E-book 30000-1303-2 แรงและสมดุล

เอกสารประกอบการเรียน รหัสวิชา 30000-1303 วิชา วทิ ยาศาสตร์งานไฟฟ้า อิเลก็ ทรอนิกส์ และการส่อื สาแรละการส่อื สาร หลักสูตรประกาศนยี บัตรวิชาชีพชน้ั สงู (ปวส.) พทุ ธศักราช 2563 หนว่ ยที่ 2 เรื่อง แรงและสมดุลของแรง ธัญพร พุ่มพวง ครชู ำนาญการพเิ ศษ วทิ ยาลยั เทคนคิ ลพบุรี สำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา กระทรวงศกึ ษาธิการ

2 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 2 เรื่อง แรงและสมดุลของแรง แนวคิด แรง คือ อำนาจชนิดหนึ่ง ซึ่งเป็นปริมาณที่ได้จากพลังงานทุกชนิด เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุ วัตถุ จะพยายามเปลี่ยนแปลงสภาพของวตั ถุ เช่น เปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ เปลี่ยนขนาดของอัตราเร็ว หรือ เปลี่ยนขนาด รูปร่างของวัตถุ การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นเกิดจากผลรวมของแรงทั้งหมด วิธีการรวมแรง ใช้หลกั การรวมเวกเตอร์ แรงในหนว่ ยเอสไอ มีหนว่ ยเป็น kg m/s2 หรอื นวิ ตัน สาระการเรียนรู้ 2.1 ความหมายของแรงและชนิดของแรง 2.2 การแยกแรง 2.3 การหาผลรวมของแรง 2.4 สมดุลของแรง 2.5 ทอร์กหรือโมเมนต์ 2.6 สมดุลต่อการหมุน จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม 1. นักศึกษาบอกความหมายของแรงไดอ้ ยา่ งถูกต้อง 2. นักศึกษาวิเคราะห์ชนดิ ของแรงที่มากระทำตอ่ วตั ถุในสภาพตา่ ง ๆ ได้อยา่ งถกู ต้อง 3. นกั ศึกษาคำนวณการแยกแรงได้อยา่ งถูกตอ้ ง 4. นักศกึ ษาคำนวณหาผลรวมของแรงบนระนาบ 2 มติ ิ และ 3 มิติได้อย่างถูกตอ้ ง 5. นักศกึ ษาคำนวณหาขนาดของแรงท่ีกระทำต่อวัตถุเมื่อวตั ถุอย่ใู นสภาพสมดลุ ได้อย่างถกู ต้อง 6. นกั ศึกษาคำนวณหาทอรก์ หรือโมเมนต์ของแรงที่กระทำตอ่ วตั ถุได้อย่างถกู ต้อง 7. นักศึกษาคำนวณหาขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุโดยใช้หลักการสมดุลต่อการหมุน ได้อย่างถกู ต้อง

3 ผังมโนทัศน์

4 2.1 ความหมายของแรงและชนดิ ของแรง แรงมีบทบาทท่ีสำคญั มากต่อกิจกรรมต่าง ๆ ในชวี ิตประจำวนั การออกแรงกระทำต่อวัตถุสามารถ ทำใหว้ ตั ถทุ ห่ี ยุดนง่ิ เกิดการเคลอ่ื นที่ หรอื วตั ถทุ ่กี ำลงั เคลื่อนทหี่ ยุดน่งิ หรือเคลือ่ นทีช่ ้าลงหรือเรว็ ข้ึน หรอื อาจ เปล่ยี นทศิ ทางการเคลือ่ นที่ 2.1.1 Fคoวrcาeมห: มFา)ยหขอมงาแยรถงึง อำนาจหรือสิง่ ที่ไปกระทำต่อวตั ถุแล้วทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลง แรง ( การเคลื่อนที่ ความเร็ว ขนาดและรูปร่าง แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทัง้ ขนาดและทิศทาง ผลซึ่งเกิดจาก การกระทำของแรงขึ้นอยู่กับลักษณะของแรง ชนิดของแรง ขนาดของแรง และจุดที่แรงกระทำต่อวัตถุ เช่น การเลอ่ื นเกา้ อ้ีต้องมีการออกแรงกระทำตอ่ เก้าอี้ ผลของการออกแรงกระทำต่อเกา้ อี้จะทำให้เก้าอี้เกิด การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ แต่การออกแรงกระทำต่อวัตถุนั้นไม่ได้ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เสมอไป เช่น การออกแรงผลกั ผนงั ตกึ ผลของการออกแรงไมท่ ำใหผ้ นังตกึ เคลอื่ นที่ การเขียนสญั ลกั ษณ์ของแรงจึงต้องใช้ ลูกศรแสดงทิศทางและความยาวแทนขนาดของแรงในหน่วยเอสไอ ( International system of units ) แรงมหี นว่ ยเปน็ kg m/s2 หรือ นิวตัน แรง 1 นวิ ตัน คอื แรงที่ทำให้วตั ถมุ วล 1 กโิ ลกรัม ( kg ) มคี วามเร่ง 1 เมตรต่อวินาที2 ( m/s2 ) ดังนัน้ จงึ เขยี นเป็นสมการได้ว่า .................2.1 F = m a โดยที่ F แทน แรง หนว่ ย นิวตนั หรอื kg m/s2 m แทน มวลของวัตถุ หน่วย กิโลกรัม หรือ kg a แทน ความเร่ง หน่วย เมตรต่อวินาที2หรือ m/s2 F 2 F1 FF==mmg g ภาพท่ี 2.1 การเขียนสญั ลักษณ์ของแรง

5 2.1.2 ชนดิ ของแรง เมื่อวัตถถุ ูกแรงกระทำ การเปล่ียนแปลงการเคลื่อนที่ ความเร็ว ขนาด รูปรา่ ง และทิศทางของวัตถุ จะขึ้นอยู่กับขนาดและทิศทางของแรงที่มากระทำ การแบ่งชนดิ ของแรงโดยใช้การสัมผัสทางกายภาพของ วัตถุที่ออกแรงกระทำกบั วัตถทุ ี่ถูกกระทำเปน็ เกณฑ์ แบ่งได้ 2 ชนดิ คือ แรงสัมผัส ( Contact force ) และ แรงสนาม ( Field force ) 1. แรงสัมผัส ( Contact force ) เกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่ออกแรงกระทำและวัตถุที่ถูกกระทำสัมผัส กันทางกายภาพ เช่น การออกแรงดันรถเข็น ดังภาพที่ 2.2 ก. การออกแรงเตะลูกบอล ดังภาพที่ 2.2 ข. เป็นต้น ก. ข. ภาพท่ี 2.2 ตวั อยา่ งแรงสัมผัส แรงท่กี ระทำตอ่ วตั ถดุ งั กล่าวเปน็ ผลจากการสมั ผัสกนั ระหวา่ งวัตถุ 2 ชนดิ ทีเ่ ปน็ วตั ถุออกแรงกระทำ กับวัตถุที่ถูกกระทำ fถo้าrวcัตeถ:ุทNั้งส)อแงรองยเสู่หยี ่าดงทกาันนจะ( ไFมri่เcกtิดioผnลขfoอrงcแeร:ง แf ร)งแสรัมงผตัสึง (ไดT้แeกn่sแioรnงปfoฏrิกcิรeิย:ารTะ)หแวล่าะง ผิวสัมผัส ( Normal แรงจากสปรงิ ( Spring force ) ( Normal force : N ) 1.1 แรงปฏกิ ริ ยิ าระหว่างผิวสัมผสั แรงปฏิกริ ิยาระหว่างผิวสัมผัสเป็นแรงทีเ่ กิดขึ้นเมือ่ วัตถุสัมผัสกับพื้นผิวใด ๆ พื้นผิวนั้นจะมีแรง กในรแะทนำวตต่อั้งวฉัตาถกุใกนับลพักื้ษนณผิวะขผอลงักววัตัตถถุุอเสอมกอจาสกัญพื้นลผักิวษสณัม์ทผัสี่ใชโด้แยทแนรงแปรฏงปิกฏิริยิกาิรริยะาหรวะา่ หงผวิว่าสงัมผผิวัสสมัมีทผิศัสทคางือพ่งุ“อNอก” ดงั ภาพที่ 2.3

