8_Ακρότατα_Θεωρία Μεθοδολογία2022

Ακρότατα φροντιστήρια ΓρηγόριοςΑρχικές έννοιες Δ. ΚαΘερτικπέςοΣπύοζυδαέςς Καθηγητής Μαθηματικών Ακρότατα συνάρτησης Αρχικές έννοιες συναρτήσεων ενότητα 8 Θεωρία - μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 163

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.A.1. Θεωρία Να διατυπώνεις τον ορισμό του μεγίστου και του ελαχίστου . 8.A.2. Ορισμοί τοπικών ακροτάτων 8.Α.3. Να μπορείς να αποδεικνύεις με τον ορισμό ότι ένας αριθμός είναι ολικό ακρότατο μιας συνάρτησης . 8.Α.4 Να ξέρεις τα ακρότατα των βασικών συναρτήσεων Κατηγορίες Ασκήσεων στα Ακρότατα Συνάρτησης 8.B. Να ξέρεις να βρίσκεις τα ακρότατα της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της . 8.Γ Εύρεση ακροτάτων σε κλειστό διάστημα με τη βοήθεια της μονοτονίας 8.Δ. Εύρεση ακροτάτων με τη βοήθεια του συνόλου τιμών. 8.Ε. Εύρεση ακροτάτων με τη βοήθεια γραφικής παράστασης. 8.Ζ. Εξίσωση της μορφής f(x) =k ή f(g(x)) =k , όταν το k είναι το ακρότατο μόνο στη θέση xo . 8.Η. Εύρεση παραμέτρων. 8.Θ. Ακρότατα από συναρτησιακές σχέσεις. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 164

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Α. Μαθαίνω πως ορίζονται τα ακρότατα μιας συνάρτησης Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αυτό που θα ψάξουμε είναι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης καθώς το διατρέχει το πεδίο ορισμού Α. Δηλαδή να βρούμε αν υπάρχει o κάποιο xo A ώστε η τιμή f(xo ) να είναι η μεγαλύτερη όλων των υπολοίπων ( ολικό μέγιστο το οποίο συμβολίζεται με maxf(x) ) και o κάποιο x1 A ώστε η τιμή f(x1 ) να είναι η μικρότερη όλων των υπολοίπων (ολικό ελάχιστο το οποίο συμβολίζεται με minf(x) ) . 8.A.1. Να διατυπώνεις τον ορισμό του μεγίστου και του ελαχίστου . Ορισμός : Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: o Παρουσιάζει στο x0 A (ολικό) μέγιστο, το f(xo) , όταν f(x)  f(x0) για κάθε xA (Σχήμα .α) y f (x0) f (x) x O x x0 (α) C f o Παρουσιάζει στο x0 A (ολικό) ελάχιστο, το f(xo) , όταν f(x)  f(x0) για κάθε xA (Σχήμα β). y f (x) Cf f (x0) x O x0 x (β) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 165

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Υπάρχουν συναρτήσεις παρουσιάζουν o μόνο μέγιστο, (σχήμα 3) o άλλες μόνο ελάχιστο, ( σχήμα 2) o άλλες και μέγιστο και ελάχιστο (σχήμα 1) και o άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.( σχήμα 4) o Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f. Βασική παρατήρηση o Αν έχουμε μία ανισότητα της μορφής f (x)  k δε σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το k. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει το k να είναι τιμή της συνάρτησης για κάποιο xo A Δηλαδή να συμβαίνει f (x)  f (x0 ) = k με xo A o Αν έχουμε μία ανισότητα της μορφής f (x)  k δε σημαίνει ότι η f παρουσιάζει μέγιστο το k. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει το k να είναι τιμή της συνάρτησης για κάποιο xo A Δηλαδή να συμβαίνει f (x)  f (x0 ) = k με xo A Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 166

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.A.2. Ορισμοί τοπικών ακροτάτων Ορισμοί : Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο x0 A τοπικό μέγιστο, το f(xo) , όταν υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε f(x)  f(x0) για κάθε xA (xo − δ,xo + δ) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο x0 A τοπικό ελάχιστο, το f(xo) , όταν υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε f(x)  f(x0) για κάθε xA (xo − δ,xo + δ) o Στο σχήμα (α) ➢ Στη θέση x1 το μέγιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. ➢ Στη θέση x2 το ελάχιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. ➢ Στη θέση x3 το μέγιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. ➢ Στη θέση x4 το ελάχιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. o Στο σχήμα (β) ➢ Στη θέση α το ελάχιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. ➢ Στη θέση x1 το μέγιστο είναι τοπικό , αλλά και ολικό. ➢ Στη θέση x2 το ελάχιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 167

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ Στη θέση x3 το μέγιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. ➢ Στη θέση x4 το ελάχιστο είναι τοπικό , αλλά και ολικό ➢ Στη θέση β το μέγιστο είναι τοπικό , αλλά δεν είναι ολικό. Ειδικές περιπτώσεις ακροτάτων Έστω μία συνάρτηση f : Δ → Αν γνωρίζω ότι Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε η f παρουσιάζει: είναι γνησίως o Ελάχιστο στο xo = α το f (xo ) = f (α) αύξουσα: o Μέγιστο στο xo = β το f(xo ) = f(β) o Δες σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Αν γνωρίζω ότι Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ τότε η f παρουσιάζει: είναι γνησίως o Ελάχιστο στο xo = β το f(xo ) = f(β) φθίνουσα: o Μέγιστο στο xo = α το f (xo ) = f (α) o Δες σχήμα 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 168

