matemáticas-unidad 1

MATEMÁTICAS Unidad 1 Aritmética Unidad 2 Álgebra Unidad 3 Geometría y trigonometría Unidad 4 Geometría analítica Unidad 5 Probabilidad y estadística básica Objetivo: al tfiénramlindoe dlae ulanidunaidd,aedl, ealuemstnuodiraenstoelveesrtáareájeprrceicpiaorsaadpolipcanrado las orepseorlavecrioenjerscaicriotms,étaicpalisc.ando las operaciones aritméticas. Números reales Son todos aquellos números que se representan en la recta numérica. –9 0.5 π –∞ –3 –2 –1 0 1 2 3 +∞ –1 3 42 W Clasificación de los números reales Los números reales se clasifican en los siguientes conjuntos de números. Reales Racionales Naturales Primos Irracionales Enteros Compuestos Positivos Cero Negativos Racionales (Q). Son de la forma p con p, q Ž Z y q y 0, se les conoce como fracciones comunes. q 4 , – 3 , 7 , –2, 3, 1.3 , 4 , 3 8 ,… 5 25  Naturales (N ). Son aquellos números que se utilizan para contar y su conjunto es: N = {1, 2, 3, 4,…} Números primos. Son números que tienen únicamente 2 divisores, la unidad y el propio número. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}

Guía para el examen global de conocimientos 163 Números compuestos. Son números que tienen más de 2 divisores. {4, 6, 8, 9, 10, 12,…}  Enteros (Z ). Su conjunto se conforma de números positivos, negativos y el cero. Z = {…, – 3, –2, –1, 0, + 1, + 2, + 3,…} Irracionales (Q’ ). Son todos aquellos números cuya parte decimal se conforma de una serie infinita de dígitos, pero no existe periodo y por lo regular son resultado de raíces no exactas. Q, 2, Q ,  3 2 4 W Postulados de orden para los números reales  Tricotomía. Si a, b Ž R, entonces al comparar estos números, sólo puede ocurrir uno de los 3 casos siguientes: a>b , a<b o a=b Transitivo. Establece la comparación entre 3 números de la siguiente manera: Sean a, b y c Ž R, si a  b y b  c entonces a  c Aditivo. Dados 2 números reales que cumplen con el postulado de tricotomía, si se suma otro número real a los 2 primeros se conserva el postulado. Sean a, b y c Ž R, si a  b, entonces a + c  b + c Multiplicativo. Dados 2 números que cumplen con el postulado de tricotomía, si se multiplica por otro número positivo a los 2 primeros se conserva el postulado y si se multiplica por otro número nega- tivo a los 2 primeros el postulado cambia. Sean a, b, y c Ž R, si a  b entonces a c  b c (con c  0) y a c  b c (con c  0) W Propiedades de los números reales Sean a, b y c Ž R, entonces se verifican las siguientes propiedades: Propiedad Adición Multiplicación Cerradura a+bŽR a—bŽR Conmutativa a+b=b+a a—b=b—a Asociativa a + (b + c ) = (a + b) + c a — (b — c ) = (a — b) — c Distributiva a(b + c ) = ab + ac a—1=a Neutro a+0=a ¦1µ Inverso a + (–a) = 0 a — § ¶ =1 ¨ a ·

164 Colegio Nacional de Matemáticas Operaciones con números enteros W Suma y resta Números con signos iguales se suman y al resultado se le coloca el signo de los sumandos. Ejemplos: 2) 6 + 8 + 3 = 17 3) – 11 – 5 – 6 – 10 = – 32 1) – 4 – 7 – 9 = – 20 Números con signos diferentes se restan y al resultado se le coloca el signo del número mayor en valor absoluto. Ejemplos: 3) 6 – 7 + 9 – 11 = 15 – 18 = – 3 1) 5 – 8 = – 3 4) – 17 + 21 – 14 – 7 + 18 = 39 – 38 = 1 2) 13 – 9 = 4 W Leyes de los signos Multiplicación División (+)(+) = + (+)(–) = – (–)(+) = – (–)(–) = + +=+ +=– –=– –=+ + – +– W Multiplicación y división Se aplican las leyes de los signos y se realiza la operación con los coeficientes. Ejemplos: a) (– 5)(+ 4) = – 20 c) (– 3) (– 2) = + 6 e) (7) (– 2) (– 3) = + 42 b) –21 = – 3 121 = – (– 11) = 11 f) –96 = 6 7 –11 –16 d) – W Signos de agrupación Son los signos que agrupan o delimitan operaciones entre números y se representan con los siguientes símbolos: Llave: { } Corchete: [ ] Paréntesis: ( ) Vínculo:





