คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม 1

บทท่ี 1 มมุ และการวัดมุม 1.1 มุมและการวดั มมุ 1.1.1 มุม (Angle) มมุ เกดิ จากรงั สีหรือส่วนของเสน้ ตรงสองเสน้ ทมี่ ีจดุ ปลายเป็นจดุ เดยี วกนั จดุ นเี้ รยี กวา่ จดุ ยอดมมุ และรงั สีหรอื สว่ นของเสน้ ตรงแต่ละเสน้ เรยี กว่า แขนของมมุ พจิ ารณาจากรูปตอ่ ไปนี้ การเรยี กชื่อมมุ จะเรยี กดว้ ยตวั อกั ษรทงั้ สามตวั ซึ่งจะเรยี กชอ่ื จดุ บนแขนของมมุ ขา้ ง หน่งึ ขา้ งใดกอ่ นตามดว้ ยช่อื จดุ ยอดมมุ และชอ่ื จดุ บนแขนของมมุ ขา้ งท่ีเหลือ ตามลาดบั หรืออาจเรียกช่ือมมุ ตามชื่อจดุ ยอดมมุ ดงั รูป

สญั ลกั ษณแ์ ทนมมุ เขยี นอยา่ งไร สญั ลกั ษณท์ ี่ใชเ้ ขียนแทนคาวา่ มมุ คอื ^ โดยจะเขยี นไวเ้ หนอื อกั ษรท่เี ป็น ชื่อจดุ ยอดมมุ หรอื เคร่ืองหมาย ∠ ซงึ่ เขียนไวด้ า้ นหนา้ ชอื่ มมุ มมุ ฉาก คอื มุมทม่ี ขี นาดเทา่ กับ 90 องศา มุมแหลม คือ มุมที่มีขนาดเลก็ กวา่ มมุ ฉาก เป็ นมุมท่มี ขี นาด มากกวา่ 0 องศา แต่ไมถ่ งึ 90 องศา

มุมป้าน คือ มุมที่มีขนาดใหญก่ วา่ มุมฉาก แต่ไมถ่ ึง 2 มมุ ฉาก เป็ นมมุ ที่มี ขนาดมากกว่า 90 องศา แตไ่ มถ่ งึ 180 องศา มมุ ตรง คือ มมุ ที่มขี นาดเทา่ กับ 180 องศา หรอื 2 มุมฉาก มมุ กลับ คือ มุมทม่ี ีขนาดใหญ่กว่า 2 มมุ ฉาก แต่ไมถ่ ึง 4 มุมฉาก เป็ นมมุ ท่ีมีขนาดมากกว่า 180 องศา แต่ไมถ่ ึง 360 องศา

1.1.2 การวดั มุม เครือ่ งมือสาหรับวดั ขนาดของมุม เครื่องมือทีใ่ ชว้ ดั ขนาดของมมุ เรยี กว่า ไมโ้ พรแทรกเตอร์ ซ่งึ มี 2 ชนดิ คือ ชนดิ ครง่ึ วงกลม และชนิดส่เี หล่ียมผืนผา้ ไมโ้ พรแทรกเตอร์ แบง่ เป็น 180 ชอ่ ง 1 ชอ่ ง บอกขนาดของมมุ 1 องศา หน่วยการวัดขนาดของมุม

ในการวดั ขนาดของมมุ จะใชห้ น่วยเป็น องศา ซงึ่ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ \" º \" โดยเขยี นไวท้ างดา้ นขวาใหอ้ ย่ใู นระดบั สงู กวา่ ตวั เลขท่ีแสดงขนาดของ มมุ เชน่ 90 องศา เขยี นแทนดว้ ย 90 การวดั ขนาดของมุม โดยใชไ้ มโ้ พรแทรกเตอรจ์ ะตอ้ งใหจ้ ดุ ก่งึ กลางของไมโ้ พรแทรกเตอรต์ รงกบั จดุ ยอดมมุ ที่จะวดั และเสน้ ท่ชี ที้ ต่ี วั เลข 0 (ศนู ย)์ บนไมโ้ พรแทรกเตอรต์ อ้ งทาบสนทิ กบั แขนขา้ งหนงึ่ ของมมุ อ่านขนาดของมมุ โดยดจู ากแขนของมมุ อกี ขา้ งหนึ่งวา่ ชที้ ่ี ตวั เลขใดของชดุ เดียวกนั (ถา้ \"0\" อยวู่ งใน อ่านขนาดของมมุ จากวงใน แตถ่ า้ \"0\" อยู่ วงนอก อ่านขนาดของมมุ จากวงนอก ถา้ แขนของมมุ สนั้ สามารถต่อแขนของมมุ ออกไป เพ่อื ใหว้ ดั และอา่ นขนาด ของมมุ ไดส้ ะดวกขนึ้ (การต่อแขนของมมุ ออกไป ไม่ทาใหข้ นาดของมมุ เปล่ียนแปลง)

