CALCULO_TOMO_I[1]

234 Capítulo 3 Aplicaciones de la derivada Cálculo de diferenciales Cada una de las reglas de derivación que estudió en el capítulo 2 pueden escribirse en forma diferencial. Por ejemplo, suponga que u y v son funciones derivables de x. A partir de la definición de diferenciales, tiene du u dx y dv v dx. De tal manera, se puede escribir la forma diferencial de la regla del producto como se muestra a continuación d Diferencial de uv. d uv uv dx Regla del producto dx uv vu dx uv dx vu dx u dv v du Fórmulas diferenciales Sean u y v funciones diferenciales de x. Múltiplo constante: d cu c du Suma o diferencia: d u ± v du ± dv Producto: d uv u dv v du Cociente: u v du u dv d v v2 EJEMPLO 4 Determinar diferenciales Función Derivada Diferencial a. y x2 dy 2x dx dy 2x dy dx dx 2x b. y x dy 1 dy 2 cos x dx dx 2 x c. y 2 senx dy 2 cos x dx d. y x cos x dy x senx cos x dy x sen x cos x dx dx e. y 1 dy 1 dy dx x dx x2 x2 GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ La notación en el ejemplo 4 recibe el nombre de notación de Leibniz para derivadas (1646-1716) y diferenciales, en honor del matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. La belleza de esta notación se debe a que proporciona una forma fácil de recordar varias fórmulas de cálcu- Tanto a Leibniz y Newton se les lo importantes al dar la apariencia de que las fórmulas se derivaron de manipulaciones acredita como creadores del algebraicas de diferenciales. Por ejemplo, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena cálculo. Sin embargo, fue Leibniz quien trató de ampliar el cálculo dy dy du formulando reglas y la notación dx du dx formal.A menudo pasaba días eligiendo una notación adecuada parecería ser verdadera debido a que las du se anulan. Aunque este razonamiento es para un nuevo concepto. incorrecto, la notación ayuda a recordar la regla de la cadena. Ver LarsonCalculus.com para leer más de esta biografía.

3.9 Diferenciales 235 EJEMPLO 5 Diferencial de una función compuesta y fx sen 3x Función original fx 3 cos 3x Aplicación de la regla de la cadena 3 cos 3x dx Forma diferencial dy f x dx EJEMPLO 6 Diferencial de una función compuesta y fx x2 1 1 2 Función original fx Aplicación de la regla de la cadena 1 x2 1 1 2 2x x Forma diferencial dy f x dx 2 x2 1 x dx x2 1 COMENTARIO Esta Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para reali- fórmula es equivalente a la zar esto con respecto a la función dada por y = f(x), utilice la fórmula. aproximación de la recta tan- gente dada anteriormente en f x x f x dy f x f x dx esta sección. la cual se deriva de la aproximación y f x x f x dy. La clave para usar está fórmula es elegir un valor de x que facilite el cálculo, como se muestra en el ejemplo 7. EJEMPLO 7 Aproximar los valores de una función Utilice diferenciales para aproximar 16.5. Solución Utilizando f x x, puede escribir f x x f x f x dx x 1 dx. 2x Ahora bien, eligiendo x = 16 y dx = 0.5, obtiene la siguiente aproximación fx x 16.5 16 1 0.5 4 11 4.0625 2 16 82 y La aproximación por medio de la recta tangente a f x x en x 16 es la recta 6 gx 1 x 2. Para valores de x cercanos a 16, las gráficas de f y g son muy próximas 8 g(x) = 1 x + 2 entre sí, como se muestra en la figura 3.69. Por ejemplo, 8 4 (16, 4) f 16.5 16.5 4.0620 16 20 2 y f(x) = x 4 8 12 1 x g 16.5 8 16.5 2 4.0625. −2 De hecho, si usa una herramienta de graficación para realizar un acercamiento al punto Figura 3.68 de tangencia (16, 4), verá que las dos gráficas parecen coincidir. Observe también que a medida que se aleja del punto de tangencia, la aproximación lineal es menos exacta.

236 Capítulo 3 Aplicaciones de la derivada 3.9 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar. Usar la aproximación de una recta tangente En los ejer- Usar diferenciales En los ejercicios 23 y 24, utilice diferen- cicios 1 a 6, determine la ecuación de la recta tangente T a la ciales y la gráfica de g′ para aproximar (a) g(2.93) y (b) g(3.1) gráfica de f en un punto dado. Utilice esta aproximación lineal dado que g(3) = 8. para completar la tabla. 23. y 24. y x 1.9 1.99 2 2.01 2.1 4 4 fx (3, 3) Tx 3 3 g′ 2 2 g′ 1 1 x x 12345 63 12 ) 45 x2, 2, 2 (3, 1. f x x2, 2, 4 2. f x − 1 x, 2, 2 2 3. f x x5, 2, 32 4. f x csc x, 2, csc 2 5. f x sen x, 2, sen 2 6. f x 25. Área Al medir la longitud del lado de un cuadrado, obtiene 1 que es igual a 10 pulgadas, con un posible error de 32 de pul- Comparar ∆y y dy En los ejercicios 7 a 10, utilice la informa- gada. ción para evaluar y comparar ∆y y dy. (a) Use diferenciales para aproximar el posible error propaga- do en el cálculo del área del cuadrado. Función Valores de x Diferencial de x (b) Calcule el porcentaje de error en el cálculo de la superficie 7. y x3 x1 x dx 0.1 de un cuadrado. 8. y 6 2x2 x2 x dx 0.1 9. y x4 1 x1 x dx 0.01 26. Área Al medir el radio de un círculo, es de 16 pulgadas con 10. y 2 x4 x2 x dx 0.01 1 un posible error de 4 de pulgada. (a) Use diferenciales para aproximar el posible error propaga- do en el cálculo del área del círculo. Encontrar un diferencial En los ejercicios 11 a 20, encuen- (b) Calcule el porcentaje de error en el cálculo del área del tre el diferencial dy de la función dada. círculo. 11. y 3x2 4 12. y 3x2 3 27. Área Al medir la base y la altura de un triángulo, obtiene que éstas son iguales, respectivamente, a 36 y 50 cm. El posi- 13. y x tan x 14. y csc 2x ble error en cada medición es de 0.25 cm. 15. y x1 16. y x1 (a) Utilice diferentes diferenciales para aproximar el posible 17. y 2x 1 x error propagado en el cálculo del área del triángulo. 9 x2 18. y x 1 x2 (b) Calcule el porcentaje de error en el cálculo del área del triángulo. sec2 x 19. y 3x sen2 x 20. y x2 1 28. Circunferencia Al medir una circunferencia, obtiene un va- lor de 64 centímetros, con un error posible de 0.9 centímetros. Usar diferenciales En los ejercicios 21 y 22, use diferen- ciales y la gráfica de f para aproximar (a) f(1.9) y (b) f(2.04). (a) Calcule el porcentaje de error en el cálculo del área del Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite Math- círculo. Graphs.com. (b) Estime el máximo error porcentual permisible en la medi- 21. y 22. y ción de la circunferencia si el error en el cálculo del área no excede de 3%. 55 29. Volumen y área superficial La medición del borde de un cubo indica un valor de 15 pulgadas, con un error posible de 44 0.03 pulgadas. 3 f 3f (a) Utilice diferenciales para aproximar el máximo error de propagación posible en el cálculo del volumen del cubo. 2 2 1 (2, 1) (b) Use diferenciales para aproximar el posible error propaga- 1 (2, 1) do en el cálculo del área de superficie del cubo. x x 2345 (c) Los errores relativos en los incisos (a) y (b). 12345

3.9 Diferenciales 237 30. Volumen y área superficial Al medir el radio de una es- 35. Movimiento de proyectiles El alcance R de un proyectil fera, encuentra el valor de 8 pulgadas, con un posible error de es 0.02 pulgadas. R v02 sen 2 (a) Utilice diferenciales para aproximar el máximo error posi- 32 ble en el cálculo del volumen de la esfera. donde v0 es la velocidad inicial en pies por segundo y u es el (b) Utilice diferenciales para aproximar el posible error pro- ángulo de elevación. Si v0 = 2500 pies por segundo y u cambia pagado en el cálculo del área de superficie de la esfera. de 10° a 11°, utilice diferenciales para aproximar el cambio de alcance. (c) Errores aproximados en los incisos (a) y (b). 36. Agrimensura Un topógrafo que está a 50 pies de la base 31. Distancia de frenado La distancia total T en la que se de un árbol mide el ángulo de elevación de la parte superior de detiene un vehículo es este último y obtiene un valor de 71.5°. ¿Con qué precisión debe medirse el ángulo si el error porcentual en la estimación de la T = 2.5x + 0.5x2 altura de este mismo será menor que 6%? donde T está en pies y x es la velocidad en millas por hora. Aproxime el cambio y el porcentaje de cambio en la distancia Aproximar los valores de la función En los ejercicios 37 a total de frenado conforme la velocidad cambia de x = 25 a 40, utilice diferenciales para aproximar el valor de la expresión. x = 26 millas por hora Compare su respuesta con la de la calculadora. ¿CÓMO LO VE? La gráfica muestra la ganancia P 37. 99.4 38. 3 26 (en dólares) de la venta de unidades de un artículo. 39. 4 624 40. 2.99 3 Use la gráfica para determinar cuál es mayor, el cam- bio en el resultado cuando los cambios en el nivel de Verificar la aproximación por una recta tangente En los producción 400-401 unidades o el cambio en el re- ejercicios 41 y 42, verifique la aproximación por medio de la sultado cuando los cambios en el nivel de producción recta tangente de la función en el punto indicado. A continua- 900-901 unidades. Explique su razonamiento ción, utilice una herramienta de graficación para representar la función y su aproximación en la misma ventana de observación. P Ganancia (en dólares) 9,000 Función Aproximación Punto 8,000 7,000 41. f x x4 y 2 x 0, 2 6,000 4 5,000 4,000 42. f x tan x yx 0, 0 3,000 2,000 DESARROLLO DE CONCEPTOS 1,000 x 43. Comparar ∆y y dy Describa la variación en precisión 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 de dy como una aproximación para ∆y cuando ∆x está dis- minuyendo. Número de unidades 33. Péndulo El periodo de un péndulo está dado por 44. Describir términos Cuando se usan diferenciales, ¿qué se entiende por los términos error propagado, error relativo L y error porcentual? g T2 Utilizar diferenciales En los ejercicios 45 y 46, dé una breve explicación de por qué las siguientes aproximaciones donde L es la longitud del péndulo en pies, g es la aceleración son válidas debida a la gravedad y T es el tiempo en segundos. El péndulo se ha sometido a un aumento de temperatura tal que la longitud 45. 4.02 2 1 0.02 46. tan 0.05 0 1 0.05 ha aumentado en 12%. 4 (a) Encuentre el cambio porcentual aproximado en el pe- ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 47 a 50, determine si riodo. el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que lo demuestre. (b) Utilizando el resultado del inciso (a), encuentre el error aproximado en este reloj de péndulo de 1 día. 34. Ley de Ohm Una corriente de I amperes pasa por un resistor 47. Si y x c, entonces dy dx. de R ohms. La ley de Ohm establece que el voltaje E aplicado al resistor es 48. Si y ax b, entonces y ddxy. x E = IR. 49. Si y es diferenciable, entonces lím y dy 0. Si el voltaje es constante, demuestre que la magnitud del error x→0 relativo en R provocado por el cambio en I es igual en magni- tud al error relativo en I. 50. Si y f x , f es creciente y diferenciable, y x > 0, entonces y dy.

238 Capítulo 3 Aplicaciones de la derivada Ejercicios de repaso Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar. Encontrar extremos en un intervalo cerrado En los ejer- Intervalos en los que f crece o decrece En los ejercicios 21 cicios 1 a 8, encuentre el extremo absoluto de la función en un a 26, determine los puntos críticos (si los hay) y los intervalos intervalo cerrado. abiertos sobre los cuales la función es creciente o decreciente. 1. f x x2 5x, 4, 0 2. f x x3 6x2, 6, 1 21. f x x2 3x 12 3. f x x 2, 0, 4 4. h x 3 x x, 0, 9 22. h x x 2 1 3 8 4x 4, 4 6. f x x 23. f x x 1 2 x 3 5. f x x2 9, , 0, 2 24. g x x 1 3 x2 1 7. g x 2x 5 cos x, 0, 2 25. h x xx 3, x>0 8. f x sen 2x, 0, 2 26. f x sen x cos x, 0, 2 Usar el teorema de Rolle En los ejercicios 9 a 12, determine Aplicar la primera derivada En los ejercicios 27 a 34, (a) de- si el teorema de Rolle se puede aplicar a f en el intervalo cerrado termine los números críticos de f (si los hay), (b) encuentre el [a, b]. Si el teorema de Rolle se puede aplicar, encuentre todos (los) intervalo(s) abierto(s) sobre los que la función es creciente o los valores de c en el intervalo abierto (a, b) tales que f ′(c) = 0. decreciente, (c) aplique el criterio de la primera derivada para Si el teorema de Rolle no se puede aplicar, explique por qué no. encontrar los extremos relativos, y (d) utilice una herramienta de graficación para confirmar los resultados. 9. f x 2x2 7, 0, 4 10. f x x 2 x 3 2, 3, 2 27. f x x2 6x 5 11. f x x2 2, 2 28. f x 4x3 5x 1 x2, 1 t4 12. f x sen 2x, , 29. h t 4 8t Usar el teorema del valor medio En los ejercicios 13 a 18, de- 30. g x x3 8x termine si el teorema del valor medio puede o no ser aplicado a la 4 función f en el intervalo cerrado [a, b]. Si se puede aplicar el teore- ma, encuentre todos los valores de c en el intervalo (a, b) tales que 31. f x x4 fb fa x2 fc . x2 3x 4 ba 32. f x Si el teorema no puede ser aplicado, explique por qué. x2 13. f x x2 3, 1, 8 33. f x cos x sen x, 0, 2 14. f x 1x, 1, 4 34. g x 3 sen x 1 , 0, 4 2 2 15. f x 5 x , 2, 6 Determinar los puntos de inflexión En los ejercicios 35 a 16. f x 2x 3 x, 1, 1 40, determine los puntos de inflexión y analice la concavidad de la gráfica de la función. 17. f x x cos x, 2, 2 18. f x 35. f x x3 9x2 x 2x, 0, 4 36. f x 6x4 x2 19. Teorema del valor medio ¿Puede aplicarse el teorema 37. g x x x 5 del valor medio a la función 38. f x 3x 5x3 1 39. f x x cos x, 0, 2 f x x2 40. f x tan 4x, 0, 2 en el intervalo [–2, 1]? Explique. Usar la segunda derivada En los ejercicios 41 a 46, utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar todos los extre- 20. Usar el teorema del valor medio mos relativos. (a) Para la función f x Ax2 Bx C, determine el valor 41. f x x 9 2 de c garantizado por el teorema del valor medio en el in- tervalo [x1, x2] 42. f x 2x3 11x2 8x 12 (b) Demuestre el resultado del ejercicio del inciso (a) para 43. g x 2x2 1 x2 f x 2x2 3x 1 en el intervalo [0, 4] 44. h t t 4 t 1

Ejercicios de repaso 239 45. f x 2x 18 52. Modelar datos El gerente de un almacén registra las ven- 46. h x x tas anuales S (en miles de dólares) de un producto durante un periodo de 7 años, como se indica en la tabla, donde t es el x 2 cos x, 0, 4 tiempo en años, con t = 6 correspondiendo a 2006. Piénselo En los ejercicios 47 y 48, dibuje la gráfica de una t6 7 8 9 10 11 12 función f que tenga las características indicadas. 47. f 0 f 6 0 48. f 0 4, f 6 0 S 5.4 6.9 11.5 15.5 19.0 22.0 23.6 f3 f5 0 f x < 0 para x < 2 o x > 4 f x > 0 para x < 3 f 2 no existe (a) Utilice las capacidades de regresión de una herramienta de graficación para determinar un modelo de la forma f x > 0 para 3 < x < 5 f4 0 S at3 bt2 ct d f x < 0 para x > 5 f x > 0 para 2 < x < 4 para los datos. f x < 0 para x < 3 o x > 4 f x < 0 para x 2 (b) Utilice una herramienta de graficación para dibujar los da- tos y representar el modelo. f x > 0 para 3 < x < 4 (c) Utilice el cálculo para determinar el tiempo t en el que las 49. Redacción El titular de un periódico señala que “La tasa de ventas estuvieron creciendo a la mayor velocidad. crecimiento de déficit nacional está decreciendo”. ¿Qué es lo que significa esto? ¿Qué implica este comentario en cuanto a (d) ¿Piensa que el modelo sería exacto para predecir las ven- la gráfica de déficit como una función del tiempo? tas futuras? Explique. 50. Costo de inventario El costo del inventario depende de Determinar un límite En los ejercicios 53 a 62, determine los costos de pedidos y almacenamiento de acuerdo con el mo- el límite. delo de inventario. 53. lím 8 1 54. lím 1 4x x→ x x→ x 1 C Q s x r. 55. lím 2x2 5 56. lím 4x3 x 2 3x2 x4 3 x→ x→ Determine el tamaño de pedido que minimizará el costo, su- 3x2 58. lím x2 x poniendo que las ventas ocurren a una tasa constante, Q es el 57. lím x→ 2x número de unidades vendidas por año, r es el costo de almace- namiento de una unidad durante 1 año, s es el costo de colocar x→ x 5 un pedido y x es el número de unidades por pedido. 5 cos x x3 51. Modelar datos Los gastos por la defensa nacional D (en 59. lím 60. lím miles de millones de dólares) para años determinados de 1970 a 2005 se muestran en la tabla, donde t es el tiempo en años, x→ x x→ x2 2 con t = 0 correspondiente a 1970. (Fuente: U.S. Office of Ma- nagement and Budget) 6x x 61. lím 62. lím x→ x cos x x→ 2 sen x Asíntotas horizontales En los ejercicios 63 a 66, utilice una herramienta de graficación para identificar las asíntotas hori- zontales. t 0 5 10 15 20 63. f x 3 2 64. g x 5x2 D 81.7 86.5 134.0 252.7 299.3 x x2 2 65. h x 2x 3 66. f x 3x x4 x2 2 t 25 30 35 40 Analizar la gráfica de una función En los ejercicios 67 D 272.1 294.4 495.3 693.6 a 76, analice y dibuje una función gráfica. Marque las intersec- ciones, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Use (a) Utilice las funciones de regresión de una herramienta de una herramienta de graficación para verificar sus resultados. graficación para ajustar un modelo de la forma 67. f x 4x x2 68. f x 4x3 x4 D at4 bt3 ct2 dt e 69. f x x 16 x2 70. f x x2 4 2 a los datos. (b) Utilice una herramienta de graficación para dibujar los da- 71. f x x1 3 x 3 2 3 tos y representar el modelo. 72. f x x 3 x 2 3 (c) Para el año que se muestra en la tabla, ¿cuándo indica 73. f x 5 3x el modelo que el gasto para la defensa nacional es un x2 máximo? (d) Para los años que se indican en la tabla, ¿cuándo indica el 74. f x 2x modelo que el gasto para la defensa nacional está crecien- 1 x2 do a mayor velocidad?

