Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore E-HANDOUT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII SEMESTER 5

E-HANDOUT MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XII SEMESTER 5

Published by Iin Setyawati, 2021-12-01 07:18:45

Description: MAT MINAT XII MIPA SMT 5

Search

Read the Text Version

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

◼Limit Fungsi Trigonometri dengan Rumus Dasar ◼Limit Fungsi Trigonometri dengan Penfaktoran

A. Definisi b) Mengalikan dengan Limit fungsi trigonometri bilangan sekawan. adalah limit yang mengandung c) Rumus identitas sinus, cosinus dan tangens. trigonometri B. Bentuk Limit , yaitu : Penting : ✓ Persoalan limit adalah mengubah 1) Bentuk tentu, yaitu : ������ , ������ , ������ ������ ������ ������ bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu ������ ✓ Jika identitas trigonometrinya cos harus diubah ke dalam 2) Bentuk tak tentu, yaitu : ������ bentuk sinus C. Langkah- langkah D. Rumus Dasar, yaitu : menyelesaikan limit, yaitu : 1. lim sin x = 1 2. lim tan x = 1 1) Bentuk tentu (selesai) x→0 x x→0 x 2) Bentuk tak tentu maka : a) Rumus Dasar dan Faktorisasi. Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

E. Rumus Limit Trigonometri 5. lim 1− cos ax = 1 a2 lainnya , yaitu : 2 x→0 px2 p 1. lim sin ax = a 6. lim 1 − cos px = 1 p2 2 x→0 bx b x→0 qx sin rx qr 2. lim tan cx = c E. Rumus Identitas x→0 dx d Trigonometri , yaitu : 3. lim sin 2 ax = a 2 a) 1 – cos A =2 sin 2 ( 1 A ) x→0 (bx) 2 b2 2 4. lim sin cx = c x→0 tan dx d 1 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati b) cosec x = sin x c) sec x = 1 cos x

Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati 2) ������ ������ LIMIT TENTU Diselesaikan dengan substitusi langsung CONTOH SOAL : ������ ∙ ������ = ������ ������ ������ ������ 1). lim (sin  − 3 x ) = lim (sin 0 − 3 (0 )) = 0 3) x→ 0 x→ 0 2 ). lim sin x = ���������������→��������������������� ������������������������������������ = 1 = 2 3 − 2 = 1 ������ 4 4 4 x→  x ������ ������ 4) 2 2 lim ������������������������������ 2������ = ������→2������ ∞3 ). = 4 3 lim cos ecx sin 4 x + tan 3 x 1 7 +5) 1 = ������ x→ 2 lim = ... 1 = LIMIT TRIGONOMETRI TAK x→ 0 x TENTU ������ DENGAN RUMUS DASAR sin 12 x 12 1 ������ ∙65)). lim =2 ������2+2������−3 x→0 2 x(x 2 + 2 x − 3) 1) ������ ������ =6∙ 1 = 6 = −������ 0 2+2 0 −3 −3

7) Lim sin 3 x − sin 3 x cos 2 x = 4∙(5) −10 = 10 =1 5+5 10 = x→ 0 3 2x sin ������������ ������−������������������ ������������ ������ ∙ ������������������������������ ������ 2) lim ( x 2 − 1) sin 2 ( x − 1) = .... = ������������ ∙������∙������ = ������ ∙ ������ ∙ ������ x → 1 − 2 sin 2 ( x − 1) = ������ sin ������ ∙ sin ������ = 3∙ ������ ∙ ������ = ������ ������+1 ������ −1 sin 2 ������ −1 ������ ∙ ������ ∙ ������ −2 ������������������ ������ −1 ������������������ ������ −1 = LIMIT TRIGONOMETRI TAK ������ +1 ∙ 2 1 +1 ∙ 2 = −������ ������ −2 −2 TENTU ������ DENGAN PENFAKTORAN = = 1) lim (4 x − 10 ) sin (x − 5 ) = x 2 − 25 ������������ − ������������ = ������ + ������ ������ − ������ x→5 4������ −10 sin ������ −5 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati = ������ + 5 ������ −5

◼Limit Fungsi Trigonometri dengan Perkalian Sekawan

lim sin 2������ = lim sin 2������ 3 + 2������ + 9 ������→0 3 − 2������ + 9 −2������ ������→0 = lim sin 2������ ∙ 3+ 2������+9 = lim(−1) 3 + 2������ + 9 3− 2������+9 3+ 2������+9 ������→0 ������→0 (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ = lim(−1) 3 + 2 0 + 9 = lim sin 2������ 3 + 2������ + 9 ������→0 3 2− 2������ + 9 ������→0 2 = lim(−1) 3 + 9 ������→0 = lim sin 2������ 3+ 2������ + 9 = lim(−1) 3 + 3 9 − 2������ −9 ������→0 ������→0 = −������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

lim sin ������ = lim sin ������ 1−������+1 1−������−1 . − ������ . ������→0 ������→0 = lim sin ������ ∙ 1−������+1 = lim(−1) 1 − ������ + 1 1−������−1 1−������+1 . ������→0 ������→0 (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ = lim sin ������ 1−������+1 = lim(−1) 1 − 0 + 1 2 − 1 2. ������→0 1−������ ������→0 = lim sin ������ 1−������+1 . = lim(−1) 1 + 1 1− ������ −1 ������→0 ������→0 = −������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - I1i0n Setyawati

◼Limit Fungsi Trigonometri dengan Rumus Identitas Trigonometri

1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ = 1 5 . ������ = ������ 2 2 3 ������ ������ 1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ 2 1) 3) Lim 1 − cos ( x + 2 ) = .. . x → −2 x2 + 4x + 4 = ������ ������������������������ ������ = ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = ������ ������������������������ ������+������ ������������ ������������������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������+������ ������ 1 . ������ ������ ������+������ ������ ������ = = = ������ ������������������ ������ ������+������ ������������������ ������ ������+������ ������ ������ 5 x tan 3 x = .1..–. cos A = 2 ������������������2 1 ������ ������+������ ������+������ 2 2) lim x → 0 1 − cos 6 x ������ ������ ������ ������ ������ ������ = ������������ ������������������ ������������ = ������������ ������������������ ������������ = 2 . . = ������ ������������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

423)). lim 4 x cos 6 x − 4 x 5)= (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ = .... x → 0 ( 2 x ) 2 sin 5 x ������+ ������������������ ������ ������− ������������������ ������ ������+ ������������������ ������ ������ ������ − ������������������ ������ ������ ������������ ∙ = ������ ∙ ������ ∙ ������ + ������������������ ������ ������������ (������������������ ������������ − ������) = ������������ .������������ .������������������ ������������ 1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ 2 ������ − ������������������ ������ = 1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ = ������ ∙ ������ ∙ ������ + ������������������ ������ 2 −������������ (������ − ������������������ ������������) ������������ .������������ .������������������ ������������ ������ ������������������������ ������ ������ = ������ ∙ ������ −������������ ( ������ ������������������������ ������������ ) ������ ∙ ������ + ������������������ ������ ������������ .������������ .������������������ ������������ = ������ ������������������ ������ ������ ∙ ������������������ ������ ������ ������ ∙ ������ ������ ������ = −������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ∙ ������ + ������������������ ������ = ������������ .������������ .������������������ ������������ Cos 0 = 1 ������ ������ ������������ = ������ . ������ . ������ ∙ ������ + ������ = ������ . ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������������ ������ ������ ������ ������ −4 . . = − = Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

◼Limit Fungsi Trigonometri dengan Rumus Jumlah dan Selisih dari Cosinus atau Sinus

= ������ ������������������������ ������������������ cos a – cos b = – 2 sin ������ (a + b) sin ������ (a – b) − ������ ������������������ ������ ������������+������ ������������������ ������ ������������ −������ ������ ������ ������ ������ 1) = ������ ������������������ ������������������ ∙ ������������������ ������������������ = – 1 . ������ ∙ ������ = − ������ − ������ ������������������ ������������ ������������������ ������ ������ ������ ������ = − ������ ������������������ ������ ������+������������ ������������������ ������ ������ −������������ Kalikan dengan ������ ������ sekawannya (– α) = ������ ∙������ Sin – sin α 3) = − ������ ������������������ ������������ ������������������ −������������ = ������ ������������������ ������������ ������������������ ������ ������ ������ ������ ������������������ ������ + ������������������ ������ ������ ∙������ ������ ∙ ������ ∙ ������������������ ������ + ������������������ ������ = 2 . ������ ∙ ������ = ������ = (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ ������ ������ ������ 1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ ������������������ ������������ ������������������ ������ + ������������������ ������ 2 = ������������������������ ������ − ������������������������ ������ ������������������������ ������ − ������������������������ ������ = ������������������ ������������ 2) ������������������ ������������ ������������������ ������ + ������������������ ������ = ������������������ ������������ ������ ������ cos a – cos b = – 2 sin ������ (a + b) sin ������ (a – b) = ������ ������ ������ ������ = ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati = cos 450 + sin 450 +

−x ������ Karena ada ������������������ ������ = ������������������ ������ ���.���.. ������������������ ������ 47 )). tan x ∙= trigonometri lim x → 0 sin x dan aljabar 6) tan x − sin x 26 ). lim = .... +x maka solusinya x3 ������ x→ 0 dikalikan ������ sin ������ tan ������ − ������ 1 −1 0 cos ������ − sin ������ ������ 1+1 2 = lim ������ ������ ������ = = = ������ = lim ������ ∙ ������ ∙ ������ sin + ������ ������→0 ������ →0 ������ sin ������ sin ������ ∙ cos ������ sin a + sin b = 2 sin ������ (a + b) cos ������ (a – b) = lim cos ������ − cos ������ ������ ������ ������ →0 5) Nilai ������������������ ������������������ ������������ + ������������������ ������������ =. . . . ������ ∙ ������ ∙ ������ 1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ ������������ ������������������ ������������ sin ������ 1 − cos ������ 2 ������→������ = ������ ������������������ ������ ������������+������������ ������������������ ������ ������������ −������������ = lim cos ������ ������ ������ ������ ∙ ������ ∙ ������ ������ →0 ������������ ∙������������������ ������������ 1 = ������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = ������ ∙ ������ ∙ ������������������ ������������ = lim sin ������ 2������������������2 2 ������ ������������ ∙������������������ ������������ ������ ������������������ ������������ ������ →0 ������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ cos ������ =Cos���0��� = 1 = 5 ∙ cos 0 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati 2 cos 0 ������

2 sin ������ ∙ sin 1 ������ ∙ sin 1 ������ Substitusi persamaan (1) ke (2) 2 2 = lim ������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ cos ������ ������������ − ������ ������ ������ ���������������→��������������������� ������ ������ −������������ ������ ���������������→��������������������� ������ ������ ������������������ ������ = ������ ������ →0 = Cos 0 = 1 ������������������ ������ = ������������������ ������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ ������ ∙ ������ = 1 Misalkan y = ������ − ������ maka : x = y + ������ ������ ������ ������ ������������������ ������ 2 2 2 ������ →������ =1∙ 2 = ������ ������ ���l���i→m���2��� ������ y + ������ −���2��� = 1 2 2 ������ y 2 2 cos ������ + 2 7) ���������������→��������������������� ������������+������ = ������������. Tentukan a dan b ���l���i→m���2��� cos ������ .������ ������ = 1 ������������������ ������ 2 2 y+ Cos (90 + α) = – sin α ������������ + ������ = 0 ������ ������ + ������ = 0 ���l���i→m���2��� ������ .������ ������ = 1 − ������ = 1 ������ = − ������ 2 − sin 2 2 ������ ������ ������ = −������ ������ ……………………. (1) ������ = −������ ������ =− − ������ ������ ������ ������ ������ ���������������→��������������������� ������������+������ = ������ … … … … … … (2) ������ = ������ ������������������ ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati



◼ Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar Bentuk 1, yaitu : ∞ ∞

Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati n=2 Rumus 2) 2x2 + 3x −1 n>m = maka Lim ax n + bx n −1 + ... + c Limit R=∞ =R x+2 x→ ~ x→  px m + qx m −1 + ... + r m=1 1) R = 0 jika n < m n=3 2) R = ������ jika n = m 3) Limit x3 − 3x2 + 4x +1 n < m ������ x 4 − x 2 + 3 x + 5 = 0maka x→  3) R = ∞ jika n > m R=0 m=4 CONTOH SOAL (8 x − 2)2 8������ 2 n=2 (4 x + 1) 2 ������→∞ 4������ 2 a=4 = lim24)). Lim n=m 4x2 + 3x − 6 x→ ~ 1) Lim maka 2x2 − 8x −1 a = 64 ������������������������ n=2 ������ x→ ~ lim ������������������������ m=2 R = ������ p=2 m=2 = ������→∞ n=m maka ������ = 4 = ������ p = 16 R = 64 = ������ R = ������ 2 16

5) lim (3x − 1)2 (3 − 4 x ) 6) ������������������ ������������ − ������������ ������ − ������ ������ + ������ x→  = ������→∞ (3 − 2 x )3 = lim 3������ 2 −4������ = ������������������ ������������ + ������ − ������������− ������������ −2������ 3 ������������ + ������ ������ − ������ ������→∞ ������→∞ = lim 9������2 ∙ −4������ = lim 7������ ������+2 −5������ ������−2 −8������3 ������−2 ������+2 ������→∞ ������→∞ a = – 36 −36������3 n=3 (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ −8������3 m=3 = lim = lim 7������2+14������ − 5������2+10������ ������2 −4 ������→∞ ������→∞ p=–8 a=2 2������2+24������ n=2 ������2 −4 n=m maka R = ������ = −36 = ������ = lim ������ −8 ������ ������→∞ p=1 m=2 n=m maka R = ������ = 2 = ������ ������ 1 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

7) lim ������3 + 1 − ������2 − 3������ = lim ������������ + ������ ������ − ������ − ������������ − ������������ ������������ + ������ ������2 + 1 ������ − 2 ������������ + ������ ������ − ������ ������→∞ ������→∞ n=m ������������ − ������������������ + ������ − ������ − ������������ + ������������ − ������������������ − ������������a=1 n=3 maka ������������− ������������������ + ������ − ������ ������ = ������������������ = ������������������ ������������ − ������������ + ������������ − ������ R = ������ ������→∞ ������→∞ ������������ − ������������������ + ������ − ������ p=1 m= 3 1 =0 1 n R = = ������ 8) m = 1 ������+1 ������������ = ������������−������ 3������+2 Bilangan ������������ 3������+2 = 1 pokok beda 33������+2 maka hasilnya nol = 3 ������+1 − ������+2 n = 0 dan 1 m = 1sehingga = 3−1 = 3 n < m maka nilainya 0 ������−������ = ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati ������

◼ Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar ∞ bentuk 2, yaitu : ∞

PERTEMUAN KEDUA CONTOH SOAL 4x 9x 2 − 4 lim 130).). lim x+2 = ... 2). = x →  (1 − 2 x )(3 x + x→ x + x 2 − x 4) Pangkat = ������������������ ������ = ������������������ ������������ ������������������ tertinggi ������→∞ ������ + ������������ −������������ ∙ ������������ x ������→∞ Pangkat tertinggi ������������ ������������������ = ������������������ ������ x = ������������������ ������ ������������ ������ −������������ ������������ = ������������������ ������ ������→∞ ������ ������ ������→∞ ������ ������������ ������→∞ ������ + ������ ∙ ������ + ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ = = ������������������ −������ ∙ ������ = −������ = −������ ������→∞ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

PERTEMUAN KEDUA CONTOH SOAL x 3). ������������������ ������������������������ − ������ + ������ − ������������ 4). lim = ������→∞ ������������ + ������������ x→  1 + x − 1 - x ������������������ ������������������������ − ������������ Pangkat ������������������ ������ Pangkat tertinggi ������ − −������ tertinggi x ������→∞ x ������→∞ ������������ ������ ������������������������ ������������ ������������������ ������ ������������ ������ − ������������ − ������ ������→∞ ������ − −������ ������ ������������ ������������ ������������������ ������������ = ������������������ ������ ������ − ������ ������→∞ ������→∞ ������ ������������ ������������������ ������ = = ∞ = ������ ∙ ������ − ������= ������ ������ − ������ = ������ ������ − ������ ������→∞ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL PERTEMUAN KEDUA 5). ������������������ ������ − ������ − ������������ − ������ 6). ������������������ ������������ − ������ + ������������ + ������ ������������ + ������ − ������ − ������ ������→∞ ������→∞ ������������������ + ������ − ������������������ − ������ ������������������ ������ − ������������ ������������������ ������������ + ������������ Pangkat ������→∞ ������������ − ������ ������→∞ ������������������ − ������������������ tertinggi x2 Pangkat ������ + ������ ������ − ������ tertinggi = ������ ������������ x ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������������ − = ������ − ������ ������������������ + ������ ������ − ������ ������ ������������������ ������→∞ ������������������ ������������������ = ������→∞ ������������ ������ ������������ ������������ ������ − ������ − = − ������ ������������������ ������ − ������ ������ = ������ ������→∞ ������ − ������ ������������������ ������ + ������ = −������ ������→∞ ������ − ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

◼ Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar bentuk 3, yaitu : ∞− ∞

PERTEMUAN KETIGA BENTUK 3 : Limit Fungsi Bentuk ( ∞ - ∞)  Lim ax + b − px + q = R  Lim ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r = R x→ ~ x→ ~ 1. R= ~ jika a > p 2. R= 0 jika a = p 1. R= ~ jika a > p 2. R = b−q jika a = p 2a 3. R= – ∞ jika a < p 3. R= – ∞ jika a < p Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL : 1). lim 3x + 7 − 2x + 5 a > p maka R = ∞ x→  a=3 p=2 2). Lim { 4 x 2 − 2 x + 6 − 4 x 2 + 2 x − 1} a=p maka b−q x→ ~ R= 2a a=4 b=–2 q= 2 ������ = −������ − ������ = −4 = −������ 2 ������ 4 p=4 33).). Limit ( 4x 2 + 3 x − 4 x 2 − 5 x ) a=p maka b−q x→  R= b=3 p=4 q=–5 2a a=4 ������ = ������ − (−������) = 3 + 5 = 8 = ������ 2 ������ 4 4 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati (47).). lim x ( x + 2 ) − : x→  )x 2 − 2 a=p maka b−q lim ������2 + 2������ − R= ������→∞ q adalah koefisien di 2a ������2 −2 depan variable x ������ − ������ = 2 = ������ 2 ������ = 2 ������ b=2 q= 0 a=1 p=1 ( )55).). lim ( 2 x + 1) − 4 x 2 − 3 x + 6 a=p maka b−q x →  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 R= 2a lim 2������ + 1 2 − 4������2 − 3������ + 6 ������ = ������ − (−������) = 4+3 = ������ 2 ������ 4 ������ ������→∞ lim 4������2 + 4������ + 1 − 4������2 − 3������ + 6 ������→∞ a=4 b=4 p=4 q=–3

Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 6). lim = lim ������2 − 2������ + 3 − ������ + 4 2 ( )3). ������→∞ x→  x2 − 2 x + 3 − (x + 4) lim ������2 − 2������ + 3 − ������2 + 8������ + 16 a=p maka b−q R= ������→∞ 2a a=1 −������ − ������ = −10 b=–2 p=1 q=8 ������ = 2 ������ 2 = −������ Tidak dikurung ( )47)).. lim = lim ������2 − 4������ + 3 − ������ − 1 x2 − 4x + 3 − x +1 ������→∞ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 x→  = lim ������2 − 4������ + 3 − ������2 − 2������ + 1 = lim ������2 − 4������ + 3 − ������ −1 2 ������→∞ b=–4 p = 1 q = – 2 ������→∞ = a=1 maka b−q −������ − −������ = −4 + 2 = −2 = −������ R= 2 ������ 2 2 a=p 2a

Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL : 8). lim ������ 4 + 6 − 4 − 5 = lim ������2 4 + 6 − 4 − 5 ������→∞ ������ ������ ������ ������ ������→∞ 6 5 ������ ∙ ������ = ������������ ������ ������ = lim ������2 4 + − ������2 4 − ������→∞ = lim 4������2 + 6������ − 4������2 − 5������ ������→∞ a=4 b=6 q=–5 p=4 a=p maka b−q = ������ − −������ = 6+5 = ������������ R= 2 ������ 4 ������ 2a

CONTOH SOAL : 9). lim 4������ − 3 2������ + 1 − 2 − 2������ ������ ∙ ������ = ������������ ������→∞ lim 4������ − 3 2������ + 1 − 4������ − 3 2 − 2������ Kalikan pelangi ������→∞ lim 8������2 + 4������ − 6������ − 3 − 8������ − 8������2 − 6 + 6������ ������→∞ lim 8������2 − 2������ − 3 − −8������2 + 14������ − 6 ������→∞ a=8 p=–8 a < p maka R= – ∞ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL : Tentukan nilai a dan b dari : 10). lim 5������2 − ������������ + 3 − ������������2 + 6������ − 4 = 5 R ≠ ∞ maka dengan menggunakan rumus ������→∞ maka a = 5 kedua diperoleh a = p b−q 5 = −������ − 6 2 ∙ 5 = −������ − 6 R= 25 10 + 6 = −������ ������ ∙ ������ = ������ 16 = −������ maka ������ = −������������ 2a Tidak dikurung 11). lim 2������ − 2 − 4������2 − 4������ + 3 = lim 2������ − 2 2 − 4������2 − 4������ + 3 ������→∞ ������→∞ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = lim 4������2 − 8������ + 4 − 4������2 − 4������ + 3 a=p maka b−q R= ������→∞ 2a a=4 b=–8 q=–4 ������ = −������ − −������ = −8 + 4 = −������ 2 ������ 4 p=4

◼ Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar bentuk 4, yaitu : Bentuk Istimewa

CONTOH SOAL 1 ������������������ ������ + ������ − ������ − ������ Dikalikan sekawan (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ ������→∞ lim ������ + ������ − ������ − ������ ∙ ������+ ������ + ������− ������ ������ ������ = ������ ������+ ������ + ������− ������ = ������→∞ ������ ������ 2 ������ ������ = lim ������ + ������ − ������ − ������ = lim ������→∞ ������ + ������ + ������ − ������ ������ + ������ ������→∞ ������ ������ = lim 2 ������ 2 ������+ ������ + ������− ������ 1+ ������→∞ = 2 2 lim 2 ������ Pangkat 1 = = 1 ������ + ������ tertinggi x = ������→∞ tetapi di dalam akar Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 2 Masukkan ke dalam akar dikuadratkan ������������������( 2������ − 5)(2������ + 1 + (5 − 2������) =. . . Dikalikan sekawan ������→∞ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ������������������( 4������2 + 2������ − 10������ − 5 + (5 − 2������) 2 = ������������������( 4������2 − 8������ − 5 + 4������2 − 20������ + 25 ������→∞ ������→∞ = ������������������( 4������2 − 8������ − 5 + 4������2 − 20������ + 25 ∙ 4������2−8������ −5− 4������2−20������+25 (a + b)(a – b) = ������������ − ������������ ������ 4������2−8������ −5− 4������2−20������+25 ������→∞ ������ ������ = ������ ������ = ������������������ 4������2 − 8������ − 5 − 4������2 − 20������ + 25 = ������������������ 12������ − 30 4������2 − 8������ − 5 − 4������2 − 20������ + 25 4������2 − 8������ − 5 − 4������2 − 20������ + 25 ������→∞ ������→∞ = ������������������ 12������ Pangkat tertinggi x 4������2 − 4������2 ������→∞ 12������ 12 12 12 ������ 4− 2− 0 = ������������������ = 4 = 2 = =∞ 4������2 4������2 ������→∞ ������������ − ������������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 3 : Berapakah nilai b = … ������������������ ������−������ ������������+ ������ + ������ =3 ������−������������ ������→∞ ������ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ������������������ ������−������ ������������ + ������ + ������ = 3 ������������������ − ������������ + ������ ������→∞ a = ������ − ������ n=2 ������������������ ������−������ ������������ =3 ������ ������������������ n = m maka R = ������ ������→∞ m=2 ������−2 4 p=4 = 3 ������ − 2 = 12 ������ = ������������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 4 Harus dikurung lim 25������2 + 10������ + 1 − 3������ + 3 − 4������2 + 4������ + 3 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ������→∞ Masuk akar dan dikuadratkan lim 25������2 + 10������ + 1 − 3������ − 3 − 4������2 + 4������ + 3 ������→∞ lim 25������2 + 10������ + 1 − 9������2 − 18������ + 9 − 4������2 + 4������ + 3 ������→∞ Dikerjakan suku demi suku Lim ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r = R ∞− ∞ x→ ~ a = p maka b−q R= 2a Tanda (+) maka soal di depan dan tanda (−) maka soal di belakang a = p = 25, b = 10, q = 0 a = p = 9, b = 0, q = − 18 a = p = 4, b = 0, q = 4 lim 25������2 + 10������ + 1 − 25������2 + 0������ + lim 9������2 + 0������ − 9������2 − 18������ + 9 + lim 4������2 + 0������ − 4������2 + 4������ + 3 ������→∞ ������→∞ ������→∞ = 10−0 + 0−(−18) + 0−4 = 10 + 18 + −4 =1+3–1=3 2 25 29 24 10 6 4 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 5 difaktorkan Harus dikurung lim 4������2 + 4������2 + 4������ + 1 − 2������ − 3 ������→∞  Lim ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r = R ∞− ∞ x→ ~ lim 4������2 + 2������ + 1 2 − 2������ + 3 Masuk akar dan dikuadratkan ������→∞ ������������ = a (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 lim 4������2 + 2������ + 1 − 2������ + 3 2 ������→∞ lim 4������2 + 2������ + 1 − 4������2 + 12������ + 9 a = p maka R = b − q ������→∞ 2a b=2 p=4 q = 12 a=4 ������ = ������ − ������������ = −10 = − ������ 2 ������ 4 ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 6  Lim ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r = R ∞− ∞ x→ ~ lim 2 ������ + 1 − 4������ − 3 ������ + 2 ������→∞ Masuk akar dan dikuadratkan lim 2 ������ + 1 2 − 4������ − 3 ������ + 2 ������→∞ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 lim 4������ + 4 ������ + 1 − 4������ − 3 ������ + 2 a = p maka R = b − q ������→∞ 2a a=4 b=4 p=4 q=–3 ������ = ������ − −������ = 4+3 = ������ 2 ������ 4 ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

◼ Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

LANGKAH MENYELESAIKAN LIMIT TAK HINGGA FUNGSI TRIGONOMETRI 1) Menggunakan cara permisalan 1 5 ������ Contoh : lim cos ������ Misal : u = ������ lim cos 5 . ������ lim cos 5u 2) Mengubah batas limit x → ∞ menjadi u → 0 Contoh : lim maka dimisalkan u = ������ maka u = ������ = 0 ������ ∞ ������→∞ sehingga u → 0 3) Jika soal tidak bisa diselesaikan dengan permisalan maka gunakan rumus : lim sin ������ = 0 lim cos ������ = 0 ������ ������ ������→∞ ������→∞ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 1 lim ������ sin ������ = lim ������ sin ������ = ������ ������ 1 ������→∞ ������→0 lim ������ sin ������ = ������→∞ 1 x = 1 Gunakan rumus limit trigonometri ������ berikut ini : Misalkan u = ������ Untuk x → ∞ maka Mengubah batas limit dari 1 → 0 atau u → 0 variable x Sehingga diperoleh : ������ menjadi u lim sin ������ = lim ������ sin 1 = 1 ������ ������ sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam ������→������ ������→∞ variable u seperti berikut ini Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 2 = lim tan ������ ������������������������������ ������ ������ ������ lim tan 5 ������������������������������ 2 ������→∞ ������ ������ = … ������→∞ ������ cosec a = ������������������ ������ 1 1 Misalkan u = ������ x = ������ = lim tan ������������ ������������������������������ ������������ Untuk x → ∞ maka ������→0 1 u → 0 Mengubah = lim tan ������������ 1 = lim tan ������������ ������ batas limit dari sin ������������ sin ������������ → 0 atau variable x ������→0 ������→0 menjadi u sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam Gunakan rumus limit trigonometri variable u seperti berikut ini berikut ini : lim tan ������������ = ������ sin ������������ ������ ������→0 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 3 = lim ������������ cos ������ ������������������ ������ ������ ������ lim 6������ cos 3 ������������������ 5 ������→∞ ������ ������ ������→∞ = … Misalkan u = 1 ������ = 1 = lim ������ cos ������������ ������������������ ������������ ������ ������ ������ ������→0 Untuk y → ∞ maka = lim ������ ������������������ ������������ cos ������������ ������ Mengubah ������→0 Cos 00 = 1 batas limit dari 1 → 0 atau u → 0 variable x = ������ ������ ������������������ ������(������) = ������ ������ ������������������ ������ ������ menjadi u sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam = ������ ������ variable u seperti berikut ini Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 4 = lim ������������ 1 − cos ������ ������ lim ������2 1 − cos 4 =… ������→∞ ������ ������→∞ Misalkan u = 1 x = 1 lim ������ ������ 1 − cos ������������ ������ ������ ������ = ������→0 Untuk x → ∞ maka Mengubah 2 ������������������������ ������ ������ batas limit dari ������ variable x ������ ������ 1 → 0 atau u → 0 menjadi u = lim ������ 2 ������������������������ ������������ ������ ������→0 sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam = lim 2 ������������������������ ������������ variable u seperti berikut ini ������������ ������→0 = lim 2 sin 2������ ∙sin 2������ ������ ∙ ������ ������→0 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati =2.2.2 =8

CONTOH SOAL 5 Distributif Misalkan u = 1 1 penjumlahan ������ 2������ cot 2 − 3 cot 2 x = ������ ������ ������ lim = …������→∞ Untuk x → ∞ maka Mengubah 5������2 −2������ batas limit dari difaktorkan 1 → 0 atau u → 0 variable x ������ menjadi u cot 2 2������ −3 Fungsi aljabar = lim ������ ������ Fungsi sehingga bentuk limit dapat diubah ke ������→∞ 5������ −2 dalam variable u seperti berikut ini trigonometri a=2 n=1 = 2 ∙ lim ������ cot 2 lim ������ cot 2������ 5 ������ ������ lim 2������ −3 ∙ lim 1 cot 2 ������→∞ = ������→0 5������ −2 ������ ������ = ������→∞ ������→∞ 2 1 Cot x = ������ tan ������������ ������������������ = 5 ∙ lim ������ ∙ ������ = 2 p=5 m=1 ������→0 n=m ������ 2 5 2. lim tan cx = c maka R = ������ =5 ∙ lim ������ x→0 dx d tan ������������ 2 1 2 ������→0 5 ������ ������ 2 1 ������ = ∙ lim cot = 5 ∙ 2 = ������ ������→∞ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 6 = lim 1− sin ������ ������ ������������������ ������������ −������������������ ������������ cos ���4���+ cos 2 ∙ sin 3 − cos 4 ∙ sin 3 − cos 2 ∙ ������������������2 ������ + 1−cos ������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ →0 lim = … ������������������2 1 −cos ���2���+1 1 – cos A = 2 ������������������2 1 ������ ������→∞ ������ Mengubah 2 Misalkan u = 1 x= 1 batas limit cos a – cos b = – 2 sin ������ (a + b) sin ������ (a – b) ������ ������ dari ������ ������ variable x Untuk x → ∞ maka 1 → 0 atau u → 0 menjadi u lim 1− sin ������ ������ −������ ������������������ ������ ������������+������������ ������������������ ������ ������������−������������ ������ ������ ������ = ������ →0 ������������������2 ������ + ������������������������������������ sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam 1− sin ������ ������ −������ ������������������ ������������ ������������������ ������ variable u seperti berikut ini = lim 3 ������������������2 ������ lim cos ������������ + cos ������������ ∙ sin ������ ������ − cos ������������ ∙ sin ������ ������ − cos ������������ ������ →0 ������������������2 ������ −cos ������������ + 1 = ������ →0 = lim 1− sin ������ ������ −������ ������������������ ������������ ������������������ ������ 3 sin ������ ∙sin ������ lim cos ������������ − cos ������������ ∙ sin ������ ������ + cos ������������ ∙ sin ������ ������ − cos ������������ ������ →0 ������������������2 ������ + 1 −cos ������������ = ������ →0 Sifat distributif penjumlahan = 1 − sin ������ ������ −������ ∙3 ∙1 ������ = lim cos ������������ 1− sin ������ ������ − cos ������������ 1− sin ������ ������ = 1 − sin ������ −������ Sin 00 = 0 ������������������2 ������ −cos ������������ + 1 ������ →0 = 1 − 0 −������ = 1 −������ = −������ Sifat distributif penjumlahan

CONTOH SOAL 7 Mengubah = lim ������ ∙ ������ −������ cot ������������ ÷ ������������ −������ batas limit ������ ������ ������→0 ������ cot 5 dari lim 1− ������+1 =… variable x Cot 5u = ������������������ ������������ Tanda bagi jadi kali menjadi u ������������������ ������������ maka pecahan ������→∞ ������2 ������������ − ������������ = (a + b)(a – b) belakang dibalik 1 1 1 −1 Misalkan u = ������+1 x+ 1 = ������ x = ������ = lim 1 − ������ cos 5������ ∙ ������ 0 0 sin 5������ ������������ −������ Untuk x → ∞ maka 1 → atau u → ������→0 +1 ������ Arahkan ke rumus limit trigonometri sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam variable u seperti berikut ini ������ − ������ ������������������ ������������ ������ ������������ −������ sin 5������ =���l���i→m∞ ������ cot 5 =���l���i→m∞ ������ cot 5 ∙ 1 = lim ∙ 1 −������ ������+1 ������+1 1+������ ������→0 1+������ 1 −������ = lim ������ −������ cot ������������ ∙ ������ = ������ −������ ������������������ ������ ������ ∙ 1 ������ ������ ������ −������ 5 ������ →0 ������ 1− ������ −������ cos 00 = 1 ������ − ������ cot ������������ lim ������ −������ cot ������������ ∙ ������ = ������ . ������������������ ������ ∙ 1 ������ ������ ������ ������ −������ 5 = lim ∙ ������ = ������→∞ 2 −������������ ������������ −������ ������ . ������ 1 ������ ������→0 −������ ∙ 5 − ������ ������ = = Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati