Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore แบบฝึกหัด สมาการกำลังสอง

แบบฝึกหัด สมาการกำลังสอง

Published by Fang K, 2020-08-31 10:04:13

Description: แบบฝึกหัด สมาการกำลังสอง

Search

Read the Text Version

คณิตศาสตร์ เพ่มิ เตมิ ม.3 เล่ม1 บทที่3 สมการกาลงั สอง

สมการกาลงั สอง 3.1 ทบทวนสมการกาลงั สอง สมการกาลังสองตวั แปรเดยี วท่ีมี ������ เป็นตัวแปรมีรปู ทัว่ ไปเป็น ������������2 + ������������ + ������ = 0 เม่ือ ������, ������, ������ เปน็ คา่ คงตัวและ ������ ≠ 0 และหาคาตอบ ของสมการดังกลา่ วไดโ้ ดยการแยกตัวประกอบของ ������������2 + ������������ + ������ ให้ อยู่ในรูปการคูณกันของพหุนามดกี รีหนึง่ สองพหุนาม แลว้ ใชส้ มบัตขิ อง จานวนจรงิ ทีก่ ลา่ วว่า ถ้า ������, ������ เป็นจานวนจริง และ ������������ = 0 แล้ว ������ = 0 หรือ ������ = 0 ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตัวอยา่ งที่ 1 จงแก้สมการ ������2 − 5������ = 0 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแก้สมการ 3������2 − 7������ + 2 = 0

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแกส้ มการ 9������2 − 6������ + 1 = 0 ตัวอยา่ งที่ 4 จงแก้สมการ 2������2 + 5 = 0 ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแก้สมการ ������2 = 18 ตวั อยา่ งที่ 6 จงแกส้ มการ (������ − 7)2 = 3 ตัวอยา่ งท่ี 7 จงแก้สมการ (5������ − 2)2 − 10 = 0

3.2 การแกส้ มการกาลงั สองโดยการทาเปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ น้องๆ เคยแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่ีเป็นกาลังสมบรู ณ์ มาแล้ว เช่น ������2 + 6������ + 9 = (������ + 3)2 4������2 − 12������ + 9 = ……………………… ������2 + 2������������ + ������2 = ……………………… ในการหาคาตอบของสมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 เมือ่ ������, ������, ������ เปน็ คา่ คงตวั และ ������ ≠ 0 น้ัน ในบางคร้ังอาจไมส่ ามารถแยกตัวประกอบของ พหนุ าม ������������2 + ������������ + ������ ไดโ้ ดยงา่ ย ในกรณนี ี้เราสามารถใชค้ วามรู้เร่ือง กาลังสองสมบูรณ์และผลตา่ งกาลังสองมาช่วยในการแยกตวั ประกอบ ของพหนุ ามน้นั พิจารณาการแก้สมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 ในกรณที ี่ ������ = 1 ตัวอยา่ งที่ 1 จงแก้สมการ ������2 + 4������ − 2 = 0

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแก้สมการ ������2 − 5������ + 2 = 0 ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแก้สมการ ������2 − 2√2������ + 2 = 0 ตวั อยา่ งท่ี 4 จงแก้สมการ ������2 + ������ + 1 = 0

พิจารณาการแก้สมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 ในกรณีท่ี ������ ≠ 0 และ ������ ≠ 1 ตัวอยา่ งที่ 5 จงแก้สมการ 3������2 − 7������ − 1 = 0 มาชว่ ยกันพิจารณาการหาคาตอบสาหรับกรณีทัว่ ๆ ไปของสมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 กนั เมื่อ ������, ������, ������ เป็นคา่ คงตวั และ ������ ≠ 0 โดยใช้ ความรเู้ ก่ียวกบั กาลังสองสมบรู ณ์และผลตา่ งกาลงั สอง ������������2 + ������������ + ������ = 0 นา ������ มาหารทั้งสองขา้ งของสมการ