W Operaciones con signos de agrupación Son operaciones que involucran signos de agrupación, los que se suprimen al multiplicar por el número o signo que le antecede, en caso de existir varios signos de agrupación se procede de dentro hacia fuera.

Guía para el examen global de conocimientos 165 Ejemplos 1. Al simplificar la expresión – (9 – 11), se obtiene: a) – 2 b) 2 c) 1 d ) –1 Solución: Para eliminar el paréntesis se multiplican los elementos dentro del signo de agrupación por el signo menos que le antecede – (9 – 11) = – 9 + 11 = 2 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 2. Al simplificar la expresión 7 + 3(5 – 2) – (4 – 9), se obtiene: a ) – 21 b ) 19 c ) – 19 d ) 21 Solución: Se multiplican los elementos de los paréntesis por el número o signo que les antecede. 7 + 3(5 – 2) – (4 – 9) = 7 + 15 – 6 – 4 + 9 = 31 – 10 = 21 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. Al simplificar la expresión – 5 + 4{3 – (2 – 5)}, se obtiene: a ) 19 b ) 20 c) 21 d ) 22 Solución: Se simplifica el paréntesis y después la llave. – 5 + 4{3 – (2 – 5)} = – 5 + 4{3 – 2 + 5} = – 5 + 12 – 8 + 20 = 32 – 13 = 19 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. W Problemas de aplicación Son problemas que se resuelven al aplicar las operaciones con números enteros. Ejemplos 1. Si a un número se le suma 14 y el resultado se divide entre 5 se obtiene 6, ¿cuál es el número? a ) 6 b ) 16 c ) 26 d ) 36 Solución: Se realizan las operaciones inversas a partir del resultado para obtener el número que se pide. (6)(5) – 14 = 30 – 14 = 16 Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

166 Colegio Nacional de Matemáticas 2. La diferencia de 2 números es 43. Si el mayor de ellos es 62, ¿cuál es el producto de los números? a ) 2 666 b ) 1 187 c ) 1 178 d ) 2 636 Solución: De acuerdo con el problema 62 – (número menor) = 43 Para conocer el número menor se realiza la siguiente operación: número menor = 62 – 43 = 19 El producto de los números es: (62)(19) = 1 178 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. Números racionales Son todas las fracciones comunes, las cuales representan una división de números enteros y se dividen en: fracción propia, fracción impropia y fracción mixta. Fracción propia Fracción impropia Fracción Mixta Su valor es menor a la Su valor es mayor o igual que la unidad. Se forma de un entero y una unidad. Ejemplos: fracción propia. Ejemplos: 8, 12, 6, 4 Ejemplos: 3 7 54 2, 12, 4, 1 4 2, 5 1, 6 7 5 17 7 3 3 2 9 W Conversión de una fracción impropia a fracción mixta y viceversa Ejemplos 1. Al convertir la fracción 8 en fracción mixta, el resultado es: 5 a) 1 3 b) 3 3 c) 3 1 d) 1 5 5 5 5 3 Solución: Se realiza la división que representa la fracción. 1 Entero 58 3 Numerador de la nueva fracción Por tanto, 8 = 1 3 y la respuesta correcta es el inciso a. 55

Guía para el examen global de conocimientos 167 2. Al convertir la fracción 4 2 en fracción impropia, se obtiene: 5 a) 13 b ) 18 c ) 5 d ) 22 5 5 22 5 Solución: Para convertir de fracción mixta a fracción impropia, se multiplica el entero (4) por el deno- minador (5) y al resultado se le suma el numerador (2), el resultado será el numerador de la fracción impropia respetando el mismo denominador. 4 2 = (4) (5) + 2 = 20 + 2 = 22 55 55 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. Al convertir la fracción 20 a fracción mixta el resultado es: 16 a) 1 b ) 1 1 c) 1 1 d ) 1 3 8 4 2 8 Solución: Se resuelve la división, 16 1 por consiguiente 20 1 4 1 1 , la opción correcta es el inciso b. 20 16 16 4 4 W Elementos de una fracción común Las fracciones comunes se componen de 2 elementos, numerador y denominador. 2 Numerador 5 Denominador  Denominador: partes en las que se divide la unidad.  Numerador: partes que se toman del total. Ejemplos 1. La fracción 3 significa que: 4 a ) el entero se divide en 3 partes de las cuales se toman 4. b ) el entero se divide en 7 partes de las cuales se toman 3. c ) el entero se divide en 4 partes de las cuales se toman 3. d ) el entero se divide en 7 partes de las cuales se toman 4. tDSaoenltuloac,iflóraanoc:cpicóinón34cosreredcetdauecseeql uineceisloenc.tero se divide en 4 partes de las cuales se toman 3, por

168 Colegio Nacional de Matemáticas 2. La fracción 7 significa que: 4 a ) se dividen 2 enteros en siete partes de la cuales se toman 4. b ) se dividen 2 enteros en cuatro partes cada uno, de los cuales se toman 7. c ) se divide un entero en 7 partes de las cuales se toman 4. d ) se divide un entero en 4 partes de las cuales se toman 7. Solución: 7 4 La fracción es menor que 2, por tanto, se dividen 2 enteros en 4 partes de las cuales se to- man 7. Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 3. La fracción 2 1 significa que: 5 a ) se dividen 3 enteros cada uno en 5 partes y se toman 7. b ) se dividen 3 enteros en cinco partes y se toma una. c ) se dividen 3 enteros en cinco partes y se toman 7. d ) se dividen 3 enteros cada uno en 5 partes y se toman 11. Solución: 1 11 5 5 La fracción 2 = , la cual es menor a 3, por consiguiente se dividen 3 enteros cada uno en 5 partes y se toman 11, la opción correcta es el inciso d. W Ubicación de las fracciones comunes en la recta numérica Existen dos métodos para ubicar una fracción en la recta numérica. a a) Sea la fracción b, entonces se dividen los enteros en b partes de los cuales se toman a partes. b) Se realiza la división y se grafica en la recta numérica. Ejemplos 1. Ubica en la recta numérica la fracción 2 . 5 Solución: Cada uno de los enteros se divide en 5 partes de las cuales se toman 2: 2 5 –1 0 1 2. Ubica en la recta numérica la fracción – 5. 3 Solución: Cada uno de los enteros se divide en 3 partes: – 5 3 –2 –1 0 12

Guía para el examen global de conocimientos 169 3. Ubica en la recta numérica la fracción 5 . 4 Solución: Se expresa la fracción en su forma decimal, realizando la división: 1.25 El resultado se ubica en la recta numérica: 45 5 10 4 20 0 –2 –1.5 –1 0 1 1.5 2 11 4. Ubica en la recta numérica la fracción – 3 . Solución: Se expresa la fracción en su forma decimal, – 11 = – 3.6 El resultado se ubica en la recta numérica: 3 11 – 3 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 W Suma y resta de fracciones comunes  Fracciones con denominadores iguales a+c–d=a+c–d b bb b Ejemplo 1. El resultado de 4 + 8 – 5 es: 33 3 a) 1 1 b ) 2 1 c) 3 1 d ) 4 1 3 3 3 3 Solución: Los denominadores son iguales, entonces se realiza la operación con los numeradores: 4 + 8 – 5 = 4 + 8 – 5 = 7 = 2 1 3 3 3 3 3 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

170 Colegio Nacional de Matemáticas  Mínimo común múltiplo. Es el menor de los múltiplos que es común a 2 o más números. Ejemplo 1. El mínimo común múltiplo de los números 12, 18 y 30 es: Solución: Se descomponen los números simultáneamente en sus factores primos, hasta que el cociente de cada uno de ellos sea la unidad. 12 18 30 2 6 9 15 2 3 9 15 3 1 3 53 1 1 55 11 1 El mínimo común múltiplo se obtiene al multiplicar los números primos de la derecha: 2×2×3×3×5 mcm (12, 18, 30) = 180  Fracciones con denominadores diferentes. Se obtiene el común denominador o mínimo común múltiplo de los denominadores, que se divide por cada uno de los denominadores y el resul- tado se multiplica por su respectivo numerador, los números que se obtienen se suman o se restan según sea el caso. Ejemplos 1. El resultado de 2 5  1 es: 3 4 6 a) 6 b) 7 c) 6 d) 21 1 4 72 6 Solución: Se obtiene el mínimo común múltiplo de 3, 4 y 6: 3 4 62 3 2 32 3 1 33 11 1 mcm = 12 Por consiguiente, el común denominador de la fracción es 12. 2 5  1 = 2 4 5 3 1 2 = 8 15  2 = 21 = 7 3 7 3 4 6 12 12 4 3 4 12 Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

Guía para el examen global de conocimientos 171 2. El resultado de 2 + 1 – 1 es igual a: 3 2 a) 1 1 b ) 2 5 c) 1 5 d ) 2 1 6 6 6 6 Solución: En el caso de los enteros, se les coloca la unidad como denominador y se realiza la operación. 2+ 1 – 1 = 2 1  1 = 2 6 1 2 1 3 = 12 2  3 = 11 = 1 5 3 2 1 3 2 6 6 6 6 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 3. El resultado de 2 1 + 151 – 3130 es: 2 a) 2 b) 1 c) 5 d) 2 3 2 2 5 Solución: Se convierten las fracciones mixtas a fracciones impropias y se realiza la operación. 2 1 + 115 – 3130 = 5 6  33 = 5 5 6 2  33 1 = 25 12  33 = 37  33 = 4 = 2 2 2 5 10 10 10 10 5 10 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. W Multiplicación Se aplica la propiedad: ¦ a µ¦ c µ = ac o a — c = ac § b ¶§ d ¶ bd b d bd ¨ ·¨ · Ejemplos 1. El resultado de ¦ 3 µ¦ 6 µ es: § ¶ § ¶ ¨ 2 · ¨ 5 · a) 5 b) 9 c ) 10 d) 9 9 10 9 5 Solución: Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, el resultado se simplifica si es posible. ¦ 3 µ¦ 6 µ = 3 6 = 18 = 9 § ¶ § ¶ 2 5 10 5 ¨ 2 · ¨ 5 · Por tanto, la opción correcta es el inciso d.

172 Colegio Nacional de Matemáticas 2. El resultado de 3 ¦ 2 1 µ ¦4µ es: § 5 ¶ §¨11¶· ¨ · a) 5 b ) 12 c ) 11 d ) 60 12 5 5 121 Solución: Los enteros se convierten en fracción al colocar la unidad en el denominador y las fracciones mixtas se convierten a fracciones impropias, entonces: 3 ¦ 2 1 µ ¦4µ = ¦ 3 µ ¦11µ ¦ 4 µ = 132 = 12 § 5 ¶ §¨11¶· § ¶ § ¶ § 11·¶ 55 5 ¨ · ¨ 1 · ¨ 5 · ¨ Por tanto, la opción correcta es el inciso b. W División Se aplica la propiedad a a x c = ad o b = ad b d bc c bc d Ejemplos 1. El resultado de 2 x 5 es: 3 6 a) 4 b) 5 c) 9 d) 5 5 9 5 4 Solución: Al aplicar la propiedad 2 x 5 = 2 6 = 12 = 4 3 6 3 5 15 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 2. El resultado de la operación 4 2 x 2 es: 5 a) 21 b) 1 c) 11 d) 31 5 5 5 5 Solución: 4 2 x 2 = 22 x 2 = 22 1 = 22 = 11 5 5 1 5 2 10 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso c.

Guía para el examen global de conocimientos 173 3. El resultado de la operación 3 es: 1 2 a) 9 b) 2 c) 3 d) 6 3 2 Solución: La fracción contiene un entero en el numerador, el cual se transforma a fracción y se realiza la división. 3 = 3 = 3 2 = 6 =6 1 1 1 1 1 1 22 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. W Problemas de aplicación A continuación se ejemplifican algunos problemas donde se involucran las diversas operaciones con fracciones. Ejemplos 1. Equivale a las 2 quintas partes de 80. a ) 16 b ) 24 c ) 32 d ) 48 Solución: El número 80 se divide en 5 partes de las cuales se toman 2, entonces: 2 ¦ 80 µ = 2(16) = 32 § 5 ¶ ¨ · Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. De un contenedor de agua de 608 litros, Fabiola utiliza los 3 del líquido diario para diversas 32 actividades. ¿Cuántos litros quedarán en el contenedor después de 8 días? a ) 456 b ) 152 c ) 57 d ) 19 Solución: Se determinan los litros que Fabiola utiliza diario, esto es, los 3 de 608 es: 32 3 ¦ 608 µ = 3(19) = 57 litros § 32 ¶ ¨ ·

174 Colegio Nacional de Matemáticas Después de 8 días se han utilizado: 8(57) = 456 litros y en el contenedor quedan: 608 – 456 = 152 litros Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 3. Tábata tiene cierta cantidad de dinero, del cual reparte 3 a su primo, y los 2 a su hermana. ¿Qué parte del dinero le queda a ella? 8 5 a) 8 b) 31 c) 5 d) 9 13 40 13 40 Solución: La cantidad de dinero que tiene Tábata se representa por la unidad, entonces: 1– 3 – 2 = 11 3  2 = 1 40  3 5  2 8 = 40 15 16 = 40  31 = 9 8 5 8 5 40 40 40 40 Le quedan los 9 del total de dinero, por tanto, la opción correcta es el inciso d. 40 Potencias y raíces W Potencia Es la representación del producto de una base por sí misma, un cierto número de veces. an = a
a
a

a n - veces Donde: a: base y n: exponente Ejemplos: 3) ¦ 1 µ3 = ¦ 1 µ ¦ 1 µ ¦ 1 µ = 1 1) (4)2 = (4) (4) = 16 § 2 ¶ § 2 ¶ § 2 ¶ § 2 ¶ 8 ¨ · ¨ · ¨ · ¨ · 2) (– 3)4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = 81 4) – 62 = – (6) (6) = – 36 W Raíz Operación que permite encontrar un número que multiplicado por sí mismo, tantas veces como lo in- dica el índice, da como resultado el radicando y se representa como: na

Guía para el examen global de conocimientos 175 Donde: a: radicando y n: índice  Condiciones a) En los números reales la raíz con índice par se aplica a números positivos y su raíz es tanto positiva como negativa. Ejemplos 1) 4 = ± 2 2) 4 81 = ± 3 3) 16 = ± 4 b) La raíz con índice impar se aplica a números positivos como negativos y su resultado conserva el signo del radicando. Ejemplos: 1) 3 8 = – 2 2) 5 243 = 3 3) 3 125 = 5 W Exponente cero Todo número elevado al exponente cero es 1. a 0 = 1 para todo a y 0 Ejemplos: 1) 30 = 1 2) – 40 = – 1 3) (12)0 = 1 4) (– 5)0 = 1 W Exponente negativo Un número elevado a un exponente negativo representa una fracción común, en la que el numerador es la unidad y el denominador la potencia con exponente positivo. a –n = 1 an Ejemplos: 1) 3–2 = 1 = 1 2) 5–3 = 1 =1 3) ¦ 1 µ4 = 1 = 16 32 9 53 125 § ¶ ¦ 1 µ4 ¨ 2 · ¨§ 2 ¶· W Exponente fraccionario Al elevar un número a un exponente fraccionario se aplica tanto la potencia como la raíz. m m a n = n am = na

176 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 3 c ) 27 d ) 81 1. El resultado de 9 2 es: a) 3 b) 9 Solución: En un exponente fraccionario el numerador representa la potencia. (9)3 = 729 El denominador es el índice de la raíz a obtener, entonces: 729 = ± 27 Se busca que 27 tenga signo positivo o negativo, por tanto, la opción correcta es el inciso c. 4 2. El resultado de 8 3 es: a ) 2 b ) 4 c ) 8 d ) 16 Solución: En el exponente fraccionario 4 , el denominador (3) es el índice de la raíz a obtener. 3 3 8 = – 2 El numerador (4) es la potencia a la cual se debe elevar el resultado anterior. (– 2)4 = 16 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. El resultado de 27  5 es: 3 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 243 81 27 9 Solución: Se transforma a un exponente positivo la expresión: 27  5 = 1 3 5 27 3 5 Al resolver el denominador 27 3 : 5 5 27 3 = 3 27 = (3)5 = 243 Entonces, 5 1 1 3 243  27= 5 = 27 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. W Ubicación de una potencia y una raíz en la recta numérica Se resuelve la operación indicada y el resultado se ubica en la recta numérica.

Guía para el examen global de conocimientos 177 Ejemplos 1. Ubica en la recta numérica 4 1 . Solución: Se expresa como potencia positiva. 4 1 = 1 = 1 4 4 1 El resultado se ubica en la recta numérica: 4 1 –3 –2 –1 0 12 3 2. Ubica en la recta numérica ¦ 1 µ2 . § 2 ¶ ¨ · Solución: Se expresa como potencia positiva. ¦ 1 µ2 = 1 = 1 =4 § ¶ ¦ 1 µ2 1 ¨ 2 · § 2 ¶ 4 ¨ · El resultado se ubica en la recta numérica: ¦ 1 µ2 § ¶ ¨ 2 · –2 –1 0 12 3 4 1 3. Ubica en la recta numérica 8 3 . Solución: 1 1 8 3 = 3 8 = (– 2)1 = – 2 El resultado se ubica en la recta numérica: 1 8 3 –3 –2 –1 0 12 3

178 Colegio Nacional de Matemáticas 4. ¿Cuál de las siguientes cantidades se encuentra más a la derecha? a ) 3– 1 3 2 1 b) 4 2 c ) 27 3 d ) 92 Solución: Se resuelve cada una de las potencias. a ) 3– 1 = 1 3 3 2 2 3 b ) 4 2 = 4 = (2)3 = 8 c ) 27 3 = 3 27 = (– 3)2 = 9 1 1 d ) 92 – 9 = – (3) = – 3 Se ubican en la recta numérica: b) c) d) a) –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Se observa que 27 3 se encuentra más a la derecha, por tanto, la opción correcta es el inciso c. Razones y proporciones W Razón Es el cociente de dos cantidades, donde al numerador se le llama antecedente y al denominador conse- cuente. Ejemplos 1. En la razón 3 , al número 3 se le llama antecedente y al número 2 consecuente. 2 2. Un automóvil de carreras viaja a 200 km por hora y un avión comercial viaja a 1 000 km por hora. Si ambos tienen rapidez constante, ¿cuántas veces es más rápido el avión que el automó- vil de carreras? a ) 4 veces b ) 5 veces c ) 6 veces d ) 7 veces Solución: Las unidades de las velocidades son semejantes, entonces se establece la razón para determinar cuántas veces es más rápido el avión que el automóvil. 1000 km h km = 5 veces h 200 Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

Guía para el examen global de conocimientos 179 3. En horas normales, el Metro de la Ciudad de México viaja a 70 km y un automóvil recorre 150 h metros en 5 segundos. Si ambos tienen rapidez constante, ¿cuántas veces es más rápido el au- tomóvil que el Metro? a ) 3.5 veces b ) 2.5 veces c ) 1.5 veces d ) 0.5 veces Solución: Se transforman las velocidades a las mismas unidades, entonces: Para el Metro: 70 km 1h = 70 km — 1h s — 1000 m = 70 1000 m = 70 000 m = 19.4 m 1h 3600 1 km 3600 seg 3600 s s Para el automóvil: 150 m = 30 m 5s s Entonces, las veces que el automóvil es más rápido que el Metro es: 30 m s = 1.5 veces m 19.4 s Por tanto, la opción correcta es el inciso c. W Proporción Es la igualdad de 2 razones. m  p o m:n::p:q Se lee: n q Donde: m es a n como p es a q. m y q se llaman extremos, n y q medios. Proporción directa o regla de tres directa. Una proporción es directa si al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Definición: Si m es a n como p es a q, entonces m  p n q

180 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 1. El valor de A varía en proporción directa con B, cuando A = 12, B = 36. ¿Cuál será el valor de A si B = 21? a ) 21 b ) 14 c) 7 d) 1 Solución: Se establece la proporción directa: 12 es a 36 como A es a 21, la cual se resuelve: 12  A n A= 12 21 = 252 =7 36 21 36 36 Esto es, cuando B = 21, A = 7, por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. Una docena de computadoras se venden en $ 96 000. ¿Cuál es el valor de 8 computadoras? a ) $32 000 b ) $ 48 000 c ) $ 56 000 d ) $ 64 000 Solución: Se establece la proporción directa. Precio Computadoras 96 000 12 x 8 Se lee: 96 000 es a 12 como x es a 8, entonces: 96 000 12  x n x = 8 96 000 = 768 000 = 64 000 8 12 12 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. Para recolectar el maíz de una cosecha se utiliza una de dos recolectoras de grano, la primera tarda 3 días en levantar la cosecha y la segunda 4 días. ¿Cuántos días tardarían en levantar la cosecha si se trabaja con las dos recolectoras? a ) 1.7 días b ) 2.2 días c ) 3.5 días d ) 5 días Solución: En un día la primera recolectora cosecha 1 y la segunda recolectora cosecha 1 del total, la 3 4 suma de ambas representa la parte que han cosechado ambas recolectoras en un día. 1 1 = 4 3 = 7 3 4 12 12

Guía para el examen global de conocimientos 181 La fracción 7 indica que las dos recolectoras cosechan 7 partes de 12 en un día, entonces la 12 proporción resultante es: 7 es a un día como 12 es a x días. 7  12 n x= 12 1 = 12 = 1.7 días 1 x 7 7 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 4. Un contenedor de agua es llenado por una de 2 llaves, la primera lo llena en 1 h y la segunda tarda media hora. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el contenedor las 2 llaves si éste se en- cuentra vacío? a ) 10 min b ) 15 min c ) 20 min d ) 25 min Solución: La primera llave tarda 60 min en llenar el contenedor y la segunda 30 min, entonces las 2 llaves lo llenarán en un minuto. 1 1 = 1 2 = 3 60 30 60 60 La fracción 3 indica que las 2 llaves llenan 3 partes de 60 en un minuto, entonces: 60 3  60 n x= 60 1 = 60 = 20 min 1 x 3 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. Proporción inversa o regla de tres inversa. Una proporción es inversa si al aumentar una de las canti- dades, la otra disminuye en proporción inversa. Definición: Si a es a b como c es a d, entonces a — b = c — d Ejemplos 1. El valor de Q varía en proporción inversa con M, cuando Q = 18, M = 8. ¿Cuál es el valor de Q si M = 16? a ) 9 b ) 12 c ) 15 d ) 18 Solución: Se establece la proporción inversa: 18 es a 8 como Q es a 16, entonces: (18)(8) = 16Q n Q= 18 8 = 144 =9 16 16 Por tanto, la opción correcta es el inciso a.

182 Colegio Nacional de Matemáticas 2. Dos camionetas de carga transportan cierto producto de una ciudad a otra en 6 días. ¿Cuántos días se tardarán en transportar el mismo producto 3 camionetas? a ) 1 día b ) 3 días c ) 4 días d ) 9 días Solución: Entre más camionetas se utilicen para transportar el producto, el número de días será menor, por tanto, se trata de una proporción inversa, se establece la proporción. # Camionetas Días 26 3x Se lee: 2 es a 6 como 3 es a x, entonces: (2)(6) = 3x n x= 2 6 = 12 = 4 días 3 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 3. Se tienen 40 bolsas de dulces de 150 g, con la misma cantidad de dulces se desean obtener bolsas de 250 g. ¿Cuántas bolsas se obtendrán? a ) 8 bolsas b ) 12 bolsas c ) 18 bolsas d ) 24 bolsas Solución: La proporción es inversa, ya que aumentan los gramos, pero el número de bolsas que se obtie- nen disminuye. Se establece la proporción: # Bolsas Gramos 40 150 x 250 Se lee: 40 es a 150 como x es a 250, entonces: (40)(150) = 250x n x = 40 150 = 6000 = 24 bolsas 250 250 Por tanto, la opción correcta es el inciso d.

Guía para el examen global de conocimientos 183 Tanto por ciento La expresión tanto por ciento significa que de una cantidad dividida en 100 partes se toma un número determinado. El tanto por ciento se representa de la siguiente manera: a) Mediante el símbolo %. b) Como una fracción cuyo denominador será 100. W Representación del tanto por ciento como fracción El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplos 1. La fracción de 24% es: a) 6 b) 12 c) 18 d) 3 25 25 25 5 Solución: 24% = 24 = 6 100 25 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 2. La fracción de 75% es: a) 4 b) 1 c) 5 d) 3 3 4 4 4 Solución: 75% = 75 = 3 100 4 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. W Representación de una fracción común como porcentaje La fracción común se multiplica por 100 y se resuelve la operación, el resultado será el porcentaje.

184 Colegio Nacional de Matemáticas Ejemplos 1. La fracción 1 en porcentaje es: 5 a ) 20% b ) 40% c ) 60% d ) 80% d ) 82.5% Solución: 1 (100%) = 100% = 20% 5 5 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 2. El porcentaje que representa la fracción 5 es: 8 a ) 22.5% b ) 42.5% c ) 62.5% Solución: 5 (100%) = 500% = 62.5% 88 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. Ejemplos W Problemas de aplicación 1. 15% de 2 430 es: a ) 346.50 b ) 36.450 c ) 364.50 d ) 34.650 Solución: 2 430 es el 100%, como una cantidad x es el 15%, entonces: n 2430  x 15 2430 = 36 450 = 364.50 100 15 x= 100 100 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. Al adquirir un pantalón de mezclilla una tienda de ropa aplica un descuento de 12% sobre el precio de venta. Si el precio de venta de cada pantalón es de $435, ¿cuánto se paga al momento de adquirirlo? a ) $52.20 b ) $234.60 c ) $300. 20 d ) $382.80

Guía para el examen global de conocimientos 185 Solución: El precio de cada pantalón es el 100% y al momento de adquirirlo se paga sólo el 88%, entonces: 435  x n x = 88 435 = 38280 = $382.80 100 88 100 100 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. Al vender una computadora en $ 5500, se le gana 16% sobre su costo. ¿Cuál es el costo de la computadora? a ) $4260.37 b ) $4620 c ) $4741.37 d ) $4983.45 Solución: El costo de la computadora es 100%, al momento de venderla se le gana 16%, entonces los $ 5 500 representan 116%, con estos datos se establece una regla de tres. 5500  x n x = 5500 100 = $4741.37 116 100 116 El costo de la computadora es de $ 4741.37, por tanto, la opción correcta es el inciso c. 4. Se ponen a la venta 1200 libros de matemáticas, de los que sólo se vendieron 875. ¿Qué porcen- taje del total se vendió? a ) 72.9% b ) 79.2% c ) 97.2% d ) 92.7% Solución: Los 1 200 libros representan 100%, y los 875 representan x%, entonces: 1200  875 n x = 100 875 = 72.9% 100 x 1200 Se vendió 72.9% del total, por tanto, la opción correcta es el inciso a.