หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 อัตราส่วน 1. ความหมายของอัตราส่วน มีผใู้ หค้ วามหมายอตั ราส่วนไวด้ งั นี้ สุพล สวุ รรณนพ และคณะ (2547 : 2) ใหค้ วามหมายของ อตั ราสว่ นว่า อตั ราสว่ น (Ratio) เป็นการเปรียบเทียบจานวนสองจานวน จานวนที่ นามาเปรยี บเทียบกนั อาจเป็นจานวนสิง่ ของ ความกวา้ ง ความยาว ความสงู หรอื อ่นื ๆ พัศนยี ์ นันตา (2556 : 2) ใหค้ วามหมายของอตั ราสว่ นว่า อตั ราสว่ น (Ratio) เป็นการหาความ สมั พนั ธท์ ีแ่ สดงการเปรยี บเทียบ ปรมิ าณสอง ปรมิ าณ อารีย์ ชมุ่ ใจรกั ษ์ (2556 : 6) ใหค้ วามหมายของอตั ราสว่ นว่า อตั ราสว่ น (Ratio) การเปรียบเทียบ ปรมิ าณสองปรมิ าณ จากนิยามความหมายของอตั ราสว่ นของนกั วชิ าการดงั กลา่ วสรุปไดว้ า่ อตั ราสว่ น (Ratio) คอื ความสมั พนั ธท์ ่ีแสดงการเปรยี บเทียบ ปรมิ าณสองปรมิ าณ หรอื มากกว่านน้ั อาจเป็นชนดิ เดยี วกนั หรอื ตา่ งชนดิ กนั ก็ได้ ในชวี ิตประจาวนั ของเรามี อตั ราสว่ น มาเก่ยี วขอ้ งอยใู่ นกิจกรรมต่าง ๆ มากมายเราสามารถเขียนในรูป สัญลกั ษณ์ อตั ราส่วน a ตอ่ b เขยี นแทนด้วย a : b หรือ a b เรยี ก a ว่า จานวนแรกหรือจานวนทีห่ นง่ึ เรยี ก b ว่า จานวนหลงั หรอื จานวนที่ สอง เช่น
1) นา้ ตาลทรายกโิ ลกรมั ละ 24 บาท อตั ราที่ไดค้ ือ 1 กิโลกรมั 24 บาท เขียนเป็นอตั ราสว่ นได้ 1 : 24 หรือ 1 เป็นจานวนแรกหรอื จานวนทหี่ นง่ึ และ 24 เป็นจานวนหลงั หรือจานวนทีส่ อง 2) เดินว่ิงเพอ่ื สขุ ภาพ 30 นาที ไดร้ ะยะทาง 8 กโิ ลเมตร อตั ราที่ไดค้ ือ 30 นาที 8 กิโลเมตร เขยี นเป็นอตั ราสว่ นได้ 30 : 8 หรือ 30 เป็นจานวนแรกหรือจานวนทีห่ น่ึง และ 8 เป็นจานวนหลงั หรือจานวนท่สี อง 3) เดินทาง 120 กิโลเมตร ใชเ้ วลา 2 ช่วั โมง อตั ราท่ีไดค้ ือ 120 กิโลเมตร 2 ช่วั โมง เขียนเป็นอตั ราส่วนได้ 120 : 2 หรือ 120 เป็นจานวนแรกหรอื จานวนทีห่ นง่ึ และ 2 เป็นจานวนหลงั หรอื จานวนท่ีสอง 4) ไข่ไก่ 15 ฟอง ราคา 50 บาท อตั ราท่ไี ดค้ อื 15 ฟอง 50 บาท เขียนเป็นอตั ราส่วนได้ 15 : 50 หรอื 15 เป็นจานวนแรกหรอื จานวนท่ีหนงึ่ และ 50 เป็นจานวนหลงั หรอื จานวนทส่ี อง 5) หนงั สอื 6 เล่ม มีนา้ หนกั 900 กรมั อตั ราที่ไดค้ อื 6 เล่ม นา้ หนกั 900 กรมั เขยี นเป็นอตั ราส่วนได้ 6 : 900 หรือ 6 เป็นจานวนแรกหรือจานวนทหี่ นึง่ และ 900 เป็นจานวนหลงั หรอื จานวนท่ีสอง การเขียนอัตราส่วน โดยท่วั ไปจะเขียนไดด้ งั นี้ 1. ตวั เลขทีแ่ สดงอตั ราส่วนอาจไมใ่ ชต่ วั เลขท่ีแสดงปรมิ าณจริง ๆ ของสิง่ ท่ี ตอ้ งการเปรียบเทียบ เชน่ อตั ราสว่ นจานวนนกั เรียนหญิงต่อจานวนนกั เรยี นชาย เป็น
2: 17 ไม่ไดห้ มายความว่ามีจานวนนกั เรยี นหญิง 2 คน และจานวนนกั เรียนชาย 17 คน อาจเป็นไปไดว้ า่ มจี านวนนกั เรยี นหญิง 4 คน และจานวนนกั เรยี นชาย 34 คน 2. ตาแหน่งของแต่ละจานวนในอตั ราสว่ น มคี วามสาคญั จะเขียนสลบั กนั ไม่ได้ เพราะเมื่อสลบั ตาแหน่งกนั ความหมายจะตา่ งกนั เช่น 1 : 50 50 : 1 หรือ 1 50 50 1 3. การเขียนอตั ราสว่ นจะตอ้ งพิจารณาถึงหนว่ ยทีร่ ะบขุ องจานวนแรกและ จานวนหลงั ของอตั ราสว่ นดงั นี้ 3.1 ถา้ หน่วยที่ใชเ้ ป็นหนว่ ยเดียวกนั ไมต่ อ้ งเขียนหนว่ ยกากบั ไว้ เช่น จานวนครูต่อจานวนนกั เรยี น เทา่ กบั 1 : 20 หรือ 1 20 3.2 ถา้ หน่วยที่ใชเ้ ป็นหนว่ ยต่างกนั จะตอ้ งเปล่ียนหน่วยทีน่ ามา เปรยี บเทยี บนน้ั ใหเ้ ป็นหนว่ ยเดยี วกนั ในกรณีท่ไี มส่ ามารถเปล่ียนไดจ้ ะตอ้ งเขียน หนว่ ยกากบั ไว้ เช่น นา้ หนกั ของ สเุ ทพเป็นกรมั ต่อนา้ หนกั ของสทุ นิ เป็นกโิ ลกรมั เท่ากบั 65,000 : 72 หรือนา้ หนักของสเุ ทพตอ่ นา้ หนกั ของสทุ นิ เท่ากับ 65 : 72 หรือ 65 72 4. ในการเขียนอตั ราสว่ นนยิ มเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปอตั ราสว่ นอย่างต่า ซึ่งทาไดโ้ ดย การหาจานวนมาหารทงั้ จานวนแรกและจานวนหลงั ของอตั ราสว่ น เชน่ จานวน ชนิ้ งานต่อจานวนราคา เทา่ กบั 2 ชนิ้ : 150 บาท เท่ากบั 1 ชิน้ : 75 บาท หรอื 1 ชิ้น 75บาท 2. สมบัตอิ ตั ราสว่ น
2.1 อัตราสว่ นทเี่ ทา่ กัน อตั ราส่วนทีเ่ ท่ากนั คอื อตั ราสว่ นใด ๆ ท่ที าใหเ้ ป็นอตั ราส่วนอย่างต่าแลว้ จะได้ อตั ราส่วนท่ีเทา่ กนั อตั ราส่วนจะเทา่ กนั ได้ เมอื่ ทาการคณู หรือหารอตั ราส่วนนนั้ ใน จานวนที่เทา่ กนั 2.1.1 การหาอตั ราสว่ นทีเ่ ทา่ กบั อตั ราสว่ นทกี่ าหนดให้ มี 2 วิธี คอื 1) ใชห้ ลกั การคณู เมอื่ อตั ราส่วนทไ่ี ดม้ าเป็น อตั ราสว่ นอย่างตา่ คณู แต่ละ จานวนในอตั ราสว่ นใดดว้ ยจานวนเดียวกนั โดยทจ่ี านวนนนั้ ไม่เทา่ กบั ศนู ย์ จะได้ อตั ราส่วนใหม่ทีเ่ ท่ากบั อตั ราสว่ นเดมิ ถา้ a เป็นอตั ราสว่ นใด ๆ และ C เป็นจานวนใด ๆ ที่ 0 แลว้ b จะไดว้ ่า a = ac b bc เช่น อตั ราส่วน 1 : 2 สามารถเขียนรูปไดด้ งั นี้ เขยี นไดเ้ ป็น อตั ราส่วน ได้ เท่ากบั 1 2 เมื่อ นา 2 มาคูณ 1 จะได้ ว่า =1 2 2 2 22 4 จากรูปจะเห็นไดว้ า่ การแบ่งส่วนย่อยมากขนึ้ แต่ พนื้ ที่เทา่ กนั
1=2 24 เมอ่ื นา 2 มาคณู 2 จะได้ วา่ 2 2 = 4 4 42 8 เมอ่ื นา 2 มาคณู 4 จะได้ ว่า =4 2 8 8 8 2 16 เมอ่ื นา 2 มาคณู 8 จะได้ ว่า =82 16 16 16 2 32 เมอื่ นา 2 มาคณู 16 จะได้ วา่ =16 2 32 32 32 2 64 ดงั นน้ั จะเหน็ ไดว้ า่ การคณู ดว้ ย 2 ทงั้ เศษและส่วนจะไมท่ าใหค้ ่า ของพนื้ ท่ีแรง เงาในรูปไม่เปลย่ี นแปลง จานวนพนื้ ท่ยี งั เท่าเดิมเสมอ เพราะ การคณู 2 ทงั้ เศษ และส่วนมีค่าเทา่ กบั คณู ดว้ ยคา่ คงท่ี เทา่ กบั 1 เพราะ 2 = 1 2
จากรูป ดา้ นบน พอจะไดค้ าตอบว่า 2 = 4 = 8 = 16 = 32 มคี า่ เทา่ กนั เสมอ 4 8 16 32 64 2) ใชห้ ลกั การหาร เมื่ออตั ราสว่ นท่ไี ดม้ าเป็นอตั ราสว่ นอย่างต่า หารแต่ละจานวนใน อตั ราส่วนใดดว้ ยจานวนเดียวกนั โดยที่จานวนน้ันไม่เท่ากบั ศนู ย์ จะไดอ้ ตั ราสว่ น ใหม่ทเ่ี ท่ากบั อตั ราสว่ นเดิม ถา้ a เป็นอตั ราส่วนใด ๆ และ c เป็นจานวนใด ๆ ท่ี 0 แลว้ b a ac จะไดว้ ่า b = b c เช่น ใหห้ า อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กนั โดยการหาร อตั ราสว่ น 4 : 10 เขียนไดเ้ ป็น 4 เราจะทา 10 การหารดงั นี้ 4 2 =2 5 10 2 ดงั นน้ั จะเหน็ ไดว้ า่ การหาร ดว้ ย 2 ทงั้ เศษและส่วน จะไม่ทาใหค้ า่ ของพนื้ ท่แี รงเงา ในรูปไม่เปล่ียนแปลงจานวนพนื้ ทย่ี งั เทา่ เดมิ เสมอ เพราะ 2 = 1 ดงั นนั้ 2 จากรูป ดา้ นบน พอจะไดค้ าตอบว่า 4 = 2 มีคา่ เทา่ กนั เสมอ 10 5 2.2 การตรวจสอบความเท่ากันของอัตราส่วน การเปรียบเทยี บอตั ราสว่ น 2 อตั ราสว่ นเป็นอตั ราส่วน เทา่ กนั “= ” หรอื ไม่ เทา่ กนั “ ”
2..2.1 วธิ ีการตรวจสอบการเท่ากนั ของอตั ราส่วน 2 อตั ราส่วน ทาได้ 2 วธิ ี ดงั นี้ 1) ทาจานวนหลงั ใหเ้ ทา่ กนั กอ่ น โดยใชห้ ลกั การคณู หรือการหาร แลว้ นาจานวนแรกมาเปรียบเทยี บกนั เช่น 1.1) 2: 7 กบั 4: 21 เป็นอตั ราสว่ นเท่ากนั หรือไม่ วธิ ีทา 2 กบั 4 จะได้ 21 7 4 2 3 กบั 21 73 4 21 6 21 ดงั นนั้ 2 : 7 4 : 21 1.2) 5: 35 กบั 9: 63 เป็นอตั ราสว่ นเทา่ กนั หรือไม่ วิธีทา 5 กบั 9 35 63 55 กบั 99 35 5 63 9 จะได้ 1 = 1 7 7 ดงั นน้ั 5 : 35 = 9 : 63 2) ตรวจสอบการเท่ากนั ของอตั ราส่วนโดยใชผ้ ลคณู ไขว้
a : b กบั c : d เป็นอตั ราส่วนสองอตั ราสว่ นใด ๆ ac bd ถา้ a = c แลว้ a d = b c b d ถา้ a c แลว้ a d b c b d 14 ตัวอย่างท่ี 1 อตั ราสว่ น เทา่ กนั หรอื ไม่ 2 และ 8 การตรวจสอบการเทา่ กนั ของอตั ราส่วนโดยใชผ้ ลคณู ไขว้ 1. โดยการ ตงั้ สมการ 2. ทาการคณู ไขว้ ของเศษและส่วน ตามรูป บรรทดั ที่ 2 ดา้ นลา่ ง 3. จะไดผ้ ลคณู ท่ีไดเ้ ท่ากนั จะไดว้ ่า อตั ราส่วนทงั้ สองนน้ั เทา่ กนั 14 2 =8 14 28 1 8= 2 4 8 =8 เราสามารถสรุปว่า ผลคณู ทงั้ สองดา้ นเทา่ กนั สมการเป็นจริง 4 ดงั นนั้ จะได้ 1 = 8 2
เม่ือพจิ ารณา เป็นรูปภาพ กจ็ ะได้ ว่า มีพนื้ ท่เี ทา่ กนั = 16 = 32 32 64 ตวั อยา่ งท่ี 2 อตั ราสว่ น เท่ากนั หรอื ไม่ ผลคณู ทงั้ สองดา้ นเท่ากนั สมการเป็นจริง ดงั นนั้ จะได้ =16 32 32 64 เมอื่ พิจารณา เป็นรูปภาพ ก็จะไดว้ า่ มีพนื้ ที่เทา่ กนั = 2.1) 7 : 9 กบั 5 : 6 เป็นอตั ราส่วนเท่ากนั หรือไม่ วธิ ที า 7 5 9 6 จะได้ 7 6 95 42 45 ดงั นน้ั 7 : 9 5 : 6 2.2) 2 : 5 กบั 12 : 30 เป็นอตั ราส่วนเทา่ กนั หรือไม่
วธิ ีทา 2 12 5 30 จะได้ 2 30 = 5 12 60 = 60 ดงั นนั้ 2 : 5 = 12 : 30 3. อัตราส่วนหลาย ๆ จานวน การเปรียบเทยี บจานวนตา่ ง ๆ มากกว่าสองจานวน ซง่ึ สามารถทาไดโ้ ดย วธิ ีการของอตั ราส่วน เชน่ เปรยี บเทียบจานวน 10, 12 และ 18 จะไดอ้ ตั ราส่วน 10 : 12 : 18 หรอื ทอนเป็นอตั ราสว่ นอย่างตา่ จะได5้ : 6 : 9 สญั ลกั ษณ์ อตั ราส่วนหลาย ๆ จานวน a ต่อ b ตอ่ c เขียนแทนดว้ ย a : b : c เช่น อตั ราสว่ นปริมาณกาแฟตอ่ ปรมิ าณนา้ ตาลต่อปรมิ าณครมี เทยี ม = 1 : 5 : 4 วิธีการเขียนอัตราส่วนหลาย ๆ จานวน ทาไดโ้ ดย 1) ถา้ อตั ราส่วนสองอตั ราสว่ นมีปรมิ าณของสิง่ ที่เป็นตวั รว่ มเทา่ กนั ก็นามา เขียนในรูปอตั ราสว่ นหลาย ๆ จานวนไดเ้ ลย เชน่ 1.1) กาหนดให้ a : b = 8 : 5 และ b : c = 5 : 7 จงเขยี นอตั ราสว่ น a :b:c วิธที า อตั ราสว่ น a : b = 8 :5 อตั ราส่วน b : c = 5 :7 ตวั รว่ มคอื b
ดงั นนั้ เขยี นเป็นอตั ราสว่ นหลาย ๆ จานวนได้ a:b:c = 8: 5 : 7 1.2) ถา้ จานวนไกต่ ่อจานวนเป็ดเป็น 2 : 3 และจานวนเป็ดตอ่ จานวนห่าน เป็น 3 : 1 จงเขยี นอตั ราส่วนไก่ ต่อ เป็ด และหา่ น วธิ ที า อตั ราสว่ น จานวนไกต่ อ่ จานวนเป็ด = 2 : 3 จานวนเป็ดตอ่ จานวนห่าน = 3 : 1 ตวั รว่ มคอื จานวนเป็ด ดงั นน้ั เขียนเป็นอตั ราสว่ นหลาย ๆ จานวนได้ จานวนไกต่ ่อจานวนเป็ดต่อจานวนหา่ น = 2 : 3 : 1 2) ถา้ อตั ราส่วนสองอตั ราสว่ นมีปริมาณของส่งิ ทีเ่ ป็นตัวรว่ มไมเ่ ทา่ กนั ใหท้ า ปริมาณของส่งิ ทีเ่ ป็นตวั รว่ มของสองอตั ราสว่ นนนั้ ใหเ้ ป็นปริมาณท่ีเท่ากนั โดยการใช้ หลกั การคณู หรอื การหารเพื่อทาเป็นอตั ราส่วนท่ีเท่ากนั แลว้ เขียนอตั ราสว่ นหลาย ๆ จานวน เช่น 2.1) กาหนดให้ a : b = 4 : 3 และ b : c = 6 : 7 จงเขยี นอตั ราสว่ น a :b:c วิธีทา อตั ราสว่ น a : b = 4:3
อตั ราสว่ น b : c = 6:7 ตวั รว่ มคือ b (ทาใหเ้ ท่ากนั คอื เท่ากบั 6) อตั ราสว่ น a : b = 42 : 32 = 8:6 อตั ราสว่ น b : c = 6:7 ดงั นนั้ เขียนเป็นอตั ราสว่ นหลาย ๆ จานวนได้ a:b:c = 8: 6 : 7 2.2) ถา้ จานวนปลาตอ่ จานวนกบเป็น 7 : 2 และจานวนกบตอ่ จานวนเตา่ เป็น 5 : 3 จงเขียนอตั ราส่วนปลา ตอ่ กบ และเต่า วิธีทา อตั ราส่วน จานวนปลาตอ่ จานวนกบ = 7 : 2 จานวนกบตอ่ จานวนเตา่ = 5 : 3 ตวั รว่ มคือจานวนกบ (ทาใหเ้ ท่ากนั คอื 2 x 5 เทา่ กบั 10) ดงั นน้ั เขยี นเป็นอตั ราสว่ นหลาย ๆ จานวนได้ จานวนปลาต่อจานวนกบ = 7 : 2 = 7 5 = 2 5 = 35 : 10 จานวนกบต่อจานวนเตา่ = 5 : 3 = 5 2 = 3 2 = 10 : 6
ดงั นน้ั เขียนเป็นอตั ราส่วนต่อเนอ่ื งได้ จานวนปลาต่อจานวนกบตอ่ จานวนเตา่ = 35 : 10 : 6 4. โจทยป์ ัญหาเกย่ี วกับอัตราส่วนท่ีประยุกตใ์ ชใ้ นงานอาชพี และ ชวี ิตประจาวัน อตั ราสว่ นมีความสาคญั ในการประยกุ ตใ์ ชใ้ นงานอาชีพและชีวติ ประจาวนั ได้ อย่างหลากหลาย ไดแ้ ก่ การทาอาหาร การทาขนม การผสมคอนกรตี สรา้ งบา้ น การตงั้ ราคาขาย กาไรขาดทนุ เป็นตน้ ตัวอย่างท่ี 1 นกั เรยี นระดบั ชน้ั ปวช. ของวทิ ยาลยั อาชวี ศกึ ษาอตุ รดติ ถ์ จานวน นกั เรยี นชายต่อนกั เรยี นหญิงเท่ากบั 7 : 25 ถา้ มีนกั เรยี นชาย 217 คน จงหา จานวนนกั เรียนหญิง วธิ ีทา อตั ราสว่ นของนกั เรยี นชาย : นกั เรยี นหญิง = 7 : 25 จานวนนกั เรยี นชายทงั้ หมด จานวนนกั เรียนชาย จะได้ 217 7 = 31 7 31 = 217 : 25 31 = 775 ดงั นน้ั ถา้ มีนกั เรียนชาย 217 คน จะมีนกั เรียนหญิง 775 คน ตอบ ตัวอย่างที่ 2 ชนิ้ งานรูปสามเหลีย่ มชิน้ หนึ่งมอี ตั ราส่วนความยาวดา้ นทงั้ สามเป็น 3 :4:5 ถา้ ดา้ นท่ียาวท่สี ดุ ยาว 625 เซนติเมตร ความยาวรอบชนิ้ งานจะเป็น เทา่ ไร