เน่ืองจาก ������2 − 4������������ เป็นจานวนจริง ดงั นน้ั ������2 − 4������������ ≥ 0 หรือ ������2 − 4������������ < 0 ถ้า ������������ − ������������������ ≥ ������ จะได้ √������2 − 4������������ เปน็ จานวนจริง และ (√������2 − 4������������ 2 = ������2 − 4������������ ) จากสมการท่ี 1; ������ 2 ������2 − 4������������ (������ + 2������) − 4������2 = 0 ดังนั้นคาตอบของสมการคือ −������+√������2−4������������ และ −������−√������2−4������������ 2������ 2������ ซง่ึ อาจเขียนเปน็ สูตรเพ่ือหาคาตอบของสมการได้ดงั น้ี −������ ± √������2 − 4������������ ������ = 2������ ถา้ ������������ − ������������������ < ������

จากสมการท่ี 1; ������ 2 ������2 − 4������������ (������ + 2������) − 4������2 = 0 เนอื่ งจากไม่มจี านวนจริงใดทนี่ ามาแทน ������ ในสมการที่ 2 แลว้ ทา ใหส้ มการเปน็ จริงได้ ดังน้ัน สมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 จะไม่มีคาตอบ ของสมการที่เปน็ จานวนจริง ข้อสรปุ เกี่ยวกบั คาตอบของสมการกาลงั สอง  ถา้ ������2 − 4������������ ≥ 0 แล้วจะมีคาตอบของสมการเปน็ จานวนจริง  ถา้ ������2 − 4������������ < 0 แล้วจะไม่มีคาตอบของสมการที่เปน็ จานวนจรงิ สาหรบั สมการ ������������2 + ������������ + ������ = 0 เมอื่ ������, ������, ������ เปน็ คา่ คงตัว ������ ≠ 0 และ ������2 − 4������������ ≥ 0 ซ่ึงมคี าตอบของสมการเป็นจานวนจรงิ นอ้ งๆ สามารถหาคาตอบไดโ้ ดยการแยกตวั ประกอบ หรือทาเป็นกาลงั สอง สมบูรณ์ หรือใช้สตู ร ������ = −������±√������2−4������������ 2������

และการหาวา่ คาตอบท่เี ปน็ จานวนจรงิ ของสมการนน้ั มีสองคาตอบ หรือหนึง่ คาตอบนั้นทาไดโ้ ดยพิจารณาจาก ������2 − 4������������ ดงั นี้ กรณที ่ี 1 ถ้า ������2 − 4������������ > 0 กรณที ี่ 2 ถ้า ������2 − 4������������ = 0

ตวั อยา่ ง กาหนดสมการ 24������2 − 74������ + 55 = 0 ตัวอยา่ ง กาหนดสมการ 9������2 − 30������ + 25 = 0 ตวั อยา่ ง กาหนดสมการ 2������2 − 3������ + 2 = 0

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาวา่ สมการต่อไปนม้ี ีคาตอบหรือไม่ ถ้ามี มีก่คี าตอบ ก. 2������2 + 4������ + 5 = 0 ข. 9������2 − 3������ + 1 = 0 4 ค. 6������2 + 2������ − 3 = 0

ตัวอยา่ งที่ 7 จงแก้สมการ ������2 − 4������ + 13 = 0 ตัวอยา่ งที่ 8 จงแก้สมการ 16������2 + 24������ + 9 = 0 ตวั อยา่ งท่ี 9 จงแก้สมการ ������2 + 2������ − 13 = 0

เกย่ี วขอ้ งกนั อยา่ งไร กาหนดสมการกาลังสอง ������������2 + ������������ + ������ = 0 เมอื่ ������, ������, ������ เปน็ ค่าคงตัว ท่ี ������ ≠ 0 ถ้า ������2 − 4������������ > 0 จงหา ก. ผลบวกของคาตอบของสมการ ข. ผลคูณของคาตอบของสมการ คาตอบที่ได้เก่ียวข้องกับสัมประสิทธ์ิของพหนุ าม ������������2 + ������������ + ������ = 0 อย่างไร

3.3 โจทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั สมการกาลงั สอง ตวั อยา่ งที่ 1 จานวนสองจานวนรวมกันเทา่ กบั 22 และกาลงั สองของแต่ ละจานวนรวมกนั เท่ากบั 274 จงหาจานวนท้งั สอง ตัวอยา่ งท่ี 2 รปู ส่ีเหล่ียมมุมฉากรูปหนึ่งมดี า้ นยาวยาวกว่าสามเทา่ ของ ด้านกวา้ งอยู่ 5 เซนติเมตร และมพี นื้ ที่ 138 ตารางเซนติเมตร จงหา ความยาวแต่ละดา้ นของสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากนี้

ตวั อยา่ งที่ 3 ชาชองอูกบั นาแอราขบั รถมาพบกนั ที่ทางแยกแหง่ หนง่ึ หลงั จากนั้นชาชองอขู ับรถไปทางทิศตะวนั ตก ในขณะทน่ี าแอราขับรถ ไปทางทิศเหนือ เมื่อเวลาผ่านไป 1 ชั่วโมง นาแอราขบั รถไดร้ ะยะทาง มากกวา่ ชาชองอู 20 กโิ ลเมตร และทงั้ สองคนอยหู่ ่างกนั 100 กิโลเมตร จงหาวา่ ชาชองอูและนาแอราขับรถได้ระยะทางห่างจากทางแยกเท่าไร

ตัวอยา่ งที่ 4 สโมสรแหง่ หนึง่ ต้องการสรา้ งสระว่ายนา้ รปู สีเ่ หลีย่ มมุมฉาก ทีม่ ีขนาดกว้าง 8 เมตร ยาว 25 เมตร และใหม้ ีทางเดินรอบสระวา่ ยน้า ซงึ่ ปูด้วยกระเบอื้ ง ทางเดินมีความกวา้ งเท่ากนั โดยตลอด ถา้ บรเิ วณทจ่ี ะ สรา้ งสระว่ายน้ารวมทางเดนิ มพี นื้ ที่ 434 ตารางเมตร จงหาว่าทางเดนิ รอบสระวา่ ยน้ากว้างเทา่ ไร

แบบฝดึ หดั ข้อที่ 1 จงแก้สมการตอ่ ไปน้ีโดยไม่ใช้วธิ ีการทาเปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ และไม่ใชส้ ูตร ก. ������2 = 3������ ข. 2������2 − 5������ = 0 ค. 4������ + 33 = ������2 + 36

ง. 6������2 + 13������ − 5 = 0 จ. 8������ = −(16������2 + 1) ฉ. 2������2 + 5������ + 3 = 0

ช. 8������ − 3������2 = 5 ซ. 0.75������2 − 27 = 0 ฌ.(7������ − 5)2 = 26

ญ. (������ + 2)2 + 20 = 0 ฎ. (2������ + 1)2 − (������ + 3)2 = 0 ฏ. 9 1 ������ − ������2 = 22 2

ข้อท่ี 2 จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใชค้ วามรูเ้ ร่อื งการทาเป็นกาลังสอง สมบูรณแ์ ละผลตา่ งกาลังสอง ก. ������2 − 6������ − 1 = 0 ข. ������2 + 3������ − 5 = 0 ค. ������2 − 2√3������ + 3 = 0

ง. 2������2 + 2������ − 7 = 0 จ. 10������2 + 7������ − 12 = 0 ฉ. −6������2 + 11������ = 4

ช. 3������2 = 8������ ซ. 9 + 6������ − 3������2 = 0 ฌ.11������2 − 7������ = 10������2 + 2

ญ. −1 1 ������2 = 1 1 ������ − 12 22 ขอ้ ที่ 3 จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้มีคาตอบหรอื ไม่ ถ้ามี มกี ี่คาตอบ ก. 2������2 − 8������ + 3 = 0 ข. 3������2 + 7������ − 1 = 0

ค. 3������2 − 2������ + 1 = 0 3 ง. 1 ������2 + ������ = 5 2 จ. 16������2 − 8������ + 1 = 0 ฉ. 4������2 + 68������ + 289 = 0

ขอ้ ท่ี 4 จงแก้สมการโดยใชส้ ตู ร ก. ������2 − 12������ + 11 = 0 ข. 10������2 = 17������ − 3 ค. 2������2 = 3������ + 14

ง. 7������ = 2������2 + 4 จ. 4 − 4������ − 5������2 = 0 ฉ. 2������(������ − 1) = 3

ช. 5(������ + 1)2 = 25 ซ. 2(������2 − 2) = ������ ฌ.2������ + (������ − 1)2 = 1

ญ. 2������(������ − 3) = 4(10 − ������) ฎ. − 17 (������2 − 1) = 8������ − 1 3

ข้อท่ี 5 พนื้ หอ้ งเรียนรปู สีเ่ หลีย่ มผืนผ้ามพี ื้นท่ี 180 ตารางเมตร ด้านยาว ยาวกว่าด้านกวา้ ง 3 เมตร หอ้ งเรียนน้ีกวา้ งและยาวก่ีเมตร ข้อที่ 6 กาหนด ∆ ABC มี AB̂C เป็นมมุ ฉาก ̅���̅���̅���̅��� ยาวกว่า ���̅̅���̅���̅��� 7 เซนตเิ มตร และ ̅���̅���̅���̅��� ยาวกวา่ ̅���̅���̅���̅��� 1 เซนติเมตร จงหาความยาวของ ̅���̅���̅���̅���, ̅���̅���̅���̅���, ̅���̅���̅���̅��� ตามลาดบั

ข้อท่ี 7 ∆ ABC มีพื้นที่ 52 ตารางเซนติเมตร มีความสูงน้อยกวา่ สองเท่า ของความยาวของฐาน BC อยู่ 3 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของฐาน BC ขอ้ ที่ 8 ผลคณู ของจานวนค่บี วกสองจานวนทเ่ี รยี งติดกนั เปน็ 675 จงหา จานวนคี่สองจานวนนนั้

ขอ้ ที่ 9 ถังเกบ็ นา้ ทรงส่เี หลี่ยมมมุ ฉากใบหนึง่ มีพ้นื ทก่ี ้นถังเป็น 120 ตารางเซนติเมตร ความยาวรอบปากถงั ภายในยาว 46 เซนตเิ มตร ถา้ ถัง ใบนีจ้ นุ ้าได้ 720 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร จงหาขนาดถายในของถงั นี้ ขอ้ ท่ี 10 กรอบรปู ไม้สกั สาหรับรูปขนาด 24 × 30 ซม.2 มีพนื้ ท่โี ดยรอบ ของส่วนท่เี ป็นไม้สักดา้ นหนา้ ของกรอบรูปเทา่ กบั 496 ตารางเซนติเมตร จงหาวา่ ไม่ทที่ ากรอบรูปกวา้ งเทา่ ไร

ข้อที่ 11 มิยองต้องการสร้างกรงกระต่ายให้มีเนื้อท่ี 55 ตารางเมตร ตดิ กบั ร้วั บ้าน ดังรูป ถา้ ความยาวของดา้ นทงั้ สามของกรงกระตา่ ยรวมกนั เป็น 21 เมตร จงหาความกว้างและความยาวของกรงกระต่ายนี้

ขอ้ ที่ 12 รปู ส่ีเหลี่ยมจตุรัส ABCD และรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก PQRS มี พื้นที่เท่ากันและมีขนาดดังรปู จงหาขนาดของรปู สเี่ หล่ียมแตล่ ะรปู

ข้อที่ 13 สวนกานันจุ่นปลกู ส้มเรียงเปน็ แถวไว้ 2000 ตน้ แต่ละแถวมี จานวนตน้ ส้มเท่ากัน ถา้ จานวนต้นส้มในแต่ละแถวน้อยกว่าจานวนแถว อยู่ 10 จงหาวา่ ในสวนกานันจุ่นปลูกส้มไวก้ ี่แถว และแถวละกต่ี น้ ข้อที่ 14 บดินทรม์ ีที่ดนิ รูปส่เี หลย่ี มจตุรัสอยู่สองแปลงไม่ตดิ กนั แตล่ ะ แปลงล้อมรว้ั ดว้ ยลวดหนามส่ีฃนั้ ดงั รปู ถา้ ทีด่ นิ ทั้งสองแปลงมเี นอื้ ท่ี รวมกันเปน็ 170 ตารางวา และใชล้ วดหนามทัง้ หมด 576 เมตร อยาก ทราบว่าท่ีดินแตล่ ะแปลงมพี นื้ ที่เท่าไร


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook