หน่วยที่ 1 การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่าง่าย

หน่วยท่ี 1 การเคล่ือนทแี่ บบฮารโ์ มนิกอย่างงา่ ย ครูผู้สอน ครูขนิษฐา ป่ิ นทอง โรงเรียนเทศบาล ๑ กติ ตขิ จร รายวชิ า ฟิสกิ ส์ 3

-1- หนว่ ยท่ี 1 การเคล่อื นท่ีแบบฮารโ์ มนกิ อยา่ งงา่ ย 1.1 การเคลื่อนทีแ่ บบฮารม์ อนิกอย่างง่าย เราไดศ้ ึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง การเคล่ือนท่ีในแนวโค้ง ( โพรเจกไทล์และวงกลม ) มาแล้ว ในหวั ขอ้ น้ีจะศึกษาการเคลื่อนทีแ่ บบสั่นและแบบแกว่ง เชน่ การสั่นของสายกตี าร์ การสั่นของสปรงิ การ แกวง่ ของลกู ตุ้ม การแกวง่ ของช่งิ ชา้ วัตถเุ หล่านี้จะเคล่ือนทีก่ ลับไปกลับมาซำ้ ทางเดิมหลายคร้ัง โดยขณะ เคลือ่ นที่ออกไปถึงตำแหน่งหน่ึง กจ็ ะหยุดช่ัวขณะ แล้วก็จะเคล่ือนที่กลับไปสู่อกี ทางหนึง่ และเมื่อถึงอกี ตำแหน่ง หนึ่ง ก็จะหยุดชวั่ ขณะแลว้ เคลือ่ นท่กี ลบั ไปอีกทางหน่ึง และเปน็ อย่างนหี้ ลายครงั้ จนในท่ีสุด กจ็ ะหยุดเพราะมแี รง ตา้ นการเคลื่อนที่ตลอดเวลา ดงั รูป 1. โดยเรยี กการเคลอ่ื นท่ีแบบน้ีวา่ การเคล่ือนท่ีแบบสั่น ( oscillatory motion ) การสัน่ ของสายกีตาร์ การสน่ั ของสปรงิ การแกวง่ ของลูกตมุ้ รปู 1. การเคลือ่ นทีแ่ บบส่นั การเคล่ือนที่ใดๆ ซึ่งเคล่ือนที่กลับไปกลบั มาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหนง่ สมดลุ และคาบของการ เคลอื่ นที่คงตวั เรยี กวา่ การเคล่อื นแบบพรี ิออดกิ ( periodic motion ) หรอื เรยี กว่า การเคลือ่ นที่แบบ ฮาร์มอนกิ อย่างง่าย ซงึ่ เป็นการเคลื่อนที่แบบพรี ิออดกิ อยา่ งหนง่ึ ท่ีมคี ่าความถค่ี งท่ีแน่นอนค่าเดียว เรียกย่อๆวา่ SHM ( Simple Harmonic Motion ) ปรมิ าณตา่ งๆ ที่สำคัญของการเคล่ือนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ( SHM ) คือ 1. แอมพลจิ ดู ( Amplitude , A ) คือ ขนาดของการกระจดั ของวัตถุท่วี ัดจากตำแหนง่ สมดุลถงึ จดุ ปลายท้ังสองข้าง ซ่ึงมีคา่ มากท่ีสดุ และมีคา่ คงทเ่ี สมอ 2. คาบ ( period , T ) คือ ชว่ งเวลาท่ีวัตถุเคลื่อนที่ครบหน่ึงรอบ มีหนว่ ยเป็นวินาทีตอ่ รอบ หรือ วนิ าที 3. ความถ่ี ( frequency , f ) คือ จำนวนรอบทีว่ ัตถุเคลอ่ื นทีไ่ ด้ในหนงึ่ หน่วยเวลา มหี น่วยเปน็ รอบ ตอ่ วนิ าที หรือ เฮริ ตซ์ ( Hz ) หน่วยท่ี 1 การเคล่ือนทแ่ี บบฮารโ์ มนกิ อยา่ ง่าย

-2- การกระจดั ทาง X ในรปู ฟังกช์ นั ของเวลา t ของ SHM โดยท่วั ไปเขยี นเป็นสมการไดเ้ ป็น x = xm cos ( t +  ) ……………… ( 1 ) ซง่ึ xm ,  และ  เป็นคา่ คงตวั Xm เปน็ การกระจดั สงู สดุ คือ แอมพลิจูด  เปน็ ความถี่เชิงมมุ หรือ อตั ราเรว็ เชิงมุม คือ มมุ ท่ีกวาดไปไดใ้ นหนึ่งหนว่ ยเวลา  เปน็ เฟส ( phase ,  ) คอื ค่าตำแหนง่ เริ่มตน้ ของการเคลื่อนทซ่ี ้ำทางเดมิ การเคลอ่ื นทีข่ องวัตถใุ นลักษณะนี้ จะเปน็ รปู ไซน์หรือโคไซน์ ขึน้ อยูก่ บั คา่  เร่ิมต้น เช่น X รูป ก 0t จากรูป ก ค่า  เร่ิมต้น คอื  ก็เปน็ รูปไซน์ เมือ่ เทียบกับสมการ ( 1 ) 2  x = xm cos ( t + 2 ) จะได้ x = xm sin t รปู ไซน์ รูป ข t จากรปู ข คา่  เร่ิมต้น คือ 0 ก็เปน็ รปู โคไซน์ เม่ือเทียบกบั สมการ ( 1 ) x = xm cos ( t + 0 ) จะได้ x = xm cos t รูปโคไซน์ ดงั น้นั การเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จงึ อาจจะเขยี นไดใ้ นรปู x = A sin t , เมอ่ื xm = A ( การกระจดั สงู สดุ คือ แอมพลจิ ดู ) หนว่ ยท่ี 1 การเคลือ่ นที่แบบฮาร์โมนิกอยา่ ง่าย

-3- สรุปไดว้ ่า สำหรบั การเคลื่อนทแี่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย คือการเคล่อื นที่ซ่ึงมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลา และเปน็ ฟังก์ชันรูปไซน์ หรอื เป็นฟงั ก์ชันรูปโคไซน์ การเคล่อื นท่แี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่ายเทียบกบั การเคล่อื นทีเ่ ป็นวงกลม C/ B/ A/ D/ H/ E/ F/ C B AH G/ D EFG ดินน้ำมนั แผน่ ไมว้ งกลม แสง รปู 2. การฉายแสงผ่านวตั ถุทีเ่ คล่อื นท่ีเป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเปน็ SHM ถ้านำดนิ นำ้ มันก้อนโตพอเหมาะ ติดไว้ท่ีขอบวงล้อกลมหรือแผน่ ไมว้ งกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมอื่ หมนุ วงล้อใหม้ ีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดินนำ้ มันจะเคลื่อนท่ีในแนววงกลมด้วยอัตราเรว็ สมำ่ เสมอดว้ ย เม่ือฉาย ลำแสงขนานในแนวระดบั ไปทีด่ นิ นำ้ มัน ดังรูป 2. เงาของดนิ นำ้ มนั จะปรากฏบนฉากขา้ งหลัง โดยการเคล่ือนท่ี ของเงาจะกลับไปกลบั มาในแนวตรงเปน็ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หน่วยที่ 1 การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์โมนกิ อย่างา่ ย

-4- เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกับ การคดิ องค์ประกอบทาง x ของการเคล่ือนที่ของจดุ ๆ หนง่ึ เปน็ P วงกลมระนาบ xy ดังรูป 3. ให้จุดหนึ่งเคลื่อนที่มาแล้วเป็นเวลา  t จากจุดตั้งต้นบนแกน x ถึงตำแหน่งที่ทำมุม  โดยเคลื่อนที่ รูป 3. จดุ P เคลื่อนที่เปน็ วงกลมอย่าง สมำ่ เสมอบนระนาบ xy เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดังนั้น  = t ถ้าวงกลมมี รศั มี R จะมี องคป์ ระกอบของตำแหน่งบนแกน x คอื x = Rcos = Rcos t …………….**** องคป์ ระกอบของความเร็วบนแกน x คอื vx = - v sin  = - R sin t …………….**** องคป์ ระกอบของความเรง่ บนแกน x คอื ax = - a cos = - 2R cos t …………….**** หรอื ax = - 2x …………….**** จาก สมการ ax = - 2x แสดงลักษณะสำคัญประการหน่ึงของการเคล่ือนทแี่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย คอื การมีความเรง่ เป็นปฏภิ าคกบั การกระจัดแตม่ ีทิศตรงข้าม เนื่องจาก 2 มีค่าคงตวั ทง้ั นที้ ิศของความเร่งจะ เปน็ ทิศเดียวกบั แรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจดุ สมดุลในขณะทกี่ ารกระจดั มีทิศออกไปจากสมดลุ การเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ยของวตั ถุตดิ ปลายสปรงิ ถ้านำปลายหน่ึงของสปริงยดึ ตดิ กบั ผนัง ส่วนอีกปลายหนึ่งยดึ ติดกบั รถทดลองซึง่ อยบู่ นพื้นราบที่มีแรง เสยี ดทาน แตร่ ถทดลองมลี ้อทม่ี ีแรงเสียดทานน้อยมาก จัดสปริงให้ขนานกบั พนื้ และรถทดลองอยูน่ ิ่ง ตำแหนง่ เรม่ิ ต้นของรถทดลองขณะนี้ เรียกวา่ ตำแหนง่ สมดุล ดงั รูป 4 ค. เม่อื ดึงรถทดลองให้สปริงยืดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจดั ของรถทดลองมี คา่ A และมีแรง F ของสปรงิ ดึงรถทดลองไปทางซ้าย ดังรปู 4 ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดงึ กลบั ( restoring force ) มีค่าตาม F = -k x ซึ่งแสดงว่าขนาดของแรงดึงกลับแปรผัยตรงกับระยะยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการ กระจดั แตแ่ รงดึงกลับ F มที ิศตรงขา้ มกบั การกระจดั x โดย k เป็นค่าคงตัวของสปริง หน่วยที่ 1 การเคลอื่ นท่แี บบฮาร์โมนิกอย่างา่ ย

-5- เมื่อปลอ่ ยมือ แรง F จะดงึ รถทดลองเคลื่อนที่กลับไปทางซ้ายเข้าหาตำแหน่งสมดุลดว้ ยความเร่ง a ทำ ให้ความเร็วมีขนาดเพิ่มขึ้นและมีทิศไปทางซ้าย ขนาดของแรง F จะลดลง เพราะขนาดการกระจัด x ลดลง การเคลอื่ นทเ่ี ปน็ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมือ่ รถทดลองเคล่ือนทถ่ี ึงตำแหน่งสมดลุ ขนาดของการกระจดั x เป็น ศูนย์ ขนาดของ F และ a ก็เป็นศูนย์แต่ความเร็ว v ของรถทดลองจะมีค่ามากที่สุดและมีทิศไปทางซ้าย ดังรูป 4 ค. จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวด สปริงก็จะออกแรง F มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ของรถ ทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคล่ือนท่ดี ้วยความเรง่ a ทมี ีทิศไปทางขวาทำให้ความเรว็ รถทดลองลดลงเร่ือยๆ จนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ ขณะนี้รถทดลองมีการกระจัด – A ดังรูป 4 จ. แล้วเคลื่อนที่ต่อไปดังรูป ซงึ การเคลื่อนทแี่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย เราอาจเขยี นกราฟของการกระจัดกับเวลาของการเคล่ือนทขี่ องรถทดลอง ในรปู 4. ได้ดงั กราฟ รปู 5 หน่วยท่ี 1 การเคล่อื นที่แบบฮาร์โมนกิ อย่าง่าย

-6- ตำแหนง่ สมดลุ ของ c. m . ก ข ค ง หนว่ ยที่ 1 การเคลอื่ นท่ีแบบฮาร์โมนกิ อยา่ ง่าย

-7- ตำแหน่งสมดุลของ c. m . จ ฉ ช ซ รูป 4. การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปรงิ หน่วยที่ 1 การเคลือ่ นทีแ่ บบฮารโ์ มนิกอย่าง่าย

-8- x t A 2 0 -A รูป 5. กราฟของการกระจัดกับเวลาสำหรบั หนง่ึ รอบของ การเคลอ่ื นท่ี เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงสปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่า เป็น F = -k x ถ้าให้ m เป็นมวลของรถทดลอง และ a เปน็ ความเรง่ ของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนทข่ี ้อท่ี 2 ของนิวตัน จะได้ F = ma -kx = ma และ a = - k x m น่นั คือ การเคล่อื นท่ีของรถทดลองตดิ สปรงิ เป็นการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายเช่นเดยี วกบั การเคล่ือนที่ของ เงาของดนิ น้ำมนั มคี วามเร่งแปรผันตรงกบั การกระจดั แต่มีทิศตรงกันข้าม เทยี บสมการ a = - k x กับสมการ ax = - 2x จะไดว้ ่า ดงั น้ัน m k - m x = - 2x 2 = k m k = m ……………………**** ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวล ของวตั ถุที่ตดิ กบั สปริงดงั สมการ  = k m หนว่ ยที่ 1 การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์โมนกิ อยา่ งา่ ย

-9- 1.2 การแกวง่ ของลกู ตมุ้ อยา่ งงา่ ย ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติ เป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยใน  แนวด่งิ เป็นตำแหนง่ สมดุล เมื่อดึงวัตถใุ หเ้ อียงทำมุมเลก็ ๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อย ให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิจารณาได้ว่าเป็นการเคลือ่ นที่แบบฮาร์ T มอนิกอยา่ งง่าย ถ้าแกว่งลูกตุ้มมวล m ผูกกับเส้นเชือกยาว L เอียงเป็นมุม  เรเดียน x กับแนวดง่ิ mg sin mg mg cos ลูกตุ้มมวล m จะมีแรงสองแรงกระทำต่อมวล m คือ น้ำหนักของ รูป 6. ลูกตมุ้ แกวง่ ทำมุม  ลูกตุ้ม mg และแรงในเส้นเชือก T ซึ่งทำมุม  เรเดียนกับแนวดิ่ง ดังรูป 6. สองแรงนี้รวมกันได้แรงลัพธ์เป็น mg sin ตามแนวเส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับ เส้นเชือก เนื่องจากแรง mg สามารถคิดแยกออกเป็น 2 แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรง mg sin เปน็ แรงทด่ี ึงมวล m กลับสูต่ ำแหนง่ สมดลุ ให้แรงนเ้ี ปน็ แรง F ขณะที่ mg cos มขี นาดเท่ากับ T ทำให้เชือก ตึงยาวเท่าเดมิ เม่อื คำนึงถึงทศิ ดว้ ย แรงลพั ธ์ F คือ F = - mg sin ถา้ มุม  เปน็ มมุ เล็กๆ การเคลอ่ื นทโ่ี ค้งประมาณได้วา่ เป็นเส้นตรง คอื การกระจดั x และ sin = x L x จะได้ F = - mg L จากกฎการเคล่อื นทข่ี อ้ ที่สองของนวิ ตัน F = ma จะได้ - mg x = ma L a = - g x L จะเห็นว่า ความเร่งของลกู ตุม้ แปรผันตรงกบั การกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเปน็ การเคล่อื นที่แบบฮาร์มอนกิ อย่างง่ายด้วย เน่ืองจากอตั ราเรง่ ของการเคลอ่ื นที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย คอื a = - 2x ดังนนั้ - 2x = - g x L หน่วยที่ 1 การเคลอ่ื นทีแ่ บบฮาร์โมนกิ อย่างา่ ย

- 10 - 2 = g , และ  = 2f L 1g จะได้ f = 2 L และ T = 2 L g สมการ T = 2 L อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้ g วิเคราะหม์ าตามหลักการของการเคลอ่ื นท่ีทีต่ ้องเปน็ ไปตามกฎของนวิ ตนั สรปุ การเคลอื่ นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย จงึ อาจจะเขียนได้ในรูปที่ซงึ่ มีการกระจดั เปน็ ฟังกช์ ันของเวลา x= A cos t ………..***** v= A sint ………..*****  A2 -x2 v= A …………***** vm = 2A cost …………***** a= 2x …………***** a= 2A …………***** am = …………***** หนว่ ยท่ี 1 การเคลือ่ นที่แบบฮาร์โมนิกอยา่ งา่ ย