Calculus-1

1 5  −x2 + 8 x + 4  2 17 dx 3 3 ∫= − + 23 1 33 2 28 −  − 4 2 9 x 3 5  8 4 2 ∫1 17 d  x − 4  3  3 3  33 3 =− − x 2 + x + +  28 2 −  x − 4 2  3  3    5  −x2 8 4 1 17 x −4 3 3 3 33 3 =− + x + 2 + arcsin + C  28 3 1 3x − 4 28 =− 5  −x2 + 8 x + 4 2 + 17 arcsin + C . 3 3 3  33 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (8x + 7) dx 6. ∫ ( x + 4) dx 4x2 +16x − 3 x2 + 4x + 5 2. ∫ ( x + 2) dx 7. ∫ ( x −1) dx x2 + 2x + 2 −x2 − 4x + 5 3. ∫ (5 − 4x) dx 8. ∫ (3x + 7) dx 3x2 − 2x +1 2x2 −5x −1 4. ∫ (8x −11) dx 9. ∫ (4 − 5x) dx 9 − 6x − 4x2 6 + 7x −5x2 5. ∫ (7x − 4) dx 10. ∫ (9x − 5) dx . x2 − 2x −3 2 − 4x − 4x2 ( )∫ຮູບຮ່ າງ 3: p xm a + bxn dx ວທິ ແີ ກ:້ ຖາ້ ວ່ າ m +1 ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເຮາົ ວາງ a + bxn = t s ເຊ່ ງິ ວ່ າ s ແມ່ ນພຸດຂອງ p . n ຖາ້ ວ່ າ m +1 + p ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເຮາົ ວາງ ax−n + b = t s ເຊ່ ງິ ວ່ າ s ແມ່ ນພຸດຂອງ p . n 97

∫ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ 3 1+ 4 x dx x ບດົ ແກ:້ 1 ∫ ∫3 1 + 4 x dx = −1  + 1 3 dx 1  x2 x4 x  ກາໍ ນດົ ຄ່ າ: m = − 1 , n = 1 , p = 1 , s = 3, a = 1, b = 1 24 3 ສະແດງວ່ າ: m+1 = − 1 +1 ເປັນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. 2 =2 n1 4 1 ສະນນັ້ , ວາງ 1 + x4 = t3 1 1+ x4 = t3 1 x4 =t3 −1 ( )x = t3 −1 4 ( )dx = d t3 −1 4 ( ) ( )dx = 4 t3 −1 ′ t3 −1 3 dt ( )dx = 12t2 t3 −1 3 dt ( )dx = 12t2 t3 −1 3 dt ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ 1 −1 2 ∫ ∫ ( ) ( ) ( )−113 x21  + x4 dx =  t3 −1 4 t3 1 t3 −1 3 dt   3 .12t 2 ( ) ( )∫= 12 t3 −1 −2 t3 t3 −1 3 dt = 12∫ t3 (t3 −1)dt = 12∫ (t6 − t3 )dt 98

=  t7 − t4  +C 12  7 4  = 12 t7 − 3t4 + C 7 ( ) ( )= 12 7 4 7 3 1+ 4 x 3 1+ 4 x −3 + C. ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫1. x 3 1+ x2 dx 5. ∫ x2 1+ x dx 2. ∫ x2 3 − x dx ∫( )1 6. x3 + 3 4 x5 dx ∫3. x5 x3 +1 dx ∫7. x3 dx 3 x2 + 4 4. ∫ x − 4 dx 8. ∫ dx x 1− x3 x ∫ ∫ ∫ຮູບຮ່ າງ 4: a2 − b2 x2 dx , a2 + b2 x2 dx , b2 x2 − a2 dx ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 9 − x2 dx ບດົ ແກ:້ ວາງ x = 3cos t cos t = x 3 t = arccos x 3 ຈາກ x = 3cos t dx = d (3cos t ) dx = −3sin t dt ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ 9 − x2 dx = ∫ 9 − (3cos t )2 × −3sin t dt 99

= ∫ 9 − 9 cos2 t × −3sin t dt = ∫ ( )9 1− cos2 t × −3sin t dt = ∫ 9sin2 t × −3sin t dt = ∫ 3sin t × −3sin t dt = −9∫ sin2 t dt = −9∫ 1− cos 2t dt 2 = − 9 ∫ (1 − cos 2t )dt 2 = − 9 ∫ dt + 9 ∫ cos 2t dt 2 2 = − 9 ∫ dt + 9 ∫ cos 2t × 2dt 2 × 2 2 = − 9 t + 9 ∫ cos 2t d ( 2t ) 2 4 = − 9 t + 9 sin 2t + C 24 = − 9 arccos x + 9 sin  2 arccos x  + C . 2 3 4  3  ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ 1 dx x2 4+ x2 ບດົ ແກ:້ ວາງ x = 2 tan t tan t = x 2 t = arctan x 2 ເຮາົ ມີ x = 2 tan t dx = d (2 tan x) dx = 2 dt cos2 t 100

ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ x2 1 dx = ∫ (2 tan t )2 12 4+ x2 . dt 4 + (2 tan t )2 cos2t ∫= sin2 t 12 4. . dt 4 + (2 tan t )2 cos2t cos2 t ∫= cos2 t . 2 dt 4 sin2 t 4 + 4 tan2 t cos2t ( )= ∫ 1 dt 2 sin2 t 4 1+ tan2 t = ∫ 1 dt 4sin2 t 1 cos2 t =∫ 1 1 dt 4sin2 t. cos t = ∫ cos t dt 4 sin2 t = 1 ∫ d (sin t ) 4 sin2 t = 1 ∫ sin 2 t d (sin t ) 4 = 1 sin−2+1 t + C 4 . −2 +1 = − 1 .sin−1 t + C 4 =− 1 +C 4sin t = −  1  + C . arctan 4 sin x 2 101

ບດົ ເຝິດຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 −9 ∫7. x3 dx dx x 2 − x2 2. ∫ 1 8. ∫ 1− x2 dx dx x x2 +3 3. ∫ 16 + x2 dx 9. ∫ x2 − 4 dx 10. ∫ 2 + x2 dx 4. ∫ 9 + x2 dx 11. ∫ 9 + x2 dx 12. ∫ x2 − 5 dx 5. ∫ 36 − x2 dx 6. ∫ 7 + x2 dx 7.11. ເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ຮູບຮ່ າງ 1: ∫ R (sin x, cos x) dx ແນະນໍາສູດ ເພ່ ອື ແກ:້ ວາງ: t = tan x 2 x = arctan t 2 x = 2 arctan t dx = d (2 arctan t ) dx = 2 2 dt 1+ t ຈາກ: sin 2x = 2sin x cos x sin x = 2sin x cos x 22 xx 2sin cos 22 sin x = cos2 x + sin2 x 22 102

2 tan x sin x = 2 1+ tan2 x 2 sin x = 2t 2 1+ t ຈາກ: cos 2 x = cos2 x − sin2 x cos x = cos2 x − sin2 x 22 cos2 x − sin2 x cos x = 2 2 cos2 x + sin2 x 22 1− tan2 x 2 cos x = 1+ tan2 x 2 cos x = 1 − t 2 . 1 + t 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 1 + 1 dx c os x ບດົ ແກ:້ ∫ ∫1+1 dx = 1 × 2 dt cos +t x 1 − t 2 1 2 1 + t 2 1 + ∫ ∫ ∫= 1 × 2 dt = 1 2 1+ t2 +1− t2 1+ t2 × 2 dt = dt = t + C = tan x + C. 1+ t2 2 1+ t2 1+ t2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 1+ sin 1 dx x − cos x ບດົ ແກ:້ 1 1 ×2 1 × 2 dt x− 1+ t2 1 + t2 + 2t − 1 + t2 1+ t2 +∫ ∫ ∫1 dx = − 2 dt = + 2 1+ t2 sin cos x 1 + 2t − 1 t +t 1 t 1 2 1 2 1 2 1 2 2t 2 + +t 2 t2 +t 1+ t 1+ t ( ) ( )∫ ∫ ∫= × 2 dt = × 2 dt = × 2 dt 2t 1 2 . t2 +t 1+ t2 1+ t2 1+ t2 103

= ∫ 1 dt = ∫ 1 dt = ∫  1 − 1 dt = ∫ 1 dt −∫ 1 = ln t −∫ 1 (t + 1) t2 +t t +1 t dt d t (t +1) t t t +1 +1 x tan = ln t − ln t +1 +C = ln t +C = ln 2 + C. +1 t tan x +1 2 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 4 sin dx cos x x−3 ວທິ ແີ ກ:້ ( ( ))( )∫ ∫ ∫ ∫4sin 2 2 dt dt 2 1+ t 2 dt dx 1+ t2 1+ t2 3t 2 + 8t − 3 1+ t 2 x − 3cos = == 8t − 3 + 3t 2 = x 2t 1 − t 2 4. +t − 3. 1 + t 2 1 2 1+ t2 = ∫ 2 2 − dt = ∫ (3t 2 + 3) dt = ∫  3 − ( 1 3)  dt + 8t 3  t+  3t − 1) ( t 5(3t −1) 5 = 3 ∫ 1 dt − 1 ∫ 1 dt = 1 ∫ 3t1−1.3dt − 1 ∫ 1 dt 5 3t − 5 + 3 5 5 + 3 1 t t = 1 ∫ 1 (3t −1) − 1 ∫ 1 (t + 3) = 1 ln 3t −1 − 1 ln t + 3 + C 5 d 5 d 5 5 t 3t −1 +3 = 1 ln 3t −1 +C = 1 ln 3 tan x −1 +C . 5 t +3 5 2 tan x + 3 2 ບດົ ເຝິດຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 1 dx x 9. ∫ 3sin dx + sin x + 4 cos x 2. ∫ 1 dx x 10. ∫ 3 − dx x + cos 2 cos 3. ∫ 2 dx x 11. ∫ 1 dx x + sin − cos 4. ∫ 2 sin dx 2 x 12. ∫ sin dx x x + sin x + cos 5. ∫ sin dx x 13. ∫ dx x x − cos 1− sin 104

6. ∫ 4 − dx x 14. ∫ 1− dx x 3sin 5 cos 7. ∫ 1 − dx sin x 15. ∫ 2 sin dx cos x cos x + x− 8. ∫ 3 + dx x 16. ∫ 1 − dx x 2 cos 2 sin ຮູບຮ່ າງ 2: ∫ sin (ax)sin (bx) dx ສູດເພ່ ອື ແກ:້ sin A× sin B = 1 cos ( A − B) − cos ( A + B) 2 sin (−α ) = − sinα cos (−α ) = cosα ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ sin 8x sin 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin 8x sin 5x dx = ∫ 1 cos (8x − 5x) − cos (8x + 5 x )dx 2 = ∫ 1 [cos 3x − cos13x] dx = 1 ∫ cos 3x dx − 1 ∫ cos13x dx 2 2 2 = 1 ∫ cos 3x.3dx − 1 ∫ cos13x.13dx = 1 ∫ cos 3x d (3x) − 1 ∫ cos13x d (13x) 6 26 6 26 = 1 sin 3x − 1 sin13x + C . 6 26 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ sin 3x sin 9x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin 3x sin 9x dx = ∫ 1 cos (3x −9x) − cos (3x + 9x)dx 2 =∫ 1 cos (−6x) − cos12x dx = 1 ∫ cos 6x dx − 1 ∫ cos12x dx 2 2 2 =1 ∫ cos 6 x .6dx − 1 ∫ cos12x. 12dx =1 ∫ cos 6x d (6x)− 1 ∫ cos12x d (12x) 12 24 12 24 = 1 sin 6x − 1 sin12x + C . 12 24 105

ບດົ ເຝຶກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin 2x sin 3x dx 6. ∫ sin 3x sin 2x dx 2. ∫ sin x sin 2x dx 7. ∫ sin 2x sin x dx 3. ∫ sin 7 x sin 5x dx 8. ∫ sin 5x sin 7 x dx 4. ∫ sin 7 x sin 3xdx 9. ∫ sin 9x sin 7 xdx 5. ∫ sin 2x sin 5xdx 10. ∫ sin 3x sin 9xdx ຮູບຮ່ າງ 3: ∫ cos Ax cos Bx dx ແນະນາໍ ສູດ ເພ່ ອື ແກ:້ cos A cos B = 1 cos ( A − B) + cos ( A+ B ) 2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ cos 4x cos x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos 4x cos x dx = ∫ 1 cos (4x − x)+ cos (4x + x )dx = ∫ 1 [cos 3x + cos 5x]dx 2 2 = 1 ∫ cos 3x dx + 1 ∫ cos 5x dx = 1 ∫ cos 3x.3dx + 1 ∫ cos 5x.5dx 2 2 6 10 = 1 ∫ cos 3x d (3x) + 1 ∫ cos 5x d (5x) = 1 sin 3x + 1 sin 5x + C . 6 10 6 10 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ cos 2x cos 7x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos 2x cos 7x dx = ∫ 1 cos (2x − 7x) + cos (2x + 7 x ) dx = ∫ 1 cos (−5x) + cos 9x dx 2 2 = 1 ∫ cos 5x dx + 1 ∫ cos 9 x dx = 1 ∫ cos 5x .5dx + 1 ∫ cos 9 x .9dx 2 2 10 18 = 1 ∫ cos 5x d (5x) + 1 ∫ cos 9x d (9x) =1 sin 5x + 1 sin 9x +C . 10 18 10 18 106

ບດົ ເຝຶກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos 2x cos 3x dx 6. ∫ cos 3x cos 2x dx 2. ∫ cos x cos 2x dx 7. ∫ cos 2x cos x dx 3. ∫ cos 7 x cos 5x dx 8. ∫ cos 5x cos 7 x dx 4. ∫ cos 4x cos xdx 9. ∫ cos 2x cos xdx 5. ∫ cos 3x cos 4xdx 10. ∫ cos 5x cos12xdx ຮູບຮ່ າງ 4: ∫ sin Ax cos Bx dx ແນະນາໍ ສູດ ເພ່ ອື ແກ:້ sin Ax cos B = 1 sin ( A−B) + sin ( A+ B )  2 ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ sin 5x cos 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin 5x cos 3x dx = ∫ 1 sin (5x − 3x) + sin (5x + 3x )dx 2 = ∫ 1 [sin 2x + sin 8 x ] dx = 1 ∫ sin 2 x dx + 1 ∫ sin 8x dx = 1 ∫ sin 2 x .2dx + 1 ∫ sin 8x .8dx 2 2 2 4 16 = 1 ∫ sin 2xd ( 2x) + 1 ∫ sin 8x d (8x ) = 1 ( − cos 2x) + 1 ( − cos 8x) + C 4 16 4 16 = − 1 cos 2x − 1 cos 8x + C . 4 16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ sin x cos 7x dx ບດົ ແກ:້ ∫ sin x cos 7x dx = ∫ 1 sin ( x − 7 x) + sin ( x + 7x )dx = ∫ 1 sin ( −6 x ) + sin 8x dx 2 2 =− 1 ∫ sin 6x dx + 1 ∫ sin 8x dx =− 1 ∫ sin 6x.6dx + 1 ∫ sin 8x.8dx 2 2 12 16 = − 1 ∫ sin 6xd (6x)+ 1 ∫ sin 8xd (8x) = − 1 (− cos 6x) + 1 (− cos 8x ) + C 12 16 12 16 107

= 1 cos 6x − 1 cos8x + C . 5. ∫ sin12x cos8xdx 12 16 6. ∫ sin x cos 4xdx 7. ∫ cos 5x sin xdx ບດົ ເຝິກຫດັ : 8. ∫ cos 5x sin 7 xdx ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin 7 x cos 4x dx 2. ∫ sin 2x cos 5xdx 3. ∫ cos 2x sin 3xdx 4. ∫ cos 3x sin 4xdx ∫ ∫ຮູບຮ່ າງ 5: sinn xdx ; cosn x dx ແນະນາໍ ສູດ ເພ່ ອື ແກ:້ sin2 x = 1− cos2 x cos2 x = 1− sin2 x sin2 x = 1− cos 2x 2 cos2 x = 1+ cos 2x 2 sin3 x = − sin 3x + 3sin x 4 cos3 x = cos 3x + 3cos x 4 ( )a + b n = Cn0anb0 + Cn1a bn−1 1 + Cn2an−2b2 + .... + Cnn−1a1bn−1 + Cnna0bn Cnk = n! k !(n − k )! m! = m (m −1)...2.1.0! 0! = 1 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ cos4 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ cos4 3x dx = ∫ (cos2 3x)2 dx = ∫  1 + cos 6x 2 dx = 1 ∫ (1 + cos 6x)2 dx 2  4 108

( )∫= 1 1+ 2 cos 6x + cos2 6x dx = 1 ∫ 1 + 2 cos 6x + 1 + cos12x  dx 4 4 2  = 1 ∫ ( 2 + 4 cos 6x + 1+ cos12 x ) dx = 1 ∫ (3 + 4 cos 6x + cos12 x ) dx 8 8 = 1 ∫ 3 dx + 1 ∫ 4 cos 6x dx + 1 ∫ cos12x dx = 3 ∫ dx + 4 ∫ cos 6 x dx + 1 ∫ cos12 dx 8 8 8 8 8 8 = 3 ∫ dx + 4 ∫ cos 6x .6dx + 1 ∫ cos12x.12 dx 8 8.6 8.12 = 3 x + 4 ∫ cos 6x d (6 x) + 1 ∫ cos12x d (12x ) 8 48 96 = 3 x + 1 sin 6x + 1 sin12x + C . 8 12 96 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin4 5x dx ບດົ ແກ:້ ( )∫ sin4 5x 2  1 − cos10 x 2 1 (1 − cos 10 x )2 dx = ∫ sin2 5x dx = ∫  2  dx = 4 ∫ dx ( )=1 ∫ 1 ∫ 1 + 1 + cos 20x  4 1− 2 cos10x + cos2 10x dx = 4 − 2 cos10x 2 dx = 1 ∫ ( 2 − 4 cos10x +1 + cos 20x ) dx = 1 ∫ (3 − 4 cos10x + cos 20x ) dx 8 8 = 1 ∫ 3dx − 1 ∫ 4 cos10x dx + 1 ∫ cos 20x dx = 3 ∫ dx − 4 ∫ cos10x dx + 1 ∫ cos 20 x dx 8 8 8 8 8 8 = 3 x − 4 ∫ cos10x.10 dx + 1 ∫ cos 20 x.20 dx 8 8.10 8.20 = 3 x − 4 ∫ cos10x d (10 x ) + 1 ∫ cos 20x d ( 20x ) 8 8.10 8.20 = 3 x − 1 sin10x + 1 sin 20x + C . 8 20 160 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ cos6 x dx ບດົ ແກ:້ ( )∫ cos6 x dx = ∫ 3 = ∫  1+ cos 2x 3 = 1 ∫ (1 + 2 x )3 cos2 x dx  2  dx 8 cos dx 109

( )∫= 1 1+ 3cos 2x + 3cos2 2x + cos3 2x dx 8 = 1 ∫ 1 + 3 cos 2 x + 1 + cos 4 x + cos 6x +3 cos 2x  dx 8 3. 2 4 = 1 ∫  4 (1 + 3 cos 2x ) + 6 (1 + cos 4x ) + cos 6 x +3 cos 2x  dx 8  4 4 4    = 1 ∫ ( 4 + 12 cos 2x + 6 + 6 cos 4x + cos 6x + 3 cos 2 x) dx 32 = 1 ∫ (10 +15 cos 2x + 6 cos 4 x + cos 6x ) dx 32 = 1 ∫10 dx + 1 ∫15 cos 2x dx + 1 ∫ 6 cos 4 x dx + 1 ∫ co6 x dx 32 32 32 32 = 10 ∫ dx + 15 ∫ cos 2x dx + 6 ∫ cos 4x dx + 1 ∫ co6x dx 32 32 32 32 = 10 x + 15 ∫ cos 2x.2 dx + 6 ∫ cos 4x.4 dx + 1 ∫ co6x.6 dx 32 32.2 32.4 32.6 = 5 x + 15 ∫ cos 2x d ( 2x ) + 6 ∫ cos 4x d ( 4x) + 1 ∫ co6x d (6x ) 16 64 128 192 = 5 x + 15 sin 2x + 3 sin 4x + 1 sin 6x + C . 16 64 64 192 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin9 5x dx ບດົ ແກ:້ ( ) ( )∫ ∫ 1 ∫ 4 ( ) 1 ∫ 4 d (cos 5x) sin 9 5 x dx = sin 8 5 x.sin 5x dx = − 5 sin2 5x −5 sin 5x dx = − 5 1− cos2 5x ( )∫= − 1 1− 4 cos2 5x + 6 cos4 5x − 4 cos6 5x + cos8 5x d (cos 5x) 5 = − 1  cos 5x − 4 cos3 5x + 6 cos5 5x − 4 cos7 5x + 1 cos9 5x  + C . 5 3 5 7 9 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ cos13 2x dx ບດົ ແກ:້ ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫cos13 2x dx = cos12 2x cos 2x dx = 1 cos2 2x 6 .2 cos 2x dx = 1 1− sin2 2x 6 d (sin 2x) 22 110

∫ ( )= 1 1− 6sin2 2x +15sin4 2x − 20sin6 2x +15sin8 2x − 6sin10 2x + sin12 2x d (sin 2x) 2 = 1  sin 2x − 2 sin3 2x + 3 sin 5 2x − 20 sin 7 2x + 5 sin9 2x − 6 sin11 2x + 1 sin13 2x  . 2 7 3 11 13 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ cos6 4x dx 6. ∫ sin8 3x dx ∫2. sin11 7 x dx ∫7. cos13 5x dx 3. ∫ (2 − sin x )6 dx 8. ∫ (3 + cos x )7 dx 4. ∫ (1− 2 sin x)5 dx 9. ∫ (1+ cos 3x)4 dx dx 5. ∫ (3 + cos x)5 dx 10. ∫ (1− sin x )5 dx dx ∫ຮູບຮ່ າງ 6: sinm x cosn x dx ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin3 x cos−5 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫ ∫ ( )sin3 x cos−5 x dx = sin2 x cos−5 x sin x dx = 1− cos2 x cos−5 x sin xdx ∫ ( ) ∫ ∫= cos−5 x − cos−3 x sin x dx = cos−5 x sin x dx − cos−3 x sin x dx cos−5 xd (cos x ) + ( cos x) cos−5+1 x cos−3+1 x ∫ ∫= − cos−3 x d = − −5 +1 + −3 +1 + C = − cos−4 x + cos−2 x + C = 1 − 1 + C. −4 −2 4 cos4 2 cos2 x x ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin4 x.cos5 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫ ∫ ( )sin4 x cos5 x dx = 2 sin4 x cos4 x cos x dx = sin4 x cos2 x cos x dx ( ) ( )∫ ∫= sin4 x 1− sin2 x 2 d (sin x ) = sin4 x 1− 2sin2 x + sin4 x d (sin x) ( ) ( )∫ ∫= sin4 x − 2sin6 x + sin8 x d (sin x ) = sin4 x − 2sin6 x + sin8 x d (sin x) = ∫ sin4 x d (sin x) − 2∫ sin6 x d (sin x) + ∫ sin8 x d (sin x) 111

= sin4+1 x − sin6+1 x + sin8+1 x + C = sin5 x − 2 sin7 x + sin9 x +C . 4 +1 2. 6 +1 8+1 5 7 9 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin2 x cos4 x dx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫ ∫sin2 x cos4 x dx = sin2 x cos2 x cos2 x dx = (sin x cos x)2 cos2 x dx  2 sin x cos x 2 1 sin2 2x cos2 x dx = 1  1− cos 4x .1+ cos 2x  2  4 4 2 2 ∫ ∫ ∫= = cos2 x dx dx = 1 ∫ (1− cos 4 x ) (1 + cos2x ) dx = 1 ∫ (1+ cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4 x ) dx 16 16 = 1 ∫ 1 + cos 2x − cos 4x − 1 (cos 6x + cos 2x) dx 16 2 = 1 ∫  2(1+ cos 2x − cos 4x) − cos 6x + cos 2x  dx 16 2 2     = 1 ∫ [2 + 2 cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x − cos 2x] dx = 1 ∫ [2 + cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x] dx 32 32 = 1 ∫ 2 dx + 1 ∫ cos 2x dx − 1 ∫ 2 cos 4 x dx − 1 ∫ cos 6x dx 32 32 32 32 = 2 ∫ dx + 1 ∫ cos 2x.2 dx − 1 ∫ cos 4 x .4dx − 1 ∫ cos 6x.6 dx 32 32.2 32.2 32.6 = 1 x + 1 ∫ cos 2x d ( 2x ) − 1 ∫ cos 4x d (4 x) − 1 ∫ cos 6x d ( 6x) 16 64 64 192 = 1 x + 1 sin 2x − 1 sin 4x − 1 sin 6x + C . 16 64 64 192 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin10 3x cos5 3x dx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫ ∫ ( )sin10 3x cos5 3x dx = sin10 3x cos4 3x cos 3x dx = 1 sin10 3x cos2 3x 2 3 3cos 3x dx ( ) ( )∫ ∫= 1 sin10 3x 1− sin2 3x 2 d (sin 3x) = 1 sin10 3x 1− 2sin2 3x + sin4 3x d (sin 3x) 33 ∫ ( )= 1 sin10 3x − 2 sin12 3x + sin14 3x d (sin 3x) 3 112

= 1  sin11 3x − 2 sin13 3x + sin15 3x  + C . 3  11 13 15    ∫ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin7 2x cos100 2x dx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫ ∫sin7 2x cos100 2x dx = sin7 2x cos100 2x dx = sin6 2x cos100 2x sin 2xdx ∫ ( ) ∫ ( )= sin2 2x 3 cos100 2x sin 2xdx = − 1 1− cos2 2x 3 cos100 2x (−2 sin 2xdx) 2 ( )∫= − 1 1− cos2 2x 3 cos100 2x d (cos 2x) 2 ∫ ( )= − 1 1− 3cos2 2x + 3cos4 2x − cos6 2x cos100 2x d (cos 2x) 2 ∫ ( )= − 1 cos100 2x − 3cos102 2x + 3cos104 2x − cos106 2x d (cos 2x) 2 = − 1  cos101 2x − 3 cos103 2x + 3 cos105 2x − cos107 2x  + C . 2  101 103 105 107  ∫ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ sin9 5x cos111 5x dx ບດົ ແກ:້ ∫ ∫ ∫ ( )sin9 5x cos111 5x dx = sin8 5x cos111 5x sin 5x dx = sin2 5x 4 cos111 5x sin 5x dx ( )∫= − 1 1− cos2 5x 4 cos111 5x.(−5sin 5x dx) 5 ∫ ( )= − 1 1− 4 cos2 5x + 6 cos4 5x − 4 cos6 5x + cos8 5x 4 cos111 5x d (cos 5x) 5 ∫ ( )= − 1 cos111 5x − 4 cos113 5x + 6 cos115 5x − 4 cos117 5x + cos119 5x d (cos 5x) 5 = − 1  cos112 5x − 4 cos114 5x + 6 cos115 5x − 4 cos119 5x + cos120 5x  + C . 5  112 114 116 118 120    ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫1. sin6 3x cos8 3x dx ∫10. sin11 9 x cos6 9 x dx ∫2. cos9 2 x sin15 2 x dx ∫10. sin3 x cos10 x dx 113

∫3. cos3 x sin15 xdx ∫10. sin3 x cos−7 x dx ∫4. cos3 x sin−12 xdx ∫5. cos5 x sin16 xdx ∫10. sin5 x cos20 x dx ∫6. cos5 x sin−3 x dx 7. ∫ cos3 x dx ∫10. sin5 x cos−2 x dx 8. ∫ cos5 x dx 10. ∫ sin3 x dx 9. ∫ sin6 x dx 10. ∫ sin5 x dx 10. ∫ (sin 5x + 2 cos 5x )3 dx ∫10. sin2 x cos2 x dx ∫10. sin11 4 x dx 7 cos3 4 x 10. ∫ (3sin x − 2 cos x)4 dx. 114