ภาคตัดกรวย

หน่วยการเรยี นรู้แบบสบื เสาะหาความรู้ ทเ่ีนน้ การเชอื่ มโยงเขา้ สู่สถานการณ์จรงิ เรอื่ ง เรขาคณติ วเิคราะห์และภาคตดั กรวย ครยู พุ ิน พลเรือง โรงเรียนสารคามพิทยาคม สานักงานเขตพืน้ ที่การศึกษามธั ยมศึกษาเขต 26

คำนำ เอกสารประกอบการเรียนน้ีจดั ทาข้นึ เพื่อประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เติม รหสั วิชา ค 31282 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4/14, 4/16 ภาคเรียนที่ 2 ซ่ึงภายในเลม่ ประกอบดว้ ยหน่วยการเรียนรู้แบบสืบ เสาะหาความรู้ที่เนน้ การเชื่อมโยงเขา้ สู่สถานการณ์จริง เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย เอกสารประกอบการเรียนน้ีเป็นเอกสารท่ีสอดคลอ้ งตามหลกั สูตรสถานศึกษา โรงเรียนสารคามพทิ ยาคม ซ่ึงผจู้ ดั ทาหวงั วา่ จะเป็นประโยชน์สาหรับนกั เรียนผสู้ นใจ หากผิดพลาดประการใด ผจู้ ดั ทาขอนอ้ มรับความผิดพลาดน้นั ดว้ ยความเคารพ นางยพุ ิน พลเรือง ครู วิทยฐานะ ชานาการพเิ ศษ

สำรบัญ เร่ือง หน้ำ หน่วยที่ 1 เรขำคณติ วิเครำะห์และภำคตัดกรวย……………………………………………. 1 1.1 ความรู้เบ้ืองตน้ เกี่ยวกบั เรขาคณิตวิเคราะห์.......................................................... 1 - โพรเจกชนั ....................................................................................................... 1 - ระยะทางระหวา่ งจุดสองจุด………………………………………......................... 2 - จุดแบ่งของส่วนของเสน้ ตรง………………………………………………… 4 - ความชนั ของเสน้ ตรง........................................................................................ 7 - เส้นขนาน.......................................................................................................... 10 - เสน้ ต้งั ฉาก……………………………............................................................. 12 - ความสมั พนั ธ์ซ่ึงมีกราฟเป็นเสน้ ตรง………………………………………… 14 - มมุ ระหวา่ งเสน้ ตรงสองเส้น.............................................................................. 19 - ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงกบั จุด……………………………………………… 19 - รวมขอ้ สอบ PAT1 และเลขสามญั ..................................................................... 23 - ตวั อยา่ งแบบทดสอบเรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห.์ .................................................. 26 1.2 ภาคตดั กรวย……………………………………………………………………. 29 - วงกลม………….……………………………………………………………. 33 - พาราโบลา…………………………………………………………………… 42 - วงรี…………………………………………………………………………… 53 - ไฮเพอร์โบลา………………………………………………………………… 62 - สรุปสมการทวั่ ไปของภาคตดั กรวย….............................…………………….. 69 - ตวั อยา่ งแบบทดสอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั ................................................................ 69 ภำคผนวก................................................................................................................................. 74

คำอธบิ ายรายวิชา รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ห้องเรียนพิเศษวทิ ยาศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ภาคเรียนท่ี 2 รหสั วชิ า ค31282 เวลา 80 ชั่วโมง จำนวน 2.0 หน่วยกิต ศกึ ษาวเิ คราะห์ ฝกึ ทกั ษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรใ์ นการเรยี นรู้ในเรือ่ งตอ่ ไปนี้ เรขาคณติ วิเคราะห์ ความรเู้ บอ้ื งต้นเกย่ี วกับเรขาคณิตวเิ คราะห์ และภาคตัดกรวย ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกำลัง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล ฟังก์ชันลอการิทึม การหาค่าลอการิทมึ การเปล่ียนผันของลอการิทึม สมการและอสมการของลอการึทมึ และการประยุกตข์ องฟังก์ชัน เอกซโ์ พเนนเซยี ลและฟงั กช์ นั ลอการทิ ึม โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ในชวี ิตประจำวนั ทีใ่ กล้ตวั ใหผ้ ูเ้ รยี นไดศ้ ึกษาค้นควา้ โดยการปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป รายงาน เพื่อพัฒนาทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบดว้ ย การ แก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ มีความ สามารถใน การเชือ่ มโยงความรู้ต่างๆทางคณติ ศาสตร์ เช่ือมโยงคณติ ศาสตร์กับศาสตรอ์ ่ืนๆ มคี วามคิดรเิ ริ่มสร้างสรรค์ อีกท้ัง สามารถบูรณาการหลกั ปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง และทกั ษะการเรยี นรใู้ นศตวรรษที่ 21 มาใชใ้ นชวี ติ ประจำวัน ได้ รวมทั้งเห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ และมีคุณลักษณะที่พึงประสงค์ในการรักชาติ ศาสนา พระมหากษัตริย์ ซ่อื สัตย์ สจุ ริต มวี นิ ัย ใฝเ่ รียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มงุ่ ม่นั ในการทำงาน รกั ษาความเป็นไทย มี จิตสาธารณะ สามารถทำงานอย่างเป็นระบบระเบียบ มีความรอบคอบ มคี วามรับผดิ ชอบ มวี จิ ารณญาณ และ มีความเชือ่ มั่นในตนเอง การวัดและประเมินผล ใช้วิธกี ารที่หลากหลายตามสภาพความเป็นจริง ให้สอดคล้องกบั เนอ้ื หาและทกั ษะท่ีตอ้ งการวัด ผลการเรยี นรู้ 1. หาระยะห่างและจดุ กึ่งกลางของจุดสองจดุ ความชนั ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงกบั จุด ได้ 2. หาสมการเสน้ ตรง เสน้ ขนาน เสน้ ตั้งฉาก และการนำไปใชไ้ ด้ 3. เขยี นความสัมพันธท์ ่ีมีกราฟเปน็ ภาคตัดกรวย เม่ือกำหนดส่วนตา่ งๆของภาคตดั กรวยให้ และเขยี น กราฟของความสัมพนั ธ์นัน้ ได้ 4. เข้าใจและใชค้ วามรเู้ กี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ในการแกป้ ัญหา 5. เขา้ ใจสมบตั ิของเลขยกกำลงั และนำไปแกป้ ญั หาได้ 6. มคี วามคดิ รวบยอดเกย่ี วกับฟงั ก์ชนั เขยี นกราฟฟงั ก์ชนั และนำความรู้เรื่องฟงั กช์ ันไปแก้ปญั หาได้ 7. เข้าใจลกั ษณะกราฟฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเซียลและฟังกช์ ันลอการิทึม และนำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา 8. แกส้ มการเอกซ์โพเนนเซียล และสมการลอการิทึม และนำไปใช้ในการแกป้ ัญหา รวม 8 ผลการเรยี นรู้

ตารางคะแนนผลการเรยี นรู้ รหสั วิชา ค31282 คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติมห้องเรยี นพิเศษวิทยาศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 ภาคเรยี นที่ 2 คะแนนทปี่ ระเมิน ข้อท่ี ผลการเรียนรู้ ก่อนกลางภาค กลางภาค หลังกลางภาค ปลายภาค รวม ้ทังหมด 1 หาระยะหา่ งและจดุ กึ่งกลางของจุดสองจุด ความชัน 5 3 8 5 12 ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงกับจดุ ได้ 2 หาสมการเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตัง้ ฉาก และการนำไปใชไ้ ด้ 7 3 เขยี นความสมั พนั ธท์ ี่มีกราฟเปน็ ภาคตดั กรวย เม่ือกำหนด 8 6 14 สว่ นตา่ งๆของภาคตัดกรวยให้ และเขียนกราฟของ ความสมั พันธน์ ้ันได้ 4 เข้าใจและใช้ความรเู้ กยี่ วกบั เรขาคณิตวเิ คราะห์ในการ 10 6 16 แก้ปัญหา 5 เข้าใจสมบัติของเลขยกกำลังและนำไปแก้ปัญหาได้ 358 6 มคี วามคดิ รวบยอดเก่ยี วกบั ฟังกช์ นั เขยี นกราฟฟังก์ชัน และ 5 5 10 นำความรู้เร่อื งฟงั ก์ชันไปแกป้ ัญหาได้ 7 เข้าใจและลักษณะกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซยี ลและ 6 10 16 ฟังกช์ ันลอการิทึม และนำไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา 8 แก้สมการเอกซ์โพเนนเซยี ล และสมการลอการทิ ึม และ 6 10 16 นำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา รวม 30 20 20 30 100

