ลำดับและอนุกรม

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ หน่วยการเรยี นรู้ที่ 2 Slide PowerPoint_ส่อื ประกอบการสอน บรษิ ทั อักษรเจรญิ ทัศน์ อจท. จำกดั : 142 ถนนตะนำว เขตพระนคร กรุงเทพฯ 10200 Aksorn CharoenTat ACT.Co.,Ltd : 142 Tanao Rd. Pranakorn Bangkok 10200 Thailand โทร./แฟกซ์ : 0 2622 2999 (อัตโนมตั ิ 20 คู่สำย) [email protected] / www.aksorn.com

1หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี ลาดับและอนกุ รม ผลการเรียนรู้ • ระบไุ ดว้ ำ่ ลำดับทีก่ ำหนดให้เป็นลำดบั ลูเ่ ขำ้ หรอื ล่อู อก • หำผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ และอนกุ รมเรขำคณิต • หำผลบวกอนกุ รมอนนั ต์ • เข้ำใจและนำควำมรู้เกย่ี วกับลำดับและอนุกรมไปใช้

ในปัจจุบันคนวัยทางานส่วนใหญ่จะตั้งเป้าหมายในชีวิต เช่น ซ้ือบ้าน ซ้ือคอนโดมิเนียม หรือซ้ือรถยนต์เป็นของ ตนเอง ซึ่งการซื้อส่ิงเหล่าน้ีจาเป็นต้องใช้เงินจานวนมาก บางคนอาจเลือกที่จะออมเงินไว้ส่วนหนึ่งและกู้เงินกับ ธนาคารอีกส่วนหน่ึง

โดยธนาคารจะพิจารณาฐานเงินเดือนของผู้กู้เพื่อคานวณ จานวนเงินท่จี ะผ่อนชาระในแตล่ ะเดือน ซง่ึ เงนิ ท่ีผ่อนชาระ ในแต่ละเดือนนั้นจะประกอบด้วยเงินต้นและดอกเบ้ีย ตามทธ่ี นาคารกาหนด นักเรยี นจะนาความรู้เก่ียวกับลาดบั และอนุกรม มาชว่ ยในการคานวณเงนิ ท่ผี ่อนชาระในแต่ละเดอื น ได้อย่างไร

ก่อนท่ีเราจะศึกษาความรู้เก่ียวกับลาดับและอนุกรม เราไปทบทวนความรู้ที่นามาใช้ในเรื่องลาดับและอนุกรม กนั กอ่ นเลยค่ะ

แบบรปู ของจานวน เป็นกำรแสดงควำมสัมพันธข์ องจำนวนหนึง่ ชุด แต่ละจำนวนจะมีลกั ษณะสำคัญบำงอยำ่ ง ร่วมกัน ซ่ึงต้องใช้กำรสังเกต กำรวิเครำะห์ หำเหตุผลมำสนับสนุน เพื่อหำลักษณะร่วม ท่ีสำคัญ แลว้ หำบทสรุปอธิบำยควำมสัมพันธน์ ้นั เชน่ 3, 6, 9, 12, … เปน็ แบบรูปของจำนวนทมี่ ีควำมสมั พันธ์ โดยเพิม่ ขน้ึ ทีละ 3 หรือพหุคูณของ 3 เขียนแสดงควำมสมั พนั ธ์ได้ ดังนี้ จำนวนในลำดบั ที่ 1 เทำ่ กบั 3 เกิดจำก 3 × 1 จำนวนในลำดับที่ 2 เท่ำกบั 6 เกิดจำก 3 × 2 จำนวนในลำดับท่ี 3 เทำ่ กบั 9 เกิดจำก 3 × 3 จำนวนในลำดับท่ี 4 เท่ำกับ 12 เกดิ จำก 3 × 4 สำมำรถเขียนแสดงควำมสัมพันธ์ระหวำ่ งลำดบั ท่ีกบั จำนวนในลำดับที่ของแบบรูปของจำนวน 3, 6, 9, 12, … ไดเ้ ป็น 3n เมื่อ n แทนจำนวนนบั ใด ๆ

ฟังกช์ นั คือ เซตของคอู่ นั ดับ ซ่งึ คู่อันดับสองคู่อันดบั ใด ๆ ถ้ำมีสมำชิกตวั หนำ้ เหมือนกันแล้ว สมำชกิ ตัวหลงั ต้องเหมือนกนั เซตของสมำชิกตวั หน้ำของคู่อันดบั ทั้งหมด เรยี กวำ่ โดเมน ของฟงั กช์ นั เขยี นแทนด้วย Df เซตของสมำชกิ ตัวหลังของคอู่ ันดับท้ังหมด เรียกว่ำ เรนจ์ ของฟงั กช์ ัน เขยี นแทนดว้ ย Rf เช่น f(x) = 4x − 1 เม่อื x เป็นจำนวนเตม็ จะไดว้ ่ำ f(−1) = −5, f(0) = −1, f(1) = 3, … ดังนั้น Df = {… , −1, 0, 1, … } และ Rf = {… , −5, −1, 3, … }

ต่อไปเราจะได้ศึกษาเร่ืองราวเกีย่ วกบั ลาดับและอนุกรมว่ามีอะไรบ้าง นกั เรยี นพรอ้ มหรือยังคะ ? ถ้าพร้อมแลว้ ไปกนั เลย !!!

ความหมายของลาดบั นักเรียนยังจาความหมายของลาดับได้ไหมคะ ? เราไปทบทวนความหมายของลาดับกัน ลาดับ คือ ฟงั กช์ นั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, … , n} หรือมโี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก ลาดบั จากดั คือ ฟงั กช์ ันทม่ี ีโดเมนเปน็ เซตของ {1, 2, 3, … , n} เขยี นแทนด้วย a1, a2, a3, … , an ลาดบั อนันต์ คอื ฟงั ก์ชันท่ีมโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก เขยี นแทนดว้ ย a1, a2, a3, …

ความหมายของลาดบั จากความหมายของลาดับ เราจะเรยี ก an วา่ พจน์ทัว่ ไปของลาดับ ซง่ึ ลาดบั สามารถแบ่งไดเ้ ป็นลาดับเลขคณิต และลาดับเรขาคณติ เรามาเรมิ่ ศึกษาลาดบั เลขคณติ กนั ก่อนเลยนะคะ

ลาดบั เลขคณติ ให้นักเรียนลองสังเกตลาดบั ทก่ี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี ผลต่างของสองพจน์ท่อี ยู่ติดกนั ของลาดับ ในแตล่ ะข้อเป็นอย่างไร 1) 1, 3, 5, 7, 9 2) 4, 9, 14, 19, 24 3) 12, 8, 4, 0, −4 4) 3, 3, 3, 3, 3 5) 1, 4, 9, 16, 25

ลาดบั เลขคณติ จากลาดบั ข้อ 1) 1, 3, 5, 7, 9 จะได้ว่า a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7 และ a5 = 9 ซง่ึ a2 − a1 = 3 − 1 = 2 a3 − a2 = 5 − 3 = 2 a4 − a3 = 7 − 5 = 2 a5 − a4 = 9 − 7 = 2 จะเหน็ ว่า ผลตา่ งของสองพจนท์ อ่ี ย่ตู ิดกันของลาดับมีคา่ เท่ากนั

ลาดับเลขคณิต จากลาดบั ข้อ 2) 4, 9, 14, 19, 24 จะไดว้ า่ a1 = 4, a2 = 9, a3 = 14, a4 = 19 และ a5 = 24 ซง่ึ a2 − a1 = 9 − 4 = 5 a3 − a2 = 14 − 9 = 5 a4 − a3 = 19 − 14 = 5 a5 − a4 = 24 − 19 = 5 จะเห็นวา่ ผลตา่ งของสองพจนท์ อี่ ยตู่ ดิ กนั ของลาดบั มคี า่ เท่ากนั

ลาดับเลขคณิต จากลาดบั ขอ้ 3) 12, 8, 4, 0, −4 จะได้วา่ a1 = 12, a2 = 8, a3 = 4, a4 = 0 และ a5 = −4 ซง่ึ a2 − a1 = 8 − 12 = −4 a3 − a2 = 4 − 8 = −4 a4 − a3 = 0 − 4 = −4 a5 − a4 = −4 − 0 = −4 จะเห็นว่า ผลต่างของสองพจน์ท่ีอยูต่ ิดกันของลาดับมีค่าเทา่ กนั

ลาดบั เลขคณติ จากลาดบั ข้อ 4) 3, 3, 3, 3, 3 จะไดว้ ่า a1 = 3, a2 = 3, a3 = 3, a4 = 3 และ a5 = 3 ซง่ึ a2 − a1 = 3 − 3 = 0 a3 − a2 = 3 − 3 = 0 a4 − a3 = 3 − 3 = 0 a5 − a4 = 3 − 3 = 0 จะเหน็ ว่า ผลตา่ งของสองพจน์ท่ีอยู่ติดกนั ของลาดับมีคา่ เท่ากนั

ลาดบั เลขคณติ จากลาดบั ข้อ 5) 1, 4, 9, 16, 25 จะไดว้ า่ a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16 และ a5 = 25 ซง่ึ a2 − a1 = 4 − 1 = 3 a3 − a2 = 9 − 4 = 5 a4 − a3 = 16 − 9 = 7 a5 − a4 = 25 − 16 = 9 จะเหน็ วา่ ผลต่างของสองพจน์ท่อี ยู่ติดกันของลาดบั มีค่าไมเ่ ท่ากัน

ลาดับเลขคณติ จากลาดบั ทั้ง 5 ขอ้ สรุปไดว้ า่ ลาดับในขอ้ 1) - 4) มผี ลต่างของสองพจนท์ อี่ ยู่ตดิ กนั ของลาดบั เท่ากนั แต่ลาดับในข้อ 5) มีผลตา่ งของสองพจนท์ ่ีอยู่ตดิ กนั ของลาดับไมเ่ ท่ากนั ซึ่งเราเรยี กลาดบั ในขอ้ 1) - 4) ว่า ลาดับเลขคณติ

ลาดบั เลขคณติ ลาดับเลขคณิตสอดคลอ้ งกับบทนยิ ามตอ่ ไปนี้ บทนิยาม ลาดับเลขคณิต คอื ลำดบั ซง่ึ มผี ลต่ำงทไ่ี ดจ้ ำกกำรนำพจนท์ ่ี n + 1 ลบด้วยพจนท์ ่ี n เปน็ ค่ำคงตวั ที่เทำ่ กัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรยี กค่ำคงตัวท่ีเป็นผลตำ่ งน้วี ่ำ ผลต่างร่วม ซ่ึงพจนท์ ่ัวไปของลำดบั เลขคณติ คอื an = a1 + (n − 1)d เมือ่ a1 คอื พจน์ท่ี 1 ของลำดับเลขคณติ n คอื ลำดับที่ n ของลำดับเลขคณติ d คอื ผลต่ำงร่วมของลำดับเลขคณิต โดยท่ี d = an + 1 − an สำหรับ n ∈ I+ และ an คอื พจนท์ ี่ n หรือพจนท์ ่ัวไปของลำดับเลขคณิต

ลาดบั เลขคณิต เราไปศึกษาตัวอย่างเกีย่ วกับลาดบั เลขคณิตพรอ้ ม ๆ กนั เลยคะ่ ตัวอยา่ งที่ 1 กาหนดสองพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณติ คือ 17 และ 25 ให้หาพจน์ท่ี 100 ของลาดับนี้ วิธีทา จำกโจทย์ a1 = 17 และ a2 = 25 จะได้ d = 25 − 17 = 8 และจำก an = a1 + (n − 1)d จะได้ a100 = 17 + (100 − 1)(8) = 17 + 792 = 809 ดงั นัน้ พจน์ที่ 100 ของลำดับนี้เท่ำกับ 809

ลาดบั เลขคณติ ตัวอย่างที่ 2 จานวนนบั ทอี่ ยู่ระหวา่ ง 1 ถงึ 1,400 ทหี่ ารด้วย 15 ลงตัว มีทง้ั หมดก่จี านวน วิธีทา จำนวนนบั จำนวนแรกทอี่ ยรู่ ะหวำ่ ง 1 ถึง 1,400 ทหี่ ำรดว้ ย 15 ลงตวั คือ 15 และจำนวนนบั จำนวนสดุ ทำ้ ยทอ่ี ยู่ระหวำ่ ง 1 ถงึ 1,400 ทห่ี ำรดว้ ย 15 ลงตัว คือ 1,395 เมื่อนำจำนวนนบั ทห่ี ำรดว้ ย 15 ลงตวั มำเขยี นเรยี งเปน็ ลำดับจำกนอ้ ยไปมำก จะได้ 15, 30, 45, … , 1395 เป็นลำดบั เลขคณติ ทีม่ ผี ลตำ่ งรว่ มเทำ่ กับ 15 จำก an = a1 + (n − 1)d จะได้ 1,395 = 15 + n − 1 15 1,395 = 15n n = 93 ดังนั้น จำนวนนบั ทอ่ี ย่รู ะหวำ่ ง 1 ถงึ 1,400 ทห่ี ำรด้วย 15 ลงตัว มที ้งั หมด 93 จำนวน

ลาดบั เรขาคณิต ต่อไปเราจะศึกษาลาดบั เรขาคณติ กนั คะ่ ใหน้ กั เรียนลองสงั เกตลาดบั ท่กี าหนดให้ตอ่ ไปน้ี อัตราสว่ นของสองพจน์ท่อี ยู่ติดกันของลาดับ ในแตล่ ะขอ้ เปน็ อยา่ งไร 1) 1, 2, 4, 8, 16 2) 3, −9, 27, −81, 243 11 1 1 1 4) 5, 5, 5, 5, 5 3) 4 , 12 , 36 , 108 , 324 5) 2, 4, 12, 48, 240

ลาดับเรขาคณิต จากลาดบั ขอ้ 1) 1, 2, 4, 8, 16 จะได้ว่า a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 8 และ a5 = 16 ซง่ึ a2 = 2 = 2 a3 = 4 =2 a1 1 a2 2 a4 = 8 = 2 a5 = 16 = 2 a3 4 a4 8 จะเหน็ วา่ อัตราส่วนของสองพจน์ทีอ่ ยู่ตดิ กนั ของลาดับมีค่าเท่ากนั

ลาดับเรขาคณติ จากลาดับขอ้ 2) 3, −9, 27, −81, 243 จะได้วา่ a1 = 3, a2 = −9, a3 = 27, a4 = −81 และ a5 = 243 ซง่ึ a2 = −9 = −3 a3 = 27 = −3 a1 3 a2 −9 a4 = −81 = −3 a5 = 243 = −3 a3 27 a4 −81 จะเห็นวา่ อตั ราส่วนของสองพจน์ท่ีอยตู่ ดิ กนั ของลาดับมีคา่ เท่ากัน

ลาดับเรขาคณิต จากลาดับขอ้ 3) 1, 1 , 1 , 1 , 1 จะไดว้ ่า a1 = 1 , a2 = 1 , a3 = 1 , a4 = 1 และ a5 = 1 4 12 36 108 324 4 12 36 108 324 a2 1 1 a3 1 1 a1 =3 a2 =3 ซึ่ง = 12 = 36 1 1 4 12 a4 1 1 a5 1 1 a3 3 a4 3 = 108 = = 324 = 1 1 36 108 จะเหน็ วา่ อัตราสว่ นของสองพจนท์ อ่ี ยู่ตดิ กันของลาดับมคี ่าเทา่ กัน

ลาดบั เรขาคณติ จากลาดบั ขอ้ 4) 5, 5, 5, 5, 5 จะไดว้ า่ a1 = 5, a2 = 5, a3 = 5, a4 = 5 และ a5 = 5 ซง่ึ a2 = 5 = 1 a3 = 5 = 1 a1 5 a2 5 a4 = 5 = 1 a5 = 5 = 1 a3 5 a4 5 จะเห็นวา่ อตั ราสว่ นของสองพจนท์ ่อี ยตู่ ดิ กนั ของลาดับมีค่าเท่ากนั

ลาดับเรขาคณิต จากลาดบั ขอ้ 5) 2, 4, 12, 48, 240 จะได้วา่ a1 = 2, a2 = 4, a3 = 12, a4 = 48 และ a5 = 240 ซึ่ง a2 = 4 =2 a3 = 12 =3 a1 2 a2 4 a4 = 48 = 4 a5 = 240 = 5 a3 12 a4 48 จะเห็นวา่ อัตราสว่ นของสองพจน์ทอ่ี ยู่ติดกันของลาดับมคี า่ ไมเ่ ท่ากัน

ลาดบั เรขาคณิต จากลาดับท้งั 5 ขอ้ สรุปได้ว่า ลาดับในขอ้ 1) - 4) มอี ตั ราส่วนของสองพจน์ทอ่ี ยู่ติดกนั ของลาดบั เทา่ กัน แตล่ าดับในข้อ 5) มีอตั ราสว่ นของสองพจนท์ ่อี ยู่ติดกนั ของลาดับไม่เท่ากัน ซึ่งเราเรียกลาดบั ในขอ้ 1) - 4) ว่า ลาดับเรขาคณติ

ลาดบั เรขาคณติ ลาดับเรขาคณติ สอดคลอ้ งกับบทนิยามตอ่ ไปน้ี บทนิยาม ลาดับเรขาคณิต คอื ลำดบั ซึ่งมอี ตั รำส่วนของพจนท์ ี่ n + 1 ตอ่ พจน์ท่ี n เปน็ ค่ำคงตวั ที่เท่ำกนั สำหรับทุกจำนวนเตม็ บวก n และเรยี กคำ่ คงตัวทีเ่ ปน็ อัตรำสว่ นน้วี ำ่ อตั ราสว่ นร่วม ซ่ึงพจนท์ วั่ ไปของลำดบั เรขำคณิต คอื an = a1rn − 1 เมอื่ a1 คือ พจนท์ ี่ 1 ของลำดบั เรขำคณติ n คือ ลำดบั ท่ี n ของลำดับเรขำคณิต r คือ อัตรำส่วนรว่ มของลำดบั เรขำคณติ โดยท่ี r = an + 1 สำหรบั n ∈ I+ และ an คือ พจน์ที่ n หรือพจน์ท่ัวไปของลำดบั เรขำคณติ an

ลาดบั เรขาคณิต เราไปศึกษาตัวอย่างของลาดับเรขาคณติ เพิม่ เตมิ กนั นะคะ ตัวอย่างที่ 3 ให้หาพจน์ทัว่ ไปของลาดบั เรขาคณิต 12, 6, 3, 3 , 3 , … 2 4 วิธีทา จำกโจทย์ a1 = 12 และ a2 = 6 จะได้ r = 6 = 1 12 2 และจำก an = a1rn − 1 จะได้ 1 n−1 an = 12 2 = (22 · 3) · 1 1 2n − 3 = 2n − 3 3 ดังนัน้ พจน์ทั่วไปของลำดับนี้ คอื an = 2n − 3

ลาดบั เรขาคณิต ตวั อย่างที่ 4 กาหนดสามพจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณติ คอื 3 + k, 24 + k และ 108 + k ใหห้ าคา่ ของ k และสามพจน์แรกของลาดบั น้ี วิธที า จำก a1 = 3 + k, a2 = 24 + k, a3 = 108 + k และ r = an + 1 จะได้ an a2 a3 a1 = a2 24 + k 108 + k 3 + k = 24 + k 24 + k 2 = (108 + k)(3 + k) 576 + 48k + k2 = 324 + 111k + k2 576 − 324 = 111k − 48k 252 = 63k k=4

ลาดับเรขาคณิต ตัวอยา่ งที่ 4 กาหนดสามพจน์แรกของลาดับเรขาคณิต คอื 3 + k, 24 + k และ 108 + k ให้หาคา่ ของ k และสามพจน์แรกของลาดับน้ี วธิ ที า เมอ่ื แทน k ด้วย 4 ใน a1, a2 และ a3 จะได้ a1 = 3 + 4 = 7 a2 = 24 + 4 = 28 a3 = 108 + 4 = 112 ดังนัน้ คำ่ ของ k เท่ำกับ 4 และสำมพจนแ์ รกของลำดับนี้ คือ 7, 28, 112

ลิมิตของลาดบั เราสามารถนาลาดบั มาประยกุ ต์กับเรื่องลิมติ ได้ ถ้านักเรยี นพรอ้ มแลว้ เราไปศกึ ษาเร่อื งลมิ ติ ของลาดับกันคะ่

ลิมติ ของลาดบั ใหน้ กั เรียนพิจารณาลาดับทีก่ าหนดให้ตอ่ ไปนี้ ถ้านกั เรียนนาลาดบั ในแต่ละขอ้ มาเขียนแจกแจงพจน์ แล้วลาดับแต่ละขอ้ จะเปน็ อย่างไร ? 1) an = 5 1 2) an = n2 3) an = −n 3n −1 n 4) an = 2 + n 5) an = 2 6) an = 3 −1 n

ลิมิตของลาดบั Y จำกขอ้ 1) an = 5 เมอ่ื เขยี นแจกแจงพจน์ จะได้ 5, 5, 5, … จะเห็นว่ำ ลำดบั an เม่ือ n มคี ำ่ มำกขนึ้ ไม่มีท่สี ้ินสดุ ทำใหค้ ำ่ ของพจนท์ ี่ n เท่ำกบั 5 Y X X จำกขอ้ 2) an = 1 เมอ่ื เขยี นแจกแจงพจน์ จะได้ 1, 1 , 1 , … n2 4 9 จะเห็นว่ำ ลำดบั an เม่อื n มคี ่ำมำกขนึ้ ไม่มที ส่ี ้ินสดุ ทำให้ค่ำของพจน์ที่ n ลดลงและเขำ้ ใกล้ 0 แต่จะไมเ่ ท่ำกับ 0

ลมิ ติ ของลาดบั X X Y จำกขอ้ 3) an = −n เมื่อเขียนแจกแจงพจน์ จะได้ −1, −2, −3, … จะเหน็ ว่ำ ลำดบั an เมื่อ n มีค่ำมำกข้ึนไม่มที ี่สิ้นสดุ ทำให้คำ่ ของพจนท์ ี่ n มีคำ่ ลดลงไมม่ ีทสี่ ้นิ สดุ จำกข้อ −1 n เมื่อเขยี นแจกแจงพจน์ จะได้ 1, 5 , 5 , … Y n 4) an = 2+ 23 จะเห็นว่ำ ลำดบั an เมอื่ n มีคำ่ มำกขึ้นไม่มที ีส่ ิ้นสุด ทำให้ค่ำของพจนท์ ่ี n เทำ่ กับ 2

ลมิ ติ ของลาดบั Y จำกข้อ 5) an = 3 n เม่อื เขียนแจกแจงพจน์ จะได้ 3 , 9 , 27 , … 2 2 4 8 จะเห็นว่ำ ลำดบั an เม่อื n มีค่ำมำกขึน้ ไม่มีทส่ี นิ้ สุด ทำให้ค่ำของพจน์ที่ n มีค่ำมำกข้ึนไมม่ ีทส่ี น้ิ สดุ X

ลมิ ติ ของลาดับ Y X จำกขอ้ 6) an = 3 −1 n เมื่อเขยี นแจกแจงพจน์ จะได้ −3, 3, −3, … จะเหน็ ว่ำ ลำดับ an เมอ่ื n เปน็ จำนวนค่บี วก ทำให้คำ่ ของพจนท์ ่ี n เทำ่ กับ −3 และเมอื่ n เปน็ จำนวนคบู่ วก ทำให้คำ่ ของพจน์ที่ n เท่ำกบั 3

ลมิ ิตของลาดบั จากลาดบั ในข้อ 1), 2) และ 4) นักเรยี นจะเห็นวา่ ลาดับเข้าใกลห้ รอื เท่ากบั ค่าคงตัวจานวนใดจานวนหนง่ึ เรียกลาดับในขอ้ 1), 2) และ 4) ว่า ลาดบั ทม่ี ีลิมติ หรอื ลาดบั ลเู่ ขา้ และจากลาดบั ในขอ้ 3), 5) และ 6) นกั เรียนจะเห็นว่า ลาดับจะไมเ่ ข้าใกล้หรือเท่ากับค่าคงตัวจานวนใดจานวนหนง่ึ เรียกลาดบั ในข้อ 3), 5) และ 6) ว่า ลาดบั ที่ไมม่ ลี ิมติ หรือลาดับลอู่ อก

ลิมิตของลาดับ จากตัวอยา่ งลาดบั ท้ัง 6 ขอ้ สอดคลอ้ งกบั ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎบี ท 1 ทฤษฎีบท 2 กำหนด r เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ จะได้วำ่ กำหนด r เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ที่ไมเ่ ท่ำกบั ศนู ย์ ถำ้ r < 1 แล้ว lim rn = 0 lim 1 = 0 และ lim nr หำค่ำไม่ได้ nr n→∞ n→∞ n→∞ ถ้ำ r > 1 แล้ว lim rn หำคำ่ ไมไ่ ด้ n→∞

ลมิ ิตของลาดับ นอกจากนี้ ยังมีทฤษฎบี ทที่เกยี่ วข้องกับลมิ ิตของลาดับ ดงั นี้ ทฤษฎีบท 3 กำหนด an, bn, tn เปน็ ลำดบั ของจำนวนจรงิ A, B เป็นจำนวนจรงิ และ c เปน็ ค่ำคงตัวใด ๆ โดยที่ lim an = A และ lim bn = B จะไดว้ ำ่ n→∞ n→∞ 1) ถำ้ tn = c แลว้ lim tn = lim c = c n→∞ n→∞ 2) lim can = c lim an = cA n→∞ n→∞ 3) lim an + bn = lim an + lim bn = A + B n→∞ n→∞ n→∞ 4) lim an − bn = lim an − lim bn = A − B n→∞ n→∞ n→∞ 5) lim an ∙ bn = lim an ∙ lim bn = AB n→∞ n→∞ n→∞ = nl→im∞an = A 6) ถำ้ bn ≠ 0 ทุก ๆ จำนวนเตม็ บวก n และ B ≠ 0 แลว้ lim an nl→im∞bn B bn n→∞

ลมิ ติ ของลาดบั เราลองนาทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตของลาดบั มาชว่ ยหาคาตอบของตวั อย่างต่อไปนกี้ ันดูนะคะ ตวั อยา่ งท่ี 5 ใหห้ าลิมติ ของลาดบั ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ n+7 n2 − 3 n2 + 6 1) an = n − 2 2) an = n3 3) an = n + 4 วธิ ีทา 1) lim n+7 = n 1 + 7 lim n n→∞ n→∞ n n − 2 1 − 2 n = 1 + 7 lim − n n→∞ 1 2 n

ลมิ ติ ของลาดบั ตัวอย่างที่ 5 ใหห้ าลมิ ติ ของลาดับในแต่ละข้อต่อไปนี้ n+7 n2 − 3 n2 + 6 1) an = n − 2 2) an = n3 3) an = n + 4 วธิ ีทา n+7 lim 1 + lim 7 n 1) lim = n→∞ n→∞ n→∞ n − 2 lim 1 − lim 2 n n→∞ n→∞ 1+0 = 1−0 =1 ดังน้ัน lim n + 7 = 1 n − 2 n→∞

ลิมิตของลาดบั ตวั อย่างท่ี 5 ให้หาลิมติ ของลาดบั ในแต่ละข้อต่อไปน้ี n+7 n2 − 3 n2 + 6 1) an = n − 2 2) an = n3 3) an = n + 4 วิธีทา 2) lim n2 − 3 = lim n2 3 n3 − n3 n→∞ n3 n→∞ = lim 13 n − n3 n→∞ = 13 lim − lim n n3 n→∞ n→∞ =0 ดังนนั้ lim n2 − 3 = 0 n→∞ n3

ลิมิตของลาดับ ตัวอยา่ งที่ 5 ใหห้ าลมิ ติ ของลาดบั ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ n+7 n2 − 3 n2 + 6 1) an = n − 2 2) an = n3 3) an = n + 4 วิธที า n2 + 6 n2 1 + 6 n2 3) lim = lim 1 4 n + 4 n→∞ n2 n + n2 n→∞ = lim 1 + 6 + n2 n→∞ 1 4 n n2 = lim 1 + lim 6 n2 n→∞ n→∞ lim 1 + lim 4 n n2 n→∞ n→∞

ลิมิตของลาดับ ตัวอย่างที่ 5 ให้หาลมิ ติ ของลาดับในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ n+7 n2 − 3 n2 + 6 1) an = n − 2 2) an = n3 3) an = n + 4 วิธีทา 3) lim n2 + 6 1 + 0 หำคำ่ ไม่ได้ = 0+0 n→∞ n + 4 ดังน้นั lim n2 + 6 หำคำ่ ไมไ่ ด้ n→∞ n+4

ลมิ ิตของลาดบั จากตัวอย่างที่ 5 ทาใหเ้ ราได้ขอ้ สังเกตว่า ลาดับท่ีมพี จนท์ ัว่ ไปอย่ใู นรปู เศษสว่ นของพหนุ าม 1) ถ้ำเลขชก้ี ำลงั สูงสดุ ของตวั เศษกับตัวส่วนเท่ำกัน แลว้ ลำดบั an เป็นลำดบั ลเู่ ขำ้ และเป็นลำดบั ทมี่ ีลิมติ ซ่งึ คำ่ ของลิมติ เทำ่ กบั ผลหำรของสมั ประสิทธ์ขิ องเลขชี้กำลงั สงู สดุ ทเี่ ท่ำกนั นนั่ คอื lim an = สมั ประสิทธิข์ อง n ทมี่ ีเลขชีก้ ำลังสงู สุดในตวั เศษ n→∞ สมั ประสทิ ธ์ิของ n ท่มี เี ลขชีก้ ำลังสูงสุดในตวั สว่ น 2) ถำ้ เลขช้กี ำลงั สูงสดุ ของตวั เศษน้อยกว่ำตัวสว่ น 3) ถำ้ เลขชีก้ ำลังสงู สดุ ของตัวเศษมำกกว่ำตัวสว่ น แลว้ ลำดับ an เป็นลำดบั ลู่ออก นั่นคอื แล้วลำดับ an เป็นลำดบั ลเู่ ข้ำและเป็นลำดับที่มีลมิ ิต ซึ่งคำ่ ของลิมิตเทำ่ กบั 0 เสมอ นน่ั คอื lim an หาค่าไม่ได้ lim an = 0 n→∞ n→∞

ลิมติ ของลาดับ นอกจากลาดับท่มี ีพจนท์ ัว่ ไปอย่ใู นรปู เศษสว่ นของพหุนามแล้ว ยงั มลี าดบั ในรูปของจานวนอตรรกยะ ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี เราลองไปดตู ัวอยา่ งของลาดับในรูปของจานวนอตรรกยะกันนะคะ ทฤษฎบี ท 4 กำหนด an เป็นลำดับของจำนวนจรงิ ท่ีมำกกวำ่ หรอื เท่ำกบั 0 L เปน็ จำนวนจริงใด ๆ และ m เปน็ จำนวนเตม็ ที่มำกกวำ่ หรอื เทำ่ กบั 2 ถำ้ lim an = L แลว้ lim m an = lim an = m L n→∞ n→∞ m n→∞

ลมิ ติ ของลาดบั ตวั อย่างท่ี 6 ให้หาลมิ ติ ของลาดบั an = 4n2 − 1 n2 + 3 วธิ ที า เนือ่ งจำก lim 4n2 − 1 และ lim n2 + 3 หำคำ่ ไมไ่ ด้ n→∞ n→∞ จงึ ไม่สำมำรถใช้ทฤษฎีบท 4 ได้ ดงั น้ัน เรำตอ้ งจดั รูป an ก่อนหำลิมติ จำก 4n2 − 1 n2 4 − 1 n2 + 3 = n2 n2 3 1 + n2 = 4 − 1 1 + n2 3 n2

ลมิ ติ ของลาดับ ตวั อย่างท่ี 6 ให้หาลมิ ิตของลาดบั an = 4n2 − 1 n2 + 3 วิธที า จะได้ 4n2 − 1 4 − 1 โดยทฤษฎบี ท 4 จะได้ 4n2 − 1 4n2 − 1 lim = lim + n2 lim = lim n2 + 3 n→∞ 1 3 n→∞ n2 + 3 n2 + 3 n→∞ n2 n→∞ lim 4 − 1 =4 = n→∞ n2 =2 lim 1 + 3 n2 n→∞ 4−0 ดงั น้นั 4n2 − 1 =1+0 lim = 2 =4 n→∞ n2 + 3

สญั ลักษณแ์ ทนการบวก จากทเ่ี ราได้ศึกษาเรือ่ งลาดบั มาแลว้ เมื่อเรานาพจน์แตล่ ะพจนข์ องลาดบั มาเขียนในรปู การบวก เราจะเรียกวา่ อนุกรม ดังบทนิยามต่อไปน้ี บทนิยาม กำหนด an เปน็ ลำดบั ของจำนวนจริง แลว้ นพิ จTนyท์ p่ีแeสeqดuงaใtนioรnูปhear1e.+ a2 + a3 + … + an + … เรยี กว่ำ อนุกรม ซ่ึงอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an เรยี กวำ่ อนกุ รมจากัด n 26 เขียนแทนดว้ ย ෍ai เช่น อนุกรม 1 + 3 + 5 + … + 51 = ෍ 2i − 1 i=1 i=1 และอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … เรยี กวำ่ อนุกรมอนนั ต์ ∞∞ เขยี นแทนด้วย ෍ai เชน่ อนุกรม 2 + 12 + 22 + … = ෍ 10i − 8 i=1 i=1