Γ΄ Γυμνασίου Μαθηματικό Επαναληπτικό Φυλλάδιο ● Ερωτήσεις Θεωρίας Με Απαντήσεις ● Επαναληπτικά Θέματα για Εξετάσεις ● Διαγωνίσματα ● Θέματα Μαθητικών Διαγωνισμών Ε.Μ.Ε.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α΄ ΜΕΡΟΣ-ΑΛΓΕΒΡΑ Α.1.1.Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Ερώτηση 1.Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί; Απάντηση ● Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν ( ή μπορούν να πάρουν ) κλασματική μορφή δηλαδή τη μορφή α , όπου α ,β ακέραιοι β με β 0 και συμβολίζονται με Q ● Άρρητοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί ● Πραγματικοί αριθμοί είναι αυτοί που είναι ρητοί ή άρρητοι Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με IR Δηλαδή R ρητοί ή άρρητοι αριθμοί Ερώτηση 2. Τι ονομάζεται απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού; Απάντηση Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α| και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα. Ερώτηση 3. Πως προσθέτουμε δύο ομόσημους αριθμούς και πως δύο ετερόσημους; Απάντηση ● Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά αυτό βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα ● Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή Ερώτηση 4. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ομόσημους αριθμούς και πως δύο ετερόσημους; Απάντηση ● Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο γινόμενο αυτό βάζουμε πρόσημο + ● Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο γινόμενο αυτό βάζουμε πρόσημο – Ερώτηση 5. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών; Απάντηση Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική αβ βα αβ βα Προσεταιριστική α (β γ) (α β) γ α(βγ) (αβ)γ Ουδέτερο στοιχείο α0α α1 α Επιμεριστική α (α) 0 α 1 1, α 0 α α (β γ) α β α γ Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι: ● α0 0 ● Αν α β 0 , τότε α = 0 ή β = 0.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 6. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε λέγονται αντίστροφοι; Απάντηση ● Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι. ● Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι. Ερώτηση 7. Πως βρίσκουμε τη διαφορά δύο αριθμών και πως το πηλίκο τους; Απάντηση ● Για να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου α β α (β) ● Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών ( α : β ή α , β 0 ) β πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη α:β α1 ή α α1 ββ β Ερώτηση 8. Τι ονομάζεται δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ακέραιο; Απάντηση Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν ≥ 2 συμβολίζεται με αν και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α. Δηλαδή: αν α α α ... α ν παράγοντες Ακόμη είναι: α1 α , α0 1 , α 0 , αν 1 , α 0 αν
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 9. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο; Απάντηση αμ αν αμν α ν αν αμ : αν αμν βν (αβ)ν αν βν β (αμ )ν αμν α ν β ν β α Ερώτηση 10. Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων; Απάντηση ● Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις. ● Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. ● Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. ● Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω. Ερώτηση 11. Πως ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού; Απάντηση Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με x και είναι ο θετικός αριθμός α που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Δηλαδή: x α αν και μόνο αν α2 x , x 0 Ορίζουμε 0 0 Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x2 | x |
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνο του να είναι αρνητικός αριθμός. 2 Γενικά: Αν x 0 τότε x x Ερώτηση 12. Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας; Απάντηση ● Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους. α β αβ ● Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους. α α β0 ββ Προσοχή: Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε α β α β
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.1.2.Μονώνυμα-Πράξεις με μονώνυμα Ερώτηση 13. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Απάντηση Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση κάθε έκφραση που συνδυάζει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών. Ερώτηση 14. Τι ονομάζεται αριθμητική τομή αλγεβρικής παράστασης; Απάντηση Ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης ο αριθμός που θα προκύψει αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις. Ερώτηση 15. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται ακέραια; Απάντηση Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί Ερώτηση 16. Τι ονομάζεται μονώνυμο; Απάντηση Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού, λέγονται μονώνυμα.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 17. Τι ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου και τι συντελεστής του; Απάντηση Σ´ ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με τους αντίστοιχους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Ερώτηση 18. Τι είναι ο βαθμός ενός μονωνύμου; Απάντηση Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. Ερώτηση 19. Πότε δυο μονώνυμα λέγονται όμοια; Απάντηση Όμοια μονώνυμα λέγονται εκείνα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος Ερώτηση 20. Ποια μονώνυμα λέγονται ίσα και ποια αντίθετα; Απάντηση Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα ενώ, αν έχουν αντίθετους συντελεστές, λέγονται αντίθετα. Ερώτηση 21. Ποιο μονώνυμο λέγεται σταθερό και ποιο μηδενικό; Τι βαθμό έχει το σταθερό μονώνυμο και τι το μηδενικό; Απάντηση
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Οι αριθμοί θεωρούνται ως μονώνυμα και τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα. Ειδικότερα, ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού. Ερώτηση 22. Πως προσθέτουμε μονώνυμα; Απάντηση Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Ερώτηση 23. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμα; Απάντηση Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με: √ Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και √ Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. Σχόλιο: Διαίρεση μονωνύμων Η διαίρεση μονωνύμων, όπως και η διαίρεση αριθμών γίνεται, αν πολλαπλασιάσουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.1.3. Πολυώνυμα-Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Ερώτηση 24. Τι ονομάζεται πολυώνυμο; Απάντηση Πολυώνυμο ονομάζεται μια αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα δυο ή περισσοτέρων μονωνύμων τα οποία δεν είναι όμοια μεταξύ τους. Ερώτηση 25. Τι ονομάζεται όρος ενός πολυώνυμου; Απάντηση Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου. ● Ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται √ διώνυμο, αν έχει δύο όρους √ τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους. Ερώτηση 26. Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυώνυμου; Απάντηση Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. Ερώτηση 27. Ποιο πολυώνυμο λέγεται σταθερό και ποιο μηδενικό; Τι βαθμό έχουν; Απάντηση Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 28. Ποια διαδικασία ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων; Απάντηση Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων Α.1.4. Πολλαπλασιαμός πολυωνύμων Ερώτηση 29. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; Απάντηση Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Ερώτηση 30. Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; Απάντηση Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο τους ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και στη συνέχεια κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.1.5. Αξιοσημείωτες ταυτότητες Ερώτηση 31. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Απάντηση Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών τους Ερώτηση 32. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α β)2 και να το αποδείξετε. Τετράγωνο αθροίσματος Απάντηση Είναι: (α β)2 α2 2αβ β2 Απόδειξη: (α β)2 (α β)(α β) α2 αβ βα β2 α2 2αβ β2 Γεωμετρική ερμηνεία: Η ταυτότητα (α β)2 α2 2αβ β2 με α 0 και β 0 ερμηνεύεται και γεωμετρικά. ● Το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά α+β ● Το εμβαδόν του προκύπτει αν προσθέσουμε τα εμβαδά των σχημάτων που το αποτελούν Ερώτηση 33. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α β)2 και να το αποδείξετε. Τετράγωνο διαφοράς Απάντηση Είναι: (α β)2 α2 2αβ β2 Απόδειξη: (α β)2 (α β)(α β) α2 αβ βα β2 α2 2αβ β2
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 34. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α β)3 και να το αποδείξετε. Κύβος αθροίσματος Απάντηση Είναι: (α β)3 α3 3α2β 3αβ2 β3 Απόδειξη: (α β)3 (α β)(α β)2 (α β)(α2 2αβ β2 ) α3 2α2β αβ2 βα2 2αβ2 β3 α3 3α2β 3αβ2 β3 Ερώτηση 35. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α β)3και να το αποδείξετε. Κύβος διαφοράς Απάντηση Είναι: (α β)3 α3 3α2β 3αβ2 β3 Απόδειξη: (α β)3 (α β)(α β)2 (α β)(α2 2αβ β2 ) α3 2α2β αβ2 βα2 2αβ2 β3 α3 3α2β 3αβ2 β3 Ερώτηση 36. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α β)(α β)και να το αποδείξετε. Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά Απάντηση Είναι: (α β)(α β) α2 β2 Απόδειξη: (α β)(α β) α2 αβ αβ β2 α2 β2
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 37. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας α3 β3 και να το αποδείξετε. Διαφορά κύβων Απάντηση Είναι: α3 β3 (α β)(α2 αβ β2) Απόδειξη: (α β)(α2 αβ β2 ) α3 α2β αβ2 α2β αβ2 β3 α3 β3 Ερώτηση 38. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας α3 β3και να το αποδείξετε. Άθροισμα κύβων Απάντηση Είναι: α3 β3 (α β)(α2 αβ β2) Απόδειξη: (α β)(α2 αβ β2 ) α3 α2β αβ2 α2β αβ2 β3 α3 β3 Ερώτηση 39. Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας (α β γ)2 και να το αποδείξετε. Απάντηση Είναι: (α β γ)2 α2 β2 γ2 2αβ 2βγ 2αγ Απόδειξη (α β γ)2 (α β γ)(α β γ) α2 αβ αγ βα β2 βγ γα γβ γ 2 α2 β2 γ2 2αβ 2βγ 2αγ Γεωμετρική ερμηνεία: Με α 0 , β 0 , γ 0 ● Το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά α+β+γ ● Το εμβαδόν του προκύπτει αν προσθέσουμε τα εμβαδά των σχημάτων που το αποτελούν
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.1.6. Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Ερώτηση 40. Ποια διαδικασία ονομάζεται παραγοντοποίηση; Απάντηση Η διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων, λέγεται παραγοντοποίηση. Ερώτηση 41. Ποιες είναι οι πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης μιας αλγεβρικής παράστασης; Απάντηση Μέθοδος 1: Κοινός παράγοντας αx αy α(x y) Μέθοδος 2: Κατά ομάδες (ομαδοποίηση) αx αy βx βy α(x y) β(x y) (x y)(α β) Μέθοδος 3: Διαφορά τετραγώνων α2 β2 (α β)(α β) Μέθοδος 4: Ανάπτυγμα τετραγώνου α2 2αβ β2 (α β)2 α2 2αβ β2 (α β)2 Ανάπτυγμα κύβου α3 3α2β 3αβ2 β3 (α β)3 α3 3α2β 3αβ2 β3 (α β)3 Μέθοδος 5: Άθροισμα κύβων α3 β3 (α β)(α2 αβ β2) Διαφορά κύβων α3 β3 (α β)(α2 αβ β2) Μέθοδος 6: Τριώνυμο x2 (α β)x αβ (x α)(x β) x2 (α β)x αβ (x α)(x β) Μέθοδος 7: Διάσπαση- Προσθαφαίρεση όρου Μέθοδος 8: Συνδυασμός περιπτώσεων
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.1.8. Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Ερώτηση 42. Τι ονομάζεται Ε.Κ.Π δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; Απάντηση Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. Ερώτηση 43. Τι ονομάζεται Μ.Κ.Δ δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων; Απάντηση Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του. Α.1.9. Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Ερώτηση 44. Τι ονομάζεται ρητή αλγεβρική παράσταση; Απάντηση Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα και οι όροι του είναι πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση. Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή της, αφού δεν ορίζεται κλάσμα με παρονομαστή μηδέν.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.1.10. Πράξεις ρητών παραστάσεων Ερώτηση 45. Πότε μια ρητή αλγεβρική παράσταση μπορεί να απλοποιηθεί; Απάντηση Όπως μια αριθμητική παράσταση, έτσι και μια ρητή παράσταση, μπορεί να απλοποιηθεί, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα. ♦ Αν όμως σε μια ρητή παράσταση ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι γινόμενο, τότε για να την απλοποιήσουμε εργαζόμαστε ως εξής: ● Παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της ● Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της. Ερώτηση 46. Πως προσθέτουμε ή αφαιρούμε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις; Απάντηση ● Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές ● Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών ● Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα ● Εκτελούμε τις πράξεις και τις δυνατές απλοποιήσεις Ερώτηση 47. Πως πολλαπλασιάζουμε και πως διαιρούμε δυο κλάσματα; Απάντηση Χρησιμοποιούμε τους κανόνες ● α γ α γ , β 0, γ 0 ●α : γ α δ β δ βδ β δ βγ
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.2.1. Η εξίσωση αx+β=0 Ερώτηση 48. Τι ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο; Απάντηση ● Ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα της μορφής αx β 0, α 0 ● Ο αριθμός α λέγεται συντελεστής του αγνώστου και ο β σταθερός όρος ● Ρίζα της εξίσωσης λέγεται κάθε αριθμός που την επαληθεύει ● Επίλυση λέγεται η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε την λύση της. Ερώτηση 49. Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης αx+β=0; Απάντηση ● Αν α ≠ 0, τότε η εξίσωση αx + β = 0 έχει μοναδική λύση την x β α ● Αν α = 0, τότε η εξίσωση αx + β = 0 γράφεται 0x = -β και √ αν β ≠ 0, δεν έχει λύση (αδύνατη), ενώ √ αν β = 0, κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη) Ερώτηση 50. Πως λύνουμε εξίσωση 1ου βαθμού; Απάντηση ● Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. ● Απαλείφουμε τους παρονομαστές. ● Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε τις παρενθέσεις.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα ● Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. ● Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. ● Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου. Α.2.2. Εξισώσεις 2ου βαθμού Ερώτηση 51. Τι ονομάζεται εξίσωση 2ου βαθμού Απάντηση ● Ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα της μορφής αx2 βx γ 0, α, β, γ με α 0 ● Οι αριθμοί α , β λέγονται συντελεστές και ο γ σταθερός όρος ● Επίλυση λέγεται η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τις τιμές του x που την επαληθεύουν Ερώτηση 52. Πως λύνουμε εξισώσεις 2ου βαθμού; Απάντηση ● Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος ● Αναλύουμε το 1ο μέλος σε γινόμενο παραγόντων ● Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το 0 ● Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν Ερώτηση 53. Τι είναι Διακρίνουσα; Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης αx2 βx γ 0, α 0 Απάντηση Διακρίνουσα Δ είναι ο αριθμός β2 4αγ Δηλαδή: Δ β2 4αγ ● Αν Δ > 0, έχει δύο άνισες λύσεις τις x β Δ 2α ● Αν Δ = 0, έχει μία διπλή λύση την x β 2α ● Αν Δ < 0, δεν έχει λύση (αδύνατη).
