1.3_Θεωρία _Μεθοδολογία στην πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων. 2020

ΓρηφγροόντιρστήιροιαςΘΔετ.ικΚέςαΣρππουοδύέςζας Καθηγητής Μαθηματικών Πολυώνυμα Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων Γ΄ Γυμνασίου ενότητα 1.3 Θεωρία - Μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 1

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Τι θα μάθουμε σ΄αυτή την ενότητα; 1. Τι λέμε πολυώνυμο; 2. Τι λέμε όρο ενός πολυωνύμου; 3. Πότε ένα πολυώνυμο λέγεται διώνυμο και πότε τριώνυμο; 4. Τι λέμε βαθμό ενός πολυωνύμου; 5. Τι λέμε σταθερό πολυώνυμο και τι βαθμό έχει; 6. Τι λέμε μηδενικό πολυώνυμο και τι βαθμό έχει; 7. Πότε ένα πολυώνυμο λέμε ότι είναι γραμμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις; 8. Τι λέμε αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου Ρ(x) για x = α; 9. Πότε δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα; 10. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 11. Πώς προσθέτουμε πολυώνυμα; 12. Πώς αφαιρούμε πολυώνυμα : Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 2

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Θεωρία - Μεθοδολογία 1. Μαθαίνω για τα πολυώνυμα. 1.Α. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο ; Απάντηση : ➢ Πολυώνυμο ονομάζουμε μία αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από άθροισμα μονωνύμων, τα οποία δεν είναι όμοια μεταξύ τους. ➢ Κάθε αριθμός ονομάζεται σταθερό πολυώνυμο , ενώ το μηδέν ονομάζεται μηδενικό πολυώνυμο. Παράδειγμα : Να εξετάσετε αν η παράσταση 2x2y3 − 3xy4 + 12x4y2 είναι πολυώνυμο Λύση : Είναι πολυώνυμο αφού αποτελείται από μονώνυμα τα οποία δεν είναι όμοια μεταξύ τους Άσκηση 1: Να βρείτε ποιες από τις iii. 1 x3 − 2αx2 1.Β αλγεβρικές παραστάσεις α είναι πολυώνυμα: iv. x2y − xy−2 + 5xy i. 3x2y − 3xy + 5xy2 ii. 3x2 − x2y + 5 xy2 Τι ονομάζουμε όρους ενός πολυωνύμου ; Απάντηση : ➢ Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου ➢ Ειδικότερα ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται: o διώνυμο, αν έχει δύο όρους για παράδειγμα το 3x4y2 − 2xy2 o τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους για παράδειγμα το 3xy2 + x2y2 − xy + x3 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 3

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Παράδειγμα : Στο πολυώνυμο 2x2y3 − xy2 + x2yποιοι είναι οι όροι του Λύση : Οι όροι του είναι τρεις . Είναι : το μονώνυμο 2x2y3 , το μονώνυμο xy2 και το x2y Άσκηση 1: Να βρεθούν οι όροι των πολυωνύμων i. 5x2y − 2x2y2 + x3y ii. x2y3 − 2x2y5 + x4y2 v. 2x3y3 + 4x4y5 + x2y2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 4

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές 2. Μαθαίνω για το βαθμό ενός πολυωνύμου 1. Τι ονομάζουμε βαθμό ενός πολυωνύμου; Απόδειξη: ➢ Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή του, είναι ο μεγα- λύτερος από τους εκθέτες της μεταβλητής αυτής. ➢ Βαθμός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές είναι το μεγαλύτερο άθροισμα των εκθετών σε κάθε όρο του πολυωνύμου. ➢ Ο βαθμός ενός σταθερού πολυωνύμου είναι μηδέν. ➢ Δεν ορίζεται ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου. Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου 2x2y3 − xy2 + x2y α) ως προς x β) ως προς y γ) ως x,y Λύση : α) ως προς x ο βαθμός είναι 2 β) ως προς y ο βαθμός είναι 3 γ) ως x,y ο βαθμός είναι 5 Άσκηση 1: Να βρεθούν οι βαθμοί των πολυωνύμων Άσκηση 2: i. 5x2y − 2x2y2 + x3y ii. x2y3 − 2x2y5 + x4y2 iii. 2x3y3 + 4x4y5 + x2y2 Ως προς i) x ii) y iii) x& y Να βρεθεί ο βαθμός των πολυωνύμων : P(x) = αx4 + 2x3 − 2x και Q(x) = (β − 1)x5 − 3x2 + 4x Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 5

