CALCULO_TOMO_I[1]

512 Capítulo 8 Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias 8.1 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar. Elegir una antiderivada En los ejercicios 1 a 4, seleccione la x2 24. x 3x 4 dx antiderivada correcta. 23. dx dy x x1 26. 1 1 5 dx 1. x2 1 ex 2x 5 2x dx 25. 1 ex dx (a) 2 x2 1 C (b) x2 1 C 27. 5 4x2 2 dx 2 2 C (d) ln x2 1 C (c) 1 x2 1 28. x3 x dx 2 dy x 29. x cos 2 x2 dx 30. csc x cot x dx 2. dx x2 1 (a) ln x2 1 C 2x C 31. sen x dx 32. csc2 xecot x dx (c) arctan x C (b) x2 1 2 C cos x (d) ln x2 1 2 2 34. 7ex 4 dx dy 1 33. e x 1 dx 3. dx x2 1 ln x2 (a) ln x2 1 C 2x C 35. dx 36. tan x ln cos x dx (c) arctan x C (b) x2 1 2 C x (d) ln x2 1 37. 1 cos d 38. 1 1d sen cos 4. dy x cos x2 1 dx 39. 1 40. 25 1 4x2 dx dt e1 t 1 4t 1 2 (a) 2x sen x2 1 C (b) 1 sen x2 1 C 42. t 2 dt 2 (c) 1 sen x2 1 C (d) 2x sen x2 1 C 41. tan 2 t dt 2 t2 Elegir una fórmula En los ejercicios 5 a 14, seleccione la 43. 6 dx 1 fórmula de integración básica que puede utilizar para encon- 10x x2 44. dx trar la integral, e identifique u y a, cuando sea apropiado. x 1 4x2 8x 3 2t 1 4 dt 45. 4x2 4 65 dx 46. x2 1 9 dx t2 4x 4x 5. 5x 3 4 dx 6. t 7. 1 dx x1 2 x 8. 2t 2 4 dt Campo direccional En los ejercicios 47 y 48, se dan una 3 12 ecuación diferencial, un punto y un campo direccional. (a) Tra- ce dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el 9. dt 2x campo direccional, una de las cuales pasa a través del punto 1 t2 10. dx dado. (b) Utilice la integración para encontrar la solución par- ticular de la ecuación diferencial y use una utilidad gráfica para x2 4 representar gráficamente la solución. Compare el resultado con los dibujos del inciso (a). Para imprimir una copia ampliada de 11. t sen t 2 dt 12. sec 5x tan 5x dx la gráfica, visite MathGraphs.com. 13. cos x esen x dx 1 14. dx ds t dy 1 x x2 4 47. 1 48. 4x x2 1 Encontrar una integral indefinida En los ejercicios 15 a 46, dt 2 t4 dx calcule la integral indefinida. 0, s 2, 1 2 15. 14 x 5 6 dx 16. t 5 6 3 dt y 18. t 3 t 4 1 dt 7 1 2 17. z 10 7 dz 2 20. 4x 2x 3 2 dx 1 1 19. v 3v 1 3 dv x1 t x 22. dx −1 1 4 t2 3 21. t3 9t 1 dt 3x2 6x −1 −1 −2

8.1 Reglas básicas de integración 513 Campo direccional En los ejercicios 49 y 50, utilice un sis- Encontrar una integral usando tecnología En los ejerci- tema de álgebra computacional para graficar el campo direc- cios 69 a 72, utilice un sistema de álgebra computacional para cional de la ecuación diferencial y representar gráficamente la encontrar la integral. Utilice el sistema de álgebra computacio- solución a través de la condición inicial especificada. nal para graficar dos antiderivadas. Describa la relación entre las gráficas de las dos antiderivadas. 49. dy 0.8y, y 0 4 1 x2 dx 69. x2 4x 13 dx 70. x2 4x 13 dx 50. dy 5 y, y 0 1 1 ex e x 3 dx sen 72. dx 71. d 1 2 Ecuaciones diferenciales En los ejercicios 51 a 56, resuelva la ecuación diferencial. 51. dy ex 5 2 52. dy 4 e2x 2 DESARROLLO DE CONCEPTOS dx dx Elegir una fórmula En los ejercicios 73 a 76, indique la 10et 1 et 2 fórmula de integración que se utiliza para realizar la integra- 53. dr 1 e2t 54. dr e3t ción. Explique por qué eligió esa fórmula. No integre. dt dt 73. x x2 1 3 dx 55. 4 tan2 x y sec2 x 56. y 1 x 4x2 9 Evaluar una integral definida En los ejercicios 57 a 64, eva- 74. x sec x2 1 tan x2 1 dx lúe la integral definida. Utilice las capacidades de integración de una herramienta de graficación para verificar su resultado. x 1 75. x2 1 dx 76. x2 1 dx 4 58. sen2 t cos t dt 57. cos 2x dx 0 0 1 e 1 ln x 77. Encontrar constantes Determine las constantes a y b de 60. dx forma que 59. xe x2 dx 1x 0 8 2x 3 2x2 3x 2 sen x cos x a sen x b . 61. dx 62. dx Utilice este resultado para integrar 0 x2 36 1x 63. 23 1 71 sen x dx cos x. 4 9x2 dx 64. dx 0 0 100 x2 Área En los ejercicios 65 a 68, calcule el área de la región. 78. Derivada de una regla Demuestre que sec x sen x cos x . 65. y 4x 6 3 2 3x 2 cos x 1 sen x 66. y x2 9 y Luego utilice esta identidad para derivar la regla de inte- y gración básica 15 0.8 sec x dx ln sec x tan x C. 0.6 79. Área Las gráficas de f(x) = x y g(x) = ax2 intersectan en los 10 0.4 puntos (0, 0) y (1͞a, 1͞a). Encuentre a (a > 0) tal que el área de la región acotada por las gráficas de estas dos funciones es 23. 5 (1.5, 0) 0.2 −1 x 80. Piénselo Cuando evalúa x 12 12345 67. y2 x2 1 x2 68. y sen 2x 1 y y x2 dx 1 es apropiado sustituir 2 1.0 u x2, x u y dx du 1 2u −2 x 0.5 para obtener −1 2 11 −2 x u du 0? 21 π Explique. 4