CONTOH SOAL 11 Himpunan penyelesaian : sin(3x + ������������) + sin(3x – ������ ) = − ������ ������ ������ untuk 0 ≤ x ≤ 2π sin(3x + ������) + sin(3x – ������ ) = − ������ ↔ 2 sin ������(3x+������ + 3x–������) cos ������(3x + ������ – (3x–������))= − ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2 sin ������������(6x) cos ������������(3x + ������ – 3x + ������������) = − ������ ↔ 2 sin ������ (6x) cos ������ (������������������) = − ������ ������ ������ ������ ������ ������ 2 sin(3x) cos(������������) = − ������ ↔ 2 sin(3x) (������) = − ������ ↔ 2 sin(3x) = − 1 (bagi dengan 2) ������ ������ ������ sin(3x) = − ������ (sin be������rharga negatif terletak di kuadran III dan IV) ������ a = ������ sin (π + a) Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu III maka : sin(3x) = sin (π + ������) ↔ sin(3x) = sin (������������ + ������)↔ sin(3x) = sin ������������ ������ ������ ������ ������ maka = ������������ ������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati LANJUTAN CONTOH SOAL 11 3x1 = + k. 2 3x2 = (π ) + k. 2 (−π������+���������k���������). 3x1 = ������������ + k. 2 (bagi dengan 3) 3x2 = + k. 2 3x2 = ������ 2 (bagi ������ dengan 3) ������������ x1 = ������������ + k. ������ − ������ ������������ ������������ ������ x2 = ������������ + k. ������������ k = 1 maka x1 = ������������ (TM) k = 1 ������������������ k=0 ������������ maka x1 = (TM) k=0 maka x1 = ������������ (M) maka x1 = − ������ (TM) ������������ ������������ k=1 maka x1 = ������������������ (M) k=1 maka x1 = ������������������ (M) ������������ ������������ k=2 maka x1 = ������������������ (M) k=2 maka x1 = ������������������ (M) ������������ ������������ k=3 maka x1 = ������������������ (TM) k=3 maka x1 = ������������������ (M) ������������ ������������ k=4 maka x1 = ������������������ (TM) ������������ Jadi, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, HP = ������ ������, ������������ ������, ������������ ������, , ������������ ������, ������������ ������, ������������ ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
Persamaan Trigonometri Melibatkan Jumlah dan Selisih Cosinus Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati ������������������ ������ ������������������ ������ Rumus Pendukung : Cos a + cos b = 2 cos 1 (a + b) cos 1 (a – b) tan x = 2 2 cos a – cos b = – 2 sin 1 (a + b) sin 1 (a – b) 2 2 CONTOH SOAL 1 Tentukan himpunan penyelesaian cos 3x + cos x = 0, 0 ≤ x ≤ 2π cos 3x + cos x = 0 ↔ 2 cos ������ (3x + x) cos ������ (3x – x) = 0 ������ ������ 2 cos 2x cos x = 0 ↔ 2 cos 2x = 0 atau cos x = 0 Persamaan trigonometri kesatu : 2 cos 2x = 0 (bagi dengan 2) cos 2x = 0 ↔ cos 2x = cos 900 maka = 900 Persamaan trigonometri kedua : cos x = 0 cos x = cos 900 maka = 900
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 2x1 + k. 360 x1 + k. 360 ↔ x1 900 + k. 360 2x1 900 + k. 360 (bagi dengan 2) x1 450 + k. 1800 k = 1 maka x1 = 2700 (TM) k = 0 maka x1 = 900 (M) k = 1 maka x1 = 1350 (TM) k = 1 maka x1 = 4500 (TM) k = 0 maka x1 = 450 (M) k = 1 maka x1 = 2250 (M) x2 + k.360 ↔ x2 900 + k.360 k = 2 maka x1 = 4050 (TM) k = 1 maka x2 = 4500 (TM) 2x2 + k.360 2x2 900 + k.360 (bagi dengan 2) k = 0 maka x2 = 900 (TM) x2 450 + k.180 k = 1 maka x2 = 2700 (M) k = 1 maka x2 = 2250 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, k = 0 maka x2 = 450 (TM) k = 1 maka x2 = 1350 (M) HP = {450, 900, 1350, 2250, 2700, 3150} k = 2 maka x2 = 3150 (M) untuk 0° ≤ x ≤ 2π, Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati HP = ������������������ ������, ������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ = ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������ dalam radian ������ ������ ������ ������ ������ ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 2 Himpunan penyelesaian cos 6x – cos 2x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ π cos 6x – cos 2x = 0 ↔ – 2 sin ������ (6x + 2x) sin ������ (6x – 2x) = 0 ������ ������ ↔ – 2 sin 4x sin 2x = 0 ↔ – 2 sin 4x = 0 atau sin 2x = 0 Persamaan trigonometri kesatu: – 2 sin 4x = 0 (bagi dengan –2) ↔ sin 4x = 0 sin 4x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua : sin 2x = 0 sin 2x = sin 00 maka = 00
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 4x1 + k. 360 2x1 + k. 360 4x1 00 + k. 360 (bagi dengan 4) 2x1 00 + k. 360 (bagi dengan 2) x1 k. 900 x1 k. 1800 k = 1 maka x1 = 900 (TM) k = 1 maka x1 = 1800 (TM) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 0 maka x1 = 00 (M) k = 1 maka x1 = 900 (M) k = 1 maka x1 = 1800 (M) k = 2 maka x1 = 1800 (M) 2x2 (180 ) + k.360 2x2 (180 00) + k.360(bagi dengan 2) 4x2 (180 ) + k.360 x2 900 + k . 180 4x2 (180 00) + k.360(bagi dengan 4) x2 450 + k . 90 k = 1 maka x2 = 900 (TM) k = 1 maka x2 = 450 (TM) k = 0 maka x2 = 900 (M) k = 0 maka x2 = 450 (M) k = 1 maka x2 = 2700 (TM) k=1 maka x2 = 1350 (M) untuk 0° ≤ x ≤ π, k=2 maka x2 = 2250 (TM) HP = ������������ ������, ������������������ ������, ������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, = ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ dalam radian ������ ������ ������ HP = {00, 450, 900, 1350, 1800}
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 3 HP : cos 5x + cos 3x – cos 4x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 1800 cos 5x + cos 3x – cos 4x = 0 ↔ (Cos 5x + cos 3x) – cos 4x = 0 ↔ 2 cos ������ (5x + 3x) cos ������ (5x – 3x) – cos 4x = 0 ������ ������ ↔ 2 cos 4x cos x – cos 4x = 0 ↔ cos 4x (2 cos x – 1) = 0 Persamaan trigonometri kesatu: cos 4x = 0 cos 4x = cos 900 maka = 900 Persamaan trigonometri kedua : 2 cos x – 1 = 0 ↔ 2 cos x = 1 (bagi dengan 2) cos x = ������ ↔ cos x = cos 600 maka = 600 ������
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 4x1 + k. 360 x1 + k. 360 ↔ x1 600 + k. 360 4x1 900 + k. 360 (bagi dengan 4) x1 22,50 + k . 900 k = 1 maka x1 = 3000 (TM) k = 0 maka x1 = 600 (M) k = 1 maka x1 = 67,50 (TM) k = 1 maka x1 = 4200 (TM) k = 0 maka x1 = 22,50 (M) k = 1 maka x1 = 112,50 (M) x2 + k.360 ↔ x2 600 + k.360 k = 2 maka x1 = 202,50 (TM) k = 1 maka x2 = 4200 (TM) k = 0 maka x2 = 600 (TM) 4x2 + k.360 k = 1 maka x2 = 3000 (TM) 4x2 900 + k.360(bagi dengan 4) x2 22,50 + k . 90 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, k = 1 maka x2 = 112,50 (TM) HP = {22,50; 600; 67,50; 112,50;157,50} k = 0 maka x2 = 22,50 (TM) k = 1 maka x2 = 67,50 (M) k = 2 maka x2 = 157,50 (M)
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 4 HP : cos 5x – cos 3x = – ������ sin 4x untuk 0 < x < π (cos 5x – cos 3x) + ������ sin 4x = 0 3 sin 4x = 0 ↔ –2 sin 1 (5x + 3x) sin 1 (5x – 3x) + 22 ↔ –2 sin 4x sin x + 3 sin 4x = 0 ↔ sin 4x (– 2 sin x + 3 ) = 0 Persamaan trigonometri kesatu: sin 4x = 0 ↔ sin 4x = sin 00 maka = 00 Persamaan trigonometri kedua : –2 sin x + ������ = 0 ↔ – 2 sin x = – ������ (bagi dengan –2) sin x = − ������ ↔ sin x = ������ ↔ sin x = sin 600 maka = 600 − ������ ������
Persamaan trigonometri I : Persamaan trigonometri II : 4x1 + k. 360 x1 + k. 360 ↔ x1 600 + k. 360 4x1 00 + k. 360 (bagi dengan 4) x1 k. 900 k = 1 maka x1 = 3000 (TM) k = 0 maka x1 = 600 (M) k = 1 maka x1 = 900 (TM) k = 1 maka x1 = 4200 (TM) k = 0 maka x1 = 00 (TM) x2 (180 ) + k.360 x2 (180 600) + k.360 k = 1 maka x1 = 900 (M) x2 1200 + k.360 k = 2 maka x1 = 1800 (TM) k = 1 maka x2 = 2400 (TM) 4x2 (180 ) + k.360 k = 0 maka x2 = 1200 (M) 4x2 (180 00) + k.360(bagi dengan 4) x2 450 + k . 90 k = 1 maka x2 = 4800 (TM) k = 1 maka x2 = 450 (TM) k = 0 maka x2 = 450 (M) untuk 0° ≤ x ≤ π, k=1 maka x2 = 1350 (M) HP = ������������������ ������, ������������������ ������, ������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������ k=2 maka x2 = 2250 (TM) ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������������������������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, = ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������, ������ ������ dalam radian HP = {450, 600, 900, 1200, 1350} ������ ������ ������ ������ ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 5 x1 + k. 360 x1 00 + k. 360 HP : cos(x + ������ ) – cos(x – ������ ) = 0 k = 1 maka x1 = 3600 (TM) ������ ������ dalam interval 0 ≤ x ≤ 3600 cos(x + ������ ) – cos(x – ������ ) = 0 k=0 maka x1 = 00 (M) k=1 maka x1 = 3600 (M) ������ ������ ↔ –2 sin ������ ((x + ������) + (x – ������)) sin ������ ((x + ������) – (x – ������)) = 0 ������ ������ ������ ������ ������ ������ x2 (180 ) + k.360 ↔ – 2 sin ������ (2x) sin ������ (x + ������ – x + ������������) = 0 x2 (180 00) + k.360 ������ ������ ������ x2 1800 + k.360 ↔ – 2 sin ������ (2x) sin ������ (������������) = 0 k = 1 maka x2 = 1800 (TM) ������ ������ ������ ↔ – 2 sin x sin ������ = 0 k=0 maka x2 = 1800 (M) ������ k=1 maka x2 = 5400 (TM) ↔ – 2 sin x (������������ ������) = 0 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {00, 1800, 3600} ↔ – ������ sin x = 0 (bagi dengan – ������) sin x = 0 ↔ sin x = sin 00 maka = 00
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 6 x1 + 200 + k. 360 HP : cos (x + 110) – cos(x – 70) = – ������ x1 600 200 + k. 360 x1 400 + k. 360 dalam interval 0 ≤ x ≤ 3600 k = 1 maka x1 = 3200 (TM) cos (x + 110) – cos(x – 70) = – ������ k = 0 maka x1 = 400 (M) ↔ –2sin ������������((x+110) + (x–70)) sin ������������((x+110)–(x–70)) = – ������ k = 1 maka x1 = 4000 (TM) ↔ – 2 sin ������ (2x + 40) sin ������ (x+110 – x+70) = − 3 x2 + 200 (180 ) + k.360 ������ ������ ↔ – 2 sin ������ (2x + 40)0 sin ������ (1800) = − ������ x2 (180 600) 200 + k.360 x2 1000 + k.360 ������ ������ ↔ – 2 sin (x + 20)0 sin 900 = − ������ k = 1 maka x2 = 2600 (TM) k=0 maka x2 = 1000 (M) ↔ – 2 sin (x + 20) (1) = − ������ k=1 maka x2 = 4600 (TM) (bagi dengan – 2) ↔ sin (x + 20) = − ������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, −������ HP = {400, 1000} sin (x + 20)0 = sin 600 maka = 600
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 7 HP : cos(3x + 45) + cos (3x – 15) = – ������ ������ dalam interval 0 ≤ x ≤ 3600 ������ cos(3x + 45) + cos (3x – 15) = – ������ ������ ������ ↔ 2 cos ������������((3x + 45) + (3x – 15)) cos ������������((3x + 45) – (3x – 15)) = – ������ ������ ������ ↔ 2 cos ������(6x + 30) cos ������(3x + 45 – 3x + 15) = – ������ ������ ������ ������ ������ ↔ 2 cos ������ (6x + 30)0 cos ������ (600) = – ������ ������ ↔ 2 cos (3x + 15)0 cos 300 = – ������ ������ ������ ������ ������ ������ ↔ 2 cos (3x + 15) (������ ������) = – ������ ������ (bagi dengan 2) ������ ������ ↔ cos (3x + 15) = − ������ (cos berharga negatif terletak di kuadran II dan III) ������ a = 600 Ambil yang di kuadran terkecil, yaitu II maka : cos (180 – a) ↔ cos (3x + 15) = cos (180 – 60) ↔ cos (3x + 15) =cos 120 maka = 1200
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati LANJUTAN CONTOH SOAL 7 3x1 + 15 + k. 360 3x2 + 15 (180 ) + k.360 3x1 1200 150 + k. 360 3x2 = 600 150 + k.360 3x1 1050 + k. 360 (Bagi dengan 3) 3x2 450 + k. 360 (Bagi dengan 3) x1 350 + k. 120 x2 150 + k. 120 k = 1 maka x1 = 850 (TM) k = 1 maka x2 = 1050 (TM) k = 0 maka x1 = 350 (M) k = 0 maka x2 = 150 (M) k = 1 maka x1 = 1550 (M) k = 1 maka x2 = 1350 (M) k = 2 maka x1 = 2750 (M) k = 2 maka x2 = 2550 (M) k = 3 maka x1 = 3950 (TM) k = 3 maka x2 = 3750 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {150, 350, 1350, 1550, 2550, 2750}
Mengubah Persamaan Trigonometri Bentuk : a cos x + b sin x = R cos (x – θ) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Dalam koordinat kartesius a = sumbu X dan b = sumbu Y Rumus : a cos x + b sin x = R cos (x – θ), dengan : R cos x = a dan R sin x = b R = ������������ + ������������ Tan θ = ������������������������ ������������������ = ������ ������������������������ ������������������ ������ a2 + b2 ≥ c2 Catatan : Tanda positif atau negative pada (a , b) untuk menentukan nilai ������ pada kuadran Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 1 Untuk R > 0 dan 0 ≤ θ < 2π maka nilai R dan θ dari : R cos x = 2 dan R sin x = 2 a = 2 dan b = 2 ↔ R = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������ + ������ = ������ = 2 ������ Tan θ = ������������������������ ������������������ = ������ Y (+) ������������������������ ������������������ ������ Kuadran I X (+) Tan θ = 1↔ θ = 450 . Jadi, R = 2 ������ dan θ = 450 CONTOH SOAL 2 Tentukan nilai R dan θ : Sin x + cos x untuk R > 0 dan 0 ≤ θ < 2π a = 1 dan b = 1 ↔ R = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������ + ������ = ������ Tan θ = ������������������������ ������������������ = ������ Y (+) Kuadran I ������������������������ ������������������ ������ X (+) Tan θ = 1 ↔ θ = 450 . Jadi, R = ������ dan θ = 450
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 3 Tentukan nilai R dan θ : – cos 3x – sin 3x untuk R > 0 dan 0 ≤ θ < 2π a = –1 dan b = –1 ↔ R = ������������ + ������������ = (−������)������ + (−������)������ = ������ Tan θ = ������������������������ ������������������ = (−������) Y (–) Kuadran III ↔ tan θ = 1 ������������������������ ������������������ (−������) X (–) ↔ θ = 1800 + α θ = 1800 + 450 = 2250 . Jadi, R = ������ dan θ = 2250 α = 450 (kuadran I) CONTOH SOAL 4 Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk R cos (x – θ) : sin 4x – cos 4x untuk R > 0 dan 0 ≤ θ < 2π a = –1 dan b = 1 ↔ R = ������������ + ������������ = (−������)������ + (������)������ = ������ ↔ tan θ = –1 α = 450 (kuadran I) Tan θ = ������������������������ ������������������ = ������ Y (+) Kuadran II ↔ θ = 1800 – α ������������������������ ������������������ (−������) X (–) θ = 1800 – 450 = 1350 . Jadi, R cos (x – θ) = ������ cos(4x – 1350)
CONTOH SOAL 5 Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk R cos (x – θ) : ������ cos x – 3 sin x untuk R > 0 dan 0 ≤ θ < 2π a = ������ dan b = –3 ↔ R = ������������ + ������������ = ( ������)������ + (−������)������ = ������������ = 2 ������ Tan θ = ������������������������ ������������������ = (−������) Y (–) Kuadran IV ↔ tan θ = (−������) ∙ ������ = (−������ ������) = − ������ ������ X (+) ������ ������ ������������������������ ������������������ ������ ↔ θ = 3600 – α α = 600 (kuadran I) θ = 3600 – 600 = 3000 . Jadi, R cos (x – θ) = 2 ������ cos(x – 3000) CONTOH SOAL 6 Tentukan nilai n dari : ������ sin x + n cos x = 2 cos (x – 60o) a = n, b = ������, R = 2, θ = 600 ↔ R = ������������ + ������������ ↔ 2 = (������)������+ ( ������)������ 4 = n2 + 3 ↔ n2 = 1 ↔ n = ± 1 . Karena θ = 600 di Kuadran I [X(+) dan Y(+)] maka n harus bernilai positif. Jadi, n = 1
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 7 Tentukan nilai dari koefisien-koefisien yang belum diketahui : n cos x – 4 sin x = 4 ������ cos (x – 225o) a = n, b = – 4, R = 4 ������ , θ = 2250 ↔ R = ������������ + ������������ ↔ 4 ������ = (������)������+ (−������)������ 32 = n2 + 16 ↔ n2 = 16 ↔ n = ± 4 Karena θ = 2250 di Kuadran III [X(–) dan Y(–)] maka n harus bernilai negatif. Jadi, n = – 4 CONTOH SOAL 8 Persamaan (p – 3) cos x + (p – 1) sin x = p + 1 dapat diselesaikan untuk p dalam batas .... a = p – 3, b = p – 1, c = p + 1 ↔ a2 + b2 ≥ c2 ↔ (p – 3)2 + (p – 1)2 ≥ (p + 1)2 (p2 – 6p + 9) + (p2 – 2p + 1) ≥ p2 – 2p + 1 2p2 – 8p + 10 ≥ p2 – 2p + 1
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati LANJUTAN CONTOH SOAL 8 p2 – 10p + 9 ≥ 0 (p – 1)(p – 9) ≥ 0 maka p = 1 atau p = 9 Karena tanda pertidaksamaan ≥ maka yang diarsir adalah yang (+) +++++ ––––– +++++ 19 Jadi, nilai p harus ada dalam batas : p ≤ 1 atau p ≥ 9
Persamaan Trigonometri Bentuk : a cos x + b sin x = R cos (x – θ) Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati x1 300 = + k. 360 x1 = 450 + 300 + k. 360 CONTOH SOAL 1 x1 = 750 + k. 360 Nilai x untuk 0o ≤ x ≤ 360o k = 1 maka x1 = 2850 (TM) dari ������ cos x + sin x = ������ a = ������ dan b = 1↔ R = ������������ + ������������ k = 0 maka x1 = 750 (M) R = ( ������)������ + (������)������ = ������ = 2 k = 1 maka x1 = 4350 (TM) Tan θ = ������������������������ ������������������ = ������ Y (+) Kuadran I x2 300 = + k. 360 ������������������������ ������������������ ������ X (+) x2 450 + 300 + k. 360 x2 = 150 + k. 360 θ = 300 a cos x + b sin x = R cos (x – θ) ������ cos x + sin x = ������ k = 1 maka x2 = 3750 (TM) 2 cos (x – 300) = ������ (bagi dengan 2) k = 0 maka x2 = 150 (TM) cos (x – 300) = ������ k = 1 maka x2 = 3450 (M) ������ k = 2 maka x2 = 7050 (TM) cos (x – 300) = cos 450 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {750, 3450} maka = 450
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 2 x1 2330 = + k. 360 x1 = 00 + 2330 + k. 360 Nilai x untuk 0o ≤ x ≤ 360o x1 = 2330 + k. 360 dari – 4 sin x – 3 cos x = 5 k = 1 maka x1 = 1270 (TM) a = –3 dan b = –4 ↔ R = ������������ + ������������ k = 0 maka x1 = 2330 (M) R = (−������)������ + (−������)������ = ������������ = 5 k = 1 maka x1 = 5930 (TM) Tan θ = ������������������������ ������������������ = −������ Y (–) Kuadran III x2 2330 = + k. 360 ������������������������ ������������������ −������ X (–) Tan θ = ������ ↔ θ = 1800 + α α = 530 (kuadran I) x2 00 + 2330 + k. 360 x2 = 2330 + k. 360 ������ θ = 1800 + 530 = 2330 Sama dengan pesamaan 1 – 4 sin x – 3 cos x = 5 a cos x + b sin x = R cos (x – θ) 5 cos (x – 2330) = 5 (bagi dengan 5) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, cos (x – 2330) = 1 HP = {2330} cos (x – 2330) = cos 00 maka = 00
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati x1 3000 = + k. 360 x1 = 450 + 3000 + k. 360 CONTOH SOAL 3 x1 = 3450 + k. 360 Nilai x untuk 0 ≤ x ≤ 2π k = 1 maka x1 = 150 (TM) dari cos x – 3 sin x = 2 a = 1 dan b = – ������ ↔ R = ������������ + ������������ k = 0 maka x1 = 3450 (M) R = (������)������ + (− ������)������ = ������ = 2 k = 1 maka x1 = 7050 (TM) Tan θ = ������������������������ ������������������ = − ������ Y (–) Kuadran IV x2 3000 = + k. 360 ������������������������ ������������������ ������ X (+) x2 450 + 3000 + k. 360 Tan θ = − ������ ↔ θ = 3600 – α x2 = 2550 + k. 360 α = 600 (kuadran I) k = 1 maka x2 = 1050 (TM) θ = 3600 – 600 = 3000 cos x – 3 sin x = 2 k = 0 maka x2 = 2550 (M) 2 cos (x a cos x + b sin x = R cos (x – θ) k = 1 maka x2 = 6150 (TM) – 3000) = 2 (bagi dengan 2) cos (x – 3000) = ������ Jadi, HP = {2550, 3450} cos (x – 3000) = ������ 450 HP = 450 maka = {������������������������������������������������ ������, ������������������������ ������} = {������������������ , ������������������} cos ������������������������ ������������ ������������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 2x1 1500 = + k. 360 CONTOH SOAL 4 2x1 = 600 + 1500 + k. 360 (bagi dengan 2) Nilai x untuk 0 ≤ x ≤ 2π x1 = 1050 + k. 180 dari − 3 cos 2x + sin 2x = 1 a = − ������ dan b = 1 ↔ R = ������������ + ������������ k = 1 maka x1 = 750 (TM) R = (− ������)������+ (������)������ = ������ = 2 k = 0 maka x1 = 1050 (M) k = 1 maka x1 = 2850 (M) Tan θ = ������������������������ ������������������ = ������ Y (+) Kuadran II 2x2 1500 = + k. 360 ������������������������ ������������������ − ������ X (–) 2x2 600 + 1500 + k. 360 (bagi dengan 2) Tan θ = − ������ ������ ↔ θ = 1800 – α x2 = 450 + k. 180 k = 1 maka x2 = 1350 (TM) ������ α = 300 (kuadran I) θ = 1800 – 300 = 1500 k = 0 maka x2 = 450 (M) cos x – 3 sin x = 1 a cos x + b sin x = R cos (x – θ) k=1 maka x2 = 2250 (M) 2 cos (2x – 1500) = 1(bagi dengan 2) cos (2x – 1500) = ������ maka = 600 Jadi, HP = {450, 1050, 2250 , 2850} ������ HP = {������������������������������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������, ������������������������ ������} = {������ , ������������ , ������������ , ������������������} cos (2x – 1500) = cos 600 ������������������������ ������������������������ ������������������������ ������ ������������ ������ ������������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 5 Nilai x untuk 00 ≤ x ≤ 3600 dari : –������ ������ cos (4x – 200) – ������ ������ sin (4x – 200) = ������ ������ a = −������ ������ dan b = −������ ������ ↔ R = ������������ + ������������ = (−������ ������)������+ (−������ ������)������ R = ������������ + ������������ = ������������ = 5 ������ ↔ Tan θ = ������ ������������������������ ������������������ Y (–) ������ α = 370 (kuadran I) X (–) Tan θ = ������������������������ ������������������ = −������ ������ Kuadran III ↔ θ = 1800 + α −������ ������ θ = 1800 + 370 = 2170 a cos x + b sin x = R cos (x – θ) –������ ������ cos (4x – 200) – ������ ������ sin (4x – 200) = ������ ������ (bagi dengan 5 ������ ) 5 ������ cos (4x – 200 – 2170) = ������ ������ ↔ 5 ������ cos (4x – 2370) = ������ ������ cos (4x – 2370) = 4 ������ ↔ cos (4x – 2370) = 4 5 ������ 5 cos (4x – 2370) = cos 370 maka = 370
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati LANJUTAN CONTOH SOAL 5 4x1 – 2370 = + k. 360 4x2 – 2370 = − + k. 360 4x2 = −370 + 2370 + k. 360 4x1 = 370 + 2370 + k. 360 4x2 = 2000 + k. 360(bagi dengan 4) x2 = 500 + k. 90 4x1 = 2740 + k. 360(bagi dengan 4) x1 = 68,50 + k. 90 k = 1 maka x2 = 400 (TM) k = 1 maka x1 = 21,50 (TM) k = 0 maka x2 = 500 (M) k = 0 maka x1 = 68,50 (M) k = 1 maka x2 = 1400 (M) k = 2 maka x2 = 2300 (M) k = 1 maka x1 = 158,50 (M) k = 3 maka x2 = 3200 (M) k = 2 maka x1 = 248,50 (M) k = 4 maka x2 = 4100 (TM) k = 3 maka x1 = 338,50 (M) k = 4 maka x1 = 428,50 (TM) Jadi, HP = {500 ; 68,50 ; 1400 ; 158,50 ; 2300 ; 248,50 ; 3200 ; 338,50}
Persamaan Trigonometri Bentuk kuadrat Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Rumus : sec x = ������ cotan x = ������ sin2 x + cos2 x = 1 ������������������ ������ ������������������ ������ tan x = ������������������ ������ cosec x = ������ cotan x = ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ CONTOH SOAL 1 Himpunan penyelesaian 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0, untuk 0o x 360o 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0 . Misalkan sin x = a ↔ 2a2 – 7a + 3 = 0 ������(2a – 6)(2a – 1) = 0 ↔ (a – 3)(2a – 1) = 0 ↔ a – 3 = 0 atau 2a – 1 = 0 ������ a = ������ atau a = 3 ↔ sin x = ������ (M) atau sin x = 3 (TM) ������ ������ Untuk sin x = 3 tidak memenuhi karena nilai maksimum sin x = 1 Persamaan trigonometri sederhana sinus yang terbentuk adalah : sin x = ������ ↔ sin x = sin 300 maka α = 300 ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 0o x 360o LANJUTAN CONTOH SOAL 1 x2 (180 ) + k.360 x2 (180 300) + k.360 x1 + k. 360 x2 1500 + k. 360 x1 300 + k. 360 k = 1 maka x1 = 3300 (TM) k = 1 maka x1 = 2100 (TM) k = 0 maka x1 = 300 (M) k = 1 maka x1 = 3900 (TM) k = 0 maka x1 = 1500 (M) k = 1 maka x1 = 5100 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {500 , 1300} CONTOH SOAL 2 Himpunan penyelesaian 6 sin2 2x + 9 sin 2x – 6 = 0, untuk 0o x 360o 6 sin2 2x + 9 sin 2x – 6 = 0 . Misalkan sin 2x = a ↔ 6a2 + 9a – 6 = 0 2a2 + 3a – 2 = 0 ↔ ������������(2a – 1)(2a + 4) = 0 ↔ (2a – 1)(a + 2) = 0 ������ 2a – 1 = 0 atau a + 2 = 0 ↔ a = ������ (M) atau a = –2 (TM) Untuk sin x = –2 tidak memenuhi karena nilai minimum sin x = 1 Sin 2x = ������ ↔ sin 2x = sin 300 maka α = 300 ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 0o x 360o LANJUTAN CONTOH SOAL 2 2x2 (180 ) + k.360 2x2 = (180 300 ) + k.360 2x1 + k. 360 2x2 1500 + k. 360 (Bagi dengan 2) 2x1 300 + k. 360(Bagi dengan 2) x2 750 + k. 180 x1 150 + k. 180 k = 1 maka x1 = 1650 (TM) k = 1 maka x2 = 1050 (TM) k = 0 maka x1 = 150 (M) k = 0 maka x2 = 750 (M) k = 1 maka x1 = 1950 (M) k = 2 maka x1 = 3750 (TM) k = 1 maka x2 = 2550 (M) k = 2 maka x2 = 4350 (TM) CONTOH SOAL 3 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {150, 750, 1950, 2550} Himpunan penyelesaian 2 cos2x + cos x – 1 = 0, untuk –60o x 360o 2 cos2x + cos x – 1 = 0 . Misalkan cos x = a ↔ 2a2 + a – 1 = 0 (2a – 1)(a + 1) = 0 ↔ 2a – 1 = 0 atau a + 1 = 0 ↔ a = ������ atau a = – 1 cos x = ������ ������ Persamaan trigonometri kesatu : ������ ↔ cos x = cos 600 ↔ = 600 Persamaan trigonometri kedua : cos x = – 1 (KW II dan III) ↔ a = 900 cos x = cos (1800 – 900) ↔ cos x = cos 900 ↔ = 900
Persamaan trigonometri I : –60o x 360o Persamaan trigonometri II : x1 + k. 360 x1 + k. 360 x1 600 + k. 360 x1 900 + k. 360 k = 1 maka x1 = 3000 (TM) k = 1 maka x1 = 2700 (TM) k = 0 maka x1 = 600 (M) k = 0 maka x1 = 900 (M) k = 1 maka x1 = 4200 (TM) k = 1 maka x1 = 4500 (TM) x2 + k.360 x2 + k.360 x2 600 + k.360 x2 900 + k.360 k = 1 maka x2 = 4200 (TM) k = 1 maka x2 = 4500 (TM) k = 0 maka x2 = 600 (M) k = 0 maka x2 = 900 (TM) k = 1 maka x2 = 3000 (M) k = 1 maka x2 = 2700 (M) k = 2 maka x2 = 6600 (TM) k = 2 maka x2 = 6300 (TM) Jadi, untuk –60° ≤ x ≤ 360°, HP = {600, 600, 900, 2700 , 3000} Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 4 Himpunan penyelesaian 2 sin2 x + 5 cos x = 4, untuk 0o x 2π 2 sin2 x + 5 cos x = 4 Ada 2 identitas trigonometri maka harus ada yang diubah Ingat rumus : sin2 x + cos2 x = 1 maka : cos2 x = 1 – sin2 x 2 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 4 = 0 ↔ 2 – 2 cos2 x + 5 cos x – 4 = 0 – 2 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0 (kali dengan – 1) ↔ 2 cos2 x – 5 cos x + 2 = 0 Misalkan cos x = a ↔ 2a2 – 5a + 2 = 0 ↔ ������(2a – 1)(2a – 4) = 0 ������ ������ (2a – 1)(a – 2) = 0 ↔ 2a – 1 = 0 atau a – 2 = 0 ↔ a = ������ atau a = 2 cos x = ������ (M) atau cos x = 2 (TM) ������ Untuk cos x = 2 tidak memenuhi karena nilai maksimum cos x = 1 Persamaan trigonometri sederhana cosinus yang terbentuk adalah : cos x = ������ ↔ cos x = cos 600 maka = 600 ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 0o x 2π LANJUTAN CONTOH SOAL 4 x2 + k.360 x2 600 + k.360 x1 + k. 360 x1 600 + k. 360 k = 1 maka x2 = 4200 (TM) k = 1 maka x1 = 3000 (TM) k = 0 maka x2 = 600 (TM) k = 0 maka x1 = 600 (M) k = 1 maka x1 = 4200 (TM) k = 1 maka x2 = 3000 (M) k = 2 maka x2 = 6600 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 180°, HP = {600, 3000} untuk 0° ≤ x ≤ π, HP = ������������������ ������, ������������������������ ������ = ������ ������, ������ ������ dalam radian ������������������������ ������������������������ ������ ������ CONTOH SOAL 5 Himpunan penyelesaian tan2x – tan x = 0, untuk –60o x 360o tan2x – tan x = 0 ↔ Misalkan tan x = a ↔ a2 – a = 0 ↔ a (a – 1) = 0 a = 0 atau a – 1 = 0 ↔ a = 0 atau a = 1 ↔ tan x = 0 (M) atau tan x = 1 (M) Persamaan trigonometri kesatu : tan x = 0 ↔ tan x = tan 00 ↔ = 00 Persamaan trigonometri kesatu : tan x = 1 ↔ tan x = cos 450 ↔ = 450
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati –60o x 360o Persamaan trigonometri II : LANJUTAN CONTOH SOAL 5 x1 + k. 180 Persamaan trigonometri I : x1 450 + k. 360 x = + k. 180 k = 1 maka x1 = 3150 (TM) x 00 + k. 180 k = 0 maka x1 = 450 (M) k = 1 maka x1 = 4050 (TM) k = 1 maka x1 = 1800 (TM) k=0 maka x1 = 00 (M) Jadi, untuk –60° ≤ x ≤ 360°, k=1 maka x1 = 1800 (M) HP = {00, 450, 1800, 3600} k=2 maka x1 = 3600 (M) k=3 maka x1 = 5400 (TM) CONTOH SOAL 6 Himpunan penyelesaian sin x tan x = ������ untuk 0o x 2π ������ Sin x tan x = ������ ↔ Ingat rumus tan x = sin x ↔ Sin x . (csoins xx) = ������ ������ cos x ������ ������������������������ ������ = ������ (kali silang) ↔ 2 sin2 x = 3 cos x ↔ 2 sin2 x – 3 cos x = 0 ������������������ ������ ������ Ada 2 identitas trigonometri maka harus ada yang diubah
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati x1 + k. 360 x1 600 + k. 360 LANJUTAN CONTOH SOAL 6 k = 1 maka x1 = 3000 (TM) Ingat rumus : sin2 x + cos2 x = 1 2 (1 – cos2 x) – 3 cos x = 0 k = 0 maka x1 = 600 (M) 2 – 2 cos2 x – 3 cos x = 0 k = 1 maka x1 = 4200 (TM) – 2 cos2 x – 3 cos x + 2 = 0 (Kalikan –1) 2 cos2 x + 3 cos x – 2 = 0 x2 + k.360 Misalkan cos x = a ↔ 2a2 + 3a – 2 = 0 x2 600 + k.360 ������������(2a – 1)(2a + 4) = 0 ↔ (2a – 1)(a + 2) = 0 k = 1 maka x2 = 4200 (TM) k = 0 maka x2 = 600 (TM) 2a – 1 = 0 atau a + 2 = 0 k = 1 maka x2 = 3000 (M) k = 2 maka x2 = 6600 (TM) a = ������ atau a = – 2 ������ ������ cos x = ������ (M) atau cos x = –2 (TM) Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, Untuk cos x = –2 tidak memenuhi HP = {600, 3000} karena nilai minimum cos x = –1 untuk 0° ≤ x ≤ π, cos x = ������ ↔ cos x = cos 600 ↔ α = 600 HP = ������������������ ������, ������������������������ ������ = ������ ������, ������ ������ ������������������������ ������������������������ ������ ������ ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 7 : Jika x1 dan x2 adalah solusi dari ������ ������������������ ������ ∙ ������ − ������������������������ ������ − 5 tan x + 5 = 0, maka ������������������ ������������ + ������������������ ������������ = ������������������ ������ ������ ������������������ ������ ������ − ������������������ ������������ ∙ ������������������ ������������ ������ ������������������ ������ ∙ ������ − ������������������������ ������ − 5 tan x + 5=0 ↔ 2 tan x∙ ������ − ������������������������ ������ −5 tan x + 5 = 0 ������������������ ������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������ 1 – tan2 x – 5tan x + 5 = 0 ↔ tan2 x + 5 tan x – 6 = 0 (tan x + 6)(tan x – 1) = 0 ↔ tan x = – 6 atau tan x = 1 Untuk tan x1 = – 6 dan tan x2 = 1, maka : ������������������ ������������+ ������������������ ������������ = –6+ 1 = –5 = − ������ 1– (– 6) ∙ (1) 1+6 ������ − ������������������ ������������ ∙ ������������������ ������������ ������
Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat yang Melibatkan Sudut Ganda Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Rumus : cos 2a = 1 – 2 sin2 x = 2 cos2 x – 1 sin 2a = 2 sin a cos a CONTOH SOAL 1 Diketahui persamaan cos 2x + cos x = 0, untuk 0 < x < π nilai x yang memenuhi adalah ..... cos 2x + cos x = 0 (Gunakan rumus sudut ganda cos 2x = 2 cos2 x − 1) (2 cos2 x − 1) + cos x = 0 ↔ 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 Misalkan cos x = a ↔ 2a2 + a – 1 = 0 ↔ ������ (2a – 1)(2a + 2) = 0 (2a – 1)(a + 1) = 0 ↔ 2a – 1 = 0 atau a + ������ a = 0 ↔ a = ������ atau = – 1 1 ������ cos x = ������ (M) atau cos x = –1 (M) . Persamaan trigonometri I : ������ cos x = ������ ↔ cos x = cos 600 maka α = 600. Persamaan trigonometri II : ������ cos x = – 1 ↔ cos x = cos 1800 maka α = 1800
Persamaan trigonometri I : 0 < x < π Persamaan trigonometri II : x1 + k. 360 x1 + k. 360 x1 600 + k. 360 x1 1800 + k. 360 k = 1 maka x1 = 3000 (TM) k = 1 maka x1 = 1800 (TM) k = 0 maka x1 = 600 (M) k = 0 maka x1 = 1800 (TM) k = 1 maka x1 = 5400 (TM) k = 1 maka x1 = 4200 (TM) x2 + k.360 x2 + k.360 x2 600 + k.360 x2 1800 + k.360 k = 1 maka x2 = 4200 (TM) k = 1 maka x2 = 5400 (TM) k = 0 maka x2 = 600 (M) k = 0 maka x2 = 900 (TM) k = 1 maka x2 = 3000 (TM) k = 1 maka x2 = 1800 (TM) Jadi, untuk 0° < x < 180°, HP = {600, 600} untuk 0° < x < π, HP = −������������������ ������, ������������������ ������ = − ������ ������, ������ ������ ������������������������ ������������������������ ������ ������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 2 x1 + k. 360 x1 300 + k. 360 HP dari : cos 2x + 7 sin x – 4 = 0, ������ ≤ ������ ≤ ������������������ adalah .... k = 1 maka x1 = 3300 (TM) cos 2x + 7 sin x – 4 = 0 (cos 2x = 1 − 2 sin2 x) k = 0 maka x1 = 300 (M) k = 1 maka x1 = 3900 (TM) (1 − 2 sin2 x) + 7 sin x – 4 = 0 −2 sin2 x + 7 sin x – 3 = 0 (kalikan −1) x2 (180 ) + k.360 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0 .Misalkan sin x = a x2 (180 30)0 + k.360 x2 1500 + k.360 2a2 – 7a + 3 = 0 ↔ ������ (2a − 1)(2a − 6) = 0 ������ k = 1 maka x2 = 2100 (TM) (2a − 1)(a − 3) = 0↔ 2a − 1 = 0 atau a − 3=0 k=0 maka x2 = 1500 (M) a= k=1 ������ atau a = 3 maka x2 = 5100 (TM) ������ sin x = ������ (M) atau sin x = 3 (TM) ������ Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, Untuk sin x = 3 tidak memenuhi HP = {500 , 1300} karena nilai maksimum sin x = 1 Sin x = ������ ↔ sin x = sin 300 maka α = 300 ������
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati 2x1 + k. 360 2x1 2700 + k. 360 (bagi 2) CONTOH SOAL 3 x1 1350 + k. 180 HP : sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0, k = 1 maka x1 = 450 (TM) 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….. sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0 k = 0 maka x1 = 1350 (M) Ingat sudut ganda sin 2x = 2 sin x cos x k = 1 maka x1 = 3150 (M) sin2 2x – sin 2x – 2 = 0 . Misalkan sin 2x = a a2 – a – 2 = 0 ↔(a – 2)(a + 1) = 0 k = 2 maka x1 = 4950 (TM) a – 2 = 0 atau a + 1 = 0 2x2 (180 ) + k.360 a = 2 atau a = –1 2x2 (180 270)0 + k.360 sin 2x = 2 (TM) atau sin 2x = –1 (M) 2x2 – 900 + k.360 (bagi 2) x2 – 450 + k. 180 Untuk sin 2x = 2 tidak memenuhi k = 1 maka x2 = 2250 (TM) karena nilai maksimum sin x = 1 k = 0 maka x2 = 450 (TM) Persamaan trigonometri sederhana k=1 maka x2 = 1350 (M) sinus yang terbentuk adalah : k=2 maka x2 = 3150 (M) Sin 2x = –1 ↔ sin 2x = sin 2700 maka α = 2700 Jadi, untuk 0° ≤ x ≤ 360°, HP = {1350 , 3150}
Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati CONTOH SOAL 4 Jika 3 cos2 2x + 4 sin ������ − 2������ – 4 = 0 maka cos x = ... 2 3 cos2 2x + 4 sin ������ − 2������ – 4 = 0↔ Ingat rumus : sin ������ − ������ = cos α 2 2 3 cos2 2x + 4 cos 2x – 4 = 0 . Misalkan cos 2x = a 3a2 + 4a – 4 = 0 ↔ ������ (3a + 6)(3a − 2) = 0 ↔ (a + 2)(3a − 2) = 0 ������ a + 2 = 0 atau 3a − 2 = 0 ↔ a = − 2 atau a = ������ ������ cos 2x = 2 (TM) atau cos 2x = 2 (M) 3 Untuk cos 2x = 2 tidak memenuhi karena nilai maksimum cos x = 1 cos 2x = 2 ↔ Ingat rumus : cos 2x = 2 cos2 x − 1 3 1= 2 2 3 5 2 cos2 x − 2 ↔ 2 cos2 x = 3 + 1↔ 2 cos2 x = 3 + 3 ↔ 2 cos2 x = 3 3 cos2 x = 5 : 2 ↔ cos2 x = ������ ∙ ������ ↔ cos2 x = ������ ↔ cos x = 5 ↔ cos x = 5∙ 6 ������ ������ ������ 6 3 6 6 cos x = ������ ������������ ������
Jumlah dan Selisih Cosinus Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Rumus : Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b CONTOH SOAL 1 Cos 750 = …. Penyelesaian : Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b Cos 750 = cos (450 + 30) = cos 45 cos 30 – sin 45 sin 30 Cos 750 = ������ ������ . ������ ������ – ������ ������ . ������ = ������ ������ – ������ ������ = ������ ( ������ – ������ ) ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ CONTOH SOAL 2 Tanpa tabel / kalkulator hitunglah cos (–15o) = ... Penyelesaian : Cos (– α) = cos α Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b cos (–15o) = cos 15o = cos (60o – 45o) = cos 60o cos 45o + sin 60o sin 45o cos (–15o) = ������ ������ ������ + ������ ������ ������ = ������ ������ + ������ ������) = ������ ( ������ + ������) ������ . ������ ������ ������ . ������ ������ ������ ������
CONTOH SOAL 3 Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b Nilai dari cos 750 cos 150 + sin 750 sin 150 = ... = cos (75o – 15o) = cos 60o = ������ ������ CONTOH SOAL 4 Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b Jika diketahui cos (x – y) = 0.4, maka berapakah hasil dari tan x tan y bila sin x sin y = ������ ? ������ cos (x – y) = 0.4 ↔ cos x + sin x sin y = ������↔ cos x cos y + ������ = ������ cos x cos cos y y ������ ������ ������ ������������ ������ ������������������ ������ ������ ������ x cos ↔������ = ������������������ ������ y = − ↔ cos = tan x tan y = sin x sin y Tan x ������ cos x cos y ������ Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b tan x tan y = ������ ������ ↔ tan x tan y = 1 ������ CONTOH SOAL 5 : Bila cos (x – 30)0 = sin x0 , maka nilai tan x = ... cos x0 cos 300 + sin x0 sin 300 = sin x0 ↔ cos x0 . ������ ������ + sin x0 . ������ = sin x0 ������ ������ cos x0 = sin x0 – ������ sin x0 ↔ ������ ������ cos x0 = ������ x0 ������ ������ sin sin x0 ������ ������ ������ ������ ������ ↔ cos x0 = ������ ������ ������ tan x = ������ ������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 : Pada segitiga ABC ditentukan sin A = ������, ������ cos B = ������������������, dengan A tumpul dan B sudut lancip, maka nilai cos C = … BB cos B = ������ = ������������ sin A = ������ = ������������ ������������ ������������ ������ ������������ 13 sin B = ������������ 3 5 − ������ ������������ 5 = ������������ cos A = = ������������ ������������ ������ ������������ Sudut tumpul C A 12 → b = 132 – 52 C A maka di 4 → b = 52 – 32 Kuadran II Pada segitiga ABC ↔ < A + < B + < C = 1800 Rumus Kuadran II < C = 1800 – (A + B) ↔ cos C = cos [1800 – (A + B)] Cos (180 – α) = – cos α cos C = – cos (A + B) = – (cos A cos B – sin A sin B) cos C = – cos (A + B) = – (− ������ . ������ – ������ . ������������������������) = –(− ������������ – ������������������������) = – (− ������������) = ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������������ Matematika Peminatan XI _ SMAK SANTA MARIA MALANG _ Iin Setyawati
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141