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές 3. Μαθαίνω για τα πολυώνυμα ως προς x 3.A. Τι ονομάζουμε πολυώνυμα του x; Απάντηση : ➢ Όταν ένα πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή ( για παράδειγμα τη x ) συμβολίζεται για συντομία με P(x) ή Q(x) ή…. Για παράδειγμα P(x) = 4x3 − 2x4 + 2x − 3 ➢ Αν έχουμε ένα πολυώνυμο του x και οι εκθέτες του x ξεκινούν από τον μεγαλύτερο και όσο προχωράμε φθίνουν τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x . Για παράδειγμα P(x) = 4x5 − 2x4 + 2x3 − 3x2 + 2x − 1 ➢ Ένα πολυώνυμο στο οποίο λείπει κάποιος ή κάποιοι όροι του μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου, το λέμε ελλιπές πολυώνυμο. Για παράδειγμα P(x) = 4x5 + 2x3 − 3x2 + 1 ➢ Αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου P(x) για x =ρ ονομάζουμε τον αριθμό που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στο πολυώνυμο όπου x =ρ και κάνουμε τις σημειούμενες πράξεις. Για παράδειγμα P(x) = 4x5 + 2x3 − 3x2 + 1 για x = −1 μας δίνει αριθμητική τιμή την P(−1) = 4(−1)5 + 2(−1)3 − 3(−1)2 + 1 = −4 − 2 − 3 + 1 = −8 ➢ Ρίζα ενός πολυωνύμου ονομάζουμε τον αριθμό που μας δίνει αριθμητική τιμή ίση με μηδέν Για παράδειγμα το P(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 έχει ρίζα το x = 1 αφού για x = 1 μας δίνει αριθμητική τιμή την P(1) = 13 − 312 + 31− 1 = 0 ➢ Ίσα πολυώνυμα λέγονται αυτά που έχουν τους ομοβάθμιους όρους ίσα μονώνυμα Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 6

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Για παράδειγμα το P(x) = x3 − 3x2 + 5x − 1 για να είναι ίσο με το Q(x) = x3 + αx2 +βx − 1 πρέπει να ισχύει α= −3, β = 5, ενώ δεν θα μπορούσε να είναι ίσο π.χ. με το k(x) = x3 − 3x2 + 5x + 1 Άσκηση 1 : Να βρεθούν οι τιμές των πολυωνύμων για x = −1, y = 2 Άσκηση 2 : Άσκηση 3: i. 5x2y − 2x2y2 + x3y Άσκηση 4: ii. x2y3 − 2x2y5 + x4y2 iii. 2x3y3 + 4x4y5 + x2y2 Για τα πολυώνυμα να βρεθούν οι τιμές τους στο -1 i. P(x) = 3x2 − 4x6 + 2x −6x3 ii. Q(x) = 5x3 − 7x2 + 2x4 + 8x6 Να γραφούν κατά τις φθίνουσες δυνάμεις τα πολυώνυμα και να βρεθεί ο βαθμός τους. i. P(x) = 3x2 − 4x6 + 2x −6x3 ii. Q(x) = 5x3 − 7x2 + 2x4 + 8x6 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = 3x2 − 4x6 + 2x5 . Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A = 2P(−1) +P(2) Άσκηση 5: Δίνεται το πολυώνυμο : Άσκηση 6: P(x) = 2x4 − 2x2 + 3x3 − x2 + x3 + 2x4 − 2x i. Να βρεθεί ο βαθμός του ii. Να βρεθούν οι τιμές P(0), P ( −1) , P  1  2  Να βρείτε τα α,β,γ ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυμα : P(x) = (α− 1)x3 + (2β − 4)x2 − 3x + 2 και Q(x) = 5x3 + 6x2 − 3γx + 2 Άσκηση 8: Να βρείτε τα α,β,γ ώστε για το πολυώνυμο : Άσκηση 9: P(x) = (α− 1)x3 + (2β − 4)x2 − 3γ + 2 να είναι i. Σταθερό πολυώνυμο , Μηδενικό πολυώνυμο ii. Ίσο με το Q(x) = 2x3 − 4x Να βρείτε τα α,β,γ ώστε για το πολυώνυμο : P(x) = (α+ 21)x3 + (β − 4)x2 − 4γ + 10 να είναι i. Σταθερό πολυώνυμο ii. Μηδενικό πολυώνυμο iii. Ίσο με το Q(x) = 2x3 − 10 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 7

