การเคลื่อนที่แนวโค้ง (การเคลือนที่แบบวงกลม)

เอกสารประกอบบทเรยี น รายวิชาฟสิ กิ สเ์ พิม่ เติม2 ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 การเคล่อื นทแ่ี บบ Cวงirกcลulมar motion ชื่อ ................................................................................................................. ช้นั ....................................เลขท่ี .................................................

ผลการเรียนรู้ เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลือ่ นท่ีแนวโค้ง (วงกลม) หนา้ 1 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พ่ิมเตมิ 2 ระดบั ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 การเคลอ่ื นท่ีแบบวงกลม 2. ทดลองและอธิบายความสัมพนั ธ์ระหวา่ งแรงสศู่ ูนย์กลาง รัศมขี องการเคล่อื นท่ี อัตราเรว็ เชิงเส้น อตั ราเรว็ เชงิ มมุ และมวลของวตั ถุในการเคลือ่ นทแี่ บบวงกลมในระนาบระดบั รวมทงั้ คำนวณปรมิ าณต่าง ๆ ที่เกยี่ วขอ้ ง และประยุกตใ์ ชค้ วามร้กู ารเคล่ือนท่ีแบบวงกลม ในการอธบิ ายการโคจรของดาวเทยี ม 2. การเคล่ือนที่แบบวงกลม แนวคดิ สำคญั การเคล่ือนที่แบบวงกลม (circular motion)เป็นการ การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นการ เคลอื่ นทอี่ กี รูปแบบหนงึ่ ทพี่ บเหน็ ได้บอ่ ยใน ชีวติ ประจำวนั เชน่ การ เคลื่อนท่ขี องรถไฟเหาะตีลังกาการเคลื่อนที่ของรถบนทางโคง้ การ เคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมหรือส่วนหนึ่งของ เคลือ่ นที่ของดาวเทยี มโดยวัตถุจะมีแนวการเคล่ือนท่เี ป็นวงกลมหรือ เป็นส่วนโคง้ ของวงกลม วงกลมด้วยความเร่งคงตัว เรียกว่า ความเร่งสู่ ภาพ การเคล่ือนทแ่ี บบวงกลมทีพ่ บไดใ้ นชีวิตประจำวัน ศูนย์กลาง มีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม มี สมการเป็น ���⃑��������� = ������2 วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วย ������ ความเร็วคงตวั แต่ทิศทางของความเร็วเปลี่ยนแปลง โดยแรงที่ทำาให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมมีทิศทาง เดียวกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง เรียกว่า แรงสู่ ศนู ยก์ ลาง มสี มการเป็น ���⃑��������� = ������������2 โดยแรง ������ นี้อาจเป็นแรงโน้มถ่วง แรงดึงในเส้นเชือก หรือแรง เสียดทานขณะรถท่กี ำลงั เลย้ี วโคง้ การเคลอ่ื นท่ีแบบวงกลมเป็นการเคล่อื นทีด่ ว้ ยความเร่ง เนื่องจากวตั ถุจะเคลือ่ นท่ีด้วยความเร็วในแนวเส้นสมั ผสั ของวงกลมซ่ึงมกี ารเปลยี่ นแปลงทศิ ทางตลอดเวลา ถึงแมว้ ่าวัตถุจะ เคลอื่ นท่ีดว้ ยความเรว็ ทีม่ ขี นาดคงตัวแต่มกี ารเปล่ียนแปลงทิศทาง จงึ ทำใหว้ ตั ถมุ ีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว การเคล่อื นท่แี บบ วงกลมจึงถอื เป็นการเคลอ่ื นท่ดี ว้ ยความเร่ง ซงึ่ เรียกวา่ ความเรง่ สศู่ ูนยก์ ลาง (centripetal acceleration : ���⃑���������) มีทิศทางพุ่ง เข้าหาจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม และขนาดของความเรง่ ส่ศู นู ย์กลางจะข้ึนอย่กู บั ขนาดของความเรว็ (������) และรศั มใี นการ เคล่อื นที่ (������)ของวัตถุ CT การเคลื่อนที่ แบบวงกลม 01 CT ให้นักเรียนศึกษาวิดีโอเรื่อง การเคลื่อนที่แบบวงกลม CT วทิ ยาศาสตร์ ม.4-6 (ฟิสิกส)์ จากเว็บไซต์ youtube การเคล่ือนที่ แบบวงกลม 02

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่แี นวโคง้ (วงกลม) หนา้ 2 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ สเ์ พ่มิ เติม 2 ระดับชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 การแกว่งวัตถใุ ห้เคล่อื นท่ีในแนววงกลมในแนวระดับ จากรูป เมื่อนำวัตถุผูกกับปลายเชือกแล้วแกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่แบบ การเคลอื่ นท่ีของวัตถเุ ม่อื เชือกขาด วงกลมในแนวระดบั ดว้ ยรัศมคี งตัวค่าหนงึ่ จะรูส้ ึกวา่ เม่อื แกวง่ วตั ถุใหเ้ ร็วมาก เมอ่ื มองจากดา้ นบน ขึ้น จะต้องใช้มือออกแรงดึงเชือกที่ผูกกับวตั ถุมากข้ึนดว้ ย แสดงว่าการแกวง่ วัตถใุ ห้เคลอ่ื นท่เี ปน็ วงกลมจะต้องใชแ้ รงดงึ เชือก ในการเคลื่อนที่แบบวงกลม จะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางที่พอเหมาะ กระทำกบั วตั ถุ จึงจะทำใหว้ ตั ถนุ ั้นเคล่ือนท่ีในแนวโค้งของวงกลมได้ด้วยรัศมีท่ี คงทค่ี ่าหนึง่ และอัตราเร็วที่คงท่ีค่าหน่งึ แต่ถา้ แรงสู่ศูนย์กลางท่ีกระทำกับวัตถุ หายไปวัตถุที่เคยเคลื่อนทเี่ ป็นวงกลมนัน้ จะหลุดออกไปจากวงกลมในแนวเส้น สัมผสั วงกลมทันที (ทิศทางการเคลอื่ นที่จะต้ังฉากกับรศั มีของวงกลม) ซ่ึงเป็นไปตามกฎการเคลือ่ นทข่ี อ้ ที่ 1 ของนิวตัน เนือ่ งจากการเคลื่อนท่ีแบบวงกลม วตั ถุจะมีการเปลยี่ นตำแหนง่ ซ้ำรอยเดิมซึ่งถอื เปน็ การเคล่อื นทีแ่ บบคาบ โดย เวลาที่วัตถุใช้ในการเคล่ือนที่ครบ 1 รอบ เรียกว่า คาบ (period : ������) มหี น่วยเปน็ วนิ าที และจำนวนรอบทว่ี ตั ถุ เคลื่อนที่ได้ ใน 1 วนิ าที เรียกวา่ ความถ่ี (frequency : ������) มหี น่วยเปน็ รอบต่อวนิ าที หรอื เฮิรตซ์ (hertz : Hz) คาบ และความถ่มี ี ความสมั พันธ์กนั ดังสมการ คาบ = จำนวนเวลา ������ = 1 ถ้ากำหนดอัตราเร็วและรัศมีของการเคลอื่ นท่คี งตวั จะไดว้ า่ จำนวนรอบ แรงเขา้ ส่ศู ูนย์กลางมคี ่ามาก คาบมีคา่ มาก  ความถมี่ ีค่านอ้ ย ������ ความถี่ = จำนวนรอบ แรงเขา้ สู่ศูนย์กลางมีค่านอ้ ย คาบมีค่านอ้ ย ความถีม่ ีค่ามาก จำนวนเวลา ������ = 1 ������ พิจารณาวตั ถุท่เี คลื่อนทีแ่ บบวงกลมในระนาบระดบั ด้วยอตั ราเร็วคงตัว (v) และมีรัศมขี องการเคลอ่ื นท่แี นววงกลม เทา่ กบั r ดงั รปู

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลื่อนทแ่ี นวโค้ง (วงกลม) หน้า 3 รายวชิ า ว31206 ฟิสกิ สเ์ พมิ่ เติม 2 ระดบั ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 ความรูเ้ พ่ิมเติม ระยะทางเชงิ เส้น (������) หมายถงึ ระยะทางตาม เส้นรอบวงทวี่ ัตถเุ คลือ่ นที่ได้หน่วยเป็นเมตร (m) ระยะทางเชงิ มมุ (������) หมายถึง มมุ ที่กวาดไปได้ หรอื ขนาดของมุมระหว่างทิศทาง 2 ทศิ ทาง การ วดั ระยะห่างระหว่างดวงดาวหรอื วัตถทุ อ้ งฟ้าจะวัด เปน็ ระยะทางเชิงมมุ ) วัตถเุ คล่ือนท่ีแบบวงกลมด้วยอตั ราเรว็ คงตัว อัตราเรว็ เชงิ เส้น (������) หมายถึง ระยะทางตาม เสน้ รอบวงท่ีวัตถเุ คลื่อนทีไ่ ปไดใ้ น1หน่วยเวลา จากรปู วตั ถเุ คลื่อนท่ีแบบวงกลมรัศมี ������ จากตำแหน่ง A ไป มหี นว่ ยเป็นเมตรต่อวนิ าที (m/s) ตำแหนง่ B ด้วยอัตราเรว็ คงตัว ซงึ่ กวาดมมุ ไปไดเ้ ทา่ กบั ������ ระยะทางท่ี อตั ราเร็วเชงิ มมุ (������) หมายถงึ มุมทีก่ วาดไปได้ใน วัตถเุ คล่อื นท่ีได้จริง คือ เส้นโคง้ AB ซงึ่ มขี นาดเท่ากบั S เรียกวา่ 1 หน่วยเวลา มหี นว่ ยเปน็ เรเดียนตอ่ วินาที (rad/s) ระยะทางเชิงเส้น (������) และเรยี กมมุ ท่กี วาดไปได้วา่ ระยะทางเชิงมมุ (������) เม่อื วตั ถุเคล่ือนที่ได้ครบ 1 รอบ ระยะทางเชิงเสน้ จะมีขนาดเทา่ กับเส้นรอบวงของวงกลม ซง่ึ มคี ่าเทา่ กบั 2������������ และระยะทางเชงิ มุมจะเท่ากับ 360 องศา หรอื 2������ เรเดียนระยะทางเชงิ เสน้ กบั ระยะทางเชงิ มุมจะมคี วามสมั พันธก์ นั ดงั สมการ ������ = ������ ������ จะเห็นไดว้ า่ ระยะทางทว่ี ัตถเุ คลื่อนทไ่ี ด้ครบ 1 รอบ คอื ความยาวของเสน้ รอบวง และชว่ งเวลาทีใ่ ช้ในการ เคลือ่ นท่ีครบ 1 รอบ คอื คาบ (������) ดังนนั้ ระยะทางเชงิ เส้นท่ีวตั ถุเคลือ่ นทไี่ ด้ใน 1 รอบ เทียบกับเวลาที่ใช้ในการ เคลื่อนที่เรยี กว่า อัตราเร็วเชงิ เสน้ (������) เขียนเป็นสมการได้ดังน้ี ������ = ������ = 2������������ ������ ������ และระยะทางเชิงมมุ (������) ท่วี ตั ถุเคล่อื นท่ีได้ใน 1 รอบ เทียบกับเวลาที่ใช้ในการเคลอื่ นท่ี เรยี กวา่ อัตราเร็วเชงิ มมุ (������) เขียนเป็นสมการไดด้ ังน้ี ������ = ������ ������ เมือ่ ������ คอื อตั ราเร็วเชิงมมุ มหี นว่ ยเป็น เรเดียนตอ่ วนิ าที (rad/s)  คือ มมุ ทก่ี วาดไปได้ มีหน่วยเป็น เรเดยี น (rad) ������ คือ เวลาท่ีใชใ้ นการเคล่อื นที่ มหี นว่ ยเป็น วินาที (s) เมอื่ พจิ ารณาการเคลื่อนแบบวงกลมของวตั ถุครบ 1 รอบ จะได้ว่า ������ = 2������ หรือ ������ = 2������������ ������ ความสมั พันธ์ระหวา่ งอตั ราเรว็ เชิงเส้น (������) และอตั ราเร็วเชิงมุม (������) ของการเคลื่อนท่ีแบบวงกลม พิจารณาได้จาก ความสัมพันธข์ องคาบกบั ความถ่ี ตามสมการ ������ = 1 และสมการของอตั ราเรว็ เชิงเส้น ������ = ������ = 2������������ ������ ������ ������

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ (วงกลม) หน้า 4 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ สเ์ พิ่มเตมิ 2 ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 จะไดว้ า่ ������ = ������������ ถ้ารัศมีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมคงตัว เมื่อแรงดึงในเส้นเชือกซึ่งเป็นแรงสู่ ศูนย์กลางมีค่าเพิ่มขึ้น เวลาในการเคลื่อนที่ครบรอบของจุกยางจะลดลง และถ้าแรงสู่ ศูนย์กลางคงตวั เมอ่ื รศั มขี องการเคลื่อนท่ีเพมิ่ ข้ึน เวลาในการเคลือ่ นท่ีครบรอบของจุกยาง จะเพิ่มขึ้นด้วยเช่นกนั โดยกราฟระหว่างแรงดึงในเส้นเชือก (������) กับส่วนกลับของคาบยก กำลังสอง(������12) และกราฟระหว่างรัศมีของการเคลื่อนท่ี (������) กับคาบยกกำลังสอง (������2) มีลักษณะดังน้ี จากกราฟ 1 พบว่า ส่วนกลบั ของคาบยกกำลังสอง(������12) แปรผนั ตรงกบั ขนาดของแรงดงึ ในเสน้ เชือก (������) หรอื แรงส่ศู ูนยก์ ลาง จะได้ว่า 1 ∝ F T2 หรอื T2 ∝ 1 กราฟ 1 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง 1 และ F F ������ 2 จากกราฟ 2 พบว่า คาบยกกำลงั สองแปรผันตรงกับรศั มีของการเคลอ่ื นท่ี จะได้ วา่ T2 ∝ ������ และ จากความสมั พนั ธข์ องกราฟทั้งสอง จะไดว้ า่ T2 ∝ ������ ������ และจากสมการ ������ = 2������������ จะไดว้ ่า ������ 2 = 4������2������2 ������2 กราฟ 2 ความสัมพันธ์ระหว่าง ������2และ F ������ ดังนั้น ������ 2 ∝ ������2 และ ������ ∝ ������2 ������2 ������ ������2 ดงั นัน้ ������ ∝ ������2 ������ สรุปได้วา่ ขนาดของแรงดงึ ในเสน้ เชือกแปรผันตรงกับอตั ราเร็วของวัตถุยกกำลงั สอง และแปรผกผนั กับรศั มี ของการเคลือ่ นที่ โดยขณะที่วัตถเุ คล่ือนทีแ่ บบวงกลมในระนาบระดับ เส้นเชือกจะไม่ได้อยูใ่ นแนวระดบั ท้ังน้ีเพราะน้ำหนัก ของวัตถทุ ำใหเ้ ส้นเชือกเอยี งทำมุมกับแนวระดับเล็กนอ้ ย ดงั รูป

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลือ่ นท่แี นวโคง้ (วงกลม) หน้า 5 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกส์เพ่ิมเติม 2 ระดับชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 จากรูป องค์ประกอบในแนวดิง่ ของแรงดงึ ในเสน้ เชือก คอื ������ ������������������ จะเท่ากบั น้ำหนกั ของวตั ถุ mg และมี ทิศทางตรงขา้ มกนั ส่วนองคป์ ระกอบในแนวระดบั ของแรง ดงึ ในเสน้ เชอื ก คือ ������ ������������������ ทำหนา้ ที่เปน็ แรงเขา้ สู่ ศนู ย์กลางของการเคลื่อนท่ีของวัตถุ เมอ่ื วัตถุ เคล่ือนทด่ี ้วย อตั ราเร็วคงตวั ในแนวระดับ มุม  จะเปลี่ยนแปลงไป เล็กนอ้ ย แตค่ ่าของ ������������������ จะใกลเ้ คยี งกันจนถอื ไดว้ า่ มีค่า คงตัว นนั่ คอื ขนาดของแรงสู่ศูนยก์ ลาง ������������ แปรผนั ตรงกบั ขนาดของแรงดึงในเส้นเชอื ก ������ ในทำนองเดยี วกนั รัศมี ของการเคลอ่ื นท่ี ������ จะเท่ากับ ������ ������������������ เม่ือ ������������������ มี การแกวง่ วัตถุใหเ้ คลอ่ื นทีแ่ บบวงกลมในแนวระดับ คา่ คงตวั รัศมกี ารเคลื่อนท่ีของวตั ถุ จึงมคี า่ ใกลเ้ คียงกับ ความยาวของเสน้ เชือก ดงั น้นั ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งขนาด ของแรงเข้าส่ศู นู ยก์ ลาง อตั ราเร็ว และรัศมีของการเคล่ือนท่ีได้เปน็ ไปตามสมการ ������2 ������������ ∝ ������ 2.1 ความเรง่ สู่ศนู ย์กลาง วัตถุที่มีการเคลื่อนท่ีแบบวงกลมจะมีความเรว็ ขณะหน่งึ อยู่ในแนวของเส้นสัมผัส และความเรว็ ของวตั ถจุ ะมีทศิ ทาง เปล่ียนแปลงตลอดเวลา จึงถือเปน็ การเคล่ือนที่ท่ีมีความเรง่ โดยความเรง่ น้กี ็คอื ความเร่งสศู่ ูนยก์ ลาง จะมวี ิธีการในการหา ขนาดและทศิ ทางของความเร่งทเ่ี กิดข้นึ ได้อยา่ งไร ใหน้ กั เรียนพิจารณารปู ต่อไปน้ี จากรปู วัตถุเคล่อื นที่จาก A ไป B ในช่วงเวลาสัน้ ๆ ������������ ตามแนวโค้งของวงกกลมรัศมี ������ ด้วยความเร็วคงตวั ���⃑��� ความเรว็ ของวตั ถทุ ี่ตำแหนง่ ต่าง ๆ จะมที ิศทางตามแนวเส้นสมั ผสั กบั สว่ นโคง้ ของวงกลมที่ตำแหนง่ นัน้ น่ันคอื ทจี่ ุด A วตั ถจุ ะ มีความเรว็ ���⃑���0 ส่วนทีจ่ ุด B วัตถจุ ะมคี วามเร็ว ���⃑��� ดงั นน้ั ความเร็วทเี่ ปลย่ี นไปในระหวา่ งทว่ี ัตถุเคลอื่ นที่จากจุด A ไปยงั จุด B จะหาได้จาก ���������⃑��� = ���⃑���– ���⃑���0 ดงั รปู ข ถ้าวัตถุเคลือ่ นที่จาก A ไป B โดยใชเ้ วลานอ้ ยมาก ๆและ ������ มคี ่านอ้ ย ๆ ���������⃑��� จะตัง้ ฉากกบั ทิศทางของ ���⃑��� และมที ิศทางสู่ศนู ย์กลางของวงกลมเสมอ ซง่ึ จากนิยามของความเร่ง ���⃑⃑⃑���⃑ = ∆���⃑⃑��� ความเร่ง ���⃑��� ∆������

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลือ่ นท่ีแนวโคง้ (วงกลม) หน้า 6 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พ่มิ เติม 2 ระดับช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 จะมีทิศทางเดียวกบั ความเรว็ ทีเ่ ปล่ียนไป Δ���⃑��� เมื่อ Δ���⃑��� มีทิศทางเข้าสู่ศนู ย์กลางของวงกลม ดงั นั้น ความเร่งของวตั ถทุ ี่ ตำแหน่งใด ๆ บนสว่ นโค้งของวงกลมจงึ มีทศิ พ่งุ เข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลมดว้ ย พจิ ารณา ก จะเห็นวา่ OA ตั้งฉากกับ ���⃑���0 และ OB ตัง้ ฉากกับ ���⃑��� โดยมีมมุ ������ เป็นมุมระหวา่ งOA และ OB ซ่งึ จะเท่ากับมมุ ระหวา่ ง���⃑���0กับความเรว็ ���⃑��� ด้วย และจากรูป ข เปน็ รูปสามเหล่ียมคล้ายกบั รปู สามเหลีย่ ม OAB จากสมบัติ ������0 = ������ = ∆������ ของสามเหล่ียมคล้าย จะไดว้ า่ ������������ ������������ ������������ เนอื่ งจากวัตถเุ คลอื่ นท่ีดว้ ยความเร็วคงตัว ดังนนั้ ขนาดของความเร็วขณะหนงึ่ จะมคี า่ เท่ากบั ขนาดของความเร็ว หรือ อตั ราเรว็ น้ี จะไดว้ า่ ������0 = ������ = ������ใดๆ ถา้ วตั ถเุ คลือ่ นที่จากจุด A ไปยงั จดุ B ใชเ้ วลา ������������ ซึง่ มคี ่าน้อย ๆ ดงั นั้น จดุ A และจดุ B จะอยใู่ กลก้ ันมาก อาจถือ ได้วา่ ความยาวของเสน้ ตรง AB เทา่ กับความยาวของสว่ นโค้ง AB ซ่งึ มคี ่าเทา่ กับ ������������������ จะได้ว่า ������ = ∆������ ถา้ กำหนดให้ ������������ เป็นขนาดของความเร่งสูศ่ ูนยก์ ลางจะได้วา่ ������������ ������������ ������2 ������������ = ������ ������ = ∆v เมอื่ ������������ คอื ขนาดของความเร่งสู่ศนู ย์กลาง มหี น่วยเป็น เมตรตอ่ วนิ าที2 ������ คือ ขนาดของความเร็วหรอื อัตราเร็วของวตั ถุทีเ่ คลือ่ นท่ีแบบวงกลม ������ ������∆������ มหี น่วยเป็น เมตรต่อวินาที ∆v ������2 ∆������ = ������ ������2 ������ คอื รศั มขี องวงกลม มหี น่วยเปน็ เมตร จากกฎการเค���ล���ื่อน=ท่ีข้อ���ท���ี่สองของนวิ ตนั แรงลพั ธท์ กี่ ระทำตอ่ วตั ถุจะมที ิศทางเดยี วกับความเร่ง ดังนน้ั วตั ถุท่ี เคล่ือนท่ีแบบวงกลมในระนาบระดบั ดว้ ยอัตราเร็วคงตวั จะมีแรงสู่ศนู ย์กลางในทศิ ทางเข้าหาศนู ย์กลางของวงกลม จากสมการ ������������ = ������������ เม่ือกำหนดให้ ������������ เปน็ แรงสศู่ ูนยก์ ลางทก่ี ระทำกบั วัตถุมวล ������ ให้เคลื่อนทแี่ บบวงกลมดว้ ยความเร่ง ������������ ������������2 จะไดว้ ่า ������������ = ������ ถา้ แทนคา่ ������ ดว้ ย ������ = ������������จะไดว้ า่ ������������ = ������������2������ 2.2 การเคลอ่ื นทีบ่ นทางโค้ง การเคลือ่ นทบี่ นทางโคง้ ของยานพาหนะต่าง ๆ ถอื เปน็ การเคลื่อนทแ่ี บบวงกลมอย่างหน่ึง เน่อื งจากมีแนว การเคลือ่ นท่ีเป็นส่วนหน่งึ ของวงกลม ซงึ่ ขณะทีเ่ ล้ียวโคง้ จะต้องมแี รงส่ศู นู ยก์ ลางกระทำกับรถ จงึ จะทำใหเ้ ลีย้ วโค้งได้ อย่างปลอดภัย การเคลอื่ นท่บี นทางโคง้ จะมี 2 ลักษณะ คอื การเลยี้ วรถบนถนนราบและการเลีย้ วรถบนถนนเอยี ง การเล้ียวรถบนถนนราบ โดยปกติแลว้ รถยนตห์ รือรถจักรยานยนต์ท่ีวิง่ บนถนนราบตรงจะมแี รงเสียดทานระหวา่ งยางรถกบั พนื้ ถนน ซงึ่ ชว่ ย ให้รถเคลอื่ นที่ไปขา้ งหน้าได้ แต่ถ้าขณะทร่ี ถกำลังเล้ียวโค้ง นอกจากจะมแี รงเสียดทานในแนวเดียวกับการเคลือ่ นทแ่ี ลว้ ยังมี แรงเสยี ดทานระหว่างยางรถกบั พ้ืนถนนท่ีมีทิศทางพุ่งเข้าสู่ศูนยก์ ลางของทางโคง้ ซงึ่ เปน็ แรงเสยี ดทานสถิต แรงนี้จะทำหน้าที่ เปน็ แรงสศู่ ูนย์กลาง และตอ้ งมขี นาดมากพอท่จี ะทำใหร้ ถไม่ไถลออกนอกทางโคง้

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอ่ื นทีแ่ นวโคง้ (วงกลม) หนา้ 7 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พมิ่ เตมิ 2 ระดบั ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 แรงเสียดทานสถิต = แรงสูศ่ ูนยก์ ลาง ������������ = ������������ ถา้ ต้องการรถเลีย้ วด้วยอัตราเรว็ สูงสดุ ให้ปลอดภัย แรงกระทำตอ่ รถขณะกำลังเลยี้ งโคง้ บนทางโค้งราบ ������������ = ������������ ������������2 เม่ือ ������������ คือ สมั ประสทิ ธิค์ วามเสยี ดทานสถิตระหวา่ งล้อรถกบั ถนน ������ คือ อตั ราเรว็ สงู สุดขณะเลีย้ วรถได้อย่างปลอดภัย ������������������ = ������ ������������2 ������������������������ = ������ ������2 ������������ = ������������ ������ คือ รัศมีความโค้งของถนน ส่วนการเลี้ยวรถจักรยานหรือจักรยานยนต์บนถนนราบนั้นมีแรงกระทำต่อรถแตกต่างจากรถยนต์ โดยขณะที่ กำลังเลี้ยวโค้งจะต้องเอียงตัวด้วยเพื่อให้เลี้ยวได้อย่างปลอดภัย เหตุใดจึงต้องทำเช่นนั้น และถ้านักเรียนไม่เอียงตัวจะ สามารถเล้ยี วโค้งไดอ้ ย่างปลอดภยั หรือไม่ พจิ ารณารูปต่อไปนี้ จากรูป ขณะเลย้ี วรถจะมีแรงกระทำต่อรถ ไดแ้ ก่ น้ำหนกั (���������⃑���) แรง ปฏิกิริยาที่พื้นดันรถ (���⃑⃑���) และแรงเสียดทานที่ล้อรถกับพื้นถนน (���⃑���������) ซึ่งท้ัง 3 แรง จะรวมกันได้เป็นแรงลัพธ์ (���⃑⃑���) ซึ่งไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของคนกับ รถจักรยาน ถา้ เลี้ยวโคง้ โดยท่ีไม่เอียงรถ จะทำใหเ้ กดิ โมเมนตร์ อบจุดศูนย์กลาง มวล จงึ เปน็ สาเหตุทำใหร้ ถล้มขณะเลี้ยวได้ ผู้ขบั ข่ีจึงตอ้ งเอียงรถใหแ้ รงลัพธผ์ ่าน จดุ ศูนยก์ ลางมวลขณะเล้ียว เพอ่ื ใหเ้ ลี้ยวโคง้ ไดอ้ ยา่ งปลอดภยั แรงกระทำต่อรถจักรยานขณะเลย้ี วบนถนนโค้ง ราบ จากรปู พจิ ารณาการเล้ียวรถดว้ ยอัตราเร็วสูงสุด จะได้วา่ ที่แนวระดับ ������ ������������������ = ������������ = ������������2 ………… (1) ������ ………… (2) ท่ีแนวดง่ิ ������ ������������������������ = ������ = ������������ (1) จะได้ tan ������ = ������2 ������ ������������������ (2) ������������ เม่ือ ������ คอื มมุ ท่รี ถจกั รยานเอยี งจากแนวด่งิ ������ ������������������ ������ คอื อัตราเรว็ สูงสุดขณะเลยี้ วรถได้อย่างปลอดภยั ������ คอื รัศมีความโคง้ ของถนน แรงกระทำตอ่ รถจักรยานขณะเลยี้ ว การเล้ยี วโคง้ บนถนนเอยี ง บนถนนโค้งราบเมื่อเอยี งตัว

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคลอ่ื นท่แี นวโค้ง (วงกลม) หน้า 8 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกส์เพิ่มเตมิ 2 ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 จากการศึกษาการเลี้ยวรถบนถนนโค้งราบ พบว่า รถจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัยหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธ์ิ ความเสียดทานสถิตระหว่างพื้นถนนกับล้อรถ กล่าวคือ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตมคี ่ามาก รถจะสามารถเลีย้ ว ได้อย่างปลอดภัย แต่ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตมีค่าน้อย เช่น ในขณะที่ฝนตกจะทำให้ถนนลื่น อาจมีความเสี่ยง ที่จะทำให้รถพลิกคว่ำได้ ดังน้ัน จงึ มกี ารแกไ้ ขโดยทำพน้ื ถนนใหเ้ อียงบริเวณทางโคง้ เพอ่ื อาศยั แรงปฏิกิริยาทพี่ น้ื กระทำต่อรถ เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน โดยถนนจะถูกยกขอบด้านนอกให้สูงกว่าด้านใน เพื่อให้เกิดความ ปลอดภยั มากขน้ึ และยงั ทำให้รถสามารถเลี้ยวโค้งได้ดว้ ยอตั ราเรว็ ทม่ี ากกวา่ เดมิ ได้ ลักษณะของรถที่เล้ยี วโค้งบนถนนเอยี ง พิจารณารปู ขณะทีร่ ถเล้ียวโค้งบนพ้ืนถนนเอียง แรงปฏิกิรยิ าที่ผวิ ถนนกระทำตอ่ รถ (���⃑⃑���) จะอยู่ในทศิ ทางตง้ั ฉากกบั พื้นเอียง ทำใหเ้ กิดความปลอดภัยในการเล้ียวโค้งสงู กว่าแรงเสยี ดทาน เมอ่ื ไมค่ ดิ แรงเสยี ดทานทีพ่ ้ืนถนนกระทำ ตอ่ ด้านข้างล้อรถ องคป์ ระกอบของแรง (���⃑⃑���) ในแนวระดบั จะทำหนา้ เปน็ แรงสู่ศนู ย์กลางในการเล้ยี วรถได้ แนวระดบั ������ ������������������ = ������������ = ������������2 ………… (3) ������ ทแี่ นวดง่ิ ������ ������������������������ = ������������ ………… (4) (3) จะได้ tan ������ = ������2 (4) ������������ เมือ่ ������ คอื มุมท่ีพืน้ ถนนเอยี งจากแนวระดบั ������ คอื อัตราเร็วสงู สดุ ขณะเลี้ยวรถไดอ้ ยา่ งปลอดภยั ������ คอื รัศมีความโค้งของถนน จากสมการ tan ������ = ������2จะเหน็ ไดว้ ่า การสร้างถนนช่วงทางโค้งให้เอียงทำมมุ กบั แนวระดับจะตอ้ งคำนงึ ถึง ������������ อัตราเรว็ ของรถขณะเลีย้ วโคง้ และรศั มีของทางโคง้ เพื่อให้เกดิ ความปลอดภัยในการขบั รถ

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลือ่ นทแี่ นวโคง้ (วงกลม) หนา้ 9 รายวชิ า ว31206 ฟิสกิ สเ์ พ่ิมเตมิ 2 ระดบั ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 2.3 การเคล่ือนทีข่ องดาวเทยี ม การโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์หรอื การโคจรของ ดวงจันทร์และดาวเทยี มต่าง ๆ รอบโลกจะมีลกั ษณะเปน็ แนวโค้งแบบ วงกลมหรอื วงรี ซ่งึ ถือเปน็ การเคลื่อนท่ีแบบวงกลมอยา่ งหนึ่ง ถ้าพิจารณาลักษณะการเคลื่อนที่ของดาวเทียมโดยอาศัยความรู้ เกยี่ วกับการเคลือ่ นทแี่ บบวงกลมและกฎความโนม้ ถ่วงสากลของนิวตัน จะพบว่า แรงดงึ ดูดระหว่างมวลทโี่ ลกกระทำต่อดาวเทียมจะทำหน้าที่ เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง ดังรปู จะได้ว่า ������������ = ������������ เมอื่ ������ คือ ค่าคงที่โน้มถ่วงสากล มีค่าเทา่ กับ6.67 × 10–11N.m2/kg2 ������������������ = ������������2 ������ คือ มวลของโลก ������2 ������ ������ คือ มวลของดาวเทียม ������2 = ������������ ������ คอื อัตราเรว็ ในการโคจรของดาวเทียม ������ ������ คือ รัศมวี งโคจรของดาวเทียม ������ = √������������ ������ จากสมการ ������ = √������������จะสามารถคำนวณหาอตั ราเรว็ ของดาวเทยี มท่ีโคจรรอบโลกได้ การส่งดาวเทียมขึ้นไป ������ โคจรรอบโลกนน้ั จะตอ้ งมกี ารกำหนดระดับวงโคจรของดาวเทยี มก่อน แล้วจึงคำนวณหาแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำกับ ดาวเทยี มและอตั ราเร็วเชิงเส้นในวงโคจรนน้ั ๆ เมื่อยิงดาวเทียมขึ้นไปจนถึงระดับความสูงของวงโคจรตามที่ต้องการแล้วจึง ปรับทศิ ทางและอตั ราเรว็ ของดาวเทียมใหต้ รงกบั ที่คำนวณไว้เพอ่ื ให้ดาวเทียมโคจรรอบโลกได้ ขณะท่ดี าวเทยี มโคจรรอบโลก จะมคี วามเร่งในทศิ ทางเข้าสู่ศูนย์กลางของโลกตลอดเวลา ซ่ึงความเรง่ น้ีจะมีค่าเท่ากบั ความเรง่ โนม้ ถ่วงของโลก (���⃑���) จงึ ทำให้ วัตถุที่โคจรรอบโลกมีสภาพเหมือนกับตกอย่างอิสระอยูต่ ลอดเวลา มนุษย์อวกาศที่อยู่ในดาวเทยี มหรอื สถานีอวกาศจึงไมม่ ี แรงท่ีเท้ากระทำตอ่ พืน้ ทำใหอ้ ยู่ในสภาพไรน้ ้ำหนกั

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลือ่ นท่ีแนวโค้ง (วงกลม) หน้า 10 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกส์เพ่ิมเติม 2 ระดับชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ในปจั จบุ นั ดาวเทยี มที่โคจรรอบโลกมีจำนวนมาก ดาวเทียมแต่ละดวงจะทำหน้าที่ต่างกัน ตวั อยา่ งเช่น ดาวเทียม อุตนุ ิยมวทิ ยา ดาวเทียมสำรวจทรพั ยากรธรรมชาติ ดาวเทยี มสื่อสาร ซึ่งดาวเทียมแต่ละประเภทจะมีระดับความสูงของวง โคจรตา่ งกัน จงึ มอี ัตราเร็วในวงโคจรแตกตา่ งกันดว้ ย ส่วนดาวเทียมค้างฟ้าจะโคจรด้วยอัตราเร็วเท่ากับอัตราเร็วที่โลก หมนุ รอบตวั เอง จะมตี ำแหนง่ ในวงโคจรที่แนน่ อนเมอื่ เทยี บกบั พนื้ โลก จึงอย่ตู รงกับตำแหน่งทกี่ ำหนดไว้บนพ้ืนโลกตลอดเวลา วงโคจรนเี้ รียกวา่ วงโคจรค้างฟา (geostationary orbit) การหาคาบของดาวเทียมที่ระดับความสูงต่าง ๆสามารถทำได้ ดงั นี้ แรงดึงดูดระหวา่ งมวลจะทำหนา้ ท่เี ป็นแรงสูศ่ นู ยก์ ลาง ความรู้เพ่มิ เตมิ จะไดว้ ่า วงโคจรของดาวเทียม ������������ = ������������ ดาวเทียมแตล่ ะดวงจะมีวงโคจรทร่ี ะยะหา่ งจากโลกไม่เท่ากนั ซึง่ ������������������ = ������������2 ขึ้นอยกู่ บั ประเภทและลักษณะการใชง้ านของดาวเทยี มน้ันๆ วงโคจรของ ������2 ������ ดาวเทยี มจะแบง่ ออกเป็น 3 ระดับ ตามระดับความสงู จากพ้นื โลก ดังนี้ 1. วงโคจรประจำที่ (geosynchronous earth orbit : GEO) ������������������ = ������������2������ อยู่ที่ระยะความสูงจากพนื้ โลก 35,786 กโิ ลเมตร เป็นวงโคจรทีอ่ ยู่ไกลโลก ������2 มากทสี่ ดุ มเี ส้นทางโคจรอยูใ่ นแนวเสน้ ศนู ย์สตู ร และโคจรรอบโลกด้วย ความเร็วเชิงมุมเทา่ กับโลกหมนุ รอบตัวเอง ทำใหด้ ูเหมอื นลอยนงิ่ อยเู่ หนือ ������������������ = ������ (2������)2 ������ จุดหนงึ่ ของโลกตลอดเวลา จึงเรยี กว่า ดาวเทียมค้างฟา้ และเรียกวงโคจร ������2 น้วี า่ วงโคจรค้างฟ้า มคี าบการโคจรเทา่ กบั โลกโคจรรอบตัวเองคือ ������ ประมาณ 24 ช่ัวโมง ������2 = (2������)2������3 2.วงโคจระดับปานกลาง (medium earth orbit : MEO) เป็นดาวเทยี มที่ไม่ได้หยุดนงิ่ เม่ือเทียบกบั พื้นโลก โคจรทรี่ ะดบั ความสงู ������������ ประมาณ 2,000-35,000 กิโลเมตรจากพนื้ โลก สว่ นใหญเ่ ป็นดาวเทียม ส่อื สารและนำทาง เช่น ดาวเทียมจพี ีเอส (GPS) ������ = 2������√ ������3 3. วงโคจรระดับตำ่ ของโลก (low earth orbit : LEO) ������������ โคจรที่ระยะความสูงจากพ้นื โลกประมาณ 120-2,000กโิ ลเมตร เปน็ ดาวเทียมสงั เกตการณ์และสำรวจสภาวะแวดลอ้ ม โครงสร้างของชนั้ หิน จากสมการ จะเห็นได้ว่า คาบของการโคจรนั้นจะขึ้นอยู่ การถา่ ยภาพทำแผนท่ีดาวเทยี ม ด้านอตุ ุนยิ มวิทยา รวมถึงการคน้ หาและ กับรศั มขี องวงโคจร กภู้ ยั ดาวเทียมประเภทนีไ้ มส่ ามารถใชง้ านในบรเิ วณใดบริเวณหนึง่ ได้ ยิ่งวงโคจรอยูห่ ่างจากโลกมาก เวลาท่ดี าวเทยี มใช้ในการ ตลอดเวลาเน่ืองจากมีความเร็วในการเคล่อื นทส่ี ูง ดาวเทียมบางดวงใน โคจรรอบโลก 1 รอบก็จะยงิ่ มคี า่ มากด้วยเช่นกัน ระดับวงโคจรน้ีสามารถมองเหน็ ไดด้ ้วยตาเปลา่ ในเวลาคำ่ หรือกอ่ นสวา่ ง โดยจะมองเหน็ เป็นจุดสวา่ งจดุ เลก็ ๆ เคลือ่ นท่คี ่อนขา้ งเรว็

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคล่อื นทีแ่ นวโค้ง (วงกลม) หน้า 11 รายวิชา ว31206 ฟิสิกส์เพม่ิ เตมิ 2 ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 ความร้เู พมิ่ เติม การเคลือ่ นท่ีแบบวงกลมในกรณตี ่าง ๆ ที่ไดเ้ รียนมาแล้วน้นั เปน็ การเคลอ่ื นที่ดว้ ยอัตราเรว็ คงตวั แตย่ ังมกี ารเคล่ือนท่ี แบบวงกลมอกี กรณีหน่ึงท่ีมอี ัตราเร็วไม่คงตวั น่ันคือ การเคลือ่ นที่แบบวงกลมในแนวดง่ิ ซ่ึงในชวี ิตประจำวัน อาจพบเห็นได้ จากการเคลื่อนที่ของรถไฟเหาะ หรือการผูกเชอื กกับวัตถุแล้วแกว่งเป็น วงกลมในแนวดิ่ง การเคล่ือนทีล่ กั ษณะน้ีเปน็ การเคลอื่ นท่ีด้วยอัตราเร็ว เชิงมุมที่มีคา่ ไมส่ ม่ำเสมอ และแรงท่ีกระทำตอ่ วัตถุจะเป็นแรงลัพธ์ซ่งึ ได้ จากการรวมแรงในแนวเส้นสัมผัสวงกลมและแรงสู่ศูนย์กลางเข้าดว้ ยกนั สว่ นความเรง่ ในการเคลอื่ นที่ของวตั ถจุ ะเกิดจากการรวมความเรง่ ในแนว เส้นสมั ผัสวงกลมและความเรง่ เขา้ ส่ศู ูนย์กลางของวัตถุ เมื่อพิจารณาความเร่งของวตั ถหุ นึง่ ทผี่ ูกตดิ กับเชือกแลว้ แกว่ง เป็นวงกลมในแนวดิ่ง ดงั รปู การเคลอ่ื นทเ่ี ป็นวงกลมในแนวดงิ่ ของรถไฟเหาะ ขณะที่วตั ถุเคลอ่ื นทจี่ ะมแี รงกระทำต่อวตั ถุ 2 แรง คือ แรงตึงเชอื ก (���⃑⃑���) และแรงเนอ่ื งจากน้ำหนกั ของวตั ถุ (m���⃑���) จะสามารถหาแรงตึงเชอื กท่ี ตำแหนง่ A, B, C, D และ E ได้ ดังนี้ จาก ������������ = ������������������ = ������������2 ������ ท่ี A : ������������ − ������������ = ������������2 ������ ท่ี B : ������������ − ������������ cos ������ = ������������2 ������ ท่ี C : ������������ = ������������2 ������ ท่ี D : ������������ + ������������ cos ������ = ������������2 ������ ท่ี E : ������������ + ������������ = ������������2 ������

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอื่ นท่แี นวโค้ง (วงกลม) หนา้ 12 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ ส์เพม่ิ เติม 2 ระดบั ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 แบบฝึกทักษะ การเคลื่อนท่แี บบวงกลม (1) โจทยเกี่ยวกับแรงดนั พืน้ และแรงดงึ เชือก ความรพู้ ้ืนฐาน เกี่ยวกบั ปริมาณการเคลอ่ื นทแี่ บบวงกลม 1. วัตถุช้นิ หนง่ึ เคล่อื นทเ่ี ป็นรูปวงกลมด้วยอัตราเรว็ 20 รอบในเวลา 4 วนิ าที จงหา ก) ความถี่ ข) คาบ ค) ถา้ รัศมีของการเคลอื่ นทเ่ี ป็น 2 เมตร จงหาอัตราเร็ว 2. วัตถหุ นึง่ เคลอ่ื นที่เป็นวงกลมของพบว่า ช่วงเวลา 2 วนิ าที เคลอ่ื นท่ไี ด้ 10 รอบ ถ้ารัศมี การเคล่ือนที่มคี ่า 0.2 เมตร อัตราเร็วเชงิ เส้นของวตั ถนุ ีจ้ ะเป็นเท่าไร 3. จงหาความเร่งเข้าสู่ศนู ย์กลางวตั ถุทเ่ี คล่อื นที่เป็นรูป วงกลมรศั มี 16 เมตร ด้วยอัตราเรว็ 40 เมตรต่อวนิ าที

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลอื่ นทแี่ นวโคง้ (วงกลม) หนา้ 13 รายวชิ า ว31206 ฟิสกิ สเ์ พิม่ เตมิ 2 ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 โจทยเกีย่ วกับ แรงดันพ้ืน (N) 4. เครื่องบนิ ไอพ่น บินเป็นวงกลมในแนวดิง่ รัศมี 100 เมตร และอัตราเร็วคงที่ 100 เมตร/วินาที นักบินมีมวล 50 กโิ ลกรัม อยากทราบว่า แรงปฏกิ ริ ยิ าท่ีเบาะนง่ั กระทาํ ต่อนกั บินเป็นเท่าไร ขณะเคร่อื งบินอยู่ที่จดุ สงู สุด 5. วตั ถกุ ลมเล็กอันหน่ึงมมี วล m วางอยู่จดุ บนสดุ ของครึง่ ทรงกลมตนั ซ่ึงมีมวล m รศั มี R จงหาอตั ราเรว็ ในแนวระดับทน่ี ้อย ที่สุดทจี่ ะทําให้วัตถุหลดุ ออกผิวทรงกลมโดยไม่มกี ารเลอ่ื นไถลลงมาตามผวิ และให้ N เปน็ แรงที่ทรงกลมกระทาํ ต้อวตั ถุใน แนวตง้ั ฉากกบั ผิวทรงกลม 6. รถยนตอ่ มวล 1200 กิโลกรัม กําลังวิ่งด้วยอตั ราความเร็ว v เมตรต่อวนิ าที ข้ามสะพานทีจ่ ุดสงู สุดของสะพานซึง่ มีรัศมี ความโคง้ ในระนาบด่ิง 12 เมตร จงหาอตั ราเรว็ v ท่พี อดที าํ ให้รถยนต์เริม่ หลุดจากความโค้งของสะพาน

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคล่ือนทีแ่ นวโค้ง (วงกลม) หน้า 14 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกส์เพ่มิ เตมิ 2 ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 โจทยเกย่ี วกบั แรงดึงเชอื ก (T) 7. มวล m ผูกกับเชือกเบาวางบนโต๊ะล่นื ตรงกลางโต๊ะเจาะรูเอาเชือกคล้องผ่านรูแล้วไปผูก กบั มวล M มวล m เคล่อื นทีเ่ ปน็ วงกลมด้วยอัตราเรว็ 10 เมตร/วินาที โดยมรี ัศมกี าร เคลือ่ นที่ 0.2 เมตร ถามว่าถ้ามวล M ไม่เคล่อื นขึ้นลง มวล M จะสัมพนั ธ์กับ m อย่างไร 8. ลูกบอลมวล 0.1 กิโลกรมั แขวนด้วยเชอื กเบาทาํ มมุ 30o กับแนวด่ิงแกว่งให้เป็นวงกลมรัศมี 0.4 เมตร ด้วยความเรว็ เชงิ เสน้ 6 เมตร/วินาที แรงตงึ ของเส้นเชอื กมคี ่ากน่ี ิวตัน 9. ผกู เชือกเบาติดกบั ลกู บอลมวล 1 กโิ ลกรมั แกว่งเชือกให้เปน็ วงกลมในแนวดิ่งรศั มี 0.2 เมตร ด้วยความเรว็ เชิงเส้น 4 เมตร/วินาที จงหาแรงตึงของเชือกขณะท่ีลูกบอลอยู่ทตี่ ําแหน่งสูงสดุ 10.วัตถุมวล 1.0 กิโลกรมั ผกู ติดกบั เชอื กยาว 5 เมตร ถ้าถอื วตั ถุอนั นีใ้ ห้เชือกตึง และอยู่ในแนวระดับก่อนแล้วจึงปล่อยให้ วัตถตุ กลงมาอยากทราบว่า ก) เมอื่ วัตถุแกว่งถงึ จดุ ต่ำสุดจะมีอัตราเร็วเท่าใด ข) ทจี่ ุดต่ำสุดเชือกมีแรงตงึ เท่าใด

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคล่อื นทแ่ี นวโคง้ (วงกลม) หนา้ 15 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกส์เพม่ิ เตมิ 2 ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 11. วตั ถุมวล 2 กโิ ลกรมั ผูกไว้ด้วยเชือกเส้นหนึง่ แล้วแกว่งให้หมนุ เป็นวงกลมในแนวดิ่งมรี ศั มี 10 เมตร เมอื่ วตั ถถุ กู แกว่งขึ้น มาถงึ จุดสูงสุดวัตถตุ ้องมคี วามเรว็ น้อยทส่ี ุดเทา่ ไร วตั ถจุ งึ จะยังคงเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้ 12. นําวตั ถุมวล m ผูกติดเชอื กแล้วแกว่งเป็นวงกลมในระนาบดงิ่ มีรศั มี R อตั ราเรว็ ที่น้อยทีส่ ดุ ในวงกลมทีว่ ตั ถุจะเคลื่อนที่มี วิถเี ปน็ วงกลมสมบูรณ์ได้จะมคี ่าเท่าใด 13. วตั ถุมวล 0.5 กิโลกรัม ผกู ตดิ กับเชือกยาว 1.0 เมตร แกว่งเป็นวงกลมในแนวดิ่ง เมอื่ เชือกทาํ มุม 60o กบั แนวดิง่ จาก ตาํ แหน่งต่ำสดุ ของวิถที างโคจรของวัตถุ จงหาความตงึ ในเส้นเชอื ก ถ้าขณะนั้นอัตราเร็วในการเคลอื่ นท่ที ี่ตําแหน่งเป็น 3.0 เมตร/วินาที 14. แขวนมวล m ด้วยเชือกยาว L แล้วทําให้แกว่งขณะท่ีเชอื กทํามมุ θ กบั แนวดิ่งซ่งึ วัตถุหยดุ พอดี จงหาความตงึ เชอื ก ขณะน้ัน

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลื่อนทีแ่ นวโค้ง (วงกลม) หนา้ 16 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกส์เพิ่มเติม 2 ระดบั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 การเคลือ่ นทแี่ บบวงกลม (2) โจทยเกีย่ วกบั แรงเสียดทานและแรงดึงดูดระหวางมวล โจทยเก่ยี วกบั แรงเสียดทาน (f) 15. แผนเสยี งแผนหน่งึ วางอยใู นแนวระดบั เมอ่ื เอาเหรยี ญอนั หน่ึงมาวางไวหางจาก จุดศนู ยกลางของแผนเสยี งเปนระยะ 11 เซนติเมตร ปรากฏวาเหรียญอนั นีจ้ ะหมุนติดไปกับ แผนเสยี งไดโดยไมไถลหลุดจากโตะ ถาอัตราการหมุนของแผน นอยกวา 5/6 รอบตอวินาที จงหาสมั ประสทิ ธ์ิความเสยี ดทานสถติ ระหวางเหรยี ญกับแผนเสียง 16. เหรยี ญวางอยูทร่ี ะยะ 20 cm จากศนู ยกลางแผนเสียง ถาสัมประสทิ ธคิ์ วามเสียดทานสถิตยระหวางเหรียญและแผน เสียงเปน 0.125 จงหาจํานวนรอบทีม่ ากที่สุดใน 1 วินาที ที่แผนเสยี งแลวเหรยี ญยงั คงอยูนิง่ เทียบกบั แผนเสียง 17. ตามรูปเปนการแสดงคนไตถังซ่งึ หาชมไดตามงานท่ัวไป โดยจะมีถงั ขนาดใหญเปนรูปทรงกระบอก หมนุ แลวผูแสดงทั้งเดก็ และผูใหญสามารถติดที่ผนังดานในของถังแลวเดนิ ขน้ึ ลงไดสมมติคนมีมวล m โดยที่ r เปนรัศมีของถังและขณะนัน้ ถังหมุนจนทําใหคนมีอัตราเร็วเชิงเสน v คาสัมประสิทธ์ิ ของความเสยี ดทานสถิตระหวางคนกับถังเทาไร

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลอื่ นที่แนวโค้ง (วงกลม) หนา้ 17 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ ส์เพิ่มเติม 2 ระดบั ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 18. จากขอท่ี 17 ถา µ เปนสัมประสิทธิ์ระหวางคนกับผนังดานในของถัง จงคํานวณความถี่ต่ําสุดที่ถังหมุนแลวคนยังคง คิดอยไู ด้ 19. กาํ หนดใหรถจกั รยานยนตเลี้ยวโคงบนถนนรัศมีความโคง 0.1 km ดวยอัตราเร็ว 36 km/hr ไดอยางปลอดภัย แมฝนตก ทางล่ืน คนขับตองเอยี งตัวทํามุมกบั แนวด่ิงเทาใด 20. ผขู ับข่ีรถจกั รยานยนตเลยี้ วโคงบนถนนราบทม่ี ีรัศมีความโคง 40 เมตร คนขับตองเอียงรถทํามมุ 37o กบั แนวดงิ่ ขณะน้ัน ผขู ับขีข่ บั รถในอัตราเร็วกีเ่ มตร/วินาที 21. รถยนตคนั หน่ึงแลนดวยความเรว็ 60 กโิ ลเมตร/ชั่วโมง เม่อื รถคนั นเ้ี ลย้ี วโคงบนถนนมรี ัศมคี วามโคง 150 เมตร พ้ืนถนน ควรเอียงทาํ มุมกบั แนวระดบั เทาใด รถจึงจะเลย้ี งโคงอยางปลอดภัย

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลือ่ นท่ีแนวโค้ง (วงกลม) หน้า 18 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ สเ์ พิม่ เตมิ 2 ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 โจทยเกยี่ วกับ แรงดึงดูดระหวางมวล (FG) 22. จงหาแรงดงึ ดูดระหวางโลกกบั ดวงอาทิตยในหนวยนวิ ตัน ถาโลกมีมวล 5.98 x 10 24 kg อยูหางจากดวงอาทติ ยประมาณ 1.5 x 108 km และหมุนรอบดวงอาทติ ย 1 รอบใชเวลา 365 วัน 23. ดาวเทียมมวล 6 kg หมนุ รอบโลกเปนวงกลมรัศมี 7000 km และทค่ี วามสูงระดับนแ้ี รง ดงึ ดูดของโลกมีคาเทากับ 7 N/kg จงคาํ นวณหาความเร็วและคาบการหมุนของดาวเทียมน้ี 24. ดาวเทียมดวงหนึ่งโคจรรอบโลกที่ความสูง 600 กโิ ลเมตร จากผวิ โลกและมีอตั ราเรงเน่ืองจากความโนมถวงเปน 8.2 เมตรตอ(วินาที)2 จงหาอัตราเร็วของดาวเทยี ม (รศั มขี องโลกคือ 6,400 กิโลเมตร)

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอื่ นทแ่ี นวโค้ง (วงกลม) หน้า 19 รายวิชา ว31206 ฟิสิกส์เพม่ิ เตมิ 2 ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 25. ถายานอวกาศลําหนึง่ สามารถปรบั ใหวงิ่ วนเปนวงกลม รอบดวงจนั ทรทร่ี ะยะรศั มี 1.8 x106 เมตร จงหาคาบของการ โคจรครบรอบของยานอวกาศลําน้ี เมอื่ ความเรงเนอื่ งจากแรงโนมถวงท่บี รเิ วณนนั้ ของดวงจันทรมีคาเปน 1/6 เทาของ ความเรงทผ่ี ิวโลก 26. ดาวเทียมเคลอ่ื นท่ีเปนวงกลมรอบโลก โดยมรี ะยะหางจากผิวโลกเทากับรัศมีของโลก อัตราเร็วของดาวเทียมมคี า กีเ่ มตรตอวินาที (มวลโลก = 6 x1024 kg , รัศมีโลก = 6.4 x 106 m) 27. ถาวงจรของโลกรอบดวงอาทติ ยเปนวงกลม และ ถารัศมขี องวงโคจรเพ่ิมข้นึ เปน 2 เทา อยากทราบวาคาบของการโคจร จะเพิม่ เปนก่ีเทา

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลอ่ื นท่ีแนวโค้ง (วงกลม) หนา้ 20 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ ส์เพม่ิ เตมิ 2 ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 โจทยเก่ยี วกับ อัตราเรว็ เชงิ มุม 28. การหมนุ รอบตัวของโลกรอบละ 24 ชัว่ โมง กําหนด รศั มีโลกเทากบั 6.37 x 106 เมตร จงหา ก) อัตราเรว็ เชิงมุมที่ผวิ โลก ข) อัตราเรว็ ของวัตถทุ ผ่ี ิวโลก ค) ความเรงสูศูนยกลางท่เี สนศนู ยสูตร 29. วัตถุมวล m วางบนจานกลมทีก่ ําลงั หมุน ดวยอัตราเรว็ เชิงมุม 2π เรเดยี น/วนิ าที ถาวตั ถุวางอยูหางจากศูนยกลางของ จานเปนระยะ r และขณะทีห่ มุนวัตถุไมมีการไถลแรงเสยี ดทานทก่ี ระทําตอวัตถเุ ทากับเทาไร

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลื่อนทแี่ นวโค้ง (วงกลม) หน้า 21 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกส์เพมิ่ เตมิ 2 ระดับชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 30. ถาในการทดลองเก่ยี วกบั การเคล่ือนท่เี ปนวงกลม ขณะท่วี ตั ถุมวล M 0.2 m เคล่ือนทด่ี วยรศั มีความโคง 0.8 เมตรนั้น น้ำหนกั ของวตั ถทุ าํ ใหวตั ถุ อยตู ่ำกวาปลายเชือกท่ีแกนหมนุ 0.2 เมตร ดังรปู อัตราเร็วเชงิ มุม ของการเคลือ่ นที่จะตองเปนเทาไรในหนวยเรเดยี น/วินาที 31. วตั ถผุ ูกติดปลายเชอื กแลวแกวงเปนวงกลมสม่ำเสมอตามแนวราบแบบฐานกรวย ถารศั มขี อง การแกวงเปนวงกลม 30 เซนติเมตร และมวลของวัตถุ 0.5 กิโลกรัม เชือกยาว 50 เซนติเมตร อตั ราเร็วเชิงมมุ ของการแกวงเปนก่ีเรเดยี นตอวินาที

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคลื่อนท่ีแนวโค้ง (วงกลม) หน้า 22 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พ่มิ เตมิ 2 ระดับช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 แบบทดสอบ การเคลอื่ นทีแ่ บบวงกลม 1. นำเชือก 2 เมตร ผูกกับวัตถุมวล 0.2 กิโลกรัม แล้วจับปลายเชือกอีกด้านหนึง่ เหว่ียงวตั ถุให้เคลื่อนท่ีเปน็ วงกลมใน ระนาบระดบั ด้วยอัตราเร็ว 3 เรเดยี นตอ่ วินาที แรงตึงเชือกขณะเหวี่ยงวตั ถมุ คี า่ เท่าไร 1. 1.5 N 2. 2.7 N 3. 3.2 N 4. 3.6 N 2. แผน่ กลมรศั มี 20 เซนติเมตร อยู่ในระนาบระดบั และกำลังหมุนรอบจุดศนู ยก์ ลางด้วยอัตราเร็ว 0.5 รอบตอ่ วินาที มี มวลรปู ลกู บาศก์เล็กๆ วางทขี่ อบของแผน่ กลม สัมประสิทธ์ิความเสยี ดทานระหวา่ งมวลกับผิวของแผน่ กลมจะต้องมี ค่าอย่างนอ้ ยเทา่ ไร มวลนี้จงึ จะไมไ่ ถลบนแผนกลม 1. 0.2 2. 0.4 3. 0.6 4. 0.8 3. ดาวเทียมดวงหนึง่ โคจรรอบโลกทีค่ วามสูง 600 กิโลเมตรจากผิวโลก และมีอัตราเร่งจากแรงโน้มถ่วง 8.2 เมตรต่อ วินาที2 จงหาอตั ราเร็วเชิงเส้นของดาวเทยี ม เมื่อกำหนดใหร้ ัศมขี องโลกเท่ากับ 6,400 กโิ ลเมตร 1. 6.6 m/s 2. 7.6 m/s 3. 8.6 m/s 4. 9.6 m/s 4. รถคนั หนึ่งมีมวล 1,000 กิโลกรมั เคล่ือนท่ีบนรางโค้งตีลังกาที่มีรัศมี10 เมตร ด้วยคงามเร้วคงที่ 20 เมตรต่อวินาที แรงปฏกิ ิรยิ าทรี่ างกระทำต่อรถขณะที่รถอยูท่ ่ีตำแหนง่ ตรงกบั ศูนยก์ ลางของรางในแนวระดับจะมคี า่ เท่าไร 1. 30,000 N 2. 37,000 N 3. 40,000 N 4. 48,000 N 5. ดาวเทียมหมุนรอบโลกเป็นวงกลมโดยอยูส่ งู จากผิวโลก 300 กโิ ลเมตร และรัศมขี องโลกเท่ากับ 6,380 กิโลเมตร จง หาความเรว็ ของดาวเทียม กำหนดให้มวลของโลกเท่ากบั 5.981024 กิโลกรัม 1. 7.73 km/s 2. 8.94 km/s 3. 9.43 km/s 4. 10.0 km/s

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคล่ือนท่ีแนวโคง้ (วงกลม) หนา้ 23 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พิ่มเติม 2 ระดบั ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 6. กำหนดให้ถนนราบโค้งมีรัศมีความโค้ง 20 เมตร ถ้าสัมประสิทธ์ิความเสียดทานระหว่างยางรถกับถนนมีค่าเท่ากบั 0.4 รถจะเลีย้ วโค้งได้ดว้ ยความเร็วสูงสุดเท่าไรจึงจะไม่ไถลออกนอกโค้ง 1. 6 m/s 2. 7 m/s 3. 8 m/s 4. 9 m/s 7. อาทิตยข์ ่ีรถจกั รยานยนตเ์ ล้ียวโค้งบนถนนราบที่มีรัศมีความโค้ง 40 เมตร จะตอ้ งเอยี งรถทำมุม 37 องศากับแนวดิ่ง ขณะเลี้ยวโคง้ อาทิตยข์ ีร่ ถดว้ ยอัตราเร็วเท่าไร 1. 14.14 m/s 2. 15.24 m/s 3. 17.32 m/s 4. 18.16 m/s 8. ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างล้อรถกับพื้นถนนลดลงครึ่งหนึ่ง ความเร็วสูงสุดของรถขณะเลี้ยวโค้งอย่าง ปลอดภยั จะเปล่ยี นแปลงอย่างไร 1. เพ่ิมขนึ้ 30% 2. ลดลง 30% 3. ลดลง 70% 4. ไม่เปลี่ยนแปลง 9. วตั ถเุ คลอื่ นทเี่ ป็นวงกลมดว้ ยอตั ราเร็วตามเสน้ รอบวงคงท่ี จะมีความเร่งเปน็ อย่างไร 1.ไมม่ คี วามเรง่ 2.มีความเรง่ ในทิศออกไปจากจดุ ศนู ยก์ ลาง 3.มคี วามเร่งในทศิ เข้าสูจ่ ุดศนู ย์กลาง 4.มคี วามเรง่ ในแนวเสน้ สัมผสั กับวงกลม 10. วตั ถุสองกอ้ นมีมวลเทา่ กนั เคลือ่ นในแนววงกลมมีคาบการเคลอ่ื นท่เี ทา่ กัน แต่รศั มคี วามโค้งไมเ่ ทา่ กัน ขอ้ ใดถกู ต้อง 1. วัตถุทัง้ สองมอี ตั ราเร็วเชงิ มุมเท่ากัน 2. วตั ถทุ ง้ั สองมีอตั ราเร็วเชงิ เส้นเท่ากนั 3. วตั ถทุ งั้ สองมีความเรง่ สู่ศนู ย์กลางความโค้งเท่ากัน 4. วตั ถทุ ง้ั สองมแี รงสศู่ นู ย์กลางความโค้งเทา่ กัน 11. เขม็ วนิ าทขี องนาฬิกามีอัตราเร็วเชงิ มมุ ในหน่วย เรเดียน/วนิ าทีเทา่ ใด 1. ������ 2. ������ 60 30 3. ������ 4. 2������ 12. วัตถุหน่งึ เคลอ่ื นทแี่ บบวงกลมในแนวระดับดว้ ยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ คงท่ี เมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที ถ้าวตั ถุกวาดทำมุม ได้ 60 o จงคำนวณหาคาบของการเคลื่อนท่ี 1. ������ วนิ าที 2. 15 วนิ าที 15 3. ������ วินาที 4. 12 วินาที 12

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลื่อนทีแ่ นวโคง้ (วงกลม) หน้า 24 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พม่ิ เตมิ 2 ระดับช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 13. มวล 1.5 กิโลกรัม เคลือ่ นทไ่ี ปตามเสน้ รอบรศั มี 2.5 เซนติเมตร ด้วยอตั รา 2 รอบ/วินาที จงหาว่าอตั ราเร็ว เชิงเสน้ ของมวลน้ีในหน่วย เมตร/วินาทมี ีคา่ เทา่ ใด 1. ������ 2. ������ 8 10 3. 100 4. 1250 14. การเคลือ่ นทขี่ องวตั ถุเปน็ วงกลมดว้ ยอัตราเร็วสมำ่ เสมอ ถา้ อัตราเรว็ ของการเคลื่อนที่เพม่ิ ขึ้น เปน็ 2 เทา่ โดยทีร่ ศั มี ยังคงเทา่ เดิม แรงเข้าสศู่ นู ย์กลางจะเป็นอย่างไร 1. เทา่ กบั ครึ่งหนึง่ ของค่าเทา่ เดิม 2. เท่าเดมิ 3. เพม่ิ ข้ึนเปน็ 2 เท่า 4. เพิม่ ขึน้ เป็น 4 เท่า 15. รถยนต์มวล 1000 kg วิ่งด้วยอัตราเร็ว 36 กิโลเมตร/ชว่ั โมง บนทางโค้งรศั มี 100 m แรงทท่ี ำใหร้ ถวง่ิ โคง้ จะ มีค่าเทา่ ใด 1. 360 นิวตัน 2. 1000 นวิ ตนั 3. 3600 นวิ ตัน 4. 10000 นิวตนั 16. ถ้าสมั ประสทิ ธ์ขิ องความเสียดทานระหวา่ งยางกับถนนเป็น 0.20 รถจะใช้ความเร็วสูงสุดเทา่ ใด เมอ่ื ตอ้ งการเลยี้ ว โคง้ รศั มี 200 m ไดโ้ ดยไม่ลนื่ ไถล เม่ือถนนอยูใ่ นแนวระดับ 1. 20 เมตร/วินาที 2. 20√2 เมตร/วนิ าที 3. 40 เมตร/วินาที 4. 400 เมตร/วนิ าที 17. ดาวเทียมมวล m โคจรรอบโลก โดยมีวงโคจรอยู่สูงจากพ้ืนโลกไม่มากนกั ถ้า R เปน็ รัศมขี องวงโคจรของ ดาวเทียมดวงน้ี และ v เป็นอตั ราเรว็ ของดาวเทียม ความสัมพันธ์ของตวั แปรตามตัวเลอื กตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดถกู ต้อง 1. ������ = ������ℎ 2. ������2 = ������ ������ 3. ������2 = ������������ 4. ������2 = ������������ ������ 18. ถ้าดาวเทียมเคลื่อนทเี่ ปน็ วงกลมรอบโลกใหน้ ักเรยี นพิจารณาว่าในขอ้ ต่อไปน้ี ก.ความเรง่ ของดาวเทยี มมีคา่ คงที่ ข.ดาวเทียมมีความเรง่ สโู่ ลกเสมอ ค.เวลาทดี่ าวเทียมเคลอ่ื นทค่ี รบรอบคงที่ ข้อใดบ้างท่ี เป็นจริง 1. ข้อ ก เท่านัน้ 2. ข้อ ข เทา่ น้ัน 3. ข้อ ค เท่านน้ั 4. ท้งั 3 ขอ้ เป็นจรงิ

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลื่อนทแ่ี นวโค้ง (วงกลม) หน้า 25 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ ส์เพิม่ เตมิ 2 ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 19. นำวัตถุมวล m ผูกติดเชอื กแลว้ แกว่งเป็นวงกลมในระนาบดิง่ มรี ัศมี R อัตราเรว็ ท่นี อ้ ยทส่ี ุดในวงกลมที่วัตถจุ ะ เคล่อื นทม่ี ีวถิ ีเป็นวงกลมสมบรู ณไ์ ดจ้ ะมคี า่ เทา่ ใด 1. √3������������ 2. √2������������ 3. √������������ 4. √������2������ 20. วตั ถุมวล 2 กโิ ลกรัม ผกู ไวด้ ว้ ยเชือกเสน้ หนง่ึ แล้วแกว่งให้หมนุ เปน็ วงกลมในแนวดิ่งมรี ัศมี 10 เมตร วัตถุตอ้ งมี ความเร็วน้อยทีส่ ดุ เท่าไร จงึ จะยงั คงเคล่ือนที่เปน็ วงกลมได้ 1. 20 เมตร/วินาที 2. 15 เมตร/วนิ าที 3. 10 เมตร/วนิ าที 4. 5 เมตร/วินาที