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Αν γνωρίζω το Έστω μία συνάρτηση f : Α → με σύνολο τιμών f (A) . σύνολο τιμών: o Αν f(A) =m,M , τότε έχει ελάχιστο m και μέγιστο Μ. Λύνουμε τις εξισώσεις f (x) = m με άγνωστο το xΑf και την f (x) = M και βρίσκουμε και τις «θέσεις» των ακροτάτων o Αν f (A) = (m,M , τότε έχει μέγιστο Μ και δεν έχει ελάχιστο. o Αν f (A) = m,M) , τότε έχει ελάχιστο m και δεν έχει μέγιστο. o Αν f (A) = (m,M) , τότε δεν έχει ελάχιστο και δεν έχει μέγιστο. o Αν αυτό είναι της μορφής f (A) = m,+ ) το m είναι το ελάχιστο ( βρίσκουμε τη θέση που παρουσιάζεται ) ενώ μέγιστο δεν υπάρχει . o Αν αυτό είναι της μορφής f (A) = (m,+ ) το m δεν είναι ελάχιστο.( Η f δεν παίρνει την τιμή m) o Αν αυτό είναι της μορφής f(A) = (−,Μ το Μ είναι το μέγιστο ( βρίσκουμε και τη θέση που παρουσιάζεται ) ενώ ελάχιστο δεν υπάρχει . o Αν αυτό είναι της μορφής f (A) = (−,Μ) το Μ δεν είναι μέγιστο. ( Η f δεν παίρνει την τιμή Μ) o Αν f (A) = , τότε δεν έχει ελάχιστο και δεν έχει μέγιστο . o Αν f(A) =c σταθερή συνάρτηση , τότε το ελάχιστο m και το μέγιστο Μ ταυτίζονται( δηλαδή m=M) . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 169

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Αν η Έστω μία συνάρτηση f : (α,β) → μονοτονία αλλάζει: Αν η f1(α,xo  και f2xo,β) τότε η f παρουσιάζει μέγιστο για x = xo και ισούται με f(xo ) .( Δες σχήμα 1) Η εξήγηση είναι η εξής: o Αφού η f1(α,xo  θα ισχύει ότι για κάθε x  xo f(x)  f(xo ) και αφού η f2xo,β) θα ισχύει ότι για κάθε x  xo f(x)  f(xo ) o Επομένως για κάθε x(α,β) ισχύει ότι f(x)  f(xo ) , άρα η f παρουσιάζει μέγιστο. Σχήμα 1 Σχήμα 2 Αν η f2(α,xo  και f1xo,β) τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο για x = xo και ισούται με f(xo ) .( Δες σχήμα 2) Η εξήγηση είναι η εξής: o Αφού η f2(α,xo  θα ισχύει ότι για κάθε x  xo f(x)  f(xo ) και αφού η f1xo,β) θα ισχύει ότι για κάθε x  xo f(x)  f(xo ) o Επομένως για κάθε x(α,β) ισχύει ότι f(x)  f(xo ) , άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 170

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Aν το μέγιστο Αν μία συνάρτηση f : Α → έχει μέγιστο στο xo τον αρνητικό μιας συνάρτησης αριθμό f(xo ) , τότε προφανώς ισχύει f(x)  f (xo )  0 , άρα είναι f(x)  0 xΑ ( Δες σχήμα 1) αρνητικός αριθμός τότε: Σχήμα 1 Αν το ελάχιστο Αν μία συνάρτηση f : Α → έχει ελάχιστο στο xo τον θετικό μιας συνάρτησης αριθμό f(xo ) , τότε προφανώς ισχύει f(x)  f (xo )  0 , άρα είναι θετικός f(x)  0 xΑ ( Δες σχήμα 2) αριθμός τότε : Σχήμα 2 Αν έχω άρτια Έστω f : Α → , όπου Α συμμετρικό διάστημα ως προς το 0. συνάρτηση : Αν η f έχει ελάχιστο στο xo A το f(xo ) ,τότε θα έχει ελάχιστο στο −xo το f(−xo ) = f(xo ) Δηλαδή για δύο θέσεις συμμετρικές ως προς το (0,0) έχει το ίδιο μέγιστο. ( δες σχήμα 1) Αντίστοιχα ισχύουν για το μέγιστο. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 171

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Αν έχω Αν η f έχει ελάχιστο στο xo A το f(xo ) ,τότε θα έχει μέγιστο περιττή στο −xo το f(−xo ) = −f(xo ) συνάρτηση : Δηλαδή για δύο θέσεις συμμετρικές ως προς το (0,0) έχει αντίθετα ακρότατα. ( δες σχήμα 2) Αντίστοιχα ισχύουν για το μέγιστο. Σχήμα 1 Σχήμα 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 172

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Α.3. Να μπορείτε να αποδεικνύεται με τον ορισμό ότι ένας αριθμός είναι ολικό ακρότατο μιας συνάρτησης . Παράδειγμα : Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ex + e−x . Να δείξετε ότι f (x)  1, 2 x και να εξετάσετε αν το 1 είναι ελάχιστη τιμή της f. Λύση : f (x)  1  ex + e−x  1  ex + e−x  2  ex + 1 2 το οποίο 2 ex ( )e2x + 1  2ex  e2x − 2ex + 1  0  ex − 1 2  0 ισχύει Εξετάζω αν υπάρχει xo ώστε να ισχύει f (xo ) = 1 f(x) = 1 ex + e−x = 1  ex + e−x = 2  ex + 1 =2  2 ex ( )e2x + 1 = 2ex  e2x − 2ex + 1 = 0  ex − 1 2 = 0  ex = 1  x = 0 Άρα για x=0 παρουσιάζει ελάχιστο το f (0) = 1 Άσκηση 1 : i. Να βρεθούν τα ακρότατα ii. Να δείξετε ότι −1 f(x)  3, x−2,2 iii. Να δείξετε ότι f(α) − f(β)  4 αν α,β−2,2 iv. Να λύσετε: α) την εξίσωση f(x) = −1 Β) την ανίσωση f(x)  −1 Άσκηση 2 : Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 −1 x2 +1 i. Να δείξετε ότι −1 f(x)  1,x ii. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί -1 και 1 είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 173

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 3 : Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x Άσκηση 4: x2 + 1 i. Να δείξετε ότι είναι περιττή ii. Να δείξετε ότι έχει μέγιστο ίσο με 1 όταν x=1 και να δείξετε ότι έχει και ελάχιστο το οποίο και να βρείτε. iii. Για κάθε x1,x2  , να δείξετε ότι | f (x1 ) − f (x2 )| 2 Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και f (0) = 3 .Να δείξετε ότι η συνάρτηση h ( x ) = 6f (x) έχει μέγιστη τιμή το 1 . 9+ f2 (x) Άσκηση 5: i. Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση f (x) = x2 + συν2x ισχύει Άσκηση 6: f(x) 0 . ii. Να δείξετε ότι το 0 δεν είναι ολικό ελάχιστο της f. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : 0,6 → , η οποία παρουσιάζει ελάχιστο m για κάποιο x1 A και μέγιστο Μ για κάποιο x2 A. Να δείξετε ότι : i. m f(x) M xA ii. m  2f (1) + 3f (2) + 4f (5)  M 9 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 174

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθαίνω να βρίσκω τα ακρότατα μιας συνάρτησης 8.Α.4 Να ξέρεις τα ακρότατα των βασικών συναρτήσεων Παράδειγμα 1: Να μελετήσετε αν υπάρχουν ακρότατα των βασικών συναρτήσεων f (x) = x2v ,v , f (x) = x2v+1,v , f (x) = x , f (x) =| x|, f(x) = ημx, f(x) = συνx , f(x) = εφx στο A =  \\ Κπ + π , κ  2  f (x) = σφx στο A =  \\ (x = kπ , κ ) , f (x) = αx με α>0 , α  1 , f(x) = logx στο A = (0,+) f(x) = lnx στο A = (0,+) Λύση : o H f (x) = x2v ,v , παρουσιάζει ελάχιστο για x =0 το f(0) = 0 o H f (x) = x2v+1,v δεν παρουσιάζει ακρότατα Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 175

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o H f (x) = x , παρουσιάζει ελάχιστο για x =0 το f(0) = 0 o H f(x) =|x|, παρουσιάζει ελάχιστο για x =0 το f(0) = 0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 176

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o H f(x) = ημx παρουσιάζει ελάχιστο για x = 3π το f  3π  = −1 2  2  ( και γενικά σε καθένα από τα σημεία xk = 2kπ − π , k το 2 f  2kπ − π  = −1 )  2  και μέγιστο για x= π το f  π  = 1 (και γενικά σε καθένα 2  2  από τα σημεία xk = 2kπ + π, k το f  2kπ + π  = 1 ) 2  2  o f(x) = συνx παρουσιάζει ελάχιστο για x = π το f(π) = −1 ( και γενικά σε καθένα από τα σημεία xk = 2kπ+ π, k το f (2kπ + π) = −1) και μέγιστο για x = 0,x = 2π το f(0) = f (2π) = 1 (και γενικά σε καθένα από τα σημεία x k = 2kπ, k το f (2kπ) = 1 ) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 177

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Η f(x) = εφx στο A =  \\ Κπ + π , κ  δεν παρουσιάζει 2  ακρότατα ( είναι γνησίως αύξουσα στο Α). o Η f(x) = σφx στο A =  \\ (x = kπ , κ ) , δεν παρουσιάζει ακρότατα ( είναι γνησίως φθίνουσα στο Α). o Η f (x) = αx με α>0 , α  1 και η f (x) = ex δεν παρουσιάζουν ακρότατα ( είναι γνησίως αύξουσες στο Α) επίσης η f (x) = αx με α>0 , 0 α  1 δεν παρουσιάζει ακρότατα ( είναι γνησίως φθίνουσα στο Α) o Η f(x) = logx στο A = (0,+) ή f(x) = lnx δεν παρουσιάζουν ακρότατα( είναι γνησίως αύξουσα στο Α) o Η f (x) = α x2 + βx + γ,α  0 παρουσιάζει για x = − β 2α ελάχιστο το f  − β  = − Δ  2α  4α o Η f (x) = α x2 + βx + γ,α  0 παρουσιάζει για x = − β 2α μέγιστο το f  − β  = − Δ  2α  4α ➢ παρουσιάζει για x = − β = − −6 = 3 2α 2 1 ελάχιστο το ➢ f  − β  = − Δ = −4  2α  4α Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 178

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές ➢ παρουσιάζει για x = − β = − 2  4 = 2 2α ( −1) μέγιστο το ➢ f  − β  = − Δ = 4  2α  4α Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 179

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.B. Να ξέρεις να βρίσκεις τα ακρότατα της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της . Βασικές o Χρησιμοποιούμε γνωστές ανισοταυτότητες ως ξεκίνημα και γνώσεις προσεκτικά τις πράξεις που είναι επιτρεπτές. Μέθοδος : ➢ x2v  0, ν * ( ως ισότητα ισχύει για x=0) ➢ |x| 0 ( ως ισότητα ισχύει για x=0) ➢ α2 + β2  0 ( ως ισότητα ισχύει για α=β=0) ➢ α2 + β2  2α β ( ως ισότητα ισχύει για α=β) ➢ α2 + β2  −2α β ( ως ισότητα ισχύει για α=-β) ➢ θ + 1  2 , αν θ>ο (ως ισότητα ισχύει αν θ=1) θ (ως ισότητα ισχύει αν θ=-1) ➢ θ + 1  −2 , αν θ<ο θ o Συνθετικά φτιάχνουμε ( κτίζουμε) τον τύπο της συνάρτησής μας με στόχο να προκύψει μορφή f(x)  k ή f(x)  k για κάθε xA o Λύνουμε τις εξισώσεις f (x) = k , f (x) = k και έστω x1,x2 A οι λύσεις. Οπότε έχουμε f(x)  f(x1 ) , f(x)  f(x2 ) o Συνεπώς ✓ αν f(x)  f(x1 ) ,xA η f παρουσιάζει μέγιστο το f(x1 ) ✓ αν f(x)  f(x2 ) ,xA η f παρουσιάζει ελάχιστο το f(x2 ) Παράδειγμα 1: Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = 2(x − 3)4 + 1 Μέθοδος: Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παράσταση της μορφής (αx + )β 2ν , ξεκινάμε από την προφανή ανισότητα (αx + β)2ν  0, xR και «κατασκευάζουμε» μία ανισότητα της μορφής f(x)  m ή f(x) Μ Λύση : o Έχουμε Α = και o για x ισχύει (x − 3)4  0  2(x − 3)4  0  2(x − 3)4 + 1 1  f (x)  1 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 180

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Λύνω την εξίσωση f (xο ) = 1 f (xο ) = 1  2(xo − 3)4 + 1 = 1  2(xo − 3)4 = 0  xo = 3 o Επομένως f(x)  f(3), x o Άρα η f παρουσιάζει στο x=1 ελάχιστο το f (3) = 1 Παράδειγμα 2: Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 3|x + 2| −4 Μέθοδος: Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παράσταση της μορφής Λύση : αx + β , ξεκινάμε από την προφανή ανισότητα αx + β  0, xR και «κατασκευάζουμε» μία ανισότητα της μορφής f(x)  m ή f(x) Μ o Έχουμε Α = και o για x ισχύει x + 2  0  3 x + 2  0  3 x + 2 − 4  0 − 4  f (x)  −4 o Λύνω την εξίσωση f (xο ) = −4 f (xo ) = −4  3| xo + 2| −4 = −4  3| xo + 2|= 0  xo = −2 o Επομένως f(x)  f(−2), x o Άρα η f παρουσιάζει στο x=-4 ελάχιστο το f(−2) = −4 Παράδειγμα 3: Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x − 2 − 4 Μέθοδος: Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παράσταση της μορφής αx + β , ξεκινάμε από την προφανή ανισότητα αx + β  0 και «κατασκευάζουμε» μία ανισότητα της μορφής f(x)m ή f(x)Μ Λύση : o Πρέπει x −2 0  x  2 . Άρα έχουμε Α = 2,+) και o για xΑ ισχύει x − 2  0  x − 2 − 4  0 − 4  f (x)  −4 o Λύνω την εξίσωση f (xο ) = −4  xo − 2 − 4 = −4  xo − 2 = 0  xo = 2 Επομένως f(x)  f(2), xA o Άρα η f παρουσιάζει στο x=2 ελάχιστο το f(2) = −4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 181

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 4: Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x2 − 2x + 3 Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παράσταση της μορφής αx2 + βx + γ τότε : Μέθοδος 1: 1ος τρόπος : γράφω το τριώνυμο στη μορφή αx2 + βx + γ = κ(x + λ)2 + μ και ξεκινώντας με το (x + λ)2  0 κτίζουμε τη μορφή της συνάρτησης. Μέθοδος 2: 2ος τρόπος : Ως βασική συνάρτηση έχει για x = − β ακρότατο 2α που είναι μέγιστο αν α<0 και ελάχιστο αν α>0.Το ακρότατο το βρίσκω από την τιμή f  − β  = − Δ  2α  4α Λύση : Έχουμε Α = 1ος τρόπος: o Γράφω f (x) = x2 − 2x + 3 = x2 − 2x + 1+ 2 = (x − 1)2 + 2 o Είναι (x − 1)2  0  (x − 1)2 + 2  0 + 2  f (x)  2 o Παρατηρώ ότι f(1) = 2 , άρα f(x)  2  f (x)  f (1) o Άρα η συνάρτηση για x=1 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f(1) = 2 . 2ος τρόπος o Εφόσον α=1>0 για x = − β = − −2 = 1 η συνάρτηση 2α 2 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f  − β  = f (1) = 2  2α  Παράδειγμα 5: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2 − 2 − x . Να προσδιορίσετε τα ακρότατα αν υπάρχουν. Λύση : o Πρέπει 2 − x  x  2. Δηλαδή Af = (−,2 o 2 −x 0 − 2−x 0 2− 2−x  2  f(x)2. o Λύνω την εξίσωση f (xο ) = 2  2 − 2 − xο = 2  ...  xο = 2 o Άρα f(x)  f (2) . o Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο 2 το f (2) = 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 182

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 6: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f ( x ) = 12 + x2 9 Λύση : o Είναι A = (αφού x2 + 9  0, x ) o x2  0  x2 + 9  9  x2 1 9  1  12 9  12  f (x)  12 + 9 x2 + 9 9 o Συνεπώς ισχύει f (x)  12 δηλαδή f (x)  f (0) , αφού 9 βρίσκω εύκολα ότι f (0) = 12 9 o Τελικά για x =0 παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 12 9 Παράδειγμα 7: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x2 − x , x0,4 .Προσοχή μεγάλη στο παράδειγμα. Λύση : o Έχουμε 0  x  4 (1) , άρα και 0  x2  16 (2) . Επίσης −4  −x  0 (3) Προσθέτουμε τις (2) και (3) και προκύπτει −4  x2 − x  16. o Δηλαδή «κάποιος» θα έλεγε ότι f(A) =−4,16 . o Όμως έχουμε κάνει ΛΑΘΟΣ διότι όταν προσθέτουμε κατά μέλη δεν διατηρείται η ισοδυναμία .Αυτό γίνεται αντιληπτό και από το παρακάτω γράφημα . o Η σωστή διαδικασία είναι : γράφουμε τη συνάρτηση με άλλη μορφή ώστε η μεταβλητή x να υπάρχει σε μία θέση μόνο f (x) = x2 − x = x2 − 2x 1 + 1 − 1 −  x − 1 2 − 1 . 2 4 4  2  4 Έχουμε 0 x  4  − 1  x − 1  4− 1 , άρα προκύπτει 222 0   x − 1 2  49  0 − 1   x − 1 2 − 1  49 − 1   2  4 4  2  4 4 4 − 1  f (x)  12 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 183

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Για να βρούμε τις θέσεις των ακροτάτων λύνουμε τις εξισώσεις f (x) = − 1 & f (x) = 12 και βρίσκουμε 4 f (x) = − 1  x = 1 και f (x) = 12  x = 4 , οπότε 42 − 1  f ( x )  12  f  1   f (x )  f (4) 4  2  o Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο − 1 στο 4 x = 1 και μέγιστο 12 στο x = 4 . 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 184

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 1 : εξάσκηση Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης f(x) = 1+ x + 1 Άσκηση 2 : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = 4x − 2x+1 + 1 παρουσιάζει ελάχιστο. Άσκηση 3: Να μελετήσετε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = e − ln(x2 − 6x + 10) Άσκηση 4: Να δείξετε ότι η συνάρτηση f (x) = (x − 1)2 (x + 1)4 + 2 έχει Άσκηση 5: δύο θέσεις ελαχίστου και να βρείτε το ελάχιστο. Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση f(x) = x2 + 6x + 11 Άσκηση 6: Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης f με τύπο Άσκηση 7: Άσκηση 8: f(x) = 1−3 x−3 Άσκηση 9: Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης f (x) = (ln x2 − 6x + 10) Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :  →  i. Αν η f έχει μέγιστο και η g είναι γνησίως αύξουσα , τότε gof έχει μέγιστο. ii. Αν η f έχει ελάχιστο και η g είναι γνησίως φθίνουσα , τότε gof έχει μέγιστο Αν η συνάρτηση f :  → είναι περιττή και έχει ελάχιστο , να δείξετε ότι έχει και μέγιστο. Άσκηση 10: Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 4 + x2 + 1 και g(x) = 6 x2 + 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 185

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές i. Να βρείτε το ελάχιστο της f ii. Να βρείτε το μέγιστο της g iii. Να δείξετε ότι για οποιαδήποτε α,β ισχύει ότι : 7f(α) −5g(β)  20 Άσκηση 11: Δίνεται η συνάρτηση f : → με τύπο f(x) = x2 − (2lnt)x + ln2 t −lnt, t1,e .Να βρείτε τα ακρότατα για τις διάφορες τιμές του t και να αποδείξετε ότι τα σημεία στα οποία έχει ακρότατα κινούνται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο και να προσδιορίσετε. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 186

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Γ Εύρεση ακροτάτων σε κλειστό διάστημα με τη βοήθεια της μονοτονίας Μέθοδος : Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα α,β και γνησίως μονότονη σ΄ αυτό, τότε παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα του διαστήματος . Συγκεκριμένα : o Αν α  x  β και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει f(α)  f (x)  f (β), οπότε για x =α παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f (α) και για x = β παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f (β). o Αν α  x  β και η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα θα ισχύει f(β)  f (x)  f (α), οπότε για x = β παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f (β) και για x =α παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f (α) . Παράδειγμα 1: Να μελετηθούν τα ακρότατα της f(t) = 3 − t + 1 Λύση : o Βρίσκω πεδίο ορισμού Af =−1,8( να γίνει επαλήθευση). o Μελετώ τη μονοτονία και βρίσκω πως είναι γνησίως φθίνουσα. ( Να γίνει επαλήθευση). o άρα ισχύει για κάθε tAf = −1,8 −1 t  8 συνεπώς f(−1)  f(t)  f(8) ή f(8)  f(t)  f(−1) . Τελικά λοιπόν για x = 8 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f(8) = 0 και για x = −1 παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(−1) = 3 . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 187

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 2: Να μελετηθούν τα ακρότατα της f(t) = 2x − 1, x−1,4 Λύση : o Η f είναι της μορφής f(x) = αx + β με α = 2 0 , άρα είναι γνησίως αύξουσα στο −1,4 o Οπότε η f παρουσιάζει στο x1 = −1 ελάχιστο το f(−1) = 2(−1) − 1 = −3 και o η f παρουσιάζει στο x2 = 4 μέγιστο το f (4) = 24 − 1 = 7 . Παράδειγμα 3: Να μελετηθούν τα ακρότατα της f (x) = 2 − 4 + x, x0,5 Λύση : o Εύκολα βρίσκουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,5 .( να γίνει επαλήθευση) . o Οπότε η f παρουσιάζει στο x1 =0 μέγιστο το f(0) = 2 − 4 + ο = 2 − 2 = 0 και o η f παρουσιάζει στο x2 = 5 ελάχιστο το f (5) = 2 − 4 + 5 = 2 − 9 = −1 . Άσκηση 1: Εξάσκηση Να μελετηθούν τα ακρότατα της f(t) = 2 − t − 1 Άσκηση 2: Να μελετηθούν τα ακρότατα της f(t) = −3x + 2, x−4,4 Άσκηση 3: Να μελετηθούν τα ακρότατα της f (x) = 1+ 4 + x, x−3,5 Άσκηση 4: Να μελετηθούν τα ακρότατα της f (x) = 12 − 2x − x + 2 Άσκηση 5: 2 Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = 2 + 4 − x2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 188

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Δ. Εύρεση ακροτάτων με τη βοήθεια του συνόλου τιμών. Υπενθυμίζω : Έστω μία συνάρτηση f : Α → με σύνολο τιμών f (A) . o Αν f(A) =m,M , τότε έχει ελάχιστο m και μέγιστο Μ. Λύνουμε τις εξισώσεις f (x) = m με άγνωστο το xΑf και την f (x) = M και βρίσκουμε και τις «θέσεις» των ακροτάτων o Αν f (A) = (m,M , τότε έχει μέγιστο Μ και δεν έχει ελάχιστο. o Αν f (A) = m,M) , τότε έχει ελάχιστο m και δεν έχει μέγιστο. o Αν f (A) = (m,M) , τότε δεν έχει ελάχιστο και δεν έχει μέγιστο. o Αν αυτό είναι της μορφής f (A) = m,+ ) το m είναι το ελάχιστο ( βρίσκουμε τη θέση που παρουσιάζεται ) ενώ μέγιστο δεν υπάρχει . o Αν αυτό είναι της μορφής f (A) = (m,+ ) το m δεν είναι ελάχιστο.( Η f δεν παίρνει την τιμή m) o Αν αυτό είναι της μορφής f(A) = (−,Μ το Μ είναι το μέγιστο ( βρίσκουμε και τη θέση που παρουσιάζεται ) ενώ ελάχιστο δεν υπάρχει . o Αν αυτό είναι της μορφής f (A) = (−,Μ) το Μ δεν είναι μέγιστο. ( Η f δεν παίρνει την τιμή Μ) o Αν f (A) = , τότε δεν έχει ελάχιστο και δεν έχει μέγιστο . o Αν f(A) =c σταθερή συνάρτηση , τότε το ελάχιστο m και το μέγιστο Μ ταυτίζονται( δηλαδή m=M) . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 189

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Παράδειγμα : Να μελετηθούν τα ακρότατα ( αν υπάρχουν) για κάποια συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει : i) f ( ) = −1,2) (2,6 ii) f ( ) = 2,10) iii) f ( ) = (−,1) (1,8 iv) f ( ) = (0,25,10) Λύση : i. Το σύνολο τιμών της f έχει ελάχιστο στοιχείο το -1 και μέγιστο στοιχείο το 6. Άρα υπάρχει κάποιο x1  ώστε η f στο x1 να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f (x1 ) = −1 και υπάρχει κάποιο x2  ώστε f στο x2 να παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f (x2 ) = 6 ii. Το σύνολο τιμών της f έχει ελάχιστο στοιχείο το 2. Άρα υπάρχει κάποιο x1  ώστε η f στο x1 να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f(x1 ) = 2. Όμως το σύνολο τιμών δεν έχει μέγιστο στοιχείο ( ανοιχτό στο 10) άρα η f δεν έχει ολικό μέγιστο . iii. Το σύνολο τιμών της f έχει δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Άρα η f δεν παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Όμως το σύνολο τιμών έχει μέγιστο στοιχείο το 8. Άρα υπάρχει κάποιο x1  ώστε η f στο x1 να παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(x1 ) = 8. iv. Το σύνολο τιμών της f δεν έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο στοιχείο. Άρα η f δεν έχει ολικό ελάχιστο ούτε ολικό μέγιστο. Άσκηση 1: Να μελετηθούν τα ακρότατα ( αν υπάρχουν) για κάποια Άσκηση 2: συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει : i) f ( ) = 1,2) (2,12 ii) f ( ) = −2,5) iii) f ( ) = (−,−1) (1,10 iv) f ( ) = (0,−22,9) Να βρείτε αν υπάρχουν τα ακρότατα της f αν. i) f (A) = −2,10 ii) f (A) = (−2,5 iii) f (A) = 2,12) iv) f (A) = (−1,4) v) f (A) = −2,10(11,14 vi) f (A) = (−2,57,+) vii) f(A) =2,12) (15,20 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 190

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Ε. Εύρεση ακροτάτων με τη βοήθεια γραφικής παράστασης. Υπενθυμίζω : Παρατηρούμε τα ακρότατα που φαίνονται στη γραφική Παράδειγμα : παράσταση και παρουσιάζουμε τη θέση και την τιμή τους. Δίνεται η συνάρτηση f :−1,6 → . i. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) = ln(3 − f(x)) Λύση : i. Το σημείο Α(-1,-2) είναι το χαμηλότερο της γραφικής παράστασης. Δηλαδή είναι το σημείο με τη χαμηλότερη τεταγμένη. Άρα ισχύει f(x)  f(−1), x−1,6 .Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο -1 το f (−1) = −2 Επίσης το σημείο Β(2,3) έχει την μεγαλύτερη τεταγμένη. Άρα ισχύει f(x)  f(2), x−1,6 .Επομένως η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 2 το f(2) = 3 ii. Για να ορίζεται η g πρέπει 3− f(x) 0 f(x)  3 . Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της f ισχύει f(x)  3 για τα x−1,2) (2,6. Άρα Αg =−1,2) (2,6 Άσκηση 1: Δίνεται η γραφική παράσταση της f(x) = 1 ,x 0 .Για to τυχαίο σημείο x M(x,f (x))Cf να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της απόστασης ΟΜ. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 191

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 2: Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = −x2 + 6x −6, x1,3 .Θεωρούμε τυχαίο σημείο M(x,y) της Cf .Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της απόστασης του σημείου Μ από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Άσκηση 3: Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2 − x + 2 και την ευθεία ε : y = x − 1 Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση της Cf και της ευθείας ε. Άσκηση 4: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 1 ,x  0 . Από το σημείο Μ της x γραφικής παράστασης φέρνουμε παράλληλες στους άξονες y'y, x'x που τέμνουν τον x'x στο Α και τον y'y στο Β. Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ, για το οποίο η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ γίνεται ελάχιστη. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 192

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Ζ. Εξίσωση της μορφής f(x) =k ή f(g(x)) =k , όταν το k είναι το ακρότατο μόνο στη θέση xo . μέθοδος 1 : Έστω μία συνάρτηση f : Α → η οποία μόνο στη θέση xo παρουσιάζει ακρότατο ίσο με k. Τότε ισχύουν : o f(x) = k  f(x) = f(xo )  x = xo και o f(g(x)) = k  f(g(x)) = f(xo )  g(x) = xo , g(x)A Δες παράδειγμα 1 Παράδειγμα 1 : Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 3 . x2 + 1 i. Να δείξετε ότι έχει μέγιστο μόνο για x=0. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις a) f (x) = 3 b) f (x2 − 1) = 3 c) f (3 − f (x − 1)) = 3 Λύση : i. Έχουμε πεδίο ορισμού το και ισχύει : x2  0  x2 + 1  1  1 1  1  3 1  3  f (x)  3 x2 + x2 + Λύνω την εξίσωση f (x) = 3  3 1 = 3  3x2 + 3 = 3  3x2 = 0  x2 = 0  x = 0 x2 + Δηλαδή έχουμε μοναδική θέση ακροτάτου και ισχύει ότι f(0) = 3 , οπότε f(x)  f(0), x Οπότε η f παρουσιάζει μόνο για x=0 ολικό μέγιστο το f(0) = 3 ii. Εφόσον η θέση του ακροτάτου είναι μοναδική και είναι x=0 έχουμε : a) f (x) = 3  x = 0 ( )b) f x2 − 1 = 3 x2 − 1 = 0  x2 = 1  x = 1 ή x = −1 c) f (3 − f (x − 1)) = 3  3 − f (x − 1) = 0  f (x − 1) = 3  x − 1 = 0  x = 1 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 193

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές μέθοδος 2 : Έστω μία συνάρτηση f : Α → η οποία παρουσιάζει ακρότατο ίσο με k σε περισσότερες από μια θέσεις π.χ. τις xo, x1 …. Τότε ισχύουν : o f (x) = k  x = xo ή x = x1 ή ... και o f(g(x)) = k  g(x) = xo ή g(x) = x1 ή ... , g(x)A Δες παράδειγμα 2 Παράδειγμα 2: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (x − 1)2 (x − 2)2 + 2 . Gr i. Να δείξετε ότι παρουσιάζει ελάχιστο σε δύο θέσεις διαφορετικές. ( )ii. Να λυθεί η εξίσωση f x2 − 2x + 2 = 2 Λύση : i. Παρατηρώ ότι (x − 1)2 (x − 2)2  0  (x − 1)2 (x − 2)2 + 2  2  f (x)  2 Λύνω την εξίσωση f (x) = 2  (x − 1)2 (x − 2)2 + 2 = 2  (x − 1)2 (x − 2)2 = 0  x = 1, x = 2 Οπότε ισχύει f(x)  f(1) και f(x)  f(2) Δηλαδή για x=1 παρουσιάζει ελάχιστο το 2 και για x=2 παρουσιάζει ελάχιστο το 2 ( )ii. Η εξίσωση f x2 − 2x + 2 = 2έχει λύσεις που προκύπτουν από τις εξισώσεις: a. x2 − 2x + 2 = 1  x2 − 2x + 1 = 0  x = 1 b. x2 − 2x + 2 = 2  x2 − 2x = 0  x = 0 , x = 2 Μέθοδος 3: Έστω οι συναρτήσεις f,g : A → . Αν η συνάρτηση f έχει ελάχιστο μόνο στο xo και η g έχει μέγιστο μόνο στο xo και ισχύει f (xo ) = g(xo ) , τότε ισχύει f(x) = g(x)  x = xo Πράγματι ισχύει ότι : f(x)  f(xo ) για x  xo και Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 194

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές g(x)  g(xo ) για x  xo και αφού f (xo ) = g(xo ) θα ισχύει ότι g(x)  g(xo ) = f (xo )  f (x) για x  xo, άρα g(x)  f(x) για x  xo δηλαδή μόνο στο xo ισχύει f (xo ) = g(xo ) Δες παράδειγμα 3 Παράδειγμα 3: Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x2 − 2x + 2, x και Gr ( ) = 2x  . g x x2 + 1 , x i. Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. ii. Να δείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο xo = 1 iii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf ,Cg Λύση : i. Έχουμε f (x) = x2 − 2x + 2 = x2 − 2x + 1+ 1 = (x − 1)2 + 1  1 Παρατηρώ ότι f (1) = (1− 1)2 + 1 = 1 . Άρα f(x)  f(1) , δηλαδή η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x=1 το f (1) = 1 ii. Αρκεί να δείξουμε ότι g (x)  g (1)  2x 1  12 2 1  2x 1  1  x2 + 1  2x  x2 + + x2 + x2 + 1− 2x  0  (x − 1)2  0, ισχύει x Άρα ότι η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο xo = 1 το g(1) = 1 iii. Δείξαμε ότι f(x)  f(1) και η ισότητα ισχύει μόνο για x=1, άρα για x  1 ισχύει f(x)  f(1) = 1 (1) Δείξαμε ότι g(x)  g(1) και η ισότητα ισχύει μόνο για x=1, άρα για x  1 ισχύει g(x)  g(1) = 1 (2) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 195

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Από τις (1) και (2) προκύπτει g(x)  1 f(1) για x  1. Άρα ισχύει f(x) = g(x) μόνο για x=1. Οπότε έχουμε ένα μόνο κοινό σημείο το Α(1,1) Μέθοδος 4: Μορφή εξίσωσης f(g(x)) + f(h(x)) =k , όπου κ το Παράδειγμα 4: άθροισμα του ακροτάτου της f και έστω x1 η θέση του Gr ακροτάτου. Μεταφέρουμε το k στο πρώτο μέλος και γράφουμε f (g(x)) + f (h(x)) −k1 − κ2 = 0 , όπου k1 +k2 = k Εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα του ακροτάτου οπότε πρέπει g(x) = x1, h(x) = x1 , από τις οποίες βρίσκουμε την κοινή λύση . Να λύσετε την εξίσωση f (x) + f  x2  = 2 γνωρίζοντας ότι  e  e   η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για x=e το f(e) = 1 e o Η εξίσωση γράφεται f(x) +  x2  = 2  f (x) − 1 +  x2  − 1 = 0 (1) f e  e e  f e       e  o Η f παρουσιάζεται ολικό μέγιστο το f(e) = 1 , άρα e f(x)  1  f(x)− 1 0 και f  x2   1  f  x2  − 1  0,  e  e  e  e ee     Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 196

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Από την (1) προκύπτει f (x) − 1 = 0 f (x) = 1 x = e x = e  e =   e  x2 = e2 f 1  f    x2   x = e   x2  − e   x2  = 1  e =e   0  e  e   e Άσκηση 1: Εξάσκηση Άσκηση 2: Έστω μία συνάρτηση f : → η οποία παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο 1 το 2. i. Να δείξετε ότι f(x)  2, x ii. Να λύσετε την εξίσωση f (x) + (x − 1)2 = 2 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 1 i. Να βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης f και τη θέση που το παρουσιάζει. ii. Να λύσετε την εξίσωση x2 + 1 = συνx Άσκηση 3: Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (x + 1)2 (x − 3)2 + 1 . Άσκηση 4: i. Να δείξετε ότι παρουσιάζει ελάχιστο σε δύο θέσεις διαφορετικές. ( )ii. Να λυθεί η εξίσωση f x2 + 3x − 1 = 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + e−x , g(x) = 1 2 x2 + 1 i. Να βρείτε τα ακρότατα των f και g ii. Να λύσετε τις εξισώσεις : a) f (x2 − 1) = 1 b) (g ex − 1) = 1 c) f (g (x) − 1) = 1 d) g(2f(x −3) −2) = 1 e) ex + 1 = 2 1 ex x2 + iii. Για κάθε α,β με αβ  0 να δείξετε ότι (f(α) − 1)(1− f(β))  0 . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 197

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 5: Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = 1 και | x − 1| +1 ( )g(x) = ln (x − 1)2 + 1 + 1 i. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι η μέγιστη τιμή της f και η ελάχιστη της g ( )ii. Να λύσετε την εξίσωση ln (x − 1)2 + 1 + 1 = 1 | x − 1| +1 Άσκηση 6: Δίνεται η συνάρτηση f : → η οποία παρουσιάζει μόνο στη θέση x=1 ολικό ελάχιστο το f (1) = 2 .Να λύσετε την εξίσωση f (x) + ημ 3π = 1 2x Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 198

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Η. Εύρεση παραμέτρων. Υπενθυμίζω : Εξισώνουμε τη θέση του ακροτάτου με το περιεχόμενο της f και βρίσκουμε την παράμετρο Παράδειγμα : Έστω μία συνάρτηση f : → η οποία παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο 1 το 2. i. Να δείξετε ότι f(x)  2, x ii. Αν ισχύει f(α) + f (lnβ) = 4 να βρεθούν τα α, β Λύση : i. Αφού παρουσιάζει ελάχιστο το 2 ισχύει f(x)  2, x ii. Αφού παρουσιάζει ελάχιστο το 2 μόνο για x=1 ισχύει f(x)  2, x f (α) + f (lnβ) = 4  f (α) − 2 + f (lnβ) − 2 = 0  f (α) − 2 = 0  α = 1 f (lnβ) − 2 = 0  lnβ = 1  β = e Άσκηση 1: Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f :1,+) → με f (1) = 2, f (x)  2 για κάθε x  1 .Να βρείτε τα α,β , ώστε να ισχύει (f eα−1 − 1) + f (ln(β + 1) − 1) = 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 199

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές 8.Θ. Ακρότατα από συναρτησιακές σχέσεις. Υπενθυμίζω : o Δεν υπάρχει γενικός τρόπος δουλειάς. o Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς και ερμηνεύουμε τα δεδομένα με πολύ προσοχή Παράδειγμα 1 : Έστω οι συναρτήσεις f,g : → για τις οποίες ισχύει f(x) = 3+|g(x) − 1|, x. Αν η g έχει σύνολο τιμών (0,2) , να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο Λύση : o Είναι προφανές ότι ισχύει x , |g(x) − 1| 0 .Άρα επίσης ισχύει και |g(x) − 1| +3  0+ 3  f (x)  3 . Αρκεί να εξετάσω αν το 3 είναι τιμή της συνάρτησης για κάποιο xo Af . o Λύνω την εξίσωση f (xο ) = 3. f(xο ) = 3  3+|g(xο ) − 1|= 3 |g(xο ) − 1|= 0  g(xo ) = 1 . Όμως το 1 είναι στα δυνατά αποτελέσματα της g αφού το σύνολο τιμών της είναι το (0,2) , άρα υπάρχει κάποιο xo Ag : g(xo ) = 1 . o Συνεπώς f(x)  3  f(x)  f (xo ),x . o Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 3 στο xo Παράδειγμα 2 : Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → για τις οποίες ισχύει f2 (x) + g2 (x) = 1, x . Αν οι Cf ,Cg τέμνονται πάνω στην ευθεία x = 1, να βρείτε το μέγιστο της h(x) = 2 f (x)g(x) Λύση : o Ισχύει f (1) = g(1) αφού οι Cf ,Cg τέμνονται πάνω στην ευθεία x = 1 o Όμως γνωρίζουμε από την άλγεβρα ότι ισχύει f2 (x) + g2 (x)  2f(x)g(x)  1h(x) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 200

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές o Επίσης ισχύει ότι h(1) = 2 f (1)g(1) = 2 f (1) f (1) = 2 f2 (1) και η αρχική f2 (x) + g2 (x) = 1 για x = 1 δίνει ότι f (1) = 1 o Άρα τελικά ισχύει h(x)  h(1) συνεπώς το μέγιστο της h παρουσιάζεται για x=1 και είναι 1 Παράδειγμα 3: Έστω η συνάρτηση f : → τέτοια ώστε f(x + 2)  f (x), x . Να δείξετε ότι δεν έχει ολικό μέγιστο. Λύση : o Έστω ότι η f για x = xo  παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f(xo ) . Τότε : f(x)  f(xo ), x o Θέτω όπου x το xo + 2 και προκύπτει ότι : f (xο + 2)  f (xo ) , άτοπο αφού ισχύει ότι f(x + 2)  f(x), x . o Τελικά προκύπτει ότι η f δεν έχει μέγιστο. Παράδειγμα 4: Α. Έστω οι συναρτήσεις f,g : → . Αν η συνάρτηση Β. gof παρουσιάζει ελάχιστο στο xo και η g είναι γνησίως φθίνουσα , να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο xo . Αν υπάρχει συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει e−f(x) − f (x) + 1− x2 = 0, x να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 Λύση : Α. Οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο , οπότε και η gof ορίζεται στο o Αφού η gof παρουσιάζει ελάχιστο στο xo , τότε x ισχύει ότι (gof)(x)  (gof)(xo )  g(f (x))  g(f (xo )) (1) o Όμως η g είναι γνησίως φθίνουσα οπότε από την (1) προκύπτει ότι f(x)  f(xo ) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 201

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές B. Ισχύει e−f(x) − f (x) + 1 − x2 = 0  e−f(x) − f (x) + 1 = x2, x o Παίρνοντας «ιδέα» από το πρώτο μέλος θεωρώ τη συνάρτηση f (x) = e−x − x + 1, x , άρα η παραπάνω γράφεται g(f (x)) = x2, x . o Για x είναι x2  0  g(f (x))  0  g(f (x))  g(f (0)), x (2) o Το παραπάνω σημαίνει ότι η gof παρουσιάζει ελάχιστο στο 0. o Για κάθε x1,x2  με x1  x2 είναι : x1  x2  −x1  −x2  e−x1  e−x2 +  (+) x1  x2  −x1  −x2  −x1 + 1  −x2 1 e−x1 − x1 + 1  e−x2 − x2 + 1  g(x1 )  g(x2 ) .Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα. o Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι f(x)  f(0) δηλαδή η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0. Άσκηση 1: εξάσκηση Για μία συνάρτηση f :  →  ισχύει f(2009) = −2 .Επίσης υπάρχει συνάρτηση g με g(x) = f2 (x) + 4f (x) + 17 . Να βρείτε το ελάχιστο της g Άσκηση 2: Έστω οι συναρτήσεις f,g :  →  για τις οποίες ισχύει Άσκηση 3: f (x) = g(x) + x2 + 1,x .Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των Cf ,Cg Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο για τις οποίες ισχύει η σχέση f (x) = (g (x))2 + 2g (x) + 3, x .Να αποδείξετε ότι : i. f(x)  2, x ii. Αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(1,−1) , τότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 202

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Άσκηση 4: Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο για τις οποίες ισχύει η σχέση f(x) = 1−|g(x)|, x .Αν η συνάρτηση g έχει σύνολο τιμών το διάστημα −1,2 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 203

Ακρότατα φροντιστήρια Αρχικές έννοιες Θετικές Σπουδές Μαθηματικά : Γρηγόριος Δ. Καρπούζας Φυσική – Χημεία : Κων/νος Δ. Καρπούζας Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 204