Temat: Odległość między punktami w układzie współrzędnych, długość odcinka Geometria analityczna Szkoła ponadpodstawowa
Dzisiaj ……. ➢ Wyprowadzisz wzór na odległość punktów w układzie współrzędnych; ➢ Obliczysz odległość punktów w układzie współrzędnych; ➢ Obliczysz długość odcinka w układzie współrzędnych; ➢ Zastosujesz wzór na odległość między punktami w zadaniach dotyczących wielokątów w układzie współrzędnych.
Jak obliczyć odległość miedzy punktami w układzie współrzędnych? yB B = (xB ; yB ) D | AB |2 = (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 O Z yB − yA E S | AB |= (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 Z yA xB − xA ∙ Y T A = (xA; yA) U xA xB M = (xM ; yM ) P = (xP ; yP ) | MP |= (xP − xM )2 + ( yP − yM )2
Jak obliczamy długość odcinka? D xB yB O (4; 3) Z E xA yA S 2 13 A = (−2; −1) Z xB yB Y T B = (4; 3) U xA yA (−2; −1) | AB |= (4 − (−2))2 + (3 − (−1))2 = (4 + 2)2 + (3 +1)2 = 62 + 42 | AB |= 36 +16 = 52 = 4 13 = 2 13
Zadania do wykonania na lekcji Ćwiczenie 1, Ćwiczenie 2, str. 55 Ćwiczenie 4a,b, Ćwiczenie 5a,b, str. 56 Zadanie 10, 11, 13 str. 57 Jeśli nie zdążysz rozwiązać wszystkich zadań na lekcji, dokończ jako zadanie domowe. Zadanie 5 str. 57 DODATKOWE
Temat: Środek odcinka Geometria analityczna Szkoła ponadpodstawowa
Dzisiaj ……. ➢ Wyznaczysz współrzędne środka odcinka, gdy dane są współrzędne jego końców; ➢ Wyznaczysz współrzędne jednego z końców odcinka, gdy dane są współrzędne jego środka i drugiego końca; ➢ Zastosujesz wzór na środek odcinka w zadaniach dotyczących własności wielokątów w układzie współrzędnych.
Wzór na środek odcinka S = (xS ; ys ) xS = xA + xB yS = yA + yB 2 2
Jak obliczyć współrzędne środka odcinka? D xB yB S = (xS ; ys ) O (4; 3) xA yA Z E S = (xS ; ys ) A = (−2; −1) S Z S = (1;1) xB yB Y T xS yS B = (4; 3) U S = (1; 1) xS = xA + xB yS = yA + yB xA yA 2 2 (−2; −1) xS = xA + xB = −2 + 4 =1 2 2 yS = yA + yB = −1+ 3 =1 2 2
Ćwiczenie 1ab, str. 58
Jak obliczyć współrzędną końca odcinka znając współrzędne środka i początku odcinka? B = (xB ; yB ) = ? xA yA A = (−4; −2) D xS yS O S = (1; 2) Z xS = xA + xB yS = yA + yB E 2 2 S S = (1; 2) Z 1 = −4 + xB / 2 2 = −2 + yB / 2 Y 2 2 T 2 = −4 + xB 4 = −2 + yB U xA yB 6 = xB 6 = yB A = (−4; −2) xB yB B = (6; 6)
Ćwiczenie 2a str. 58 xA yA xS = xA + xB yS = yA + yB 2 2 A = (5; 8) −1 = 5 + xB / 2 −3 = 8 + yB / 2 xS yS 2 2 S = (−1; −3) −2 = 5 + xB −6 = 8 + yB B = (xB ; yB ) = ? xB = −7 yB = −14 B = (−7; −14)
Ćwiczenie 2b str. 58 xA + xB yS = yA + yB 2 2 xA yA xB yB xS = A = ( x; −2) B = (7; y ) xS yS 2 = x+7 /2 1 = −2 + y / 2 2 2 S = (2; 1) 4= x+7 2 = −2 + y | AB |= (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 x = −3 y=4 xA yA xB yB A = (−3; −2) B = (7;4 ) | AB |= (7 − (−3))2 + (4 − (−2))=2 (10)2 + (6)2 = 136 | AB |= 4 34 = 2 34
Zadania do wykonania na lekcji Ćwiczenie 3a, str. 59 – przeanalizuj przykład 3 Zadanie 1b,c,str. 59 - Oblicz współrzędne środka odcinka a następnie odległość od punktu (0,0) Zadanie 8a, str. 60 Zadanie 10a, str. 60 W DOMU Zad. 12,13, Zad. 14 str. 60 Oblicz współrzędne środka odcinka a następnie odległość środka od punktu P lub punktu Q
PRZYGOTUJ SOBIE ŚCIĄGĘ NA KARTKÓWKĘ Z PONIŻSZYCH WZORÓW.
Temat: Prosta w układzie współrzędnych Równanie kierunkowe prostej i równanie ogólne prostej Szkoła ponadpodstawowa
Dzisiaj przypomnisz sobie z klasy I ➢ Postać równania kierunkowego prostej; ➢ Jak narysować prostą znając jej równanie kierunkowe? ➢ Postać równania ogólnego prostej; ➢ Zamienisz równanie ogólne prostej, na równanie w postaci kierunkowej i równanie kierunkowe na równanie ogólne prostej.
PRZYPOMINAJKA Znając miejsce zerowe i współczynnik b łatwo narysować prostą o równaniu kierunkowym Przykład na kolejnym slajdzie
Przykład: y = ax + b Narysuj prostą o równaniu y=2x+3 m.z = − b = − 3 D a2 O y = 2x +3 (0, 3) y = 2x +3 Z E a=2 3 S Z b=3 Y T U Miejsce zerowe możesz również obliczyć rozwiązując −3 2 równanie: 2x + 3 = 0 2x = −3 x=−3 2 Drugi przykład na kolejnym slajdzie
Zadanie. Narysuj prostą o równaniu kierunkowym y = −3x + 6 m.z. = − b = − 6 = 2 D a −3 O a = −3 b = 6 Miejsce zerowe możesz również obliczyć rozwiązując Z y E równanie: −3x + 6 = 0 S y = −3x + 6 −3x = −6 Z Y 6 T U 2x x=2
PRZYPOMINAJKA Przykłady równań ogólnych prostej 2x + y −6 = 0 4x − 2y +8 = 0 A = 2 B = 1 C = −6 A = 4 B = −2 C = 8 Jak zamienić równanie ogólne prostej na równanie kierunkowe prostej? Przykłady na kolejnym slajdzie
Przekształć równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej. 2x + y −6 = 0 4x − 2y +8 = 0 D y − 6 = −2x O y = −2x + 6 −2 y + 8 = −4x −2 y = −4x − 8 / : (−2) Z E S Z Y T U y = 2x + 4 Kolejne przykłady na następnym slajdzie
5y = −3x + 8 /:5 7y = 2x /:7 5y = 9 /:5 D y = −3 x + 8 y=2x y=9 O 5 55 7 Z E S Z Y T U −2x + y − 5 = 0 − 1 x + y + 4 = 0 / (−2) −5x + 3y − 8 = 0 D 2 O x−2y−8= 0 Z E S Z Y T U
Zadanie. Naszkicuj prostą daną równaniem ogólnym. Najpierw należy równanie z postaci ogólnej 1 x− 1 y+2=0 /6 przekształcić na równanie kierunkowe prostej 32 2x − 3y +12 = 0 D O −3y = −2x −12 / : (−3) Z E S y= 2x+4 Z 3 1 x − 1 y + 2 Y 4 32 =T0 U a=2 b=4 −6 3 Miejsce zerowe możesz obliczyć rozwiązując równanie: 2 x+4 = 0 3 2 x = −4 /3 3 2 x = −6
Zadanie. Naszkicuj prostą o podanym równaniu. Wyznacz współrzędne punktów, w których przecina ona osie układu współrzędnych 1 x−3 y−21 =0 /4 Najpierw należy równanie z postaci ogólnej przekształcić na równanie kierunkowe prostej 24 4 2x −3y −9 = 0 −3y = −2x + 9 / : (−3) D O y = 2 x−3 1 x−3 y−21 =0 Z 3 24 4 E S a = 2 b = −3 Z Y 3 T U 9 Miejsce zerowe możesz obliczyć rozwiązując −3 2 równanie: 2 x−3=0 3 2x=3 /3 3 2 x=9 Odp. Punkty przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych to: 2
Zadania dla chętnych Najpierw należy równanie z postaci ogólnej przekształcić do postaci kierunkowej prostej D O Z E S Z Y T U
Temat: Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty Szkoła ponadpodstawowa
Dzisiaj przypomnisz sobie z klasy I ➢ Gdzie występuje współczynnik kierunkowy prostej? ➢ Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty? ➢ Jak obliczyć współczynnik kierunkowy prostej, mając dane współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej?
RÓWNANIE KIERUNKOWE PROSTEJ y = ax + b D O współczynnik wyraz wolny kierunkowy prostej Z E S Z Y T U
Przypomnij sobie jak wyznaczyć równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty? A = (xA; yA ) B = (xB ; yB ) A = (xA; yA) Podstawiamy współrzędne punktów A i B do równania prostej y = ax + b i zapisujemy układ równań y A = axA + b = axB + b yB B = (xB ; yB ) Rozwiązaniem układu jest para liczb (a, b) , które są współczynnikami szukanej prostej .
Zadanie 1. Wyznacz równanie kierunkowe prostej xA yA przechodzącej przez dwa punkty A i B? 2 = a 1+ b A = (1; 2) y = ax + b xB yB 5 = a (−2) + b B = (−2; 5) xB yB 2 = 1a + b → 2 = 1a + 3 5 = −2a + b a = −1 B = (−2; 5 ) xA yA 2 = 1a + b / 2 a = −1 5 = −2a + b b = 3 A = (1; 2) D O + 4 = 2a + 2b Z 5 = −2a + b E S −−−−−−−−−−−−−−−−−− Z Y 9 = 3b T U b=3 Równanie ogólne otrzymamy przekształcając równanie Równanie kierunkowe prostej kierunkowe do postaci y = −1x + 3 Równanie ogólne prostej x + y − 3 = 0
Zadanie 2. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (−3; −1) B = (3;5) i zapisz równanie tej prostej w postaci kierunkowej i ogólnej. xB yB xA yA xB yB D O B = (3; 5) A = (−3; −1) B = (3; 5) y = ax + b y = ax + b −1 = a (−3) + b Z 5 = a 3 + b E xA yA S −1 = −3a + b Z A = (−3; −1) 5 = 3a + b → Y T −−−−−−−−−−−−−−−−−− U 4 = 2b 5 = 3a + 2 5 − 2 = 3a b=2 a =1 −1x + y − 2 = 0 y = 1x + 2 postać ogólna postać kierunkowa
PRZYPOMINAJKA Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b a = yB − yA D xB − xA O przechodzącej przez punkty Z A = (xA; yA ) B = (xB ; yB ) E S Z Y T U a = 12 − 7 = 5 a = −5 − 5 = −10 = 1 a = 8 − (−2) = 10 = − 5 9−3 6 −7 − 3 −10 6 −12 −6 3
W TABLICACH ZE WZORAMI MAMY: Zamiast rozwiązywać układ równań do wyznaczania a i b, możemy najpierw obliczyć współczynnik kierunkowy a następnie wyznaczyć równanie prostej korzystając z powyższego wzoru. Przykład. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostexBj iyzB apisz równanie prostej xA yA B = (−2; 5) przechodzącej przez dwa punkty: A = D (1; 2) O a = yB − yA = 5− 2 = 3 = −1 y − yA = a(x − xA) Z xB − xA −2 −1 −3 E y − 2 = −1(x −1) S y − 2 = −1x +1 Z y = −1x +1+ 2 Y T U y = −1x + 3
a = yQ − yP = 6− 4 = 2 = 1 a = yQ − yP = −1− 7 = −8 = −2 xQ − xP 7 − 3 4 2 xQ − xP 2 − (−2) 4 y − yP = a(x − xP ) y − yP = a(x − xP ) D y − 7 = −2(x − (−2)) O y − 4 = 1 (x − 3) 2 y − 7 = −2(x + 2) Z y − 7 = −2x − 4 E y−4= 1x−3 S 22 Z Y y= 1x−3+4 T 22 U y= 1x+21 y = −2x − 4 + 7 22 y = −2x + 3
Zadania dla chętnych Podręcznik kl. 3 zadanie 1 str. 61 Najpierw należy odczytać współrzędne punktów A, B, C xA yA D a następnie dowolną metodą wyznaczyć równania O prostych AB, AC, BC. A = (−4; −1) Z xB yB E S B = (1; 4) Z Y xC yC T U C = (5; 2)
Temat: Proste równoległe i proste prostopadłe w układzie współrzędnych Szkoła ponadpodstawowa
Dzisiaj przypomnisz sobie z klasy I ➢ Jak rozpoznajemy po równaniach kierunkowych prostych kiedy są równoległe a kiedy prostopadłe? ➢ Jak wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt? ➢ Jak wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt? ➢ Jak wyznaczyć równanie symetralnej odcinka?
Proste równoległe - przykłady y = 3x + 5 y = 3x y = 3x − 4 y = 3x y = 3x − 4 y = 3x + 5 D O Równania tych prostych mają Z ten sam współczynnik E kierunkowy S Z a=3 Y T U
Proste równoległe Proste są równoległe gdy D O a1 = a2 Z E S Z Y T U
Proste równoległe zadanie l3 || l5 || l8 l2 || l4 || l6 Równania tych prostych mają ten sam współczynnik Równania tych prostych mają ten sam współczynnik kierunkowy a = - ½ kierunkowy a = 2
Przypomnij sobie jak wyznaczyć równanie prostej równoległej xP yP do prostej y = − 6x + 5 i przechodzącej przez punkt P = (5; 2) Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy a. Skoro nasza pierwsza prosta ma a = - 6, to prosta do niej równoległa ma także a = - 6. a = aProste są równoległe gdy 1 2 y = −6x + 5 a2 = −6 xP yP D a1 = −6 O yP = −6xP + b P = (5; 2) Z Wyznaczamy b z równania powyżej E S podstawiając współrzędne punktu P Z Y 2 = −6 5 + b T U 2 = −30 + b y = −6x + 32 b = 32 Prosta y = -6x + 32 jest równoległa do prostej y = -6x + 5 i przechodzi przez punkt P.
Podręcznik klasa 3 str. 61 a1 = − 1 a2 = − 1 5 5 a1 = 4 a2 = 4 D yP = −1 xP +b O yP = 4xP + b 5 3 = 41+ b Z 3= 4+b 9 = − 1 20 + b E 5 S 3−4 = b Z b = −1 9 = −4 + b Y y = 4x −1 T 9+4=b U b = 13 y = − 1 x +13 5
Proste prostopadłe – przykład y1 = −3x + 6 y2 = 1 x +1 3 D a1 = −3 O a2 = 1 Z 3 E S Z Y T U Warunek prostopadłości prostych a1 a2 = −1 −3 1 = −1 3
Warunek prostopadłości prostych Proste prostopadłe gdy 1 a1 a1 a2 = −1 a2 = −
Wyznaczanie prostej prostopadłej dodanej prostej i przechodzącej przez dany punkt. PRZYKŁAD ZADANIA Z ROZWIĄZANIEM Proste prostopadłe gdy a1 a2 = −1 a1 = 2 a2 = − 3 3 2
Podręcznik klasa 3 str. 61 Proste prostopadłe gdy a1 a2 = −1 1 a1 = 2 a2 = − 2 a1 = −6 a2 = 1 D 6 O 1 yA = − 2 xA + b yA = 1 xA +b Z 6 E S −1 = − 1 3 + b 7 = 1 12 + b Z 2 6 Y T −1 = − 3 + b U 2 7 = 2+b −1+ 3 = b 2 7−2=b b=1 b=5 y = 1 x+5 2 6 y 1 x + 1 =− 22
Równanie symetralnej odcinka Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (−3; 4) B = (2; −1) 1. Wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B A = (−3; 4) a1 = yB − yA = −1− 4 = −5 = −1 xB − xA 2 − (−3) 5 B = (2; −1) S a2. Wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB 2 a1 a2 = −1 a2 = 1 D 3. Wyznaczam współrzędne środka odcinka AB S = (xS ; ys ) O xS = xA + xB = −3 + 2 =−1 yS = yA + yB = 4 + (−1) = 3 S = (− 1 ; 3) Z 2 2 2 2 2 2 22 E S 4. Wyznaczam równanie prostej prostopadłej do odcinka i przechodzącej przez środek Z Y odcinka AB. ( Wyznaczenie równania symetralnej.) T y = 1x + 2 U yS = a2 xS + b 3+1 =b 3 = 1(− 1) + b 22 Odp. Symetralna odcinka AB jest prostą 22 b=2 o równaniu y = x +2
Równanie symetralnej odcinka
Search