การสรา้ งมุม วธิ ีการสรา้ งมมุ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั มมุ ที่กาหนดให้ สามารถทาไดโ้ ดย ขนั้ ท่ี 1 ลากรงั สหี รอื ส่วนของเสน้ ตรงที่เป็นแขนขา้ งหน่งึ ของมมุ ขั้นท่ี 2 กาหนดจดุ ปลายของรงั สีหรือสว่ นของเสน้ ตรงที่เป็นแขนของมมุ เพ่ือใชเ้ ป็น จดุ ยอดมมุ ขัน้ ท่ี 3 วางไมโ้ พรแทรกเตอรใ์ หจ้ ดุ กึ่งกลางตรงกบั จดุ ปลายของรงั สี หรือส่วนของ เสน้ ตรง โดยใหเ้ สน้ ท่ชี ตี้ วั เลข 0 ทบั กบั แขนของมมุ

ขน้ั ที่ 4 กาหนดจดุ ใหต้ รงกบั ขนาดของมมุ ทต่ี อ้ งการ ขั้นท่ี 5 ลากรงั สหี รือส่วนของเสน้ ตรงจากจดุ ยอดมมุ โดยผา่ นจดุ ทก่ี าหนดไว้ 1.1.3 การวัดมมุ ทมี่ หี น่วยเป็ นองศา องศา (Degree) คือการวดั ทม่ี หี นว่ ย เป็น องศา ลปิ ดา และ ฟิลิปดา มีอตั ราส่วน ดงั นี้ 1 องศา เทา่ กบั 60 ลิปดา 1 ลปิ ดา เทา่ กบั 60 ฟิลปิ ดา 1 องศา เทา่ กบั 3600 ฟิลปิ ดา 1.1.4 การวัดมมุ ในหน่วยเรเดียม

1.2 การเปล่ียนหน่วยการวัดของมุม 1.2.1 การเปลย่ี นหน่วยของมุมระหว่างลปิ ดา และฟิ ลปิ ดา 1 องศา เท่ากบั 60 ลิปดา (minute) 1 ลปิ ดา เทา่ กบั 60 ฟิลิปดา (second) 1 องศา เทา่ กบั 3,600 ฟิลิปดา (second) สญั ลกั ษณว์ งกลมเลก็  ใชแ้ ทนหนว่ ยองศา ซ่ึงเป็นหนว่ ยเดยี ว ทเ่ี ม่อื เขยี นหน่วยแลว้ ไมต่ อ้ งเวน้ วรรค ระหวา่ งตวั เลขกบั สญั ลกั ษณเ์ ชน่  60 แทนมมุ ขนาด 60 องศา 1.2.2 การเปลย่ี นหน่วยของมมุ ระหว่างองศา, ลิปดา และฟิ ลิปดา การแปลงค่าพกิ ดั จาก องศา ลปิ ดา ฟิลปิ ดา และ องศา ลปิ ดา ฟิลิปดา เป็น แบบองศาทศนิยม ตวั อย่างท่ี 1 องศา ลปิ ดา ฟิลปิ ดา Lat 13? 45’ 53.7’’ N

Long 100? 32' 17.9’’ E ขนั้ ตอนที่ 1 หาคา่ ลปิ ดา นาค่าลิปดาหารดว้ ย 60 จะได้ Lat 13? 45’ 53.7’’ N ลปิ ดา = 45/60 ลปิ ดา = 0.75 Long 100? 32' 17.9’’ E ลิปดา = 32/60 ลปิ ดา = 0.533 ขนั้ ตอนที่ 2 หาค่าฟิลปิ ดา นาค่าฟิลปิ ดาหารดว้ ย 3600 จะได้ Lat 13? 45’ 53.7’’ N ฟิลปิ ดา = 53.7/3600 ฟิลิปดา = 0.014916 Long 100? 32' 17.9’’ E ฟิลปิ ดา = 17.9/3600 ฟิลิปดา = 0.004972 ขนั้ ตอนท่ี 3 นาค่าลิปดาจากขนั้ ตอนที่ 1 + คา่ ฟิลิปดาจากขนั้ ตอนที่ 2 Lat 13? 45’ 53.7’’ N ลิปดา = 45/60

ลปิ ดา = 0.75 Lat 13? 45’ 53.7’’ N ฟิลิปดา = 53.7/3600 ฟิลิปดา = 0.014916 Lat 13? 45’ 53.7’’ N = 13? + (0.75+0.014916) = 13? + 0.764916 ดงั นนั้ Lat = 13.764916? N Long 100? 32' 17.9’’ E ลิปดา = 32/60 ลิปดา = 0.533 Long 100? 32' 17.9’’ E ฟิลิปดา = 17.9/3600 ฟิลิปดา = 0.004972 Long 100? 32' 17.9’’ E = 100? + (0.533+0.004972) = 100? + 0.537972 ดงั นน้ั Long = 100.537972? E

สรุป Lat 13? 45’ 53.7’’ N = Lat 13.764916? N Long 100? 32' 17.9’’ E = Long 100.537972? E 1.2.3 การเปลยี่ นหน่วยของมมุ ระหว่างองศา และเรเดยี น

