คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ระบบจานวน ประเภทของระบบจานวน ระบบจานวนจริง การใชต้ วั เลขเพอ่ื แสดงขอ้ มลู ต่างๆในชวี ิตประจาวนั เชน่ อตั ราแลกเปลย่ี นเงิน ขอ้ มลู สถิติตา่ งๆ การวดั ระยะทางจากสถานทห่ี นึ่งไปสถานท่หี น่ึง การนบั คะแนนเลือกตงั้ นากองคก์ ารบรหิ ารจงั หวดั เป็นตน้ โดยตวั เลขที่ใชม้ ีทงั้ จานวนเตม็ ทศนยิ ม เศษสว่ น ขนึ้ อย่กู บั ความเหมาะสมของตวั เลขที่จะนาไปใชใ้ นงานประเภทต่างๆ ซ่ึงจานวนทีใ่ ช้ อยใู่ นปัจจบุ นั เก่ยี วขอ้ งกบั ทกุ คนทงั้ ในทางคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตรจ์ ะเป็น จานวนจรงิ ซึ่งระบบจานวนจรงิ (Peal Numbers) หมายถงึ ระบบทีป่ ระกอบดว้ ย จานวนท่เี ป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ เช่น - 3,2,10,2.51,0.1498......,1/4, เป็นตน้ จานวนจริงทใ่ี ชก้ นั อย่ทู กุ วนั นปี้ ระกอบดว้ ย จานวนตา่ งๆ ซง่ึ ถือกาเนิดขนึ้ มาจากากรพฒั นาระบบการนบั ของมนษุ ยน์ ่นั เอง (คณาจารยภ์ าควชิ าคณติ ศาสตร,์ 2551: 77) เพอ่ื ใหเ้ ขา้ ใจในเรอ่ื งจานวนจรงิ จงึ แบง่ ประเภทของตวั เลขเป็นจานวนต่างๆเพือ่ ใหเ้ ขา้ ใจง่ายในการทาความเขา้ ใจและเป็น พนื้ ฐานเบือ้ งตน้ ของการศึกษาทางดา้ นคณติ ศาสตร์ ประเภทของระบบจานวนจรงิ ดงั แสดงในแผนภมู ทิ ี่ 1.1

แผนภมู ทิ ี่ 1.1 ประเภทของระบบจานวนจรงิ จากแผนภมู ิที่ 1.1 จะเห็นว่าจานวนจรงิ แบง่ ออกไดเ้ ป็น 2 ประเภทใหญๆ่ คือ จานวน ตรรกยะและจานวนอตรรกยะ มีรายละเอยี ดดงั นี้ 1.1.1 จานวนตรรกยะ จานวนตรรกยะ (Rational Numbers) หมายถงึ จานวนที่เขยี นไดใ้ น รูป a/b โดยท่ี a และ b ต่างกเ็ ป็นจานวนเตม็ และ b ≠ 0 หรือกล่าวไดว้ า่ จานวน ตรรกยะคอื จานวนทสี่ ามารถเขียนในรูปเศษสว่ นของจานวนเต็มไดโ้ ดยทสี่ ่วนไม่เป็น ศนู ย์ เช่น -1,6, , ,0.34 เป็นตน้ จะแสดงใหเ้ หน็ วา่ ตวั เลขต่างๆขา้ งตน้ เป็นจานวน ตรรกยะ เพราะสามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ ดงั นี้ -1 เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ -1 สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ คือ

6 เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ 6 สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ คอื เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ คือ เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ สามารถเขียนในรูปเศษสว่ นได้ คือ 0.34 เป็นจานวนตรรกยะ เพราะ 0.34 สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ คอื 1. จานวนเต็ม (Integers) คอื จานวนที่ไมม่ เี ศษส่วนหรอื ทศนยิ มรวมอยใู่ น จานวนนน้ั เช่น 1,3, -4, -8 เป็นตน้ จานวนเต็มแบง่ ไดเ้ ป็น 3 ชนิดคือ (1) จานวนเต็มบวก (Positive Integers) เป็นจานวนท่ใี ชแ้ ทนปริมาณท่ี มากกว่าศนู ยห์ รอื เรียกว่า จานวนนบั (Counting Numbers) เพราะเป็นจานวนท่ใี ช้ นบั สิ่งของตา่ งๆ โดยนบั จานวนเร่ิมตน้ คอื 1 และนบั เพม่ิ ขนึ้ ทลี ะหนึง่ ไปเรอ่ื ยๆ ไม่มที ่ี สนิ้ สดุ เชน่ 1,2, 3... บางครง้ั จะเรียกจานวนนบั อีกอยา่ งหนึ่งวา่ จานวนธรรมชาติ (Natural Numbers) จากทกี่ ล่าวมาขา้ งตน้ เพ่ือแสดงใหเ้ ห็นจานวนเตม็ บวก ไดอ้ ยา่ ง ชดั เจนจงึ นาตวั เลขต่างๆมาเขียนบนเสน้ จานวน จะเห็นว่าจานวนเตม็ บวกอย่ไู ป ทางดา้ นขวามอื ของเลข 0 ไปเร่อื ยๆ ดงั รูปที่ 1.1 รูปท่ี 1.1 เสน้ จานวนแสดงจานวนเตม็ บวก

ขอ้ สงั เกต จานวนเตม็ บวกทีน่ อ้ ยทส่ี ดุ คือ 1 แตจ่ านวนที่มากทส่ี ดุ ไม่สามารถบอกคา่ ได้ ในเร่อื งจานวนนบั มีเรื่องท่สี าคญั ทต่ี อ้ งกล่าวถงึ อกี คอื จานวนนบั จาแนกไดอ้ กี 2 ประเภท คอื จานวนคแู่ ละจานวนคี่ ซึ่งมีรายละเอียดดงั นี้ 1. จานวนคู่ (Odd Number) คอื จานวนนบั ท่ี 2 หารไดล้ งตวั เชน่ 2,4,6, ... 2. จานวนคี่ (Even Number) คือจานวนนบั ที่ 2 หารแลว้ เหลอื เศษ เชน่ 1,3,5, ... จากท่ีกลา่ วมาจะยกตวั อย่างตวั เลขเพ่อื แสดงว่าจานวนใดเป็นจานวนคหู่ หรอื จานวนคี่ ดงั นี้ 10 เป็นจานวนคู่ เพราะ 10 หาร 2 = 5 46 เป็นจานวนคู่ เพราะ 46 หาร 2 = 23 121 เป็นจานวนคู่ เพราะ 121 หาร 2 ได้ 60 เศษ 1 เมอ่ื นาจานวนคหู่ รือจานวนคี่ มาบวกหรือคณู กนั จะไดเ้ ป็นจานวนค่หู รือจานวนค่ี นนั้ มขี อ้ สงั เกตบางประการของการบวกและการคณู จานวนค่หู รอื จานวนค่ี ดงั นี้ การบวก - จานวนคู่ + จานวนคี่ จะได้ จานวนคู่ เชน่ 2+6 = 8,4+8 = 12 - จานวนคู่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนค่ี เชน่ 2+3 = 5,4+5 = 9 - จานวนคี่ + จานวนคี่ จะได้ จานวนคู่

เช่น 1+1 = 2,3+5 = 8 การคูณ - จานวนคู่ + จานวนคี่ จะได้ จานวนคู่ เช่น 2 = 8,4+8 = 12 - จานวนคู่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนคู่ เชน่ 2+3 = 5,4+5 = 9 - จานวนคี่ + จานวนค่ี จะได้ จานวนคี่ เช่น 1+1 = 2,3+5 = 8 (2) จานวนเต็มลบ (Negative Integers) เป็นจานวนท่ใี ชแ้ ทนปริมาณท่ีนอ้ ย กวา่ ศนู ย์ เขยี นแทนดว้ ยเลขจานวนนบั ทม่ี ีเครอื่ งหมายลบอยดู่ า้ นหนา้ โดยจานวนเต็ม ลบเร่มิ จาก -1 และลดลงทลี ะ 1 ไปเรอ่ื ยๆไม่มที ี่สนิ้ สดุ เชน่ -2, -3, -5... เป็นตน้ หรือ กลา่ วไดว้ า่ จานวนเต็มลบจะอย่ทู างดา้ นซา้ ยมอื ของเลข 0 บนเสน้ จานวน ดงั แสดงใน รูปท่ี 1.2 รูปที่ 1.2 เสน้ จานวนแสดงจานวนเต็มลบ ข้อสงั เกต จานวนเต็มลบที่มีคา่ มากทสี่ ดุ คอื -1 แตจ่ านวนเต็มลบทมี่ คี ่านอ้ ยทสี่ ดุ ไม่สสามารถบอกค่าได้

(3) จานวนเต็มศนู ย์ คอื ตวั เลข 0 เป็นจานวนทอี่ ย่หู ่างจาก 1 ไปทางซา้ ยมือ เป็น ระยะทาง 1 หน่วย รูปที่ 1.3 เสน้ จานวนแสดงจานวนเตม็ ศนู ย์ จานวนเต็มศนู ย์ เลข 0 จะมีคณุ สมบตั ขิ องตวั เลข 0 ทสี่ าคญั คือ เมอื่ นา 0 ไปบวกกบั จานวนใดๆ ผลลพั ธจ์ ะไดเ้ ป็นจานวนนน้ั ๆเสมอ เช่น 1+0 = 0+1 = 1 , (-7)+0 = 0+ (-7) = -7 เม่ือนา 0 ไปคณู กบั จานวนใดๆ ผลลพั ธจ์ ะไดเ้ ป็น 0 เสมอ เชน่ 4 0 = 0 4 = 0 การหาร 0 ดว้ ยจานวนเตม็ ใดๆ ท่ีไม่ใช่ศนู ย์ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ท่ากบั 0 เช่น กล่าวโดยสรุปในเรอ่ื งของจานวนเต็ม แบง่ ไดเ้ ป็น 3 ชนดิ คือ จานวนเต็มบวก จานวน เต็มลบ และจานวนเต็มศนู ย์ เพื่อใหเ้ ขา้ ใจจานวนเต็มบวก จานวนเตม็ ลบ และจานวน เตม็ ศนู ยอ์ ย่างชดั เจนจะนาตัวเลขต่างๆมาเขยี นแสดงรวมทงั้ หมดบนเสน้ จานวน ดงั แสดงในรูปท่ี 1.4