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Άσκηση 10: Το P(x) είναι το πολυώνυμο που πρέπει να προσθέσουμε στο x3 + 3x2 − 4x + 2 ώστε να βρούμε το 5x3 −6x2 + 2x − 1.Να βρεθούν : i. το P(x) ii. τα P(−1), P(2) ( )iii. τα P(2x), P x2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 8

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές 4. Μαθαίνω για την αναγωγή ομοίων όρων 4. Τι ονομάζουμε αναγωγή ομοίων όρων ; Μέθοδος : Η διαδικασία που κάνουμε σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαθιστώντας τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων Παράδειγμα Να γίνει αναγωγή ομοίων όρων στις κάτωθι αλγεβρικές παραστάσεις Λύση : i) 24α − (13α − 8β + 2γ) − (9α + 12β − 3γ) ii) 11x − (5x + 3y) − 5y − (4x − 5y) ( ) ( ) ( )iii) 4α4 − 5β2γ3 + γ2  − 7γ2 − β − 2β2γ3  − γ2 +β i) 24α− (13α−8β + 2γ) − (9α+ 12β − 3γ) = ( βγάζουμε τις παρενθέσεις μέσα στις αγκύλες και έχουμε ) 24α− (13α−8β + 2γ −9α− 12β + 3γ) = 24α− 13α+8β −2γ +9α+ 12β − 3γ = σημειώνουμε τα όμοια μονώνυμα και κάνω το άθροισμά τους 24α− 13α+ 8β − 2γ + 9α+ 12β − 3γ = 20α+ 20β − 3γ ii) 11x − (5x + 3y) − 5y − (4x − 5y) =11x − (5x + 3y − 5y − 4x + 5y) = 11x − 5x − 3y + 5y + 4x − 5y =11x − 5x − 3y + 5y + 4x − 5y =10x − 3y ( ) ( ) ( )iii) 4α4 − 5β2γ3 + γ2  − 7γ2 − β − 2β2γ3  − γ2 +β = ( ) ( ) ( )4α4 − 5β2γ3 − γ2 − 7γ2 −β + 2β2γ3 − γ2 +β = 4α4 − 5β2γ3 − γ2 − 7γ2 + β − 2β2γ3 − γ2 − β = 4α4 − 7β2γ3 − 9γ2 Άσκηση 1: Να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων στις παραστάσεις : Άσκηση 2: α) -2χ+4χ-5χ+3χ-5+8χ-8χ+2 β) αβ+3αβ-5αβ+2αβ-5αβ+7αβ+2α-8αβ-9α γ) χ-3χψ+2χ-6χψ+2χ-6χ+9χ δ) 2χ+14χ+5χ+23χ-58χ+8χ+2χ Να κάνετε αναγωγή ομοίων όρων στις παραστάσεις: α) (2χ-3ψ+2)-(-4χ-6ψ+3)-7χ β) -(-9χ+2ψ+5χ)-7χ-9ψ+3-(-5χ+9ψ-7) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 9

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Άσκηση 3: γ) 3χ+(-5χ+χ-6ψ+7χ)-2(χ-ψ+χ)-(-2χ+4χ) Άσκηση 4: δ) 4(α-αβ+2αβ-3α)-(-2α+2αβ)+3α-2 Άσκηση 5: Να κάνετε τις πράξεις Άσκηση 6: i. 3α – 5β + 2α - β ii. χ 2 + χ − 2 + 3χ − 1 iii. 1 χ2ψ − χψ + χψ2 − 2 χ2ψ − 1 χψ2 + χψ + 1 5 32 iv. − κ − λ + 2κ − λ + κ 23 3 v. χ2 − χψ−ψχ +ψ2 − χ2 vi. 2 − 3χ + χ2 +5χ − 3 + 7χ2 vii. α3 − α2β + αβ2 − 2α2β + 2αβ2 −β3 Αν α + β = -3 , β + γ = 2 και γ +α = 1 να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α = β – (α – γ) – (2α - β) + 4α Β = α – [β – (α – β) – (β – γ)] + 2β + 2γ Γ = 2β + γ – {- α -[-β – (-γ)]} Δ = 2α + 2β + 2γ Έστω α= -2χ + ψ + ω , β = χ – 2ψ + ω , γ = χ + ψ – 2ω. α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α + β + γ β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (2α – β) + (2β – γ) + (2γ – α). γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης (α + 2χ) – (β + 2ψ) + (γ + 2ω) – 2ψ. Αν το άθροισμα των α και β είναι ίσο με 5 , να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: A = −(2α+β + 3 − γ) − −α− (2β − γ) − 1 + 3 + 2α Β = α− 2α+ 5 +β − (3β − α) + 3α−β Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 10

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές 5. Μαθαίνω για την πρόσθεση –αφαίρεση πολυωνύμων Για την πρόσθεση και την αφαίρεση πολυωνύμων χρειάζεται να θυμηθούμε τον κανόνα της απαλοιφής παρενθέσεων: ● αν η παρένθεση έχει μπροστά της θετικό πρόσημο, τότε τη βγάζουμε και στη θέση της ξαναγράφουμε όλους τους αριθμούς με το ίδιο ακριβώς πρόσημο. ● αν η παρένθεση έχει μπροστά της αρνητικό πρόσημο, τότε τη βγάζουμε και στη θέση της ξαναγράφουμε όλους τους αριθμούς αλλά με αντίθετο πρόσημο. 5. Πως γίνεται η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων; Απάντηση : Για την πρόσθεση πολυωνύμων βγάζουμε τις παρενθέσεις χωρίς ν’ αλλάξουμε τίποτε και, στη συνέχεια, κάνουμε απλώς αυτό που, νωρίτερα, μάθαμε ως «αναγωγή ομοίων όρων». Δηλαδή, ξεχωρίζουμε και προσθέτουμε μονάχα τα μονώνυμα εκείνα που είναι μεταξύ τους όμοια. Για την αφαίρεση, η μόνη δυσκολία είναι η αλλαγή μερικών προσήμων. Ας δούμε απλά ένα παράδειγμα: Βγάζουμε την παρένθεση 6αβ – 10α2 + β3 – (7α2 – 25αβ + β3) = και αλλάζουμε τα πρόσημα 6αβ – 10α2 + β3 – 7α2 + 25αβ – β3 = Υπογραμμίζουμε τα όμοια –31αβ – 17α2 + 0β3 = Αναγωγή ομοίων όρων –31αβ – 17α2 Παράδειγμα Να γίνει η πρόσθεση και η αφαίρεση των πολυωνύμων Α(x) = 3x3 – 2x2 – 7x - 5 και Β (x) = 2x3 - x2 + x Λύση : Α(x) + Β(x) = (3x3 – 2x2 – 7x - 5) + (2x3 -x 2 +x) = = 3x3 – 2x2 – 7x - 5 + 2x3 -x 2 + x = = 5x3 – 3x2 – 6x - 5. Ομοίως, έχουμε: Α(x) - Β(x) = (3x3 – 2x2 – 7x - 5) - (2x3 -x 2 + x) = = 3x3 – 2x2 – 7x - 5 – 2x3 +x 2 -x = x3 - x2 – 8x – 5 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 11

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Άσκηση 1 : Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = x3 + 2x2 − 3x + 1 και Άσκηση 2 : Q(x) = 3x3 − 2x2 + 4x + 3. Να βρεθούν τα : i. P(x) −Q(x) ii. 3P(x) − 2Q(x) iii. 3P(3x) − 2Q(−x) Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = 2x2 − 3x + 1 και Q(x) = −2x2 + 4x + 3. Να βρεθούν τα : i. P(x) + Q(x) ii. P(x) −2Q(x) iii. 2P(x) + 3Q(x) iv. P(2x) + Q(−x) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 12

φροντιστήρια Θετικές Σπουδές Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – Καθηγητής Μαθηματικών 13