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 54. Αν η εξίσωση αx2 βx γ 0, α 0 έχει δυο ρίζες ρ1, ρ2 πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο αx2 βx γ Απάντηση Είναι αx2 βx γ α(x ρ1)(x ρ2) Α.2.4. Κλασματικές εξισώσεις Ερώτηση 55. Τι ονομάζεται κλασματική εξίσωση και πότε ορίζεται; Απάντηση Κλασματική εξίσωση ονομάζεται κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο στον παρονομαστή Για να ορίζεται πρέπει οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός. Ερώτηση 56. Πως λύνουμε μια κλασματική εξίσωση; Απάντηση ● Αναλύουμε τους παρονομαστές σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ● Προσδιορίζουμε τις τιμές του αγνώστου για τις οποί-ες όλοι οι παρονομαστές είναι διάφοροι του μηδενός. ● Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. ● Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει ● Από τις λύσεις που βρήκαμε, απορρίπτουμε εκείνες που δεν ικανοποιούν τους περιορισμούς.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.2.5. Ανισότητες – Ανισώσεις με έναν άγνωστο Ερώτηση 57. Πως συγκρίνουμε δυο πραγματικούς αριθμούς που δεν έχουν παρασταθεί με τα σημεία ενός άξονα; Απάντηση Για να συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β, που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους α - β και εξετάζουμε αν είναι θετική ή αρνητική ή μηδέν. Δηλαδή: ● Αν α - β > 0 τότε α > β ● Αν α - β < 0 τότε α< β ● Αν α - β = 0 τότε α = β Ερώτηση 58. Τι ονομάζεται ανισότητα και ποια είναι τα χαρακτηριστικά της; Απάντηση ● Η σχέση της μορφής α>β λέγεται ανισότητα με πρώτο μέλος το α και δεύτερο το β ● Οι ανισότητες α<β και γ<δ λέγονται ομοιόστροφες (έχουν ίδια φορά) ● Οι ανισότητες α<β και γ>δ λέγονται ετερόστροφες (έχουν αντίθετη φορά) ● Για να δηλώσουμε ότι ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον αριθμό β γράφουμε α β
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 59. Ποιες είναι οι ιδιότητες της διάταξης; Απάντηση ● Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α β τότε α γ β γ και α γ β γ ● Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α β και γ 0 τότε αγ βγ και α β γγ ● Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά. Δηλαδή: Αν α β και γ 0 τότε αγ βγ και α β γγ ● Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α β και γ δ τότε α γ β δ ● Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: Αν α, β, γ, δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α β και γ δ τότε α γ β δ
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Σχόλια: ● Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητικός αριθμός, δηλαδή ισχύει α2 0 Επομένως: Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α2 β2 0 + τότε α = 0 και β = 0. ● Δεν επιτρέπεται να αφαιρούμε ή να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη. Ερώτηση 60. Πως λύνουμε ανίσωση 1ου βαθμού αx β 0 ή αx β 0 ; Απάντηση Για την επίλυση ανισώσεων πρώτου βαθμού μ’ ένα άγνωστο ακολουθούμε τα ίδια βήματα που ακλουθούμε για την επίλυση των εξισώσεων πρώτου βαθμού μ’ ένα άγνωστο. Με την διαφορά ότι όταν διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και τα δύο μέλη της ανίσωσης: ● αν είναι θετικός διατηρούμαι τη φορά της ανίσωσης ● αν είναι αρνητικός αλλάζουμε την φορά της ανίσωσης.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.3.1. Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Ερώτηση 61. Τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους x και y και τι λύση της; Απάντηση ● Ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους κάθε εξίσωση της μορφής αx βy γ ● Λύση μιας εξίσωσης αx βy γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) που την επαληθεύει. Ερώτηση 62. Πως παριστάνεται γραφικά κάθε εξίσωση της μορφής αx βy γ με α 0 ή β 0 και τι ισχύει; Απάντηση ● Κάθε εξίσωση της μορφής αx βy γ με α 0 ή β 0 παριστάνεται γραφικά με μια ευθεία ε Ισχύει: ● Αν ένα σημείο ανήκει στην ευθεία ε, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση αx βy γ ● Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση αx βy γ , τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία ε. Ερώτηση 63. Τι παριστάνει η εξίσωση y=k, k 0 και τι η εξίσωση y=0; Απάντηση H εξίσωση y = k με k 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0, k), ενώ η εξίσωση y = 0 παριστάνει τον άξονα x΄x
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 64. Τι παριστάνει η εξίσωση x=k, k 0 και τι η εξίσωση x=0; Απάντηση H εξίσωση x = k με k ≠ 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο (k, 0), ενώ η εξίσωση x = 0 παριστάνει τον άξονα y΄y Σχόλια: ● Η εξίσωση 0x + 0y = 7 δεν παριστάνει ευθεία, αφού κανένα ζεύγος αριθμών (x, y) δεν είναι λύση της (αδύνατη εξίσωση). ● Η εξίσωση 0x + 0y = 0 επαληθεύεται για κάθε ζεύγος αριθμών (x, y). (αόριστη εξίσωση). Τα σημεία όμως, που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Άρα η εξίσωση 0x + 0y = 0 δεν παριστάνει ευθεία.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.3.2. Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του Ερώτηση 65. Τι ονομάζεται γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους x και y; Απάντηση Ονομάζεται γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους x και y ένα σύνολο δυο εξισώσεων της μορφής αx βy γ με ένα τουλάχιστον από τα α, β και α, β 0 αx β y γ Ερώτηση 66. Τι ονομάζεται λύση γραμμικού συστήματος δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους x και y; Απάντηση Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y ονομάζεται κάθε ζεύγος (x, y) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. Ερώτηση 67. Πως ερμηνεύεται γραφικά ότι ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους έχει μια λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις; Απάντηση ● Αν οι δύο ευθείες που αντιπροσωπεύουν τις δύο εξισώσεις του συστήματος τέμνονται, τότε οι συντεταγμένες του σημείου τομής τους αποτελούν τη μοναδική λύση του συστήματος. ● Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες τότε το σύστημα είναι αδύνατο ● Αν οι δύο ευθείες ταυτίζονται, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.3.3. Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος Ερώτηση 68. Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης; Απάντηση ● Λύνουμε μία από τις εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο. ● Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση του συστήματος τον άγνωστο αυτόν με την ίση παράστασή του, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και λύνουμε. ● Την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε την αντικαθιστούμε στην προηγούμενη εξίσωση, οπότε βρίσκουμε και τον άλλο άγνωστο. ● Προσδιορίζουμε τη λύση του συστήματος. Ερώτηση 69. Ποια βήματα ακολουθούμε για να λύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών; Απάντηση ● Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης με κατάλληλο αριθμό, ώστε να εμφανιστούν αντίθετοι συντελεστές σ΄ έναν από τους δύο αγνώστους προκειμένου να τον απαλείψουμε ● Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο την οποία και λύνουμε. ● Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος, οπότε βρίσκουμε την τιμή και του άλλου αγνώστου. ● Προσδιορίζουμε τη λύση του συστήματος.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.4.1. Η συνάρτηση y αx2 , α 0 Ερώτηση 70. Πως ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx2, α 0 . Πότε παρουσιάζει μέγιστη τιμή και ποια; Πότε παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και ποια; Απάντηση ● Έχει γραφική παράσταση μια καμπύλη που είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον άξονα yy ● Αν α>0 τότε Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα xx και πάνω και η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή y=0 όταν x=0 ● Αν α<0 τότε Η παραβολή βρίσκεται από τον άξονα xx και κάτω και η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή y=0 όταν x=0
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.4.2. Η συνάρτηση y αx2 βx γ, α 0 Ερώτηση 71. Ποια συνάρτηση λέγεται τετραγωνική; Απάντηση Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y αx2 βx γ, α 0 Ερώτηση 72. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx2 βx γ, α 0 Απάντηση H γραφική παράσταση της συνάρτησης y αx2 βx γ, α 0 είναι παραβολή με: ● Κορυφή το σημείο Κ β , Δ , όπου Δ β2 4αγ 2α 4α ● Άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Κ και έχει εξίσωση x β 2α Ερώτηση 73. Πότε η συνάρτηση y αx2 βx γ, α 0 έχει μέγιστο και πότε ελάχιστο; Απάντηση ● Αν α > 0, η συνάρτηση y αx2 βx γ, α 0 παίρνει ελάχιστη τιμή y Δ όταν x β 4α 2α ● Αν α < 0, η συνάρτηση y αx2 βx γ, α 0 παίρνει μέγιστη τιμή y Δ όταν x β 4α 2α
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.5.1. Σύνολα Ερώτηση 74. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου; Απάντηση ● Με αναγραφή των στοιχείων του ● Με περιγραφή των στοιχείων του ● Με διάγραμμα Venn Ερώτηση 75. Πότε δυο σύνολα λέγονται ίσα; Απάντηση Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Ερώτηση 76. Πότε ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός άλλου συνόλου Β; Απάντηση Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Ερώτηση 77. Πως συμβολίζονται οι γνωστοί μας αριθμοί και τα αντίστοιχα σύνολά τους; Απάντηση Φυσικοί αριθμοί Ν = {0, 1, 2, 3, 4, …} Ακέραιοι αριθμοί Ζ = {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, …} Ρητοί αριθμοί Q = { α , όπου α, β ακέραιοι, με β ≠ 0} β Πραγματικοί αριθμοί R = {ρητοί ή άρρητοι αριθμοί}
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 78. Ποιο σύνολο λέγεται κενό; Απάντηση Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ∅ . Ερώτηση 79. Ποιο σύνολο ονομάζεται ένωση συνόλων; Ποιο τομή; Και ποιο συμπλήρωμα; Απάντηση ● Ονομάζεται ένωση δύο συνόλων Α και Β ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. Συμβολίζεται: Α U Β ● Ονομάζεται τομή δύο συνόλων Α και Β ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. Συμβολίζεται: Α ∩ Β ● Ονομάζεται συμπλήρωμα ενός συνόλου Α ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του βασικού συνόλου Ω που δεν ανήκουν στο Α. Συμβολίζεται: Α΄ ● Ισχύουν: A U A΄ = Ω και Α ∩ Α΄ = Ø
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.5.2. Δειγματικός χώρος -Ενδεχόμενα Ερώτηση 80. Τι είναι το πείραμα τύχης; Απάντηση Είναι ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν τα επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά τους με απόλυτη βεβαιότητα. Ερώτηση 81. Τι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης; Απάντηση Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων του και συμβολίζεται με Ω Ερώτηση 82. Τι είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; Απάντηση Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω Ερώτηση 83. Ποιο ενδεχόμενο λέγεται βέβαιο και ποιο αδύνατο; Απάντηση ● Το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο (είναι ο δειγματικός χώρος) ● Το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο. (είναι το κενό σύνολο) Ερώτηση 84. Πότε ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα; Απάντηση Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α ∩ Β = Ø
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Α.5.3. Έννοια της πιθανότητας Ερώτηση 85. Μα διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας Απάντηση Σ´ ένα πείραμα τύχης, με ισοπίθανα αποτελέσματα, πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός P(A) πλήθος ευνοΐ κών περιπτώσεων Ν(Α) πλήθος δυνατών περιπώτ σεων Ν(Ω) Ερώτηση 86. Μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α; Απάντηση Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το 1, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει: 0≤ P(A)≤ 1 Ερώτηση 87. Ποιοι είναι οι βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων; Απάντηση ● Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Α' ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α') = 1. ● Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Β΄ ΜΕΡΟΣ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β.1.1. Ισότητα τριγώνων Ερώτηση 88. Τι ονομάζεται τρίγωνο και ποια είναι τα κύρια στοιχεία του; Απάντηση ● Τρίγωνο ονομάζεται το επίπεδο σχήμα που ορίζεται από τρία μη συνευθειακά σημεία τα οποία συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. ● Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. Ερώτηση 89. Με τι ισούται το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; Απάντηση Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 1800 Ερώτηση 90. Ποια είναι τα είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες τους και τι γνωρίζετε για αυτά ; Απάντηση Είναι: ● Το οξυγώνιο ● Το αμβλυγώνιο ● Το ορθογώνιο Το ορθογώνιο έχει μια ορθή γωνία, το αμβλυγώνιο έχει μια αμβλεία γωνία και στο οξυγώνιο τρίγωνο όλες του οι γωνίες είναι οξείες.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 91. Ποια είναι τα είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τους και τι γνωρίζετε για αυτά ; Απάντηση Είναι: ● Το ισόπλευρο ● Το ισοσκελές ● Το σκαληνό. Το ισόπλευρο έχει και τις τρείς πλευρές του ίσες. Στο ισοσκελές δύο πλευρές είναι ίσες και στο σκαληνό όλες οι πλευρές είναι άνισες. Ερώτηση 92. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου και τι γνωρίζετε για αυτά ; Απάντηση ● Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος. ● Διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. ● Ύψος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή κάθετα στην ευθεία της απέναντι πλευράς. ● Διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Διάμεσος Διχοτόμος Ύψος
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 93. Πότε δυο τρίγωνα είναι ίσα; Απάντηση Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. Ερώτηση 94. Τι ισχύει αν δυο τρίγωνα είναι ίσα; Απάντηση Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. Στα ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Ερώτηση 95. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων; Απάντηση 1ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. 2ο κριτήριο ισότητας (Γ - Π - Γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 3ο κριτήριο ισότητας (Π - Π - Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 96. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων; Απάντηση Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: ● δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ή ● μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. Ερώτηση 97. Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου; Απάντηση Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: ● Οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες. ● Η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος που φέρνουμε από την κορυφή προς τη βάση του συμπίπτουν Ερώτηση 98. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ; Απάντηση Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Αντίστροφα: Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 99. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας; Απάντηση Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντιστρόφως κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου της. Β.1.2. Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων Ερώτηση 100. Τι ισχύει αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία; Απάντηση Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. Ερώτηση 101. Τι ισχύει αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του; Απάντηση Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Ερώτηση 102. Τι ονομάζεται λόγος ευθυγράμμων τμημάτων; Απάντηση Ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ συμβολίζεται ΓΔ και είναι ο αριθμός λ, για τον ΑΒ οποίο ισχύει ΓΔ = λ·ΑΒ.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 103. Ποια τμήματα λέγονται ανάλογα; Απάντηση Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ, όταν ισχύει α γ βδ ● Η ισότητα α γ ονομάζεται αναλογία με όρους τα βδ ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ, δ. ● Τα ευθύγραμμα τμήματα α, δ ονομάζονται άκροι όροι, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα β, γ ονομάζονται μέσοι όροι της αναλογίας. Ερώτηση 104. Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών; Απάντηση ● Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων. Δηλαδή Αν α γ τότε αδ βγ βδ ● Σε κάθε αναλογία μπορούμε να εναλλάξουμε τους μέσους ή τους άκρους όρους και να προκύψει πάλι αναλογία. Δηλαδή Αν α γ τότε α β ή δ γ βδ γδ βα ● Λόγοι ίσοι μεταξύ τους είναι και ίσοι με το λόγο που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών Δηλαδή Αν α γ τότε α γ α γ βδ β δ βδ
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 105. Με τι είναι ίση η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου; Απάντηση Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Β.1.3. Θεώρημα Θαλή Ερώτηση 106. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Θαλή Απάντηση Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη. Δηλαδή: αν ε1 / /ε2 / /ε3 τότε ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΑΓ Σχόλιο: Για δύο σημεία Δ, Ε των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν: ● Αν ΔΕ / /ΒΓ τότε ΑΔ ΑΕ ΔΒ ΕΓ ● Αν ΑΔ ΑΕ τότε ΔΕ / /ΒΓ ΔΒ ΕΓ
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Β.1.5. Ομοιότητα Ερώτηση 107. Πότε δυο πολύγωνα είναι όμοια; Απάντηση Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. ● Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια Ερώτηση 108. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; Απάντηση Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. ● Αν A Δ και Β Ε τότε ΑΒΓ ΔΕΖ Επομένως: ΑΒ ΒΓ ΑΓ Γ Ζ και ΔΕ ΕΖ ΔΖ Ερώτηση 109. Τι είναι λόγος ομοιότητας δυο όμοιων σχημάτων; Απάντηση Δυο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές ομοίων πολυγώνων έχουν τον ίδιο λόγο, για αυτό λέγονται ομόλογες και ο λόγος τους λέγεται λόγος ομοιότητας. Β.1.6. Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ερώτηση 110. Με τι ισούται ο λόγος των εμβαδών δυο όμοιων σχημάτων; Απάντηση Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Β.2.1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 00 ω 1800 Ερώτηση 111. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; Απάντηση Έστω ω οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Τότε: ημω απέναντι κάθετη πλευρά ΑΓ υποτείνουσα ΒΓ συνω προσκείμενη κάθετη πλευρά ΑΒ υποτείνουσα ΒΓ εφω απέναντι κάθετη πλευρά ΑΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά ΑΒ Ερώτηση 112. Έστω Μ (x, y) ένα σημείο του επιπέδου. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω xΟΜ Απάντηση Έστω ρ η απόσταση του Μ από την αρχή Ο των αξόνων. Είναι ρ x2 y2 Τότε: ημω τεταγμένη του Μ y απόσταση του Μ απο το Ο ρ συνω τετμημένη του Μ x απόσταση του Μ απο το Ο ρ εφω τεταγμένη του Μ y τετμημένη του Μ x
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 113. Τι πρόσημο έχουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω; Απάντηση ● Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι x>0, y>0, ρ>0 οπότε: ημω>0, συνω>0, εφω>0. ● Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι x<0, y>0, ρ>0 οπότε: ημω>0, συνω<0, εφω<0. Ερώτηση 114. Ποιοι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 00 , 900 , 1800 300 , 450 , 600 Απάντηση 00 900 1800 300 450 600 2 ημίτονο 0 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 2 συνημίτονο 1 0 -1 3 2 1 3 εφαπτομένη 0 Δεν 0 3 ορίζεται 3 Β.2.2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Ερώτηση 115. Αν δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε ποια σχέση έχουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τους; Απάντηση Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 116. Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180º − ω να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(1800 ω) .......... , συν(1800 ω) ......... , εφ(1800 ω) ....... Απάντηση Είναι: ημ(1800 ω) ημω συν(1800 ω) συνω εφ(1800 ω) εφω Ερώτηση 117. Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο, τότε ποια τι σχέση έχουν τα μέτρα αυτών των γωνιών; Απάντηση Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και είναι από 0° μέχρι και 180°, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές Β.2.3. Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας Ερώτηση 118. Να αποδείξετε την τριγωνομετρική ταυτότητα: ημ2ω συν2ω 1 Απάντηση Η απόσταση του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων είναι ρ x2 y2 ή ρ2 x2 y2 Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το ρ2 έχουμε: ρ2 x2 y2 ή x 2 y 2 1 (1) ρ2 ρ2 ρ2 ρ ρ Επειδή ημω y και συνω x η ισότητα (1) γίνεται: ρρ (συνω)2 (ημω)2 1 ή συν2ω ημ2ω 1
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Ερώτηση 119. Να αποδείξετε την ταυτότητα εφω ημω συνω Απάντηση Είναι: y ημω ρ yρ y εφω συνω x xρ x ρ Β.2.4. Νόμος των ημιτόνων-Νόμος των συνημιτόνων Ερώτηση 120. Να διατυπώσετε το νόμο των ημιτόνων. Απάντηση Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. Δηλαδή σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ ημΑ ημΒ ημΓ Ερώτηση 121. Να διατυπώσετε το νόμο των συνημιτόνων. Απάντηση Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ● α2 β2 γ2 2βγσυνΑ ● β2 γ2 α2 2γασυνΒ ● γ2 α2 β2 2αβσυνΓ
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέματα για εξετάσεις Άλγεβρα-Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Θέμα 1. Δίνονται οι αριθμοί x 7 2 6 7 2 6 και y x2 3x 8 α. Να υπολογίσετε τον αριθμό x β. Να υπολογίσετε τον αριθμό y γ. Αν x=5 και y=2 γ1.Να βρείτε την τιμή της παράστασης A x y x2 (y 10)2 Γ2.Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Β (x3 y)1 (x4 y2 )2 (x5 y3)2 (x4 y2 )3 Θέμα 2. Δίνεται ο αριθμός x 4 15 α. Να αποδείξετε ότι (4 15 ) (4 15 ) 1 β. Να βρείτε τον αντίστροφο του αριθμού x γ. Να υπολογίσετε την παράσταση Κ x 1 x δ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις A x2 1 και B (x 1)2 1 2 x2 x 1 ε. Να λύσετε την εξίσωση x2 3Κx B 0
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 3. Δίνονται τα πολυώνυμα ● A(x) (2 3x)(x 1) 3x(1 2x) ● B(x) 7x2 x(3 2x) 2(x 1)(x 2) ● Γ (x) (1 x)(x 2)(x 3) x 2(x 5) 11x 6 α. Να δείξετε ότι: A(x) 3x2 2x 2 , B(x) 3 x2 9x 4 , Γ (x) x2 β. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P(x) A(x) B(x) Γ (x) γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης K P(0)3 P(1)2 P(2)0 3 P(1) δ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης M 135 Γ (225) Α(0) Β(0) Θέμα 4. Δίνονται οι παραστάσεις A 4 (x ω) (y φ) , B (5 x φ) (8 y) (ω 4) και το πολυώνυμο Γ (x) 2(x 1)(1 x) (x 1)2 (x 1)2 2 α. Αν x y 5 και ω φ 7 να δείξετε ότι Α=2 και Β=3 β. Να δείξετε ότι Γ (x) 2x2 4x γ. Να δείξετε ότι Γ (2) 4Γ (1) 4Γ (1) 0 δ. Να λύσετε την εξίσωση Γ (x) A Β 3
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα Θέμα 5. Δίνονται οι παραστάσεις Α x 4 x2 x : x , B (x2 3x)(x 1) 1 2x 6 x x2 16 x2 4x α. Να υπολογίσετε την παράσταση Α β. Να υπολογίσετε την παράσταση B γ. Να δείξετε ότι B 1 (x 1) A2 δ. Να λύσετε την εξίσωση B 2 10 B 25 0 A A Θέμα 6. Δίνονται τα πολυώνυμα A x(x 3), B (x 1)(x 2) , Γ x3 1 2(x2 1) α. Να δείξετε ότι: Β Α 2 β. Να δείξετε ότι: ΑΒ 1 (Α 1)2 γ. Να λύσετε την εξίσωση: (Α 1)2 1 Β 2 δ. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Γ ε. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Κ Α 3 και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. Γ Θέμα 7. Δίνονται τα πολυώνυμα ● Α(x) (3x 1)2 6(1 x) 11 ● B(x) (2x 1)(2x 1) (9x 7) (x 22) και η παράσταση Γ (x) A(x) B( x )
Γ΄ Γυμνασίου Ερωτήσεις Θεωρίας-Θέματα-Διαγωνίσματα α. Να δείξετε ότι A(x) 9x2 4 και B(x) 3x2 5 x 2 β. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα Α(x) και Β(x) γ. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Γ (x) A(x) και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. B(x) δ. Να λύσετε την εξίσωση Γ (x) 5 x 3 5 x2 1 x 1 Θέμα 8. ii. x3 y3 (x y)3 3xy(x y) α. Να αποδείξετε ότι: i. x2 y2 (x y)2 2xy β. Αν ισχύει x y 7 και xy 3 να βρείτε τις τιμές των 22 παραστάσεων β1. A x2 y2 β2. B (x y)2 β3. Γ 1 1 x2 y2 β4. Δ 1 2 1 2 β5. E x3 y3 x y y x Θέμα 9. Δίνεται η παράσταση A x3 x2 x1 4(x2 3x 2) x2 4x 3 4(x2 5 x 6) α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις 4(x2 3x 2) , x2 4x 3 , 4(x2 5 x 6) β. Να βρείτε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών
Search