วธิ ีทา อตั ราสว่ นความยาวดา้ นทห่ี นึง่ ตอ่ ความยาวดา้ นทส่ี องตอ่ ความยาวดา้ น ทส่ี าม = 3 : 4 : 5 จะได้ 3 : 4 : 5 = 3 125 : 4 125 : 5 125 = 375 : 500 : 625 ดงั นน้ั ความยาวรอบชนิ้ งาน = 375 + 500 + 625 = 1500 เซนตเิ มตร ตอบ ตวั อยา่ งที่ 3 ในการผสมคอนกรีตหยาบเทกน้ หลมุ ใช้ อตั ราส่วนปรมิ าณปนู ต่อ ปรมิ าณทรายต่อปรมิ าณหนิ เท่ากบั 1 : 3 : 5 ถา้ ใชท้ ราย 12 กิโลกรมั จะตอ้ งใชป้ ริมาณปนู และหิน อยา่ งละเทา่ ไร วธิ ีทา อตั ราส่วนปรมิ าณของปนู ตอ่ ปรมิ าณทรายต่อปรมิ าณหิน = 1 : 3 : 5 จะได้ 1 : 3 : 5 = 1 4 : 3 4 : 5 4 = 4 : 12 : 20 ดงั นน้ั ถา้ ใชท้ ราย 12 กโิ ลกรมั จะตอ้ งใชป้ นู 4 กิโลกรมั และหิน 20 กิโลกรมั ตอบ ตวั อยา่ งที่ 4 ในการทานา้ ยาลา้ งจาน ประกอบดว้ ยส่วนผสมอตั ราสว่ นปรมิ าณเอ็น เอเอสต่อปริมาณเคดตี อ่ ปรมิ าณผงฟองตอ่ ปริมาณนา้ มะกรูดตอ่ ปรมิ าณนา้ สะอาด เทา่ กบั
10 : 1 : 4 : 5 : 30 ถา้ ตอ้ งการทานา้ ยาลา้ งจานทงั้ หมด 5,000 กรมั จะตอ้ งใชป้ ริมาณเอ็นเอเอส เคดี ผงฟอง นา้ มะกรูด และนา้ สะอาด อยา่ งละ เท่าไร วธิ ที า ส่วนผสมนา้ ยาลา้ งจานประกอบดว้ ย ปริมาณเอน็ เอเอสต่อปริมาณเคดีตอ่ ปรมิ าณผงฟองตอ่ ปรมิ าณนา้ มะกรูด ตอ่ ปริมาณ นา้ สะอาด = 10 : 1 : 4 : 5 : 30 สว่ นผสมทงั้ หมด 10 + 1 + 4 + 5 + 30 = 50 ส่วน ตอ้ งการทานา้ ยาลา้ งจานทงั้ หมด 5,000 กรมั 5,000 แบ่งสว่ นผสม 5,000 กรมั ออกเป็น 50 ส่วน จะไดส้ ่วนละ 50 = 100 กรมั จะได้ 10 : 1 : 4 : 5 : 30 = 10100 : 1100 : 4100 : 5100 : 30100 = 1,000 : 100 : 400 : 500 : 3000 ดงั นนั้ ถา้ ตอ้ งการนา้ ยาลา้ งจานทงั้ หมด 5,000 กรมั จะตอ้ งใชป้ รมิ าณเอ็น เอเอส 1,000 กรมั เคดี 100 กรมั ผงฟอง 400 กรมั นา้ มะกรูด 500 กรมั และนา้ สะอาด 3,000 กรมั ตอบ
ตวั อยา่ งที่ 5 นายสมคิดปลกู พืชเพือ่ เศรษฐกิจพอเพียง โดยมีพนื้ ทป่ี ลกู ขา้ วต่อพนื้ ที่ ปลกู ขา้ วโพด เท่ากบั 3 : 2 และมีพนื้ ทป่ี ลกู ขา้ วโพดต่อพนื้ ที่ปลกู ถ่วั เหลอื งเทา่ กบั 7 : 4 ถา้ เขาปลกู ขา้ ว 42 ไร่ พนื้ ทีป่ ลกู พชื ทงั้ หมดเป็นเท่าไร วิธที า อตั ราสว่ นพนื้ ทปี่ ลกู ขา้ วต่อพืน้ ทป่ี ลกู ขา้ วโพด = 3 : 2 และพนื้ ทป่ี ลกู ขา้ วโพดตอ่ พนื้ ท่ีปลกู ถ่วั เหลือง = 7 : 4 ตวั รว่ มคอื พนื้ ท่ีปลกู ขา้ วโพด จะได้ 3 : 2 = 3 7 : 2 7 = 21 : 14 7 : 4 = 7 2 : 4 2 = 14 : 8 เขียนอตั ราส่วนตอ่ เน่อื งได้ พนื้ ท่ปี ลกู ขา้ วต่อพนื้ ที่ปลกู ขา้ วโพดต่อพนื้ ท่ีปลกู ถ่วั เหลือง = 21 : 14 : 8 ถา้ เขาปลกู ขา้ ว 42 ไร่ จะได้ 21 : 14 : 8 = 21 2 : 14 2 : 8 2 = 42 : 28 : 16 ดงั นน้ั พืน้ ท่ีปลกู พืชทงั้ หมด = 42 + 28 + 16 = 86 ไร่ ตอบ
หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 สัดส่วน ความหมายของสัดสว่ น สดั สว่ น เป็นประโยคสญั ลกั ษณท์ ่แี สดงถงึ การเท่ากนั ของ อตั ราสว่ นสองอตั ราสว่ น ซง่ึ อตั ราสว่ นทงั้ สองมคี วามสมั พนั ธ์ ไปในทศิ ทางเดยี วกนั หรอื ในทศิ ทางตรงกนั ขา้ มกไ็ ด้ โดยปรมิ าณ ที่เขียนเป็นสดั ส่วนตอ้ งเป็นปรมิ าณสง่ิ เดยี วกนั ตัวอย่าง สดั ส่วน เช่น 3:4=6:8 6 : 5 = 60 : 50 10 : 25 = 2 : 5 1 : 7 = 4 : 28 ชนดิ ของสัดสว่ น สดั ส่วนมี 2 ชนดิ ดังนี้ 1.สัดสว่ นตรง สดั ส่วนตรง เป็นการเปรียบเทียบระหวา่ งอตั ราสว่ น 2 อตั ราสว่ นทม่ี ีความสมั พนั ธไ์ ป ในทิศทางเดียวกนั กลา่ วคือ ถา้ อตั ราส่วนตวั แรกเพิม่ ขนึ้ อตั ราส่วนตวั หลงั จะเพมิ่ ขนึ้ ดว้ ย และถา้ อตั ราสว่ น ตวั แรกลดลง อตั ราสว่ นตวั หลงั จะลดลงดว้ ยอย่างเป็นสดั สว่ น กนั การหาค่าของตวั แปรในสดั ส่วนตรง
สมบัตขิ องสัดส่วนตรง ถา้ อตั ราสว่ น a:b = c:d แลว้ a = c เมื่อ a และb ≠ 0 bd จะไดว้ ่า ad = bc ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ X จากสดั สว่ น 1.) 6 : 12 = X : 48 วิธีทา 6 =X 12 48 12 X = (6)(48) X = (6)(48) 12 X = 24 2.) X : 14 = 45 : 18 วิธีทา 1X4 = 1485 18 X = (14)(45) X = (14)(45) X = 35 3.) 20 : 15 = X+5 : 60 วิธีทา 20 = X+5 15 60 15(X+5) = (20)(60)
X+5 = (20)1(650) X+5 = 80 X = 80 - 5 X = 75 2.สดั สว่ นผกผัน สดั สว่ นผกผนั เป็นการเปรยี บเทียบระหวา่ ง 2 อตั ราสว่ น ท่ีมี ความสมั พนั ธไ์ ปในทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม กล่าวคอื ถา้ อตั ราส่วน ตวั แรกเพิม่ ขนึ้ อตั ราสว่ นตวั หลงั จะลดลง และถา้ อตั ราสว่ น ตวั แรกลดลง อตั ราสว่ นแรกจะเพิม่ ขนึ้ ดว้ ยอยา่ งเป็นสดั ส่วนกนั การหาคา่ ของตวั แปรในสดั ส่วนผกผนั สมบัติของสดั สว่ นผกผัน ถา้ อตั ราสว่ น a : b เป็ นอตั ราส่วนผกผนั กบั c : d แลว้ ab = dc เมอื่ b และc ≠ 0 จะไดว้ ่า ac = bd ตัวอยา่ ง ถา้ a: b เป็นสดั ส่วนผกผนั กบั c: d และ a = 6 , b = 22 , d = 30 จงหาค่า c วธิ ที า262 = 3c0 6c = (22)(30)
c = (22)6(30) c = 110 ตัวอยา่ ง ถา้ a: b เป็นสดั ส่วนผกผนั กบั c: d และ a = 20 , c = 9 , d = 10 จงหาค่า b วธิ ีทา 20 = 10 b 9 10b = (20)(9) c = (2100)(9) c = 18 การนาสดั สว่ นไปใชใ้ นวชิ าชีพและในชีวิตประจาวนั ขนั้ ตอนในการแกโ้ จทยป์ ัญหาโดยใชส้ ดั ส่วน ทาไดด้ งั นี้ 1.กาหนดส่งิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการเป็นตวั แปร 2. หาอตั ราสว่ นทีเ่ ท่ากนั สองอตั ราสว่ น โดยใหล้ าดบั ของสงิ่ ท่ี เปรยี บเทยี บในแต่ละอตั ราส่วนเป็นลาดบั เดียวกนั 3. เขยี นสดั ส่วน 4. หาค่าของตวั แปรในสดั ส่วน ตวั อย่างอตั ราสว่ นของตน้ ทนุ สนิ คา้ ต่อราคาขาย = 6:9 ถา้ ตน้ ทนุ สนิ คา้ เป็น 180 บาท จะไดก้ าไรเทา่ ไร วธิ ที า ตน้ ทนุ 180 บาท กาไร X บาท
ตน้ ทนุ 6 บาท กาไร 9-6 = 3 บาท 180 : X = 6 : 3 18x0 = 36 X = (1806)(3) X = 90 ดงั นนั้ ถา้ ตน้ ทนุ สนิ คา้ เป็น 180 บาท จะไดก้ าไร 90 บาท ตัวอยา่ ง อตั ราส่วนของจ านวนนกั เรียนหญิงต่อนกั เรียนชาย =3:4 ถา้ มนี กั เรยี นหญิง 900 คน จะมีนกั เรยี นทงั้ หมดก่คี น วิธที า นกั เรียนหญิง 900 คน จะมีนกั เรียนทงั้ หมด X คน นกั เรยี นหญิง 3 คน จะมนี กั เรยี นทงั้ หมด 3+4 = 7 คน 900 : X = 3 : 7 3 X = (7) (900) X = (7)3(900) X = 2,100 ดงั นนั้ ถา้ มีนกั เรียนหญิง 900 คน จะมนี กั เรียนทงั้ หมด 2,100 คน หน่วยการเรยี นรู้ที่ 3 ร้อยละ ความหมายของร้อยละ
รอ้ ยละ (Percentage) หรอื เปอรเ์ ซน็ ต์ เป็นการเปรียบเทยี บจานวน ทตี่ อ้ งการต่อ จานวนทงั้ หมด โดยใหจ้ านวนทงั้ หมดเป็นรอ้ ย หรืออตั ราส่วนทีม่ ีจานวนหลงั ของ อตั ราส่วนเป็น 100 คาว่า เปอรเ์ ซ็นต์ (Percent) มาจากภาษาลาตินว่า Per centum หมายความว่า ตอ่ หนงึ่ รอ้ ยหรอื หนึ่งในรอ้ ย สญั ลกั ษณข์ องเปอรเ์ ซน็ ต์ คือ % เชน่ 30 เปอรเ์ ซน็ ต์ เขยี นแทนดว้ ย 30% 100 เปอรเ์ ซน็ ต์ เขียนแทนดว้ ย 100% เป็นตน้ 1. การเขยี นรอ้ ยละให้อยใ่ นรูปอตั ราสว่ น การเขียนรอ้ ยละใหอ้ ยใู นรูป อตั ราสว่ นหรือทศนิยม ทาไดโ้ ดยเขยี นรอ้ ยละในรูปอตั ราส่วน ที่มจี านวนหลงั เป็น 100 แลว้ เปลย่ี นใหอ้ ยใู นรูปอตั ราส่วน (หรอื เศษสว่ น) อยางต่าหรือทศนยิ ม เชน่ 1. 24% =12040 =265 ดงั นน้ั 24% เขียนเป็นอตั ราสว่ นได้ 265 2. 35% =13050 =270 ดงั นนั้ 35% เขียนเป็นอตั ราสว่ นได้ 270 3. รอ้ ยละ 37.5 = 37.5 100 =13,07050 = 38
ดงั นน้ั รอ้ ยละ 37.5 เขียนเป็นอตั ราส่วนได้ 38 4. รอ้ ยละ 166 2 = 166 2 3 1003 = 5100300 = 500 x 1 3 100 = 53 ดงั นนั้ รอ้ ยละ 166 2 เขียนเป็นอตั ราส่วนได้ 3 35 2. การเขียนอตั ราสว่ นใหอ้ ยใ่ นรูปร้อยละ การเขียนอตั ราสว่ นใหอ้ ยใู นรูปรอ้ ยละ ทาไดโ้ ดยการหาจานวนมาคณู หรอื หารจานวน แรก และจานวนหลงั ของอตั ราสว่ นเพ่อื ทาใหจ้ านวนหลงั ของอตั ราสว่ นเป็น 100 เช่น 1. 17 = 17 x 5 = 85 = 85% 20 20 x 5 100 2. 112 = 112 x 4 = 448 = 448% 25 25 x 4 100 3. 5 = 5 x 100 = 500 = 62.5 = 62.5% 8 8 8 100 100 8 x 100 8
4. 1 =1x 100 = 100 =8 1 =8 1 % 12 12 12 3 3 12 x 100 100 100 12 นอกจากนี้ เรายงั นาความรู้ เร่ือง สดั สว่ น มาใชใ้ นการเขยี นอตั ราสว่ นใหอ้ ยู่ในรูปรอ้ ย ละ ไดด้ งั ตวั อย่างตอ่ ไปนี้ 1. 17 20 วิธีทา ให้ 17 = n 20 100 จะได้ 17 x 100 = 20n n = 17 x 100 n = 8520 ดงั นนั้ 17 = 85% 20 2. 5 8 วิธีทา ให้ 5 = n 8 100 จะได้ 5 x 100 = 8n n = 5 x 100 n = 628.5
ดงั นนั้ 58 = 62.5 % 3. 1 12 วิธีทา ให้ 1 = n 12 100 จะได้ 1 x 100 = 12n n = 1 x 100 12 n=8 1 3 1 ดงั นนั้ 1 = 8 3 % ถา้ คะแนนเตม็ ตัวอย่างที่ 1 กมลสอบไดส้ งั ค1ม2ได้ 95% 180 คะแนน จงหาวา่ กมล สอบไดก้ ่คี ะแนน วิธีทา สมมติให้ กมลสอบได้ X คะแนน จะได้ สดั ส่วน (คณู ไขว)้ X x 100 = 180 x 95 X= X = 171 ดงั นนั้ กมลสอบได้ 171 คะแนน Ans.
ตวั อยา่ งที่ 2ทมี ฟุตบอลของโรงเรียนแหง่ หน่งึ แข่งขนั ชนะ 75% ของจานวนครงั้ ที่ลง แข่งขนั ถา้ ทีมนลี้ งแขง่ ขนั 24 ครง้ั จะชนะก่คี รงั้ วธิ ีทา สมมตใิ ห้ ทีมที่ชนะ Y ครง้ั จะได้ สดั ส่วน (คณู ไขว)้ Y x 100 = 75 x 24 Y= Y = 18 ดงั นนั้ ทมี ฟุตบอลนชี้ นะการแข่งขนั 18 ครงั้ Ans. ตัวอยา่ งท่ี 3 มีเป็ดทงั้ หมด 250 ตวั เม่อื เป็ดโตขนึ้ ปรากฏว่าเหลือเป็ดเพยี ง 220 ตวั อยากทราบวา่ เป็ดตายไปก่เี ปอรเ์ ซ็นตข์ องเป็ดทงั้ หมด วิธีทา สมมตใิ ห้ เป็ดตายไป K% เป็ดตาย = 250 - 220 = 30 ตวั จะได้ สดั สว่ น (คณู ไขว)้ K x 250 = 30 x 100 K= K = 12
ดงั นน้ั เป็ดตายไป 12% Ans. ตวั อยา่ งที่ 4 ฉันซอื้ โทรทศั นเ์ คร่อื งหน่งึ ไดส้ ่วนลด 15% ของราคาทีป่ ิดไว้ ซึง่ คดิ เป็นเงินส่วนลดได้ 750 บาท จงหาราคาท่ีปิดไว้ วธิ ีทา ส่วนลด 15% คือ ปิดราคาขาย 100 บาท ลดราคา 15 บาท ขายไป 85 บาท สมมติให้ ราคาที่ปิดไว้ M บาท จะได้ สดั สว่ น (คณู ไขว)้ M x 15 = 750 x 100 M= M = 5,000 ดงั นนั้ ราคาท่ีปิดไว้ 5,000 บาท Ans. ตัวอย่างที่ 5 ชายคนหนงึ่ จองบา้ นพรอ้ มทดี่ ินราคา 1,250,000 บาท เขาตอ้ งชาระเงนิ ดาวนล์ า่ งหนา้ 25% ของราคาบา้ นและท่ดี ิน จงหาวา่ เขาตอ้ งจ่ายเงินดาวน์ จานวนเท่าใด วธิ ที า เงนิ ดาวน์ 25% คอื ขาย 100 บาท ชาระเงนิ ดาวน์ 25 บาท จะตอ้ งชาระเพม่ิ 75 บาท สมมตใิ ห้ จา่ ยเงินดาวน์ R บาท
จะได้ สดั ส่วน (คณู ไขว)้ R x 100 = 25 x 1,250,000 R= R = 312,500 ดงั นน้ั เขาตอ้ งจ่ายเงินดาวน์ 312,500 บาท Ans. ตวั อย่างที่ 6 พ่อคา้ ซอื้ สนิ คา้ มาในราคา 1,250 บาท ขายไปในราคา 1,500 บาท จะไดก้ าไรก่เี ปอรเ์ ซน็ ต์ วิธีทา ราคาทนุ 1,250 บาท ราคาขาย 1,500 บาท ไดก้ าไร 1,500 - 1,250 = 250 บาท สมมติให้ ไดก้ าไร F% จะได้ สดั สว่ น (คณู ไขว)้ F x 1,250 = 250 x 100 F= F = 20 ดงั นนั้ พอ่ คา้ ไดก้ าไร 20% Ans. ตัวอยา่ งท่ี 7 วทิ ยเุ ครอื่ งหน่ึงบอกขาย 1,350 บาท แตล่ ดใหผ้ ซู้ อื้ เงินสด 10% อยากทราบวา่ ถา้ ผซู้ อื้ เงินสดนาไปขายตอ่ ในราคา 1,300 บาท เขาจะไดก้ าไร หรอื ขาดทนุ ประมาณก่เี ปอรเ์ ซน็ ต์
วธิ ีทา ลด 10% คือ ปิดราคาขาย 100 บาท ลดให้ 10 บาท ขายไป 90 บาท สมมติให้ ส่วนลดของวทิ ยุ W บาท จะได้ สดั ส่วน (คูณไขว)้ W x 100 = 10 x 1,350 W= W = 135 ดงั นนั้ ผซู้ อื้ เงินสดไดส้ ่วนลด 135 บาท แสดงวา่ ผซู้ อื้ เงินสดซอื้ วทิ ยไุ ดใ้ นราคา 1,350 - 135 = 1,215 บาท แตน่ าไปขายตอ่ ในราคา 1,300 บาท ดงั นนั้ เขาไดก้ าไร 1,300 - 1,215 = 85 บาท ผซู้ อื้ เงินสด ซือ้ มา 1,215 บาท ขายไดก้ าไร 85 บาท ให้ ผซู้ อื้ เงนิ สด ซือ้ มา 100 บาท ขายไดก้ าไร H บาท จะได้ สดั ส่วน (คูณไขว)้ ตัวอยา่ งที่ 8 ขายสินคา้ ไปราคา 3,640 บาท ขาดทนุ 9% จะตอ้ งขายใน ราคาเทา่ ไร จึงจะไดก้ าไร 10% วิธที า ขายขาดทนุ 9% คือ ราคาทนุ 100 บาท ขายไป 100 - 9 = 91 บาท หรือ ขายไป 91 บาท จากทนุ ซอื้ มา 100 บาท
ให้ ขายไป 3,640 บาท จากทนุ ซอื้ มา P บาท จะได้ สดั สว่ น (คูณไขว)้ P x 91 = 3,640 x 100 P= P = 4,000 ดงั นน้ั ราคาทนุ ของสินคา้ นี้ คอื 4,000 บาท ตอ้ งการขายใหไ้ ดก้ าไร 10% คือ ราคาทนุ 100 บาท ขายไป 100+10 = 110 บาท ให้ ราคาทนุ 4,000 บาท ขายไป A บาท จะได้ สดั ส่วน (คณู ไขว)้ A x 100 = 4,000 x 110 A= A = 4,400 บาท ดงั นน้ั จะตอ้ งขายในราคา 4,400 บาท จึงจะไดก้ าไร 10% Ans.
หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 4 การแปรผัน ความหมายของการแปรผัน การแปรผัน (variation) คือ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างปริมาณสองปรมิ าณหรอื มากกว่านน้ั เมอ่ื ปริมาณหนึง่ เปล่ยี นแปลงไป อกี ปรมิ าณหนึง่ จะเปล่ยี นตามไปดว้ ย อย่างไดส้ ดั สว่ นกนั สามารถแบง่ การแปรผนั ออกเป็น 3 ชนดิ คอื 1. การแปรผนั ตรง (direct variation) 2. การแปรผกผนั (inverse variation) 3. การแปรผนั เก่ยี วเนอ่ื ง (joint variation) การแกป้ ัญหาโจทยก์ ารแปรผนั 1. พจิ ารณาว่ามสี ่งิ ที่เก่ยี วขอ้ งกนั อย่กู ่สี ิ่ง กาหนดตวั แปร เท่ากบั จานวนสิง่ ทเี่ ก่ยี วขอ้ ง กนั ตามโจทย์ และเขียนหนว่ ย 2. สรา้ งสมการแปรผนั แลว้ เปล่ียนเป็นสมการท่มี ีค่าคงตวั (นยิ มใชค้ ่า k) 3. แทนคา่ ตวั แปร เพอื่ แกส้ มการหาคา่ k 4. เขยี นสมการโดยแทนค่า k แลว้ หาค่าที่โจทยถ์ าม การแปรผันตรง การแปรผันตรง (direct variation) เป็นความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งของสองสง่ิ หรือ ปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิง่ หน่งึ เพม่ิ อีกส่งิ หน่งึ ก็เพิ่มขนึ้ ตามไปดว้ ยอยา่ งเป็นสดั สว่ น กนั หรือเมื่อส่ิงหน่งึ ลดอกี สง่ิ หนึ่งก็ลดลงตามไปดว้ ยอย่างเป็นสดั ส่วนกนั เรียกวา่ การ แปรผันตามกนั หรือ การแปรผนั ตรง หรอื เป็ นสัดสว่ นโดยตรง
บทนิยาม กาหนดให้ x และ y แทนปริมาณใด ๆ y แปรผนั ตรงกบั x ใชส้ ญั ลกั ษณ์ y\\propto x เขยี นในรูปสมการเป็น y=kx เมอ่ื k เป็นค่าคงตวั และ k\\not=0 เรียก k ว่า คา่ คงตวั แห่งการแปรผนั (variation constant) ตวั อย่างที่ 1 ถา้ y แปรผนั โดยตรงกบั x กาหนด y=4 เม่ือ x=3 จงหาคา่ y เมื่อ x=21 วิธีทา จาก y\\propto x จะได้ y=kx (เม่อื k เป็นค่าคงตวั ) แทนคา่ y=4 เม่ือ x=3 ใน y=kx จะได้ 4=k(3) → k=\\frac{4}{3} จะได้ y=\\frac{4}{3}x แทนค่า x=21 จะได้ y=\\frac{4}{3}\\times 21 = 28 ตอบ ตัวอย่างที่ 2 ถา้ x แปรผนั ตามกาลงั สองของ y และ x=72 เมื่อ y=3 จงหาค่าคง ตวั ของการแปรผนั และค่าของ y เม่อื x=288 วธิ ที า x แปรผนั ตามกาลงั สองของ y คือ x\\propto y^2 จะได้ x=ky^2 (เม่ือ k เป็นคา่ คงตวั ) แทนค่า x=72 เม่อื y=3 ใน x=ky^2 จะได้ 72 = k(9) → k=8
ดงั นนั้ จะไดส้ มการเป็น x=8y^2 ตอบ ถา้ x=288 ค่า y คือ 288=8y^2 y^2 = \\frac {288}{8} = 36 y=\\pm 6 ตัวอยา่ งที่ 3 กาหนดให้ a+b \\propto 2a-5b ถา้ b = 32 เมื่อ่ a = 20 แลว้ a มีคา่ เป็นเทา่ ใด เมื่อ b = 40 วธิ ีทา จาก a+b \\propto 2a-5b จะได้ a+b = k(2a-5b) แทนคา่ a = 20 และ b = 32 จะได้ 20+32 = k [2(20)-5(30)] k = \\frac {52} {-120} = -\\frac {13}{30} ดงั นนั้ จะไดส้ มการเป็น a+b = -\\frac{13}{30}(2a-5b) ถา้ b = 40 จะได้ a+40= -\\frac{13}{30}(2a-200) 1200 + 30a = -26a + 2600 56a = 1400 a = \\frac {1400}{56} = 25 ตอบ ตัวอยา่ งที่ 4 ถา้ อตั ราการหมนุ ของกงั หนั ลมแปรผนั ตามกาลงั สองของอตั ราเร็วของ กระแสลม ในขณะท่อี ตั ราเร็วของกระแสลมเท่ากบั 20 กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง สงั เกตไดว้ า่
กงั หนั หมนุ 5 รอบต่อนาที ถา้ ในขณะหนึง่ สงั เกตเหน็ กงั หนั หมนุ 600 รอบต่อช่วั โมง ความเร็วลมในขณะนนั้ เป็นเทา่ ใด วิธีทา ให้ M แทนอตั ราการหมนุ ของกงั หนั ลม (รอบ/นาท)ี และ vอตั ราเร็วของ กระแสลม (กม./ชม.) จะได้ M \\propto v^2 → M = kv^2 แทนค่า M = 5 เมอ่ื่ v = 20 จะได้ 5 = k(20)^2 k = \\frac{5}{400} = \\frac{1}{80} เขยี นสมการไดเ้ ป็น M = \\frac{1}{80}v^2 แทนคา่ M = 600 รอบตอ่ ช่วั โมง คดิ เป็น M = \\frac{600}{60} = 10 รอบ ต่อนาที ลงในสมการ จะไดเ้ ป็น 10 = \\frac{1}{80}v^2…..→ v^2 = 800 v = \\sqrt{800} = \\sqrt{400\\times 2} = 20\\sqrt{2} กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง ตอบ ตวั อย่างท่ี 5 ความยาวของกา้ นลกู ตมุ้ นาฬกิ า แปรผนั ตามกาลงั สองของเวลาแกว่ง ครบรอบ ถา้ กา้ นลกู ตมุ้ นาฬิกายาว 99.2 เซนตเิ มตร จะแกวง่ ครบรอบใน 2 วินาที กา้ นของลกู ตมุ้ ตอ้ งยาวก่เี ซนติเมตร จงึ จะแกวง่ ไดน้ าทลี ะ 24 รอบ วิธีทา กาหนดให้ L เป็นความยาวของกา้ นลกู ตมุ้ นาฬิกา หน่วยเป็น เซนติเมตร
t เป็นเวลาแกว่งครบรอบของลกู ตมุ้ หน่วยเป็น วินาที จากโจทย์ L แปรผนั ตามกาลงั สองของ t คอื L\\propto t^2 จะได้ L=kt^2 (เมอ่ื k เป็นคา่ คงตวั ) แทนค่า L=99.2 เมื่อ t=2 ใน L=kt^2 จะได้ 99.2 = k(2)^2 → k=\\frac{99.2}{4} = 24.8 ดงั นนั้ จะไดส้ มการเป็น L=24.8t^2 ลกู ตมุ้ นาฬิกาแกว่งไดน้ าทีละ 24 รอบ หมายถงึ 24 รอบ ในเวลา 60 วนิ าที ถา้ 1 รอบ ในเวลา \\frac{60}{24} = \\frac{5}{2} นาที ถา้ t = \\frac{5}{2} จะได้ L = 24.8(\\frac{5}{2})^2 L=\\frac{25}{4}\\times 24.8 = 155 \\therefore กา้ นของลกู ตมุ้ นาฬิกายาว 155 เซนติเมตร ตอบ การแปรผกผนั การแปรผกผัน (Inverse variation) เป็นความสมั พนั ธร์ ะหว่างของสองสิ่งหรือ ปรมิ าณสองปริมาณ เมือ่ สิง่ หน่งึ เพ่มิ ขนึ้ อกี สิง่ หนงึ่ ลดลงอยา่ งเป็นสดั ส่วนกนั หรอื เมอ่ื ส่ิงหนึง่ ลดลงอีกสิ่งหนงึ่ เพ่มิ ขนึ้ อยา่ งเป็นสดั ส่วนกนั เช่น การทางานอย่างหนง่ึ ถา้ คน มากงานจะเสร็จเร็ว แต่คนนอ้ ยงานจะเสร็จชา้ เรียกว่า การแปรกลบั กนั หรือ การ แปรผกผนั หรือ สดั ส่วนผกผนั
บทนิยาม กาหนดให้ x และ y แทนปริมาณใด ๆ y แปรผกผนั กบั x ใชส้ ญั ลกั ษณ์ y\\propto \\frac{1}{x}.. เขียนในรูปสมการเป็น y=\\frac{k}{x} ..เม่อื k เป็นคา่ คงตวั และ k\\not=0 ขอ้ สงั เกต การแปรผนั แบบผกผนั ไมม่ ีสมบตั ิการสมมาตร น่นั คอื ถา้ y\\propto \\frac{1}{x} แลว้ ไมจ่ าเป็นท่ี x\\propto \\frac{1}{y} ตวั อยา่ งท่ี 1 ถา้ x แปรผกผนั กบั y และ x=-3 เม่อื y=2 ค่าของ x เท่ากบั เทา่ ใด เมือ่ y=-1 วธิ ีทา จากโจทย์ x\\propto \\frac{1}{y} จะได้ x=\\frac{k}{y} แทนคา่ x=-3 เม่อื y=2 ใน x=\\frac{k}{y} จะได้ 3=\\frac{k}{2} → k=-6 แทนคา่ y=-1 ใน x=\\frac{-6}{y} จะได้ x=\\frac{-6}{-1} = 6 ตอบ ตวั อยา่ งท่ี 2 ถา้ x+1 แปรผกผนั กบั y-2 และ x=4 เมื่อ y=8 ค่าของ y เท่ากบั เท่าใดเมือ่ x=2 วธิ ีทา จากโจทย์ x+1\\propto \\frac{1}{y-2} จะได้ x+1 =\\frac{k}{y-2} แทนค่า x=4 เม่อื y=8 ในสมการ x+1 =\\frac{k}{y-2}
จะได้ 4+1 =\\frac{k}{8-2} → k = 30 ตอบ จะไดส้ มการ x+1 =\\frac{30}{y-2} หาค่า y เมือ่ x=2 จาก 2+1 =\\frac{30}{y-2} y-2 =\\frac{30}{3} → y = 12 \\therefore y มคี า่ เทา่ กบั 12 เมอ่ื x=2 ตวั อย่างท่ี 3 การประกอบรถยนต์ 1 คนั ใชค้ นทาอยู่ 5 คน ถา้ เพม่ิ คนงานขนึ้ อกี 1 คน งานจะเสรจ็ เร็วขนึ้ 8 ช่วั โมง ถา้ เวลาทท่ี างานนแี้ ปรผกผนั กบั จานวนคนงาน ถา้ ตอ้ งการใหง้ านเสรจ็ เร็วขนึ้ 28 ช่วั โมง ตอ้ งเพ่มิ คนงานอกี ก่คี น วธิ ที า กาหนดให้ H = จานวนช่วั โมงทท่ี างานเสร็จ N = จานวนคนงาน จากโจทย์ H\\propto \\frac{1}{N} จะได้ H =\\frac{k}{N} ถา้ N=5 จะได้ H =\\frac{k}{5} ถา้ N=6 งานจะเสร็จเร็วขนึ้ 8 ช่วั โมง \\therefore จะไดว้ า่ H-8 =\\frac{k}{6} แกส้ มการโดยการแทนคา่ H =\\frac{k}{5} ไดเ้ ป็น \\frac{k}{5}- 8=\\frac{k}{6} \\frac{k}{5}-\\frac{k}{6}=8 \\frac{k}{30}=8 → k = 240 แทนค่า k ใน H =\\frac{k}{5} ได้ H =\\frac{240}{5} = 48
น่นั คือ ถา้ ใชค้ น 5 คน จะแลว้ เสรจ็ ใน 48 ช่วั โมง ถา้ งานนเี้ สร็จเร็วขนึ้ 28 ช่วั โมง คือเสร็จใน 48 – 28 = 20 ช่วั โมง จาก H =\\frac{24o}{N} แทนคา่ 20 =\\frac{240}{N} → N =\\frac{240}{20} = 12 ถา้ ตอ้ งการใหเ้ สรจ็ เร็วขนึ้ 28 ช่วั โมง ตอ้ งใชค้ น 12 คน \\therefore จะเพิ่มคนอีก 12-5 = 7 คน ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 4 ถา้ y แปรผกผนั กบั x+\\sqrt{x} และ y=1 เม่ือ x=2 ค่าของ x เป็น เท่าไร เม่อื y=\\frac{1}{2-\\sqrt{2}} วิธีทา y \\propto \\frac{1}{x+\\sqrt{x}} → y = \\frac{k}{x+\\sqrt{x}} จะได้ k = (x+\\sqrt{x})y แทนคา่ y=1, x = 2 \\therefore k = (2+\\sqrt{2})1 = 2+\\sqrt{2} ดงั นน้ั สมการนคี้ อื y = \\frac{2+\\sqrt{2}}{x+\\sqrt{x}} แทนค่า y = \\frac{1}{2-\\sqrt{2}} จะได้ \\frac{1}{2-\\sqrt{2}} = \\frac{2+\\sqrt{2}}{x+\\sqrt{x}} คณู ไขว้ จะได้ {x+\\sqrt{x}} = (2+\\sqrt{2})(2-\\sqrt{2}) = 4- 2\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}-2 {x+\\sqrt{x}} = 2
แสดงว่า x = 1 จึงจะทาใหส้ มการเป็นจรงิ ตวั อยา่ งท่ี 5 บริษัทตกแต่งภายในใหค้ นงาน 20 คน ตกแต่งภายในอาคารหลงั หนึ่ง คนงานทงั้ หมดชว่ ยกนั ตกแตง่ ภายในอาคารไปไดค้ รงึ่ หนงึ่ ใชเ้ วลา 18 วนั ถา้ กาหนดใหเ้ วลาทางาน แลว้ เสรจ็ แปรผกผนั กบั จานวนคนงาน จงหาว่าบรษิ ัทรบั ตกแต่งภายในจะตอ้ งเพมิ่ คนงานอีกก่คี นจึงจะทาใหง้ านทีเ่ หลือเสรจ็ ใน 12 วนั วธิ ีทา ให้ t แทน ระยะเวลาท่ีทางาน, N แทน จานวนคนงาน กาหนดให้ t \\propto \\frac{1}{N} จะได้ t = \\frac{k}{N} เมอ่ื t = 18 และ N = 20 หาค่า k แทนคา่ 18 = \\frac{k}{20} ⇒ k = 18\\times 20 = 360 จะไดส้ มการแปรผกผนั คือ t = \\frac{360}{N} ถา้ บรษิ ัทตอ้ งการเพิม่ คนงานทางานท่ีเหลือใหเ้ สร็จในเวลา 12 วนั น่นั คือ t = 12 หาคา่ N แทนคา่ 12 = \\frac{360}{N} ⇒ N = \\frac{360}{12} = 30 ดงั นน้ั บริษัทรบั ตกแตง่ ภายในตอ้ งเพ่มิ คนงานอกี 30 - 20 = 10 คน การแปรผนั เกย่ี วเน่ือง การแปรผนั เก่ยี วเนอื่ ง (joint variation) เป็นความสมั พนั ธส์ ิ่งหนึ่งกบั อีกหลายส่ิง บางครง้ั เรียก การแปรผนั รว่ ม
บทนยิ าม ให.้ . x, y_1, y_2, ..., y_n แทนปรมิ าณใด ๆ x แปรผนั โดยตรงกบั y_1, y_2, ..., y_n คือ x\\propto(y_1) (y_2) ..., (y_n) ความสมั พนั ธท์ ่เี กดิ นเี้ รียกวา่ xแปรผนั เก่ยี วเนือ่ งกบั y_1, y_2, ..., y_n ขอ้ สงั เกต การแปรผนั เก่ยี วเน่อื ง ไมจ่ าเป็นตอ้ งเป็นการแปรผนั ตรงเท่านน้ั อาจเป็น การแปรผกผนั กไ็ ด้ เชน่ x แปรผนั ตรงกบั y และ z คือ x\\propto yz x แปรผนั ตรงกบั y และแปรผกผนั กบั z คอื x\\propto\\frac{y}{z} หรือ x แปรผนั ตรงกบั a และ b แต่แปรผกผนั กบั c คือ x\\propto\\frac{ab}{c} ตัวอยา่ งท่ี 1 ถา้ x แปรผนั ตาม y และแปรผกผนั กบั z กาหนด x=180 เมอื่ y=200 และ z=4 จงหาคา่ x เมือ่ y=200 และ z=15 วธิ ีทา กาหนดให้ x \\propto \\frac{y}{z} ⇒ x =\\frac{ky}{z} แทนค่า x=180, y=200 และ z=4 จะได้ 180 = \\frac{k(200)}{4} ⇒ k = \\frac{180(4)}{200} = \\frac{18}{5} สมการแสดงการแปรผนั คือ x = \\frac{18}{5}\\left ( \\frac{y}{z} \\right ) แทนค่า y=200 และ z=15 จะได้ x = \\frac{18}{5}\\left ( \\frac{200}{15} \\right ) = 48
ตัวอย่างที่ 2 ส่วนหนึง่ ของ y แปรผนั แบบผกผนั กบั x^{2} และอีกสว่ นหนง่ึ แปรผนั โดยตรงกบั x^{3} โดยท่ี y = 3 เมื่อ x = 1 และ y = 1 เม่ือ x = -1 ถา้ x = 3 แลว้ y มี คา่ เทา่ ใด (สมาคม 42) วิธที า กาหนดให้ y = a + b โดยท่ี a \\propto \\frac{1}{x^2} และ b \\propto x^3 ดงั นน้ั y = \\frac{k_1}{x^2}+k_2x^3 (1) แทนค่า y = 3 เมอื่ x = 1 ใน (1) 3 = k_1 + k_2 (2) แทนค่า y = 1 เมอ่ื x = -1 น (1) 1 = k_1 - k_2 (3) (2) + (3) 2k_1 = 4 ⇒ k_1 = 2 แทนคา่ k_1 = 2 ลงใน (3) จะได้ k_2 = 1 แทนคา่ k_1 = 2, k_2 = 1 ลงใน (1) จะได้ y = \\frac{2}{x^2} + x^3 (4) แทนคา่ x = 3 ลงใน (4) ⇒ y = \\frac{2}{(3^2)} + (3^3) = \\frac{2}{9} + 27 = 27\\frac{2}{9}
