Cahier de mathématiques Chapitre 1 : Théorème de Pythagore Chapitre 2 : Nombres relatifs Chapitre 3 : Transformations Chapitre 4 : Puissances Chapitre 5 : Théorème de Pythagore (Partie 2) Chapitre 6 : Calcul littéral Chapitre 7 : Proportionnalité Chapitre 8 : Fractions Chapitre 9 : Théorème de Thalès Chapitre 10 : Equations Chapitre 11 : Probabilités Chapitre 12 : Espace et volumes Chapitre 13 : Statistiques
Chapitre 1 : le théorème de Pythagore Définition : triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle avec un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C’est le plus grand côté du triangle rectangle. Exemple : le triangle NLP est rectangle en P. N L [NL] est l’hypoténuse. P [PN] et [PL] sont les côtés de l’angle droit. Propriété : théorème de Pythagore Si un triangle ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2 « Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés » Exemple : le triangle LMN est rectangle en L. M [MN] est l’hypoténuse. [LM] et [LN] sont les côtés de l’angle droit. D’après le théorème de Pythagore, on peut écrire : N L MN2 = LM2 + LN2
Méthode 1 On vérifie que le triangle est rectangle (on repère l’angle droit). 2 On en déduit le côté qui est l’hypoténuse. 3 On écrit l’égalité en plaçant le carré de l’hypoténuse seul à gauche et la somme des carrés des deux autres côtés à droite. Exemple : H G 1 Le triangle FGH est bien rectangle en H. 2 [GF] est donc l’hypoténuse. 3 D’après le théorème de Pythagore, on peut écrire : F FG2 = HG2 + HF2 Rappel : Puissance d’un nombre • a x a se note a2. aO3n. lit « a exposant 2 » ou « a au carré ». » • a x a x a se note On lit « a exposant 3 » ou « a au cube Exemple : 52 = 5 x 5 = 25 43 = 4 x 4 x 4 = 64. Liste des carrés parfaits à connaître par 4352122222 = 1 79186022222=====84631916400 111114532122222 = 121 = 4 = 144 = 9 = 169 = 16 = 196 = 25 = 225
Comment trouver la longueur de l’hypoténuse ? 1 On écrit l’égalité correctement (voir méthode précédente). 2 On remplace les longueurs connues par leurs valeurs. 3 On effectue le calcul et on en déduit la longueur de l’hypoténuse. Exemple : le triangle RST est rectangle en S. R [RT] est l’hypoténuse. D’après le théorème de 3 cm ? Pythagore, on peut écrire : RRTT22 S3R22 ++4S2T2 = ST = 4 cm RT2 = 9 + 16 On cherche donc le nombre (pcoasrit5if2q=ui5, éxle5vé=a2u5)carré, RT2 = 25 donne 25. Ce nombre est 5 RT = 5 Ainsi, le côté [RT] mesure 5 cm Comment trouver la longueur d’un côté de l’angle droit ? 1 On effectue les mêmes étapes que pour trouver l’hypoténuse. (On aboutit alors à une égalité du type AB2 + 16 = 25 ) 2 On « isole » le côté inconnu et on en déduit la longueur recherchée. Exemple : le triangle GPS est rectangle en G. P [PS] est l’hypoténuse. D’après le théorème de ? 10 cm Pythagore, on peut écrire : 1PS022 PPPGGG222 G8S22 100 = + GS = + 8 cm = + 64 PPGG22 On aboutit à une égalité du type + 64 = 100. = 100 - 64 L’inconnue est donc la différence entre 100 et 64 = 36 Ainsi, le segment [PG] mesure 6 cm. PG = 6
Définition : racine carrée La racine carrée d′un nombre a, notée a , est le nombre positif dont le carré est égal à a. Exemple : Déterminer la racine carrée de 81, c’est trouver le nombre positif qui, élevé au carré (= multiplié par lui-même), donne 81. Ce nombre est 9. On dit que 9 est la racine carrée de 81 et on note : 81 = 9 . À connaitre : 1=1 36 = 6 121 = 11 4=2 49 = 7 144 = 12 9=3 64 = 8 169 = 13 16 = 4 81 = 9 196 = 14 25 = 5 100 = 10 225 = 15 Que faire si on ne tombe pas sur un carré parfait ? Exemple : JP2 = 30 , donc JP = 30 = ??? 1 Appuyer sur la touche « » de votre calculatrice. 2 Insérer le nombre 30, puis entrer. 3 La calculatrice affiche un résultat d’approximativement 5,477. Ainsi, JP = 30 ≈ 5,477.
Chapitre 2 : les nombres relatifs I. Rappels sur l’addition et la soustraction Propriété : Addition de nombres relatifs de même signe Lorsqu’on additionne deux nombres relatifs de même signe, alors leur somme : • a ce même signe. • a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres. Exemple : (+13) + (+8) = + 21 (–12) + (–5) = – 17 Propriété : Addition de nombres relatifs de signes contraires Lorsqu’on additionne deux nombres relatifs de signes contraires, alors leur somme a : • le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. • pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres Exemple : + 3 – 8 Distance à zéro : 3 Distance à zéro : 8 -8 0 3 Le nombre qui a la plus grande distance à zéro est -8, donc la somme est de signe négatif (-). On calcule maintenant la différence entre la plus grande distance et la plus petite : 8 – 3 = 5 On applique le signe et on trouve : -5
Propriété : Soustraction de nombres relatifs Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. Exemple : – 6 – ( + 7) = – 6 – 7 = – 13 9 – ( – 8) = 9 + 8 = 17 Propriété : Supprimer la parenthèse Si une somme de nombres relatifs est entre parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses en respectant la règle suivante : • Si le signe devant la parenthèse est un \"+\", on supprime les parenthèses sans rien changer aux termes dans la parenthèse. • Si le signe devant la parenthèse est un \" – \", on supprime les parenthèses et on change les signes de tous les termes dans la parenthèse. Exemple : + (–3 + 5 – 2) = – 3 + 5 – 2 = 0 – (4 + 6 – 7) = – 4 – 6 + 7 = – 3
II. Multiplication et division Propriété : Multiplication (Nombres relatifs de même signe) Lorsqu’on multiplie deux nombres relatifs de même signe, alors leur produit : • est positif. • a pour distance à 0 le produit des distances à 0 des deux nombres. Exemples : (+4) x (+2) = + 8 (-5) x (-6) = + 30 Propriété : Multiplication (Nombres relatifs de signes contraires) Lorsqu’on multiplie deux nombres relatifs de signe contraires, alors leur produit : • est négatif. • a pour distance à 0 le produit des distances à 0 des deux nombres. Exemples : (+4) x (-2) = - 8 (-5) x (+6) = - 30 Propriété : Division (Nombres relatifs de même signe) Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur quotient : • est positif. • a pour distance à 0 le quotient des distances à 0 des deux nombres. Exemple : +4 = +2 −12 = +3 +2 −4 Propriété : Division (Nombres relatifs de signes contraires) Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur quotient : • est négatif. • a pour distance à 0 le quotient des distances à 0 des deux nombres. Exemple : +4 = +2 −12 = +3 −2 +4
73 + 5 III. Priorités opératoires 8 x (7 – 3) Méthode : règle générale 8 Pour calculer une expression, on effectue dans l’ordre : 7−3 1 Les puissances (carrés, cubes, etc.) 8x7–3 2 Les calculs entre parenthèses 5+7–3 (Une expression au numérateur ou dénominateur d’une fraction est considérée comme étant entre parenthèses) 3 Les multiplications et les divisions 4 Les additions et soustractions Quand des opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite. Exemple : 23 + 16 x (12 – 42) x (-3) +7 25 − 33 = 8 + 16 x (12 – 16) x (-3) + 7 25 − 33 = 8 + 16 x (-4) x (-3) + 7 −8 = 8 + (-2) x (-4) x (-3) + 7 = 8 + 8 x (-3) + 7 = 8 + (-24) + 7 = 8 – 24 + 7 = – 16 + 7 =– 9
Chapitre 3 : les transformations du plan I. Translations Définition : Transformer une figure par translation, c’est la faire glisser parallèlement à une droite sans la faire tourner ou la déformer. Une translation est symbolisée par une flèche qui indique : 1. Une direction B 2. Un sens 3. Une longueur A A’ Exemple : V A B’ C’ U A’’ M BC N B’’ C’’ Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la translation qui transforme U en V. Le triangle A’’B’’C’’ est l’image du triangle ABC par la translation qui transforme M en N.