6 N N F m m W = mg f W = mg ภาพท่ี 2.3 แรงปฏกิ ริ ยิ าระหว่างผวิ สมั ผัสทีเ่ กดิ ขึ้นกับวตั ถุ 1.2 แรงเสยี ดทาน ( Friction force : f ) แรงเสียดทานเป็นแรงที่เกิดขึน้ ระหวา่ งผิวสัมผัสของวตั ถุ กับผิวใด ๆ ก็ตาม เช่น การใส่รองเทา้ เดนิ บนผิวถนน แรงเสียดทานจะเกิดขึ้นจากการสัมผัสกันระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้า การเดินบนผิวถนน ทมี่ โี คลนเปียกและลนื่ เดนิ ไดย้ ากกว่าการเดินบนผวิ ถนนที่แห้ง เน่ืองจากแรงทเ่ี กิดจากการสัมผัสระหว่างผิว ถนนกับพื้นรองเท้า หรือแรงเสียดทานที่ผิวถนนที่มีโคลนเปียกลื่นมีน้อยกว่าผิวถนนที่แห้ง การเดินบนผิว ถนนต้องอาศัยแรงเสยี ดทานของผวิ ถนนกับพน้ื รองเท้า ดังภาพท่ี 2.4 คนเดนิ ไปข้างหน้า แรงเสยี ดทาน พื้นรองเทา้ เคล่อื นทไ่ี ปขา้ งหลงั แรงปฏกิ ิรยิ าระหวา่ งผิวสัมผสั ภาพที่ 2.4 แรงเสยี ดทานระหว่างผิวถนนกบั พนื้ รองเทา้ จากภาพที่ 2.4 ในขณะที่คนเดินไปข้างหน้าที่จุดผิวสัมผัสระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้า ทิศทาง การเคลื่อนที่ของพื้นรองเท้าไปข้างหลัง แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นระหว่างผิวถนนกับพ้ืนรองเท้าจะมีทิศทาง ไปข้างหน้าซึ่งตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของพื้นรองเท้า ดังนั้นแรงเสียดทานมีทิศทางตรงข้ามกับ ททาศิ นทจาลงกนา์ ร( เfkค)ลดอ่ื ังนภทา่ีขพอทง่ีจ2ุด.5ผิวสมั ผสั แรงเสยี ดทาน มี 2 ลกั ษณะ คือ แรงเสียดทานสถิต ( fs ) และแรงเสียด

7 N F N F m m fk W fs W ก. แรงเสียดทานสถติ ข. แรงเสียดทานจลน์ ภาพที่ 2.5 แรงเสียดทาน พจิ ารณา มวล m ทว่ี างอยู่บนพืน้ ดังภาพท่ี 2.5 ก. ถา้ ออกแรง F ในแนวระดบั กระทำตอ่ มวล m ไคสFปถอื ทิตใแาจหรงะ้มขงมเาวสคีกายี่าพดดมอว้ทายกาดขทนังน่ีสสภาดุถาดิตพแขทลอ(ี่ะงS2แถt.aร5า้ งtแiขทcร.งี่ไfมวriม่Fัตcาถtiกมุoมพคีnวอ่าลFมมomาวrกcลกจeวะm่า:เรแยfิ่มรsังงเ)คคเสซงลยีึง่อื่อเดยกนทนู่ิดทา่ิงขี่นเณเพมสระถื่อาวิตวะัตัตมถวถีแไุตั ุมมรถวง่เุมคกลวลรลmะ่ือทนmเำทรตี่จิ่มอ่ถะเวา้คเัตคเลรถลาื่อมุ่อืเนพวนทลิ่มดี่ข้วแmยนรคางไวเดปสาขทียมอาดเงงรทซแ่งาไ้ารปนยง ทางขวา ในขณะที่วัตถุมวล m กำลังเคลื่อนที่ แรงเสียดทานจะลดน้อยลงและน้อยกว่าแรงเสียดทานสถติ ที่มีค่ามากที่สุด แfรk ง)เสียดทานที่เกิดขึ้นขณะวัตถุกำลังเคลื่อนที่ เรียกว่า แรงเสี ยดทานจลน์ ( Kinetic friction Force : สำหรับวัตถุคู่หนึ่ง ๆ แรงเสียดทานสถิตและแรงเสียดทานจลน์ เป็นสัดส่วนกับแรงปฏิกิริยา ระหวา่ งผวิ สัมผัส กระทำกบั วตั ถุในแนวตั้งฉาก ซ่งึ แรงปฏกิ ริ ิยาระหวา่ งผิวสมั ผัสมีค่าเทา่ กับน้ำหนักของวัตถุ ที่วางในแนวราบ และจะขึ้นกับธรรมชาติของผิวสัมผัสระหว่างวัตถุ 2 ชนิดด้วย ถ้าผิวสัมผัสมีความขรุขระ มากจะมแี รงเสียดทานมาก เขียนเปน็ ความสัมพันfธ์ ได้ดงั นี้ จาก  N ดงั นน้ั ขนาดของแรงเสยี ดทานสถิต จfะไ=ดว้ ่าµ N .................2.2 โดยท่ี f แทน แรงเสียดทานสถติ หน่วยเป็น นิวตนั µ แทน สัมประสิทธข์ิ องแรงเสยี ดทาน N แทน แรงปฏิกริ ยิ าระหวา่ งผิวสมั ผัส หนว่ ยเปน็ นวิ ตนั

8 (1) แรงเสยี ดทานสถติ ( Static friction Force : fs ) แรงเสียดทานสถิต คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นขณะวัตถุหยุดนิ่งแล้วมีแรงอื่นมากระทำต่อวัตถุ ทำใหว้ ัตถเุ ร่ิมเคลื่อนที่หรือหมุน คา่ แรงเสยี ดทานมีค่าเพิ่มข้นึ จากศนู ยไ์ ปจนสูงสุดถงึ จดุ ๆ หนึ่งที่วัตถุจะเริ่ม เคล่อื นที่ โดยคา่ แรงเสยี ดทานแปรผันไปตามแรงปฏิกิริยาระหวา่ งผิวสัมผสั ดงั ภาพท่ี 2.6 F N m fs W ภาพท่ี 2.6 แรงเสยี ดทานสถติ จากสมการท่ี 2.2 แรงเสยี ดทานสถิต จะได้วา่ fs = µs N .................2.3 โดยท่ี fs แทน แรงเสียดทานสถิต หน่วยเปน็ นิวตนั (2) แรงเสยี ดทµNาs นจลนแแ์ (ททนนKinสแมัรeงtปปicรฏะfกิสrริิทicิยธtาข์ิioรอะnงหแFวรo่างงrเสcผeยีิวสด:มัทผาfkนสั )สหถนิต่วยเปน็ นวิ ตัน แรงเสียดทานจลน์ คือ แรงเสียดทานทเี่ กดิ ขน้ึ กับวัตถุทก่ี ำลงั เคลื่อนที่ ซง่ึ มีผลทำใหว้ ตั ถุเคล่ือนท่ี ช้าลงจนหยุดนิ่ง แรงเสียดทานจลน์มีขนาดคงที่ไม่ว่าวัตถุนั้นจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลง ดังภาพท่ี 2.7 N m fk F W ภาพท่ี 2.7 แรงเสยี ดทานจลน์ จากสมการท่ี 2.2 แรงเสียดทานสถิต จะได้ว่า .................2.4 fk = µk N

9 โดยท่ี fk แทน ขนาดของแรงเสยี ดทานจลน์ หนว่ ยเปน็ นวิ ตนั µNk แทน สัมประสิทธ์ขิ องแรงเสยี ดทานจลน์ แทน แรงปฏิกริ ิยาระหว่างผวิ สมั ผัส หนว่ ยเปน็ นิวตัน นอกจากนี้การหาขนาดของแรงเสียดทานจลน์ สามารถหาได้จากการเปลี่ยนรูปพลังงาน เมื่อวัตถุ เคล่ือนทีไ่ ปบนผวิ สมั ผัสแล้วเคลอ่ื นทช่ี า้ ลง ดังภาพท่ี 2.8 v1 v2 m f m s ภาพท่ี 2.8 แรงเสียดทานจลนก์ ับการเปลีย่ นรปู พลังงาน การเปลีย่ นรูปพลงั งาน Ek Ek + Wf จะได้ 12 1 mv12 = 1 mv 2 + f·s .................2.5 2 2 2 1.3 แรงตงึ ( Tension force : T ) แรงตงึ เปน็ แรงท่ีเกิดข้ึนจากการทีว่ ัตถุทมี่ ีลกั ษณะเป็นเส้น เชน่ เชอื ก ลวด สายเอน็ ทถ่ี กู ทำให้ตึง โดยดึงปลายทงั้ สองด้าน ในเสน้ เชือก ลวด สายเอ็นเดียวกันมีแรงตงึ เทา่ กนั ทกุ จดุ จะเกิดเฉพาะตามแนวเส้น เสทัญ่าลนกั ั้นษณแล์ทะี่ใชทแ้ิศททนาแงขรงอตงงึแรคงอื ตึง“อTย”ู่ในดแงั นภวาขพอทง่ี เ2ส.9้นเชือกมีทิศทางพุ่งออกจากระบบที่กำลังพิจารณาเสมอ T m m พิจารณาท่ี มวล m W ภาพท่ี 2.9 แรงตึงเชือกทก่ี ระทำตอ่ วัตถุ

10 1.4 แรงจากสปริง ( Spring force ) สปรงิ เปน็ อปุ กรณ์ทม่ี คี วามยืดหยุน่ เมื่อไม่มแี รงมากระทำสปรงิ จะอยู่ในสภาพปกติ และหากมี แรงมากระทำสามารถยืดหรอื หดเข้าตามแรงที่มากระทำ แรงจากสปรงิ มี 2 ลักษณะ คือแรงดึงเมื่อสปริง ถูกทำให้ยืดออก และแรงดนั ออกเมอ่ื สปริงหดตัวเขา้ ไป ดังภาพท่ี 2.10 m xF แเมรง่ือสfปแรรงิ งถสูกปยรดื งิ อจอะกดดงึ เว้ ขย้า m f F x m f เมือ่ สปรงิ ถูกดนั แรง f ให้หดตวั เขา้ ไป แรงสปริงจะดนั ออกมา ภาพท่ี 2.10 แรงสปริงเม่อื ยดื สปรงิ ออกและดันสปรงิ ใหห้ ดตวั เขา้ ไป ขนาดของแรงสปรงิ จะแปรผันโดยตรงกบั ระยะท่ยี ดื หรือหด แต่ต้องไมเ่ กนิ ขดี จำกัดของการยดื หยนุ่ จะได้วา่ Fx F = -kx .................2.6 เมอื่ F แทน แรงสปรงิ หนว่ ยเป็น นวิ ตนั k แทน ค่าคงตวั ของสปรงิ หน่วยเปน็ นวิ ตนั ตอ่ เมตร x แทน ระยะท่ยี ืดหรือหดตวั ของสปรงิ หน่วยเป็น เมตร เครอ่ื งหมาย – แสดงทิศทางของ F และ x ว่าตรงขา้ มกัน

11 2. แรงสนาม ( Field force ) หรือแรงไม่สัมผัสเกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่ออกแรงกระทำและวัตถุ ที่ถูกกระทำไม่มีการสัมผัสทางกายภาพกันเลย เช่น การที่อนุภาคซึ่งมีประจุดงึ ดูดกันหรือผลักกันด้วยแรง ทางไฟฟ้า และการดึงดูดระหว่างแม่เหล็กและเหล็กด้วยแรงทางแม่เหล็ก ซึ่งจะได้ศึกษาแรงทางไฟฟ้า ในหนว่ ยที่ 5 และแรงทางแม่เหลก็ ในหนว่ ยท่ี 6 ต่อไป แรงลักษณะนี้จะเกิดกับวัตถุโดยส่งผ่านที่ว่างมายังวัตถุอีกชนิดหนึ่งซึ่งไม่สัมผัสกัน ได้แก่ การที่วัตถตุ กลงมาสพู่ ้นื ด้วยแรงโนม้ ถ่วงของโลก ( Gravitational force ) แรงโน้มถว่ งของโลก ( Gravitational force ) โลกจะดึงดูดวัตถุต่าง ๆ ให้ตกลงสู่ผิวโลก แรงชนิดนี้เป็นแรงที่ใกล้ตัวเราที่สุด จากการค้นคว้า ของนวิ ตัน อธิบายแรงโนม้ ถว่ งของโลกโดยใชก้ ฎแรงดึงดดู ระหว่างมวล กล่าวคอื “วัตถุ 2 ก้อนท่ีอยู่ห่างกัน จะเกิดแรงดงึ ดูดซง่ึ กันและกนั โดยขนาดของแรงจะแปรผนั ตรงกบั ขนาดของมวลทัง้ สอง และแปรผกผันกับ ระยะห่างระหวา่ งมวลท้ังสอง ยกกำลงั สอง” คา่ ของมวลมาก จะมแี รงดงึ ดูดมาก คา่ ของมวลน้อย จะมีแรงดงึ ดูดนอ้ ย ระยะหา่ งมาก แรงดึงดดู จะมีคา่ นอ้ ย ระยะห่างนอ้ ย แรงจะมคี ่ามาก ภาพที่ 2.11 เซอรไ์ อแซคนวิ ตนั ผูค้ ้นพบแรงโนม้ ถว่ งของโลก ทม่ี า : http://www.neutron.rmutphysics.com ( สืบคน้ เมอื่ 20 พ.ย. 2564 ) แรงโนม้ ถว่ งของโลกบางคร้งั เรยี กว่า นำ้ หนักของวตั ถุ ( Weight : W ) มคี ่าเทา่ กับมวล (m) คูณกับ ความเรง่ เนอ่ื งจากแรงโน้มถว่ งของโลก ( g ) W = m g .................2.7 โดยท่ี W แทน น้ำหนักของวัตถุ หนว่ ย นิวตัน หรอื kg m/s2 m แทน มวลของวัตถุ หน่วย กิโลกรมั หรือ kg g แทน ความเรง่ เน่ืองจากแรงโนม้ ถ่วงของโลกหนว่ ย เมตรตอ่ วนิ าที2หรอื m/s2 มคี ่าโดยประมาณ 9.81 m/s2

12 กจิ กรรมการเรียนรทู้ ่ี 2.1 1. จากภาพ จงบอกแรงทง้ั หมดที่กระทำตอ่ วตั ถุ 1.1 m …................................................................................................. …................................................................................................ …................................................................................................. 1.2 …................................................................................................. f m F1 …................................................................................................. …................................................................................................. 1.3 …................................................................................................. …................................................................................................. m …................................................................................................. 2. จากภาพ จงหานำ้ หนกั ของวัตถุ และแรงปฏริ ิยาระหว่างผิวสัมผสั …................................................................................................. 2 kg …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. 3. จากภาพ ถา้ วตั ถุหยุดนิง่ จงหาขนาดของแรงตึง …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. …................................................................................................. 3 kg ….................................................................................................

13 2.2 การแยกแรง การแยกแรง เป็นการหาองค์ประกอบของแรงในแนวแกนต่าง ๆ แบ่งได้ 2 ลักษณะ คือ การแยกแรง 2 มิติ และการแยกแรง 3 มติ ิ 2.2.1 การแยกแรง 2 มติ ิ เมื่อมีแรงมากระทำต่อวัตถุในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy สามารถแยกแรงไปในแนว แกน x ( Fx ) และ แรงในแนวแกน y ( Fy ) โดยใช้หลักการเดียวกับการหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 2 มิติ นนั่ คอื ใช้ทฤษฏีพที าโกรัส และหลักตรโี กณมิติ ในกรณีทแี่ รง ( F ) ทำมมุ  กบั แนวแกน x ดังภาพท่ี 2.12 y Fy F  Fx x ภาพท่ี 2.12 แรงทำมุมกับแกน x จากภาพท่ี 2.12 ตามหลกั ตรโี กณมิติ สามารถแยกแรงไดด้ ังนี้ cos  = Fx F ขนาดของแรงในแนวแกน x คือ .................2.8 Fx = F cos  .................2.9 sin  = Fy F ขนาดของแรงในแนวแกน y คอื Fy = F sin  และในกรณีทแ่ี รง ( F ) ทำมมุ  กบั แนวแกน y ดงั ภาพท่ี 2.13

14 y Fy FF  Fx x ภาพที่ 2.13 แรงทำมมุ กับแกน y จากภาพที่ 2.13 ตามหลักตรโี กณมิติ จะไดว้ ่า sin  = Fx F ขนาดของแรงในแนวแกน x คอื Fx = F sin  .................2.10 .................2.11 cos  = Fy F ขนาดของแรงในแนวแกน y คือ Fy = F cos  สรปุ ไดว้ า่ “ถ้าแรงทำมมุ กับแนวแกนใด องคป์ ระกอบของแรงในแนวแกนน้ันจะเปน็ ผลคณู ของแรงกับ คา่ cosine ของมุมนัน้ ส่วนอีกแกนหน่งึ จะมีคา่ เทา่ กับผลคณู ของแรงกบั คา่ sine ของมุมนนั้ ” เมื่อทราบค่าขนาดของแรงในแนวแกน x และ y การหาขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ ทำได้เช่นเดียวกับเวกเตอร์ โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมจากภาพที่ 2.12 ถ้าทราบค่า Fx และ Fy ตอ้ งการหาคา่ F จะได้ F2 = Fx2 + Fy2 F = Fx2 + Fy2 .................2.12 การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ พิจารณาภาพท่ี 2.12 แรงลัพธท์ ำมุม  กับแนวแกน x ดงั นี้ tan  = Fy .................2.13 Fx

15 ตวั อย่างท่ี 1 จากภาพ จงแยกแรงตอ่ ไปนไี้ ปในแนวแกน x และ y 2F  y = 10 F1= 5 N N 53˚ 37˚ x F3 = 3 N วิธที ำ แยกแรงแต่ละแรงไปในแนวแกน x และ y F2 sin 53˚ F1 sin 37˚ F2cos 53˚ F1cos 37˚ F3 F1x = F1 cos 37° F1y = F1 sin 37° = (5 N)(0.80) = (5 N)(0.60) = 4N = 3N F2x = -F2 cos 53° F2y = F2 sin 53° = -(10 N)(0.60) = (10 N)(0.80) = -6 N = 8N F3x = 0 F3y = -3 N

16 2.2.2 การแยกแรง 3 มิติ การแยกแรง 3 มิติ ใช้วธิ ีการเชน่ เดียวกับการหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 3 มติ ิ นั่นคอื การแยกแรง ไปในแนวแกน x ( Fx ) แนวแกน y ( Fy ) และแนวแกน z ( Fz ) โดยกำหนดให้ ถ้า  เป็นมุมที่แรงทำกับ ระนาบ xy และ  เป็นมมุ ท่เี งาของแรงบนระนาบ xy ทำกบั แนวแกน x ดงั ภาพท่ี 2.14 z Fy Fz F Fx x y Fxy ภาพที่ 2.14 แรงในแนวแกน x y และ z การแยกแรงไปในแนวแกน x ( Fx ) แนวแกน y ( Fy ) และแนวแกน z ( Fz ) ทำได้โดยการคิดทีละ ระนาบตามหลักตรีโกณมิติ การแยกแรงไปในแนวแกน z กับระนาบ xy ดังภาพท่ี 2.15 z x Fz F y Fxy ภาพที่ 2.15 แรงในแนวแกน z กบั ระนาบ xy จากภาพท่ี 2.15 sin  = Fz F ขนาดของแรงในแนวแกน z Fz = F sin  .................2.14

17 cos  = Fxy F ขนาดของแรงในระนาบ xy Fxy = F cos  .................2.15 การแยกแรงในระนาบ xy ไปในแนวแกน x และ y ดังภาพท่ี 2.16 z Fy Fx x y Fxy ภาพที่ 2.16 แรงบนระนาบ xy กับแนวแกน x และ y จากภาพที่ 2.16 cos  = Fx Fxy Fx = Fxy cos  แทนค่า Fxy จากสมการที่ 2.15 จะได้ขนาดของแรงในแนวแกน x ดงั น้ี Fx = F cos  cos  .................2.16 .................2.17 sin  = Fy Fxy Fy = Fxy sin  แทนคา่ Fxy จากสมการท่ี 2.15 จะได้ขนาดของแรงในแนวแกน y ดงั นี้ Fy = F cos  sin 

18 เมื่อทราบค่าขนาดของแรงในแนวแกน x y และ z การหาขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ พิจารณาสามเหลี่ยมมมุ ฉากจากภาพท่ี 2.14 ถ้าทราบคา่ Fx Fy และ Fz ตอ้ งการหาค่า F จะได้ F2 = Fx2y + Fz2 .................2.18 พจิ ารณาสามเหลีย่ มมมุ ฉากจากภาพท่ี 2.16 จะได้ Fx2y = Fx2 + Fy2 .................2.19 แทนคา่ Fx2y ในสมการท่ี 2.19 ลงในสมการท่ี 2.18 F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .................2.20 การหาทศิ ทางของแรงลพั ธ์ พิจารณาภาพท่ี 2.14 แรงลพั ธ์ทำมุม  กับระนาบ xy และ  เปน็ มมุ ท่ี เงาของแรงบนระนาบ xy ทำกับแนวแกน x พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากจากภาพที่ 2.15 จะได้ tan  = Fz .................2.21 Fx2 + Fy2 พจิ ารณาสามเหลย่ี มมุมฉากจากภาพท่ี 2.16 จะได้ tan  = Fx .................2.22 Fy

19 ตวั อย่างที่ 2 จากภาพ จงแยกแรงไปในแนวแกน x y และ z z 37˚F5=3˚20 N y x วธิ ีทำ F xy = F cos 53° = (20 N)(0.60) = 12 N F x = F xycos 37° = (12 N)(0.80) = 9.6 N F y = F xysin 37° = (12 N)(0.60) = 7.2 N F z = F sin 53° = (20 N)(0.80) = 16 N ตอบ แรงในแนวแกน x y และ z เท่ากับ 9.6 N 7.2 N และ 16 N ตามลำดับ

20 ตวั อยา่ งที่ 3 แรง ๆ หนง่ึ มขี นาดทางแกน x y และ z เทา่ กับ 20 N , 30 N และ 60 N ตามลำดบั จงหา ขนาดของแรงน้ี และมมุ ท่ีแรงกระทำตอ่ ระนาบ xy วิธีทำ จากโจทย์ F x = 20 N F y = 30 N F z = 60 N z Fy Fz F Fx x y Fxy จาก F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = 202 + 302 + 602 = 400 + 900 + 3600 = 4900 = 70 N จาก tan  = Fz Fx2 + Fy2 = 60 202 + 302 60 = 1300 = 1.66  = 59° ตอบ ขนาดของแรง เทา่ กบั 70 N และแรงกระทำมุม 59 องศา กับระนาบ xy

21 กจิ กรรมการเรียนรู้ท่ี 2.2 1. จงแยกแรงไปในแนวแกน x y และ z …………………………………………………………………………… 1.1 y …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F = 10 N x …………………………………………………………………………… 37˚ 1.2 y F =4N …………………………………………………………………………… 30˚ …………………………………………………………………………… x …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.3 y  F2= 24 N F1 = 30 N …………………………………………………………………………… 45˚ 30˚ x …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………  F3= 30 N 37˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.4 z …………………………………………………………………………… x F = 40 N …………………………………………………………………………… y …………………………………………………………………………… 37˚60˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

22 2. จงหาขนาดของแรงตอ่ ไปนี้ 2.1 y Fy F x Fx …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.2 แรง ๆ หนึ่งมขี นาดทางแกน x y และ z เท่ากบั 12 N 10 N และ 5 N ตามลำดบั จงหาขนาด ของแรงนี้ และมมุ ท่แี รงกระทำตอ่ ระนาบ xy …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

23 2.3 การหาผลรวมของแรง เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ การหาค่าผลรวมของแรงมีหลักการเดียวกับการรวมเวกเตอร์ คือต้องรวมท้ังขนาดและทศิ ทาง โดยเครื่องหมายบวก ( + ) และเครื่องหมายลบ ( - ) เป็นการบอกทิศทาง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ ซึ่งวิธีการหาค่าผลรวมของแรง แบ่งตามลักษณะของแรงที่มากระทำต่อวัตถุได้ 5 ลักษณะ ดงั น้ี 2.3.1 แรงทำมุมกนั 0 องศา กรณีแรงทำมุมกัน 0 องศา กับวัตถุเดียวกัน นั่นคือแรงอยู่ในแนวเดียวกันและมีทิศทางไปทาง เดียวกัน ดงั ภาพ 2.17 F2 m F1 ภาพท่ี 2.17 แรง 2 แรงกระทำตอ่ วัตถุในแนวเดียวกันและมีทศิ ทางเดยี วกนั จากภาพที่ 2.17 การหาผลรวมของแรง หาไดโ้ ดยนำขนาดของแรงมาบวกกัน ΣF = F1 + F2 .................2.23 2.3.2 แรงทำมุมกนั 180 องศา กรณีแรงทำมุมกัน 180 องศา กับวัตถุเดียวกัน นั่นคือแรงอยู่ในแนวเดียวกัน และมีทิศทาง ตรงขา้ มกนั ดังภาพ 2.18 F2 m F1 ภาพที่ 2.18 แรง 2 แรงกระทำต่อวตั ถใุ นแนวเดยี วกันและมีทศิ ทางตรงขา้ มกนั จากภาพท่ี 2.18 การหาผลรวมของแรงหาได้โดยนำขนาดของแรงมาลบกัน ΣF = F1 - F2 .................2.24

24 2.3.3 แรงทำมุมกนั 90 องศา กรณแี รงทำมุมกนั 90 องศา กบั วตั ถเุ ดียวกัน น่ันคือ แรงทั้งสองมที ิศทางตง้ั ฉากกนั ดังภาพ 2.19 F2 F1 m ภาพท่ี 2.19 แรง 2 แรงกระทำตอ่ วัตถใุ นทิศทางตั้งฉากกนั จากภาพท่ี 2.19 สามารถหาผลรวมของแรง และทศิ ทางของแรงลพั ธ์ได้ดงั นี้ ΣF = F12 + F22 ( จากสมการที่ 2.12 ) tan  = F2 ( จากสมการท่ี 2.13 ) F1 ตัวอยา่ งที่ 4 จากภาพ จงหาผลรวม F1 + F2 + F3 F3 = 12 N m F1 = 10 N F2 = 15 N วธิ ีทำ ΣF = F1 + F2 - F3 = 10 N + 15 N - 12 N = 13 N ตอบ ขนาดของผลรวมของแรง เท่ากบั 13 นิวตัน 2.3.4 แรงทำมุมกนั  องศา กรณีแรงทำมมุ กัน  กบั วตั ถเุ ดียวกนั ดังภาพ 2.20 F1  F2 ภาพท่ี 2.20 แรง 2 แรงทำมมุ  กัน

25 จากภาพที่ 2.20 ผลรวมของแรงหาได้โดยใช้หลักการเดียวกับการรวมเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทำมุมกนั จากสมการที่ 1.24 นัน่ คือ ΣF = F12 + F22 + 2F1F2 cos θ .................2.25 .................2.26 การหาทิศทางของแรงลัพธ์ ไดจ้ ากสมการท่ี 1.25 tan  = F2 sin θ F1 + F2 cos θ ตัวอย่างที่ 5 แรง 10 N และ 20 N กระทำตอ่ วัตถุเดียวกนั ด้วยมุม 60° จงหาผลรวมของแรงท้งั สอง วิธที ำ จากโจทย์ F1 = 10 N F2 = 20 N  = 60° จาก ΣF = F12 + F22 + 2F1F2 cos θ = (10 N)2 + (20 N)2 + 2(10 N)(20 N) cos 60 = 100 + 400 + 200 = 700 = 26.46 N ตอบ ผลรวมของแรง เทา่ กบั 26.46 นวิ ตัน 2.3.5 แรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ โดยท่ีแรงอยู่ในระนาบเดียวกนั แรงมากกวา่ 2 แรงกระทำต่อวัตถุในระนาบเดยี วกนั สามารถหาผลรวมของแรงได้จากการแยกแรง ไปในแนวแกน x และ y โดยอาศยั หลักตรโี กณมติ ิ y F1 F2 2 1 x 3 F3 ภาพที่ 2.21 แรงมากกว่า 2 แรงกระทำตอ่ วตั ถบุ นระนาบเดียวกัน

26 จากภาพที่ 2.21 แยกแรง F1 F2 และ F3 ไปในแนวแกน x และ y จากนั้นนำแรงในแต่ละ แนวแกนมารวมกัน ซ่งึ การรวมกันใช้วิธกี ารบวกตัวเลข เพราะมที ิศทางแนวเดยี วกัน แตห่ ากแรงในแนวแกน เดยี วกันแต่มีทศิ ทางตรงกันข้ามให้นำมาลบกนั จะได้ดังนี้ FFFFxyyx ผลรวมของแรงในแนวแกน x คอื  จะได้ว่า + F3x .................2.27 ผลรวมของแรงในแนวแกน y คือ  = F1x + F2x + F3y .................2.28  จะได้ว่า  = F1y + F2y จากสมการท่ี 2.12 จะได้ผลรวมของแรง ดงั นี้ ΣF = (Fx )2 + (Fy )2 .................2.29 ตวั อยา่ งที่ 6 จากภาพ จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลัพธท์ กี่ ระทำต่อวตั ถุ F1 = 30 N 37˚ • N F3 = 5 N 20  = 2F 53˚ วิธีทำ เขียนแรงให้อยู่ในระนาบ xy และแยกแรงไปในแนวแกน x และ y y F1 = 30 N F1 sin 37˚ 37˚ x - F2cos 53˚ F1cos 37˚ 53˚ N - F2sin 53˚ F3 = 5 N - F3 20  = 2F F1x = F1 cos 37° F1y = F1 sin 37° = (30 N)(0.80) = (30 N)(0.60) = 24 N = 18 N -F2 cos 53° -F2 sin 53° F2x = -(20 N)(0.60) F2y = -(20 N)(0.80) = =

27 = -12 N = -16 N F3x = 0 F3y = -5 N หาผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน x F1x + F 2x + F 3x Fx = 24 N - 12 N + 0 = 12 N = F1y + F 2y + F 3y ผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน y 18 N - 16 N - 5 N Fy = -3 N = = จากน้ันหาผลรวมของแรง F = (Fx )2 + (Fy )2 = (12 N)2 + (-3 N)2 = 144 + 9 = 153 = 12.37 N ทิศทางของแรงลัพธ์  Fx   Fy  F tan  =  Fy  Fx = -3 12 = -0.25  = -14.04° ตอบ ขนาดของแรง เทา่ กบั 12.37 นิวตัน และมีทิศทางทำมุม -14.04 องศา กบั แนวแกน x

28 2.3.6 แรงหลายแรงกระทำตอ่ วตั ถุ โดยที่แรงไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน แรงมากกว่า 2 แรงกระทำต่อวตั ถุ ในลักษณะที่แรงไมอ่ ยใู่ นระนาบเดียวกัน น่ันคือ มแี รงกระทำต่อ วัตถใุ นแนวแกน x y และ z แสดงดังภาพที่ 2.22 z F2 x F3 3 2 y 1 F1 ภาพที่ 2.22 แรงมากกวา่ 2 แรงกระทำต่อวตั ถุ จากภาพที่ 2.22 มีแรงกระทำต่อวัตถุเดียวกัน 3 แรง คือ F1 F2 และ F3 และทั้งสามแรงอย่ใู น ระนาบ xy xz และ yz ตามลำดับ การหาผลรวมของแรง สามารถหาได้โดยการแยกแรงแต่ละแรงไปใน แนวแกน x y และ z จากนัน้ นำแรงในแต่ละแนวแกนมารวมกนั ดงั นี้ F1Fxx ผลรวมของแรงในแนวแกน x คอื + F2x  Fx = Fx = FFF11yys+in=F13Fy1+y F2 cos 2 .................2.30 ผลรวมของแรงในแนวแกน y คือ + F3y .................2.31 .................2.32  Fy = Fy = FF2F1zzco+s 1 + F3 sin 3 ผลรวมของแรงในแนวแกน z คอื F3z  Fz = Fz = F2 sin2 + F3 cos3 จากสมการท่ี 2.20 จะได้ผลรวมของแรง ดงั น้ี ( )F = (Fx )2 + Fy 2 + (Fz )2 .................2.33

29 การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ ทำได้โดยการหามุมท่แี รงลัพธก์ ระทำกบั แนวแกน x y และ z น่ันคือ x y และ z ตามลำดบั โดยหลกั ตรโี กณมิติ ดังภาพท่ี 2.23 z x F z y x y ภาพท่ี 2.23 ทิศทางของแรงลัพธท์ ี่กระทำกับแนวแกน x y และ z สามารถหาทิศทางของแรงลัพธ์กระทำกับแนวแกน x y และ z ได้จาก สมการที่ 1.11 1.12 และ 1.13 ดงั นี้ cos x =  Fx .................2.34 cos y = F .................2.35 cos z =  Fy .................2.36 F  Fz F ตวั อย่างท่ี 7 จากภาพ จงหาขนาดและทิศทางzของแรงลัพธ์ F3 = 10 N F2 = 20 N 37˚ x 45˚ 53˚ F1 = 20 N y F1y = F1 cos 45° วธิ ที ำ แยกแรง F1 ไปในแนวแกน x และ y F1x = F1 sin 45° = (20 N)(0.70) = (20 N)(0.70) = 14 N = 14 N

30 แยกแรง F2 ไปในแนวแกน x และ z F2z = F2 sin 53° F2x = F2 cos 53° = (20 N)(0.80) = 16 N = (20 N)(0.60) = F3 cos 37° = 12 N F3z = (10 N)(0.80) แยกแรง F3 ไปในแนวแกน y และ z = 8N F3y = F3 sin 37° = (10 N)(0.60) = 6N หาผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน x y และ z Fx = F1x + F 2x = 14 N + 12 N = 26 N Fy = F1y + F 3y = 14 N + 6 N = 20 N Fz = F 2z + F 3z = 16 N + 8 N = 24 N หาผลรวมขนาดของแรงลพั ธ์ จากสตู ร ( )ΣF = (Fx )2 + Fy 2 + (Fz )2 = (26 N)2 + (20 N)2 + (24 N)2 = 676 + 400 + 576 = 1652 = 40.64 N หาทิศทางของแรงลัพธ์กระทำกบั แนวแกน x y และ z cos x =  Fx = F 26 40.64 = 0.64

31 x = 50.21° cos y =  Fy F = 20 40.64 = 0.49 y = 60.66° cos z =  Fz F = 24 40.64 = 0.59 z = 53.84° ตอบ แรงลัพธ์มีขนาด เท่ากับ 40.64 นิวตัน ทำมุม 50.21 องศา กับแนวแกน x ทำมุม 60.66 องศา กับแนวแกน y และทำมมุ 53.84 องศา กบั แนวแกน z ตัวอยา่ งที่ 8 ถา้ มแี รงกระทำตอ่ กล่องดงั ภาพ จงหาขนาดของแรงลพั ธ์ z 200 N 60 N 70 N 50 N x y 100 N วิธีทำ หาผลรวมของแรงในแนวแกน x y และ z Fx = 200 N Fy = 60 N + 100 N = 160 N Fz = 70 N + 50 N = 120 N

32 หาผลรวมของแรงลัพธ์ จากสตู ร ( )ΣF = (Fx )2 + Fy 2 + (Fz )2 = (200 N)2 + (160 N)2 + (120 N)2 = 80000 = 282.84 N ตอบ ขนาดของแรงลัพธ์ เทา่ กบั 282.84 นิวตนั

33 กิจกรรมการเรียนรูท้ ่ี 2.3 1. จากภาพ จงหาผลรวมของแรง …………………………………………………………………………… 1.1 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F2 = 5 N m F1 = 10 N …………………………………………………………………………… 1.2 F2 = 5 N m F1 = 10 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.3 m F1 = 10 N F2 = 5 N …………………………………………………………………………… F3 = 3 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.4 …………………………………………………………………………… F2F1==2155NN …………………………………………………………………………… m …………………………………………………………………………… F3 = 30 N …………………………………………………………………………… 1.5 F1 = 10 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 60˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… F2 = 5 N

34 2. จากภาพ จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลัพธท์ ่ีกระทำตอ่ วัตถุ = 20 N  F 2 53˚ • F1 = 25 N F3 = 10 N 37˚ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ 3. จากภาพ จงหาขนาดของแรงลพั ธ์ z F2 = 25 N F1 = 10 N 45˚ 53˚ 37˚ x y F3 = 15 N ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

35 4. ถ้ามแี รงกระทำกบั กล่องดังภาพ จงหาขนาดของแรงลพั ธ์ z 15 N 15 N 10 N 20 N 30 N x 5N y 10 N ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

36 2.4 สมดลุ ของแรง 2.4.1 ความหมายของสมดุล เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุ ผลของแรงทำให้วัตถุเปลี่ยนขนาดของความเร็ว เปลี่ยนทิศทาง การเคล่อื นที่ และอาจทำใหว้ ัตถุมกี ารเปล่ยี นรูปร่าง เช่น วตั ถุอาจมีการเคลอื่ นทห่ี รือหมนุ แตถ่ ้ามแี รงหลาย แรงกระทำต่อวัตถุผลต่อวัตถุ ผลของแรงต่าง ๆ อาจหักล้างกันหมด ทำให้ไม่เกิดการเปลี่ยนแปลง การเคลอ่ื นทหี่ รอื หมนุ ในสภาพแบบนี้ เรยี กวา่ วตั ถุอยู่ในสภาพสมดุล สามารถพจิ ารณาการสมดุลของวัตถุ ออกเป็น 2 กรณี ไดแ้ ก่ สมดลุ สถิต ( Static equilibrium ) คอื สภาพสมดุลของวัตถุหรอื ส่ิงก่อสร้างที่หยุด นิ่ง เช่น ก้อนหินวางบนพื้น เสาไฟฟ้า อาคารบ้านเรือน เป็นต้น และ สมดุลจลน์ ( Kinetic equilibrium ) คือ สภาพสมดุลของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เช่น เครื่องบิน รถยนต์ รถไฟที่กำลังเคลื่อนท่ี ด้วยความเรว็ คงที่ ดังนั้น อาจกล่าวได้ว่า สมดุล หมายถึง ผลของแรงที่กระทำต่อวัตถุที่ทำให้วัตถุอยู่ในสภาพอยู่น่ิง ยังคงรักษาสภาพอยู่นิ่งเหมือนเดิม หรือทำให้วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ยังมีสภาพการเคลื่อนที่ ด้วยความเร็วคงท่ีในทิศทางเดิม เม่ือวัตถุอยู่ในสภาพสมดุล และ F คอื ผลรวมของแรงท้ังหมดท่ีกระทำ ตอ่ วัตถุ จะได้ F = 0 .................2.36 2.4.2 เง่อื นไขข้อท่ี 1 ของสมดุล พิจารณาวัตถทุ ่วี างอย่บู นโตะ๊ ดังภาพท่ี 2.24 มแี รงกระทำตอ่ วตั ถุ 2 แรง คอื แรงที่โนม้ ถ่วงของโลก มีทิศทางลง ถ้าโต๊ะไม่มีแรงดันขึ้น วัตถุจะตกจากโต๊ะสู่พื้นด้วยแรงโน้มถ่วงของโลก แรงโน้มถ่วงของโลก ท่กี ระทำต่อวตั ถุ คอื น้ำหนกั ของวตั ถุ และการที่วตั ถุไม่ตกจากโต๊ะ เนื่องจากมแี รงผลกั จากโตะ๊ ในทิศทางขึ้น นั่นคือ แรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัส ด้วยขนาดที่เท่ากับน้ำหนักของวัตถุ แรงทั้ง 2 จึงหักล้างกันแบบ เวกเตอร์ N m W = mg ภาพที่ 2.24 แรง 2 แรงกระทำต่อวัตถทุ ่ีวางอยู่นิ่งบนโต๊ะ

37 กรณีมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุทวี่ างบนโตะ๊ และวตั ถยุ ังคงอยู่นงิ่ ไดด้ ังภาพที่ 2.25 มีแรงกระทำ ตอ่ วัตถุ 4 แรง คอื แรงตึงจากเชือกทั้งสองขา้ ง โดยแรงตงึ เชอื กนน้ั มาจาก แรงที่เชอื กออกแรงกระทำตอ่ วัตถุ ทผ่ี กู ติดอยู่ ถ้าพิจารณาวตั ถุทแี่ ขวนอยู่ แรงตงึ เชอื กท่ีกระทำตอ่ วตั ถมุ ีค่าเท่ากับแรงโน้มถว่ งของโลกท่ีกระทำ ตอ่ วตั ถทุ ่ีห้อยอยู่ แต่มีทศิ ทางดึงขนึ้ เพราะวัตถทุ ี่แขวนอยู่ไมเ่ คล่ือนทแ่ี ละถา้ เชือกนี้สม่ำเสมอ เชือกเบาและ ลูกรอกไมม่ คี วามเสยี ดทาน แรงตึงเชือกจะเท่ากันตลอดเสน้ เชอื ก N T1 m T2 T1 T2 m1 m2 W1 W W2 ภาพท่ี 2.25 แรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุทว่ี างอยู่น่งิ บนโตะ๊ จากภาพที่ 2.25 คดิ ทีม่ วล m1 จะได้ m1 g T1 m2 g = .................2.37 คดิ ทมี่ วล m2 จะได้ T2 = .................2.38 วัตถุมวล m มีแรงกระทำต่อวัตถุทางซ้ายและขวาเทา่ กัน ในขณะเดียวกนั น้ำหนักของวัตถุมวล m มีทิศทางลง และแรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัสมีทิศทางขึ้นเท่ากัน แรงทั้ง 4 แรงที่กระทำต่อวัตถุมวล m จึงหกั ลา้ งกนั หมด วัตถุมวล m จึงอยูน่ ง่ิ ดงั นั้น = NT2 .................2.39 WT1 = .................2.40 กรณที ม่ี ีแรงกระทำตอ่ วัตถุโดยแรงทกี่ ระทำอยคู่ นละแนวกนั ดังภาพท่ี 2.26 มแี รง 3 แรงกระทำต่อ วตั ถุ คอื นำ้ หนักของวตั ถุ แรงตงึ เชอื ก 2 เสน้ T1 และ T2 วตั ถจุ ะอยใู่ นสภาพสมดุลก็ต่อเมื่อแรงที่กระทำ ในแนวแกน x และ y หักล้างกนั จนเปน็ ศนู ย์ทงั้ สองแนว

38 1 2 T1 T2 1 2 m W ภาพที่ 2.26 วัตถอุ ยู่น่งิ เน่อื งจากแรงคนละแนวมากระทำ จากภาพที่ 2.26 พิจารณาแนวแกน x T2x T1x = T2 cos 2 T1 cos 1 = W .................2.41 mg .................2.42 พจิ ารณาแนวแกน y T1y + T2y = T1 sin 1+ T2 sin 2 = วัตถุจะอยู่ในสภาพสมดุลได้โดยไม่เปล่ียนสภาพการเคลื่อนทีก่ ็ต่อเมื่อแรงกระทำในแนวแกน x y ถF้า1yแรFง2ทy ี่ก.ร..ะFnทyำตแ่อละวแัตรถงุเใปน็นแนFว1แกF2น เFปnน็ แรF1งzในFแ2นz ว..แ. กFnนz x เป็น F1x F2x ... Fnx และ z เป็นศูนย์ เช่น ... เง่ือนไขข้อที 1 ท่ีทำให้ แรงในแนวแกน y เป็น z วัตถอุ ยู่ในสภาพสมดลุ เขียนเป็นสมการคณติ ศาสตร์ไดด้ ังน้ี N Fnx = 0, N Fny = 0, N Fnz = 0 .................2.43 Σ Σ Σ n=1 n=1 N n=1 Σ โดยท่ี n=1 Fnx = F1x + F2x + ... + Fnx N Fny = F1y + F2y + ... + Fny Σ n=1 N Σ Fnz = F1z + F2z + ... + Fnz n=1 หรอื เขยี นรวมไดว้ า่ N Fn = 0 .................2.44 Σ n=1

39 2.4.3 การคำนวณสมดลุ ของแรง เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุอยู่ในสภาพสมดุล สามารถคำนวณเกี่ยวกับสมดุล ของแรง มี 4 ขั้นตอน ดงั นี้ 1. เขียนแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ( Free body diagram ) โดยใช้ลูกศรแทนแรง แตล่ ะแรง หัวลูกศรชี้ไปในทิศทางของแรงทกี่ ระทำต่อวตั ถุ 2. แยกแรงไปในแนวแกนสมมติ โดยวธิ แี ยกแรงออกไปในแนวแกน x และ y เมอื่ แรงที่กระทำ อยู่ในระนาบเดียวกัน ( 2 มิติ ) และ แยกแรงไปในแนวแกน x y และ z เมื่อแรงที่กระทำต่อวัตถุ อยู่ต่างระนาบกนั ( 3 มิติ ) 3. หาคา่ ผลรวมของแรงในแต่ละแนวแกน FFFyx วัตถอุ ยใู่ นสภาพสมดุล = 0 = 0 = 0 4. แกส้ มการหาค่าทต่ี อ้ งการ โดยใช้ทักษะการแกส้ มการทางคณติ ศาสตร์ ตัวอย่างที่ 9 แขวนวัตถุมวล 5 กิโลกรัมด้วยเชือกเบาไว้กับเพดาน จงหาแรงตึงเชือก และเมื่อนำเชือก อีกเส้นหนึ่งมาผูกกับเชือกเสน้ แรกแล้วดึงในแนวระดับจนเชอื กเส้นท่ีผูกติดกับเพดานเอียงทำมุม 37 องศา กบั แนวดิ่ง จงหาแรงตึงเชือกทุกเส้นในขณะน้ี ( กำหนดให้ g = 10 m/s2 ) วธิ ีทำ แขวนวัตถุอยูน่ ง่ิ ๆ T เม่ือวตั ถุอยใู่ นสภาพสมดลุ 5 kg T W = mg =W = mg = (5 kg)(10 m/s2) = 50 N

40 ดึงเชือกในแนวระดับที่ผูกติดกับเพดานด้วยมุม 37 องศา กับแนวดิ่ง เขียนแผนภาพของแรง ทกี่ ระทำตอ่ วัตถุ ( Free body diagram ) ไดด้ ังนี้ 37˚ T F 37˚ W แยกแรงไปในแนวแกน x และ y T y T y T cos 37 37˚ F x T sin 37 37˚ F x W W หาคา่ ผลรวมของแรงในแนวแกน y Fy = 0 ผลรวมของแรงขึน้ = ผลรวมของแรงลง T cos 37° = W T (0.80) = 50 N T = 62.50 N หาค่าผลรวมของแรงในแนวแกน x Fx = 0 ผลรวมของแรงไปทางซ้าย = ผลรวมของแรงไปทางขวา T sin 37° = F (62.50 N)(0.60) = F F = 37.50 N

41 ตอบ เมื่อวัตถุแขวนอยู่นิ่ง ๆ มีแรงตึงเชือก เท่ากับ 50 นิวตัน และ เมื่อดึงเชือกในแนวระดับ จนเชอื กทีผ่ กู ติดกบั เพดานเอยี งทำมุม 37 องศา จะมแี รงตงึ เชือก เทา่ กับ 62.50 นวิ ตนั ตัวอย่างที่ 10 แขวนวัตถุมวล 10 กิโลกรัม ด้วยเชือกเบา ดังภาพ จงหาแรงตึงเชือกทุกเส้น ( กำหนดให้ g = 10 m/s2 ) 37˚ 53˚ 10 kg วธิ ที ำ เขียนแผนภาพของแรงท่ีกระทำต่อวตั ถุ ( Free body diagram ) ไดด้ ังนี้ 37˚ 53˚ T1 T2 37˚ 53˚ W แยกแรงไปในแนวแกน x และ y T1 sin 37 T2 sin 53 y y T1 T2 T1 T2 37˚ 53˚ x 37˚ 53˚ x W T1 cos 37 W T2 cos 53

42 หาคา่ ผลรวมของแรงในแนวแกน x Fx = 0 T1 cos 37° = T2 cos 53° T1 (0.80) = T2 (0.60) T1 = T2 (0.75) …………….( 1 ) หาคา่ ผลรวมของแรงในแนวแกน y Fy = 0 T1 sin 37° + T2 sin 53° = W T1 (0.60) + T2 (0.80) = (10 mg)(10 m/s2) …………….( 2 ) 3T1+ 4T2 = 500 N แทนค่า T1 จากสมการ ( 1 ) ในสมการ ( 2 ) 3T2 (0.75) + 4T2 = 500 N 9T2 + 16T2 = 2000 T2 = 80 N แทนคา่ T2 ลงในสมการ ( 1 ) T1 = (80 N)(0.75) = 60 N ตอบ แรงตึงเชอื ก T1 มีขนาดเท่ากบั 60 นวิ ตัน และ T2 มีขนาดเท่ากับ 80 นวิ ตัน

43 ใบกิจกรรมการทดลองที่ 2.1 สมดลุ ของแรง 3 แรง จุดมงุ่ หมาย 1. ทำการทดลองเพอ่ื ศึกษาสมดุลของแรง 3 แรง 2. หาแรงลัพธ์ของแรงทัง้ สามด้วยวธิ ีการเขียนเวกเตอรแ์ บบหางต่อหวั เวลาท่ีใช้ 2 ช่ัวโมง วัสดอุ ปุ กรณ์ จำนวน รายการ 3 อัน 4 เส้น 1. เคร่ืองชง่ั สปริง 1 แผน่ 2. เชือก 1 แผ่น 3. กระดาษขาว ขนาด 10 cm × 15 cm 3 อนั 4. กระดาษแข็ง ขนาด 5 cm × 5 cm 3. ตวั หนีบยึด กจิ กรรม 1. ผูกเชือก A จำนวน 3 เส้น ท่ขี อบกระดาษแขง็ ด้านละ 1 เสน้ อีกปลายของเชือก A ทำเป็นบ่วง คล้องกับปลายเคร่ืองชง่ั สปริง 3 อัน ดังภาพท่ี 2.27 2. ผกู เชือก B จำนวน 3 เส้น เข้าทีป่ ลายอีกดา้ นหนึ่งของเครื่องชง่ั สปรงิ ดา้ นละ 1 เส้น 3. ดึงปลายเชอื ก B ทัง้ สองไปใน 3 ทศิ ทาง และยดึ ปลายเชอื ก B กบั ตัวหนีบ ยึด C ท่ขี อบโตะ๊ 4. สอดกระดาษขาวใต้กระดาษแขง็ เขยี นแนวของเสน้ เชอื กทง้ั สองตามแนวแรงบนกระดาษขาว 5. อา่ นค่าแรงดงึ ในเสน้ เชอื ก A ทั้งสามจากเครือ่ งช่งั สปริง ภาพท่ี 2.27 แนวการดงึ ในเสน้ เชอื กผกู ยดึ กระดาษแขง็ กับตัวหนีบยดึ C

44 ตารางบันทกึ ผลกจิ กรรม สมดุลของแรง 3 แรง ขนาดของแรง ( นิวตัน ) เครอ่ื งชั่งสปรงิ อันท่ี 1 อนั ท่ี 2 อันที่ 3 วาดแนวแรงดึงจากเคร่ืองชั่งสปรงิ ทงั้ 3 อัน สรุปผลกจิ กรรม ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... คำถามท้ายกจิ กรรม 1. ขณะกระดาษแขง็ อยู่นงิ่ แรงลัพธท์ ีก่ ระทำตอ่ กระดาษแข็งมคี า่ อยา่ งไร ..................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................... 2. ถ้าเขียนเวกเตอรแ์ ทนแรงทัง้ สาม โดยกำหนดมาตราส่วนให้ความยาวของเวกเตอร์แทนขนาดของแรง และเขยี นให้หางของเวกเตอร์หนง่ึ ต่อกับหวั ของอกี เวกเตอร์หนงึ่ จนครบจะไดภ้ าพมีลกั ษณะเปน็ อยา่ งไร ..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................

45 กจิ กรรมการเรยี นรทู้ ่ี 2.4 1. จากภาพ เม่อื วตั ถอุ ยใู่ นสภาพสมดุล จงหาขนาดของ F 1.1 F 50 N m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.2 50 N m F …………………………………………………………………………… 20 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 1.3 F 20 N …………………………………………………………………………… 60˚ …………………………………………………………………………… 40 N …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2. จากภาพ จงหาแรงตึงเชือกทุกเสน้ ( กำหนดให้ g = 10 m/s2 ) …………………………………………………………………………… 30˚ 60˚ …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2 kg …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

46 2.5 ทอรก์ ( Torque ) หรอื โมเมนต์ ( Moment ) ทอร์ก หmรือ) โเมกเดิ มจนาตก์กเาปร็นคคณู วเาชมิงเพวยกาเตยอามร์ขขอองงแรรัศงมทกี ี่จาะรหทมำใุนห(้วัตRถุห) มกุนบั แรอรงบจ( Fุด ๆ หนึ่ง มีหน่วยเป็น นิวตันเมตร ( N ) เช่น ประตู หน้าต่าง พวงมาลัยรถยนต์ ฯลฯ ดงั ภาพที่ 2.28  R F ภาพที่ 2.28 ลักษณะการเกดิ ทอรก์  = F  R .................2.45 เมือ่ RF แทน ทอรก์ หน่วย นวิ ตนั เมตร ( N m ) แทน แรงท่ีกระทำตอ่ วัตถุ หน่วย นิวตัน ( N ) แทน รัศมีของการหมนุ หน่วย เมตร ( m ) ขนาดของทอร์กหรือโมเมนต์เท่ากับขนาดของแรงคูณระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตั้งฉากกับ นแในนิ้วลกวักแลราษงงณแชตี้ละะานมทิ้วแศิ ชนที้ วนารงิ้วัศขกมอลีงาทRงอพรแ์กล่งุ มเะขีทนา้ ศิหิ้วตหาง้ัจัวฉุดแาหมกม่มกนุ บัือรจตะะั้งนไฉดาาว้บก่ากซหาึ่งัวรกแหันมมแม่ ุนลอื ะชก้ทีกาัศินรทหแาาลงทข้วิศอวทงาทางงนอขริ้วอ์กชงี้ไทดปงัอใภรนา์กทพหิศทาทไ่ี ด2า.โ้ ง2ดข9ยอใงชแ้มรืองขวFา  F R ภาพที่ 2.29 ทิศทางของทอร์ก

47 ทอร์กที่เกิดจากแรงกับระยะห่างจากจุดหมุนไม่ตั้งฉากกัน สามารถหาค่าทอร์กโดยการใช้ หลกั ตรีโกณมิติ หรอื การแยกแรง หรอื หาแนวระยะห่างทต่ี งั้ ฉาก ซึ่งเกดิ ข้นึ ได้ 4 กรณี ดังน้ี 1. กรณแี รงทีก่ ระทำให้วตั ถหุ มนุ ทำมุม  กับรศั มขี องการหมนุ ดังภาพที่ 2.30 R  F sin  F ภาพท่ี 2.30 แรงทกี่ ระทำให้วตั ถุหมนุ ทำมมุ  กับรัศมีของการหมนุ ขนาดของค่าทอรก์ จะได้ดังน้ี .................2.46 τ = F sin  R 2. กรณีแรงที่กระทำให้วัตถุหมุนตั้งฉากกับแนวระดับ และรัศมีของการหมุนทำมุม  กับ แนวระดบั ดังภาพที่ 2.31 R F  R cos  ภาพท่ี 2.31 แรงท่ีกระทำให้วตั ถุหมนุ ตง้ั ฉากกับแนวระดบั และรศั มขี องการหมุนทำมมุ  กบั แนวระดับ ขนาดของค่าทอรก์ จะได้ดังนี้ .................2.47 τ = FR cos  3. กรณีแรงที่กระทำให้วัตถุหมุนแนวเดียวกับแนวระดับ และรัศมีของการหมุนทำมุม  กับ แนวระดบั ดงั ภาพท่ี 2.32 F R sin  R  ภาพที่ 2.32 แรงท่กี ระทำให้วตั ถุหมนุ แนวเดยี วกบั แนวระดับ และรัศมีของการหมนุ ทำมุม  กับ แนวระดับ

48 ขนาดของคา่ ทอร์ก จะได้ดงั น้ี τ = FR sin  .................2.48 4. กรณแี รงที่กระทำให้วตั ถหุ มุนทำมมุ  กบั แนวระดบั และรศั มขี องการหมุนทำมุม  กบั แนวระดับ เชน่ กัน ดงั ภาพที่ 2.33 F F sin  F cos   R sin  R  R ภาพที่ 2.33 แรงท่ีกระทำให้วตั ถุหมุนทำมุม  กับแนวระดบั และรศั มีของการหมุนทำมุม  กับแนวระดบั ขนาดของค่าทอรก์ จะไดด้ ังน้ี τ = [(F sin  R cos ) + (F cos  R sin )] .................2.49 2.5.1 ชนดิ ของทอรก์ หรอื โมเมนต์ เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุเกิดการหมุน ชนิดของทอร์ก หรือโมเมนต์ แบ่งตามทิศทาง การหมุนของเข็มนาฬิกา จำแนกได้ 2 ชนดิ คือ ทอรก์ หรอื โมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา และทอรก์ หรือโมเมนต์ ทวนเข็มนาฬกิ า ดงั ภาพท่ี 2.34 ทวนเข็มนาฬกิ า 12 ตามเข็มนาฬิกา 93 6 ภาพที่ 2.34 ทศิ ทางการหมุนของเข็มนาฬกิ า 1. ทอรก์ หรอื โมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา ทอร์ก หรือโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา เป็นผลคูณระหว่างแรงกับรัศมีของการหมุนในทิศทาง ตามเข็มนาฬิกา ดงั ภาพท่ี 2.35 ทิศทางของทอร์กหรอื โมเนต์ พุ่งเขา้ ต้งั ฉากกบั ระนาบการหมุน

49 R F ภาพที่ 2.35 ทอร์ก หรอื โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ า 2. ทอร์กหรอื โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬกิ า ทอร์ก หรือโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา เป็นผลคูณระหว่างแรงกับรัศมีของการหมุนในทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกา ดงั ภาพท่ี 2.36 ทิศทางของทอรก์ หรอื โมเมนต์ พุ่งออกจากระนาบการหมุน F R ภาพท่ี 2.36 ทอรก์ หรือโมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา แรงคู่ควบ ( Couple ) คือ แรง 2 แรงกระทำต่อวัตถุเดียวกันที่มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทาง ตรงข้ามกัน และแนวแรงทั้งสองขนานกัน ผลจากแรงคู่ควบจะทำให้วัตถุเกิดการหมุน เช่น การดันวัตถุ รปู ทรงกระบอก ดังภาพท่ี 2.37 F N f W ภาพท่ี 2.37 แรงคู่ควบ จากภาพท่ี 2.37 จะเกดิ แรงคูค่ วบ 2 คู่ คอื แรงดันวตั ถุกบั แรงเสียดทาน ผลจากการหมุนจะทำให้ วตั ถุลม้ และนำ้ หนกั ของวัตถุกบั แรงปฏิกริ ยิ าระหวา่ งผิวสมั ผัสทำให้เกดิ การหมุนในทิศทางตรงข้ามกัน ทำให้ วตั ถไุ ม่ลม้ ไดง้ ่าย

50 การหาขนาดของทอร์ก หรอื โมเมนคข์ องแรงคคู่ วบ หาไดจ้ ากแรงคูณกับระยะห่างระหว่างแนวแรง ค่คู วบ ดงั ภาพที่ 2.38 F L F ภาพที่ 2.38 ทอร์กหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบ จากภาพท่ี 2.38 ขนาดของทอรก์ หรอื โมเมนต์ จะได้ .................2.50 τ = F×L 2.5.2 การหาผลรวมของทอรก์ หรือโมเมนต์ เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวตั ถุแล้วทำใหเ้ กิดทอร์กหรือโมเมนต์หลายค่า การหาค่าผลรวมของ ทอร์กหรือโมเมนต์รอบจุดหมุน จากทฤษฏีวาริยอง ( Varignon’s Theorem ) กล่าวว่า “ทอร์กของ แรงลัพธ์ของระบบแรงย่อยที่พบกันรอบจุดใดจุดหนึ่ง จะเท่ากับผลรวมของทอรก์ ของแรงยอ่ ยรอบจุดนั้น” ดงั ภาพที่ 2.39 R1 F1 R F2 F1 R2 F2 R3 F3 ก.  ข. ภาพที่ 2.39 แรงหลายแรงกระทำต่อวตั ถเุ ดยี วกัน ทีต่ ำแหน่งตา่ ง ๆ รอบจดุ หมุน การหาค่าทอร์กหรือโมเมนต์ ทำได้ 2 วิธี คือ การหาค่าทอร์กหรือโมเมนต์แต่ละแรงแล้วนำมา รวมกัน และการหาคา่ ผลรวมของแรงแล้วนำมาหาคา่ ทอร์กหรอื โมเมนต์ 1. การหาคา่ ทอรก์ หรือโมเมนตแ์ ต่ละแรงแลว้ นำมารวมกัน ดงั ภาพท่ี 2.37 ก. สามารถหาได้โดย Στ = τ1 + τ2 + τ3 .................2.51 Στ = F1R1 + F2R2 + F3R3 .................2.52