ระบบจำนวนจริง ict

คำนำ หนังสือ E-Book เล่มนท้ี ำขน้ึ เพอ่ื ให่ทุกคนทมี่ ีควำมสนใจใน เรอ่ื ง ระบบจำนวนจริง ให่เข่ำใจมำกยง่ิ ขน้ึ โดยหนังสอื เล่มนี้ ทุกคน สำมำรถโหลดมำอ่ำนและมำใช่ประโยชน่ได่โดยไม่ตดิ ในเรือ่ งของ ลขิ สิทธิ์ ท้ังตอนนีแ้ ละภำยภำคหน่ำ ซ่ึงรวมถึงแบบฝ่กหัดท่ำยบทหลงั หนงั สือเล่มนี้ ก็สำมำรถโหลดใช่ประโยชน่ได่โดยไม่ติดในเร่ืองของ ลิขสทิ ธิ์เช่นกัน หนงั สอื เล่มน้ีใช่ฟอนต่ คำบรรยำยและเนือ้ หำทไ่ี ม่มี กฎเกณฑ่ ดังน้นั จงึ ทำให่ดไู ม่เป่นทำงกำรและอ่ำนง่ำย

สำรบัญ ควำมหมำย 1 สมบัตขิ องจำนวนจรงิ 2 ตวั อย่ำง 4

1 ขอบคุณภำพจำก : https://www.scimath.org/images/uploads/2_18.jpg จำกรูปแผนผังข่ำงบนจะเหน็ ได่ว่ำ นอกจำกจำนวนจริงแล่ว ยงั มีจำนวนจนิ ตภำพ ซ่งึ เรำจะไม่สนใจ ศึกษำในบทเรียนน้ี นอกจำกน้ี เรำจะเหน็ ได่ว่ำ จำนวนจรงิ ประกอบด่วย จำนวนอตรรกยะ และ จำนวน ตรรกยะ ซง่ึ เรำจะพจิ ำรณำในรำยละเอยี ดได่ดงั น้ี  จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนทไี่ ม่สำมำรถเขยี นให่อย่ใู นรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ ทศนยิ มซ้ำได่ ยกตัวอย่ำงเช่น√2, √3,√5 หรือค่ำ¶ เป่นต่น  จำนวนตรรกยะ คอื จำนวนที่สำมำรถเขยี นให่อย่ใู นรปู เศษส่วนของจำนวนเตม็ หรอื ทศนิยมซำ้ ได่ ยกตัวอย่ำงเช่น 1/2, 1/3, 2/5 เป่นต่น จำกแผนภำพอกี เช่นเคย จะเห็นได่ว่ำ จำนวนตรรกยะ จะประกอบด่วยสองส่วนคือ จำนวนเต็ม และ จำนวนตรรกยะท่ไี ม่ใช่จำนวนเตม็  จำนวนเต็ม คือจำนวนทีเ่ ป่นตัวเลขเตม็ ๆ หรือ ตัวเลขท่ไี ม่มที ศนยิ มนนั่ เอง นั่นคอื ตวั เลขทเี่ รำใช่นับ น่ันเอง ยกตวั อย่ำงเช่น 1, 2, 3, 4 ... ทงั้ นีท้ ั้งนนั้ รวมไปจนถึงค่ำท่ตี ิบลบของจำนวนนบั นีแ้ ละศูนย่ด่วย เช่น 0, -1, -2, -3, -4 ....  จำนวนตรรกยะทีไ่ ม่ใช่จำนวนเตม็ ควำมหมำยของจำนวนน้ีก็ตำมควำมหมำยของช่ือเลยครับ น่ันคือ ตวั เลขเขียนในรูปของทศนิยมซ้ำได่โดยทีไ่ ม่ได่เป่นเลขจำนวนเตม็ นน่ั เอง อย่ำงเช่น 1/2=0.5 หรอื 1/3 = 0.333... (สำมซำ้ ) ย่งิ ไปกว่ำนนั้ จำนวนเต็มยงั แบ่งย่อยได่อีกสำมหมวดคอื จำนวนเตม็ ลบ จำนวนเต็มบวก และ จำนวน เตม็ ศนู ย่

2 สมบตั ขิ องจำนวนจรงิ เนือ่ งจำกว่ำ สมบัตขิ องจำนวนจริงมเี ยอะมำก ในทนี่ ี้จะนำเสนอเฉพำะที่คดิ ว่ำสำคญั แล่วกันนะ ครับ ถ่ำให่ a, b และ c เป่นจำนวนจรงิ ใดๆ แล่ว จะได่ว่ำจำนวนจริงจะมีสมบตั ิดงั ต่อไปนี้ 1. สมบตั ิป่ดกำรบวก: a+ b จะต่องเป่นจำนวนจรงิ เสมอ 2. สมบัติกำรเปลยี่ นหม่ขู องกำรบวก: a + (b + c) = (a + b) + c 3. สมบัตกิ ำรมีเอกลักษณ่กำรบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยทเี่ รำเรียก 0 ว่ำเอกลกั ษณ่ของกำรบวก 4. สมบตั กิ ำรมอี ินเวอร่สของกำรบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยที่ (-a) เป่นอินเวอร่สกำรบวกของ a 5. สมบตั ปิ ่ดของกำรคณู : a คณู b หรือ ab จะต่องมผี ลลัพธ่เป่นจำนวนจรงิ เสมอ 6. สมบัติกำรเปลยี่ นหม่ขู องกำรคณู : a(bc) = (ab) c 7. สมบตั กิ ำรมเี อกลกั ษณ่กำรคณู : a x 1 = a = 1 x a โดยทเ่ี รำเรียก 1 ว่ำเอกลกั ษณ่ของกำรคูณ 8. สมบตั ิกำรมอี นิ เวอร่สของกำรคณู : a a-1 = 0 = a-1 a โดยที่ a-1 เป่นอินเวอร่สกำรคณู ของ a 9. สมบัติกำรแจกแจงทำงซ่ำย: a(b + c) = ab + ac

3 นอกจำกสมบตั ิของจำนวนจริงแล่ว เรำยงั มีทฤษฎบี ทเบือ้ งต่นสำหรบั จำนวนจรงิ ด่วย ในทำนอง เดียวกับสมบัตขิ องจำนวนจรงิ จะขอนำเสนอเฉพำะส่วนทค่ี ดิ ว่ำสำคญั เท่ำนนั้ นะครับ ถ่ำให่ a, b, c และ d เป่นจำนวนจริงใดๆ จะได่ว่ำ 1. ถ่ำ a+c = b+c แล่ว a = b 2. ถ่ำ c ไม่เท่ำกับศูนย่ และ ac =ab แล่ว a = b 3. เม่ือ c > 0 แล่วจะได่ว่ำ (1) ถ่ำ a > b แล่ว ac > bc (2) ถ่ำ a < b แล่ว ac < bc (3) ถ่ำ ac > bc แล่ว a > b (4) ถ่ำ ac < bc แล่ว a < b 4. เมอ่ื c < 0 แล่วจะได่ว่ำ (1) ถ่ำ a > b แล่ว ac < bc (2) ถ่ำ a < b แล่ว ac > bc (3) ถ่ำ ac > bc แล่ว a < b (4) ถ่ำ ac < bc แล่ว a > b 5. ถ่ำ ab = 0 แล่ว a = 0 หรือ b = 0 6. ถ่ำ a < b และ c < d แล่ว a – d < b – c

4 ตวั อย่ำง 1. ข่อใดต่อไปนป้ี ระกอบด่วยจำนวนตรรกยะ, จำนวนอตรรกยะ และจำนวนนับ เฉลย : คำตอบทถี่ กู คอื ข่อ A.

5 2. พจิ ำรณำข่อควำมต่อไปน้ี ข่อใดต่อไปนี้ถูกต่อง A. ก, ข ถูกต่อง ค ไม่ถูกต่อง B. ก, ค ถกู ต่อง ข ไม่ถกู ต่อง C. ข, ค ถูกต่อง ก ไม่ถกู ต่อง D. ค ถกู ต่อง ก, ข ไม่ถกู ต่อง E. ก, ข, ค ไม่ถูกต่อง เฉลย : คำตอบทถ่ี กู คอื ข่อ E. พิจำรณำข่อควำม

5 3. กำหนดให่ a, b เป่นจำนวนเตม็ ใด ๆ ซง่ึ a⭙b = a + b - 4 แล่วข่อใดต่อไปน้ไี ม่ ถกู ต่อง A. เซตของจำนวนเตม็ มสี มบตั ิป่ดกำรบวกและกำรคูณของ ⭙ B. เอกลกั ษณ่ของ ⭙ สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ คอื -4 C. อินเวอร่สของ 3 สำหรับกำรดำเนนิ กำร ⭙ คือ 5 D. เซตของจำนวนเต็มมสี มบตั ิกำรสลบั ที่ E. (5⭙2)⭙1 = (4⭙3)⭙1 เฉลย : คำตอบทถี่ กู คอื ข่อ B. A. เน่อื งจำก a ℤ, b ℤ จะได่ว่ำ a + b - 4 ℤ เพรำะฉะนนั้ a⭙b ℤ ดงั นัน้ เซตของจำนวนเต็มมีสมบัติป่ดกำรบวกและกำรคณู ของ ⭙ เพรำะฉะน้นั ข่อควำม A. ถกู ต่อง B. เอกลกั ษณ่ของ ⭙ คอื -4 กำหนดให่ k เป่นเอกลักษณ่ของ ⭙ จะได่ a⭙k = a a+k-4 = a k= 4 ดงั น้นั เอกลกั ษณ่ของ ⭙ คอื 4 เพรำะฉะนั้น ข่อควำม B. ไม่ถกู ต่อง

6 C. เน่ืองจำกเอกลักษณ่ของ ⭙ คือ 4 สมมติให่ k เป่นอินเวอร่สของกำรดำเนนิ กำร ⭙ เพรำะฉะน้นั 3⭙k = 4 3+k-4 =4 3 +k= 8 k= 8 - 3 k= 8 - 3 = 5 เพรำะฉะน้ัน ข่อควำม C. ถูกต่อง D. เนื่องจำก a ℤ, b ℤ พจิ ำรณำ a⭙b = a + b - 4 = b + a - 4 = b⭙a ดังนน้ั เซตจำนวนเตม็ มสี มบัตขิ องกำรสลบั ที่ของ ⭙ เพรำะฉะนั้น ข่อควำม D. ถูกต่อง E. พิจำรณำ (5⭙2)⭙1 = (5 + 2 - 4)⭙1 = (3)⭙1 = (4 + 3 - 4)⭙1 = (4⭙3)⭙1 เพรำะฉะนั้น ข่อควำม E. ถกู ต่อง

7 4. พจิ ำรณำข่อควำมต่อไปน้ี ก. สำหรบั จำนวนจรงิ a ใด ๆ ถ่ำ a + k = a = k + a แล่ว k เป่นเอกลกั ษณ่ของ กำรบวกของจำนวนจริง ข. สำหรับจำนวนจริง a ใด ๆ ถ่ำ a + k = 0 = k + a แล่ว k เป่นอนิ เวอร่สของกำร คูณของจำนวนจริง A. ก ถกู , ข ผิด B. ก ผิด, ข ถูก C. ก, ข ถูก D. ก, ข ผิด E. ไม่สำมำรถสรุปได่ เฉลย : คำตอบทถี่ กู คอื ข่อ A. ก. สมบัตกิ ำรมเี อกลักษณ่กำรบวกของจำนวนจรงิ กล่ำวว่ำ สำหรบั จำนวนจรงิ a ใด ๆ ถ่ำ แล่ว a + 0 = a = 0 + a แล่ว 0 เป่นเอกลักษณ่ของ กำรบวก เพรำะฉะนน้ั ข่อควำมน้ถี กู ต่อง ข. สมบตั ิกำรมีอนิ เวอร่สของกำรบวกของจำนวนจรงิ กล่ำวว่ำ สำหรบั จำนวนจรงิ a ใด ๆ แล่ว a + k = 0 = k + a แล่ว k เป่นอินเวอร่สกำรบวก ของจำนวนจรงิ เพรำะฉะน้นั ข่อควำมน้ีไม่ถกู ต่อง

8 5. กำหนดให่ a, b และ c เป่นจำนวนจรงิ ทท่ี ำให่ ax2 + bx + c = (3x + 1)(3x - 1) แล่ว a + b + c มีค่ำเท่ำกบั เท่ำใด A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 E. 16 เฉลย : คำตอบทถี่ กู คอื ข่อ C. จำก ax2 + bx + c = (3x + 1)(3x - 1) ax2 + bx + c = 9x2 - 1 เพรำะฉะน้ัน a = 9, b = 0, c = -1 ค่ำของ a + b + c = 9 + 0 - 1 = 8

9 6. กำหนดให่ a และ b เป่นจำนวนจรงิ โดยท่ี a > b, b < 0 ท่ีทำให่ (ax + b)2 = 4x2 - cx + 9 แล่ว (a + b) - c มคี ่ำเท่ำกบั เท่ำใด A. -13 B. -11 C. 17 D. 19 E. 25 เฉลย : คำตอบทถ่ี กู คอื ข่อ A. จำก (ax + b)2 = 4x2 - cx + 9 a2x2 + 2abx + b2 = 4x2 - cx + 9 จะได่ว่ำ a2 = 4, b2 = 9, 2ab = -c จำก a > 0 และ b < 0 ดังน้นั a = 2, b = -3 และจำก 2ab = -c c = -2ab = -2(2)(-3) = 12 จะได่ว่ำ (a + b) - c = (2 + (-3)) - 12 = -13

9 7. ให่ p(x) = x - 2 และ q(x) = x2 + 3x + 1 แล่วค่ำของ p(x)q(x) เท่ำกบั เท่ำใด A. x3 + 5x2 + 7x + 2 B. x3 + 5x2 + 7x - 2 C. x3 + x2 - 7x - 2 D. x3 + x2 - 5x + 2 E. x3 + x2 - 5x - 2 เฉลย : คำตอบทถี่ กู คอื ข่อ E. จำก p(x) = x - 2 และ q(x) = x2 + 3x + 1 เพรำะฉะนัน้ p(x) . q(x) = (x - 2)(x2 + 3x + 1) = x3 + 3x2 + x - 2x2 - 6x - 2 = x3 + x2 - 5x - 2

อ่ำงอิง https://www.scimath.org/lesson-mathematics/item/7058- 2017-05-24-14-59-48 https://blog.startdee.com