ระดับน้ำเครื่องกล

วธิ คี วบคุมแบบโมเดลเบสสาํ หรบั กระบวนการควบคมุ ระดบั นาํ้ แบบ 4 ถงั นายสบื วงค จนั ทรเ อี่ยม วทิ ยานพิ นธน เี้ ปนสวนหนง่ึ ของการศกึ ษาตามหลักสตู ร วศิ วกรรมศาสตรมหาบัณทติ สาขาวชิ าวศิ วกรรมเคร่ืองกล ภาควชิ าวศิ วกรรมเครอื่ งกล บณั ฑติ วิทยาลยั สถาบนั เทคโนโลยีพระจอมเกลา พระนครเหนือ ปก ารศกึ ษา 2549 ลิขสิทธข์ิ องสถาบนั เทคโนโลยีพระจอมเกลา พระนครเหนอื

ชอื่ : นายสบื วงค จันทรเอี่ยมช่อื วิทยานพิ นธ : วิธคี วบคมุ แบบโมเดลเบสสาํ หรบั กระบวนการควบคุมระดับนาํ้ แบบ4ถงัสาขาวชิ า : วิศวกรรมเครอื่ งกล สถาบนั เทคโนโลยพี ระจอมเกลา พระนครเหนอืท่ปี รกึ ษาวทิ ยานิพนธ : ผูชวยศาสตราจารย ดร. สินชยั ชนิ วรรตั น ผูช วยศาสตราจารย ดร. ศริ พิ รรณ ธงชยัปก ารศึกษา : 2549 บทคดั ยอ วิทยานิพนธฉบับน้ีกลาวถึงการศึกษาทฤษฎีการควบคุมโมเดลเบสและนํามาประยุกตใชรวมกับการควบคุมพีไอดี เพ่ือใชออกแบบตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดีสําหรับกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถัง ซึ่งเปนกระบวนการแบบ MIMO โดยวิธีการควบคุมโมเดลเบสนั้นสามารถนําไปประยุกตใชกับการควบคุมพีไอดีในการออกแบบตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดีสําหรับกระบวนการแบบ SISO ไดอยางมีประสิทธิภาพ แตการออกแบบตัวควบคุมสําหรับกระบวนการแบบ MIMO ดวยวิธีการแบบโมเดลเบสนั้นยังไมมีวิธีการสําหรับการออกแบบตัวควบคุมที่แนนอน ซึ่งในวิทยานิพนธฉบับนี้จะใชตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดีท่ีไดออกแบบสําหรับควบคุมชุดทดลองควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถัง ผลการทดลองพิสูจนโดยแสดงใหเห็นไดจากการทดลองควบคุมกระบวนการจริง พบวาตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดีท่ีไดรับการออกแบบสามารถควบคุมระดับนํ้าในกระบวนการไดดี และมีผลตอบสนองไดตามท่ีตองการและไมมีคาผดิ พลาดที่สภาวะอยูตวั (วิทยานิพนธม จี ํานวนทง้ั สนิ้ 79 หนา)คําสําคญั : โมเดลเบส, พีไอดี, กระบวนการควบคมุ ระดบั นา้ํ แบบ 4 ถงั , MIMO อาจารยทป่ี รกึ ษาวทิ ยานพิ นธ ข

Name : Mr.Seubwong JaniamThesis Title : Model Based Control For Four Water Tank ProcessMajor Field : Mechanical Engineering King Mongkut’s Institute of Technology North BangkokThesis Advisors : Assistant Professor Dr.Sinchai Chinvorarat Assistant Professor Dr.Siripun ThongchaiAcademic Year : 2006 Abstract The objective of this thesis is to study the theory of Model Based Control with PIDcontrol algorithm and to design Model Based PID controller applicable for Four WaterTank Level Control Process. Although Model Based Control is proven effectively inSISO control design, the concrete procedure for MIMO is not established yet. Thesimulation and experimental results showed in this thesis, resulting from Model BasedPID Controller, confirm the availability of the controller to meet both transient andsteady-state response (Total 79 pages)Keywords : Model based, PID, Four Water Tank Level Control Process, MIMO Advisor ค

กติ ตกิ รรมประกาศ วทิ ยานพิ นธฉ บับนส้ี าํ เรจ็ ลลุ วงลงไดดว ยดี ท้ังน้ีผจู ัดทําตอ งขอขอบคุณผชู ว ยศาสตราจารยดร.สนิ ชยั ชินวรรัตน และ ผูช ว ยศาสตราจารย ดร.ศิริพรรณ ธงชัย ซ่ึงทานเปนอาจารยท่ีปรึกษาวิทยานิพนธที่ไดใหความชวยเหลืออยางดีย่ิง ท้ังใหคําแนะนํา ใหแนวคิดและขอคิดเห็นตางๆของการวจิ ยั มาโดยตลอดในการจดั ทําจนสาํ เร็จตามเปา หมายลลุ วงตามท่ีไดวางไว ทา ยนผี้ ูวิจัยใครขอกราบขอบพระคุณบดิ า มารดา ซงึ่ สนบั สนุนในดานการเงินและใหกําลังใจแกผ วู ิจยั เสมอมาจนสาํ เรจ็ การศกึ ษา สบื วงค จนั ทรเ อ่ยี ม ง

สารบญั หนา ขบทคัดยอ ภาษาไทย คบทคดั ยอ ภาษาองั กฤษ งกติ ติกรรมประกาศ ชสารบัญตาราง ซสารบัญภาพ ฌคําอธบิ ายสัญลกั ษณแ ละคาํ ยอ 1บทที่ 1 บทนํา 1 2 1.1 ความเปนมาและความสาํ คญั ของปญ หา 2 1.2 วัตถปุ ระสงคข องการวจิ ยั 3 1.3 ขอบเขตของการวจิ ัย 3 1.4 วธิ วี จิ ัย 4 1.5 ประโยชนท ค่ี าดวา จะไดร ับ 4บทที่ 2 ทฤษฎที ี่เกีย่ วของ 5 2.1 กระบวนการควบคุมระดับนาํ้ แบบ 4 ถัง 9 2.2 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรของกระบวนการ 19 2.3 คุณลกั ษณะของกระบวนการ 22 2.4 การควบคุมกระบวนการ 22 2.5 การควบคุมกระบวนการแบบเปด 24 2.6 การควบคมุ กระบวนการแบบปด 28 2.7 ระบบควบคุมแบบสัดสว นบวกอินทิกรลั บวกกบั อนุพันธ 38 2.8 ระบบควบคุมโมเดลเบส 38บทที่ 3 การดาํ เนนิ การวิจยั 45 3.1 รายละเอียดอปุ กรณและสว นประกอบของกระบวนการ 47 3.2 ขั้นตอนการทาํ งานของกระบวนการควบคุมระดับน้าํ แบบ 4 ถงั 57 3.3 การออกแบบระบบควบคมุ โมเดลเบสพีไอดี 57บทท่ี 4 ผลการวจิ ัย 60 4.1 การทดลองระบบควบคุมกับกระบวนการจริง 60บทท่ี 5 บทสรปุ และขอ เสนอแนะ 60 5.1 บทสรปุ 62 5.2 ขอเสนอแนะบรรณานกุ รม จ

สารบญั ตาราง หนา 24ตารางท่ี 46 2-1 คณุ สมบตั ขิ องตัวควบคุมแบบพ,ี ไอและ ดี ที่มตี อระบบปอนกลับ 48 3-1 คาพารามิเตอรข องกระบวนการทเี่ ปนคาคงที่ 48 3-2 จดุ การทํางานของกระบวนการในกรณเี ฟสต่ําสุดและเฟสไมตํ่าสดุ 51 3-3 จดุ การทาํ งานของกระบวนการในกรณีเฟสตาํ่ สดุ และเฟสไมตาํ่ สดุ 52 3-4 ทศิ ทางของซโี รก รณเี ฟสต่าํ สดุ 57 3-5 ทิศทางของซโี รก รณเี ฟสไมตํา่ สดุ 59 4-1 พารามิเตอรของตวั ควบคุมโมเดลเบสพีไอดใี นกรณเี ฟสตํา่ สุด 4-2 เปรียบเทยี บสมรรถนะของระบบควบคุมในกรณีเฟสตา่ํ สุดฉ

สารบญั ภาพ หนา 4ภาพที่ 6 2-1 กระบวนการควบคมุ ระดับนา้ํ แบบ 4 ถัง 7 2-2 อัตราการไหลของนํ้าจากปม 12 2-3 การไหลของนาํ้ จากผา นวาลว 20 2-4 คา ของ ทีข่ น้ึ กบั อัตราสว นการไหล 2-5 กระบวนการ 21 2-6 บล็อกไดอะแกรมแสดงองคป ระกอบทส่ี าํ คญั ในการควบคุมระบบ 22 โดยทั่วไป 22 2-7 องคประกอบท่สี าํ คญั ในการเปรยี บเทยี บและประเมนิ คา 23 2-8 ลักษณะของการควบคมุ แบบเปด 25 2-9 การควบคมุ กระบวนการแบบปด 26 2-10 แสดงรตู โลกัส (root locus) ของระบบกําลงั สาม 28 2-11 ระบบควบคุมแบบพีไอดี 29 2-12 การควบคมุ แบบโมเดล-เบสในอดุ มคติ 30 2-13 โครงสรา งทวั่ ไปของระบบควบคุมแบบโมเดล-เบส 31 2-14 โครงสรา งระบบควบคุมทใี่ ชต วั ควบคุมแบบแยกอสิ ระ 38 2-15 บล็อกไดอะแกรมของการควบคุมแบบโมเดลเบส 39 3-1 กระบวนการระดบั นาํ้ แบบ 4 ถัง 39 3-2 คอมพวิ เตอรโนตบคุ 40 3-3 ดาตา แอคควสิ ชนั การด NI DAQcard 6024E แบบ PCMCIA 40 3-4 Terminal board 41 3-5 วงจรขยายกระแสไฟฟา กระแสตรง (Power Amplifier) 42 3-6 เซนเซอรตรวจวดั ระยะทางดว ยแสงอินฟราเรด 42 3-7 หนาตา การจัดขา และรูปแบบการทํางานของเซนเซอร 42 3-8 ปม นา้ํ ไฟฟากระแสตรง (Dc Water Pump) 43 3-9 แหลงจายไฟฟากระแสตรง 24 V 44 3-10 แหลงจายไฟฟากระแสตรง 5 V 44 3-11 Front Panel ทใ่ี ชใ นการควบคุมพารามเิ ตอรของดาตา แอคควิสชัน 45 3-12 Front Panel ท่ีใชใ นการควบคุมชุดทดลอง 46 3-13 Block Diagram ที่ใชในการควบคมุ 3-14 Diagram ของกระบวนการ ช

3-15 แสดงการทาํ งานของกระบวนการควบคุมระดับนํา้ แบบ 4 ถัง 473-16 เปรยี บผลตอบสนองวงเปดของกระบวนการจริงกบั การจําลองของ 49 ถงั บรรจุที่ 13-17 เปรยี บผลตอบสนองวงเปด ของกระบวนการจรงิ กบั การจําลองของ 50 53 ถงั บรรจทุ ่ี 2 543-18 Relative Gain Array ของกระบวนการกรณีเฟสต่ําสุด 553-19 Relative Gain Array ของกระบวนการกรณีเฟสไมต ํ่าสดุ 563-20 ความไวของกระบวนการในกรณีเฟสต่ําสดุ 573-21 ความไวของกระบวนการในกรณีเฟสไมตา่ํ สุด 583-22 โครงสรา งระบบควบคมุ ของกระบวนการในกรณเี ฟสต่ําสดุ3-23 โครงสรา งระบบควบคมุ ของกระบวนการในกรณเี ฟสไมตาํ่ สดุ 4-1 ผลตอบสนองของระบบควบคุมกระบวนควบคมุ ในกรณเี ฟสต่าํ สุดซ

คาํ อธิบายสัญลกั ษณai พืน้ ที่หนาตดั ของรูนํา้ ดา นออกจากถงั บรรจุ iAi พ้ืนท่ีหนา ตดั ของถังบรรจุ ikci อัตรขยายของเซนเซอร ig ความเรงโนมถว งGij (s) ฟงคชันถายโอนยอยของกระบวนการท่ีมีอินพุต j และ เอาตพ ุต ihi ระดบั นํา้ ในถงั บรรจุ ik pi อตั ราขยายของปม iqpump อัตราการไหลของน้ําจากปมqin อัตราการไหลของนา้ํ เขา ถงั บรรจุqout อตั ราการไหลออกของนาํ้ จากถงั บรรจุuz ทศิ ทางของซโี รอ นิ พุตvw ความเรว็ ของน้าํ ขาออกVi ปรมิ าตรนา้ํ ในถงั บรรจุ iyz ทิศทางของซโี รเ อาตพ ตุε (s) คา Condition Numberγ i สัดสวนการไหลเขาถงั บรรจุ iτi คา คงที่ทางเวลาของวงควบคุม iλij คา RGAλi คาคงทท่ี างเวลาของตัวกรองความถีต่ า่ํ ทข่ี องวงควบคมุ iΛ(s) เมตรกิ ซค า RGASISO Single Input-Single OutputMIMO Multiple Input-Multiple OutputRGA Relative Gains Array ฌ

บทท่ี 1 บทนาํ1.1 ความเปน มาและความสําคญั ของปญ หา ในปจจุบันการควบคุมกระบวนการ (Process Control) ไดมีการเรียนรูหลักการ และเทคนิค ในการควบคุมกระบวนการ มาประยุกตใชกับกระบวนการตางๆมากมาย จนกระท่ังไดถูกพัฒนา จนกลายเปนรูปแบบของระบบควบคุมกระบวนการแบบอัตโนมัติ (AutomaticProcess Control) ซ่ึงไมจําเปนตองใชมนุษยในการควบคุมกระบวนการเหมือนในอดีตอีกตอไปท้งั นก้ี ระบวนการทางอุตสาหกรรม โดยทวั่ ไปจะเปนระบบแบบมัลติเพิลอินพุต-มัลติเพิลเอาตพุต(MIMO) ทาํ ใหไ มงา ยนักที่จะทาํ การออกแบบควบคุมดวยวธิ ีแบบดั้งเดมิ เพ่ือใหไดสมรรถนะของระบบควบคุมตามตองการ โดยเฉพาะเม่ือกระบวนการเปนแบบเฟสไมตํ่าสุดที่มี Zero อยูทางดานขวาของระนาบ ซึ่งตําแหนงของซีโรนี้มีความสําคัญมากในการออกแบบระบบควบคุม โดยZames และ Francis [1,2] นั้นไดแสดงใหเห็นวาในกระบวนการใดก็ตามท่ีมีซีโรอยูทางดานขวาของระนาบ S จะทําใหมีผลกระทบตอฟงกชันความไว (Sensitivity Function) ของระบบควบคุมกลาวคือถาทําการออกแบบใหฟงกช่ันความไวมีคาผลตอบสนองตอขนาดท่ีนอยในชวงความถ่ีหน่ึง ผลกระทบจากการออกแบบนั้นจะฟงกชันความไวมีคาผลตอบสนองตอขนาดท่ีมากในชวงความถ่อี ่ืนแทน ซง่ึ ผลลพั ธดังกลา วนอี้ าจจะทาํ ใหทาํ ใหส มรรถนะของระบบควบคุมโดยรวมแยล ง ในงานวิจัยนี้ไดเลือกใชกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถัง ซ่ึงเปนกระบวนการMIMO แบบ 2x2 ท่ีถูกออกแบบมาเพ่ือทําการอธิบายถึงขีดจํากัดสมรรถนะของระบบควบคุมแบบ MIMO อันเน่ืองมาจากตําแหนงของซีโรของกระบวนการ ซ่ึงตําแหนงของซีโรของกระบวนการควบคุมระดับนํ้า 4 ถังน้ี สามารถเลื่อนไปไดทั้งดานซายและดานขวาของระนาบSโดยการปรับเปล่ียนวาลว จึงทําใหสามารถเลือกโหมดการทํางานของกระบวนการใหเปนแบบเฟสต่ําสุด หรือเฟสไมต่ําสุดก็ได ดังน้ันจะเห็นวากระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถังนี้ เปนกระบวนการหนึ่งท่ีนาสนใจในแงมุมของการวิเคราะหและการออกแบบตัวควบคุมแบบ MIMOท้ังในกรณีเฟสตํ่าสุดและเฟสไมตํ่าสุด สําหรับงานวิจัยที่เก่ียวของกับกระบวนการควบคุมระดับน้ําแบบ 4 ถังท่ีผานมาน้ัน ไดมีการนําเสนอท่ีหลากหลายท้ังในดานของการศึกษาและการออกแบบตัวควบคุม โดยในแงการออกแบบตัวควบคุมนั้นไดมีการนําเสนอวิธีการออกแบบตัวควบคุมหลากหลายรูปแบบตางกันไป ท้ังวิธีการออกแบบตัวควบคุมแบบดั้งเดิม [3] วีธีปรับคาพารามิเตอรอัตโนมัติดวยดวยวิธีรีเลย [4] และวิธีการออกแบบตัวควบคุมข้ันสูง [5] โดยวธิ กี ารออกแบบตวั ควบคมุ แบบดั้งเดมิ นนั้ สามารถนําไปใชไ ดเ ปนอยา งดีกับกระบวนการใน

2กรณเี ฟสตํ่าสุด แตสําหรับกรณีเฟสไมต ํ่าสุดน้ันการออกแบบตวั ควบคุมโดยใชวิธีการแบบด้ังเดิมเพื่อใหไดสมรรถนะของระบบควบคุมตามท่ีตองการน้ันเปนเร่ืองที่ยากมาก สวนวิธีการปรับคาพารามิเตอรของตัวควบคุมอัตโนมัติดวยวิธีรีเลยน้ัน พารามิเตอรของตัวควบคุมที่ไดมาจากการปรับคาพารามิเตอรอัตโนมัตินั้นก็ไมสามารถนําไปใชไดทันที ตองมีการปรับคาพารามิเตอรอีกคร้ังหน่ึงกอนที่จะนําไปใชงานได และวิธีการออกแบบตัวควบคุมขั้นสูงน้ันเปนวิธีที่สามารถนําไปใชกับกระบวนการในกรณีเฟสตํ่าสุดและเฟสไมตํ่าสุดไดเปนอยางดี แตวิธีการในการออกแบบตัวควบคุมคอนขางท่จี ะซับซอ นและยงุ ยาก วิธีออกแบบตัวควบคุมดวยโมเดลเบส [6,7] เปนวิธีการออกแบบตัวควบคุมท่ีอาศัยแบบจําลองทางคณิตศาสตร (Mathematical Model Based) ในการออกแบบ ซ่ึงเปนการออกแบบจากตนเหตุ แตกตางจากการออกแบบระบบควบคุมแบบด้ังเดิม (Classical Control)ซ่ึงออกแบบโดยการสังเกตุพฤติกรรมสุดทายของระบบควบคุม (การออกแบบที่ปลายเหตุ) โดยวิธีการออกแบบดวยโมเดลเบสนั้นสามารถนําไปประยุกตใชรวมกับตัวควบคุมพีไอดีในเปนการออกแบบระบบควบคุมสําหรับกระบวนการแบบซิงเกิลอินพุต-ซิงเกิลเอาตพุต (SISO) ไดอยางมีประสิทธิภาพ ซึ่งไดแสดงใหเห็นผานงานวิจัยตางๆมาแลววาผลตอบสนองของระบบควบคุมที่ออกแบบน้ันสามารถไดตามตองการท้ังในดานผลตอบสนองท่ีสภาวะชั่วครูและท่ีสภาวะอยูตัวและมีความคงทนตอการเปล่ียนแปลงพารามิเตอรของกระบวนการ [8] นอกจากนั้นยังสามารถนําไปใชออกแบบกับกระบวนการท่ีมีคุณลักษณะเวลาไรผลตอบสนองไดอยางมีประสิทธิภาพแตสําหรับกระบวนการออกแบบ MIMO นั้นยังไมมีวิธีการออกแบบตัวควบคุมสําหรับกระบวนการแบบ MIMO ดวยวิธีโมเดลเบส ท่ีแนนอน ดังน้ันในวิทยานิพนธฉบับนี้จึงนําเสนอวิธีการออกแบบตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดีสําหรับกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถัง ท้ังในกรณีเฟสตํ่าสุดและเฟสไมตํ่าสุด โดยโครงสรางของตัวควบคุมจะเปนแบบแยกอิสระ(Decentralized) และใชวิธี RGA (Relative Gain Array) [9] เปนเคร่ืองมือในการเลือกจับคูอินพุต-เอาตพุตทีจ่ ะทําการควบคุม1.2 วัตถุประสงคของการทําวิจัย 1.2.1 เพื่อศึกษาวิจัยหาแบบจําลองทางคณิตศาสตรของชุดทดลองควบคุมระดับนํ้าแบบ 4ถัง สําหรับนาํ ไปใชใ นการออกแบบระบบควบคุมโมเดลเบสพีไอดี 1.2.2 เพ่ือศึกษาการควบคุมแบบโมเดลเบส (Model Based Control) และนํามาประยุกตใชรว มกบั การควบคุมพไี อดี สาํ หรับควบคุมระดบั น้ําในถงั บรรจทุ ่ี 1 และ ถังบรรจทุ ่ี 2 1.2.3 เพอ่ื ออกแบบสรางตัวควบคุมโมเดลเบสพไี อดี (Model Based PID Controller)

31.3 ขอบเขตของการวิจยั 1.3.1 สามารถควบคุมระดบั น้าํ ในถงั บรรจทุ ่ี1 และ ถงั บรรจทุ ี่2 กาํ หนดได 1.3.2 สามารถประยุกตทฤษฎีการควบคุมแบบโมเดลเบส(Model Based Control) มาใชในการควบคมุ1.4 วิธีวจิ ยั 1.4.1 ออกแบบและสรา งชุดทดลองควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถงั 1.4.2 ศกึ ษาแบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องชดุ ทดลองควบคุมระดับนํา้ แบบ 4 ถัง 1.4.3 ศึกษาการควบคุมแบบพีไอดี(PID Control) และ ทฤษฎีการควบคุมแบบโมเดลเบส(Model Based Control) เพอื่ นํามาประยกุ ยใ ชรว มกัน 1.4.5 สรางโปรแกรมคอมพิวเตอรเพ่ือใชควบคุมการทํางาน รวมท้ังศึกษาเทคนิคในการประยุกตใชค อมพิวเตอรเ พอื่ ควบคมุ หรอื อนิ เตอรเ ฟสกับอุปกรณ 1.4.6 ศกึ ษาและจัดหาอุปกรณท ่ีมาใชเ ปนชดุ คอนโทรลเลอร 1.4.7 นําตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดีมาทดสอบกับกระบวนการ พรอมทั้งเก็บผลการทดสอบ 1.4.8 วิเคราะหผลการทดสอบ ปรับปรุงแกไข 1.4.9 เกบ็ ขอมลู เปรยี บเทยี บผลการทดลอง วเิ คราะห และสรปุ พรอมทงั้ เขียนรายงาน1.5 ประโยชนท ่คี าดวาจะไดรบั 1.5.1 เขา ใจหลักการควบคุมโมเดลเบสและสามารถประยุกตใ ชกับการควบคมุ พีไอดไี ด 1.5.2 เพ่ือเปนแนวทางในการศึกษาเทคนิคท่ีประยุกตนําเอาตัวควบคุมแบบท่ีสามารถโปรแกรมไดมาใชเ ปนอุปกรณควบคมุ 1.5.3 เพ่ือเปน พืน้ ฐานในการประยกุ ตใ ชค อมพวิ เตอรมาควบคุมกระบวนการ

บทที่ 2 ทฤษฎีทีเ่ กยี่ วของ2.1 กระบวนการควบคมุ ระดับนํา้ แบบ 4 ถัง กระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถัง เปนกระบวนการในการศึกษาและการทดลองแบบใหมซ่ึงแนะนําโดย K.H. Johansson [1] ซ่ึงกระบวนการนี้ไดถูกออกแบบมาเพื่อการอธบิ ายถึงขีดจํากดั สมรรถนะของระบบควบคมุ แบบ MIMO อันเนื่องมาจากตําแหนงของซีโรของกระบวนการ โดยกระบวนการนั้นประกอบดวยถังบรรจุ 4 ใบ และปมนํ้าไฟฟากระแสตรง 2 ตัวซึ่งอินพุตท่ีเขาสูกระบวนการคือ แรงดันท่ีจายใหกับปมนํ้าไฟฟากระแสตรงทั้งสองตัว และเอาตพุตของกระบวนการคือ ระดับนํ้าของถังบรรจุที่ 1 และ 2 เม่ือทําการวิเคราะหแบบจําลองเชิงเสนของกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถังจะพบวาตําแหนงซีโรของกระบวนการน้ันสามารถปรับตําแหนงใหอยูไดท้ังดานซายและดานขวาของระนาบ s โดยการปรับคาตําแหนงวาลว ซึง่ กค็ อื กระบวนการน้สี ามารถเลือกโหมดการทาํ งานใหเปน แบบเฟสตา่ํ สุด(Minimum Phase) หรอื เฟสไมตํา่ สดุ (Non Minimum Phase) กไ็ ดน ั่นเอง ภาพที่ 2-1 กระบวนการควบคุมระดบั น้ําแบบ 4 ถงั

52.2 แบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรข องกระบวนการ จากภาพท่ี 2-1 กระบวนการควบคุมระดับน้ําแบบ 4 ถัง เปนกระบวนการแบบ MIMO มีจุดประสงคเพ่ือควบคุมระดับนํ้าในถังที่ 1 และถังที่ 2 ใหเปนไปตามตองการ ดวยการควบคุมอัตราการไหลของของเหลวผานปมมอเตอรไฟฟากระแสตรงทั้ง 2 โดยสัญญาณ PWM(Pulse Width Modulation) เปนสัญญาณควบคุมจากตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดี เพ่ือทําการปรับแตงแรงดันไฟฟาซ่ึงเปนอินพุตใหแกกระบวนการ (u1และ u2 ) และเอาตพุตของระบบเปนแรงดนั ไฟฟา ขนาด 0.4 - 2.4 V จากตวั ตรวจรรู ะยะทาง ( y1และ y2 ) ทําการหาแบบจําลองทางคณิตศาสตรของชุดทดลองควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถังดวยกฎทางฟสกิ ส ดงั น้ี จาก สมดลุ มวล (Mass Balance) V&= A ⋅ h&= qin − qout (2-1)โดยท่ี V = ปริมาตรนํ้าในถงั บรรจ A = พ้ืนท่หี นา ตัดของถงั h = ระดบั นา้ํ qin = อตั ราการไหลของนํา้ เขาถงั บรรจุ qout = อตั ราการไหลออกของนาํ้ จากถงั บรรจุ กฎของเบอรน ูลี (Bernoulli’s Law)p + 1 ρv 2 + ρgh = const. (2-2) 2 wท่ีตําแหนงผิวนํ้า ( vw = 0 ) และ ทต่ี าํ แหนง กน ถัง (h = 0) จะไดอัตราการไหลออกเปน qout = a ⋅ vw = a 2gh (2-3)โดยท่ี a = พน้ื ทห่ี นาตัดของรนู ้ําดา นออกจากถงั vw = ความเรว็ ของน้าํ ขาออก g = ความเรงโนมถวง

6 จากภาพที่ 2-2 จะเห็นวาอินพุตของระบบเปนแรงดันไฟฟาท่ีจายใหกับปมน้ําไฟฟากระแสตรงทั้งสอง เพ่ือควบคุมอัตราการไหลของน้ํา โดยท่ีอัตราการไหลเปนสัดสวนโดยตรงกับแรงดันไฟฟา ผานทางวงจรขยายกระแสไฟฟา ดังนน้ัq pump = k p v (2-4)ภาพท่ี 2-2 อัตราการไหลของนํา้ จากปมโดยท่ี qpump = อตั ราการไหลของน้าํ จากปม k p = เกนของปม v = แรงดันไฟฟา กระแสตรง เม่ือน้ําไหลผานวาลว อัตราการไหลของน้ําจะถูกแบงออกเปนสองตามสัดสวนการไหลที่เรากําหนด ดังภาพที่ 2-3 เพื่อจายใหกับถังดานบนและดานลางโดยท่ี γ1และγ 2 เปนสัดสวนการไหลเขาถังที่ 1 กับถังท่ี 2 โดยท่ีสัดสวนการไหลมีคาอยูในชวง 0 –1 ดังนั้นอัตราการไหลของนา้ํ เขาถังบรรจจุ ะเปน q1 = γ 1q p1 = γ 1k p1v1 (2-5) q2 = γ 2qp2 = γ 2k p2v2 q3 = (1 − γ 2 )q p2 = (1 − γ 2 )k p2v2 q4 = (1 − γ 1 )q p1 = (1 − γ 1 )k p1v1โดยที่ γ i = สดั สวนการไหลเขาถงั บรรจุ i

7ภาพที่ 2-3 การไหลของนาํ้ จากผานวาลว แทนคาสมการท่ี (2-3) และ (2-5) ลงในสมการที่ (2-1) จะไดสมการการเปลี่ยนแปลงระดับนาํ้ ดังน้ีdh1 = − a1 2 gh1 + a3 2gh3 + γ 1k p1 v1dt A1 A1 A1dh2 = − a2dt A2 2gh2 + a4 2gh4 + γ 2k p2 v2dh3 = − a3 A2 A2dt A3 (2-6)dh4 = − a4 (1 − γ 2 )k p2dt A4 2 gh3 + v2 A3 2gh4 + (1 − γ 1 )k p1 v1 A4 จากสมการท่ี (2-6) เห็นวา h&= f (h,v) และกระบวนการเปนแบบไมเปนเชิงเสน (NonLinear) ดังน้ันจึงตองทําใหกระบวนการเปนเชิงเสนดวยการทําใหเปนเชิงเสน (Linearization)ดวยอนุกรมเทเลอร (Taylor Series) ดังสมการที่ (2-7) ประมาณคาของฟงคช่ันรอบๆจุดเสถยี รภาพอยูตวั (Steady State) โดยท่ี h&= f (h,v )≡ 0( ) ( ) ( )x&= h&≈∂f (h, u ) + ∂f (h,u) (v − )f h,u + ∂ h−h v hΤ ∂v Τ h=h v=v[ ]x = x1 x2 x3 x4 Τ (2-7)u = [u1 ]u2 Τโดยทเ่ี วคเตอร x และ u ประกอบดวยตัวแปร Deviation ดังนี้

8 xi = hi − hi และ ui = vi − vi (2-8) เมื่อทําสมการที่ (2-6) ใหเปนเชิงเสนแลวจะแสดงในรูปแบบของสมการสเตท-สเปซไดดังน้ี จาก x&= Ax + Bu และ y = Cx + Du ⎡⎢− 1 A3 ⎤ ⎡ γ 1k p1 ⎤ ⎢ τ1 0 A1τ 3 0 ⎥ ⎢ 0⎥ −1 ⎢ A1 0 ⎥ ⎥⎡ x&1 ⎤ ⎢ 0 τ2 A4 ⎥ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 0 γ 2k p2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 A2τ 4 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢⎢ x&2 ⎥ τ3 ⎥ ⎢ x3 ⎥ +⎢ γA22)k ⎥ ⎡u1 ⎤ ⎥ = ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ x4 ⎥ (1 ⎥ ⋅ ⎣⎢u2 ⎥⎢ x&3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎦⎢ x&4 ⎦ ⎢0 −1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 0 p 2⎣ τ4 ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ (1 )k A3 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ − γ ⎥ ⎢0 1 p1 0 ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ A4 ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ y1 ⎤ = ⎡k c1 0 0 0⎤ ⎢ x2 ⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎢ kc2 0 0⎥⎦ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎢ x4 ⎥ ⎣ ⎦โดยคาคงทท่ี างเวลา (Time Constant) ของแบบจําลองของชุดทดลองมคี าเทากบั τi = Ai 2his , i = 1,2...,4 (2-9) ai gทําการแปลงลาปราซ (Laplace Transform) กบั สมการท่ี (2-9) จะได G(s) = C(sI − )A −1 B ⎡Y1 (s)⎤ = G(s) ⋅ ⎡U1 (s)⎤ ⎣⎢Y2 (s)⎥⎦ ⎣⎢U 2 (s)⎥⎦ ⎡ γ 1c1 (1 − γ 2 )c1 ⎤ ⎢ )⎥⎥ G(s) = ⎡G11 G12 ⎤ = ⎢ (11−+γs1τ)c1 2 (1 + sτ 1 )(1 + sτ 3 ⎢⎣G21 G22 ⎥ ⎢ γ ⎥ ⎦ 2c2 ⎢⎣(1 + sτ 2 )(1 + sτ 4 ) 1 + sτ 2 ⎦⎥

โดยท่ี 9 (2-10) c1 = τ 1 k kp1 c1 A1 c2 = τ 2 k p2 kc2 A2จะเห็นวาสมการท่ี (2-10) จะสมมูลกบั เมตรกิ ซฟง คช นั ถา ยโอนดงั นี้ G(s) = ⎡G11 (s ) G12 (s)⎤ (2-11) ⎣⎢G21 (s ) G22 (s)⎥⎦โดยท่ี Gij (s) = ฟงคช ันถา ยโอนยอ ยของกระบวนการทมี่ อี นิ พุต j และ เอาตพุตi จากสมการที่ (2-10) จะเห็นวาฟงคชันถายโอนแตละคูอินพุต-เอาตพุตน้ันไมมีซีโรซ่ึงการพิจารณาแบบนี้เปนการพิจารณาเพียงสวนยอยของระบบเทานั้น โดยสําหรับกระบวนการแบบMIMO นั้นการพิจารณาโพลและซีโรของกระบวนการท้ังหมด จะแตกตางจากกระบวนการแบบSISO ซ่ึงวธิ ีการหาจะอธบิ ายในหวั ขอคุณลักษณะของกระบวนการ2.3 คณุ ลักษณะของกระบวนการ ในการพิจารณาถึงคุณลกั ษณะหรือคุณสมบัตพิ นื้ ฐานของกระบวนการแบบ MIMO นัน้ โดยสวนใหญแลวจะทําการพิจารณาถึงซีโรของกระบวนการ, การวัดอินเทอรแอคชันและความไวของกระบวนการ โดยคณุ ลกั ษณะของสิ่งเหลานีส้ ามารถอธบิ ายครา วๆไดด งั นี้ 1. ซโี รของกระบวนการประกอบดวย ตาํ แหนง และทิศทาง โดยตําแหนงและทิศทางของซีโรน นั้ จะเปน ส่งิ ทอ่ี ธิบายเก่ียวกบั ขีดจาํ กดั ทางดานผลตอบสนองของระบบควบคุมแลผลกระทบตอเอาตพ ตุ ของระบบควบคุมตามลําดับ 2. การวดั อนิ เทอรแ อคชัน ที่เกิดระหวางวงรอบควบคุมจะเปนสิ่งท่ีบอกถึงความยากหรืองายในการควบคุมกระบวนการ และการจับอินพุต-เอาตพุตของระบบควบคุมที่เหมาะสมในการควบคมุ 3. ความไวของกระบวนการ จะเปนส่ิงท่ีบงบอกถึงความยากงายในการควบคุมกระบวนการซ่ึงข้นึ อยูกบั การเปลี่ยนแปลงพารามเิ ตอรของกระบวนการ จะเห็นไดวา คุณสมบัติเหลานี้จะบอกถึงขอจํากัด และความยากหรืองายในการควบคุมกระบวนการ ดังนั้นในหัวขอตอจากนี้จะอธิบายถึงวิธีการในการหาตําแหนงของซีโร, ผลกระทบ

10จากตําแหนงของซีโรตอระบบควบคุม, ทิศทางของซีโร, ผลกระทบจากทิศทางของซีโรตอระบบควบคมุ , การวดั อินเทอรแอคชนั และความไวของกระบวนการตามลําดับ 2.3.1 ซโี รข องกระบวนการแบบ MIMO การหาตําแหนงและทิศทางของซีโรสําหรับกระบวนการแบบ MIMO น้ันเปนสิ่งที่สําคัญมาก เน่ืองจากซโี รข องกระบวนการนั้นสามารถเกิดข้ึนไดแมวาฟงคชันถายโอนของกระบวนการแตละคูอินพุต-เอาตพุตไมมีซีโรอยูเลยก็ตาม กระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ4ถังก็เปนกระบวนการหน่ึงท่ีฟงคช่ันถายโอนยอยในแตละคูอินพุต-คูเอาตพุตไมมีซีโร แตเม่ือวิเคราะหท้ังระบบแลวพบวากระบวนการนี้มีซีโรซอนอยู ซึ่งซีโรของกระบวนการสามารถอยูไดทั้งทางดานซายหรือดานขวาของระนาบ s ก็ไดโดยการปรับสัดสวนการไหล γ1 และ γ 2 นอกจากนี้แลวผลจากการปรับสัดสวนการไหล γ1 และ γ 2 ยังมีผลทําใหทิศทางของซีโรเปลี่ยนไป ซึ่งทศิ ทางของซีโรนีจ้ ะเปนตัวกาํ หนดถึงเอาตพ ตุ ทีจ่ ะไดร บั ผลกระทบจากซโี รต ัวนั้น 2.3.1.1 การหาตาํ แหนงซโี ร ซีโรของเมตริกซฟงคช่ันถายโอนในสมการท่ี (2-10) น้ันก็คือ เทอม Numerator ของสมการพหนุ ามซึ่งหาไดจากการทําดเี ทอรมแิ นนทเ มตริกซฟงคช ั่นถา ยโอนในสมการท่ี (2-10) ∏det G(s) = c1c2 ⋅ ⎢⎡(1 + sτ )(1 + sτ ) − (1 − γ 1 )(1 − γ 2 )⎤ (2-12) γ 1γ 2 4 ⎣ 3 4 γ 1γ 2 ⎥ ⎦ (1 + sτ i ) i =1 ดงั น้ันเมตรกิ ซฟ งคช่ันถา ยโอน G(s) จะมซี โี รอ ยู 2 ตัว โดยซีโรตัวหน่ึงจะอยูทางดานซายของระนาบ s เสมอ ในขณะทซี่ โี รอกี ตัวอยไู ดท้ังทางซา ยหรอื ดานขวาของระนาบ s การหาตําแหนงของซีโรบนระนาบ s นั้นพิจารณาจากคา η ในสมการท่ี (2-13) ได3 กรณดี ังนี้ η = (1− γ1 )(1− γ 2 ) , η ∈ (0,∞) (2-13) γ 1γ 21. ถา η <1 กรณีน้ี γj ตําแหนงของซโี รท้ังสองจะอยูใกลกบั −1 และ −1 τ3 τ42. ถา η =1 และ γ1 +γ2 =1 ตําแหนง ของซโี รทัง้ สองจะอยทู ี่ 0 และ −1 +1 τ3 τ43. ถา η → ∞ ตาํ แหนง ของซีโรท ้ังสองจะอยูท่ี − ∞ และ + ∞

11 จากทั้งสามกรณีสรุปไดวา คา η ข้ึนอยูกับคาของอัตราสวนการไหล γ1 และ γ 2 และมีคาอยูใน (0 → ∞) โดยทถี่ ามคี านอยกวา 1 ซโี รทง้ั สองตัวจะเขาใกลตําแหนง − 1 และ − 1 τ3 τ4ในขณะท่ีเมื่อคา η มีคาเทากับ 1 ซีโรตัวหนึ่งจะอยูท่ีจุดศูนยกลางของระนาบ s ซ่ึงสอดคลองกับ γ1 + γ 2 = 1 จากสมการท่ี (2-12) สวนอีกตัวจะอยูที่ตําแหนง − 1 +1 ในขณะที่เมื่อ η τ4 τ3มีคามาก (η → ∞) ซีโรตัวหนงึ่ จะเขาใกล − ∞ และอกี ตัวหนึ่งจะเขาใกล + ∞เราสามารถแบงรูปแบบการทํางานของกระบวนการออกเปน 2 กรณพี ิจารณาตามคา ηไดดงั น้ี1. กระบวนการท่ีเปนแบบเฟสต่ําสุด (Minimum Phase) ในกรณีนี้คา η ≤ 1ตําแหนงของซโี รทัง้ สองจะอยูใ นระนาบทางซา ย และอัตราการไหลทั้งหมดที่เขาถังบรรจุดานลางซึ่งไดแกถังบรรจทุ ่ี 1 และ 2 มากกวา อตั ราการไหลท้งั หมดท่ีเขา ถังบรรจุดานบน ดงั สมการที่ (2-14) 1< γ1 +γ2 < 2 (2-14) 2. กระบวนการที่เปน แบบเฟสไมตาํ่ สดุ (Non Minimum Phase) ในกรณนี ้คี า η > 1ตําแหนงของซีโรจะอยูทางขวาของระนาบ และอัตราการไหลทั้งหมดท่ีเขาถังบรรจุดานลางซึ่งไดแก ถังบรรจุที่ 1 และ 2 นอยกวาอัตราการไหลท้ังหมดที่เขาถังบรรจุดานบน ดังสมการที่(2-15) 0 < γ1 +γ2 <1 (2-15) โหมดการทํางานของกระบวนการท้ังสองนี้มีผลในดานการควบคุมกระบวนการ โดยการควบคุมกระบวนการกรณีเฟสตํ่าสุด เปนการควบคุมระดับนํ้าของถังที่ 1 และ 2 โดยตรง ซึ่งสามารถควบคุมไดงา ยกวากรณีเฟสไมต่ําสดุ ที่ตองควบคุมผานถงั ที่ 3 และ 4

12 ภาพที่ 2-4 คาของ η ทีข่ ึ้นกบั อตั ราสว นการไหลโดยท่ี P− คือ Minimum Phase P+ คือ Non Minimum Phase 2.3.1.2. ผลกระทบจากตาํ แหนง ซโี รตอระบบควบคุม จากหัวขอที่ผานมาไดอธิบายถึงรูปแบบการทํางานของกระบวนการ วาสามารถเลือกรูปแบบการทํางานใหเปนแบบเฟสต่ําสุดหรือไมต่ําสุดได โดยผลกระทบจากตําแหนงซีโรตอระบบควบคุมในกรณเี ฟสตํา่ สุด และ กรณีเฟสไมตํา่ สุดจะแตกตา งกัน ดังน้ี 1. กรณเี ฟสตา่ํ สดุ (Minimum Phase) ในกรณนี ซ้ี โี รข องกระบวนการทัง้ สองตวั จะอยทู างดานซายของระนาบ s โดยสําหรับกระบวนการแบบ SISO นั้นจะมีผลกระทบตอผลตอบสนองของระบบควบคุมในรูปของคาพุงเกินและขีดจํากัดของอินพุต เนื่องจากคาอัตราขยายที่สภาวะคงตัวนอยซึ่งสอดคลองกับการที่ซีโรอยูใกลจุดศูนยกลางของระนาบ s มาก แตสําหรับกระบวนการแบบ MIMO ผลกระทบก็จะคลายกับกระบวนการแบบ SISO จะแตกตางกันตรงท่ีตําแหนงของซีโรนั้นสามารถมีผลกระทบกับเอาตพุตใดเอาตพุตหน่ึงหรือ อาจจะมีผลกระทบตอทั้งสองเอาตพตุ ก็ไดข ึ้นอยกู บั ทิศทางของซีโร 2. กรณเี ฟสไมต าํ่ สดุ (Non Minimum Phase) ในกรณนี ี้ซโี รของกระบวนการตวั หนึ่งจะมีตําแหนงอยูดานซายของระนาบ s และอีกตัวอยูทางดานขวา โดยผลกระทบจากการท่ีซีโรมีตําแหนงอยูทางดานซายของระนาบ s ก็จะเปนเชนเดียวกับที่ไดอธิบายในกรณีเฟสตํ่าสุด แตสําหรับซีโรที่มีตําแหนงอยูทางดานขวาของระนาบ s จะมีผลกระทบท่ีแตกตางกันไปคือซีโรที่มีตําแหนงอยูดานขวาของระนาบ s จะเปนตัวจํากัดแบนดวิดทของระบบควบคุม ซึ่งสอดคลองกับความเร็วผลตอบสนองของระบบควบคุมนั่นเอง [11] โดยแบนดวิดทของระบบควบคุมในกรณที ม่ี ซี ีโรอยูทางดานขวาของระนาบ s คอื wb = z (2-16) 2

13 จากสมการที่ (2-16) สังเกตไดวา ถาซีโรอยูใกลจุดศูนยกลางของระนาบ s แบนดวิดทของระบบควบคุมจะแคบ แตถาซีโรอยูหางจุดศูนยกลางของระนาบ s แบนดวิดทของระบบควบคุมก็จะกวา ง 2.3.1.3 ทศิ ทางของซโี ร ความแตกตางที่สําคัญระหวางกระบวนการแบบ SISO กับกระบวนการแบบ MIMOไมใชมีแคตําแหนงของซีโรเทานั้น แตยังมีอีกสิ่งหนึ่งที่สําคัญก็คือทิศทางของซีโร [11] โดยทิศทางของซีโรมีดวยกัน 2 แบบ คือ ทิศทางของซีโรอินพุต และทิศทางของซีโรเอาตพุต ซ่ึงสามารถหาไดจากสมการท่ี (2-17) ดงั น้ี G(z)uz = 0, y H G (z ) = 0 (2-17) z โดย คือ uz คอื ทิศทางของซโี รอ ินพุต และ yz คือทิศทางของซีโรเอาตพุต ทิศทางของซีโรน้ันจะอยูในรูปแบบของเวคเตอร มีขนาดความยาวคือ uz 2 = 1 และ yz 2 = 1 ทิศทางของซีโรอ ินพุตสาํ หรับกระบวนการนี้คือ⎡ γ 1c1 (1 − γ 2 )c1 ⎤⎢ 1)⎥⎥⎢ τ1z +1 (τ 3 z + 1)(τ 1 z + ⎡ϕ1 ⎤ = ⎡0⎤ (2-18)⎢ (1 − γ 1 )c2 ⎥ ⎢⎣ϕ 2 ⎥ ⎢⎣0⎦⎥ γ 2c2 ⎦⎣⎢(τ 4 z + 1)(τ 2 z + 1) τ 2 z + 1 ⎥⎦และทศิ ทางของซีโรเอาตพ ุตคอื T ⎡ γ 1c1 (1 − γ 2 )c1 ⎤ ⎢ 1)⎥⎥ ⎡0⎤T⎡ϕ1 ⎤ ⎢ τ1z +1 (τ 3 z + 1)(τ1z + = ⎣⎢0⎥⎦ (2-19)⎣⎢ϕ 2 ⎥⎦ ⎢ (1 − γ 1 )c2 ⎥ γ 2c2 ⎣⎢(τ 4 z + 1)(τ 2 z + 1) τ 2 z + 1 ⎦⎥ ในทางปฏิบัติน้ันทิศทางของซีโรเอาตพุต yz จะไดรับความสนใจมากกวาทิศทางของซีโรอินพุต uz เน่ืองจากทิศทางของซีโรอินพุต yz จะใหขอมูลเกี่ยวกับเอาตพุตท่ีไดรับผลกระทบจากตาํ แหนง ของซีโรแ ละเอาตพ ุตท่คี วบคุมไดย าก โดยทั่วไปแลวการหาทิศทางของซีโรทําไดอีกวิธีหน่ึงก็คือ การแยกสวนประกอบคาซิงกูลาร (Singular Value Decomposit: SVD) ของ G(z) การใชวิธีหาสวนประกอบคาซิงกูลารของ G(z) น้ีจะแยก G(z) ออกเปน G(z) = UΣV H ซึ่งทิศทางของซีโรอินพุตก็คือ

14หลักสุดทายในเมตริกซ U วิธีการหาทิศทางของซีโรโดยวิธีนี้จะเปนท่ีนิยมมากกวาวิธีที่ไดอธิบายมาขางตน 2.3.1.4 ผลกระทบจากทิศทางของซีโรต อระบบควบคมุ ในการพิจารณาผลกระทบจากทิศทางของซีโรจะทําการพิจารณาท่ีทิศทางของซีโรเอาตพุตเทานั้น เน่ืองจากทิศทางของซีโรเอาตพุตจะเปนส่ิงท่ีบงบอกถึงเอาตพุตที่ไดรับผลกระทบจากซีโรตัวนั้นๆ ซึ่งในการพิจารณาน้ันจะทําการพิจารณาขนาดทิศทางของ ซีโรเอาตพุตโดยไมคิดเครื่องหมาย โดยผลกระทบจากทิศทางของซีโรที่มีตอระบบควบคุมในกรณีเฟสตํ่าสุดและเฟสไมต่ําสุดน้ันจะมีลักษณะที่เหมือนกัน คือทิศทางของซีโรเอาตพุตเปนเพียงตัวท่ีช้ีใหเห็นวาซีโร ณ ตําแหนงที่พิจารณานั้นอาจจะสงผลกระทบตอผลตอบสนองของระบบควบคุมในเร่ืองคาพุงเกิน, ความรวดเร็วของผลตอบสนองหรือเร่ืองขีดจํากัดของอินพุตที่จะมีผลตอเอาตพตุ ใดมากนอยเพยี งใด 2.3.2 การวดั อนิ เทอรแอคชัน การวัดอินเทอรแอคชัน (Interaction) หรือผลกระทบระหวางวงรอบควบคุมในกระบวนการท่ีเกิดข้ึนกับเอาตพุตหน่ึงอันเนื่องมาจากอินพุตอ่ืนเปนสิ่งที่เกิดข้ึนเสมอในกระบวนการแบบ MIMO ซึ่งการอินเทอรแอคชันที่มากหรือนอยน้ัน เปนส่ิงที่บอกถึงความยากงายในการควบคุมกระบวนการ โดยวิธีท่ีใชในการวัดอินเทอรแอคชันก็มีหลายวิธีแตกตางกันไปแตสําหรับกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถังน้ี จะใชวิธีการวัดอินเตอรแอคชันท่ีเรียกวาRGA (Relative Gain Array) [10] เนื่องจากเปนวิธีที่งายและมีประสิทธิภาพมากสําหรับกระบวนการแบบ 2x2 นอกจากน้ันวิธี RGA ยังบงบอกถึงการเลือกจับอินพุต-เอาตพุตท่ีเ ห ม า ะ ส ม สํ า ห รั บ ร ะ บ บ ค ว บ คุ ม ที่ ใ ช โ ค ร ง ส ร า ง ตั ว ค ว บ คุ ม แ บ บ แ ย ก อิ ส ร ะ(Decentralize Controller) [11] และความสัมพันธระหวาง RGA กับซีโรที่อยูดานขวาของระนาบ s [11] 2.3.2.1 Relative Gain Array (RGA) RGA เปนวิธีการวัดอินเทอรแอคชันสําหรับกระบวนการแบบ MIMO วิธีหน่ึงซ่ึงถูกเสนอโดย Bristol โดย RGA น้ีถูกใชเปนเครื่องมือหลักสําหรับกระบวนการทางอุตสาหกรรมในการตดั สนิ ใจเลอื กจบั คอู นิ พุต-เอาตพ ุต สําหรบั ระบบควบคุมที่ใชโครงสรางตัวควบคุมแบบแยกอิสระซึ่งวิธีทใี่ ชใ นการหา RGA สามารถหาไดจากสมการตอ ไปนี้RGA = Λ(s) = G(s)× G(s)−T (2-20)โดยการคูณกันในสมการเปนการคูณแบบตําแหนงตอตําแหนง, -T คืออินเวอรสทรานโพส (Inverse Transpose) ผลรวมสําหรับทุกแถวหรือทุกหลักในเมตริกซ RGA

15จะมคี าเทากับ 1 เสมอ สําหรับกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถัง ซ่ึงเปนกระบวนการแบบ2x2 น้ัน RGA ของกระบวนการคือ( )Λ s = ⎡λ11 λ12 ⎤ = ⎡ λ11 1 − λ11 ⎤ (2-21) ⎢⎣λ21 λ22 ⎥ ⎢⎣1 − λ11 ⎥ ⎦ λ11 ⎦สามารถหา Relative Gains ไดด ังนี้λ11 (s ) = G11(s)G22 (s) (2-22) G11(s)G22 (s) − G12 (s)G21(s)ดังนนั้ จากสมการท่ี (2-10) และสมการที่ (2-22) จะได λ11 สําหรบั กระบวนการคอืλ11 (s) = (τ 3s + 1)(τ 4s + 1) (2-23) (1 )(1 − ) (τ 3s + 1)(τ s + 1) − − γ1 γ 2 γ 1γ 2 4 สมการที่ (2-23) น้ีสามารถใชเพ่ือตรวจสอบวากระบวนการเปนแบบเฟสตํ่าสุด หรือเฟสไมต่ําสุดได แตสําหรับการจับคูอินพุต-เอาตพุตท่ีเหมาะสมในการควบคุมน้ัน จะพิจารณาจาก RGA ท่สี ภาวะคงตัว คือ s = 0 ดงั นน้ั จากสมการที่ (2-23) จะได λ11 คือ λ11 = γ1 γ 1γ 2 −1 (2-24) +γ2 จากสมการที่ (2-24) จะสังเกตเห็นไดวาคา RGA น้ีขึ้นกับคาตําแหนงของวาลว γ1 และγ 2 เทานั้นไมขึ้นกับพารามิเตอรอื่นๆของกระบวนการ และถา λ11 < 0 ซึ่งสอดคลองกับγ1 + γ 2 < 1 กระบวนการจะเปนแบบเฟสไมตํ่าสุด และในทางกลับกันถา λ11 > 0 ก็จะสอดคลองกบั γ1 + γ 2 > 1 กระบวนการกจ็ ะเปน แบบเฟสต่ําสดุ 2.3.2.2 การจบั คอู นิ พุต-เอาตพ ุตดวยวธิ ี RGA การเลือกจับคูอินพุต-เอาตพุตที่จะทําการควบคุมสําหรับกระบวนการ MIMO น้ันเปนปญหาที่สําคัญ เนื่องจากถามีจํานวนอินพุต-เอาตพุตท่ีมากก็จะทําใหรูปแบบในการจับคูมากขึ้นดวย เชน กระบวนการแบบ 2x2 จะมีวิธีการจับคู 2! หรือ 2 แบบน่ันเอง ถากระบวนการแบบ3x3 จะมีวิธีการจับคู 3! หรือ 6 แบบนั่นเอง จะเห็นไดวาย่ิงจํานวนอินพุต-เอาตพุตมากขึ้น

16เทา ไหร วธิ ีการในการจบั คกู จ็ ะยงิ่ มากขนึ้ เทาน้นั ดังน้ันวธิ กี ารในการเลือกจับคูอินพุต-เอาตพุตท่ีเหมาะสมจงึ เปนสง่ิ จําเปน สําหรับกระบวนการ MIMO RGA เปนวิธีหนึ่งที่สามารถใชพิจารณาเลือกจับคูอินพุต-เอาตพุตที่เหมาะสมได โดยในการใชR GA น้ันจะทาํ การพิจารณาคา RGAทส่ี ภาวะอยูตวั ซึง่ มกี ฎดงั นี้ 1. ควรจับคูอ ินพุต-เอาตพตุ ท่ีมคี าRGA เปนบวกและเขา ใกล 1 มากทีส่ ุด 2. เพ่อื ความมเี สถียรภาพของระบบควบคุมหามจับคูอินพุต-เอาตพุตท่ีมีคาRGA เปนลบถาทําการจับคูอินพุต-เอาตพุตท่ีมีคาRGA เปนลบ เม่ือนั้นผลตอบสนองของระบบควบคุมแบบปอนกลบั จะมคี ุณลกั ษณะตอไปน้ีอยางนอย 1 คุณลกั ษณะ 2.1 ผลตอบสนองของระบบควบคมุ ปอ นกลับทงั้ หมดไมม เี สถยี รภาพ 2.2 วงรอบควบคุมท่ีมีคาRGA เปนลบ ไมมเี สถยี รภาพในตัวมนั เอง 2.3 ผลตอบสนองของระบบควบคุมปอ นกลบั ไมมีเสถยี รภาพ ถา วงรอบควบคุมท่ีมีคาเปนลบเปด จากการวิเคราะหสมการท่ี (2-24) จะเห็นไดวาในกรณีที่กระบวนการเปนแบบเฟสต่ําสุด(1 < γ1 + γ 2 < 2) จะมีคา γ11 = γ 22 เปนบวก และ γ12 = γ 21 มีคาเปนลบ ดังน้ันในการจับคูอินพุต-เอาตพุตท่ีเหมาะสมก็คือ y1 − u1 และ y2 − u2 และถากรณีเปนแบบเฟสไมต่ําสุด(0 < γ1 + γ 2 < 1) จะมีคา γ11 = γ 22 เปนลบ และ γ12 = γ 21 มีคาเปนบวก ดังน้ันในการจับคูอินพุต-เอาตพุตท่ีเหมาะสมก็คือ y1 − u2 และ y2 − u1 ซึ่งการเลือกจับคูอินพุต-เอาตพุตนี้จะสอดคลองกับการเลือกจับคูโดยพิจารณาปริมาณน้ําท่ีไหลเขาถังบนและถังลาง ดังที่ไดอธิบายมาแลว ในหัวขอรูปแบบการทํางานของกระบวนการควบคุมระดับนํา้ แบบ 4 ถงั 2.3.2.3 ความสมั พนั ธระหวา งRGAและซโี รท อ่ี ยดู า นขวาของระนาบ s ในการพิจารณาวา กระบวนการมซี โี รท ีอ่ ยูด า นขวาของระนาบ s หรือไมนั้น นอกจากจะใชวิธีทําการพิจารณาหาตําแหนงซีโร ของกระบวนการแลว ยังมีอีกวิธีหนึ่งคือ การใช RGA โดยหลักในการใช RGA นี้จะใชไดกับเมตริกซฟงคชันถายโอนที่ฟงคชันถายโอนยอยน้ันมีเสถียรภาพและไมมีโพล หรือ ซีโรที่ s = 0 โดยถา λij ( jw → 0) และ λij ( jw → ∞) น้ันมีเครอื่ งหมายท่ีตางกัน เม่อื นั้นกระบวนการจะมคี ณุ ลกั ษณะตอไปน้ีอยางนอย 1 คณุ ลกั ษณะ 1. ฟง คช นั ถายโอนยอ ย Gij (s) มซี ีโรท่อี ยดู านขวาของระนาบ s 2. กระบวนการทงั้ หมด G(s) มซี ีโรที่อยดู านขวาของระนาบ s 3. ฟง คชั่นถายโอนยอ ย Gij (s) ท่ีถูกกาํ จดั ออกไปมซี โี รที่อยทู างดานขวาของระนาบ s จากการวิเคราะหในสมการ(2-23) จะเห็นไดวาในกรณีท่ีกระบวนการเปนแบบเฟสตํ่าสุดน้ัน (1 < γ1 + γ 2 < 2) คา λ11( jw → 0) และ λ11( jw → ∞) จะมีเคร่ืองหมายที่เปนบวกเหมือนกัน เน่ืองจากในเทอมสวนของ λ11 นั้น คา 1− ((1− γ1 )(1− γ 2 ) γ1γ 2 ) มีคาที่เปนบวกเสมอ แตสําหรับกรณีแบบเฟสไมตํ่าสุด (0 < γ1 + γ 2 < 1) คา λ11( jw → ∞) จะมีคาที่เปนบวก

17และ λ11( jw → 0) จะมี คาที่เปนล บ อันเนื่องมาจากในเทอมสว น ข อ ง λ11 นั้นค า1− ((1− γ1 )(1− γ 2 ) γ1γ 2 ) มีคาที่เปนลบเสมอ ดังน้ันจะเห็นไดวาวิธี RGA น้ันสามารถใชพิจารณาวา กระบวนการมซี โี รที่อยทู างดา นขวาของระนาบ s หรือไม แตไ มสามารถพิจารณาถึงตําแหนงของซีโร เชน วิธีการหาตําแหนงของซีโรและกระบวนนี้มีซีโรที่อยูดานขวาของระนาบs ซ่งึ สอดคลอ งกบั คณุ ลกั ษณะที่ 2 ดังไดอธิบายมาแลว 2.3.3 ความไวของกระบวนการ ความไวของกระบวนการอันเนื่องมาจากคุณลักษณะการเปล่ียนแปลงคาพารามิเตอร,คุณลักษณะความไมเปนเชิงเสน และอ่ืนๆน้ัน เปนส่ิงที่เกิดขึ้นเสมอและไมอาจหลีกเลี่ยงไดเน่ืองจากในกระบวนการจริงจะมีปจจัยตางๆมากมาย ที่ซึ่งอาจจะมีผลทําใหพารามิเตอรของกระบวนการหรืออุปกรณเปลี่ยนแปลงไป และแบบจําลองเชิงเสนที่ไดจากการประมาณความเปนเชิงเสน ณ.จุดการทาํ งานหนึง่ ๆกไ็ มสามารถแสดงแทนกระบวนการจริงไดตลอดเวลา ดังน้ันในการวัดคาความไวของกระบวนการจึงเปนส่ิงจําเปน อันเน่ืองมาจากคาความไวของกระบวนการจะเปนส่ิงท่ีบงบอกวากระบวนการน้ัน สามารถควบคุมไดยากหรืองายซ่ึงข้ึนอยูกับการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอรและความไมเปนเชิงเสนของกระบวนการ โดยในการหาคาความไวของกระบวนการนั้นจะตองทําการหาคาอัตราขยายของกระบวนการที่สภาวะคงตัวจากนั้นจงึ ทาํ การหาคา Conditional Number [11] จะกลาวถงึ ในหวั ขอ ตอ ไป 2.3.3.1 อัตราขยายของกระบวนการ ในการพิจารณาถึงคุณลักษณะของกระบวนการนั้น สิ่งหน่ึงเปนสิ่งสําคัญและไมอาจท่ีจะละเลยไดค อื คา อัตราขยายของกระบวนการ เนื่องจากคา อัตราขยายของกระบวนการน้ีจะเปนส่ิงท่ีบงบอกถึงคาความไวของกระบวนการ สําหรับกระบวนการแบบ MIMO นั้นคาอัตราขยายของกระบวนการสามารถทําการหาไดจากการพิจารณากระบวนการที่สภาวะอยูตัว (s = 0)เหมือนกับกระบวนการแบบ SISO แตสิ่งท่ีแตกตางกันคือกระบวนการแบบ MIMO น้ัน จะมีเร่ืองของทิศทางอินพุตและทิศทางเอาตพุตเขามาเกี่ยวของดวย และคาอัตราขยายของกระบวนการแบบ MIMO ก็ไมไดมีเพียงคาเดียวเหมือนกับกระบวนการแบบ SISO แตจะมีจํานวนเทากับจํานวนอินพุตหรือเอาตพุตท่ีมากที่สุดของกระบวนการ การหาคาอัตราขยายของกระบวนการแบบ MIMO น้ันสามารถท่ีจะหาไดโดยการแยกคาสวนประกอบซิงกูลาร(Singular Value Decomposit: SVD) ของG(0) การใชวิธีหา SVD ของG(0) น้ีจะแยก G(0)ออกเปน G(0) = UΣV H ซึ่งทิศทางของอินพุตแรกจนถึงอินพุตสุดทายนั้นจะสอดคลองกับหลักแรกจนถึงหลักสุดทายของเมตริกซ V H , สว นทศิ ทางของเอาตพุตแรกจนถงึ เอาตพ ตุ สุดทายกจ็ ะสอดคลองกับหลักแรกจนถึงหลักสุดทายของเมตริกซ U และคาอัตราขยายของกระบวนการที่มากท่ีสุดจนถึงนอยที่สุด จะอยูบนแนวทแยงของเมตริกซ ∑ ไลเรียงกันไป โดยคาอัตราขยายของกระบวนการสามารถเรียกไดอกี อยา งหนงึ่ วา คา ซิงกูลารข องกระบวนการ

18สําหรบั กระบวนการควบคมุ ระดบั น้ําแบบ4ถงั นี้เมอ่ื ทาํ การพิจารณาเมตรกิ ซฟง คชันถายโอนของกระบวนการในสมการที่ (2-10) ที่สภาวะคงตวั จะไดเมตริกซฟ ง คช ่ันถา ยโอนดังนี้ G(0) = ⎡γ 1c1 (1 − γ 2 )c2 ⎤ ⎥ ⎣⎢(1 − γ 1 )c2 γ 2c1 ⎦หรือ ⎡ γ 1k p1kc1τ 1 (1 − γ 2 )k p2kc2τ 2 ⎤ ⎢ ⎥ G(0) = ⎢ (1 )A1 A2 ⎥ (2-25) ⎢ − γ 1 k p2 k c 2τ 2 γ 2 k p1kc1τ 1 ⎥ ⎣⎢ A2 A1 ⎥⎦ จากสมการที่ (2-25) จะเห็นวา γ1,γ 2 , k p1, k p2 , kc1, kc2 พารามิเตอรเปนพารามิเตอรท่ีสามารถเปลี่ยนแปลงคาไดและ τ1,τ 2 ซึ่งเปนคาคงที่ทางเวลาซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามจุดทํางานจะเปนตัวท่ีกําหนดถึงคาอัตราขยายของกระบวนการสําหรับฟงคชันถายโอนยอยและคาอัตราขยายของกระบวนการทั้งหมดสําหรับเมตริกซฟงคช่ันถายโอนโดยตรง ดังนั้นคาความไวของกระบวนการควบคุมระดับน้ําแบบ 4 ถัง จึงขึ้นกับพารามิเตอรγ1,γ 2 , k p1, k p2 , kc1, kc2 และคาคงที่ทางเวลา τ1,τ 2 ซึ่งเปล่ยี นไปตามจุดการทํางานของกระบวนการ 2.3.3.2 Condition Number คา Condition Number ใชบงชี้ความไวของกระบวนการวามีมากหรือเพียงใด ซึ่งจะสอดคลองกับความยากหรืองา ยในการควบคมุ ของกระบวนการ ในการหาคา Condition Number สามารถทําไดโดยหาอัตราสวนระหวางคาอัตราขยายของกระบวนการที่มากท่ีสุดกับคาอัตราขยายของกระบวนการท่ีนอยที่สุดหรืออัตราสวนระหวางคา ซิงกูลารท่ีมากทสี่ ุดกบั คาซิงกลู ารท่นี อยทสี่ ุดนน่ั เอง ดังสมการที่ (2-26) ε (0) = σ (G(0)) (2-26) σ (G(0)) โดยท่ี ε (0) คือ คาCondition Number ซึ่งถาคา Condition Number เมื่อมีคาเขาใกล 1เมื่อน้ันกระบวนการสามารถท่ีจะทําการควบคุมไดงาย แตถาคา Condition Number มีคามากกวา 10 ซ่ึงอาจเกิดจากคาซิงกูลารท่ีมากท่ีสุด σ มีคามาก หรือคาซิงกูลารที่นอยท่ีสุด σมีคานอย เมื่อนั้นกระบวนการจะมีความไวของกระบวนการสูง และสามารถเรียกกระบวนการที

19คา Condition Number ที่มีคามากกวา 10 ไดวาเปนกระบวนการแบบ ILL- Condition ซ่ึงเปนกระบวนการท่ที าํ การควบคุมไดยากมาก2.4 การควบคุมกระบวนการ เนื่องจากความตองการเพิ่มผลผลิต และความตองการใชวัตถุดิบท่ีมีอยูใหเกิดประโยชนสูงสุด มนุษยเราจึงไดเรียนรูการนําเอาหลักการและเทคนิคในการควบคุมกระบวนการมาประยุกตใชกับกระบวนการผลิตตางๆมากมาย จนเกิดการพัฒนาอยางกวางขวางแพรหลายจนกระท่ังการควบคุมกระบวนการไดถูกพัฒนาจนกลายเปนรูปแบบการควบคุมอัตโนมัติ(Automatic Process Control) ซ่ึงไมจําเปนตองใชมนุษยในการควบคุมกระบวนการเหมือนในอดีต ในปจจุบันการควบคุมอัตโนมัติเปนที่นิยมอยางแพรหลายเน่ืองจากการควบคุมกระบวนการอัตโนมัติชวยทําใหงานสําเร็จตามความมุงหมายไดรวดเร็ว ถูกตองและมีความส้ินเปลืองคาใชจายในการทํางานนอย ท้ังยังชวยปองกันเคร่ืองจักรและอุปกรณตางๆ ไมใหเสียหายเม่ือเกิดการผิดพลาดจากสภาพปกติของการทํางาน ในวิทยานิพนธฉบับนี้การควบคุมกระบวนการเปนการควบคุมระดับของเหลวในชุดทดลองควบคุมระดับน้ําแบบ 4 ถัง ใชระบบควบคมุ อตั โนมัติในการปรับอุปกรณตางๆ ในกระบวนการเพื่อควบคุมตัวแปรตางๆของระบบใหเปนไปตามเปาหมายท่ีตองการ อยางมีประสิทธิภาพ ถึงแมจะมีสัญญาณรบกวนจากภายนอกที่ไมตองการมารบกวนการทํางานของระบบก็ตาม ซ่ึงในระบบรักษาระดับน้ําน้ีส่ิงท่ีถูกควบคุมหรือตัวแปรควบคุม (Controlled Variable) คือ ระดับความสูงของน้ําในถัง (Water Level)น่นั เอง 2.4.1 การทาํ งานของการควบคุมกระบวนการ ประกอบดวยความสัมพันธระหวา งตวั แปรสําคญั 3 ตัว ดงั น้ี 1. ตัวแปรปรับแตง (Manipulated Variable) เปนเสมือนสัญญาณอินพุตท่ีปอนใหกับกระบวนการ 2. ตัวแปรถูกควบคุม (Controlled Variable) หรือสภาพกระบวนการ เปรียบเสมือนสญั ญาณเอาตพ ุตของกระบวนการ 3. ตวั แปรรบกวนหรอื สัญญาณรบกวน (Disturbance) ภาพท่ี 2-5 กระบวนการ

20 2.4.2 หนาท่ีของการควบคุมกระบวนการ ประกอบดวยหนาทสี่ าํ คัญ 3 ประการ ดงั นี้ 1. ควบคุมคา (Regulation) คือ ความพยายามควบคุมใหกระบวนการรักษาระดับน้ําใหใกลเคยี งกบั ระดับนํ้าอางองิ ไมวา จะสัญญาณรบกวนอยา งไรกต็ าม 2. ติดตามคา (Tracking) คือ ความพยายามในการควบคุมใหกระบวนการเพิ่มหรือลดระดบั นํา้ ในถังบรรจใุ หเ ปนไปตามระดับน้ําอา งองิ ทเี่ ปลย่ี นไป 3. กําจัดผลที่เกิดจากสัญญาณรบกวน (Disturbance Rejection) คือ ความพยายามในการลดหรือกําจัดผลกระทบของการรบกวนท่ีมีผลตอประสิทธิภาพของการควบคุมกระบวนการใหได 2.4.3 ชนดิ ของการควบคมุ แบงตามวธิ ีการควบคุมได 2 ชนิด ดงั น้ี 1. การควบคุมโดยผูควบคุม (Manual Control) เปนการควบคุมระบบที่มีการเชื่อมโยงระหวางผูควบคุมกับระบบเขาดวยกัน (Man-Machine Interface System) โดยระบบจะถูกควบคุมโดยตรงจากผใู ชงาน 2. การควบคุมอัตโนมัติ (Automatic Control) เปนการควบคุมท่ีระบบจะถูกควบคุมการทํางานโดยอุปกรณส ิง่ ประดษิ ฐของมนษุ ยโ ดยไมม มี นษุ ยเ ขามาเก่ยี วของเลย 2.4.4 องคประกอบในการควบคมุ กระบวนการ การควบคุมกระบวนการจะประกอบไปดวยองคประกอบท่ีสําคัญ 4 สวนดังภาพท่ี2-6ไดแก 1. กระบวนการ (Process) หมายถึง การทํางานที่ประกอบไปดวยการนําเอา เคร่ืองมือเครื่องจักร อุปกรณ วตั ถุดบิ มาใชงานรวมกนั เพอ่ื ใหบรรลวุ ตั ถปุ ระสงคท ่ีตอ งการ 2. การวัด (Measurement) หมายถึงการตรวจวัดคาของสภาพกระบวนการหรือตัวแปรควบคมุ ดวยตัวตรวจรู ซึ่งไดแก เซนเซอร (Sensor) หรอื ทรานสดิวเซอร (Transducer) เพื่อใหรถู ึงสภาพของกระบวนการตลอดเวลา โดยตัวตรวจรูจะทําการวัดเอาตพุตของกระบวนการ แลวทําการเปล่ียนคาวัดที่ไดไปอยูในรูปของสัญญาณอะนาลอก หรือ สัญญาณดิจิตอล ท่ีมีคาเปนสดั สวนโดยตรงกับคาของสภาพของกระบวนการ ทท่ี ําการตรวจวดั เพอ่ื นาํ ไปเปรยี บเทยี บกับคาทต่ี งั้ ไว

21 ภาพที่ 2-6 บลอ็ กไดอะแกรมแสดงองคประกอบท่ีสาํ คญั ในการควบคุมระบบโดยทว่ั ไป 3. การเปรยี บเทยี บ (Comparison) และการประเมินคา (Evaluation) หมายถงึ การนาํคาท่ีไดจากการวัดมาเปรียบเทียบกับคาที่ตั้งไวจากนั้นจะทําการประเมินคาที่ไดจากการเปรียบเทียบแลวสรางเปนสัญญาณควบคุมที่เหมาะสม องคประกอบท่ีสําคัญในการประเมินคานี้ คือ อุปกรณเปรียบเทียบสัญญาณ (Comparator) และ ตัวควบคุม ดังภาพที่ 2-7 ซ่ึงตัวควบคุมท่ีใชกันน้นั อาจเปน อุปกรณอิเลก็ ทรอนกิ ส อุปกรณท างกล อุปกรณทางนิวแมตกิ ก็ได ภาพที่ 2-7 องคป ระกอบทสี่ าํ คญั ในการเปรียบเทยี บและประเมนิ คา 4. การควบคุม (Control) หมายถงึ การทาํ ใหกระบวนการทํางานตามเปา หมายท่ตี อ งการซง่ึ ในสว นการควบคุมนี้ประกอบดวยอุปกรณตัวสุดทาย (Final Control Element) ที่รับสัญญาณอนิ พตุ มาจากอุปกรณค วบคมุ แลว เปลย่ี นเปนสญั ญาณที่เหมาะสมสาํ หรับควบคมุ กระบวนการ2.5 การควบคมุ กระบวนการแบบเปด การควบคุมแบบเปดจะใชอุปกรณ (Controller) หรือ ตัวขับเรา (Control Actuator) ในการควบคุมกระบวนการ เพื่อใหไดการตอบสนองตามท่ีเราตองการ โดยไมตองนําตอบสนองของระบบเขา มาสูการพจิ ารณา ลกั ษณะของระบบควบคมุ แบบเปด แสดงในภาพท่ี 2-8

22 ภาพท่ี 2-8 ลกั ษณะของการควบคุมแบบเปด2.6 การควบคมุ กระบวนการแบบปด การควบคุมกระบวนการแบบปดจะแตกตางจากการควบคุมกระบวนการแบบเปดก็คือมีการนําเอาผลที่ไดจากกระบวนการกลับเขามาเปนสวนหนึ่งของขอมูลท่ีจะสงเขาไปเปนอินพุตที่จะใหกับระบบ โดยตัวตรวจรูจะทําการวัดขอมูลของเอาตพุต แลวนําคาเอาทพุทที่ไดไปเปรียบเทียบกับเอาตพุตท่ีตองการจากระบบ จากน้ันความแตกตางระหวางเอาตพุตที่ตองการและเอาทพุทท่ีแทจริงจะไดรับการสงตอไปสูอุปกรณควบคุม แลวสงตอเปนอินพุทเขาสูระบบเพ่ือใหความแตกตางของเอาตพุตที่ตองการและเอาตพุตท่ีแทจริงลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งไมมีความแตกตางระหวางคาทั้งสอง ก็จะไดวาคาเอาตพุตของระบบเปนไปตามตองการ ลักษณะของระบบควบคมุ แบบปดแสดงในภาพท่ี 2-9 ภาพท่ี 2-9 ลกั ษณะของการควบคมุ แบบปด สําหรับการควบคุมกระบวนการแบบปดนั้น อุปกรณควบคุมถูกออกแบบไวเพื่อใหสรางสัญญาณควบคุมไปควบคุมระบบเม่ือมีสัญญาณผิดพลาด (Error Signal) เกิดขึ้น หลักการหรือวิธีการควบคุมนั้น เราเรียกวา กฎของการควบคุม (Control Law) หรือ กิริยาควบคุม(Control Action) เม่ือสัญญาณผิดพลาดมีคาไมเปนศูนยอาจจะเปนผลเนื่องจากเกิดการเปล่ยี นแปลงทค่ี ําสั่ง หรือเกิดสัญญาณรบกวนก็ได หนาท่ีของตัวควบคุม คือพยายามควบคุมตัวแปรของระบบ (Controlled Variable) ใหเทาหรือใกลเคียงกับ อินพุตอางอิง (Set Point) ซึ่งอาจสรปุ หนา ทข่ี องตัวควบคมุ พอสังเขปไดด ังน้ี

23 1. ลดคา ผิดพลาดในสถานะอยตู วั (Minimize the Steady State Error) 2. ลดคาเวลาเขา ท่ี (Minimize the Setting Time) 3. เพ่ือใหการตอบสนองในชว งตน (Transient Response) มลี ักษณะตามท่ตี อ งการ ในทางปฏิบัติแลวการกําหนดลักษณะเฉพาะสําหรับออกแบบระบบควบคุมมีรายละเอียดมากกวาน้ี เชน เราอาจตองกําหนดความกวางแถบ (Bandwidth) ท่ีทําใหระบบมีความปลอดภัยจากการที่ระบบจะไมมีเสถียรภาพ หรือ ไมมีความสมดุล เราไมสามารถรูไดแนชัดเก่ียวกับคาพารามิเตอรของระบบของเราวามีความแนนอนเทาไร ระบบควบคุมบางระบบเราสามารถออกแบบใหมีความไว (Sensitivity) มากนอยกวาระบบแบบอื่น ดังนั้นการออกแบบบางครั้งอาจจะตองครอบคลุมถึงความไวของระบบควบคุมตอการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอรของระบบดว ย ระบบควบคุมที่ใชในอุตสาหกรรมมีมากมายหลายแบบ แตในที่นี้จะกลาวถึงเฉพาะระบบควบคุมท่ใี ชในวทิ ยานิพนธเทาน้ัน2.7 ระบบควบคุมแบบสดั สว นบวกอนิ ทิกรลั บวกกบั อนพุ ันธ (PID controller) การควบคุมแบบพีไอดี เปนการควบคุมที่มีโครงสรางการทํางานท่ีไมซับซอน งายตอการออกแบบ และกําหนดคาพารามิเตอรใหตัวควบคุมก็ทําไดโดยงาย ทําใหเปนการควบคุมระบบท่ียังคงเปนที่นิยมกันอยูอยางแพรหลาย แมวาในปจจุบันจะมีหลักการและทฤษฎีการควบคุมแบบใหมๆเกิดข้ึนมากก็ตาม ในการออกแบบตัวควบคุมพีไอดีมีจุดประสงคเพื่อควบคุมระบบใหเปนไปตามเปาหมาย คือ มีความเที่ยงตรง ถูกตอง การควบคุมแบบพีไอดี (PID Control) เปนการควบคุมแบบ 3 เทอม (Three – Term Control) ท่ีประกอบดวยองคประกอบที่สําคัญสามสว นไดแก Proportional (P) หมาย ถึงการปรับสัดสวนสัญญาณ, Integral (I) หมายถึง การอินทิเกรตสญั ญาณ และ Derivative (D) หมายถึง การอนพุ ันธสัญญาณ กลไกทั้งสามจะกระทํากับสัญญาณแลวถูกรวมตัวเขาดวยกัน เพ่ือทําหนาท่ีปรับแตงสัญญาณอยางเหมาะสม ใหเกิดผลตอบสนองตามที่ตองการ ท้ังน้ีในการใชงานตัวควบคุมอาจไมไดใชกลไกทั้งสามพรอมกันทีเดียว แตเลือกใชทํางานรวมกันในแบบตางๆ เพื่อวัตถุประสงคเฉพาะที่แตกตางกันไป เชน การควบคุมแบบพี การควบคุมแบบพีไอ หรือ การควบคุมแบบพีดีเปนตน

24ตารางที่ 2-1 คณุ สมบตั ขิ องตัวควบคมุ แบบพ,ี ไอ และดี ท่มี ีตอระบบปอ นกลับ คา เวลาเขา คาผิดพลาดตวั ควบคมุ คาเวลาไตระดับ คา พงุ เกนิ สูส ภาวะคงตัว ที่สภาวะคงตวัKP ลด เพิ่ม เปลีย่ นแปลงนอ ย ลดKI ลด เพิ่ม เพ่ิม กําจัดKD เปลยี่ นแปลงนอย ลด ลด เปลยี่ นแปลงนอย 2.7.1 ระบบควบคุมแบบสัดสว น (Proportional Control) ระบบควบคุมแบบสัดสวนน้ัน จะเปนวงจรขยายซ่ึงมีอัตราขยายคงที่ โดยรับสัญญาณเขาเปนความแตกตางระหวางสัญญาณออกและสัญญาณเขา ผลกระทบของการเพ่ิมอัตราขยายของระบบควบคมุ แบบสัดสวน (Proportional Control) ตอระบบควบคุมที่สังเกตไดชัดเจนคอื การลดขนาดของความผิดพลาดในสภาวะอยูตัวของระบบ ในกรณีที่ความผิดพลาดนั้นมีคาคงที่ การทําใหระบบมีการตอบสนองตอสัญญาณเขาเร็วข้ึน และการลดความเปนเสถียรภาพของระบบผลกระทบดังกลาวสามารถอธิบายโดยภาพท่ี 3-6 ซ่ึงเปนรูตโลกัส (Root Locus) ของระบบกาํ ลังสามทม่ี กี ารเพ่ิมอตั ราขยายของ ระบบควบคุมแบบสดั สวน มากขนึ้ เรื่อยๆ จาก รตู โลกัส จะพบวาเม่ืออัตราขยายมากข้ึนจะมีโพล (Pole) ของระบบ 2 คาวิ่งไปทางขวาและมีสวนจินตภาพใหระบบตอบสนองตอการเปล่ียนแปลงสัญญาณเขาเร็วขึ้นมากข้ึนเรื่อยๆ ในระหวางแนวทางเดิน และเม่ืออัตราขยายมากกวาคาหนึ่ง โพลจะเขาไปอยูในฝงขวาของระนาบเชิงซอน s จากลักษณะดังกลาวอธิบายไดวา เมื่อเพ่ิมอัตราขยายของ ระบบควบคุมแบบสัดสวน จะทําใหผลตอบสนองเชิงเวลาของระบบแกวงนานขึ้น และถาเพ่ิมอัตราขยายมากเกินคาหน่ึง จะทําใหระบบไมมีเสถียรภาพได สําหรับสาเหตุ ท่ีทําใหผลตอบสนองเปนแบบนั้นก็คือ โพล ท่ีมีสวนจินตภาพจะทําใหผลตอบสนองของระบบเกิดการแกวงขึ้น และโพล ที่เขาไปใกลฝงขวาของระนาบเชิงซอน s ทําใหระบบมีเสถียรภาพนอยลง สวนแนวทางเดินของโพล ท่ีเหลือจะวิ่งไปทางซา ยเรื่อยๆ ทาํ ใหระบบตอบสนองตอ สญั ญาณเรว็ ข้ึน เพราะโพล มีสว นจรงิ เปนคา ลบมาก

25 ภาพที่ 2-10 แสดงรตู โลกสั (Root Locus) ของระบบกาํ ลังสาม 2.7.2 ระบบควบคมุ แบบอนิ ทกิ รลั (Integral Control) ระบบควบคุมแบบอินทิกรัลนั้น จะเปนวงจรอินทิเกรเตอรท่ีใหสัญญาณเปนสัดสวน กับอินทิกรัล (Integral) ของความแตกตางระหวางสัญญาณออกและสัญญาณเขา ผลกระทบของระบบควบคุมแบบอินทิกรัล ที่สังเกตเห็นไดชัดเจนคือ การทําใหความผิดพลาดในสถาวะอยูตัวหมดไป ในกรณที ่ีความผิดพลาดเดิมมีคา คงท่ี แตถา ความผิดพลาดเดิมมีคาเปลี่ยนตามเวลาก็จะทําใหความผิดพลาดเปลี่ยนเปนมีคาคงที่ แตระบบควบคุมแบบอินทิกรัล ก็มีขอเสียที่จะทําใหผลตอบสนองเชิงเวลามีการแกวงมากกวาเดิม สาเหตุที่ระบบควบคุมแบบอินทิกรัล สามารถเปลี่ยนสักษณะของความผิดพลาดในสภาวะอยูตัวได คือ ระบบควบคุมแบบอินทิกรัลจะเพ่ิมชนิด (Type) และกําลังของระบบเปดข้ึนหนึ่งข้ัน การเพ่ิมชนิดของระบบทําใหความผิดพลาดในสภาวะอยูตัวเปลี่ยนจากเดิม แตการที่ชนิดของระบบเพ่ิมขึ้นก็จะทําใหระบบมีความเปนเสถียรภาพนอยลง เพราะชนิดของระบบคือ โพล (Pole) ที่ตําแหนง s = 0 ซ่ึงทําใหระบบมีเสถยี รภาพนอ ยลง

26 2.7.3 ระบบควบคุมแบบอนพุ นั ธ (Derivative Control) เปน วงจรดิฟเฟอรเรนดิเอเตอร (Differentiator) ที่ใหสัญญาณออกเปนสัดสวนกันอนุพันธของความแตกตางระหวางสัญญาณออกและสัญญาณเขา ผลกระทบของระบบควบคุมแบบอนุพันธ ที่มีตอระบบคือ ลดขนาดของคาพุงเกินสูงสุด (Maximum Overshoot) และในบางกรณีจะทําใหระบบเขาสูสภาวะอยูตวั ไดเ ร็วขึน้ หลักการทาํ งานของระบบควบคมุ แบบอนพุ นั ธ คือการใชอนุพันธของความแตกตางระหวางสัญญาณออกและสัญญาณเขาสําหรับควบคุมกระบวนการซ่ึงมีความหมาย ทางการภาพคือ การใชแนวโนมการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาดในการปรับแกกระบวนการกอนท่ีจะเกิดการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาดท่ีมีขนาดใหญข้ึนเน่ืองจากระบบควบคุมแบบอนุพันธส ามารถควบคุมระบบไมใ หเ กดิ โอเวอรซูต (Overshoot) หรอือันเดอรซูต (Undershoot) ที่มีขนาดใหญได จึงทําใหสัญญาณออกสามารถเขาสูสภาวะอยูตัวไดเร็ว แตในกรณีที่ระบบควบคุมแบบอนุพันธมีผลตอระบบมากเกินไปอาจทําใหระบบเขาสูสภาวะอยูตัวไดชาลง เพราะไปปรับการทํางานของระบบมากจนระบบทํางานแบบโอเวอรแด็มพ(Overdamped) ภาพที่ 2-11 ระบบควบคมุ แบบพไี อดี ลักษณะการทํางานของตัวควบคุมแบบพีไอดี (PID) สามารถเขียนเปนสมการทางคณติ ศาสตรไ ดด ังน้ีGc (s) = K p ⎜⎛⎜⎝1 + 1 + TD s ⎞⎠⎟⎟ = Kp + KI + KDs (2-27) TI s s

27โดยท่ี Gc (s) คือ สมการฟงคช น่ั ถา ยโอนของตัวควบคมุ หรอื เขยี นใหมใ หอ ยใู นรูปของคาโนนคิ ลั (Canonical Realization Form) ไดดังนี้ Gc (s) = K (TD s +1)⎛⎝⎜⎜ s + 1 ⎞⎠⎟⎟ (2-28) s TIโดยท่ี KP = K ⎡ + TD ⎤ ⎢1 TI ⎥ ⎣ ⎦ KI =K TI K D = K ⋅TD เมื่อไดรบั อนิ พุตเปนสญั ญาณความผดิ พลาดจะไดส ัญญาณควบคมุ เปน U (s) = ⎜⎛ K p + KI + K D s ⎟⎞ E ( s) (2-29) ⎝ s ⎠ จะไดสญั ญาณควบคุมในเทอมของเวลาคือ ∫u(t) = K pe(t) + K I e(t)d (t) + KD d e(t) (2-30) dt2.8 ระบบควบคุมโมเดลเบส ในการทําการวิเคราะหและออกแบบระบบควบคุมใดๆ จําเปนตองอาศัยแบบจําลองทางคณิตศาสตร (Mathematical Models) ของระบบที่ถูกควบคุม ซึ่งเปนส่ิงท่ีสมมุติข้ึนเพื่อใชแทนระบบ โดยมีรูปแบบเปนสมการหรือความสัมพันธทางคณิตศาสตรซ่ึงเขียนขึ้นโดยอาศัยความรูทางวิทยาศาสตรแขนงตางๆ ท่ีอาจเกี่ยวของกับระบบพลวัตน้ัน เชน ความรูทางฟสิกส เปนตนในการควบคุมแบบโมเดลเบสแบบจําลองทางคณิตศาสตรของกระบวนการจะถูกใชหาการปรับแตงสัญญาณควบคุม (Controller Output) ท่ีเหมาะสม เนื่องจากสามารถที่จะทํานาย

28(Predicted) พฤติกรรมของผลตอบสนองของระบบในอนาคตได และถึงแมแบบจําลองจะมีขอผิดพลาด (Model Error) หรือ ก็คือไมสามารถแทนระบบไดอยางสมบูรณก็ตามระบบควบคุมแบบโมเดลเบสก็ยังสามารถท่ีทําการติดตามรอยอินพุต (Tracking) ใหเขาสูคาอินพุตอางอิง(Set Point) ไดไมวาจะมีสัญญาณรบกวนจากภายในและภายนอกมารบกวนอยางไรก็ตาม ซึ่งเปน ขอไดเปรยี บทช่ี ัดเจนของระบบควบคมุ แบบโมเดลเบส ภาพท่ี 2-12 การควบคุมแบบโมเดล-เบสในอดุ มคติ พิจารณาภาพท่ี 2-12 โครงสรางการควบคมุ โมเดลเบสประกอบไปดวยองคป ระกอบสําคัญ3 สวน ดังนี้ 1. แบบจําลองทางคณติ ศาสตรข องระบบ (Mathematical Model) มหี นาท่ีทํานายผลตอบสนองในอนาคตของระบบ 2. สว นประมาณคา สญั ญาณรบกวน (Disturbance Estimation) มหี นา ทป่ี ระมาณสัญญาณรบกวนทก่ี ระทาํ ตอ ระบบจรงิ 3. ตวั ควบคมุ (Controller) ทําหนา ท่สี รางสญั ญาณควบคมุ เพอื่ ควบคุมใหผลตอบสนองของระบบเขาสูคาทต่ี อ งการ ภาพท่ี 2-13 โครงสรา งทั่วไปของระบบควบคมุ แบบโมเดล-เบส

29 เม่ือไดรับสัญญาณควบคุมจากตัวควบคุมโมเดลเบสทั้งระบบและแบบจําลองจะผลิตผลตอบสนองออกมาก จากนั้นตัวตรวจรูจะทําการวัดผลตอบสนองที่เกิดขึ้นจริง สงตอสัญญาณเขาสูสวนประมาณคาสัญญาณรบกวน นํามาทําการเปรียบเทียบกับผลตอบสนองที่ไดมาจากแบบจําลอง ซึ่งจะไดผลที่เกิดจากสัญญาณรบกวนจากภายนอกรวมถึงความผิดพลาดของแบบจําลอง (Model Error) ปอนกลับ (Feedback) เขาสูตัวควบคุมเพ่ือเปรียบเทียบกับคาที่ตองการ (Set Point) เปนสัญญาณความผิดพลาด (Error Signal) ตัวควบคุมจะรับคาสัญญาณความผิดพลาดน้ีดําเนินการปรับปรุงสัญญาณควบคุมเพื่อทําใหระบบผลิตผลตอบสนองใหใกลเ คยี งกับคา ทต่ี อ งการมากที่สุด ขอไดเปรียบสาํ คัญทเี่ พ่ิมข้ึนมาของการควบคมุ แบบโมเดลเบส 1. สามารถท่ีจะรายงานความไมแนนอนของแบบจําลอง (Model Uncertainty) ซ่ึงก็คือความไวท่ีมตี อ การแปรผันในคาพารามิเตอรของแบบจําลองไดอ ยางชัดเจน 2. ผูออกแบบสามารถทําการสลับเปล่ียนไปมา (Tradeoff) ระหวางประสิทธิภาพของระบบควบคมุ กบั ความทนทานตอ การเปลี่ยนแปลงของระบบและความทนทานตอ ความผิดพลาดของแบบจําลอง 2.8.1 การออกแบบตวั ควบคุมแบบโมเดลเบสพไี อดีสาํ หรบั กระบวนการ MIMO ในการออกแบบตัวควบคุมสําหรับกระบวนการแบบ MIMO น้ันสามารถแบงโครงสรางของตัวควบคุมได 2 แบบดวยกันคือตัวควบคุมแบบไมแยกอิสระ (Centralized) และตัวควบคุมแบบแยกอิสระ (Decentralized) ซ่ึงในทางปฏิบัตินั้นตัวควบคุมแบแยกอิสระจะไดรับความนิยมในการนําไปประยุกตใชงานสําหรับการควบคุมกระบวนการแบบ MIMO มากกวาเนื่องจากโครงสรางของตัวควบคุมน้ันเปนแบบ Diagonal Matrix ซ่ึงสามารถที่จะทําความเขาใจไดงายและงายตอ การนําไปประยุกตใชงานและทําการออกแบบไดงายกวาตัวควบคุมแบบไมแยกอิสระในขณะที่ตัวควบคุมแบบไมแยกอิสระมีโครงสรางที่เปนแบบ Full Matrix ซ่ึงคุณสมบัติของตัวควบคุมแบบน้ีน้ันจะตรงกันขามกับตัวควบคุมแบบแยกอิสระท้ังหมด ดังนั้นในการทําการออกแบบตัวควบคุมสําหรับกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถังนี้ จึงเลือกใชโครงสรางตัวควบคุมแบบแยกอิสระ ดัวยเหตุผลดังที่ไดกลาวมาในเบ้ืองตน และตัวควบคุมที่ใชจะเปนตัวควบคมุ โมเดลเบสพีไอดี การออกแบบตัวควบคุมโมเดลเบสพีไอดี สําหรับกระบวนการควบคุมระดับนํ้าแบบ 4 ถังสามารถแบงไดเปน 2 กรณี คือ กรณีเฟสตํ่าสุด และกรณีเฟสไมตํ่าสุด ซ่ึงในแตละกรณีจะแบงไดเปน 2 สวนคือ สําหรับวงรอบเอาตพุตท่ี 1 และวงรอบเอาตพุตท่ี 2 โดยในการออกแบบตัวควบคมุ จะใชว ธิ ี RGA ในการวิเคราะหจ บั คอู นิ พุต-เอาตพุตทีจ่ ะทาํ การควบคุม ในหวั ขอ นจี้ ะอธิบายถึง การออกแบบตวั ควบคมุ โมเดลเบสพไี อดีสําหรับกระบวนการแบบMIMO ท่ีใชโครงสรางระบบควบคุมที่ใชตัวควบคุมแบบแยกอิสระ เนื่องจากกระบวนการแบบMIMO น้ันตัวควบคุมแบบแยกอิสระจะไดรับความนิยมในการนําไปประยุกตใชงานมากกวาตัว

30ควบคุมแบบไมแยกอิสระ ซ่ึงรูปโครงสรางของระบบควบคุมท่ีใชตัวควบคุมแบบแยกอิสระสามารถแสดงไดด ังภาพท่ี 2-14ภาพที่ 2-14 โครงสรา งระบบควบคุมทใ่ี ชต ัวควบคุมแบบแยกอิสระโดยท่ี G(s) คอื เมตรกิ ซฟง คช ่ันถายโอนของกระบวนการ Gc (s) คอื เมตรกิ ซฟงคช ่ันถายโอนของตวั ควบคมุ แบบแยกอสิ ระ โดย Gc (s) นน้ั จะเปนเมตริกซแบบจัตุรัสท่ีมีขนาดเทากับจํานวนอินพุตของกระบวนการในขณะท่ี G(s)ไมจําเปนตองเปนเมตริกซจัตุรัสก็ได ซ่ึงอาจจะมีจํานวนอินพุตท่ีมากกวาหรือนอ ยกวา จาํ นวนเอาตพ ุตกไ็ ด สาํ หรบั ในกรณีน้ีจะกําหนดให G(s) เปนเมตริกซจัตุรัส โดยท่ี G(s)และ Gc (s) สามารถเขยี นไดด ังสมการท่ี (2-31) ⎡G11(s) G12 (s) L G1n (s)⎤G(s) = ⎢⎢G21(s) G22 (s) L G2n (s)⎥⎥ ⎢M MO ⎢⎣Gn1(s) Gn1(s) L M⎥ Gnn (s)⎦⎥ ⎡Gc1(s) 0 L 0⎤ ⎢ ⎥ (s) ⎢ 0 Gc2 (s) L 0 ⎥ (2-31)Gc = ⎢ M MO M⎥ ⎢ Gcn (s)⎥⎦ ⎣ 0 0L สําหรับในการออกแบบตัวควบคุมแบบแยกอิสระสําหรับระบบควบคุมนั้น จะตองทําการเลือกจับคูอินพุต-เอาตพุตที่เหมาะสมในการควบคุมเปนอันดับแรกกอน จากนั้นจึงทําการออกแบบตวั ควบคมุ โดยจะทาํ การออกแบบสําหรบั แตละวงรอบเอาตพ ุตแยกจากกนั

31 พิจารณาโครงสรางของระบบควบคุมแบบโมเดลเบสในภาพที่ 2-15 โดยกําหนดใหระบบเปนเชิงเสน แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบสามารถใชแทนระบบไดอยางสมบูรณ(Perfect Model) และไมมกี ารจํากดั คา ของสญั ญาณควบคมุ (No Constraints) ภาพท่ี 2-15 บลอ็ กไดอะแกรมของการควบคมุ แบบโมเดลเบสโดยที่ R(s) = อินพตุ อา งอิง (Set Point) E(s) = คา สัญญาณความผดิ พลาด (Error Signal) U (s) = สัญญาณควบคุม (Controller Output) Y (s) = ผลตอบสนองหรือตัวแปรควบคุม (Process Variable) D(s) = สัญญาณรบกวน (Disturbance) G(s) = ระบบ+ เซนเซอร + อุปกรณตา งๆ Gm (s) = แบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบ Q(s) = ตวั ควบคมุ โมเดลเบส จากภาพที่ 2-15 จะเห็นวา Y(s)− Ym (s) คือ สัญญาณปอนกลับ (Feedback Signal) ท่ีไดมาจากการนาํ ผลตอบสนองทีเ่ กิดขึ้นจรงิ มาทาํ การเปรียบเทียบกับผลตอบสนองที่ถูกทํานายท่ีไดมาจากแบบจําลอง นั่นคือสัญญาณปอนกลับคือผลที่เกิดจากสัญญาณรบกวนจากภายนอกรวมถงึ ความผิดพลาดของแบบจําลอง (Model Error) พิจารณาโครงสรางของระบบควบคุมโมเดลเบสในภาพท่ี 2-15 กําหนดใหกระบวนการเปน แบบ MIMO ท่ีมีเสถยี รภาพ ที่มี n-อนิ พตุ และ n-เอาตพุต สามารถแสดงฟงคชันถายโอนไดดังสมการ

32 ⎡G11 G12 L G1n ⎤ ⎢⎢G21 ⎥G(s) = ⎢M G22 G2n ⎥ (2-32) O M⎥ ⎢⎣Gn1 Gn2 L ⎥ Gnn ⎦โดยทมี่ อี ินพุต, เอาตพตุ และสัญญาณควบคุมดังน้ี R(s) = [R1 ]R2 Τ (2-33) Y (s) = [Y1 ]Y2 Τ (2-34) U (s) = [U1 ]U 2 Τ (2-35) เนื่องจากตองพิจารณาทฤษฎีการควบคุมโมเดลเบสที่ใชกับระบบแบบ SISO มาใชกับระบบแบบ MIMO ที่มีโครงสรางระบบควบคุมท่ีใชตัวควบคุมแบบแยกอิสระ จึงพิจารณาแบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบ Gm (s) ในรูปเมตริกซฟงกชันถายโอนท่ีมีสมาชิกเฉพาะแนวทแยงของG(s)เทา นัน้ ดงั สมการท่ี (2-36) ⎡G11 0 L 0⎤ ⎢ ⎥Gm (s ) = ⎢ 0 G22 0 ⎥ (2-36) ⎢ M O M⎥ (2-37) ⎢ ⎥ (2-38) ⎣ 0 0L Gnn ⎦ดงั นั้นตัวควบคมุ โมเดลเบส Q(s)จึงเปนเมตริกทแยง (Diagonal Matrices)Q(s) = diag[Q1 Q2 L Qn ] ⎡Q1 0 L 0⎤ ⎢ ⎥Q(s ) = ⎢ 0 Q2 0 ⎥ ⎢ M O M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0L Qn ⎦

33 ออกแบบตัวควบคุมโมเดลเบส Q(s) โดยทําการแบงแฟคเตอรของแบบจําลอง 2 สวนดังน้ีGii (s) = Piim (s)PiiA (s) , i = 1,2 (2-39) โดยท่ี Piim (s) คือสวนท่ีสามารถอินเวิอรสไดนั้นจะประกอบดวยสวนที่คอซอล (Causal)และสวนที่ทําใหระบบมีเสถียรภาพ ในสวนนี้อัตราขยายจะมีคาอัตราขยายของแบบจําลองของระบบ PiiA (s) คือสว นท่ีไมส ามารถอนิ เวอรสไดน้ันจะประกอบไปดวยสวนท่ีไมคอซอล (Causal)และสวนท่ีทําใหขาดเสถียรภาพซ่ึงไดแกคาความหนวงเวลา (Time Delays) และซีโรท่ีอยูทางขวาของระนาบ (Plane) ดงั สมการที่ (2-40)∏PiiA (s) = ⎜⎛ −τ js +1 ⎟⎠⎞⎟⎜⎜⎝⎛ τ 2 s 2 − 2τ kζ s + 1 ⎟⎟⎠⎞e (2-40) ⎜⎝ τj s +1 τ k + 2τ kζ s + 1 k −Tii s k j,k 2 s 2 k ในสวนนจ้ี ําเปน ตอ งใหอัตราขยาย (Gain) ท่ีสภาวะอยูตัวเริ่มตนมีคาเทากับ 1 เพื่อท่ีจะทําใหผลตอบสนองเขาสูคาอินพุตอางอิง (Set Point) เนื่องจากในสวนนี้เพ่ิม Integral Action ดังสมการท่ี (2-41) PiiA (0) = 1 (2-41)จะไดต ัวควบคุมโมเดลเบสที่ไดมาจากการอินเวอิ รสแบบจาํ ลองดงั สมการที่ (2-41) ( )( )Q s = Piim −1 (2-42) เน่ืองจากตัวควบคุมแบบโมเดลเบสเปนอินเวิอรสของแบบจําลอง ท่ีทําการขจัดสวนท่ีทําใหต ัวควบคุมขาดเสถียรภาพออก และอินเวิอรสเฉพาะสวนท่ีสามารถอินเวิอรสไดเทาน้ัน ดังนั้นสําหรับฟงคชั่นถายโอนแบบเหมาะสมอยางย่ิง (Strictly Proper) เม่ือทําการอินเวิอรสแลวจะไดฟงคช่ันถายโอนแบบไมเหมาะสม (Not Proper) เนื่องจากการอินเวิอรสทําใหอันดับของNumerator มากกวาอันดับของ Denominator ทําใหสัญญาณควบคุมไมอยูในชวงที่ยอมรับไดโดยเฉพาะเมื่ออนิ พุตทีเ่ ขาสตู วั ควบคุมมีความถ่ีสูง สัญญาณก็จะย่ิงถูกขยายใหมากข้ึน ประสิทธิ์ภาพท่ีไดตํ่า จึงจําเปนตองทําการแกไขดวยการเพ่ิมตัวกรองผานความถี่ต่ํา (Low-Pass Filter)ใหกับตวั ควบคมุ ซ่ึงมีฟงคช่ันถายโอนดงั สมการที่ (2-43)

34f ii (s) = 1 (2-43) (λi s + )1 riโดยที่ fii (s) คือ ตวั กรองผานความถต่ี า่ํ (Low Pass Filter) ri คือ อันดับสัมพันธ (Relative Order) โดยท่ีคาของอันดับสัมพันธน้ันจะเทากับผลตางของอันดับของ Denominator กับ อันดับของ Numerator ซ่ึงจะชวยใหฟงคชันถายโอนของตัวควบคุมเปนแบบเหมาะสม (Proper) มีความเสถียรภาพ (Stability) และความเชื่อถือได(Reliability) λi คือ คาคงทีท่ างเวลาของตัวกรองสัญญาณ ทําหนาที่ชวยปรับปรุงความผิดพลาดของแบบจําลองและชวยในการเลี่ยงการขยายขนาดของนอยซท่ีมากเกินไป สําหรับคาของคาคงที่ทางเวลาของตัวกรองสัญญาณความถี่ตํ่าน้ัน สามารถกําหนดใหมีคาเทาไรก็ไดข้ึนกับผลตอบสนองของระบบที่ตองการ และ คาขนาดของนอยซท่ีสามารถรับได แตคาที่เลือกไมควรเกินคา คงที่ทางเวลาของระบบ ดงั น้นั จะไดต วั ควบคุมโมเดลเบสดงั น้ี ( )( )Qi = P m −1 (2-44) ii λi s + 1 ri เราสามารถเปล่ียนโครงสรางของระบบควบคุมแบบโมเดลเบสในภาพท่ี 2-15 ใหอยูในรูปของตัวควบคุมปอนกลับในภาพท่ี 2-14 โดยที่ตัวควบคุมปอนกลับมีความสัมพันธกับตัวควบคุมโมเดลเบสดังสมการท่ี (2-45)Gc (s) = [I − Q(s)Gm (s)]−1Q(s) (2-45) โดยท่ีตัวควบคุมปอนกลับของวงรอบเอาตพุตที่ i (Gci ) ที่ทําใหเอาตพุตของวงรอบท่ี iเปน ไปตามตอ งการคอื( )( )( ) ( )Gci= Qi = Piim s −1 (2-46) 1 − GiiQi λis + 1 ri − PiiA s เนื่องจากเทากับ PiiA(0) = 1 ทําให Denominator จากสมการท่ี (2-46) มีซีโรท่ีจุดกําเนิดและสามารถเขียนในเทอมของอินทิกรลั ไดดงั สมการท่ี (2-47)

35 Gci = 1 f i (s ) (2-47) sโดยท่ี ( )fi (s) = ( )s Piim s −1 (s) (2-48) (λi s + 1)r − PiiA ทําการกระจาย (Expanding) ตัวควบคุม Gci ในสมการท่ี (2-47) ดวย Maclaulin Seriesในโดเมน s จะได Gci = 1 ⎛⎜ f i (0) + f i′(0)s + fi′′(0) s 2 +L ⎟⎞ (2-49) s ⎝ ⎠ 2 ผลจากการกระจายพบวาตัวควบคุมประกอบไปดวย “Infinite number of high order sterms” กับ Integral term, ⎛⎜ 1 ⎟⎞ เม่ือทําการพิจารณา 3 เทอมแรกจะพบวาสอดคลองกับ ⎝s⎠Integral Term, Proportional Term และ Derivative Term ของตวั ควบคุมพีไอดี Gci (s) = K Pi ⎛⎜⎝⎜1 + 1 + TDi s ⎟⎟⎠⎞ (2-50) TIi s ดังน้ันเน่ืองจากตัวควบคุมท่ีไดจากสมการที่ (2-49) เทากับตัวควบคุมที่ไดจากสมการท่ี(2-50) ซึ่งในทางปฏิบัติแลวเปนไปไมไดท่ีจะพิจารณา “Infinite number of high order ofderivative term” ในสมการท่ี (2-49) แตเน่ืองจากในการควบคุมจริงท่ีชวงความถี่ต่ํากับความถ่ีปานกลาง (Low and Middle Frequencies) มีความสําคัญกวาท่ีความถ่ีสูงมากกวา และสวนใหญเพียงแค 3 เทอมแรกของสมการท่ี (2-49) ก็เพียงพอแลวที่จะทําใหประสิทธิภาพของระบบปอ นกลบั เปนไปตามตองการ ดังน้ันเม่ือทําการประมาณการตัวควบคุมในสมการท่ี (2-50) ดวย3 เทอม แรกของซึ่งไดแก 1 , 1 และ s โดยตัดเทอมอันดับสูงอ่ืนออกไปโดยเทียบกับสมการ sพีไอดีมาตรฐานในสมการที่ (2-50) จะได K Pi = f ′(0),TIi = f ′(0) = f ′′(0) (2-51) f (0) ,TDi 2f (0) เราสามารถหาพารามเิ ตอรของสมการที่ (2-51) ไดโดยกาํ หนดให

Di (0) = (λi s + 1)r − PiiA (s) 36 (2-52) s แลวทําการกระจาย ดวย Maclaulin Series จะได Di (0) = riλi − PiiA′ (0) (2-53) Di′ (0) = ri (ri −1)λi2 − PiiA″ (0) (2-54) 2 Di ″ (0) = ri (ri − 1)(ri − 2)λ3i − Pii′′′(0) (2-55) 3 จากสมการท่ี (2-52) ถึง (2-55) นําไปหาฟงคชัน f (0), f ′(0), f ′′(0) ไดดวยความสัมพนั ธด ังน้ี (2-56) f (0) = 1 K P D(0) − ⎝⎜⎛ Piim′ (0)D(0) + K P D′(0)⎟⎞⎠ (2-57) (K P D(0))2 f ′(0) = f ′′(0) = f ⎡ Piim ″ (0)D(0) + 2Piim′D′(0) + K P D′′(0) + 2f ′(0)⎥⎤ (2-58) Piim′ (0)D(0) + K P D′(0) f (0) ⎥ ′(0)⎢ ⎦ ⎢ ⎣โดยท่ี K P = Piim (0) (2-59) จากสมการท่ี (2-45) และ (2-59) ชวยใหเราสามารถออกแบบตัวควบคุมของแตละวงรอบเอาตพ ตุ ไดท ้ังหมด

บทท่ี 3 การดําเนินการวิจยั ในบทนี้จะกลาวถึงรายละเอียดอุปกรณและสวนประกอบของกระบวนการ, รายละเอียดของโปรแกรมที่เขียนข้ึนมาเพ่ือใชในการควบคุมกระบวนการ, ข้ันตอนการทํางานของกระบวนการควบคุมระดับน้าํ แบบ 4 ถงั และ ขัน้ ตอนการออกแบบตวั ควบคุมโมเดลเบสพีไอดี3.1 รายละเอยี ดอปุ กรณและสวนประกอบของกระบวนการ กระบวนการควบคุมระดับน้ําแบบ 4 ถัง จะประกอบดวยอุปกรณหลายชนิดประกอบเขาดว ยกนั โดยจะแบงออกเปนสว นใหญๆ ไดแ ก 1. กระบวนการถงั นาํ้ แบบ 4 ถัง 2. อปุ กรณวดั ระดบั นาํ้ 3. คอมพิวเตอร 4. ชุดปม น้ํา 3.1.1 อปุ กรณทใี่ ชใ นการทดลอง 3.1.1.1 กระบวนการถังนํ้าแบบ 4 ถัง ประกอบไปดวย ช้ันวางอุปกรณ, ถังบรรจุวาลว 3 ทาง (3 Way Valve), สายยาง (Hose) และ ภาชนะกักเก็บน้ํา (Reservoir) ภาพท่ี 3-1 กระบวนการระดบั นํ้าแบบ 4 ถัง

38 3.1.1.2 คอมพิวเตอรโนตบุค (Computer Notebook) ทําหนาท่ีในการรับและสงขอมูลจากดาตาแอคควิสชันการด (DAQCard) โดยจะนําขอมูลที่ไดมาประมวลผลเพื่อสรางสญั ญาณควบคมุ ใหแกระบบ ภาพท่ี 3-2 คอมพิวเตอรโ นตบุค 3.1.1.3 อุปกรณรับสงขอมูล (Data Aquistion Card) โดยจะทําหนาท่ีในการรับสัญญาณแบบอะนาลอกจากตัวตรวจรู (Sensor) ของถังบรรจุที่ 1 และถังบรรจุท่ี 2 แลวทําการแปลงใหเปนสัญญาณดิจิตอล เพ่ือสงใหคอมพิวเตอรทําการประมวลผลในการสรางสัญญาณควบคุม จากน้ันจะทําหนาที่ในการแปลงสัญญาณควบคุมซึ่งอยูในรูปแบบดิจิตอลใหเปนสญั ญาณ PWM เพ่ือสงใหกับวงจรขยายกระแสไฟฟากระแสตรงท้ังสอง โดยอุปกรณรับสงขอมูลที่ใชเ ปน ของบรษิ ทั เนชันแนลอนิ สตรูเมนต รนุ NI DAQCard-6024E ภาพที่ 3-3 ดาตา แอคควิสชนั การด NI DAQCard-6024E แบบ PCMCIA

39 3.1.1.4 Terminal Board โดยจะทาํ หนา ทเ่ี ปนจดุ เชอื่ มตอระหวางดาตาแอคควิสชันการด ที่ติดตั้งที่คอมพิวเตอรโนตบุค กับอุปกรณทํางานเพื่อใหสามารถท่ีจะทําการส่ังงานอปุ กรณท าํ งานเพอ่ื ใหสามารถท่ีจะทําการสงั่ งานอปุ กรณเ ชอ่ื มตอตางๆได ภาพท่ี 3-4 Terminal Board 3.1.1.5 วงจรขยายกระแสไฟฟากระแสตรง (Power Amplifier) ทําหนาที่ในการรับสัญญาณควบคุมที่เปนสัญญาณ PWM จากดาตาแอคควิสช่ันการดแลวขยายขนาดสัญญาณกระแสไฟฟาใหมากขึ้น เพื่อจายใหกับปมน้ําทั้งสอง ตัววงจรใชตองการแหลงจายไฟ 2 ชุด คือแหลงจายไฟ 5 Vdc สําหรับไอซี และแหลงจายไฟ 24 Vdc สําหรับใชในการขยายกระแสไฟฟาและใช Opto เปนตัวแยกกราวนระหวางแหลงจายทั้งสองชุด ปองกันความเสียหายของอุปกรณบนบอรด ภาพท่ี 3-5 วงจรขยายกระแสไฟฟากระแสตรง (Power Amplifier)

40 3.1.1.6 อุปกรณวัดระดับน้ํา (Sensor) สําหรับเซนเซอรที่ใชในการวัดระดับนํ้าเปนเซ็นเซอรตรวจจับระยะทางดวยแสงอินฟราเรด สามารถวัดระยะทาง ไดถูกตองในชวง3 - 40 เซนติเมตรโดยใหผลการตรวจจับเปนแรงดันไฟตรง ในยาน 0.4 - 2.4 V ตัวเซนเซอรประกอบดวยตัวสง และตัวรับอินฟราเรด ที่ติดตั้งภายใตตัวถังเดียวกัน โดยมีการทํางานคือ ตัวสงอินฟราเรดจะขับแสงอินฟราเรดจากตัวสงไปกระทบวัตถุผานเลนสนูนเพ่ือโฟกัสแสงใหมีความเขมแสงไปยังจุดใดจุดหนึ่ง เมื่อแสงไปกระทบวัตถุจะเกิดการกระเจิงของแสงไปในทิศทางตางๆแสงสวนหนึ่งจะกระเจิงไปยังภาครับ โดยมีเลนสภาครับทําหนาที่รวมแสงและกําหนดจุดตกกระทบแสงจะถูกสงผานไปยังโฟโตทรานซิสเตอรจํานวนมากที่ตอเรียงกันเปนอารเรยตําแหนงท่ีแสงตกกระทบน้ีสามารถนํามาคํานวณหาระยะทาง(L)จากภาคสงไปยังวัตถุไดโดยใชสตู รหาสามเหล่ยี มคลา ยดังนี้ L=F (3-1) AXดงั น้นั คา L จะมคี าเทา กับ L = FxA (3-2) X โดยคาท่ีวัดระยะทางไดจากโฟโตทรานซิสเตอรจะถูกสงไปยังวงจรประมวลผลสัญญาณกอนจะเปล่ียนคาเปนระดับแรงดันไฟฟา ซึ่งใหผลการเปล่ียนแปลงแรงดันตามระยะทางท่ีตรวจวดั ได จากนนั้ จงึ สงสญั ญาณอะนาลอกใหก บั อุปกรณร ับสง ขอ มูลตอไปภาพที่ 3-6 เซนเซอรต รวจวัดระยะทางดว ยแสงอินฟราเรด

41 ภาพท่ี 3-7 หนา ตา การจัดขา และรปู แบบการทาํ งานของเซนเซอร 3.1.1.7 ปมนํ้าไฟฟากระแสตรง(Dc Water Pump) ใชไฟฟากระแสตรง แรงดันสงู สุดขนาด 24 V โดยมีอัตราการหมุนสูงสดุ 6500 รอบตอ นาที ภาพที่ 3-8 ปม น้ําไฟฟา กระแสตรง (Dc Water Pump) 3.1.1.8 แหลงจายไฟฟากระแสตรง 24 V (24 V DC Supply) ภาพท่ี 3-9 แหลง จา ยไฟฟากระแสตรง 24 V