ตัวอย่างท่ี 3 ค่าใชจ้ ่ายในการจดั ทาวารสารเลม่ หนง่ึ ประกอบดว้ ยค่าใชจ้ ่ายส่วนหนึง่ คงที่ และอกี ส่วนหนึ่งแปรผนั โดยตรงกบั จานวนเล่มทพ่ี มิ พ์ ถา้ พิมพ์ 150 เลม่ จะเสีย คา่ ใชจ้ ่าย 2,850 บาท และถา้ พิมพ์ 200 เล่ม จะเสยี คา่ ใชจ้ ่ายทงั้ หมด 3,000 บาท ถา้ ตอ้ งการพมิ พ์ 300 เลม่ จะตอ้ งขายเล่มละเท่าไร จงึ จะไดก้ าไรเล่มละ 5 บาท (สมาคม 41) วิธที า ให้ P เป็นค่าใชจ้ ่ายในการทาวารสาร, B เป็นคา่ ใชจ้ า่ ยสว่ นคงท่ี C เป็นค่าใชจ้ ่ายส่วนท่ีแปรผนั ตามจานวนเล่มท่ีพิมพ,์ n เป็นจานวนเล่มท่ี พิมพ์ กาหนดให้ P = B + C โดยท่ี C \\propto n ดงั นนั้ P = B + kn (1) แทนคา่ n = 150 เลม่ , P = 2,850 บาท ใน (1) จะได้ 2,850 = B + 150k (2) แทนค่า n = 200 เลม่ , P = 3,000 บาท ใน (1) จะได้ 3,000 = B + 200k (3) (3) – (2) 150 = 50k ⇒ k = 3 แทนค่า k = 3 ใน (2) จะได้ 2,850 = B + 150(3) ⇒ B = 2,400 จะได้ P = 2,400 + 3n (4) ถา้ n = 300 เล่ม จะได้ P = 2,400 + 3(300) = 3,300 บาท ทนุ เล่มละ 3,300 \\div 300 = 11 บาท
ดงั นน้ั ตอ้ งขายเลม่ ละ 11+5 = 16 บาท ตัวอย่างท่ี 4 ตน้ ทนุ ในการผลิตสนิ คา้ แยกไดเ้ ป็นสองส่วน สว่ นหนึ่งคงตวั อีกส่วนหน่ึง แปรผนั ตามจานวนสนิ คา้ ทีผ่ ลติ ถา้ ผลติ 100 ชนิ้ จะตอ้ งเสียค่าใชจ้ ย่ ทงั้ หมด 18,000 บาท และถา้ ผลติ 150 ชนิ้ จะเสียคา่ ใชจ้ ่ายทงั้ หมด 19,500 บาท ถา้ ตอ้ งการผลิต 300 ชนิ้ จะตอ้ งขายชิน้ ละเท่าใด จึงจะไดก้ าไรรอ้ ยละ 50 ของตน้ ทนุ (สมาคม 57) วิธีทา ให้ P เป็นตน้ ทนุ ในการผลติ สินคา้ , A เป็นค่าใชจ้ า่ ยสว่ นคงท่ี B เป็นค่าใชจ้ า่ ยส่วนท่ีแปรผนั ตามจานวนสินคา้ ทีผ่ ลติ , n เป็นจานวน สินคา้ ท่ผี ลติ ได้ กาหนดให้ P = A + B โดยท่ี B \\propto n ดงั นนั้ P = A + kn (1) แทนค่า n = 100 ชนิ้ , P = 18,000 บาท ใน (1) จะได้ 18,000 = A + 100k (2) แทนค่า n = 150 ชนิ้ , P = 19,500 บาท ใน (1) จะได้ 19,500 = A + 150k (3) (3) – (2) 1,500 = 50k ⇒ k = 30 แทนค่า k = 30 ใน (2) จะได้ 18,000 = A + 100(30) ⇒ A = 15,000 จะได้ P = 15,000 + 30n (4) ถา้ n = 300 ชนิ้ จะได้ P = 15,000 + 30(300) = 24,000 บาท
ทนุ ชนิ้ ละ 24,000 \\div 300 = 80 บาท ตอ้ งการกาไรชนิ้ ละ 50% จะได้ \\frac{50}{100}\\times 80 = 40 บาท ดงั นนั้ ตอ้ งการสินคา้ ชนิ้ ละ 80 + 40 = 120 จึงจะไดก้ าไร 50% ตัวอยา่ งท่ี 5 กญั ญาเปิดรา้ นขายก๋วยเต๋ยี ว โดยขายชามละ 30 บาท ในการขายแต่ ละวนั มคี า่ ใชจ้ ่ายสองสว่ น ส่วนแรกคอื คา่ เช่าสถานทซี่ ึ่งไม่ขนึ้ กบั ปรมิ าณก๋วยเต๋ยี วท่ี ขาย สว่ นที่สองเป็นตน้ ทนุ วตั ถดุ ิบซงึ่ จะแปรผนั ตรงตามจานวนก๋วยเต๋ยี วทีข่ าย ถา้ กญั ญาขายกว๋ ยเต๋ยี วได้ 50 ชาม จะมคี า่ ใชจ้ ่ายทงั้ หมด 2,100 บาท และถา้ กญั ญา ขายกว๋ ยเต๋ียวได้ 175 ชาม จะไดก้ าไร 900 บาท แลว้ กญั ญาจา่ ยคา่ เชา่ สถานทตี่ อ่ วนั เป็นเงนิ เท่าไร (สมาคม 55) วธิ ที า ให้ Y เป็นค่าใชจ้ ่าย, A เป็นค่าเชา่ , B เป็นค่าวตั ถดุ ิบ, n เป็นจานวน ชาม กาหนดให้ Y = A + B โดยท่ี B \\propto n ดงั นน้ั Y = A + kn (1) แทนคา่ n = 50 ชาม , Y = 2,100 บาท ใน (1) จะได้ 2,100 = A + 50k (2) แทนค่า n = 175 ชาม , Y = (30\\times 175)-900=4,350 บาท ใน (1) จะได้ 4,350 = A + 175k (3) (3) – (2) 2,250 = 125k ⇒ k = 18
แทนคา่ k = 18 ใน (2) จะได้ 2,100 = A + 50(18)…⇒…A = 1,200 บาท ตวั อย่างท่ี 6 ให้ y เทา่ กบั ผลบวกของสองจานวนโดยจานวนแรกแปรผนั เก่ยี วเน่ืองกบั x และ v^2 และจานวนที่สองแปรผนั แบบผกผนั กบั รากที่สองของ v ถา้ y = 8 เม่ือ x = v = 1 และ y = 12 เมื่อ x = 1.5 และ v = 4 แลว้ ค่าของ y เมอ่ื x = 4 และ v = 0.25 มคี า่ เท่าใด (สมาคม 54) วธิ ที า กาหนดให้ y = A + B โดยที่ A \\propto xv^2 และ B \\propto \\frac{1}{\\sqrt{x}} y = k_1xv^2+\\frac{k_2}{\\sqrt{x}} 8 = k_1 + k_2 (1) 12 = 24k_1 + \\frac{k_2}{2} (2) แกร้ ะบบสมการได้ k_1 = \\frac{16}{47}\\rightarrow k_2 = \\frac{360}{47} จะไดส้ มการแปรผนั คอื y = \\frac{16}{47}xv^2 + \\frac{360}{47}\\left ( \\frac{1}{\\sqrt{x}} \\right ) แทนคา่ x = 4, v = 0.25 = \\frac{1}{4} จะได้ y = \\frac{724}{47} = 15\\frac{19}{47} = 15.40
หน่วยการเรียนรูท้ ่ี 5 สถิตเิ บือ้ งต้น ความหมายของสถติ ิ สถิตมิ ีความหมาย 2 อยา่ งคือ1.หมายถงึ ตวั เลขหรอื กลมุ่ ของตวั เลขทีแ่ สดงขอ้ เท็จจริง เก่ยี วกบั เรอ่ื งหน่งึ แรือ่ งใดเช่นสถติ เิ ก่ยี วกบั ปรมิ านนา้ ฝน สถิตกิ ารเกิดอคั คีภยั เป็นตน้ 2. หมายถึง วชิ าทีเ่ ป็นทงั้ วทิ ยาศาสตรแ์ ละศลิ ป วา่ ดว้ ยกาศกึ ษาทเี่ ก่ยี วกบั ขอ้ มลู ซ่ึงประกอบดว้ ย การเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล ( collection of date) การนาเสนอข้อมูล( presentation of date) การวเิ คราะขอ้ มูล (analysis of date) การความหมายข้อมูล (interpretation of data ) ในความหมายที่สอง หมายถึง วิธีการท่เี ริม่ ตน้ ตงั้ แตก่ ารเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู วง่ึ มหี ลาย วิธีเพราะตอ้ งเก็บขอ้ มลู ท่ถี กู ตอ้ ง เหมาะสม ถา้ ไดข้ อ้ มลู ท่ไี ม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่เหมาะสม ขอ้ มลู เหล่านยี้ ่อมใชไ้ มไ่ ด้ หรอื ใชไ้ ดแ้ ตเ่ พียงส่วนนอ้ ยขอ้ มลู ท่เี ก็บรวบรวมมา จาเป็น จะตอ้ งมีการนามาจดั ใหมใ่ หด้ งู า่ ยหรือเป็นระเบียบ การจดั ขอ้ มลู ใหมอ่ าจใชต้ าราง กราฟ หรือรูปภาพขนั้ ตอนนเี้ รียกวา่ การนาเสนอขอ้ มลู
ขอ้ มลู หมายถึงขอ้ เท็จจริงที่เป็นตวั เลขหรือไมเ่ ป็นตวั เลขกไ็ ด้ ทเี่ ราสนสนใจจะศกึ ษา ขอ้ มลู สถติ ิ หมายถึงขอ้ มลู ทเ่ี ป็นตวั เลขหรอื ไมเ่ ป็นตวั เลขเชน่ เดียวกบั ขอ้ มลู แต่ ขอ้ มลู สถติ ิจะมจี านวนมากกว่า และสามารถนามาเปรยี บเทียบกันได้ ตัวอยา่ ง ข้อมูล ที่เป็ นตัวเลข จานวนนกั เรยี นโรงเรยี นระยองวิทยาคม มี 3853 คน ข้อมลู ทไี่ ม่เป็ นตวั เลข จากการสงั เกตพบวา่ นกั เรียนโรงเรียนระยองวิทยาคมส่วนใหญ่มาโรงเรยี นสาย ขอ้ มูลสถติ ิ ขอ้ มลู สถิติคือขอ้ เท็จจรงิ ทเ่ี ป็นตวั เลขหรอื ไม่เป็นตวั เลขกไ็ ด้ แบบเดยี วกบั ขอ้ มลู แต่ตอ้ งมจี านวนมาก เพ่อื แสดงลกั ษณะของกล่มุ ขอ้ มลู สถิติ ที่เป็ นตัวเลข คะแนนโดยเฉลี่ยของนกั เรยี นระดบั ชนั้ ม. 6 โรงเรียนระยองวิทยาคมคอื 2.64 ขอ้ มูลสถิติ ทไ่ี มเ่ ป็ นตัวเลข
จากการสารวจความพงึ พอใจของผปู้ กครองพบว่ารอ้ ยละ 61.5 มีความเชื่อม่นั และ ไวว้ างใจโรงเรียนในเรอ่ื งของการดแู ลระเบียบวนิ ยั ประเภทของขอ้ มลู สถติ ิ แบ่งได้ 2 ลกั ษณะดงั นี้ ข้อมูลเชงิ คุณภาพ (Qualitative data) หมายถงึ ขอ้ มลู ทแ่ี สดงถงึ สถานภาพ คณุ ลกั ษณะ หรอื คณุ สมบตั ิ เช่น เพศ เชอื้ ชาติ สถานภาพสมรส ศาสนา กล่มุ เลอื ด เป็นตน้ ขอ้ มูลเชิงปริมาณ (Quantitative data) หมายถงึ ขอ้ มลู ท่อี ยใู่ นรูปตวั เลข (numerical data) ทีแ่ สดงถงึ ปริมาณ อาจเป็นค่าที่ไม่ต่อเน่ือง (discrete) คอื ค่าทีเ่ ป็น จานวนเตม็ หรือจานวนนบั เช่น จานวน รถยนตใ์ นกรุงเทพมหานคร ประเภทของข้อมลู ขอ้ มูลปฐมภมู ิ คือขอ้ มลู ที่เกบ็ จากแหลง่ โดยตรง ทาไดโ้ ดยการสมั ภาษณ์ การนบั มี วิธีเก็บได้ 2 วิธี 1. จากสามะโน คอื การเก็บขอ้ มลู จากทกุ หนว่ ยงานดว้ ยการสมั ภาษณ์ การนบั ซ่ึงไม่ ค่อยนิยม เพราะใชเ้ วลาและค่าใชจ้ ่ายสงู เชน่ การเกบ็ สถิติผใู้ ชร้ ถโดยสารประจาทาง 2. จากการสารวจกลมุ่ ตวั อย่างโดยเลือกตวั แทนกลมุ่ ทเี่ หมาะสม ที่มีลกั ษณะ ใกลเ้ คียงกบั ท่ีตอ้ งการศกึ ษา เชน่ สารวจความนิยมของวยั รุน่ เก่ยี วกบั การใช้ โทรศพั ทม์ ือถือ กลมุ่ ตวั อยา่ งท่ีจะศึกษากต็ อ้ งเป็นพวกวยั รุน่ ข้อมูลทุตยิ ภูมิ เป็นขอ้ มลู ทผี่ แู้ ต่งเก็บรวบรวมไวแ้ ลว้ ซง่ึ อาจเก็บไวใ้ ชใ้ นการบรหิ าร หนว่ ยงานนนั้ ๆ สามารถนามาใชไ้ ดเ้ ลย ไม่ตอ้ งเสยี ค่าใชจ้ ่าย แต่ตอ้ งศึกษาว่า ขอ้ มลู นนั้ เกบ็ รวบรวมมาเหมาะสมหรือไม่
ข้อมลู จาแนกตามวธิ ีการเก็บรวบรวม ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ คือ ขอ้ มลู ที่ไดจ้ ากการรวบรวมจากผูท้ ่ีใหข้ อ้ มลู หรือแหล่งท่ีมาโดยตรง 1 การสามะโน คือ การเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จากทกุ หนว่ ยของประชากรทตี่ อ้ งการ ศึกษา 2 การสารวจจากกลุ่มตัวอยา่ ง คือ การเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู ทปี่ ระกอบดว้ ยตวั แทน จากทกุ ลกั ษณะของประชากรทต่ี อ้ งการศึกษา ในทางปฏบิ ตั ิ ไม่ว่าจะทาการสามะโนหรอื การสารวจ นิยมปฏบิ ตั อิ ยู่ 5 วิธี คอื 1. การสมั ภาษณ์ นิยมใชก้ นั มาก เพราะจะไดค้ าตอบทนั ที นอกจากนีห้ ากผตู้ อบไม่ เขา้ ใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้ แตผ่ สู้ มั ภาษณต์ อ้ งซ่อื สตั ย์ และเขา้ ใจจดุ ม่งุ หมาย ของการเกบ็ ขอ้ มลู อย่างแทจ้ รงิ 2. การแจกแบบสอบถาม วธิ ีนปี้ ระหยดั เวลาและค่าใชจ้ ่ายมาก สะดวกและสบาย ใจตอ่ การตอบแบบสอบถาม แต่ก็มขี อ้ เสียหลายประการ เชน่ ตอ้ งใชใ้ นเฉพาะผลที่มี การศกึ ษา มไี ปรษณียไ์ ปถงึ คาถามตอ้ งชดั เจน อาจจะไม่ไดร้ บั คนื ตามเวลาหรือ จานวนทีต่ อ้ งการ จึงตอ้ งสง่ แบบสอบถามออกไปเป็นจานวนมากๆ หรือไปแจกและ เก็บดว้ ยตนเอง
3.การสอบถามทางโทรศพั ท์ เป็นวิธีที่งา่ ย เสยี ค่าใชจ้ ่ายนอ้ ย ตอ้ งเป็นการ สมั ภาษณอ์ ย่างสนั้ ๆ ตอบไดท้ นั ทีโดยไมต่ อ้ งเสยี เวลาคน้ หาหลกั ฐาน ใชไ้ ดเ้ ฉพาะส่วน ทม่ี โี ทรศพั ทเ์ ทา่ นนั้ 4. การสังเกต เป็นขอ้ มลู ที่ไดจ้ ากการสงั เกตแลว้ บนั ทึกสิ่งท่ีเราสนใจเอาไว้ ตอ้ งใช้ การสงั เกตเป็นชว่ งๆของเวลาอย่างตอ่ เน่อื งกนั ขอ้ มลู จะนา่ เชื่อถือไดม้ ากนอ้ ยขนึ้ อยู่ กบั ความเขา้ ใจและความชานาญของผสู้ งั เกต เช่น ขอ้ มลู เก่ยี วกบั การใชบ้ รกิ ารต่างๆ เช่น บรกิ ารรถโดยสาร การบริการสหกรณ์ ความหนาแนน่ ของการใชถ้ นนสายตา่ งๆ เป็นตน้ วิธีนนี้ ยิ มใชป้ ระกอบกบั การเก็บขอ้ มลู วิธีอน่ื ๆ 5. การทดลอง เป็นการเก็บรวบรวมขอ้ มลู ที่มีการทดลอง ซึง่ มกั จะใชเ้ วลาในการ ทดลองนานๆ ทาซา้ ๆ ขอ้ มลู ทตุ ิยภมู ิ คอื ขอ้ มลู ท่ีตอ้ งเก็บรวบรวมจากผทู้ ใี่ หข้ อ้ มลู หรคือแหล่งทมี่ าโดยตรง แต่ไดจ้ ากขอ้ มลู ทมี่ ผี อู้ ่นื เก็บรวบรวมไวแ้ ลว้ วธิ ีการเก็บรวบรวมขอ้ มลู ทตุ ิยภมู ิ แหล่งทม่ี าของขอ้ มลู ทตุ ิยภมู ทิ ีส่ าคญั มีอยู่ 2 แหล่ง คอื 1. รายงานตา่ งๆของหน่วยราชการและองคก์ ารของรฐั บาล เชน่ ทะเบยี นประวตั ิ บคุ ลากร ประวตั คิ นไข้ ทะเบียนนกั เรยี นนกั ศกึ ษา เป็นตน้ 2. รายงานและบทความจากหนงั สอื หรือรายงานจากหน่วยงานเอกชน ซึง่ จะมีการ พิมพเ์ ผยแพรเ่ ฉพาะในสว่ นของขอ้ มลู ทเี่ ผยแพรไ่ ดใ้ นรูปของรายงานตา่ งๆ การนาเสนอข้อมูลสถติ ิ (Statistical Presentation) การนาเสนอขอ้ มลู สถติ ิแบ่งออกเป็น 2 แบบใหญ่ ๆ คอื
Search