บทที่ 2 อัตราส่วนตรีโกณมิติ 2.1 การหาดา้ นของสามเหลยี่ มมมุ ฉากโดยใชท้ ฤษฎบี ทปี ทา โกรสั ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส Pythagorus’s Theorem รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (Right Triangle) คือ รูปสามเหลี่ยมท่ีมมี มุ หน่ึงกาง 90° จากรูป ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซ่ึงมี C เป็นมมุ ฉาก - AB เป็นด้านตรงขา้ มมุมฉาก อยตู่ รงขา้ มกับมมุ C แทนดว้ ยความยาว c - AC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อย่ตู รงขา้ มกบั มมุ B แทนดว้ ยความยาว b - BC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อยตู่ รงขา้ มกับมมุ A แทนดว้ ยความยาว a ทฤษฎีบทของปิ ทาโกรัส กลา่ วไวว้ า่ แบบท่ี 1 ในรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากใด ๆ ความยาวกาลงั สองของดา้ นตรงขา้ มมุม ฉากมคี า่ เทา่ กับผลบวกของความยาวกาลังสองของด้านประกอบมมุ ฉากทงั้ สองด้าน หรอื พิจารณาจากพนื้ ทร่ี ูปส่ีเหล่ียมจตั รุ สั ตามแบบที่ 2 คือ

แบบท่ี 2 ในรูปสเ่ี หล่ียมมมุ ฉากใด ๆ พืน้ ทีข่ องรูปส่ีเหล่ยี มจตั รุ ัสบนดา้ นตรงขา้ ม มมุ ฉากมีคา่ เท่ากบั ผลบวกของพืน้ ที่รูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมมุ ฉาก สองด้าน ดงั รูปประกอบ

จากรูป จะสงั เกตวา่ พืน้ ที่ของสเ่ี หล่ียมจัตุรัสสีแดง(ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก)จะ เท่ากบั ผลรวมของพนื้ ท่ีของสเ่ี หล่ยี มจตั รุ ัสสีน้าเงิน(ดา้ นประกอบมุมฉาก) ภาพแสดงความสมั พนั ธข์ องพนื้ ทีร่ ูปสีเ่ หล่ียมจตั รุ สั ทงั้ สามรูป คือ พนื้ ทข่ี องรูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ สั บนดา้ น c เทา่ กบั 25 ตารางหน่วย พนื้ ทข่ี องรูปสีเ่ หลย่ี มจตั รุ สั บนดา้ น a และ b เท่ากับ 16 และ 9 ตารางหนว่ ย

ตามลาดบั ซ่ึงจะเห็นวา่ 9 + 16 = 25 32 + 42 = 52 น่นั คือ a2 + b2 = c2 จากทฤษฎีบททงั้ 2 แบบ จะไดค้ วามสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นทงั้ สามของรูป สามเหลยี่ มสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC ดงั นี้ c2 = a2+b2 โดยท่ี c เป็ นความยาวดา้ นตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็ นความยาวของ ด้านประกอบมุมฉาก หรือ a2 = c2 - b2 และ b2 = c2 - a2 ตามที่ไดก้ ล่าวไปแลว้ ขา้ งตน้ หาก c แทนความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก และ a และ b แทนความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉากแลว้ ทฤษฎีบทปีทาโกรสั จะสามารถเขียน ในรูปสมการปีทาโกรสั ไดด้ งั นี้ ถา้ ทราบความยาวของทงั้ a และ b คา่ c จะสามารถคานวณไดด้ งั นี้ ถา้ ทราบความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก c และดา้ นประกอบมมุ ฉากดา้ นใดดา้ นหนง่ึ (a หรือ b) แลว้ ความยาวดา้ นท่เี หลอื สามารถคานวณได้ ดงั นี้ หรือ

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ วิธีทา จากรูป a=4 , b=3 หาคา่ ของ c จะไดว้ ่า c2 = 42 + 32 c2 = (4 x 4) + (3 x 3) c2 = 16 + 9 c2 = 25 c2 = 52 ดังนัน้ c = 5 ตอบ c ยาว 5 หน่วย ตัวอย่างท่ี 2 จงหาความยาวทีเ่ หลือของสามเหลีย่ มต่อไปนี้

วิธีทา จะไดว้ ่า d2 = 72+242 d2 = (7 x 7) + (24 x 24) d2 = 49+576 d2 = 625 d2 = 252 ดังนัน้ d = 25 ตอบ d ยาว 25 หนว่ ย ตวั อย่างที่ 3 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมตอ่ ไปนี้ วธิ ีทา จะไดว้ ่า m2 = 132- 52 m2 = (13 X 13) – (5 X 5) m2 = 169 – 25 m2 = 144 m2 = 122

ดงั นัน้ m = 12 ตอบ m ยาว 12 หนว่ ย ตวั อย่างที่ 4 จงหาความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ วิธีทา จะไดว้ ่า AB2 = AC2+BC2 AB2 = 82+152 AB2 = 64+225 AB2 = 289 AB2 = 172 ดังนั้น AB = 17 ตอบ ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาว 17 หนว่ ย ตวั อย่างท่ี 5 จงหาความยาวของดา้ นทีเ่ หลอื่ ของสามเหลีย่ มตอ่ ไปนี้

