61100353_0_20151217-212044

หนา้ | ก แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม 7 (ค33207) ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6 เร่ือง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟังกช์ ัน ซึง่ เปน็ ส่วนหนง่ึ ของหนว่ ยการเรียนรู้เรือ่ ง แคลคลู ัสเบื้องตน้ ประกอบดว้ ยแบบฝึกทกั ษะทั้งหมด 10 เล่ม ดังนี้ เลม่ 1 ลิมิตของฟังก์ชัน เลม่ 2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน เลม่ 3 ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชัน เล่ม 4 อัตราการเปล่ยี นแปลง เลม่ 5 อนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน เลม่ 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั โดยใช้สตู ร เลม่ 7 การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันประกอบ เลม่ 8 ความชันของเส้นโค้ง เล่ม 9 อนุพนั ธอ์ นั ดับสงู เลม่ 10 การประยุกตข์ องอนุพนั ธ์ โดยในแบบฝกึ ทักษะแตล่ ะเล่ม ประกอบด้วยผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ท่ีครอบคลมุ ทัง้ ดา้ นความรู้ ดา้ นทกั ษะกระบวนการและดา้ นคุณลักษณะ ซง่ึ กจิ กรรมของแบบฝึกทกั ษะแต่ละเลม่ เสรจ็ สมบูรณ์ในตวั เอง ผู้เรียนสามารถใชไ้ ด้ดว้ ยตนเอง สาหรับแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่ม 6 การหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันโดยใช้สูตร จดั ทาขนึ้ เพื่อ ใช้ประกอบแผนการจัดการเรียนร้ทู ่ี 14-18 เรื่อง การหาอนุพันธ์ของฟังกช์ นั โดยใชส้ ูตร มีจุดมุ่งหมาย เพื่อให้นักเรียนหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กาหนดให้โดยใช้สูตรได้ อกี ท้ังยงั เป็นแนวทางในการปฏริ ปู กระบวนการจัดการเรียนรู้ท่เี น้นผเู้ รียนเปน็ สาคัญ ส่งเสริมผู้เรยี นได้ฝึกทักษะทางคณิตศาสตรแ์ ละแสวงหา ความรู้ด้วยตนเอง อนั จะทาให้ผ้เู รยี นเกดิ ความรู้ ความเข้าใจในเนื้อหามากย่ิงขึ้น เกดิ ความคงทน ในการเรยี นรู้และสามารถนาความร้ทู ี่ไดร้ บั ไปประยุกต์ใช้ในชวี ิตประจาวันได้อยา่ งมปี ระสิทธภิ าพ ผ้จู ัดทาหวงั เป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์เลม่ นี้ จะเป็นประโยชนต์ ่อการจดั การเรยี น การสอนคณิตศาสตร์ การค้นคว้าหาความรู้ของนักเรียนและเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจ เพื่อนครูและ วงการศึกษาต่อไป พนารตั น์ รอดภยั แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

คานา หน้า | ข สารบัญ คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์สาหรบั ครูผู้สอน หน้า คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์สาหรบั ผูเ้ รยี น ก ผลการเรียนรู้ ข จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ค สมรรถนะสาคัญของผเู้ รยี น ง ลาดับขัน้ ตอนการใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์สาหรับผูเ้ รยี น จ สาระสาคญั จ แบบทดสอบกอ่ นเรียน จ กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน ฉ ยงั จาได้ไหม ช ใบความรู้ 6.1 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชนั พชี คณติ โดยใช้สูตร 1 แบบฝกึ ทกั ษะ 6.1 3 แบบฝกึ ทักษะ 6.2 4 แบบทดสอบหลังเรียน 5 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน 17 แบบบันทกึ คะแนนแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน 27 แบบบนั ทกึ ความก้าวหนา้ ของแบบฝึกทกั ษะ 28 บรรณานุกรม 30 ภาคผนวก 31 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 32 เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น 33 เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 6.1 35 เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 6.2 36 37 38 49 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั เล่ม 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หนา้ | ค 1. ศกึ ษาแผนการจดั การเรียนร้แู ละการใชแ้ บบฝกึ ทักษะ 2. ศกึ ษาและทาความเขา้ ใจเน้ือหา จดุ ประสงค์การเรยี นรู้และการดาเนนิ การสอน เพ่อื ใหก้ ารจัด กจิ กรรมการเรียนรเู้ ปน็ ไปตามลาดบั ขัน้ ตอน 3. ใหน้ กั เรยี นทาแบบทดสอบก่อนเรยี น 4. ดาเนินกจิ กรรมการเรียนรู้ 5. ให้คาแนะนาและความชว่ ยเหลือนกั เรียนเม่ือมีปัญหา ตามความเหมาะสมกบั ความสามารถและ ศกั ยภาพของนักเรียนท่ีแตกต่างกัน 6. ให้นักเรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรยี น 7. แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรเ์ ลม่ นใี้ ช้เวลาในการจัดกจิ กรรมการเรียนการสอน 5 ชัว่ โมง แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ิตและอนุพันธ์ของฟังกช์ นั เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | ง 1. ศึกษาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 2. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ เพ่ือให้ทราบว่านักเรียนต้องรู้และปฏิบัติสิ่งใดบ้างหลังจาก จบบทเรียนแลว้ 3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพ่ือตรวจสอบความรู้เดิมในเรื่องท่ีเรียน จากน้ันตรวจคาตอบ จากเฉลยในภาคผนวกท้ายเลม่ และบันทึกคะแนน 4. ศึกษาเน้ือหาและตัวอย่างให้เข้าใจ แล้วทาแบบฝึกทักษะตามลาดับขั้นตอน 5. หากไม่เข้าใจหรือมีปัญหา นักเรียนสามารถปรึกษาและแลกเปลี่ยนองค์ความรู้ 6. ทาแบบทดสอบหลังเรียนแล้วตรวจคาตอบจากเฉลยในภาคผนวกท้ายเล่มและบันทึกคะแนน แล้วเปรียบเทียบกับคะแนนทดสอบก่อนเรียน 7. หากยังมีข้อสงสัยและไม่เข้าใจให้กลับไปทบทวนบทเรียนจากแบบฝึกทักษะอีกคร้ัง 8. นักเรียนควรซ่ือสัตย์ต่อตนเอง โดยไม่เปิดดูเฉลยระหว่างศึกษาแบบฝึกทักษะ เพื่อนักเรียน จะได้พัฒนาการเรียนรู้ของตนเองอย่างเต็มความสามารถ แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลมิ ติ และอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน เลม่ 6 การหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | จ หาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ได้ ด้านความรู้ หาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั ทกี่ าหนดให้โดยใชส้ ตู รได้ ดา้ นทกั ษะกระบวนการ 1. การแกป้ ัญหา 2. การให้เหตุผล 3. การส่อื สาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ ดา้ นคณุ ลกั ษณะ 1. มคี วามซื่อสัตย์ สจุ ริต 2. มวี ินัย 3. ใฝ่เรียนรู้ 4. มุ่งมน่ั ในการทางาน 1. ความสามารถในการส่ือสาร 2. ความสามารถในการคดิ 3. ความสามารถในการแก้ปัญหา แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมติ และอนุพันธข์ องฟังกช์ นั เลม่ 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร

หนา้ | ฉ แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | ช สาระสาคญั การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู รมีดงั นี้ สตู รที่ 1 ถา้ f(x) = c เม่อื c เป็นคา่ คงตัว แล้ว f(x) = 0 สูตรที่ 2 ถา้ f(x) = x แลว้ f(x) = 1 สตู รท่ี 3 ถ้า f(x) = xn แลว้ f(x) = nxn-1 สตู รที่ 4 ถา้ f และ g หาอนุพันธไ์ ด้ที่ x แลว้ (f + g)(x) = f(x) + g(x) สูตรท่ี 5 ถา้ f และ g หาอนุพนั ธไ์ ด้ที่ x แลว้ (f - g)(x) = f(x) - g(x) สูตรท่ี 6 ถ้า c เป็นคา่ คงตวั และ f หาอนุพันธไ์ ดท้ ่ี x แล้ว (cf)(x) = c(f(x)) สูตรที่ 7 ถ้า f และ g หาอนุพันธไ์ ด้ที่ x แลว้ (fg)(x) = f(x)g(x) + g(x)f(x) สูตรที่ 8 ถ้า f และ g หาอนุพนั ธไ์ ด้ท่ี x แลว้  f  (x) = g(x)f(x) - f(x)g(x)  g  (g(x))2 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน เล่ม 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หนา้ | 1 รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 7 (ค33207) ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 เร่อื ง ลมิ ิตและอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั เล่ม 6 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชนั โดยใช้สตู ร ********************************************************************************************* คาชแี้ จง 1. แบบทดสอบชดุ นี้มที ัง้ หมด 10 ข้อ ใชเ้ วลา 15 นาที 2. ใหน้ ักเรยี นทาเคร่อื งหมาย X ลงในช่องตัวเลอื กในกระดาษคาตอบทีเ่ หน็ ว่าถูกทสี่ ุด ********************************************************************************************* 1. กาหนด f(x) = x3 + 2x2 - x + 5 แล้ว f(x) มคี า่ ตรงกับข้อใด ก. 3x4 + 4x3 - x2 + 5x ข. 3x3 + 4x2 - x + 5 ค. 3x2 + 4x - 1 ง. 6x2 + 2x - 1 2. กาหนด f(x) = 3x + 5 แลว้ f(2) มีค่าตรงกบั ข้อใด ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6 3. กาหนด y = 1 แล้ว dy มคี ่าตรงกบั ข้อใด x2 dx ก. x - 1 ข. 1 2 2x ค. 2 ง. 2 x x 4. กาหนด f(x) = 3 แลว้ f(2) มีคา่ ตรงกบั ข้อใด x+1 3 -3 ก. - (x + 1)2 ข. x+1 ค. 3 ง. 3 x+1 (x + 1)2 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพันธ์ของฟังกช์ นั เล่ม 6 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 2 5. กาหนด y = (3x + 7) 1 + 8  แลว้ dy มคี ่าตรงกบั ข้อใด x  dx ก. 3+ 3 - 14 ข. 8+ 6 - 14 x x2 x2 x3 3 14 3 14 ค. 24 + x - x2 ง. 24 - x - x2 6. กาหนด f(x) = x3 + 16 แลว้ f(x) มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด x2 x4 - 32 x4 - 32 ก. x4 ข. x2 ค. x3 - 32 ง. x4 - 32 x3 x3 7. กาหนด f(x) = 1 แล้ว f(2) และ f(2) มีคา่ ตรงกับข้อใด x5 1 5 1 1 ก. 32 , - 64 ข. 32 , 64 ค. 1 , - 1 ง. 1 , - 5 8 64 8 64 8. กาหนด f(x) = 6x7 - 8x5 + 3x2 - 4x - 25 แลว้ f(1) - f(-1) มีค่าตรงกบั ข้อใด ก. 48 ข. 12 ค. -12 ง. -20 9. กาหนด f(x) = x+1 แลว้ f(5) และ f(-5) มีค่าตรงกับข้อใด x ก. - 1 , - 1 ข. - 1 , 1 10 10 10 10 1 1 1 1 ค. - 25 , 25 ง. - 25 , - 25 10.กาหนด f(x) = (4x - x2 )(x2 + 3) แล้ว f(0)  f(2) มีคา่ ตรงกับข้อใด ก. 2,448 ข. 1,248 ค. 104 ง. 0 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 3 ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ติ และอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั เลม่ 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 4 ยังจาได้ไหม จาได้หรอื เปลา่ เราสามารถหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ันได้อยา่ งไร อ๋อ จาไดซ้ ิ เราสามารถหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั ได้โดยใช้ลมิ ติ คือ…………………………………………………………………………………………………………. แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน lim f(x+h) - f(x) h0 h เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 5 การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั พีชคณติ โดยใช้บทนยิ ามของอนุพันธข์ องฟังก์ชันในรูปลมิ ติ นน้ั คอ่ นข้างยงุ่ ยาก ดงั น้ันเพื่อให้การหาอนุพนั ธส์ ามารถทาได้สะดวกและรวดเรว็ จงึ ได้มีการสรา้ งสตู รทใี่ ช้ สาหรบั การหาอนุพนั ธข์ นึ้ มาดังตอ่ ไปนี้ สตู รที่ 1 ถ้า f(x) = c เม่ือ c เปน็ คา่ คงตัว แล้ว f(x) = 0 พิสูจน์ f(x) = lim f(x+h) - f(x) h0 h = lim c - c h0 h = lim 0 h0 =0 ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ y = -5 จงหา dy วธิ ที า dx dy = d (-5) dx dx =0 สตู รที่ 2 ถ้า f(x) = x แลว้ f(x) = 1 พสิ ูจน์ f(x) = lim f(x+h) - f(x) h0 h = lim x + h - x h0 h = lim h h0 h =1 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพันธข์ องฟังก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 6 สตู รที่ 3 ถา้ f(x) = xn เม่อื n เปน็ จานวนจริง แล้ว f(x) = nxn-1 พิสูจน์ f(x) = lim f(x+h) - f(x) h0 h = lim (x+h)n - xn h0 h        =lim n xn + n xn-1h + n xn-2h2 +…+ n hn - xn 0 1 2 n h0 h nxn-1h + n(n-1)xn-2h2 + … + hn 2 = lim h0 h = lim  nxn-1h + n(n-1) xn-2h2 + … + hn   2  h0 = nxn-1 ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนดให้ f(x) = x3 จงหา f(x) วธิ ที า จาก f(x) = x3 จะได้ f(x) = 3x2 ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ f(x) = 1 จงหา f(x) วิธที า x2 1 จาก f(x) = x2 เนื่องจาก 1 = x -2 ดังนัน้ x2 f(x) = -2x -2-1 = -2x -3 = - 2 x3 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 6 การหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หนา้ | 7 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ y = 3 x จงหา dy dx 1 วธิ ที า เน่ืองจาก 3 x = x3 ดงั น้ัน dy = 1 x 1 - 1 3 dx 3 = 1 x - 2 3 3 =1 3 3 x2 สูตรที่ 4 ถ้า f และ g หาอนพุ นั ธไ์ ด้ที่ x แลว้ (f + g)(x) = f(x) + g(x) พสิ ูจน์ ให้ F(x) = f(x) + g(x) จะได้ F(x) = lim F(x+h) - F(x) = h0 h = lim f(x+h) + g(x+h) - f(x) + g(x) = = h0 h lim f(x+h) - f(x) + g(x+h) - g(x) h0 h lim f(x+h) - f(x) + lim g(x+h) - g(x) h0 h h0 h f(x) + g(x) ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดให้ y = x2 + x จงหา dy วิธีทา dx จาก y = x2 + x จะได้ dy = d (x2 + x) dx dx = d (x2 ) + d (x) dx dx = 2x + 1 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 8 สตู รท่ี 5 ถา้ f และ g หาอนุพันธไ์ ด้ที่ x แลว้ (f - g)(x) = f(x) - g(x) พิสจู น์ ให้ F(x) = f(x) - g(x) จะได้ F(x) = lim F(x+h) - F(x) = h0 h = lim f(x+h) - g(x+h) - f(x) - g(x) = = h0 h lim f(x+h) - f(x) - g(x+h) - g(x) h0 h lim f(x+h) - f(x) - lim g(x+h) - g(x) h0 h h0 h f(x) - g(x) จากสูตรท่ี 4 และสูตรที่ 5 เราจะขยายจานวนฟังก์ชันที่บวกลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันก็ได้ ตามตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดให้ y = x5 + x4 - x3 - x + 5 จงหา dy dx วธิ ีทา จาก y = x5 + x4 - x3 - x + 5 จะได้ dy = d (x5 + x4 - x3 - x + 5) dx dx = d (x5 ) + d (x4 ) - d (x3 ) - d (x) + d (5) dx dx dx dx dx = 5x4 + 4x3 - 3x2 - 1 + 0 = 5x4 + 4x3 - 3x2 - 1 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เลม่ 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 9 สูตรที่ 6 ถา้ c เป็นคา่ คงตัว และ f หาอนพุ ันธไ์ ด้ที่ x แล้ว (cf)(x) = c(f(x)) พิสูจน์ ให้ F(x) = cf(x) จะได้ F(x) = lim F(x+h) - F(x) h0 h = lim cf(x+h) - cf(x) h0 h = lim c  f(x+h) - f(x)   h  h0 = c lim  f(x+h) - f(x)   h  h0 = c(f(x)) ตวั อยา่ งท่ี 7 กาหนดให้ y = 2x3 - 3x จงหา dy dx วธิ ที า จาก y = 2x3 - 3x จะได้ dy = d (2x3 - 3x) dx dx = d (2x3 ) - d (3x) dx dx = 2 d (x3 ) - 3 d (x) dx dx = 2(3x2 ) - 3(1) = 6x2 - 3 แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมติ และอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 10 สตู รท่ี 7 ถ้า f และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ี่ x แลว้ (fg)(x) = f(x)g(x) + g(x)f(x) พสิ จู น์ ให้ F(x) = f(x) g(x) F(x) = lim f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) h0 h = lim f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x) h0 h = lim  f(x+h) g(x+h) - g(x)  g(x) f(x+h) - f(x)   h h  h0 = lim f(x+h) lim g(x+h) - g(x)  lim g(x) lim f(x+h) - f(x) hh0 h0 h0 h0 h = f(x)g(x) + g(x)f(x) ตัวอย่างท่ี 8 กาหนดให้ y = (x2 - 5x)(3x + 2) จงหา dy dx วิธที า จาก y = (x2 - 5x)(3x + 2) จะได้ dy = d (x2 - 5x)(3x + 2) dx dx = (x2 - 5x) d (3x + 2) + (3x + 2) d (x2 - 5x) dx dx = (x2 - 5x)(3 + 0) + (3x + 2)(2x - 5) = 3x2 - 15x + 6x2 + 4x - 15x + 10 = 9x2 - 26x - 10 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน เล่ม 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 11 สตู รท่ี 8 ถ้า f และ g หาอนพุ ันธไ์ ด้ที่ x แล้ว  f  (x) = g(x)  f(x) - f(x) g(x)  g  (g(x))2 พิสจู น์ ให้ y = f(x) g(x) dy = f(x+h) - f(x) dx lim g(x+h) g(x) h0 h = lim f(x+h) g(x) - f(x)  g(x+h) h0 h  g(x+h)  g(x) = lim f(x+h) g(x) - f(x)  g(x) - f(x)  g(x+h) + f(x) g(x) h0 h  g(x+h)  g(x)  f(x+h) g(x) - f(x) g(x)  -  f(x) g(x+h) + f(x) g(x)   h   h  = lim h0 g(x+h)  g(x) g(x) f(x+h) - f(x)  - f(x) g(x+h) + f(x)  h  h  = lim h0 g(x+h)  g(x) hlim0 g(x)  lim f(x+h) - f(x)  - hlim0 f(x)  lim g(x+h) + f(x)  h  h  = h0 h0 lim g(x+h)  lim g(x) h0 h0 = g(x)  f(x) - f(x) g(x) (g(x))2 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลิมติ และอนุพันธ์ของฟังก์ชนั เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร

หนา้ | 12 ตัวอย่างที่ 9 กาหนดให้ y = x-3 จงหา dy 2x + 5 dx วิธีทา จาก y = x-3 2x + 5 dy (2x + 5) d (x - 3) - (x - 3) d (2x + 5) dx dx dx จะได้ = (2x + 5)2 = (2x + 5)(1 - 0) - (x - 3)(2 + 0) (2x + 5)2 = 2x + 5 - 2x + 6 (2x + 5)2 = 11 (2x + 5)2 ตวั อย่างท่ี 10 กาหนดให้ y = (x2 + 1)(2x - 3) จงหา f(1) x3 +1 วิธที า จาก f(x) = (x2 + 1)(2x - 3) x3 +1 จะได้ f(x) หาผลคณู ของตัวเศษ แลว้ หาอนพุ ันธโ์ ดยใช้ ดังน้ัน f(1) = 2x3 - 3x2 + 2x - 3 สูตรผลหาร x3+ 1 (x3 + 1)(6x2 - 6x + 2 - 0) - (2x3 - 3x2 + 2x - 3)(3x2 + 0) = (x3 + 1)2 = (1 + 1)(6 - 6 + 2) - (2 - 3 + 2 - 3)(3) (1 + 1)2 = (2)(2) - (-2)(3) 4 10 5 = 4 = 2 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลมิ ิตและอนุพันธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หนา้ | 13 จากตวั อยา่ งท่ี 10 เราอาจหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ได้อีกวิธีหน่ึง โดยไม่ต้องเขียนฟังก์ชัน f ใหม่ เปน็ การหาอนุพันธโ์ ดยใช้สูตร 7 และ 8 ดงั นี้ จาก f(x) = (x2 + 1)(2x - 3) ดังนน้ั f(x) x3 +1 d d ดังน้ัน f(1) (x 3 +1) dx  (x 2 + 1)(2x - 3)   (x 2 + 1)(2x - 3) dx ( x 3 +1) = (x3 +1)2 (x 3 +1)  (x 2 +1) d (2x-3)+(2x-3) d (x 2 +1)  -(x 2 +1)(2x-3)(3x 2 )  dx dx  = (x3 +1)2 = (x3 +1) (x2 +1)(2)+(2x-3)(2x) -(x2 +1)(2x-3)(3x2 ) (x3 +1)2 = (x3 +1) (x2 +1)(2)+(2x-3)(2x) -(x2 +1)(2x-3)(3x2 ) (x3 +1)2 = (1+1) (1+1)(2)+(2-3)(2) -(1+1)(2-3)(3) (1+1)2 = 4+6 4 10 = 4 = 5 2 แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 14 ทงั้ สองวธิ ีไดค้ าตอบเหมอื นกันคะ่ แล้วแต่ว่าใครถนดั วธิ ีไหน การหาอนพุ นั ธ์ เรามักจะเรยี กกนั ยอ่ ๆ วา่ ดฟิ นะคะ เพอื่ น ๆ จาสตู รไดห้ รือเปล่าคะ ลองมาใช้เทคนิคชว่ ยจากนั นะคะ 1. ดิฟค่าคงตัว ได้ 0 2. ดิฟผลคณู ใหท้ ่องว่า หนา้ ดฟิ หลัง + หลังดิฟหนา้ 3. ดิฟผลหารให้ท่องวา่ เราไปศึกษาตวั อยา่ งการนาเทคนิคชว่ ยจาไปใช้กนั ดกี ว่าครับ แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน เลม่ 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 15 ดฟิ ค่าคงตัวได้ 0 เช่น 1. f(x) = 5 ดังน้ัน f (x) = 0 2. f(x) = 8 ดงั นน้ั f (x) = 0 ดฟิ ผลคณู ให้ท่องวา่ หนา้ ดิฟหลัง + หลังดิฟหนา้ เชน่ f(x) = (3x – 2)(2x + 5) สมมติให้ หน้าคือ (3x – 2) หลังคือ (2x + 5) ดงั นั้น f (x) = (3x-2) d (2x+5) + (2x+5) d (3x-2) dx dx = (3x – 2)(2) + (2x + 5)(3) = 6x – 4 + 6x + 15 = 12x + 11 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ติ และอนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน เลม่ 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 16 ดิฟผลหารให้ท่องวา่ เชน่ f(x) = 3x-2 สมมติให้ บนคอื (3x – 2) 2x+5 ล่างคอื (2x + 5) (2x+5) d (3x-2) - (3x-2) d (2x+5) dx dx ดงั น้ัน f (x) = (2x+5)2 = (2x+5)(3) - (3x-2)(2) (2x+5)2 = (6x+15) - (6x-4) (2x+5)2 = 6x + 15 - 6x + 4 (2x+5)2 = 19 (2x+5)2 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลมิ ติ และอนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หนา้ | 17 คาชแ้ี จง จงหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ท่ีกาหนดให้ (ข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน) 1. ถา้ y = -10 แลว้ จงหา dy dx วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. ถา้ f(x) = 20 แล้ว จงหา f(x) วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3. ถ้า f(x) = 43 แล้ว จงหา f(x) วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลิมิตและอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั เล่ม 6 การหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 18 4. ถ้า y = 3 x แล้ว จงหา dy dx วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2 5. ถา้ f(x) = x 3 แลว้ จงหา f(x) วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน เลม่ 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 19 6. กาหนดให้ y = -2 4 x จงหา dy dx วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7. ให้ y = x3 + 2x2 จงหา dy dx วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน เล่ม 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร

หน้า | 20 8. ให้ f(x) = 2x6 + 3x2 + 3x จงหา f(x) วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 9. กาหนดให้ y = x+ 1 - 1 จงหา dy x x2 dx วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลมิ ิตและอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร

หนา้ | 21 10. กาหนดให้ f(x) = x + 1 จงหา f(4) x2 วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 21 11. กาหนดให้ f(x) = 2x3 - 6x3 + 4 จงหา f(1) วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั เล่ม 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 22 12. กาหนดให้ f(x) = 2x3 - 1 จงหา f(1) x วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 13. จงหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน y = (4x - x2 )(x2 + 3) โดยใช้สูตรท่ี 7 วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 6 การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชันโดยใช้สตู ร

หน้า | 23 14. กาหนดให้ y = (2x4 - 1)(5x3 + 6x) จงหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั โดยใชส้ ูตรท่ี 7 วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 15. กาหนดให้ y = x2 (-3x2 - 2) จงหา dy dx วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หน้า | 24 16. กาหนดให้ y = (x4 + 3)(-4x5 + 5x4 + 5) จงหา dy dx วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 17. กาหนดให้ f(x) = (x2 + 1)(x2 - 4) จงหา f(2) วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชัน เล่ม 6 การหาอนุพันธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร

หนา้ | 25 18. จงหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน y = x5 - 3x2 + 5x - 2 x2 วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 19. กาหนดให้ y = x2 + 2 จงหา dy x dx วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมิตและอนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สูตร

หนา้ | 26 20. กาหนดให้ f(x) = 4x5 + 2x2 จงหา f(x) 3x4 + 5 วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สตู ร

หนา้ | 27 คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเลอื กคาตอบทางขวาแลว้ นาตวั อักษรมาเติมหน้าข้อให้ถกู ต้อง ………. 1. f(x) = 5x18 ก. f(x) = - 9 x4 ………. 2. f(x) = 3 x 5 ข. f(x) = 10x4 4 x10 - 10x5 + 25 4 ………. 3. f(x) = 3 ค. f(x) = 90x17 x3 ………. 4. f(x) = - 1 x4 + 3x 5 + 2x ง. f(x) = 8 x3+ 5 + 3 3 3 x4 2 ………. 5. f(x) = 2 x4 + 5x - x-3 จ. f(x) = 9x6 - 24x3 - 18x2 3 9x6 - 12x3 + 4 ………. 6. f(x) = (x4 + 3)(-4x5 + 5x4 + 5) ฉ. f(x) = 15 x 1 4 16 ………. 7. f(x) = (5x4 - 3x2 - 1)(-5x2 + 3) ช. f(x) = -5x6 - 4x3 - 30x2 2x8 - 8x4 + 8 ………. 8. f(x) = 2 ซ. f(x) = -150x5+ 120x3 - 8x x5- 5 ………. 9. f(x) = 3x4 + 2 2 3x3 - 2 ฌ. f(x) = -2x3 + 5x3 + 2 ………. 10. f(x) = 3x4 + 5x3 - 5 ญ. f(x) = -36x8 +40x7 -60x4 +80x3 2x4 - 4 เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ิตและอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน

หนา้ | 28 รายวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 7 (ค33207) ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 เรอ่ื ง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน เล่ม 6 การหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั โดยใชส้ ตู ร ********************************************************************************************* คาชแ้ี จง 1. แบบทดสอบชุดน้มี ีทัง้ หมด 10 ข้อ ใช้เวลา 15 นาที 2. ใหน้ กั เรียนทาเคร่ืองหมาย X ลงในช่องตัวเลอื กในกระดาษคาตอบท่ีเหน็ ว่าถูกทส่ี ุด ********************************************************************************************* 1. กาหนด y = 1 dy มีค่าตรงกับข้อใด x 2 แล้ว dx ก. x - 1 ข. 1 2 2x ค. 2 ง. 2 x x 2. กาหนด y = (3x + 7)  1 + 8  แลว้ dy มคี า่ ตรงกบั ข้อใด  x  dx ก. 3 + 3 - 14 ข. 8+ 6 - 14 x x2 x2 x3 3 14 3 14 ค. 24 + x - x2 ง. 24 - x2 - x3 3. กาหนด f(x) = 3 แลว้ f(2) มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด x+1 -3 ก. - (x 3 1)2 ข. x+1 + ค. 3 ง. 3 x+1 (x + 1)2 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เล่ม 6 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สตู ร

หน้า | 29 4. กาหนด f(x) = 1 แลว้ f(2) และ f(2) มคี า่ ตรงกับข้อใด x5 ก. 1 , 1 ข. 1 , - 5 32 64 32 64 1 5 1 -1 ค. 8 , - 64 ง. 8 , 64 5. กาหนด f(x) = x3 + 2x2 - x + 5 แลว้ f(x) มคี ่าตรงกบั ข้อใด ก. 3x4 + 4x3 - x2 + 5x ข. 3x3 + 4x2 - x + 5 ค. 3x2 + 4x - 1 ง. 6x2 + 2x - 1 6. กาหนด f(x) = 3x + 5 แลว้ f(2) มคี ่าตรงกบั ข้อใด ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6 7. กาหนด f(x) = x3 + 16 แลว้ f(x) มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด x2 x4 - 32 x4 - 32 ก. x4 ข. x2 ค. x3 - 32 ง. x4 - 32 x3 x3 8. กาหนด f(x) = 6x7 - 8x5 + 3x2 - 4x - 25 แลว้ f(1) - f(-1) มีคา่ ตรงกบั ข้อใด ก. 48 ข. 12 ค. -12 ง. -20 9. กาหนด f(x) = (4x - x2 )(x2 + 3) แลว้ f(0)  f(2) มีคา่ ตรงกับข้อใด ก. 2,448 ข. 1,248 ค. 104 ง. 0 10. กาหนด f(x) = x+1 แลว้ f(5) และ f(-5) มีค่าตรงกบั ข้อใด x 1 -1 1 1 ก. - 10 , 10 ข. - 10 , 10 ค. - 1 , 1 ง. - 1 , -1 25 25 25 25 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน เลม่ 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 30 ขอ้ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร

หนา้ | 31 แบบบนั ทกึ คะแนนแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 6 กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ติ และอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั เลม่ 6 การอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร ชอื่ ………………………………………..…….ช้นั ............................. เลขท…่ี … โรงเรียนบา้ นไรว่ ทิ ยา สานักงานเขตพนื้ ท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 42 รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ ความก้าวหนา้ คิดเปน็ รอ้ ยละ การทดสอบก่อนเรียน 10 การทดสอบหลงั เรียน 10 แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลมิ ติ และอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั เลม่ 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หนา้ | 32 แบบบันทึกความกา้ วหน้าของแบบฝกึ ทักษะ แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลมิ ติ และอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั เล่ม 6 การอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั โดยใช้สตู ร ชือ่ ………………………………………..…….ช้นั ............................. เลขท…่ี … โรงเรยี นบา้ นไร่วิทยา สานักงานเขตพ้นื ทกี่ ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 42 แบบฝึกทกั ษะท่ี คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ คดิ เป็นร้อยละ ผา่ น ไมผ่ ่าน เกณฑ*์ เกณฑ*์ * 6.1 20 6.2 10 รวมทงั้ หมด 30 เฉล่ีย คิดเปน็ ร้อยละ * ผา่ นเกณฑ์ หมายความว่า ผู้เรียนได้คะแนนรอ้ ยละ 80 ข้นึ ไปของคะแนนเต็ม ** ไมผ่ ่านเกณฑ์ หมายความว่า ผ้เู รียนได้คะแนนน้อยกวา่ ร้อยละ 80 ของคะแนนเต็ม แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมติ และอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั เลม่ 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หนา้ | 33 กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจรญิ ทรพั ย์. (2548). แบบฝกึ หัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ม. 6 เล่ม 2 ชว่ งช้ันที่ 4. กรุงเทพฯ: สานกั พิมพ์เดอะบุคส์ จากดั . ______. (2554). แบบฝกึ หัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ: สานักพมิ พ์เดอะบุคส์ จากดั . กมลเอก ไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรงุ เทพฯ: ไฮเอ็ดพบั ลิชช่งิ จากัด. กานดา ลือสุทธวิ บิ ลู ย์ และยุพิน จริ สุขานนท์. (2548). สรปุ คณติ ศาสตร์ ม.ปลาย ม. 4 – 5 – 6 รายวิชาพน้ื ฐานและรายวิชาเพิ่มเติม. กรงุ เทพฯ: สานักพิมพเ์ ดอะบุคส์ จากดั . จกั รนิ ทร์ วรรณโพธ์กิ ลาง. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ Pure Pure ม.6 (2 ภาคเรียน) กล่มุ สาระ การเรียนรู้คณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ: บริษัท สานกั พมิ พ์ พ.ศ. พฒั นา จากัด. ______. (ม.ป.ป.). เฉลยข้อสอบ Entrance คณติ ศาสตร์ 15 พ.ศ.. กรงุ เทพฯ: บริษัท สานกั พมิ พ์ พ.ศ. พฒั นา จากัด. เชษฐ์ ช้ันสกลุ ด.ี (ม.ป.ป.). คมู่ อื เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ: ห้างหนุ้ ส่วนจากัดรุ่งเรอื งสาสน์ การพิมพ์. ณรงค์ ปัน้ น่ิม และคณะ. (2537). คูมือเตรยี มสอบคณติ ศาสตร์รวม ม.4-5-6 . กรุงเทพฯ: ภมู ิบณั ฑิตการพมิ พ์ จากัด. ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. (2555). คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นท่ี 2. กรุงเทพฯ: แม็คเอ็ดดูเคช่นั จากัด. ประชา ศวิ เวทกลุ . (2555). กุญแจคณติ ศาสตร์ ม.ปลาย ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 รายวิชาเพิม่ เติม เลม่ 6. กรงุ เทพฯ: บริษทั สานักพิมพ์เดอะบุคส์ จากดั . เลศิ สทิ ธิโกศล. (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์แผนใหม่ แคลคูลสั ม.ปลาย 4–5–6. กรงุ เทพฯ: สานกั พมิ พ์ แมสพับลิชช่งิ . สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตรเ์ ลม่ 6 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4–6 กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ตามหลกั สตู ร แกนกลางการศึกษาข้ันพน้ื ฐานพุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว. ______. (2554). คมู่ ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร์เล่ม 6 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4–6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐานพุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว. สมยั เหลา่ วานิชย.์ (ม.ป.ป.). คมู่ ือเตรียมสอบคณติ ศาสตร์ ม.4-5-6 สาระการเรียนรูเ้ พิ่มเติม. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพบั ลชิ ชงิ่ จากัด. ______. (ม.ป.ป.). Mathematics Problems โจทยค์ ณิตศาสตร์ ม. 4–5–6. กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชช่ิง จากัด. สมยั เหล่าวานิชย์ และพวั พรรณ เหล่าวานชิ ย์. (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน + เพ่ิมเตมิ เลม่ ที่ 6 ช่วงช้นั ท่ี 4 (มัธยมศกึ ษาปีที่ 4–6). กรงุ เทพฯ: ไฮเอด็ พบั ลชิ ชงิ่ จากดั . แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมิตและอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 34 สุกญั ญา สนทิ วงศ์ ณ อยุธยา และอนัญญา อภชิ าตบตุ ร. (2556). แคลคูลัส Calculus 1 ฉบบั เสรมิ ประสบการณ์. กรงุ เทพฯ: บริษทั พิมพ์ดีการพิมพ์ จากดั . สเุ ทพ จนั ทร์สมศักด.์ิ (ม.ป.ป.). คมู่ ือเตรยี มสอบคณติ ศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ: สานกั พมิ พภ์ ูมิบณั ฑิต. อเนก หิรญั . (2544). คณติ ศาสตร์ ม.6 ค 015. กรุงเทพฯ: หจก. สานกั พมิ พ์ฟิสิกส์ เซน็ เตอร์. ______. (ม.ป.ป.). แบบฝึกหัดพื้นฐาน วชิ าคณติ ศาสตร์ ม.6 ค 015. กรุงเทพฯ: หจก. สานักพมิ พ์ฟสิ ิกส์เซน็ เตอร์. Finney ,Ross L. and other. (2007). Calculus Graphical, Numerical, Algebraic Third Edition. Upper Saddle River. New Jersey: Prentice Hall. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั เล่ม 6 การหาอนุพันธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร

หน้า | 35 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน เลม่ 6 การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชันโดยใชส้ ตู ร

หน้า | 36 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ขอ้ คาตอบ 1ค 2ก 3ข 4ค 5ง 6ค 7ก 8ค 9ง 10 ข แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลมิ ิตและอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 37 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ข้อ คาตอบ 1ข 2ง 3ค 4ข 5ค 6ก 7ค 8ค 9ข 10 ง แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลมิ ิตและอนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หนา้ | 38 เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 6.1 1. ถ้า y = -10 แลว้ จงหา dy dx วธิ ที า จาก y = -10 จะได้ dy = d (10) dx dx =0 2. ถา้ f(x) = 20 แลว้ จงหา f(x) วิธที า จาก f(x) = -20 จะได้ f(x) = d (20) dx =0 3. ถ้า f(x) = 43 แล้ว จงหา f(x) วธิ ีทา จาก f(x) = 43 จะได้ f(x) = d (43 ) dx =0 4. ถ้า y = 3 x แล้ว จงหา dy dx วิธีทา จาก y = 3 x 1 = x3 จะได้ dy = d 1 ) dx dx (x 3 = 1 x 1 - 1 3 3 = 1 x - 2 3 3 = 1 =1 3 3 x2 2 เล่ม 6 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใชส้ ตู ร 3x 3 แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ลิมิตและอนุพันธข์ องฟังกช์ นั

2 หน้า | 39 เล่ม 6 การหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชันโดยใช้สูตร 5. ถ้า f(x) = x 3 แลว้ จงหา f(x) 2 วิธีทา จาก f(x) = x 3 จะได้ f(x) = d 2 ) dx (x 3 = 2 x 2 - 1 3 3 = 2 x - 1 3 3 = 2 1 3x 3 =2 33 x 6. กาหนดให้ y = -2 4 x จงหา dy dx วธิ ีทา จาก y = -2 4 x 1 = -2x 4 จะได้ dy = d 1 ) dx dx (-2x 4 = -2( 1 x 1 - 1 ) 4 4 = - 1 x - 3 4 2 = - 1 3 2x 4 =- 1 24 x3 แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ลิมติ และอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน

หนา้ | 40 7. ให้ y = x3 + 2x2 จงหา dy dx วธิ ีทา จาก y = x3 + 2x2 จะได้ dy = d (x3 + 2x2 ) dx dx = d (x3 ) + d (2x2 ) dx dx = 3x3-1 + 2(2x2-1 ) = 3x2 + 4x 8. ให้ f(x) = 2x6 + 3x2 + 3x จงหา f(x) วธิ ที า จาก f(x) = 2x6 + 3x2 + 3x จะได้ f(x) = d (2x6 + 3x2 + 3x) dx = d (2x6 ) + d (3x2 ) + d (3x) dx dx dx = 2(6x5-1) + 3(2x2-1 ) + 3(1) = 12x5 + 6x + 3 9. กาหนดให้ y = x+ 1 - 1 จงหา dy x x2 dx วิธีทา จาก y = x+ 1 - 1 x x2 จะได้ dy = d  x + 1 - 1  dx dx  x x2  = d (x) + d 1 - d 1  dx dx  x  dx  x2  = d (x) + d (x-1 ) - d (x-2 ) dx dx dx = 1 + (-x-2 ) + 2x-3 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลมิ ิตและอนุพันธข์ องฟังกช์ ัน เล่ม 6 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 41 = 1+ -1 + 2 x2 x3 = 1- 1 + 2 x2 x3 10. กาหนดให้ f(x) = x + 1 จงหา f(4) x2 วิธที า จาก f(x) = x + 1 x2 1 จะได้ f(x) = x 2 + x-2 ดังนั้น f(x) = d 1 + x-2 ) dx (x 2 = d 1 + d (x-2 ) (x 2 ) dx dx = 1 x - 1 - 2x -3 2 2 = 1 - 2 2x x3 จะได้ f(4) = 1 - 2 24 43 = 1- 2 4 64 = 1- 1 4 32 = 8-1 32 =7 32 แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลมิ ติ และอนุพันธ์ของฟังกช์ ัน เลม่ 6 การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร

หน้า | 42 21 11. กาหนดให้ f(x) = 2x3 - 6x3 + 4 จงหา f(1) 21 วิธีทา จาก f(x) = 2x3 - 6x3 + 4 จะได้ f(x) = d 2 - 1 + 4] dx [2x 3 6x 3 = d 2 ) - d 1 ) + d (4) (2x 3 (6x 3 dx dx dx = 2 d 2 ) - 6 d 1 ) + d (4) (x 3 (x 3 dx dx dx = 2( 2 x- 1 ) - 6( 1 x- 2 ) + 0 3 3 33 = 4-2 3 3 x 3 x2 ดงั น้นั f(1) = 4 -2 3 = - 2 3 12. กาหนดให้ f(x) = 2x3 - 1 จงหา f(1) วธิ ที า จาก f(x) = x จะได้ f(x) 2x3 - 1 ดังนัน้ f(x) x = 2x3 - x - 1 2 = d (2x3 - x - 1 ) 2 dx = 2 d (x3 ) - d (x - 1 ) 2 dx dx แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลิมิตและอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ัน เลม่ 6 การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันโดยใช้สตู ร

หน้า | 43 = 2(3x2 ) - (- 1 x - 3 ) = 2 จะได้ f(1) = 2 6x2 + 1 2 x3 6+1 2 = 6 1 2 13. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน y = (4x - x2 )(x2 + 3) วธิ ที า จาก y = (4x - x2 )(x2 + 3) จะได้ dy = (4x - x2 ) d (x2 + 3) + (x2 + 3) d (4x - x2 ) dx dx dx = (4x - x2 )(2x + 0) + (x2+ 3)(4 - 2x) = (4x - x2 )(2x) + (x2 + 3)(4 - 2x) = (8x2 - 2x3 ) + (4x2 + 12 - 8x3 - 6x) = - 10x3 + 12x2 - 6x + 12 14. กาหนดให้ y = (2x4 - 1)(5x3 + 6x) จงหา dy dx วิธีทา จาก y = (2x4 - 1)(5x3 + 6x) จะได้ dy = (2x4 - 1) d (5x3 + 6x) + (5x3 + 6x) d (2x4 - 1) dx dx dx = (2x4 - 1)(15x2 + 6) + (5x3 + 6x)(8x3 - 0) = 30x6 - 15x2 + 12x4 - 6 + 40x6 + 48x4 = 70x6 + 60x4 - 15x2 - 6 แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ลิมิตและอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั เลม่ 6 การหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันโดยใชส้ ูตร