บทที่ 1 เมทริกซ์

บทท่ี 1 เมทริกซ์ ในบทนี้จะศึกษาเก่ียวกับพ้ืนฐานของเมทริกซ์ ในเรือ่ งการบวก การลบ การคูณเมทริกซ์ด้วย จานวนจริง และการคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทริกซ์ เมทริกซส์ ลบั เปลยี่ น เมทรกิ ซ์ผกผนั และเมทริกซใ์ น รูปแบบตา่ ง ๆ รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบททีส่ าคัญของเมทรกิ ซ์ โดยเราสามารถใชเ้ มทรกิ ซ์แทนระบบ สมการเชงิ เส้น แลว้ ใช้การดาเนินต่าง ๆ เพื่อหาคาตอบของระบบสมการเชงิ เส้น การแปลงเชิงเสน้ ก็ใช้ เมทรกิ ซ์แปลงเปน็ เมทริกซต์ า่ ง ๆ ได้ และยงั สามารถใช้เก็บข้อมลู ท่ีข้ึนกับตวั แปรต้นสองตัว โดย สามารถบวก คูณ และแยกเมทรกิ ซ์ออกเป็นผลคูณของเมทรกิ ซ์ไดห้ ลายรปู แบบ เมทริกซ์จึงเป็น แนวความคดิ ท่ีมีความสาคัญยิ่งของพีชคณิตเชงิ เส้น เมทรกิ ซ์ โดยท่ัวไป เราสามารถพบเหน็ ขอ้ มลู หลายชนิดทเ่ี ขยี นอยู่ในรปู กลมุ่ ของจานวนซ่ึงนามา จัดเรียงกนั ในรปู สีเ่ หลย่ี มมุมฉากได้มากมายในชวี ติ ประจาวัน ตัวอยา่ งเชน่ ร้านคา้ แหง่ หนึ่งซือ้ เครื่อง เขยี นมาขาย 4 ชนิด คือ ปากกา ดนิ สอ ไมบ้ รรทัด และยางลบ โดยราคาต้นทนุ คดิ เปน็ ต่อชิ้น แสดง เปน็ ตารางได้ดังนี้ ชนิดเคร่ืองเขยี น ปากกา ดินสอ ไมบ้ รรทดั ยางลบ ราคา/ช้นิ 15 10 8 7 15 10 ซ่ึงสามารถเขยี นสน้ั ๆ เป็น 15 10 8 7 หรือ 8  7   หรอื ในการแข่งขนั กีฬาบาสเกตบอลรายการหน่ึง ตารางคะแนนแจง้ ผลการแขง่ ขนั ได้ดงั น้ี ทีม ชนะ แพ้ เสมอ A34 2 B52 2 C42 3 D24 3 E13 5

16 3 4 2 5 2 ซ่ึงสามารถเขียนส้นั ๆ เปน็ 4 2 3 2 2 4 3 1 3 5  หรอื ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถจดั เรียงสมั ประสทิ ธขิ์ องระบบสมการเชิงเสน้ ใหอ้ ยใู่ นรปู สีเ่ หลยี่ ม มมุ ฉากได้ ดงั นี้ 3x  5y  25 x  2 y  10 ซง่ึ สามารถเขยี นสัน้ ๆ เปน็ 3 5 1 2 ดงั ที่ได้กล่าวมาทั้งหมดนเ้ี ปน็ ตวั อยา่ งเบอ้ื งต้นของเมทรกิ ซ์ทั้งส้ิน และเน่อื งจากวิชาพีชคณติ เชงิ เส้นสว่ นหนงึ่ เปน็ การศึกษาระบบสมการเชงิ เส้น ในบทนี้จะขอทบทวนสมบัติพ้ืนฐานตา่ ง ๆ ของ เมทรกิ ซ์และการดาเนินการบนเมทรกิ ซ์ การบวกและการลบเมทรกิ ซ์ การคณู เมทริกซ์ด้วยจานวน จรงิ และการคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทริกซ์ เพอื่ ใชเ้ มทรกิ ซ์เป็นเครอ่ื งมือในการหาผลเฉลยของระบบ สมการเชิงเสน้ ตอ่ ไป รวมถึงดเี ทอรม์ แิ นนตแ์ ละตัวผกผันสาหรับการคูณ นิยาม 1.1 เมทริกซ์ (Matrix) คอื กลมุ่ ของจานวนซ่งึ นามาจดั เรียงกนั เป็นรูปสเ่ี หลี่ยมมุมฉากเป็น แถวตามแนวนอนและแนวต้ัง ซงึ่ มแี ถวตามแนวนอนเรยี กวา่ แถว (Row) และตามแนวต้ังเรียกว่า หลัก (Column) โดยปดิ ล้อมด้วยเครื่องหมายวงเลบ็ ( ) หรือ [ ] เขียนในรปู ท่วั ไปดังนี้ a11 a12 a1n  a21  A   a22 a2n     am1 am2 amn  แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  aij mn หรอื Amn เมือ่ aij เปน็ สมาชิกในแถวท่ี i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ โดยท่ี i 1, 2, 3, , m และ j 1, 2, 3, , n สาหรบั เมทรกิ ซท์ ่ีมี m แถว n หลกั กล่าววา่ เมทริกซน์ นั้ มมี ิติ (Dimension) หรืออันดบั (Order) m n

17 ตัวอยา่ งท่ี 1.1 จงบอกมิติและแจกแจงสมาชิกในแตล่ ะเมทรกิ ซ์ตอ่ ไปนี้ 0 1  3 1. A   2 1 4 2. B  2 1 0 5 3. C  0 6 2 1  4. x 6 D  2x x2  5. E  2 6 5 3 7 4 วิธีทา 1. A เปน็ เมทริกซ์มิติ 3 × 2 และมีสมาชิกดังน้ี a11  0, a12  1, a21  2 a22  3, a31  1, a32  4 2. B เปน็ เมทรกิ ซ์มิติ 1 × 4 และมสี มาชกิ ดงั นี้ b11  2, b12  1, b13  0, b14  5 3. C เป็นเมทรกิ ซม์ ิติ 2 × 2 และมีสมาชิกดังนี้ c11  0, c12  6, c21  2, c22  1 4. D เปน็ เมทริกซม์ ิติ 2 × 2 และมสี มาชกิ ดังน้ี d11  x, d12  6, d21  2x, d22  x2 5. E เป็นเมทรกิ ซ์มิติ 3 × 3 และมีสมาชิกดังน้ี e11  2, e12  6, e13  5 e21  3, e22  7, e23  4 เมทรกิ ซแ์ บบตา่ ง ๆ เมทริกซ์ศนู ย์ (Zero Matrix or Null Matrix) เมทรกิ ซ์ที่มีสมาขิกทุกตัวเป็นศนู ย์ เราเรียกวา่ เมทรกิ ซ์ศูนย์ เขยี นแทนด้วย 0mn เชน่ 0 0 0 0  0 0 B  0  A  , 0 0  0

18 เมตรกิ ซ์จตั รุ ัส (Square Matrix ) เมทรกิ ซ์ท่ีมีจานวนแถวเท่ากบั จานวนหลกั จะเรยี กว่า เมตริกซ์จตั ุรสั ที่มี n แถว n หลัก วา่ เมทรกิ ซ์จตั ุรัสมิติ n n หรอื เมทริกซจ์ ัตุรสั มิติ n เชน่ 2 0 1 0 3  3 B  2  A  1  , 0 4 1   3 5 เมทรกิ ซ์ทแยงมมุ (Diagonal Matrix) เมทรกิ ซจ์ ัตุรสั ท่สี มาชิกบนเสน้ ทแยงมุมหลัก เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ และสมาชิกนอกแนวทแยงมุมหลกั ทุกตัวเปน็ ศนู ย์ เช่น 2 0 2 0 0 0 1  B  0 0  A  , 0 2 5 0 เมทรกิ ซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix) เมทรกิ ซ์ทแยงมุมท่สี มาชิกบนเสน้ ทแยงมุมหลกั มีคา่ เท่ากัน ทกุ ตัว เช่น 3 0 5 0 0  0 3 B  0  A  , 0 5 0  0 5 เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) เมทรกิ ซส์ เกลารม์ ติ ิ n n ท่ีมีสมาชิกบนเส้นทแยง มมุ หลักมีค่าเทา่ กับ 1 เขยี นแทนด้วย In เช่น 1 0 1 0 0  0 1 I3  0  I2  , 0 1 0  0 1 เมทริกซส์ ามเหล่ียม (Triangular Matrix) เมตริกซ์จัตรุ ัสทม่ี ีสมาชกิ อยดู่ ้านใดดา้ นหนึ่งของ แนวทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทั้งหมด เรียกวา่ เมทรกิ ซ์สามเหลย่ี มบน (Upper Triangular Matrix ) ถ้าสมาชกิ ใตเ้ ส้นทแยงมุมหลกั เปน็ ศนู ยท์ กุ ตัว แต่ถา้ สมาชิกเหนือเสน้ ทแยงมุมหลกั เปน็ ศนู ย์ทุกตัว เรยี กวา่ เมทริกซส์ ามเหล่ียมล่าง (Lower Triangular Matrix ) เชน่ 2 1 3  A  0 3 4 เมทริกซ์สามเหลีย่ มบน 0 0 1 1 0 0 B  3  1 0  เมทริกซ์สามเหลยี่ มล่าง 2 1 1

