7 ข้อ และทุกคนต้องท�ำ 3 ข้อแรกเสมอ 1. ข้อท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9          มี 9 ข้อ เลือกท�ำ 7 ข้อ 9! จ�ำนวนวิธเี ลือกท�ำขอ้ สอบ 7 ขอ้ จากท้ังหมด 9 ขอ้ ท�ำได้ C9,7 = 2!7! = 36 วิธี 2. ข้อที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9     ท�ำทุกข้อ มี 6 ข้อ เลือกท�ำ 4 ขอ้ ข้นั ตอนที่หน่งึ ทกุ คนท�ำ 3 ข้อแรก จะท�ำได้ 1 วิธี และเหลือข้อสอบใหเ้ ลือก 9 – 3 = 6 ข้อ 6! ข้นั ตอนที่สอง เลือกท�ำข้อสอบอีก 4 ขอ้ จาก 6 ข้อที่เหลือ จะท�ำได้ C6,4 = 2!4! = 15 วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธเี ลือกท�ำขอ้ สอบ 7 ข้อ และท�ำ 3 ข้อแรกเสมอเท่ากับ 1×15 = 15 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 31 ต้องการเลือกนกั เรยี นหญงิ 3 คน จากนกั เรยี นกล่มุ หน่งึ ซ่งึ มี 5 คน แล้วนำ� มายืนเรยี งแถว จะท�ำได้ก่ี วิธี วิธที �ำ เน่อื งจาก การท�ำงานนม้ี ี 2 ข้นั ตอนต่อเน่อื งกัน คือ 5! 2!3! ข้นั ตอนที่หน่งึ เลือกนกั เรียนหญงิ 3 คนจากกล่มุ นกั เรยี นท่ีมี 5 คน ท�ำได้ C5,3 = = 10 วิธี ข้ันตอนที่สอง นำ� นกั เรยี นหญิงท้ัง 3 คน มายนื เรียงแถว ท�ำได้ 3! = 6 วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธจี ัดเรยี งนกั เรยี นหญงิ เท่ากับ C5,3×3! = 60 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 32 มกี ระถางต้นไม้ 10 ใบต่างกัน ถ้าเลือกกระถางมา 7 ใบ แล้วนำ� มาวางรอบโคนเสาธงเปน็ วงกลม จะ ท�ำได้ก่ีวิธี วิธที �ำ เน่อื งจาก การท�ำงานนม้ี ี 2 ข้ันตอนต่อเน่อื งกัน คือ 10! 3!7! ข้นั ตอนที่หน่งึ เลอื กกระถางต้นไม้ 7 ใบจากกระถางตน้ ไมท้ ้งั หมด 10 ใบ ทำ� ได้ C10,7 = = 120 วิธี ข้นั ตอนท่ีสองนำ� กระถางต้นไมท้ ้ัง 7 ใบที่เลือก มาเรียงเปน็ วงกลม ท�ำได้ (7 – 1)! = 6! = 720 วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธจี ัดเรยี งกระถางต้นไมเ้ ท่ากับ C10,7×6! = 86,400 วิธี

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 47 ตัวอยา่ งท่ี 33 ในกล่องใบหน่งึ มลี ูกบอลที่ต่างกัน 12 ลูก เปน็ สีแดง 5 ลกู สขี าว 4 ลกู สเี หลือง 3 ลกู หยบิ ลกู บอล อย่างสุ่มมา 3 ลกู จะหยิบได้ก่ีวิธี ถ้า นา่ รู้ 1. หยบิ ได้ลกู บอลสใี ดก็ได้ 2. หยบิ ได้สแี ดงท้ัง 3 ลกู หยบิ ออกมา 3 ลกู พรอ้ มกัน 3. หยบิ ได้สีแดง 2 ลกู และสขี าว 1 ลกู 4. หยบิ ได้สลี ะ 1 ลกู 5. หยบิ แล้วไมไ่ ด้สแี ดงเลย 6. หยบิ แล้วได้ท้ัง 3 ลกู เปน็ สีเดียวกัน 7. หยิบได้สแี ดงอยา่ งนอ้ ย 2 ลกู หลักการท�ำโจทยแ์ บบนค้ี ือ ต้องการของชนดิ ใดใหเ้ ลือกจาก กลุ่มชนดิ น้นั และเลือกมาตามจ�ำนวนที่โจทย์ต้องการ วิธที �ำ 1. หยิบลกู บอล 3 ลูก จากท้ังหมด 12 ลกู ท�ำได้ C12,3 = 220 วิธี 2. หยิบลกู บอลสแี ดง 3 ลูก จากท้ังหมด 5 ลูก ท�ำได้ C5,3 = 10 วิธี 3. หยบิ ลกู บอลสแี ดง 2 ลูก จากท้ังหมด 5 ลกู ท�ำได้ C5,2 วิธี และหยบิ ลูกบอลสขี าว 1 ลูก จากท้ังหมด 4 ลกู ท�ำได้ C4,1 วิธี ดังน้นั หยบิ ลกู บอล 3 ลูก ได้สีแดง 2 ลูก และสีขาว 1 ลกู ท�ำได้ C5,2×C4,1 = 10×4 = 40 วิธี 4. หยบิ ลูกบอลสแี ดง 1 ลูก จากท้ังหมด 5 ลูก ท�ำได้ C5,1 วิธี หยิบลกู บอลสขี าว 1 ลูก จากท้ังหมด 4 ลกู ท�ำได้ C4,1 วิธี หยิบลกู บอลสเี หลือง 1 ลูก จากท้ังหมด 3 ลูก ท�ำได้ C3,1 วิธี ดังน้นั หยิบลกู บอล 3 ลูก ได้สีละ 1 ลูก ท�ำได้ C5,1×C4,1×C3,1 = 5×4×3 = 60 วิธี 5. นำ� ลกู บอลสแี ดงออกจากลูกบอลท้ังหมด จะเหลือลูกบอลที่ไมใ่ ช่สีแดงใหห้ ยิบ 12 – 5 = 7 ลูก ดังน้นั หยบิ ลูกบอล 3 ลูก ไมไ่ ด้สแี ดงเลย ท�ำได้ C7,3 = 35 วิธี 6. หยิบลกู บอลแล้วได้ท้ัง 3 ลกู เปน็ สีเดียวกัน เกิดได้ 3 กรณคี ือ เปน็ สแี ดงท้ัง 3 ลกู หรอื เปน็ สขี าว ท้ัง 3 ลกู หรือ เปน็ สเี หลืองท้ัง 3 ลกู หยิบลกู บอลสีแดง 3 ลูก จากท้ังหมด 5 ลูก ท�ำได้ C5,3 วิธี หยิบลูกบอลสขี าว 3 ลกู จากท้ังหมด 4 ลูก ท�ำได้ C4,3 วิธี หยิบลูกบอลสีเหลือง 3 ลกู จากท้ังหมด 3 ลกู ท�ำได้ C3,3 วิธี ดังน้นั หยิบลูกบอล 3 ลกู ได้สเี ดียวกัน ท�ำได้ C5,3 + C4,3 + C3,3 = 10 + 4 + 1 = 15 วิธี 7. หยบิ ลกู บอลสแี ดงได้อยา่ งนอ้ ย 2 ลูก เกิดได้ 2 กรณคี ือ ได้สีแดง 2 ลูก สอี ่ืน ๆ อีก 1 ลกู หรอื ได้สี แดงท้ัง 3 ลกู จากข้อ 2 จะได้ว่า หยบิ ลูกบอลได้สแี ดงท้ัง 3 ลูก ท�ำได้ 10 วิธี หยบิ ลกู บอลสแี ดง 2 ลูก จากท้ังหมด 5 ลกู และหยิบลูกบอลสีอ่ืน ๆ 1 ลกู จากท่ีเหลือ 7 ลูก ท�ำได้ C5,2×C7,1= 10×7 = 70 วิธี ดังน้นั หยิบลูกบอล 3 ลูก ได้สแี ดงอย่างนอ้ ย 2 ลกู ท�ำได้ 10 + 70 = 80 วิธี

48 ความนา่ จะเปน็ เทคนคิ การหาจ�ำนวนวิธจี ากโจทยเ์ กยี่ วกบั การจดั หมู่ 2. สร้างเส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงจากจุด n จุด ซ่งึ ไมม่ จี ุด 3 จุดใด ๆ อยูใ่ นแนวเส้นตรงเดียวกันได้ n เส้น  2  ตัวอยา่ งท่ี 34 มจี ุด 10 จุด บนระนาบ โดยไมม่ ี 3 จุดใด ๆ อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกัน ถ้าลากเสน้ ต่อจุดเหล่านี้ จะลากได้ ท้ังหมดก่ีเสน้ วิธที �ำ ในการสร้างเส้นตรง จะต้องเลือกจุดมาคร้ังละ 2 จุด น่นั คือ เม่อื มจี ุดท้ังหมด 10 จุด เลือกจุดมา 2 จุด เพ่ือสรา้ งเสน้ ตรง จะได้ท้ังหมด 10  = 10! = 45 เส้น  2  8!2! ตัวอยา่ งท่ี 35 คน 10 คน ทักทายด้วยการจับมอื กันทกุ คน จะได้ท้ังหมดก่ีคร้ัง วิธที �ำ การจับค่คู นเพ่อื มาจับมอื จะต้องเลือกคนมา 2 คนจากท้ังหมด 10 คน ดังน้นั คนท้ัง 10 คนทักทายด้วยการจับมอื ทุกคน จะได้ท้ังหมด 10  = 10! = 45 คร้ัง  2  8!2! ตัวอยา่ งท่ี 36 ในการแข่งขันฟุตบอลประเพณขี องโรงเรยี นเลิศวิทย์พิทยานสุ รณ์ มที ีมเข้าร่วมการแขง่ ขนั 7 ทีม จัด แข่งแบบพบกันหมด จะต้องจัดการแขง่ ขนั ท้ังหมดก่ีนดั วิธที �ำ การจับค่ทู ีมฟตุ บอลมาแข่งขันแบบพบกันหมด จะต้องเลือกมา 2 ทีมจากท้ังหมด 7 ทีม ดังน้นั จับค่แู ข่งขนั ฟตุ บอลได้ท้ังหมด 7 = 7! = 21 นดั  2 2!5! เทคนคิ การหาจ�ำนวนวธิ จี ากโจทยเ์ ก่ยี วกับการจดั หมู่ 3. การสรา้ งรูป n เหล่ียม จากจุดบนระนาบ m จุด (โดยไมม่ ี 3 จุดใด ๆ อยู่ในแนวเสน้ ตรงเดียวกัน) จะท�ำได้ m รูป  n  4. การหาจ�ำนวนเสน้ ทแยงมมุ ของรูป n เหล่ียม จะได้  n  - n เสน้  2  ตัวอยา่ งท่ี 37 มจี ุด 10 จุด บนระนาบ โดยไมม่ ี 3 จุดใด ๆ อยูบ่ นเสน้ ตรงเดียวกัน ถ้าจุดท้ัง 10 จุดเปน็ จุดยอดของรูป สามเหลี่ยมใด ๆ จะลากเส้นต่อจุดเปน็ รูปสามเหล่ียมได้กี่รูป วิธที �ำ การสร้างรูปสามเหลี่ยม 1 รูป จะต้องเลือกใช้จุดคร้ังละ 3 จุด เสมอ ดังน้นั เลือกจุด 3 จุดจากท้ังหมด 10 จุดมาสรา้ งเปน็ รูปสามเหล่ียมได้ 10  = 10! = 120 รูป  3  7!3!