Propriété : Une translation conserve : • les longueurs • l’alignement • le parallélisme • les angles • les aires. Rappel : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles et égaux deux à deux. Exemple : AB DC ABCD est un parallélogramme car : • AB = DC • AD = BC • (AB) // (DC) • (AD) // (BC)
Propriété 1 : Si M’ est l’image du point M par la translation qui transforme A en B alors ABM’M est un parallélogramme. Exemple : M’ M’ MM Propriété 1 BB AA M’ est l’image du point M par la ABM’M est un translation qui transforme A en B. parallélogramme. Propriété 2 (réciproque) : Si ABCD est un parallélogramme, alors la translation qui transforme A en B transforme D en C. Exemple : DC D C Propriété 2 AB AB ABCD est un La translation qui transforme parallélogramme. A en B transforme D en C.
Chapitre 4 : Puissances I. Puissance entière d’un nombre relatif Définition : • a x a se note a2. On lit « a exposant 2 » ou « a au carré ». • a x a x a se note a3. On lit « a exposant 3 » ou « a au cube ». • a x a x a x … x a se note an. On lit « a exposant n ».* *avec n un entier naturel Exemples : 8 x 8 x 8 x 8 x 8 = 85 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 109 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1 000 000 000 Convention : • Pour tout nombre a : a1 = a • Pour tout nombre a non nul : a0= 1 Exemples : 113301 = 13 = 1
Définition : Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1. Exemples : 1 est l’inverse de 4 car 1 x 4 = 1 4 4 1 est l’inverse de 10 car 1 x 10 = 1 10 10 7 est l’inverse de 3 car 7 x 3 = 7x3 = 21 = 1 3 7 3 7 3x7 21 Astuce Pour trouver l’inverse d’un nombre, il suffit d’inverser son numérateur et son dénominateur. Définition : pour tout nombre a non nul, • a−n désigne l’inverse de an • a−n = 1 an Exemples : …est : L’inverse de … 53 = 5 x 5 x 5 = 125 5−3 = 1 = 1 = 0,008 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 53 125 106 = 1 000 000 10−4 = 1 = 10 1 = 0,0001 104 000 10−6 = 1 = 1 1 000 = 0,000001 106 000
Ci-dessous, m et p désignent des nombres entiers relatifs. Propriétés : Exemples : • am x ap = am+p 32x 34 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36 • am = am−p 28 = 28−5 = 23 ap 25 • (am)p = am×p (74)5 = 74×5 = 720 Exercices d’entraînement : 44x 45 = 45 = (62)3 = 37x 30 = 42 6−2x 66 = (53)0 = 11−2x 11−8 = 2 = 27 (7−4)2 = 8−6 = 86 (2−1)−3 = 31 = 3−2
II. Puissances de 10 Ci-dessous, n désigne un entier naturel positif Propriété : 10n = 10 x 10 x 10 x … x 10 = 1000 … 0 Exemples : 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 109 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1 000 000 000 Propriété : 10−n 1 1 10n 1000…0 = = = 0,00…01 Exemples : 10−3 = 1 = 1 = 0,001 103 1000 10−9 = 1 = 1 000 1 000 = 0,000000001 109 000 Ci-dessous, m et p désignent des nombres entiers relatifs. Propriétés : Exemples : • 10m x 10p = 10m+p 102x 104 = 106 • 10m = 10m−p 108 = 108−5 = 103 10p 105 • (10m)p = 10m×p (104)5 = 104×5 = 1020
III. Notation scientifique Préfixes scientifiques : Préfixe Symbole Signification Nombre « Grands » nombres Giga G Milliard « Petits » nombres Méga M x 109 Million Kilo k x 106 Millier Hecto h x 103 Centaine Déca da x 102 Dizaine Déci d x 101 Dixième Centi c x 10−1 Centième Milli m x 10−2 Millième Micro μ x 10−3 Millionième Nano n x 10−6 Milliardième x 10−9 Notation scientifique : Nombre Notation scientifique Encadrement Ordre de grandeur A = 320 000 000 B = 87 500 000 000 3,2 x 108 108 < A < 109 A ≈ 3 x 108 8,75 x 1010 1010 < B < 1011 B ≈ 9 x 1010 C = 25 600 2,56 x 104 104 < C < 105 C ≈ 3 x 104 D = 0,00658 6,58 x 10−3 10−3 < D < 10−2 D ≈ 7 x 10−3 E = 0,00000387 3,87 x 10−6 10−6 < E < 10−5 E ≈ 4 x 10−6 F = 0,00000000963 9,63 x 10−9 10−9 < F < 10−8 F ≈ 10−8