19 เมทริกซ์สลับเปล่ียน (Transpose of a Matrix) ถา้ A เมทริกซ์มิติ m n แล้วเมทริกซ์ สลบั เปลยี่ นของ A เขียนแทนด้วย At คอื เมทริกซซ์ ง่ึ ไดจ้ ากการนาแถวของ A มาสร้างให้เป็นหลกั ของเมทรกิ ซ์ At น่นั คอื ถา้ A  aij mn แลว้ At  a ji nm เช่น A  1  , At  1 2 2 B  0 1  , Bt  0 3 3 2 1 2 เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix) เมตริกซจ์ ัตุรัสที่มสี มบตั วิ ่า aij  a ji สาหรบั ทกุ คา่ i และ j นน่ั คือ ถา้ A เป็นเมทริกซ์สมมาตร จะได้ At  A เชน่ A  3 5 , At  3 5 นั่นคือ At  A 5 2 5 2  1 3 2  1 3 2 B  3 7 8 , Bt  3 7 8 นนั่ คอื Bt  B  2 8 0   2 8 0  เมทริกซ์เสมอื นสมมาตร (Skew - Symmetric Matrix) เมตรกิ ซ์จัตรุ ัสที่สมาชิกบนเส้นทแยง มมุ หลกั เปน็ ศนู ย์ทุกตวั และเป็นเมทริกซ์ท่ีมสี มบตั วิ ่า aij   a ji สาหรบั ทุกคา่ i และ j นั่นคอื ถ้า A เป็นเมทริกซ์เสมือนสมมาตร จะได้ At  A เชน่ A  0 4  จะได้ At  0 4   1 0 4   A 4 0 4 0 4 0  0 1 1   0 1 1  0 1 1  B  1 2  0  2  1 1 2   B 0 จะได้ Bt   1 0  1  2 0 1 2 0  1  2 0 เมทริกซไ์ ม่เอกฐาน (Non - Singular Matric) เมตริกซจ์ ตั รุ ัสท่ีมีตวั ผกผนั สาหรบั การคูณ หรือกล่าวคือ เมทริกซ์ไม่เอกฐานเป็นเมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ที่มีคา่ ตวั กาหนดหรือคา่ ดเี ทอรม์ แิ นนต์ไม่เท่ากบั ศนู ย์ เชน่ A  1 2 , det A  14  32   2  0 3 4 2 1   A1   3  1   2 2

20 เมทรกิ ซ์เอกฐาน (Singular Matric) เมตรกิ ซ์จัตรุ สั ที่ไม่มตี ัวผกผันสาหรบั การคูณ หรอื กลา่ วคอื เมทริกซเ์ อกฐานเปน็ เมทริกซ์จตั รุ สั ที่มีคา่ ตวั กาหนดหรอื คา่ ดีเทอร์มแิ นนตเ์ ท่ากับศนู ย์ เชน่ A  3 1 , det A  23  61  0 6 2 นน่ั คือ A ไมม่ ีตัวผกผนั การดาเนินการบนเมทรกิ ซ์ การเท่ากันของเมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซส์ องเมทริกซจ์ ะเปน็ เมทรกิ ซ์ท่ีเทา่ กัน กต็ ่อเม่ือ เมทริกซท์ ั้งสองมีมติ เิ ท่ากัน และ สมาชิกของเมทริกซืที่อยู่ในตาแหนง่ เดยี วกันเทา่ กนั ทุกตัว ซึง่ นยิ ามได้ดังน้ี นยิ าม 1.2 ถ้าเมทริกซ์ A  [aij ] และ B  [bij ] เทา่ กนั เขยี นแทนดว้ ย A  B กต็ ่อเม่ือ A และ B มีมิตเิ ดียวกัน และ aij  bij สาหรับทกุ ๆ ค่าของ i และ j ตวั อย่างท่ี 1.2 จงหาคา่ x และ y เม่ือกาหนดให้ x  3 6  9 6 x  y 7 4 7 วธิ ีทา จากนิยาม 1.2 จะได้วา่ x3  9 หรอื x  6 และ x  y  4 y  4  x  46   2 ดงั นนั้ x  6 และ y   2 ตวั อยา่ งที่ 1.3 จงหาค่า a และ b เมื่อกาหนดให้ a2 6  25 4  b   4 a  2 b2  7  วิธีทา จากนิยาม 1.2 จะไดว้ ่า a2  25 และ a  2   7 a   5 และ a   5 น่นั คือ a   5 และจาก b2  4 และ 4  b  6

21 b   2 และ b2 น่ันคือ b  2 ดังนนั้ a   5 และ b  2 ตัวอยา่ งที่ 1.4 จงหาค่า a และ b เมอ่ื กาหนดให้ 2a log b  16 (log b)2      a b  a b วิธที า จากนยิ าม 1.2 จะได้ว่า 2a  16 2a  24  16 น่ันคอื a  4 และจาก log b  (logb)2 ซึ่ง (log b)2  log b  0 จะได้ว่า log b log b 1  0 log b  0 หรือ log b 1  0 100  b log b  1 b  1 101  b  b  10 นัน่ คือ b  1 และ 10 ดังนน้ั a  4 และ b  1,10 ตวั อยา่ งที่ 1.5 จงตรวจสอบวา่ A  B หรอื ไม่ เม่ือกาหนดให้  5 1 และ  25 a0  A 0 6 B  loga 1 ln e6  วิธที า จากโจทย์จะได้วา่ 5  25  5 1  a0  1 0  loga 1  0  loga 1  0 และ ln e6  6  6  6 ln e  61  6 ดงั นั้น ค่าทกุ ค่าของเมทรกิ ซ์ A และเมทริกซ์ B มีค่าเท่ากนั นน่ั คือ เมทริกซ์ A  B

22 การบวก และการลบเมทริกซ์ การนาเอาสมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ซงึ่ อยใู่ นตาแหน่งเดียวกันของเมทรกิ ซ์ 2 เมทริกซท์ ่ีมีมิตเิ ท่ากนั มาบวกหรอื ลบกัน ทาให้ได้เมทรกิ ซ์ใหม่ ดังนยิ ามต่อไปน้ี นิยาม 1.3 การบวกเมทริกซ์ ถา้ เมทรกิ ซ์ A  [aij ]m  n และ B  [bij ]m  n เป็นเมทรกิ ซ์ท่ีมมี ิติเท่ากนั แลว้ A  B  [aij  bij ]m  n เม่ือ i  1, 2, 3, , m และ j  1, 2, 3, , n ตวั อย่างที่ 1.6 กาหนดให้ A  4 5 , B  1 2 จงหาค่าของ A B 2 1  7 0 วธิ ที า A B  4 5  1 2 2 1  7 0 4 1 5 2 = 2  7 1 0 5 7 = 9  1  ตัวอยา่ งที่ 1.7 กาหนดให้ A  0 2 4 , B  3 2 1 จงหาคา่ ของ A B 1 5  0 0 6 6  วธิ ีทา A B  0 2 4  3 2 1 1 5  0 0 6 6  = 0  3  2  2 4  1   1  0 50 66  3 0 3  = 1 5 12 นยิ าม 1.4 การลบเมทรกิ ซ์ ถ้าเมทริกซ์ A  [aij ]m  n และ B  [bij ]m  n เป็นเมทริกซ์ที่มีมิตเิ ทา่ กันแลว้ A  B  [aij  bij ]m  n เมอ่ื i  1, 2, 3, , m และ j  1, 2, 3, , n

23 ตวั อยา่ งที่ 1.8 กาหนดให้ A  6  3 , B  1 5 จงหาคา่ ของ AB 1 4  0 8 วธิ ีทา AB  6  3  1 5 1 4  0 8 6  1  3  5 = 1 0 4  8 7  8 = 1  4  1  2 0 1 3  2  ตวั อย่างท่ี 1.9 กาหนดให้ A  2    3 1  , B   0 1 0  จงหาค่าของ AB 0 1 0  3 4 2 1  2 0 1 3  2  A  B  2    วธิ ีทา 3 1    0 1 0  0 1 0  3 4 2 1 1  2  3 0  2 = 2  0  31 10  0  3 1 4 0  2  2 5 2 = 2  2 1  3  5  2 การคณู เมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ นิยาม 1.5 การคูณเมทริกซ์ดว้ ยสเกลาร์ ถา้ A  [aij ]m  n และ c เปน็ สเกลาร์ แล้ว cA  [caij ]m  n และ Ac  [aijc]m  n 2 5 3 0 4 3 2 0 6 9 3 , C  0 5 ตวั อยา่ งท่ี 1.10 กาหนดให้ A   1 , B  1 2  1 จงหา   3  คา่ ของ 3A ,  5B , 2C วธิ ที า  2 5 3  3  2  35 33  6 15 9 3A 3 0  31 30 36  0 18  1 6   3

24 0 4  5 0 5 4 0  20  5 9  45 5B  5 9 3    51  5 3   5 15    1 2  5 2 10  3 2 23 2  2  6  4 2C  2 0 5   0 10  2 0 25   2  6 1  3  2 1 2  3   ตวั อย่างที่ 1.11 กาหนดให้ A  1 2 , B  3 4 จงหาเมทรกิ ซ์ X ทท่ี าให้ 0 3  4  2 2X  A  B วธิ ีทา จากโจทย์ 2X  A  B จะได้ว่า 2X  B  A X  1 B  A 2  1  3 4  1 2  1  3 1 4  2   4 0  2     2   2 3  2  0 43   1  4 6      2  2 1   1  4  1 6 2 3  2 2       1 1  1 1   2 2 2 1  2   ดังนัน้ เมทริกซ์ 2 3   X   1 1   2 การคณู เมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์ นิยาม 1.5 การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ ถา้ A  [aij ]m  n และ B  [bij ]n p เปน็ เมทริกซ์ จะได้ผลคูณ C  AB  [cij ]m  p โดยที่ cij  ai1b1 j  ai2b2 j   ainbnj หรอื กลา่ ววา่ cij คอื สมาชิกใน แถวที่ i หลกั ที่ j ของเมทริกซ์ C ซึง่ ได้จากการนาสมาชิกแถวที่ i ของ A คณู กับสมาชิกในหลักท่ี j ของ B เป็นคไู่ ปตามลาดับ แล้วนามาบวกกัน

25 การดาเนนิ การตามนยิ ามขา้ งต้นสามารถแสดงในรปู ทว่ั ๆ ไป ด้วยแผนภาพตอ่ ไปน้ี a11 a12 a1n  a21 a22   a2n  b11 b12 b1 j b1p   c11 c12 c1p   ain   b22 b2 j   c22  ai1 ai2  b21 c21    bn2 bnj b2 p   cij c2 p        am1 am2  bn1  cm1 cm2  cmp  bnp  amn  โดยท่ี c11  a11b11  a12b21   a1nbn1 a11 a12 a1n     a21 a22 a2n  b11 b12 b1 j b1p  c11 c12 c1p  ain   b22 b2 j   c22    b21  c21    bn2 bnj b2 p   c2 p  ai1 ai2     cij   bn1    cm1 cm2 cmp   bnp  am1 am2 amn  โดยท่ี cij  ai1b1 j  ai2b2 j   ainbnj ข้อสงั เกต : 1. ผลคณู ของเมทรกิ ซ์ A และเมทริกซ์ B จะหาได้ ก็ต่อเมื่อจานวนหลกั ของ A เท่ากับจานวนแถวของ B 2. เมทรกิ ซ์ทเี่ ป็นผลลพั ธจ์ ะมจี านวนแถวเทา่ กบั จานวนของ A และจานวนหลักเทา่ กับ จานวนหลักของ B 3. โดยทัว่ ไป ผลคณู ของเมทรกิ ซ์ A และเมทริกซ์ B จะได้วา่ AB ไมเ่ ท่ากบั BA

26 0 4 1  1 2 3 2 2 3  ตัวอย่างท่ี 1.12 กาหนดให้ A  , B   5 0  จงหาค่าของ AB 2  0 4 1  1 2 3 2 2 3  วิธีทา จะได้วา่ AB   5 0  2  01  43 15 02  40 12   32  20  22 3 1  2  3  2 5  0  12  5 0  0  2   3   6   10 6  0  4  7 2  7 10 1 0 2  2 1 2 1 0  1  ตวั อย่างที่ 1.13 กาหนดให้ C  , D   4 1  0 จงหาค่าของ CD และ DC 1 0 2  2 1 2 1 0  1  วธิ ีทา จะได้ว่า CD   4 1  0  12  01  24 11  01  20   21  11  00 2  2   1  1  0  4 2  0 8 1 0 0   4 1 0 2  1  0  10 1 5 1  2 1 1 0 2  1  2 1 0  และ DC  4 1  0

27 21 12 20 11 22 10   11 12 10 11 12 10 40  01  41  02 42  00  2  2 0  1 40  0  1   1  2  2  0 00 4  0 80   4 1 4  1 1  2 4 0 8 ข้อสังเกต จากตวั อยา่ งขา้ งต้น ผลคณู CD และ DC ตา่ งกส็ ามารถคูณกนั ได้ แตเ่ มทริกซท์ ั้งสอง ไมเ่ ทา่ กัน น่นั คือ CD  DC ตวั อยา่ งท่ี 1.14 กาหนดให้ A  3 0 , B  0 2 , C  0 3 จงหาตรวจสอบว่า 0 0 0 0 0 3 AB  BC หรือไม่ วธิ ีทา จะได้ว่า AB  3 0 0 2 0 0 0 0  30  00 32  00   02  00 0 0  0  0  0  0 6  0 0  0 0  0  0 6 0 0 และ BC  0 2 0 3 0 0 0 3 00  20 03  23  00  00 03  03  0  0 0  6 0  0 0  0  0 6 0 0 น่ันคือ AB  BC

28 ขอ้ สังเกต จากตัวอย่างข้างต้น พบว่า AB  BC เปน็ จริงได้ ถึงแมว้ ่า B  C หรือ A  0 ในตัวอย่างต่อไปนจี้ ะแสดงวา่ การคูณเมทรกิ ซ์มปี ระโยชน์อย่างไร ในปัญหาการตัดสนิ ใจ ตวั อย่างที่ 1.15 ชาวสวนผลไมใ้ นจงั หวัดเชียงราย ได้บรรทุกผลไม้เพ่ือสง่ ไปขายในจังหวดั ต่าง ๆ ดังน้ี จังหวัดเพชรบรุ ี จงั หวดั ลพบรุ ี จังหวัดกาแพงเพชร และจงั หวดั อดุ รธานี โดยในรถบรรทุก ผลไม้คนั นป้ี ระกอบดว้ ยสม้ สายนา้ ผ้ึงจานวน 500 เข่ง สตรอเบอร่ีจานวน 900 เข่ง และลาไยจานวน 400 เข่ง ราคาขายต่อเข่งจะข้ึนกบั ชนิดของผลไมแ้ ละระยะทางของจังหวัดซ่ึงกาหนดไดต้ ามตาราง ตอ่ ไปนี้ ชนดิ ผลไม้ สม้ สายน้าผง้ึ สตรอเบอร่ี ลาไย จังหวัด 100 70 90 เพชรบุรี 50 200 150 ลพบรุ ี 300 100 40 กาแพงเพชร 200 150 170 อุดรธานี อยากทราบว่าจังหวดั ใดท่ีรถบรรทุกผลไม้ควรจะไปส่งเพ่ือท่ีว่าชาวสวนผลไมจ้ ะได้รับกาไรสงู สุดจาก การขายผลไม้ของเขา วิธที า จากข้อมูลของโจทย์รถบรรทุกผลไม้คนั น้ี ประกอบดว้ ยสม้ สายน้าผ้งึ จานวน 500 เขง่ สตรอเบอรี่จานวน 900 เข่ง และลาไยจานวน 400 เข่ง สามารถแปลงเป็นเมทรกิ ซ์ ไดด้ ังนี้ 500 900 400 และรายได้จากการบรรทกุ ผลไม้เพื่อส่งไปขายในจังหวดั ต่าง ๆ เปน็ ดังนี้ 100 70 90  100500  70900  90400  50 500   300 200 150 900  50 500  200 900   150 400  200 100 400 150 40  300500 100900  40400     200500 150900 170400 170 50, 000  63, 000  36, 000  25, 000 180, 000  60, 000  =  150, 000  90, 000 16, 000  100, 000 135, 000  68, 000 149, 000  = 265, 000 256, 000 303,  000 

29 จะเหน็ ได้ว่า รายไดจ้ ากการบรรทุกผลไมเ้ พือ่ สง่ ไปขายในจงั หวัดอดุ รธานีมากท่สี ดุ ดังน้ันเพื่อให้ ได้รับกาไรสงู สุดจากการขายผลไม้ ควรส่งผลไม้ไปขายท่ีจงั หวดั อดุ รธานี การสลบั เปลย่ี นของเมทรกิ ซ์ (The Transpose of Matrices) ถ้าแถวและหลักของเมทริกซ์มีการสลบั ท่กี ัน กล่าวคือ แถวที่หนึ่งของเมทริกซ์เปล่ยี นไปเปน็ หลักท่ีหนง่ึ แถวท่ีสองของเมทริกซ์เปลี่ยนไปเปน็ หลักท่ีสองทาเช่นนี้ไปเร่อื ย ๆ จนกระท่งั แถวใน เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหห้ มดไป เมทริกซ์ใหมท่ ี่ได้ใหม่นี้เรยี กว่า “การสลบั เปล่ยี นของเมทริกซ์” สัญลักษณ์ที่ใช้แทนการสลบั เปล่ียนของเมทริกซ์ คือ AT หรือ At นนั่ คือ ถา้ aij เปน็ สมาชกิ ใน แถวที่ i และหลกั ท่ี j ของเมทริกซ์ A แล้ว aij นี้จะเปน็ สมาชกิ ในแถวที่ j และหลกั ที่ i ของ AT ด้วย ไมจ่ าเป็นว่าเมทรกิ ซ์ A ต้องเปน็ เมตริกซ์จัตรุ สั จงึ จะสลับทีไ่ ด้ นยิ าม 1.6 การสลับเปลย่ี นของเมทรกิ ซ์ ถา้ A  [aij ]m  n ดังนั้น B  [bij ]n  m ในเมือ่ bij  a ji เรียกวา่ การสลบั เปลย่ี นของเมทริกซ์ A ซึ่งเขียนแทนด้วย AT โดยท่ี AT  B  [b ji ]n  m  [a ji ]n  m ตัวอยา่ งท่ี 1.16 กาหนดให้ A  5 3 0 จงหา AT 2 1 1  วิธที า เนือ่ งจากเมทริกซ์ A มสี องแถว เพราะฉะน้ันถ้าสลับเปลย่ี นแถวที่หนง่ึ ใน A ไปเป็นหลัก ท่หี นึง่ ใน AT และสลบั เปลี่ยนแถวที่สองใน A ไปเปน็ หลกั ท่ีสองใน AT 5 2 AT  3  ดงั นั้น 1  0 1 หรอื หา AT โดยใชน้ ยิ ามขา้ งตน้ เพราะว่าเมทรกิ ซ์ A มมี ิติ 2 × 3 เพราะฉะนน้ั AT จะมมี ิติ 3 × 2 AT  B  [b ji ]2  3  [a ji ]3  2 นัน่ คอื b11  a11  5 , b12  a21  2 b21  a12  3 , b22  a22  1 b31  a13  0 , b32  a23  1 5 2 AT  3  ดงั นน้ั 1  0 1

30 ทฤษฎบี ท ถ้า k เป็นสเกลารใ์ ด ๆ และ A , B เปน็ เมทริกซ์ท่ีมีมติ ิแลว้ จะไดว้ ่า  1. AT T  A 2.  A  BT  AT  BT และ  A  BT  AT  BT 3.  ABT  BT AT 4. kAT  kAT อินเวอรส์ การคูณของเมทริกซ์ นิยาม 1.7 ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซ์จตั ุรสั ใด ๆ และถา้ B เป็นเมทริกซ์ ทซี่ ึ่ง AB  BA  In แลว้ จะ เรยี ก B ว่า เปน็ อนิ เวอร์สการคูณของ A ถา้ A หาอนิ เวอร์สการคณู ไมไ่ ด้ เรยี ก A ว่า เมทรกิ ซเ์ อกฐาน (singular matrix) ถา้ A หาอนิ เวอรส์ การคูณได้ เรียก A วา่ เมทรกิ ซม์ ใิ ชเ่ อกฐาน (non-singular matrix) ตัวอย่างท่ี 1.17 กาหนดให้ A  1 2 และ B 2 1 จงแสดงวา่ B เป็น 3 4  1 2  3 2 อินเวอรส์ การคณู ของ A วธิ ีทา จะได้วา่ AB  1 2  2 1 3 4  3 2 1 2  2  3 11  6  6 3  2  1 0 0 1 และ BA  2 2 1  1 2  3 1 2 3 4 2  3  4  4      3  3 3 2 2 2   1 0 0 1 ดังนนั้ AB  BA  I2 แสดงวา่ B เปน็ อนิ เวอรส์ การคูณของ A

31 ตวั อย่างท่ี 1.18 จงแสดงว่า B เป็นอนิ เวอร์สการคูณของ A เมอ่ื กาหนดให้ A 1 2 , B  1  2 1 1  1 1  วธิ ที า จะแสดงว่า AB  I2 นนั่ คอื AB  1 2 1  2 1 1  1 1   1 2 2  2  1  1  2 1   1 0 0 1 และแสดงวา่ BA  I2 นั่นคือ BA  1  2 1 2 1 1  1 1   1 2 2  2 11 2 1   1 0 0 1 จะเห็นได้วา่ AB  BA  I2 แสดงวา่ B เป็นอนิ เวอร์สการคูณของ A ทฤษฎบี ท ถ้า B และ C เป็นอินเวอรส์ การคณู ของ A แลว้ B  C ทฤษฎีบท ถา้ A  [a] โดยท่ี a  0 แล้ว อนิ เวอร์สการคูณของ A หาได้จาก A1  1  a  ทฤษฎบี ท ถา้ A  a b โดยท่ี ad bc  0 แลว้ อนิ เวอรส์ การคูณของ A c  d  หาได้จาก A1  1 d  b ad  bc c  a 

32 ตัวอย่างที่ 1.19 จงหาอนิ เวอรส์ การคูณของ A และ B เม่ือกาหนดให้ A  1 2 , B  4  8 3 7 1  2  วิธีทา จากโจทย์ จะไดว้ ่า A1  1 d  b ad  bc c a   1 7  2 1 71  32 3  1 7  2 7  6 3 1  1 7  2  7  2 1 3 1 3  1  และ B1  1 d  b เนื่องจาก ad bc  0 จงึ ไมส่ ามารถหาอนิ ad  bc c  a  เวอรส์ การคณู ของ B ได้ สมบตั ขิ องอินเวอร์สของเมทรกิ ซ์ ทฤษฎีบท กาหนด A , B เปน็ เมทริกซจ์ ัตุรัสมิตเิ ดยี วกัน และมีอนิ เวอรส์ การคูณ 1. ( A1)1  A 2. ( AB)1  B1A1 3. ( A1)T  ( AT )1 4. An มอี นิ เวอรส์ การคณู และ (An )1  (A1)n เมื่อ n  0,1, 2, 5. kA มีอนิ เวอร์สการคูณ และ (kA)1  1 A1 สาหรบั จานวนจรงิ k  0 k

33 เมทรกิ ซ์มูลฐานและวิธหี า A1 นยิ าม 1.8 เมทริกซ์ E ทม่ี ีมิติ n n จะเรยี กว่า เมทริกซ์มูลฐาน เม่อื E เปน็ เมทริกซ์ท่เี กิด จากการใช้การดาเนินการตามแถวเบ้ืองต้นชนิดใดชนิดหนง่ึ เพยี งคร้งั เดียวบนเมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ ตัวอย่างที่ 1.20 เมทรกิ ซต์ ่อไปนเ้ี ป็นเมทริกซ์มลู ฐาน 1. 1 0  เพราะ 10 10  3 01 03  0 1 0 0 100 100 2. 0 1 0 เพราะ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 001 001 0 0 1 10 0 0 01 010 010 3. 0 1 0 เพราะ 0 01 10 0 1 0 0 1 0 0 0 10 0 0 10 0 0 010 4 4. 0 1 0 4 เพราะ 0 1 0 0 0 010 0 0 1 0 0 010 0 0 01 0 0 0 1 0 0 01 ถา้ A เป็นเมทริกซ์ทม่ี มี ิติ m n และ E เปน็ เมทรกิ ซม์ ลู ฐานมีมติ ิ m n แลว้ ผลคูณ EA จะเปน็ เมทริกซท์ เ่ี กดิ จากการใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องตน้ ชนิดเดยี วกบั E บน A เช่น ให้ A  1 2 3 4 เปน็ เมทริกซ์ทม่ี ีมิติ 2 × 4 และ E  0 1 เป็น  1 2  1 0  0 0  เมทรกิ ซ์มลู ฐานท่เี กดิ จากการสลบั แถวของ I2  1 0 นัน่ คือ  1  0 10 01 01 10

34 จะได้ EA  0 1 1 2 3 4 1 0  0 1 2 0 01 10 02 11 03 12 04 10   11  00 12  01 13  02 14  00  0  0 0 1 02 0  0 1 0 20 30 4  0 0 1 2 0 = 1 2 3 4 ซึ่งผลลัพธท์ ไ่ี ด้จะเหมือนกับการสลับแถวท่ี 1 กบั แถวที่ 2 ของเมทรกิ ซ์ A ตัวอย่างที่ 1.21 จงหาผลคณู EA เม่อื กาหนดให้ 1 0 0  2 1 1 1. E  0 0 1 , A  3  2  5  0 1 0  2 3  2 1 0 0  2 1 1 2. E  2 1 0 , A  3  2  5  0 0 1  2 3  2 1 0 0 1 0 0  E  0 1  0 วธิ ที า 1. 0 เปน็ เมทริกซ์มูลฐานทีเ่ กดิ จากการสลบั แถวของ I3   0 1 0 1 0 0 0 1 100 100 นัน่ คือ 0 1 0 0 0 1 001 010 1 0 0  2 1 1  2 1 1 ดังนน้ั EA  0 0 1 3   3  2 2  5    2 0 1 0  2 3  2   3 2  5 1 0 0 1 0 0  E  2 0  0 2. 1 เป็นเมทริกซม์ ลู ฐานทเ่ี กิดจากการสลับแถวของ I3   0 1 0 0 1 0 0 1 100 100 น่ันคอื 0 1 0 2 1 0 001 001

35 1 0 0  2 1 1  2 1 1 ดังนัน้ EA  2 1 0 3    2  5    1 0  3  0 0 1  2 3  2  2 3  2 ทฤษฎบี ท เมทริกซ์มูลฐานทุกเมทริกซ์เป็นเมทรกิ ซ์ทีห่ าอนิ เวอร์สได้ และอินเวอร์สท่ีได้จะเป็น เมทริกซ์มลู ฐานดว้ ย ทฤษฎบี ท กาหนดให้ A เปน็ เมทริกซ์ที่มมี ติ ิ n n ข้อมูลต่อไปนี้สมมูลกัน 1. A มอี ินเวอรส์ การคูณ 2. Ax  0 มีคาตอบชัดแจง้ เพยี งคาตอบเดียว 3. A  In วิธกี ารหาตัวผกผนั ถ้ากาหนดให้ A เปน็ เมทรกิ ซท์ ี่มมี ติ ิ n n และหาอนิ เวอรส์ ได้ จากทฤษฎขี ้างต้น เรา พบวา่ A  In แสดงว่าจะต้องมีเมทริกซ์มลู ฐาน E1 , E2 , , Ek ทาให้ Ek Ek1 E2 E1 A  In แต่เนอ่ื งจากเมทรกิ ซ์มลู ฐานเหล่านม้ี ีอนิ เวอร์ส จึงนา Ek1 , , E21 , E11 คูณทง้ั สองข้างอยา่ ง ต่อเนื่องกันจะได้ A  E11 E21 Ek 1In   Ek Ek1 E2 E1 1 A1  Ek Ek1 E2 E1 B ดว้ ยเหตุนีจ้ ึงเกิดกระบวนการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ A ดงั น้ี 1. เขียน  A In  2. ใชก้ ารดาเนินการตามแถวเบ้อื งตน้ A In  จนได้ In 3. จะได้ B  A1

36 1 2 3   3 ตวั อย่างที่ 1.22 จงหาอนิ เวอรส์ การคูณของ A   2 5 1 0 8  วธิ ที า 1 23 1 00 1 2 3 1 00 253 0 10 0 1 3 2 10 1 08 0 01 1 0 8 0 01 1 2 3 1 00 0 1 3 2 10 0 2 5 1 01 1 2 3 1 00 0 1 3 2 10 0 0 1 5 21 12 3 1 0 0 01 3 2 1 0 001 5 21 1 2 0 14 6 3 01 3 2 1 0 001 5 2 1 1 2 0 14 6 3 0 1 0 13 5 3 0 01 5 2 1 1 0 0 40 16 9 0 1 0 13 5 3 0 01 5 2 1 ดังน้ัน 40 16 9   A1   13 5 3   5  2 1 

37 เราไดอ้ ธบิ ายวธิ ีการแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้วธิ กี ารกาจัดตวั แปรดว้ ยวธิ เี กาส์ – จอร์แดนและวิธี เกาส์เซยี นแลว้ ต่อไปนี้เราจะแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นท่ีมีจานวนสมการเท่ากับจานวนตัวแปรโดยวิธี อื่น ทฤษฎีบท ถา้ A มีอนิ เวอรส์ การคูณ มีมติ ิ n × n แลว้ ระบบสมการเชงิ เส้น AX  B จะมีคาตอบ เดยี ว คอื X  A1B สาหรับแตล่ ะ b ที่มีมติ ิ n × 1 ใด ๆ ตัวอย่างท่ี 1.23 จงแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ 2xx1125xx22  3x3  5  3x3  3  x1  8x3  17 วิธีทา ระบบสมการขา้ งต้นสามารถเขียนให้อยู่ในรปู AX  B โดยท่ี 1 2 3  x1  5   3   3  A   2 5 , X   x2  , B   1 0 8  x3  17 A1 40 16 9   จากตัวอย่าง 1.22 จะไดว้ า่   13 5 3   5  2 1  จากทฤษฎีบท คาตอบของระบบสมการนี้ คือ 40 16 9 5    3  X  A1B   13 5 3    5  2 1  17 200  48 153     65 15  51   25  6 17   1 1     2 นั่นคือ x1  1, x2  1, x3  2

38 บทสรุป เมทรกิ ซ์ คือ การแสดงข้อมลู หรอื ตวั เลขชุดหน่ึงหรือกลุ่มหนึง่ ดว้ ยการจดั ลาดบั ของตวั เลขให้ อยใู่ นรปู ส่ีเหลีย่ มมุมฉากที่ประกอบด้วยแนวนอนและแนวตั้ง โดยความรเู้ กี่ยวกับเมทรกิ ซจ์ ะเป็น เครอ่ื งมอื ที่ช่วยในการแกป้ ัญหาระบบสมการเชงิ เสน้ โดยได้อธิบายคาจากดั ความของเมตริกซ์ ชนิด ของเมทรกิ ซ์ในรูปแบบต่าง ๆ การดาเนินการบนเมทริกซ์ท้ังการบวกเมทริกซ์ การลบเมทรกิ ซ์ การคูณ เมทรกิ ซด์ ว้ ยจานวนจริง และการคณู เมทริกซด์ ว้ ยเมทริกซ์ เมตริกซส์ ลบั เปลี่ยน เมทริกซ์ผกผนั เมตรกิ ซม์ ูลฐาน เพอื่ เป็นพน้ื ฐานในการนาไปประยุกต์ในบทต่อ ๆ ไป