บทที่ 2 วิธเี รยี งสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 49 ตัวอยา่ งท่ี 38 รูปสิบเอ็ดเหล่ียมมเี ส้นทแยงมมุ กี่เสน้ วิธที �ำ สมมติใหม้ จี ุด 11 จุดบนระนาบซ่งึ ไมม่ ี 3 จุดใด ๆ อยูใ่ นแนวเส้นตรงเดียวกัน เราสามารถสรา้ งสว่ นของเส้นตรงเช่ือมจุด 2 จุดใด ๆ จากท้ัง 11 จุดได้ 11 เส้น  2  และในบรรดา 11 เส้นน้นั จะมอี ยู่ 11 เส้นที่เปน็ ด้านหรือเสน้ รอบรูปของรูปสบิ เอ็ดเหลี่ยม  2  และที่เหลือจะเปน็ เส้นทแยงมมุ 11  2  ดังน้นั จ�ำนวนเสน้ ทแยงมมุ ของรูปสบิ เอ็ดเหลี่ยมเท่ากับ – 11 = 55 – 11 = 44 เส้น เทคนคิ การหาจำ� นวนวิธจี ากโจทยเ์ กี่ยวกับการจดั หมู่ 5. เสน้ ขนานแนวนอน n เสน้ ตัดกับเส้นขนานแนวดิ่ง m เส้น จะเกิดรูปสเ่ี หล่ียมด้านขนาน nm รูป  2   2  ตัวอยา่ งท่ี 39 เสน้ ขนานแนวนอน 5 เสน้ ตัดกับเสน้ ขนานแนวดิ่ง 4 เสน้ เกิดรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานกี่รูป วิธที �ำ รูปส่เี หลี่ยมด้านขนาน 1 รูป จะเกิดข้ึนได้เม่อื ใชเ้ สน้ ขนานแนวนอน 2 เสน้ ตัดกับเส้นขนานแนวดิ่ง 2 เสน้ น่นั คือ เม่อื มเี ส้นขนานแนวนอน 5 เสน้ เลือกมาใช้คราวละ 2 เสน้ และเสน้ ขนานแนวดิ่ง 4 เส้น เลือกมาใช้คราวละ 2 เสน้ เพ่อื ตัดกันเกิดรูปสี่เหล่ียมด้านขนานได้ 54 = 10×6 = 60 รูป  2 2  ตัวอยา่ งท่ี 40 มเี สน้ ตรง 8 เส้นท่ีไมอ่ ยู่ในแนวเดียวกัน และวงกลม 4 วง จงหาจ�ำนวนจุดตัดระหว่างเส้นตรงกับ วงกลม วิธที �ำ โดยปกติ เสน้ ตรง 1 เสน้ กับวงกลม 1 วง จะตัดกันเกิดจุดตัด 2 จุด มเี สน้ ตรง 8 เส้น จะเลือกมา 1 เส้น และมวี งกลม 4 รูป จะเลือกมา 1 รูป เพ่ือใหเ้ กิดจุดตัด 2 จุด ซ่งึ สามารถท�ำได้ 2  8   4  = 2×8×4 = 64 วิธี 1   1  ดังน้นั จ�ำนวนจุดตัดระหว่างเสน้ ตรงกับวงกลมเท่ากับ 64 จุด น่ารู้ กรณโี จทยก์ �ำหนดหาจุดตัดเม่อื ก�ำหนดเสน้ ตรง n เส้น และวงกลม m วง จะแยกพจิ ารณา 3 กรณี แล้วนำ� จ�ำนวนแต่ละกรณี มาบวกกัน ดังน้ี n 2 1. เน่อื งจากเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ ตัดกันได้ 1 จุด ดังน้นั จ�ำนวนจุดตัดของเส้นตรงท้ัง n เส้น เท่ากับ 1×   วิธี   m 2. เน่อื งจากวงกลม 2 วงใด ๆ ตัดกันได้ 2 จุด ดังน้นั จ�ำนวนจุดตัดของวงกลมท้ัง m วง เท่ากับ 2×  2  วิธี   3. เน่อื งจากเสน้ ตรง 1 เส้น กับวงกลม 1 วงใด ๆ ตัดกันได้ 2 จุด ดังน้นั จ�ำนวนจุดตัดของเส้นตรง n เส้นกับวงกลม m วง เท่ากับ 2×  n  ×  m  วิธี  1   1 

50 ความนา่ จะเปน็ แบบฝกึ หัดท่ี 2.3 วิธีจดั หมู่ 1 นกั เรียนหอ้ งหน่งึ มผี ชู้ าย 7 คน หญงิ 6 คน ถ้าเลือกมา 5 คน ใหเ้ ปน็ ผชู้ าย 3 คน และผหู้ ญงิ 2 คน จะมวี ิธเี ลือก ได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ในกล่องใบหน่งึ มลี กู บอลสแี ดง 4 ลกู สีขาว 3 ลกู และสีเหลือง 2 ลกู หยบิ ลกู บอล 2 ลูก โดยหยิบทีละหน่งึ ลูก จะหยิบได้ก่ีวิธี ถ้า (1) ลกู บอลท้ัง 2 ลูกเปน็ สีใดก็ได้ โดยหยิบแล้วต้องใส่คืนกล่อง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ลกู บอลท้ัง 2 ลูกเปน็ สีใดก็ได้ โดยหยิบแล้วไมต่ ้องใส่คืนกล่อง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ลูกบอลท้ัง 2 ลูกเปน็ สแี ดง โดยหยบิ แล้วต้องใสค่ ืนกล่อง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) ลูกบอลท้ัง 2 ลูกเปน็ สีแดง โดยหยบิ แล้วไมต่ ้องใส่คืนกล่อง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (5) หยิบได้ลูกบอลสีแดงและสขี าวอย่างละ 1 ลกู ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รียงสบั เปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 51 3 กล่องใบหน่งึ มลี กู บอลสขี าว 4 ลกู สีแดง 5 ลูก และสนี ้ำ� เงิน 3 ลกู ถ้าหยบิ ลูกบอลมา 3 ลกู จากกล่องใบนี้ จงหา จ�ำนวนวิธที ่ีจะได้ (1) สขี าวอยา่ งนอ้ ย 1 ลูก ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) สีแดงอยา่ งมาก 2 ลกู ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) สีขาว 1 ลกู สแี ดง 1 ลูก และสีน้ำ� เงิน 1 ลูก ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 ไพ่สำ� รบั หน่งึ มี 52 ใบ หยบิ ไพข่ ้ึนมา 4 ใบ จะหยบิ ได้กี่วิธี ถ้า ข้อตกลงเกย่ี วกบั ไพ่ 1. แต้มไพ่มี 13 แต้ม แต้มละ 4 ใบ คือ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (1) ไมม่ เี ง่ือนไขใด ๆ 9, 10, J, Q และ K ..........................................................................................................2... ...ด..อ..ก..(.ห...น..า้ ..ไ.พ..่)..ม..ี.4...ด..อ..ก...ด..อ..ก..ล..ะ..1..3...ใ.บ...ค..ือ...ด..อ..ก..จ..ิก...(.♣..).. ...............................................................................................................ข..้า.ว..ห..ล..า..ม..ต..ัด...(.♦..).โ..พ..แ..ด..ง...(.♥..)..แ.ล..ะ..โ..พ..ด..�ำ..(..♠.).................. (2) เปน็ ไพด่ อกเดียวกันท้ัง 4 ใบ 3. สไี พ่ มี 2 สี สลี ะ 26 ใบ คือ สีแดง และสีด�ำ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ได้ไพแ่ ต้ม A 2 ใบ และ ไพแ่ ต้ม Q 2 ใบ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) ได้ไพแ่ ต้ม K 2 ใบ และ ไพ่อ่ืน ๆ อีก 2 ใบ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (5) ได้ไพ่แต้ม A อย่างนอ้ ย 2 ใบ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (6) ได้ไพ่แต้ม 2 ดอกจิก และแต้ม Q โพด�ำอยูด่ ้วยเสมอ ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

52 ความนา่ จะเปน็ 5 กล่อง 2 ใบ ใบแรกมลี กู แก้วที่ต่างกัน 9 ลูก เปน็ สขี าว 4 ลกู สีแดง 5 ลกู กล่องใบท่ีสองมลี กู แก้วต่างกัน 5 ลกู เปน็ สีขาว 3 ลกู สีแดง 2 ลูก หยบิ ลกู แก้วข้นึ มา 4 ลกู โดยหยบิ กล่องละ 2 ลูกพรอ้ มกัน จงหาจ�ำนวนวิธที ี่จะได้ ลกู แก้วสีขาว 2 ลกู และสีแดง 2 ลกู ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 ในการเลือกคณะกรรมการจ�ำนวน 5 คน จากผสู้ มคั ร 9 คน โดยมี A และ B สมคั รด้วย จงหาจ�ำนวนวิธที ่ี (1) เลือกมาโดยไมม่ เี ง่ือนไข ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) A และ B ถูกเลือกมาพรอ้ มกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) A และ B จะไมถ่ ูกเลือกมาพร้อมกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 ให้ A = {1, 2, 3, 4, a, b} สบั เซตของ A ที่มี 4 สมาชิก จะมที ้ังหมดก่ีสับเซต ถ้า (1) มี a เปน็ สมาชิกเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) มี b เปน็ สมาชิกเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) มี a และ b เปน็ สมาชกิ เสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) มี a หรือ b เปน็ สมาชกิ เสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสบั เปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 53 8 ขอ้ สอบมี 8 ขอ้ ผเู้ ขา้ สอบเลือกท�ำ 6 ข้อ โดยบงั คับว่าทุกคนต้องท�ำขอ้ ท่ี 1 เสมอ และเลือกท�ำขอ้ อ่ืนอีก 5 ข้อ จงหาว่าผเู้ ข้าสอบคนหน่งึ ๆ จะเลือกท�ำขอ้ สอบได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 ขอ้ สอบชุดหน่งึ มี 10 ข้อ นกั เรยี นทุกคนต้องท�ำ 7 ขอ้ โดย 4 ขอ้ แรกต้องเลือกท�ำอยา่ งนอ้ ย 2 ขอ้ นกั เรยี นจะมี วิธเี ลือกท�ำใหค้ รบ 7 ข้อได้ต่าง ๆ กันก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 10 บนเสน้ รอบวงกลมวงหน่งึ มี 7 จุด จะสร้างรูปเหล่ียมบรรจุในวงกลม โดยอาศยั จุดเหล่าน้นั ได้กี่รูป ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 11 รูปสิบสองเหลี่ยม มเี สน้ ทแยงมมุ กี่เสน้ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

54 ความนา่ จะเปน็ 12 เลือกคน 5 คน จากคนท้ังหมด 8 คน แล้วนำ� มาน่งั เปน็ วงกลมรอบเสาธง จะจัดได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 13 บอ่ ปลาแหง่ หน่งึ เปน็ วงกลม อนญุ าตใหเ้ ข้าตกปลาได้คร้ังละ 3 คน โดยใหน้ ่งั ตกปลารอบบ่อ ถ้ามนี กั ตกปลา มากันท้ังหมด 5 คน จะจัดใหเ้ ข้าไปน่งั ตกปลาได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 14 มหี นงั สอื ทแี่ ตกต่างกนั 5 เลม่ คือหนงั สอื ก หนงั สอื ข หนงั สอื ค หนงั สอื ง และหนงั สอื จ สมุ่ เลอื กหนงั สอื เหลา่ น้ี มาคร้งั ละ 3 เล่ม จงหาจ�ำนวนวิธที ี่จะได้หนงั สอื ก หรอื หนงั สือ ข ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 15 มวี งกลม 4 วง และเสน้ ตรงทไ่ี มม่ คี ใู่ ดขนานกนั 5 เสน้ ตัดกนั จะท�ำใหเ้ กดิ จดุ ตดั มากทสี่ ดุ กจ่ี ดุ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 55 ลบั สมองประลองปญั ญา 1 ถ้า Cn,3 = 35 แล้ว n มคี ่าเท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ในการแข่งขนั กีฬา E-sports คร้ังหน่งึ รอบแรกจะเปน็ การแข่งแบบทุกทีมพบกันหมด ซ่ึงผจู้ ัดพบว่าสามารถ จัดการแข่งขันในรอบแรกได้ท้ังหมด 28 นดั จงหาว่ามที ีมเข้าร่วมแขง่ ขนั ในรอบแรกท้ังหมดกี่ทีม ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 ชะเอมต้องการหยบิ หนงั สอื มา 7 เล่มจากช้นั หนงั สือที่แตกต่างกันทุกเล่ม ถ้าชะเอมมจี �ำนวนวิธเี ลือกหนงั สอื เท่ากับ 792 วิธี อยากทราบว่ามหี นงั สอื ท้ังหมดก่ีเล่มบนช้ันหนงั สือ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 นกั เรียนกลุ่มหน่งึ มนี กั เรียนชายและนกั เรยี นหญิง ถ้าในกล่มุ นม้ี นี กั เรียนชาย 5 คน และจ�ำนวนวิธใี นการเลือก นกั เรยี น 4 คนพรอ้ มกนั 1 ครง้ั เท่ากบั 715 วิธแี ลว้ จงหาอตั ราสว่ นจำ� นวนนกั เรยี นชายต่อจำ� นวนนกั เรยี นหญงิ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

56 ความนา่ จะเปน็ 4 การแบง่ สงิ่ ของออกเป็นกล่มุ ยอ่ ย พจิ ารณาสถานการณ์ต่อไปน้ี มคี นอยู่ 3 คนได้แก่ A, B และ C ต้องการแบ่งท้ัง 3 คนนอ้ี อกเปน็ 2 กล่มุ โดยกล่มุ แรกมคี น 2 คน และกล่มุ ที่ สองมี 1 คน เราสามารถใช้วิธกี ารจัดหมใู่ นการแบง่ กล่มุ คนได้ดังน้ี ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกคน 2 คน จากท้ังหมด 3 คน เพ่อื ใหไ้ ปอยูก่ ล่มุ ท่ี 1 ซ่ึงท�ำได้ C3,2 = 3 วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกคน 1 คน จาก 1 คนที่เหลือในข้ันตอนท่ี 1 เพ่อื ใหไ้ ปอยูก่ ลุ่มที่ 2 ซ่ึงท�ำได้ C1,1 = 1 วิธี จากหลักการคณู จะได้จ�ำนวนวิธใี นการแบ่งกล่มุ คนเท่ากับ C3,2×C1,1 = 3×1 = 3 วิธี และผลลัพธจ์ ากการแบ่งกลุ่มเปน็ ดังน้ี วิธที ี่ 1 กล่มุ ที่ 1 AB กลุ่มท่ี 2 C วิธที ่ี 2 กลุ่มท่ี 1 AC กลุ่มที่ 2 B วิธที ่ี 3 กล่มุ ท่ี 1 BC กล่มุ ท่ี 2 A ในกรณที ่ัวไป หากเรามสี ่ิงของอยูท่ ้ังหมด n ส่งิ ท่ีแตกต่างกัน และต้องการแบง่ ออกเปน็ k กล่มุ ซ่ึง กลุ่มท่ี 1 มสี ิ่งของอยู่ n1 สิ่ง กล่มุ ที่ 2 มสี ่งิ ของอยู่ n2 ส่งิ ⁝ กล่มุ ท่ี k มสี ง่ิ ของอยู่ nk สิ่ง โดยท่ีแต่ละกลุ่มมจี �ำนวนส่ิงของไมเ่ ท่ากัน (n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nk) และ n1 + n2 + ... + nk = n เราใชแ้ นวคิดวิธกี ารจัดหมู่ ในการแบ่งกล่มุ สง่ิ ของได้ดังน้ี ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกสิ่งของ n1 สิง่ จากท้ังหมด n ส่งิ เพ่ือไปอยูก่ ลุ่มที่ 1 ท�ำได้ Cn,n1 วิธี ข้ันตอนท่ี 2 เลือกส่ิงของ n2 สงิ่ จากที่เหลือ n – n1 สง่ิ เพ่ือไปอยูก่ ลุ่มท่ี 2 ท�ำได้ Cn-n1,n2 วิธี ข้ันตอนที่ k เลือกสง่ิ ของ nk ส่ิง จากที่เหลือ n – n1– n2 – ... – nk-1 สิ่ง เพ่อื ไปอยูก่ ลุ่มที่ k ท�ำได้ Cn-n1-n2-...-nk-1,nk วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธใี นการแบ่งกล่มุ คนเท่ากับ Cn,n1×Cn-n1,n2×...×Cn-n1-n2-...-nk-1,nk = ( n - n! ) !n1! ´ ( n ( n - n1) ! !n2! ´ ... ´ ( n (n - n1 - n2 - ... - nk )-1 ! !nk! n1 - nk-1 - - n1 - n2 ) - n1 - n2 - ... nk ) = ( n - n! ) !n1! ´ ( n ( n - n1) ! !n2! ´ ... ´ ( n (n - n1 - n2 - ... - nk-1 )! !n k! n1 + )nk-1 + nk ) - n1 - n2 ) - (n1 + n2 + ... = n! ´ (n - n1)! ´ ... ´ ( n - n1 - n2 - ... - nk -1 )! n1 - n1 - n2 )!n2! 0!nk! ( n - )!n1! ( n = n! วิธี n1! ´ n2! ´ ...´ nk! ทฤษฎบี ท 6 มขี องแตกต่างกัน n สิง่ แบ่งเปน็ k กลุ่ม กล่มุ ละ n1, n2, ..., nk สิ่ง โดยท่ีแต่ละกลุ่มมจี �ำนวนของ n! ไมเ่ ท่ากัน และ n1 + n2 + ... + nk = n จะได้จ�ำนวนวิธแี บง่ กล่มุ เท่ากับ n1! ´ n2! ´ ...´ nk! วิธี

บทที่ 2 วิธเี รียงสบั เปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 57 ตัวอยา่ งท่ี 40 มมี ะละกอ 6 ผล แบ่งเปน็ 2 กอง กองละ 4 ผล และ 2 ผล จะแบ่งได้กี่วิธี วิธที �ำ จ�ำนวนวิธแี บ่งมะละกอ ท�ำได้ 6! = 15 วิธี 6 ผล 4!2! 4 ผล 2 ผล พิจารณาสถานการณต์ ่อไปน้ี มคี นอยู่ 4 คนได้แก่ A, B, C และ D ต้องการแบ่งท้ัง 4 คนนอ้ี อกเปน็ 2 กลุ่ม แต่ละกล่มุ มี 2 คน หากเรามองว่า แต่ละกลุ่มมคี วามแตกต่างกัน เราสามารถใช้ทฤษฎีบท 6 ค�ำนวณจ�ำนวนวิธกี ารแบ่งกลุ่มได้เท่ากับ 4! = 6 วิธี และ 2!2! ผลลัพธจ์ ากการแบ่งกล่มุ เปน็ ดังน้ี วิธที ่ี 1 กล่มุ ที่ 1 AB กลุ่มท่ี 2 CD วิธที ่ี 2 กลุ่มที่ 1 AC กลุ่มท่ี 2 BD วิธที ่ี 3 กล่มุ ท่ี 1 AD กล่มุ ท่ี 2 BC วิธที ่ี 4 กลุ่มที่ 1 BC กลุ่มท่ี 2 AD วิธที ี่ 5 กลุ่มท่ี 1 BD กล่มุ ท่ี 2 AC วิธที ี่ 6 กล่มุ ท่ี 1 CD กล่มุ ที่ 2 AC จะเหน็ ว่า ผลลัพธใ์ นวิธที ี่ 4 เหมอื นกับวิธที ี่ 3 ผลลัพธใ์ นวิธที ่ี 5 เหมอื นกับวิธที ี่ 2 และผลลัพธใ์ นวิธที ่ี 1 เหมอื นกับวิธที ี่ 6 แสดงว่าผลลัพธท์ ่ีเกิดข้ึนน้นั เปน็ การนบั ซ้ำ� ดังน้นั จ�ำนวนวิธใี นการแบ่งกล่มุ ที่ต่างกัน จะต้องนำ� 2! ไปหารจ�ำนวนวิธแี บ่งที่หาได้ในตอนแรก น่นั คือ จ�ำนวนวิธใี นการแบ่งกลุ่มคน 4 คน ออกเปน็ 2 กล่มุ กลุ่มละ 2 คน ท�ำได้ 4! = 3 วิธี 2!2!2! ทฤษฎบี ท 7 มขี องแตกตา่ งกนั n สงิ่ แบง่ เปน็ กลมุ่ ๆ กลมุ่ ทีม่ ขี องอยู่ n1, n2, ..., nk สงิ่ มจี ำ� นวน m1, m2, ..., mk กลมุ่ ตามล�ำดับ และ n1 + n2 + ... + nk = n 1. ถ้ากลุ่มท่ีมสี ิ่งของเท่ากัน มคี วามแตกต่างระหว่างกล่มุ จ�ำนวนวิธแี บ่งกลุ่มจะเท่ากับ n! วิธี (n1!)m1 (n2!)m2 ...(nk!)mk 2. ถ้ากลุ่มท่ีมสี ิ่งของเท่ากัน ไมม่ คี วามแตกต่างระหว่างกล่มุ จ�ำนวนวิธแี บง่ กล่มุ จะเท่ากับ n! วิธี (n1!)m1 (n2!)m2 (nk!)mk m1!m2!mk! ข้อสังเกต จากทฤษฎีบท 7 สังเกตได้ว่า ถ้ากลุ่มที่แบง่ สิง่ ของเท่ากันมคี วามแตกต่าง ใหค้ �ำนวณตามปกติโดยใชส้ ูตรในทฤษฎีบท 6 ได้เลย แต่ถ้ากลุ่มที่แบ่งส่งิ ของเท่ากันไมม่ คี วามแตกต่าง ใหน้ ำ� สูตรในทฤษฎีบท 6 หารด้วยแฟกทอเรยี ลของจ�ำนวนกล่มุ ทกุ กล่มุ ที่ซ้�ำ

58 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 41 จดั คน 7 คน นง่ั รถ 3 คนั ทแี่ ตกตา่ งกนั โดยรถคนั ท่หี นง่ึ โดยสารได้ 2 ท่ีนง่ั รถคนั ทีส่ องโดยสารได้ 3 ทนี่ ง่ั และรถคันที่สามโดยสารได้ 2 ที่น่งั จะจัดได้แตกต่างกันกี่วิธี วิธที �ำ ก่อนอ่ืนเราจะเหน็ ว่า การแบ่งคน 7 คนออกเปน็ 3 กล่มุ เพ่ือโดยสารรถ จะมอี ยู่ 2 กลุ่ม ที่มจี �ำนวนคน 2 คน เท่ากัน ซ่งึ เราไมส่ ามารถใช้ทฤษฎีบท 6 ได้ 7 คน แต่เม่อื พิจารณาความแตกต่างของกล่มุ (ในท่ีนค้ี ือรถยนต์) จะเหน็ ว่ารถยนต์แต่ละคันไมเ่ หมอื นกัน 2 คน 3 คน 2 คน ดังน้นั ในกรณีน้ี เราจะถือว่าไมต่ ้องหารกรณขี องซ้�ำ เพราะฉะน้นั จ�ำนวนวิธแี บ่งคนไปน่งั รถท�ำได้ 7! = 210 วิธี 2!3!2! ตัวอยา่ งท่ี 42 แบง่ ทเุ รยี น 10 ผล ออกเปน็ 2 กอง กองละ 5 ผล จะแบง่ ได้กว่ี ธิ ี วิธที �ำ การแบ่งกองทุเรยี น กองละเท่า ๆ กัน จะถือว่าแต่ละกองไมม่ คี วามแตกต่างกัน ดังน้นั เม่อื แบ่งกล่มุ ตามปกติแล้ว จะต้องหารด้วย 10 ผล 5 ผล แฟกทอเรียลของจ�ำนวนกล่มุ ทกุ กลุ่มท่ีซ้ำ� น่นั คือ จ�ำนวนวิธแี บ่งกองทเุ รียน ท�ำได้ 10! = 126 วิธี 5 ผล 2!5!5! ตัวอยา่ งท่ี 43 มหี นงั สอื ตา่ งกนั 6 เลม่ ตอ้ งการแบง่ ใหเ้ ดก็ 3 คน โดยคนหนง่ึ ได้ 3 เลม่ อกี คนหนง่ึ ได้ 2 เลม่ และอกี คน หนง่ึ ได้ 1 เลม่ จะท�ำไดก้ ว่ี ธิ ี วิธที �ำ การท�ำงานแบ่งได้เปน็ 2 ข้นั ตอน ข้นั ตอนท่ี 1 แบ่งหนงั สือ 6 เล่มออกเปน็ 3 กลุ่ม 6 เล่ม 1 เล่ม กล่มุ ที่ 1 มี 3 เล่ม กลุ่มท่ี 2 มี 2 เล่ม 3 เล่ม 2 เล่ม และกลุ่มท่ี 3 มี 1 เล่ม 6! ดังน้นั จ�ำนวนวิธแี บง่ หนงั สือเท่ากับ 3!2!1! วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 นำ� หนงั สอื แต่ละกลุ่มไปแจกใหเ้ ด็ก 3 คน ท�ำได้ 3! วิธี ดังน้นั จ�ำนวนวิธแี จกหนงั สอื ใหเ้ ด็กท้ัง 3 คน เท่ากับ 3!62!!1!×3! = 6! = 360 วิธี 2!1!

บทท่ี 2 วิธเี รียงสับเปล่ียนและวิธจี ัดหมู่ 59 แบบฝกึ หัดท่ี 2.4 การแบง่ ส่งิ ของออกเป็นกลุม่ ยอ่ ย 1 มหี นงั สือนยิ ายต่างกัน 10 เล่ม แบง่ เปน็ กอง ๆ ละ 4, 3, 2 และ 1 เล่ม จะแบง่ ได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 แบ่งเด็ก 20 คนออกเปน็ กล่มุ ๆ ละ 5 คนเท่า ๆ กัน จะแบ่งได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 มขี นมปโี ป้ 6 ชิน้ ต้องการแบง่ ออกเปน็ 2 กอง จะท�ำได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 มสี ม้ เขยี วหวาน 5 ผล นำ� มาแบง่ เปน็ 3 กอง จะแบ่งได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

