หน่วยที่ 2 แรงและสมดุลของแรง

39 หน่วยที่ 2 แรงและสมดุลของแรง แนวคดิ แรง คือ อำนาจชนิดหนึ่ง ซึ่งเป็นปริมาณที่ได้จากพลังงานทุกชนิด เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุ วัตถุ จะพยายามเปลี่ยนแปลงสภาพของวัตถุ เช่น เปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ เปลี่ยนขนาดของอัตราเร็ว หรือ เปลี่ยนขนาด รูปร่างของวัตถุ การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นเกิดจากผลรวมของแรงทั้งหมด วิธีการรวมแรง ใช้หลักการรวมเวกเตอร์ แรงในหน่วยเอสไอ มหี นว่ ยเป็น kg m/s2 หรอื นวิ ตัน สาระการเรียนรู้ 2.1 ความหมายของแรงและชนิดของแรง 2.2 การแยกแรง 2.3 การหาผลรวมของแรง 2.4 สมดุลของแรง 2.5 ทอรก์ หรือโมเมนต์ 2.6 สมดุลต่อการหมนุ จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม 1. นักศึกษาบอกความหมายของแรงไดอ้ ย่างถกู ต้อง 2. นักศกึ ษาวิเคราะห์ชนิดของแรงที่มากระทำต่อวตั ถุในสภาพต่าง ๆ ได้อยา่ งถกู ต้อง 3. นกั ศกึ ษาคำนวณการแยกแรงได้อยา่ งถกู ต้อง 4. นกั ศกึ ษาคำนวณหาผลรวมของแรงบนระนาบ 2 มติ ิ และ 3 มติ ิได้อยา่ งถกู ตอ้ ง 5. นกั ศึกษาคำนวณหาขนาดของแรงท่ีกระทำตอ่ วตั ถุเมือ่ วัตถุอยูใ่ นสภาพสมดลุ ได้อย่างถูกต้อง 6. นักศึกษาคำนวณหาทอรก์ หรอื โมเมนตข์ องแรงที่กระทำต่อวัตถไุ ด้อยา่ งถกู ต้อง 7. นักศึกษาคำนวณหาขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุโดยใช้หลักการสมดุลต่อการหมุน ได้อย่างถกู ต้อง

ผังมโนทศั น์ 40 2 3 2 2 2

41 2.1 ความหมายของแรงและชนิดของแรง แรงมีบทบาทที่สำคญั มากตอ่ กิจกรรมต่าง ๆ ในชีวติ ประจำวัน การออกแรงกระทำตอ่ วัตถุสามารถ ทำให้วตั ถทุ ่หี ยุดนงิ่ เกดิ การเคลอ่ื นที่ หรือวตั ถุทก่ี ำลังเคลือ่ นทหี่ ยุดนงิ่ หรือเคลือ่ นที่ช้าลงหรอื เรว็ ข้ึน หรืออาจ เปล่ยี นทศิ ทางการเคลอื่ นท่ี 2.1.1 Fคoวrcาeมห: มFา)ยหขอมงาแยรถงึง อำนาจหรือสิ่งท่ีไปกระทำต่อวตั ถุแล้วทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลง แรง ( การเคลื่อนที่ ความเร็ว ขนาดและรูปร่าง แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ผลซึ่งเกิดจาก การกระทำของแรงขึ้นอยู่กับลักษณะของแรง ชนิดของแรง ขนาดของแรง และจุดที่แรงกระทำต่อวัตถุ เชน่ การเลอ่ื นเก้าอ้ีตอ้ งมกี ารออกแรงกระทำตอ่ เก้าอ้ี ผลของการออกแรงกระทำต่อเก้าอี้จะทำให้เก้าอี้เกิด การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ แต่การออกแรงกระทำต่อวัตถุนั้นไม่ได้ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เสมอไป เช่น การออกแรงผลักผนังตึก ผลของการออกแรงไมท่ ำให้ผนังตกึ เคลื่อนท่ี การเขยี นสญั ลักษณข์ องแรงจึงต้องใช้ ลูกศรแสดงทิศทางและความยาวแทนขนาดของแรงในหน่วยเอสไอ ( International system of units ) แรงมหี น่วยเป็น kg m/s2 หรอื นวิ ตัน แรง 1 นิวตัน คือ แรงทท่ี ำใหว้ ตั ถุมวล 1 กิโลกรัม ( kg ) มีความเร่ง 1 เมตรตอ่ วินาที2 ( m/s2 ) ดงั นั้นจงึ เขียนเปน็ สมการได้วา่ .................2.1 F = m a โดยที่ F แทน แรง หน่วย นิวตัน หรอื kg m/s2 m แทน มวลของวตั ถุ หนว่ ย กิโลกรัม หรือ kg a แทน ความเรง่ หน่วย เมตรต่อวนิ าที2หรือ m/s2 F 2 F1 FF==mmg g ภาพที่ 2.1 การเขยี นสัญลักษณข์ องแรง ท่ีมา http://www.bbc.co.uk ( สืบค้นเมือ่ 20 ก.พ. 2559 )

42 2.1.2 ชนดิ ของแรง เม่ือวตั ถถุ กู แรงกระทำ การเปลีย่ นแปลงการเคล่ือนที่ ความเรว็ ขนาด รปู ร่าง และทิศทางของวัตถุ จะขึ้นอยู่กับขนาดและทิศทางของแรงที่มากระทำ การแบ่งชนดิ ของแรงโดยใช้การสมั ผัสทางกายภาพของ วตั ถทุ ่อี อกแรงกระทำกบั วตั ถุที่ถกู กระทำเป็นเกณฑ์ แบง่ ได้ 2 ชนดิ คือ แรงสัมผสั ( Contact force ) และ แรงสนาม ( Field force ) 1. แรงสัมผัส ( Contact force ) เกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่ออกแรงกระทำและวัตถุที่ถูกกระทำสัมผัส กันทางกายภาพ เช่น การออกแรงดันรถเข็น ดังภาพที่ 2.2 ก. การออกแรงเตะลูกบอล ดังภาพที่ 2.2 ข. เป็นตน้ ก. ข. ภาพที่ 2.2 ตัวอย่างแรงสมั ผัส ทมี่ า : http://www.rakluke.com และ https://www.soccerpro.com/ ( สบื คน้ เมื่อ 20 พ.ย. 2560 ) แรงที่กระทำตอ่ วตั ถดุ ังกลา่ วเปน็ ผลจากการสมั ผสั กันระหวา่ งวตั ถุ 2 ชนิดทเ่ี ปน็ วตั ถอุ อกแรงกระทำ กับวัตถุที่ถูกกระทำ fถo้าrวcัตeถ:ุทNั้งส)อแงรองยเสู่หยี ่าดงทกาันนจะ( ไFมri่เcกtดิioผnลขfoอrงcแeร:ง แf ร)งแสรัมงผตัสึง (ไดT้แeกn่sแioรnงปfoฏrิกcิรeิย:ารTะ)หแวล่าะง ผวิ สัมผสั ( Normal แรงจากสปรงิ ( Spring force ) ( Normal force : N ) 1.1 แรงปฏิกิรยิ าระหว่างผิวสัมผสั แรงปฏิกริ ิยาระหว่างผิวสัมผสั เป็นแรงที่เกดิ ขึน้ เมื่อวัตถุสัมผัสกับพื้นผิวใด ๆ พื้นผิวนั้นจะมีแรง ใกนรแะทนำวตต่อั้งวฉัตาถกุใกนับลพกั ื้ษนณผิวะขผอลงักววัตัตถถุุอเสอมกอจาสกัญพืน้ลผักิวษสณัม์ทผสัี่ใชโด้แยทแนรงแปรฏงปิกฏิริยิกาิรริยะาหรวะ่าหงผวิว่าสงัมผผิวัสสมัมีทผิศัสทคางือพ่งุ“อNอก” ดงั ภาพท่ี 2.3

43 N N F m m W = mg f W = mg ภาพที่ 2.3 แรงปฏิกริ ยิ าระหว่างผวิ สัมผัสท่ีเกดิ ข้ึนกับวตั ถุ 1.2 แรงเสียดทาน ( Friction force : f ) แรงเสียดทานเป็นแรงท่ีเกิดขึ้นระหวา่ งผิวสัมผัสของวัตถุ กับผิวใด ๆ ก็ตาม เช่น การใส่รองเท้า เดินบนผวิ ถนน แรงเสยี ดทานจะเกิดขึ้นจากการสัมผัสกันระหวา่ งผวิ ถนนกับพนื้ รองเท้า การเดินบนผิวถนน ทมี่ โี คลนเปียกและลน่ื เดินไดย้ ากกว่าการเดินบนผวิ ถนนท่ีแห้ง เนอื่ งจากแรงทเ่ี กิดจากการสัมผัสระหว่างผิว ถนนกับพื้นรองเท้า หรือแรงเสียดทานที่ผิวถนนที่มีโคลนเปียกลื่นมีน้อยกว่าผิวถนนที่แห้ง การเดินบนผิว ถนนตอ้ งอาศัยแรงเสียดทานของผิวถนนกบั พ้ืนรองเทา้ ดังภาพท่ี 2.4 คนเดินไปขา้ งหน้า แรงเสียดทาน พื้นรองเท้าเคลือ่ นทไ่ี ปข้างหลัง แรงปฏิกริ ิยาระหวา่ งผิวสมั ผัส ภาพท่ี 2.4 แรงเสยี ดทานระหวา่ งผิวถนนกับพน้ื รองเท้า ทมี่ า : https://biomechanics.byu.edu.html ( สืบคน้ เมอื่ 20 พ.ย. 2560 ) จากภาพที่ 2.4 ในขณะที่คนเดินไปข้างหน้าที่จุดผิวสัมผัสระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้า ทิศทาง การเคลื่อนที่ของพื้นรองเท้าไปข้างหลัง แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นระหว่างผิวถนนกับพื้นรองเท้าจะมีทิศทาง ไปข้างหน้าซึ่งตรงข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของพื้นรองเท้า ดังนั้นแรงเสียดทานมีทิศทางตรงข้ามกับ

44 ททิศานทจาลงกนา์ ร( เfkค)ล่ือดนังภทา่ีขพอทงี่จ2ดุ .5ผิวสมั ผสั แรงเสยี ดทาน มี 2 ลกั ษณะ คอื แรงเสียดทานสถิต ( fs ) และแรงเสียด N F N F m m fk W fs W ก. แรงเสียดทานสถิต ข. แรงเสียดทานจลน์ ภาพที่ 2.5 แรงเสยี ดทาน พจิ ารณา มวล m ท่วี างอยูบ่ นพน้ื ดังภาพท่ี 2.5 ก. ถา้ ออกแรง F ในแนวระดบั กระทำตอ่ มวล m ไคFปือทใแาหรง้มขงเาวสกายี พดดอว้ทยาดขนังนสภาถาดิตพขทอ(ี่ งS2แt.aร5งtiขทc.ี่ไfมวri่มัตcาถtiกุoมพnวอลFมomวrcลจeะm:เรยfิ่มsงัเ)คคซงลงึ่อื่อเยกนู่นิดทง่ิขี่เณเพมะรื่อาววะตั ัตมถถแีไุ ุมมรวง่เคกลลรm่ืะอทนเำทรต่ีิ่มอ่ถเวา้คัตเลรถาื่อุมเนพวทลิ่มี่ขแmนรางไเดปสขทียอาดงงทซแาา้รนยง สถติ จะมีคา่ มากที่สดุ และถ้าแรง F มคี ่ามากกว่าแรงเสยี ดทานสถติ วัตถมุ วล m จะเคลอ่ื นด้วยความเร่งไป ทางขวา ในขณะที่วัตถุมวล m กำลังเคลื่อนที่ แรงเสียดทานจะลดน้อยลงและนอ้ ยกว่าแรงเสียดทานสถติ ที่มีค่ามากที่สุด แfkรง)เสียดทานที่เกิดขึ้นขณะวัตถุกำลังเคลื่อนที่ เรียกว่า แรงเสียดทานจลน์ ( Kinetic friction Force : สำหรับวัตถุคู่หนึ่ง ๆ แรงเสียดทานสถิตและแรงเสียดทานจลน์ เป็นสัดส่วนกับแรงปฏิกิริยา ระหวา่ งผวิ สมั ผัส กระทำกบั วตั ถใุ นแนวตงั้ ฉาก ซง่ึ แรงปฏิกิริยาระหวา่ งผิวสัมผัสมีค่าเทา่ กับนำ้ หนักของวัตถุ ที่วางในแนวราบ และจะขึ้นกับธรรมชาติของผิวสัมผัสระหว่างวัตถุ 2 ชนิดด้วย ถ้าผิวสัมผัสมีความขรุขระ มากจะมีแรงเสยี ดทานมาก เขยี นเป็นความสมั พันfธ์ ได้ดNังน้ี จาก ดงั นัน้ ขนาดของแรงเสียดทานสถติ จfะไ=ดว้ ่าµ N .................2.2 โดยท่ี f แทน แรงเสยี ดทานสถิต หนว่ ยเป็น นิวตนั µN แทน สัมประสทิ ธิ์ของแรงเสียดทาน แทน แรงปฏกิ ิรยิ าระหวา่ งผวิ สมั ผัส หน่วยเปน็ นิวตนั

45 (1) แรงเสียดทานสถติ ( Static friction Force : fs ) แรงเสียดทานสถิต คือ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นขณะวัตถุหยุดนิ่งแล้วมีแรงอื่นมากระทำต่อวัตถุ ทำใหว้ ตั ถุเริม่ เคลื่อนท่ีหรือหมนุ คา่ แรงเสียดทานมีค่าเพ่ิมข้นึ จากศนู ยไ์ ปจนสูงสุดถงึ จุด ๆ หนงึ่ ท่ีวัตถุจะเร่ิม เคล่ือนท่ี โดยค่าแรงเสยี ดทานแปรผนั ไปตามแรงปฏิกริ ยิ าระหว่างผวิ สัมผสั ดังภาพท่ี 2.6 F N m fs W ภาพที่ 2.6 แรงเสยี ดทานสถิต จากสมการท่ี 2.2 แรงเสียดทานสถิต จะไดว้ ่า fs = µs N .................2.3 โดยท่ี fs แทน แรงเสยี ดทานสถติ หน่วยเป็น นิวตัน (2) แรงเสียดทµNาs นจลนแแ์ (ททนนKinแสัมรeงtปปicรฏะfกิสrริิทicยิ ธtา์ิขioรอะnงหแFวรo่างงrเสcผeยีิวสด:มัทผาfkสัน)สหถนิต่วยเปน็ นวิ ตัน แรงเสียดทานจลน์ คือ แรงเสยี ดทานทเ่ี กดิ ข้ึนกบั วัตถทุ กี่ ำลังเคลือ่ นที่ ซง่ึ มผี ลทำให้วัตถเุ คล่ือนท่ี ช้าลงจนหยุดนิ่ง แรงเสียดทานจลน์มีขนาดคงที่ไม่ว่าวัตถุนั้นจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเพิ่มขึ้นหรือลดลง ดังภาพที่ 2.7 N m fk F W ภาพท่ี 2.7 แรงเสียดทานจลน์ จากสมการที่ 2.2 แรงเสียดทานสถติ จะได้วา่ .................2.4 fk = µk N

46 โดยที่ fk แทน ขนาดของแรงเสียดทานจลน์ หนว่ ยเป็น นิวตนั µNk แทน สมั ประสทิ ธขิ์ องแรงเสยี ดทานจลน์ แทน แรงปฏกิ ิริยาระหว่างผวิ สมั ผสั หนว่ ยเปน็ นิวตนั นอกจากนี้การหาขนาดของแรงเสียดทานจลน์ สามารถหาได้จากการเปลี่ยนรูปพลังงาน เมื่อวัตถุ เคลอ่ื นท่ไี ปบนผวิ สมั ผสั แลว้ เคลอื่ นทช่ี า้ ลง ดงั ภาพที่ 2.8 v1 v2 m f m s ภาพท่ี 2.8 แรงเสยี ดทานจลนก์ บั การเปล่ียนรูปพลงั งาน การเปล่ียนรูปพลงั งาน Ek Ek + Wf จะได้ 12 1 mv12 = 1 mv 2 + f·s .................2.5 2 2 2 1.3 แรงตงึ ( Tension force : T ) แรงตึง เปน็ แรงที่เกิดขนึ้ จากการทวี่ ตั ถุทีม่ ลี ักษณะเปน็ เส้น เช่น เชอื ก ลวด สายเอ็นทถ่ี ูกทำให้ตึง โดยดึงปลายทง้ั สองด้าน ในเส้นเชอื ก ลวด สายเอน็ เดยี วกันมีแรงตงึ เท่ากนั ทุกจดุ จะเกิดเฉพาะตามแนวเส้น สเทัญ่าลนกั ั้นษณแล์ทะ่ีใชท้แิศททนาแงขรงอตงึงแรคงือตึง“อTย”ู่ในดแังนภวาขพอทงี่ เ2ส.9้นเชือกมีทิศทางพุ่งออกจากระบบที่กำลังพิจารณาเสมอ T m m พจิ ารณาท่ี มวล m W ภาพที่ 2.9 แรงตงึ เชือกที่กระทำตอ่ วัตถุ

47 1.4 แรงจากสปริง ( Spring force ) สปรงิ เปน็ อปุ กรณ์ทม่ี คี วามยืดหยุน่ เมื่อไม่มแี รงมากระทำสปรงิ จะอยู่ในสภาพปกติ และหากมี แรงมากระทำสามารถยืดหรอื หดเข้าตามแรงที่มากระทำ แรงจากสปรงิ มี 2 ลักษณะ คือแรงดึงเมื่อสปริง ถูกทำให้ยืดออก และแรงดนั ออกเมอ่ื สปริงหดตัวเขา้ ไป ดังภาพที่ 2.10 m xF แเมรงือ่ สfปแรรงิ งถสกู ปยรดื ิงอจอะกดดงึ เว้ ขย้า m f F x m f เมือ่ สปริงถกู ดนั แรง f ใหห้ ดตัว เขา้ ไป แรงสปรงิ จะดนั ออกมา ภาพท่ี 2.10 แรงสปริงเม่อื ยดื สปรงิ ออกและดันสปรงิ ใหห้ ดตัวเขา้ ไป ขนาดของแรงสปรงิ จะแปรผันโดยตรงกบั ระยะท่ยี ดื หรือหด แต่ตอ้ งไมเ่ กนิ ขดี จำกัดของการยดื หยนุ่ จะได้วา่ Fx F = -kx .................2.6 เมอื่ F แทน แรงสปรงิ หนว่ ยเป็น นวิ ตนั k แทน ค่าคงตวั ของสปรงิ หน่วยเปน็ นิวตนั ต่อเมตร x แเคทรนอ่ื งรหะมยาะยท่ยี–ืดแหสรดืองหทดิศตทวั าขงอขงอสงปรFงิ แหลนะ่วxยเวป่าน็ตรเงมขต้ารมกนั

48 2. แรงสนาม ( Field force ) หรือแรงไม่สัมผัสเกิดขึ้นเมื่อวัตถุที่ออกแรงกระทำและวัตถุ ที่ถูกกระทำไม่มีการสัมผัสทางกายภาพกันเลย เช่น การที่อนุภาคซึ่งมีประจุดงึ ดูดกันหรือผลักกันด้วยแรง ทางไฟฟ้า และการดึงดูดระหว่างแม่เหล็กและเหล็กด้วยแรงทางแม่เหล็ก ซึ่งจะได้ศึกษาแรงทางไฟฟ้า ในหนว่ ยที่ 5 และแรงทางแม่เหลก็ ในหนว่ ยท่ี 6 ต่อไป แรงลักษณะนี้จะเกิดกับวัตถุโดยส่งผ่านที่ว่างมายังวัตถุอีกชนิดหนึ่งซึ่งไม่สัมผัสกัน ได้แก่ การที่วัตถตุ กลงมาสพู่ ้นื ด้วยแรงโนม้ ถ่วงของโลก ( Gravitational force ) แรงโน้มถว่ งของโลก ( Gravitational force ) โลกจะดึงดูดวัตถุต่าง ๆ ให้ตกลงสู่ผิวโลก แรงชนิดนี้เป็นแรงที่ใกล้ตัวเราที่สุด จากการค้นคว้า ของนวิ ตัน อธิบายแรงโนม้ ถว่ งของโลกโดยใชก้ ฎแรงดึงดดู ระหว่างมวล กล่าวคอื “วตั ถุ 2 ก้อนท่ีอยู่ห่างกัน จะเกิดแรงดงึ ดูดซง่ึ กันและกนั โดยขนาดของแรงจะแปรผนั ตรงกบั ขนาดของมวลทัง้ สอง และแปรผกผันกับ ระยะห่างระหวา่ งมวลท้ังสอง ยกกำลงั สอง” คา่ ของมวลมาก จะมแี รงดงึ ดูดมาก คา่ ของมวลน้อย จะมีแรงดงึ ดูดน้อย ระยะหา่ งมาก แรงดึงดดู จะมีคา่ นอ้ ย ระยะห่างน้อย แรงจะมคี ่ามาก ภาพที่ 2.11 เซอรไ์ อแซคนวิ ตนั ผูค้ ้นพบแรงโนม้ ถว่ งของโลก ทม่ี า : http://www.neutron.rmutphysics.com ( สบื คน้ เมอื่ 20 ก.พ. 2559 ) แรงโนม้ ถว่ งของโลกบางคร้งั เรยี กว่า นำ้ หนักของวตั ถุ ( Weight : W ) มคี ่าเทา่ กับมวล (m) คูณกับ ความเรง่ เนอ่ื งจากแรงโน้มถว่ งของโลก ( g ) W = m g .................2.7 โดยท่ี W แทน น้ำหนักของวัตถุ หนว่ ย นิวตัน หรอื kg m/s2 m แทน มวลของวัตถุ หน่วย กิโลกรมั หรือ kg g แทน ความเรง่ เน่ืองจากแรงโนม้ ถ่วงของโลกหนว่ ย เมตรตอ่ วินาที2หรอื m/s2 มคี ่าโดยประมาณ 9.81 m/s2

49 2.2 การแยกแรง การแยกแรง เป็นการหาองค์ประกอบของแรงในแนวแกนต่าง ๆ แบ่งได้ 2 ลักษณะ คือ การแยกแรง 2 มิติ และการแยกแรง 3 มติ ิ 2.2.1 การแยกแรง 2 มิติ เมื่อมีแรงมากระทำต่อวัตถุในระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ xy สามารถแยกแรงไปในแนว แกน x ( Fx ) และ แรงในแนวแกน y ( Fy ) โดยใช้หลักการเดียวกับการหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 2 มิติ นนั่ คอื ใช้ทในฤกษรฏณีพีทที แี่ ารโงกร(ัสF และหลกั ตรโี กณมิติ x ดังภาพท่ี 2.12 ) ทำมุม  กบั แนวแกน y Fy F  Fx x ภาพท่ี 2.12 แรงทำมมุ กับแกน x จากภาพท่ี 2.12 ตามหลกั ตรีโกณมิติ สามารถแยกแรงไดด้ ังนี้ cos  = Fx F ขนาดของแรงในแนวแกน x คือ .................2.8 Fx = F cos  .................2.9 sin  = Fy F ขนาดของแรงในแนวแกน y คือ Fy = F sin  และในกรณีทแ่ี รง ( F ) ทำมมุ  กบั แนวแกน y ดงั ภาพท่ี 2.13

50 y Fy FF  Fx x ภาพที่ 2.13 แรงทำมมุ กับแกน y จากภาพที่ 2.13 ตามหลักตรโี กณมิติ จะไดว้ ่า sin  = Fx F ขนาดของแรงในแนวแกน x คอื Fx = F sin  .................2.10 .................2.11 cos  = Fy F ขนาดของแรงในแนวแกน y คือ Fy = F cos  สรปุ ไดว้ า่ “ถ้าแรงทำมมุ กับแนวแกนใด องคป์ ระกอบของแรงในแนวแกนน้ันจะเปน็ ผลคณู ของแรงกับ คา่ cosine ของมุมนัน้ ส่วนอกี แกนหน่งึ จะมีคา่ เทา่ กบั ผลคณู ของแรงกบั คา่ sine ของมุมนนั้ ” เมื่อทราบค่าขนาดของแรงในแนวแกน x และ y การหาขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ ทำได้เช่นเดียวกับเวกเตอร์ โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมจากภาพที่ 2.12 ถ้าทราบค่า Fx และ Fy ตอ้ งการหาคา่ F จะได้ F2 = Fx2 + Fy2 F = Fx2 + Fy2 .................2.12 การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ พิจารณาภาพท่ี 2.12 แรงลัพธท์ ำมุม  กับแนวแกน x ดงั นี้ tan  = Fy .................2.13 Fx

51 ตัวอยา่ งที่ 1 จากภาพ จงแยกแรงตอ่ ไปนไ้ี ปในแนวแกน x และ y y  F2=10N F1= 5 N 53˚ 37˚ x F3 = 3 N วิธที ำ แยกแรงแต่ละแรงไปในแนวแกน x และ y F2 sin 53˚ F1 sin 37˚ F2cos 53˚ F1cos 37˚ F3 F1x = F1 cos 37° F1y = F1 sin 37° = (5 N)(0.80) = (5 N)(0.60) = 4N = 3N F2x = -F2 cos 53° F2y = F2 sin 53° = -(10 N)(0.60) = (10 N)(0.80) = -6 N = 8N F3x = 0 F3y = -3 N

52 2.2.2 การแยกแรง 3 มิติ การแยกแรง 3 มิติ ใช้วธิ ีการเช่นเดียวกับการหาเวกเตอร์องค์ประกอบ 3 มติ ิ นั่นคอื การแยกแรง ไปในแนวแกน x ( Fx ) แนวแกน y ( Fy ) และแนวแกน z ( Fz ) โดยกำหนดให้ ถ้า  เป็นมุมที่แรงทำกับ ระนาบ xy และ  เป็นมมุ ท่เี งาของแรงบนระนาบ xy ทำกบั แนวแกน x ดงั ภาพท่ี 2.14 z Fy Fz F Fx x y Fxy ภาพท่ี 2.14 แรงในแนวแกน x y และ z การแยกแรงไปในแนวแกน x ( Fx ) แนวแกน y ( Fy ) และแนวแกน z ( Fz ) ทำได้โดยการคิดทีละ ระนาบตามหลักตรีโกณมิติ การแยกแรงไปในแนวแกน z กับระนาบ xy ดังภาพท่ี 2.15 z x Fz F y Fxy ภาพท่ี 2.15 แรงในแนวแกน z กบั ระนาบ xy จากภาพท่ี 2.15 sin  = Fz F ขนาดของแรงในแนวแกน z Fz = F sin  .................2.14

53 cos  = Fxy F ขนาดของแรงในระนาบ xy Fxy = F cos  .................2.15 การแยกแรงในระนาบ xy ไปในแนวแกน x และ y ดงั ภาพท่ี 2.16 z Fy Fx x y Fxy ภาพที่ 2.16 แรงบนระนาบ xy กบั แนวแกน x และ y จากภาพที่ 2.16 cos  = Fx Fxy Fx = Fxy cos  แทนค่า Fxy จากสมการที่ 2.15 จะได้ขนาดของแรงในแนวแกน x ดงั น้ี Fx = F cos  cos  .................2.16 .................2.17 sin  = Fy Fxy Fy = Fxy sin  แทนคา่ Fxy จากสมการท่ี 2.15 จะได้ขนาดของแรงในแนวแกน y ดงั นี้ Fy = F cos  sin 

54 เมื่อทราบค่าขนาดของแรงในแนวแกน x y และ z การหาขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ พิจารณาสามเหลี่ยมมมุ ฉากจากภาพท่ี 2.14 ถ้าทราบคา่ Fx Fy และ Fz ตอ้ งการหาค่า F จะได้ F2 = Fx2y + Fz2 .................2.18 พจิ ารณาสามเหลีย่ มมมุ ฉากจากภาพท่ี 2.16 จะได้ Fx2y = Fx2 + Fy2 .................2.19 แทนคา่ Fx2y ในสมการท่ี 2.19 ลงในสมการท่ี 2.18 F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .................2.20 การหาทศิ ทางของแรงลพั ธ์ พิจารณาภาพท่ี 2.14 แรงลพั ธ์ทำมุม  กับระนาบ xy และ  เปน็ มมุ ท่ี เงาของแรงบนระนาบ xy ทำกับแนวแกน x พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากจากภาพที่ 2.15 จะได้ tan  = Fz .................2.21 Fx2 + Fy2 พจิ ารณาสามเหลย่ี มมุมฉากจากภาพท่ี 2.16 จะได้ tan  = Fx .................2.22 Fy

55 ตวั อย่างที่ 2 จากภาพ จงแยกแรงไปในแนวแกน x y และ z z 37˚F5=3˚20 N y x วธิ ีทำ F xy = F cos 53° = (20 N)(0.60) = 12 N F x = F xycos 37° = (12 N)(0.80) = 9.6 N F y = F xysin 37° = (12 N)(0.60) = 7.2 N F z = F sin 53° = (20 N)(0.80) = 16 N ตอบ แรงในแนวแกน x y และ z เท่ากับ 9.6 N 7.2 N และ 16 N ตามลำดับ

56 ตวั อยา่ งที่ 3 แรง ๆ หนง่ึ มขี นาดทางแกน x y และ z เทา่ กับ 20 N , 30 N และ 60 N ตามลำดบั จงหา ขนาดของแรงน้ี และมมุ ท่ีแรงกระทำตอ่ ระนาบ xy วิธีทำ จากโจทย์ F x = 20 N F y = 30 N F z = 60 N z Fy Fz F Fx x y Fxy จาก F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = 202 + 302 + 602 = 400 + 900 + 3600 = 4900 = 70 N จาก tan  = Fz Fx2 + Fy2 = 60 202 + 302 60 = 1300 = 1.66  = 59° ตอบ ขนาดของแรง เทา่ กบั 70 N และแรงกระทำมุม 59 องศา กับระนาบ xy

57 2.3 การหาผลรวมของแรง เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ การหาค่าผลรวมของแรงมีหลักการเดียวกับการรวมเวกเตอร์ คือต้องรวมท้ังขนาดและทศิ ทาง โดยเครื่องหมายบวก ( + ) และเครื่องหมายลบ ( - ) เป็นการบอกทิศทาง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ ซึ่งวิธีการหาค่าผลรวมของแรง แบ่งตามลักษณะของแรงที่มากระทำต่อวัตถุได้ 5 ลักษณะ ดงั น้ี 2.3.1 แรงทำมุมกนั 0 องศา กรณีแรงทำมุมกัน 0 องศา กับวัตถุเดียวกัน นั่นคือแรงอยู่ในแนวเดียวกันและมีทิศทางไปทาง เดียวกัน ดงั ภาพ 2.17 F2 m F1 ภาพท่ี 2.17 แรง 2 แรงกระทำตอ่ วัตถุในแนวเดียวกันและมีทศิ ทางเดยี วกนั จากภาพที่ 2.17 การหาผลรวมของแรง หาไดโ้ ดยนำขนาดของแรงมาบวกกัน ΣF = F1 + F2 .................2.23 2.3.2 แรงทำมุมกนั 180 องศา กรณีแรงทำมุมกัน 180 องศา กับวัตถุเดียวกัน นั่นคือแรงอยู่ในแนวเดียวกัน และมีทิศทาง ตรงขา้ มกนั ดังภาพ 2.18 F2 m F1 ภาพที่ 2.18 แรง 2 แรงกระทำต่อวตั ถใุ นแนวเดยี วกันและมีทศิ ทางตรงขา้ มกนั จากภาพท่ี 2.18 การหาผลรวมของแรงหาได้โดยนำขนาดของแรงมาลบกัน ΣF = F1 - F2 .................2.24

58 2.3.3 แรงทำมุมกนั 90 องศา กรณแี รงทำมุมกนั 90 องศา กบั วตั ถุเดียวกัน น่ันคือ แรงทั้งสองมที ิศทางตง้ั ฉากกนั ดังภาพ 2.19 F2 F1 m ภาพท่ี 2.19 แรง 2 แรงกระทำตอ่ วัตถใุ นทิศทางตั้งฉากกนั จากภาพท่ี 2.19 สามารถหาผลรวมของแรง และทศิ ทางของแรงลพั ธ์ได้ดงั นี้ ΣF = F12 + F22 ( จากสมการที่ 2.12 ) tan  = F2 ( จากสมการท่ี 2.13 ) F1 ตัวอยา่ งที่ 4 จากภาพ จงหาผลรวม F1 + F2 + F3 F3 = 12 N m F1 = 10 N F2 = 15 N วธิ ีทำ ΣF = F1 + F2 - F3 = 10 N + 15 N - 12 N = 13 N ตอบ ขนาดของผลรวมของแรง เท่ากบั 13 นวิ ตัน 2.3.4 แรงทำมุมกนั  องศา กรณีแรงทำมมุ กัน  กบั วตั ถเุ ดียวกนั ดังภาพ 2.20 F1  F2 ภาพท่ี 2.20 แรง 2 แรงทำมมุ  กัน

59 จากภาพที่ 2.20 ผลรวมของแรงหาได้โดยใช้หลักการเดียวกับการรวมเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทำมุมกนั จากสมการที่ 1.24 นัน่ คือ ΣF = F12 + F22 + 2F1F2 cos θ .................2.25 .................2.26 การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ ไดจ้ ากสมการท่ี 1.25 tan  = F2 sin θ F1 + F2 cos θ ตัวอย่างที่ 5 แรง 10 N และ 20 N กระทำตอ่ วัตถุเดียวกนั ด้วยมมุ 60° จงหาผลรวมของแรงท้งั สอง วิธที ำ จากโจทย์ F1 = 10 N F2 = 20 N  = 60° จาก ΣF = F12 + F22 + 2F1F2 cos θ = (10 N)2 + (20 N)2 + 2(10 N)(20 N) cos 60 = 100 + 400 + 200 = 700 = 26.46 N ตอบ ผลรวมของแรง เทา่ กบั 26.46 นวิ ตัน 2.3.5 แรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุ โดยท่ีแรงอยู่ในระนาบเดียวกนั แรงมากกวา่ 2 แรงกระทำต่อวัตถุในระนาบเดยี วกนั สามารถหาผลรวมของแรงได้จากการแยกแรง ไปในแนวแกน x และ y โดยอาศยั หลักตรโี กณมติ ิ y F1 F2 2 1 x 3 F3 ภาพที่ 2.21 แรงมากกว่า 2 แรงกระทำตอ่ วัตถุบนระนาบเดียวกัน

60 จากภาพที่ 2.21 แยกแรง F1 F2 และ F3 ไปในแนวแกน x และ y จากนัน้ นำแรงในแต่ละแนวแกน มารวมกนั ซงึ่ การรวมกนั ใช้วธิ ีการบวกตัวเลข เพราะมีทิศทางแนวเดียวกนั แต่หากแรงในแนวแกนเดียวกัน แตม่ ที ิศทางตรงกันข้ามใหน้ ำมาลบกันจะได้ดังนี้ FFFFxyyx ผลรวมของแรงในแนวแกน x คอื  จะไดว้ ่า .................2.27 ผลรวมของแรงในแนวแกน y คอื  = F1x + F2x + F3x .................2.28  จะได้วา่  = F1y + F2y + F3y จากสมการที่ 2.12 จะได้ผลรวมของแรง ดังน้ี ΣF = (Fx )2 + (Fy )2 .................2.29 ตวั อย่างท่ี 6 จากภาพ จงหาขนาดและทศิ ทางของแรงลพั ธท์ ่กี ระทำตอ่ วัตถุ F1 = 30 N 37˚ • N F3 = 5 N 20  = 2F 53˚ วธิ ีทำ เขียนแรงใหอ้ ยู่ในระนาบ xy และแยกแรงไปในแนวแกน x และ y y F1 = 30 N F1 sin 37˚ 37˚ x - F2cos 53˚ F1cos 37˚ 53˚ N - F2sin 53˚ F3 = 5 N - F3 20  = 2F F1x = F1 cos 37° F1y = F1 sin 37° = (30 N)(0.80) = (30 N)(0.60) = 24 N = 18 N -F2 cos 53° -F2 sin 53° F2x = -(20 N)(0.60) F2y = -(20 N)(0.80) = =

