CHAP1_09121015_1

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -50 รูปภำพที่ 1.36 จากแผนภาพลาต้นและใบจะพบว่าการแจกแจงของข้อมลู แจกแจงแบบปกติExpected Cum Prob 10. Normal Probability Plot เน่ืองจำกกำรอำ้ งอิงทำงสถติ ิถงึ ลกั ษณะทสี่ ำคญั ของประชำกร มีเง่ือนไขวำ่ กำรแจกแจงของขอ้ มูล ตอ้ งเป็นแบบปกติ Normal Probability Plot เป็นวธิ ีกำรสร้ำงกรำฟวธิ ีหน่ึงท่ีใชใ้ นกำรตรวจสอบว่ำขอ้ มูลมีกำรแจกแจงปกติหรือไม่ Normal Probability Plot เป็นกรำฟท่ีพลอ็ ตค่ำของขอ้ มลู จริงท่ีเกิดข้นึ กบัค่ำที่คำดไว้ (Expected Value) เมอ่ื ขอ้ มลู มีกำรแจกแจงแบบปกติ ถำ้ ขอ้ มูลตวั อยำ่ งสุ่มมำจำกประชำกรที่มีกำรแจกแจงแบบปกติแลว้ ค่ำที่คำดไวจ้ ะเป็นเสน้ ตรง ดงั น้นั ถำ้ ขอ้ มลู ตวั อยำ่ งมำจำกประชำกรท่ีมกี ำรแจกแจงแบบปกติ ค่ำจริงจะอยรู่ อบ ๆ เสน้ ตรงน้นั ดงั แสดงในรูปภำพท่ี 1.37 และ 1.38 Normal P-P Plot of SIM 1.00 .75 .50 .25 0.00 0.00 .25 .50 .75 1.00 Observed Cum Prob รูปภาพท่ี 1.37 Normal Probability Plotสาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -51 Detrended Normal P-P Plot of SIM .1 0.0 -.1Deviation from Normal -.2 0.0 .2 .4 .6 .8 1.0 Observed Cum Prob รูปภาพท่ี 1.38 Normal Probability Plot จำกรูปภำพท่ี 1.37 จะพบวำ่ ค่ำของขอ้ มลู ส่วนใหญ่จะอยรู่ อบ ๆ เสน้ ตรง (เหนือหรือใตเ้ สน้ ตรง)ค่ำท่ีอยเู่ หนือเสน้ ตรงแสดงว่ำค่ำจริงมำกกว่ำค่ำที่คำดไว้ เม่ือประชำกรมกี ำรแจกแจงแบบปกติ ส่วนค่ำที่อยใู่ ต้เสน้ ตรง คือ ค่ำของขอ้ มูลที่นอ้ ยกวำ่ ค่ำที่คำดไวเ้ มอ่ื ประชำกรมกี ำรแจกแจงแบบปกติ จำกรูปที่ 1.38 จะพบว่ำขอ้ มูลส่วนใหญ่จะมีค่ำใกลเ้ คียงกบั ค่ำขอ้ มลู ที่มกี ำรแจกแจงแบบปกติ แต่จะพบวำ่ ค่ำจริงที่อยเู่ หนือและใตเ้ สน้เป็นไปอยำ่ งมรี ูปแบบนนั่ คือ ชว่ งแรก (ขอ้ มูลอยใู่ นช่วง 10–30) ค่ำจริงจะอยใู่ ตเ้ สน้ ช่วงถดั มำ (ขอ้ มลู อยู่ในช่วงประมำณ 50-65) ค่ำจริงจะอยเู่ หนือเสน้ จึงสรุปวำ่ ขอ้ มูลมีกำรแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ นน่ั คืออำจจะเบเ้ ลก็ 11. กราฟแผนภาพการกระจาย (scattering) เป็นแผนภำพท่ีแสดงควำมสมั พนั ธข์ องขอ้ มูลสองตวั แปรว่ำ มคี วำมสมั พนั ธใ์ นระดบั ใด และสมั พนั ธก์ นั ในทำงทิศใด ดงั ตำรำงท่ี 1.10ตารางที่ 1.10 สมมติว่ำมขี อ้ มูลชุดหน่ึงเป็นขอ้ มลู รำคำเฉลีย่ ของหุน้ ในแต่ละเดือน ของบริษทั ก และบริษทั ขกำรเขียนกรำฟมจี ุดม่งุ หมำยที่ตอ้ งกำรเปรียบเทียบคู่ขอ้ มลู ระหวำ่ งเดือนเดียวกนั เช่น เดือน หุ้นบริษทั ก. หุ้นบริษทั ข. 1 14 13 2 12 14 3 22 14 4 15 14 5 10 15 6 12 12 7 18 15 8 25 15 9 20 15 สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -52กรำฟแบบ Scatter ซ่ึงใหแ้ กน x แทนรำคำหุน้ ของบริษทั ก และแกน y แทนรำคำหุน้ ของบริษทั ข จดุ ท่ีเขียนไดจ้ ึงเป็นจุดของคู่อนั ดบั ของรำคำหุน้ บริษทั ก และรำคำหุน้ ของบริษทั ข ซ่ึงทุกจุดเป็นส่ิงท่ีจะเปรียบเทียบกนั ได้ ดงั รูปภาพท่ี 1.39ราคาหุ้นบริษ ัท ข 15.5 15 10 12 14 16 18 20 22 24 14.5 ราคาหนุ้ บรษิ ทั ก 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 8กรำฟแบบ Scatter ซ่ึงใหแ้ กน x แทนจำนวนปีกำรทำงำน และแกน y แทนรำยได้ จุดท่ีเขียนไดจ้ ึงเป็นจดุของคู่อนั ดบั ของจำนวนปี กำรทำงำน และรำยได้ ซ่ึงทุกจดุ เป็นสิ่งที่จะเปรียบเทียบกนั ได้ ดงั รูปภาพที่ 1.40 12. กราฟ HI –LO กำรลงทุนในตลำดหลกั ทรัพย์ รำคำของหุน้ ท่ีมีกำรซ้ือขำยกนั เปล่ียนแปลงไดต้ ลอดเวลำตำมสภำพควำมตอ้ งกำรของผูซ้ ้ือและผูข้ ำย รำคำหุ้นของแต่ละบริษทั จึงเคล่ือนไหวได้ หำกพิจำรณำตวั เลขที่ประกำศบนหน้ำหนังสือพิมพ์ มกั จะเห็นรำคำที่เวลำใดเวลำหน่ึง เช่น รำคำเม่ือเวลำปิ ดตลำด หรือที่เรำเรียกว่ำรำคำปิ ด บำงคร้ังกบ็ อกเวลำเมอ่ื เวลำเปิ ดตลำด ในระหว่ำงวนั จะมีกำรเคลื่อนไหวของรำคำซ่ึงทำใหม้ ีสาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -53รำคำสูงสุด และรำคำต่ำสุดในแต่ละวนั สมมติว่ำ เรำมีบนั ทึกรำคำหุน้ ของบริษทั ก. ท่ีมีกำรซ้ือขำยผำ่ นตลำดหลกั ทรัพย์ กำรบนั ทึกแต่ละวนั มกี ำรบอกรำคำสูงสุดและรำคำต่ำสุดในวนั น้นั ขอ้ มูลท่ีไดเ้ ป็นดงั น้ี วนั ที่ รำคำต่ำสุด รำคำสูงสุด 1 51 62 2 55 60 3 52 55 4 55 58 5 60 63 6 62 68 7 65 70 8 70 75 9 73 80 10 71 78 HI VALUE80 LO VALUE757065605550 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Case Number รูปภาพท่ี 1.41 ราคาหุ้นของบริษทั ก.กำรเขียนกรำฟในลกั ษณะกำหนดจุดสูงสุด และต่ำสุด ทำใหเ้ รำเขำ้ ใจขอบเขตของขอ้ มลู ที่มกี ำรซ้ือในแต่ละวนั ไดด้ ีสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -541.12 การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution)กำรแจกแจงควำมถี่ (Frequency Distribution) มกั จะกระทำกนั เมื่อมีขอ้ มลู ท่ีซ้ำกนั หรือมีขอ้ มลู เป็นจำนวนมำก โดยกำรนำขอ้ มูลท่ีเก็บรวบรวมมำได้ ซ่ึงขอ้ มลู น้ีเรำเรียกว่ำ ขอ้ มลู ดิบ(Raw data) และขอ้ มลู ดิบที่มีตวั เลขแต่ละตวั น้นั เรียกวำ่ คะแนน (Score) แลว้ นำมำจดั ระเบียบเสียใหม่ เพรำะจะช่วยประหยดั เวลำและสรุปผลไดช้ ดั เจนและรัดกมุ มำกข้ึน อีกท้งั เพ่อื ควำมสะดวกในกำรวิเครำะห์ขอ้ มลู และเหมำะสมท่ีจะนำไปใช้การแจกแจงความถ่ีมี 2 วธิ ี คือ1. กำรแจกแจงควำมถี่แบบไมเ่ ป็นกลุ่ม(Ungrouped Frequency Distribution)2. กำรแจกแจงควำมถี่แบบเป็นกลุ่ม (Grouped Frequency Distribution)1.12.1 การแจกแจงความถ่ีแบบไม่เป็ นกลุ่ม (Ungrouped Frequency Distribution) กำรแจกแจงควำมถี่แบบไม่เป็นกลมุ่ เป็นกำรนำขอ้ มูลมำเรียงจำกนอ้ ยไปหำมำก หรือจำกมำกไปหำนอ้ ย แลว้ พิจำรณำวำ่ขอ้ มลู ท่ีมคี ่ำซ้ำมำกนอ้ ยเพียงใด สำหรับค่ำใดท่ีไม่อยใู่ นขอ้ มลู กไ็ ม่ตอ้ งบนั ทึกค่ำน้นั ส่วนค่ำท่ีซ้ำกนั บนั ทกึ ในรูปควำมถ่ี ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี ั ย่ 1.6 จำนวนคนงำนตอ่ วนั ในโรงงำน 20 แหง่ มดี งั นี ้82 87 83 85 88 86 82 87 88 84 85 89 86 8485 86 90 85 83 89 วิธีกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่แบบไมเ่ ป็นกลมุ่ มีขนั้ ตอนดงั นี ้ 1. เรียงข้ มลู ากน้ ย ปหามากหรื ากมาก ปหาน้ ยก็ ้ ในที่น้ี ะเรียง ากมาก ปหาน้ ย ก็ ะเริ่ม าก 90,89,88,..., 82 2. หาร ยคะแนน (tally) ข งข้ มลู คาหน่ึง ๆ มี านวนเทาใ โ ยขี ( / ) ในช งร ยคะแนนแลว้ นบั ร ยคะแนนน้นั เ ่ื บนั ทึกเป็นตวั เลขในช งความถี่ จำนวนคนงำนต่อ ร ยคะแนน ความถี่ วนั (tally) 90 / 1 89 // 2 88 // 2 87 // 2 86 /// 3 85 //// 4 84 // 2 83 // 2 82 // 2 รวม N=20การแ กแ งความถแี่ บบ มเป็นกลุมน้ี เหมาะกบั ข้ มูล านวนน้ ย ถา้ มขี ้ มลู านวนมาก มสะ วกเสียเวลามาก ควรใชก้ ารแ กแ งความถีแ่ บบเป็นกลมุสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -55 1.12.2 จ จ ม ่ี บบเป็ ลุ่ม (Grouped Frequency Distribution) การแ กแ งความถีแ่ บบเป็นกลุม เป็นการ ั เรียงข้ มูลในแตละช้นั เป็นหมวดหมู่ มขี ้ มลู หลายคาโ ย ั เป็นกลุมหรื หมู เป็นวธิ ีท่ีเหมำะสมสำหรับขอ้ มลู ท่ีมีจำนวนมำกๆ ขอ้ มลู ท่ีถูกจดั ระเบียบโดยวธิ ีน้ีเรียกวำ่ ขอ้ มลู ที่เป็นหมวดหมู่ (Grouped Data) แบบของกำรแจกแจงควำมถีข่ องขอ้ มลู มีไดห้ ลำยแบบดงั น้ี1.12.2.1 การแจกแจงความถ่ีในรูปของตารางแจกแจงความถ่ี 1. กำรแจกแจงควำมถใี่ นรูปของตำรำงแจกแจงควำมถ่สี ะสม 2. กำรแจกแจงควำมถี่ในรูปของตำรำงแจกแจงควำมถ่สี มั พทั ธ์ 3. กำรแจกแจงควำมถใ่ี นรูปของแผนภูมหิ รือกรำฟซ่ึงมกี ำรสร้ำงแผนภูมิหรือกรำฟได้ หลำยแบบดงั น้ี ก. ฮิสโตแกรม(Histogram) ข. รูปหลำยเหลี่ยมแห่งควำมถ่ี(Frequency Polygon) ค. โคง้ ควำมถ(่ี Frequency Curve) ง. โคง้ ควำมถีส่ ะสม (Cumulative Frequency Curve)1.12.2.2 กำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่ี (Construction of Frequency Table)จะทำไดโ้ ดยแบ่งช่วงควำมกวำ้ งของขอ้ มลู ออกเป็นช่วงส้นั ๆ และแสดงจำนวนขอ้ มลู ที่มีค่ำตกในแต่ละชว่ งส้นั ๆ น้นั จำนวนขอ้ มูลในแต่ละช่วงเรียกวำ่ ควำมถ่ี (Frequency: f ) จำนวนช่วงส้นั ๆ ของขอ้ มูลที่ถกู แบ่งเรียกวำ่ จำนวนช้นั(Class: k ) และช่วงกวำ้ งของขอ้ มูลในแต่ละช้นั เรียกวำ่ อนั ตรภำคช้นั (Class Interval : I)ในกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ควรจะมจี ำนวนช้นั ไม่มำกหรือนอ้ ย จนเกนิ ไป จำนวนช้นั ควรจะอยรู่ ะหวำ่ ง 6 ถึง 15 ช้นั และเพอื่ สะดวกต่อกำรวิเครำะห์ขอ้ มลู อนั ตรภำคช้นั ของแต่ละช้นั ควรจะมีค่ำเท่ำกนั หมดทกุ ช้นั อยำ่ งไรกต็ ำมมีขอ้ มูลบำงชุดจำเป็นตอ้ งจดั ระเบียบ โดยกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ในลกั ษณะที่มีอนั ตรภำคช้นั ของแต่ละช้นั ไม่เท่ำกนัวธิ ีการดาเนนิ สร้างตารางแจกแจงความถมี่ ขี ้ันตอนดังนี้1) หำค่ำพิสยั (Range) เท่ำกบั ค่ำสูงสุดของขอ้ มูล - ค่ำต่ำสุดของขอ้ มลู2) กำหนดจำนวนช้นั ของขอ้ มูลในตำรำง โดยทวั่ ไปมกั จะกำหนดให้ จำนวนช้นั เป็น 6-15 ช้นัโดยประมำณ หรือคำนวณจำกสูตร Sturges k= 1+ log10 N = 1+3.332log N log10 2เช่น N=50 เมอื่ แทนค่ำจะไดเ้ ท่ำกบั k= 1+ log10 50 1 5.6438  6.6438  7 log10 2 3) กำหนดค่ำอนั ตรภำคช้นั (I) โดยประมำณ จำกสูตร อนั ตรภำคช้นั (I) = ค่ำพิสยั (Range) จำนวนช้นั (k)สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -56ถำ้ ผลลพั ธข์ องควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั เป็นจำนวนท่ีมที ศนิยม ตอ้ งปัดเป็นจำนวนเตม็ เสมอ ถงึ แมว้ ่ำจะนอ้ ยกว่ำ 0.5 ก็ตำม เช่น 6.4 ใหป้ ัดเป็น 7 โดยประมำณเป็นตน้ แต่ถำ้ ผลลพั ธไ์ ดเ้ ป็นจำนวนเต็มใหบ้ วกดว้ ยเลข 1 เช่น คำนวณจำนวนช้นั ตำมสูตรไดเ้ ท่ำกบั 8 ใหบ้ วกเป็น94) เขียนช้นั ของขอ้ มูลโดยเริ่มจำกช้นั ของขอ้ มลู ต่ำสุดไปหำสูงสุด หรือช้นั ของขอ้ มูลสูงสุดไปหำต่ำสุดก็ได้ โดยทุก ๆ ช้นั มคี วำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั เท่ำกนั5) หาขี ากั ลางข งช้นั แรก แลว้ แตความเหมาะสม โ ยท่ีขี ากั ลาง (Lower Limit) คื ข้ มูลที่มคี าต่าสุ ในแตละช้นั แต ยาง รก็ตามขี ากั ข งช้นั แรกต้ งคร บคลมุ คาต่าสุ ข งข้ มลู สวนขี ากับน(Upper Limit) คื ข้ มูลที่มีคาสูงสุ ในแตละช้นั ห ไ จ ขี ากั ลาง+(ความกวา้ งข ง นั ตรภาคช้นั -1) 6) พิจำรณำค่ำของขอ้ มูลว่ำจะตกอยใู่ นช้นั ใดเป็นจำนวนก่ีค่ำโดยทำรอยขีด (Tally Mark) แลว้ นบัจำนวนรอยขีดซ่ึงจะเป็นควำมถ่ี(Frequency) ในช้นั น้นั ๆ ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ีตวั อย่างท่ี 1.7 ขอ้ มลู แสดงอำยกุ ำรทำงำนของอำจำรย์ คณะวทิ ยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวิทยำลยัเทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี จำนวน 50 คน ดงั น้ี 19 24 30 14 31 12 29 26 23 23 20 25 17 22 28 12 27 19 26 25 30 15 19 19 23 22 21 27 16 26 26 28 21 17 13 17 24 21 20 20 25 21 23 24 21 18 18 15 21 16นำขอ้ มลู มำสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่ โดยมขี ้นั ตอน ดงั น้ี 1) หำพสิ ยั (Range) ไดเ้ ท่ำกบั 31-12 = 19 2) หำจำนวนช้นั จำกสูตร N=50 เม่ือแทนค่ำจะไดเ้ ท่ำกบั k= 1+ log10 50  1 5.6438  6.6438  7 ช้นั log10 2 3) หำค่ำอนั ตรภำคช้นั (I) โดยประมำณ จำกสูตร อนั ตรภำคช้นั (I) = ค่ำพิสยั (Range) จำนวนช้นั (k) = 19  2.7142  3 7 4) จดั เรียงช้นั ของตำรำงและทำรอยขีดนบั จำนวนขอ้ มูลท่ีมคี ่ำอยใู่ นช้นั ต่ำงๆไดต้ ำม ตำรำงที่ 1.11ตารางที่ 1.11 ตำรำงแจกแจงควำมถข่ี องอำยกุ ำรทำงำนของอำจำรย์ คณะวทิ ยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวทิ ยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี จำนวน 50 คนสาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -57 อำยกุ ำรทำงำน (ปี ) รอยขีด ควำมถี่ (f) 12 – 14 //// 4 15 – 17 ///// // 7 18 – 20 ///// //// 9 21 – 23 ///// ///// // 12 24 – 26 ///// ///// 10 27 – 29 ///// 5 30 – 32 /// 3 N = 50 ความหมายของข้อความต่าง ๆ ในตารางแจกแจงความถ่ี 1) ควำมถ่ี (frequency) หมำยถงึ จำนวนขอ้ มูลท่ีมีค่ำอยใู่ นช้นั น้นั ๆ 2) ขีดจำกดั ช้นั (Class Limit) หมำยถึง ตวั เลขท่ีเขียนปรำกฏไวใ้ นแต่ละช้นั เพอื่ ใหท้ รำบว่ำค่ำของขอ้ มลู แต่ละช้นั มขี อบเขตเท่ำใดตวั เลขท่ีมคี ่ำนอ้ ยของแต่ละช้นั เรียกว่ำขีดจำกดั ล่ำงของช้นั (LowerClass Limit)และตวั เลขที่มีค่ำมำกของแต่ละช้นั เรียกว่ำ ขีดจำกดั บนของช้นั (Upper Class Limit) 3) ขีดจำกดั ช้นั จริงหรือขอบเขตช้นั (Real or True Class Limit or Class Boundary) หมำยถึง ตวัเลขที่แสดงขอบเขตจำกดั ช้นั จริงในแต่ละช้นั วธิ ีการคานวณขอบเขตล่างและบนของช้ัน โดยเอำขีดจำกดัลำ่ งลบลงไป ขีดจำกดั บนบวกเพิม่ ข้ึนกบั ลกั ษณะของค่ำขอ้ มลู ดงั ตำรำงจำนวน ขอบเขตล่ำง ขอบเขตบนเตม็ - 0.5 + 0.5ทศนิยม 1 ตำแหน่ง - 0.05 + 0.05ทศนิยม 2 ตำแหน่ง - 0.005 + 0.005ทศนิยม 3 ตำแหน่ง -0.0005 + 0.0005จากตารางท่ี 1.11 ตำรำงแจกแจงควำมถข่ี องอำยกุ ำรทำงำนของอำจำรย์ คณะวทิ ยำศำสตร์แทคโนโลยี ในมหำวทิ ยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี จำนวน 50 คน หำขอบเขตล่ำงของช้นั (Lower Class Boundary)และขอบเขตบนของช้นั (Upper Class Boundary) ไดด้ งั น้ีสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 ขดี จำกดั บนของช้นั ขอบเขต ขอบเขต หนา้ ท่ี 1 -58 (Upper Class Limit) ลำ่ ง บน อำยกุ ำรทำงำน ขีดจำกดั ลำ่ งของช้นั จุดก่งึ กลำงช้นั (ปี ) (Lower Class Limit) (Mid Point)12 – 14 12 14 11.5 14.5 1315 – 17 15 17 14.5 17.5 1618 – 20 18 20 17.5 20.5 1921 – 23 21 23 20.5 23.5 2224 – 26 24 26 23.5 26.5 2527 – 29 27 29 26.5 29.5 2830 – 32 30 32 29.5 32.5 31หมายเหตุ : ขอบเขตช้นั (Class Boundary) เรียกอยำ่ งหน่ึงวำ่ ขีดจำกดั ช้นั แทจ้ ริง (Real Limit) ดงั ตำรำงขำ้ งบน4) จุดก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) หมำยถึง ค่ำท่ีใชเ้ ป็นตวั แทนของช้นั ใดช้นั หน่ึงซ่ึงหำไดจ้ ำกกำรเอำขีดจำกดั ล่ำงบวกกบั ขีดจำกดั บนแลว้ หำรดว้ ยสอง ดงั น้นั จะไดว้ ่ำ จุดก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) = (ขดี จำกดั ช้นั ลำ่ ง + ขดี จำกดั ช้นั บน)/2หรือ จุดก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) = (ขอบเขตล่ำง + ขอบเขตบน) / 2จำกจดุ ก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) สำมำรถนำมำหำขีดจำกดั ทีแ่ ทจ้ ริงหรือขอบเขตช้นั (Real Limit or ClassBoundary) โดยท่ี ขีดจำกดั บนทีแ่ ทจ้ ริงหรือขอบเขตบน จุดก่งึ กลำงช้นั ควำมกวำ้ งของอตั รภำคช้นั () ขีดจำกดั ล่ำงที่แทจ้ ริงหรือขอบเขตล่ำง จุดก่งึ กลำงช้นั ควำมกวำ้ งของอตั รภำคช้นั () 5) อนั ตรภำคช้นั หมำยถึง ควำมกวำ้ งของแต่ละช้นั หำไดจ้ ำกผลต่ำงระหว่ำงขอบเขตบนและขอบเขตลำ่ งของแต่ละช้นั หรือผลต่ำงระหวำ่ งจุดก่ึงกลำงระหว่ำงช้นั ทตี่ ่อเน่ืองกนั หรือผลต่ำงระหวำ่ งขีดจำกดั ล่ำงระหวำ่ งช้นั ท่ีต่อเนื่องกนั หรือผลต่ำงระหวำ่ งขีดจำกดั บนระหว่ำงช้นั ที่ต่อเนื่องกนั หรือภำยในช้นัเดียวกนั ไดด้ งั น้ี จำนวน อนั ตรภำคช้นั เต็ม (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ลำ่ ง)+1 ทศนิยม 1 ตำแหน่ง (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ล่ำง)+0.1 ทศนิยม 2 ตำแหน่ง (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ลำ่ ง)+0.01 ทศนิยม 3 ตำแหน่ง (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ลำ่ ง)+0.001สาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -591.12.3 กำรแจกแจงควำมถส่ี มั พทั ธ์ (Relative Frequency Distribution)ควำมถ่สี มั พทั ธข์ องช้นั ใด หมำยถงึ สดั ส่วนระหวำ่ งควำมถี่ของช้นั น้นั กบั ควำมถท่ี ้งั หมด ถำ้เอำควำมถ่สี มั พทั ธค์ ูณดว้ ย 100 จะเรียกว่ำ ร้อยละของควำมถ่สี มั พทั ธ์ โดยท่ีผลบวกค่ำควำมถ่ีสมั พทั ธข์ องทุกช้นั จะมคี ่ำเท่ำกบั 1 และผลบวกของร้อยละของควำมถ่สี มั พทั ธม์ ีค่ำเท่ำกบั 100 ตำรำงแจกแจงควำมถี่สมั พทั ธ์(Relative Frequency Distribution Table) เป็นตำรำงที่จำแนกขอ้ มูลตำมลกั ษณะต่ำงๆของขอ้ มูล ในรูปร้อยละของควำมถี่ที่ตกอยใู่ นแต่ละระดบั ตวั แปรในตำรำงแจกแจงควำมถี่ กำรแจกแจงควำมถ่ีสมั พทั ธม์ วี ตั ถปุ ระสงค์เพือ่ เปรียบเทียบควำมถข่ี องขอ้ มูลแต่ละช้นั วำ่ มมี ำกนอ้ ยเพียงใด เมอ่ื เทียบกบั ควำมถที่ ้งั หมด ใชค้ วำมถแ่ี ละร้อยละ เม่อื วดั ในระดบั นำมบญั ญตั ิหรือระดบั ที่สูงกว่ำ แต่นำมำจดั กลมุ่ ใหอ้ ยใู่ นระดบั นำมบญั ญตั ิ กำรช้ค่ำควำมถีแ่ ละร้อยละ เรำสำมำรถแปลผลในเชิงเปรียบเทียบกนั ขำ้ มกลมุ่ หรือขำ้ มตวั แปรท่ีวดั ไดเ้ พรำะมีฐำน100 เท่ำกนั นอกจำกน้นั เรำยงั สำมำรถหำควำมถส่ี มั พทั ธส์ ะสมไดท้ ำนองเดียวกบั ควำมถี่สะสม พจิ ำรณำขอ้ มลูจำกตวั อยำ่ งในตำรำงท่ี 1.12 ขำ้ งล่ำง เพื่อหำควำมถส่ี มั พทั ธไ์ ดด้ งั น้ี ตวั อยำ่ งท่ี 1.8 จำนวนและร้อยละของเคร่ืองรับวิทยกุ ระจำยเสียง จ เ ื่ ับ ยละ กรุงเท มหานคร 24,520 24.36 กลาง 5,350 5.32 เหนื ตะวนั กเฉียงเหนื 34,190 33.97 ใต้ 28,340 28.16 รวม 8,250 8.20 100650 100สาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -60 ตวั อยำ่ งท่ี 1.9 ร้อยละของผไู้ ม่มีงำนทำจำแนกตำมอำยแุ ละเพศ ดงั ตำรำงท่ี 1.13 ตารางท่ี 1.13 ร้อยละของผไู้ ม่มงี ำนทำจำแนกตำมอำยแุ ละเพศอายุ (ปี ) ชาย หญิง11-14 3.6 4.415-19 28.7 28.920-24 33.8 39.525-29 14.5 10.230-34 5.8 7.235-39 7.1 3.5ต้งั แต่ 40 ข้ึนไป 6.5 6.3รวม 100 100 1.12.4 การแจแจงความถ่สี ะสม (Cumulative Frequency Distribution) ควำมถสี่ ะสมของช้นั ใด หมำยถึง ค่ำแสดงกำรสะสมควำมถ่ีของช้นั น้นั ๆกบั ควำมถข่ี องช้นัอนื่ ๆที่มีค่ำของช้นั นอ้ ยกวำ่ หรือมคี ่ำของช้นั มำกกว่ำ ซ่ึงควำมถี่สะสมนบั ควำมถ่จี ำกช้นั ท่ีมคี ่ำนอ้ ยไปหำค่ำมำกหรือจำกช้นั ท่ีมคี ่ำมำกไปหำค่ำนอ้ ย มี 2 ประเภท ดงั นี ้1. ความถีส่ ะสมจากมากไปหาน้อย (More than cumulative frequency) โดยเริ่มจำกช้นั ขอ้ มลู มำกท่ีสุดไปยงั ช้นั ขอ้ มูลที่นอ้ ยกวำ่2. ความถส่ี ะสมจากน้อยไปหามาก (Less than cumulative frequency) โดยเร่ิมจำกช้นั ขอ้ มลู นอ้ ยที่สุดไปยงัช้นั ขอ้ มลู ท่ีมำกกวำ่พจิ ำรณำขอ้ มลู จำกตวั อยำ่ ง 1.14 สำมำรถหำควำมถ่สี ะสมไดด้ งั น้ีสาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -61ตวั อย่างท่ี 1.10 ค่ำใชจ้ ่ำยต่อวนั ของนกั เรียน จำนวน 50 คน ดงั น้ีค่าใช้จ่าย (บาท) จานวน (f) ความถ่สี ะสมแบบน้อยกว่า ความถี่สะสมแบบมากกว่า 68 – 72 2 2 50 73 – 77 2 4 48 78 – 82 2 6 46 83 – 87 4 10 44 88 – 92 5 15 40 93 – 97 7 22 35 98 – 102 4 26 28 103 –107 7 33 24 108 –112 9 42 17 113 –117 8 50 8 รวม 5 0และจำกตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ท่ีมขี ีดจำจดั ล่ำงและบน ควำมถ่ี ควำมถ่สี ะสมร้อยละควำมถสี่ มั พทั ธ์ และร้อยละสะสมสมั พทั ธ์ ดงั ตำรำงLower Upper Cumulative Cumulative RelativeClass Class Frequency FrequencyLimit Limit Frequency Frequency แบบมำกกว่ำ PerCent Cumulative แบบนอ้ ย Per Cent กวำ่25 30 1 1 32 3.12 3.12 31 12.48 15.6230 35 4 5 27 24.96 40.62 19 46.80 87.5035 40 8 13 4 9.36 96.88 1 3.12 100.0040 45 15 2845 50 3 3150 55 1 32 N=32 1001.11.5 กำรแจกแจงควำมถ่ีดว้ ยแผนภูมิหรือกรำฟ จะทำไดด้ งั น้ี 1) ฮิสโตแกรม(Histogram) เป็นกรำฟแท่งรูปสี่เหล่ียมวำงต่อเนื่องกนั สำหรับนำเสนอขอ้ มลูเชิงปริมำณ และต้งั อยบู่ นแกนนอนควำมสูงของแต่ละแท่ง แทนควำมถี่ของขอ้ มลู แต่ละช้นั ส่วนควำมกวำ้ งของแต่ละแท่งจะแทนขอบเขตของแต่ละช้นั ดูรูปภำพท่ี 1.42สาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -62 2) รูปหลำยเหลี่ยมแห่งควำมถ่ี (Frequency Polygon) เป็นกรำฟเสน้ ที่เกิดจำกกำรลำกเสน้ ตรงเชื่อมจุดก่ึงกลำงของฮิสโตแกรมแต่ละแท่ง ดูขอ้ มูลตำรำงและรูปภำพที่ 1.43สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -633) โคง้ ควำมถี่ (Frequency Curve) เป็นกรำฟท่ีเกิดจำกกำรปรับรูปหลำยเหล่ียมแห่งควำมถีใ่ หเ้ รียบโดยใหพ้ ้นื ที่ใตเ้ สน้ กรำฟที่ปรับใหม่ มีขนำดใกลเ้ คียงกบั พ้นื ที่ใตเ้ สน้ กรำฟของรูปหลำยเหลยี่ มแห่งควำมถ่ีดูรูปภำพที่ 1.44 รูปภำพท่ี 1.44 4) โค้งความถี่ (Frequency Curves) เป็นโคง้ ที่เกิดจำกกำรปรับเสน้ ของรูปหลำยเหล่ยี มแห่งควำมถ่ี ให้เรียบข้ึน โดยกำรปรับจะตอ้ งใหพ้ ้นื ท่ีภำยใตเ้ สน้ โคง้ ท่ีปรับใหม่ มีขนำดใกลเ้ คียงกบั พ้นื ท่ีของรูปหลำยเหลยี่ มแห่งควำมถ่ี โดยแบ่งออกเป็น 6 ชนิด คือ โค้งปกติ (Normal or Symmetrical Curve) เป็นโคง้ มีลกั ษณะคลำ้ ยรูประฆงั คว่ำ จุดยอดของโคง้ แสดงถึงค่ำควำมถีส่ ูงสุดของขอ้ มูล โค้งเบ้ (Moderately Asymmetrical or Skewed Curve) มี 2 ลกั ษณะ คือ 1. โค้งเบ้ทางขวา (Positively Skewed) เป็นโคง้ ท่ีแสดงใหเ้ ห็นวำ่ นกั ศึกษำส่วนใหญ่ไดค้ ะแนนนอ้ ย มีจำนวนมำก ส่วนนกั ศกึ ษำท่ีไดค้ ะแนนมำก มจี ำนวนนอ้ ย ควำมถ่ี Y 00 X คะแนน โค้งเบ้ทางขวา มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ีสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -642. โค้งเบ้ทางซ้าย (Negatively Skewed) เป็นโคง้ ท่ีมีลกั ษณะตรงกนั ขำ้ มกนั โคง้ เบท้ ำงขวำ กลำ่ วคือส่วนใหญ่นกั ศกึ ษำที่สอบไดค้ ะแนนมำกมจี ำนวนมำก นกั ศกึ ษำที่สอบไดค้ ะแนนนอ้ ยจะมจี ำนวนนอ้ ยควำมถ่ี Y 0 X คะแนน โค้งเบ้ทางซ้าย ูป ั J (J-Shaped curve) เป็นโคง้ ควำมถ่ีที่มคี วำมถีต่ ่ำทำงดำ้ นคะแนนนอ้ ยและคอ่ ย ๆ เพ่ิมข้ึนเมื่อคะแนนมำก ซ่ึงถำ้ เป็นผลกำรศึกษำแสดงวำ่ มีกำรพฒั นำข้นึ ควำมถ่ี Y 0 X คะแนน โค้งรูปตวั เจ ูป ั J ลบั (J-Reversed Shaped Curve) โค้งรูปถ้วย (U-Shaped Curve) เป็นกำรแจกแจงท่มี คี วำมถี่มำกที่ตำแหน่งคะแนนมำกและคะแนนนอ้ ยแต่ตรงกลำงมีควำมถี่นอ้ ยสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -65 ควำมถ่ี Y 0 X คะแนน โค้งสองยอด (Bimodel shaped)โคง้ ลกั ษณะน้ีจะมนี กั ศกึ ษำท่ีไดค้ ะแนนมำกท่ีสุดในแต่ละช่วงแยกเป็น 2แห่ง ควำมถ่ี Y0 X คะแนน โค้งสองยอด แต่ถำ้ มีขอ้ มูลสูงสุดหลำยแห่งเรียกว่ำ โคง้ หลำยยอด (Multimodal Curve) 5) โค้งความถ่ีสะสม (Cumulative Frequency หรือ Ogive Curve) เป็นโคง้ ที่แสดงควำมถี่สะสมของขอ้ มลู ต้งั แต่ค่ำต่ำสุด ก่อนสร้ำงโคง้ ควำมถ่สี ะสม ควรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่สะสมก่อน เมอ่ื ไดต้ ำรำงแจกแจงควำมถีส่ ะสมแลว้ จึงเขียนกรำฟควำมถส่ี ะสมโดยใชแ้ กน Y เป็นควำมถี่สะสมและแกน X เป็นขีดจำกดัช้นั ที่แทจ้ ริงของขอ้ มูลแต่ละช้นั ต่อจำกน้นั จึงลำกเสน้ โยงจุดแต่ละจุดเหลำ่ น้นั ดงั รูปภำพท่ี 1.45สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -66 ควำมถ่สี ะสมแบบนอ้ ยกว่ำ604020 คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5ควำมถส่ี ะสมแบบมำกกวำ่ คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5ทบทวนการคานวณทางคณติ ศาสตร์ จากข้อมลู ต่อไปนี้จงคำนวณวธิ ีทาสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -671.13 การวดั แนวโน้มเข้าสู่จดุ ศูนย์กลาง (Measures of Central Tendency)ในกรณีที่ตอ้ งกำรค่ำท่ีเป็นตวั แทนของขอ้ มลู ชุดหน่ึง เรำมกั จะเลอื กเอำตวั แทนท่ีมคี ่ำใกลเ้ คียงกบั ค่ำส่วนมำกของขอ้ มลู ซ่ึงเรียกว่ำเป็นค่ำกลำงของขอ้ มูล ส่วนระเบียบวธิ ีวดั ค่ำกลำงของขอ้ มูลมชี ่ือวำ่ กำรวดัแนวโนม้ เขำ้ สู่จุดศูนยก์ ลำง มที ้งั หมด 5 ค่ำ จะกลำ่ วถงึ ค่ำวดั ที่สำคญั 3 ค่ำ ดงั น้ี1. ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต (Arithmetic Mean) หรือค่ำมชั ฌิมเลขคณิต2. มธั ยฐำน (Median)3. ฐำนนิยม (Mode)4. ตวั กลำงฮำโมนิค(Harmonic Mean)5. ตวั กลำงเรขำคณิต (Geometric) 1.13.1 ตวั กลางฮาโมนคิ (Harmonic Mean) มชั ฌิมฮำร์โมนิคมกั พบใชเ้ สมอ ๆ ในกำรคำนวณกลุม่ตวั อยำ่ งโดยเฉลย่ี ในกรณีที่กลมุ่ ตวั อยำ่ งแต่ละกลมุ่ มจี ำนวนไม่เท่ำกนั นอกจำกน้ียงั ใชใ้ นกำรคำนวณหำควำมเร็วเฉลีย่ เมอื่ ระยะทำงในกำรเปล่ยี นควำมเร็วมีช่วงเทำ่ ๆ กนั ถำ้ X1, X2, X3, ... , XN เป็นตวั เลขชดุ หน่ึงที่มี N จำนวนแลว้ สูตรในกำรคำนวณหำมชั ฌิมฮำร์โมนิคของขอ้ มูลชุดน้ีคือมกี ลมุ่ ตวั อยำ่ ง 3 กลุม่ กลุ่มที่ 1 มี 52 คน กลุ่มท่ี 2 มี 60 คน และกลมุ่ ท่ี 3 มี 48 คน คำนวณหำจำนวนคนในกลุ่มตวั อยำ่ งโดยเฉลยี่ ไดด้ งั น้ีจำนวนคนในกลมุ่ ตวั อยำ่ งโดยเฉล่ียคือ 53 คน 1.13.2 ตวั กลางเรขาคณติ (Geometric Mean) มชั ฌิมเรขำคณิตหรือตวั กลำงเรขำคณิต (GeometricMean) ใชต้ วั ยอ่ ว่ำ GM หรือ G หรือG.M. เป็นรำกท่ี N ของผลคูณของคะแนนทุกตวั ท่ีอยใู่ นกลุม่ มีสูตรในกำรคำนวณดงั น้ีสาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -68เม่อื GM = มชั ฌิมเรขำคณิต X1, X2, X3, XN = คะแนนแต่ละตวั N = จำนวนคะแนนดงั ตวั อยำ่ ง มีขอ้ มูลอยู่ 3 ตวั มีค่ำ 2, 8 และ 12 สำมำรถหำค่ำมชั ฌิมเรขำคณิตไดด้ งั น้ีดงั น้นั มชั ฌิมเรขำคณิตมีค่ำเท่ำกบั 5.77 1.13.3 ค่าเฉลย่ี เลขคณติ (Arithmetic Mean) เป็นค่ำกลำงของขอ้ มลู ท่ีนิยมใชม้ ำกที่สุดคำนวณ ไดจ้ ำกกำรนำเอำค่ำขอ้ มูลท้งั หมดท่ีรวบรวมมำรวมกนั แลว้ หำรดว้ ยจำนวนขอ้ มลู ท้งั หมด ใชส้ ำหรับกำรหำค่ำกลำงของขอ้ มลู แบบต่อเน่ืองท่ีมกี ำรวดั ในระดบั อนั ตรภำคข้ึนไป มีวิธีกำรคำนวณ 4 วิธีคือ ก. การคานวณหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ สาหรับข้อมูลทไี่ ม่แจกแจงความถ่ีให้ X1, X2, X3, . . . XN เป็นค่ำสงั เกตตวั ที่ 1 ตวั ที่ 2 ตวั ที่ 3 ถงึ ตวั ท่ี N ของขอ้ มลู ชุดหน่ึงให้  เป็นสญั ลกั ษณ์แทนค่ำเฉล่ยี เลขคณิต สูตร N ,  Xi  X1  X2  X3  ... XN i1 ∑ ผลรวมของขอ้ มลู , X = ค่ำขอ้ มลู แต่ละตวั , N = จำนวนขอ้ มูลท้งั หมดตวั อย่างที่ 1.11 เดก็ 10 คนมีน้ำหนกั ตวั เป็นกโิ ลกรัม ดงั น้ี 4, 3, 3, 5, 6, 5, 7, 5, 7 และ 8 จงคำนวณหำค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนกั ตวั ของเดก็ กลมุ่ น้ีวธิ ีทา N Xi   i1 N  4335657578 10  53 10  5.3นน่ั คือน้ำหนกั ตวั เฉล่ยี ของเดก็ กลมุ่ น้ีเท่ำกบั 5.3 กิโลกรัม ั ย่ ี่ 1.12 สมมตุ ิวามขี ้ มลู เกี่ยวกบั ความเร็วในการประมวลผลโปรแกรมเป็นวนิ าที านวน 25 ข้ มูล งั น้ี 10, 10, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 22, 22, 24 และ 25 งหาคาเฉล่ียความเร็วในการประมวลผลโปรแกรมสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -69 ธี ∑ fX 20หรื ข้นั แรกนาข้ มลู ท้งั หม มาแ กแ งความถี่ 24 Xf 32 10 2 60 12 2 17 14 3 36 15 4 57 17 1 80 18 2 44 19 3 24 20 4 25 22 2 24 1 ∑ 25 1 รวม ∑แทนคาในสูตร ∑ผลลั ธก์ ารวิเคราะห์ ากโปรแกรม Excel for WindowsColumn1 17.16Mean 0.819918695Standard Error 18Median 15Mode 4.099593476Standard Deviation 16.80666667Sample Variance -0.682483777Kurtosis -0.002442085Skewness 15Range 10Minimum 25Maximum 429Sum 25Count 25Largest(1) 10Smallest(1) 1.692229016Confidence Level(95.0%)สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -70 ข. การคานวณค่าเฉลย่ี เลขคณติ สาหรับข้อมลู แจกแจงความถี่ kสูตร fi X i   i1 Nเมื่อ fi คือ ควำมถี่ช้นั ท่ี i ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี Xi คือ ค่ำก่ึงกลำงช้นั ท่ี i ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี k คือ จำนวนช้นั ของตำรำงแจกแจงควำมถี่ N คือ ขนำดของขอ้ มูลตัวอย่างที่ 1.13 อำยุกำรเข้ำรับรำชกำรของอำจำรย์คณะวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวิทยำลยัเทคโนโลยีรำชมงคลธญั บุรี (หน่วยเป็ นปี นับถึงปี พ. ศ. 2549) จงหำค่ำเฉล่ียเลขคณิตของอำยุกำรเขำ้ รับรำชกำรของอำจำรยก์ ลมุ่ น้ีอายุ จานวน (fi) ค่ากงึ่ กลาง (Xi) fiXi12 – 14 4 13 5215 - 17 7 16 11218 - 20 9 19 17121 - 23 12 22 26424 - 26 10 25 25027 - 29 5 28 14030 – 32 3 31 93 รวม N = 50 7 fi xi = 1082วธิ ีทา  i 1ค่ำเฉลยี่ เลขคณิตของอำยกุ ำรเขำ้ รับรำชกำรของอำจำรยก์ ลมุ่ น้ี คือ k  fi X i   i1 Nนนั่ คือ อำจำรยค์ ณะวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวทิ ยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี มอี ำยรุ ับรำชกำรโดยเฉล่ียเท่ำกบั 21.64 ปี แต่ถำ้ คำนวณจำกขอ้ มลู แทจ้ ริงท้งั หมด ไดผ้ ลลพั ธข์ องค่ำตำ่ งๆ ดงั ขำ้ งลำ่ งสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -71 Descriptive Statistics N Range Minimum Maximum Sum Mean Std. Deviation Varianceายกุ ารรับราชการ 50 19.00 12.00 31.00 1079.00 21.5800 4.85332 23.555Valid N 50(listwise)ะเห็นวาผลรวมข งข้ มูลท้งั หม และคาเฉลย่ี มเทากนั โ ยการคานวณ ากข้ มลู ในตาราง ผ้ ลรวมข้ มูลเทากบั1082 คาเฉลี่ยเทากบั 21.64 แตคำนวณจำกขอ้ มลู แทจ้ ริงท้งั หมด ผ้ ลรวมข้ มลู เทากบั 1079 คาเฉล่ียเทากบั 21.58 ะเหน็ วา แตกตางกนั 0.06ตวั อย่างที่ 1.14 ตำรำงแสดงจำนวนบุหรี่(มวน) ที่ผปู้ ่ วยโรคมะเร็งปอดกลุม่ หน่ึงสูบในแต่ละวนั เป็นดงั น้ี คะแนน จานวน 1-8 1 9-16 2 17-24 3 25-32 3 33-40 1จำกขอ้ มูลในตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ผปู้ ่ วยกลมุ่ น้ีสูบบุหร่ีเฉล่ยี วนั ละกี่มวนวธิ ีทา คาเฉลยี่ เลขคณิตคื สาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -72ค. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ถ่วงนา้ หนกั (Weighted Arithematic Mean : Xw ) กำหนดให้ W1,W2,W3,..., Wk เป็นควำมสำคญั หรือน้ำหนกั ถว่ งของค่ำขอ้ มลู 1, X2, X3,..., Xk เป็ นค่ำขอ้ มูล ∴คาเฉลี่ยเลขคณิตถวงน้าหนกั   W1 X 1  W2 X 2  W3 X 3  ...  Wk X k W1  W2  W3  ...  Wk k Wi X i = i1 k Wi i 1ตวั อย่างท่ี 1.15 ผลกำรเรียนของนกั ศกึ ษำคนหน่ึงเป็นดงั น้ี วชิ า คณติ ศาสตร์ ภาษาไทย สังคม พละศึกษา จำนวนหน่วยกิต 3 3 3 1 เกรด 3.5 4 2.5 3เกรดเฉลีย่ ของนกั ศกึ ษำคนน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีวธิ ีทาตวั อย่างที่ 1.16 ในภำคเรียนหน่ึงนกั เรียนคนหน่ึงลงทะเบียนเรียนวชิ ำภำษำไทย ภำษำองั กฤษคณิตศำสตร์ วิทยำศำสตร์ และสงั คมศำสตร์ ซ่ึงมเี วลำเรียนและทำคะแนนในแต่ละวชิ ำดงั น้ี วิชำ ภำษำไทย ภำษำองั กฤษ คณิตศำสตร์ วทิ ยำศำสตร์ สงั คมศำสตร์ชวั่ โมงเรียนต่อสปั ดำห์ 4 3 25 8คะแนนทส่ี อบได้ 3 4 42 1วธิ ที า ค่ำของขอ้ มลู มี 5 ค่ำ คือ 1  3,  2  4, 3  4,  4  2 5  1และควำมสำคญั ของคะแนนสอบแต่ละวชิ ำคือ W1  4, W2  3, W3  2, W4  5 W5  8จำกสูตร kค่ำเฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบ Wi X i   i1 k Wi i 1   W1 X 1  W2 X 2  W3 X 3  W4 X 4  W5 X 5 W1  W2  W3  W4  W5  4(3)  3(4)  2(4)  5(2)  8(1) 43258 = 2.27 คะแนน นนั่ คือ คะแนนเฉล่ยี ของคะแนนสอบของนกั เรียนคนน้ีเท่ำกบั 2.27 คะแนน สาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -73ง. ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม (Combined Arithematics Mean : XC )ถำ้ 1, 2 , 3 ,...,k เป็นค่ำเฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มูลชุดท่ี 1,2,3,…, k ตำมลำดบัโดยมี N1, N2,..., Nk เป็นจำนวนค่ำขอ้ มูลของขอ้ มูลชุดท่ี 1,2,3,…, k ตำมลำดบัคาเฉลย่ี เลขคณิตรวม คื xc  N11  N22  ...  Nkk N1  N2  ...  NK k  Nii  i1 k  Ni i1ตวั อย่างที่ 1.15 จำกรำยไดข้ องคนกล่มุ หน่ึง พบวำ่ เป็นแมค่ ำ้ 35 คนมีรำยไดเ้ ฉลยี่ 3,200 บำทต่อเดือน เป็นกรรมกรช่ำงไม้ 25 คนมรี ำยไดเ้ ฉลย่ี 3,500 บำทต่อเดือน และเป็นกรรมกรช่ำงปนู 40 คน มรี ำยไดเ้ ฉลีย่3,700 บำทต่อเดือน จงหำรำยไดเ้ ฉลี่ยรวมกนั ท้งั หมดของคนกล่มุ น้ีวธิ ีทา ในที่น้ี N1  35 และ 1  3,200 N 2  25 และ 2  3,500 N 3  40 และ 3  3,700ดงั น้นั ค่ำเฉลีย่ เลขคณิตรวม( xc ) หรือ   N11  N 22  N33 N1  N2  N3  35(3200)  25(3500)  40(3700) 35  25  40  3, 475 นนั่ คือรำยไดเ้ ฉลี่ยของคนกลุ่มน้ีท้งั หมดเท่ำกบั 3,475 บำทต่อเดือนตวั อย่างที่ 1.16 นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมี 50 คนเป็นนกั เรียนชำย 20 คน และนกั เรียนหญิง 30 คน ถำ้ ส่วนสูงเฉล่ียของนกั เรียนชำยเท่ำกบั 165 เซนติเมตรและส่วนสูงเฉลย่ี ของนกั เรียนหญิงเท่ำกบั 160 เซนติเมตร แลว้ส่วนสูงเฉลี่ยของนกั เรียนหอ้ งน้ีเท่ำกบั เท่ำใดวธิ ที าให้ x1, x2, , x20 คื สวนสูงข งนกั เรียนชาย และคื12 30 y , y , , y สวนสูงข งนกั เรียนหญิงเน่ื ง ากสวนสูงเฉลี่ยข งนกั เรียนชายเทากบั 165 เซนติเมตรงั น้นั นนั่ คื สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -74เนื่ ง ากสวนสูงเฉล่ยี ข งนกั เรียนหญิงเทากบั 160 เซนติเมตร งั น้นั นน่ั คืทาให้ ว้ า สวนสูงเฉลี่ยข งนกั เรียนห้ งน้ี เซนติเมตรคุณสมบตั ทิ ี่สาคญั ของค่าเฉลยี่ เลขคณติ(1) ค่ำเฉลยี่ เลขคณิตเกิดจำกค่ำขอ้ มูลทุกค่ำที่อยใู่ นกลุ่ม หำกคะแนนของค่ำใดค่ำหน่ึงเปลี่ยนแปลงไป ก็ยอ่ มมี ผลทำใหค้ ่ำเฉลยี่ เลขคณิตมีค่ำเปลย่ี นแปลงไปดว้ ย(2) N  Xi  N i 1(3) ผลรวมของค่ำเบ่ียงเบนจำกค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของทกุ จานวนจะมคี ่าเท่ากบั 0 N (Xi  )  0 i 1พสิ ูจน์ดงั เช่น ค่ำขอ้ มูล 4, 6, 8,10, 12 มคี ่ำเฉล่ยี เลขคณิตเท่ำกบั 8 เม่อื นำไปหำค่ำเบี่ยงเบนจำกค่ำเฉล่ียเลขคณิต ได้ดงั น้ี ค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลย่ี เลขคณติ ผลลพั ธ์ 4-8 -4 6-8 -2 8-8 0 10-8 2 12-8 4 ผลรวม 0(4) N จะมีค่ำนอ้ ยท่ีสุดเมอ่ื A =   ( X i  A) 2 i 1 สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -75พสิ ูจน์(5) Xmin <  < Xmaxเม่ือ Xmin คือค่ำนอ้ ยท่ีสุดในขอ้ มลู Xmax คือค่ำมำกที่สุดในขอ้ มลู(6) ถำ้ ขอ้ มูลชุด X สมั พนั ธก์ บั ขอ้ มลู ชุด Y ในรูปฟังกช์ นั เสน้ ตรง นน่ั คือ Yi  aXi  b,i  1, 2, 3,..., N และ a , b เป็ นค่ำคงที่ แลว้ y จะสมั พนั ธก์ บั x ดงั น้ี y  ax  b เมือ่ y คือค่ำเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ชุด Y x คือค่ำเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลชุด Xตวั อย่างที่ 1.16 ให้ X แทนรำคำซ้ือ และ Y แทนรำคำขำยสินคำ้ อยำ่ งหน่ึงรำคำขำยกบั รำคำซ้ือมีควำมสมั พนั ธเ์ ป็น i  4 Xi  20 ถำ้ ค่ำเฉลยี่ ของรำคำซ้ือเป็น 30 บำท อยำกทรำบวำ่ ค่ำเฉลยี่ ของรำคำขำยเป็ นเท่ำใด 5วธิ ที า จำกฟังกช์ นั ควำมสมั พนั ธร์ ะหวำ่ งรำคำขำยกบั รำคำซ้ือเป็น i  4 X i  20 5จะไดว้ ำ่กำหนดให้  x  30จำกคุณสมบตั ิ y  ax  bดงั น้นั y  4 (30)  20 5 = 44แสดงวำ่ ค่ำเฉลย่ี ของรำคำขำยสินคำ้ ชนิดน้ีเท่ำกบั 44 บำท หมายเหต:ุ1. ถำ้ นำค่ำคงท่ีไปกระทำบวกหรือลบกบั คะแนนทกุ ตวั ที่อยใู่ นกลุ่ม ค่ำเฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู จะเท่ำกบัผลบวกหรือลบของค่ำเฉลย่ี เลขคณิตค่ำเดิมบวกกบั ค่ำคงท่ีค่ำน้นั ๆ เช่น ค่ำขอ้ มลู เดิม 4,6,8,10,12 ซ่ึงค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเดิมมคี ่ำเท่ำกบั 8 ถำ้ นำค่ำคงที่ เช่น เลข 4 มำบวกหรือลบ ทุกตวั ค่ำเฉลย่ี เลขคณิตใหม่จะมคี ่ำเท่ำกบั8+4 = 12 (หรือ 8-4= 4) ดงั คุณสมบตั ิ ขำ้ งลำ่ งน้ีสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -762. กำรใชค้ ่ำเฉล่ยี เลขคณิตอำจเกิดควำมคลำดเคลอื่ นได้ ถำ้ หำกขอ้ มลู ท่ีมีค่ำผดิ ปกติไปจำกกลุ่มหรือเรียกว่ำExtreme Value ซ่ึงถ่หำกขอ้ มลู มีค่ำผดิ ปกติ กำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำงท่ีเหมำะสมจะกลำยเป็นค่ำมธั ยฐำน(Median)หรือฐำนนิยม(Mode) จึงไดม้ กี ำรแกป้ ัญหำน้ีโดยวธิ ีใหม่เรียกวำ่ Trimmed Means โดยกำรเรียงขอ้ มลูจำกนอ้ ยไปมำก แลว้ ตดั ทิ้งขอ้ มูลท่ีนอ้ ยที่สุดและมำกที่สุดออก จำกน้นั คำนวณหำค่ำเฉลย่ี ซ่ึงจำนวนของขอ้ มลูท่ีจะถูกลบออกน้นั จะมปี ระมำณ 5%-20% ของขอ้ มลู ท้งั หมด ดงั ตวั อยำ่ งขำ้ งลำ่ งน้ีตวั อยำ่ งที่ 1.17 คะแนนสอบวิชำสถิติทว่ั ไปของนกั ศกึ ษำกลมุ่ หน่ึงจำนวน 20 คน คะแนนเตม็ 50 ผลกำรสอบมคี ะแนนค่อนขำ้ งปกติ ดงั น้ี 2, 48, 16, 17, 50, 4, 37, 35, 28, 30, 29, 29, 45, 32, 34, 41, 25, 27, 37 และ 35กำรคำนวณหำ Trimmed Meansวธิ ีทำ ในข้นั แรกจะตอ้ งเรียงคะแนนจำกนอ้ ยไปมำก ดงั น้ี 2, 4, 16, 17, 25, 27, 28, 29, 29, 30, 32, 34, 35, 35, 37, 37, 41, 45, 48, 50ข้นั ต่อไป จะตอ้ งตดั ท้ิงคะแนนท่ีมคี ่ำนอ้ ยที่สุดและมำกท่ีสุดออกอยำ่ งละ 20 % ซ่ึงเท่ำกบั 4 จำนวน กำรตดั สินใจวำ่ จะตดั ขอ้ มลู ออกกี่เปอร์เซน็ ตน์ ้นั ข้ึนอยกู่ บั ค่ำทีผ่ ดิ ปกติไปจำกกลมุ่ ท่ีมจี ำนวนมำกนอ้ ยเพยี งใด ตดั ท้ิงคะแนนท่ีมคี ่ำนอ้ ยที่สุดจำนวน 4 ค่ำ ก็ คือ 2, 4, 16, 17 และคะแนนที่มคี ่ำมำกที่สุดจำนวน 4 ค่ำกค็ ือ 41, 45, 48, 50 คงเหลอื ขอ้ มลู เพยี ง 12 จำนวน กค็ ือ 25, 27, 28, 29, 29, 30, 32, 34, 35, 35, 37, 37 หลงั จำกน้นั นำไปคำนวณหำค่ำเฉล่ียเลขคณิต ไดเ้ ท่ำกบั 20% Trimmed Mean =( 25+ 27+ 28+ 29+ 29+ 30+ 32+ 34+ 35+ 35+ 37+ 37)/12=31.5 1.13.2 มธั ยฐาน(Median) หมำยถึง ขอ้ มูลท่ีอยตู่ รงก่ึงกลำงของขอ้ มูลท้งั หมด เมือ่ จดั เรียงลำดบั ของขอ้ มูลจำกค่ำนอ้ ยไปค่ำมำกหรือจำกค่ำมำกไปค่ำนอ้ ย แบ่งพ้นื ที่กำรแจกแจงอกเป็น 2 ขำ้ ง ขำ้ งละ 50% โดยค่ำมธั ยฐำนสำมำรถบอกไดว้ ำ่ จำนวนขอ้ มูลที่มำกกว่ำและนอ้ ยกวำ่ ค่ำมธั ยฐำนจะมจี ำนวนเท่ำกนั กำรหำค่ำมธั ยฐำนมอี ยู่ 2 วิธี ก. การหาค่ามธั ยฐานสาหรับข้อมูลท่ไี ม่แจกแจงความถี่ มขี ้ันตอนดงั นี้ 1. เรียงลำดบั ค่ำขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำกหรือจำกมำกไปหำนอ้ ย 2. ถำ้ ขอ้ มูลมีจำนวนเป็นเลขคี่ ค่ำมธั ยฐำนคือค่ำของขอ้ มลู ท่ีอยตู่ รงตำแหน่ง (N 1) พอดี 2สาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -773. ถำ้ ขอ้ มลู มีจำนวนเป็นเลขคู่ ค่ำมธั ยฐำนจะอยรู่ ะหว่ำงขอ้ มลู สองค่ำกลำงที่อยตู่ รง ตำแหน่ง N และ N 1 ซ่ึงค่ำมธั ยฐำนหำไดจ้ ำกกำรเอำขอ้ มูลสองค่ำน้นั บวกกนั แลว้ 22 หำรดว้ ย 2ตวั อย่างที่ 1.18 ส่วนสูง (เซนติเมตร) ของพนกั งำนกลมุ่ หน่ึง เป็นดงั น้ี 151 149 165 168 154แลว้ มธั ยฐำนของส่วนสูงของพนกั งำนกลุ่มน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีวธิ ที า 1. นาข้ มลู มาเรียง ากน้ ย ปมาก ้ งั น้ี149 151 154 165 1682. ตาแหนงข งมธั ย าน คื3. ค่ำมธั ยฐำนคือ 154นนั่ คือ ค่ำมธั ยฐำนควำมสูงของพนกั งำนกล่มุ น้ีเท่ำกบั 154 เซนติเมตรตวั อย่างที่ 1.19 น้ำหนกั ทำรกแรกเกิด (กรัม) ณ โรงพยำบำลแห่งหน่ึง เป็นดงั น้ี 3,220 2,950 2,760 2,840แลว้ มธั ยฐำนของน้ำหนกั ของทำรกแรกเกดิ กลมุ่ น้ีมคี ่ำเท่ำใดวธิ ที า 1. นาข้ มูลมาเรียง ากน้ ย ปมาก ้ งั น้ี 2,760 2,840 2,950 3,220 2. ตาแหนงข งมธั ย าน คื 3. ค่ำมธั ยฐำนคือ นนั่ คือ มธั ยฐำนของน้ำหนกั ของทำรกแรกเกิดกลมุ่ น้ีมคี ่ำเท่ำกบั 2895 กรัมตวั อย่างท่ี 1.19 ขอ้ มูลแสดงคะแนนสอบวชิ ำสถิติ 1 สำหรับวิทยำศำสตร์ของนกั ศกึ ษำ 10 คน คือ 68, 60,50, 42, 70,80, 35, 63, 71 และ 64 จงหำค่ำมธั ยฐำนของคะแนนนกั ศกึ ษำวธิ ีทา 1. เรียงลำดบั ค่ำของขอ้ มูลจำกค่ำนอ้ ยไปหำค่ำมำกได้ 35, 42, 50, 60, 63, 64, 68, 70, 71, 80 2. หำตำแหน่งมธั ยฐำนตกอยู่  10 1  5.5 โดยอยรู่ ะหวำ่ งตำแหน่ง 5 กบั 6 2 3. ค่ำมธั ยฐำนคือ  63 64  63.5 2นน่ั คือ ค่ำมธั ยฐำนของคะแนนสอบวชิ ำสถิติ1 สำหรับวทิ ยำศำสตร์ของนกั ศกึ ษำ 10 คน คือ 63.5 คะแนนสาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -78 ข. การหาค่ามธั ยฐานสาหรับข้อมูลทีแ่ จกแจงความถี่ มขี ้ันตอนดังนี้ 1. เรียงค่ำขอ้ มลู ในตำรำงแจกแจงควำมถ่ี โดยจำกนอ้ ยไปมำกหรือมำกไปนอ้ ยก็ได้ N2. หำตำแหน่งมธั ยฐำนตกอยู่ จำกสูตร ตำแหน่งมธั ยฐำน คือ ตำแหน่งท่ี 23. หำค่ำมธั ยฐำนใชส้ ูตร มธั ยฐำน =  N F  L  I 2   f เมือ่ L คือ ขอบเขตลำ่ งของคะแนนในช้นั ท่ีมมี ธั ยฐำนตกอยู่I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ท่ีมีมธั ยฐำนตกอยู่N คือ จำนวนขอ้ มูลท้งั หมดF คือ ควำมถสี่ ะสมของช้นั ก่อนช้นั ที่มมี ธั ยฐำนตกอยู่f คือ ควำมถข่ี องช้นั ท่ีมมี ธั ยฐำนตกอยู่หมายเหต:ุ ถำ้ ตำแหน่งท่ีค่ำมธั ยฐำนตกอยู่ ตกในช้นั ใดลงตวั ใหอ้ ่ำนค่ำขอบเขตบนช้นั น้นั เป็นค่ำมธั ยฐำนได้เลย แต่ถำ้ ตำแหน่งท่ีค่ำมธั ยฐำนตกอยรู่ ะหว่ำงสองช้นั ใหค้ ่ำมธั ยฐำนตกในช้นั ที่มตี ำแหน่งที่สูงกว่ำทคี่ ำนวณได้ตวั อย่างท่ี 1.20 ขอ้ มลู แสดงปริมำณกำแฟ (แกว้ ) ท่ีพนกั งำนบริษทั แห่งหน่ึงบริโภคใน 1 สปั ดำห์แลว้ มธั ยฐำนของขอ้ มูลชุดน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีวธิ ที าตาแหนงข งมธั ย าน คื งั น้นั มธั ย าน คื ข้ มลู ตวั ที่ 10 ซ่ึง ยใู น นั ตรภาคช้นั 11-15 ากน้นั หาคาข งมธั ย านโ ยการเทียบบญั ญตั ิ ตรยางศห์ รื เทียบสั สวน ะ ว้ าสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -79ตาแหนงตางกนั 10 ตาแหนง ข้ มูลตางกนั 15.5 10.5 5ตาแหนงตางกนั 3 ตาแหนง ข้ มูลตางกนั งั น้นั มธั ย าน 10.5 1.5 12ตวั อย่างที่ 1.20 ตำรำงแสดงจำนวนเงิน (บำท) ที่นกั เรียนไดร้ ับจำกผปู้ กครองในแต่ละวนั เป็นดงั น้ีค่ำใชจ้ ่ำย (บำท) จำนวน (f) ควำมถส่ี ะสม (F)28 – 32 2 233 – 37 2 438 – 42 2 643 – 47 4 1048 – 52 5 1553 – 57 7 2258 – 62 4 26  ช้นั ทีม่ ีมธั ยฐำน63 – 67 7 3368 – 72 9 4273 – 77 8 50 N = 50แลว้ ค่ำมธั ยฐำนของจำนวนเงินท่นี กั เรียนกลมุ่ น้ีไดร้ ับในแต่ละวนั เท่ำกบั เท่ำใดวธิ ที า 1. หำตำแหน่งมธั ยฐำน = N  50  25 22 ดงั น้นั มธั ยฐำนมตี ำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ตำแหน่งท่ี 25 ซ่ึงอยใู่ นช้นั 7 ของตำรำงแจกแจงควำมถี่2. จำกสูตร มธั ยฐำน =  N  F  L  I 2   f จำกตำรำงแจกแจงควำมถี่ L = 57.5 , I = 5 , F = 22 , f = 4ค่ำมธั ยฐำน =  50  22  57.5  5 2   4  = 57.5 + 3.75 = 61.25 บำทดงั น้นั ค่ำมธั ยฐำนของค่ำใชจ้ ่ำยต่อวนั ของนกั ศกึ ษำกลุม่ น้ีมคี ่ำเท่ำกบั 61.25 บำทสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -80คณุ สมบตั ขิ องค่ามธั ยฐาน มดี ังนี้1. ค่ำมธั ยฐำนจะไมข่ ้ึนกบั ขอ้ มลู ไม่ว่ำจะมำกหรือค่ำนอ้ ยเท่ำใด เน่ืองจำกเป็นจุดท่ีแบ่งคะแนนท้งั สองส่วนออกเท่ำๆกนั เช่น ขอ้ มูล 2 ชุดน้ี จะมคี ่ำมธั ยฐำนเท่ำกนั คือ 10 ท้งั ๆท่ีมขี อ้ มลู จำนวนและค่ำแตกต่ำงกนัชุด A : 2 3 9 10 14 16 25ชุด B : 3 4 8 9 10 16 22 25 1002. ค่ำมธั ยฐำนไมไ่ ดร้ ับอทิ ธิพลใดๆ จำกค่ำของคะแนนท่ีผดิ ปกติ เช่น ขอ้ มลู ชุด B มีค่ำสุดทำ้ ยเป็น 100ในขณะที่ค่ำมธั ยฐำนมคี ่ำเท่ำกบั 10 เช่นเดิม3. ถำ้ นำค่ำคงที่ไปกระทำทำงคณิตศำสตร์ของคะแนนแต่ละตวั จะทำใหไ้ ดค้ ่ามธั ยฐานใหม่ท่ีเท่ำกบั กำรนำค่ำคงท่ีไปบวก ลบ คูณหรือหำรกบั ค่ามธั ยฐานเดมิ4. ในกำรวจิ ยั ค่ำมธั ยฐำนเหมำะสำหรับขอ้ มลู ท่ีมคี วำมผดิ ปกติมำกๆ หรือขอ้ มูลที่มกี ำรแจกแจงแบบมี ควำมเบม้ ำกๆ เช่น ขอ้ มลู กลุ่มหน่ึงมีควำมแตกต่ำงกนั มำกๆ 30, 50, 65, 90, 120, 125, 1500 ถำ้ หำ ค่ำเฉล่ยี จะพบว่ำขอ้ มลู 1500 จะมผี ลต่อขอ้ มูลอ่นื ทำใหค้ ่ำเฉลยี่ ผดิ ปกติจำกควำมเป็นจริง ซ่ึงมคี ่ำ เท่ำกบั (30+50+65+90+120+125+1500)/7=282.85 ในกรณีน้ีถำ้ อธิบำยดว้ ยค่ำมธั ยฐำนซ่ึงมีค่ำเท่ำกบั 90 จะเป็นตวั แทนของขอ้ มูลที่แทจ้ ริงมำกกวำ่ ค่ำเฉลี่ย 1.13.3 ฐานนยิ ม(Mode) คือ ค่ำของขอ้ มลู ท่ีมจี ำนวนมำกท่ีสุดหรือเกิดข้ึนมำกคร้ังท่ีสุดหรือควำมถ่ีสูงสุดน้นั เอง ก. การหาค่าฐานนยิ มสาหรับข้อมูลท่ไี ม่แจกแจงความถี่ตวั อย่างที่ 1.21 (1) ถำ้ ขอ้ มูลท่ีรวบรวมไดเ้ ป็น 1, 1, 2, 3, 5 ฐำนนิยมคือ 1 เรียกวำ่ Unit modal (2) ถำ้ ขอ้ มูลท่ีรวบรวมไดเ้ ป็น 6, 6, 7, 8, 9, 9 ฐำนนิยมคือ 6 และ 9 เรียกวำ่ Bimodal (3) ถำ้ ขอ้ มลู ที่รวบรวมไดเ้ ป็น 10, 12, 15, 18, 20 ขอ้ มูลชุดน้ีไม่มฐี ำนนิยม (4) ถำ้ ขอ้ มูลที่รวบรวมไดเ้ ป็น 10, 12, 15, 18, 20, 10, 18, 25, 25 ฐำนนิยมคือ 10, 18, 25 เรียกวำ่ Multimodal (5) ถำ้ ขอ้ มลู ที่รวบรวมไดเ้ ป็น 10, 10, 12, 12 , 15, 15, 18, 18, 20, 20 ขอ้ มูลชุดน้ีไมม่ ฐี ำนนิยมสาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -81ข. การหาค่าฐานนิยมสาหรับข้อมูลทแ่ี จกแจงความถ่ีในกรณีข งข้ มูลท่ีแ กแ งความถี่เป็นชวง า ะประมาณ ยางคราว ๆ ว้ า านนิยม ะ ยทู ี่ ุก่ึงกลางข งชวงคะแนนท่ีมคี วามถีส่ ูงสุ ยาง รกต็ ามชวงช้นั ข งคะแนนเ งก็สามารถระบุเป็นคา านนิยม้ ตวั ยาง เชน การแ กแ งความถ่ีท่ี ั เป็นกลุม คะแนนข งความสูงข งตน้ ขา้ วโ แปลงหน่ึง บวาขา้ วโ สวนใหญมีความสูงระหวาง 60 - 62 น้ิว คา านนิยมข งความสูงข งขา้ วโ แปลงน้ี า ะระบุ ้วา คื 61 นิ้ว หรื 60 - 62 น้ิวก็ ้ ท้งั น้ีเน่ื ง ากข้ มลู ที่แ กแ งความถ่ีเป็นชวง ะ มสามารถระบุ ว้ า คาสงั เกตใ มีความถี่สูงสุ แตถา้ ต้ งการประมาณวาแนวโนม้ ที่ านนิยม ะมคี าใกลเ้ คียงกบั คาใ มากท่ีสุ โ ยาศยั วธิ ีเปรียบเทียบสั สวนข งคาข งข้ มูลกบั ความถี่ ในชวงท่ีมคี วามถส่ี ูงสุ กบั ชวงถั ปท้งั ทาง า้ นน้ ยและมาก ู ากรูปกาหน ให้ L = ข บเขตลางข ง นั ตรภาคช้นั ท่ีมคี วามถ่ีสูงสุ U = ข บเขตบนข ง นั ตรภาคช้นั ท่ีมคี วามถ่สี ูงสุ I = ความกวา้ งข ง นั ตรภาคช้นั f0 = ความถ่ีข งช้นั ท่ีต่ากวาช้นั ที่มคี วามถส่ี ูงสุ f1 = ความถขี่ งช้นั ที่มคี วามถส่ี ูงสุ f2 = ความถี่ข งช้นั ท่ีสูงกวาช้นั ท่ีมคี วามถ่ีสูงสุจำกแผนภำพ d1  f1  f0 ,d2  f1  f2จำกสมบตั ิของสำมเหล่ียมคลำ้ ยจะไดว้ ่ำ px  qx ac bd Mo - L  U  Mo d1 d2สำมำรถแสดงไดว้ ่ำ Mo = L + I d1 d1 d2  สาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -82มขี ้ันตอนการคานวณ ดังนี้1. พจิ ำรณำว่ำฐำนนิยมจะอยใู่ นช้นั ท่ีเท่ำใดของตำรำงกลำ่ วคือฐำนนิยมจะอยชู่ ้นั ท่ีมคี วำมถีม่ ำกที่สุดนนั่ เอง2. คำนวณหำค่ำฐำนนิยมโดยใชส้ ูตร L I  1  1  ฐำนนิยม = 2 เมือ่ L คือ ขอบเขตล่ำงของคะแนนในช้นั ท่ีมฐี ำนนิยม I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ที่มฐี ำนนิยม 1 หรือ คือ ผลต่ำงของควำมถีข่ องช้นั ท่ีมีฐำนนิยมกบั ช้นั ท่ีอยตู่ ิดกนั ซ่ึงมีค่ำขอ้ มูลต่ำกว่ำ 2 หรือ คือ ผลต่ำงของควำมถข่ี องช้นั ท่ีมฐี ำนนิยมกบั ช้นั ที่อยตู่ ิดกนั ซ่ึงมคี ่ำขอ้ มูลสูงกว่ำตวั อย่างที่ 1.22 ตำรำงแสดงเงินเดือน (บำท) ของพนกั งำนในบริษทั แห่งหน่ึงแลว้ ฐำนนิยมของเงินเดือนของพนกั งำนบริษทั น้ีเท่ำกบั เท่ำใดวธิ ีทา นั ตรภาคช้นั ที่มีความถ่สี ูงสุ คื 20,000 – 29,999 งั น้นั านนิยม คื ุ ก่ึงกลาง นั ตรภาคช้นั 20,000 – 29,999 ซ่ึงเทากบั บาทสาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -83ตวั อย่างที่ 1.22 ปริมำณน้ำตำลในเลอื ดเป็นกรัมของหญิงอำยุ 25-35 ปี จำนวน 30 คน ปริมาณนา้ ตาลในเลือด จานวน 81 -90 2 91 - 100 6 101 - 110 6 111 - 120 7 121 - 130 131 – 140 8  ฐำนนิยมอยชู่ ้นั น้ี 1 N = 30จงหำค่ำฐำนนิยมของขอ้ มลู ชุดน้ีวธิ ที า 1. จำกตำรำงแจกแจงควำมถี่พบวำ่ ฐำนนิยมอยใู่ นช้นั ที่ 5 เน่ืองจำกควำมถ่มี ำกที่สุดน้นั เอง2. จำกสูตร ฐำนนิยม = L  I   1   1 2 L = 120.5 I = 10 1 = 8 - 7 = 1 2 = 8 - 1 = 7นนั่ คือ ฐำนนิยม = 120.5  10 1 7  1   = 120.5 + 1.25 = 121.75ค่ำฐำนนิยมของปริมำณน้ำตำลในเลอื ดเป็นกรัมของหญิงอำยุ 25-35 ปี เป็น 121.75ตวั อย่างที่ 1.22 ตำรำงแสดงอำยุ (ปี ) ของผปู้ ่ วยโรคปวดศรี ษะไมเกรนกลุ่มหน่ึง ดงั น้ีแลว้ มธั ยฐำนและฐำนนิยมของขอ้ มลู ชุดน้ีมคี ่ำต่ำงกนั เท่ำใดวธิ ีทำสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -84 ากน้นั หาคาข งมธั ย านโ ยการเทียบบญั ญตั ิ ตรยางศห์ รื เทียบสั สวน ะ ว้ าตาแหนงตางกนั 20 ตาแหนง ข้ มูลตางกนั 45.5 35.5 10ตาแหนงตางกนั 9 ตาแหนง ข้ มูลตางกนั งั น้นั มธั ย าน 35.5 4.5 40 งั น้นั มธั ย านและ านนิยมข งข้ มลู ชุ น้ีตางกนั | 40.5 40 | 0.5 ปีคุณสมบัตขิ องค่าฐานนยิ ม1. เป็นค่ำท่ีหำไดง้ ่ำย โดยพิจำรณำจำกค่ำที่มคี วำมถี่สูงสด ซ่ึงบำงคร้ังจะมคี ่ำเกินกว่ำ 1 ค่ำก็ได้ เมือ่ คะแนนที่ มีควำมถ่ีสูงสุดมคี ่ำเกินกวำ่ 1 ค่ำ2. ถำ้ นำค่ำคงที่ไปกระทำทำงคณิตศำสตร์คะแนนแต่ละตวั จะทำใหไ้ ดค้ ่ำฐำนนิยมเปลย่ี นแปลงไปใน ลกั ษณะเชน่ เดียวกนั กบั ค่ำเฉล่ียเลขคณิตและค่ำมธั ยฐำน3. ในกำรวจิ ยั ฐำนนิยมถอื ว่ำเป็นค่ำหยำบ โดยมกี ำรนำไปใชอ้ ำ้ งอิงเพ่อื สรุปผลกำรวิจยั บำ้ ง ส่วนใหญ่จะ เป็นกำรพิจำรณำในภำพรวมกวำ้ งๆ เช่น ตอ้ งกำรศึกษำว่ำประชำกรส่วนใหญ่ท่ีอำศยั อยใู่ น กรุงเทพมหำนครใชม้ อื ถอื ยหี่ อ้ ใดมำกท่ีสุด หรือนกั ศกึ ษำชอบเวบ็ ไซดใ์ ดในกำรคน้ หำขอ้ มลู มำกท่ีสุด ระหวำ่ ง www.google.com, www.yahoo.com, www.excite.com ซ่ึงถำ้ ใชฐ้ ำนนิยม จะส่ือควำมหมำยได้ ชดั เจนกว่ำกำรใชส้ ถิติอ่ืนๆสาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -85การเลือกใช้ค่ากลางการวดั แนวโน้มทเี่ หมาะสมกบั ลกั ษณะของข้อมลูค่ากลาง ควรใช้เมื่อ1. ฐานนิยม  ตอ้ งกำรหำค่ำกลำงอยำ่ งหยำบๆ และรวดเร็ว  ขอ้ มูลมีค่ำสูงหรือต่ำปกติหรือขอ้ มลู มกี ำรแจก แจงเบไ้ ปดำ้ นใดดำ้ นหน่ึง  เป็นขอ้ มูลเชิงคุณภำพ2. มธั ยฐาน  ขอ้ มูลมีกำรแจกแจงเบไ้ ปดำ้ นใดดำ้ นหน่ึง หรือ ขอ้ มูลมีค่ำสูงหรือต่ำผดิ ปกติ  ตอ้ งกำรหำค่ำกลำงอยำ่ งคร่ำวๆ3. ตวั กลางเลขคณติ  ขอ้ มลู มคี ่ำใกลเ้ คียงกนั  ตอ้ งกำรควำมละเอียดแมน่ ยำในกำรคำนวณ ความสัมพนั ธ์ระหว่างตวั กลางเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม1. การแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะสมมาตรคือ ข้อมลู มลี กั ษณะเป็ นโค้งปกติ (Normal Curve) จะได้ Mean = Median = Modeสาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -862. การแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะเบ้ซ้ายจะได้ Mode > Median > Mean 3. การแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะเบ้ขวาจะได้ Mean > Median > Mode 4. ควำมสมั พนั ธใ์ นรูปของสมกำร ไดด้ งั น้ี ค่ำเฉลย่ี เลขคณิต - ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต - ค่ำมธั ยฐำน) หรือ ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำมธั ยฐำน) – 2 (ค่ำเฉล่ียเลขคณิต) หรือ Mod. 3Med. 2ตวั อย่างท่ี 1.23 ใหร้ ำยไดเ้ ฉลยี่ ต่อวนั ของคนงำน 50 คน ในโรงงำนแห่งหน่ึงคือ 79 บำท โดยมีค่ำมธั ยฐำนเท่ำกบั 81.25 บำท จงหำค่ำฐำนนิยมของรำยไดข้ องคนงำนกล่มุ น้ีวธิ ีทา จำก ค่ำเฉลย่ี เลขคณิต - ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำเฉลย่ี เลขคณิต - ค่ำมธั ยฐำน) 79 – ฐำนนิยม = 3(79 – 81.25) ดงั น้นั ฐำนนิยม = 85.75 บำท หรือ ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำมธั ยฐำน) – 2 (ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต) = 3 (81.25) – 2(79) = 85.75 บำทสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -871.14 เปอร์เซนไทล์ เดไซล์ และควอไทล์1.14.1 เปอร์เซนไทล์ (Percentiles)คือ ค่ำของขอ้ มลู (ซ่ึงมี 99 ค่ำ) ที่แบ่งขอ้ มลู ออกเป็น100ส่วนเท่ำๆกนั1.14.2 เดไซล์ (Deciles) คือ ค่ำของขอ้ มูล (ซ่ึงมี 9 ค่ำ) ที่แบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 10 ส่วนเท่ำ ๆ กนั1.14.3 ควอไทล์ (Quartiles) คือค่ำของขอ้ มูล (ซ่ึงมี 3 ค่ำ) ท่ีแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 4 ส่วนเท่ำ ๆ กนัก. การคานวณหาเปอร์เซนไทล์ เดไซล์ และควอไทล์ สาหรับข้อมูลทไี่ ม่มกี ารแจกแจงความถี่ มีข้ันตอน ดงั นี้1. คานวณหาตาแหน่ง Pk ,Dk และ Qk ตามสูตร ตำแหน่ง Pk  kN 1 100  kN 1 ตำแหน่ง Dk 10 kN  1 ตำแหน่ง Qk  42. คานวณหาค่า Pk ,Dk และ Qk ใช้วธิ เี ทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ตวั อย่างท่ี 1.24 จำกขอ้ มูลแสดงคะแนนสอบวชิ ำหน่ึงของนิสิต 7 คน ดงั น้ี 55, 50, 59, 61, 65, 80 และ 71 จงหำ P30 , D5 และ Q3วธิ ที า หา P30 มขี ้นั ตอนดงั น้ี 1. หำตำแหน่ง P30 P30มีตำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ค่ำท่ี 30(7 1)  2.4 100 2. เรียงลำดบั ขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำกได้ 50, 55, 59, 61, 65, 71 และ 80 P30 3. เทียบบญั ญตั ิไตรยำงค์ ดงั น้ี ตำแหน่งต่ำงกนั 1 ตำแหน่ง ค่ำของขอ้ มูลต่ำงกนั =59 - 55 = 4 คะแนน ตำแหน่งต่ำงกนั 0.4 ตำแหน่ง ค่ำของขอ้ มลู ต่ำงกนั = 4 x 0.4 = 1.6 คะแนน ฉะน้นั P30= 55 + 1.6 = 56.6 คะแนน หมำยควำมว่ำมนี ิสิต 30 เปอร์เซนตท์ ่ีสอบไล่ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวำ่ หรือเท่ำกบั 56.6 คะแนนส่วนนิสิตอีก 70 เปอร์เซนตจ์ ะสอบไลไ่ ดค้ ะแนนสูงกวำ่ 56.6 คะแนนหา D5 มขี ้นั ตอนดงั น้ี 1. หำตำแหน่ง D5 D5 มีตำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ตวั ท่ี 5(7 1)  4 10 2. เรียงลำดบั ขอ้ มลู จำกนอ้ ยไปหำมำกดงั น้ี 50, 55, 59, 61, 65, 71 และ 80สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -88 3. D5 คือ ค่ำของขอ้ มูลตวั ท่ี 4 = 61 D5 = 61 คะแนน หมำยควำมว่ำถำ้ แบ่งคะแนนสอบของนิสิต7คนออกเป็น 10 ส่วนเท่ำๆกนั จะมคี ะแนนของนิสิตอยู่ 5 ส่วนท่ีมีค่ำนอ้ ยกว่ำหรือเท่ำกบั 61 คะแนน และมีคะแนนของนิสิตอกี 5 ส่วนจะมีคะแนนสูงกวำ่61 คะแนนหา Q3 มขี ้ันตอนดงั นี้1. หำตำแหน่ง Q3 Q3 มีตำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ค่ำที่ 3(7 1) 6 42. เรียงลำดบั ค่ำขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำก ดงั น้ี 50, 55, 59, 61, 65, 71 และ 803. ในที่น้ีค่ำQ3 จะตรงกบั ค่ำของขอ้ มูลตวั ที่ 6 คือ 71 Q3 = 71 คะแนนหมำยควำมวำ่ ถำ้ แบ่งคะแนนของนิสิต 7 คนออกเป็น 4 ส่วนเท่ำ ๆ กนั จะมคี ะแนนของนิสิตอยู่ 3ส่วนมคี ่ำนอ้ ยกวำ่ หรือเท่ำกบั 71 คะแนน และมคี ะแนนของนิสิตอกี 1 ส่วนจะมคี ่ำมำกกวำ่ 71 คะแนนข. การคานวณหาค่าเปอร์เซนไทล์ เดไซล์ และควอไทล์ สาหรับข้อมลู ท่ีมกี ารแจกแจงความถ่ีมขี ้ันตอนดงั นี้1. หำตำแหน่ง Pk ,Dkและ Qk จำกสูตร 1.1 ตำแหน่ง Pk ตรงกบั ขอ้ มูลตวั ท่ี kN 100 1.2 ตำแหน่ง Dk ตรงกบั ขอ้ มลู ตวั ที่ kN 10 1.3 ตำแหน่ง Qk ตรงกบั ขอ้ มูลตวั ท่ี kN 42. หำค่ำ Pk , Dk และ Qk จำกสูตร 2.1  kN  F   L  I  100  Pk f   เม่ือ L คือ ขอบเขตลำ่ งของช้นั ท่ีมีPk I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ที่มีPk F คือ ควำมถ่สี ะสมของช้นั ท่ีติดกบั ช้นั ท่ีมีPk และมคี ะแนนนอ้ ยกวำ่ f คือ ควำมถขี่ องช้นั ที่มี Pk 2.2  kN  F   L I 10  Dk  f   สาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -89 เมือ่ L คือ ขอบเขตลำ่ งของช้นั ที่มีDk I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ท่ีมีDk F คือ ควำมถ่สี ะสมของช้นั ที่ติดกบั ช้นั ท่ีมีDk และมคี ะแนนนอ้ ยกว่ำ f คือ ควำมถขี่ องช้นั ที่มีDk2.3  kN  F  L  I 4  Qk   f  เม่ือ L คือ ขอบเขตล่ำงของช้นั ท่ีมีQk I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ที่มี Qk F คือ ควำมถสี่ ะสมของช้นั ที่ติดกบั ช้นั ที่มีQk และมีค่ำนอ้ ยกวำ่ f คือ ควำมถี่ของช้นั ท่ีมีQkตวั อย่างที่ 1.25 คะแนนสอบวชิ ำสถติ ิวเิ ครำะห์สำหรับวทิ ยำศำสตร์ของนกั ศกึ ษำ จำนวน 100 คน ดงั น้ี คะแนนสอบ จานวน ความถ่ีสะสม 35 - 39 8 8 40 - 44 12 20 45 - 49 20 40 50 - 54 35 75 55 - 59 15 90 60 – 64 10 100 รวม 100จงหำ P75 , D6 และ Q1วธิ ที า หา P75หำตำแหน่ง P75ตำแหน่ง P75ตรงกบั ขอ้ มูลตวั ที่ 75(100)  75 100ซ่ึงมีค่ำตรงกบั ควำมถส่ี ะสมของช้นั ที่ 4 เช่นน้ีจึงไมจ่ ำเป็นตอ้ งใชส้ ูตร กลำ่ วคือ P75 มีค่ำเท่ำกบั 54.5คะแนน เพรำะวำ่ P75จะมีค่ำตรงกบั ขอบเขตบนของช้นั ที่ 4 นนั่ เองหา D61. หำตำแหน่ง D6ตำแหน่ง D6 ตรงกบั ชอ้ มูลตวั ที่ 6(100)  60 10สาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -902. หำค่ำจำกสูตร  kN  F  I 10  D6  L    f   ค่ำ D6 อยใู่ นช้นั ท่ี 4 ของตำรำงแจกแจงควำมถี่ นนั่ คือ L = 49.5 , I = 5 , F = 40 , f = 35 D6 = 49.5  5 60  40   35  = 49.5 + 2.86 D6 = 52.36 คะแนนหา Q1 1. หำตำแหน่ง Q1 ตำแหน่ง Q1 ตรงกบั ขอ้ มลู ตวั ท่ี 1(100)  25 4 2. หำค่ำ Q1 จำกสูตร Q1  L  kN  F  I 4    f   ค่ำ Q1อยใู่ นช้นั ท่ี 3 ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี นน่ั คือ L = 44.5 , I = 5 , F = 20 , f = 20 Q1 = 44.5  5 25  20   20  = 44.5 + 1.25 = 45.75ความสัมพนั ธ์ระหว่าง เปอร์เซนไทล์ , เดไซล์ , ควอไทล์ และมธั ยฐาน 1. P50 = D5 = Q2 = มธั ยฐำน 2. P25 = Q1 3. P75 = Q3สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -911.15 การวดั การกระจาย (Measures of Dispersion) กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มูล (Measure of Variability) เป็นสถติ ิท่ีใชอ้ ธิบำยลกั ษณะกำรกระจำยหรือกำรแปรผนั ของคะแนนท่ีไดจ้ ำกกำรเก็บรวบรวม เน่ืองจำกกำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำง เป็นกำรหำค่ำกลำงๆ ที่เป็นตวั แทนของขอ้ มูล ซ่ึงไมส่ ำมำรถอธิบำยลกั ษณะของขอ้ มูลไดช้ ดั เจนพอ เพรำะไม่ไดพ้ จิ ำรณำกำรกระจำยของขอ้ มูล พิจำรณำขอ้ มูลชุด A และ B ขำ้ งลำ่ ง ตวั อยำ่ งเช่น ขอ้ มลู 2 ชุด ซ่ึงจะพบว่ำมีค่าเฉลย่ีเท่ากนั คือ 6 แต่มีกำรกระจำยของขอ้ มูลแตกต่ำงกนัชุด A : 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11ชุด B : 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8ชุ A ความถี่ 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ชุ B ความถี่ 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จะเห็นว่าค่ำเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดที่ A เท่ำกบั ชุดที่ B มคี ่ำเท่ำกบั 6 แต่ขอ้ มลู ชุดท่ี B จะมีกำรกระจำย นอ้ ยกวำ่ ขอ้ มูลชุดที่ Aหรือดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี ขอ้ มูลชุดท่ี 1 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10 ขอ้ มลู ชุดที่ 2 9, 10, 9, 11, 10, 11, 10 ขอ้ มูลชุดท่ี 3 9, 8, 11, 8, 11, 12, 11จะเห็นวำ่ ค่ำเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลชุดที่ 1 เท่ำกบั ชุดท่ี 2 เท่ำกบั ชุดท่ี 3 มีค่ำเท่ำกบั 10 ซ่ึงขอ้ มูลชุดท่ี 1ประกอบดว้ ยค่ำที่มขี นำดเท่ำกนั ส่วนที่ขอ้ มูลชุดท่ี 3 ประกอบดว้ ยค่ำท่ีมีขนำดแตกต่ำงกนั มำกกวำ่ ขอ้ มลู ชุดที่2 แสดงว่ำ ลกั ษณะของขอ้ มลู ท้งั 3 ชุดยอ่ มแตกต่ำงกนั ในวชิ ำสถิติถือวำ่ ขอ้ มลู ชุดที่ 1 จะมกี ำรกระจำยนอ้ ยที่สุด กลำ่ วคือ มีค่ำกำรกระจำยเท่ำกบั ศูนย์ และขอ้ มูลชุดที่ 2 จะมกี ำรกระจำยนอ้ ยกวำ่ ขอ้ มูลชุดที่ 3สาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -92และอีกตวั อยำ่ งแสดงแผนภูมิเปรียบเทียบกำรกระจำยของขอ้ มลู ขำ้ งล่ำง โดยจะเห็นวำ่ ขอ้ มูล 2 ชุดมีค่ำเฉลยี่เท่ำกนั เท่ำกบั 44.16 แต่ค่ำส่วนเบ่ียงเบนมำตรฐำนไม่เท่ำกนั โดยค่ำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนชุดที่ 1 จะมำกกวำ่ชุดท่ี 2 น้นั หมำยควำมว่ำ การกระจายของข้อมลู จะพบว่าเลขชุดที่ 2 มกี ารกระจายของข้อมลู น้อยกว่าข้อมลูชุดแรก การกระ ายข งข้ มูลประเทศ การกระ ายข งข้ มูลสมมุติ Means = 44.16, S.D. = 34.29 Means = 44.16, S.D. = 2.63แต่เม่ือพิจำรณำถึงกำรกระจำยของขอ้ มูลจะพบวำ่ เลขชุดท่ี 2 มกี ำรกระจำยของขอ้ มลู นอ้ ยกว่ำขอ้ มลู ชุดแรก ซ่ึงสำมำรถแสดงไดใ้ นรูปแผนภูมขิ ำ้ งตน้ โดยลกั ษณะกำรกระจำยมำกฐำนกรำฟกวำ้ งโด่งนอ้ ย กระจำยนอ้ ยฐำนแคบโด่งมำกการวดั การกระจายของข้อมลู มี 2 วธิ ี คอื 1.กำรวดั กำรกระจำยสมั บูรณ์ (Absolute Variation) 2.กำรวดั กำรกระจำยสมั พทั ธ์ (Relative Variation)1.15.1 การวดั การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) กำรพจิ ำรณำลกั ษณะของขอ้ มูลดว้ ยกำรใชก้ ำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำงเพยี งอยำ่ งเดียวอำจทำใหไ้ ม่ทรำบถงึ ลกั ษณะของขอ้ มลู เพียงพอ จำเป็นตอ้ งมกี ำรวดั กระจำยควบค่กู นั ไปดว้ ย ขอ้ มลู ชุดใดประกอบดว้ ยค่ำที่มคี วำมมำกนอ้ ยแตกต่ำงกนั มำก แสดงว่ำขอ้ มูลน้นั มกี ำรกระจำยมำก ขอ้ มลู ใดที่ประกอบดว้ ยค่ำท่ีใกลเ้ คียงกนัขอ้ มูลชุดน้นั จะมกี ำรกระจำยนอ้ ย ดงั น้นั ตวั เลขท่ีใชว้ ดั กำรกระจำยของขอ้ มูลกบั ค่ำของตวั กลำงจะเป็นตวั แทนของขอ้ มูลท้งั ชุดในกำรวิเครำะหข์ อ้ มูลต่อไป วธิ ีกำรวดั กำรกระจำยมหี ลำยวิธี แต่ท่ีนิยมกนั มำกมี 4 วิธี คือ 1. พิสยั (Range) 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation) 3. ส่วนเบ่ียงเบนเฉลยี่ (Mean Deviation or Average Deviation) 4. ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน (Standard Deviation) และ ควำมแปรปรวน (Variance)1. พสิ ัย (Range) เป็นกำรวดั กำรกระจำยที่ง่ำยท่ีสุดและรวดเร็ว ค่ำของพสิ ยั คือ ผลต่ำงระหว่ำงค่ำสูงสุดกบัค่ำต่ำสุดของขอ้ มูลในกลุ่ม กำรหำค่ำพิสยั แบ่งกำรหำเป็น 2 กรณีสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -93 กรณที ี่ 1 ข้อมูลทไ่ี ม่ได้จดั เป็ นช่วง ถำ้ x1 , x2 , x3 , .... , xN เป็นขอ้ มูลท่ีไมไ่ ดจ้ ดั เป็นช่วงแลว้ พิสยั  X max  X min เมือ่ Xmax  ค่ำจำกกำรสงั เกตในขอ้ มูลท่ีมคี ่ำสูงสุด Xmin  ค่ำจำกกำรสงั เกตในขอ้ มลู ท่ีมีค่ำต่ำสุดกรณที ี่ 2 ข้อมูลที่จดั เป็ นช่วง ถำ้ ขอ้ มูลที่จดั เป็นช่วง แต่ละอนั ตรภำคช้นั ไมจ่ ำเป็นตอ้ งมคี วำมกวำ้ งเท่ำกนั แต่ตอ้ งไม่เป็นอนั ตรภำคช้นั เปิ ดแลว้ พิสยั  U  L เม่อื U  ขอบบนของอนั ตรภำคช้นั ที่มคี ่ำสูงสุด L  ขอบลำ่ งของอนั ตรภำคช้นั ที่มคี ่ำต่ำสุดตวั อย่างท่ี 1.26 ขอ้ มลู ต่อไปน้ีแสดงยอดขำยรถยนตน์ ง่ั ญ่ีป่ ุน ในสหรัฐอเมริกำในรอบปี 2006บริษทั ผผู้ ลิต ฮอนดำ้ โตโยตำ้ นิสสนั มำสดำ้ มติ ซูบิชิจำนวนคนั 894,549 765,241 460,584 299,099 150,285จงหำพสิ ยั ของยอดขำยวธิ ีทา จำกสูตร พสิ ยั  Xmax  Xmin  894,549 150, 285  744, 264 คนัตวั อย่างท่ี 1.27 ในกำรศกึ ษำร้ำนคำ้ ปลีกที่แตกต่ำงกนั 5 ชนิด ใน 11 เมืองใหญ่ของสหรัฐอเมริกำ พบวำ่รำคำขำยปลกี ของตูเ้ ยน็ และเคร่ืองครัวอืน่ ๆ มีควำมแตกต่ำงกนั มำก สำหรับตูเ้ ยน็ ท่ีคุณภำพและขนำดท่ีเหมอื นกนั พบว่ำรำคำแตกต่ำงกนั ดงั ตำรำง รำคำ ($) จำนวน 380 – 399 27 400 – 419 65 420 – 439 60 440 – 459 45 460 – 479 38 480 – 499 13 500 – 519 2จงหำพิสยัวธิ ีทา จำกสูตร พิสยั  U  L เมอ่ื U  ขอบบนของอนั ตรภำคช้นั ท่ีมคี ำ่ สูงสุดสาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ที่ 1 -94 L  ขอบล่ำงของอนั ตรภำคช้นั ท่ีมคี ่ำต่ำสุด ดงั น้นั พิสยั  $519.5  $379.5  $140ข้อสังเกตจากการใช้พสิ ัย 1. กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มลู โดยใชพ้ ิสยั ถือวำ่ เป็นกำรวดั กำรกระจำยท่ีค่อนขำ้ งหยำบ เพรำะเป็นค่ำที่คำนวณจำกค่ำเพียง 2 ค่ำเท่ำน้นั ส่วนค่ำอนื่ ๆ ในขอ้ มูลไม่มีส่วนเกี่ยวขอ้ งแต่อยำ่ งใด ดงั น้นั ค่ำที่ไดอ้ ำจจะเกินควำมเป็นจริงไปก็ได้ เป็นตน้ ว่ำ ถำ้ ขอ้ มูลท่ีค่ำสูงสุดมคี ่ำมำกกว่ำค่ำอ่นื อยำ่ งผดิ ปกติ หรือขอ้ มลู ที่มคี ่ำต่ำสุดมคี ่ำนอ้ ยกว่ำค่ำอ่ืนอยำ่ งผดิ ปกติ ก็จะทำใหพ้ ิสยั มีค่ำมำกเกินควำมเป็นจริง เช่น ขอ้ มลู ชุดหน่ึงเป็นดงั น้ี 5 , 6 , 5 ,7 ,100 ขอ้ มลู ชุดน้ีมพี สิ ยั เท่ำกบั 95 ซ่ึงมำกเกินควำมเป็นจริง เพรำะค่ำอน่ื ๆ นอกจำก 100มกี ำรกระจำยนอ้ ย ดงั น้นั เม่อื คำนวณค่ำได้ 95 จึงทำใหด้ ูเหมือนว่ำขอ้ มลู น้ีมกี ำรกระจำยมำก จึงทำใหค้ วำมละเอียดถูกตอ้ งท่ีไดจ้ ำกกำรวดั กำรกระจำยโดยใชพ้ ิสยั อำจจะมนี อ้ ยกวำ่ กำรวดั กำรกระจำยดว้ ยวธิ ีอน่ื แต่อยำ่ งไรก็ตำม กำรวดั กำรกระจำยโดยใชพ้ สิ ยั กม็ ีส่วนดตี รงที่สำมำรถวดั ไดส้ ะดวกและรวดเร็วกวำ่ วิธีอน่ื 2. พสิ ยั เหมำะสำหรับใชว้ ดั กำรกระจำยขอ้ มูลท่ีมีจำนวนนอ้ ย 3. พสิ ยั เหมำะสำหรับเปรียบเทียบกำรกระจำยของขอ้ มูลหลำยๆชุดอยำ่ งคร่ำวๆ2. พสิ ัยระหว่างควอไทล์ (Interquartile Range) พสิ ยั ระหว่ำงควอไทล์ (Interquartile Range) ใชต้ วั ยอ่ วำ่ IR เป็นกำรคำนวณหำพสิ ยั ของขอ้ มลู ที่อยชู่ ่วงระหวำ่ งควอไทลท์ ี่ 3 กบั ควอไทลท์ ี่ 1 (หรือระหวำ่ งส่วนท่ี 3 กบั ส่วนท่ี 1 หลงั จำกท่ีเรียงลา บั ข้ มูล ากน้ ย ปมาก โ ยแบงข้ มูล กเป็น 4 สวน ๆ เทา ๆ กนั คื 25% หรื ¼ ข งข้ มลู ท้งั หม ) โ ยมสี ูตร งั น้ีตวั อยำ่ งที่ 1.28 จงหำพิสยั ระหวำ่ งควอไทลข์ องคะแนนตอ่ ไปน้ี 4, 10, 8, 10, 4, 4, 14, 10, 4, 4, 8, 10, 4,6, 4, 8, 12, 4, 12, 10 ข้ันแรกจะต้องเรียงลาดบั คะแนนก่อนดงั น้ี 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 10,10, 10, 10, 10, 12, 12, 14 แทนค่ำในสูตร ในท่ีน้ี N = 20 เป็นจำนวนคู่∴∴ ิสยั ระหวางคว ทลข์ งข้ มูลมคี าเทากบั 6 สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -95ิสยั ระหวางคว ทล์ เป็นมาตรการวั การกระ ายท่ีมคี วามมคั่ งมากกวา สิ ยั เน่ื ง ากถา้ คะแนนสูงสุ และคะแนนต่าสุ มคี าแตกตาง ากคะแนนท่ี ยูในกลุมมากๆ การใช้ ิสยั ะแส งใหเ้ ห็นภา การกระ ายข งข้ มูลที่แตกตาง ากความเป็น ริง แตถา้ ใช้ ิสยั ระหวางคว ทล์ ะ ส้ ภา ที่เป็น ริงข งขมลู มากกวา ึงนิยมใชค้ าน้ีในการสึกษาการกระ ายข งข้ มูล3. ส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation : Q.D.) จำกหลกั ที่วำ่ ถำ้ ขอ้ มูลกระจำยมำก Q1 และ Q3 จะต่ำงกนั มำก แต่ถำ้ ขอ้ มลู กระจำยนอ้ ย Q1 และQ3 จะใกลก้ นั ดงั น้นั จึงใชร้ ะยะ Q1Q3 แสดงกำรกระจำยของขอ้ มูลซ่ึงเรียกว่ำ ส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ค่ำท่ีใชว้ ดั กำรกระจำยของขอ้ มูล ซ่ึงหำไดจ้ ำกคร่ึงหน่ึงของควำมแตกตำ่ งระหว่ำงควอไทลท์ ี่สำม Q3 และควอไทลท์ ี่หน่ึง Q1 นน่ั คือ Q.D.  1 Q3  Q1  2จำกควำมหมำยของส่วนเบี่ยงเบนควอไทลด์ งั กล่ำว ส่วนเบ่ียงเบนควอไทลเ์ กิดจำกกำรที่เรำตดั ขอ้ มลูส่วนตน้ และส่วนทำ้ ยออกดำ้ นละประมำณ 25% แลว้ นำขอ้ มลู ท่ีเหลอื ส่วนกลำงประมำณ 50% มำหำคร่ึงหน่ึงของพสิ ยั นนั่ เองตวั อย่างท่ี 1.29 กำหนดขอ้ มูลดงั ต่อไปน้ื จงหำส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ 10 , 9 , 12 , 14 , 11 , 8 , 15 , 20 , 18 , 100วธิ ีทา จดั เรียงขอ้ มลู ใหม่จำกนอ้ ยไปหำมำก 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 15 , 18 , 20 , 100หา Q1 ตำแหน่งของ Q1  110 1 4  2.75 Q1  9.75หา Q3 ตำแหน่งของ Q3  310 1 4  8.25 Q3  18.50  Q.D.  1 Q3  Q1  2  1 18.50  9.75 2  4.375สาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ที่ 1 -96ตวั อย่างท่ี 1.30 จงหำส่วนเบี่ยงเบนควอไทลข์ องขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี คะแนน ควำมถ่ี ( f ) ควำมถส่ี ะสม ( F ) 11 - 13 1 1 14 – 16 2 3 17 – 19 18 21 20 – 22 21 42 23 – 25 18 60 26 – 28 7 67 29 – 31 2 69 32 - 34 1 70 N  70หา Q1 ตำแหน่งของ Q1  1 70 4  17.5 ดงั น้นั Q1 อยใู่ นช้นั 17 - 19จำกสูตร  kN  FL   4  Qk  L0  I    fQk    1 N  FL   4  Q1  L0  I  fQ1      16.5  317.5  3 18  18.92หา Q3 ตำแหน่งของ Q3  3 70 4  52.5 ดงั น้นั Q1 อยใู่ นช้นั 23 - 25จำกสูตร  rN  FL   4  Qk  L0  I    fQk  สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -97  3 N  FL   4  Q3  L0  I  fQ3      22.5  352.5  42 18  24.25  Q.D.  1 Q3  Q1  2  1 24.25 18.92 2  2.6654. ส่วนเบยี่ งเบนเฉลย่ี (Mean Deviation : M.D. หรือ Average Deviation : A.D.)กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มลู โดยใชพ้ ิสยั หรือส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ เรำอำศยั ขอ้ มลู เพยี งบำงตวั ของขอ้ มูลชุดน้นั ในกำรคำนวณจึงเป็นกำรวดั กำรกระจำยอยำ่ งคร่ำวๆไม่ดีนกั กำรวดั กำรกระจำยโดยใชส้ ่วนเบ่ียงเบนเฉลีย่ จะใชข้ อ้ มลู ท้งั หมดในกำรวดั โดยพจิ ำรณำจำกส่วนเบี่ยงเบนท่ีชอ้ มูลแต่ละค่ำเบี่ยงเบนไปจำกค่ำกลำงของขอ้ มลู ในชุดน้นั ค่ำกลำงที่นิยมใชค้ ือ ค่ำเฉล่ียเลขคณิต ซ่ึงถำ้ ขอ้ มลู มีกำรกระจำยมำก ส่วนเบี่ยงเบนเหล่ำน้ีกจ็ ะมคี ่ำมำก ค่ำเฉล่ยี ของส่วนเบี่ยงเบนกจ็ ะมีค่ำมำกดว้ ย และถำ้ ขอ้ มูลมีกำรกระจำยนอ้ ย ส่วนเบี่ยงเบนก็จะมคี ่ำนอ้ ย ค่ำเฉลย่ี ก็จะมคี ่ำนอ้ ยดว้ ย ดงั น้นั กำรวดั กำรกระจำยโดยใชส้ ่วนเบ่ียงเบนเฉลีย่ จึงเป็นวิธีกำรวดั กำรกระจำยที่ดีกวำ่ พสิ ยั และส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์การหาส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ีกรณท่ี ่ี 1 กรณขี องข้อมลู ทีไ่ ม่ได้จดั เป็ นช่วงกำหนดขอ้ มูล x1 , x2 , x3 , .... , xN ที่มคี ่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกบั  แลว้ จะไดว้ ำ่ ส่วนเบี่ยงเบนที่ขอ้ มูลแต่ละค่ำเบี่ยงเบนไปจำกค่ำเฉลีย่ เลขคณิต  xi   เม่อื i 1, 2 , 3 , ... , Nดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ ( M.D.)  x1    x2    x3    ... xN   N N  xi    i1 Nตวั อย่างท่ี 1.31 จงหำส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ียของขอ้ มูลต่อไปน้ี 3,3,5,5,5,7,7,8,8,9วธิ ที า เน่ืองจำก N  xi   i1 N    3355577889 10 6สาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

หลกั สถติ ิ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -98จำกสูตร N  xi   M .D  i1 N  3  6  3  6  5  6  ...  9  6 10  3311111 2  2 3 10  1.8หมายเหตุ จำกตวั อยำ่ ง อธิบำยไดว้ ่ำ ค่ำต่ำงๆ ของขอ้ มูลจะอยหู่ ่ำงจำกค่ำเฉลียเลขคณิต ( 6 ) โดยเฉลี่ยแลว้เท่ำกบั 1.8 หน่วยกรณที ่ี 2 กรณขี องข้อมลู ที่ไม่ได้จดั เป็ นช่วงแต่แจกแจงเป็ นความถีแ่ ล้วกำหนดขอ้ มูลแจกแจงควำมถ่ดี งั น้ี คะแนน ควำมถี่ x1 f1 x2 f2 x3 f3 .. .. xk fk k  fi xi  จะได้ i 1 M .D  k  fi i 1ตวั อย่างที่ 1.32 ขอ้ มลู ต่อไปน้ีเป็นอำยขุ องเดก็ 40 คน จงหำส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย อำยุ ( ปี ) จำนวนเดก็ 57 65 10 12 12 10 14 5 15 1สาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

หลกั สถิติ 09121015 หนา้ ท่ี 1 -99วธิ ีทา สร้ำงตำรำใหมด่ งั น้ี fi xi xi   fi xi   xi fi 35 4.25 29.75 30 3.25 16.25 57 120 0.75 9.00 65 110 1.75 17.50 10 12 60 2.75 13.75 12 10 15 5.75 5.75 14 5 15 1  fx  370  f x    92.00  f  40จะได้   370จำกสูตร 40  9.25 ปี k  fi xi   i 1 M .D  k  fi i 1  92 40  2.3 ปีกรณที ี่ 3 กรณขี องข้อมลู ท่ีจดั เป็ นช่วงในกรณีทีข่ อ้ มลู จดั เป็นช่วง กำรหำส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี ทำไดท้ ำนองเดียวกบั กรณีท่ี 2 นน่ั คือ k  fi xi   i 1 M .D  k  fi i 1โดยท่ี xi คือ จุดก่ึงกลำงของช้นั ที่ iตวั อย่างท่ี 1.33 จำกกำรตรวจปริมำณไขมนั ในเลือด ( หน่วย : มิลลิกรัมเปอร์เซน็ ต์ ) ของผปู้ ่ วยซ่ึงเป็นโรคควำมดนั โลหิตสูง จำนวน 30 รำย ปรำกฏขอ้ มลู ดงั น้ีปริมำณไขมนั ในเลอื ด 143 - 147 148 - 152 153 - 157 158 - 162 163 - 167 168 - 172จำนวนคนไขส้ ะสม 3 9 17 24 28 30สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี