Calculus-1

7. lim 1 log a (1 + x ) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x x→0 ແກ:້ lim 1 (1 + x ) = lim log a (1 + )1 = loga  (1 + )1  = loga e. x loga lxi→m0  x→0 x→0 xx xx 8. lim ( x cot 3x) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ lim ( x.cot 3x ) = lim x = lim  3 × x  = lim  1 × 3x  1 . tan 3x  3 tan 3x   3 tan 3x  3 x→0 x→0 x→0 x→0 9. lim sin ( x −1) tan π x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→1 2 ແກ:້ limsin ( x −1) tan πx = lim sin ( x −1) =(L) cos( x −1) = cos( x − 1) sin 2 πx = −2 2 x→1 2 π x→1 πx lim −π lim −π . cot x→1 x→1 22 2 sin2 π x 2 1 −1 ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ 10. lim x  e x   x→∞ ແກ:້ 1 −1 = lim 1 − 1 1 xex  x→∞ e x −1 =(L) x2 ex 1  1 lim lim −1 = lim e x = e0 =1. x→∞ x→∞ x→∞ x x2 11. lim x ln3 x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ ln3 x =(L) 3 ln 2 x 3 ln 2 x =(L) 6 n x 6 ln x x x lim x ln3 x = lim lim = lim lim = lim x→0 1 x→0 − 1 x→0 − 1 x→0 1 x→0 1 x→0 x x2 x x2 x 61 61 =(L) lim x = lim x = lim (−6x) = 0. x→0 − 1 x→0 − 1 x→0 x2 x2 51

12. lim (π − x) tan x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→π 2 ແກ:້ lim (π − x) tan x = lim π − x =(L) lim −1 = lim  2 sin 2 x  = 2 sin2 π = 2. 1 2 2 x→π 2 x→π x x→π x→π cot 2 −2 sin2 x 2 13. lim ( x −1) cot π ( x −1) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→1 ແກ:້ lim ( x −1) cot π ( x −1) = lim x −1 =(L) lim 1 = 1 . x→1 tan π π π x→1 ( x −1) x→1 cos2 π ( x −1) 14. lim x sin 2 ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→∞ x ແກ:້ 2 sin 2 =(L) − 2 cos 2 2 x x2 x lim x sin = lim lim = lim 2 cos = 2. x→∞ x x→∞ 1 x→∞ − 1 x→∞ x x x2 15. lim ln x ln ( x −1) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→1 ແກ:້ lim ln x ln ( x −1) = lim ln ( x −1) =( L) lim 1 = − lim x ln2 x x −1 x→1 x→1 1 x→1 x −1 x→1 1 ln x − x ln2 x =(L) − lim ( )ln2 x + x 1 ln x x→1 1 x = − lim ln2 x + ln x = 0 . x→1 52

6.3. ນາໍ ໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0.∞ ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: 1. lim x5 ln x 6. lim x cot (2x) 11. lim x ln3 x x→0 x→0 x→0 ( )2.  πx  1 (1 + ) 12. lim (π − x) tan x lim 4 − x2 tan 4 7. lim x log a x x→π 2 x→2 x→0 13. lim ( x −1) cotπ ( x −1) 3. lxi→mπ  π −  tan x 8. lim ( x cot 3x) x→1  2 x  x→0 14. lim x sin 2 2 x→∞ x 4. lim ( x + 2) x −1 9. lim sin ( x −1) tan π x 15. lim ln x ln ( x −1) x3 + x x→1 x→−∞ x→1 2 5. lim(1− x) tan  πx  10. lim  1 −   2  x 1 x→1 x→∞ ex   ບນັ ດາບດົ ແກ:້ 1. lim x5 ln x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ lim x5 ln x = lim ln x = lim (ln x)′ = lim 1 = lim −x5 = 0. 1 x→0 x→0 5 x→0 x→0 x→0  1 ′ x −5x4 x5  x5  x10 ( )2.  πx  0.∞ lim 4 − x2 tan  4  ເປັນຮູບລກັ ສະນະ x→2 ແກ:້ ( ) ( )lim ′ x→2 4 − x2 tan  πx  = lim 4 − x2 = 4 − x2 = lim −2x  4  lim x→2 cot  πx  x→2   π x  ′ x→2 −π 4   cot  4 4  πx  sin 2 4 2 x sin 2  πx  4 sin 2  π  π 4 2 = lim = = 4 = 16 . π π π x→2 4 44 53

3. π − x  tan x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ lxi→mπ  2  2 ແກ:້  π  tan x 1  π − x 2  2  1 2  xli→mπ − x tan x = lxi→mπ =(L) lxi→mπ cos2 x = xli→mπ 1 cos2 x 2 2 π −x 2  π 2 2 2 2 x  − −2  π − x  2  π − x  −2 −2 2 2 2 cosπ =(L) lim = lim sin (2x) =(L) lim 2cos (2x) = = 1. −2sin x cos x x→π x→π x→π 2 22 4. lim ( x + 2) x −1 ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x3 + x x→−∞ ແກ:້ lim ( x + 2) x −1 = lim ( x + 2) x −1 = lim x+2 x −1 = −1. x3 + x −x x+ 1 x→−∞ x→−∞ x2  x + 1  x→−∞ x x 5. lim(1 − x) tan  πx  ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞  2  x→1 ແກ:້ π πx 2 πx  2   2  tan   cos 2   π (1− x)2 lim (1− x) tan  πx  = lim =(L) = lim = lim 2 πx  2  2 x→1 x→1 1 x→1 1 x→1 cos2   1− x (1− x)2 =(L) lim −π (1− x) = lim (1− x) =(L) lim −1 = 2 . sin (π x) π x→1 − π  πx   πx  x→1 1 x→1 1 π cos (π x) 2 2 2 2 2 2 sin cos 6. lim x cot 2x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ lim x cot 2x = lim x = lim  1 × 2 x x  = 1. tan 2x  2 tan 2  2 x→0 x→0 x→0 54

7. lim 1 log a (1 + x ) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x x→0 ແກ:້ lim 1 (1 + x ) = lim log a (1 + )1 = loga  (1 + )1  = loga e. x loga lxi→m0  x→0 x→0 xx xx 8. lim ( x cot 3x) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ lim ( x.cot 3x ) = lim x = lim  3 × x  = lim  1 × 3x  1 . tan 3x  3 tan 3x   3 tan 3x  3 x→0 x→0 x→0 x→0 9. lim sin ( x −1) tan π x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→1 2 ແກ:້ limsin ( x −1) tan πx = lim sin ( x −1) =(L) cos( x −1) = cos( x − 1) sin 2 πx = −2 2 x→1 2 π x→1 πx lim −π lim −π . cot x→1 x→1 22 2 sin2 π x 2 1 −1 ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ 10. lim x  e x   x→∞ ແກ:້ 1 −1 = lim 1 − 1 1 xex  x→∞ e x −1 =(L) x2 ex 1  1 lim lim −1 = lim e x = e0 =1. x→∞ x→∞ x→∞ x x2 11. lim x ln3 x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→0 ແກ:້ ln3 x =(L) 3 ln 2 x 3 ln 2 x =(L) 6 n x 6 ln x x x lim x ln3 x = lim lim = lim lim = lim x→0 1 x→0 − 1 x→0 − 1 x→0 1 x→0 1 x→0 x x2 x x2 x 61 61 =(L) lim x = lim x = lim (−6x) = 0. x→0 − 1 x→0 − 1 x→0 x2 x2 55

12. lim (π − x) tan x ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→π 2 ແກ:້ lim (π − x) tan x = lim π − x =(L) lim −1 = lim  2 sin 2 x  = 2 sin2 π = 2. 1 2 2 x→π 2 x→π x x→π x→π cot 2 −2 sin2 x 2 13. lim ( x −1) cot π ( x −1) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→1 ແກ:້ lim ( x −1) cot π ( x −1) = lim x −1 =(L) lim 1 = 1 . x→1 tan π π π x→1 ( x −1) x→1 cos2 π ( x −1) 14. lim x sin 2 ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→∞ x ແກ:້ 2 sin 2 =(L) − 2 cos 2 2 x x2 x lim x sin = lim lim = lim 2 cos = 2. x→∞ x x→∞ 1 x→∞ − 1 x→∞ x x x2 15. lim ln x ln ( x −1) ເປັນຮູບລກັ ສະນະ 0.∞ x→1 ແກ:້ lim ln x ln ( x −1) = lim ln ( x −1) =( L) lim 1 = − lim x ln2 x x→1 x −1 x→1 1 x→1 x −1 x→1 1 ln x − x ln2 x =(L) − lim ( )ln2 x + x 1 ln x x = − lim ln2 x + ln x = 0 . x→1 1 x→1 56

6.4. ນາໍ ໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 00 ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດ lim xx2 x→0 ແກ:້ ວາງ y = xx2 ເອາົ ໂລກາລດິ ພນຶ້ ເອເີ ຂາົ້ ທງັ ສອງພາກ: ln y = ln xx2 ln y = x2 ln x = ln x 1 x2 ln y = ln x 1 x2 ເອາົ ຂອບເຂດເຂາົ້ ທງັ ສອງພາກ: 1 lim ln y = lim ln x =(L) lim x = lim x3 = lim x2 = 0 =0 1 −2 −2x −2 −2 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x2 x3 lim y = e0 = 1 x→0 lim xx2 = 1 . x→0 6.5. ນາໍ ໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ ∞0 ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດລ່ ຸມນີ້ ( )1 2. lim ( cotx ) 1 ln x 1. lim ex + x x x→∞ x→0 ບດົ ແກ:້ ( )1 1. lim ex + x x ເປັນຮູບຮ່ າງ ∞0 x→∞ ( )1 ວາງ y = ex + x x ( )1 ln y = ln ex + x x 57

( )ln y = 1 ln ex + x x ( )ln y = ln ex + x x ( ) ex +1 lim ln y = lim ln ex + x =(L) lim ex + x lim ex +1 =( L) lim ex =1 x 1 ex + x ex +1 x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ lim y = e1 = e x→∞ ( )1 lim ex + x x = e . x→∞ 2. lim ( cotx ) 1 ເປັນຮູບຮ່ າງ ∞0 ln x x→0 ວາງ y = ( cotx ) 1 ln x ln y = ln ( cotx ) 1 ln x ln y = 1 ln (cotx) ln x ln y = ln (cotx) ln x −1 sin2 x lim ln y = lim ln (cotx) =(L) lim cot x = lim −x = −1 x→0 x→0 ln x x→0 1 x→0 sin x cos x x lim y = e−1 = 1 x→0 e lim ( cotx ) 1 = 1. ln x x→0 e 6.6. ນາໍ ໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 1∞ ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: ( ) 5 lim (1+ sin )1  2x2 + 3 8x2 + 3 1. lim cos 3x x 3. 5. lim  5  xx 2 + x→0 x→0 x→∞ 2 x 2 4.  x2 −1 x2 6.  x + 5 x+3 lim  +1  lim  x + 2  2. lim x1−x x2 x→1 x→+∞ x→∞ 58

ບນັ ດາບດົ ແກ:້ 1. lim ( cos 3x ) 5 ເປັນຮູບຮ່ າງ 1∞ x x→0 ແກ:້ ວາງ y = ( cos 3x ) 5 x ln y = ln (cos 3x ) 5 x ln y = 5 ln ( cos 3x ) 5 x x ln y = 5ln (cos 3x) x −15sin 3x lim ln y = lim 5ln cos 3x =(L) lim cos 3x = 0 x→0 xx→0 x→0 1 lim y = e0 = 1 x→0 lim ( cos 3x ) 5 =1. x x→0 2 2. lim x1−x ເປັນຮູບຮ່ າງ 1∞ x→1 ແກ:້ 2 ວາງ y = x1−x 2 ln y = ln x1−x ln y = 1 2 x . ln x − ln y = 2 ln x 1− x 2 lim ln y = lim 2 ln x =(L) lim x = −2 1− x −1 x→1 x→1 x→1 lim y = e−2 = 1 ex→1 2 2 = 1 . e2 lim x1−x x→1 59

3. lim (1 + sin x ) 1 ເປັນຮູບຮ່ າງ 1∞ x x→0 ແກ:້ ວາງ y = (1 + sin )1 xx ln y = ln (1 + sin x )1 x ln y = 1 ln (1+ sin x) x ln y = ln (1+ sin x) x lim ln y = lim ln (1+ sin x) =( L) cos x =1 x→0 lim 1+ sin x xx→0 x→0 1 lim y = e1 = e x→0 lim (1+ sin )1 = e. x→0 xx  x2 −1 x2 4. lim  +1  x2 x→+∞ ແກ:້ ວາງ y =  x2 −1 x2  x2 +1    ln y = ln  x2 −1 x2  x2 +1   ln y = x2 ln  x2 −1   x2 +1  ln  x2 −1   x2 +1  ln y = 1 x2 60

4x ( ) ( () ( ) )lim x2 +1 2 4x x2 +1 ln  x2 −1  x2 −1 x2 +1 2 x2 −1  x2 +1  x2 +1 ln y = lim =(L) lim = lim −2 x→+∞ x→+∞ 1 x→+∞ −2 x→+∞ x2 x3 x3 ( )lim ln y = lim 4x4 x2 +1 = 4 = −2 x2 +1 2 x2 −1 −2 ( ) ( )x→+∞ x→+∞ −2 lim y = e−2 = 1 e2 x→+∞  x2 −1 x2 = 1 . lim  x2 +1  e2 x→+∞  2x2 + 3 8x2 + 3 ເປັນຮູບຮ່ າງ 1∞ 5. lim  5  2x2 + x→∞ ແກ:້ ວາງ y =  2x2 + 3 8 x2 + 3  2x2 +  5 ln y = ln  2x2 + 3 8x2 + 3  2x2 +  5 ( )ln y =  2x2 + 3  8x2 + 3 ln  2x2 + 5  ln 2x2 + 3 2x2 + 5 ln y = 1 8x2 + 3 8x ( )2x2 + 5 2 2x2 + 3 2x2 + 3 8x 2x2 + 5 2x2 + 5 2x2 + 3 2x2 + 5 −16x −16x ( )( )lim ln ln =(L) y = lim lim = lim x→∞ x→∞ 1 x→∞ x→∞ 8x2 + 3 ( )8x2 + 3 2 ( )8x2 + 3 2 ( ( )( ) )= lim −2 8x2 + 3 2 = 64 = −8 2x2 + 5 2x2 + 3 −8 x→∞ 61

lim y = e−8 = 1 e8 x→∞ lim  2x2 + 3 8x2 + 3 = 1 .  2x2 +  e8 x→∞  5  x + 5 x +3  x + 2  6. lim  ເປັນຮູບຮ່ າງ 1∞ x→∞ ແກ:້ ວາງ y =  x +5 x+3  x + 2   x + 5 x +3  x + 2  ln y = ln ln y = ( x + 3) ln  x + 5   x + 2  ln x+5 x+2 ln y = 1 x+3 −3 ( x + 2)2 −3( x + 2) ln x+5 x+5 ( 2)2 ( 5) x+2 lim ln y = lim 1 =(L) lim x+2 = lim x + −1 x + x→∞ −1 x→∞ x→∞ x→∞ x + 3 ( x + 3)2 ( x + 3)2 lim ln y = lim 3(x + 2)(x + 3)2 =3 x→∞ x→∞ (x + 2)2 (x + 5) lim y = e3 x→∞ lim  x + 5 x+3 = e3 .  x + 2  x→∞  62

ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1+ 3 x + 4 (1 ) 5  x  x x  x  +  1. lim 15. lim + 2 x 27. lim x→0 1 x x→∞ x→∞ x 2 x  1 1  1 x    x2 2. lim − 1 16. lim + 28. lim sin x  x x x→∞ x→∞ x→0  x +8 x  1 4 x+3  3  x−3  x  3. lim   17. lim x  29. lim 1 + x − 8 x→∞ x→3 x→∞ ( )1 1  2 x + 1  x  2 x  4. lim cos x x 18. lim(1+ tan2 x )2x 30. lim x→0 x→0 x→∞ mx x+1 x 1 +   3x − 4  3   5. lim k 19. lim   31. lim 1 + 1 x 3x + 2 x2 x→∞ x→∞ x→∞ 6. lim  x2 − 2x + 1 x 20. lim  x −1x 32. lim 1 + 3 x  x2 − 4x + 2  x +1  x  x→∞ x→∞ x→+∞ 7. lim  x +3  x +1 21. lim  4x + 3 2 x+1 33. lim  x − 2 x  x +1   4x − 3   x + 3  x→+∞ x→+∞ x→+∞ 8. lim  n + 1 n+5 22. lim  x −1x 34. lim ( cos x ) 1  n   x +1  x n→+∞ x→+∞ x→0 1 x 1   ax + bx x 9. lim 1 + 1 sin x  sin x 21. lim 1 + 2 35. lim   4  x x→0 x→+∞ x→0 2 1 x ( )36. lim x cos x  x2 + x + 3 x−2 x→0 10. lim   23. lim  x  2x +5  1 + x  x→2 x→+∞ 2x +1 x+1 x +1 1 1+ x  1− x 11. lim (1+ )1 24. lim  x 37. lim   x   x→0 2x sin x x→0  x→0  x +1  x  x−1 12. lim (cos )1 25. lim 2x −1  38. lim (1 + 3 cos x ) 1 x x→π cos x sin x x→1 x→0 2   x  π tan x    x 2 ( )13. lxi→mπ sin x tan2 x 26. lim 2 x −2 39. lim 2 x  x→2 x→π x+c 1 1   ax + bx + cx x 14. lim  x + a 26. lim  2  x −2 40. lim    x + b  x  x→+∞ x→2 x→0 3 63

ບດົ ທີ 6 ຫກຼັ ເກນໂລປີຕານ (L’HOSPITAL) ຫກຼັ ເກນ: ຖາ້ ວ່ າ lim f (x) 0 or ∞ , ເຮາົ ຈະໄດ້ lim f (x) f ′(x) = = lim x→a g ( x) 0 ∞ x→a g ( x) x→a g′( x) ຖາ້ ວ່ າ lim f ′(x) 0 or ∞ , ເຮາົ ຈະໄດ້ lim f ′(x) f ′′( x) = = lim x→a g′( x) 0 ∞ x→a g′( x) x→a g′′( x) ເຮດັ ແນວນເີ້ ລອື້ ຍໆໄປ. 6.1. ນາໍ ໃຊ້ L’HOSPITAL ໃນການຊອກຫາຂອບເຂດ ທ່ ມີ ຮີ ູບລກັ ສະນະ 0 0 ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: 1. x3 − 27 ເປັນຮູບຮ່ າງ 0 lim x→3 x2 − x − 6 0 x3 − 27 ( x3 − 27)′ 3x2 3× 32 3× 9 27 ( )lim = lim = lim = == . x2 − x − 5 x→3 x→3 6 x2 − x − 6 ′ x→3 2x −1 2× 3 −1 6 −1 2. lim tan x − x ເປັນຮູບຮ່ າງ 0 x→0 x − sin x 0 1 ( tan x − x)′ cos2 x −1 lim tan x − x = = lim 1− cos x = lim 1− cos2 x x − sin x lim x→0 x→0 x→0 cos2 x (1− cos x) x→0 ( x − sin x)′ = lim (1− cos x)(1+ cos x) = lim 1+ cos x = 1+ cos 0 = 1+1 = 2 = 2 . cos2 x (1− cos x) x→0 cos2 x cos2 0 12 1 x→0 3. lim x − sin x ເປັນຮູບຮ່ າງ 03 xx→0 0 x − sin x ( x − sin x)′ lim 1− cos x ເປັນຮູບຮ່ າງ 0 x3 x→0 3x2 0 = lim x→0 x3 ′ ( )lim = x→0 (1− cos x)′ lim sin x x→0 6x 3x2 ′ ( )lim 1− cos x = lim = ເປັນຮູບຮ່ າງ 0 0 x→0 3x2 x→0 sin x (sin x)′ cos x cos 0 1 lim = lim = lim = = ( )x→0 6x x→0 6 66 x→0 6x ′ 45

ດ່ ງັ ນນັ້ lim x − sin x = 1 x3 . x→0 6 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ 1. x2 − 4 38. lim x −1 76. lim x2 + 2x +1 lim x→1 x2 − 2x +1 x→−1 x + 1 x→2 x − 2 x−3 2x2 − 3x 39. lim 77. lim 2. lim 1− x x→1 2 − 2x2 x→3 x2 − 9 x→0 5x2 3. lim x2 −1 40. lim 4a2 − x2 78. lim x2 − 5x + 6 x→1 x −1 x→2a x − 2a x→2 x − 2 4. lim x − 3 41. lim x 79. lim x − 2 x→3 x +1 − 2 x→0 1− 1− x x→2 x2 − 2 − 2 5. lim x +1 −1 42. lim a − a − x 80. lim 1+ x − 1− x x→0 x x→0 x x→0 4x 6. lim 3 x + 7 − 2 43. lim 3 1+ x2 −1 81. lim a + x − a − x x→1 x −1 2 x→0 x xx→0 7. lim x2 + 2x − 8 3 1+ x − 3 1− x x→2 x3 − 8 3 x−1 − 2 82. lim 44. lim x→0 x x→9 x − 9 ln (1 + x) 8. lim 3 1+ x − 5 1+ x 45. ln x − 1 x→0 x lim 83. lim x→0 x 9. lim arc sin 5x x→e x − e x→0 x 2( x −1) k 1+ x − 1 84. lim 46. lim x→1 3 26 + x − 3 x→0 x 10. lim 3 x − 3 5 e2x −1 85. lim 2sin2 x + sin x − 1 x→5 x − 5 47. lim x→π 2 sin2 x − 3sin x +1 x→0 arcsin 3x 6 11. lim ex − e−x − 2x 48. lim ln cos ax 86. lim tan x − sin x x→0 x − sin x x→0 ln cos bx xx→0 3 50. lim x − sin x 12. lim π − 2 arctan x3 x→0 x − tan x 87. lim e3x − 3x −1 x→+∞ x→0 sin2 5x 51. lim cot x −1 ex −1 x→π sin 4x 13. lim ex − e−x 4 88. lim x3 − 4x2 + 5x − 2 x→1 x3 − 5x2 + 7x − 3 x→0 ln (1+ x) sin (1 − x) 14. lim ex − 1 52. lim 89. lim ex − 1 x→0 x x→1 x − 1 x→0 x 46

15. lim 8x3 −1 53. lim x3 −1 90. 1 − cos x x→1 x4 −1 lim 6x2 2 1 − 5x +1 xx→0 x→ 2 16. 1 − cos x 54. lim 1− x − 3 91. lim x10 + 4x2 − 3x − 2 lim x→−8 2 + 3 x x→1 x29 − 3x + 2 x→0 sin2 x 55. lim 1− 2x − x2 −1− x m1+αx − n 1+ β x 17. lim ln cos x x→0 x 92. lim x→0 4 1 + x2 − 1 x→0 x 18. lim ln cos x x2 + x + 1 − 1 sin2 ( x − 1) x→0 4 1 + x2 − 1 56. lim 93. lim x→0 tan 4x x→1 x2 − 1 19. lim ln cos x x2 + x + 1 − 1 sin2 ( x − 1) x→0 4 1 + x2 − 1 57. lim 94. lim 20. lim sin 5x x→0 tan 4x x→1 x2 − 1 x→0 sin 8x 58. lim tan100x tan (kx) 21. lim 1− cos 2x x→0 x x→0 x2 95. lim tan (3x) x→0 x 59. lim 96. lim sin x − sin a x→a x − a x→0 sin (5x) 22. lim 1+ cos x 60. lim sinα x x + 3− 2 x→0 sin β x 97. lim x→π (π − x)2 x→1 2x + 1 − x + 2 23. lim 1+ cos x 61. lim sinα x x + 3− 2 x→0 sin β x 98. lim x→π (π − x)2 x→1 2x + 1 − x + 2 24. lim 1− cos x 62. lim sin 5x − sin 3x x +1 − 1 x→0 tan x x→0 x 99. lim x→0 2x +1 − 3x +1 25. lim 1− cos x 63. lim x5 − 1 1− 1 − x x→0 x tan x x→1 x3 − 1 100. lim x→0 x 26. lim sin 3x 64. lim sin 7x 3 1+ x − 3 1 − x x→0 x x→0 x 101. lim 27. lim sin 8x 65. lim x x→0 x x→0 sin 5x x→0 ln (1+ 2x) 102. lim sin 5x 28. lim sin 5x e2x −1 x→0 ln (1+ 5x) x→0 ln (1+ 5x) 66. lim 103. lim 1+ sin x − cos x x→0 3x x→0 1− sin x − cos x 29. lim 2 − 2 cos x2 67. lim 1− x − 3 104. lim 1− 2x + x2 −1− x xx→0 x→−8 2 + 3 x x→0 x 30. lim arctan x 68. lim sin 5x 105. lim 3 cos x − sin x x→0 3x x→0 1− cos x x−π x→π 47 3 3

31. lim arcsin 2x 69. ex − cos x 106. sin 2x + sin2 4x x→0 7x lim lim 2 32. lim cos x − cos 3x xx→0 x→0 x x→0 x2 70. lim cos x 107. lim n x −1 x→π π − 2x x→1 m x −1 33. xm −1 2 108. lim n x −1 lim x→1 m x −1 x→1 xn −1 ln (1+ ax) 71. lim x→0 x 34. ( x + t )3 − t3 72. lim 2 − 2 cos x 109. lim ln cos 2x x→π π − 4x x→0 sin 2x lim 4 x→0 x 73. lim xm − am 35. lim x − arctan x x→a xn − an 110. lim tan x − sin x x→0 x3 x→0 x3 74. lim 1+ x −1 36. lim x − arctan x3 x→0 x 111. lim e2x −1 xx→0 x→0 arcsin 5x 75. lim 2x +1 −1 37. lim e2x −1 x→0 3x 112. lim ex −1 x→0 arcsin 5x x→0 arcsin x 48

ບດົ ທີ 7 - ເຄາົ້ ຕໍາລາ 7.1. ນຍິ າມ ຕວົ ຢ່ າງ 1. ໃຫ ້ F (x) = x3 ຕວົ ຢ່ າງ 2. ໃຫ ້ F (x) = cos x  f (x) = 3x2  f (x) = − sin x ສງັ ເກດ 2 ຕວົ ຢ່ າງເທງິ ເຫນັ ວ່ າ F′( x) = f ( x) ໃນນເີ້ ອນີ້ F ( x) ແມ່ ນເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ f ( x) . ຖາ້ ວ່ າ C ແມ່ ນຈາໍ ນວນຈງິ ໃດໜ່ ງຶ ເຮາົ ຈະໄດ້ ( F ( x) + C )′ = F′( x) = f ( x) ໝາຍຄວາມວ່ າ F ( x) + C ກ່ ແໍ ມ່ ນເຄາົ້ ຕໍາ ລາຂອງ f ( x) . ສນັ ຍາລກັ ດວ້ ຍ ∫ f ( x) dx = F ( x) + C . 7.2. ຄຸນລກັ ສະນະ ( )(1) ∫ f ( x) dx ′ = f ( x) (2) ∫ af ( x) dx = a∫ f ( x) dx (a ∈ ℝ) (3) ∫  f ( x) + g ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x)dx (4) ∫  f ( x) − g ( x) dx = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x)dx 7.3. ເຄາົ້ ຕໍາລາ ໃນຮູບຮ່ າງ ∫ xm dx ∫ຖາ້ ວ່ າ m ≠ −1 ເຮາົ ຈະໄດ້ xm dx = x m +1 + C m +1 ຖາ້ ວ່ າ m = −1 ເຮາົ ຈະໄດ້ ∫ 1 dx = ln x +C x ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: x2009 dx = x 2009+1 + C = x 2010 + C. 2009 +1 2010 ∫ ( ) ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: x−9 1 1 x−2 5 dx = x−10 dx = −9 + C = − 9 x −9 +C = − 9x9 + C. ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 3: 5 5 +1 8 3 8 3 x5 dx = +C = + C = + C. x3dx = x3 x3 x5 5 +1 8 8 33 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ∫ x dx = x2 + C. 2 64

ຕວົ ຢ່ າງ 4: ∫ dx = ∫ x0 dx =x + C. ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 5: 5x9 dx = 5 x9 dx = 5× x10 + C = x10 + C. 10 2 ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 6: 1 dx = 3× 1 +1 +C 3 +C 3 3 x dx = 3 + C. x2 x2 = 3× x2 = 2x2 1 +1 3 22 2 2 2 +1 5 5 5x3 dx x3 x3 + C = 5× x3 + C = 3x3 + C. ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 7: =5 dx = 5× 2 +1 5 33 ຕວົ ຢ່ າງ 8: ∫ 3x dx ∫= 3 xdx = 3× x2 + C = 3 x2 + C. 22 ຕວົ ຢ່ າງ 9: ∫ 5dx = 5∫ dx = 5x + C. ຕວົ ຢ່ າງ 10: ∫ 2 dx = 2∫ 1 dx = 2 ln x + C. x x ຕວົ ຢ່ າງ 11: ∫ 1 dx = 1 ∫ 1 dx = 1 ln x + C. 2x 2 x 2 ຕວົ ຢ່ າງ 12: ∫ 3 dx = 3 ∫ 1 dx = 3 ln x + C. 5x 5 x 5 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 13: x2 + 3x + 7 dx = x2dx +3 x dx + 7 dx = x3 + 3× x2 + 7x + C = 1 x3 + 3 x2 + 7x + C 32 32  1   1 1  1 − 1  1 − 1  5x 3  2   x 2 5 3 dx = 5  1  x 2 dx + x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 14:x+ − dx = x + −3 dx = + x − dx − 3 dx x5 1 +1 −1 + 1 3 4 23 4 x5 x2 5 = x2 + −1 − 3x + C = x2 + x5 −3x + C = + x5 − 3x + C. 1 +1 3 4 3 4 + 1 25 25 ( )ຕວົ ຢ່ າງ 15: ∫ 2x3 − 5x2 + 7x + 3 dx = 2∫ x3dx − 5∫ x2dx + 7∫ x dx + 3∫ dx = 2× x4 − 5× x3 + 7 x2 + 3x +C = 1 x4 − 5 x3 + 7 x2 +3x +C . 4 32 232 65

x4 + 2x3 − x2 + 2 x −1  x4 2x3 x2 2x 1  ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 16: x2 dx =  x2 + x2 − x2 + x2 − x2 dx = ∫  x2 + 2x −1+ 2 − x−2 dx = ∫ x2dx + 2∫ x dx − ∫ dx + 2∫ 1 − ∫ x−2dx  x dx x = x3 + 2x2 − x + 2 ln x − x−1 +C = x3 + x2 − x + 2 ln x + 1 +C. 3 2 −1 3 x ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫1. x78dx 1 27. ∫ 5 x dx 14. ∫ x4dx ∫2. 7 x4 dx ∫15. 11 x−5 dx 20. ∫ x7 dx ∫3.  1 3 ( )5 ∫28.  − 2 −1  x2  dx 5 ∫16. x2 2 dx  x 3  dx  1  ∫4. 2x78dx 17. ∫ 5x4 dx 29. ∫ 7 5 x dx ∫5. 127 x4 dx ∫18. 1511 x−5 dx ∫30. −7 3x 12 dx 3 ∫19.  1 3 ( )∫31. 1 5 x3 −1 9  x2  dx 6. ∫ 6 x2 dx  2 3 dx 7. ∫  7 x4 + −2  dx ∫20.  5 − 6 x3  dx ∫32.  4 + 2t 3 5 t  dt  x   6x   3t  ∫8.  z −7 + 2  dz ∫21. 2 8 t −5 − 1  dt ( )∫33. 2 x3 − x−1 dx  7z  t3   t ( )∫9. 23 x2 + 5x−1 dx ∫22.  y 1 −5 + 1  dy 34. ∫  2x x + 5  dx 3  3y  17 x   ∫10.  x + 1 2 dx ( )23. ∫ 5 3 x + 1 dx 25. ∫ (5x2 + 7x −1) dx  3x  ( )∫11. 2 ∫ x2 + 3x + 2 ( )36. ∫ 3 x + 2 x dx 2x + 3 x 24. x dx dx ( )12. ∫ x − 1 2 dx ∫25.  3 x − 1 ∫37. 2x3 + 4x2 + x − 2  7 x  dx 2x2 dx 66

13. ∫  3 x + 2 ∫26. x3 + 5x2 +1 dx 38. ∫  1 x2 − 5x + 1  dx  x  dx x5  2 3  7.4. ເຄາົ້ ຕໍາລາ ໃນຮູບຮ່ າງ ∫ u ( x)m dx ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາ ∫ (2x + )1 15 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 2x +1 ເຮາົ ມ:ີ u′ = du = (2x +1)′ = 2 ⇔ du = 2dx ⇒ dx = du dx 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ ∫ ∫ ∫(2x + )1 15 dx = u15 × du = 1 u15du = 1 u15du = 1 × u16 + C = u16 + C = (2x + )1 16 + C .2 22 2 16 32 32 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x +1) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫(2x + )1 15 dx = 1 ∫ (2x + )1 15 2dx = 1 ∫(2x + )1 15 d (2x +1) = (2x + )1 16 + C. 2 2 32 ( )∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາ 2x2 −1 100 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 2x2 −1 ( )ເຮາົ ມ:ີ u′ = du = 2x2 −1 ′ = 4x ⇔ du = 4xdx ⇒ xdx = du dx 4 ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ ( ) ( )2x2 −1 100 x dx = u100 . du = 1 u100du = 1 . u101 + C = 2x2 −1 101 + C . ∫ ∫4 4 4 101 404 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ( )ຮູວ້ ່ າ: d 2x2 −1 = 4xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ 67

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫2x2 −1 100 x dx = 1 2x2 −1 100 4x dx = 1 2x2 −1 100 d 2x2 −1 = 2x2 −1 101 + C. 44 404 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາ ∫ 3 3x + 2 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 3x + 2 ຮູວ້ ່ າ: u′ = du = (3x + 2)′ = 3 ⇔ du = 3dx ⇒ dx = du dx 3 ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ 4 (3x )1 1 du 1 1 1.u3 1 ( ) 4 ∫ ∫ ∫ ∫3 3x + 2 dx = + dx = . = = +C = 3x + 2 3 + C. 23 u3 u 3du 33 34 4 3 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (3x + 2) = 3dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ ∫ ∫3 3x + 2 dx = 1 (3x + ) 1 = 1 (3x + )1 d (3x + 2) = 1 ( 3x + 2 ) 4 +C = ( 3x + 2) 4 + C. 3 3 3 3 2 . 3dx 2 . 33 34 4 3 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ (1− 2x)50 dx ( )∫8. 2 5x2 −1 12 x dx 2. ∫ 1+ x2 x dx 9. ∫ 3(4x − )1 20 dx 3. ∫ ( x + )1 25 dx ( )∫10. x2 + 2x + 5 10 (2x + 2) dx ( )7 ∫11. (1 + )3x −2 dx 3 ∫4. 1− 2x2 5 3xdx ( )1 ( )∫12. x2 +1 7 5xdx ∫5. 7x2 −1 3 2xdx ∫6. 5 1− x2 xdx ( )∫13. x2 + x +1 3 (2x +1) dx 2 ( )∫7. 2 − 3x3 12 5x2dx ( )∫14. 3 2x2 +1 11 xdx 68

7.5. ເຄາົ້ ຕໍາລາ ໃນຮູບຮ່ າງ ∫ 1 dx u(x) ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາ ∫ 1 5 dx 2x + ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 2x + 5 ເຮາົ ມ:ີ u′ = du = (2x + 5)′ = 2 ⇔ du = 2dx ⇒ dx = du dx 2 ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ 1 dx = ∫ 1 . du = 1 ∫ 1 du = 1 ln u +C = 1 ln 2x +5 +C. 2x +5 u 2 2 u 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ເຮາົ ມ:ີ d (2x + 5) = 2dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ 1 dx = 1 ∫ 1 . 2dx = 1 ∫ 1 d (2x + 5) = 1 ln 2x + 5 +C. 2x +5 2 2x + 5 2 2x +5 2 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາ ∫ 1 1 5x dx − x2 ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 1− x2 ( )ເຮາົ ມ:ີ ′ du u′ = du = 1− x2 = −2 x ⇔ du = −2xdx ⇒ xdx = −2 dx ສະນນັ້ , ເຮາົ ໄດ:້ ∫ 1 1 5x dx = 5∫ 1 1 x dx = 5∫ 1 . du = 5 ∫ 1 du = − 5 ln u +C = − 5 ln 1− x2 +C. − x2 − x2 u −2 −2 u 2 2 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ( )ເຮາົ ມ:ີ d 1− x2 = −2xdx ສະນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )1 1 5 1 5 1 = − 5 ln 1 − x2 + C . 1− x2 1− x2 −2 1− x2 −2 1− x2 2 5x dx = 5 x dx = .− 2xdx = d 1− x2 69

ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x 7 1 dx 7. ∫ 1 2 x dx 13. ∫ 5 dx + 3x2 + 1− 3x 2. ∫ dx 2 8. ∫ 1 14. ∫ 5x 1 1 xdx 3x − x2 +1 3x dx 2+ 3. ∫ 7 9 5 dx ∫9. 15x2dx ∫15. x3 1 2 x2dx x+ 1− 4x3 + 4. ∫ 1 2 x 2 dx 10. ∫ 5dx 16. ∫ xdx 1 − x 1− x 5x2 + 5. ∫ 1 1 x2 x dx 11. ∫ 12dx ∫17. x2dx −2 1− 5x 3 − 2x3 6. ∫ 1 1 x2 x dx 12. ∫ 12dx ∫18. x2dx −2 1− 5x 3 − 2x3 70

7.6. ເຄາົ້ ຕໍາລາໃຈກາໍ ລງັ ∫ ax dx = ax + C ln a ∫ ex dx = ex + C ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: 2x dx = 2x + C ln 2  5 2x  5 dx − 2x  2x 3x  2x 3x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: − = − x 2 + − 5 x dx x2dx + dx 5xdx   ∫ ∫= x3 + 5 1dx −  2  x 5x 32 x 3 ln 5 dx −  2 x = x3 + 5 ln x −  3  − 5x + C. 32 ln 2 ln 5 3 ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 3: 5ex dx = 5 ex dx = 5ex + C.  5  5dx −  x  x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ຕວົ ຢ່ າງ 4: = x3 + − ex + 3x dx x3dx + exdx + 3x ∫= x4 + 5 1 − ex + 3x dx 4x ln 3 = x4 + 5ln x − ex + 3x + C. 4 ln 3 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ ( )∫1. 15x −12x dx ∫5. 1 x2 − 3x + 2  dx ( )∫9. 7x − 3x2 dx  2 x  2. ∫ (9x + )5x dx ( )∫6. 12x − 6x dx 10. ∫  1 + 4x  dx 2x 3. ∫12ex dx 7. ∫ ( x − ex ) dx ( )∫8. x4 + 2ex dx 11. ∫ (2ex +1) dx 4. ∫ (1−3ex ) dx ( )∫12. 2ex + 3ex dx 71

∫ ∫7.7. ເຄາົ້ ຕໍາລາໃນຮູບຮ່ າງ au(x) dx ; eu(x)dx ∫ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກຫາ 2x2 +1 x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = x2 +1 ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ du = u′dx ( )ສະນນັ້ : du = x2 +1 ′ dx du = 2xdx xdx = du 2 ∫ ∫ ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : 2x2 +1 xdx = 2t × du = 1 2udu = 1 × 2u + C = 2x2 +1 + C = 2x2 +1 + C . 22 2 ln 2 2 ln 2 ln 4 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ du = u′dx ( ) ( )ສະນນັ້ : d x2 +1 = x2 +1 ′ dx ( )d x2 +1 = 2xdx ∫ ∫ ∫ ( )ດ່ ງັ ນນັ້ : 2x2 +1 xdx = 1 2x2 +1.2xdx = 1 2x2 +1d x2 +1 = 1 . 2x2 +1 + C = 2x2 +1 + C . 22 2 ln 2 ln 4 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ 51−2x dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 1− 2x ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ : du = u′dx ສະນນັ້ : d (1− 2x) = (1− 2x)′ dx d (1− 2x) = −2dx dx = du −2 ∫ ∫ ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : du 1 5u du = − 1 . 5u + C = − 5u + C = − 51−2x + C . 51−2x dx = 5u. −2 = −2 2 ln 5 ln 25 ln 25 72

ວທິ ແີ ກ ້ 2: ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ : du = u′dx ສະນນັ້ : d (1− 2x) = (1− 2x)′ dx d (1− 2x) = −2dx ∫ ∫ ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : 1 1 ( )51−2x d 1− 2x = − 1 . 51−2x + C = − 51−2x + C . 51−2 x dx = −2 51− 2 x. − 2dx = −2 2 ln 5 ln 25 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຊອກຫາ e12x+1 dx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 12x +1 ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ : du = u′dx ສະນນັ້ : du = (12x +1)′ dx du =12dx dx = du 12 ∫ ∫ ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : e12x+1 dx = eu. du = 1 eudu = 1 eu + C = 1 e12x+1 + C . 12 12 12 12 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ : du = u′dx ສະນນັ້ : d (12x +1) = (12x +1)′ dx d (12x +1) = 12dx ∫ ∫ ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : e12x+1 dx = 1 e12x+1.12dx = 1 ( )e12x+1d 12x + 1 = 1 e12x+1 + C . 12 12 12 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຊອກຫາ e3x2 −2 5xdx ວທິ ແີ ກ ້ 1: ວາງ: u = 3x2 − 2 ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ : du = u′dx 73

( )ສະນນັ້ : du = 3x2 − 2 ′ dx du = 6xdx xdx = du 6 ∫ ∫ ∫ ∫ດ່ ງັ ນນັ້ : e3x2 −2 5xdx = 5 e3x2 −2 xdx = 5 eu × du = 5 eudu = 5 eu + C = 5 e3x2 −2 + C . 66 6 6 ວທິ ແີ ກ ້ 2: ອງີ ຕາມຈນຸ ລະຄະນດິ : du = u′dx ( ) ( )ສະນນັ້ : d 3x2 − 2 = 3x2 − 2 ′ dx ( )d 3x2 − 2 = 6xdx ∫ ∫ ∫ ∫ ( )ດ່ ງັ ນນັ້ : e3x2 −2 5xdx = 5 e3x2 −2 xdx = 5 e3x2 −2.6xdx = 5 e3x2 −2 d 3x2 − 2 = 5 e3x2 −2 + C . 66 6 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ ∫1. 14x+1 dx ∫3. 121− x2 xdx ∫5. 82x2 +1 3xdx ∫2. 164x3 + 3 2x2dx ∫4. 191−5x2 xdx ∫6. 151−x2 xdx ∫1. e1 − 15x dx ∫3. e4x+3dx ∫7. 4e4−5x3 x2dx ∫2. 2e1−x3 x2dx ∫4. e1−2x2 xdx ∫8. e1− x 2dx 7.8. ເຄາົ້ ຕໍາລາໄຕມມູ ມຕິ ິ ∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ tan x dx = − ln cos x + C ∫ cot x dx = ln sin x + C ຕວົ ຢ່ າງ 1: ∫ 2sin x dx = 2 ∫ sin x dx = − 2 cos x + C. ຕວົ ຢ່ າງ 2: ∫ 2 cos x dx = 2 ∫ cos x dx = 2sin x + C 74

ຕວົ ຢ່ າງ 3: ∫ 2 tan x dx = 2 ∫ tan x dx = − 2 ln cos x + C. ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ 4sin x dx 11. ∫ (1− 2sin x) dx 15. ∫ ( x + 3sin x) dx 16. ∫ (1− sin x) dx 2. ∫ (sin x − 2x) dx 12. ∫ (2 + 5sin x) dx 17. ∫ (9cos x − 1) dx 3. ∫ 3cos x dx 13. ∫ (3cos x − x) dx 4. ∫ (2cos x + 1) dx 14. ∫  x 2 − 1 cos x  xdx 18. ∫ (1− cos x) dx  2  5. ∫  9 tan t + 1 t  dt 19. ∫ (2sin x − cos x + 5 tan x) dx  2  20. ∫ (2cos x − 3tan x) dx ∫6. 3 + 3sin x −5 tan x   2x7  dx ∫ ( )21. 2ex + e2x+3 − 3 tan x dx  22. ∫ (cos x − 3sin x + 5cot x) dx 7. ∫  tan y − y2 + 2 − 1  dy  y  ( )∫23. 2x − 3ex + x − 2cot x dx 8. ∫ (sin x − 3cot x) dx ∫ ( )9. e5u−4 − 7 cot u du ∫10.  y − 1  ∫24.  3 x − 5cot   cot y −7  dy  x5 x  dx 7.9. ເຄາົ້ ຕໍາລາໃນຮູບຮ່ າງ ∫ sin u dx ; ∫ cos u dx ; ∫ tan u dx ; ∫ cot u dx ບນັ ດາຕວົ ຢ່ າງ: (1) ∫ sin 2x dx = 1 ∫ sin 2 x.2dx = 1 ∫ sin 2xd ( 2x ) = − 1 cos (2 x ) + C . 2 2 2 (2) ∫ 3sin ( x2 +1) xdx = 3 ∫ sin ( x 2 + 1) .2xdx = 3 ∫ sin ( x 2 + 1) d ( x 2 + 1) = − 3 cos ( x2 +1) + C. 2 2 2 (3) ∫ cos8x dx = 1 ∫ cos (8x).8dx = 1 ∫ cos 8x d (8x ) = 1 sin (8x) + C . 8 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫(4) 5cos 2x2 + 3 xdx = 5 cos 2x2 + 3 .4xdx = 5 cos 2x2 + 3 d 2x2 + 3 = 5 sin 2x2 + 3 + C 4 44 75

(5) ∫ tan 5x dx = 1 ∫ tan 5x × 5dx = 1 ∫ tan 5x d (5x) = − 1 ln cos 5x +C. 5 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫(6) x tan 2x2 +1 dx = 1 tan 2x2 +1 4xdx = 1 tan 2x2 +1 d 2x2 +1 = − 1 ln cos 2x2 +1 + C 42 2 (7) ∫ cot (5x) dx = 1 ∫ cot (5x ) .5dx = 1 ∫ cot (5x ) d (5x) = 1 sin 5x + C. 5 5 ln 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫(8) xcot 2x2 +1 dx = 1 cot 2x2 +1 4xdx = 1 cot 2x2 +1 d 2x2 +1 = 1 ln sin 2x2 +1 + C. 42 2 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ sin (5x) dx 16. ∫ sin (1− x) dx 17. ∫ sin (2 + 5x) dx 2. ∫ 2sin (7 − 3x2 ) xdx 3. ∫ 5x sin (1− 2x2 ) dx 18. ∫ sin (2x2 + 3) xdx 4. ∫ cos (5x) dx 19. ∫ 2cos (1− x) dx 5. . ∫ 1 cos (1 − x ) dx 20. ∫ cos (1− 5x2 ) xdx 2 ( )∫21. cos 2x3 + 7 x2dx ∫6. cos  1 x2 − 3 xdx 2 22. ∫ 5 tan (1− 2x) dx 23. ∫ 3x tan (12 − 5x2 ) dx 7. ∫ tan (2x − 3) dx 8. ∫ x tan (1− 2x2 ) dx 9. ∫  tan y − y2 + 2 − 1  dy 24. ∫ (2 tan y + tan (3y + 2)) dy  y  25. ∫ (3cos 2t − sin 3t + 5 tan 5t ) dt ∫  ( 5) 3 x2   x −1 dx 10. 2 tan 7x + − ∫ ( )11.   26. ∫ tan (1− 3x2 )5xdt  1 − e2x−3 + 5x tan x2 −1  dx x 27. ∫ 2cot (2 − 5x) dx 12. ∫ cot (5x + 3) dx ( )( )28. ∫ cot y − y cot 3y2 + 2 dy 13. ∫ 5x cot (1− x2 ) dx 76

∫  y2 1  ∫29.  (7x 5) 3 x2 2   y y   x5 x  14. 2 cot 3y − + 2y − dy 3 cot + − −x+ dx 15. ∫ (cos 3t − sin 2t + 5cot 5t ) dt ∫ ( )30. 1   x −5 − xe2x2 −3 − 2x cot x2 −1  dx 7.9. ເຄາົ້ ຕໍາລາປົກກະຕິ ຮູບຮ່ າງ 1: ∫ ax2 + bx + c dx dx +e ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ x2 + 4x + 5 dx x −1 ບດົ ແກ:້ ∫ x2 + 4x + 5 dx = ∫  x + 5 + 10  dx x −1  x −1  = ∫ x2dx + 5∫ dx + ∫ 10 dx x −1 = x3 +5x +10∫ 1 dx 3 x −1 = x3 + 5x +10∫ 1 d ( x −1) 3 x −1 = 1 x3 + 5x +10 ln x −1 + C . 3 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ ∫ 4 x2 − x + 3 dx x +1 ບດົ ແກ:້ ∫ 4x2 − x + 3 dx = ∫  4x − 5+ 8  dx x +1 + x 1 = ∫ 4x dx − 5∫ dx + ∫ x 8 dx +1 = 4. 1 x2 − 5x + 8∫ 1 dx 2 x +1 = 2x2 − 5x + 8∫ 1 d ( x + 1) x +1 = 2x2 − 5x + 8 ln x +1 + C . 77

∫ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ 2x3 − 5x2 + 3x +1 dx x+ 2 ບດົ ແກ:້ − + +1 −41 ∫ ∫2x3 5x2 2 3x dx =  2x2 − 9x + 21 + x+2  dx x+ = 2∫ x2dx − 9∫ x dx + ∫ −41 dx x+2 ∫= 2. x3 − 9. x2 − 41 x 1 2 dx 2 + 3 = 2 x3 − 9 x2 − 41∫ x 1 2 d ( x + 2) 3 2 + = 2 x3 − 9 x2 − 41ln x + 2 + C . 32 ∫ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາ x3 − x2 + 2x +3 dx x−2 ບດົ ແກ:້ − x2 + 2x + x−2 ∫ ∫x3 3 dx =  x2 + x + 4 + 11  dx x−2 = ∫ x2dx + ∫ x dx + ∫ 11 dx x−2 ∫= 1 x3 + 1 x2 + 11 x 1 2 dx − 32 = 1 x3 + 1 x2 + 11∫ 1 d (x − 2) 3 2 x−2 = 1 x3 + 1 x2 + 11ln x − 2 + C. 32 ບດົ ເຝຶກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 + 2x +3 dx 12. ∫ x2 −4x + 5 dx x −1 x +1 2. ∫ 2x2 − x +1 dx 13. ∫ x2 + 2x +1 dx x+4 x +1 78

3. ∫ x2 +1 dx 14. ∫ 3x2 +2 x dx x+2 x +3 4. ∫ x2 + 3x + 5 dx 15. ∫ 5 x2 − x + 5 dx 2x +3 3x − 2 5. ∫ 3x2 − 2x + 7 dx 16. ∫ 4x2 −7x −5 dx −x +5 −2x +1 6. ∫ x3 − 3 dx ∫17. 2x4 + 5x3 − x2 + 2x +1 x−2 x + 2 dx 7. ∫ x2 −1 dx 18. ∫ x3 + 8 dx x −1 x+2 ∫8. x3 − x2 + 5x +1 dx ∫19. 2x3 + 3x2 − x −4 dx x+4 x−5 ∫9. x3 + 5x2 + x − 4 ∫20. 2x5 + 4x4 + x2 − x +1 x + 3 dx x − 2 dx ∫10. x3 + 2x2 − x − 2 dx ∫21. x3 + x2 − 4x + 2 dx x −1 x +2 ∫11. 2x3 + 5x2 − x +1 dx ∫22. −x3 + x2 − 3x − 2 dx 2x − 3 5x + 2 ຮູບຮ່ າງ 2: ∫ ax2 dx + bx + c ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ x2 dx + 2 − 3x ບດົ ແກ:້ ∫ x2 dx + 2 = ∫ ( x − dx x −1) − 3x 2)( = ∫  x 1 2 − 1  dx − x −1 = ∫ dx − ∫ dx x−2 x −1 = ∫ d (x −2) − ∫ d ( x −1) x−2 x −1 = ln x − 2 − ln x −1 + C = ln x−2 +C. x −1 79

ຕວົ ຢ່ າງ 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ x2 dx −6x + 9 ບດົ ແກ:້ ∫ x2 dx + 9 = ∫ ( dx − 6x x − 3)2 = ∫ ( x − )3 −2 d ( x − 3) = − ( x − 3)−1 + C = −1 + C . x−3 ຕວົ ຢ່ າງ 3. ຈ່ ງົ ຊອກຫາເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ x 2 dx + 1 +x ບດົ ແກ:້ ອງີ ຕາມສູດ x2 + bx =  x + b 2 −  b 2  2   2  ເຮາົ ຈະໄດ:້ ∫ dx = ∫ dx +x x2 +1  x + 1 2 − 1 +1 2  4 = ∫ dx  x + 1 2 + 3 2 4 d  x + 1  2 ∫=  1 2  3 2 x + 2 +    2 d  x + 1  2 ∫=  1 2  3 2 x + 2  +    2 ອງີ ຕາມສູດ ∫ d (u ( x)) = 1 arct an u (x) + C )x) 2 + a2 a (u( a 80

ເຮາົ ຈະໄດ:້ = 1 x+1 arctan 2 + C 33 22 = 2 arctan 2x +1 + C . 33 ບດົ ເຝຶກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ ( x − dx − 4) 60. ∫ dx 6)(x (x + 2)(x −2) 2. ∫ ( x − dx + 7 ) 61. ∫ dx 4)(x x( x − 7) 3. ∫ ( x − dx − 2) 62. ∫ dx 5) ( x x(x + 5) 4. ∫ ( x − dx + 6) 63. ∫ ( x + dx − 4) 8) ( x 4)(x 5. ∫ ( x dx + 8) 64. ∫ ( x − dx − 1) −1)( x 2)(2x 6. ∫ (3x − dx x + 3) 65. ∫ ( x + dx x − 1) 2)( 5)(4 7. ∫ (2x dx + 1) 66. ∫ 4 x dx − 3) − 1) (3x (2x 8. ∫ x2 + dx + 12 67. ∫ dx 7x x2 +8x + 7 9. ∫ x2 dx + 40 68. ∫ dx +13x x2 +10x + 21 10. ∫ x2 dx + 42 69. ∫ dx + 13x x2 − 7x +10 11. ∫ x2 dx +2 70. ∫ dx + 3x x2 + 6x + 9 12. ∫ x2 dx + 24 71. ∫ x2 dx + 7 −10x −8x 81

13. ∫ x2 dx + 25 72. ∫ dx −10x x2 +15x + 36 14. ∫ x2 dx + 36 73. ∫ dx −13x x2 −9x +8 15. ∫ x2 dx 72 74. ∫ dx −x− x2 − 2x − 35 16. ∫ x2 dx − 8 75. ∫ dx − 2x x2 −10x −11 17. ∫ x2 dx + 28 76. ∫ dx −16x x2 − 4x + 4 18. ∫ x2 dx + 5 77. ∫ dx − 4x x2 −10x − 24 19. ∫ x2 dx − 3 78. ∫ dx − 2x x2 −14x −15 20. ∫ x2 + dx −15 79. ∫ dx 2x x2 −12x + 35 21. ∫ x2 − dx − 63 80. ∫ dx 2x x2 + 6x + 5 22. ∫ x2 − dx − 63 81. ∫ x2 dx + 5 2x + 6x 23. ∫ x2 dx 42 82. ∫ dx −x− x2 − x − 42 24. ∫ x2 dx − 6 83. ∫ dx +x x2 + 2x +1 25. ∫ x2 dx + 45 84. ∫ dx + 14 x x2 − 29x +100 26. ∫ x2 + dx − 77 85. ∫ dx 4x x2 − 5x − 24 27. ∫ 5x2 dx −1 86. ∫ ( 6x − dx + 5) − 4x 2)(2x 28. ∫ x2 dx + 36 87. ∫ ( 2 x dx − 36 −13x −1)2 29. ∫ x2 dx + 3 88. ∫ dx − 7x x2 − 4x 82

30. ∫ 4 x 2 dx x 89. ∫ 3x 2 dx − 1 − 36 +x 31. ∫ 4 x 2 dx x 90. ∫ 3 x 2 dx − 1 − 36 +x 32. ∫ 2x2 dx − 12 91. ∫ x2 dx −1 − 5x −x 33. ∫ 2x2 dx + 5 92. ∫ 2x2 + dx + 12 −11x 20x 34. ∫ (5x − dx x + 4) 93. ∫ dx x2 − 6x − 2 2)( 35. ∫ 4x2 dx + 9 94. ∫ ( x − dx −9 −12x 3)2 36. ∫ 2x2 dx − 5 95. ∫ dx + 3x x2 − 5x − 2 37. ∫ x2 dx − 75 96. ∫ 5x2 dx −10x −9x + 2 38. ∫ x2 − dx − 48 97. ∫ dx 2x x2 − 7x + 5 39. ∫ 3x2 − dx + 25 98. ∫ 5x2 dx 20x − 8x − 21 40. ∫ dx x 99. ∫ 2 dx 3x x2 + x2 − 41. ∫ x2 dx 100. ∫ dx + 4x x2 − 2x 42. ∫ 5x dx 2 x 101. ∫ 2 dx 3 2+ x2 + 43. ∫ 16 dx 49 102. ∫ dx x2 − x2 −1 44. ∫ 9 x dx 16 103. ∫ dx 2− x2 + 6x + 4 45. ∫ x2 dx − 7 104. ∫ dx + 6x x2 + 6x − 91 46. ∫ x2 dx + 9 105. ∫ dx + 8x x2 − 2x −9 83

47. ∫ x2 dx −1 106. ∫ dx −10x x2 +10x − 6 48. ∫ x2 dx − 6 107. ∫ dx + 2x x2 − 4x − 3 49. ∫ x2 dx −1 108. ∫ dx + 3x x2 − 4x −12 50. ∫ 4x2 dx x + 3 109. ∫ dx −4 x2 − x − 2 51. ∫ x2 − dx −10 110. ∫ x2 dx 3x − 5x + 6 52. ∫ x2 dx 111. ∫ x2 − dx + 12 + x −12 7x 53. ∫ x2 dx −1 112. ∫ 4x2 dx − 3 − 4x − 2x 54. ∫ x2 dx − 5 113. ∫ x2 dx − 3 + 3x −x 55. ∫ x2 dx − 2 114. ∫ x2 dx + 6 −x + 5x 56. ∫ x2 dx 115. ∫ x2 dx + x −12 + 2x −3 57. ∫ x − dx + 6 116. ∫ x2 dx 5x + 2x −8 58. ∫ dx 7 117. ∫ 7 dx x −5x2 − x2 − 59. ∫ x2 dx − 2 117. ∫ x2 dx + 6 −x + 5x ຮູບຮ່ າງ 3: ∫ ax mx +n c dx 2+ bx + ∫ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາ x2 x +2 6 dx − 5x + ບດົ ແກ:້ ∫ (x + 2) dx = ∫ x2 − x + 6 dx + ∫ x2 − 2 + 6 dx +6 5x 5x x2 −5x = 1 ∫ x2 2x + 6 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 − 5x 5x 84

= 1 ∫ 2x −5+5 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 6 5x = 1 ∫ 2x −5 6 dx + 5 ∫ x2 1 + 6 dx + 2∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 −5x + 2 − 5x 5x = 1 ∫ 2x −5 6 dx + 9 ∫ x2 − 1 + 6 dx 2 x2 − 5x + 2 5x = 1 ∫ d (x2 −5x + 6) + 9 ∫ 1 dx 2 2 x2 − 5x + 6 ( x − 3)( x − 2) = 1 ln x2 − 5x +6 + 9 ∫  1 − x 1 2  dx 2 2  x−3 −  = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9  ∫ x 1 dx − ∫ x 1 2 dx  2 2 −3 − = 1 ln x2 − 5x +6 + 9  ∫ d ( x − 3) − ∫ d (x − 2)  2 2    x−3 x−2  = 1 ln x2 − 5x + 6 + 9 (ln x − 3 − ln x − 2 ) + C 22 = 1 x2 − 5x + 6 + 9 ln x−3 +C. ln 2 x−2 2 ບດົ ເຝຶກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ x2 x +1 3 dx 16. ∫ 3x 2 x+3 + 5 dx − 7x − + 9x 2. ∫ 2 x 2 x −1 − 2 dx 17. ∫ 3x 2 x−3 + 1 dx + 5x + 7x 3. ∫ 5 x2 x+4 − 4 dx 18. ∫ x2 x+5 + 5 dx − 2x + 10 x 4. ∫ x2 x+7 dx 19. ∫ 4 x2 x+8 + 1 dx −6x −1 − 6x 5. ∫ x2 1− x 21 dx 20. ∫ x2 2−x 10 dx − 4x − +10x + 6. ∫ 3x 2 3− x − 5 dx 21. ∫ 5 x2 4− x + 2 dx + 2x +8 x 7. ∫ x2 5 −x 5 dx 22. ∫ 7 x 4−x − 1 dx + 2x − 2 − 3x 85

8. ∫ x2 2x +1 3 dx 23. ∫ 6 x 3x +2 6 dx − 7x + 2+ 5x − 9. ∫ x2 2x +1 3 dx 24. ∫ 6 x 3x +2 6 dx − 7x + 2+ 5x − 10. ∫ 2 1− 2x 12 dx 25. ∫ 3x 2 − 3x 2 dx x2 + 5x − 2 − 2x − 11. ∫ ( 7−5 x dx 26. ∫ 3x 2 −3x 2 dx − 2 − 2x − x − 3)2 25 12. ∫ x2 5 + 4x 72 dx 27. ∫ x 12x +5 dx + 6x − 2 −4 x − 21 13. ∫ ( + 3)2 7x −2 4) ( + 3) dx 28. ∫ 11x +12 dx x+ 121x2 − 36 2x −( x 1 x +1 1x+2 ∫ 18x 2 ∫ x2 3 14. − 24 − 3x2 dx 29. + 14 x + 13 dx 15. ∫ x2 8x +9 28 dx 30. ∫ x2 13x + 5 dx −12x − − 22x +120 ຮູບຮ່ າງ 4: ∫ ( x − a ) ( x f ( x) dx c ) ( x − d ) − b)( x − ຕວົ ຢ່ າງ: ຊອກເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ ( x 3x −8 3) dx − 2)(x − ບດົ ແກ:້ ວາງ 3x −8 = x A 2 + B − x−3 (x − 2)( x − 3) 3x −8 = A(x − 3) + B (x − 2) (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x −3) 3x − 8 = A(x − 3) + B (x − 2) 3x − 8 = Ax − 3A + Bx − 2B 3x − 8 = ( A + B) x + (−3A − 2B) A+ B = 3 ( A = 2, B = 1) −3A − 2B = −8 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ 86

∫ ( x 3x −8 3) dx = ∫  x A + B  dx  −2 x−3  − 2)(x − = ∫  x 2 2 + x 1 3  dx  − −  = ∫ x 2 2 dx + ∫ x 1 3 dx − − = 2∫ x 1 2 d ( x − 2) +∫ x 1 3 d ( x − 3) − − = 2 ln x − 2 + ln x − 3 + C = ln ( x − 2)2 + ln x − 3 + C = ln ( x − 2)2 x − 3  + C. ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ ( x 2x −3 2) dx 26. ∫ ( x − x+7 − 5) dx −1) (x− 4)(x 2. ∫ ( x 5x − 2 3) dx 27. ∫ ( x + x x − 2) dx + 2)(x + 1) ( 3. ∫ ( x 7x − 3 4) dx 28. ∫ ( x 8x + 9 dx − 3)(x − − 7)( x +1) 4. ∫ ( 2 x 2x −1 − 4) dx 29. ∫ ( x − 3x − 5 − 2) dx −1)( x 4)(5x 5. ∫ ( 3x 11x − 6 − 7 ) dx 30. ∫ ( 4x 7x −12 − 5) dx + 2)(5x + 3)(2x 6. ∫ ( x −1) ( x + 5 ( x − 3) dx 31. ∫ ( x − 4 x2 + x +1 − 6 ) dx x − 2) )( x − 5)(x 7. ∫ ( x + 2 x2 −5x + 3 + 4 ) dx 32. ∫ ( x + x2 −x+ 6 + 5 ) dx 2 x )( x + 3)( 1) ( x − 2) (x 8. ∫ ( x − 3) 8x + 7 ( x − 5) dx 33. ∫ ( x − x2 − 5x + 9 + 2 ) dx (x −4) 7)(x +1)( x 9. ∫ ( 2x 2x −1 − 4) dx 35. ∫ ( x − 4 x3 − x2 + 5 − 3 x ) dx −1)( x )(5x − 2)(2 87

10. ∫ ( 3 x + x2 + 5x + 6 − 3x ) dx 36. ∫ ( 4 x + 5x2 − x −1 + 11) dx 2)( 5x − 7)(2 3)(2x − 5)(3x 11. ∫ x 2x2 −5x − 3 dx 37. ∫ ( x − 1) ( x x3 + 2 1) ( x + 2 ) dx ( x −1)( x + 2) − 2)(x + 12. ∫ x 5x2 + 6x +1 dx 38. ∫ ( 3 x2 + 3x + 3 ) dx x + 2 (x− 2)(x − 3) −1)2 ( x 13. ∫ ( − 6 x2 +18x + 1) dx 39. ∫ ( x2 − 3x + 2 dx x+ x 1)3 (x − 2)( x 1)4 (x + 3) ຮູບຮ່ າງ 5: ∫ ( x − d f (x ) dx + c ) + bx )( ax 2 x2 +1 x2 + x +1 x2 − x +1 ( )( )∫ຕວົ ຢ່ າງ: ຊອກເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ dx ວທິ ແີ ກ:້ x2 +1 = Ax + B + Cx + D x2 + x +1 x2 − x +1 x2 + x +1 x2 − x +1 ( )( )ວາງ x2 +1 = ( Ax + B)( x2 − x +1) + ( Bx + D)( x2 + x +1) ( x2 + x +1)( x2 − x +1) ( x2 + x +1)( x2 − x +1) x2 +1 = ( Ax + B)( x2 − x +1) + (Cx + D)( x2 + x +1) x2 +1 = ( A+ C) x3 + (−A + B + C + D) x2 + ( A− B + C + D) x + B + D A+C = 0 −AA−+BB++CC++DD==01 B + D = 1 ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ A = C = 0, B = D = 1 . 2 ເມ່ ອື ນນັ້ , ເຮາົ ຈະໄດ:້ ( )( )∫ ∫x2 +1 dx =  Ax + B + Cx + D  x2 + x +1 x2 − x +1  x2 + x +1 x2 − x +1 dx 88

1 1   ∫=  2 + 2  dx  x2 +x +1 x2 −x +1   ∫= 1  x2 1 +1 + x2 1 +1  dx  +x −x  2 = 1  ∫ x2 1 +1 dx + ∫ x2 1 +1 dx  2 +x −x = 1  ∫ x2 1 +1 dx + ∫ x2 1 +1 dx  2 +x −x    1 ∫ ∫=1  1 dx + dx  2    + 1 2 +  3 2  − 1 2 +  3 2   x 2    x 2   2   2   ∫ ∫ d  x + 1  d  x − 1    2 2  = 1  +  2  2  2 2  2   + 1  +  3   − 1  +  3   x 2  x 2    2 2 ອງີ ຕາມສູດ ∫ d u ( x) = 1 arct an u ( x) + C u ( x)2 + a2 aa  x+1 − 1   ar tan 2 + x 2  = 1  1 1  + arctan C 2   3 33 3 2 22 2 =  1 ar tan 2x +1 + 1 arctan 2 x −1  + C  33 3 3  = 1  ar tan 2x + 1 + arctan 2x −1  + C. 3  3 3  89

ບດົ ເຝິກຫດັ : 8. ∫ ( x x3 +2 x +1 3) dx ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 2+ x 2+ 1)( ( )( )∫ 2x2 + 5 1. x2 + 3x + 5 x2 + x + 2 dx x− 2 x2 − 3x x2 x2 + 5x + 7 x2 + 4 dx 2. ∫ ( x2 + + 7)( + + 11) dx ( )( )∫9. 2x 3x 2x3 −1 x3 − x +1 x2 − x + 7 x2 − 4x +12 x2 + 2x + 2 x2 +1 ( )( )∫3. dx ( )( )∫10. dx 4. ∫ ( 2 + x +1 2 + 5) dx 11. ∫ ( + 1) 4x −3 + 5) dx + x x 2)( x x (x2 − 3x 5. ∫ ( +1) ( 1 − + 1) dx 12. ∫ ( + 1) ( 1 − + 1) dx x2 x2 x x x x x+2 x3 + 2x + 5 x2 + 5x + 7 x2 + x + 9 6. ∫ ( − 2)( x2 + ) dx ( )( )∫13. dx x 7 2x3 −1 ( )14. ∫ x3 − x x2 − 2x + 3 x2 − x + 5 x+ 2 ( )( )∫7. dx x2 − ( x + 5) dx . 7.10. ຊອກເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງຕໍາລາອະປົກກະຕິ ຮູບຮ່ າງ 1: ∫ 1 dx ax2 + bx + c ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຊອກເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ dx 2x2 −5x + 6 ບດົ ແກ:້ ∫ dx = ∫ dx − 5x 2x2 + 6 2  x2 − 5 x + 3 2 = ∫ dx 2 x2 − 5 x + 3 2 90

=1∫ dx 2  5 2  5 2      x− 2  −  2  +3  2 2    ∫= 1 dx 2  − 5 2 −  5 2 + x 4  4  3 =1∫ dx 2  − 5 2 − 25 + 4  16 x 3 =1∫ dx 2  − 5 2 + −25 + 48 4  16 x =1∫ d  x − 5  2  4   x − 5 2 + 23 4 16 ອງີ ຕາມສູດ ∫ d (u(x)) = ln u ( x) + (u (x))2 + k + C (u (x))2 + k = 1 ln x − 5 +  x − 5 2 + 23 +C . 24 4  16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ dx 4 − 6x − 3x2 ບດົ ແກ:້ ∫ dx = ∫ dx 4 − 6x − 3x2 3  4 − 2 x − x2  3 = ∫ dx 3 4 − 2x − x2 3 = 1 ∫ dx 3 4 −(2x + x2 ) 3 91

=1∫ dx 3 4 − (1 + x )2 − 1 3 =1∫ dx 3 4 +1− (1+ x)2 3 =1∫ dx 3 7 − (1+ x)2 3 = 1 ∫ d (1+ x) 3  7 2 (1 )2   − + x  3 ອງີ ຕາມສູດ ∫ d (u ( x)) = arcsin u ( x) + C a2 − (u (x))2 a = 1 arcsin 1+ x + C 37 3 = 1 arcsin 3 (1+ x) + C . 37 ບດົ ເຝິກຫດັ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາບນັ ດາເຄາົ້ ຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ 1. ∫ dx 6. ∫ dx 4x2 −10x − 5 2 2 x2 − 6x + 3 2. ∫ dx 7. ∫ dx 2x2 + x + 3 9x2 − 6x +1 3. ∫ dx 8. ∫ dx 3x2 −8x +1 7 − 8x −10x2 4. ∫ dx 9. ∫ dx 5 −12x − 4 2 x2 2x2 − 3x + 9 ∫ dx 10. ∫ dx 9 −3 2 x − 2 x2 5. 3x2 − 5x + 4 92

ຮູບຮ່ າງ 2: ∫ mx + n dx ax2 + bx + c ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຄດິ ໄລ່ ເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ 11x + 3 dx 2x2 + 9x − 4 ບດົ ແກ:້ ∫ 11x + 3 − dx = ∫ 2  11x + 3 dx x2 + 9x 2  2 4 x2 + 9 x − 2 = ∫ 11x + 3 dx 2 x2 + 9 x − 2 2     = 1 ∫  11x + 3  dx 2  x2 + 9 x   2 − 2      = 1 ∫  11x + 3  dx 2  x2 + 9 x − 2 +9   x2 x − 2  2 2 = 1 ∫ 11x dx + 1 ∫ 3 dx 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ x dx + 3 ∫ 1 dx 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ 2x dx + 3 ∫ 1 dx 2 2 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 22 = 11 ∫ 2x + 9 − 9 dx + 3 ∫ 1 dx 22 x2 + 9 x − 2 2 2 x2 + 9 x − 2 2 2 2  2x + 9 9   2−  = 11 ∫  2  + 3∫ 1 dx 22  x2 + 9 x − 2 +9  dx x2 + 9 x − 2  2  2 x2 2 x − 2 2 93

2x + 9 9 2 = 11 ∫ dx − 11 ∫ 2 dx + 3 ∫ 1 22 x2 + 9 x − 2 22 x2 + 9 x − 2 2 dx 2 2 x2 + 9 x − 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  99 1 dx + 3 ∫ 1 2 dx = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 2 x2 + 9 x − 2 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2  99 1 dx + 12 ∫ 1 2 dx = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 2 2 2 11 d  x2 + 9 x − 2 87 1 2 dx = ∫ dx − ∫ 2 2 x2 + 9 x − 2 42 x2 + 9 x − 2 2 2 d  x2 + 9 x − 2  87 1 ∫ ∫= 11 2 42 22 dx − dx 1  9 2  9 2  x2 + 9 x − 2 2  + 2  −  2  −2 2      x  2 2    ∫ ∫= 11  x2 + 9 x − 2 − 1 d  x2 + 9 x − 2  − 87 1 dx 22  2 2  2  42   x + 9 2 −  9 2 − 2 4 4  9 − 1 +1 2 2 x2 + x − 2 11 87 1 dx ∫= − 2 2 − 1 +1 42 2  + 9  − 81 − 2 x 4 16 2 1 11  x2 + 9 x − 2 2 87 d  x + 9  2 4 ∫= − dx 22 1 42 2  + 9  − 113 2 x 4 16 94

1 d  x + 9  4 ∫= 11  x2 + 9 x − 2  2 − 87 dx 2  2  42  + 9 2 − 113 x 4  16 = 11 x2 + 9 x − 2 − 87 ln  x + 9  +  x + 9 2 − 113 +C. 2 2 42 4 4  16 ຕວົ ຢ່ າງ 2: ຊອກເຄາົ້ ຕໍາລາຂອງ ∫ (5x −1) dx −3x2 + 8x + 4 ບດົ ແກ:້ ∫ (5x −1) dx = ∫ (5x −1) dx x+ −3x2 + 8 4 3  −x 2 + 8 x + 4  3 3 = 1 ∫ (5x −1) dx 3 −x2 + 8 x + 4 33     = 1 ∫  5x − 1 4  dx 3  −x2 + 8 x + 4 +8 3   −x2 x +  33 3 = 5 ∫ x dx − 1 ∫ 1 dx 3 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 33 33 = − 5 ∫ −2x dx − 1 ∫ 1 dx 2 3 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 33 33 = − 5 ∫ −2x + 8 − 8 dx − 1 ∫ 1 dx 2 3 33 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 3 33 33  −2x + 8 −8   3+  = − 5 ∫  3  − 1∫ dx 2 3  −x2 + 8 x + 4 8 4  dx −x2 + 8 x + 4  33 3 3 3 −x2 + x +  33 95

= −5 ∫ −2x + 8 dx − 5 ∫ − 8 dx −1∫ dx 3 3 −x2 + 8 x + 4 23 −x2 + 8 x + 4 23 −x2 + 8 x + 4 3 33 33 33 =− 5 ∫ −2x + 8 dx + 40 ∫ dx − 1 ∫ dx 23 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 3 −x2 + 8 x + 4 63 33 33 33 =− 5 ∫ −2x + 8 dx + 40 ∫ dx − 6 ∫ dx 23 3 −x2 + 8 x + 4 −x2 + 8 x + 4 6 3 −x2 + 8 x + 4 63 33 33 33 dx −x2 + 8 x + 4 = − 5 ∫ −2x + 8 dx + 17 ∫ 3 3 33 2 −x2 + 8 x + 4 33 33 5 d  − x2 + 8 x + 4  17 dx 3 3 =− ∫ dx + ∫ 2 3 −x2 + 8 x + 4 33   4 − x2 − 8 x 33 3 3 d  −x2 + 8 x + 4  dx ∫ ∫= − 5 3 3 17 23 + 1 33   2  2   − x2 + 8 x + 4 2 4 − − 8  −  8   3 3  3     x 3   3   2   2  ∫ ∫= − 5  −x2 + 8 x + 4 − 1 d  −x2 + 8 x + 4  + 17 dx 23 3 3 2 3 3 33  4 −  − 8 2 −  8 2  3 6  6   x  ∫ ∫= − 5  − x2 + 8 x + 4 − 1 d  − x2 + 8 x + 4  + 17 dx 23  3 3 2  3 3  33  4 −  − 4 2 −  4 2  3 3  3   x  5  −x2 + 8 x + 4 −1 +1 17 dx 3 3 2  ∫= − + 2 3 − 1 +1 33 2 4 −  − 4 + 16 2 3 x 3 9 96