Chapitre 5 : Réciproque du théorème de Pythagore Propriété : réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle ABC on a BC2 = AB2 + AC2 alors ce triangle est rectangle en A. SI C ALORS C BA Réciproque du théorème BA BC2 = AB2 + AC2 de Pythagore ABC est rectangle en A Exemple : Le triangle PIB est-il rectangle ? I Plus grand côté 13 5 P B 12 Le plus grand côté du triangle PIB est le côté [IB]. IB2 = 132 = 169 IPPB22 = 52 = 25 IP2 + PB2 = 144 + 25 = 169 = 122 =144 Ainsi, IP2 + PB2 = IB2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut conclure que le triangle PIB est rectangle en P.
Propriété : conséquence du théorème de Pythagore Si dans un triangle ABC dont le plus grand côté est [BC], on a : BC2 AB2 + AC2 alors ce triangle n’est pas rectangle. SI C ALORS C BA Théorème de Pythagore BA ABC n’est pas rectangle BC2 AB2 + AC2 et [BC] est le plus grand côté Exemple : Le triangle NOE est-il rectangle ? N Plus grand côté 14 6 E 13 O Le plus grand côté du triangle NOE est le côté [NE]. NE2 = 142 = 196 NOOE22 = 62 = 36 NO2 + OE2 = 36 + 169 = 205 = 132 = 169 Ainsi, NO2 + OE2 NE2. D’après le théorème de Pythagore, on peut conclure que le triangle NOE n’est pas rectangle.
′ ′′ ′′ –
≠
Chapitre 6 : Calcul littéral I. Expressions littérales Définition : Une expression littérale est une expression qui contient des nombres et des lettres. Les lettres désignent des nombres quelconques. Exemples : a + a = 3 a+2 a= Convention : Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe lorsqu’il est placé devant une lettre ou une parenthèse. Exemples : 2 a = a b= 3 × (a + b) = Définition : Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre de l’expression afin d’effectuer le calcul. Exemples : Calculer A = 3c lorsque c = - 1 Calculer B = y - 2z lorsque y = 1 et z = 5.
II. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et la soustraction Définition : développer une expression littérale Développer, c’est transformer un produit en somme ou différence. k(a + b) = ka + kb k(a – b) = ka – kb Produit Somme Produit Différence (k, a et b désignent des nombres) K = – 4 (1 – a) Exemples : J = 7(4 + b) Définition : factoriser une expression littérale Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. ka + kb = k(a + b) ka – kb = k(a – b) Somme Produit Différence Produit (k, a et b désignent des nombres) K = x2 – x Exemples : J = 3b + 6
Définition : réduire une expression littérale Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme avec le moins de termes possible. Exemples : Réduire F = 7 + a + 2(a + 3) + 4a Méthode : égalité de deux expressions littérales Pour démontrer que deux expressions littérales sont égales pour tout nombre x, on peut transformer l’écriture de l’une pour obtenir l’écriture de l’autre . Pour démontrer qu’elles ne sont pas égales pour tout nombre x, il suffit de trouver une valeur de x pour laquelle elles ne sont pas égales. Exemples : Les égalités suivante sont-elles vraies pour tout nombre x ? 2(x – 1) + 2 – x = x ? 3 x + 7 = 10 x ?
Ce que je dois savoir faire : 1. Utiliser une expression littérale 2. Développer un produit Ex: Calculer A = 3(a – 3) pour a = 1 Ex: A = 5(a + 9) A = 3(1 – 3) A = 5a + 5 × 9 A = 3 × (-2) A = 5a + 45 A = -6 3. Factoriser une somme 4. Réduire une expression littérale ou différence Ex: A = 3 + a + 7(a - 4) + 8a Ex: A = 8 – 4a A = 3 + a + 7a – 7 × 4 + 8a A = 4 × 2 – 4a A = 3 + a + 7a – 28 + 8a A = 4(2 – a) A = a + 7a + 8a – 28 + 3 A = 16a – 25 5. Prouver ou réfuter une égalité entre deux expressions littérales Ex: Les égalités suivantes sont-elles vraies pour tout nombre a ? a) 5a + 2(3 – 2a) – 6 = a b) – a + 8(a + 3) + 2 = 12a On simplifie l’expression de gauche : On teste l’égalité avec a = 0 : 5a + 2 × 3 – 4a – 6 • – 0 + 8(0 + 3) + 2 = 8 × 3 + 2 = (5 – 4)a +6 – 6 =a = 26 • 12 × 0 = 0 L’égalité est donc vraie pour L’égalité n’est pas vraie pour a = 0. tout nombre a. Donc, – a + 8(a + 3) + 2 ≠ 12a
Chapitre 7 : Proportionnalité I. Rappels & définitions Définition : Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que l’on obtient les valeurs de l’une en multipliant (ou divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. Exemple - L’abonnement téléphonique de Guillaume coûte 10€ par mois. C’est une situation de proportionnalité qu’on peut représenter par un tableau : Durée d’abonnement 1 4 7 10 × 10 (en mois) 10 40 70 100 Coût total (en €) Pour obtenir le coût total, on multiplie la durée d’abonnement par 10. 10 est donc le coefficient de proportionnalité. On peut également représenter cette situation de proportionnalité par un graphique : Coût 105 (en €) 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Durée de l’abonnement (en mois) On remarque que les points sont alignés avec l’origine du repère.
II. Caractériser graphiquement la proportionnalité Propriété : Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère. Exemples : Grandeur 1 2 3,5 4,5 6 Grandeur 1 20 50 70 110 Grandeur 1 0246 Grandeur 2 10 17,5 22,5 30 Grandeur 2 5 20 30 50 Grandeur 2 0 15 25 30 Graphique 1 Graphique 2 Graphique 3 30 60 30 25 50 25 20 40 20 15 30 15 10 20 10 5 10 5 0 123456 0 20 40 60 80 100 120 0 123456 Situation de proportionnalité Situation non proportionnelle Situation non proportionnelle III. Quatrième proportionnelle Égalité des produits en croix : ac bd Si le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité, alors l’égalité des produits en croix dans ce tableau est : a×d=c×b
Exemple : Yousra réalise un marathon. Elle parcourt les 12 premiers kilomètres en 54min. En supposant qu’elle court à vitesse constante, en combien de temps va-t-elle parcourir les 42 km du marathon ? Distance (km) 12 42 12 × y = 54 × 42 ➔ y = _5_4_×__4_2_ = 189 Temps (min) 54 y 12 Yousra réalise un marathon en 189 min (soit 3h et 9min). Méthodes : calculer une quatrième proportionnelle : 1 Utiliser l’égalité des produits en croix Exemple : Volume (L) 3 7 3 × P = 7 × 4,2 Poids (kg) 4,2 P P = _7__×__4_,_2 = 9,8 3 2 Calculer le coefficient de proportionnalité Exemple : Volume (L) 3 7 × c 3 × c = 4,2 Poids (kg) 4,2 P 4,2 c= 3 = 1,4 Le coefficient de proportionnalité est 1,4. On peut maintenant en déduire que : P = 7 × 1,4 = 9,8 3 Utiliser astucieusement les colonnes connues Exemple : Volume (L) 3 5 13 Poids (kg) 4,2 7 P On peut obtenir la 3ème colonne en additionnant la 1ère et deux fois la 2ème : 3 + 5 × 2 = 13 On en déduit donc que : 4,2 + 7 × 2 = 18,2 = P
IV. Pourcentages Appliquer un pourcentage Un pourcentage de n% traduit une situation de proportionnalité de n coefficient 100 . Donc, appliquer un taux de n% revient à multiplier par n . 100 Exemple : En 4ème 1, sur 30 élèves, 60% pratiquent un sport régulièrement. On calcule 30 × 60 = 30 × 0,6 = 18 100 Il y a 18 élèves sportifs dans la classe. Déterminer un pourcentage Déterminer un pourcentage, c’est déterminer une proportion écrite sous la forme d’une fraction de dénominateur 100. Exemple : En 2018, sur les 225 élèves de terminale du lycée Thalès : • 207 élèves ont obtenu leur Baccalauréat • 54 élèves ont obtenu une mention très bien Nombre d’élèves qui ont 207 b Nombre d’élèves qui ont 54 m obtenu le Bac 225 100 obtenu une mention TB 225 100 Nombre total d’élèves Nombre total d’élèves 225 × b = 207 × 100 225 × m = 54 × 100 b = 2_07__×___1_00 = 92 m = 5_4__×___1_00 = 24 225 225 Il y a 92% d’élèves qui ont obtenu leur Bac. Il y a 24% de mentions très bien.