240 Capítulo 3 Aplicaciones de la derivada 75. f x x3 x 4 Usar el método de Newton En los ejercicios 85 a 88, aproxi- x me el (los) cero(s) de la función. Utilice el método de Newton y continúe el proceso hasta que dos aproximaciones sucesivas difie- 76. f x x2 1 ran en menos de 0.001. A continuación, busque el (los) cero(s) uti- x lizando una herramienta de graficación y compare los resultados. 77. Área máxima Un ranchero tiene 400 pies de cerca para 85. f x x3 3x 1 encerrar dos corrales rectangulares adyacentes (vea la figura). ¿Qué dimensiones debe utilizar de manera que el área encerra- 86. f x x3 2x 1 da sea máxima? 87. f x x4 x3 3x2 2 88. f x 3 x 1 x y Encontrar los puntos de intersección En los ejercicios 89 y 90, aplique el método de Newton para aproximar el (los) xx valor(es) x del punto indicado de intersección de las dos grá- ficas. Continúe el proceso hasta dos aproximaciones sucesivas 78. Área máxima Encuentre las dimensiones del rectángulo diferidas en menos de 0.001. [Sugerencia: Sea h(x) = f(x) – de área máxima, con lados paralelos a los ejes de coordenadas, g(x).] que puede inscribirse en la elipse dada por x2 y2 89. f x 1x 90. f x sen x 1. gx x5 2 gx x2 2x 1 144 16 y y 79. Longitud mínima Un triángulo rectángulo en el primer cuadrante tiene los ejes de coordenadas como lados, y la hipo- f3 g 3g tenusa pasa por el punto (1, 8). Encuentre los vértices del trián- gulo de modo tal que la longitud de la hipotenusa sea mínima. 1 1 80. Longitud mínima Hay que apuntalar la fachada de un edi- x f ficio con una viga que debe pasar sobre una cerca paralela de −2 1 2 5 pies de altura y a 4 pies de distancia del edificio. Determine x la longitud de la viga más corta que puede usarse. −1 123 81. Longitud máxima Calcule la longitud de la tubería más Comparar y y dy En los ejercicios 91 y 92, utilice la infor- larga que se puede transportar sin inclinarla por dos pasillos mación para evaluar y comparar y y dy. con 4 y 6 pies de ancho que forman esquina en ángulo recto. Función Valores x Diferenciales de x 82. Longitud máxima Un pasillo con 6 pies de ancho se junta 91. y 0.5x2 x3 x dx 0.01 con otro de 9 pies de ancho formando un ángulo recto. En- 92. y x3 6x x2 x dx 0.1 cuentre la longitud del tubo más largo que puede transportarse sin inclinarse alrededor de esta esquina. [Sugerencia: Si L es Encontrar la diferencial En los ejercicios 93 y 94, encuentre la longitud de la tubería, demuestre que la diferencial dy de la función dada. L 6 csc 9 csc 2 93. y x 1 cos x 94. y 36 x2 donde u es el ángulo entre el tubo y la pared del pasillo más estrecho.] 95. Volumen y superficie El radio de una esfera se mide 83. Volumen máximo Encuentre el mayor volumen de un cono como 9 centímetros, con un error posible de 0.025 centíme- circular recto que puede ser inscrito en una esfera de radio r. tros. r (a) Use diferenciales para aproximar el error propagado posi- ble al calcular el volumen de la esfera. r (b) Use diferenciales para aproximar el error propagado posi- 84. Volumen máximo Encuentre el mayor volumen de un ci- ble en el cálculo de la superficie de la esfera. lindro circular que se puede inscribir en una esfera de radio r. (c) Calcule el porcentaje de error en los incisos (a) y (b). 96. Función de demanda Una compañía descubre que la de- manda de uno de sus productos es p 75 1 x 4 donde p es el precio en dólares y x es el número de unidades. Si x cambia de 7 a 8, encuentre y compare los valores de ∆p y dp.

Solución de problemas 241 Solución de problemas Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar. 1. Extremo relativo Represente el polinomio de cuarto grado 6. Iluminación La cantidad de iluminación de una superficie es proporcional a la intensidad de la fuente luminosa, inversa- p x x 4 ax2 1 mente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente luminosa, y proporcional a sen u, donde u es el ángulo al cual para diversos valores de la constante a. la luz incide sobre la superficie. Un cuarto rectangular mide 10 por 24 pies, con un techo de 10 pies (vea la figura). Determine (a) Determine el valor de a para el cual p tiene exactamente la altura a la cual debe ubicarse la luz para permitir que las un mínimo relativo. esquinas del piso reciban la mayor cantidad posible de luz. (b) Determine los valores de a para los cuales p tiene exacta- d 10 pies mente un máximo relativo. x 5 pies (c) Determine los valores de a para los cuales p tiene exacta- 13 θ mente dos mínimos relativos. pies (d) Demuestre que la gráfica de p no puede tener exactamente 12 pies dos extremos relativos. 7. Distancia máxima Considere un cuarto en la forma de un 2. Extremo relativo cubo, de 4 metros de lado. Un insecto en el punto P desea des- plazarse hasta el punto Q en la esquina opuesta, como se indica (a) Representeelpolinomiodecuartogrado p x a x 4 6x2 en la figura. Emplee el cálculo para determinar la trayectoria para a = 3, –2, –1, 0, 1, 2. ¿Para qué valores de la constan- más corta. ¿Puede resolver el problema sin el cálculo? Explique te a tiene p un mínimo o máximo relativo? (Sugerencia: Considere las dos paredes como una pared.) (b) Demuestre que p tiene un máximo relativo para todos los P SQ valores de la constante a. (c) Determine analíticamente los valores de a para los cuales p tiene un mínimo relativo. (d) Sea x, y x, p x un extremo relativo de p. Demuestre que (x, y) se encuentra en la gráfica de y = –3x2. Verifique gráficamente este resultado representando y = –3x2 junto con las siete curvas del inciso (a). 3. Mínimo relativa Sea fx c x2. 4m x Determine todos los valores de la constante c tales que f tiene Q un mínimo relativo, pero no un máximo relativo. 4m 4m P R d 4. Puntos de inflexión (a) Sea f x ax2 bx c, a 0, un polinomio cuadráti- Figura para 7 Figura para 8 co. ¿Cuántos puntos de inflexión tiene la gráfica de f? 8. Áreas de triángulos La recta que une P y Q cruza las dos (b) Sea f x ax3 bx2 cx d, a 0, un polinomio rectas paralelas, como se muestra en la figura. El punto R está cúbico. ¿Cuántos puntos de inflexión tiene la gráfica de f? a d unidades de P. ¿A qué distancia de Q debe situarse el pun- to S de manera que la suma de las áreas de los dos triángulos (c) Suponga que la función y = f(x) satisface la ecuación sombreados sea un mínimo? ¿De qué modo la suma será un máximo? dy ky 1 y dx L 9. Teorema del valor medio Determine los valores a, b y c de manera que la función f satisfaga la hipótesis del teorema donde k y L son constantes positivas. Demuestre que la del valor medio en el intervalo [0, 3] gráfica de f tiene un punto de inflexión en el punto donde y L 2. (Esta ecuación recibe el nombre de ecuación di- 1, x 0 ferencial logística.) f x ax b, 0<x 1 5. Teorema del valor medio extendido Demuestre el siguiente teorema de valor medio extendido. Si f y f ′ son x2 4x c, 1 < x 3 continuas en el intervalo cerrado [a, b], y si f” existe en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) 10. Teorema del valor medio Determine los valores a, b, c tal que y d de manera que la función f satisfaga la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [–1, 2] f b f a f a b a 1 f c b a 2. a, x 1 2 fx 2, 1 < x 0 bx2 c, 0 < x 1 dx 4, 1 < x 2

242 Capítulo 3 Aplicaciones de la derivada 11. Demostración Sean f y g funciones continuas sobre [a, b] 15. Teorema de Darboux Demuestre el teorema de Darboux: y derivables sobre (a, b). Demuestre que si f(a) = g(a) y g′(x) > f ′(x) para toda x en (a, b) entonces g(b) > f(b). Sea f diferenciable en el intervalo cerrado [a, b] de tal manera 12. Demostración que f ′(a) = y1 y f ′(b) = y2. Si d se encuentra entre y1 y y2, (a) Demuestre que lím x2 entonces existe c en (a, b) tal que f ′(c) = d. x→ . 16. Área máxima Las figuras muestran un rectángulo, un círcu- lo y un semicírculo inscritos en un triángulo delimitado por (b) Demuestre que lím 1 0. los ejes de coordenadas y la porción del primer cuadrante de x→ la recta con intersecciones (3, 0) y (4, 0). Encuentre las dimen- x2 siones de cada figura inscrita de manera tal que su área sea máxima. Establezca qué tipo de cálculo fue útil para determi- (c) Sea L un número real. Demuestre que si lím f x L, entonces nar las dimensiones requeridas. Explique su razonamiento. x→ lím f 1 L. y y→0 yyy 13. Rectas tangentes Encuentre el punto sobre la gráfica de 444 333 1 2 2 rr 2r y 1 x2 1 1 r 1 (vea la figura) donde la recta tangente tiene la pendiente más gran- xxx de, y el punto donde la recta tangente tiene la pendiente menor. 1234 1234 1234 y 17. Punto de inflexión Demuestre que el polinomio cúbico p x ax3 bx2 cx d tiene exactamente un punto de in- 1 y = 1 1 x 2 flexión (x0, y0) donde + b 2b3 bc x0 3a y y0 27a2 3a d. −3 −2 −1 x 123 Utilice esta fórmula para hallar el punto de inflexión de p x x3 3x2 2. 14. Distancia de frenado El departamento de policía debe determinar el límite de velocidad sobre un puente de manera 18. Longitud mínima Una hoja de papel de tamaño oficio tal que la tasa de flujo de automóviles sea máxima por unidad (8.5 pulgadas por 14 pulgadas) se dobla de manera que la es- de tiempo. Cuanto mayor es el límite de velocidad, tanto más quina P toca el borde opuesto de 14 pulgadas en R (vea la separados deben estar los automóviles para mantener una dis- figura). Nota: PQ C 2 x2. tancia de frenado segura. Los datos experimentales respecto a la distancia de frenado d (en metros) para diversas velocida- 14 des v (en kilómetros por hora) se indican en la tabla. pulg. xR v 20 40 60 80 100 8.5 pulg. d 5.1 13.7 27.2 44.2 66.4 xC (a) Convierta las velocidades v en la tabla a velocidades s en PQ metros por segundo. Utilice las capacidades de regresión de la calculadora para determinar un modelo de la forma (a) Demuestre que C 2 2x3 d s as2 bs c para los datos. . (b) Considere dos vehículos consecutivos de longitud prome- 2x 8.5 dio igual a 5.5 metros, que viajan a una velocidad segura sobre el puente. Sea T la diferencia entre los tiempos (en (b) ¿Cuál es el dominio de C? segundos) cuando los parachoques frontales de los vehícu- los pasan por un punto dado sobre el puente. Verifique que (c) Determine el valor de x que minimiza a C. esta diferencia de tiempos está dada por (d) Determine la longitud mínima C. 19. Aproximación cuadrática El polinomio T ds 5.5 . P x c0 c1 x a c2 x a 2 s s es la aproximación cuadrática de la función f en (a, f(a)) cuan- (c) Utilice una herramienta de graficación para representar la do P a f a , P a f a y P a f a . función T y estimar la velocidad s que minimiza el tiempo entre vehículos. (a) Encuentre la aproximación cuadrática de (d) Utilice cálculo para determinar la velocidad que minimi- x fx za T. ¿Cuál es el valor mínimo de T? Convierta la velocidad requerida a kilómetros por hora. x1 (e) Determine la distancia óptima entre vehículos para el lí- en (0, 0). mite de velocidad máxima determinado en el inciso (d). (b) Utilice una herramienta de graficación para representar P(x) y f(x) en la misma ventana de observación.

4 Integración 4.1 Antiderivadas e integración indefinida 4.2 Área 4.3 Sumas de Riemann e integrales definidas 4.4 Teorema fundamental del cálculo 4.5 Integración por sustitución 4.6 Integración numérica Electricidad (Ejercicio 84, p. 303) Topografía Velocidad del sonido (Ejemplo 5, p. 282) (Ejercicio 39, p. 311) Gran Cañón (Ejercicio 58, p. 252) Varios productos químicos fluyendo De izquierda a derecha, Molodec/Shutterstock.com; Henryk Sadura/Shutterstock.com; Christian Lagerek/Shutterstock.com; Josemaria Toscano/Shutterstock.com; Lukich/Shutterstock.com. en un tanque (Ejemplo 9, p. 286) 243

244 Capítulo 4 Integración 4.1 Antiderivadas e integración indefinida Exploración Escribir la solución general de una ecuación diferencial y usar la notación de integral indefinida para antiderivadas. Determinación de Utilizar las reglas de la integración básicas para encontrar antiderivadas. antiderivadas Para cada Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial. derivada describa la función original F. Antiderivadas a. F x 2x Para encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 3x2, podría usar lo que sabe de derivadas, para concluir que b. F x x F(x) = x2 ya que d x3 3x2. c. F x x2 dx d. F x 1 La función F es una antiderivada de f. x2 Definición de una antiderivada e. F x 1 Se dice que una función F es una antiderivada de f, en un intervalo I, si F ′(x) = x3 f(x) para todo x en I. f. F x cos x Note que F se llama una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para en- tender por qué, observe que ¿Qué estrategia usó para determinar F? F1 x x 3, F2 x x3 5 y F3 x x 3 97 son todas antiderivadas de f(x) = 3x2. De hecho, para cualquier constante C, la función dada por F(x) = x3 + C es una antiderivada de f. TEOREMA 4.1 Representación de antiderivadas Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en I, donde C es una constante. Demostración La demostración del teorema 4.1 en un sentido es directa. Esto es, si G(x) = F(x) + C, F ′(x) = f (x) y C es constante, entonces Gx d F x C Fx 0 f x. dx Para demostrar este teorema en otro sentido, suponga que G es una antiderivada de f. Defina una función H tal que H x G(x F x . Para cualesquiera dos puntos a y b (a < b) en el intervalo, H es continua sobre [a, b] y derivable dentro de (a, b). Por el teorema del valor medio, Hc Hb Ha ba para algún c en (a, b). Sin embargo, H ′(c) = 0, por consiguiente H(a) = H(b). Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, usted sabe que H es una función constante C. Así, G(x) – F(x) = C y por esto G(x) = F(x) + C. Consulte LarsonCalculus.com para ver el video de Bruce Edwards de esta demostración.

4.1 Antiderivadas e integración indefinida 245 Si utiliza el teorema 4.1, puede representar la familia completa de antiderivadas de una función agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabien- do que Dx x2 2x puede representar la familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x por G(x) = x2 + C. Familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integración. La familia de funciones representadas por G es la antiderivada general de f, y G(x) = x2 + C es la solución general de la ecuación diferencial. G ′(x) = 2x Ecuación diferencial Una ecuación diferencial en x y y es una ecuación que incluye a x, y y a las deriva- das de y. Por ejemplo, y ′ = 3x y y ′ = x2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales. y 2 EJEMPLO 1 Solución de una ecuación diferencial C=0 C=2 1 Determine la solución general de la ecuación diferencial y ′ = 2. C = −1 Solución Para empezar, determine una función cuya derivada es 2. Una función con x esta característica es −2 1 2 y = 2x. 2x es una antiderivada de 2. −1 Ahora bien, utilice el teorema 4.1 para concluir que la solución general de la ecuación diferencial es Funciones de la forma y = 2x + C. y = 2x + C. Solución general Figura 4.1 En la figura 4.1 se muestran las gráficas de varias funciones de la forma y = 2x + C. Cuando resuelva una ecuación diferencial de la forma dy fx dx es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente dy = f(x) dx. La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina an- tiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral ∫. La solución se denota mediante Variable de Constante de integración integración y f x dx F x C. COMENTARIO En este Integrando Antiderivada texto, la notación f x dx = de f(x) F(x) + C significa que F es una antiderivada de f en un La expresión f x dx se lee como la antiderivada de f respecto a x. De tal manera, la intervalo. diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de antiderivada.

246 Capítulo 4 Integración Reglas básicas de integración La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede comprobarse sustituyendo F ′(x) por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener F x dx F x C. La integración es la “inversa” de la derivación. Además, si f x dx F x C, entonces d f x dx f x. La derivación es la “inversa” de la integración. dx Estas dos ecuaciones le permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen. Reglas básicas de integración Fórmula de derivación Fórmula de integración 0 dx C d 0 C dx d k dx kx C kx k dx d kf x kf x dx k f x dx kf x dx d fx ±g x f x ±g x f x ±g x dx f x dx ± g x dx dx d xn nxn 1 xn dx xn 1 C, n 1 Regla de la potencia dx n1 d cos x dx sen x C dx sen x cos x d sen x sen x dx cos x C dx cos x d sec2 x sec2 x dx tan x C dx tan x d sec x tan x dx sec x C dx sec x sec x tan x d csc2 x csc2 x dx cot x C dx cot x d csc x cot x csc x cot x dx csc x C dx csc x Observe que la regla de la potencia para la integración tiene la restricción n ≠ –1. La evaluación de 1 dx x debe esperar hasta el análisis de la función logaritmo natural en el capítulo 5.

4.1 Antiderivadas e integración indefinida 247 COMENTARIO En el EJEMPLO 2 Describir antiderivadas ejemplo 2, advierta que el patrón general de integración es 3x dx 3 x dx Regla del múltiplo constante similar al de la derivación. 3 x1 dx Reescriba x como x1. Integral original Regla de potencia (n = 1) x2 Simplifique. Reescriba 3C 2 3 x2 C 2 Integre Las antiderivadas de 3x son la forma 23x2 C, donde C es cualquier constante. Simplifique Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas bási- cas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. En el caso del ejemplo 2, la solución se podría haber escrito 3x dx 3 x dx 3 x2 C 3 x2 3C. 2 2 Sin embargo, como C representa cualquier constante, es problemático e innecesario escribir 3C como la constante de integración. Por tanto, 3 x2 3C se escribe en la forma 2 más simple, 23x2 C. TECNOLOGÍA Algunos EJEMPLO 3 Reescribir antes de integrar programas de software, como Maple y Mathematica, son Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo. capaces de efectuar simbólica- mente la integración. Si tiene Integral original Reescriba Integre Simplifique acceso a estas herramientas de integración simbólica, utilíce- 1 x 3 dx x2 1 las para calcular las integrales a. x3 dx C 2x2 C indefinidas del ejemplo 3. 2 b. x dx x1 2 dx x3 2 2x3 2 C C 3 32 c. 2 sen x dx 2 sen x dx 2 cos x C 2 cos x C EJEMPLO 4 Integrar funciones polinomiales COMENTARIO Las reglas a. dx 1 dx Se entiende que el integrando es uno. de integración básicas le permi- xC Integre. ten integrar cualquier función polinomial. b. x 2 dx x dx 2 dx x2 Integre. 2 C1 2x C2 x2 C C1 C2 2 2x C La segunda línea en la solución suele omitirse. c. 3x4 5x2 x dx x5 x3 x2 35 53 C 2 3x5 5x3 1x2 C 532

248 Capítulo 4 Integración COMENTARIO Antes de EJEMPLO 5 Reescribir antes de integrar comenzar la serie de ejercicios, asegúrese de realizar uno de x 1 dx x 1 dx Reescriba como dos fracciones. los pasos más importantes en x xx la integración que es reescribir el integrando en una forma que x1 2 x 1 2 dx Reescriba con exponentes fraccionarios. se ajuste a una de las reglas básicas de integración. x3 2 x1 2 Integre. C 32 12 2 x3 2 2x 1 2 C Simplifique. 3 2 xx 3 C 3 Cuando integre cocientes, no debe integrar numerador y denominador por separa- do. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la derivación. Al respecto, obser- ve el ejemplo 5, cerciórese de entender que x 1 dx 2 xx 3 C x 3 no es lo mismo que x 1 dx 1 x2 x C1. x dx 2 x C2 2 x 3 EJEMPLO 6 Reescribir antes de integrar sen x cos2 x dx 1 sen x dx Reescriba como un producto. cos x cos x sec x tan x dx Reescriba utilizando identidades sec x C trigonométricas. Integre. EJEMPLO 7 Reescribir antes de integrar Integral original Reescriba Integre Simplifique a. 2 dx 2 x 1 2 dx 4x1 2 C x1 2 C x t 4 2t 2 1 dt 2 1t5 2t3 t b. t2 1 2 dt x 3x 2 dx 53 x 4 3 4x 1 3 dx 12 1x2 3 C x3 3 2x c. x2 dx t5 t3 C 3 x7 3 3x4 3 C d. 3 x x 4 dx 5 23 t C 7 C C x2 x 1 3 21 x7 3 x4 3 4 73 43 Al hacer los ejercicios, tenga en cuenta que puede comprobar su respuesta a un problema de antiderivación, derivando. Por ejemplo, en el ejemplo 7(a), puede compro- bar que 4x1 2 C es la antiderivada correcta derivando la respuesta para obtener Dx 4x1 2 C 4 1 x 12 2 Utilice la derivación para comprobar la antiderivada. 2 . x

4.1 Antiderivadas e integración indefinida 249 y Condiciones iniciales y soluciones particulares 4 (2, 4) Ha visto que la ecuación y f x dx tiene muchas soluciones (cada una difiere de las otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadas C=4 de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 4.2 muestra las gráfi- cas de varias de las antiderivadas de la forma 3 y 3x2 1 dx x3 x C Solución general C=3 2 C=2 para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas es una solución de la ecuación diferencial 1 dy 3x2 1. C=1 dx x En muchas aplicaciones de la integración, se le da suficiente información para de- −2 1 2 terminar una solución particular. Para hacer esto, sólo necesita conocer el valor de y = F(x) para un valor de x. Esta información recibe el nombre de condición inicial. Por C=0 ejemplo, en la figura 4.2, sólo una de las curvas pasa por el punto (2, 4). Para encontrar esta curva, utilice la solución general −1 F x x3 x C Solución general C = −1 y la condición inicial Condición inicial −2 F 2 4. C = −2 −3 C = −3 −4 C = −4 F(x) = x3 − x + C La solución particular que satisface Utilizando la condición inicial en la solución general, puede determinar que la condición inicial F(2) = 4 es F2 8 2 C 4 F(x) = x3 – x – 2. Figura 4.2 lo que implica que C = –2 . Por tanto obtiene F x x3 x 2. Solución particular EJEMPLO 8 Determinar una solución particular y Encuentre la solución general de C=4 Fx 1 x>0 x2, 3 C=3 y determine la solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 0. 2 Solución Para encontrar la solución general, integre para obtener C=2 1 F x F x dx F x x2 dx 1 x (1, 0) x 2 dx Reescriba como una potencia. C=1 12 C=0 −1 C = −1 x1 Integre. C −2 1 C = −2 1 C, x > 0. Solución general x −3 1 C = −3 x F(x) = − + C Utilizando la condición inicial F(1) = 0, resuelva para C de la manera siguiente. La solución particular que satisface F1 1 C 0 C1 la condición inicial F(1) = 0 es 1 F x 1 x 1, x > 0. Por tanto, la solución particular, como se muestra en la figura 4.3, es Figura 4.3 Fx 1 1, x > 0. Solución particular x

250 Capítulo 4 Integración Hasta ahora, en esta sección ha utilizado x como variable de integración. En las aplicaciones, a menudo es conveniente utilizar una variable distinta. Así, en el siguiente ejemplo, la variable de integración es el tiempo t. EJEMPLO 9 Solucionar un problema de movimiento vertical Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies. a. Encuentre la función posición que expresa la altura s en una función del tiempo t. b. ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? Solución a. Considere que t = 0 representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera. s 0 80 La altura inicial es 80 pies. s 0 64 La velocidad inicial es de 64 pies por segundo. s(t) = − 16t2 + 64t + 80 Utilizando –32 pies/s2 como la aceleración de la gravedad, puede escribir s s t 32 150 t = 2 140 130 t=3 s t s t dt 32 dt 32t C1. 120 t = 1 110 Altura (en pies) 100 Empleando la velocidad inicial obtiene s 0 64 32 0 C1, lo cual implica 90 t = 4 que C1 = 64. Después, integrando s′(t), obtiene 80 t = 0 70 s t s t dt 32t 64 dt 16 t2 64 t C2. 60 50 40 Al utilizar la altura inicial, encuentra que 30 20 s 0 80 16 02 64 0 C2 10 t = 5 t lo que implica que C2 = 80. De ese modo, la función posición es 12345 Tiempo (en segundos) s t 16t2 64t 80. Vea la figura 4.4. Altura de una pelota en el tiempo t. b. Utilizando la función posición que encontró en el inciso (a), es posible determinar Figura 4.4 el tiempo en que la pelota golpea el suelo al resolver la ecuación s(t) = 0. 16t2 64t 80 0 16 t 1 t 5 0 t 1, 5 Como t debe ser positivo, puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segundos después de haber sido lanzada. En el ejemplo 9, observe que la función posición tiene la forma st 1 gt2 v0t s0 2 donde g = –32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura inicial, como se presentó en la sección 2.2. El ejemplo 9 muestra cómo utilizar el cálculo para analizar problemas de movi- miento vertical en los que la aceleración es determinada por una fuerza de gravedad. Puede utilizar una estrategia similar para analizar otros problemas de movimiento recti- líneo (vertical u horizontal) en los que la aceleración (o desaceleración) es el resultado de alguna otra fuerza, como verá en los ejercicios 61-68.

4.1 Antiderivadas e integración indefinida 251 4.1 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar. Integrar y derivar En los ejercicios 1 y 2, compruebe la ex- 31. tan2 y 1 dy 32. 4x csc2 x dx presión demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo. Dibujar una gráfica En los ejercicios 33 y 34 se presenta la gráfica de la derivada de una función. Dibuje las gráficas de dos 62 funciones que tengan la derivada señalada. (Hay más de una 1. x4 dx x3 C respuesta correcta.) Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com. 2. 8x3 1 dx 2x 4 1 C 2x 2 2x Resolver una ecuación diferencial En los ejercicios 3 a 6, 33. y 34. y encuentre la solución general de la ecuación diferencial y com- pruebe el resultado mediante derivación. 6 2 fʹ 1 fʹ 3. dy 9t2 4. dy 5 2 −2 −1 x dt dt −2 12 −4 −2 x 5. dy x3 2 6. dy 2x 3 −2 24 dx dx Reescribir antes de integrar En los ejercicios 7 a 10, com- Encontrar una solución particular En los ejercicios 35 a plete la tabla para encontrar la integral indefinida. 42, encuentre la solución particular que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales. Integral original Reescribir Integrar Simplificar 7. 3 x dx 35. f x 6x, f 0 8 36. g x 4x2, g 1 3 8. 1 dx 37. h t 8t3 5, h 1 4 4x2 38. f s 10s 12s3, f 3 2 9. 1 dx 39. f x 2, f 2 5, f 2 10 xx 40. f x x2, f 0 8, f 0 4 41. f x x 3 2, f 4 2, f 0 0 1 10. 3x 2 dx Encontrar una integral indefinida En los ejercicios 11 a 32, 42. f x sen x, f 0 1, f 0 6 encuentre la integral indefinida y compruebe el resultado me- diante derivación. Campos direccionales En los ejercicios 43 y 44 se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo direccional. Un cam- 11. x 7 dx 12. 13 x dx po de pendientes (o campo de direcciones) está compuesto por segmentos de recta con pendientes dadas por la ecuación dife- 13. x5 1 dx 14. 8x3 9x2 4 dx rencial. Estos segmentos de recta proporcionan una perspectiva 16. x 1 dx visual de las pendientes de las soluciones de la ecuación dife- 15. x3 2 2x 1 dx rencial. (a) Dibuje dos soluciones aproximadas de la ecuación 2x diferencial en el campo de pendientes, una de las cuales pasa 17. 3 x2 dx 18. 4 x3 1 dx por el punto indicado. (Para imprimir una copia ampliada de la 1 gráfica, visite MathGraphs.com.) (b) Utilice la integración para 3 determinar la solución particular de la ecuación diferencial y 19. x5 dx 20. x7 dx use una herramienta de graficación para representar la solu- 21. x 6 dx ción. Compare el resultado con los dibujos del inciso (a). x4 3x2 5 x 22. x 4 dx 43. dy x2 1, 1, 3 44. dy 1 23. x 1 3x 2 dx 24. 4t2 3 2 dt dx dx x2, x > 0, 1, 3 y y 25. 5 cos x 4 sen x dx 26. t2 cos t dt 3 4 3 27. 1 csc t cot t dt 28. 2 sec2 d −3 x 2 x −3 3 1 7 29. sec2 sen d 30. sec y tan y sec y dy −1 −2 −3 −4

252 Capítulo 4 Integración 51. Crecimiento de árboles Un vivero de plantas verdes sue- le vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y Campos direccionales En los ejercicios 45 y 46, (a) utilice cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, una herramienta de graficación para representar un campo aproximadamente, dh/dt = 1.5t + 5, donde t es el tiempo en direccional para la ecuación diferencial, (b) utilice la integra- años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero ción y el punto indicado para determinar la solución particular miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t = 0). de ecuación diferencial y (c) trace la gráfica de la solución y el campo direccional. (a) Determine la altura después de t años. (b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden? dy dy 45. 2x, 2, 2 46. 2 x, 4, 12 52. Crecimiento poblacional La tasa de crecimiento dP/dt dx dx de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadra- da de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo DESARROLLO DE CONCEPTOS en días 0 t 10 . Esto es, 47. Antiderivadas e integrales indefinidas ¿Cuál es la dP diferencia, si existe, entre encontrar la antiderivada de f(x) k t. y evaluar la integral f x dx? dt 48. Comparar funciones Considere f(x) = tan2 x y g(x) = sec2 x. ¿Qué nota acerca de las derivadas de f (x) y g(x)? El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un ¿Qué puede concluir acerca de la relación entre f (x) y día la población ha crecido hasta 600. Calcule el tamaño de la g(x)? población después de 7 días. 49. Dibujar una gráfica Las gráficas de f y f ′ pasan a tra- Movimiento vertical En los ejercicios 53 a 55, utilice a(t) = vés del origen. Use la gráfica de f ″ mostrada en la figura –32 pies por segundo por segundo igual a la aceleración debida para bosquejar la gráfica de f y f ′. Para imprimir una copia a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.) ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com 53. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura y de 6 pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo 4 ¿Qué altura alcanzará la pelota? 2 f″ 54. ¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior del −4 −2 2 x monumento a Washington (aproximadamente 550 pies)? −2 4 55. Un globo aerostático, que asciende verticalmente con una ve- −4 locidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que está a 64 pies sobre el suelo. ¿CÓMO LO VE? Use la gráfica de f ′ que se mues- tra en la figura para responder lo siguiente. (a) ¿En cuántos segundos llegará la bolsa al suelo? (b) ¿A qué velocidad hará contacto con el suelo? y Movimiento vertical En los ejercicios 56 a 58, utilice a(t) = 5 –9.8 metros por segundo por segundo igual a la aceleración de- bida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.) 4 f′ 3 56. Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segun- 2 do. Determine su altura máxima. −2 1 2 3 5 x 57. ¿A qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arri- 78 ba (desde una altura de 2 metros) para que alcance una altura máxima de 200 metros? (a) Aproxime la pendiente de f en x = 4. Explique. (b) ¿Es posible que f(2) = −1? Explique. 58. Gran Cañón (c) ¿Es f(5) – f(4)> 0? Explique. (d) Aproxime el valor de x donde f es máxima. Explique. El Gran Cañón tiene una (e) Aproxime cualquier intervalo en el que la gráfica de f profundidad de 1800 metros en su punto más es cóncava hacia arriba y cualquier intervalo abierto en profundo. Se deja caer el cual es cóncava hacia abajo. Aproxime la coordena- una roca desde el borde da x a cualquier punto de inflexión. sobre ese punto. Escriba la altura de la roca como Josemaria Toscano/Shutterstock.com una función del tiempo t en segundos. ¿Cuánto tardará la roca en llegar al suelo del cañón?

4.1 Antiderivadas e integración indefinida 253 59. Gravedad lunar Sobre la Luna, la aceleración de la grave- 67. Aceleración En el instante en que la luz de un semáforo se dad es de –1.6 m/s2. En la Luna se deja caer una piedra desde pone en verde, un automóvil que ha estado esperando en un un peñasco y golpea la superficie de esta misma 20 segundos crucero empieza a moverse con una aceleración constante de después. ¿Desde qué altura cayó? ¿Cuál era su velocidad en el 6 pies/s2. En el mismo instante, un camión que viaja a una ve- momento del impacto? locidad constante de 30 pies por segundo rebasa al automóvil. (a) ¿A qué distancia del punto de inicio el automóvil rebasará 60. Velocidad de escape La velocidad de escape mínima que al camión? se requiere para que un objeto escape de la atracción gravitato- (b) ¿A qué velocidad circulará el automóvil cuando rebase al ria de la Tierra se obtiene a partir de la solución de la ecuación camión? 1 68. Aceleración Suponga que un avión totalmente cargado que v dv GM y2 dy parte desde el reposo tiene una aceleración constante mientras se mueve por una pista. El avión requiere 0.7 millas de pista y donde v es la velocidad del objeto lanzado desde la Tierra, una velocidad de 160 millas por hora para despegar. ¿Cuál es y es la distancia desde el centro terrestre, G es la constante de la aceleración del avión? la gravitación y M es la masa de la Tierra. Demuestre que v y y están relacionadas por la ecuación ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 a 74, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por qué o v2 v02 2GM 1 1 proporcione un ejemplo que demuestre que es falso. y R 69. La antiderivada de f (x) es única. donde v0 es la velocidad inicial del objeto y R es el radio terres- 70. Toda derivada de una función polinomial de grado n es una tre. función polinomial de grado (n + 1). Movimiento rectilíneo En los ejercicios 61 a 64, considere 71. Si p(x) es una función polinomial, entonces p tiene exactamen- una partícula que se mueve a lo largo del eje x, donde x(t) es la posición de la partícula en el tiempo t, x′(x) su velocidad y x″(t) te una antiderivada o primitiva cuya gráfica contiene al origen. su aceleración. 72. Si F(x) y G(x) son antiderivadas de f (x), entonces 61. x t t3 6t2 9t 2, 0 t 5 F(x) = G(x) + C). (a) Determine la velocidad y la aceleración de la partícula. 73. F x G x C, entonces g x dx f x C. (b) Encuentre los intervalos abiertos de t en los cuales la par- 74. f x g x dx f x dx g x dx tícula se mueve hacia la derecha. (c) Encuentre la velocidad de la partícula cuando la acelera- 75. Tangente horizontal Encuentre una función f tal que la gráfica de ésta tenga una tangente horizontal en (0, 2) y f ″(x) ción es 0. = 2x. 62. Repita el ejercicio 61 para la función posición. 76. Determinar una función Se muestra la gráfica de f ′. Di- buje la gráfica de f dado que f es continua y f(0) = 1. x t t 1 t 3 2, 0 t 5. y 63. Una partícula se mueve a lo largo del eje x a una velocidad de v(t) = 1 t , t > 0. En el tiempo t = 1, su posición es x = 4. 2 f′ Encuentre las funciones posición y la aceleración de la partícula. 1 64. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve a lo largo del eje x de manera que su aceleración en el tiempo t > 0 está dada x por a(t) = cos t. En el tiempo t = 0, su posición es x = 3. 1234 (a) Determine las funciones velocidad y la posición de la par- −1 tícula. (b) Encuentre los valores de t para los cuales la partícula está −2 en reposo. 77. Demostración Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen 65. Aceleración El fabricante de un automóvil indica en su pu- s′(x) = c(x) y c′(x) = –s(x) para todo x. Si s(0) = 0 y c(0) = 1, blicidad que el vehículo tarda 13 segundos en acelerar desde demuestre que s x 2 c x 2 1. 25 kilómetros por hora hasta 80 kilómetros por hora. Supo- niendo aceleración constante. DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM (a) Determine la aceleración en m/s2. 78. Suponga que f y g son funciones no constantes, derivables (b) Halle la distancia que recorre el automóvil durante los 13 y de valores reales definida en (–∞, ∞). Además, suponga que para cada par de números reales x y y, segundos. f x y f xf y gxg y y 66. Desaceleración Un automóvil que viaja a 45 millas por gx y f xg y gx f y. hora recorre 132 pies, a desaceleración constante, luego de que se aplican los frenos para detenerlo. Si f 0 0, demuestre que f x 2 g x 2 1 para todo x. (a) ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando su velocidad se reduce a 30 millas por hora? Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Price Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. (b) ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando su velocidad se reduce a 15 millas por hora? (c) Dibuje la recta de números reales desde 0 hasta 132 y tra- ce la gráfica de los puntos que se encontraron en los inci- sos (a) y (b). ¿Qué puede concluir?

254 Capítulo 4 Integración 4.2 Área Emplear la notación sigma para escribir y calcular una suma. Entender el concepto de área. Aproximar el área de una región plana. Determinar el área de una región plana usando límites. Notación sigma En la sección anterior estudió antiderivación. En esta sección se considerará además un problema que se presentó en la sección 1.1: el de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista, estas dos ideas parecen no relacionarse, aunque en la sección 4.4 descubrirá que se relacionan de manera estrecha por medio de un teorema muy impor- tante conocido como el teorema fundamental del cálculo. Esta sección inicia introduciendo una notación concisa para sumas. Esta notación recibe el nombre de notación sigma, ya que utiliza la letra griega mayúscula sigma, ∑. Notación sigma La suma de n términos a1, a2, a3, …, an se escribe como n ai a1 a2 a 3 . . . an i1 donde i es el índice de suma, a1 es el i-ésimo término de la suma y los límites su- perior e inferior de la suma son n y 1. COMENTARIO Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cual- quier entero menor o igual al límite superior es legítimo. EJEMPLO 1 Ejemplos con la notación sigma 6 a. i 1 2 3 4 5 6 i1 5 b. i 1 1 2 3 4 5 6 i0 7 c. j 2 32 4 2 5 2 6 2 72 j3 d. 5 1 1 1 1 1 1 j1 j 1 2 3 4 5 e. n1 k2 1 1 12 1 1 22 1 ... 1 n2 1 k 1n n n n n x f. f xi x f x1 x f x2 x . . . f xn i1 PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para una interpretación geométrica En los incisos (a) y (b), observe que la misma suma puede representarse de maneras diferentes utilizando la notación sigma. de las fórmulas de suma, consulte el nn artículo “Looking at k and k2 k1 k1 Aunque puede utilizarse cualquier variable como índice de suma, suele preferirse i, j y k. Observe en el ejemplo 1 que el índice de suma no aparece en los términos de la Geometrically”, de Eric Hegblom, en suma desarrollada. Mathematics Teacher. Para ver este artículo, visite MathArticles.com.

4.2 Área 255 LA SUMA DE LOS PRIMEROS Las siguientes propiedades de la sumatoria empleando la notación sigma se dedu- CIEN ENTEROS cen de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma y de la propiedad distributi- va de la adición en la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.) El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pidió a sus alumnos que n n n nn sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regresó 1. kai k ai 2. ai ±bi ai ± bi con la respuesta correcta muy poco tiempo después, el maestro no pudo i1 i1 i1 i1 i1 evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss: El siguiente teorema lista algunas fórmulas útiles para la suma de potencias. 1 2 3 . . . 100 TEOREMA 4.2 Fórmulas de sumatoria 100 99 98 . . . 1 n cn, c es una constante n nn 1 2 101 101 101 . . . 101 1. c n n 1 2n 1 2. i 6 n2 n 1 2 100 101 5050 i1 i1 4 2 n n 3. i 2 4. i 3 i1 i1 Esto se generaliza por medio del Una demostración de este teorema se da en el Apéndice A. teorema 4.2, propiedad 2, donde Consulte LarsonCalculus.com para ver el video de Bruce Edwards de esta demostración. 100 100 101 5050. 2 i i1 EJEMPLO 2 Evaluar una suma Encuentre n i 1 para n = 10, 100, 1000 y 10,000 Solución i 1 n2 ni 1 1 n i 1 Factorice la constante 1/n2 fuera de la suma. i 1 n2 1 Escriba como dos sumas. n 2 Aplique el teorema 4.2. i 1 n n n2 i 1 i1 i1 1 nn 1 n n2 2 1 n2 3n Simplifique. n2 2 n3 Simplifique. 2n Después de esto puede encontrar la suma sustituyendo los valores apropiados de n, como se muestra en la tabla. n n3 10 100 1000 10,000 2n 0.65000 0.51500 0.50150 0.50015 ni 1 i 1 n2 En la tabla, las sumas parecen tender a un límite conforme n aumenta. Aunque la discusión de límites es el infinito, en la sección 3.5 se aplica una variable de x, donde x puede ser cualquier número real, muchos de los resultados siguen siendo válidos cuando una variable n se restringe a valores enteros positivos. Así, para encontrar el límite de (n + 3)/2n cuando n tiende a infinito, se puede escribir n3 n3 13 1 21. lím lím lím 2 0 n→ 2n n→ 2n 2n n→ 2 2n

256 Capítulo 4 Integración Área En la geometría euclideana, el tipo más simple de región plana es un rectángulo. Aunque la gente a menudo afirma que la fórmula para el área de un rectángulo es A = bh resulta más apropiado decir que ésta es la definición del área h 21bh de un rectángulo. b A partir de esta definición, puede deducir fórmulas para Triángulo: A áreas de muchas otras regiones planas. Por ejemplo, para Figura 4.5 determinar el área de un triángulo, puede formar un rectángulo cuya área es dos veces la del triángulo, como se indica en la figura 4.5. Una vez que sabe cómo encontrar el área de un triángulo, puede determinar el área de cualquier polígono subdividiéndolo en regiones triangulares, como se ilustra en la figura 4.6. Paralelogramo Hexágono Polígono Figura 4.6 ARQUÍMIDES (287-212 a.C.) Hallar las áreas de regiones diferentes de los polígonos es más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de determinar fórmulas para las áreas de algunas regiones gene- Arquímedes utilizó el método de rales (principalmente aquellas delimitadas por las cónicas) mediante el método de ago- agotamiento para deducir fórmulas tamiento. La descripción más clara de este método la hizo Arquímedes. En esencia, el para las áreas de elipses, segmentos método es un proceso de límite en el que el área se encierra entre dos polígonos (uno parabólicos, y sectores de una inscrito en la región y uno circunscrito alrededor de la región). espiral. Se le considera como el más grande matemático aplicado de la Por ejemplo, en la figura 4.7, el área de una región circular se aproxima mediante antigüedad. un polígono inscrito de n lados y un polígono circunscrito de n lados. Para cada valor de n Consulte LarsonCalculus.com el área del polígono circunscrito es menor que el área del círculo, y el área del polígono para leer más de esta biografía. circunscrito es mayor que el área del círculo. Además, a medida que n aumenta, las áreas de ambos polígonos van siendo cada vez mejores aproximaciones del área del círculo. PARA INFORMACIÓN ADICIONAL n=6 n = 12 Para un desarrollo alternativo de la fórmula para el área de un círculo, con- Método de agotamiento para determinar el área de una región circular. sulte el artículo “Proof whitout Words: Figura 4.7 Area of a Disk is pR2”, de Russell Jay Hendel, en Mathematics Magazine. Un proceso similar al que usó Arquímides para determinar el área de una región Para leer este artículo, visite plana se usa en los ejemplos restantes en esta sección. MathArticles.com Mary Evans Picture Library

4.2 Área 257 El área de una región plana Recuerde de la sección 1.1 que los orígenes del cálculo están relacionados con dos pro- blemas clásicos: el problema de la recta tangente y el problema del área. En el ejemplo 3 se inicia la investigación del problema del área. EJEMPLO 3 Aproximar el área de una región plana y Use los cinco rectángulos de la figura 4.8(a) y (b) para determinar dos aproximaciones 5 f(x) = − x2 + 5 del área de la región que se encuentra entre la gráfica de 4 f(x) = −x2 + 5 3 y el eje x entre x = 0 y x = 2. 2 Solución 1 a. Los puntos terminales de la derecha de los cinco intervalos son x 2 i Extremos derechos 2 4 6 8 10 5 55555 donde i = 1, 2, 3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es 25, y la altura de cada rectán- (a) El área de una región parabólica es gulo se puede obtener al hallar f en el punto terminal derecho de cada intervalo. mayor que el área de los rectángulos. 2 2 4 4 6 6 8 8 10 y 0, , , , , , , , , 5 5 55 55 55 5 5 f(x) = − x2 + 5 Evalúe f en los extremos de la derecha de estos intervalos. 4 La suma de las áreas de los cinco rectángulos es 3 Altura Ancho 2 5 2i 2 5 2i 2 2 162 1 f 5 6.48. i1 5 5 i1 5 5 25 x 2 4 6 8 10 Como cada uno de los cinco rectángulos se encuentra dentro de la región parabóli- 55555 ca, puede concluir que el área de la región parabólica es mayor que 6.48. (b) El área de la región parabólica es menor b. Los extremos izquierdos de los cinco intervalos son que el área de los rectángulos. 2 i 1 Extremos izquierdos Figura 4.8 5 donde i = 1, 2, 3, 4, 5. El ancho de cada rectángulo es 52, y la altura de cada uno puede obtenerse evaluando f en el extremo izquierdo de cada intervalo. Por tanto, la suma es Altura Ancho 5 2i 22 5 2i 2 2 5 2 202 8.08. i1 5 5 25 f i1 5 5 Debido a que la región parabólica se encuentra contenida en la unión de las cinco regiones rectangulares, es posible concluir que el área de la región parabólica es menor que 8.08. Combinando los resultados de los incisos (a) y (b), puede concluir que 6.48 < (Área de la región) < 8.08. Al incrementar el número de rectángulos utilizados en el ejemplo 3, puede obtener aproximaciones más y más cercanas al área de la región. Por ejemplo, al utilizar 25 rectángulos, cada uno de ancho 225, puede concluir que 7.1712 < (Área de la región) < 7.4912.

258 Capítulo 4 Integración y Sumas superior e inferior a f El procedimiento utilizado en el ejemplo 3 puede generalizarse de la manera siguiente. Región bajo una curva. Considere una región plana limitada en su parte superior por la gráfica de una función Figura 4.9 continua no negativa y = f(x) como se muestra en la figura 4.9. La región está limitada en su parte inferior por el eje x y las fronteras izquierda y derecha por las rectas verticales x = a y x = b. Para aproximar el área de la región, comience subdividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud x b ba x n como se muestra en la figura 4.10. Los extremos de los intervalos son los siguientes. a x0 x1 x2 xn b a 0 x <a 1 x <a 2 x <. . .<a n x. y Como f es continua, el teorema del valor extremo garantiza la existencia de un valor mínimo y uno máximo de f(x) en cada subintervalo. f f(mi) = valor mínimo de f(x) en el i-ésimo subintervalo f (mi) f (Mi) f(Mi) = valor máximo de f(x) en el i-ésimo subintervalo A continuación, defina un rectángulo inscrito que se encuentre dentro de la i-ésima subregión y un rectángulo circunscrito que se extienda fuera de la i-ésima subregión. La altura del i-ésimo rectángulo inscrito es f(mi) y la altura del i-ésimo rectángulo cir- cunscrito es f(Mi). Para cada i, el área del rectángulo inscrito es menor que o igual que el área del rectángulo circunscrito. x Área del rectán- f mi x f Mi x Área del rectángulo gulo inscrito circunscrito a Δx b El intervalo a, b se divide en La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre de suma inferior, y n subintervalos de ancho x b n a. la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos se conoce como suma superior. Figura 4.10 Suma inferior s n n x Área de rectángulos inscritos. f mi i1 Suma superior S n n x Área de rectángulos circunscritos. f Mi i1 En la figura 4.11 se puede observar que la suma inferior s(n) es menor o igual que la suma superior S(n). Además, el área real de la región se encuentra entre estas dos sumas. s(n) ≤ (Área de la región) ≤ S(n) y y = f(x) y y y = f (x) s(n) y = f (x) S(n) x a x x Área de la región ab b ab El área de los rectángulos El área de los rectángulos inscritos es menor que el circunscritos es mayor que área de la región el área de la región. Figura 4.11

4.2 Área 259 y EJEMPLO 4 Hallar las sumas superior e inferior de una región 4 Determine la suma superior e inferior de la región delimitada por la gráfica de f(x) = x2 f (x) = x2 y el eje x entre x = 0 y x = 2. 3 Solución Para empezar, divida el intervalo [0, 2] en n subintervalos, cada uno de 2 ancho ba202 x n n. 1 n −1 1 2 La figura 4.12 muestra los puntos terminales de los subintervalos y varios de los rec- x tángulos inscritos y circunscritos. Como f es creciente en el intervalo [0, 2], el valor Rectángulos inscritos. 3 mínimo en cada subintervalo ocurre en el extremo izquierdo, y el valor máximo ocurre en el extremo derecho. y Extremos izquierdos Extremos derechos 4 mi 0 i 1 2 2i 1 2 2i f (x) = x2 n n Mi 0 i n n 3 Utilizando los puntos terminales izquierdos, la suma inferior es 2 n 1 s n f mi x i1 n 2i 1 2 f i1 n n n 2i 1 2 2 x i1 n n 3 −1 1 2 n8 i 1 n3 i2 2i 1 Rectángulos circunscritos. Figura 4.12 8 n n n n3 i2 2i 1 i1 i1 i1 8 n n 1 2n 12 nn 1 n 2 n3 6 4 2n3 3n2 n 3n3 84 4 Suma inferior 3 n 3n2. Empleando los puntos terminales derechos, la suma superior es n S n f Mi x i1 n 2i 2 f i1 n n n 2i 2 2 i1n n n 8 i2 i1 n3 8 n n 1 2n 1 n3 6 4 2n3 3n2 n 3n3 8 4 4 2. Suma superior 3 n 3n

260 Capítulo 4 Integración Exploración El ejemplo 4 ilustra algunos aspectos importantes acerca de las sumas inferior y superior. Primero, observe que para cualquier valor de n, la suma inferior es menor (o Para la región dada en el igual) que la suma superior. ejemplo 4, calcule la suma inferior sn 8 4 4 < 8 4 4 Sn 3 n 3n2 3 n 3n2 sn 84 4 Segundo, la diferencia entre estas dos sumas disminuye cuando n aumenta. De hecho, 3 n 3n2 si toma los límites cuando n → ∞, tanto la suma superior como la suma inferior se y la suma superior aproximan a 83. 84 4 8 84 3 4 lím s n lím n 3n2 Límite de la suma inferior Sn 3n2 n→ 3 3n n→ y para n = 10, 100 y 1000. lím S n lím 8 4 4 8 Límite de la suma superior Utilice los resultados para 3 n 3n2 3 determinar el área de la región. n→ n→ El siguiente teorema muestra que la equivalencia de los límites (cuando n → f) de las sumas superior e inferior no es una mera coincidencia. Este teorema es válido para toda la función continua no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. La demostración de este teorema es más adecuada para un curso de cálculo avanzado. TEOREMA 4.3 Límites de las sumas superior e inferior Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. Los límites cuando n → f de las sumas inferior y superior existen y son iguales entre sí. Esto es n lím s n lím f mi x x n→ n→ i 1 n lím f Mi n→ i 1 lím S n n→ donde ∆x = (b – a)͞n y f (mi) y f (Mi) son los valores mínimo y máximo de f en el subintervalo. En el teorema 4.3 se obtiene el mismo límite tanto con el valor mínimo f (mi) como con el valor máximo f (Mi). Por tanto, a partir del teorema de compresión o del empare- dado (teorema 1.8), se deduce que la elección de x en el i-ésimo intervalo no afecta al límite. Esto significa que está en libertad de elegir cualquier valor de x arbitrario en el i-ésimo subintervalo, como en la siguiente definición del área de una región en el plano. Definición del área de una región en el plano Sea f continua y no negativa en el intervalo y [a, b]. (Vea la figura 4.13) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas f verticales x = a y x = b es n Área lím f ci x f (ci) n→ i 1 donde xi 1 ci xi y a ci b x x b n a. xi −1 xi El ancho del i-ésimo subintervalo es x xi xi 1. Figura 4.13