วิธที า จะไดว้ า่ PR2 = PQ2 + QR2 PQ2 = PR2 - QR2 PQ2 = 152 - 122 PQ2 = (15 x 15) – (12 x 12) PQ2 = 225 – 144 PQ2 = 81 PQ2 = 92 ดงั นั้น PQ = 9 ตอบ ความยาวของดา้ นที่เหลือคอื ดา้ น PQ ยาว 9 หนว่ ย ตัวอย่างท่ี 6 จากรูปจงหาค่าของ a วิธที า จะไดว้ ่า 6.52 = a2 + 2.52 a2 = 6.52 - 2.52 a2 = (6.5 x 6.5) - (2.5 x 2.5) a2 = 42.25 – 6.25 a2 = 36 a2 = 62 ดังนัน้ a = 6

ตอบ a ยาว 6 หน่วย 2.2 การหาอัตราส่วนตรโี กณมติ จิ ากรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ คาวา่ “ตรโี กณมติ ิ” ตรงกบั คา ภาษาองั กฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวดั รูป สามเหลี่ยมไดม้ ีการนาความรูว้ ิชาตรีโกณมติ ิไปใชใ้ นการหาระยะทาง พนื้ ที่ มมุ และ ทศิ ทางท่ยี ากแกก่ ารวดั โดยตรง เช่น การหาความสงู ของภเู ขา การหาความกวา้ งของ แมน่ า้ เป็นตน้ จากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC ทม่ี มี มุ C เป็นมมุ ฉาก เม่อื พิจารณามมุ A BC เรยี กวา่ ดา้ นตรงขา้ มมมุ A ยาว a หนว่ ย CA เรียกว่า ดา้ นประชิดมมุ A ยาว b หน่วย AB เรียกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ยาว c หน่วย เมื่อพิจารณามมุ B AC เรียกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมมุ B ยาว b หน่วย

CB เรียกว่า ดา้ นประชดิ มมุ B ยาว a หนว่ ย BA เรยี กว่า ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ยาว c หน่วย สรุปไดว้ า่ ในรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ท่ีมมี มุ C เป็นมมุ ฉาก ความสัมพนั ธข์ องฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ 1). ไซน์ ของมมุ คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ ม ตอ่ ความยาวดา้ นตรงขา้ ม มมุ ฉาก ในท่นี คี้ ือ sin(A) = ขา้ ม/ฉาก = a/h

2). โคไซน์ ของมมุ คอื อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นประชดิ ต่อความยาวดา้ นตรง ขา้ มมมุ ฉาก ในทีน่ คี้ ือ cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h 3). แทนเจนต์ ของมมุ คือ อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตรงขา้ ม ต่อความยาวดา้ น ประชิด ในทนี่ คี้ ือ tan(A) = ขา้ ม/ชดิ = a/b 4). โคซีแคนต์ csc(A) คอื ฟังกช์ นั ผกผนั การคณู ของ sin(A) น่นั คอื อตั ราส่วนของ ความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ตอ่ ความยาวดา้ นตรงขา้ ม csc(A) = ฉาก/ขา้ ม = h/a 5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังกช์ นั ผกผนั การคณู ของ cos(A) น่นั คอื อตั ราส่วนของความ ยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ต่อความยาวดา้ นประชดิ sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b 6). โคแทนเจนต์ cot(A) คอื ฟังกช์ นั ผกผนั การคณู ของ tan(A) น่นั คอื อตั ราสว่ นของ ความยาวดา้ นประชิด ต่อความยาวดา้ นตรงขา้ ม cot(A) = ชิด/ขา้ ม = b/a วิธจี า วธิ ีจาอย่างงา่ ย ๆ คือจาวา่ ขา้ มฉาก ชดิ ฉาก ขา้ มชดิ ซึง่ หมายความว่า o ขา้ มฉาก ... sin = ดา้ นตรงขา้ ม/ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก o ชิดฉาก ... cos = ดา้ นประชดิ /ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

o ขา้ มชิด ... tan = ดา้ นตรงข้าม/ดา้ นประชดิ ตัวอย่างการหาคา่ sin,cos,tan,cosec,sec และcot จาเป็นตอ้ งรูเ้ รื่อง พที าโกรสั ดว้ ย ใหด้ า้ นทีไ่ มร่ ูเ้ ป็น X จาก พีทาโกรสั (ดา้ นตรงขา้ มฉาก)2 = (ดา้ นประชดิ มมุ ฉาก)2 +( ดา้ นประชดิ มมุ ฉากอีกดา้ น)2 252 = 202 + X2 X = 15 ดงั นน้ั Sin C = ขา้ ม / ฉาก = 15/25 = 3/5 Cos C = ชดิ / ฉาก = 20/25 = 4/5 Tan C = ขา้ ม / ชิด = 15/20 = 3/4 Cosec C = ส่วนกลบั ของ Sin C = 5/3 Sec C = ส่วนกลบั ของ Cos C = 5/4 Cot C = ส่วนกลบั ของ Tan C = 4/3

2.3 การหาค่าอัตราส่วนตรโี กณมิติของมุม 30 องศา, 45 องศา และ 60 องศา 2.4 การหาค่าอัตราส่วนตรโี กณมิติโดยใช้ตาราง

บทท่ี 3 ตรีโกณมิตขิ องวงกลมหนึ่งหน่วย

วงกลมหนง่ึ หน่วย ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ทิ งั้ 6 ฟังกช์ นั สามารถนิยามดว้ ยวงกลมหนงึ่ หนว่ ย ซ่งึ เป็นวงกลมที่ มรี ศั มียาว 1 หนว่ ย และมีจดุ ศนู ยก์ ลางอย่ทู ี่จดุ กาเนิด วงกลมหนึ่ง หนว่ ยชว่ ยในการคานวณ และหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิสาหรบั อารก์ วิ เมนตท์ เ่ี ป็นบวก และลบได้ ไมใ่ ช่แค่ 0 ถงึ π/2 เรเดียนเทา่ นน้ั สมการของวงกลมหนง่ึ หนว่ ยคือ: จากรูป เราจะวดั มมุ ในหน่วยเรเดียน โดยใหม้ มุ เป็นบวกในทศิ ทวนเข็ม นาฬกิ า และมมุ เป็นลบในทศิ ตามเข็มนาฬิกา ลากเสน้ ใหท้ ามมุ θ กบั แกน x ดา้ น บวก และตดั กบั วงกลมหน่ึงหน่วย จะไดว้ า่ พิกดั xและ y ของจดุ ตดั นจี้ ะเทา่ กบั cos θ และ sin θ ตามลาดบั เหตผุ ลเพราะวา่ รูปสามเหล่ียมท่เี กดิ ขนึ้ นน้ั จะมคี วามยาว ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ยาวเท่ากบั รศั มีวงกลม น่นั คือยาวเท่ากบั 1 หน่วย เราจะได้ sin θ =y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนง่ึ หน่วยชว่ ยใหเ้ ราหากรณีทส่ี ามเหล่ยี มมคี วาม

สงู เป็นอนนั ต์ (เชน่ มมุ π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก แตด่ า้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยงั ยาวเทา่ กบั 1 หนว่ ย เทา่ เดิม ฟังกช์ นั f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ท่วี าดบนระนาบคารท์ ีเซยี น สาหรบั มมุ ทีม่ ากกว่า 2π หรอื ตา่ กวา่ −2π เราสามารถวดั มมุ ไดใ้ นวงกลม ดว้ ยวิธีนี้ คา่ ไซนแ์ ละโคไซนจ์ ึงเป็นฟังกช์ นั เป็นคาบทมี่ คี าบเทา่ กบั 2π: เมื่อ θ เป็นมมุ ใดๆ และ k เป็นจานวนเตม็ ใดๆ คาบที่เป็นบวกทเ่ี ลก็ ที่สดุ ของฟังกช์ นั เป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของ ฟังกช์ นั คาบปฐมฐานของไซน,์ โคไซน,์ ซแี คนต์ หรอื โคซีแคนต์ จะเทา่ กบั วงกลมหนึง่ วง น่นั คือเท่ากบั 2π เรเดียน หรอื 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรอื โคแทนเจนต์ จะเทา่ กบั ครง่ึ วงกลม น่นั คอื เทา่ กบั π เรเดยี น หรอื 180 องศา จากขา้ งบนนี้ ค่าไซนแ์ ละโคไซนถ์ กู นิยามจากวงกลมหน่ึงหน่วยโดยตรง แต่ส่ฟี ังกช์ นั ตรโี กณมติ ทิ ่ีเหลอื จะถกู นยิ ามโดย

ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ พิ นื้ ฐานทงั้ หมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึง่ หนว่ ยไดโ้ ดยใช้ วงกลมหน่ึงหน่วยท่ีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ีจ่ ดุ O ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติพนื้ ฐานทงั้ หมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหนว่ ย ไดโ้ ดยใชว้ งกลมหน่ึงหนว่ ย ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางอย่ทู ่จี ดุ O (ตามรูปทางขวา) ซ่งึ คลา้ ยกบั การนยิ ามเชงิ เรขาคณิตที่ใชก้ นั มาในสมยั ก่อน ให้ AB เป็นคอรด์ ของวงกลม ซึง่ θ เป็นครงึ่ หนง่ึ ของมมุ ที่รองรบั คอรด์ นน้ั จะได้ sin(θ) คือ ความยาว AC (ครง่ึ หนง่ึ ของคอรด์ ) นิยามนเี้ รมิ่ ใชโ้ ดยชาวอนิ เดยี cos(θ) คอื ระยะทางตามแนวนอน OC versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD

tan(θ) คอื ความยาวของส่วน AE ของเสน้ สมั ผสั ทล่ี ากผ่านจดุ A จงึ เป็นทม่ี า ของคาวา่ แทนเจนตน์ ่นั เอง (tangent = สมั ผสั ) cot(θ) คือ ส่วนของเสน้ สมั ผสั ท่เี หลอื คอื ความยาว AF ec(θ) = OE และ csc(θ) = OF เป็นสว่ นของเสน้ ซแี คนต์ (ตดั วงกลมท่จี ดุ สอง จดุ ) ซ่ึงสามารถมองวา่ เป็นภาพฉายของOA ตามแนวเสน้ สมั ผสั ทจี่ ดุ A ไปยงั แกน นอนและแกนตงั้ ตามลาดบั exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (สว่ นของซแี คนตด์ า้ นนอก) ดว้ ยวิธีสรา้ งเหลา่ นี้ ทาใหเ้ หน็ ภาพฟังกช์ นั ซแี คนตแ์ ละแทนเจนตล์ อู่ อก เม่อื θ เขา้ ใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนตแ์ ละโคแทนเจนตล์ อู่ อก เมื่อ θ เขา้ ใกล้ ศนู ย์ (เราสามารถพิสจู นเ์ อกลกั ษณต์ รโี กณมติ ิดว้ ยรูปภาพได)้ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิและพิกดั บนวงกลมหนึ่งหน่วย ใหจ้ ดุ ใดๆบนวงกลมหนึ่งหน่วยมีพกิ ดั ( x , y ) และทามมุ θ กบั จดุ กาเนดิ เราสามารถสรา้ งสามเหล่ียมมมุ ฉากไดจ้ ากจดุ กาเนิด ( 0 , 0 ) และ พิกดั ( x , y ) โดย ให้ \"รศั มี\" เป็นดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากของสามเหลีย่ ม และมีค่าเท่ากบั 1 ดงั รูป เราจึงสามารถหาฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของมมุ θ ได้ ดงั นี้ sin คืออตั ราส่วนของ ดา้ นตรงขา้ ม / ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก cos คืออตั ราสว่ นของ ดา้ นชดิ มมุ / ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก เม่ือรศั มี มคี ่าเทา่ กบั 1 จะได้

sin θ = y / 1 → sin θ = y cos θ = x / 1 → cos θ = x ทาใหเ้ ราทราบว่าพิกดั ( x , y ) มคี า่ เท่ากบั ( cos θ , sinθ ) โดยท่ี • ความยาวบนแกน x มคี า่ เท่ากบั cos θ • ความยาวบนแกน y มคี ่าเท่ากบั sin θ

ตัวอย่าง : จดุ a ( x , y ) ทามมุ 30° กบั จดุ กาเนดิ จงหาพกิ ัดของจดุ a จดุ a ( x , y ) ทามมุ 30° ดงั นน้ั พิกดั ของจดุ a คือ ( cos 30° , sin 30° ) โดย cos 30° = 0.87 และ sin 30° = 0.5

จดุ a จึงมีพิกดั ( 0.87 , 0.5 ) โดยมีความยาวบนแกน x เท่ากบั 0.87 และมีความยาวบนแกน y เท่ากบั 0.5 ค่าฟังกช์ ันตรโี กณมิตริ อบวงกลมหนึง่ หน่วย พิกดั ( x,y ) บนวงกลมจะแตกต่างกนั ไปขนึ้ อย่กู บั ตาแหนง่ ในจตภุ าคของพิกดั โดย สรุปไดด้ งั นี้ จตภุ าค x y พิกดั หนึ่ง บวก บวก (x, y) สอง ลบ บวก (-x, y)

สาม ลบ ลบ (-x, -y) ส่ี บวก ลบ (x, -y) 3.2 การหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติของมมุ 2n π + θ หรือ n X 360 องศา + θ

3.3 การหามมุ θ จากตารางตรีโกณมติ ิ

บทที่ 4 กฎของฟังกช์ นั ไซน์ และโคไซน์ 4.1 การเขียนกราฟของฟังกช์ ันไซนแ์ ละโคไซน์

4.1.1 การเขียนกราฟของฟังกช์ ันไซน์ 4.12 การเขยี นกราฟของฟังกช์ นั โคไซน์

4.2 กฎของไซนแ์ ละกฎของโคไซน์ 4.2.1 กฎของไซน์ (Law of sine) กฎของไซน์ (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule) ระบไุ วว้ ่าอตั ราส่วนของความยาว ของดา้ น a ทส่ี มนยั กบั มมุ α (มมุ ตรงขา้ ม) จะเท่ากบั อตั ราส่วนของความยาวของ ดา้ น b ทสี่ มนยั กบั มมุ βดงั นี้

4.2.2 กฎของโคไซน์ (Law of cosine) กฎของโคไซน์ (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) เป็นการเชือ่ มโยง ความสมั พนั ธร์ ะหว่างดา้ นหน่งึ ของรูปสามเหลย่ี มที่ไมท่ ราบความยาว ไปยงั ดา้ นท่ี เหลือและมมุ ทีอ่ ยตู่ รงขา้ ม จากรูปทางซา้ ยมือ สมมติวา่ เราทราบความยาวของ

ดา้ น a และ b และทราบขนาดของมมุ ตรงขา้ ม γ ความยาวของดา้ น c สามารถ คานวณจากสตู รตอ่ ไปนี้ 4.3 การประยุกตใ์ ช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1. ตน้ ไมต้ น้ หนึ่งทอดเงายาว 40 เมตร แนวของเสน้ ตรงทีล่ ากผา่ นจดุ ปลายของเงา ตน้ ไมแ้ ละยอดตน้ ไมท้ ามมุ 20 องศา กบั เงาของตน้ ไม้ จงหาความสงู ของตน้ ไมน้ ี้

วธิ ที า แนน่ อนโจทยแ์ บบนีต้ อ้ งใชค้ วามรูเ้ รื่องอตั รสว่ นตรีโกณมติ ิแนน่ อนเราจะใชต้ วั ไหนดี ไซน์ โคไซนห์ รือว่าเทนเจนต์ ขอ้ นเี้ ขาใหห้ าความสงู ของตน้ ไม้ ใชไ่ หม ถา้ ใช้ ไซน์ หรือว่า โคไซนไ์ ม่ไดแ้ นะ่ เพราตดิ ตวั แปรสองตวั ดงั นน้ั ขอ้ นใี้ ช้ เทนเจนตค์ รบั จาก ผมใหต้ น้ ไมส้ งู y นะครบั แลว้ แกส้ มการหาคา่ y ดงั นน้ั ตน้ ไมน้ สี้ งู 14.4 เมตร 2. ลกู เสอื คนหนึ่งตอ้ งการหาความสงู ของเสาธงของโรงเรยี น ถา้ ขณะทเ่ี ขามองยอด เสาธงมมุ เงยจากระดบั สายตาไปยงั ยอดเสาธงมีขนาด 45 องศา เขายนื อย่หู ่างจาก เสาธงเป็นระยะทาง 12 เมตร และความสงู จากพนื้ ดนิ ถงึ ระดบั ตาของเขาเป็น 1.5 เมตร อยากทราบวา่ เสาธงสงู เทา่ ใด

วิธีทา ขอ้ นไี้ ม่ยากครบั ใชเ้ ทนเจนตข์ อ้ นี้ ให้ y คือความสงู ของเสาธงท่ียงั ไมร่ วมกบั ความสงู ของลกู เสือ ขอ้ นตี้ อ้ งเอาความสงู ท่ีเราไดน้ ไี้ ปบวกกบั ความสงู ของลกู เสอื คนนกี้ อ่ นถงึ จะเป็นความ สงู ของเสาธงอย่างแทจ้ รงิ ครบั ดงั นนั้ คาตอบที่ถกู คือ 12+1.5=13.5 เมตร 3. กาหนดรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC ซง่ึ มี C^=90∘C^=90∘ และ มมุ B^=2A^B^=2A^ ถา้ AC=43–√AC=43 แลว้ AB+BCAB+BC เท่ากบั เท่าใด (O-NET 58)

1. 102–√102 2. 12 3. 103–√103 4.13 5. 16 วิธที า ขอ้ นเี้ ป็นขอ้ สอบ o-net ปี 58 ไม่ยากนะครบั แตโ่ หดตรงที่มี 5 ตวั เลอื กเดายาก กว่าเดมิ มาดวู ิธีการทากนั ครบั ขอ้ นคี้ ่อยๆอา่ นเรอื่ งอตั ราส่วนตรีโกณมิติ ไม่ยากครบั คอ่ ยๆอา่ น วาดรูปประกอบไดย้ ่ิงดคี รบั จะไดม้ องเหน็ ภาพชดั เจน จากรูปจะได้ เพราะฉะนน้ั

จากรูปจะได้ เพราะฉะนน้ั จากสมการดา้ นบนจะเห็นวา่ เราจะหา AB และ BC ยงั ไมไ่ ดเ้ พราะตดิ ขนาดของมมุ A เราตอ้ งหาขนาดของมมุ A กอ่ นครบั อย่าลืมนะวา่ มมุ ภายในของรูปสามเหลย่ี มมี ขนาดเทา่ กบั 180 องศา และโจทยบ์ อกวา่ มมุ C มขี นาด 90 องศา น่นั คือ ไดค้ ่าขนาดของมมุ A แลว้ งา่ ยแลว้ ทนี่ หี้ าคาตอบอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิขอ้ นไี้ ดแ้ นค่ รบั เน่ืองจาก

เอาไปแทนค่า cosA กบั tanA ไปแทนค่าในสมการท่ี (1) และ (2) เลยครบั เพือ่ หา คาตอบออกมาครบั จากสมการท่ี (1) จากสมการท่ี (2) 4. ชายคนหนง่ึ เหน็ ยอดตึกแห่งหนงึ่ ดว้ ยมมุ เงย 45∘45∘ เมื่อชายคนนเี้ ดินเขา้ ใกลต้ กึ อกี 10 เมตร เขาจะมองเหน็ ยอดตึกดว้ ยมมุ เงย 60∘60∘ ตึกหลงั นมี้ คี วามสงู ใกลเ้ คียง กบั ค่าในขอ้ ใดมากท่ีสดุ 1. 25 เมตร 2. 30 เมตร 3. 35 เมตร 4. 40 เมตร 5. 45 เมตร

วิธที า วธิ ีทาขอ้ นเี้ หมือนเดิมครบั ใหว้ าดรูปดจู ะเหน็ ภาพชดั เจนครบั จากรูปจะไดว้ ่า

คา่ y ท่เี ราไดน้ เี้ ราตอ้ งนาไปบวกกบั ความสงู ของคนท่มี องตกึ นีด้ ว้ ย ซงึ่ โดยท่งั ไป แลว้ ความสงู ของคนไม่เกนิ 2 เมตรแนน่ อนจึงทาใหค้ วามสงู ของตึกอยทู่ ี่ ประมาณ 25.66 ซง่ึ ใกลเ้ คียงกบั ตวั เลอื กที่ 1 มากท่สี ดุ บทที่ 5 เมทรกิ ซ์ 5.1 ความหมายของเมทริกซ์ เมทริกซ์ คือกล่มุ ของจานวนหรอื สมาชิกของรงิ ใดๆ เขียนเรียงกนั เป็นรูป ส่ีเหลี่ยมผืนผา้ หรือจตั รุ สั กล่าวคอื เรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรยี งเป็นแถวใน แนวตงั้ เรามกั เขียนเมทริกซเ์ ป็นตารางที่ไมม่ เี สน้ แบง่ และเขยี นวงเล็บครอ่ มตารางไว้ (ไมว่ ่าจะเป็นวงเลบ็ โคง้ หรือวงเลบ็ เหลย่ี ม) เช่น

เราเรยี กแถวในแนวนอนของเมทรกิ ซว์ ่า แถว เรยี กแถวในแนวตงั้ ของเมทริกซ์ วา่ หลกั และเรียกจานวนแตล่ ะจานวนเในเมทริกซว์ ่า สมาชิก ของเมทรกิ ซ์ การ กล่าวถงึ สมาชิกของเมทริกซ์ จะตอ้ งระบตุ าแหน่งใหถ้ กู ตอ้ ง เช่น จากตวั อยา่ งขา้ งบน สมาชิกทอี่ ย่ใู นแถวท่ี 2 หลกั ที่ 3 คอื เลข 4 สมาชกิ ที่อยใู่ นแถวที่ 2 หลกั ที่ 2 คอื เลข 1 สมาชิกท่ีอย่ใู นแถวท่ี 3 หลกั ท่ี 1 คือเลข 5 เราเรยี กเมทรกิ ซท์ ี่มี แถว และ หลกั เรียกว่า เมทรกิ ซ์ เราเรียก จานวน และ วา่ มิติ หรือ ขนาด ของเมทรกิ ซ์ เราใชส้ ญั ญลกั ษณ์ เพอ่ื หมายถึง เมทริกซ์ ซ่ึงมี แถว และ หลกั โดยท่ี (หรอื ) หมายถงึ สมาชกิ ที่อยใู่ นตาแหนง่ แถว และ หลกั ของเมทรกิ ซ์ 5.2 จานวนสมาชิกทัง้ หมดของเมทรกิ ซ์ • มติ ิ ถา้ เมทรกิ ซ์ M1M1 มสี มาชกิ mm แถว และ nn หลกั เราเรียกเมทริกซน์ นั้ วา่ เมท รกิ ซ์ M1M1 มีมติ ิ m×nm×n หรือเรียกว่า เมทรกิ ซ์ M1M1 มขี นาด m×nm×n พจิ ารณาเมทริกซ์ M1,M2,M3M1,M2,M3 จากตวั อยา่ งขา้ งบนเราจะได้ เมทริกซ์ M1M1 มมี ติ ิ 2×32×3

เมทรกิ ซ์ M2M2 มีมติ ิ 3×23×2 เมทริกซ์ M3M3 มมี ติ ิ 2×2 • ตาแหน่ง เราใชสั ญั ลกั ษณต์ ่อไปนแี้ ทนเมทริกซท์ ี่มมี ิติ m×n aij หมายถึงสมาชิก แถวที่ ii หลกั ที่ j ตวั อย่างของสญั ลกั ษณแ์ ทนตาแหนง่ ของเมทริกซ์ ดงั นนั้ a11=1,a12=2,a13=3,a21=4,a22=5,a23=6 5.3 ชนดิ ของเมทริกซ์ 1. เมทริกซแ์ ถว (row matrix) เมทริกซซ์ ่งึ มีเพยี ง 1 แถวเท่านนั้ เชน่ 2. เมทรกิ ซห์ ลกั (colum matrix) เมทริกซซ์ ่ึงมีเพยี ง 1 หลกั เทา่ นนั้ เชน่

3. เมทริกซศ์ นู ย์ (zero matrix) คือ เมทรกิ ซ์ โดยที่ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ซึ่งจะมีมติ ิ เทา่ ไรก็ได้ เช่น 4. เมทริกซจ์ ตรุ สั (square matrix) คอื เมทรกิ ซ์ จานวนแถว เท่ากบั จานวนหลกั เชน่ 5. เมทริกซท์ รานสโ์ พส (transpose matrix) กาหนด เมทริกซท์ รานสโ์ พส คอื เมทรกิ ซ์ ที่เกิดจากการสลบั ที่ระหวา่ งหลกั กบั แถวของเมทริกซ์ A แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ เช่น

6. เมทริกซส์ มมาตร (symmetric matrix) A จะเป็นเมทริกซส์ มมาตร ก็ตอ่ เม่อื หรอื A เป็นเมทรกิ ซจ์ ตรุ สั เชน่ 7. เมทรกิ ซเ์ สมอื นสมมาตร (skew – symmetric matrix) A จะเป็นเมทริกซเ์ สมอื น สมมาตร กต็ ่อเมอ่ื หรือ A เป็นเมทรกิ ซจ์ ตรุ สั ซง่ึ (สมาชกิ ทกุ ตวั ในแนวทแยงมมุ หลกั จากบนซา้ ยมาลา่ งขวาของ A เป็น 0 หมด) เช่น