60 ความนา่ จะเปน็ 5 แบ่งของเล่นที่ต่างกัน 12 ช้นิ ใหเ้ ด็ก 3 คน คนละ 4 ชิน้ เท่า ๆ กัน จะแบง่ ได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 มนี กั เรียน 18 คน ต้องการจัดกลุ่มท�ำกิจกรรม 4 กล่มุ แต่ละกล่มุ มสี มาชกิ 2 คน 4 คน 5 คน และ 7 คน ตาม ล�ำดับ ถ้าเด็กชายไก่ต้องอยู่ในกลุ่มแคมปไ์ ฟซ่ึงมสี มาชิก 5 คนเท่าน้นั จะจัดได้ก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 เรือนรบั รองมหี อ้ งพกั 3 หอ้ ง หอ้ งหน่งึ พักได้ 2 คน อีกสองหอ้ งพักได้หอ้ งละ 3 คน ถ้ามผี ชู้ าย 5 คนและผหู้ ญงิ 3 คน เขา้ พักท่ีเรอื นรบั รองนี้ โดยมเี ง่ือนไขว่า ผหู้ ญงิ ท้ัง 3 คน จะพกั อยู่หอ้ งเดียวกันเท่าน้นั จะจัดได้กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 8 มขี นมท่ีต่างกันอยู่ 8 ช้นิ ต้องการแบง่ ใหเ้ ด็ก 2 คน คนหน่งึ ได้ 6 ชน้ิ อีกคนหน่งึ ได้ 2 ชน้ิ จะมจี �ำนวนวิธแี บง่ ได้ กี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 2 วิธเี รยี งสับเปลี่ยนและวิธจี ัดหมู่ 61 ลบั สมองประลองปัญญา PAT1 ก.พ. 2563 1 มเี ลขโดด 5 ตัวคือ 1, 2, 3, 4 และ 5 นำ� เลขโดดเหล่านมี้ า 3 ตัวไมซ่ ้�ำกันและใช้เลขโดดท้ัง 3 ตัวนเ้ี พ่ือสร้าง จ�ำนวนนบั สห่ี ลัก จะมจี �ำนวนนบั สห่ี ลักที่ต้องการท้ังหมดก่ีจ�ำนวน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... PAT1 ม.ี ค. 2564 2 ก�ำหนดรูปสิบเหล่ียมด้านเท่าแนบในวงกลม ถ้าสร้างสว่ นของเส้นตรงเช่อื มระหว่างจุดยอด 2 จุดใด ๆ ของรูป สบิ เหลย่ี มนี้ แลว้ จำ� นวนของสว่ นของเสน้ ตรงทไี่ มเ่ ปน็ ดา้ นของรูปสบิ เหลย่ี มและไมผ่ า่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม มที ้ังหมดกี่เส้น ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... สถานการณต์ ่อไปนใี้ ชใ้ นการตอบค�ำถามข้อ 3-4 การว่ายน้ำ� แบบผลัดผสม เปน็ การแข่งขันว่ายน้ำ� ท่ีแต่ละทีมประกอบด้วยนกั ว่ายน้ำ� จ�ำนวน 4 คน โดยนกั ว่ายน้ำ� ในทีมแต่ละคนจะต้องว่ายน้ำ� คนละหน่งึ ท่า ดังนี้ คนที่ 1 ว่ายท่ากรรเชียง คนที่ 2 ว่ายท่ากบ คนท่ี 3 ว่ายท่าผเี ส้ือ คนที่ 4 ว่ายท่าฟรสี ไตล์ ชมรมว่ายน้ำ� “เงือกสยาม ฉลามไทย” มสี มาชิกจ�ำนวน 6 คน คือ แก้ม ขา้ ว คิม เงาะ เจต และฉตั ร PAT1 ม.ี ค. 2564 3 ถ้าชมรมว่ายน้ำ� “เงือกสยาม ฉลามไทย” ต้องการจัดสมาชิกของชมรม 4 คน เพ่อื เปน็ ทีมเขา้ ร่วมแข่งขนั ว่ายน้ำ� แบบผลัดผสม โดยที่สมาชิกในชมรมทกุ คนสามารถว่ายน้ำ� ได้ทุกท่าของการว่ายน้ำ� แล้วชมรมจะมวี ิธี ในการจัดสมาชิกเพ่ือแขง่ ขันว่ายน้ำ� แบบผลัดผสมที่แตกต่างกันท้ังหมดกี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

62 ความนา่ จะเปน็ PAT1 ม.ี ค. 2564 4 ถงึ แมว้ า่ สมาชกิ ในชมรมจะสามารถวา่ ยน้ำ� ไดท้ กุ ทา่ ของการวา่ ยน้ำ� แตส่ มาชกิ แตล่ ะคนมที า่ วา่ ยน้ำ� ทต่ี นเองถนดั ดังขอ้ มลู ในตารางต่อไปน้ี ท่าการว่ายน้ำ� ในการแขง่ ขนั รายช่อื สมาชกิ ที่มคี วามถนดั ในการว่ายน้ำ� แต่ละท่า ท่ากรรเชียง แก้ม ท่ากบ ขา้ ว คิม ท่าผเี ส้อื เงาะ เขต ท่าฟรีสไตล์ แก้ม เงาะ เจต ฉัตร ถ้าชมรมว่ายน้ำ� นตี้ ้องการจัดสมาชิกของชมรม 4 คน เพ่อื เปน็ ทีมเข้าร่วมแขง่ ขันว่ายน้ำ� แบบผลัดผสม โดยที่ แต่ละคนได้ว่ายน้ำ� ในท่าท่ีตนเองถนดั แลว้ จะมวี ิธใี นการจัดสมาชกิ เพ่อื แขง่ ขนั ว่ายน้ำ� แบบผลดั ผสมท่ีแตกต่าง กันท้ังหมดกี่วิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... สถานการณ์ต่อไปนใ้ี ช้ในการตอบค�ำถามขอ้ 5 วิธกี ารตรวจโควิด-19 ที่ใชใ้ นประเทศไทยมหี ลายวิธี แต่ละวิธใี ช้เวลาและมคี ่าใชจ้ ่ายท่ีแตกต่างกัน นกั วิจัยไทยกลุ่มหน่งึ พัฒนาชุดตรวจโควิด-19 ข้นึ มาสองชุด คือ ชุด A และชุด B โดยได้นำ� ไปใชท้ ดลองกับผทู้ ี่ เดินทางเข้ามาในประเทศไทยจ�ำนวน 50 คน ผทู้ ่ีเดินทางเขา้ มาในประเทศไทยกลุ่มท่ี 1 จ�ำนวน 20 คน ได้รับการตรวจโควิด-19 ด้วยชุดตรวจ A พบว่า มผี ปู้ ว่ ยโควิด-19 จ�ำนวน 3 คน ผทู้ ่ีเดินทางเข้ามาในประเทศไทยกล่มุ ที่ 2 จ�ำนวน 30 คน ได้รบั การตรวจโควิด-19 ด้วยชุดตรวจ B พบว่า มผี ปู้ ว่ ยโควิด-19 จ�ำนวน 12 คน หลังจากน้นั ผปู้ ว่ ยโควิด-19 ท้ัง 15 คน ได้เขา้ รับการรกั ษาที่โรงพยาบาล PAT1 ม.ี ค. 2564 5 ถ้าต้องการเลือกผปู้ ว่ ยโควิด-19 ที่ได้รบั การตรวจด้วยชุดตรวจ A จ�ำนวน 2 คน และ ต้องการเลือกผปู้ ว่ ย โควิด-19 ที่ได้รบั การตรวจด้วยชุดตรวจ B จ�ำนวน 7 คน แล้วนกั วิจัยจะมวี ิธเี ลือกผปู้ ว่ ยท้ังหมดก่ีวิธี ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี ทฤษฎบี ททวินาม “ โดยท่วั ไปการเขยี นการกระจาย (x + y)n ในรูปของผลบวกทเ่ี รามักจะ “ พบบ่อยในกรณีท่ี n มคี า่ ไมส่ ูงมากนัก เราสามารถกระจายโดยการคณู โดยตรง หรอื ใช้เทคนิคกำ� ลงั สองสมบูรณ์ หรอื ก�ำลงั สามสมบูรณ์ เช่น (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y2 (x – y)2 = (x – y)(x – y) = x2 – 2xy + y2 (x + y)n = (x + y)(x + y)(x + y) = (x2 + 2xy + y2)(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 แต่ถา้ n มีค่ามาก ๆ จะต้องคูณกันหลายวงเล็บ ทำ� ใหเ้ สยี เวลาในการ หาคำ� ตอบ จงึ มที ฤษฎบี ททเี่ กย่ี วขอ้ งกบั การกระจายคา่ ของ (x + y)n ซง่ึ ทฤษฎบี ท ดงั กล่าวมชี อื่ ว่า ทฤษฎบี ททวินาม

64 ความนา่ จะเปน็ พิจารณาการกระจายต่อไปน ้ี (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 ⁝ (x + y)n = (x + y)(x + y)...(x + y)      n วงเล็บ ในการกระจาย (x + y)n ท�ำได้โดยการเลือก x หรอื y อยา่ งใดอย่างหน่งึ ของแต่ละวงเล็บมาคณู กันแล้วนำ� ผลคณู ที่ได้ มาบวกกัน เชน่ เลือก y จาก 3 วงเล็บใด ๆ และเลือก x จาก n – 3 วงเล็บที่เหลือ จะได้พจน์ xn – 3y3 ดังน้นั แต่ละพจนข์ องการกระจาย (x + y)n จะอยู่ในรูป xn – ryr เม่อื r Î {0, 1, 2, ..., n} เน่อื งจาก xn – ryr ประกอบด้วย x จ�ำนวน n – r ตัว และ y จ�ำนวน r ตัว ดังน้นั พจน์ xn – ryr มที ้ังหมด (n n! ! =  n  พจน์ น่นั คือ สมั ประสทิ ธขิ์ อง xn – ryr คือ n - r)!r  r   r  การกระจาย (x + y)n สรุปเปน็ ทฤษฎีบทได้ดังนี้ ทฤษฎบี ททวินาม (Binomial Theorem) ให้ x, y เปน็ จ�ำนวนจรงิ และ n เปน็ จ�ำนวนเต็มบวก จะได้ n n n n n (x + y)n =  0  x n +  1  x n -1y n +  2  x n - 2 y 2 + ... +  r  x n -r y r + ... +  n  y n           จากทฤษฎีบททวินาม เรียก n เม่อื n และ r เปน็ จ�ำนวนเต็มบวกซ่ึง 0 < r < n ว่า “สัมประสทิ ธิท์ วินาม”  r  ข้อสงั เกต 1. จ�ำนวนพจนข์ องการกระจาย (x + y)n เท่ากับ n + 1 พจน์ 2. พจนแ์ รกและพจนส์ ดุ ท้ายต่างมสี ัมประสิทธทิ์ วินามเปน็ n และ n ตามล�ำดับ ซ่ึงเท่ากับ 1 ดังน้นั พจนแ์ รกจึงมคี ่าเปน็  0   n  xn และพจนส์ ุดท้ายมคี ่าเปน็ yn 3. เลขชก้ี �ำลังของ x จะเรียงจากมากไปนอ้ ย ส่วนเลขชีก้ �ำลังของ y จะเรียงจากนอ้ ยไปมาก 4. ก�ำลังของ x และ y ในแต่ละพจนจ์ ะบวกกันได้เท่ากับ n เสมอ 5. ผลบวกของสมั ประสิทธท์ิ วินาม  n  +  n  +  n  + ... +  n  เท่ากับ 2n เสมอ  0   1   2   n  6. พจนท์ ่ี r + 1 จากการกระจาย (x + y)n คือ Tr + 1 =  n  x n-r y r  r  น่ารู้ เบลส์ ปาสกาล (Blaise Pascal : ค.ศ. 1623-1662) นกั คณติ ศาสตร์ n = 0 1 n = 1 11 ชาวฝร่ังเศส เปน็ ผคู้ ้นพบวิธกี ารหาสัมประสทิ ธทิ์ วินามของการ n = 2 121 กระจาย (x + y)n และเราเรยี กรปู แบบนวี้ า่ สามเหลย่ี มของปาสคาล n = 3 1331 (Pascal’s Triangle) ซ่ึงพฒั นามาจากจ�ำนวนเชงิ สามเหล่ียมของ n = 4 14641 n = 5 1 5 10 10 5 1 ชาวจีน n = 6 1 6 15 20 15 6 1 

บทท่ี 3 ทฤษฎีบททวินาม 65 ตัวอยา่ งท่ี 1 จงกระจาย (x + y)7 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม วิธที �ำ (x + y)7 = 07  x 7 +  7  x6y +  7  x 5y 2 +  7  x 4y 3 +  7  x 3y 4 +  7  x2y5 +  7  xy6 +  7  y 7   1   2   3   4   5   6   7  =x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงกระจาย (x + 2y)4 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม วิธที �ำ (x + 2y)4 = 04  x4 +  4  x3 ( 2y ) +  4  x 2 ( 2y )2 +  4  x ( 2y )3 +  4  ( 2y )4  1   2   3   4  ( ) ( )=x4 + 4x3 (2y) + 6x2 4y2 + 4x 8y3 + 16y4 =x4 + 8x3y + 24x2y2 + 32xy3 + 16y4 ตัวอยา่ งท่ี 3 จงกระจาย (2x – y)5 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม วิธที �ำ (2x=- y)5  5  (2x )5 +  5  (2x )4 (-y ) +  5  (2x )3 ( -y )2  0   1   2  +  5  ( 2x )2 ( -y )3 +  5  (2x )( -y )4 +  5  ( -y )5  3   4   5  = 32x5 + (5 16x4 )(-y) + (10 8x3 )(y2 ) + 10(4x2 )(-y3 ) + 5(2x)(y4 ) + (-y)5 =32x5 - 80x4y + 80x3y2 - 40x2y3 + 10xy4 - y5 ตัวอยา่ งท่ี 4 จงกระจาย  x + 1 6 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม  x  1 6 6 6  1   6   1 2  6  1 3 วิธที �ำ ( ) ( ) ( )x+x =   x6 + 1  x5  x  +  2  x4  x +   x3               x  0 3 ( )+  6  x2  1 4 +  6  ( x ) 1 5 +  6 1 6  4   x   5 x   6   x       =x6 + 6x5  1  + 15x4  1  + 20x3  1  + 15x2  1  + 6x  1  + 1  x   x2   x3   x4   x5  x6 = x6 + 6x4 + 15x2 + 20 + 15 + 6 + 1 x2 x4 x6

66 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาพจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย (x + y)10 วิธที �ำ ในท่ีน้ี n = 10 และ r = 4 จะได้ว่า 10 พจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย (x + y)10 คือ T5 =   x10- 4y 4 = 210x6y4   4  ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาสัมประสทิ ธทิ์ วินามของพจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย (x – 3y)10 วิธที �ำ ในที่น้ี n = 10 และ r = 4 จะได้ว่า 10 สัมประสทิ ธทิ์ วินามของพจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย (x - 3y)10 คือ  4  = 210    ตัวอยา่ งท่ี 7 จงหาพจน์ x8 ของการกระจาย  x 2 + 1 10  x  วิธที �ำ ใหพ้ จน์ x8 เปน็ พจนท์ ่ี r + 1 ของการกระจาย  x2 + 1 10 และในท่ีน้ี n = 10   x  10  10 - r  1 r ( )จากสตู รพจนท์ ี่ r + 1 จะได้ว่า Tr + 1 = x2       x  r 10  x-1 r ( )( ) =  r  x20-2r   10  ( )( ) x-r =  r  x20-2r   = 10  x 20 - 3r    r  เน่อื งจาก ต้องการพจน์ x8 ดังน้นั จึงให้ 20 – 3r = 8 น่นั คือ r = 4 เพราะฉะน้นั พจน์ x8 เปน็ พจนท์ ี่ 5 และ T5 =  10  x8 = 210x8  4   

บทที่ 3 ทฤษฎีบททวินาม 67 ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาสมั ประสทิ ธขิ์ องพจน์ x4 ของการกระจาย  x + 1 12  x  วิธที �ำ ใหพ้ จน์ x4 เปน็ พจนท์ ี่ r + 1 ของการกระจาย  x + 1 12 และในที่นี้ n = 12  x   จากสูตรพจนท์ ี่ r + 1 จะได้ว่า Tr + 1 =  12  x12 -r  1 r  r   x      12  x-1 r ( ) =  r  x12 -r   ( ) =  12  x12 -r x-r  r    =  12  x12 -2r  r    เน่อื งจาก ต้องการพจน์ x4 ดังน้นั จึงให้ 12 – 2r = 4 น่นั คือ r = 4 เพราะฉะน้นั พจน์ x4 เปน็ พจนท์ ่ี 5 และ T5 = 12  x 4 = 792x4    5  จะได้ว่า สัมประสทิ ธขิ์ องพจน์ x4 คือ 792 ตัวอยา่ งท่ี 9 ในการกระจาย  x2 + 2 10 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม พจนค์ ่าคงตัวมคี ่าเท่าใด  x3  วิธที �ำ ใหพ้ จนค์ ่าคงตัว (x0) เปน็ พจนท์ ี่ r + 1 ของการกระจาย  x2 + 2 10 และในที่นี้ n = 10  x3   10  10-r 2 r ( )จากสตู รพจนท์ ่ี r + 1 จะได้ว่า Tr + 1 =  x2  x3   r  10  10 - r 2x-3 r ( ) ( ) = x2  r    10  ( ) 2r x-3r =  r  x20-2r   =  10  2r x 20 -5r  r    เน่อื งจาก ต้องการพจน์ x0 ดังน้นั จึงให้ 20 – 5r = 0 น่นั คือ r = 4 เพราะฉะน้นั พจนค์ ่าคงตัวเปน็ พจนท์ ่ี 5 และมคี ่าเท่ากับ T5 = 10  24 x0 = 3,360    4 

68 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 10 จงใชท้ ฤษฎีบททวินามหาค่าของ (1.2)4 วิธที �ำ (1.2)4= (1+ 0.2)4 = 04 (1)4 +  4  (1)3 (0.2) +  4  (1)2 (0.2)2 +  4  (1) (0.2)3 +  4  (0.2)4  1   2   3   4          =(1)(1) + (4)(1)(0.2) + (6)(1)(0.04) + (4)(1)(0.008) + (1)(0.0016) =1+ 0.8 + 0.24 + 0.032 + 0.0016 = 2.0736 ตัวอยา่ งท่ี 11 4 2 4 และ 4 24 ( ) ( ) ( ) ( )จงหาค่าของ1+2 1- 1+ 2 1- + - 4 = 04  (1)4  4  (1)3  4  (1)2 2  4  3  4  24 วิธที �ำ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )จาก1+2 +  1  2 +  2  2 +  3  (1) 2 +  4          1- 2=4  4  (1)4  4  (1)3  4  (1)2 2  4  (1) 3  4  24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )และ  0  +  1  - 2 +  2  - 2 +  3 - 2 +  4  -           ( ) ( ) ( ) ( )=04(1)4-4  (1)3 2 +  4  (1)2 2 2 -  4  (1) 2 3 +  4  24  1   2   3  4          ดังน้นั( ) ( ) ( ) ( ) ข้อสงั เกต1+ 2 4 1-=2 4 2  4  (1)4 +  4  (1)2 2 2 +  4  2 4  0   2   4   +-        เม่ือน�ำท้ังสองพจน์มาบวกกัน =2 (1)(1) + (6)(1)(2) + (1)(4) พจนใ์ นตำ� แหนง่ คจู่ ะหายไป และ เม่ือน�ำสองพจน์น้ันมาลบกัน = 34 พจนใ์ นต�ำแหนง่ คี่จะหายไป ( ) ( ) ( ) ( )1+ 2 4=- 1- 2 4 2  4  (1)3 2 +  4  (1) 2 3  1   3       ( )= 2 4 2 + 8 2 = 24 2 นา่ รู้ ให้ x, y เปน็ จ�ำนวนจรงิ n เปน็ จ�ำนวนเต็มบวก และ Ti คือพจนท์ ี่ i ของการกระจาย (x + y)n เม่อื i Î {0, 1, 2, ..., n} จะได้ว่า (x + y)n = T1 + T2 + T3 + T4 + ... + Tn (x - y)n = T1 – T2 + T3 – T4 + ... + (-1)nTn เพราะฉะน้นั (x + y)n + (x - y)n =2(ผลบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องการกระจายในต�ำแหนง่ คี่) = 2(T1 + T3 + T5 + ... ) (x + y)n - (x - y)n =2(ผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องการกระจายในต�ำแหนง่ ค่)ู = 2(T2 + T4 + T6 + ... )

บทที่ 3 ทฤษฎีบททวินาม 69 แบบฝึกหดั ท่ี 3 ทฤษฎบี ททวินาม 1 จงใช้ทฤษฎีบททวินามในกระจาย (1) (x - 2y)4 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 (2)  2x + 1   y   ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 จงหาพจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย (x - 2y)10 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 จงหาสมั ประสิทธทิ์ วินามของ x6y4 ของการกระจาย (2x + 3y)10 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

70 ความนา่ จะเปน็ ( )4 จงหาสมั ประสทิ ธทิ์ วินามของพจนท์ ่ี 6 จากการกระจาย 2x + y2 10 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ( )5 จงหาสมั ประสทิ ธขิ์ อง x9y14 จากการกระจาย x3 - 3y2 10 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ( )6 จงหาพจน์ x6 จากการกระจาย x2 + 2x 5 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 x  x2 3 6 จงหาพจนท์ ี่ไมม่ ี จากการกระจาย  -    4 x  ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 3 ทฤษฎีบททวินาม 71 8 จากการกระจาย (2x + 3y)8 จงหา (1) สัมประสิทธทิ์ วินามของพจนท์ ่ีมตี ัวแปร x2y6 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) สมั ประสทิ ธขิ์ องพจนก์ ลาง ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) สมั ประสิทธขิ์ องพจนท์ ่ี 4 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) ผลบวกของสัมประสทิ ธทิ์ วินามของพจนท์ ุกพจน์ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 จากการกระจาย  2x - 3 8 จงหา  x3   (1) พจนท์ ี่ไมม่ ตี ัวแปร ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) พจนท์ ่ีมตี ัวแปร x–8 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

72 ความนา่ จะเปน็ 10 จงใชท้ ฤษฎีบททวินามหาค่าของจ�ำนวนต่อไปน้ี (1) (0.99)4 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) (11)5 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ( ) ( )11 1+ 3 5 1- 35 จงหาค่าของ + ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ( ) ( )12 1+ 2 5 1- 25 จงหาค่าของ - ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 13 1- 3i 4  1 + 3i 4  2  2 จงหาค่าของ  +    ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี ความนา่ จะเป็น “ ความน่าจะเป็นคือจ�ำนวนท่ีใช้ในการบอกโอกาสของการเกิดขน้ึ ของ “ ปรากฎการณ์บางอยา่ งท่ีเราไม่สามารถพยากรณ์ไดว้ า่ จะเกิดข้นึ หรือไม่ แต่อาจ บอกไดว้ า่ ปรากฏการณเ์ หลา่ นัน้ มีโอกาสเกดิ ขนึ้ ไดม้ ากนอ้ ยเพยี งใด นอกจากน้ัน เราใชค้ วามนา่ จะเปน็ ชว่ ยในการตดั สนิ ใจตอ่ เหตกุ ารณ์ในชีวิตประจำ� วนั เชน่ เมอื่ เรา ทราบโอกาสของการเกดิ พายฝุ นฟา้ คะนองจากกรมอตุ นุ ิยมวทิ ยา จะทำ� ใหเ้ ราตดั สนิ ใจ ไดว้ า่ เราควรเตรยี มตวั จะออกจากบา้ นหรือเดนิ ทางไปยงั บรเิ วณทม่ี ฝี นตกอยา่ งไร เราไดท้ ราบในบทที่ 1 ไปแลว้ ว่า ตน้ ก�ำเนดิ ของวชิ าความน่าจะเปน็ มา จากการพนัน แต่ในปจั จบุ นั ความนา่ จะเปน็ ไดถ้ กู พฒั นาและนำ� ไปใช้ในดา้ นตา่ ง ๆ อยา่ งมากมายหลายดา้ น เช่น การวางแผนการลงทนุ การพยากรณ์อากาศ การ ศกึ ษาพันธุกรรมและความหลากหลายของส่ิงมชี วี ิต เป็นต้น

74 ความนา่ จะเปน็ 1 การทดลองสมุ่ และเหตกุ ารณ์ ในการหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ใด ๆ เราจะพบค�ำสำ� คัญอยู่ 3 ค�ำที่พบได้บอ่ ยคือค�ำว่า การทดลอง สุม่ ปริภมู ติ ัวอยา่ ง และเหตุการณ์ โดยแต่ละค�ำมนี ยิ ามดังน้ี การทดลองสมุ่ (random experiment) คือ การทดลองหรือการกระท�ำใด ๆ ที่ทราบว่าผลลัพธท์ ี่เกิดข้ึน อาจเปน็ อะไรได้บ้าง แต่ไมส่ ามารถทราบได้อย่างแนน่ อนว่าในแต่ละคร้งั ที่ทดลอง ผลที่เกิดข้นึ จะเปน็ อะไรในบรรดา ผลลัพธท์ ี่เปน็ ไปได้ท้ังหมด หรอื อาจจะกล่าวได้ง่าย ๆ ว่า รู้ว่าอะไรจะเกิด แต่ไมร่ ูว้ ่าจะเกิดอะไร เชน่ ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ เราสามารถบอกได้ว่า เหรยี ญจะเพียงหงายหนา้ ได้เพียง 2 หนา้ คือไมห่ งายหวั ก็หงายก้อยอย่างใดอย่างหน่งึ แต่เราจะไมส่ ามารถบอกได้ว่าเหรียญน้นั จะหงายหนา้ ใดจนกว่าเหรียญจะตกลงบนพ้ืนแล้ว และเม่อื เราเขยี นผลลัพธท์ ี่ เปน็ ไปได้ท้ังหมดจากการทดลองสุ่มในรูปของเซต เราจะเรยี กเซตน้นั ว่า ปรภิ ูมิตัวอยา่ ง หรือ แซมเปลิ สเปซ (sample space) บทนิยาม 1 ปรภิ ูมติ ัวอยา่ ง หรือ แซมเปลิ สเปซ คือ เซตที่มสี มาชกิ เปน็ ผลลัพธท์ ี่อาจเปน็ ไปได้ท้ังหมดจากการ ทดลองสมุ่ เขียนแทนปริภมู ติ ัวอยา่ งด้วย S ตัวอยา่ งท่ี 1 จงเขยี นปรภิ มู ติ ัวอยา่ งของการโยนเหรยี ญ 2 เหรียญ 1 คร้ัง สนใจหนา้ ที่เหรียญหงาย วิธที �ำ ให ้ S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสุ่มน้ี H แทนเหรยี ญหงายหวั และ T แทนเหรียญหงายก้อย เขียนแผนภาพแสดงผลลัพธท์ ี่เปน็ ไปได้ท้ังหมดจากการทดลองสุ่มดังนี้ เหรียญท่ีหน่งึ เหรยี ญท่ีสอง HH H H HT T TH T H TT T ดังน้นั ปรภิ มู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสุม่ นค้ี ือ S = {HH, HT, TH, TT} ข้อสงั เกต จากตัวอย่างที่ 1 ถ้าสนใจจ�ำนวนเหรยี ญท่ีหงายหวั แล้วปรภิ มู ติ ัวอย่างจะเปล่ียนเปน็ S = {0, 1, 2} โดยท่ี 0 หมายถึง ไมม่ เี หรียญใดหงายหวั 1 หมายถึง มเี หรยี ญหงายหวั 1 เหรียญ 2 หมายถึง มเี หรยี ญหงายหวั 2 เหรยี ญ

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 75 บทนิยาม 2 เหตุการณ์ (event) คือ สบั เซตของปริภมู ติ ัวอยา่ ง อาจกล่าวได้ว่า เหตุการณ์ คือ เซตของผลลัพธท์ ่ีเราสนใจจากการทดลองสุ่ม ตัวอยา่ งท่ี 2 โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอยลูกเต๋า 1 ลกู จงหา 1. ปริภมู ติ ัวอย่าง 2. เหตุการณ์ท่ีเหรียญหงายหวั 3. เหตกุ ารณท์ ี่แต้มบนหนา้ ลูกเต๋าเท่ากับ 4 4. เหตุการณท์ ี่เหรยี ญหงายก้อยและแต้มบนหนา้ ลกู เต๋านอ้ ยกว่า 3 วิธที �ำ ให ้ S แทนปรภิ มู ติ ัวอย่างของการทดลองสมุ่ นี้ H แทนเหรยี ญหงายหวั และ T แทนเหรียญหงายก้อย เขียนแผนภาพแสดงผลลัพธท์ ่ีเปน็ ไปได้ท้ังหมดจากการทดลองสมุ่ ดังน้ี หนา้ ของเหรียญ แต้มบนลกู เต๋า H1 H 1 H2 2 H3 T 3 H4 4 H5 5 H6 6 T1 1 T2 2 T3 3 T4 4 T5 5 T6 6 1. ปริภมู ติ ัวอยา่ ง คือ S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6} เม่อื Hi หมายถึง เหรียญหงายหวั และลกู เต๋าข้ึนแต้ม i และ Ti หมายถึง เหรียญหงายก้อยและ ลกู เต๋าข้นึ แต้ม i เม่อื i Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. ให้ E1 แทนเหตกุ ารณท์ ่ีเหรียญหงายตัว จะได้ E1 = {H1, H2, H3, H4, H5, H6} 3. ให้ E2 แทนเหตกุ ารณ์ที่แต้มบนหนา้ ลกู เต๋าเท่ากับ 4 จะได้ E2 = {H4, T4} 4. ให้ E3 แทนเหตุการณเ์ หรยี ญหงายก้อยและแต้มบนหนา้ ลกู เต๋านอ้ ยกว่า 3 จะได้ E3 = {T1, T2}

76 ความนา่ จะเปน็ บทนิยาม 3 ให้ E, E1 และ E2 เปน็ เหตกุ ารณ์ที่ได้จากการทดลองสุม่ อย่างหน่งึ ซ่ึงมปี รภิ มู ติ ัวอย่าง S 1. E1 Ç E2 เปน็ เหตกุ ารณซ์ ่ึงประกอบด้วยสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E1 และเหตกุ ารณ์ E2 ถ้า E1 Ç E2 = Æ จะกล่าวว่าเหตุการณ์ E1 และเหตกุ ารณ์ E2 เปน็ เหตกุ ารณ์ทไ่ี มเ่ กิดรว่ มกัน 2. E1 È E2 เปน็ เหตกุ ารณซ์ ่ึงประกอบด้วยสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E1 หรอื เหตุการณ์ E2 3. E¢ เปน็ เหตกุ ารณท์ ี่ประกอบด้วยสมาชิกท่ีอยู่ใน S แต่ไมอ่ ยู่ใน E เรยี กเหตกุ ารณ์ E¢ ว่า สว่ นเติมเต็มของเหตกุ ารณ์ E น่นั คือ E¢ = {x | x Î S และ x Ï E} ตัวอยา่ งท่ี 3 วิธที �ำ ทอยลกู เต๋า 2 ลกู 1 คร้งั สนใจผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าท้ังสองแต้ม ให ้ E1 แทนเหตุการณท์ ี่ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าท้ังสองลกู เปน็ จ�ำนวนเฉพาะ E2 แทนเหตกุ ารณท์ ี่ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าท้ังสองลกู มคี ่านอ้ ยกว่า 8 จงหา 1. E1 Ç E2 2. E1 È E2 3. E1 – E2 4. E1¢ ให้ S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา่ ง ดังน้นั S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} เน่อื งจาก E1 แทนเหตกุ ารณท์ ี่ผลรวมของแต้มบนลกู เต๋าท้ังสองลูกเปน็ จ�ำนวนเฉพาะ จะได้ว่า E1 = {2, 3, 5, 7, 11} เน่อื งจาก E2 แทนเหตกุ ารณท์ ี่ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าท้ังสองลูกมคี ่านอ้ ยกว่า 8 จะได้ว่า E2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7} 1. E1 Ç E2 = {2, 3, 5, 7} 2. E1 È E2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 11} 3. E1 – E2 = {11} 4. E1¢ = {4, 6, 8, 9, 10, 12}

บทท่ี 4 ความนา่ จะเปน็ 77 2 ความน่าจะเป็น บทนิยาม 4 ให้ S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสมุ่ ซ่งึ เปน็ เซตจ�ำกดั โดยสมาชกิ ทกุ ตัวของ S มโี อกาสเกดิ ข้นึ ได้เท่ากัน และให้ E แทนเหตกุ ารณท์ ี่เปน็ สบั เซตของ S ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E เขยี นแทน ด้วย P(E) โดยท่ี n(E) n(S) P(E) = เม่อื n(E) แทนจ�ำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E และ n(S) แทนจ�ำนวนสมาชกิ ของปริภมู ติ ัวอย่าง S นา่ รู้ กฎที่ส�ำคัญบางประการของความน่าจะเป็น ให้ S แทนปริภมู ติ ัวอยา่ ง E, E1 และ E2 แทนเหตุการณ์ใด ๆ 1. 0 £ P(E) £ 1 2. P(E) = 0 ก็ต่อเม่อื E = Æ 3. P(E1 È E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 Ç E2) 4. P(E1 È E2) = P(E1) + P(E2) ก็ต่อเม่อื E1 Ç E2 = Æ น่นั คือ E1 และ E2 เปน็ เหตุการณ์ท่ีไมเ่ กิดรว่ มกัน 5. P(E¢) = 1 – P(E) 6. P(E1 – E2) = P(E1) – P(E1 Ç E2) ตัวอยา่ งท่ี 4 ในการทอดลูกเต๋าพรอ้ มกัน 2 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีลูกเต๋าท้ังสองจะข้นึ แต้มท่ีเรยี งติดกัน วิธที �ำ ให้ S แทนปริภมู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสมุ่ นี้ ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 คร้ัง ลกู เต๋าลกู แรกปรากฎผลได้ 6 วิธี และลกู เต๋าลกู ที่สองปรากฎ ผลได้ 6 วิธี ดังน้นั จากหลักการคณู จะได้ n(S) = 6´6 = 36 ให้ E แทนเหตกุ ารณ์ที่ลูกเต๋าท้ังสองข้นึ แต้มที่เรยี งติดกัน จะได้ว่า E = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} จะได้ว่า n(E) = 10 น่นั คือ P(E) = n(E) = 10 = 5 n(S) 36 18 5 ดังน้นั ความนา่ จะเปน็ ท่ีลูกเต๋าท้ังสองจะข้ึนแต้มท่ีเรยี งติดกันเท่ากับ 18

78 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 5 วิธที �ำ ในการจัดคน 10 คน มปี งิ ปอ๋ ง และปา่ น รวมอยู่ด้วย น่งั รับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม จงหา ความนา่ จะเปน็ ที่ท้ังสามคนจะไมไ่ ด้น่งั ติดกัน ให้ S แทนปริภมู ติ ัวอยา่ งของการทดลองส่มุ นี้ ในการจัดคน 10 คน น่งั รบั ประทานอาหารรอบโต๊ะกลม จะท�ำได้ 9! วิธี ดังน้นั n(S) = 9! = 362,880 ให้ E แทนเหตกุ ารณ์ท่ีปงิ ปอ๋ ง และปา่ น น่งั รับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมไมต่ ิดกัน ข้นั ตอนที่ 1 แยกปงิ ปอ๋ ง และปา่ นออกมา และจัดคนที่เหลือ 7 คนน่งั รอบโต๊ะกลม ท�ำได้ 6! วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 จัดปงิ ปอ๋ ง และปา่ นน่งั แทรกในชอ่ งว่างท่ีมอี ยู่ 7 ชอ่ ง ท�ำได้ P7,3 วิธี ข้นั ตอนที่ 1 จัดคน 7 คนน่งั ล้อมเปน็ วงกลม ข้ันตอนท่ี 2 แทรกปงิ ปอ๋ ง ปา่ น ลงชอ่ งว่าง โดยหลักการคณู จะได้ว่า n(E) = 6!´P7,3 = 6!´ 7! = 151,200 4! n(E) 151,200 5 น่นั คือ P(E) = n(S) = 362,880 = 12 5 ดังน้นั ความนา่ จะเปน็ ที่ปงิ ปอ๋ ง และปา่ นไมไ่ ด้น่งั ติดกันเท่ากับ 12 ตัวอยา่ งท่ี 6 ถงุ ใบหน่งึ บรรจุลูกแก้ว 12 ลูก เปน็ สดี �ำ 5 ลกู สฟี า้ 4 ลกู และสีชมพู 3 ลกู ถ้าหยิบลูกแก้วจากถุงทีละ ลูก 3 คร้ัง โดยไมใ่ ส่คืน จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยิบลูกแก้วได้สดี �ำ สฟี ้า และสชี มพูตามล�ำดับ วิธที �ำ ให้ S แทนปริภมู ติ ัวอย่างของการทดลองสุม่ นี้ จ�ำนวนวิธใี นการหยิบลูกแก้ว 3 ลูก โดยหยบิ ทีละลกู แล้วไมใ่ ส่คืน จากลกู แก้วท้ังหมด 12 ลกู เท่ากับ C12,1´C11,1´C10,1 = 1,320 วิธี ดังน้นั n(S) = 1,320 ให้ E แทนเหตกุ ารณห์ ยบิ ลกู แก้วได้สีด�ำ สฟี า้ และสชี มพูตามล�ำดับ ข้นั ตอนท่ี 1 หยบิ ลกู แก้วสีด�ำ 1 ลูกจากลูกแก้วสีด�ำท้ังหมด 5 ลูก ท�ำได้ C5,1 วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 หยบิ ลูกแก้วสีฟ้า 1 ลกู จากลกู แก้วสฟี ้าท้ังหมด 4 ลกู ท�ำได้ C4,1 วิธี ข้นั ตอนท่ี 3 หยิบลูกแก้วสีชมพู 1 ลกู จากลกู แก้วสีชมพทู ้ังหมด 3 ลูก ท�ำได้ C3,1 วิธี โดยหลักการคณู จะได้ว่า n(E) = C5,1´C4,1´C3,1 = 60 น่นั คือ P(E) = n(E) = 60 = 1 n(S) 1,320 22 1 ดังน้นั ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยิบลูกแก้วได้สดี �ำ สีฟ้า และสีชมพตู ามล�ำดับเท่ากับ 22

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 79 ตัวอยา่ งท่ี 7 ถงุ ใบหน่งึ บรรจุลูกอมรสมะนาว 5 ลกู รสกาแฟ 4 ลูก รสชาเขยี ว และรสนมอยา่ งละ 2 ลกู ถ้าสมุ่ หยิบ วิธที �ำ ลกู อมมา 3 ลูกพรอ้ มกัน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่จะหยิบได้ลกู อมท่ีมรี สต่างกันท้ังหมด ให้ S แทนปริภมู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสุ่มน้ี จ�ำนวนวิธใี นการหยิบลกู อม 3 ลูก จากลกู อมท้ังหมด 13 ลูก โดยหยบิ ออกมา 3 ลกู พร้อมกัน เท่ากับ C13,3 = 286 วิธี ดังน้นั n(S) = 286 ให้ E แทนเหตกุ ารณห์ ยบิ ได้ลูกอมที่มรี สต่างกันท้ังหมด ซ่งึ เกิดได้ 4 กรณี ดังน้ี กรณีที่ 1 ได้ลกู อมรสมะนาว รสกาแฟ และรสชาเขยี ว อยา่ งละ 1 ลูก ข้นั ตอนที่ 1 หยบิ ได้ลูกอมรสมะนาว 1 ลกู จากลกู อมรสมะนาวท้ังหมด 5 ลูก ท�ำได้ C5,1 วิธี ข้ันตอนท่ี 2 หยบิ ได้ลูกอมรสกาแฟ 1 ลูก จากลูกอมรสกาแฟท้ังหมด 4 ลูก ท�ำได้ C4,1 วิธี ข้นั ตอนท่ี 3 หยิบได้ลกู อมรสชาเขยี ว 1 ลกู จากลูกอมรสชาเขยี วท้ังหมด 2 ลูก ท�ำได้ C2,1 วิธี โดยหลักการคณู จะได้ว่า กรณที ี่ 1 มวี ิธหี ยิบได้ C5,1´C4,1´C2,1 = 40 วิธี กรณที ่ี 2 ได้ลูกอมรสมะนาว รสกาแฟ และรสนม อยา่ งละ 1 ลูก ข้นั ตอนท่ี 1 หยิบได้ลกู อมรสมะนาว 1 ลกู จากลูกอมรสมะนาวท้ังหมด 5 ลกู ท�ำได้ C5,1 วิธี ข้ันตอนที่ 2 หยิบได้ลกู อมรสกาแฟ 1 ลูก จากลูกอมรสกาแฟท้ังหมด 4 ลูก ท�ำได้ C4,1 วิธี ข้ันตอนที่ 3 หยิบได้ลกู อมรสนม 1 ลูก จากลกู อมรสนมท้ังหมด 2 ลกู ท�ำได้ C2,1 วิธี โดยหลักการคณู จะได้ว่า กรณีท่ี 2 มวี ิธหี ยบิ ได้ C5,1´C4,1´C2,1 = 40 วิธี กรณีที่ 3 ได้ลูกอมรสมะนาว รสชาเขยี ว และรสนม อย่างละ 1 ลกู ข้นั ตอนที่ 1 หยิบได้ลูกอมรสมะนาว 1 ลกู จากลูกอมรสมะนาวท้ังหมด 5 ลกู ท�ำได้ C5,1 วิธี ข้ันตอนท่ี 2 หยิบได้ลกู อมรสชาเขียว 1 ลกู จากลูกอมรสชาเขยี วท้ังหมด 2 ลูก ท�ำได้ C2,1 วิธี ข้นั ตอนท่ี 3 หยิบได้ลูกอมรสนม 1 ลูก จากลูกอมรสนมท้ังหมด 2 ลูก ท�ำได้ C2,1 วิธี โดยหลักการคูณ จะได้ว่า กรณที ี่ 3 มวี ิธหี ยิบได้ C5,1´C2,1´C2,1 = 20 วิธี กรณที ่ี 4 ได้ลูกอมรสกาแฟ รสชาเขยี ว และรสนม อย่างละ 1 ลกู ข้นั ตอนท่ี 1 หยิบได้ลกู อมรสกาแฟ 1 ลูก จากลกู อมรสกาแฟท้ังหมด 4 ลูก ท�ำได้ C4,1 วิธี ข้นั ตอนท่ี 2 หยิบได้ลูกอมรสชาเขียว 1 ลกู จากลูกอมรสชาเขียวท้ังหมด 2 ลูก ท�ำได้ C2,1 วิธี ข้ันตอนท่ี 3 หยบิ ได้ลกู อมรสนม 1 ลกู จากลูกอมรสนมท้ังหมด 2 ลกู ท�ำได้ C2,1 วิธี โดยหลักการคณู จะได้ว่า กรณที ่ี 4 มวี ิธหี ยบิ ได้ C4,1´C2,1´C2,1 = 16 วิธี โดยหลักการบวก จะได้ว่า จ�ำนวนวิธหี ยิบได้ลูกอม 3 ลกู ท่ีมรี สต่างกันเท่ากับ 40 + 40 + 20 + 16 = 116 วิธี น่นั คือ n(E) = 116 ดังน้นั P(E) = n(E) = 116 = 58 n(S) 286 143 58 น่นั คือ ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยบิ ลกู อม 3 ลกู ที่มรี สต่างกันท้ังหมดเท่ากับ 143

80 ความนา่ จะเปน็ แบบฝึกหดั ที่ 4.1 ความนา่ จะเป็นเก่ยี วกบั การเรียงสับเปล่ยี นและจดั หมู่ 1 มเี ส้อื อยู่ 5 ตัว เปน็ สีขาว 3 ตัว สีฟ้า 2 ตัว มกี างเกงขายาว 4 ตัว เปน็ สขี าว 1 ตัว และสีเทา 3 ตัว ถ้าต้องการ แต่งตัวออกจากบา้ น โดยไมเ่ จาะจงแล้ว จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะสวมเส้อื และกางเกงสีต่างกันเปน็ เท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 2 ในการเลอื กตวั เลข 3 ตวั โดยไมเ่ จาะจงจาก {1, 2, 3, 4} โดยเลอื กหยบิ ทลี ะตวั และไมซ่ ้ำ� กนั จงหาความนา่ จะเปน็ ที่จะได้ตัวเลขสามตัวที่มผี ลบวกเปน็ 6 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 โรงเรยี นและบ้านของ A อยู่ริมน้ำ� ซ่งึ ต้องเดินทางไปโรงเรียนและกลับบ้านโดยใชเ้ รือ ถ้ามเี รือด่วน 3 ล�ำ เรือ หางยาว 5 ล�ำ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ี A จะเดินทางไปโรงเรียนและกลับบ้านด้วยเรือด่วนล�ำเดียวกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 ถา้ ใชก้ ระถางตน้ เฟ่ อื งฟา้ ตา่ งกนั 3 กระถาง และกระถางตน้ กหุ ลาบตา่ งกนั 4 กระถาง แตง่ เวทซี ง่ึ เปน็ วงกลม โดย ตอ้ งใชก้ ระถางตน้ ไม้ 1 กระถาง วางบนเวที และวางกระถางตน้ ไมท้ ี่เหลอื รอบเวที จงหาความนา่ จะเปน็ ที่จะได้ (1) ต้นกหุ ลาบอยู่บนกลางเวที และต้นไมท้ ี่เหลือวางสลับชนดิ กันรอบเวที ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ต้นเฟ่ ืองฟา้ วางกลางเวที และต้นไมท้ ่ีเหลือวางรอบเวที ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 81 5 ทอดลกู เต๋าสองลูกพร้อมกัน 1 คร้ัง จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ (1) ลกู เต๋าออกแต้มตรงกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ผลบวกของแต้มบนลกู เต๋าท้ังสองเปน็ 7 โดยท่ีลูกเต๋าลูกหน่งึ ข้ึนแต้มไมน่ อ้ ยกว่า 4 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ผลคณู ของแต้มบนลูกเต๋าท้ังสองลูกหารด้วย 4 ลงตัว ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (4) ผลบวกของแต้มบนลูกเต๋าท้ังสองเปน็ 7 หรือผลคูณของแต้มบนลกู เต๋าท้ังสองเปน็ 12 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 1 1 1 (5) หนา้ ลูกเต๋าลกู หน่งึ ข้ึนแต้ม a และหนา้ ลูกเต๋าอีกลูกหน่งึ ข้ึนแต้ม b โดยท่ี a+ b = 2 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 ถ้าทอดลกู เต๋า 3 ลกู พรอ้ มกันแล้ว จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ลูกเต๋าท้ัง 3 ลกู จะข้ึนแต้มไมซ่ ้ำ� กันเลย ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 ในการโยนลกู เตา๋ 1 ลกู พรอ้ มกบั โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญจำ� นวน 1 ครง้ั จงหาความนา่ จะเปน็ ทีเ่ หรยี ญจะหงาย หนา้ เดียวกนั และลกู เต๋าขน้ึ แต้มเปน็ จำ� นวนเฉพาะ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

82 ความนา่ จะเปน็ 8 จดั คน 5 คน โดยมี เอ และ บี อยใู่ นนดี้ ้วย มายนื เรยี งแถวตรง จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีเอและบจี ะยนื ติดกนั เสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 ในการจัดแต่งเวทีแหง่ หน่งึ ใชก้ ล่องที่มลี ักษณะเหมอื นกัน 6 กล่อง เปน็ กล่องสฟี า้ 3 กลอ่ ง กล่องสชี มพู 2 กลอ่ ง และกล่องสีแดง 1 กล่อง นำ� กล่องท้ังหมดมาจัดเรียงเปน็ วงกลมเพ่อื ตกแต่งเวที จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีกล่องสี เดียวกันเรียงอยู่ติดกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 10 มคี น 10 คน ซ่งึ ใน 10 คนนี้ มภี ผู าและน้ำ� ใสรวมอยู่ด้วย ถ้าจัดคน 10 คน น่งั เปน็ วงกลม จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ภผู าและน้ำ� ใส จะน่งั ติดกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 11 ชาย 3 คน และหญิง 4 คน ยืนต่อแถวซ้ือต๋ัวชมภาพยนตร์เร่อื งหน่งึ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีผหู้ ญิงท้ัง 4 คน จะ ยืนเรียงติดกันในแถวน้นั ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 12 รา้ นขายไอศกรีมแหง่ หน่งึ มไี อศกรีม 10 รส โดยมรี สวนลิ าเปน็ 1 ใน 10 รส ในวันเด็ก ร้านนไี้ ด้แจกไอศกรมี ฟรี ใหแ้ ก่เด็กคนละ 1 ถ้วย ถ้วยละ 2 รส ถ้าส่มุ เด็กท่ีได้รับแจกไอศกรมี มาหน่งึ คน ความนา่ จะเปน็ ที่ถ้วยไอศกรีม ของเด็กคนนไี้ มม่ รี สวนลิ าเท่ากับเท่าใด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 4 ความนา่ จะเปน็ 83 13 ถงุ ใบหน่งึ บรรจุลูกหนิ ขนาดเดียวกัน มสี แี ดง 3 ลูก สีขาว 2 ลกู และสเี ขยี ว 5 ลกู สุม่ หยบิ ลกู หนิ ข้นึ มา 3 ลกู พรอ้ มกัน จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ (1) ลกู หนิ สีละลกู ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ลูกหนิ สีแดง 1 ลกู ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ได้ลกู หนิ เพียง 2 สีเท่าน้นั ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 14 ในถงุ ใบหน่งึ มลี กู อมขนาดเดียวกัน 15 เมด็ เปน็ ลูกอมสีขาว 4 เมด็ ลกู อมสีแดง 5 เมด็ และลูกอมสีสม้ 6 เมด็ สมุ่ หยิบลูกอมข้นึ มาพร้อมกัน 2 เมด็ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ (1) หยิบได้ลูกอมสขี าวท้ัง 2 เมด็ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) หยบิ ได้ลูกอมสขี าวและลูกอมสีแดงอยา่ งละ 1 เมด็ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) หยิบได้ลูกอมสีส้มอยา่ งนอ้ ย 1 เมด็ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

84 ความนา่ จะเปน็ 15 กลอ่ งใบหนง่ึ มลี กู บอล 9 ลกู มลี กู บอลสแี ดง 2 ลกู สขี าว 3 ลกู และสดี ำ� 4 ลกู สมุ่ หยบิ ลกู บอลมา 3 ลกู จงหา ความนา่ จะเปน็ ที่จะได้ลกู บอลสีด�ำ เม่อื (1) สุ่มหยิบพร้อมกัน 3 ลูก ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) สุ่มหยบิ ลกู บอลมาทีละลกู แล้วใส่กลับคืนก่อนหยิบคร้ังต่อไป ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) สุ่มหยบิ ลูกบอลมาทีละลูก แล้วไมใ่ สก่ ลับคืน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 16 ตะกร้าใบหน่งึ มแี อปเปลิ ฝร่งั และมะมว่ ง รวม 10 ลกู โดยแอปเปลิ มจี �ำนวนเปน็ สองเท่าของฝร่ัง และมมี ะมว่ ง อยู่ 1 ลกู หยบิ ผลไมข้ ้ึนมา 3 ลกู พรอ้ มกันอย่างไมเ่ จาะจง จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ (1) ได้มะมว่ งเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ได้แอปเปลิ 2 ลกู ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ได้ผลไมช้ นดิ ละ 1 ลูก ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทท่ี 4 ความนา่ จะเปน็ 85 17 นกั เรยี นหอ้ งหน่งึ มี 20 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด 4 จ�ำนวน 5 คน ได้เกรด 3.5 จ�ำนวน 8 คน ที่เหลือได้ เกรดอ่ืน ๆ ถ้าส่มุ นกั เรยี นมา 3 คนจากหอ้ งน้ี จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้นกั เรียนอยา่ งนอ้ ย 1 คนท่ีได้เกรด 4 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 18 มสี ลาก 6 ใบ เขยี นหมายเลข 1 – 6 ก�ำกับไว้ ใหส้ มุ่ หยบิ สลาก 2 ใบ โดยหยบิ คร้งั ละ 1 ใบ ถ้าคร้งั แรกได้เลขคู่ให้ ใส่สลากใบน้นั กลับคืนกล่อง ก่อนจะหยิบคร้ังท่ีสอง แต่ถ้าหยิบคร้ังแรกได้เลขคี่ ก็หยิบคร้งั ท่ีสองได้เลยโดยไม่ ต้องใส่สลากกลับคืน จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยบิ ได้คร้ังท่ีสองเปน็ เลขคู่ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 19 กล่องใบหน่งึ มบี ตั ร 10 ใบ แต่ละใบเขยี นหมายเลข 0 – 9 บตั รละหน่งึ หมายเลข ถ้าหยิบบตั รออกจากกล่อง พร้อมกัน 3 ใบ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้บตั รหมายเลขคู่ทุกใบ และมแี ต้มรวมกันนอ้ ยกว่า 10 ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

86 ความนา่ จะเปน็ 20 กล่องใบหน่งึ บรรจุหลอดไฟ 10 หลอด เปน็ หลอดช�ำรุด 4 หลอด และหลอดดี 6 หลอด ถ้าสุ่มหยบิ หลอดไฟ จากกล่องมา 4 หลอด จงหาความนา่ จะเปน็ ที่จะได้หลอดชำ� รุดไมเ่ กิน 1 หลอด ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 21 ในกล่องใบหน่งึ บรรจุมงั คุด 10 ผล มมี งั คุดดี 8 ผล และมงั คุดเสยี 2 ผล สุ่มหยิบมงั คุดจากกล่องออกมา 3 ผล จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้มงั คุดเสยี 2 ผล โดยท่ี (1) หยบิ มงั คุดท้ัง 3 ผลพรอ้ มกัน ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) หยิบทีละผลแล้วใสค่ ืนกล่องก่อนหยบิ ผลต่อไป ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) หยบิ ทีละผลแต่ไมใ่ สค่ ืนกล่องก่อนหยิบผลต่อไป ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 87 22 ขา้ วสารบรรจุถงุ กองหน่งึ ประกอบด้วย ขา้ วย่ีหอ้ A จ�ำนวน 4 ถงุ ยี่หอ้ B จ�ำนวน 3 ถงุ ยหี่ อ้ C จ�ำนวน 2 ถงุ และยี่หอ้ D จ�ำนวน 1 ถุง ส่มุ หยิบขา้ วจากกองนม้ี า 4 ถงุ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ข้าวครบทกุ ยห่ี อ้ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 23 นำ� ตัวอักษรค�ำว่า ACADEMIC มาจัดเรียงโดยไมส่ นใจความหมาย จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ (1) สระทกุ ตัวเรียงติดกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (2) ข้ึนต้นและลงท้ายด้วยอักษร C เสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... (3) ตัวอักษร D, I และ M อยูแ่ ยกกันเสมอ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

88 ความนา่ จะเปน็ การหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์โดยใชส้ มบตั ิของเซต ในการเขยี นเหตกุ ารณท์ ่ีได้จากการทดลองสมุ่ นน้ั เราสามารถใชแ้ ผนภาพเวนนช์ ว่ ยในการแกป้ ญั หาได้ ดังนน้ั เราสามารถนำ� เหตกุ ารณ์จากการทดลองสุ่มมาเขยี นในรูปของเซตได้ และสามารถใช้สมบตั ิของเซตรวมไปถึงแผนภาพ เวนนม์ าชว่ ยในการหาความนา่ จะเปน็ ได้ โดยข้ันต้น จะทบทวนการใช้แผนภาพเวนนป์ ระกอบกับการด�ำเนนิ การของ เซตก่อน ดังต่อไปนี้ ให้ A และ B เปน็ เซตจ�ำกัดใด ๆ ซ่งึ เปน็ สับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ U AB AB U U A Ç B = {x | x Î A และ x Î B} A È B = {x | x Î A หรอื x Î B} A AB U U A¢ = {x | x Î U และ x Ï A} A – B = {x | x Î A และ x Ï B} น่ารู้ AB 1234 U ในแผนภาพเวนนส์ ำ� หรบั เซตสองเซต จะมบี ริเวณท้ังหมด 4 บรเิ วณดังรูป ซ่ึงเราจะได้ว่า A Ç B คือพ้ืนที่บรเิ วณ 3 A È B คือพ้นื ท่ีบริเวณ 2 , 3 และ 4 A¢ คือพ้ืนท่ีบรเิ วณ 1 A – B คือพ้ืนที่บริเวณ 2 B – A คือพ้ืนที่บริเวณ 4

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 89 ช วนคดิ ลองทำ� ใหแ้ รเงาแผนภาพเวนนต์ ามเซตที่ก�ำหนดให้ AB A B AB U U U A¢ È B A È B¢ (A È B)¢ AB AB AB U U U A¢ Ç B A Ç B¢ (A Ç B)¢ AB AB AB U U U A¢ – B A – B¢ (A – B)¢ นา่ รู้ การใชแ้ ผนภาพเวนนช์ ่วยค�ำนวณความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เราจะใหเ้ อกภพสมั พทั ธ์ U คือปริภมู ติ ัวอย่าง S และความนา่ จะเปน็ ของปรภิ มู ติ ัวอย่าง P(S) มคี ่าเท่ากับ 1 เสมอ ตัวอยา่ งท่ี 8 ให้ S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา่ ง A และ B แทนเหตุการณใ์ ด ๆ ถ้า P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(A È B¢) = 0.7 แล้ว จงหา P(A – B) วิธที �ำ AB พ้นื ท่ีของ A È B¢ สามารถแรเงาได้ดังรูป 0.2 0.3 0.3 เน่อื งจาก B – A = S – (A È B¢) ดังน้นั P(B – A) = 1 – P(A È B¢) = 1 – 0.7 = 0.3 0.2 S เน่อื งจาก A Ç B = B – (B – A) และ (A Ç B) Ç (B – A) = Æ ดังน้นั P(A Ç B) = P(B) – P(B – A) = 0.6 – 0.3 = 0.3 เน่อื งจาก A – B = A – (A Ç B) และ (A – B) Ç (A Ç B) = Æ ดังน้นั P(A – B) = P(A) – P(A Ç B) = 0.5 – 0.3 = 0.2

90 ความนา่ จะเปน็ ตัวอยา่ งท่ี 9 ความนา่ จะเปน็ ท่ีแมจ่ ะไปดูหนงั และออกก�ำลังกายในวันนเ้ี ปน็ 0.6 และ 0.8 ตามล�ำดับ ถ้าแมต่ ้องท�ำ กิจกรรมอยา่ งนอ้ ย 1 อยา่ งแนน่ อน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่แมจ่ ะท�ำกิจกรรมท้ังสองอยา่ ง วิธที �ำ ให ้ S แทนปรภิ มู ติ วั อยา่ ง คือ การกจิ กรรมในวนั หนง่ึ ของแม่ ไดแ้ ก่ การดหู นงั และการออกกำ� ลงั กาย A แทนเหตุการณ์ท่ีแมไ่ ปดูหนงั ในวันน้ี B แทนเหตกุ ารณท์ ่ีแมไ่ ปออกก�ำลังกายในวันนี้ A È B แทนเหตุการณท์ ่ีแมไ่ ปดหู นงั หรอื ไปออกก�ำลังกายในวันนี้ A Ç B แทนเหตกุ ารณท์ ี่แมท่ �ำกิจกรรมท้ังสองอยา่ งในวันนี้ เน่อื งจาก แมต่ ้องท�ำกิจกรรมอย่างนอ้ ย 1 อยา่ งแนน่ อน จะได้ว่า P(S) = P(A È B) = 1 นอกจากน้นั จะได้ว่า P(A) = 0.6 และ P(B) = 0.8 จากสตู รการหาจ�ำนวนสมาชกิ ของเซตจ�ำกัด AB n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A Ç B) 0.2 0.4 0.4 ดังน้นั P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) 1 = 0.6 + 0.8 – P(A Ç B) S น่นั คือ P(A Ç B) = 0.4 เพราะฉะน้นั ความนา่ จะเปน็ ที่แมจ่ ะท�ำกิจกรรมท้ังสองอยา่ งเท่ากับ 0.4 แบบฝึกหัดที่ 4.2 การหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์โดยใช้สมบตั ขิ องเซต 1 มนี กั เรยี นกลมุ่ หนง่ึ จำ� นวน 120 คน ในจำ� นวนนพ้ี บวา่ มนี กั เรยี นท่ีชอบเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์ 60 คน มนี กั เรยี น ทชี่ อบวชิ าภาษาองั กฤษ 50 คน และมนี กั เรยี นทช่ี อบเรยี นท้ัง 2 วิชา 20 คน สมุ่ เลอื กนกั เรยี นจากกลมุ่ นมี้ า 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่นกั เรียนคนที่เลือกมาจะ (1) ชอบเรียนอย่างนอ้ ย 1 วิชา (2) ไมช่ อบเรียนท้ัง 2 วิชา (3) ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์แต่ไมช่ อบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ (4) ชอบเรียนอย่างมาก 1 วิชา ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 91 2 จากการสอบถามประวตั ิผปู้ ว่ ยของสาธติ คลนิ กิ เกยี่ วกบั การปว่ ยด้วยโรคหวั ใจหรอื โรคเบาหวาน จำ� นวน 50 คน (ปว่ ยทกุ คน) พบวา่ มผี ปู้ ว่ ยเปน็ โรคหวั ใจ 20 คน เปน็ ทง้ั สองโรค 15 คน ถา้ สมุ่ หยบิ ประวตั ผิ ปู้ ว่ ยมา 1 คน จงหา ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะได้ประวตั ผิ ปู้ ว่ ยด้วยโรคหวั ใจอยา่ งเดียวหรอื ปว่ ยดว้ ยโรคเบาหวานอยา่ งเดยี ว ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 3 นกั เรียนหอ้ งหน่งึ มี 45 คน จากการสำ� รวจพบว่า เปน็ โรคฟันผุ 25 คน เปน็ โรคเกี่ยวกับสายตา 15 คน ซ่งึ ใน จำ� นวนนมี้ ี 10 คนทเ่ี ปน็ ทง้ั โรคฟนั ผแุ ละโรคเกย่ี วกบั สายตา ถา้ สมุ่ นกั เรยี นในหอ้ งนม้ี า 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่นกั เรียนคนนจี้ ะเปน็ โรคฟันผหุ รอื โรคเกี่ยวกับสายตา ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 4 หมบู่ า้ นแหง่ หน่งึ มปี ระชากรอาศยั อยู่ 300 ครอบครัว ท�ำอาชีพปลกู ขา้ ว 170 ครอบครวั ปลูกอ้อย 180 ครอบครวั และปลกู ท้ังข้าวและอ้อย 80 ครอบครัว จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีครอบครัวหน่งึ ในหมบู่ า้ นน้นั จะ ปลูกข้าวหรืออ้อย ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

92 ความนา่ จะเปน็ 5 ในหมบู่ ้านแหง่ หน่งึ มี 600 ครอบครวั ในจ�ำนวนนม้ี ี 320 ครอบครวั ที่เล้ียงเปด็ มี 210 ครอบครัวท่ีเล้ียงไก่ และ มี 260 ครอบครัวท่ีไมไ่ ด้เลี้ยงเปด็ หรือไก่ ถ้าสุ่มมา 1 ครอบครัว จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ (1) ครอบครัวที่เลี้ยงท้ังเปด็ และไก่ (2) ครอบครวั ที่เลี้ยงเปด็ อยา่ งเดียว (3) ครอบครัวที่ไมไ่ ด้เลี้ยงท้ังเปด็ และไก่ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 6 ก�ำหนด P(E) แทนความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E ถ้า A และ B เปน็ เหตุการ์ณใด ๆ ในปรภิ มู ติ ัวอย่าง โดยที่ 1 5 1 P(A) = 2 , P(B′) = 8 และ P(A′ Ç B′) = 4 จงหา (1) P(A¢ È B) (2) P(A È B¢) ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 7 นกั เรียนกลุ่มหน่งึ มี 16 คน ซ่งึ แต่ละคนชอบกิจกรรมท�ำอาหาร เล่นดนตรี และเล่นกีฬาอยา่ งนอ้ ย 1 อย่าง และพบว่ามี 8 คนชอบท�ำอาหาร มี 10 คนชอบเล่นดนตรี มี 10 คนชอบเล่นกีฬา มี 5 คนชอบท�ำอาหารและ เล่นดนตรี มี 3 คนชอบท�ำอาหารและเล่นกีฬา มี 6 คนชอบเล่นดนตรแี ละเล่นกีฬา ถ้าสุม่ เลือกตัวแทนนกั เรียน มา 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้นกั เรยี นที่ชอบกิจกรรมเพียงอย่างเดียวเท่าน้นั ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 93 8 ก�ำหนดให้ P(B) = 0.32, P(A Ç B) = 0.19 และ P[(A È B) – (A Ç B)] = 0.45 จงหา P(A – B) เม่อื P(E) แทน ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ E ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 9 ในการสอบถามนกั เรียนจ�ำนวน 100 คน ปรากฏว่ามี 50 คนชอบวิชาคณิตศาสตร์ มี 40 คนชอบวิชาภาษาไทย มี 35 คนชอบวิชาภาษาอังกฤษ มี 8 คนชอบท้ังสามวิชา มี 12 คนชอบวิชาภาษาอังกฤษอยา่ งเดียว มี 10 คน ชอบวิชาภาษาไทยอยา่ งเดียว และมี 20 คนชอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทย ถ้าส่มุ นกั เรยี นมา 1 คน จงหา (1) ความนา่ จะเปน็ ที่นกั เรียนคนน้นั จะไมช่ อบท้ัง 3 วิชา (2) ความนา่ จะเปน็ ที่นกั เรียนคนน้นั จะชอบวิชาคณติ ศาสตร์อย่างเดียว ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 10 ก�ำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} สุ่มหาสับเซต A ท่ีมสี มาชิก 3 ตัว จงหาความนา่ จะเปน็ ที่จะได้สับเซต {a, b, c} Ì A โดยที่ a < b < c และ a, b, c เปน็ ล�ำดับเลขคณิต ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................

94 ความนา่ จะเปน็ 11 ก�ำหนดให้ A และ B เปน็ เหตกุ ารณ์ในปรภิ มู ติ ัวอยา่ ง ถ้า P(B – A) = 0.4, P(B) = 0.7 และ P(A¢ È B) = 0.8 แล้ว จงหา P(A È B¢) ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 12 ถ้า A และ B เปน็ เหตกุ ารณ์ซ่ึง P(A – B) = P(B – A) = P(A Ç B) = 0.20 แล้ว จงหา P(A È B)¢ ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... 13 ให้ S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา่ ง และ A, B, C เปน็ เหตกุ ารณ์ โดยท่ี A È B È C = S และ A Ç B = A Ç C = B Ç C = Æ ถ้า P(A È C) = 0.75 และ P(B È C) = 0.55 แล้ว จงหา P(A¢ Ç B¢) ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................