Chapitre 8 : Fractions I. Décomposition en produit de facteurs premiers Définition – Nombres premiers : Un nombre premier est un nombre entier qui n’admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 sont des nombres premiers car ils sont uniquement divisibles par 1 et eux-mêmes. 16 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 4, 8 et 16 30 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Propriété Tout nombre entier non premier peut être décomposé en un produit de facteurs premiers. Exemples : Nombres non Produits de facteurs premiers premiers 12 = 2x2x3 20 = 2x2x5 30 = 2x3x5 105 = 3x5x7
II. Fractions égales Propriété : La valeur d’une fraction ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Soit a, b et c trois nombres relatifs (avec b et c ≠ 0) : c a a x c a a c b = b x c et b = b ÷ ÷ Exemples : 3 = 3x4 = 12 5 5x4 20 35 = 35 ÷ 5 = 7 60 60 ÷ 5 12 III. Additionner et soustraire des fractions Règle n°1 : Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Exemples : 3 + 8 = 11 9 + 2 = 11 7 + 11 = 18 5 5 5 4 4 4 12 12 12
Règle n°2 : Pour additionner (ou soustraire) des fractions qui n’ont pas le même dénominateur, il faut les écrire avec le même dénominateur. Exemples : 3 + 1 = 3 + 1x2 = 3 + 2 = 5 8 4 8 4x2 8 8 8 2 + 12 = 2x7 + 12 = 14 + 12 = 26 3 21 3x7 21 21 21 21 1 + 1 = 1x4 + 1x3 = 4 + 3 = 7 3 4 3x4 4x3 12 12 12 IV. Comparer des fractions Méthode : Pour comparer des fractions, il faut les écrire avec le même dénominateur. Exemples : compléter avec >, < ou = 72 36 9 57 69 25 37 32 12 8
V. Multiplier et diviser des fractions Propriété : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : • On multiplie leurs numérateurs entre eux • On multiplie leurs dénominateurs entre eux Soit a, b c et d quatre nombres relatifs (avec b ≠ 0 et d ≠ 0) : a c a x c b x d = b x d Exemples : 3 x 4 = 3x4 = 12 5 7 5x7 35 2 x 5 = 2x5 = 10 9 7 9x7 63 Propriété : Soit a et b deux nombres relatifs (avec a ≠ 0 et b ≠ 0). Alors, a est l’inverse de 1 et a est l’inverse de b . a b a Preuve : pour démontrer que a est l’inverse de ba, on calcule leur produit : b a x b = axb = ab =1 b a bxa ab Or, si le produit de deux nombres est égal à 1, alors ces deux nombres sont inverses l’un de l’autre. Donc, a est l’inverse de b . b a
Propriété : Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse. Soit a, b c et d quatre nombres relatifs (avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0) : a b = a × 1 = a et a c = a × d b b b d b c Exemples : 3 4 = 3 × 7 = 21 5 7 5 4 20 2 5 = 2 × 7 = 14 9 7 9 5 45
Triangle ABC AB BC CA AB = BC = CA AD = DE = EA Triangle ADE AD DE EA AD DE EA AB BC CA ? ∈∈ Triangle TAH TA = 12 TH = 10 AH = 6 Triangle TSL TS = 30 TL = 25 SL = ?
) ∈∈ TA = TH TS TL TA = TH TS TL
∈∈ ≈≈ TA TH TS TL TA TH TS TL
∈∈ ∈∈ «»
xx x x x= x= x xx
x x x
xx x xx x x × × x= × x= × x xx xx x x
x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x x x x x x , x , x × x × x × x × x x x x x. x. xx xx x. x.
Chapitre 11 : Probabilités I. Expérience aléatoire Définition : Une expérience aléatoire est une expérience dont l’issue ne peut pas être prévue à l’avance. Exemples : Lancer de dés, pile ou face, loterie, etc. Définition : Les issues d’une expérience aléatoire sont tous les résultats possibles pour cette expérience aléatoire. Exemples : • Pile ou face : 2 issues • Lancer de dé : 6 issues (1, 2, 3, 4, 5 et 6) • Piocher une carte : 52 issues Définition : Un événement est une condition qui, selon l'issue de l'expérience aléatoire, est réalisée ou n'est pas réalisée. Il est constitué d’une ou plusieurs issues. Exemples : • Evènement A : « Obtenir un nombre pair avec un dé » Il y a 3 issues qui correspondent à l’évènement A : 2, 4 et 6. • Evènement B : « Piocher une Dame dans un paquet de cartes » Il y a 4 issues qui correspondent à l’évènement B : les dames de pique, coeur, carreau et trèfle.
Définitions : Un évènement élémentaire est un évènement réalisé par une seule issue. Un évènement impossible n’a aucune chance de se produire . Un évènement certain se produira obligatoirement. Exemples : Obtenir 4 avec un dé est un évènement élémentaire. Obtenir 8 avec un dé est un évènement impossible. Obtenir un nombre entier avec un dé est un évènement certain. Définitions : L’évènement contraire à l’évènement A est l’évènement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note Aത (on lit « A barre ») Exemple : Expérience aléatoire d’un lancer de dé Évènement Évènement contraire Obtenir un nombre impair Obtenir un nombre pair Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 Obtenir 1 ou 2 Obtenir 5 Obtenir 1, 2, 3, 4 ou 6 Obtenir un multiple de 3 Obtenir 1, 2, 4 ou 5
II. Calcul de probabilités Définition : La probabilité d’un évènement A est la mesure du caractère aléatoire de cet événement. On peut l’exprimer sous la forme d’un nombre décimal, d’un nombre en écriture fractionnaire ou d’un pourcentage. Notation : La probabilité de l’évènement A se note P(A) et se lit « P de A ». Exemple : On note A l’évènement « Piocher une carte trèfle aux cartes » Il y a 1 chance sur 4 d’obtenir une carte trèfle. P(A) = 1 = 0,25 = 25% 4 Propriétés : La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1. Un évènement certain a une probabilité de 1. Un évènement impossible a une probabilité de 0.
Définition : Lorsque les issues ont toute la même probabilité de se réaliser, on dit qu’elles sont équiprobables. LlaorpsrqoubeatboiluittéesdleeschNaicsusuneesedst’uN1ne. expérience aléatoire sont équiprobables, Exemples : • Dé non truqué Mots qui suggèrent l’équiprobabilité • Pièce équilibrée • Jetons indiscernables au toucher Exemple : Il y a 6 issues lors d’un lancer de dé non truqué (1, 2, 3, 4, 5 et 6). Chaque issue a donc une probabilité de 1 . 6 On s’intéresse à la probabilité de l’évènement A : « Obtenir 3 ou 4 ». Il y a une probabilité de 1 d’obtenir 3. 6 Il y a une probabilité de 1 d’obtenir 4. 6 On a donc P(A) = 1 + 1 = 2 = 1 6 6 6 3 La probabilité d’obtenir 3 ou 4 est donc de 1 . 3
Propriété : La probabilité de l’événement contraire Eത d’un événement E est : P(Eത)=1−P(E) Exemples : Expérience aléatoire d’un lancer de dé Évènement A P(A) P(Aത) Obtenir un nombre paire Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 1 1 - 1 = 1 Obtenir 5 2 2 Obtenir un multiple de 3 2 4 = 2 1 - 2 = 1 6 3 3 3 1 1 - 1 = 5 6 6 6 2 = 1 1 - 1 = 2 6 3 3 3
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