เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น

เอกสารประกอบการเรยี น รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 4 (ค32202) ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศกึ ษา 2563 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 เร่ือง หลกั การนับเบ้อื งตน้

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) หลักการนับเบอ้ื งตน หลกั การนบั เบือ้ งตน แผนภาพตนไม ตวั อยางท่ี 1 จากกรงุ เทพฯ ไปเชียงใหม มีวิธกี ารเดินทางได 3 วิธี คือ ทางรถยนต ทางรถไฟ และทาง เคร่อื งบนิ และจากเชยี งใหมไปแมฮองสอน มวี ิธกี ารเดนิ ทางได 2 วิธี คอื ทางรถยนต และทาง เครอ่ื งบิน อยากทราบวาในการเดนิ จากกรุงเทพฯ ไปแมฮองสอนโดยหยดุ แวะท่เี ชยี งใหม มีวิธีการเดินทางไดทั้งหมดก่วี ิธี วธิ ที ำ ในการหาจำนวนวิธกี ารเดินทางทงั้ หมด สามารถแสดงไดดวยแผนภาพตนไม ดังนี้ จากกรงุ เทพฯ ไปเชยี งใหม จากเชยี งใหมไปแมฮองสอน รถยนต รถยนต เคร่อื งบิน รถไฟ รถยนต เครอื่ งบิน เคร่ืองบิน รถยนต เครื่องบนิ จากแผนภาพตนไม จะไดวาวิธีการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปแมฮองสอน โดยหยุดแวะทเ่ี ชยี งใหม มที ้ังหมด 6 วิธี วิธีที่ วิธีการเดนิ ทางจาก กรงุ เทพฯ ไปเชยี งใหม เชียงใหมไปแมฮองสอน 1 รถยนต รถยนต 2 รถยนต เครื่องบนิ 3 รถไฟ รถยนต 4 รถไฟ เครอ่ื งบนิ 5 เครอ่ื งบนิ รถยนต 6 เคร่อื งบิน เคร่อื งบิน ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 1 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) หลกั การนบั เบอื้ งตน จากตัวอยางท่ี 1 จะเห็นวาการใชแผนภาพตนไมชวยใหการหาคำตอบทำไดโดยงายเมื่อจำนวนวธิ ที ี่ จะนำมาเขียนแผนภาพตนไมมีจำนวนไมมากนัก แตสำหรับปญหาที่มีจำนวนวิธีที่เกี่ยวของเปนจำนวนมาก การเขยี นแผนภาพตนไมอาจทำไดไมสะดวก ดังนั้น เพื่อใหการหาคำตอบทำไดงายและสะดวกรวดเร็ว จะใชวิธีการคำนวณโดยอาศัยหลักการท่ี เกย่ี วกบั การนบั ซึง่ ประกอบดวยหลักการบวกและหลักการคณู หลกั การบวก กฎขอท่ี 1 ถาการทำงานหน่งึ มีวธิ ีการทำ k วธิ ี คือ วิธที ี่ 1 ถึงวธิ ีที่ k โดยท่ี การทำงานวธิ ีที่ 1 มีวิธีการทำ n1 วิธี การทำงานวิธีท่ี 2 มวี ิธีการทำ n2 วิธี การทำงานวิธีที่ 3 มวี ิธกี ารทำ n3 วิธี การทำงานวธิ ีท่ี k มีวธิ กี ารทำ nk วิธี และวิธีการทำงานแตละวิธแี ตกตางกัน แลวจำนวนวธิ ที ำงานนเ้ี ทากับ n1 + n2 + ... + nk วิธี ตวั อยางที่ 2 หยบิ ไพ 1 ใบจากไพทั้งสำรับทมี่ ี 52 ใบ จงหาจำนวนวิธที ี่จะหยิบไดไพโพดำ หรือขาวหลามตัด วธิ ีทำ แบงออกเปน 2 กรณี กรณที ่ี 1 หยบิ ไดไพโพดำได 13 วิธี กรณที ่ี 2 หยิบไดไพขาวหลามตดั ได 13 วิธี ดงั นั้น จำนวนวธิ ที จ่ี ะหยบิ ไดไพโพดำ หรอื ขาวหลามตดั ทั้งหมด 13 + 13 = 26 วิธี ตวั อยางที่ 3 บรษิ ทั แหงหนง่ึ มตี ำแหนงวางอยู 2 ตำแหนงที่แตกตางกนั ถามีผูสมัครเขาทำงาน 4 คน คือ ก, ข, ค และ ง เมื่อทำการสัมภาษณแลวปรากฏวาคนที่เหมาะสมกบั ตำแหนงที่ 1 คือ ก, ข, ค คนท่เี หมาะสมกับตำแหนงท่ี 2 คือ ข, ค, ง จงหาจำนวนวิธที ่แี ตกตางกันที่บริษทั จะบรรจุคน เขาทำงาน โดยใหคนเหมาะสมกบั งาน วธิ ีทำ แบงออกเปน 3 กรณี กรณีท่ี 1 เลอื กตำแหนงที่ 1 เปน ก สามารถเลือกตำแหนงท่ี 2 ได 3 วิธี (ข, ค, ง) กรณที ี่ 2 เลือกตำแหนงที่ 1 เปน ข สามารถเลือกตำแหนงท่ี 2 ได 2 วธิ ี (ค, ง) กรณที ่ี 3 เลอื กตำแหนงท่ี 1 เปน ค สามารถเลือกตำแหนงที่ 2 ได 2 วธิ ี (ข, ง) ดังนน้ั จำนวนวธิ ที ี่แตกตางกันทบ่ี ริษัทจะบรรจุคนเขาทำงาน โดยใหคนเหมาะสมกบั งาน คือ 7 วธิ ี ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 2 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน หลักการคณู กฎขอที่ 2 ถาการทำงานอยางหนึ่งประกอบดวยการทำงาน k ขน้ั ตอน คอื ขนั้ ตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนท่ี k ตามลำดบั โดยที่ การทำงานขัน้ ตอนที่ 1 มวี ิธีทำ n1 วิธี การทำงานข้ันตอนท่ี 2 มวี ิธที ำ n2 วธิ ี การทำงานขั้นตอนท่ี 3 มวี ิธีทำ n3 วธิ ี การทำงานขนั้ ตอนที่ k มวี ิธีทำ nk วธิ ี ดงั นน้ั วธิ กี ารทำงานแตละวิธแี ตกตางกนั แลวจำนวนวธิ ีทำงานนีเ้ ทากบั n1× n2 × n3 ... × nk วธิ ี ตัวอยางที่ 4 บริษัทผลิตเส้อื ผาสำเร็จรปู แหงหน่งึ ผลติ เสอ้ื 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถาจะแตงตวั ใหกับหุนเพือ่ นำไปโชวหนาราน จะสามารถแตงชดุ ตางๆ กนั ไดทง้ั หมดก่ีชดุ วิธีทำ ในการแตงตัวใหกบั หนุ มี 3 ขั้นตอน คือ ขัน้ ตอนท่ี 1 เลือกเสื้อได 6 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กกางเกงได 5 วิธี ข้ันตอนที่ 3 เลือกเนคไทได 4 วธิ ี ดังนั้น วธิ แี ตงตวั ใหกบั หุนทำไดทง้ั หมด 6 x 5 x 4 = 120 วิธี ตวั อยางที่ 5 นาย ก, ข และ ค จะข้นึ ลฟิ ต ซ่ึงมที ั้งหมด 3 ตวั จำนวนวิธที น่ี าย ก และ ข ขึน้ ดวยกันแต ค ขึน้ คนเดียว มีท้ังหมดก่ีวิธี วิธีทำ กำหนด ก และ ข ขนึ้ ลิฟตตัวเดียวกัน แบงเปน 2 ขั้นตอนดังนี้ ข้นั ตอนที่ 1 ให ก และ ข เลอื กขน้ึ ลิฟตกอน จะสามารถเลอื กได 3 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 ให ค เลือกขึ้นลิฟต จะสามารถเลอื กได 2 วธิ ี ดังนั้น จำนวนวิธีที่นาย ก และ ข ข้นึ ดวยกนั แต ค ข้ึนคนเดียว มที ั้งหมด 3 x 2 = 6 วิธี ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 3 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบือ้ งตน แบบฝกหดั ท่ี 1 เร่ือง แผนภาพตนไม 1. มีตวั เลขพลาสติก 4 ตัว มหี มายเลขเปน 1, 2, 3, 5 นำเลขเหลานมี้ าสรางเลขจำนวน 2 หลกั จะสรางได ทัง้ ส้ินกี่จำนวน (แสดงวิธที ำโดยใชแผนภาพตนไม) 2. กำหนดให A={a,b,c} และ B={d,e} จะไดคูอนั ดับ (x , y) โดยท่ี x∈A และ y∈B ทง้ั หมดกีค่ ู อะไรบาง (แสดงวธิ ีทำโดยใชแผนภาพตนไม) 3. กำหนดให A={2,3} , B={1,3,5} และ C={4,6} จะได (x , y , z) โดยที่ x∈A , y∈B และ z∈C ท้ังหมดกี่แบบอะไรบาง (แสดงวิธีทำโดยใชแผนภาพตนไม) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 4 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลกั การนบั เบอื้ งตน 4. นักเรียนคนหนึง่ มีกางเกง 3 ตัว เสอ้ื 2 ตวั และถงุ เทา 2 คู นกั เรยี นคนนจี้ ะแตงกายดวยกางเกง เส้ือ และถงุ เทาไดกี่วธิ ี (แสดงวิธที ำโดยใชแผนภาพตนไม) 5. มีถนนจากกรุงเทพฯ ไปชลบุรี 3 สาย และมีถนนจากชลบรุ ไี ประยอง 4 สาย กรองใจขับรถจากกรุงเทพฯ ไประยองโดยตองผานชลบุรี กรองใจมวี ธิ เี ลือกเสนทางไดก่ีวธิ ี (แสดงวิธที ำโดยใชแผนภาพตนไม) 6. ในการเลนเกมอยางหนง่ึ ซง่ึ มีชนะกับมแี พ ถาชนะเขาจะไดเงนิ 1 บาท ถาแพเขาจะเสียเงนิ 1 บาท ตอนเริ่มเลนมเี งนิ 2 บาท จะเลกิ เลนเกมก็ตอเมื่อ เงินหมด หรือไดกำไร 2 บาท หรือเลนครบ 5 คร้ัง ตามกติกานี้จะเลนเกมไดกวี่ ธิ ี (แสดงวธิ ีทำโดยใชแผนภาพตนไม) ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 5 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบอื้ งตน 7. นายแดงกบั นายดำแขงขันหมากรุกกนั โดยมีกติกาวาผชู นะคือผูท่ชี นะตดิ ตอกัน 2 เกม (กระดาน) หรอื ชนะรวม 3 เกม (กระดาน) จงหาวาตามกติกานี้ จะแขงขันไดทงั้ หมดก่ีวธิ ี (แสดงวธิ ีทำโดยใชแผนภาพตนไม) 8. ในการแขงขนั สนกุ เกอรระหวางนายตองกับนายดอน โดยมีเง่ือนไขวาผูทีช่ นะคือ ผูท่ีชนะ 2 เกมแรก ติดตอกนั หรือชนะรวมกัน 3 เกม (ไมจำเปนตองเปนเกมที่ตดิ ตอกนั ) ตามกติกานี้ จงหาจำนวนวธิ ขี องการ แขงขนั ทั้งหมด (แสดงวิธีทำโดยใชแผนภาพตนไม) 9. ทมี ก. กบั ทมี ข. แขงขันบาสเกตบอลโดยมีกติกาวา ทีมทชี่ นะ 3 ครงั้ จะเปนผูชนะตามกตกิ าน้ี จงหาจำนวนวธิ ขี องการแขงขันท้งั หมด (แสดงวธิ ที ำโดยใชแผนภาพตนไม) ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 6 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบอ้ื งตน แบบฝกหัดที่ 2 เร่ือง หลักการบวกและหลกั การคณู 1. จงหาจำนวนเสนทางจาก X ไปยัง Y ในทิศตามลูกศรของแผนภาพตอไปนี้ 2. จงหาจำนวนเสนทางจาก N ไปยัง S ในทศิ ตามลูกศรของแผนภาพตอไปนี้ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 7 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) หลักการนับเบ้อื งตน 3. กำหนดเสนทางจาก A ไปยัง E โดยผาน B, C, D ในทศิ ทางตามลกู ศร ดงั แผนภาพตอไปนี้ จงหา 2) จำนวนเสนทางการเดนิ ทางจาก B ไป C 1) จำนวนเสนทางการเดนิ ทางจาก A ไป B 3) จำนวนเสนทางการเดนิ ทางจาก C ไป D 4) จำนวนเสนทางการเดินทางจาก D ไป E 5) จำนวนเสนทางการเดนิ ทางจาก A ไป E 4. ในรปู ตอไปนี้ AD และ FC เปนสวนของเสนตรงซ่งึ ตัง้ ฉากกันทจี่ ุด C F . .E AB C D 1) จงหาจำนวนของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก XCY โดยท่ีจดุ ยอด X และ Y ไดมาจาก A, B, D, E, F ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 8 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบ้ืองตน 2) จงหาจำนวนของรูปสามเหลยี่ มโดยมีจดุ ยอด 3 จุด จาก A, B, C, D, E, F 5. จงหาจำนวนวิธที ่ีแตกตางกนั ทัง้ หมด ในการวางรปู สเ่ี หลี่ยมขนาด 2 × 1 ตารางหนวย จำนวน 9 รูป เพ่ือ ปกคลมุ รปู ตอไปนี้ 1 หนวย 2 หนวย 6. กำหนดจดุ a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 บนดานของรปู สามเหล่ยี ม ABC ดงั น้ี b3 C a1 .b2 . . .a2 . .. .b1 A c1 c2 c3 B จงหาจำนวนรปู สามเหล่ยี มท่ีมจี ุดดงั กลาวเปนจดุ ยอด ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 9 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้ืองตน 7. นกั ฟุตบอลทมี หนึ่งมเี สื้อทมี 5 แบบ กางเกง 4 แบบ ถุงเทา 2 แบบ นกั ฟุตบอลทีมนจี้ ะมวี ธิ แี ตงชดุ ของทีม ไดกวี่ ธิ ี 8. โยนเหรยี ญบาท 1 เหรียญ 3 ครง้ั จะออกหนาตางๆ กนั ไดกว่ี ิธี 9. โยนลูกเตา 1 ลูก 3 ครัง้ จะข้ึนหนาตางกันไดกีว่ ธิ ี 10. มขี อสอบถูกผดิ อยู 10 ขอ วลีจะมวี ธิ ีทำขอสอบไดก่วี ธิ ี 11. สมยศตองการมีบุตร 3 คน โดยใหคนที่สองเปนผูชาย เขาจะมีบุตรไดก่ีวธิ ี 12. ในงานเล้ียงแหงหน่งึ จดั อาหารคาวไว 5 ชนิด อาหารหวาน 3 ชนิด เครอ่ื งด่มื 4 ชนดิ ถาทุกคนไป รวมงานจะตองรบั ประทานอาหารคาว อาหารหวานและเคร่ืองดม่ื อยางละหนึ่งชนิด จงหาวาสุชาตไิ ป รวมงานเขาจะรับประทานอาหารไดกวี่ ธิ ี ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 10 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลักการนับเบ้อื งตน 13. ในการเดินทางจากกรงุ เทพฯ ไปจังหวัดนครสวรรคโดยผานจังหวัดสงิ หบุรี แลวเดนิ ทางกลับ จะมีวธิ ี เดินทางไดกี่วธิ ี ถาจากกรงุ เทพฯ ไปจงั หวดั สงิ หบุรีมเี สนทางรถยนต 3 เสนทาง จากจังหวัดสิงหบรุ ไี ป จังหวดั นครสวรรคมเี สนทางรถยนต 5 เสนทาง 1) ไมมเี งอ่ื นไขเพมิ่ เติม 2) ตอนเขากลบั ใชเสนทางเดิมไมได 3) ไมใชวธิ ีเดินทางซ้ำขาไป 14. สนามกีฬาแหงหน่ึงมปี ระตู 6 ประตู แดงตองการเขาชมการแขงขันกฬี าในสนามน้ี อยากทราบวา แดงจะมวี ิธีเดินเขาและออกไดก่วี ธิ ี 1) จะเขาและออกประตูใดกไ็ ด 2) เขาประตูใดแลวออกประตูนั้นไมได 15. สวนสาธารณะแหงหน่งึ มปี ระตเู ขาออก 5 ประตู นาย ก , นาย ข และนาย ค จะเขาและออกจาก สวนสาธารณะไดกว่ี ธิ ี 1) ทัง้ สามคนจะเขาออกประตใู ดก็ได 2) แตละคนเขาประตูใดจะออกประตูนนั้ ไมได 3) ตอนออกประตูจะไมซ้ำกับตอนเขา และทงั้ สามคนจะไมใชวธิ เี ดียวกัน ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 11 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) หลักการนับเบอื้ งตน 16. นกฝูงหนง่ึ มี 10 ตวั บนิ ไปเกาะก่งิ ไม 7 กิ่ง ไดกี่วธิ ี ถา 2) ถานกหัวหนาฝูงเกาะกงิ่ ไมกิง่ ใด นกตวั อื่น 1) ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม จะไมเกาะกิ่งไมกง่ิ นัน้ 17. จากเลข 1, 4, 7 นำมาเขียนเปนจำนวนตางๆ ที่นอยกวา 700 ไดก่วี ิธี (ถาไมใชเลขซำ้ ) 18. เซต A={0,1,2,3,...,9} จะสรางจำนวนเต็มบวกโดยใชตวั เลขในเซต A ไดกี่จำนวนถา 1) สรางจำนวนเต็มบวก 5 หลัก 2) สรางจำนวนเต็มคูบวก 5 หลัก 3) สรางจำนวนเตม็ ค่บี วก 5 หลัก 19. ถาตองการสรางจำนวนเต็มทอี่ ยูระหวาง 3,000 และ 5,000 โดยสรางจากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 จะสรางไดทั้งหมดกจ่ี ำนวน เมื่อตองการให 1) เลขแตละหลักอาจซ้ำกันได 2) เลขแตละหลักตองไมซำ้ กนั 3) เปนจำนวนคู 4) เปนจำนวนคี่ และแตละหลกั ตองไมซำ้ กนั ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 12 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) หลักการนับเบื้องตน 20. จงหาจำนวนเต็มท่มี ีคาระหวาง 100 และ 1,000 โดยทเี่ ลขแตละหลกั ตองไมซำ้ กัน 21. จงหาจำนวนเต็มทม่ี ี 4 หลัก และมคี ามากกวา 2,000 โดยสรางจากตัวเลข 1, 2, 3, 4 และ 1) เลขแตละหลักไมซ้ำกัน 2) เลขแตละหลักอาจซ้ำกัน 22. ชายผูหนง่ึ มีถุงเทา 2 คู สีดำและน้ำตาล มเี ส้ือ 4 ตัว คือ สีดำ, น้ำตาล, แดง และขาว และมกี างเกง 4 ตัว คอื สีดำ, นำ้ ตาล, เทา และน้ำเงิน อยากทราบวาชายผนู ้จี ะมีวธิ ีการแตงกายกี่วธิ ี โดยไมใหสีของถุงเทา, เสื้อ, และกางเกงซ้ำกนั 23. ถาตองการสรางจำนวนคี่ที่มีคานอยกวา 3,500 และเลขแตละหลักไมซ้ำกัน จะสรางไดทัง้ หมดกจี่ ำนวน ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 13 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบอื้ งตน แฟกทอเรยี ล (Factorial) บทนิยาม ถา n เปนจำนวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล n หมายถึง ผลคูณของจำนวนเต็มบวกต้งั แต 1 ถงึ n และ เขยี นแทนดวย n! ตวั อยางที่ 6 จงหาคาของแฟกทอเรยี ลบางคา 1. 1! = 1 =1 2. 2! = 2 x 1 =2 3. 3! = 3 x 2 x 1 =6 4. 4! =................................................................................ =........................................................ 5. 5! =................................................................................ =........................................................ 6. 6! =................................................................................ =........................................................ 7. 7! =................................................................................ =........................................................ 8. 8! =................................................................................ =........................................................ 9. 9! =................................................................................ =........................................................ 10. 10! =................................................................................ =........................................................ ตวั อยางที่ 7 การกระจายแฟกทอเรยี ลในรูปตัวแปร 1. n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... 3 × 2 × 1 2. (n - 1)! = (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... 3 × 2 × 1 3. (n - 3)! =................................................................................................................................. 4. (n + 1)! =................................................................................................................................. 5. (n – 5)! =................................................................................................................................. ตัวอยางท่ี 8 การทำแฟกทอเรียลที่มีคาสูงๆ ใหเปนแฟกทอเรียลท่ีมีคาต่ำๆ 1. 3!5! = 5 x 4! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 x 3 x 2! 2. 10! = 10 x 9! = 10 x 9 x 8! = 10 x 9x 8 x 7! 3. 20! =.......................................=.......................................=.............................................. 4. n! =.......................................=.......................................=.............................................. 5. (n + 2)! =.......................................=.......................................=.............................................. ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 14 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้ืองตน ตัวอยางท่ี 9 จงหาคาของขอตอไปนี้ 1. 3!5! = (3 × 2 × 1)(5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 6 x 120 = 720 2. 4!6! =...........................................................................=.......................................=.................. 6! =........................................................................... =.......................................=.................. 3. 4! 8! =........................................................................... =.......................................=.................. 4. 3! 5. 7! =........................................................................... =.......................................=.................. 5!2! 6. 10! =........................................................................... =.......................................=.................. 4!6! คาของ 0! จาก n(n - 1)! = n! พิสจู น ให n =1 จะไดวา 1(1 - 1)! = 1! 1(0)! = 1 0! = 1 แบบฝกหัดท่ี 3 เร่ือง แฟกทอเรียล 1. จงหาคาในแตละขอตอไปนี้โดยผลลัพธตองไมอยูในรูปแฟกทอเรียล 1) 5!4! 2) 6!0! 3) 7!2! 4) 8!1! 5) 6!4! 6) 3!8! ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 15 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบอื้ งตน 7) 7! 8) 6! 