61 = -12 N = -16 N F3x = 0 F3y = -5 N หาผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน x F1x + F 2x + F 3x Fx = 24 N - 12 N + 0 = 12 N = F1y + F 2y + F 3y ผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน y 18 N - 16 N - 5 N Fy = -3 N = = จากน้ันหาผลรวมของแรง F = (Fx )2 + (Fy )2 = (12 N)2 + (-3 N)2 = 144 + 9 = 153 = 12.37 N ทิศทางของแรงลัพธ์  Fx   Fy  F tan  =  Fy  Fx = -3 12 = -0.25  = -14.04° ตอบ ขนาดของแรง เทา่ กบั 12.37 นิวตัน และมีทิศทางทำมุม -14.04 องศา กบั แนวแกน x

62 2.3.6 แรงหลายแรงกระทำตอ่ วตั ถุ โดยทีแ่ รงไม่อยู่ในระนาบเดยี วกัน แรงมากกว่า 2 แรงกระทำต่อวตั ถุ ในลักษณะที่แรงไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน น่ันคือ มแี รงกระทำต่อ วัตถใุ นแนวแกน x y และ z แสดงดังภาพท่ี 2.22 z F2 x F3 3 2 y 1 F1 ภาพที่ 2.22 แรงมากกวา่ 2 แรงกระทำตอ่ วัตถุ จากภาพที่ 2.22 มีแรงกระทำต่อวัตถุเดียวกัน 3 แรง คือ F1 F2 และ F3 และทั้งสามแรงอย่ใู น ระนาบ xy xz และ yz ตามลำดับ การหาผลรวมของแรง สามารถหาได้โดยการแยกแรงแต่ละแรงไปใน แนวแกน x y และ z จากนัน้ นำแรงในแต่ละแนวแกนมารวมกัน ดังนี้ F1Fxx ผลรวมของแรงในแนวแกน x คือ + F2x  Fx = Fx = FF11Fyys+in=F13Fy1+y F2 cos 2 .................2.30 ผลรวมของแรงในแนวแกน y คือ + F3y .................2.31 .................2.32  Fy = Fy = FF21Fzzco+s 1 + F3 sin 3 ผลรวมของแรงในแนวแกน z คอื F3z  Fz = Fz = F2 sin2 + F3 cos3 จากสมการท่ี 2.20 จะได้ผลรวมของแรง ดงั นี้ ( )F = (Fx )2 + Fy 2 + (Fz )2 .................2.33

63 การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ ทำได้โดยการหามุมท่แี รงลัพธก์ ระทำกบั แนวแกน x y และ z น่ันคือ x y และ z ตามลำดบั โดยหลกั ตรโี กณมิติ ดังภาพท่ี 2.23 z x F z y x y ภาพท่ี 2.23 ทิศทางของแรงลัพธท์ ี่กระทำกับแนวแกน x y และ z สามารถหาทิศทางของแรงลัพธ์กระทำกับแนวแกน x y และ z ได้จาก สมการที่ 1.11 1.12 และ 1.13 ดงั นี้ cos x =  Fx .................2.34 cos y = F .................2.35 cos z =  Fy .................2.36 F  Fz F ตวั อย่างท่ี 7 จากภาพ จงหาขนาดและทิศทางzของแรงลัพธ์ F3 = 10 N F2 = 20 N 37˚ x 45˚ 53˚ F1 = 20 N y F1y = F1 cos 45° วธิ ที ำ แยกแรง F1 ไปในแนวแกน x และ y F1x = F1 sin 45° = (20 N)(0.70) = (20 N)(0.70) = 14 N = 14 N

64 แยกแรง F2 ไปในแนวแกน x และ z F2z = F2 sin 53° F2x = F2 cos 53° = (20 N)(0.80) = 16 N = (20 N)(0.60) = F3 cos 37° = 12 N F3z = (10 N)(0.80) แยกแรง F3 ไปในแนวแกน y และ z = 8N F3y = F3 sin 37° = (10 N)(0.60) = 6N หาผลรวมขนาดของแรงในแนวแกน x y และ z Fx = F1x + F 2x = 14 N + 12 N = 26 N Fy = F1y + F 3y = 14 N + 6 N = 20 N Fz = F 2z + F 3z = 16 N + 8 N = 24 N หาผลรวมขนาดของแรงลพั ธ์ จากสตู ร ( )ΣF = (Fx )2 + Fy 2 + (Fz )2 = (26 N)2 + (20 N)2 + (24 N)2 = 676 + 400 + 576 = 1652 = 40.64 N หาทิศทางของแรงลัพธก์ ระทำกบั แนวแกน x y และ z cos x =  Fx = F 26 40.64 = 0.64

65 x = 50.21° cos y =  Fy F = 20 40.64 = 0.49 y = 60.66° cos z =  Fz = F 24 40.64 = 0.59 z = 53.84° ตอบ แรงลัพธ์มีขนาด เท่ากับ 40.64 นิวตัน ทำมุม 50.21 องศา กับแนวแกน x ทำมุม 60.66 องศา กับแนวแกน y และทำมมุ 53.84 องศา กบั แนวแกน z ตัวอยา่ งที่ 8 ถา้ มแี รงกระทำตอ่ กล่องดงั ภาพ จงหาขนาดของแรงลพั ธ์ z 200 N 60 N 70 N 50 N x y 100 N วิธีทำ หาผลรวมของแรงในแนวแกน x y และ z Fx = 200 N Fy = 60 N + 100 N = 160 N Fz = 70 N + 50 N = 120 N

66 หาผลรวมของแรงลัพธ์ จากสตู ร ΣF = ( )(Fx )2 + Fy 2 + (Fz )2 = (200 N)2 + (160 N)2 + (120 N)2 = 80000 = 282.84 N ตอบ ขนาดของแรงลัพธ์ เทา่ กบั 282.84 นิวตนั

67 2.4 สมดลุ ของแรง 2.4.1 ความหมายของสมดุล เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุ ผลของแรงทำให้วัตถุเปลี่ยนขนาดของความเร็ว เปลี่ยนทิศทาง การเคล่อื นที่ และอาจทำให้วัตถมุ กี ารเปลีย่ นรปู ร่าง เชน่ วตั ถุอาจมีการเคลือ่ นทห่ี รอื หมุน แตถ่ ้ามีแรงหลาย แรงกระทำต่อวัตถุผลต่อวัตถุ ผลของแรงต่าง ๆ อาจหักล้างกันหมด ทำให้ไม่เกิดการเปลี่ยนแปลง การเคลอ่ื นที่หรือหมุน ในสภาพแบบน้ี เรยี กวา่ วตั ถอุ ย่ใู นสภาพสมดุล สามารถพจิ ารณาการสมดุลของวัตถุ ออกเป็น 2 กรณี ได้แก่ สมดุลสถิต ( Static equilibrium ) คือ สภาพสมดุลของวัตถุหรอื สิ่งก่อสร้างที่หยุด นิ่ง เช่น ก้อนหินวางบนพื้น เสาไฟฟ้า อาคารบ้านเรือน เป็นต้น และ สมดุลจลน์ ( Kinetic equilibrium ) คือ สภาพสมดุลของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เช่น เครื่องบิน รถยนต์ รถไฟที่กำลังเคลื่อนท่ี ดว้ ยความเรว็ คงที่ ดังนั้น อาจกล่าวได้ว่า สมดุล หมายถึง ผลของแรงที่กระทำต่อวัตถุที่ทำให้วัตถุอยู่ในสภาพอยู่นง่ิ ยังคงรักษาสภาพอยู่นิ่งเหมือนเดิม หรือทำให้วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ยังมีสภาพการเคลื่อนท่ี ด้วยความเร็วคงทีใ่ นทิศทางเดิม เมื่อวัตถุอยูใ่ นสภาพสมดุล และ F คือ ผลรวมของแรงท้ังหมดที่กระทำ ตอ่ วัตถุ จะได้ F = 0 .................2.36 2.4.2 เง่อื นไขข้อท่ี 1 ของสมดลุ พิจารณาวตั ถทุ วี่ างอยู่บนโต๊ะ ดงั ภาพท่ี 2.24 มีแรงกระทำต่อวตั ถุ 2 แรง คือ แรงท่ีโนม้ ถว่ งของโลก มีทิศทางลง ถ้าโต๊ะไม่มีแรงดันขึ้น วัตถุจะตกจากโต๊ะสู่พื้นด้วยแรงโน้มถ่วงของโลก แรงโน้มถ่วงของโลก ทีก่ ระทำตอ่ วัตถุ คอื นำ้ หนักของวตั ถุ และการทีว่ ัตถุไมต่ กจากโต๊ะ เน่ืองจากมแี รงผลกั จากโตะ๊ ในทิศทางข้ึน นั่นคือ แรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัส ด้วยขนาดที่เท่ากับน้ำหนักของวัตถุ แรงทั้ง 2 จึงหักล้างกันแบบ เวกเตอร์ N m W = mg ภาพที่ 2.24 แรง 2 แรงกระทำตอ่ วัตถุทวี่ างอยูน่ ่งิ บนโต๊ะ

