เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต

2 ใบความร้ทู ี่ 1 เร่ือง ความรเู้ บื้องต้นเกีย่ วกับเซต 1. ลกั ษณะของเซต ในชีวิตประจำวัน เรำไดพ้ บเหน็ และค้นุ เคยกบั กำรจัดสรรสงิ่ ตำ่ ง ๆ ทมี่ ีลักษณะเหมอื นกันเป็นกลมุ่ เป็นพวกเดยี วกัน หรืออำจแตกตำ่ งกันแต่มีลกั ษณะบำงอยำ่ งร่วมกนั มำบ้ำงแล้ว ซ่งึ เรำนยิ มใช้คำต่ำง ๆ กัน ในกำรกลำ่ วถงึ พวกหรือกลุ่มของส่งิ ของเหล่ำน้ัน เซต (set) เปน็ คำที่ใชบ้ ่งบอกถึงกล่มุ ของสิ่งตำ่ ง ๆ และเมอ่ื กลำ่ วถึงกลุ่มใดแล้ว สำมำรถทรำบได้ แน่นอนว่ำสงิ่ ใดอย่ใู นกลุ่มและสงิ่ ใดไมอ่ ยู่ในกลุ่ม เช่น เซตของสระในภำษำอังกฤษ หมำยถึง กลุม่ ของอักษร a, e, i, o และ u เซตของจำนวนนับท่ีนอ้ ยกวำ่ 10 หมำยถึง กล่มุ ของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 สงิ่ ท่อี ยใู่ นเซต เรยี กว่ำ สมำชิก (element หรือ members) 2. วิธีเขยี นเซต กำรเขียนเซตอำจเขยี นไดส้ องแบบ คือ 2.1 กำรเขียนเซตแบบแจกแจงสมำชกิ (Tabular Form) โดยเขยี นสมำชิกทกุ ตวั ของเซตลงใน เครื่องหมำยวงเล็บปกี กำ”{ }” และใชเ้ คร่อื งหมำยจุลภำค ( , ) ค่ันระหวำ่ งสมำชิกแต่ละตัว เช่น เซตของจำนวนนบั ทีน่ ้อยกว่ำ 7 เขยี นแทนด้วย {1, 2, 3, 4, 5, 6} เซตของพยัญชนะไทย 5 ตวั แรก เขียนแทนดว้ ย {ก, ข, ฃ, ค, ฅ} เซตของจำนวนคตู่ งั้ แต่ 2 ถึง 10 เขียนแทนด้วย {2, 4, 6, 8, 10} 2.2 เขียนเซตแบบบอกเง่อื นไข (Builder Form) ใชต้ วั แปรเขียนแทนสมำชิกของเซต แล้วบรรยำย สมบัติของสมำชิกท่ีอยู่ในรูปของตวั แปร เชน่ {x | x เปน็ สระในภำษำองั กฤษ } อำ่ นว่ำ เซตของ x โดยท่ี x เปน็ สระในภำษำอังกฤษ {x | x เป็นเดอื นแรกและเดือนสุดทำ้ ยของปี } อ่ำนวำ่ เซตของ x โดยท่ี x เป็นเดือนแรกและเดือนสดุ ท้ำยของปี เครื่องหมำย “ | ” แทนคำว่ำ โดยที่ ในกำรเขียนเซตแบบแจกแจงสมำชิกนนั้ จะใช้จุดสำมจุด ( . . . ) เพอ่ื แสดงวำ่ มสี มำชิกอื่น ๆ ซง่ึ เปน็ ที่ เข้ำใจกนั ทั่วไปว่ำมีอะไรบำ้ งที่อยู่ในเซต เช่น

3 {1, 2, 3, . . ., 10} สญั ลกั ษณ์ . . . แสดงว่ำมี 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เป็นสมำชิกของเซต {วันจันทร์, องั คำร, พธุ , . . ., อำทติ ย์ } สญั ลกั ษณ์ . . . แสดงว่ำมีวนั พฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสำร์ เป็นสมำชิกของเซต 3. สญั ลักษณแ์ ทนเซต ในกำรเขยี นเซตโดยทัว่ ไปจะแทนเซตด้วยอักษรภำษำอังกฤษตวั พมิ พใ์ หญ่ เชน่ A, B, C และแทน สมำชกิ ของเซตด้วยตวั พิมพ์เล็ก เช่น a, b, c เช่น A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} หมำยถึง A เป็นเซตของกำลงั สองของจำนวนนับหกจำนวนแรก 4. สมาชิกของเซต จะใชส้ ญั ลักษณ์ “  ” แทนคำวำ่ เปน็ สมำชกิ หรืออย่ใู น เชน่ A = {1, 2, 3, 4} จะได้ว่ำ 1 เปน็ สมำชกิ ของ A หรอื อยใู่ น A เขยี นแทนดว้ ย 1  A 3 เปน็ สมำชิกของ A หรอื อยู่ใน A เขียนแทนดว้ ย 3  A คำวำ่ “ไม่เปน็ สมำชิกของ” หรอื “ไม่อยใู่ น” เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ “  ” เชน่ 5 ไม่เป็นสมำชกิ ของ A หรอื ไม่อยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 5  A 7 ไมเ่ ปน็ สมำชกิ ของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 7  A สำหรับเซต A ซ่ึงมีสมำชกิ 4 ตวั เรำจะใช้ n(A) เพ่อื บอกจำนวนสมำชิกของเซต A น่ันคือ n(A) = 4 ตวั อย่างที่ 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมำชกิ 1. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยท่ีข้นึ ต้นด้วย “ป” 2. เซตของจำนวนเตม็ ลบ วิธที า 1) ให้ A เปน็ เซตของจังหวดั ในประเทศไทยทขี่ ้นึ ต้นด้วย “ป”  A = {ปรำจนี บุรี, ประจวบครี ีขนั ธ์} 2) ให้ B เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ ตัวอย่างที่ 2  B = {-1, -2, -3, . . .} จงเขยี นเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมำชิก 1. เซตของพยัญชนะในคำว่ำ คณิตศำสตร์

4 วธิ ที า 1) 2. เซตของสระในภำษำอังกฤษ 2) 3. เซตของจำนวนเฉพำะทีน่ ้อยกวำ่ 20 3) ให้ D เป็นเซตของพยญั ชนะในคำวำ่ คณิตศำสตร์ ตัวอย่างที่ 3  D = {ค , ณ , ต , ศ , ส , ร} ให้ E เปน็ เซตของสระในภำษำองั กฤษ วธิ ีทา 1) 2)  E = {a , e , i , o , u} 3) ให้ F เปน็ เซตของจำนวนเฉพำะท่นี อ้ ยกวำ่ 20  C = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 } จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงือ่ นไขของสมำชิก 1. A = {2, 4, 6, 8, 10} 2. B = {1, 3, 5, 7} 3. C = {2, 3, 5, 7} A = { x | x เปน็ จำนวนคูบ่ วกท่นี ้อยกว่ำ 12} B = { x | x เปน็ จำนวนคีบ่ วกที่นอ้ ยกว่ำ 9} B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพำะท่นี ้อยกวำ่ 8} ᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜ

5 แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 เรื่อง ความร้เู บ้ืองต้นเก่ยี วกบั เซต 1 คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นเติมคำตอบในช่องวำ่ งแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกู ต้องสมบูรณ์ ข้อท่ี คาถาม คาตอบ 1 จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมำชกิ 1.1 เซตของจำนวนเต็มบวกท่หี ำรดว้ ย 5 ลงตวั ……………………………………… 1.2 เซตของจงั หวัดในประเทศไทยที่ข้ึนต้นดว้ ยพยัญชนะ “ม” ……………………………………… 1.3 เซตของจำนวนคู่บวกท่นี ้อยกว่ำ 20 ………………………………………. 1.4 เซตของจำนวนเต็มท่ีมำกกว่ำ 2 แต่น้อยกว่ำ 10 ............................................. 1.5 เซตของอกั ษรในคำวำ่ MATHEMATICS ............................................. 2 จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเง่อื นไขของสมำชกิ ……………………………………… 2.1 A = {2, 4, 6, 8, 10} ……………………………………… 2.2 B = {1, 3, 5, . . . , 99} ………………………………………. 2.3 C = {1, 2, 3, . . . } ............................................. 2.4 D = {1, 4, 9, 16, . . .} ............................................. 2.5 E = {1, 3, 5, 7, . . .}

6 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2 เร่ือง ความรู้เบือ้ งต้นเกย่ี วกับเซต 2 คำช้ีแจง ใหน้ ักเรียนพจิ ำรณำว่ำขอ้ ควำมตอ่ ไปนี้เป็นจริงหรือเทจ็ โดยทำเครื่องหมำย / ลงในชอ่ งวำ่ ง (ขอ้ ละ 1 คะแนน) ขอ้ ความ จริง เทจ็ (1) 4  {1, 2, 3, 4, 5} (2) dog  {d, o, g} (3) 4 x 5  {x | x เป็นจำนวนนับ} (4) {r, u, l, e}  {x | x เปน็ อักษรในคำว่ำ “ruler”} (5) A = {h, e, l, o} n(A) = 4 (6) B = {x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกทีอ่ ยรู่ ะหวำ่ ง 10 ถึง 20} n(B) = 10

7 ใบความรู้ที่ 2 เรอ่ื ง ประเภทของเซต 1. เซตวา่ ง (Empty set หรอื Null set) บทนิยาม เซตวำ่ ง คือ เซตทีไ่ ม่มีสมำชิก สัญลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนเซตวำ่ ง คือ { } หรอื  (สัญลักษณ์  เป็นอกั ษรกรีกตรงกับคำภำษำอังกฤษวำ่ ฟี (phi)) ตัวอย่ำงของเซตวำ่ ง ได้แก่ A = { x | x2 < 0} B = {x | x2 + 3 = – 3} C = {x | x เป็นจงั หวัดในประเทศไทยทขี่ ้ึนต้นด้วย “ ฮ ”} 2. เซตจากดั (Finite set) บทนิยาม เซตจำกดั คือ เซตซึง่ มจี ำนวนสมำชกิ เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ตวั อยำ่ งเซตจำกัด ได้แก่ A = {0, 2, 4, . . . , 10} , n(A) = 6 B = {x I+| x < 5} , n(B) = 4 C = {x | x เป็นพยญั ชนะในคำว่ำ “ เซตว่ำง ”} , n(C) = 4 3. เซตอนันต์ (Infinite set) บทนยิ าม เซตอนนั ต์ คือ เซตซ่งึ ไม่ใชเ่ ซตจำกัด ตัวอยำ่ งของเซตอนนั ต์ ได้แก่ A = {x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ x  7} B = {x | x เปน็ จำนวนเฉพำะทม่ี ำกกวำ่ 5} C = {3, 7, 11, 15, . . .}

8 ขอ้ ตกลงทีเ่ กี่ยวกบั เซต 1) เซตว่ำงเปน็ เซตจำกัด 2) กำรเขียนเซตแบบแจกแจงสมำชิกนยิ มเขยี นสมำชิกแตล่ ะตัวเพียงครง้ั เดียวเท่ำน้นั เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2, 3} 3) เซตของจำนวนทีม่ ักจะกล่ำวถึงเสมอและใชก้ นั ท่ัว ๆ ไป มีดังนี้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .} = z I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก หรอื I+ = {1, 2, 3, . . .} I- เปน็ เซตของจำนวนเต็มลบ หรือ I- = {-1, -2, -3, . . .} N เป็นเซตของจำนวนนบั หรอื N = {1, 2, 3, . . .} P เปน็ เซตของจำนวนเฉพำะ หรือ P = {2, 3, 5, 7, . . .} R เปน็ เซตของจำนวนจริง Q เปน็ เซตของจำนวนตรรกยะ Q เปน็ เซตของจำนวนอตรรกยะ 4. เซตทเี่ ทา่ กนั (equal sets or identical sets) บทนยิ าม เซต A เท่ำกบั เซต B หมำยถงึ สมำชิกทุกตัวของเซต A เปน็ สมำชิก ของเซต B และสมำชิกทุกตัวของเซต B เปน็ สมำชกิ ของเซต A เซต A เทำ่ กบั เซต B เขียนแทนด้วย A = B จำกบทนยิ ำม เซต A เท่ำกับเซต B หมำยควำมว่ำ เซต A และเซต B มีสมำชกิ เหมือนกนั ทกุ ตัว และเซต A ไม่เทำ่ กับเซต B หมำยควำมวำ่ มสี มำชิกอยำ่ งนอ้ ยหนึง่ ตัวของเซต A ทีไ่ ม่ใช่สมำชิกของเซต B หรือมสี มำชกิ อยำ่ งน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่ใช้สมำชกิ ของเซต A เขยี นแทนด้วย A  B ตวั อยำ่ งที่ 1 กำหนด A = {2, 3} , B = {x | x2 -5x + 6 = 0} จงแสดงว่ำ เซต A เทำ่ กับเซต B วิธีทำ  A = {2, 3} B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}  x2– 5x + 6 = 0 = 0 (x – 2)( x – 3) = 0 X = 2 หรือ x = 3  B = {2, 3} ดงั น้ัน A = B

9 ตัวอยำ่ งที่ 2 กำหนด A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} , C = {1, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 6} จงหำวำ่ มีเซตใดบำ้ งที่เท่ำกนั วธิ ที ำ A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} จะได้ A = B เพรำะว่ำมสี มำชิกเหมือนกนั ทกุ ตวั แต่ A  C , B  C เพรำะวำ่ 7  A และ 7  B ดังนน้ั จะไดว้ ำ่ A = B หรือ A = B  C

10 แบบฝกึ ทักษะที่ 3 เร่ือง ประเภทของเซต 1 คำช้ีแจง ให้นกั เรียนพิจำรณำเซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ขี ้อใดเปน็ เซตว่ำง เซตจำกัด เซตอนนั ต์และเซตทเ่ี ทำ่ กนั แลว้ ทำเครือ่ งหมำย / ลงในช่องวำ่ งให้ถูกต้อง (ข้อละ 1 คะแนน) ขอ้ ท่ี เซตทกี่ าหนดให้ คาตอบ เซตที่ เซตว่าง เซตจากดั เซต เทา่ กัน 1 A = {1, 4, 7, 9} B = {2, 3, 5} 2 A = {2, 4, 6, 8, 10} อนันต์ B = {x | x เป็นจำนวนนับที่นอ้ ยกวำ่ 20} 3 A = {2, 4, 6, 4, 2} B = {4, 2, 2, 6, 6} 4 A = {1, 2, 3, . . .} B = {x | x  4} 5 A = { a, b, c, d, . . . ,z } 6 A = {x  I | x2 = 1} B = {x  I | x2 < 4} 7 A = {1, 2, . . .,10} B = {2, 4, . . .,100} 8 A = {1, 2, 3,…} B = {1, 2, 3,…} 9 เซตของจำนวนเต็มท่ีเป็นจำนวนคู่ 10 เซตของจงั หวดั ที่ขนึ้ ต้นด้วย ‘ต’

11 แบบฝึกทักษะที่ 4 เรือ่ ง ประเภทของเซต 2 คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนพจิ ำรณำเซตในแต่ละข้อต่อไปนข้ี ้อใดเป็นเซตวำ่ ง เซตจำกดั เซตอนันตแ์ ละเซตท่เี ท่ำกนั แล้วเติมชนิดของเซตในช่องวำ่ ง ( ขอ้ ละ 1 คะแนน ) 1. {1, 2, 3, . . .} …………………………………………………………………………………………………………………… 2. {x  I | x2 = -9} …………………………………………………………………………………………………………………… 3. {x  R | 1 < x < 55 } …………………………………………………………………………………………………………………… 4. {x | x เป็นจำนวนเต็มทม่ี ำกกวำ่ ศูนย์} …………………………………………………………………………………………………………………… 5. A = {x | x เปน็ จำนวนเต็มคู่ทน่ี อ้ ยกว่ำ 9} B = { 2, 4. 6, 8 } …………………………………………………………………………………………………………………… 6. A = {x | x เป็นจำนวนสระในภำษำองั กฤษ} B = {x | x เป็นจำนวนนบั ทน่ี อ้ ยกวำ่ 6} C = {x | x เปน็ จำนวนพยญั ชนะในคำว่ำ “ในสระกบ”} ……………………………………………………………………………………………………………………

12 ใบความรทู้ ่ี 3 เร่อื ง สับเซต 1. สบั เซต (Subsets) กำหนดให้ A = {7, 8} และ B = {1, 3, 5, 7, 8} สมำชกิ ท้งั หมดของเซต A คือ 7 และ 8 ตำ่ งก็เปน็ สมำชิกของเซต B ในกรณเี ช่นนี้เรยี ก เซต A ว่าเปน็ สับเซตของเซต B ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เปน็ สมาชกิ ของ B แลว้ จะเรียกวา่ A เปน็ สับเซตของ B จะเขียนว่าเซต A เปน็ สบั เซตของเซต B แทนดว้ ย A ⊂ B ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ B จะเรียกว่า A ไมเ่ ปน็ สับเซตของ B จะเขียนว่าเซต A ไม่เปน็ สบั เซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B จำกตัวอย่ำงขำ้ งตน้ เซต A และเซต B สรุปได้ว่ำ A ⊂ B แต่ B ⊄ A ตัวอยำ่ งท่ี 1 ให้ A = {1}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 4, 5, 6}, และ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จงพจิ ำรณำว่ำเซตคู่ ใดบ้ำงทเ่ี ปน็ สับเซตกัน วธิ ที ำ จะได้วำ่ A ⊂ B เพรำะสมำชิกทั้งหมดของเซต A เปน็ สมำชกิ ของเซต B A ⊂ D เพรำะสมำชิกทั้งหมดของเซต A เป็นสมำชกิ ของเซต D B ⊂ D เพรำะสมำชกิ ทั้งหมดของเซต B เปน็ สมำชกิ ของเซต D จำกกำรสังเกต ถ้ำ A ⊂ B แลว้ สมำชกิ ทกุ ตัวของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B และถำ้ B ⊂ A แลว้ สมำชกิ ทุกตัวของเซต B เป็นสมำชกิ ของเซต A เมอื่ พิจำรณำเซต A และเซต B แล้วพบวำ่ A ⊂ B ในขณะเดียวกนั B ⊂ A จะได้วำ่ A = B นนั่ คือ ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ A แล้ว A = B ในทำงตรงกนั ข้ำม เมอ่ื พิจำรณำเซต A และเซต B เม่อื A = B จะไดว้ ำ่ สมำชกิ ทกุ ตัวของเซต A เป็นสมำชกิ ของเซต B นนั่ คือ A ⊂ B และสมำชกิ ทุกตัวของเซต B เปน็ สมำชกิ ของเซต A น่นั คอื B ⊂ A ทำให้ไดว้ ำ่ ถา้ A = B แลว้ A ⊂ B และ B ⊂ A ดังนน้ั จงึ ได้ข้อสรปุ ว่ำ A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมอ่ื A = B

13 ตวั อย่ำงที่ 2 ให้ X = {a, b, c} และ Y = {c, a, b} จงพิจำรณำวำ่ เซต X และเซต Y เทำ่ กนั หรือไม่ วิธีทำ จะเห็นว่ำ สมำชกิ ท้ังหมดของเซต X เป็นสมำชกิ ของเซต Y หรอื X ⊂ Y และ สมำชกิ ทั้งหมดของเซต Y เป็นสมำชิกของเซต X หรอื Y ⊂ X จะได้ว่ำ X = Y ตัวอย่ำงที่ 3 กำหนดให้ A = {1, 2, 3} จงหำสบั เซตทเี่ ป็นไปไดท้ งั้ หมดของเซต A วิธที ำ สบั เซตทีเ่ ปน็ ไปได้ทั้งหมดของเซต A คอื เซตทัง้ หมดทม่ี ีสมำชกิ เปน็ สมำชิกของเซต A ได้แก่ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} *{1, 2, 3} หรือ A  ข้อสังเกต *1) เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง นน่ั คอื ถ้ำเซต A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A ⊂ A **2) เซตว่ำงเป็นสับเซตของเซตทุกเซต นนั่ คือ ถ้ำเซต A เปน็ เซตใด ๆ แล้ว  ⊂ A ᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜ

14 แบบฝึกทกั ษะที่ 5 เรื่อง สบั เซต 1 คำช้แี จง ให้นกั เรียนพิจำรณำวำ่ ข้อควำมต่อไปน้เี ป็นจริงหรือเท็จโดยทำเคร่อื งหมำย / ลงในช่องวำ่ ง (ข้อละ 1 คะแนน) ขอ้ ท่ี เซตทกี่ าหนดให้ ความสมั พนั ธข์ องเซตที่กาหนดให้ A เปน็ สบั เซตของ A ไมเ่ ปน็ สับเซต เซต B ของเซต B 1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} 2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4} 3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d} 4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 5 A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f} 7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5} 8 A = { } , B = {1, 2, 3} 9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g} 10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}

15 แบบฝึกทักษะที่ 6 เรือ่ ง สบั เซต 2 คำชแี้ จง ใหน้ กั เรียนเขียนสับเซตและจำนวนสมำชิกของสับเซตของเซตท่ีกำหนดให้ (ขอ้ ละ 1 คะแนน) 1) A = { } 1.1 สับเซตของเซต A ได้แก่ ............................................................................................................................. ................................... 1.2 จำนวนสมำชกิ ของสบั เซตของเซต A คอื ..........1...................... 2) B = {a, ab} 2.1 สบั เซตของเซต B ไดแ้ ก่ 2.2 จำนวนสมำชิกของสบั เซตของเซต B คอื ................................ 3) C = {0, 2, 4} 3.1 สบั เซตของเซต C ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................. ................................... 3.2 จำนวนสมำชิกของสับเซตของเซต C คือ ................................ 4) D = {1, 2, 4, 5} 4.1 สับเซตของเซต D ได้แก่ ............................................................................................................................. ................................... 4.2 จำนวนสมำชกิ ของสับเซตของเซต D คือ ................................ 5) E = {1, {1}, {{1}}} 5.1 สับเซตของเซต E ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................. ................................... 5.2 จำนวนสมำชิกของสับเซตของเซต E คือ ................................

16 ใบความรทู้ ่ี 4 เรื่อง เพาเวอรเ์ ซต (Power Set) นิยาม เมือ่ A เปน็ เซตจำกดั เรียกเซตของสบั เซตท้ังหมดของเซต A วำ่ เพำเวอรเ์ ซต ของเซต A เขียนแทนเพำเวอร์เซตของเซต A ด้วย P(A) ตัวอย่างที่ 1 ให้ A = {3, 4} P(A) = {{3}, {4}, {3, 4}, } ตัวอย่างท่ี 2 /2 ให้ A = {0, 1, 2} P(A) = {{0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}, } ตัวอย่างท่ี 3 กำหนด A = {1, 2, 3} สบั เซตทง้ั หมดของเซต A คือ {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, ตัวอย่างท่ี 4 { x , y, z},  {1, 2, 3},  เซตของสบั เซตทั้งหมดของเซต A คือ {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, } เรำเรยี กเซตของสับเซตทัง้ หมดของเซต A วำ่ เพำเวอรเ์ ซต (Power Set) หรือเซตกำลงั ของเซต A กำหนด A = { x , y, z} จงหำเพำเวอรเ์ ซตของเซต A สับเซตทงั้ หมดของเซต A คือ { x }, {y}, {z}, { x , y}, { x , z}, {y, z}, ดงั นน้ั เพำเวอร์เซตของเซต A คือ P(A) = {{ x }, {y}, {z}, { x , y}, { x , z}, {y, z}, { x , y, z}, }

17 1. P(A)สำหรบั ทุก ๆ คำ่ ของ A 2.   P(A) 3.   P(A) 4. A  P(A) เสมอ 5. ถำ้ เซต A มสี มำชกิ n ตัวแล้ว P(A) มจี ำนวนสมำชกิ ท้ังหมด 2n 6. A  B ก็ต่อเมอ่ื P(A)  P(B) ขอ้ ควรจา 1. จำนวนสมำชิกของเพำเวอร์เซตของเซตAเท่ำกับ 4 หรือ 22 เมอ่ื 2 เปน็ จำนวนสมำชิกของเซต A 2. จำนวนสมำชกิ ของเพำเวอรเ์ ซตของเซตAเทำ่ กับ 8 หรอื 23 เมื่อ 3 เปน็ จำนวนสมำชกิ ของเซต A 3. จำนวนสมำชกิ ของเพำเวอรเ์ ซตของเซตAเทำ่ กับ 16 หรือ 24 เมอื่ 4 เปน็ จำนวนสมำชิกของเซตA ข้อสงั เกต จำนวนสมำชกิ ของเพำเวอรเ์ ซตของเซตใดจะเท่ำกับ 2n เม่ือ n เปน็ จำนวนสมำชิกของเซตนั้น ᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜ

18 แบบฝกึ ทักษะท่ี 7 เรอ่ื ง เพาเวอรเ์ ซต (Power Set) 1 คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นเติมคำตอบในช่องวำ่ งแต่ละข้อต่อไปนใ้ี ห้ถูกต้องสมบูรณ์ (ข้อละ 2 คะแนน) ขอ้ ท่ี เซตท่ีกาหนดให้ จานวนสบั เซต เพาเวอร์เซตของเซต 1 A = {a} สบั เซตของเซตทก่ี าหนดให้ ทั้งหมดของเซต ที่กาหนดให้ ท่ีกาหนดให้ 2 A = {1, 2} 3 A = {1, 2, 4} 4 A = {1, 2, 3, 4} 5 A = {a, b, c} สรปุ เพำเวอร์เซตของเซต A คอื ………………………………………………………………………………………………………..……………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..……………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..………………………………………..

19 แบบฝึกทกั ษะท่ี 8 เร่ือง เพาเวอรเ์ ซต (Power Set) 2 คำช้ีแจง จงเตมิ คำตอบลงในช่องว่ำงแตล่ ะข้อต่อไปนี้ให้ถกู ต้องสมบรู ณ์ (ขอ้ ละ 2 คะแนน) 1. กำหนด A = {6} จงหำ P(A) และ n(P(A)) ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. กำหนด A = {7, 8} จงหำ P(A) และ n(P(A)) ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. กำหนด B = {6, 8, 9} จงหำ P(B) และ n(P(B)) ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ถ้ำ A = {2} จงหำ P(P(A)) และ n[P(P(A)] ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ถ้ำ A เปน็ เซตท่มี ีสมำชิก 5 ตัวแล้ว P(A) จะมสี มำชกิ ……………………. ตวั

20 ใบความรูท้ ี่ 5 เรอื่ ง เอกภพสัมพทั ธ์และแผนภาพเวนน์ 1 เอกภพสัมพทั ธ์ (Relative Universe) เอกภพสมั พัทธ์ คอื เซตทก่ี ำหนดขึ้นโดยมขี อ้ ตกลงว่ำ จะไมก่ ล่ำวถงึ สิ่งใดนอกเหนือจำก สมำชิกของเซตที่กำหนดข้นึ น้ี ใชส้ ญั ลกั ษณ์ แทน เอกภพสัมพทั ธ์ ตัวอย่ำงท่ี 1 กำหนด = { x | x เปน็ พยญั ชนะในภำษำไทย} A = { x | x เป็นพยญั ชนะในภำษำไทย 3 ตัวแรก} วธิ ที ำ จงเขยี นเซต A แบบแจกแจงสมำชกิ ตัวอย่ำงที่ 2 = {ก, ข, ฃ, …, ฮ} วิธีทำ A = {ก, ข, ฃ} ตัวอย่ำงท่ี 3 กำหนด = {1, 2, 3, … } และ B = { x | x เป็นจำนวนนบั ที่นอ้ ยกวำ่ 5} จงเขียนเซต B แบบแจกแจงสมำชกิ วิธีทำ = {1, 2, 3, …} ตัวอย่ำงท่ี 4 B = {1, 2, 3, 4} วิธที ำ กำหนด = {1, 2, 3, …, 10} และ C = { x | x เปน็ พหุคูณของ 2} จงเขียนเซต C แบบแจกแจงสมำชิก = {1, 2, 3, …, 10} C = {2, 4, 6, 8, 10} กำหนด = I และ D = { x | ( x +1)( x –2) = 0} จงเขยี นเซต D แบบแจกแจงสมำชกิ จำกสมกำร ( x +1)( x -2) = 0 ซ่ึงสมกำรนี้จะเปน็ จรงิ เม่ือ x = –1, 2 เนือ่ งจำก = I = {…, –3, –2, 0, 1, 2, 3, …} จะเห็นวำ่ –1  และ 2  D = {–1, 2}

21 แผนภาพเวนน์ (Venn Diagram) กำรเขียนแผนภำพแทนเซตจะช่วยให้เข้ำใจถึงควำมสัมพันธ์ระหว่ำงเซตต่ำง ๆ ได้ง่ำยและชัดเจน ยิ่งข้ึน รวมท้ังช่วยในกำรคิดคำนวณหรือแก้ปัญหำ แผนภำพที่ใช้เรียกว่ำ “แผนภำพของเวนน์” ซ่ึงต้ังช่ือ แผนภำพตำมชือ่ ของนกั คณติ ศำสตรค์ ือ เวนน์ กำรเขียนแผนภำพเวนน์ มีวธิ กี ำรเขยี นดงั น้ี ใหเ้ อกภพสัมพทั ธ์ แทนดว้ ยรูปส่ีเหล่ียมผนื ผ้ำหรอื รปู ปดิ ใด ๆ เซต A, B, C, … ซ่ึงเป็นสับเซตของ แทนดว้ ยวงกลม วงรี หรือรูปปดิ อืน่ ๆ โดยใหเ้ ซต A, B, C, … อยู่ใน ดงั ตัวอย่ำง ตัวอย่ำงท่ี 5 กำหนด = {1, 2, 3, …}, A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {2, 4, 6, 8} จงเขยี นแผนภำพของเวนน์-ออยเลอรแ์ ทนเซต วธิ ีทำ เซต A และเซต B มีสมำชกิ รว่ มกันคือ 2 และ 4 ซึง่ สำมำรถเขียนแผนภำพแทนเซต A และ B ไดด้ ังน้ี A1 2 B 5 4 6 3 8

22 แบบฝกึ ทักษะท่ี 9 เรื่อง เอกภพสัมพัทธ์และแผนภาพเวนน์ 1 คำช้แี จง ใหน้ ักเรียนเขยี นแผนภำพเวนน์ ของเซตที่กำหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน) ข้อที่ เซตท่ีกาหนดให้ แผนภาพของเวนน์ 1 กำหนด = {ก, ข, ฃ, …, ฮ} A = {ก, ข, ค, ง, จ} B = {ก, ก, ข, ค, ง, จ} 2 กำหนด = { x | x เป็นจำนวนเต็ม} A = { x | x 2 = 16} B = { x | x 2 = 1} 3 กำหนด = {1, 2, 3, …} A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {2, 3, 5, 7} 4 กำหนด = {1, 2, 3, …} A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8} 5 กำหนด = { x | x เปน็ จำนวนค่บู วก} A = { x | x เป็นจำนวนค่บู วกที่นอ้ ยกวำ่ 10} B = { x | x เปน็ จำนวนคูบ่ วกท่ีอย่รู ะหวำ่ ง 2 กับ 20}

23 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 10 เรือ่ ง เอกภพสัมพทั ธ์และแผนภาพเวนน์ 2 กำหนดแผนภำพดังน้ี A B a xb d y zc e จงหำ 1) จำนวนสมำชิกทอี่ ยู่ในเซต A แต่ไม่อย่ใู นเซต B ……………จำนวนสมำชิก เท่ำกบั 1 ไดแ้ ก่ {a}……………………………………………………… 2) จำนวนสมำชกิ ทไ่ี มอ่ ยใู่ นเซต A และไม่อยู่ในเซต B จำนวนสมำชิก เทำ่ กบั 2 ไดแ้ ก่ {d, e} 3) จำนวนสมำชิกทอ่ี ยู่ทง้ั ในเซต A และ B จำนวนสมำชิก เท่ำกับ 3 ไดแ้ ก่ {x, y, z}

24 ใบความร้ทู ี่ 6 เรื่อง เอกภพสัมพทั ธแ์ ละแผนภาพเวนน์ 2 เอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตทกี่ ำหนดข้ึนโดยมขี อ้ ตกลงวำ่ จะไม่กล่ำวถึงส่งิ ใดนอกเหนือจำก สมำชิกของเซตท่ีกำหนดขน้ึ น้ี ใช้สัญลักษณ์ แทน เอกภพสัมพัทธ์ กำรเขียนแผนภำพแทนเซตจะชว่ ยให้เขำ้ ใจถึงควำมสมั พนั ธ์ระหวำ่ งเซตต่ำง ๆ ไดง้ ำ่ ย และ ชัดเจนย่ิงขึ้น โดยท่ัวไปจะเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ด้วยรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก และเซตต่ำง ๆ ซ่ึงเป็น สับเซตของ จะแทนด้วยรูปวงกลม วงรี หรือรูปปิดใด ๆ ก็ได้ แผนภำพท่ีใช้เรียกว่ำ “แผนภำพของ เวนน์-ออยเลอร์” กำรบอกควำมสัมพันธ์ของเซตต่ำง ๆ โดยใช้แผนภำพจะได้ผลแน่นอน และสำมำรถทำได้ รวดเรว็ ตัวอยา่ ง กำรเขียนแผนภำพแทนเซต B A AB แผนภาพท่ี 2 แสดง เซต A เปน็ สับเซตของเซต B แผนภาพที่ 1 แสดง เซต A และเซต B ไมม่ ีสมำชกิ รว่ มกนั AB AB แผนภาพท่ี 3 บรเิ วณทแี่ รเงำแสดงเซต A แผนภาพที่ 4 บรเิ วณที่แรเงำ และเซต B มีสมำชิกรว่ มกนั บำงส่วน แสดงสมำชิกอยใู่ นเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B

25 ตัวอย่างที่ 1 กำหนด = {a, b, c, …, z}, A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g} และ C = {h, i, j, k} จงเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ วิธที ำ เขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ แทนเซต A, B, C และ ไดด้ ังน้ี A Be f C hi ab g jk cd ตัวอย่างท่ี 2 กำหนด = { x | x เปน็ จำนวนนบั ทนี่ อ้ ยกว่ำ 20} A = { x | x เป็นจำนวนนบั ท่ีน้อยกว่ำ 10} วธิ ที ำ B = { x | x เป็นจำนวนคี่บวกท่ีน้อยกวำ่ 7} จงเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ = { x | x เปน็ จำนวนนับที่นอ้ ยกวำ่ 20} = {1, 2, 3,…,19} A = { x | x เป็นจำนวนนบั ที่น้อยกว่ำ 10} A = {1, 2, 3,…, 9} B = { x | x เป็นจำนวนค่ีบวกท่ีนอ้ ยกวำ่ 7} B = {1, 3, 5} เขียนแผนภำพแทนเซต A, B และ ไดด้ งั นี้ 10 15 2 11 16 12 4 13 9 17 13 65 8 18 14 7 19 ขอ้ สังเกต ในกรณีท่เี อกภพสัมพทั ธ์ มีจำนวนสมำชกิ มำก ไม่ต้องระบจุ ำนวนสมำชิก ทุกตวั ในแผนภำพ ดังตัวอย่ำงท่ี 1

26 แบบฝกึ ทักษะท่ี 11 เรอ่ื ง เอกภพสัมพทั ธแ์ ละแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ 2 (1) คำช้ีแจง จงเขียนแผนภำพแทนเซตท่ีกำหนดให้ต่อไปน้ี (ขอ้ ละ 2 คะแนน) ข้อที่ เซตทีก่ าหนดให้ แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ 1 กำหนด A = {1, 2, 3, 4, ..., 10} B = {1, 3, 5, 7, 9} 2 กำหนด A = {1, 2, 3, 4, ..., 10} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1 ,3,5} 3 กำหนด A = {1, 2, 3, 4, ..., 10} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 4,6} 4 กำหนด = { x | x เปน็ จำนวนค่บี วก} A = { x | x เป็นจำนวนคบ่ี วกทนี่ ้อยกว่ำ 10} B = { x | x เป็นจำนวนคีบ่ วกต้งั แต่ 1 ถึง 19} 5 กำหนด = { x | x เป็นจำนวนเต็ม} A = { x | 2 < x  16} B = { x | 7 < x < 30}

27 แบบฝึกทกั ษะที่ 12 เรอ่ื ง เอกภพสัมพทั ธ์และแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ 2 (2) คำชี้แจง จำกแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ทกี่ ำหนดให้ หมำยถึงควำมสมั พนั ธใ์ ด (ข้อละ 1 คะแนน) 1. A B ……………………………………………... 2. AB ……………………………………………… 3. กำหนดให้ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 3, 5, 7} B = {5, 6, 7, 8, 9} เขยี นแผนภำพเวนน์ แทนเซต A, B และ ไดด้ ังน้ี

28 4. กำหนดให้ = {1, 2, 3, …, 20} A = { x | x เปน็ จำนวนทห่ี ำรด้วย 3 ลงตวั } A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} B = { x | x เปน็ จำนวนท่ีหำรด้วย2ลงตวั } B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} เขยี นแผนภำพเวนน์ แทนเซต A , B และ ไดด้ ังนี้ 5. กำหนดให้ = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {5, 7, 11, 13} เขียนแผนภำพเวนน์ แทนเซต A, B และ ได้ดังน้ี

29 ใบความรู้ท่ี 7 เรอื่ ง ยเู นียน (Union) บทนยิ าม ยเู นยี นของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมำชกิ ของเซต A หรอื ของเซต B หรือของท้ังสองเซต ยเู นียนของเซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B A  B = { x | x  A หรือ x  B} ในที่น้ีใช้คำว่ำ “หรือ” ในควำมหมำยทำงคณิตศำสตร์ หมำยถึง x อำจเป็นสมำชิกของเซต A หรอื เซต B หรือ x เปน็ สมำชิกของทัง้ สองเซต ตัวอย่ำงท่ี 1 กำหนด = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 3, 5, 7} B = {5, 6, 7, 8, 9} จงหำ A  B วิธีทำ A = {1, 3, 5, 7} B = {5, 6, 7, 8, 9} ดงั นน้ั A  B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} เขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซต A, B และ ได้ดงั น้ี 15 6 2 37 8 4 9 10 จำกแผนภำพแสดงยูเนียนของเซต A และเซต B จะได้ A  B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}

30 ตวั อยำ่ งที่ 2 กำหนด = {1, 2, 3, ..., 20} A = { x | x เป็นจำนวนทหี่ ำรด้วย 3 ลงตัว} จงหำ A  B B = { x | x เป็นจำนวนที่หำรด้วย 2 ลงตัว} วธิ ที ำ A = { x | x เป็นจำนวนที่หำรดว้ ย 3 ลงตวั } A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} B = { x | x เปน็ จำนวนท่ีหำรด้วย 2 ลงตวั B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} เขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ แทนเซต A, B และ ไดด้ งั น้ี 1A 2 64 53 79 16 11 15 12 8 13 20 18 10 14 B 17 จจ1ะำ9กไดแ้ ผAนภำพB แสดงยเู นยี นของเซต A และเซต B 16, 18, 20} = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, สรุปความสัมพนั ธข์ องการยูเนียนของเซต เมื่อ A ,B เปน็ เซตใด ๆ และ เป็นเอกภพสมั พัทธ์ 1. A  B = B  A 2. ถ้ำ A  B แล้ว A  B = B  A = B 3. ถ้ำ B  A แลว้ A  B = B  A = A 4. A  A = A 5. A   =   A = A 6. A  =  A =

31 แบบฝึกทกั ษะที่ 13 เรือ่ ง ยูเนยี นของเซต คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงในช่องวำ่ งแตล่ ะข้อต่อไปนี้ให้ถกู ต้องสมบรู ณ์ (ข้อละ 0.5 คะแนน) ข้อท่ี เซตทก่ี าหนดให้ ยเู นยี นของเซตทก่ี าหนดให้ 1 A = {1, 2}, B = {3, 4} 2 A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 10, 12, 14} 3 A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e, f} 4 A = {ก, ข, ค, ง, จ}, B = {ก, ข, ฉ, ช} 5 A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9} 6 A = {1, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} 7 A = {0, 1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} 8 A = {p, q, r, s}, B = {a, b, p, q} 9 A = {1, 3, 5, 7, …}, B = {2, 4, 6, 8, …} 10 A = {a, b, g}, B = {a, c, f} สรุป ยเู นยี นของเซต A และเซต B คอื …………………………………………….…………………………………………………………………………………………. .………………………………………………….…………………………………………………………………………………… …………………………………………….…………………………………………………………………………………………. …………………………………………….…………………………………………………………………..……………………

32 แบบฝกึ ทักษะท่ี 14 เรือ่ ง ยูเนียนของเซต คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงในช่องวำ่ งแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ใี ห้ถูกต้องสมบรู ณ์ (ขอ้ ละ 1 คะแนน) 1. กำหนด = {1, 2, 3, …, 30} 3. กำหนด = { x | x เปน็ จำนวนคู่บวก A = { x | x เป็นจำนวนท่หี ำรด้วย 5 ลงตัว} ท่ีนอ้ ยกวำ่ 30} B = { x | x เป็นจำนวนทห่ี ำรด้วย 10 ลงตัว} A = { x | x เป็นจำนวนคูบ่ วกที่อยรู่ ะหว่ำง จงหำ A  B และ B  A 4 และ 16} A = ………………………………….… B = { x | x 2 = 16} B = ………………………………….…. จงหำ A  B และ B  A A  B = ………………………………….…. A =………………………………… B  A = ………………………………….…. B = ………………………………… A  B = ………………………………… B  A = ……………………….……….. 2. กำหนด = { x | x เป็นจำนวนนับ} 4. กำหนด = {1, 2, 3, …, 20} A = { x | x เป็นจำนวนค่บี วกทนี่ ้อยกว่ำ 9} A = {1, 2, 8, 9} B = { x | x เปน็ จำนวนเฉพำะท่นี อ้ ยกวำ่ 10} B = {2, 4, 8, 10} จงหำ A  B และ B  A จงหำ A  B และ B  A A = ……………………………………. A = …………………………………… B = …………………………………….. B = ……………………………………. A  B = ………………………….…………. A  B = ……………………………….…… B  A = ………………………..……………. B  A = ……………………………….…… 5. กำหนด = {1, 2, 3, …, 10} A = { x | x เปน็ พหคุ ูณของ 2} B = { x | x เป็นพหุคูณของ 3} จงหำ A  B และ B  A A = ……………………………………. B = …………………………………….. A  B = ………………………….…………. B  A = ………………………..…………….

33 แบบฝึกทักษะท่ี 15 เร่ือง อินเตอรเ์ ซกชนั ของเซต คำช้แี จง ให้นักเรยี นเติมคำตอบลงในชอ่ งวำ่ งแตล่ ะขอ้ ต่อไปนใ้ี ห้ถูกต้องสมบูรณ์ (ข้อละ 0.5 คะแนน) ข้อที่ เซตท่กี าหนดให้ อนิ เตอร์เซกชันของเซต A และเซต B (A  B) 1 A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 6, 7, 8, 9} 2 A = {a, b, c, d}, B = {a, b, e, f} 3 A = {10, 20, 30, 40}, B = {10, 20, 80} 4 A = {7, 8, 9, 10, 11, 12}, B = {7, 8, 11} 5 A = {ก, ข, ค, ง, จ}, B = {ก, ข, ค} 6 A = {1, 2, 3, …, 10}, B = {2, 3, 5, 7} 7 A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7} 8 A = {8, 11, 14, 17, 20}, B = {10, 11, 14} 9 A = {0, 1, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 1, 9, 10, 11, 12} 10 A = {0, 1, 3, 4, 5, 6}, B = สรปุ อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B คอื ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

34 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 16 เร่ือง อนิ เตอร์เซกชันของเซต คำช้ีแจง ให้นักเรยี นเติมคำตอบลงในชอ่ งวำ่ งแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ใี ห้ถูกต้องสมบรู ณ์ (ขอ้ ละ 0.5 คะแนน) ขอ้ ที่ เซต A เซต B อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B 1 {2, 4, 6, 8} {6, 7, 9} (A  B) 2 {a, b, c, d, e} {f, g, h} 3 {{0}, 3, 7, 11, 15} {{0}, 4, 6, 9} 4 {d, g, h, m, q} {q, h, b} 5 {{2, 4}, {6, 8}, 10} {2, 4, 6, 8, 9} 6 {1, 3, 5, 7} {1, 9,11} 7 {-10, -11, -12, -13} {10, 11, 12, 13} 8 {51, 52, 53, 54, 55} {54, 57, 58} 9 {10, 25, 29, 41} {10, 25, 29, 40, 41} 10  {a, b, c}

35 แบบทดสอบที่ 17 เรอ่ื ง อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต 1. กำหนดให้ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} (ขอ้ ละ 1 คะแนน) ให้ A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e}, C = {d, e, f, g} 1.1 จงหำ A  B = ................................... B  A = ................................... ดังนั้น AB .................. BA 1.2 จงหำ A  = ...................................  A = ................................... ดังนนั้ A  ................  A 1.3 จงหำ A   = ..................................   A = ................................... ดงั นน้ั A  .............  A 1.4 จงหำ A  (B  C) และ (A  B)  (A  C) (B  C) = ................................... A (B  C) = ................................... A  B = ................................... A  C = ................................... (A  B)  (A  C) = .................................... ดงั นั้น A  (B  C) ............. (A  B)  (A  C)

36 2. กำหนดให้ = {1, 2, 3,…, 100} A = { x | x เป็นจำนวนทหี่ ำรด้วย 10 ลงตัว} A =.................................................................. B = { x | x เป็นจำนวนท่หี ำรด้วย 25 ลงตวั } B = .................................................................. จงหำ A  B = .................................................................

37 ใบความรู้ท่ี 8 เร่ือง ยเู นยี นและอนิ เตอร์เซกชันของเซต ทบทวนการยูเนียนของเซต (Union) บทนิยาม ยูเนียนของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมำชิกของเซต A หรือของเซต B หรือของทัง้ สองเซตยูเนยี นของเซต A และเซต B เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ A  B A  B = { x | x  A หรือ x  B} ในทนี่ ี้ใชค้ ำว่ำ “หรือ” ในควำมหมำยทำงคณิตศำสตร์ หมำยถึง x อำจเป็นสมำชิกของเซต A หรอื เซต B หรอื x เปน็ สมำชิกของทงั้ สองเซต สรปุ ความสมั พนั ธข์ องการยเู นยี นของเซต เมือ่ A, B เปน็ เซตใด ๆ และ เป็นเอกภพสมั พทั ธ์ 1. A  B = B  A 2. ถ้ำ A  B แล้ว A  B = B  A = B 3. ถ้ำ B  A แลว้ A  B = B  A = A 4. A  A = A 5. A   =   A = A 6. A  =  A =

38 ทบทวนการอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต (Intersection) บทนิยาม อนิ เตอร์เซกชนั ของเซต A และเซต B คือเซตทีป่ ระกอบด้วยสมำชกิ ทีอ่ ยู่ท้งั ในเซต A และเซต B อินเตอร์เซกชนั ของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ A  B A  B = { x | x  A และ x  B} สรุปความสมั พันธข์ องการอนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต เม่ือ A, B เปน็ เซตใด ๆ และ เปน็ เอกภพสมั พัทธ์ 1. A  B = B  A 2. ถ้ำ B  A แลว้ A  B = B = B  A 3. ถ้ำ A  B แล้ว A  B = A = B  A 4. A  A = A 5. A   =  =   A 6. A  =  A = A ᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜ

39 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 18 เร่อื ง ยเู นียนและอินเตอร์เซกชนั ของเซต 1 คำช้ีแจง ให้นกั เรยี นเติมคำตอบในช่องวำ่ งแต่ละข้อต่อไปน้ใี ห้ถูกต้องสมบรู ณ์ (ข้อละ 1 คะแนน) 1. กำหนดให้ = {1, 3, 5, 7, 9, 11 13, 15, 17, 19} A = {1, 3, 5, 7, 11} B = {1, 3, 9, 13} C = {3, 5, 7, 9, 15} จงหำ 1.1 A  B = ……………………………………………………………………. 1.2 B  C = ……………………………………………………………………. 1.3 B  C = ……………………………………………………………………. 1.4 A  C = ……………………………………………………………………. 1.5 (A  B)  (A  C) = ……………………………………………… 2. กำหนดให้ = { x | x เป็นจำนวนเต็ม} A = { x | x เปน็ พหุคณู ของ 3, 1 < x  10} B = { x | x เป็นกำลังสองของจำนวนนับ, 1 < x  10} C = { x | x เป็นจำนวนคู่, 1 < x  10} จงหำ 2.1 A = ……………………………………………………………………. 2.2 B = ……………………………………………………………………. 2.3 C = ……………………………………………………………………. 2.4 A  B  C = ………………………………………………….. 2.5 A  (B  C) = …………………………………………………

40 ใบความร้ทู ่ี 9 เรอื่ ง คอมพลีเมนต์ของเซต (Complement) คอมพลีเมนตข์ องเซต ให้ A เป็นเซตที่มี เปน็ เอกภพสัมพัทธ์ เรียกเซตซ่งึ ประกอบดว้ ยสมำชกิ ท่ีเปน็ สมำชกิ ของ แต่ไมเ่ ปน็ สมำชกิ ของเซต A ว่ำ คอมพลีเมนตข์ องเซต A เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ A/ หรอื Ac หรือ A พจิ ำรณำตัวอยำ่ ง = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {3, 5, 7, 10} เขียนแผนภำพเวนน์ แทนเซต A และคอมพลีเมนตข์ องเซต A ได้ดังแผนภำพ A/ 3 5 1 7 2 4 10 A 6 8 9 บทนิยาม แผนภำพประกอบ 1 กำหนด แทนเอกภพสมั พทั ธ์ คอมพลีเมนต์ของเซต A คอื เซตของทกุ สมำชกิ ในเอกภพสัมพทั ธ์ ท่ไี มอ่ ยูใ่ นเซต A เขยี นแทนคอมพลเี มนต์ของเซต A ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A/ A/ = { x | x  และ x  A} จำกแผนภำพประกอบ 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {3, 5, 7, 10} จะได้ A/ = {1, 2, 4, 6, 8, 9}

41 ตัวอย่ำงท่ี 1 กำหนด = {1, 2, 3, 4, ..., 20} A = { x | x เปน็ จำนวนท่หี ำรดว้ ย 3 หรอื 5 ไดล้ งตวั } จงหำ A/ วิธที ำ เนื่องจำก A = { x | x เปน็ จำนวนที่หำรดว้ ย 3 หรือ 5 ไดล้ งตัว} A = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20} ดงั นนั้ A/ = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19} ตัวอย่ำงที่ 2 กำหนด = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 6, 7, 8} จงเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ แทนเซต A, B และ จงหำ 2.1 A/ และ B/ 2.2 (A  B)/ 2.3 A/ B/ 2.4 (A  B)/ 2.5 A/  B/ วธิ ที ำ เขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซต A, B และ ได้ดังนี้ 2.1 A/ = { x | x  และ x A} A/ = {1, 3, 5, 7, 9, 10} B/ = { x | x  และ x  B} B/ = {2, 4, 9, 10}

42 2.2 (A  B)/ A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (A  B)/ = { x | x  และ x  AB} ดังนน้ั (A  B)/= {9, 10} 2.3 A/ B/ A/ = { x | x  และ x  A} A/ = {1, 3, 5, 7, 9, 10} B/ = { x | x  และ x  B} B/ = {2, 4, 9, 10} ดังนั้น A/  B/ = {9, 10} 2.4 (A  B)/ A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 5, 6, 7, 8} (AB) = {6, 8} (A  B)/ = { x | x  และ x  A  B} ดงั น้นั (A  B)/ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10} 2.5 A/ B/ A/ = { x | x  และ x  A} A/ = {1, 3, 5, 7, 9, 10} B/ = { x | x  และ x  B} B/ = {2, 4, 9, 10} ดงั นน้ั A/  B/ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10} ข้อสังเกต จำกตวั อยำ่ งจะพบวำ่ (A  B)/= A/  B/ และ (A  B)/ = A/  B/ ᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜ

43 แบบฝกึ ทักษะท่ี 19 เรอ่ื ง คอมพลีเมนต์ของเซต 1 คำชีแ้ จง ใหน้ กั เรยี นเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนใ้ี หถ้ กู ต้องสมบูรณ์ (ข้อละ 1 คะแนน) ข้อที่ เอกภพสมั พัทธ์ เซต A A/ 1 {1, 2, 3, …, 10} {1, 2, 3, 4, 5} 2 {1, 3, 5, 7, …, 15} {3, 5, 7, 9} 3 {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} {4, 6, 8} 4 { x | x เป็นจำนวนนับทน่ี อ้ ยกว่ำ 12} {2, 3, 4} 5 {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7} {-2, -4, -6} 6 { x | x เป็นจำนวนคู่บวกทน่ี ้อยกวำ่ {8, 16} 20 และหำรดว้ ย 4 ลงตัว} 7 { x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวกทน่ี ้อย {3, 5, 7} กวำ่ 8} 8 {2, 4, 9, 18, 25, 36, 49} {4, 9, 36, 49} 9 {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45} {10, 20, 30, 40} 10 {a, b, c, d, e, f, g, h} {b, d, f, g} 11 {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60} {0, 40, 50, 60} 12 {a, ab, ac, abc, abcd} {ac, abcd} 13 { x | x เป็นสระในภำษำองั กฤษ} {a, e, o, u} 14 {1, 4, 9, 16, 25} {1, 4, 9, 16, 25} 15 { x | x เปน็ จำนวนเฉพำะทน่ี อ้ ยกว่ำ 20} {5, 7, 17, 19}

44 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 20 เรอื่ ง คอมพลีเมนต์ของเซต 2 คำชแี้ จง จงหำคอมพลเี มนต์ของเซตจำกโจทย์ที่กำหนดให้ (ขอ้ ละ 1 คะแนน) 1. กำหนดให้ = {1, 2, 3, …, 10} A = {4, 6, 8} B = {2, 5, 8} จงหำ 1.1 A/ = ................................................................................................... 1.2 B/ = ................................................................................................... 1.3 A/  B/ = .......................................................................................... 2. กำหนดให้ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} จงหำ A = {a, b, c, d} B = {c, d, e} C = {d, e, f, g} 2.1 A/  B/ = ................................................................................................... 2.2 (B  C)/ = ...................................................................................................

45 ใบความร้ทู ี่ 10 เร่ือง ผลตา่ งของเซต (Difference Of Sets) ผลต่างของเซต พิจำรณำตัวอย่ำง กำหนด = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 3, 5, 9} B = {2, 4, 5, 8} เขียนแผนภำพเวนน์ แสดงสมำชิกของเซต A ที่ไม่เป็นสมำชิกของเซต B ไดด้ ังแผนภำพ แผนภาพประกอบ 1 เรียก เซตที่ประกอบด้วยสมำชิกของเซต A ที่ไม่เป็นสมำชิกของเซต B ว่ำผลต่ำง ของเซต A และเซต B บทนิยาม ผลต่ำงของเซต A และเซต B คือ เซตของทุกสมำชิกของเซต A ที่ไม่เป็นสมำชิกของเซต B เขียนแทนผลต่ำงของเซต A และเซต B ด้วยสัญลักษณ์ A - B A - B = { x | x  A และ x  B}

46 จำกแผนภำพประกอบ 1 จะได้ A – B = {1, 3, 9} B – A = {4, 8} ตัวอย่ำงท่ี 1 กำหนด = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 4, 6} B = {3, 4, 5, 6, 7} จงหำ 1.1 A – B และ B – A 1.2 – (A  B) วิธีทำ เขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซต A, B และ ได้ดังนี้ 1.1 A – B = {1, 2} B – A = {3, 5, 7} 1.2 A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - (A  B) = {8, 9, 10} ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 4, 6} B = {3, 4, 5, 6, 7} จงหำ A – B และ B – A A – B = {1, 2} B – A = {3, 5, 7}

47 ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7, 8} จงหำ A – B และ B – A A – B = {1, 2, 3} B – A = {6, 7, 8} ตัวอย่างที่ 4 กำหนด = { x | x  R} A = { x | 0 < x 5} B = { x | 4 < x  7} จงหำ 4.1 A  B และ A  B 4.2 A – B และ B – A วิธีทำ แยกส่วนเพื่อแสดงเซต A และเซต B เพ่ือให้ง่ำยต่อกำรพิจำรณำว่ำเซต A และ เซต B มีสมำชิกใดร่วมกัน ดังนี้ 4.1 A  B = { x | 0 < x  7} A  B = { x | 4 < x  5} 4.2 A – B = { x | 0 < x  4} B – A = { x | 5 < x  7} ᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜᵜ

แบบฝึกทกั ษะท่ี 21 48 เรื่อง ผลต่างของเซต 1 A–B คำชี้แจง ให้นักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่ำงแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์ (ข้อละ 1 คะแนน) ข้อ เซต A เซต B 1 {1, 2, 3, 4, 5} {2, 3, 5, 6} 2 {2, 4, 6, 8, 10, 12} {6, 8, 10, 12} 3 {10, 11, 12, 13, 14, 15} {11, 13, 15, 17, 19} 4 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} {10, 15, 20} 5 {a, b, c, d, e} {b, c, d, f} 6 {p, q, r, s, t} {p, q, r} 7 {a, e, i, o, u} {aeiou} 8 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 9 {10, 20, 30, 40, 50} {10, 20, 30, 40, 50} 10 {1, 4, 9, 16, 25} {1, 5, 10, 15} 11 { x | x เป็นชื่อเดือนในหนึ่งปี} { x | x เป็นช่ือเดือนในหนึ่งปีที่มี ต้ังแต่30วันขึ้นไป} 12 { x | x เป็นจำนวนคี่บวก { x | x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อย ท่ีน้อยกว่ำ 25} กว่ำ 25 และหำรด้วย 3 ลงตัว}

49 13 { x | x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่ำ { x | x เป็นจำนวนคี่บวก 10} ท่ีน้อยกว่ำ 7} 14 { x | x เป็นจำนวนนับท่ีน้อยกว่ำ { x | x เป็นจำนวนนับห้ำจำนวน 15} แรก} { x | x เป็นวันท่ีข้ึนต้นด้วย “พ”} 15 { x | x เป็นช่ือวันในสัปดำห์}

50 ใบความรทู้ ี่ 11 เรอื่ ง ทบทวนคอมพลีเมนต์และผลตา่ งของเซต คอมพลีเมนต์ของเซต บทนยิ าม กำหนด แทนเอกภพสัมพัทธ์ คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตของทุกสมำชกิ ใน เอกภพสัมพัทธ์ที่ไม่อยู่ในเซต A เขยี นแทนคอมพลเี มนต์ของเซต A ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A/ A/ = { x | x  และ x  A} เช่น กำหนด = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} จะได้ A = {2, 3, 5, 7} A/ = {1, 4, 6, 8, 9, 10} ผลตา่ งของเซต บทนยิ าม ผลตำ่ งของเซต A และเซต B คือ เซตของทุกสมำชกิ ของเซต A ท่ีไมเ่ ปน็ สมำชกิ ของเซต B เขยี นแทนผลต่ำงของเซต A และเซต B ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A - B A - B = { x | x  A และ x  B} เชน่ กำหนด = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {3, 4, 5, 6, 8} B = {2, 4, 5, 8, 9} A – B = {3, 6} B – A = {2, 9}