รูปท่ี 1.4 เสน้ จานวนแสดงจานวนเตม็ ประเภทตา่ งๆ จากรูปที่ 1.4 จะเหน็ จานวนเตม็ ประเภทตา่ งๆท่แี สดงบนเสน้ จานวน ดงั นี้ จานวนเต็ม ศนู ยอ์ ยตู่ รงกลางของเสน้ จานวน จานวนเตม็ บวกอยทู่ างดา้ นขวามอื ของเลขศนู ย์ โดย ตวั เลขเรม่ิ ตน้ คือ 1 และเพิ่มขนึ้ ทลี ะ 1 ไปเรอ่ื ยๆ ส่วนจานวนเตม็ ลบอยทู่ างดา้ น ซา้ ยมอื ของเลขศนู ย์ โดยตวั เลขเรม่ิ ตน้ คือ -1 และมีคา่ ลดลงไปทลี ะ -1 ไปเรือ่ ยๆไมม่ ที ี่ สนิ้ สดุ 2. จานวนเศษส่วน (Fractions) เป็นจานวนที่สรา้ งขึน้ เพ่ือใชแ้ ทนจานวนทไ่ี ม่ใช่ จานวนเตม็ โดยท่วั ไปเศษส่วนใดๆเขยี นไดใ้ นรูป a/b โดย a,b เป็นจานวนเตม็ และ b ≠ 0 เรยี ก a ว่าตวั เศษ (Numerator) หมายถึง จานวนส่วนแบ่งทต่ี อ้ งการ และ b ว่า ตวั ส่วน (Denominator) หมายถงึ จานวนทงั้ หมดท่มี อี ย่เู ช่น 1/3 เรียก 1 วา่ เศษ และ เรียก 3 ว่าสว่ น หมายถึง มีของอย่ทู งั้ หมด 3 ส่วนตอ้ งการเพยี ง 1 สว่ น เพ่อื แสดง จานวนเศษสว่ นใหเ้ หน็ ชดั เจนขนึ้ จึงนาไปเขยี นแสดงบนเสน้ จานวนโดยใน 1 หนว่ ย ความยาวบนเสน้ จานวน จะแบง่ ความยาวออกเป็นสว่ นๆท่ีเท่าๆกนั ดงั รูปท่ี 1.5 รูปท่ี 1.5 เสน้ จานวนแสดงจานวนเศษสว่ น

จากรูปท่ี 1.5 อธิบายไดว้ า่ เสน้ จานวนแบ่งระยะหา่ งออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆกนั จดุ A,B,C มคี วามหมายดงั นี้ จดุ A แทน 1/3 แสดงว่าจดุ A อยหู่ ่างจาก 0 ไปทางขวามือเป็นระยะทาง 1 สว่ นของทงั้ หมด 3 ส่วน จดุ B แทน -2/3 แสดงว่าจดุ B อย่หู า่ งจาก 0 ไปทางซา้ ยมอื เป็นระยะทาง 2 สว่ นของทงั้ หมด 3 สว่ น จดุ C แทน 5/3 แสดงวา่ จดุ C อย่หู ่างจาก 0 ไปทางขวามอื เป็นระยะทาง 5 สว่ นของทงั้ หมด 3 สว่ น เศษสว่ นสามารถแบง่ ออกไดเ้ ป็น 3 ประเภท ดงั นี้ 1. เศษส่วนแท้ คือ เศษสว่ นท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ 1 หรอื ตวั เศษมคี า่ นอ้ ยกว่าตวั ส่วน เช่น 1/4,3/5 2. เศษส่วนเกิน คอื เศษสว่ นท่ีมคี ่ามากกว่า 1 หรือตวั เศษมคี ่ามากกวา่ ตวั ส่วน เชน่ 3/2,5/3 3. เศษส่วนจานวนคละ คือ เศษส่วนทีม่ ีจานวนเตม็ ส่วนหนึ่งกบั เศษสว่ นของจานวน เตม็ อกี ส่วนหน่ึง ข้อสงั เกต ของจานวนเศษสว่ น จานวนเตม็ ทกุ จานวนสามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรูปเศษส่วนได้ คือ สว่ นเป็น 1 เสมอ แตไ่ ม่ นิยมเขยี น 1 กากบั ไว้

สามารถเปลย่ี นจานวนทีอ่ ย่ใู นรูปเศษสว่ นใหเ้ ป็นทศนยิ มไดโ้ ดยนาตวั ส่วนไปเป็น ตวั หารเศษ กรณี 2/9 = 0.222... เม่อื หารไปเรอื่ ยๆจะไดเ้ ลข 2 ซา้ กนั เพราะหารเหลือเศษเท่ากนั ทกุ ครงั้ ทศนยิ มทไี่ ดน้ เี้ รยี กวา่ ทศนยิ มซา้ เชน่ 1/15 = 0.0666... หรอื 0.06 อา่ นว่า ศนู ยจ์ ดุ ศนู ยห์ ก หกซา้ , 5/6 = 0.8333... หรือ 0.83 อ่านว่า ศนู ยจ์ ดุ แปดสาม สามซา้ , 3/4 = 0.75 หรือ 0.750 อา่ นว่าศนู ยจ์ ดุ เจด็ หา้ ศนู ย์ ศนู ยซ์ า้ เพราะเมอ่ื หารไปเรือ่ ยๆ จะไดศ้ นู ยซ์ า้ แตจ่ ะไมน่ ิยมเขียนศนู ยซ์ า้ ดงั นนั้ เศษส่วนทกุ จานวนสามารถเปล่ยี นเป็น รูปทศนิยมซา้ ได้ 3. จานวนทศนยิ ม (Decimal Numbers) เป็นจานวนท่ีประกอบไปดว้ ย 2 ส่วน คือ ส่วนทเ่ี ป็นจานวนเตม็ และส่วนทีเ่ ป็นทศนยิ ม และใชส้ ญั ลกั ษณจ์ ดุ (.) ค่นั ระหวา่ งสว่ น ที่เป็นจานวนเตม็ และสว่ นที่เป็นทศนิยมหรือการเขยี นตวั เลขแสดงจานวนที่มคี า่ นอ้ ย กวา่ 1 จานวนทศนิยมทเ่ี ป็นจานวนตรรกยะสามารถแบ่งไดเ้ ป็น 2 ประเภท คือ (1) ทศนยิ มรูจ้ บ เป็นจานวนทมี่ ตี วั เลขหลงั จุดทศนยิ มแนน่ อนหรอื มศี นู ยซ์ า้ เชน่ 1.2, 3.55, 9.245 เป็นตน้ (2) ทศนิยมไม่รูจ้ บชนดิ ซา้ กนั เป็นจานวนทม่ี ีเลขทศนิยมตวั หนงึ่ หรือมากกว่า ซา้ ๆกนั ไม่มที ่สี นิ้ สดุ โดยคาดเดาเลขทศนิยมตวั ตต่อไปไดว้ า่ จะเป็นเลขอะไร เช่น 0.23, 1.54, 40.64 เป็นตน้ 1.1.2 จานวนอตรรกยะ

จานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) คอื จานวนทไ่ี มส่ ามารถเขยี น ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มทตี่ วั หารไม่เป็นศนู ย์ แต่เขยี นไดใ้ นรูปทศนิยมไมซ่ า้ และ สามารถกาหนดคา่ โดยประมาณได้ จานวนอตรรกยะสามารถแบ่งได้ เป็น 3 ประเภท คอื 1. จานวนที่อยใู่ นเครอ่ื งหมายกรณฑ์ ( ) และไมส่ ามารถถอดคา่ ออกมาได้ เป็นตวั เลขทแ่ี น่นอน เช่น = 1.73205080757....... เป็นตน้ 2. จานวนทศนิยมไมร่ ูจ้ บและไม่ซา้ กนั ไดแ้ ก่ ทศนิยมท่ีมตี วั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มมากมายโดยไม่ซา้ กนั และไมส่ ามารถคาดเดาตวั เลขตวั ต่อไปไดเ้ ลยว่าเป็นเลข อะไร เชน่ 0.5836..., 1.2573..., 3.4925... เป็นตน้ 3. ค่า และ e โดย เป็นค่าคงตวั ทางคณติ ศาสตรท์ ี่เกิดจากความยาวเสน้ รอบ วงหารดว้ ยเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม คา่ ของ = 3.14159265359... และ e เป็นตวั เลขของออยเลอร์ (Euler Number หรอื Eulerian Number) ค่าของ e = 2.71828182846... สมบัตขิ องจานวนจรงิ สมบตั ิของจานวนจรงิ มีความสาคญั ต่อการดาเนินการทางคณิตศาสตรข์ องจานวน ต่างๆในระบบจานวนจริง การดาเนนิ การนหี้ มายถึงการบวกและการคณู ความรู้ เก่ยี วกบั สมบตั ิของจานวนจรงิ มคี วามสาคญั เพราะเป็นพนื้ ฐานในการศกึ ษาขนั้ สงู ตอ่ ไปทงั้ ทางคณิตศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตร์ กลา่ วคอื จานวนจริงใดๆจะมสี มบัตกิ าร เทา่ กนั สมบตั ิการบวก และสมบตั กิ ารคณู ของจานวนจรงิ ซง่ึ มีรายละเอียดดงั นี้ 1.2.1 สมบัติการเท่ากนั ของจานวนจรงิ กาหนด a,b,c เป็นจานวนจริงใดๆ สมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจรงิ มีดงั นี้

1. สมบตั ิการสะทอ้ นคอื a = a หรือกล่าวไดว้ า่ จานวนจริงใดๆย่อมเท่ากบั จานวนจรงิ จานวนนนั้ เชน่ 4 =4 , 6 = 6 2. สมบตั ิการสมมาตร คอื ถา้ a = b แลว้ b = a หรอื กล่าวไดว้ า่ จานวนจรงิ ใดๆที่เทา่ กนั สามารถสลบั ตาแหนง่ กนั ได้ เชน่ a = 6 แลว้ 6 = a หรอื b= -2 และ -2 = b 3. สมบตั กิ ารถา่ ยทอด คอื ถา้ a = b และ b = c แลว้ จะได้ a = c หรือกล่าว ไดว้ ่าสาหรบั จานวนจริง ถา้ จานวนท่ีหนง่ึ เท่ากบั จานวนทสี่ องและจานวนทส่ี องเท่ากบั จานวนทีส่ ามแลว้ จานวนทหี่ น่ึงและจานวนทส่ี ามจะเทา่ กนั ดว้ ย 4. สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั คอื ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c หรือ กล่าวไดว้ ่าสาหรบั จานวนจริงสองจานวนทีเ่ ท่ากนั เม่อื บวกแต่ละจานวนดว้ ยจานวนท่ี เทา่ กนั แลว้ ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะเทา่ กนั ดว้ ย เช่น a = b แลว้ a + 9 = b + 9 b = c แลว้ b + 1 = c + 1 5. สมบตั กิ ารคณู ดว้ ยจานวนท่เี ท่ากนั คือ ถา้ a = b แลว้ a*c = b*c หรือ กล่าวไดว้ ่าถา้ จานวนจรงิ สองจานวนทเ่ี ทา่ กนั เมื่อคณู แต่ละจานวนดว้ ยจานวน เดียวกนั แลว้ ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะเทา่ กนั ดว้ ย เชน่ a = b แลว้ a 3 = b 3 b = c แลว้ b 4 = c 4 จากทก่ี ลา่ วมา จะเห็นว่าสมบตั กิ ารเทา่ กนั ของจานวนจริง จะมสี มบตั ิ 5 ขอ้ คอื สมบตั ิ การสะทอ้ น สมบตั กิ ารสมมาตร สมบตั กิ ารถา่ ยทอด สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนท่ี เท่ากนั และสมบตั กิ ารคณู ดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั เพ่ือความเขา้ ใจในเร่ืองสมบตั ิการ เท่ากนั ของจานวนจริง ขอใหศ้ ึกษาจากตวั อยา่ งต่อไปนี้

ตัวอยา่ งที่ 1.1 จงพิจารณาและบอกสมบัติการเท่ากันของจานวนจริงวา่ ตรง กับสมบตั ิในข้อใด 1. ถา้ a = b แลว้ b = 5 แลว้ a = 5 2. ถา้ - 3 = 15 แลว้ = 18 3. ถา้ = 5 แลว้ = 40 4. a = 3 และ = a วิธีทา 1. ถ้า a = b แลว้ b = 5 แล้ว a = 5 สมบตั ิการถ่ายทอด กลา่ วคอื ถา้ a = b และ b = c แลว้ จะได้ a = c เพราะถา้ จานวนหนึง่ เท่ากบั จานวนท่ีสอง จานวนทส่ี องเทา่ กบั จานวนท่ีสามแลว้ จานวนหนง่ึ และจานวนท่ี สามจะเท่ากนั ดว้ ย 2. ถา้ - 3 = 15 แลว้ = 18 สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนท่ีเทา่ กนั กลา่ วคอื ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c โจทยข์ อ้ นใี้ ช้ 3 บวกทงั้ สองขา้ ง ดงั นี้ ถา้ - 3 = 15 แลว้ - 3 + 3 = 15 + 3

ดงั นนั้ = 18 3. ถ้า = 15 แล้ว = 40 สมบตั ิการคณู ดว้ ยจานวนทีเ่ ท่ากนั กลา่ วคอื ถา้ a = b แลว้ a c = b c โจทยข์ อ้ นใี้ ช้ 8 คณู ทงั้ สอง ขา้ ง ดงั นี้ ถา้ = 5 แลว้ 8 = 5 8 ดงั นนั้ = 40 1.2.2 สมบัติการบวกในระบบจานวนจรงิ กาหนด a,b,c เป็นจานวนจริงใดๆ สมบตั กิ ารบวกในระบบจานวนจริง มีดงั นี้ 1. สมบตั ปิ ิดการบวก ถา้ a และ b เป็นจานวนจริงแลว้ จะได้ a+b เป็นจานวน จรงิ ดว้ ย เช่น 1 และ 5 เป็นจานวนจรงิ 1 + 5 = 6 เป็นจานวนจรงิ ดว้ ย 2. สมบตั ิการสลบั ทข่ี องการบวก ถา้ a และ b เป็นจานวนจริงแลว้ จะได้ a + b = b + a เช่น 4 + 5 = 5 + 4 เพราะไดค้ าตอบเท่ากบั 9 เทา่ กนั 3. สมบตั กิ ารเปลีย่ นกลมุ่ การบวก ถา้ a, b, c เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c

4. เอกลกั ษณก์ ารบวก เนือ่ งจากในระบบจานวนจริง มี 0 เป็นเอกลกั ษณก์ าร บวก ถา้ a เป็นจานวนจริงแลว้ จะได้ a + 0 = 0 + a = a หรอื อาจกล่าวไดว้ ่า 0 เม่ือ นาไปบวกกบั จานวนจรงิ ใดๆ ผลลพั ธย์ ่อมไดจ้ านวนนนั้ เชน่ 4 + 0 = 0 + 4 = 4 5. อินเวอรส์ การบวก คือ a + (-a) = (-a) + a = 0 น่นั คอื ในระบบจานวนจรงิ จานวน a จะมี -a เป็นอนิ เวอรส์ การบวก หรืออาจกล่าวไดว้ ่า ถา้ a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ จะมจี านวนจริง จานวนหน่งึ เขยี นแทนดว้ ย -a ท่ที าให้ a + (-a) = -a = a = 0 เรียก -a วา่ เป็นอินเวอรส์ การบวกของ a น่นั คือ ถา้ สองจานวนบวกกนั ไดเ้ ท่ากบั 0 จะ เรียกว่าจานวนทงั้ สองวา่ เป็นอนิ เวอรส์ การบวกซึง่ กนั และกนั 1.2.3 สมบัติการคูณในระบบจานวนจริง กาหนด a,b,c เป็นจานวนจริงใดๆ สมบตั กิ ารคณู ในระบบจานวนจรงิ มดี งั นี้ 1. สมบตั ปิ ิดการคณู คอื a*b หรอื เขียนเป็น ab ไดจ้ านวนจริงดว้ ย กล่าวคอื a และ b เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะได้ a*b เป็นจานวนจริงดว้ ย 2. สมบตั กิ ารสลบั ทีข่ องการคณู คือ a*b = b*a หรอื เขยี นเป็น ab = ba กลา่ วคือ a และ b เป็นจานวนจริงแลว้ จะได้ a*b = b*a 3. สมบตั ิการเปล่ยี นกลมุ่ ของการคณู คอื a* (b*c) = (a*b) *c a หรือเขียน เป็น (bc) = (ab)c กลา่ วคือ ถา้ a, b, c เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะได้ a* (b*c) = (a*b)*c a 4. เอกลกั ษณก์ ารคูณ คือ (1*a) = (a*1) = a ในระบบจานวนจรงิ กาหนดให้ 1 เป็นสญั ลกั ษณส์ าหรบั การคณู ถา้ a เป็นจานวนจริง แลว้ จะได้ 1*a = a*1 = a หรือ กล่าวไดว้ า่ 1 เมอ่ื นาไปคณู กบั จานวนใดๆ ผลลพั ธย์ ่อมไดจ้ านวนนนั้

5. อินเวอรส์ การคณู สาหรบั จานวนจรงิ ใดๆท่ี a ≠ 0 แตะ่ จานวนจะมีจานวน จริงจานวนหนึ่ง เขียนแทนดว้ ยวา่ เป็นอินเวอรส์ การคณู ของ a หรือกล่าวไดว้ า่ จานวน สองจานวนทคี่ ณู กนั แลว้ ไดเ้ ทา่ กบั 1 จะเรยี กจานวนทงั้ สองวา่ เป็นอนิ เวอรส์ การคณู ของกนั และกนั 6. สมบตั ิการแจกแจง จากทีก่ ล่าวมา จะเห็นวา่ สมบตั กิ ารคณู ของจานวนจรงิ จะมีสมบตั ิ 6 ขอ้ คือ สมบตั ปิ ิด การคณู สมบตั กิ ารสลบั ทขี่ องการคณู สมบตั ิการเปลย่ี นกล่มุ ของการคณู เอกลกั ษณ์ การคณู อินเวอรส์ การคณู สมบตั กิ ารแจกแจง ดงั กล่าวขา้ งตน้ เพ่อื ความเขา้ ใจในเร่อื ง สมบตั กิ าารคณู ของจานวนจรงิ ขอใหศ้ กึ ษาจากตวั อยา่ ง หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 2 ระบบเลขฐาน 2.1 ระบบเลขฐานทใ่ี ชใ้ นคอมพวิ เตอร์ มนษุ ยต์ ิดตอ่ สอื่ สารทางคณติ ศาสตรด์ ว้ ยระบบเลขฐานสิบ ซ่งึ เป็นที่รูจ้ กั กนั และ ใชก้ นั อยา่ งแพรห่ ลายท่วั โลก แตร่ ะบบคอมพิวเตอรก์ ารทางานภายในเครอ่ื ง คอมพวิ เตอรจ์ ะใชร้ ะบบเลขฐานสอง เพราะอปุ กรณภ์ ายในเครอื่ งคอมพวิ เตอรเ์ ป็น วงจรอเิ ลก็ ทรอนิกสใ์ ชส้ ญั ญาณไฟฟา้ ในการทางาน และมีการทางาน 2 สภาวะ คอื กระแสไฟเปิด (ON) และกระแสไฟปิด(OFF) มีการเช่อื มโยงเลขฐานสองซ่งึ มตี วั เลข สองตวั คอื 1 และ0 เขา้ กบั สภาวะดงั กล่าวโดยการกาหนดใหก้ ระแสไฟฟา้ เปิด แทน ดว้ ย 1 และกระแสไฟฟ้าปิด แทนดว้ ย 0 เพือ่ ใหเ้ ขา้ ใจการทางานพืน้ ฐานของ คอมพิวเตอร์ สาหรบั การทางานคาส่งั หรือโปรแกรมต่างๆ ซงึ่ จะใชเ้ ลขฐานสองทางาน จึงไมส่ ะดวก จึงนาเลขฐานอน่ื มาใชร้ ว่ มดว้ ย เชน่ เลขฐานแปด เลขฐานหก เป็นตน้ เพอื่ ใหค้ อมพิวเตอรท์ างานไดอ้ ยา่ งรวดเร็วและมีประสทิ ธิภาพมากทส่ี ดุ

ในระบบคอมพิวเตอรม์ ีการใชเ้ ลขฐานอยู่ 4 ระบบคือ 1. ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) 2. ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) 3. ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) 4. ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number System) ตารางท่ี 2.1 จานวนหลกั ของระบบเลขฐานตา่ งๆ ระบบจานวน จานวนหลัก (Digit) เลขฐานสอง 01 เลขฐานแปด 01234567 เลขฐานสบิ 0123456789 เลขฐานสบิ หก 0123456789ABCDEF 2.2 ระบบเลขฐานสบิ ระบบเลขฐานสิบ เป็นระบบเลขที่ใชก้ นั ในชวี ิตประจาวนั ไมว่ า่ จะนาไปใชค้ านวณ ประเภทใด โดยจะมสี ญั ลกั ษณท์ ใ่ี ชแ้ ทนตวั เลขตา่ งๆ ของเลขฐานสิบ (Symbol)

จานวน 10 ตวั ตวั เลขหรอื ท่ีเรยี กว่า Digit ทใ่ี ชแ้ ทนระบบเลขฐานสิบ ไดแ้ ก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตวั เลขแต่ละตวั จะมีคา่ ประจาตวั โดยกาหนดใหค้ ่าท่นี อ้ ยทส่ี ดุ คอื 0 (ศนู ย)์ และ เพมิ่ คา่ ทีละหนึง่ จนครบจานวน 10 ตวั ดงั นนั้ คา่ มากท่ีสดุ คือ 9 การนาตวั เลขเหลา่ นี้ มารวมกลมุ่ กนั ทาใหเ้ กิดความหมายเป็น \"ค่า\" นน้ั อาศยั วิธีการกาหนด \"หลกั \" ของ ตวั เลข (Position Notation) กลา่ วคอื ค่าของตวั เลขจานวนหนึง่ พจิ ารณาไดจ้ ากสอง ส่ิงคอื - ค่าประจาตวั ของตวั เลขแต่ละตวั - คา่ หลกั ในตาแหนง่ ทตี่ วั เลขนน้ั ปรากฎอยู่ ในระบบที่ว่าดว้ ยตาแหนง่ ของตวั เลข ตาแหน่งท่ีอยทู่ างขวาสดุ จะเป็นหลกั ท่ีมีค่านอ้ ย ที่สดุ เรียกวา่ Least Significant Digit (LSD) และตวั เลขทอ่ี ย่ใู นหลกั ซา้ ยสดุ จะมีค่า มากท่สี ดุ เรยี กวา่ Most Significant Digit (MSD) ตวั อยา่ ง จานวน 1,897 Most Significant Digit Least Significant Digit (MSD) (LSD) 1 897 นิยาม ค่าหลกั ของตวั เลขใดๆ คอื คา่ ของฐานยกกาลงั ดว้ ยค่าประจาตาแหนง่ ของแต่ ละหลกั โดยกาหนดใหค้ ่าประจาตาแหน่งของหลกั ของ LSD มคี ่าเป็น 0 ในระบบ

เลขฐานสบิ จะมสี ญั ลกั ษณอ์ ยู่ 10 อย่าง คือ 0 - 9 จานวนขนาดของเลขฐานสบิ สามารถอธิบายได้ โดยใชต้ าแหนง่ นา้ หนกั ของแต่ละหลกั (Positional Weight) โดย พิจารณาจากเลข ดงั ตอ่ ไปนี้ ค่าตวั เลข 4,897 สามารถขยายไดด้ งั นี้ 4,897 = 4000 + 800 + 90 + 7 = (4 x 103) + (8 x 102) + (9 x 101) + (7 x 100) จะเหน็ วา่ นา้ หนกั ตามตาแหน่ง ของตวั เลขต่างๆ สามารถขยายตามระบบจานวนได้ และถกู แทนท่ดี ว้ ยสมการ ดงั ต่อไปนี้ N = dnRn + ... + d3R3 + d2R2 + D1R1 + D0R0 เมื่อ N คอื ค่าของจานวนฐานสิบท่ตี อ้ งการ dn คอื ตวั เลขที่อย่ใู นตาแหน่งต่างๆ R คอื ฐานของจานวนตวั เลขนนั้ ๆ n คือ คา่ ยกกาลงั ของฐานตามตาแหนง่ ตา่ งๆ 2.3 ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานสอง มสี ญั ลกั ษณท์ ่ีใชเ้ พยี งสองตวั คือ 0 และ 1 ถา้ เปรียบเทียบ เลขฐานสอง กบั เลขฐานสบิ แลว้ ค่าของหลกั ทถ่ี ดั จากหลกั ที่นอ้ ยทสี่ ดุ (LSD) ขนึ้ ไป จะมีคา่ เทา่ กบั ฐานสองยกกาลงั หมายเลขหลกั แทนท่จี ะเป็น 10 ยกกาลงั ดงั นี้

เลขฐานสิบ เลขฐานสอง 100 1 หนว่ ย 20 1 หนง่ึ 101 10 สิบ 21 2 สอง 102 100 รอ้ ย 22 4 ส่ี 103 1000 พนั 23 8 แปด 104 10000 หมืน่ 24 16 สบิ หก 105 100000 แสน 25 32 สามสิบ สอง ระบบเลขฐานสองเกิดจากการใชต้ วั เลขเพยี ง 2 ตวั คือ 0 และ 1 ดงั นนั้ สมการคอื N= dnRn + ... + d3R3 + d2R2 + D1R1 + D0R0 เมือ่ d คอื คา่ 0 หรือ 1 เช่น 1101 = (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) เพือ่ ตดั ปัญหายงุ่ ยาก ในการแทนค่าของเลขระบบตา่ งๆ เรานยิ มเขยี น ตวั เลขอย่ใู นวง และเขียนคา่ ของฐานนน้ั อย่นู อกวงเลบ็ เช่น (101101)2 =(45)10 สาหรบั เศษสว่ น จะเขียนค่าของเศษสว่ นอย่หู ลงั จดุ (Binary Point)ยกกาลงั เป็นลบเพมิ่ ขนึ้ ตามลาดบั ดงั ตวั อยา่ ง (0.1011)2 = (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) + (1 x 2-4)

2.4 ระบบเลขฐานแปด เป็นเลขฐานทป่ี ระกอบดว้ ยเลข 8 ตวั ซึง่ ประกอบดว้ ยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ซง่ึ เป็นเลขฐานท่ีเพมิ่ เนอื้ ทห่ี นว่ ยความจาในการเกบ็ ใหม้ ากขนึ้ การเก็บข้อมลู เป็นเลข ฐาน 8 จะทาใหเ้ ก็บขอ้ มลู ไดม้ ากขนึ้

2.5 ระบบเลขฐานสิบหก ป็นเลขฐานท่ีประกอบดว้ ยตวั เลข 10 ตวั และตวั อกั ษรแทนตวั เลขอกี 6 ตวั ซึง่ ประกอบดว้ ยเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และตวั อกั ษรภาษาองั กฤษแทน 10 ถึง 15 ไดแ้ ก่ A, B, C, D, E, F ซึง่ ก็จะเกบ็ ขอ้ มลู ไดม้ ากกวา่ ระบบเลขฐาน 2 ฐาน 8 ระบบเลขฐานสบิ หก (hexadecimal)นจี้ ะเป็นท่ีนิยมใชใ้ นการเขา้ รหสั (encode)คาส่งั ควบคมุ เครื่อง (control code ) ท่ีอยใู่ นระบบเลขฐานสอง ( binary ) ทีม่ จี านวนคาส่งั ยาวมากๆ ยกตวั อยา่ งไดเ้ ช่นตามคาอธิบายขา้ งตน้ ถา้ 11111 เป็น คาส่งั ควบคมุ เคร่อื งในรูปเลขฐานสอง(binary)คอื 11111 ผคู้ วบคมุ เครื่องอาจจะ เขา้ รหสั ( encode)คาส่งั ควบคมุ เคร่อื งไวใ้ นรหสั บารโ์ คด้ (barcode)ในรูป 1F ถา้ ใช้ รหสั เลขฐานสิบหก (hexadecimal)ซ่ึงบารโ์ คด้ (barcode)นน้ั เวลาพมิ พท์ ่จี ะใชใ้ ห้ เครื่องอา่ นคาส่งั ควบคมุ เคร่ือง จะใชค้ วามยาวของบารโ์ คด้ (barcode) 2 ตวั เช่นการ ใชร้ ะบบเลขฐานสิบหก (hexadecimal)นใี้ นการเขา้ รหสั (encode)คาส่งั ควบคมุ

เคร่ือง (control code )สาหรบั เครอื่ งจกั รอตั โนมตั ิความเร็วสงู ( high speed Finishing system) เป็นตน้ หน่วยที่ 3 การแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์ 3.1 ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งคณิตศาสตรก์ บั การทางานของเครอื่ ง คอมพิวเตอร์ ทางคณิตศาสตรม์ นษุ ยต์ ิดตอ่ ส่อื สารกนั ดว้ ยเลขฐานสิบ เพราะทกุ คนมีความเขา้ ใจ เหมือนกนั ในการสื่อความหมาย แตก่ ารทางานภายในคอมพิวเตอรใ์ ชเ้ ลขฐานสองใน การทางาน เพ่อื ใหเ้ ขา้ ใจการทางานของคอมพิวเตอร์ จงึ ตอ้ งเรียนรูก้ ารแปลงเลขฐาน ตา่ งๆ เพราะเลขฐานเหลา่ นสี้ ามารถแปลงสลบั ไปมาได้ เช่น การแปลงเลขฐานสอง เป็นเลขฐานสิบ การแปลงเลขฐานสบิ เป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขฐานสองเป็น เลขฐานสบิ หก เป็นตน้

ในหน่วยที่ 2 ไดศ้ กึ ษาเก่ยี วกับคา่ ประจาหลกั ของแตล่ ะเลขฐานไปแลว้ ซึ่งในหนว่ ย นจี้ ะใชค้ า่ ประจาหลกั มาชว่ ยในการแปลงเลขฐานต่างๆใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ เพราะ มนษุ ยค์ นุ้ เคยกบั เลขฐานสบิ ซง่ึ จะเป็นความรูพ้ นื้ ฐานของการแปลงเลขฐานสอง เลข ฐานแปด และเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสบิ ค่าของตวั เลขต่างๆจะพิจารณาไดจ้ ากส่ิงต่อไปนี้ คือ 1. ค่าประจาตวั ของตวั เลขแต่ละตวั 2. ค่าประจาหลกั ในตาแหนง่ ที่ตวั เลขนน้ั ปรากฎอยู่ ซ่งึ จะนาค่าทั้งสองอยา่ งนมี้ าคณู กนั แลว้ นาผลคณู ทไี่ ดม้ าบวกกนั จะไดค้ า่ ออกมาเป็นเลขฐานสบิ 3.2 การแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หกเป็ น เลขฐานสบิ หลกั การแปลงเลขฐานอนื่ ๆ เหมอื นกบั กรณีของเลขฐานสบิ แตจ่ ะกล่าวแตล่ ะเลข ฐานเพ่อื ใหเ้ ขา้ ใจไดอ้ ยา่ งชดั เจน 3.1.1 การแปลงเลขฐานสองเป็ นเลขฐานสิบ หลกั การคิดเหมือนกบั กรณีของเลขฐานสิบ คอื ใชค้ า่ ประจาตวั ของตวั เลขแต่ ละตวั คณู กบั คา่ ประจาหลกั ในตาแหน่งทตี่ วั เลขนน้ั ปรากฎอยู่ กรณีเป็นเลขฐานสอง คา่ ประจาหลกั ของเลขฐานสองคือ...., แบง่ การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสบิ เป็น 2 กรณี คือ กรณที ี่ 1 เลขฐานสองเป็ นเลขจานวนเตม็ หลกั การคดิ

1. ใชว้ ธิ ีกระจายเลขฐานสองโดยกระจายตวั เลขจากขวามือไป ซา้ ยมือ เพอื่ ใหง้ ่ายและผิดพลาดนอ้ ยลงเพราะถา้ กระจายตวั เลขจากซา้ ยมอื ไปขวามอื จะลืมว่าค่าประจาหลกั ในตาแหน่งที่ 1 เร่มิ จาก 2 แตจ่ ะคิดเป็น 2 แทนทาใหผ้ ดิ พลาด ไดง้ ่าย 2. เขียนคา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหน่งทตี่ วั เลขนนั้ ปรากฎอย่ใู ห้ ตรงกบั เลขฐานสองแตล่ ะตวั โดยเรยี งจาก 2 ,2 ,2 ,... ตามลาดบั 3. นาตวั เลขฐานสองคณู กบั คา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหล่ง 4. หาคา่ ผลคณู แต่ละวงเล็บและนาผลคณู ทไี่ ดม้ าบวกกนั จะได้ ผลลพั ธข์ องการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ กรณีท่ี 2 เลขฐานสองเป็ นเลขจานวนเตม็ หลกั การคิด 1. กระจายเลขฐานสองโดยกระจายตวั เลขหลงั จดุ ทศนิยมไป ทางขวามือ 2. เขียนคา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหน่งท่ีตวั เลขนน้ั ปรากฎอยใู่ ห้ ตรงกบั เลขฐานสองแตล่ ะตวั โดยเรยี งจาก 2 ,2 ,2 ,... ตามลาดบั 3. นาตวั เลขฐานสองคณู กบั คา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหล่ง 4. หาคา่ ผลคณู ของเลขแตล่ ะวงเลบ็ 5. นาผลคณู ท่ไี ดม้ าบวกกนั จะไดค้ าตอบของการแปลงเลขฐานสอง เป็นเลขฐานสิบ 3.1.2 การแปลงเลขฐานแปดเป็ นเลขฐานสิบ

การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสบิ หลกั การคิดเหมือนกบั กรณีของ เลขฐานสิบและเลขฐานสอง คือใชค้ ่าประจาตวั เลขแต่ละตวั คณู คา่ ประจาหลกั ในแต่ ละตาแหนง่ ที่ตวั เลขนน้ั ปรากฎอยู่ แต่เป็นเลขฐานแปด คา่ ประจาหลกั ของเลขฐาน แปด แบ่งการแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสบิ เป็น 2 กรณี คอื กรณที ่ี 1 เลขฐานสองเป็ นเลขจานวนเต็ม หลกั การคดิ 1. ใชว้ ธิ ีกระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตวั เลขจากขวามอื ไป ซา้ ยมือ เพอื่ ใหง้ ่ายและผิดพลาดนอ้ ยลง 2. เขียนคา่ ประจาหลกั ในแต่ละตาแหน่งทต่ี วั เลขนน้ั ปรากฎอย่ใู ห้ ตรงกบั เลขฐานสองแต่ละตวั โดยเรยี งจาก 8 ,8 ,8 ,... ตามลาดบั 3. นาตวั เลขฐานสองคณู กบั คา่ ประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหลง่ 4. หาค่าผลคณู แต่ละวงเล็บและนาผลคณู ทไี่ ดม้ าบวกกนั จะได้ ผลลพั ธข์ องการแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบ กรณที ี่ 2 เลขฐานสองเป็ นเลขจานวนเต็ม หลกั การคดิ 1. กระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตวั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มจากดา้ น ขวามอื ไปทางซา้ ยมอื 2. หาคา่ ผลคณู แต่ละวงเลบ็ 3. นาผลคณู ที่ไดม้ าบวกกนั 3.1.3 การแปลงเลขฐานสบิ หกเป็ นเลขฐานสิบ

การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสบิ หลกั การคดิ เหมือนกบั กรณีของ เลขฐานสิบและเลขฐานสอง คอื ใชค้ ่าประจาตวั เลขแตล่ ะตวั คณู คา่ ประจาหลกั ในแต่ ละตาแหนง่ ทีต่ วั เลขนน้ั ปรากฎอยู่ แตเ่ ป็นเลขฐานแปด คา่ ประจาหลกั ของเลขฐานสบิ หก แบง่ การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบเป็น 2 กรณี คอื กรณที ่ี 1 เลขฐานสองเป็ นเลขจานวนเตม็ หลกั การคิด 1. ใชว้ ธิ ีกระจายเลขฐานหกแปดโดยกระจายตวั เลขจากขวามือไป ซา้ ยมือ เพื่อใหง้ ่ายและผิดพลาดนอ้ ยลง 2. เขยี นค่าประจาหลกั ในแต่ละตาแหน่งที่ตวั เลขนน้ั ปรากฎอยใู่ หต้ รง กบั เลขฐานสองแต่ละตวั โดยเรยี งจาก 8 ,8 ,8 ,... ตามลาดบั 3. นาตวั เลขฐานสองคณู กบั คา่ ประจาหลกั ในแต่ละตาแหล่ง 4. หาคา่ ผลคณู แต่ละวงเลบ็ และนาผลคณู ท่ไี ดม้ าบวกกนั จะได้ ผลลพั ธข์ องการแปลงเลขฐานสบิ หกเป็นเลขฐานสิบ กรณที ี่ 2 เลขฐานสองเป็ นเลขจานวนเต็ม หลกั การคดิ 1. กระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตวั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มจากดา้ น ขวามอื ไปทางซา้ ยมือ 2. หาคา่ ผลคณู แต่ละวงเล็บ 3. นาผลคณู ท่ไี ดม้ าบวกกนั

3.3 การแปลงเลขฐานสบิ เป็ นเลขฐานสอง เลขฐานแปด และ เลขฐานสบิ หก การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสบิ หลกั การคดิ เหมอื นกบั กรณีของ เลขฐานสบิ และเลขฐานสอง คอื ใชค้ ่าประจาตวั เลขแต่ละตวั คณู คา่ ประจาหลกั ในแต่ ละตาแหนง่ ท่ีตวั เลขนนั้ ปรากฎอยู่ แตเ่ ป็นเลขฐานแปด ค่าประจาหลกั ของเลขฐานสิบ หก แบง่ การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบเป็น 2 กรณี คอื กรณีท่ี 1 เลขฐานสบิ ที่ตอ้ งการแปลงเป็นเลขจานวนเตม็ หลกั การคดิ 1. ใชว้ ธิ ีกระจายเลขฐานหกแปดโดยกระจายตวั เลขจากขวามอื ไป ซา้ ยมอื เพื่อใหง้ า่ ยและผิดพลาดนอ้ ยลง 2. เขียนค่าประจาหลกั ในแต่ละตาแหนง่ ท่ตี วั เลขนนั้ ปรากฎอยใู่ หต้ รง กบั เลขฐานสองแต่ละตวั โดยเรียงจาก 8 ,8 ,8 ,... ตามลาดบั 3. นาตวั เลขฐานสองคณู กบั ค่าประจาหลกั ในแตล่ ะตาแหล่ง 4. หาคา่ ผลคณู แต่ละวงเลบ็ และนาผลคณู ท่ไี ดม้ าบวกกนั จะได้ ผลลพั ธข์ องการแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสบิ กรณีที่ 2 เลขฐานสบิ ท่ตี อ้ งการแปลงเป็นเลขทศนิยม หลกั การคดิ 1. กระจายเลขฐานแปดโดยกระจายตวั เลขหลงั จดุ ทศนิยมจากดา้ น ขวามือไปทางซา้ ยมือ 2. หาค่าผลคณู แต่ละวงเลบ็

3. นาผลคณู ที่ไดม้ าบวกกนั 3.4 การแปลงระหวา่ งเลขฐานสองและเลขฐานแปด หลกั การแปลงเลขฐานสองเป็ นเลขฐานแปด 1. กรณีเป็นจานวนเตม็ แบง่ ตวั เลขเป็นกลมุ่ ๆละ 3 บติ โดยแบง่ จากดา้ นขวามือไป ทางซา้ ยมือถา้ ซา้ ยมอื สดุ ไมค่ รบ 3 บิต ใหเ้ ติมเลข 0 ทางดา้ นซา้ ยใหค้ รบ 3 บติ โดย เลขฐานสอง 3 บติ มีคา่ เท่ากบั เลขฐานแปด 1 บติ 2. กรณีเป็นเลขทศนยิ ม 3. คานวณเลขฐานสองทแี่ บ่งไวท้ ีละกล่มุ แลว้ นาค่าไปเทยี บกบั เลขฐานแปด 3.5 การแปลงระหวา่ งเลขฐานสองและเลขฐานสบิ หก หลกั การแปลงเลขฐานสองเป็ นเลขฐานสิบหก 1. กรณีเป็นจานวนเตม็ แบ่งตวั เลขเป็นกล่มุ ๆละ 3 บติ โดยแบง่ จากดา้ นขวามือไป ทางซา้ ยมอื ถา้ ซา้ ยมอื สดุ ไม่ครบ 3 บิต ใหเ้ ติมเลข 0 ทางดา้ นซา้ ยใหค้ รบ 3 บิตโดย เลขฐานสอง 3 บิตมีคา่ เทา่ กบั เลขฐานแปด 1 บติ 2. กรณีเป็นเลขทศนิยม 3. คานวณเลขฐานสองทแ่ี บ่งไวท้ ลี ะกลมุ่ แลว้ นาค่าไปเทียบกบั เลขฐานแปด ซึ่ง ปรากฎในตารางที่ 3.1 จะไดค้ าตอบทต่ี อ้ งการ หน่วยที่ 4 หลักการคานวญเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์ การคานวณในระบบคอมพวิ เตอร์ จะรบั ขอ้ มลู จากผใู้ ชร้ ะบบผ่านทาง Input Device เขา้ มา ทาการประมวลผล (Process) เช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร เปรยี บเทยี บ เสรจ็ แลว้ นาผลทไ่ี ดอ้ อกแสดงผล (Output) ดงั รูป

ทงั้ นี้ ถา้ Input ทน่ี าเขา้ สรู่ ะบบคอมพิวเตอรเ์ ป็นภาษาระดบั สงู หรือ ภาษาคอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอรไ์ มส่ ามารถเขา้ ใจได้ ดงั นนั้ จงึ มีความจาเป็นตอ้ งแปลง ขอ้ มลู เหล่านนั้ ใหเ้ ป็นภาษาทเ่ี ครอื่ งคอมพิวเตอรเ์ ขา้ ใจ แลว้ จึงนาไปประมวลผลตาม คาส่งั ในการคานวณเลขทางคณิตศาสตร์ หรือในระบบคอมพิวเตอร์ จะทาการ คานวณไดเ้ มือ่ นพิ จนต์ า่ งๆ ทนี่ ามาคานวณตอ้ งอยใู่ นระบบฐานเดียวกนั เสมอ ถา้ ใน กรณีนิพจนไ์ ม่อย่ใู นฐานเดียวกนั ตอ้ งแปลงใหน้ ิพจนน์ นั้ ๆอยใู่ นเลขฐานเดยี วกนั ก่อน 4.1 หลกั การคานวณในระบบคอมพิวเตอร์ การคานวณในระบบคอมพวิ เตอร์ เครอ่ื งคอมพิวเตอรจ์ ะเรยี งอนั ดบั ความสาคญั ของ เครื่องหมาย (Operator) ต่างๆ กอ่ นว่าเครื่องหมายใดควรถกู กระทากอ่ น – หลงั ซง่ึ สามารถเรียงอนั ดบั เคร่อื งหมายที่มคี วามสาคญั จากมากไปหาเครอ่ื งหมายท่ีมี ความสาคญั นอ้ ย ดงั นี้ ลาดับ เครือ่ งหมาย การคานวณ หลกั การให้ความสาคัญ ความสาคัญ 1. ^ หรือ * * ยกกาลงั มีความสาคญั มากทส่ี ดุ 2. * คณู เคร่ืองหมายใดมากอ่ นถกู / หาร ประมวลผลก่อน เช่น 4 / 2 * 3 3. + บวก = (4/2) * 3 = 2 x 3 = 6

- ลบ เครื่องหมายใดมากอ่ นถกู ประมวลผลก่อน เชน่ 8 – 2 + 3 = (8 - 2) + 3 = 6+3 = 9 ข้อสงั เกต หลกั การคานวณในระบบคอมพวิ เตอร์ 1. ถา้ นิพจนใ์ ดมีวงเล็บใหส้ นใจทาการคานวณเลขท่อี ย่ใู นวงเลบ็ เป็นอนั ดบั แรก 2. เครื่องหมาย ^ (ยกกาลงั ) จะถกู ประมวลผลก่อนเคร่ืองหมายอ่ืนๆ เสมอ เพราะมี ความสาคญั มากทีส่ ดุ ยกเวน้ เครื่องหมายวงเลบ็ 3.เครื่องหมาย * กบั / มีระดบั ความสาคญั เทา่ กนั ดงั นนั้ เครอื่ งหมายที่มาก่อน (เครื่องหมายทอ่ี ย่ทู างซา้ ยมือสดุ ) จะถกู ประมวลผลก่อน 4.เคร่อื งมาย + กบั - มีระดบั ความสาคญั เท่ากนั ดงั นนั้ ระดบั การประมวลผลจึงถกู ประมวลผลเครื่องมือทที่ างดา้ นซา้ ยสดุ เป็นอนั ดบั แรก ตวั อยา่ ง 4.1 จงแสดงลาดบั ความสาคญั พรอ้ มหาคาตอบ ตวั อยา่ ง 4.2 จาก 5 x 2 + (9 - 4) จงหาคาตอบ

4.2 การคานวณเลขฐานสบิ ตวั ดาเนินการ (Operator) คอื ตวั ดาเนนิ การทใี่ ชใ้ นการคานวณคา่ ตา่ งๆ ทาง คณิตศาสตร์ และตวั ดาเนินการตามหลกั คณติ ศาสตรใ์ นระบบคอมพวิ เตอร์ โดยตวั ดาเนนิ การชนดิ นจี้ ะกระทากบั ขอ้ มลู ท่เี ป็นตวั เลข คอื จานวนจริงหรือจานวนเต็ม ผลลพั ธข์ องการกระทาโดยตวั ดาเนินการคณติ ศาสตรน์ จี้ ะเป็นขอ้ มลู ชนิดตวั เลข เทา่ นนั้ ในการใชต้ วั ดาเนินการคณิตศาสตร์ จะตอ้ งกระทากบั คา่ 2 ค่า ซึ่งจะอยสู่ องขา้ งตวั ดาเนนิ การเราเรียกค่า 2 ค่านวี้ ่า ตวั โอเปอแรนด์ (Operand) ตารางแสดงตวั อย่างตวั ดาเนนิ การ (Operator) และตวั ถกู ดาเนนิ การ (Operand) นพิ จนท์ างคณติ ศาสตร์ ตัวดาเนนิ การ ตวั ถูกดาเนนิ การ A+B + A,B A x B + C / 2 x, / , + A , B ,C 9x5-4 x,- 9,5,4 6 - 4 / 2 x 9 + 3^ ^ , / , x , - , 6 , 4 , 2 , 9 , 2 +3

ตารางแสดงตวั อยา่ งตัวดาเนินการทางคณิตศาสตรท์ ีน่ าไปใช้ในระบบ คอมพวิ เตอร์ ตวั ดาเนนิ การ ความหมาย ชนิดข้อมูลของโอ เปอรแ์ รนด์ + การบวก จานวนเตม็ , จานวน - การลบ จรงิ * การคณู จานวนเต็ม , จานวน / การหารจานวนจริง จริง จานวนเตม็ , จานวน Div การหารจานวนเตม็ จริง mod การหารจานวนเตม็ เอา จานวนเต็ม , จานวน เศษ จรงิ จานวนเตม็ จานวนเตม็ ข้อสงั เกต · ถา้ ตวั แปรหรือคา่ คงทีท่ กุ ค่าในนพิ จนเ์ ป็นเลขจานวนเต็มทกุ จานวนและในนพิ จน์ ไมม่ ีเคร่อื งหมายเลย ผลลพั ธข์ องนิพจนน์ นั้ จะเป็นขอ้ มลู ชนดิ จานวนเตม็

· ถา้ นพิ จนน์ น้ั เกิดมีเลขจานวนจรงิ เพียงจานวนเดยี ว หรือมีเคร่ืองหมาย / เพยี งตวั เดยี ว ผลลพั ธข์ องนพิ จนน์ น้ั จะเป็นตวั เลขจานวนจริง เชน่ 2 * 9 / 3 = 6.0 หรือ 5 + 4.0 = 9.0 ลาดับการทางานของตัวดาเนนิ การ ในนิพจนท์ างคณติ ศาสตรท์ ใี่ ชก้ นั สว่ นใหญ่จะมเี ครือ่ งหมายหรือตวั ดาเนนิ การหลายๆ ตวั ในนพิ จนเ์ ดยี วกนั เช่น a + b * c จากนิพจนน์ เี้ ครอื่ ง คอมพิวเตอรท์ าการประมวลผลโดยวธิ ีการคณู ก่อนบวก ถา้ หากอยากใหท้ าการบวก ก่อนจะตอ้ งใส่วงเล็บใหน้ ิพจน์ (a + b) * c ดงั นน้ั เพ่ือขจดั ปัญหาความเขา้ ใจท่ี แตกตา่ งกนั จงึ ไดม้ กี ฎการเรียงลาดบั การทางานของตวั ดาเนนิ การตา่ งๆ ดงั ตอ่ ไปนี้ 1. นพิ จนย์ อ่ ยที่อย่ใู นวงเลบ็ ทงั้ หมดจะถกู ทาการประมวลหรือทาการคานวณกอ่ น 2. ถา้ มีวงเล็บซอ้ นกนั อยใู่ หท้ าวงเล็บในสดุ กอ่ น แลว้ ค่อยทาวงเลบ็ ถดั ออกไปเรือ่ ยๆ จนถงึ วงเลบ็ นอกสดุ 3. ตวั ดาเนนิ การในนิพจนเ์ ดียวกนั จะถกู เรยี งลาดบั การทางานโดยเรยี งจาก ความสาคญั จากมากไปหานอ้ ยเครื่องหมายทมี่ คี วามสาคญั มากจะถกู คานวณกอ่ น ดงั นี้ ก. เครอ่ื งหมาย ^ (ยกกาลงั ) จะถกู ดาเนนิ การกอ่ น ข. เคร่อื งหมาย * , / , div , mod ค.เคร่อื งหมาย + , - จะถูกทาทหี ลงั 4.ตวั ดาเนนิ การทีม่ ลี าดบั ความสาคญั เทา่ เทียมกนั จะใหค้ วามสาคญั โดยเรยี งลาดบั การประมวลผลจากซา้ ยไปขวา น่นั ก็หมายความวา่ เครื่องหมายตวั ดาเนนิ การใดมา ก่อนในนพิ จนเ์ ดยี วกนั ก็จะถกู ดาเนินการก่อน

ตารางแสดงลาดับการทางานของตัวดาเนินการต่างๆ ลาดบั ตวั ดาเนนิ การ 1 () 2^ 3 *, /, mod, div 4 +,- หน่วยการเรยี นรู้ที่ 5 ตรรกศาสตร์ ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาพนื้ ฐานที่สาคญั ในการศกึ ษาวิชาตา่ งๆ เช่น สงั คมศาสตรป์ รชั ญา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ปัจจบุ นั ไดม้ ีการนามาประยกุ ตใ์ ชใ้ นดา้ นคอมพิวเตอร์ เพราะตรรกศาสตรเ์ ป็นวชิ าทศี่ กึ ษาเก่ยี วกบั กฏเกณฑแ์ ละวิธีการใหเ้ หตผุ ล นกั ปราชญ์ ซ่งึ เป็นบดิ าของวชิ าตรรกศาสตร์ คอื อาริสโตเติล (Aristotle, 384 - 322 ก่อนคริสต ศกั ราช) โดยอาริสโตเติล เชอื่ ว่ามนษุ ณเ์ ทา่ นนั้ ทส่ี ามารถคิดเก่ยี วกบั เหตผุ ลได้ ท่านได้ เขยี นเขียนตาราชอ่ื Organum ซึง่ เก่ยี วกบั การใหเ้ หตผุ ลที่ถกู ตอ้ ง หลกั การของหนงั สือ เลม่ นกี้ ลายมาเป็นหลกั การของตรรกศาสตรใ์ นปัจจบุ นั ซง่ึ วชิ านจี้ ะเป็นวชิ าทีช่ ว่ ยให้ เขา้ ใจคณติ ศาสตรไ์ ดล้ กึ ซงึ้ ยง่ิ ขนึ้ จะอธิบายตามลาดบั หวั ขอ้ ดงั นี้ 5.1 ประพจน์

หมายถึง ประโยคหรอื ขอ้ ความทใ่ี ชส้ าหรบั บอกค่าความเป็นจรงิ หรือเทจ็ เพียงอย่างใด อยา่ ง หน่งึ สว่ น ประโยคหรือขอ้ ความทไ่ี ม่สามารถบอกค่าความจรงิ หรอื เป็นเทจ็ ไดจ้ ะ ไม่เรยี กว่าประพจน์ ตวั อยา่ งของประโยคหรอื ขอ้ ความที่เป็นประพจนเ์ ช่น ดวงอาทิตยข์ นึ้ ทางทิศตะวนั ออก สนุ ขั มี 4 ขา ประเทศไทยมชี ายแดนติดกบั ประเทศอนิ เดยี เดือนมกราคมมี 30 วนั ตวั อย่างของประโยคหรอื ขอ้ ความท่ไี ม่เป็นประพจนเ์ ช่น หา้ มเดินลดั สนาม กรุณาปิด ไฟก่อนออกจากหอ้ ง เธอกาลงั จะไปไหน เขาเป็นนกั ฟตุ บอลทีมชาติไทย Y + 5 = 8 5.2 การเชื่อมประพจนด์ ว้ ยตัวเชื่อมต่างๆ ตวั เช่ือมประพจน์ และคา่ ความจริงของประพจนท์ ม่ี ีตัวเช่ือม โดยปกตเิ ม่อื กลา่ วถึงขอ้ ความหรอื ประโยคนน้ั มกั จะมกี รยิ ามากกว่าหนง่ึ ตวั แสดงวา่ ไดน้ าประโยคมาเชื่อมกนั มากวา่ หน่ึงประโยค ดงั นนั้ ถา้ นาประพจนม์ าเชือ่ มกนั ก็จะได้ ประพจนใ์ หม่ซึง่ สามารถบอกไดว้ า่ เป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตวั เชอ่ื มประพจนม์ อี ยู่ 5 ตวั และตวั เชื่อมทใี่ ชก้ นั มากคือ “และ” “หรือ” “ไม”่ ทีเ่ หลอื อกี สองตวั คอื “ถา้ …แลว้ …” และ “…ก็ตอ่ เมอื่ …” เมื่อนาประพจนเ์ ช่ือมดว้ ยตวั เช่ือม และ ,หรือ, ถา้ …แลว้ , …ก็ ตอ่ เมอ่ื โดยท่ีถา้ p และ q แทนประพจน์ จะเขียน ถา้ กาหนดให้ T แทนค่าความจรงิ ของประพจนท์ เ่ี ป็นจริง F แทนค่าความจริงของประพจนท์ เี่ ป็นเท็จ

และ p /\\ q แทนประพจนใ์ ดๆ ที่ยงั ไม่ไดร้ ะบขุ อ้ ความหรอื แทนคา่ ขอ้ ความลงไป ประพจน์ p /\\ q จะเรยี กว่าขอ้ ความรว่ ม (conjugate statement) และจะสามารถ เขียนตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ p /\\ q ไดด้ งั นี้ จากตารางจะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ p /\\ q จะเป็นจรงิ ถา้ ประพจนท์ งั้ สอง เป็นจริงนอกนนั้ จะเป็นเท็จ ประพจน์ p v q เรยี กวา่ ขอ้ ความเลือก (disjunctive statement) เป็นขอ้ ความทเ่ี ป็น จริงถา้ p หรือ q เป็นอยา่ งนอ้ ยทส่ี ดุ หนง่ึ ประพจน์ แตจ่ ะไมเ่ ป็นจรงิ เมอื่ ทงั้ สอง ประพจนเ์ ป็นเท็จ ตารางค่าความจรงิ ของ p v q สามารถเขยี นไดด้ งั นี้ ประพจน์ ~p เรียกว่านเิ สธ (negation) p หมายถงึ ไม่เป็นจริงสาหรบั p จะเป็นจรงิ เมอ่ื p เป็นเทจ็ และจะเป็นเทจ็ เม่อื p เป็นจรงิ ตารางค่าความจริงของ ~p เป็นดงั นี้

ประพจน์ p → q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขหรือขอ้ ความแจงเหตสุ ่ผู ล (conditional statement) ประพจน์ p เรยี กว่าเหตตุ วั เงอ่ื นและ q เป็นผลสรุป เช่น p : น่นุ ไปเทีย่ วนอกบา้ น q: คณุ พ่อโทรศพั ทต์ าม ดงั นน้ั p →q : ถา้ นนุ่ ไปเที่ยวนอกบา้ นแลว้ คณุ พอ่ โทรศพั ทต์ าม จากการตรวจสอบเงื่อนไขนีจ้ ะพบว่าประพจนน์ จี้ ะเป็นเท็จกรณีเดยี วคอื น่นุ ไปเทย่ี ว นอกบา้ นแต่คณุ พอ่ ไม่โทรศพั ทต์ าม ดงั นนั้ จะสามารถแสดงตารางค่าความจรงิ ของ ประพจน์ p → q ไดด้ งั นี้ ประพจน์ p →q เรียกว่าประโยคเง่อื นไขสองทาง (biconditional statement) คือ ประพจนท์ ่ีมีความหมายเหมอื นกับ (p /\\ q) (q → p) เนอ่ื งจาก (p → q) และ (q /\\ p) เชอ่ื มดว้ ยคาว่า “และ” ดงั นน้ั p→ q จะมีค่าความจริงเป็นจรงิ ต่อเมื่อประพจน์ p และประพจน์ q มีค่าความจรงิ เหมือนกนั ดงั ตารางต่อไปนี้ จากตารางคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ีม่ ีตวั เช่ือมทงั้ 5จะพบวา่

1. ~ p มีค่าความจริงตรงกนั ขา้ มกบั ค่าความเป็นจรงิ ของ p 2. p →q เป็น T กรณีเดยี วคือกรณีทที่ งั้ p และ q เป็น T 3. p v q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทงั้ p และ q เป็น F 4. p /\\ q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีท่ีทงั้ p เป็น T และ q เป็น F 5. p→q เป็น T เมอื่ p และ q มีค่าความจรงิ เหมือนกนั 5.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ ตารางคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ่ีมตี วั เชอื่ มแบบต่างๆ ทก่ี ล่าวมาแลว้ มเี พ่ือ ช่วยในการหาว่าประพจนใ์ ดเป็นจรงิ หรือเป็นเท็จ ดงั ในตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ ตัวอยา่ งท่1ี จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ “เชยี งใหม่และธนบรุ ีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย” 5.4 สจั นริ ันดร์ ประพจนข์ ัดแยง้ และคอนทิเจน สัจนิรนั ดร์





5.5 การสมมูลกนั ของประพจน์ การสมมลู กันของประพจน์ (Propositional Equivalence) เดือนบอกว่า “ฉนั ไมไ่ ด้ ทาและฉนั พดู ความจรงิ ” บอกว่า “ไม่จรงิ ทเ่ี ดอื นจะเป็นคนทา หรอื พดู โกหก” กาหนดให้ p แทน เดอื นเป็นคนผิด q แทน เดอื นพดู ความจรงิ ขอ้ ความแรกแปลงประพจนป์ ระกอบไดเ้ ป็น ¬p ∧ q ขอ้ ความที่สองได¬้ ( p ∨ ¬q) การตรวจสอบความสมมลู กนั ของสองประโยค คือการตรวจสอบความเป็นสจั นริ นั ดร์ ของนิพจน์

ตรรกศาสตร(์ )( ) ¬p ∧ q ↔ ¬ p ∨ ¬q p q (¬p ∧ q) ( ) p ∨ ¬q ¬( p ∨ ¬q) (¬p ∧ q)( ) ↔ ¬ p ∨ ¬q ขอ้ ความสองขอ้ ความมีความหมายเหมือนกนั ทาง ตรรกศาสตร์ เรากลา่ ววา่ ประพจนป์ ระกอบทง้ สองสมมลู กนั เชิงตรรกศาสตร(์ Logical Equivalence) บทนยิ าม ประพจน์ p และ q จะถกู เรียกวา่ “สมมลู กนั เชิงตรรกศาสตร์ (Logical Equivalence)” ถา้ p ↔ q เป็นสจั นิรนั ดรส์ ญั ลกั ษณท์ ีใ่ ชแ้ ทน “ p สมมลู เชงิ ตรรกศาสตรก์ บั q ” คือ “ p ≡ q ” ตวั อย่างท่ี 1.1 จงตรวจสอบว่าขอ้ ความตอ่ ไปนสี้ มมลู กนั เชิงตรรกศาสตรห์ รอื ไม่ ก. ถา้ สินคา้ ยงั ไมถ่ งึ มือลกู คา้ ลกู คา้ กย็ งั ไม่ตอ้ งจา่ ยเงิน ข. ถา้ ลกู คาจ่ายเงินแลว้ แสดงว่า สินคา้ นน้ั ถึงมอื ลกู คา้ เป็นทเ่ี รียบรอ้ ย ถา้ ให้ p แทน สนิ คา้ ถงึ มือลกู คา้ q แทน ลกู คา้ จ่ายเงนิ แลว้ นพิ จนต์ รรกศาสตรแ์ ทนขอ้ ความ ก. เป็น ¬p → ¬q นิพจนต์ รรกศาสตร์ แทนขอ้ ความ ข. เป็น q → p ตรวจสอบว่า ¬p → ¬q ≡ q → p หรือไม่ 5.5.2 กฎการสมมลู เชงิ ตรรกศาสตร์ 1. ¬¬p ≡ p Double negation 2. () () p ∨ q ≡ q ∨ p b. () () p ∧ q ≡ q ∧ p c. () () p ↔ q ≡ q ↔ p Commutative Laws 3. [] () p ∨ q ∨ r ≡ [p ∨ () q ∨ r] b. [] () p ∧ q ∧ r ≡ [p ∧ () q ∧ r] Associative Laws 4. [] p ∨ () q ∧ r ≡ [(p ∨ q) () ∧ p ∨ r] b. [] p ∧ () q ∨ r ≡ [(p ∧ q) () ∨ p ∧ r] Distributive Laws

5. () p ∨ p ≡ p b. () p ∧ p ≡ p Idempotent Laws 6. () p ∨ F ≡ p b. () p ∨ T ≡ T c. () p ∧ F ≡ F d. () p ∧ T ≡ p Identity Laws 7. () p ∨ ¬p ≡ T b. () p ∧ ¬p ≡ F 8. ¬ () () p ∨ q ≡ ¬p ∧ ¬q b. ¬ () () p ∧ q ≡ ¬p ∨ ¬q c. () ( ) p ∨ q ≡ ¬ ¬p ∧ ¬q d. ()( ) p ∧ q ≡ ¬ ¬p ∨ ¬q DE Morgan Laws 9. () () p → q ≡ ¬q → ¬p Contrapositive 10. () () p → q ≡ ¬p ∨ q b. () p → q ≡ ¬ (p ∧ ¬q) Implication 11. () () p ∨ q ≡ ¬p → q b. () () p ∧ q ≡ ¬ p → ¬q 12. [] () () p → r ∧ q → r ≡ [] () p ∨ q → r b. [] () () p → q ∧ p → r ≡ [] p → (q ∧ r) 13. () () () p ↔ q ≡ [] p → q ∧ q → p Equivalence 14. [] () p ∧ q → r ≡ [p → () q → r] Exportation Law 15. () () p → q ≡ [] p ∧ ¬q → F Reduction ad absurdum การพสิ จู นค์ วามสมมลู กนั เชิงตรรกศาสตรข์ องสองประพจนป์ ระกอบโดยใชก้ ฎการ สมมลู เรยี กว่าพีชคณิตประพจน์ (Propositional Algebra) ตวั อย่างท่ี 1.2 จงแสดงว่า ¬( ) p ∨ ( ) ¬p ∧ q สมมลู เชิงตรรกศาสตรก์ บั ¬p ∧ ¬q ทา ¬( ) p ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q) DE Morgan Law 8a ≡ ¬p ∧ (¬¬p ∨ ¬q) DE Morgan Law 8b ≡ ¬p ∧ ( p ∨ ¬q) Double negation 1 ≡ ( ) ¬p ∧ p ∨

(¬p ∧ ¬q) Distributive Law 4b ≡ F ∨ (¬p ∧ ¬q) 7b ≡ ¬p ∧ ¬q Identity Law 6a บทนิยาม ประพจน์ p และ q จะถกู เรียกวา่ “การแจงเหตสุ ่ผู ลเชงิ ตรรกศาสตร์ (Logical Implication)” ถา้ p → q เป็นสจั นิรนั ดรส์ ญั ลกั ษณท์ ใี่ ชแ้ ทน “ p แจง เหตสุ ูู่ ผล q ” คอื “ p ⇒ q ” p ⇒ q มคี วามหมายว่าสาหรบั ประพจน์ p และ q ค่า ความจริงเป็น “จรงิ ” และ “เทจ็ ” จะไมเ่ กิดขนี้ พรอ้ มกนั กลา่ วคอื เมือ่ ประพจน์ p “จริง” ประพจน์ q กจ็ ะเป็น “จริง” ดว้ ย และเมอื่ ประพจน์ q เป็น “เท็จ” ประพจน์ p กจ็ ะเป็น “เทจ็ ” ดว้ ย การตรวจสอบการแจงเหตสุ ู่ผล p ⇒ q เราสามารถแจงเหตุ p สู่ ู ผล q ไดห้ รืออีกวิธีหนง่ึ ในการพิจารณาคา่ ความจริงของการแจงเหตสุ ูู่ ผล คือใหม้ องขา้ ม แถวท่ี p เป็น “เทจ็ ” และเช่นเดยี วกนั กม็ องขา้ ม แถวที่ q เป็น “จริง” แถวท่ีp จริง q เท็จ การแจงเหตสุ ูู่ ผล p ⇒ q เป็น “เท็จ” การแจงเหตสุ ูู่ ผล p ⇒ q เป็น “จรงิ ” ตวั อย่างท่ี 1.3 จงตรวจสอบคา่ ความจรงิ ของการแจงเหตสุ ูู่ ผล ¬p ⇒ ( p → q) จะ พจิ ารณาตารางคา่ ความจริงเฉพาะทแ่ี ถวท่ี ¬p เป็น “จรงิ ” น่นั คือ p q ¬p p → q ¬p → (p → q) F T T T T F F T T T เพื่อความรวดเร็วขนึ้ โดยมองหาแถวที่ p → q หรือผลสรุปท่มี คี ่าความจรงิ เป็น “เทจ็ ” p q ¬p p → q ¬p → (p → q) T F F F T ตวั อยา่ งที่ 1.4 จงตรวจสอบกฎการแจงเหตสุ ูู่ ผลเชงิ ตรรกศาสตรข์ อ้ 26a [ ] ( )( ) p → q ∧ r → s ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)] ถา้ ตอ้ งดทู งั้ หมดจะตองใช ู้ จานวนแถว ถึงแถว เพ่อื ความรวดเรว็ จะพจิ ารณาเพยี งแถวท่ที าให 26ู้ a มีค่าความจรงิ เป็น “เทจ็ ” น่นั คือกรณีที่ [ ] ( )( ) p ∨ r → q ∨ s เป็น “เทจ็ ” แต่ [(p → q)∧ (r → s)] เป็น “จรงิ ” ?? เมอ่ื ใดท่ี [ ] ( )( ) p ∨ r → q ∨ s เป็น “เท็จ ” เมื่อ q ∨ s เป็น “เท็จ ”

น่นั คือทงั้ q และ s มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ p q r s [ ] ( ) p → q ∧ (r → s) → [(p ∨ r)( ) → q ∨ s ] หน่วยการเรียนรู้ที่ 6 พชื คณิตบูลีนเบอื้ งต้น พีชคณิตบลู ีน (Boolean Algebra) เป็นส่วนหน่งึ ในเรอ่ื งทางคณิตศาสตรท์ ่ีใชว้ เิ คราะห์ ปัญหาทางตรรก ถกู คคิ คน้ พฒั นาโดยนกั คณติ ศาสตรช์ าวอังกฤษ ชอ่ื จอรจ์ บลู (George Boole) ต่อมามผี พู้ ฒั นาใหส้ มบรู ณข์ ึน้ อกี หลายคน ปัจจบุ นั เราใชพ้ ีชคณิต บลู นี ในการออกบบวงจรลอจิก ซง่ึ ตวั แปรแตล่ ะตวั จะแทนสภาวะเพียงสองอย่าง คือ 0 หรือ 1 เทา่ นน้ั ซง่ึ การนาทฤษฎีบลู ีนมาใชจ้ ะทาใหล้ ดความย่งุ ยากของวงจรลอจกิ ลง ทาใหป้ ระหยดั ในการสรา้ ง และลดความผดิ พลาดในการประกอบวงจรได้ นอกจากนี้ พีชคณิตบลู ีนยงั เป็นพนื้ ฐานในการคดิ คน้ วธิ ีการลดรูปของสมการลอจิกใหส้ นั้ ลงอีก หลายวธิ ี ทาใหเ้ ราสามารถทางานไดถ้ กู ตอ้ ง แม่นยา และง่ายย่งิ ขนึ้ 6.1 การเกตพืน้ ฐาน AND Gate การกระทา AND จะใหเ้ อาทพ์ ทุ ออกมาเป็นลอจิก 1 หรือแรงดนั H เมือ่ ตวั แปรอินพทุ มสี ถานะเป็น ลอจิก 1 หรือมแี รงดนั H ทงั้ หมด การ AND แสดงดว้ ย สญั ลกั ษณ์ ระหว่างตวั แปรลอจกิ การ AND ระหว่างตวั แปร A และ B แสดงดว้ ย สมการลอจิกเป็น Y = f(A, B ) = A⋅B เม่ือ Y คือ เอาทพ์ ทุ ทไ่ี ดจ้ ากการ AND และการ กระทา AND แสดงไดด้ งั บล็อกไดอะแกรม (ภาพที่ 2)

OR Gate การกระทา OR จะใหเ้ อาทพ์ ทุ ออกมาเป็นลอจกิ 0 หรือแรงดนั L เม่อื ตวั แปรอนิ พทุ มสี ถานะเป็น ลอจกิ 0 หรือมแี รงดนั L ทงั้ หมด การกระทา OR แสดงดว้ ย สญั ลกั ษณ์ + ระหว่างตวั แปรลอจิก การ OR ระหวา่ งตวั แปร A และ B แสดงดว้ ย สมการลอจิกเป็น Y = f (A, B) = A+B เม่ือ Y คือ เอาทพ์ ทุ ที่ไดจ้ ากการ OR และการ กระทา OR แสดงไดด้ งั บลอ็ กไดอะแกรม (ภาพที่ 3)

NOT Gate (Inverters) การกระทา NOT จะใหเ้ อาทพ์ ทุ ออกมาเป็นลอจกิ ทม่ี สี ถานะ ตรงขา้ มกบั สถานะลอจกิ ของตวั แปร อินพทุ การ NOT แสดงดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ¯ เหนือ ตวั แปรลอจกิ อินพทุ เรียกว่าเคร่อื งหมาย complement หรอื Bar การกระทา NOT ของตวั แปร A แสดงดว้ ยสมการลอจกิ เป็น Y = f (A) = A เมื่อ Y คือ เอาทพ์ ทุ ทไี่ ดจ้ าก การ NOT และ การกระทา NOT แสดงไดด้ งั บล็อกไดอะแกรม (ภาพที่ 4) NAND Gate การกระทา NAND เกดิ จากการนาตวั แปรดา้ นเอาทพ์ ทุ ทไี่ ดจ้ ากการ กระทา AND มาผา่ นการกระทา NOT ท าใหผ้ ลลพั ธข์ องตวั แปรท่ไี ดจ้ ากการกระทา NAND มีสถานะตรงขา้ มกบั การกระทา AND น่นั คือ การกระท า NAND จะท าใหต้ วั แปรลอจกิ ทางดา้ นเอาทพ์ ทุ มสี ถานะเป็น 0 เมอื่ ตวั แปรลอจิกทางดา้ น อินพทุ ทีเ่ ขา้ สู่ การกระทา NAND มีสถานะเป็น 1 ทงั้ หมด เราสามารถอธิบายการกระทา NAND โดยใชส้ มการลอจกิ ดงั นี้ Y = f(A,B ) = A⋅B เมอื่ A⋅B คือ ผลลพั ธท์ ่ไี ดจ้ ากการกระทา AND และ การกระทา NAND แสดงไดด้ งั บล็อกไดอะแกรม (ภาพที่ 5)

NOR Gate เกิดจากการนา inverter มาต่อกบั เกต “AND” ทาใหค้ ่าผลลพั ธท์ ีไ่ ดจ้ าก เกตชนดิ นมี้ คี า่ ตรงกนั ขา้ ม กบั เกต “AND” และการกระทา NOR Gate แสดงไดด้ งั บล็อกไดอะแกรม (ภาพที่ 6)

Exclusive - OR Gate เป็นการนาเกตพนื้ ฐานมาประยกุ ตใ์ ชง้ าน จะใหผ้ ลลพั ธเ์ ป็น “1” เมอ่ื อินพตุ มคี า่ ตรงกนั ขา้ มกนั และการกระทา OR Gate แสดงไดด้ งั บล็อกไดอะแกรม (ภาพที่ 7)

Exclusive – NOR Gate (XNOR Gate) เกดิ จากการนา Inverter มาต่อกบั XOR Gate ทาใหค้ ่าผลลพั ธท์ ี่ไดเ้ กตชนิดนี้ มีค่าตรงกนั ขา้ มกบั XOR Gate ทนั ที ดงั นนั้ เกต ชนดิ นจี้ ึงมีช่ือเรียกอกี อยา่ งหนง่ึ วา่ “Comparator” และการกระทา OR Gate แสดงได้ ดงั บล็อกไดอะแกรม (ภาพท่ี 8)