68 กรณีมีแรงหลายแรงกระทำตอ่ วตั ถุที่วางบนโตะ๊ และวตั ถยุ ังคงอยู่นงิ่ ไดด้ ังภาพที่ 2.25 มีแรงกระทำ ตอ่ วัตถุ 4 แรง คือ แรงตงึ จากเชือกทงั้ สองข้าง โดยแรงตงึ เชอื กนน้ั มาจาก แรงที่เชอื กออกแรงกระทำตอ่ วตั ถุ ทผ่ี กู ติดอยู่ ถ้าพิจารณาวตั ถทุ ่ีแขวนอยู่ แรงตึงเชอื กทก่ี ระทำตอ่ วตั ถมุ ีค่าเท่ากับแรงโน้มถว่ งของโลกท่ีกระทำ ตอ่ วตั ถทุ ่ีห้อยอยู่ แตม่ ที ศิ ทางดึงข้ึน เพราะวัตถุท่ีแขวนอยู่ไมเ่ คล่ือนทแ่ี ละถา้ เชือกนี้สม่ำเสมอ เชือกเบาและ ลูกรอกไมม่ คี วามเสยี ดทาน แรงตึงเชอื กจะเท่ากนั ตลอดเสน้ เชอื ก N T1 m T2 T1 T2 m1 m2 W1 W W2 ภาพที่ 2.25 แรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุทว่ี างอยู่น่งิ บนโตะ๊ จากภาพท่ี 2.25 คดิ ทีม่ วล m1 จะได้ m1 g T1 m2 g = .................2.37 คดิ ทมี่ วล m2 จะได้ T2 = .................2.38 วัตถุมวล m มีแรงกระทำตอ่ วัตถุทางซ้ายและขวาเทา่ กัน ในขณะเดียวกนั น้ำหนักของวัตถุมวล m มีทิศทางลง และแรงปฏิกิริยาระหว่างผิวสัมผัสมีทิศทางขึ้นเท่ากัน แรงทั้ง 4 แรงที่กระทำต่อวัตถุมวล m จึงหกั ลา้ งกนั หมด วัตถมุ วล m จงึ อยนู่ ง่ิ ดังนน้ั = NT2 .................2.39 WT1 = .................2.40 กรณที มี่ ีแรงกระทำตอ่ วตั ถุโดยแรงทก่ี ระทำอยคู่ นละแนวกนั ดังภาพท่ี 2.26 มแี รง 3 แรงกระทำต่อ วตั ถุ คอื นำ้ หนักของวตั ถุ แรงตงึ เชือก 2 เสน้ T1 และ T2 วตั ถจุ ะอยใู่ นสภาพสมดุลก็ต่อเมื่อแรงที่กระทำ ในแนวแกน x และ y หักล้างกันจนเปน็ ศูนย์ทัง้ สองแนว

69 1 2 T1 T2 1 2 m W ภาพที่ 2.26 วตั ถอุ ยูน่ ิง่ เน่ืองจากแรงคนละแนวมากระทำ จากภาพที่ 2.26 พิจารณาแนวแกน x T2x T1x = T2 cos 2 T1 cos 1 = W .................2.41 mg .................2.42 พจิ ารณาแนวแกน y T1y + T2y = T1 sin 1+ T2 sin 2 = วัตถุจะอยู่ในสภาพสมดุลได้โดยไม่เปลี่ยนสภาพการเคลื่อนทีก่ ต็ ่อเมื่อแรงกระทำในแนวแกน x y ถF้า1yแรFง2ทy ี่ก.ร..ะFnทyำตแ่ลอะวแัตรถงุเใปน็นแนFว1แกF2น เFปn็นแรF1งzในFแ2zนว..แ. Fกnนz x เป็น F1x F2x ... Fnx และ z เป็นศูนย์ เช่น ... เง่ือนไขข้อที 1 ท่ีทำให้ แรงในแนวแกน y เปน็ z วัตถอุ ยู่ในสภาพสมดลุ เขียนเป็นสมการคณติ ศาสตรไ์ ดด้ งั น้ี N Fnx = 0, N Fny = 0, N Fnz =0 .................2.43 Σ Σ Σ n=1 n=1 N n=1 Σ โดยท่ี n=1 Fnx = F1x + F2x + ... + Fnx N Fny = F1y + F2y + ... + Fny Σ n=1 N Fnz = F1z + F2z + ... + Fnz Σ หรอื เขยี นรวมไดว้ า่ n=1 N Fn = 0 .................2.44 Σ n=1

70 2.4.3 การคำนวณสมดลุ ของแรง เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุอยู่ในสภาพสมดุล สามารถคำนวณเกี่ยวกับสมดุล ของแรง มี 4 ขั้นตอน ดงั นี้ 1. เขียนแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ( Free body diagram ) โดยใช้ลูกศรแทนแรง แตล่ ะแรง หัวลูกศรชี้ไปในทิศทางของแรงทกี่ ระทำต่อวตั ถุ 2. แยกแรงไปในแนวแกนสมมติ โดยวธิ แี ยกแรงออกไปในแนวแกน x และ y เมอื่ แรงที่กระทำ อยู่ในระนาบเดียวกัน ( 2 มิติ ) และ แยกแรงไปในแนวแกน x y และ z เมื่อแรงที่กระทำต่อวัตถุ อยู่ต่างระนาบกนั ( 3 มิติ ) 3. หาคา่ ผลรวมของแรงในแต่ละแนวแกน FFFyx วัตถอุ ยใู่ นสภาพสมดุล = 0 = 0 = 0 4. แกส้ มการหาค่าทต่ี อ้ งการ โดยใช้ทักษะการแกส้ มการทางคณติ ศาสตร์ ตัวอย่างที่ 9 แขวนวัตถุมวล 5 กิโลกรัมด้วยเชือกเบาไว้กับเพดาน จงหาแรงตึงเชือก และเมื่อนำเชือก อีกเส้นหนึ่งมาผูกกับเชือกเสน้ แรกแล้วดึงในแนวระดับจนเชอื กเส้นท่ีผูกติดกับเพดานเอียงทำมุม 37 องศา กบั แนวดิ่ง จงหาแรงตึงเชือกทุกเส้นในขณะน้ี ( กำหนดให้ g = 10 m/s2 ) วธิ ีทำ แขวนวัตถุอยูน่ ง่ิ ๆ T เม่ือวตั ถุอยใู่ นสภาพสมดลุ 5 kg T W = mg =W = mg = (5 kg)(10 m/s2) = 50 N

71 ดึงเชือกในแนวระดับที่ผูกติดกับเพดานด้วยมุม 37 องศา กับแนวดิ่ง เขียนแผนภาพของแรง ทกี่ ระทำตอ่ วัตถุ ( Free body diagram ) ไดด้ ังนี้ 37˚ T F 37˚ W แยกแรงไปในแนวแกน x และ y T y T y T cos 37 37˚ F x T sin 37 37˚ F x W W หาคา่ ผลรวมของแรงในแนวแกน y Fy = 0 ผลรวมของแรงขึน้ = ผลรวมของแรงลง T cos 37° = W T (0.80) = 50 N T = 62.50 N หาค่าผลรวมของแรงในแนวแกน x Fx = 0 ผลรวมของแรงไปทางซ้าย = ผลรวมของแรงไปทางขวา T sin 37° = F (62.50 N)(0.60) = F F = 37.50 N

72 ตอบ เมื่อวัตถุแขวนอยู่นิ่ง ๆ มีแรงตึงเชือก เท่ากับ 50 นิวตัน และ เมื่อดึงเชือกในแนวระดับ จนเชือกท่ผี กู ติดกบั เพดานเอยี งทำมุม 37 องศา จะมีแรงตงึ เชือก เทา่ กับ 62.50 นวิ ตนั ตัวอย่างที่ 10 แขวนวัตถุมวล 10 กิโลกรัม ด้วยเชือกเบา ดังภาพ จงหาแรงตึงเชือกทุกเส้น ( กำหนดให้ g = 10 m/s2 ) 37˚ 53˚ 10 kg วธิ ีทำ เขยี นแผนภาพของแรงท่ีกระทำต่อวตั ถุ ( Free body diagram ) ไดด้ ังนี้ 37˚ 53˚ T1 T2 37˚ 53˚ W แยกแรงไปในแนวแกน x และ y y T1 sin 37 T1 T2 T2 sin 53 y 37˚ 53˚ T1 T2 W x 37˚ 53˚ x T1 cos 37 W T2 cos 53

73 หาคา่ ผลรวมของแรงในแนวแกน x Fx = 0 T1 cos 37° = T2 cos 53° T1 (0.80) = T2 (0.60) T1 = T2 (0.75) …………….( 1 ) หาคา่ ผลรวมของแรงในแนวแกน y Fy = 0 T1 sin 37° + T2 sin 53° = W T1 (0.60) + T2 (0.80) = (10 mg)(10 m/s2) 3T1+ 4T2 = 500 N …………….( 2 ) แทนค่า T1 จากสมการ ( 1 ) ในสมการ ( 2 ) 3T2 (0.75) + 4T2 = 500 N 9T2 + 16T2 = 2000 T2 = 80 N แทนคา่ T2 ลงในสมการ ( 1 ) T1 = (80 N)(0.75) = 60 N ตอบ แรงตึงเชอื ก T1 มีขนาดเท่ากบั 60 นวิ ตัน และ T2 มีขนาดเท่ากับ 80 นวิ ตัน

74 2.5 ทอร์ก ( Torque ) หรือโมเมนต์ ( Moment ) ทอร์ก หmรือ) โเมกเิดมจนาตก์กเาปร็นคคณู วเาชมิงพเวยกาเตยอามร์ขขอองงแรรศั งมทกี ี่จาะรหทมำใุนห(้วัตRถุห) มกุนบั แรอรงบจ( Fุด ๆ หนึ่ง มีหน่วยเป็น นิวตนั เมตร ( N ) เชน่ ประตู หนา้ ต่าง พวงมาลัยรถยนต์ ฯลฯ ดงั ภาพที่ 2.28  R F ภาพที่ 2.28 ลักษณะการเกดิ ทอรก์  = F  R .................2.45 เมื่อ RF แทน ทอร์ก หน่วย นิวตนั เมตร ( N m ) แทน แรงที่กระทำตอ่ วัตถุ หนว่ ย นิวตนั ( N ) แทน รัศมีของการหมนุ หนว่ ย เมตร ( m ) ขนาดของทอร์กหรือโมเมนต์เท่ากับขนาดของแรงคูณระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตั้งฉากกับ นแในนวิ้ ลกวักแลราษงงณแชตี้ละะานมทิ้วแิศชนที้ วนารงิ้วศัขกมอลีงาทRงอพรแ์กลุง่ มเะขีทน้าศิหิ้วตาหั้งจัวฉุดแาหมกม่มกนุ บัือรจตะะั้งนไฉดาา้วบกา่ กซหาึ่งวั รกแหันมมม่แนุ อืลชะก้ทีกาศิันรทหแาาลงทข้วิศอวทงาทางงนอขริ้วอก์ ชงี้ไทดปังอใภรนาก์ ทพหิศทาไที่ ด2า.้โง2ดข9ยอใงชแ้มรืองขวFา F  R ภาพท่ี 2.29 ทิศทางของทอร์ก ทม่ี า : http://moter3phese.blogspot.com ( สืบค้นเมอ่ื 22 ก.พ. 2559 )

75 ทอร์กที่เกิดจากแรงกับระยะห่างจากจุดหมุนไม่ตั้งฉากกัน สามารถหาค่าทอร์กโดยการใช้ หลกั ตรีโกณมิติ หรอื การแยกแรง หรอื หาแนวระยะห่างทต่ี งั้ ฉาก ซึ่งเกดิ ข้นึ ได้ 4 กรณี ดังน้ี 1. กรณแี รงทีก่ ระทำให้วตั ถหุ มนุ ทำมุม  กับรศั มขี องการหมนุ ดังภาพที่ 2.30 R  F sin  F ภาพท่ี 2.30 แรงทกี่ ระทำให้วตั ถุหมุนทำมมุ  กับรัศมีของการหมนุ ขนาดของค่าทอรก์ จะได้ดังน้ี .................2.46 τ = F sin  R 2. กรณีแรงที่กระทำให้วัตถุหมุนตั้งฉากกับแนวระดับ และรัศมีของการหมุนทำมุม  กับ แนวระดบั ดังภาพที่ 2.31 R F  R cos  ภาพท่ี 2.31 แรงท่ีกระทำให้วตั ถุหมนุ ตง้ั ฉากกับแนวระดบั และรศั มขี องการหมุนทำมมุ  กบั แนวระดับ ขนาดของค่าทอรก์ จะได้ดังนี้ .................2.47 τ = FR cos  3. กรณีแรงที่กระทำให้วัตถุหมุนแนวเดียวกับแนวระดับ และรัศมีของการหมุนทำมุม  กับ แนวระดบั ดงั ภาพท่ี 2.32 F R sin  R  ภาพที่ 2.32 แรงท่กี ระทำให้วตั ถุหมนุ แนวเดยี วกบั แนวระดับ และรัศมีของการหมนุ ทำมุม  กับ แนวระดับ

76 ขนาดของคา่ ทอร์ก จะไดด้ งั น้ี τ = FR sin  .................2.48 4. กรณแี รงที่กระทำให้วตั ถหุ มุนทำมุม  กบั แนวระดับ และรศั มขี องการหมุนทำมมุ  กับแนวระดับ เชน่ กัน ดงั ภาพที่ 2.33 F F sin  F cos   R sin  R  R ภาพที่ 2.33 แรงท่ีกระทำให้วตั ถุหมุนทำมมุ  กับแนวระดบั และรัศมีของการหมุนทำมมุ  กับแนวระดบั ขนาดของค่าทอรก์ จะไดด้ งั น้ี τ = [(F sin  R cos ) + (F cos  R sin )] .................2.49 2.5.1 ชนดิ ของทอรก์ หรือโมเมนต์ เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุแล้ววัตถุเกิดการหมุน ชนิดของทอร์ก หรือโมเมนต์ แบ่งตามทิศทาง การหมุนของเข็มนาฬิกา จำแนกได้ 2 ชนดิ คอื ทอร์กหรอื โมเมนต์ตามเข็มนาฬกิ า และทอร์กหรือโมเมนต์ ทวนเข็มนาฬกิ า ดงั ภาพท่ี 2.34 ทวนเข็มนาฬกิ า 12 ตามเข็มนาฬกิ า 93 6 ภาพที่ 2.34 ทิศทางการหมุนของเข็มนาฬกิ า 1. ทอรก์ หรอื โมเมนต์ตามเขม็ นาฬกิ า ทอร์ก หรือโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา เป็นผลคูณระหว่างแรงกับรัศมีของการหมุนในทิศทาง ตามเข็มนาฬิกา ดงั ภาพท่ี 2.35 ทิศทางของทอร์กหรือโมเนต์ พงุ่ เข้าต้งั ฉากกบั ระนาบการหมนุ

77 R F ภาพที่ 2.35 ทอร์ก หรอื โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ า 2. ทอร์กหรอื โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬกิ า ทอร์ก หรือโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา เป็นผลคูณระหว่างแรงกับรัศมีของการหมุนในทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกา ดงั ภาพท่ี 2.36 ทิศทางของทอรก์ หรอื โมเมนต์ พุ่งออกจากระนาบการหมุน F R ภาพท่ี 2.36 ทอรก์ หรือโมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา แรงคู่ควบ ( Couple ) คือ แรง 2 แรงกระทำต่อวัตถุเดียวกันที่มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทาง ตรงข้ามกัน และแนวแรงทั้งสองขนานกัน ผลจากแรงคู่ควบจะทำให้วัตถุเกิดการหมุน เช่น การดันวัตถุ รปู ทรงกระบอก ดังภาพท่ี 2.37 F N f W ภาพท่ี 2.37 แรงคู่ควบ จากภาพท่ี 2.37 จะเกดิ แรงคูค่ วบ 2 คู่ คอื แรงดันวตั ถุกบั แรงเสียดทาน ผลจากการหมุนจะทำให้ วตั ถุลม้ และนำ้ หนกั ของวัตถุกบั แรงปฏกิ ริ ยิ าระหวา่ งผิวสมั ผัสทำให้เกดิ การหมุนในทิศทางตรงข้ามกัน ทำให้ วตั ถไุ ม่ลม้ ไดง้ ่าย

78 การหาขนาดของทอร์ก หรอื โมเมนคข์ องแรงคคู่ วบ หาไดจ้ ากแรงคูณกับระยะห่างระหว่างแนวแรง ค่คู วบ ดงั ภาพที่ 2.38 F L F ภาพที่ 2.38 ทอร์กหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบ จากภาพท่ี 2.38 ขนาดของทอรก์ หรอื โมเมนต์ จะได้ .................2.50 τ = F×L 2.5.2 การหาผลรวมของทอรก์ หรือโมเมนต์ เมื่อมีแรงหลายแรงกระทำต่อวตั ถุแล้วทำใหเ้ กิดทอร์กหรือโมเมนต์หลายค่า การหาค่าผลรวมของ ทอร์กหรือโมเมนต์รอบจุดหมุน จากทฤษฏีวาริยอง ( Varignon’s Theorem ) กล่าวว่า “ทอร์กของ แรงลัพธ์ของระบบแรงย่อยที่พบกันรอบจุดใดจุดหนึ่ง จะเท่ากับผลรวมของทอรก์ ของแรงยอ่ ยรอบจุดนั้น” ดงั ภาพที่ 2.39 R1 F1 R F2 F1 R2 F2 R3 F3 ก.  ข. ภาพที่ 2.39 แรงหลายแรงกระทำต่อวตั ถเุ ดยี วกัน ทีต่ ำแหน่งตา่ ง ๆ รอบจดุ หมุน การหาค่าทอร์กหรือโมเมนต์ ทำได้ 2 วิธี คือ การหาค่าทอร์กหรือโมเมนต์แต่ละแรงแล้วนำมา รวมกัน และการหาคา่ ผลรวมของแรงแล้วนำมาหาคา่ ทอร์กหรอื โมเมนต์ 1. การหาคา่ ทอรก์ หรือโมเมนตแ์ ต่ละแรงแลว้ นำมารวมกัน ดงั ภาพท่ี 2.37 ก. สามารถหาได้โดย Στ = τ1 + τ2 + τ3 .................2.51 Στ = F1R1 + F2R2 + F3R3 .................2.52

79 2. การหาคา่ ผลรวมของแรงแล้วนำมาหาค่าทอรก์ หรือโมเมนต์ ดงั ภาพท่ี 2.39 ข. สามารถหา ไดโ้ ดยแยกแรงไปในแนวแกน x และ y ตามหลักตรโี กณมิติ จะไดด้ ังภาพท่ี 2.40 F2 sin  y F1 sin  F2 R   F1 x F1 cos  ภาพที่ 2.40 การหาคา่ ทอร์กหรอื โมเมนต์ โดยแยกแรงไปในแนวแกน x และ y จากภาพที่ 2.40 ค่าทอร์กที่เกิดจากแรงในแนวแกน x เป็นศูนย์ จึงคิดแต่ค่าแรงในแนวแกน y เทา่ นัน้ Στ = (F1y + F2y ) R .................2.53 Στ = (F1 sin  + F2 sin ) R ตัวอย่างที่ 11 จากภาพ ถ้าแรงตงึ เชอื กมคี า่ 40 นิวตัน จงหาค่าทอร์กของแรงตงึ เชอื กรอบจุด A A 30˚ 4m วิธที ำ แตกแรงไปในแนวแกน x และ y T T sin 30˚ A T cos 30˚ 30˚ Στ = (T sin 30°)(4) + (Tcos 30°)(0) Στ = (40 N)(0.50)(4 m) = 80 N m ตอบ ทอร์กรอบจุด A เทา่ กบั 80 นวิ ตันเมตร

4 cos 60˚ 80 ตวั อยา่ งที่ 12 จากภาพ ถา้ ทอร์กของแรงตึงเชือกรอบจดุ B มีคา่ 100 นวิ ตนั เมตร จงหาคา่ ของแรงตงึ เชอื ก 60˚ 4 m B วธิ ีทำT แยกความยาวของไม้ตามหลกั ของเวกเตอรไ์ ปในแนวแกน x และ y Στ = T (R cos 60°) 100 = T (4 m)(0.50) T = 50 N 4 sin 60˚ ตอบ แรงตึงเชือก เท่ากับ 50 นวิ ตัน

81 2.6 สมดุลตอ่ การหมุน เมอ่ื มีแรงหลายแรงกระทำตอ่ วตั ถุแลว้ วัตถเุ กิดการหมนุ นั่นคือ เกิดทอรก์ หรอื โมเมนต์ขึ้น แต่หาก วตั ถอุ ยนู่ ่ิงไมห่ มนุ ก็จะอยนู่ ่งิ เหมือนเดมิ และหากวัตถนุ ัน้ กำลงั หมนุ ดว้ ยความเร็วคงท่ีก็จะหมุนด้วยความเร็ว คงที่ต่อไป จะกล่าวไดว้ ่า วัตถุน้ันอยูใ่ นสภาพสมดุลตอ่ การหมุน โดยผลรวมของโมเมนตท์ ี่เกิดขึน้ จากแรงท่ี กระทำทั้งหมด คอื ΣM มีค่าเปน็ ศูนย์ สมดุลตอ่ การหมนุ จะได้ ΣM = 0 .................2.54 เนอ่ื งจากโมเมนตม์ ีสองชนิด คือ โมเมนต์ตามเข็มนาฬกิ า และโมเมนต์ทวนเข็มนาฬกิ า ให้ M1 แทน ขนาดของโมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา มีเครื่องหมายเปน็ บวก M2 แทน ขนาดของโมเมนตท์ วนเข็มนาฬกิ า มีเครื่องหมายเปน็ ลบ จากสมการที่ 2.54 จะได้ 0 M1 + M 2 = M1 + (-M2 ) = 0 M1 = M2 .................2.55 ดงั น้นั โมเมนต์ตามเขม็ นาฬกิ า = โมเมนตท์ วนเขม็ นาฬกิ า 2.6.1 เงอื่ นไขข้อท่ี 2 ของสมดลุ วัตถุอย่ใู นสภาพสมดุลต่อการหมุนกต็ อ่ เม่อื โมเมนต์ลพั ธเ์ ท่ากับศูนย์ จากสมการที่ 2.54 ΣM = 0 หรือ โมเมนต์ตามเขม็ นาฬิกา = โมเมนตท์ วนเขม็ นาฬิกา สรปุ ไดว้ า่ วตั ถจุ ะอยใู่ นสภาพสมดลุ อยา่ งสมบรู ณ์ก็ตอ่ เมอ่ื เป็นไปตามเงอ่ื นไขสองข้อ คอื 1. สมดุลตอ่ การเล่ือนตำแหน่ง ΣF = 0 2. สมดุลต่อการหมนุ ΣM = 0

82 2.6.2 การคำนวณสมดลุ ตอ่ การหมุน หลกั การคำนวณ มีขนั้ ตอน 4 ขัน้ ตอน ดังน้ี 1. วาดภาพแนวแรงทกี่ ระทำตอ่ วตั ถุ โดยเขียนแผนภาพของแรงทกี่ ระทำต่อวัตถุ ( Free body diagram ) 2. เลือกจดุ หมุนที่เหมาะสมซึ่งเปน็ จุดทม่ี ีแนวแรงกระทำมากที่สดุ 3. หาคา่ ผลรวมของโมเมΣนMต์ =0 4. แกส้ มการหาคา่ ที่ต้องการ โดยใช้ทักษะการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ ตัวอยา่ งท่ี 13 คาน A B ยาว 10 เมตร มีแรง 100 นิวตัน และ 400 นิวตนั กระทำตอ่ คานหา่ งจากปลาย A เปน็ ระยะ 2 เมตร และ 6 เมตร ตามลำดบั ท่ีจุด A และจุด B มขี อนไมร้ องรับอยู่ จงหาวา่ ขอนไม้ที่จุด A และ B ตอ้ งออกแรงเท่าใด F1 = 100N F2 = 400N FB FA 2m 6m A 10 m B วิธที ำ คาน AB อยใู่ นสภาพสมดุลต่อการหมุน ดงั นั้น 0 ΣM = ให้ FA แทน แรงทีข่ อนไมร้ ับแรงที่จุด A FB แทน แรงทข่ี อนไม้รับแรงที่จุด B คดิ ทีจ่ ุด A เปน็ จดุ หมุน เขียนแผนภาพของแรงทีก่ ระทำต่อวตั ถุ ( Free body diagram ) F1 = 100N F2 = 400N FB 2m 6m B 10 m A Mตาม = M ทวน M1 + M2 = MB (100 N)(2 m) + (400 N)(6 m) = (FB)(10 m) 200 + 2400 = FB 10 = 260 N FB

83 คิดท่จี ุด B เป็นจดุ หมนุ เขียนแผนภาพของแรงทีก่ ระทำต่อวัตถุ ( Free body diagram ) FA F1 = 100N F2 = 400N 2m 6m B 10 m Mตาม = Mทวน MA = M1 + M2 (FA)(10 m) = (400 N)(4 m) + (100 N)(8 m) FA = 1600 + 800 10 FA = 240 N ตอบ ขอนไม้รับแรงท่ีจุด A 240 นวิ ตนั และท่ีจุด B 260 นิวตัน ตัวอย่างท่ี 14 แขวนคานเบาแนวยาว 5 เมตร ไวก้ ับเชือกดังภาพ จงหาระยะ x x 5-x 40 N 30 N วธิ ที ำ จากภาพเม่ือคานสมดลุ เขยี นแผนภาพของแรงทก่ี ระทำต่อวตั ถุ ( Free body diagram ) x 5-x 40 N ΣM 30 N ΣMตาม = 0 (30 N)(5 – x) = 150 – 30x = ΣM ทวน = (40 N)(x) x = ตอบ ระยะ x เท่ากบั 2.14 เมตร 40x 2.14 m

84 ตัวอยา่ งที่ 15 คานเบาอันหนึ่งยาว 10 เมตร ใชง้ ดั กอ้ นหนิ หนัก 10 นวิ ตัน ถ้าวางจุดหมุนห่างจากก้อนหิน 5 เมตร จะต้องออกแรงอย่างนอ้ ยเทา่ ไดจึงจะทำใหก้ อ้ นหินเคล่ือนทไ่ี ด้ วิธที ำ จากโจทยว์ าดภาพคานและแรงทกี่ ระทำ 5m 5m F 10 N เขียนแผนภาพของแรงทก่ี ระทำต่อวตั ถุ ( Free body diagram ) 5m 5m 10 N 0 F ΣM ทวน ΣM = (10 N)(5 m) 10 N ΣMตาม = F (5 m) = F= ตอบ จะตอ้ งออกแรงที่ปลายคาน 10 นิวตนั ตัวอย่างที่ 16 กล่องหนกั 1000 นิวตัน ถกู แรงขนาด 300 นิวตัน ดงึ ดงั ภาพ จงหาว่าแรงปฏกิ ริ ยิ าระหวา่ ง ผวิ สัมผัสที่พน้ื กระทำตอ่ วัตถจุ ะเลื่อนออกจากแนวนำ้ หนกั เป็นระยะเท่าไร วธิ ีทำ จากโจทยว์ าดภาพแรงทีก่ ระทำตอ่ กลอ่ ง F = 300 N N 1.6 m x f W = 1000 N ΣM = 0 ΣMตาม = ΣMทวน (1000 N)(x) (300 N)(1.6 m) = x = 0.48 m ตอบ แรงปฏกิ ริ ยิ าระหว่างผวิ สัมผัส เลื่อนออกจากแนวนำ้ หนัก 0.48 เมตร