หน่วยท่ี 1 เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 1. ความรพู้ ้นื ฐานเก่ียวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ ในการเรยี นรเู้ กีย่ วกับเรขาคณิตวิเคราะห์ จะต้องมีความรพู้ ื้นฐานทส่ี ำคัญดังน้ี 1. โพรเจกชนั (Projection) P โพรเจกชันของจุด P บนเสน้ ตรง Lหมายถงึ จดุ บนเส้นตรง Lทเ่ี กดิ จากการลากเสน้ จากจดุ P L มาตงั้ ฉากกับเส้นตรง Lดังรปู P โพรเจกชันของจดุ P(x, y) บนแกนพิกัดฉาก y A(0,y) A(h, y) •P(x,y) y=k B(x, k) 0 B(x,0) x x=h โพรเจกชันของจุด P(x, y) บนแกน y คอื A(0, y) โพรเจกชันของจุด P(x, y) บนแกน x คือ B(x, 0) โพรเจกชันของจุด P(x, y) บนเสน้ ตรง x = h คอื A(h, y) โพรเจกชนั ของจุด P(x, y) บนเสน้ ตรง y = k คอื B(x, k) หมายเหตุ : การโพรเจกชันของจดุ ลงบนเส้นตรงนอกเหนือจากน้จี ะกล่าวในหวั ข้อต่อๆไป โพรเจกชันของส่วนของเส้นตรงบนเสน้ ตรง QP Q โพรเจกชันของสว่ นของเส้นตรงทเี่ ช่ือมระหว่างจดุ P P และจุด Q บนเส้นตรง Lหมายถึง ส่วนของเสน้ ตรง บนเส้นตรง Lทีเ่ กดิ จากการลากจุดปลายของสว่ น ของเส้นตรง PQมาต้งั ฉากกบั เส้นตรง L LL P Q P Q ตัวอย่าง กำหนดจุด A(3, 2) และ B(–2, 4) จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้ B(–2, 4) y x = –4 0 y=3 • A(3, 2) x

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 2 โพรเจกชนั ของจุด A บนแกน x คอื ……………. โพรเจกชันของจุด B บนแกน x คือ ……………. โพรเจกชนั ของจุด A บนแกน x คือ ……………. โพรเจกชันของจุด B บนแกน y คอื ……………. โพรเจกชนั ของจุด A บน x = –4 คอื ………… โพรเจกชนั ของจุด B บน x = –4 คอื ………… โพรเจกชนั ของจุด A บน y = 3 คอื ………….. โพรเจกชนั ของจุด B บน y = 3 คือ ………….. 2. ระยะทางระหว่างจดุ สองจดุ Q(x2, y2) กำหนดจดุ P(x1, y1) และ จดุ Q(x2, y2) ดงั รปู | จากจดุ P ลากเสน้ ตรงขนานกับแกน x y และจากจุด Q ลากเส้นตรงขนานกบั แกน P(x1, y1) | แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากทจ่ี ุด A | | A(x2, y1) 0 x จากการสรา้ งดังกล่าว จะได้ PA = | x2 − x1 |และ QA = | y2 − y1| และ  PQA เป็นสามเหลี่ยมฉาก ดงั นนั้ โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะไดร้ ะยะทางระหว่างจดุ P(x1, y1) และ จดุ Q(x2, y2) ดงั นี้ PQ = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 …………… สตู ร 1 ตัวอย่าง 1. กำหนดจุด A(0, –3), B(6, –3), C(6, 5), D(0, 3) จงหา AB, AC, AD, BC, BD, CD 2. จงหาพกิ ัดของจดุ P บนแกน Y ซึง่ อยหู่ า่ งจากจดุ A(6, 4) และ B(–3, 5) เป็นระยะทางเท่ากนั

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 3 3. จงหาพิกดั ของจดุ Q บนแกน X ซง่ึ อยู่ห่างจากจุด A(1, –2) และ B(3, 5) เป็นระยะทางเท่ากัน 4. จงหาคา่ k ซึง่ ทำให้จุด A(k, 2) ห่างจากจดุ B(1, 5) เปน็ ระยะ 5 หน่วย 5. จงหาจุดท่ีอยหู่ า่ งจากจดุ A(1, 7) และ B(8, 6) และ C(7, –1) เปน็ ระยะทางเท่ากัน 6. จงพจิ ารณาวา่ จุด A, B และ C ทีก่ ำหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ อยู่บนเส้นตรงเดยี วกนั หรอื ไม่ (1) A(1, 1) B(–2, 0) และ C(4, 2) (2) A(–1, 1) B(2, 0) และ C(1, 2) 7. จงพจิ าณาว่าสามเหลี่ยมแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี ทีม่ จี ุด A, B และ C จุดยอดมุมเป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก หรือสามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว หรอื สามเหลี่ยมด้านเทา่ (1) A(1, 1) B(–1, –1) และ C(–4, 2) (2) A(2, –2) B(–3, –1) และ C(1, 6)

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 4 8. วงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ที่จุด (5, –3) มีแกน X เป็นเส้นสมั ผสั จงหาจุดสัมผสั และความยาวของรัศมี พนื้ ทขี่ องรูปสามเหลีย่ ม ให้ A(x1, y1), B(x2, y2) และ C(x3, y3) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหล่ียม ABC จะไดว้ า่ x1 y1 x1y2 + x2y3 + x3y1 x1y3 + x3y2 + x2y1 พนื้ ท่ีของรปู สามเหลย่ี ม ABC = 1 x2 y2 2 x3 y3 x1 y1 = 1 × |(x1y2 + x2y3 + x3y1) − (x1y3 + x3y2 + x2y1)| 2 3. จดุ แบง่ ของส่วนของเสน้ ตรง ให้ P(x, y) เปน็ จดุ บนส่วนของเสน้ ตรง A(x1, y1) และ B(x2, y2) y B(x2, y2) P | | A(x1, y1) | | (x2, y1) 0 x โดยสมบัติสามเหลี่ยมคล้ายจะได้

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 5 (1) จดุ ท่ีแบ่งสว่ นของเส้นตรง AB ออกเป็นอตั ราส่วน m : n ให้ P(x, y) เปน็ จดุ บนสว่ นของเส้นตรง A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยทีอ่ ตั ราส่วน | AP |:| PB | = m : n จะไดว้ า่ B(x2, y2) n m P(x, y) x = nx1 + mx2 และ y = ny1 + my2 n+m n+m A(x1, y1) (2) จดุ กง่ึ กลางระหว่างจดุ สองจุด ให้ P(x, y) เปน็ จุดกง่ึ กลางระหวา่ งจุด A(x1, y1) และ จุด B(x2, y2) จะได้วา่ P(x, y) =  x1 + x2 , y1 + y2  2 2 (3) จุดตดั กนั ของเสน้ มธั ยฐาน ให้ A(x1, y1), B(x2, y2) และ C(x3, y3) เปน็ จุดยอดของรูปสามเหลีย่ ม ABC โดยมี P(x, y) เป็นจดุ ตัดของเส้นมธั ยฐาน จะไดว้ า่ A(x1, y1) x = x1 + x2 + x3 , y = y1 + y2 + y3 3 3 EF โดย | AP | | BP | | CP | 2 P(x, y) | PE | | PF | 1 | PD | C(x3, y3) D B(x2, y2) ตัวอย่าง 1. จงหาจุดกึง่ กลางของ AB เมือ่ กำหนด A(–2, 5) และ B(6, –3) 2. ถา้ P(7, 4) เปน็ จุดก่ึงกลางของ AB และ A(6, 8) จงหาจุด B

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 6 3. กำหนดจุด A(–9, –16) และ B(5, 10) เป็นจดุ ปลายของเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม จงหาจดุ ศูนยก์ ลางและพื้นทีข่ องวงกลม 4. กำหนดสามเลย่ี มท่ีมจี ดุ ยอด A(2, –1), B(4, 3) และ C(–2, 5) จงหา (1) จุดตดั ของเส้นมธั ยฐาน (2) ความยาวของเสน้ มธั ยฐานทีล่ ากจากจดุ ยอด A 5. จงหาพิกดั ของจดุ P(x, y) ท่ที ำให้ AP = 1 โดยที่ A(–2, 5) และ B(10, 13) PB 3 6. กำหนดจดุ A(6, 8) และ B(16, –12) จงหาพกิ ดั ของ C ซงึ่ เปน็ จุดแบง่ AB โดยที่ AC = 3 AB 10 7. กำหนดจุด A(–6, –2) และ B(6, 4) (1) จงหาพิกัดของจุดสองจดุ บน AB ซ่งึ แบ่ง AB ออกเป็น 3 สว่ นเทา่ ๆกนั

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 7 (2) จงหาพิกัดของจุดสองจุดบน AB ซึ่งแบ่ง AB ออกเป็น 4 ส่วนเทา่ ๆกนั 4. ความชันของเส้นตรง Y ถา้ เสน้ ตรงผา่ นจุด (x1, y1) และ (x2, y2) แล้ว ความชนั ของเสน้ ตรงหาไดจ้ าก (x2, y2) ให้ m แทนความชนั ของเส้นตรง m = y2 y1 หรือ (x1, y1) y2 − y1  x2 x1  x2 − x1 m = tan  X ลักษณะของเส้นตรงกับความชัน YY X X m = 0 และ  = 0 m > 0 และ 0< < 90 Y Y X X m < 0และ90 <  < 180 m หาค่าไมไ่ ด้ และ  =90 หมายเหตุ จดุ A, B, C เป็นจดุ ๆบนระนาบจะอย่บู นเส้นตรงเดยี วกัน ก็ต่อเม่ือ mAB = mAC

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 8 ตัวอย่าง 1. จงหาคา่ k ท่ที ำใหเ้ ส้นตรงทผี่ ่านจุด (–4, 3) และ (k, 1) มคี วามชันเทา่ กบั 1 4 2. กำหนดจดุ A(6, –3) และ B(9, k) จงหาจำนวนเต็มลบ k ท้งั หมดท่ที ำให้เสน้ ตรงทผี่ ่านจุด A และ B มีความ ชันมากกว่า − 2 3 3. จงหาความชนั ของเส้นมธั ยฐานของรปู สามเหล่ียมท่มี จี ุดยอดมมุ A(–2, 1) B(3, 4) และ C–1, 4) 4. จงพจิ าณาจดุ A, B และ C ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ีทอี่ ยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกันหรือไมอ่ ยู่บนเสน้ ตรงเดียวกัน (1) A(–3, 4) B(3, 2) และ (6, 1) (2) A(−2, 1) B(3, 2) และ C(6, 3) 5. จงหาคา่ a ทท่ี ำให้ A(4, 0) B(–4, 6) และ C(a, –3) อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 9 6. จงหาจุดตดั แกน X และ แกน Y ของเส้นตรงท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ (1) เสน้ ตรง L1 ผ่านจดุ P(5, 2) และ m = 0 (2) เส้นตรง L2 ผ่านจดุ P(5, 2) มีความชนั เท่ากับ 1 2 (3) เส้นตรง L3 ผา่ นจุด P(5, 2) มีความชันเท่ากับ –2 8. จงหาความชนั ของเสน้ ตรง 3x – 4y = 12

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 10 5. เสน้ ขนาน กำหนดใหเ้ ส้นตรง L1 และ L2 เป็นเสน้ ตรงบนระนาบเดยี วกัน ซง่ึ ไม่ขนานกบั แกน Y และให้ m1 และ m2 เปน็ ความชนั ของเส้นตรง L1และ L2 ตามลำดับ จะได้วา่ L1 // L2  m1 = m2 ตัวอย่าง 1. กำหนดจดุ A, B, C และ D แต่ละข้อตอ่ ไปน้ี จงตรวจสอบวา่ ขอ้ ใดต่อไปนีท้ ี่ AB ขนานกับ CD (1) A(–2, –4), B(3, 3) ,C(1, –2) และ D(6, 5) (2) A(–3, 2), B(1, 6), C(5, 4) และ D(3, 0) 2. จงหาคา่ k ทที่ ำใหเ้ ส้นตรงท่ีผ่านจดุ A(–3, −1) และ B(2, 3) ขนานกับเส้นตรงทผี่ ่านจุด C(−4, −5) และ D(k, 3) 3. จงหาจดุ A ซ่ึงอยบู่ นแกน X ท่ีทำให้เสน้ ตรงที่ผ่านจุด A และ B(1, 2) ขนานกับเสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด C(−1, 3) และ D(2, −5)

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 11 4. จงหาพกิ ดั ของจดุ A ซง่ึ อยู่บนแกน Y ทีท่ ำให้เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด A และ B(2, 3) ขนานกบั เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ C(−2, 3) และ D(−1, 7) 5. จดุ A(6, 1), B(3, –1), C(–4, 2) และ D(x, y) เป็นจดุ มุมของรูปสเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน จงหาพกิ ัดจองจุด D

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 12 6. เสน้ ตงั้ ฉาก กำหนดใหเ้ สน้ ตรง L1 และ L2 เป็นเสน้ ตรงบนระนาบเดยี วกัน ซึ่งไมข่ นานกบั แกน Y และให้ m1 และ m2 เปน็ ความชนั ของเสน้ ตรง L1และ L2 ตามลำดับ จะได้ว่า L1 ⊥ L2  m1  m2 = −1 หลกั การจำ m1 และ m2 จะมีคา่ เป็นส่วนกลบั กัน และ มคี ่าเป็นบวกลบตรงขา้ มกัน ตวั อย่าง 1. จงหาความชนั ของเส้นตรงที่ตัง้ ฉากกบั เสน้ ตรงท่ีผ่านจดุ A(3, 4) และ B(–3, –5) 2. จงตรวจสอบวา่ เสน้ ตรง L1 ท่ผี ่านจดุ A และ B ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง L2 ทผ่ี ่านจดุ C และ D หรอื ไม่ (1) A(2, –3) B(–5, 1) และ C(4, 5) D(0, –2) (2) A(2, –3) B(–5, 1) และ C(7, –1) D(0, 3) (3) A(5, 3) B(8, 3) และ C(7, 4) D(7, –4) 2. ถา้ เสน้ ตรงท่ผี า่ นจุด A(8, y) และ B(5, –4) ต้งั ฉากกับเสน้ ตรงทีผ่ ่านจดุ C(4, 3) และ D(1, –2) จงหาค่า y

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 13 3. กำหนดสามเหล่ยี ม ABC ในข้อต่อไปนี้ ข้อใดที่เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก (1) A(–4. –3) B(2, 3) และ C(6, –1) (2) A(2, –2) B(−3, −1) และ C(1, 6) 4. กำหนดรูปสามเหลย่ี ม ABD ท่ีมีจดุ A(5, 0), B(0, –3) และ C(2, –5) จงหาจดุ บนดา้ น BC ทท่ี ำใหเ้ ส้นทลี่ าก ผา่ นจดุ A ต้ังฉากกับด้าน BC 5. กำหนดจดุ A(4, 0) แลพ B(2, –2) ถา้ L เปน็ เส้นตรงท่ีแบง่ ครงึ่ และต้ังฉากกบั AB จงหาพน้ื ทข่ี องรปู สามเหลี่ยมที่มดี ้านท้ังสามอยู่บนแกน X แกน Y และเส้นตรง L

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 14 7. ความสัมพนั ธซ์ ่ึงมกี ราฟเปน็ เส้นตรง ความสมั พนั ธ์ท่มี กี ราฟเป็นเสน้ ตรงมดี ังน้ี 1. ความสัมพันธซ์ ึ่งมกี ราฟเสน้ ตรงขนานกบั แกน Y Y กำหนดให้ L เปน็ เส้นตรงท่ีขนานแกน Y และผ่านจดุ (h, 0) ความสัมพนั ธ์คือ {(x, y)  R  R | x = h} x=h X 2. ความสัมพันธ์ซ่ึงมกี ราฟเส้นตรงขนานกบั แกน x Y กำหนดให้ L เปน็ เส้นตรงท่ีขนานแกน Y และผา่ นจุด(0, k) y=k ความสมั พันธค์ ือ {(x, y)  R  R | y = k} X 3. ความสัมพนั ธซ์ ึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงทไ่ี ม่ขนานแกน X และแกน Y Y (1) รูปแบบจดุ -ความชนั กำหนดให้ L เป็นเสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (x1, y1) และ (x1, y1) X มีความชันเทา่ กบั m จะได้ความสมั พนั ธ์ คือ {(x, y)  R  R | y − y1 = m(x − x1)} Y (2) รปู แบบจดุ 2 จุด (x2, y2) กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงท่ี ผ่านจดุ (x1, y1) และ (x1, y1) จดุ (x2, y2) จะไดค้ วามสมั พันธ์ คือ X {(x, y)  R  R | y− y1 = y− y2 } x− x1 x− x2 Y (3) รูปแบบความชัน-ระยะตดั แกน Y (0,c) กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ มีระยะตัดแกน Y เท่ากบั c และมีความชันเท่ากบั m จะได้ความสมั พนั ธ์ คอื X {(x, y)  R  R | y = mx + c} Y (4) รูปแบบระยะตัดแกนทั้งสอง (0, b) กำหนดให้ L เปน็ เสน้ ตรงท่ตี ัดแกน X และแกน Y (a, 0) เปน็ ระยะ a และ b ตามลำดับจะได้ความสมั พนั ธ์ คอื X {(x, y)  R  R | x + y = 1} a b

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 15 ทฤษฎีบท (1) เสน้ ตรงในระนาบแกนมุมฉาก จะมสี มการในรปู Ax + By + C = 0 เมอื่ A, B, C เปน็ ค่าคงที่ โดยที่ A  0 หรือ B  0 (2) ความสัมพันธท์ ่ีมสี มการในรูป Ax + By + C = 0 เม่ือ A, B, C เป็นคา่ คงท่ี โดยที่ A  0 หรอื B  0 จะมีกราฟเปน็ เส้นตรง หมายเหตุ จากความสัมพนั ธ์ทมี กี ราฟเปน็ เส้นตรงในรูป Ax + By + C = 0 ……* จะได้ By = −Ax − C y = − A x − C …….** B B จะได้ความชนั ของเส้นตรง m เทา่ กับ − A ระยะตดั แกน Y เท่ากับ − C B B เรยี กสมการ * วา่ รปู แบบทั่วไปของเสน้ ตรง และเรียกสมการ ** วา่ รปู แบบมาตรฐานของเสน้ ตรง ตัวอยา่ ง 1. จงหาความสัมพันธ์ทม่ี กี ราฟเป็นเส้นตรงตามสมบัติทีก่ ำหนดให้ (1) ขนานแกน X และผา่ นจุด (2, –3) (2) ขนานแกน Y และอยูท่ างซ้ายของแกน Y เป็นระยะ 2 หน่วย 3 (3) ขนานแกน X และอยหู่ ่างแกน X เป็นระยะ 2 หน่วย (4) ผ่านจุด (1, 3) และมีความชัน 2 (5) เส้นตรงที่ผ่านจุด (–3, 4) และ (2, –5)

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 16 (6) เสน้ ตรงที่มคี วามชัน 4 และระยะตัดแกน X เทา่ กับ 5 5 (7) เส้นตรงท่มี คี วามชนั เท่ากบั − 2 และระยะตดั แกน Y เทา่ กบั –5 5 (8) ความชนั ของเสน้ ตรงเท่ากับ 0 ผ่านจุด (2, –5) (9) เส้นตรงผ่านจดุ (2, 5) และทำมมุ เอียง 45o กบั แกน X (10) เสน้ ตรงทม่ี รี ะยะตัดแกน X เทา่ กบั 3 และระยะตดั แกน Y เท่ากับ –4

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 17 2. จงหาความชนั และจุดตัดแกน X แกน Y และวาดกราฟของเส้นตรงในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ (1) 3x – 2y + 10 = 0 (2) 3x + y =2 5 3. จงหาสมการเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (2, 3) และขนานกับเสน้ ตรงทผี่ า่ นจุด A(4, 1) และ B(–2, 3) 4. จงหาสมการของเสน้ ตรงทแ่ี บ่งคร่งึ และตัง้ ฉากกบั เสน้ ตรงทเี่ ชอื่ มระหวา่ งจุด A(7, 2) และ B(–1, –2) 5. จงหาสมการของเส้นตรงท่ีผ่านจดุ (2, 3) และมรี ะยะตัดแกน X เปน็ 2 เทา่ ของระยะตัดแกน Y

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 18 6. จงหาสมการของเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (1, –2) และขนานกบั เสน้ ตรง 3x + 4y + 2 = 0 7. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (–2, 2) และตั้งฉากกับเส้นตรง 3x + 2y – 6 = 0 8. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ ตดั ของเสน้ ตรง x – 7y – 11 = 0 และ 3x + 5y = 7 และขนานกบั เสน้ ตรง 5x + y = 1

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 19 8. มุมระหว่างเสน้ ตรงสองเส้น tan  = m1 − m2 1 + m1m2 Y L2 : y = m2x + c2 X L1 : y = m1x + c1 ตวั อยา่ ง กำหนดจุด A(3, 2), B(5, –4) และ C(1, –2) จงหามุมระหว่างเส้นตรง AB และ BC 9. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกบั จดุ (1) ระยะห่าวระหว่างเสน้ ตรงกบั จดุ ให้ d เป็นระยะทางระหว่างจุด (x1, y1) ถึงเสน้ ตรง Ax + By + C = 0 จะได้วา่ d = | Ax1 By1 C | (x1, y1) Ax + By + C = 0 A2 B2 d (2) ระยะทางระหว่างเสน้ คู่ขนาน L1 ให้ D เปน็ ระยะทางระหวา่ งเส้นคขู่ นาน และ L2 L1 มสี มการเปน็ Ax + By + C1 = 0 L2 มีสมการเป็น Ax + By + C2 = 0 จะไดว้ ่า D D = | C1 C2 | A2 B2

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 20 (3) เส้นตรงท่ีแบ่งครึ่งมุมระหว่างเสน้ ตรงสองเสน้ ทไ่ี ม่ขนานกนั L2 ให้ L เปน็ เส้นตรงซึ่งแบ่งครึง่ มุมระหวา่ ง L1, L2 โดยที่ L L1 มีสมการเป็น A1x + B1y + C1 = 0 L1 L2 มีสมการเป็น A2x + B2y + C2 = 0 จะไดว้ า่ L มสี มการเปน็ A1x + B1y + C1 =  A2x + B2y + C2 L A12 + B12 A22 + B22 ตวั อยา่ ง 1. จงหาระยะระหวา่ งจุด (6, 8) กับเสน้ ตรง 3x + 4y – 25 = 0 2. วงกลมวงหนงึ่ มีจุดศูนย์กลางที่จุด C(2, 3) และเสน้ ตรงท่มี ีสมการ 7x + 24y = 11 เป็นเสน้ สมั ผัสวงกลม จงหาความยาวเส้นรอบวงกลม 3. สามเหล่ยี ม ABC มีจดุ ยอดมุมทจ่ี ุด A(5, 6), B(1, –4), และ C(–4, 0) จงหาความสงู ทว่ี ดั จากจุด A ไป BC 4. จงหาค่า k ซึ่งทำให้ระยะระหว่างเส้นตรง 8x + 15y + k = 0 กบั จุด (2. 3) เท่ากับ 5 หนว่ ย

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 21 5. จงหาจุดบนแกน X ทีอ่ ยู่ห่างจากเสน้ ตรง 3x − 4y − 6 = 0 เปน็ ระยะ 2 หนว่ ย 6. จงหาจดุ บนเส้นตรง 2x + 3y − 6 = 0 ซ่งึ อย่หู า่ งกับเสน้ ตรง 3x – 4y + 12 = 0 เป็นระยะ 3 หน่วย 7. จงหาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 3x – 4y – 7 = 0 กับเส้นตรง 3x – 4y = –3 8. จงหาระยะห่างระหว่างเสน้ ตรง 5x + 12y − 20 = 0 กับเส้นตรง 10x + 24y + 12 = 0

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 22 9. จงหาสมการเสน้ ตรงที่ขนานกับเส้นตรง 4x – 3y + 1 = 0 และอยหู่ ่างจากเสน้ ตรงเสน้ น้ีเปน็ ระยะทาง 6 หนว่ ย 10. จงหาสมการของเส้นตรงท่ีตัง้ ฉากกับเส้นตรง 12x + 5y + 3 = 0 และอย่หู า่ งจากจดุ (1, 2) เป็นระยะ 1 หนว่ ย 11. จงหาสมการของเสน้ แบ่งคร่งึ มุมท่เี กดิ จากการตัดกันของเส้นตรง 3x + 4y − 6 = 0 และเส้นตรง 12x − 5y + 60 = 0 12. จงหาสมการทางเดนิ ของจุดซ่ึงมีระยะห่างจากเสน้ ตรง 5x + 12y – 20 = 0 เป็นสามเท่าของระยะห่างจาก เสน้ ตรง 4x – 3y +12 = 0

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 23 รวมข้อสอบ PAT1 และ เลขสามัญ 1. ใหจ้ ดุ A เป็นจดุ บนเสน้ ตรง 3x + y + 4 = 0 โดยทจ่ี ุด A ห่างจากจุด (–5, 6) และจดุ (3, 2) เป็นระยะเทา่ กนั ให้ L1 และ L2 เป็นเสน้ ตรงสองเสน้ ทต่ี ่างกนั และขนานกบั เสน้ ตรง 5x + 12y = 0 ถา้ จดุ A อยหู่ ่างจากเสน้ ตรง L1 และ L2 เป็นระยะเทา่ กบั 2 หน่วย แลว้ ผลบวก ของระยะตดั แกน x ของเสน้ ตรง L1 และ L2 เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี [PAT 1 ก.พ. 2561 : 4 ] 1. –5.6 2. –2.8 3. 2.8 4. 5.6 5. 8.4 2. กาหนดใหเ้ สน้ ตรง L ผา่ นจดุ A(2, 0) และจุด B(–4, 8) ใหเ้ สน้ ตรง M ผา่ นจดุ B และจุด C(–a, 0) เม่อื a > 0 ถา้ ระยะห่างระหวา่ งจุด C กบั เสน้ ตรง L เทา่ กบั 48 หน่วย 5 แลว้ ระยะห่างระหวา่ งจุดกาเนดิ (0, 0) กบั เสน้ ตรง M เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี [PAT1 ม.ี ค. 2560 : 2] 1. 7 หน่วย 2. 8 หน่วย 3. 10.5 หน่วย 4. 13.5 หน่วย 5. 15 หน่วย

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 24 3. กาหนดใหเ้ สน้ ตรง 3x – 4y – 6 = 0 ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง x + ay + 3 = 0 เมอ่ื a เป็นจานวนจรงิ ถา้ เสน้ ตรงทงั้ สองตดั กนั ทจ่ี ุด A และเสน้ ตรงทงั้ สองตดั แกน x ทจ่ี ุด B และจดุ C ตามลาดบั แลว้ พน้ื ทข่ี องรูปสามเหลย่ี ม ABC ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT1 ต.ค. 2559 : 1] 1. 6 ตารางหน่วย 2. 8 ตารางหน่วย 3. 10 ตารางหน่วย 4. 12 ตารางหน่วย 5. 14 ตารางหน่วย 4. กาหนดให้ L1 เป็นเสน้ ตรงผ่านจุด (–2, –4) มคี วามชนั เป็นจานวนเตม็ บวก และตดั แกน X และแกน Y ทจ่ี ุด A และจุด B ตามลาดบั โดยผลบวกของระยะตดั แกน X และระยะตดั แกน Y เท่ากบั 3 หน่วย ให้ L2 เป็นเสน้ ตรงทข่ี นานกบั เสน้ ตรง L1 และผา่ นจดุ (0, –13) ถา้ C เป็นจดุ บนเสน้ ตรง L2 โดยท่ี CA = CB แลว้ พน้ื ทข่ี องรปู สามเหลย่ี ม ABC เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT1 พ.ย. 2557 : 1] 1. 8.5 ตารางหน่วย 2. 7.5 ตารางหน่วย 3. 6.5 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 25 5. ให้ A เป็นจุดตดั ของเสน้ ตรง x – 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y – 9 = 0 ถา้ เสน้ ตรง L มคี วามชนั เท่ากบั m เม่อื m < 0 มรี ะยะห่างจากจุดกาเนดิ (0, 0) เทา่ กบั k หน่วย โดยท่ี k2 + 2m = 1 และผา่ นจุด A แลว้ สมการของเสน้ ตรง L ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT1 เม.ย. 2557 : 1] 1. 2x + y – 5 = 0 2. 3x + y – 7 = 0 3. x + 2y – 4 = 0 4. x + 3y – 5 = 0 6. กาหนดใหว้ งรมี จี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู ่ี (0, 0) และมโี ฟกสั F1 และ F2 อยบู่ นแกน x จดุ A(4, 1) เป็น จดุ บนวงรโี ดยทผ่ี ลบวกของระยะทางจากจดุ A(4,1) ไปยงั จดุ โฟกสั ทงั้ สองมคี ่าเท่ากบั 6 2 ใหเ้ สน้ ตรง L ตดั แกน x ทจ่ี ุด (4.5, 0) และสมั ผสั กบั วงรที จ่ี ุด A(4, 1) ถา้ d เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กบั เสน้ ตรง L แลว้ ค่าของ d2 AF1 AF2 เทา่ กบั เท่าใด [PAT1 ม.ี ค. 2556 : 162]

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 26 ตัวอย่างแบบทดสอบเรอ่ื ง เรขาคณติ วิเคราะห์ จงเลือกคำตอบท่ีถูกตอ้ งทีส่ ุด 1. ให้ ABC เปน็ สามเหลยี่ มทมี่ ีพิกดั เป็น A(2, 4), B(5, 3) และ C(–1, 2) พิกัดของจดุ ตัด ของเส้นมธั ยฐานคือข้อใดต่อไปน้ี 1. (2, 3) 2. (3, 2) 3. (2, –1) 4. (–1, 2) 2. ให้ L1, L2, L3 แทนเส้นตรงทม่ี ีสมการคอื L1 : 3x – 4y = 7, L2 : = 2x + y = 1, L3 : x – 2y = 3 สมการเส้นตรงทผ่ี ่านจุดตัดของ L1 และ L2 และตั้งฉากกบั L3 คือสมการในข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 4x + 2y = 1 2. 2x + y = –2 3. 6x + 3y + 1 = 0 4. 2x + y = 1 3. ให้ L1 คอื เส้นตรงที่มคี วามชัน m1 , L2 คอื เสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (1, –2) และ (–2, 1), L3 คือเส้นตรงท่ีมสี มการ ax + by + c = 0 ขอ้ ความในข้อใดต่อไปน้ีผดิ 1. L2 และ L3 ต้งั ฉากกัน เม่ือ b = –a 2. ถ้า L1 ตัง้ ฉากกบั L2 และ L1 มคี ่าตดั แกน X เปน็ 2 แล้วสมการของ L1 คือ y = x – 2 3. ถ้า L3 ขนานกับ L2 และ L3 มคี ่าตัดแกน Y เปน็ –3 แล้วสมการของ L3 คือ x + y + 3 = 0 4. ถา้ a = b = m1 = 1 แลว้ L1 ขนานกบั L3 4. ให้ A, B, C มพี กิ ัดเป็น A(0, 0), B(6, 0), C(1, 4) ให้ L1, L2 และ L3 แทนเสน้ ตรงท่ีลาก ผ่านจดุ A, B, C ตามลำดบั และไปตั้งฉากกบั ด้านตรงข้ามของ ABC จดุ ตดั ของ L1, L2 และ L3 คือจดุ ใดตอ่ ไปนี้ 2. ( 9 , 1) 3. (1, 5 ) 4. ( 5 , 1) 1. (1, 9 ) 4 4 4 4 5. ให้เส้นตรง L1 ผ่านจุด A(0, 4) และตัดแกน X ท่จี ุด B(0, 3) ถา้ เส้นตรง L2 ผา่ นจดุ กงึ่ กลางของสว่ นของ เส้นตรง AB และตั้งฉากกับ L1 ดงั นน้ั สมการของเส้นตรง L2 คือขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 3x – 4y + 7 = 0 25 2. 3x + 4y + 2 = 0 2 3. 6x + 8y – 7 = 0 4. 6x – 8y + 25 = 0 6. เส้นตรงทีผ่ ่านจดุ (4, –3) และจดุ (–2, 6) มีระยะตดั แกน X = a และระยะตัดแกน Y = b แล้ว a, b คือขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. a = 2, b = 3 2. a = 3, b = 2 3. a = –2, b = 3 4. a = –2, b = –3

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 27 7. ให้ A(–1, 2), B(3, 0) และ C(5, 4) เปน็ จดุ ยอดท้ังสามของสามเหลยี่ ม ABC สมการของเส้นตรงท่ีมีความชนั เทา่ กบั 1 และผา่ นจุดตดั กันของเสน้ มัธยฐานของสามเหลีย่ ม ABC ตรงกบั ข้อใดต่อไปนี้ 1. 3x – 3y – 1 = 0 2. 3x – 3y + 1 = 0 3. 3x – 3y – 2 = 0 4. 3x – 3y + 2 = 0 8. กำหนดใหเ้ สน้ ตรง L1 ลากผ่านจดุ กำเนดิ และทำมุม 60 กับแกน X ทางด้านบวก ถ้าเส้นตรง L2 ห่างจากจดุ กำเนิด 6 หนว่ ย และตัง้ ฉากกับเส้นตรง L1 ในควอดรันตท์ ่ี 1 แล้วสมการของเสน้ ตรง L2 คือ สมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. x + 3 y + 12 = 0 2. 3 x + y + 12 = 0 3. x + 3 y – 12 = 0 4. 3 x + y – 12 = 0 9. ใหเ้ ส้นตรง L1 ผ่านจดุ (5, 2)และ (1, –6) เสน้ ตรง L2 ผา่ นจุด (3, –1) และมีความชันเทา่ กบั –1 ถา้ (a, b) เปน็ จุดตัดของเส้นตรงทัง้ สอง แลว้ a + b มคี า่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. –2 2. –1 3. 1 4. 2 10. กำหนดจดุ P(–7, 6) และจดุ Q(4, 9) ให้ R เป็นจดุ กึ่งกลางของส่วนของเสน้ ตรง PQ และ S เป็นจุดที่เสน้ ตรง RS ตดั กับเส้นตรง y = 4 เป็นมุมฉาก สมการของเส้นตรงทีผ่ ่านจดุ S และขนานกบั PQ คือข้อใดต่อไปน้ี 1. 11y – 3x – 53 = 0 2. 22y – 6x – 97 = 0 3. 22y + 6x – 79 = 0 4. 22y – 6x – 79 = 0 11. กำหนดให้ A(a, 3), B(7, –3) และ C(–4, –2) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มมี ุม A เป็น มมุ ฉาก ถา้ a > tan 60 แล้ว สมการเสน้ ตรงทผี่ า่ นจดุ A และ C คือข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. x – y + 2 = 0 2. 5x – 6y + 8 = 0 3. 5x – 4y + 12 = 0 4. 7x – 5y + 18 = 0 12. กำหนดใหเ้ ส้นตรง L1 และ L2 มสี มการเปน็ 3x – 4y + 6 = 0 และ –6x + 8y + 8 = 0 ตามลำดบั d1 เป็นระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรง L1 และ L2 d2 เป็นระยะระหว่างจดุ (6, y1) ซึ่งอยู่ บนเส้นตรง L1 กับจุด (x2, 2) ซ่ึงอย่บู นเส้นตรง L2 ค่าของ d1  d2 เปน็ เทา่ ใด 1. 4 2. 8 5 3. 5 4. 4 5 5 13. กำหนดให้ a เปน็ จำนวนจรงิ และ A(a, 1), B(–5, –4), C(1, –2) และ D(2, 3) เป็นจุดยอดของรปู ส่ีเหลยี่ ม ด้านขนาน ABCD ถา้ L เปน็ เส้นตรงทตี่ ั้งฉากกับ AC และผ่านจดุ กึง่ กลางของด้าน AC แลว้ สมการเสน้ ตรง L คอื สมการในข้อใดต่อไปน้ี 1. 5x – 3y + 6 = 0 2. 5x – 3y – 6 = 0 3. 5x + 3y + 9 = 0 4. 5x + 3y – 9 = 0

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 28 14. เส้นตรง 2x – y + 8 = 0 ตัดแกน X และแกน Y ที่จุด A และจุด B ตามลำดบั จุด M อยู่ ระหวา่ งจุด A และจดุ B แบง่ AB ภายในทำให้ระยะ AM : MB = 3 : 1 สมการของเสน้ ตรงที่ ลากจากจดุ M ต้ังฉากกับ AB คือสมการในข้อใด 1. x + 3y – 9 = 0 2. x – 2y – 9 = 0 3. x + 2y – 11 = 0 4. x – 2y – 11 = 0 15. ให้ L แทนเสน้ ตรงท่ีผา่ นจุดตัดของเสน้ ตรง x – 2y – 4 = 0 กบั 2x – 5y + 1 = 0 และ ผา่ นจดุ (1, 3) สมการของ L คือข้อใดต่อไปน้ี 1. x + 3y – 10 = 0 2. 2x – 7y + 19 = 0 3. 3x – 4y + 9 = 0 4. 2x + 7y – 23 = 0

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 29 2. ภาคตดั กรวย ภาคตดั กรวยและสำรวจวงกลม ภาคตัดกรวย (conic section หรอื conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถงึ เสน้ โคง้ ท่ีได้จากการตัดพ้นื ผวิ กรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนถ้ี กู ต้ังเป็นหวั ข้อศึกษาตั้งแตส่ มยั 200 ปกี ่อนคริสตศ์ ักราชโดย อพอลโลเนยี ส แห่ง เพอร์กา ผซู้ ง่ึ ศึกษาภาคตดั กรวยและคน้ พบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ตอ่ มากรณีการศึกษาภาคตัด กรวยถกู นำไปใชป้ ระโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลเิ ลอี พบว่าขีปนาวุธท่ียิงขึน้ ไป ในมมุ ท่ีกำหนดมีวิถีการเคล่ือนทีโ่ คง้ แบบพาราโบลา ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮนั ส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของ ดาวเคราะห์รอบนอกเปน็ รูปวงรี เปน็ ตน้ ในกรณี ดเี จนเนอเรต ระนาบจะตัดผา่ นจดุ ยอดของกรวย และไดผ้ ลของ การตดั เป็น จุด เส้นตรง หรอื เสน้ ตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่าน้ีไมไ่ ด้ถกู รวมไว้ในภาคตัดกรวย ในเรขาคณติ เชงิ ภาพฉาย (projective geometry) นน้ั ภาพฉายบนระนาบ ของภาคตัดกรวยแตล่ ะชนดิ นัน้ จะ เหมือนกัน ขน้ึ อยู่กบั ลกั ษณะการฉาย หรอื ท่ีเรียกว่า การแปลงเชิงภาพฉาย (projective transformation) วงกลม ในทางคณิตศาสตร์ ถือว่าวงกลมเป็นเสน้ โคง้ ทสี่ มบูรณ์ เคร่ืองใชต้ า่ งๆ ของเรามักมลี ักษณะเปน็ วงกลม เชน่ ขันตกั น้ำ หนา้ ปัดนาฬิกา จานข้าว ถาด กระโถน เงินเหรยี ญ แกว้ น้ำ ท่านลองตรวจดขู องใช้รอบ ๆ กาย และท่วั ๆ ไป จะเห็นว่าการใชข้ องทมี่ ีลกั ษณะเปน็ วงกลมน้ันใหค้ วามสะดวก มากทส่ี ุด ลองนกึ ดวู ่าถา้ ลอ้ เกวียน ล้อ จกั รยานยนต์ ล้อรถยนต์ ไม่มีลกั ษณะ เปน็ วงกลมแล้ว การเคล่ือนท่จี ะลำบากสักเพียงใด

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 30 วงรี ยามคำ่ คืนถา้ ไดม้ โี อกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเหน็ ดาวทีส่ กุ สวา่ งมีแสงเจดิ จ้า ซง่ึ ได้แก่ดาวเคราะห์ และ หากสงั เกตต่อเน่ืองไปหลาย ๆ วัน และอาจถงึ หลายเดือนจะพบเห็นการเคล่ือนท่ผี ่านกลุ่มดาวฤกษ์ ในทางดารา ศาสตร์ พบว่าทางเดนิ ของโลกและดาวเคราะหต์ ่าง ๆ ทเี่ ดนิ รอบดวงอาทิตยต์ า่ งก็ล้วนมีเส้นทางเป็นรูปวงรี โดยมี ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกสั ของวงรีแต่ละวง ดวงจนั ทร์ซึง่ เป็นดาวบริวารของดาวเคราะห์กเ็ ดนิ ทางรอบดาวเคราะห์ เปน็ วงรี แมด้ าวเทียมที่มนษุ ย์ประดิษฐข์ ึ้นก็หมุนรอบโลก เปน็ วงรี กฎขอ้ ที่ 1 ของเคปเลอร์ : ดาวเคราะหโ์ คจรรอบดวงอาทติ ยเ์ ปน็ วงรี โดยมดี วงอาทติ ย์อยู่ท่โี ฟกสั จุดหนง่ึ นกั วิทยาศาสตร์ ยงั ได้พบวา่ แม้แตใ่ นปรมาณูของธาตตุ ่าง ๆ เช่น อเิ ลก็ ตรอนก็เดินทางเปน็ วงรรี อบ นิวเคลยี สของปรมาณนู ั้น ๆ เราอาจนำเส้นโค้งแบบวงรีไปออกแบบเปน็ เครื่องใช้ก็ได้ เชน่ จานเปล ถังเปล เปน็ ตน้ เราจะสงั เกตว่ารถบรรทกุ นำ้ มันมกั จะมตี วั ถงั เปน็ รูปทรงกระบอกซ่งึ มีหน้าตดั เปน็ รูปวงรี สนามกีฬาที่มลี ูแ่ ขง่ ขนั กนั กม็ ีลักษณะ เกอื บเปน็ วงรี อิเล็กตรอน ทางเดนิ ของโลกและดวงดาวตา่ งๆ ถงั เปล จานเปล

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 31 พาราโบลา เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทยี มประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตวั จานรบั สัญญาณมีผิวโคง้ เพอ่ื รบั สัญญาณ ทีส่ ง่ ตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันท่ีจุดรับสญั ญาณ เพื่อให้มีสญั ญาณท่ีแรงข้ึน นำ้ พุทมี่ นุษยป์ ระดิษฐ์ขึ้น เปน็ เส้นโคง้ พาราโบลา หรอื เมื่อเราใช้ไฟฉายสอ่ งเดินทาง สังเกตวา่ มีกระจกสะท้อนแสงเพ่ือรวมลำแสงใหพ้ ุ่งเป็นลำ ตรง โดยหลักการตามกฎการสะทอ้ นของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุมสะทอ้ น จุดท่ีรวมกันบนผวิ ระนาบโคง้ นี้ เรยี กว่าจดุ โฟกสั ผิวโคง้ ที่ทำให้มุมตกกระทบและสะท้อนมารวมกันทจี่ ุดโฟกัส เรยี กวา่ ผิวโค้งพาราโบลา จานรบั สัญญาณ น้ำพุ โคมไฟฉาย การนำโค้งพาราโบลาไปใชใ้ นการการออกแบบ การนำโคง้ พาราโบลาไปใชใ้ นการการออกแบบ ไฮเปอร์โบลา ภาคตัดกรวยนน้ั ได้มีความสำคญั ตอ่ ดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถสุ องชนิ้ ซง่ึ มแี รงดึงดดู กระทำต่อกัน ตามกฏของนิวตัน น้ันจะมีรูปรา่ งเป็นภาคตัดกรวย หากจดุ ศนู ยก์ ลางมวล (center of mass) รว่ มของทั้งสองวตั ถุนั้นอยู่ นงิ่ หากทัง้ สองนั้นถูกดงึ ดดู อยู่ดว้ ยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็นรปู วงรี หากวัตถทุ ้ังสองวิง่ ออกจากกนั ทางเดนิ จะเป็นรปู พาราโบลา หรอื ไฮเปอร์โบลา

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 32 ลกั ษณะท่ีพบ Flashlight Hyperbola Flashlight Parabola หลังคาเป็นโคง้ ไฮเพอร์โบลา ไฮเพอรโ์ บลา เส้นโคง้ และผวิ โคง้ ทางคณติ ศาสตร์ยงั มีอีกมาก และเปน็ ศาสตรท์ ่ีสามารถนำมาใชใ้ นการออกแบบ ผลิตภัณฑ์ตา่ ง ๆ ได้มากมาย ลองคน้ หาจากเอกสารตา่ ง ๆ ดวู า่ เสน้ โค้งทางคณิตศาสตร์ทนี่ า่ สนใจเหล่านม้ี ีลักษณะ อยา่ งไร cycloid, cardioid Ephicycloid Hypocycloid spiral ฯลฯ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 33 ตัดกรวยอย่างไร ภาคตัดกรวย เปน็ เส้นโค้งท่เี กิดจากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบตา่ ง ๆ ทำให้เกดิ วงกลม,พาราโบลา,วงรีและไฮเพอร์โบลา ดังรูป วงกลม เกดิ ข้นึ จากการตัดกรวยกลมตรงดว้ ยระนาบท่ีต้งั ฉากกับแกนของกรวย พาราโบลา เกดิ ขึ้นจากการตัดกรวยกลมตรงดว้ ยระนาบที่ขนานกบั เสน้ ประกอบรปู กรวย วงรี เกิดขนึ้ จากการตัดกรวยกลมตรงดว้ ยระนาบท่ตี ัดกรวยเพียงส่วนเดยี วโดยทร่ี ะนาบนน้ั ไม่ ขนานกับเสน้ ประกอบรูปกรวยและไม่ตง้ั ฉากกับแกนของกรวย ไฮเพอรโ์ บลา เกิดข้ึนจากการตดั กรวยกลมตรงดว้ ยระนาบทขี่ นานกับแกนของกรวยและตัดทงั้ สองสว่ น ของกรวย 1. วงกลม (Circle) นยิ าม วงกลม (Circle) คือ เซตของจดุ บนระนาบซ่ึงอย่หู า่ งจากจุดคงทีจ่ ุดหนง่ึ บนระนาบเป็นระยะทาง เทา่ กนั เสมอเรยี กจุดคงท่ีว่า จุดศนู ย์กลางและเรยี กระยะทางทเี่ ท่ากันวา่ รศั มีของวงกลม สมการวงกลม 1) สมการวงกลมที่มจี ดุ ศูนย์กลางทจ่ี ดุ (0, 0) ทฤษฎบี ท 1 สมการของวงกลมทมี่ จี ดุ ศูนยก์ ลางทจ่ี ดุ C(0 , 0) และรศั มเี ท่ากบั r คือ x2 + y2 = r2 ตวั อย่างที่ 1 กำหนดสมการวงกลมตอ่ ไปนี้ จงเขียนกราฟวงกลม 1) x2 + y2 = 64 2) x2 + y2 = 13

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 34 ตัวอยา่ งที่ 2 จากกราฟที่กำหนดให้จงบอกสมการวงกลม 1) 2) ตอบ………………………………… ตอบ…………………………………… ตวั อย่างที่ 3 จงหาสมการของวงกลมท่ีมีจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ท่ี (0, 0) และสมั ผัสกบั เส้นตรง 3x + 4y – 10 = 0 วิธีทำ ตวั อย่างท่ี 4 กำหนดวงกลมที่มีจุดศนู ย์กลางทจ่ี ดุ (0, 0) และผ่านจดุ (-3, 2) จงหา 1) สมการวงกลม 2) สมการเสน้ ตรงท่สี ัมผัสกับวงกลมทจี่ ดุ (2, y) วธิ ีทำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 35 สมการวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางท่ีจดุ (h, k) ทฤษฎีบท 2 สมการของวงกลมทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางท่จี ุด C(h,k) และรศั มีเทา่ กับ r คือ ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2 กจิ กรรมการเรยี นรู้ พสิ ูจน์ เนือ่ งจากรัศมี r คือระยะทางระหวา่ งจดุ (x, y) กับจดุ (h, k) ดังนั้น r = ( x − h)2 + ( y − k )2 นั่นคือ r2 = ( x − h)2 + ( y − k )2 หรือ ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2 ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการวงกลมทมี่ จี ุดศนู ยก์ ลางอยู่ที่ (10, 6) และรศั มยี าว 5 หนว่ ย วธิ ีทำ ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดสมการวงกลม ( x + 2)2 + ( y − 4)2 = 81 จงเขยี นกราฟของวงกลม วิธที ำ ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาสมการของวงกลมจากกราฟที่กำหนดใหด้ ังนี้ วธิ ีทำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 36 ตัวอย่างที่ 4 จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ุดศูนยก์ ลางที่ (-2, 1) และสัมผสั กบั เสน้ ตรง −3x + 4y +10 = 0 วธิ ที ำ ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาสมการของวงกลมซึ่งมีรัศมี 5 หน่วย และสัมผสั กบั เส้นตรง 3x + 4y – 16 = 0 ท่ีจุด A(4, 1) วิธที ำ การหาความยาวของเสน้ สัมผสั กำหนดวงกลมท่ีมจี ุดศูนย์กลางท่จี ดุ (h, k) และรศั มีเท่ากับ r ถา้ P(x1, y1) เปน็ จุด ๆ หน่ึงภายนอก วงกลม และ PQ สัมผสั กับวงกลมท่จี ุด Q ดงั รูป แลว้ จะหาความยาวของ PQ ไดอ้ ยา่ งไร เนอื่ งจากรปู สามเหล่ียม CPQ เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ดังนัน้ PQ2 = PC2 − QC2 PQ2 = ( x1 − h)2 +( y1 − k )2  − r2  PQ = ( x1 − h)2 + ( y1 − k )2 − r2 เพราะฉะน้นั ในกรณีที่ทราบจดุ ศนู ยก์ ลาง (h, k) ทราบรศั มี r และทราบจุด (x1, y1) ซึ่งเป็นจุดภายนอก วงกลมและเปน็ จุดปลายด้านหนึ่งของเส้นสัมผัส เราสามารถคำนวณหา PQ ได้จากสตู ร PQ = ( x1 − h)2 + ( y1 − k )2 − r2

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 37 ตวั อย่างท่ี 6 กำหนดวงกลมทีม่ ีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(2,−3) และรัศมีเทา่ กับ 5 จงหาความยาวของเส้น สมั ผสั ซง่ึ เริม่ วัดจากจดุ P(6,2) ไปถึงจุดสัมผัส Q วิธที ำ การหาสมการเสน้ สมั ผัสวงกลม ในกรณที ่ีทราบจุดศูนย์กลางของวงกลมและจดุ สมั ผัส เราจะสามารถหาสมการเส้นสมั ผสั ไดอ้ ยา่ งไร กำหนดวงกลมท่ีมจี ดุ ศูนย์กลางที่จุด C(h, k) และรศั มีเทา่ กบั r ถา้ P(x1, y1) เป็นจุดสมั ผสั และ L เป็นเสน้ ตรงซงึ่ สมั ผสั วงกลมที่จุด P โดยที่ L ไมข่ นานกบั แกน y ดงั รูป เรามวี ธิ กี ารหาสมการเส้นสัมผัส 2 วิธี คือ วธิ ที ี่ 1 หาจุดศนู ยก์ ลางวงกลม จากสมการวงกลม แล้วหาความชัน CP หาความชันเสน้ ตรง L แลว้ หาสมการเส้นตรงจากสูตร y − y1 = m ( x − x1 ) วิธที ่ี 2 หาจากสมการวงกลม ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2 และจุด P(x1, y1) เปน็ จุดสมั ผัส โดยแทนคา่ ในสูตร (x1 − h) ( x − h) + ( y1 − k )( y − k ) = r2 ตวั อยา่ งที่ 7 กำหนดวงกลมท่ีมีสมการ ( x − 4)2 + ( y −1)2 = 9 จงหาสมการของเสน้ สัมผสั ซง่ึ สมั ผสั วงกลม นีท้ ี่ (3, 4) วธิ ีทำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 38 ตัวอยา่ งที่ 8 เดก็ เลย้ี งวัวคนหน่ึงนำววั ไปเลี้ยงในทด่ี นิ ซ่งึ เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยมีสมการของแต่ละดา้ นเปน็ x + 2y - 5 = 0 , 2x + y + 2 = 0 และ 2x - y - 10 = 0 แต่ละดา้ นของทแี่ ปลงนีน้ ้ันตดิ กับ แปลงดอกไม้ของเพื่อนบ้าน เขาจะตอ้ งผูกววั ไวต้ ำแหน่งใด และเชือกควรยาวไม่เกนิ กี่หน่วย วัวจึงจะไม่ไปกินดอกไม้ของเพื่อนบ้าน วธิ ที ำ สมการวงกลมที่อยใู่ นรูปท่ัวไป รูปทัว่ ไปของสมการวงกลมคือ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 เมือ่ A = −2h, B = −2k,C = h2 + k2 − r2 รัศมขี องวงกลมคอื r = 1 A2 + B2 − 4C 2 ถา้ A2 + B2 − 4C  0 กราฟจะเปน็ รปู วงกลม ถ้า A2 + B2 − 4C = 0 กราฟจะเปน็ จดุ (h,k) ถ้า A2 + B2 − 4C  0 ไมม่ ีจดุ ใดแทนกราฟ ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการที่มจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ี (6, -5) และรัศมียาว 5 หนว่ ย วิธที ำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 39 ตัวอย่างท่ี 2 กำหนดสมการ x2 + y2 −6x − 4y + 9 = 0 จงหารัศมี จดุ ศนู ยก์ ลาง พร้อมทงั้ เขียนกราฟ วธิ ีทำ ตัวอย่างที่ 3 กำหนดวงกลม C1 ทม่ี ีสมการ x2 + y2 −8x + 2y −10 = 0 จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ุด ศนู ยก์ ลางร่วมกบั C1 และผา่ นจดุ (−1,3) ตวั อย่างที่ 4 กำหนดวงกลมทม่ี สี มการ x2 + y2 +8x +9y + 2 = 0 จงหาความยาวของเสน้ สัมผสั ทอี่ ยรู่ ะหวา่ ง จดุ A(−11,10) กับจดุ สัมผสั B

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 40 ตัวอย่างที่ 5 สวนสาธารณะแหง่ หนึง่ เป็นรูปสามเหลยี่ ม องค์การบริหารส่วนตำบลพจิ ารณาแลว้ เหน็ ว่า สวนสาธารณะน้ตี อนพลบคำ่ หรอื ตอนเช้าตรู่จะนา่ กลวั มาก เพราะไฟฟ้าท่ตี ิดอยูต่ ามทีต่ ่าง ๆ ในสวนไม่ เพยี งพอองค์การบริหารส่วนตำบลจึงคดิ ทจี่ ะตดิ เสาไฟฟ้าในตำแหน่งท่เี หมาะสมใหส้ วา่ งทั่วทงั้ สวนเพ่อื ป้องกันภยั และเป็นการสรา้ งความม่ันใจกบั ประชาชนท่มี าใช้บริการ นักเรียนคดิ ว่าจะหาตำแหนง่ ท่ี เหมาะสมนั้นได้อย่างไร โดยให้นักเรยี นตอบคำถามตามลำดบั ดังนี้ 1. จากปัญหาน้นี ักเรยี นคิดวา่ จะเช่อื มโยงกับคณิตศาสตร์อย่างไร 2. จากทบี่ อกว่า “ใหส้ วา่ งทั่วท้ังสวน” เมอ่ื เชือ่ มโยงเข้าสูค่ ำตอบในข้อ 1 แล้ว หมายถึงอะไร จงอธิบาย 3. จงอธบิ ายการหาจุดศูนย์กลางของวงกลม

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 41 ตวั อย่างแบบทดสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย 1. ถา้ เส้นตรง L ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม x2 – 2x + y2 + 10y – 39 = 0 และขนานกับเสน้ สมั ผัสของวงกลมทจี่ ุด (2, 3) แลว้ จุดในข้อใดต่อไปน้อี ยบู่ นเสน้ ตรง L 1.  4, − 43  2.  5, − 9  3. (2, –13) 4. (3, –11) 8 2 2. ถ้าเสน้ ตรง L สมั ผสั วงกลม x2 + y2 + 10y + 7 = 0 ทจ่ี ดุ (3, –2) แล้ว สมการของเสน้ ตรง L คอื ข้อใดต่อไปนี้ 1. x – y – 5 = 0 2. x + y – 1 = 0 3. 3x – 7y – 23 = 0 4. 3x + 7y + 5 = 0 3. ให้ L เป็นเสน้ ตรงทีม่ คี วามชนั เท่ากบั – 4 ผ่านจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม 3 x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 และตัดวงกลมทจ่ี ุด A และ B ถา้ จุด C มีพิกดั เปน็ (–1, –2) แลว้ พ้นื ที่สามเหลี่ยม ABC เท่ากบั ข้อใด 1. 3 2. 3 3. 9 4. 63 55 4. กำหนดใหเ้ ส้นตรง 3x – 4y – 5 = 0 ขนานกับเส้นตรง x + ky + 5 = 0 เม่ือ k เป็นจำนวนจริง ถ้าวงกลมซง่ึ มเี สน้ ตรงท้ังสองนีเ้ ป็นเสน้ สมั ผัส มีจดุ ศูนยก์ ลางอยบู่ นแกน Y และผ่านจุด  a, 1  4 แลว้ |a| เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 6 2. 7 3. 2 4. 3 2 2 5. จากจุด P(–1, 5) ลากเสน้ ตรงต้ังฉากกบั เสน้ ตรง y = x ท่จี ุด Q ให้ R เปน็ จุดกง่ึ กลางของส่วน ของเสน้ ตรง PQ แลว้ สมการของวงกลมท่ผี ่านจุด R และมีจดุ ศนู ย์กลางท่ี  1 , 1 คอื ข้อใด 2 ตอ่ ไปน้ี 1. 4x2 – 4x + 4y2 – 8y – 5 = 0 2. x2 – x + y2 – 2 – 5 = 0 3. 4x2 – 4x + 4y2 – 8y + 5 = 0 4. x2 – x + y2 – 2y + 2 = 0 6. ผลบวกของระยะทางทีย่ าวท่ีสุดและส้ันทส่ี ุดจากจุด (10, 7) ไปยังกราฟซึง่ มสี มการเปน็ 5x2 + 5y2 – 20x – 10y – 100 = 0 มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด 1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 42 2. พาราโบลา (Parabola) สำรวจพาราโบลา บทนิยาม พาราโบลา คอื เซตของจุดบนระนาบ ซึ่งทำให้ระยะทางทจี่ ดุ เหล่าน้ีอยู่หา่ งจากเสน้ คงทเี่ สน้ หนึ่ง เท่ากับระยะทางท่จี ดุ เหลา่ น้ีอยู่หา่ งจากจดุ คงที่จดุ หนง่ึ ขยายบทนิยาม - เสน้ ตรงคงท่ีในบทนยิ าม เรยี กวา่ เส้นไดเรกตริกซ์ ของพาราโบลา (L) - จดุ คงทีใ่ นนิยามเรียกวา่ จุดโฟกสั ของพาราโบลา (F) สว่ นประกอบของพาราโบลา - จดุ คงทเี่ รียกว่า จดุ โฟกัส (Focus) เขียนแทนดว้ ย F - เส้นตรงคงที่เรยี กว่า เสน้ ไดเรกตริกซ์ - เสน้ ตรงท่ีลากผา่ นโฟกัสและตง้ั ฉากกบั เสน้ ไดเรกตริกซ์ เรียกว่าแกนของพาราโบลา - จดุ ท่ีกราฟตัดกับแกนพาราโบลาเรยี กวา่ จดุ ยอด - ระยะทางจากจุดยอดไปยงั โฟกัส เขยี นแทนดว้ ย c - เส้นตรงท่ตี ้งั ฉากกับแกนของพาราโบลาและผ่านจดุ โฟกัสเรียกว่า ลาตสั เรกตมั สมการพาราโบลา 1. สมการ y2 = 4cx c>0 c<0 มีลักษณะดังนี้ 1. แกนสมมาตร คือ แกน X 2. จดุ ยอดอยูท่ ี่ V(0,0) 3. จุดโฟกัสอยทู่ ี่ F(c,0) 4. สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ คือ x = -c 5. ความยาวลาตัสเรกตัม คือ | 4c | 6. ถา้ c > 0 กราฟจะเปิดขวา ถา้ c < 0 กราฟจะเปิดซา้ ย

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 43 2. สมการ x2 = 4cy c>0 c<0 มีลกั ษณะดังน้ี 1. แกนสมมาตร คือ แกน Y 2. จุดยอดอยู่ท่ี V(0,0) 3. จุดโฟกสั อย่ทู ี่ F(0,c) 4. สมการเส้นไดเรกตริกซ์ คือ y = -c 5. ความยาวลาตสั เรกตมั คอื | 4c | 6. ถา้ c > 0 กราฟจะเปดิ บน ถ้า c < 0 กราฟจะเปิดลา่ ง ตัวอย่างที่ 1 จงหาจดุ ยอด โฟกสั ไดเรกตริกซ์ ความยาวของลาตัสเรกตัม พรอ้ มท้ังวาดกราฟของพาราโบลาท่ี มีสมการต่อไปนี้ (1) x2 = 8 y (2) y2 = −12x วธิ ีทำ ตวั อยา่ งที่ 2 จากกราฟจงบอกสมการของพาราโบลา 2) 1) ตอบ……………………………….. ตอบ…………………………………………

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 44 ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาสมการของพาราโบลาซง่ึ มีจดุ โฟกัสอยู่ที่ F(-4, 0) และมีเส้นตรง x = 4 เปน็ ไดเรกตริกซ์ วิธีทำ ตัวอย่างที่ 4 กำหนดพาราโบลาซง่ึ มสี มการ y2 = 9x จงหาสมการของวงกลม ซึ่งมจี ดุ ศูนยก์ ลางอยู่ทโี่ ฟกัสของ พาราโบลา และสัมผสั กับไดเรกตริกซข์ องพาราโบลา วธิ ที ำ ตัวอย่างที่ 5 เสาไฟฟา้ สงู สองต้น ปกั หา่ งกัน 200 เมตร เสาแต่ละต้นสูง 50 เมตร ถา้ พาดสายไฟฟ้าระหวา่ ง หวั เสาท้ังสองปรากฏว่าสายไฟฟา้ หยอ่ นลงมาเป็นรูปพาราโบลา โดยจดุ ตำ่ สดุ ของสายไฟอยตู่ รง กึง่ กลางระหวา่ งเสาทั้งสองและอยู่สูงจากพน้ื ดนิ 30 เมตร จงหาว่า ณ ตำแหน่งที่อยู่หา่ งจากเสา ไฟฟ้า 60 เมตร สายไฟฟ้าจะอย่สู งู จากพื้นดินเท่าใด วธิ ที ำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 45 สมการพาราโบลาที่มจี ดุ ยอดท่ีจุด (h, k) สมการของพาราโบลาทม่ี จี ดุ ยอดทจี่ ุด (h , k) เรยี กว่า สมการพาราโบลารปู มาตรฐาน แบ่งเป็น 2 รูปแบบ รูปแบบที่ 1 สมการ ( y − k)2 = 4c(x − h) ลักษณะ เปิดด้านซ้าย (c  0) หรือเปดิ ดา้ นขวา (c  0) แกนสมมาตร ขนานแกน x จุดโฟกัส (h + c, k ) สมการไดเรกติกซ์ x = h−c ความยาวของลาตัสเรกตัม 4c รปู แบบที่ 2 สมการ (x − h)2 = 4c( y − k) ลกั ษณะ ควำ่ (c  0) หรอื หงาย (c  0) แกนสมมาตร ขนานแกน y จดุ โฟกัส (h, k + c) สมการไดเรกตกิ ซ์ y =k−c ความยาวของลาตัสเรกตมั 4c ตวั อย่างที่ 1 กำหนดสมการ ( y − 3)2 =16( x − 2) จงหาจดุ ยอด โฟกสั ไดเรกตริกซ์ ความยาวลาตสั เรกตัม พร้อมท้งั วาดกราฟ วธิ ที ำ