12_Θεωρία Μεθοδολογία στο όριο στο χο_2022

Γρηγόριος Δ. Καρπούζαςόριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Καθηγητής Μαθηματικών Όριο στο x0 Συναρτήσεις Γ΄ Λυκείου ενότητα 12 Θεωρία - μεθοδολογία https://thetikes-spoydes.ecloud.gr Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 1

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές  Ένας διάλογος για το Όριο Τι είναι το όριο ? o Είναι ένα συνεχές πλησίασμα Πλησίασμα από ποια απόσταση . Από πόσο μακριά ξεκινάμε ? o Από όσο μακριά θέλουμε Και πόσο κοντά πλησιάζουμε ? o Πάρα πολύ κοντά Γιατί λέμε ότι πλησιάζουμε και όχι κάτι άλλο ? Δεν μπορούμε να φτάσουμε ? o Σε άλλες περιπτώσεις μπορούμε και σε άλλες όχι. Δεν μας ενδιαφέρει όμως να φθάσουμε . Μας ενδιαφέρει το ταξίδι και όχι η Ιθάκη Δηλαδή θέλουμε να πλησιάσουμε κάπου , σα να θέλουμε να δούμε τι γίνεται. Αλλά δε θέλουμε να φτάσουμε , έστω και αν μπορούμε o Ναι έστω και αν μπορούμε . Το όριο επινοήθηκε για περιπτώσεις που δεν μπορούμε να φθάσουμε. Με τι «μέσο» πλησιάζουμε ? o Με «μέσο» τις τιμές του χ , οι οποίες πλησιάζουν όλο και πιο κοντά σε μία τιμή xo ή στο  Και που πλησιάζουμε ? o Αν τα καταφέρουμε πλησιάζουμε με τις τιμές της f κάποιον αριθμό ή το  Πότε έχει νόημα αυτό το πλησίασμα , δηλαδή πότε έχουμε «μέσο» για να πλησιάσουμε ? o Όταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι κατάλληλο Και πότε είναι κατάλληλο ? o Εξαρτάται από το που τείνει το χ. Πρέπει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης να είναι τέτοιο , ώστε το χ να μπορεί να τείνει ( πλησιάζει) ανεμπόδιστα στο xo ή το  Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 2

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o Έτσι αν x →xo , τότε θα πρέπει το πεδίο ορισμού να είναι της μορφής (α,xo ) (xo ,β) ή (α,xo ) ή (xo ,β) Και αν το χ τείνει στο  ? o Θα πρέπει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης να είναι της μορφής (α,+ ) όταν αναζητούμε όριο στο + ή της μορφής (−,α) όταν αναζητούμε όριο στο − Δηλαδή το xo δεν ανήκει ποτέ στο πεδίο ορισμού ? o Μπορεί να ανήκει . Δεν μας ενδιαφέρει η τιμή της συνάρτηση σ΄ αυτό , αλλά που συγκεντρώνονται οι τιμές της , όταν το χ τείνει στο xo Το όριο υπάρχει πάντα ? o Όχι πάντα . Πρέπει το πλησίασμα και από τα δύο μέρη ( δεξιά και αριστερά ) του xo , να οδηγεί στον ίδιο αριθμό. Εκτός βέβαια από την περίπτωση που το πεδίο ορισμού είναι της μορφής (α,xo ) ή (xo ,β) οπότε το πλησίασμα επιτρέπεται μόνο από τη μία μεριά Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 3

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1. Μαθαίνω την έννοια του ορίου και τις ιδιότητές του 1.Α.1 Ποιος ο διαισθητικός ορισμός του ορίου lim f(x) = και πως διαβάζεται x→xo Απάντηση : Παράδειγμα μελέτης Έστω η συνάρτηση f(x) = x2 − 1 . x−1 Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Df = − {1} και γράφεται f(x) = (x − 1)(x + 1) = x + 1, x  1. x−1 Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία y = x + 1 με εξαίρεση το σημείο A(1,2) (δες σχήμα ). Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: “Καθώς το x, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα xx, προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 1, το f(x) , κινούμενο πάνω στον άξονα yy , προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 2. Και μάλιστα, οι τιμές f(x) είναι τόσο κοντά στο 2 όσο θέλουμε, για όλα τα x  1 που είναι αρκούντως κοντά στο 1”. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε limf(x) = 2 x→1 και διαβάζουμε “το όριο της f(x) , όταν το x τείνει στο 1, είναι 2”. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 4

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Ορισμός Έστω μία συνάρτηση f : Α → .Λέμε ότι το όριο της f(x) όταν το x τείνει στο xo είναι και γράφουμε lim f(x) = αν και μόνο x→x0 αν οι τιμές της συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό , καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x0 και γράφουμε lim f(x) = x→x0 και διαβάζουμε “το όριο της f(x) , όταν το x τείνει στο x0 , είναι ” ή το όριο της f(x) στο x0 είναι ”. Το όριο lim f (x) εξαρτάται μόνο από το τύπο f (x) και το α και x→α όχι από το γράμμα x. Ισχύει lim f (x) =  lim f (u) =  x→α u→α limf (t) = … t→α 1.Α.2 Πότε έχει νόημα το παραπάνω όριο . Να αναφέρετε όλες τις περιπτώσεις για τις οποίες μπορεί το παραπάνω όριο να έχει νόημα ανάλογα με που ανήκει το xο Απάντηση : o Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο x0 , πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε “κοντά στο x0 ”, δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής (α,x0) (x0,β) ή (α,x0) ή (x0,β). o Το x0 μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. α &β) ή να μην ανήκει σ’ αυτό (Σχ. γ). o Η τιμή της f στο x0 , όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο x0 (Σχ. α) ή διαφορετική από αυτό(Σχ. β). Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 5

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Συγκεντρωτικά αν lim f (x) = τότε x→xo o f(xο ) = o f(xο )  o Δεν ορίζεται η f στο xo Παράδειγμα : Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = 1 . Να εξετάσετε αν έχει νόημα x-2 η αναζήτηση των ορίων limf(x) , limf(x) , lim f(x) x→2 x→1 x→-3 Λύση : Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Af =  \\ 2 o Μπορώ να βρω μία περιοχή του 2 για π.x. (1,2) (2,3) . Άρα έχει νόημα το limf(x) x→2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 6

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o Μπορώ να βρω μία περιοχή του 1 για π.x. (0,1) (1,2) . Άρα έχει νόημα το limf(x) x→1 o Μπορώ να βρω μία περιοχή του 3 για π.x. (2,3) (3,4) . Άρα έχει νόημα το limf(x) x→3 εξάσκηση Άσκηση 1: Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x - 3 . Να εξετάσετε αν έχει Άσκηση 2: Άσκηση 3: νόημα η εξέταση των ορίων lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) x→−2 x→10 x→-3 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = 2- 9 - x2 . Να εξετάσετε αν έχει x+2 νόημα η εξέταση των ορίων x→lim-3+ f(x) , x→lim-3- f(x) , xl→im3- f(x) , x→lim3+ f(x) Να εξετάσετε αν έχει νόημα η εξέταση των ορίων i. limf (x) με f (x) = 25 − x2 x→5 ii. limf (x) με f (x) = x − 1 x→1 ( )iii. με f x = 2x − 1 limf (x) x2 − 1 x→1 iv. limf (x) με f (x) = x2 − 5x + 6 x→2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 7

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.3. Ποια όρια ονομάζονται πλευρικά ; Παράδειγμα Έστω, τώρα, η συνάρτηση f(x) =  x + 1, x1 μελέτης : −x + 5, , x1 της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος. Παρατηρούμε ότι: Συμπέρασμα: o Όταν το x προσεγγίζει το 1 από αριστερά (x  1), τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 2. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: lim f(x) = 2 . x→1− o Όταν το x προσεγγίζει το 1 από δεξιά (x  1) , τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 4. o Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: lim f(x) = 4 . x→1+ Προσοχή Όταν γράφουμε x → xo− εννοούμε ότι x → xo  και όχι x0 x  xo   Όταν γράφουμε x → xo+ εννοούμε ότι x → xo  και όχι x0 x  xo   Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 8

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Γενικεύοντας έχουμε…. Όριο από o όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο αριστερά θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 1, καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μικρότερες τιμές (x  x0) , τότε γ ρ ά φου με : lim f ( x) = 1 και διαβάζουμε: “το όριο της f(x) , x→x0− όταν το x τείνει στο x0 από τα αριστερά, είναι 1 ”. Όριο από o όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε δεξιά τον πραγματικό αριθμό 2 , καθώς το x προσεγγίζει το x0 από μεγαλύτερες τιμές (x  x0), τότε γράφουμε lim f(x) = 2 x→x0+ και διαβάζουμε: “το όριο της f(x) , όταν το x τείνει στο x0 από τα δεξιά, είναι 2”. o Τους αριθμούς 1 = lim f (x) και 2 = lim f(x) τους λέμε x→x0+ Πλευρικά όρια x→x0− πλευρικά όρια της f στο xo και συγκεκριμένα το 1 αριστερό όριο της f στο xo , ενώ το 2 δεξιό όριο της f στο xo . Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 9

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.4. Αν για μία συνάρτηση υπάρχουν τα δύο πλευρικά όρια, lim f(x) , lim f(x) . Πότε υπάρχει και το lim f (x) x→xo+ x→xo− x→xo Ορισμός: Λέμε ότι υπάρχει το όριο lim f (x) αν και μόνο αν ισχύει Παράδειγμα x→xo lim f(x) = lim f(x) = x→x0− x→x0+ Η συνάρτηση f(x) = | x | (Σχήμα) δεν έχει όριο στο x0 =0, αφού: x o για x 0 είναι f(x) = −x = −1, οπότε lim f(x) = −1, ενώ x x→0− o για x 0 είναι f(x) = x = 1, οπότε lim f(x) = 1, και έτσι x x→0+ lim f(x)  lim f(x) x→0− x→0+ Οπότε 1η πρόταση o Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής 2η πρόταση 3η πρόταση (α, x0 )  (x0 ,β) , τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f (x) =  x→x0 lim f(x) = lim f(x) = x→x0− x→x0+ o Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (x0,β), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,x0) , τότε ορίζουμε: lim f (x) = lim f (x) . x→x0 x→x0+ o Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α,x0) , αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (x0 ,β) , τότε ορίζουμε: lim f (x) = lim f (x) . x→x0 x→x0− Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 10

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Παραδείγματα lim x = lim x = 0, lim −x = lim −x = 0 x→0 x→0+ x→0 x→0− Σχόλιο Αποδεικνύεται ότι το lim f(x) είναι ανεξάρτητο των άκρων Παράδειγμα 1 : x→x0 α,β των διαστημάτων (α,x0) και (x0,β) στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο (α,x0) (x0,β), με lim f(x) = λ2 −6 και lim f(x) = λ . Να βρείτε τις τιμές του λ , x→x0− x→x0+ για τις οποίες υπάρχει το lim f(x) . x→x0 Λύση : Για να υπάρχει το όριο πρέπει Παράδειγμα 2: lim f(x) = lim f(x)  λ2 −6 = λ  ...  λ = 1 ή λ = −2 Βιβλίου Α5 x→x0− x→x0+ Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [−2,+) και έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους ισχυρισμούς αληθεύουν. i) lim f(x) = 2 ii) lim f(x) = 1 iii) limf(x) = 2 x→−2 x→1+ x→1 iv) limf(x) = 3 v) limf(x) = 4 vi) limf(x) = 3 x→2 x→3 x→4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 11

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Λύση : i) Είναι lim f(x) = lim f(x) = 2 άρα αληθής x→−2 x→−2+ ii) Είναι lim f(x) = 2  1 άρα όχι αληθής x→1+ iii) Είναι lim f(x) = 1 & lim f(x) = 2 , δηλαδή δεν υπάρχει το x→1− x→1+ όριο limf(x) . Άρα η ισότητα είναι ψευδής x→1 iv) Είναι limf(x) = 3 αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα. x→2 Άρα αληθής v) Είναι limf(x) = 3  4 , άρα δεν είναι αληθής x→3 vi) Είναι limf(x) = 3 , άρα αληθής x→4 εξάσκηση Άσκηση 1: Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  και με τη Άσκηση 2: Άσκηση 3: βοήθειά της να βρεθεί το όριο lim f (x) αν έχουμε x→xο f(x) = x3 + 2x2 - x - 2 και xo = 1,xo = −1 x2 - 1 Αν μία συνάρτηση  είναι ορισμένη στο διάστημα (α,xo ) (xo,β) και lim f(x) = ( + 1)3 , lim f(x) = -1 να βρεθεί το ώστε να υπάρχει x→x0- x→x0+ το lim f(x) x→xο Έστω συνάρτηση  ορισμένη στο (0,1)(1,3) με xli→m1- f(x) = 3 , xl→im1+ f(x) = 2 - 2 i. Να βρεθεί η τιμή του  ώστε να υπάρχει το →1 και να βρεθεί το όριο αυτό. ii. Να δείξετε ότι για το παραπάνω η εξίσωση x2 - 2  + y2 - 4limf(x)  y - 4 = 0 παριστάνει κύκλο του x→1 οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 12

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Άσκηση 4: Nα βρείτε το lim f(x) και το f(x0) , εφόσον υπάρχουν, όταν Βιβλίου Α1 x→xο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι: Άσκηση 5: Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f Άσκηση 6: και με τη βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το lim f(x) , όταν: i) f(x) = x2 - 5x +6 , x0 = 2 x-2 x→x0 ii) f(x) =  x, x1 x0 = 1 iii) f(x) =  x2 , x  1, x0 =1  1 ,  x>1  x , -x + 1, x>1 iv) f(x) = x + x2 , x0 =0. x Δίνεται μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν o lim f (x) = f (λ) − λ2 x→0− o lim f(x) = f(λ2 ) − λ x→0+ Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες υπάρχει το limf (x) x→0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 13

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Να βρείτε εφόσον υπάρχουν, το όριο lim f(x) και την τιμή f(xo ) x→xo Άσκηση 7: , όταν i. xo = 0 ii. xo = 1 iii. xo = 2 iv. xo = 4 Άσκηση 8: Να βρείτε εφόσον υπάρχουν, το όριο lim f(x) όταν η γραφική x→xo παράσταση είναι Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 14

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.5. Να μαθηματικοποιήσετε τον ορισμό του ορίου σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση Απάντηση : o Στη θέση της φράσης “οι τιμές f (x) βρίσκονται οσοδήποτε Εκτός Ύλης θέλουμε κοντά στο ” χρησιμοποιούμε την ανισότητα Ορισμός: Εκτός Ύλης | f(x) − | ε, (1) όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός. o Στη θέση της φράσης “για όλα τα x  xο που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο xo ” χρησιμοποιούμε την ανισότητα 0|x − x0 | δ, (2) όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. (Η ανισότητα 0 |x − x0 | δηλώνει ότι x  xο) . o Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το f (x) θα ικανοποιεί την (1). Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α,x0) (x0,β). Θα λέμε ότι η f έχει στο xο όριο  , όταν για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε x(α,x0) (x0,β) , με 0|x −x0 | δ, να ισχύει: | f(x) − | ε Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 15

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.6. Ποιες οι άμεσες συνέπειες του ορισμού του ορίου ? Απάντηση : o Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο xο , 4η πρόταση τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με lim f(x) . x→x0 o Στη συνέχεια, όταν γράφουμε lim f(x) = , θα εννοούμε ότι x→x0 υπάρχει το όριο της f στο xo και είναι ίσο με . o Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες: ➢ lim f(x) =  lim(f(x) − ) = 0 , x→x0 x→x0 δηλαδή αν η f πλησιάζει το καθώς το x πλησιάζει το xo , τότε η διαφορά f (x) − πλησιάζει το μηδέν. 5η πρόταση ➢ lim f(x) =  lim f(x0 + h) = x→x0 Προαιρετικό για h→0 τώρα , απαραίτητο για • Η απόδειξη είναι αυτό που στα Μαθηματικά αργότερα . ονομάζουμε αλλαγή μεταβλητής και θα ασχοληθούμε αρκετά σε επόμενη μεθοδολογία. 6η πρόταση • Αν θέσουμε x − xo =h τότε x = xo +h με h → 0 αφού όταν x →xo είναι x −xo →0. Άρα lim f(x) (= limf xo +h) h→0 x→xo ➢ lim f(x) =  lim f(x0  h) = , xo  0 x→x0 h→1 Σύμβαση Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο 0 μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 16

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α,x0) (x0,β) και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ. παράδειγμα Η συνάρτηση f(x) = ημx είναι θετική κοντά στο x0 =0, x αφού ορίζεται στο σύνολο  − π , 0    0, π  και είναι θετική  2 2  σε αυτό. β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α,x0) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (x0,β) . γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (x0,β) , έχει σ’ αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής (α,x0) . Παράδειγμα : Αν ισχύει limf (x) = 2 . Να βρεθούν τα όρια : Λύση: x→4 i) lim(f(x) −2) ii) limf (4+h) iii) limf (4h) x→4 h→0 h→1 i. limf(x) = 2  lim(f(x) - 2) =0 x→4 x→4 ii. limf (x) = 2  limf (4 +h) = 2 x→4 h→0 iii. limf(x) = 2  limf(4 h) = 2 x→4 h→1 εξάσκηση Άσκηση 1: Δίνεται η συνάρτηση f :  →  για την οποία ισχύει limf (3 + h) = 2 . h→0 Να βρεθούν τα όρια : i) limf (x) ii) lxi→m3 f (x) −2 x→3 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 17

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.7. Ποιο το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f με f (x)=x στο xο ? Απάντηση : o Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι: lim x = x0 x→x0 o Η ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x (Σχ. α) στο xo είναι ίσο με την τιμή της στο xo , 1.Α.8. Ποιο το όριο της σταθερής συνάρτησης f με f (x)=c στο xο ? Απάντηση : Το όριο της σταθερής συνάρτησης g(x) = c είναι lim c = c x→x0 (Σχ. β) στο xo είναι ίσο με c. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 18

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Ιδιότητες ορίου 1.Α.9. Όριο και διάταξη i) Αν lim f(x)  0 τι συμπεραίνεται για την f (x) ? x→xo ii) Αν lim f(x)  0 τι συμπεραίνεται για την f (x)? x→xo Απάντηση : o Αν lim f(x)  0, τότε f(x) 0 κοντά στο xo (Σχήμα α) x→x0 …zzzz O.S. o Αν lim f(x)  0, τότε f(x) 0 κοντά στο xo (Σχήμα β) x→x0 Nα θυμάστε την ιδιότητα αυτή . Βοηθά σε Η ιδιότητα μας λέει ότι οι τιμές της συνάρτησης σε μία περιοχή επόμενη παράγραφο στο του xo είναι ομόσημες με το όριο της συνάρτησης στο xo . θεώρημα του Bolzano. ΠΡΟΣΟΧΗ : ΔΕΝ ισχύει το αντίστροφο αφού μπορεί μεν να υπάρχει το όριο , αλλά μπορεί να είναι μηδέν ή να μην υπάρχει . o Για τη συνάρτηση f (x) = x2 στο −0 ισχύει ότι f (x) = x2  0 για κάθε x −0, αλλά limf (x) = limx2 = 0 x→0 x→0 o Για τη συνάρτηση f (x) = −x2 στο −0 ισχύει ότι ( )f (x) = −x2  0για κάθε x −0, ενώlimf(x) = lim −x2 = 0 x→0 x→0 εξάσκηση με το βλέμμα στο Bolzano Άσκηση : Δίνεται η συνάρτηση f :  →  με limf (x) = 5 & limf (x) = −2 . x→1 x→3 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν α, β  ώστε f(α) f(β)  0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 19

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.10. Όριο και διάταξη Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο xo και ισχύει f(x)  g(x) ποια σχέση συνδέει τα όρια lim f (x) , lim g(x) x→xo x→xo κανόνας : o Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο xo o και ισχύει f(x)  g(x) κοντά στο xo , τότε lim f(x)  lim g(x) x→x0 x→x0 Παρατηρήσεις ΣΟΣ ➢ Αν ένα από τα δύο όρια ή και τα δύο δεν υπάρχουν , δεν μπορούμε να μιλάμε για διάταξη . ➢ Αν f(x)  g(x) δεν μπορεί να είναι lim f(x)  lim g(x). x→xo x→xo ➢ Αν f(x)  g(x) κοντά στο xo , δεν συνεπάγεται ότι lim f(x) < lim g(x), αλλά ισχύει όμως πάντα ότι x→xo x→xo lim f(x)  lim g(x). x→xo x→xo Για παράδειγμα ενώ είναι x2  2x2, x  0 ισχύει ότι ( )limx2 =lim 2x2 x→0 x→0 ➢ Αν υπάρχουν τα όρια lim f(x), lim g(x) τότε ισχύουν : x→xo x→xo o Αν lim f(x)  lim g(x) τότε f(x)  g(x) κοντά στο xo x→xo x→xo o Αν lim f(x)  lim g(x) τότε f(x)  g(x) κοντά στο xo x→xo x→xo Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 20

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Άσκηση 3: εξάσκηση Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : → ώστε να ισχύουν o xf(x)  x2 − x, x o xg(x)  x2f(x) + x, x  0 Αν lim f(x) = , limg(x) = m , να δείξετε ότι x→0 x→0 i) = −1 ii) m = 1 Άσκηση 2: Να αποδείξετε ότι κοντά στο 0 ισχύει : συνx − 1  1 Άσκηση 3: x Δίνεται η συνάρτηση f : → για την οποία ισχύει ότι : x2 + f2 (x)  2αf(x), x (1) .Αν υπάρχει το lim f (x) , τότε να x→α δείξετε ότι lim f(x) = α x→α Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 21

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Ιδιότητες πράξεων των ορίων 1.Α.11. Αν υπάρχουν τα όρια lim f (x), lim g(x) πως ορίζεται το lim (f + g)(x) x→xo x→xo x→xo Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) x→x0 x→x0 x→x0 o ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ το αντίστροφο 1.Α.12. Αν υπάρχουν τα όρια lim f (x) , lim g(x) πως ορίζεται το lim (f − g)(x) x→xo x→xo x→xo Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim (f(x) - g(x)) = lim f(x) - lim g(x) x→x0 x→x0 x→x0 o ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ το αντίστροφο 1.Α.13. Αν υπάρχει το όριο lim f (x) και κ πως ορίζεται το lim (k  f (x)) x→xo x→xo Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim(κf(x)) = κ lim f(x) x→x0 x→x0 1.Α.14. Αν υπάρχουν τα όρια lim f (x) , lim g(x) πως ορίζεται το lim (f g)(x) x→xo x→xo x→xo Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim(f(x) g(x)) = lim f(x)  lim g(x) x→x0 x→x0 x→x0 o ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ το αντίστροφο για παράδειγμα ενώ υπάρχει το lim  | x |   − | x |   = −1  x   x   x→ξ δεν υπάρχουν τα όρια lim  | x |  και lxi→mξ  − | x |   x  x  x→ξ 1.Α.15. Αν υπάρχει το όριο lim f (x) και κ πως ορίζεται το lim fν (x) , νΝ x→xo x→xo xl→imx0  ν  Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim[f(x)]ν = f (x) και x→x0 lim xν = x0ν x→x0 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 22

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 1.Α.17. Αν υπάρχουν τα όρια lim f(x) , lim g(x) πως ορίζεται το lim  f  (x) με  g  x→xo x→xo x→xo   lim g(x)  0 x→xo Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim f(x) = lim f(x) εφόσον x→x0 x→x0 g(x) lim g(x) x→x0 lim g(x)  0 x→x0 1.Α.18. Αν υπάρχει το όριο lim f (x) πως ορίζεται το lim f (x) x→xo x→xo Απάντηση : o Υπάρχει το όριο και ισχύει lim | f(x) |= lim f(x) x→x0 x→x0 o ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ το αντίστροφο εκτός της ειδικής περίπτωσης που =0. o Δηλαδή ισχύει μόνο ότι αν lim | f (x)|= 0 τότε x→xo lim f(x) = 0( Δες απόδειξη κ7) x→xo 1.Α.19. Αν υπάρχει το όριο lim f (x) και f(x)0 πως ορίζεται το lim k f (x) , kΝ x→xo x→xo Απάντηση : Υπάρχει το όριο και ισχύει lim k f(x) = k lim f(x) εφόσον x→x0 x→x0 f(x) 0 κοντά στο x0 . Άσκηση 1 : Αν για τις συναρτήσεις f,g : → ισχύει ότι limf (x) = 3 και x→1 limg (x) = 2 να υπολογισθούν τα όρια: x→1 i. lim(2f (x) − g (x)) x→1 ii. lim 2f(x) + 3g(x) x→1 f (x) − g(x) Άσκηση 2 : Αν για τις συναρτήσεις f,g : → ισχύει ότι limf (x) = 4 και x→3 limg (x) = −2 να βρεθεί το όριο lim f (x) + 3g (x) x→3 x→3 f (x) + g3 (x) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 23

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης 1.Α.20. Έστω P(x) = ανxν + αν−1xν−1+ +α1x + α0 πολυωνυμική συνάρτηση και xο . Πως βρίσκουμε το όριο lim f (x) x→xo Απόδειξη : o Έστω τώρα το πολυώνυμο Θέμα Θεωρίας P(x) = ανxν + αν−1xν−1+ +α1x + α0 και x0 . για εξετάσεις o Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: Παράδειγμα: lim P(x) = lim (ανxν + αν−1xν−1 + +α0) x→x0 x→x0 = lim (ανxν ) + lim (α xν−1 )+ + lim α0 x→x0 x→x0 ν−1 x→x0 = αν lim xν + αν−1 lim xν−1 + + lim α0 x→x0 x→x0 x→x0 = ανx0ν + αν−1x0ν−1+ +α0 =P(x0) . o Επομένως lim P(x) = P(x0) x→x0 Να βρεθεί το όριο lim(x3 − 6x2 + 7x − 2) x→2 Λύση : lim(x3 − 6x2 + 7x − 2) = 23 − 622 + 72 − 2 = −4 x→2 Άσκηση 1: ( )Να βρεθεί το όριο lim 2x3 - 4x2 - 7x - 1 x→2 1.Α.21. Έστω η ρητή συνάρτηση f(x) = P(x) , όπου Ρ(x) , Q(x) πολυώνυμα και Q(x) xo  . Αν Q(xo )0 , πως βρίσκουμε το όριο lim f (x) x→xo Απόδειξη : Έστω η ρητή συνάρτηση f(x) = P(x) , όπου P(x) , Q(x) Q(x) Θέμα Θεωρίας για εξετάσεις πολυώνυμα του x και xo  με Q(x0)  0 . Τότε, lim f(x) = lim P(x) = lim P(x) = P(x0 ) . x→x0 x→x0 x→x0 Q(x) lim Q(x) Q(x0 ) x→x0 Επομένως, lim P(x) = P(x0) , εφόσον Q(x0)  0 x→x0 Q(x) Q(x0) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 24

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Παράδειγμα : Να βρεθεί το όριο lim x2 +4 1 Λύση : x2 + 2x + x→2 lim x2 +4 1 = 22 22 + 4 1 = 8 x2 + 2x + +2 2+ 9 x→2 Άσκηση 1: Να βρεθεί το όριο lim x3 + 4x - 1 x2 +2 x→2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 25

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Μαθαίνω τις βασικές μεθοδολογίες ορίων 2. Μαθαίνω να βρίσκω όριο με αντικατάσταση 2.Α. Πως βρίσκω ένα όριο με αντικατάσταση ; Απάντηση : o Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f o Εξετάζουμε αν μπορούμε να αναζητήσουμε το όριο ( δηλαδή αν υπάρχει διάστημα της μορφής (α,x0) (x0,β) ή (α,x0) ή (x0,β) από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ) o Θέτουμε στον τύπο της συνάρτησης όπου x το xo α) αν οι πράξεις μας δώσουν πραγματικό αριθμό τότε το όριο υπολογίζεται. β) αν οι πράξεις μας δώσουν απροσδιοριστία της μορφής 0 τότε με κατάλληλο τέχνασμα (εξαρτάται από τον 0 τύπο της συνάρτησης ) προσπαθούμε να αναιρέσουμε την απροσδιοριστία όπως θα δούμε σε επόμενη μέθοδο. Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο lim 4x - 2 x→2 x2 - 9 Λύση : o Η συνάρτησή μας είναι f (x) = 4x - 2 x2 - 9 o Για το πεδίο ορισμού της έχουμε τους περιορισμούς i. πρέπει 4x - 2  0  x  1 και 2 ii. x2 −9  0  x2  9  x  3 . Άρα το πεδίο ορισμού είναι το Af = 1 , 3   ( 3, + )  2  o Το x0 = 2 και είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού , άρα το όριο έχει νόημα αφού η συνάρτηση ορίζεται οσοδήποτε κοντά στο 2 από αριστερά και δεξιά. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 26

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές ( )o Είναι lim x2 −9 = 22 −9 −5  0, άρα μπορώ να κάνω x→2 αντικατάσταση o Το όριό μας είναι πλέον 4x - 2 lim 4x - 2 4×2 - 2 6 =- 6 x2 - 9 = 22 - 9 -5 5 x→2 x2 - 9 ( )lim = lim = x→2 x→2 ( )Παράδειγμα 2: Να βρεθεί το όριο lim x2 - 4x + 3 - -x2 + x +6 x→3 Λύση : Κάποιος μαθητής έγραψε. Αφού υπάρχουν τα όρια των υπόριζων ( ως πολυώνυμα προκύπτουν με απλή αντικατάσταση ) με τη χρήση των ιδιοτήτων του ορίου υπάρχει και το όριο της συνάρτησης του αθροίσματος των ριζών . ( )lim x2 - 4x + 3 - -x2 + x +6 = 32 - 4 3+ 3 - -32 + 3+6 = 0 - 0 = 0 . x→3 Να εξηγήσετε με βάση τα όσα έχετε μάθει γιατί ο μαθητής αυτός έκανε ένα σοβαρό λάθος. o Πρέπει x2 - 4x+3 0 άρα x(−,13,+) και −x2 + x + 6  0 άρα x−2,3. o Συναληθεύοντας προκύπτει ότι η συνάρτηση του ορίου ορίζεται για −2,13. o Δηλαδή το πεδίο ορισμού δε δίνει τη δυνατότητα να έχω περιοχή του 3 , ώστε να έχει νόημα το όριο . o Άρα το συμπέρασμα του μαθητή είναι ΛΑΘΟΣ. Παράδειγμα 3: Να βρεθεί το όριο lim ( x 3x -1 + 1| |x x→2 + 3) Λύση : o Af =  −−3,−1. To x =2 είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού άρα έχει νόημα το όριο αφού υπάρχει κατάλληλη περιοχή , για παράδειγμα (1,2) (2,3) . Για λόγους συντομίας πλέον δε θα εξετάζουμε αν έχει νόημα το όριο, θεωρώντας το δεδομένο Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 27

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o Είναι lim(x + 3) = 5  0, lim(x + 1) = 3  0 και lim(x - 1) = 2 - 1= 1 x→2 x→2 x→2 Οπότε από τις ιδιότητες των ορίων με αντικατάσταση έχουμε : lim ( x 3x -1 + 1 | = lim( lim 3 x-1 x + 1| = |x lim| x→2 + 3) x→2 x + 3) x→2 x→2 = lim( 3 lim(x - 1) + 1) | = 3 1 | = 1 x→2 3 15 5| x + 3)|lim(x x→2 x→2 Άσκηση 1: εξάσκηση Nα βρείτε τα όρια: i) lim(x5 − 4x3 − 2x + 5) ii) lim(x10 − 2x3 + x − 1) x→0 x→1 iii) lim(x8 + 2x + 3)20 iv) lim[(x −5)3 |x2 −2x − 3|] v) lim x4 + 2x − 5 x→−1 x→3 x→1 x + 3 vi) lim| x2 − 3x|+| x − 2 | vii) lim 3 (x + 2)2 viii) lim x2 + x+2 − 2 . x2 + x + 1 x→1 x2 + 4x + 3 x→0 x→1 Άσκηση 2: ( )Να υπολογίσετε τα όρια i) lim −5x3 − 4x2 − 7x + 2 x→−1 3(5x2 85  x2 -x+1 ( )ii)  x2 - 3x +5 lim - 4)63 - 4 2 - 3x2 iv) lim x→1 x→2 ( ) ( )v) lim x−|x2 −1| vi) lim  2x3 −3 25 x2 + 1+ | 13x − 4 |  x→0   x→2 Αν limf (x) = 1, limg (x) = 8 να βρεθούν τα όρια : x→1 x→1 Άσκηση 3 : f (x)- | g(x) - 2| f2 (x)+ 3 - (g (x) - 2)2 ( )i)lim 3 g(x) - (f(x) -5) ii) lim x→1 x→1 3 g (x) + 21 - f2 (x) - 5 f (x) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 28

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 3 Μαθαίνω να βρίσκω όριο ρητής 3.Α. Πως βρίσκω όριο μιας ρητής συνάρτησης όταν έχουμε απροσδιοριστία 0 0 Μέθοδος: o Έστω f η συνάρτηση , τότε θα είναι f(x) = P(x) . Q(x) o Ξεκινούμε τον υπολογισμό με τη μέθοδο της αντικατάστασης . Αν προκύπτει απροσδιοριστία 0 τότε ακολουθούμε τα εξής 0 βήματα : o Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή για να πάρουμε παράγοντα το x −xo (σίγουρα;) P(x) = (x − xo )π(x) και Q(x) = (x − xo )φ(x) o Τότε έχουμε το όριο lim f(x) = lim π(x) .Αν φ(xo )  0 τότε το φ(x) x→xο x→xο όριο θα είναι πραγματικός αριθμός και μπορούμε να το υπολογίσουμε o Αν φ(xo ) = 0 & π(xo ) = 0 ξανακάνουμε τη διαδικασία της παραγοντοποίησης o Αν φ(xo ) = 0 & π(xo )  0 τότε δες σε επόμενη παράγραφο στο άπειρο όριο. Παρατήρηση Το 0 δε νοείται σαν αριθμητική πράξη , αλλά σαν πηλίκο ορίων 0 συναρτήσεων. Τα δε όρια αυτά είναι και τα δύο ίσα με μηδέν. Με την έννοια αυτή το 0 μπορεί να ισούται με ένα πραγματικό 0 αριθμό ή με  . Δηλαδή είναι κάτι απροσδιόριστο. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 29

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο lim x2 - 4x + 3 2x2 - 5x - 3 x→3 Λύση : o Για τη συνάρτηση f ( x ) = x2 - 4x + 3 το πεδίο ορισμού είναι 2x2 - 5x - 3 το Af = (−,− 1/ 2) (−1/ 2,3) (3,+ ). o Παρατηρώ ότι υπάρχουν διαστήματα της μορφής (α , 3) και (3 , β) π.χ. (0 , 3) και (3 , 4) άρα το όριο για x → 3 έχει νόημα. ( ) ( )o Είναι lim x2 - 4x + 3 =0 και lim 2x2 - 5x - 3 =0 x→3 x→3 Άρα έχω απροσδιοριστία της μορφής 0 . 0 o Παραγοντοποιώ τους όρους του κλάσματος της συνάρτησης και έχω lim x2 - 4x + 3 = lim (x - 1) (x - 3) = lim x-1 = 2 . 2x2 - 5x - 3 (x - 3) (2x + 1) 2x + 1 7 x→3 x→3 x→3 Ένα εύλογο ερώτημα o Στο υπολογισμό του ορίου lim x2 - 4x + 3 υποθέσαμε ότι 2x2 - 5x - 3 x→3 το x κινείται κοντά στο xo = 3, άρα xo  3. o Αυτό μας έδωσε το δικαίωμα να κάνουμε την απλοποίηση lim x2 - 4x + 3 = lim (x - 1) (x - 3) = lim x-1 . 2x2 - 5x - 3 (x - 3) (2x + 1) 2x + 1 x→3 x→3 x→3 o Με ποιο δικαίωμα όμως κατόπιν κάναμε αντικατάσταση όπου x = 3 ; Η απάντηση είναι ότι , όταν γράφουμε lim x - 1 = 2 x→3 2x + 1 7 εννοούμε ότι , όταν το x πλησιάζει το 3 τότε το x - 1 2x + 1 πλησιάζει το 2 7 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 30

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Εξάσκηση Άσκηση 1: Να βρεθούν τα όρια i) lim x3 − 2x2 + 3x − 6 ii)  x2 +x+ 1 + 5x − 2  x2 − 5x + 6 lxi→m1  x−1  x→2 x2 − 3x + 2  Να βρεθούν τα όρια Άσκηση 2 : 2x2 + 5x + 3 x3 + 3x2 - 9x - 2  2 3  x2 - x- 2 x3 - x - 6  x2 - x3 -  i) lim ii) lim iii) lim 1 - 1 x→-1 x→2 x→1 Να βρείτε τα όρια Άσκηση 3 : lim x4 − 16 lim 2x2 − 3x + 1 1− 1 Βιβλίου Α3 x3 −8 x2 −1 i) x→2 i i ) x→1 iii) lim x Άσκηση 4 : 1 x→1 1 − x2 Να βρείτε τα όρια: i) lim x3 − x2 − x − 2 ii)lim xν+1 − (ν + 1)x + ν iii)lim (x + 3)3 − 27 x→2 x3 − 8 x→1 x − 1 x→0 x Άσκηση 5: Αν α+β+γ=0 να υπολογίσετε το όριο limαxμ +βxν + γ , μ,ν Ν x→1 x - 1 Άσκηση 6: Να βρεθεί το λ ώστε lim λx10 + (2 - λ)x5 - 2 = 20 x→1 x - 1 4. Μαθαίνω να βρίσκω όριο άρρητης συνάρτησης 31 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 4.A. Πως βρίσκω το όριο μιας άρρητης συνάρτησης της μορφής P(x)- Q(x) με απροσδιοριστία ; Μέθοδος 1: o Αν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής έχει παράσταση της μορφής P(x) - Q(x) τότε πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή αυτής που είναι η P(x) + Q(x) και αυτό γίνεται διότι κάνοντας πράξεις εμφανίζεται διαφορά τετραγώνων η οποία έχει συνέπεια την απλοποίηση του όρου x - xo Παράδειγμα P(x) - Q(x) = ( )( )P(x) - Q(x) P(x) + Q(x) = P(x) + Q(x) ( ) ( )2 2 P(x) - Q(x) = P(x) - Q(x) P(x) + Q(x) P(x) + Q(x) o Όμοια αν εμφανίζεται παράσταση P(x) + Q(x) , τότε πολλαπλασιάζουμε με P(x)- Q(x) o Όμοια αν εμφανίζεται παράσταση P(x) - Q(x) , τότε πολλαπλασιάζουμε με P(x) + Q(x) o Όμοια αν εμφανίζεται παράσταση P(x) - Q(x) , τότε πολλαπλασιάζουμε με P(x) + Q(x) Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο lim x- 2 Λύση : x→2 x2 - 4 o Έχουμε f (x) = x- 2 x2 - 4 . ➢ Πρέπει x 0 για να ορίζεται η ρίζα x . ➢ Πρέπει x2-40x2 για να ορίζεται το κλάσμα . o Άρα Af =0,2) (2,+) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 32

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o Το όριο έχει νόημα αφού υπάρχουν διαστήματα της μορφής (α,2), (2,β) για παράδειγμα τα : (0 , 2) και (2 , 3) o Αν θέσω x=2 στον τύπο της συνάρτησης έχω f(2) = 2- 2 = 0 22 - 4 0 (απροσδιοριστία ) o Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή και έχουμε ( x- 2)( x+ 2) ( x )2-( 2 )2 ( )lim f(x) = lim = lim x+ 2) = x→2 x-2)(x+2)( x→2 x→2 x2-4 ( x+ 2) ( lim x-2 x= 2 ) = lim (x+2)( 1 2)=812 = x→2 x→2 x+ (x-2)(x+2)( 8 2 2 = 2 2× 16 4.B. Πως βρίσκω το όριο μιας άρρητης συνάρτησης της μορφής 3 P(x) - 3 Q(x) με απροσδιοριστία ; Μέθοδος 2 : o Αν εμφανίζεται παράσταση της μορφής 3 P(x) - 3 Q(x) τότε βασιζόμαστε στην ταυτότητα α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) και έχοντας ως α = 3 P(x) , β = 3 Q(x) γράφεται ( ) ( ) ( )( )3P(x)3 3 - 3 Q(x) = 3 P(x) - 3 Q(x) 3 P2 (x) + 3 P(x) 3 Q(x) + 3 Q2 (x) o Οπότε πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με την παράσταση ( )3 P2 (x) + 3 P(x) 3 Q(x) + 3 Q2(x) για να δημιουργήσουμε τη διαφορά κύβων o Δηλαδή έχουμε P(x) - Q(x) ( )3 P(x) - 3 Q(x) = 3 P2(x) + 3 P(x)  3 Q(x) + 3 Q2(x) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 33

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Όμοια έχουμε P(x) +Q(x) ( )3 P(x) + 3 Q(x) = 3 P2(x) - 3 P(x)  3 Q(x) + 3 Q2(x) Παράδειγμα 2 : Να βρεθεί το όριο lim x-3 x→3 3 x -1 - 3 2 Λύση : o Έχουμε f(x) = 3 x−3 3 2 x−1− o Πρέπει x-10x1 και 3 x−1− 3 2 0 3 x−1 3 2 x−12x3 Άρα το πεδίο ορισμού είναι το Af =[1 , 3)(3 , +) o Το όριο έχει νόημα αφού υπάρχει διάστημα της μορφής (α , 3) και (3, β) o Πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με την παράσταση 3 (x − 1)2 + 3 x − 1  3 2 + 3 22 και έχουμε ( ) ( )x - 3 x - 3  3 x - 1 2 + 3 x - 1  3 2 + 3 22  ( ) ( ) f(x) = 3 x - 1 - 3 2 = = 3 x-1 - 3 2 3 x-1 2 + 3 x-1 3 2 + 3 22 ( ) ( )x - 3  3x -1 2 +3 x-1 3 2 + 3 2  2 ( ) ( )= 3 3 = - 3 x-1 32 ( ) ( )x - 3  3x -12 +3 x-1 3 3 2  2+ 2 = x-3 ( )= 3 x - 1 2 + 3 2(x - 1) + 3 4 o Οπότε το όριο θα είναι x( ) ( )lim f=  3 x - 1 2 + 3 2(x - 1) + 3 4  = x→3 lim x→3 ( )3 3 - 1 2 + 3 2(3 - 1) + 3 4 = 3 4 + 3 4 + 3 4 = 33 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 34

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 4.Γ. Πως βρίσκω το όριο μιας άρρητης συνάρτησης της μορφής μ P(x) ± ν Q(x) ±κ με απροσδιοριστία ; Μέθοδος 3 : o Διασπάμε τον αριθμό κ σε δύο αριθμούς που προκύπτουν από τους αντίθετους των τιμών των μ P(x) , ν Q(x) αν θέσουμε όπου x το xo . o Χωρίζουμε το κλάσμα σε δύο κλάσματα που το καθένα έχει τη μία ρίζα και τον ένα από τους παραπάνω αριθμούς . o Κάθε κλάσμα πλέον είναι απροσδιοριστία μορφής 0 και 0 πολλαπλασιάζουμε με την κατάλληλη συζυγή παράσταση. o Αν δεν υπάρχει ο αριθμός κ , τότε προσθαφαιρούμε τιμή που προκύπτει από τις μ P(x) , ν Q(x) αν θέσουμε όπου x το xo . Παράδειγμα 3: Να βρεθεί το όριο lim x + 4 - 3 x +8 x→0 x Λύση : o Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι Α=[-4 , 0)(0 , +) o Παρατηρώ ότι το όριο έχει νόημα αφού υπάρχει κατάλληλο διάστημα για παράδειγμα (−1,0) (0,2) . o Το όριο του αριθμητή είναι ( )lim x + 4 - 3 x +8 = ... = lim(x + 4) - 3 lim(x +8) = 4 - 3 8 = 2 - 2 = 0 x→0 x→0 x→0 o Το όριο του παρονομαστή είναι limx = 0 x→0 o Δηλαδή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 o Όμως η διαφορά 2-2 που παρουσιάστηκε στον αριθμητή μας δίνει την \"ιδέα\" να κάνουμε προσθαφαίρεση του αριθμού 2 στον αριθμητή , οπότε και έχουμε : f(x) = x + 4 - 3 x + 8 = x + 4 - 2 + 2 - 3 x + 8 = x + 4 - 2 + 2 - 3 x + 8  x x xx f (x) = g(x) +h(x) ( )( )limg(x) =lim 0 x+4 -2 x+4 +2 x + 4 - 2 0 lim = lim x+ 4 - 4 =1 ( ) ( )x→0 = x→0 x x→0 x x + 4 + 2 x→0 x x + 4 + 2 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 35

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o limh(x) = lim 2 - 3 x + 8 = lim 3 8 - 3 x + 8 = ... = - 1 x→0 x→0 x x→0 x 12 o Τελικά το όριο είναι limf(x) = 1 + -1 = 3 - 1 = 2 = 1 x→0 4 12 12 12 12 6 Εξάσκηση Άσκηση 1 : Να βρεθούν τα όρια: i) lim x ii) lim x 3x xx→0 3 2 x→0 Άσκηση 2 : Να βρεθούν τα όρια: i) lim x − 1 ii) lim 1−x iii) lim 1+x − 1−x x→1 x − 1 10 − x − 3 x→0 x2 + 2x x→1 iv) lim x + 1 − 3 iv) lim 3 x − 1 x→8 x + 8 − 4 x→1 x − 1 Άσκηση 3 : Να βρεθούν τα όρια: i) lim x2 + 9 − 5 ii) lim x + 8 − 10 − x iii) lim x − 2 − x2 − 4 x→4 x2 − 4x x→1 2x − 1 − 1 x→2 x − 2 Άσκηση 4 : 3 2x + 2 − 3 3x − 1 x2 − 5x + 6 Να βρεθεί το όριο: lim x→3 Άσκηση 5 : Να βρεθεί το όριοlim 4x − 3 − 3 x2 + 3x + 9 Άσκηση 6 : x→3 x2 − 3x Να βρεθεί το όριοlim 2x + 5 − 3 x + 6 − 1 x→2 x2 − 4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 36

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Άσκηση 7 : Να βρεθούν τα όρια Βιβλίου Α4 i) lim 3 - x ii) lim 1- 1- x2 iii) lim x+2 -2 iv) lim x- 2 . x→0 x2 x→2 x2 +5 - 3 x2 - 5x + 4 x→9 9 - x x→4 Να βρεθούν τα όρια Άσκηση 8 : i) lim 2 x + 3 - 3x2 - 8 1- 3x + 2x iii) lim x x-α α x → -2 x3 +8 x2 - 1 x→α x- α ii) lim x→1 Άσκηση 9 : Να βρείτε τα όρια i) lim x2 + 2x + 10 - x - 2 ii) lim x2 + 3x +5 + x - 4 x→3 x2 - 4x + 3 x→1 x-x iii) lim x - 1 x→1 x x + x - 2 Άσκηση 10 : Να βρεθούν τα όρια i) lim x+1+ 3 x+5 -4 ii) lim - 1 - 2x + 3 3x + 1 Άσκηση 11: x→3 x2 - 2x - 3 x→0 x2 + x Δίνεται η συνάρτηση f :  →  για την οποία ισχύει limf (x) = 2 . x→3 Να βρείτε το όριο lim f2 (x) − 4 x→3 f (x) + 7 − 3 Άσκηση 12: Δίνεται η συνάρτηση f :  →  για την οποία limf (x) = −1 . x→1 f(x)+2 + f(x) Να βρείτε το όριο lim x→1 f2 (x) + 3 − 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 37

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 5. Μαθαίνω να βρίσκω όριο συνάρτησης πολλαπλού τύπου 5.Α. Πως βρίσκω όριο συνάρτησης πολλαπλού τύπου ; Μέθοδος 1: Αν το xο είναι εσωτερικό σημείο των διαστημάτων στα οποία Μέθοδος2: ορίζεται η f τότε χρησιμοποιούμε μόνο τον αντίστοιχο τύπο της συνάρτησης και η διαδικασία είναι απλή Μέθοδος 3: Αν το xo είναι το σημείο αλλαγής των τύπων δύο κλάδων της συνάρτησης τότε : o Βρίσκουμε το αριστερό πλευρικό όριο της συνάρτησης στο xo . o Βρίσκουμε το δεξιό πλευρικό όριο της συνάρτησης στο xo . o Αν τα δύο αυτά είναι ίσα τότε βρήκαμε το όριο που ψάχνουμε . o Αν τα δύο αυτά είναι διαφορετικά , τότε δεν υπάρχει το όριο που ψάχνουμε . Αν μας ζητούν να βρούμε παράμετρο ώστε να υπάρχει το όριο στο xo που αλλάζει ο τύπος σε μία συνάρτηση πολλαπλού τύπου τότε απαιτούμε τα πλευρικά όρια να είναι ίσα , δηλαδή lim f(x) = lim f(x). x→xo− x→xo+ Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο limf (x) αν f(x) =  x4 + 3 , x < -1  x→0 2x4 - 6x , x  -1 Λύση : o Το πεδίο ορισμού είναι το Af = (−,− 1) −1+ ) =  o Υπάρχουν διαστήματα με άκρο το 0 π.χ. (-1 , 0) και (0 , 2). Άρα έχει νόημα το όριο limf (x) x→0 o Το xo=0 είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος [-1 , +) άρα μπορώ να βρω το όριο μόνο με τη χρήση του ενός κλάδου της συνάρτησης , του f1 (x) =2x4-6x Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 38

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o Διαλέγω λοιπόν την περιοχή (-1 , 0)(0 , 2) και το όριό μας γράφεται ( )o limf(x) =lim 2x4 - 6x =... = 204 - 60=0 x→0 x→0  x+1-1 , x0  , x<0 Παράδειγμα 2: Να βρεθεί το όριο lim f(x), αν f(x) =  x +1  x3 - 4x2 x→0  x Λύση : o Το πεδίο ορισμού είναι το Α=(- , 0)[0 , +)= o Υπάρχουν διαστήματα με άκρο το 0 π.χ. (-1 , 0) και (0 , 2). Άρα έχει νόημα το όριο limf (x) x→0 o Βρίσκω το αριστερό πλευρικό όριο χρησιμοποιώντας το διάστημα (-1 , 0) ( ) ( )lim f(x) = lim x3 - 4x2 = lim x x2 - 4x = lim x2 - 4x = ... = 02 - 4 0 = 0 x→0- x→0- x x→0- x x→0- o Βρίσκω το δεξιό πλευρικό όριο χρησιμοποιώντας το διάστημα (0 , 2) lim f(x) = lim ( )x + 1 -1=lim x+1- 1 = ... 0+1-1= 1-1= 0 =0. 0+1 1 1 x→0+ x→0+ x+1 x→0+ (x + 1) lim x→0+ Άρα limf (x) = 0 x→0 εξάσκηση Άσκηση 1 :  x2 + 3x , − 4  x  −3 4xx++64 − 1 3  x  1 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( x ) = ,−  2x2 + x− 3 , 1  x  2  1 − x2  Να βρείτε αν υπάρχουν : i) lim f (x) ii) limf (x) iii) lim f (x) x→−3 x→1 x→−4 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 39

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Άσκηση 2 : Δίνεται η συνάρτηση fμε τύπο f ( x ) =  x2 −1 , x1. Άσκηση 3 :  x −1   6 , x = 1 Να βρείτε το limf (x) x→1 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( x ) = 2x2 + αx − 1, x  2 .Να 11 − αx , x2 βρείτε την τιμή του α αν γνωρίζεται ότι υπάρχει το όριο limf (x) x→2 3αx + β − 1, x4  .Να Άσκηση 4 : Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( x ) =  x2 − 16 x4  x − 2 , βρείτε την τιμή του α αν γνωρίζεται ότι υπάρχει το όριο limf (x) και η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο x→4 Α(−1,2) Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο xo αν: Άσκηση 5 : i) f(x) = x2 , x1 και xo =1  -2x, x < -1 Βιβλίου Α5 5x, x>1 ii) f(x) = x2 + 1, x  -1 και xo = −1. Άσκηση 6 : Βιβλίου Α9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2αx +β, x3 αx + 3β, . Άσκηση 7 : x<3 Να βρείτε τα α,β , ώστε limf (x) = 10 x→3 Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στο xo x2 - 64 , x > 8 στο x0 = 8  f(x) =  x-8 x2 - 8x + 16 , x  8 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 40

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 2αx2 + 3αx + 1 , x  1  Άσκηση 8 : Δίνεται η συνάρτηση  με f (x) =  x2 - 1 . , x>1  x - 1 α) Να βρεθεί για ποιες τιμές του α υπάρχει το όριο της f στο 1. β) Για τις τιμές του α που θα βρείτε να υπολογίσετε το όριο 2μx - 2λ +5 , x2  . Άσκηση 9 : Δίνεται η συνάρτηση f με f ( x) = 2μx + λ - 1 , x>2  x +5 Να βρεθούν οι : λ , μ  : limf (x) = 4 x→2 2x2 + αx +β , x  -1 Δίνεται η συνάρτηση  με f(x) = 3x + 1 Άσκηση 10: , -1<x<2 . x2 - βx + α - 2 , x  2 Να βρείτε τα α,β  ώστε να υπάρχουν τα όρια της f στο xo = −1 και στο xo = 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 41

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 6. Μαθαίνω βρίσκω όριο συναρτήσεων με απόλυτα 6.Α. Πως βρίσκουμε όριο συνάρτησης που περιέχει απόλυτα; Μέθοδος 1 : o Αν έχουμε συνάρτηση f και το όριο lim f(x) = τότε : Μέθοδος 2 : x→xo Μέθοδος 3 : lim f(x) = lim f(x) = x→xo x→xo o Άρα αν έχουμε κλασματική συνάρτηση και δεν προκύπτει μορφή 0 κάνουμε αντικατάσταση όπου x το x0 και 0 υπολογίζουμε το όριο o Αν έχουμε συνάρτηση f η οποία περιέχει απόλυτες τιμές τότε : o Βρίσκουμε τις τιμές που μηδενίζουν τα απόλυτα της συνάρτησης o Αν το xo δεν είναι καμία από τις παραπάνω ρίζες των απολύτων τότε : o Βρίσκουμε τα όρια των παραστάσεων των απολύτων και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: ➢ Αν lim f(x)  0, τότε f(x) 0 για τα x κοντά στο xo x→x0 συνεπώς f(x) = f(x) . ➢ Αν lim f(x)  0, τότε f(x) 0 για τα x κοντά στο xo x→x0 συνεπώς f (x) = -f (x). o Αφού \"διώξουμε \" τα απόλυτα υπολογίζουμε το όριο της συνάρτησης με τον τύπο που προέκυψε o Αν το xo είναι κάποια από τις παραπάνω ρίζες των απολύτων παίρνουμε διαστήματα (α,xo ),(xo ,β) Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 42

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές o Προφανώς το πρόσημο κάποιου απολύτου αλλάζει οπότε χρησιμοποιούμε πλευρικά όρια o Αφού \"διώξουμε \" τα απόλυτα υπολογίζουμε το όριο της συνάρτησης με τον τύπο που προέκυψε Παράδειγμα 1: Να βρεθεί το όριο lim f (x) αν γνωρίζουμε ότι f (x) = 3x2 − 2x x→3 Λύση : Η f είναι πολυωνυμική , άρα το όριο limf (x) υπάρχει. x→3 ( )Είναι lim f(x) = limf(x) = lim 3x2 - 2x = ... = 332 - 2 3 = 21 x→3 x→3 x→3 Να βρεθεί το όριο lim 3 − x2 − x2 − 4x + 4 − 1 x→2 Παράδειγμα 2 : x+ x−1 Λύση : lim 3 − x2 − x2 − 4x + 4 −1 3 − 22 − 22 − 42 + 4 −1 −1 − 0 −1=0 = = x→2 x + x − 1 2+ 2−1 2+ 1 Παράδειγμα 3: Να βρεθεί το όριο lim f(x) αν γνωρίζουμε ότι f (x) = x - 2 + x2 - 1 x→3 2x Λύση : o Πρέπει 2x  0 x  0 . Άρα Af = * o Βρίσκω τις τιμές μηδενισμού των απολύτων x − 2 = 0  x = 2 και x2 − 1 = 0  x = 1 , x = −1 o lim(x − 2) = 1  0 , τότε x−2 0 κοντά στο xo = 3 συνεπώς x→3 x−2 =x−2 ( )o lim x2 − 1 = 8  0 , τότε x2 − 1  0 κοντά στο xo = 3 x→3 συνεπώς x2 − 1 = x2 − 1 o Το όριο γράφεται lim x - 2 + x2 - 1 = lim x2 + x - 3 = ... = 32 + 3 - 3 = 9 = 3 x→3 2x x→3 2x 23 6 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 43

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Παράδειγμα 4: Να βρεθεί το όριο limf (x) αν γνωρίζουμε ότι f (x) = x - 3 + x2 + 1 x→3 x - 1 Λύση : o Πρέπει x −1 0 x  1 . Άρα Af =  \\ 1 o Το x − 3 μηδενίζεται για x=3 και x − 3 = x − 3 για x  3 ενώ x − 3 = −(x − 3) για x  3 o Το x2 + 1 δεν μηδενίζεται και ισχύει x2 + 1 = x2 + 1 x 3 + x-3 _ + x2 + 1 + o Αφού θέλω όριο για x → 3 που είναι ρίζα κάποιου απολύτου χωρίζω σε περιπτώσεις πλευρικών ορίων ➢ Για x(2,3) είναι x  3 δηλαδή x →3− η συνάρτηση γράφεται f(x) = -(x - 3) + x2 + 1 = x2 - x + 4 και το όριο x-1 x-1 lim f (x) = lim x2 - x + 4 = ... = 32 - 3 + 4 = 10 = 5 x - 1x→3- 3-1 2 x→3- ➢ Για x(3,4) είναι x  3 δηλαδή x →3+ η συνάρτηση γράφεται f(x) = (x - 3) + x2 + 1 = x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = x + 2 και το όριο x-1 x-1 x-1 lim f(x) = lim (x+2) =5 x→3+ x→3+ o Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια είναι ίσα , άρα υπάρχει το όριο στο 3 και είναι ίσο με 5 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 44

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Εξάσκηση Άσκηση 1 : Να βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν Άσκηση 2 : i) lim x2 + 10x +25 ii) lim | x - 5|+ x2 - 4x - 5 x→-5 x + 5 x→5- x - 5 iii) lim | x - 5|+ x2 - 4x - 5 iv) lim x2 - x . x→5+ x - 5 x→1 x - 1 Να βρεθούν τα όρια i) lim x2 - 2x - 3 + x - 3 ii) lim x2 - 5x +6 - x - 1 x→1 x→3 x2 - 4x + 3 + x2 - 6x +9 x3 - 1 Να υπολογίσετε το όρια Άσκηση 3 : i) limx2 - 3x +2 ii) lim x2 - 5x +6 iii)  2x + x  x→2 | x - 1| -1 x→2- | x - 2 | lxi→m0  x  | |  Άσκηση 4 : Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο  4x + | x2 - 4x + 3|  Άσκηση 5 : lxi→m3  x-3  Άσκηση 6:  Δίνεται η συνάρτηση f : (−1,+) → για την οποία ισχύει limf (x) = 3 . Να βρείτε το όριο lim f(x)−2 − f2 (x)−5f(x) +5 x→2 x→2 f(x)+1 −2 Δίνεται πολυώνυμο P(x) του οποίου η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(1,3) . Να βρεθεί το όριο lim x2 P(x) − 2 − x2 −P(x) + x − 2 x→1 x2 − 3x + 2 Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 45

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 7. Μαθαίνω χρησιμοποιώ το κριτήριο παρεμβολής 7.Α. Να μπορείς να διατυπώνεις το κριτήριο της παρεμβολής ( θεώρημα του σάντουιτς) Θεώρημα : Παρατηρώ στο σχήμα ότι η γραφική παράσταση της f είναι εγκλωβισμένη μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των g και h. Έστω οι συναρτήσεις f,g,h . Αν o h(x)  f(x)  g(x) κοντά στο xo και o lim h(x) = lim g(x) = x→x0 x→x0 τότε υπάρχει το όριο της f στο xo και ισχύει lim f(x) = . x→x0 7.Β. Να ξέρεις να χρησιμοποιείς το κριτήριο της παρεμβολής για την εύρεση ορίου Πότε το Χρησιμοποιούμε το κριτήριο όταν σε κάποια άσκηση ζητάμε όριο χρησιμοποιώ; και μας έχουν δώσει ή μπορούμε να φτιάξουμε ανισοτική σχέση. Μέθοδος : Έστω συνάρτηση f : Af → και θέλω να βρω το lim f(x) x→xo Αν υπάρχουν συναρτήσεις g, h ώστε g(x)  f(x)  h(x) για τα x που είναι κοντά στο x0 , τότε : o Βρίσκω το lim g(x) και το lim h(x) x→xo x→xo o Αν lim g(x)  lim h(x) τότε για το όριο lim f(x) δεν έχουμε x→xo x→xo x→xo συμπέρασμα ( δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει το όριο lim f(x) ). x→xo o Αν lim g(x) = lim h(x) τότε το όριο lim f(x) υπάρχει και είναι ίσο x→xo x→xo x→xo με τα προηγούμενα. Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 46

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Παρατηρήσεις i. Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και για πλευρικά όρια. ii. Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και για ανισοτική της μορφής ➢ g(x)  f(x)  h(x) για τα x που είναι κοντά στο x0 ή ➢ g(x)  f(x)  h(x) για τα x που είναι κοντά στο x0 ή ➢ g(x)  f(x)  h(x) για τα x που είναι κοντά στο x0 ή και lim h(x) = lim g(x) = x→x0 x→x0 τότε υπάρχει το όριο της f στο xo και ισχύει lim f(x) = . x→x0 iii. Η ανισότητα g(x)  f(x)  h(x) είναι αρκετό να ισχύει για x κοντά στο xo και όχι απαραίτητα για x = xo . o Η διαδικασία εφαρμογής του θεωρήματος μας εξασφαλίζει και την ύπαρξη του ορίου lim f (x) . x→xo (Γι΄ αυτό δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση του θεωρήματος της παρεμβολής με το θεώρημα της διάταξης δύο συναρτήσεων) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο xo και ισχύει f(x)  g(x) κοντά στο xo , τότε lim f(x)  lim g(x) x→x0 x→x0 Παράδειγμα 1 Να βρεθεί το όριο limf (x) αν x f(x)  x2 για κάθε x Λύση : x→0 o Δεν έχουμε παράσταση της μορφής g(x)  f(x)  h(x) γι’ αυτό κάνουμε πράξεις μετασχηματισμού x  f (x)  x2  -x2  x  f (x)  x2 (1) o Αν x 0 διαιρούμε την (1) με x και έχουμε -x2  x  f(x)  x2  -x  f(x)  x (2) x xx Αν θεωρήσουμε g(x) = −x & h(x) = x τότε τα όριά τους είναι δεξιά πλευρικά με : o lim g(x) = lim (-x) = 0 και lim h(x) = lim (x) = 0 οπότε από το x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι : lim f (x) = 0 x→0+ o Αν x 0 διαιρούμε την (1) με x και έχουμε 47 -x2  x  f(x)  x2  x  f(x)  -x (3) x xx Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Αν θεωρήσουμε g(x) = x & h(x) = −x τότε τα όριά τους είναι αριστερά πλευρικά με : lim g(x) = lim (x) = 0 και limh(x) = lim (-x) = 0 οπότε x→0- x→0- x→0- x→0- εφαρμόζοντας κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι lim f (x) = 0 . x→0− o Τελικά αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα θα έχουμε ότι limf (x) = 0 x→0 Παράδειγμα 2: Αν lim | f(x)|= 0 τότε υπάρχει το lim f (x) και είναι lim f(x) =0 x→xo x→xo x→xo Λύση : o Από τις ιδιότητες των απόλυτων ισχύει ότι - | f(x)| f(x) | f(x)| Βασικό παράδειγμα και lim | f(x)|= lim - | f (x)| =0 x→xo x→xo o Εφαρμόζοντας το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει το lim f(x) =0 x→xo Παράδειγμα 3: Αν lim f2 (x) = 0 τότε υπάρχει το lim f (x) και είναι lim f(x) =0 x→xo x→xo x→xo Λύση : o Ισχύει - f2 (x) = - | f (x)| και - | f(x)| f(x) | f(x)| οπότε είναι Βασικό o - f2 (x) = - | f (x)| f (x) | f (x)| f2 (x) . παράδειγμα o Δηλαδή τελικά - f2 (x)  f (x)  f2 (x) . o Εφαρμόζοντας το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει το lim f(x) =0 x→xo Παράδειγμα 4: Αν lim f2 (x) + g2 (x) =0 τότε το lim f(x) =0 και lim g(x) =0 x→xo x→xo x→xo Λύση : o Είναι προφανές ότι : 0  f2 (x)  f2 (x) + g2 (x) και εφαρμόζοντας Βασικό παράδειγμα κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι o lim f2 (x) = 0, άρα και lim f(x) =0 x→xo x→xo o Όμοια 0  g2 (x)  f2 (x) + g2 (x) συνεπώς lim g(x) =0 x→xo Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 48

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές Αν f,g : → συναρτήσεις ώστε lim f (x) + g (x) =0 και Παράδειγμα 5: x→xo lim f (x)  g (x) = 0 τότε lim f(x) =0 και lim g(x) =0 x→xo x→xo x→xo Λύση : o Ισχύει από τις ταυτότητες ότι : Βασικό f2 (x) + g2 (x) = f (x) + g(x) 2 − 2 f (x)g(x) , άρα παράδειγμα o lim  f 2 ( x) + g2 ( x ) = lim  f ( x ) + g ( x ) 2- 2  f ( x )  g ( x ) = ... = 0 x→xo x→xo o συνεπώς από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι lim f(x) =0 και lim g(x) =0 x→xo x→xo Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 49

όριο στο xo φροντιστήρια Συναρτήσεις Θετικές Σπουδές 7.Γ. Πως βοηθά το κριτήριο της παρεμβολής για την εύρεση ορίου όταν έχουμε μηδενική επί φραγμένη συνάρτηση; Πότε o Πολλές φορές εμφανίζονται όρια τα οποία αφορούν συνάρτηση χρησιμοποιώ τη μέθοδο; γινομένου , lim f (x)  g (x) Μέθοδος : x→xo o Αν lim  f ( x ) =0( μηδενική) και g(x)  M ( φραγμένη) , λέμε x→xo ότι έχουμε μία περίπτωση ορίου μηδενικής επί φραγμένη. o Ο τρόπος δουλειάς είναι : f(x)g(x) = f(x)  g(x)  f(x) M - f(x) M f(x)g(x)  f(x) M o Όμως lim (− f (x) M) = 0 και lim ( f (x) M) = 0. x→xo x→xo o Άρα lim f ( x)  g (x) =0 x→xo Παράδειγμα 6: Να δείξετε ότι lxi→m0  x  ημ 1  = 0 . x  Λύση : o Είναι limx = 0 και ημ 1  1. x→0 x Βασικό παράδειγμα Άρα έχουμε μηδενική επί φραγμένη. o Για, για x  0 έχουμε xημ 1 =| x |  ημ 1 | x |, Χρήση ως κανόνα , xx υπάρχει στο Οπότε - | x| x ημ 1 | x|. βιβλίο ως παράδειγμα x o Επειδή lim(- | x |) = lim | x |= 0 ,οπότε σύμφωνα με το x→0 x→0 παραπάνω κριτήριο lxi→m0  x  ημ 1  = 0 . x  Γρηγόριος Δ. Καρπούζας – καθηγητής Μαθηματικών 50