9) 10! 0! 3! 7! 10) 8! 11) 7! 12) 10! 5!3! 4!3! 2!8! 13) 8! 14) 10! 15) 9! 4!4! 5!4! 6!3! 16) 12! 17) 11! 18) 9! 6!6! 7!4! 5!4! 2. จงเขยี นผลคูณตอไปนี้ใหอยูในรปู แฟกทอเรยี ล 1) 20 x 19 x 18 x 17 2) 25 x 24 x 23 x … x 10 3) 10 x 9 x 8 x 7 x 6 4) (n)(n - 1)(n - 2) ... (n - 10) 5) (n)(n - 1) ... (n - k + 10) 6) (3n)(9n2- 9n + 2) ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 16 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนบั เบือ้ งตน 3. จงเขยี นจำนวนตอไปนใี้ นรูปซ่ึงไมมีแฟกทอเรียล 1) n! 2) n! (n - 2)! (n - 5)! 3) (n + 2)! 4) (n + 3)! n! (n - 1)! 5) (2n)! 6) (n + 2)!n! (2n - 3)! (n - 1)!(n + 2)! 4. จงหาจำนวนในโจทยขอตอไปน้ี 1) n! เมอื่ n = 6 และ r = 4 2) n! เมื่อ n = 7 และ k = 7 (n - r)! (n - k)! 3) (n n! เมอื่ n = 9 และ k = 0 4) n! เมือ่ n = 10 , r = 3 , p = 2 , g = 4 - k)!k! p!r!g! ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 17 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบอ้ื งตน 5. จงหาคา n ในแตละขอตอไปน้ี 1) n! = 132 2) (n + 4)! = 720 (n - 2)! (n - 2)! 3) n! = 720 4) (n n! = (n n! (n - 3)! - 3)!5! - 2)!4! 5) n! = (n - 6)! 6) (n + 1)! = 63n! 10! 720 (n - 2)! (n - 1)! 7) 3n! = (n - 1)! 8) (20 - n)! = (20 - n)! (n - 4)! (n - 6)! 9!(n - 9)! 7!(n - 7)! ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 18 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) หลกั การนบั เบือ้ งตน วิธกี ารเรยี งสบั เปล่ียน (Permutation) วิธีเรียงสับเปลี่ยน เปนวิธีการที่เรามักจะพบเห็นในชีวิตประจำวันอยูเสมอ เชน ปญหาตอไปนี้มี ตัวเลข 1, 2, 3 เมื่อนำตัวเลขทั้งสามตัวมาเรียงเปนจำนวนที่มี 3 หลัก แตละหลักไมซ้ำกันจะไดจำนวน ตางๆ กนั ทั้งหมด 6 จำนวน ดงั นี้ 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 เราเรียกวิธีการสรางจำนวนดังกลาววาวิธีเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลข 1, 2, 3 และคำตอบ 6 จำนวน ดงั กลาวเราสามารถใชกฎการนับเบือ้ งตนที่กลาวไปแลวมาคำนวณไดดังน้ี หลกั รอย หลักสิบ หลักหนวย จำนวนเลข 3 หลกั = 3 x 2 x 1 = 6 จำนวน และจากความรูเร่อื งแฟกทอเรียล อาจกลาวไดวา จำนวนเลข 3 หลัก = 3 x 2 x 1 = 3! วิธี วิธีเรียงสบั เปลีย่ น เปนวิธีการจดั เรยี งสิ่งของทีก่ ำหนดให โดยคำนึงถึงตำแหนงของสิง่ ของที่ ตางกนั เปนวิธีทต่ี างกันหรอื บางทีเรยี กวาการจดั ลำดับ จุดมุงหมายสำหรับหัวขอน้ี คือ ตองการคำนวณหาจำนวนของวิธีเรียงสับเปล่ียนทีไ่ ดทัง้ หมดซึง่ การ คำนวณดังกลาวยังคงตองใชกฎการนับเบื้องตนเกี่ยวกับการนับเปนพื้นฐาน ในขณะเดียวกันเพราะใชความรู เร่ือง แฟกทอเรียล มาสรางสูตรการคำนวณ เพอ่ื ใหการคำนวณทำไดรวดเรว็ ขึ้น ในระดับนี้ เราจะศกึ ษาวธิ เี รยี งสับเปล่ยี นใน 2 ลกั ษณะ คอื 1. วธิ ีเรยี งสบั เปลยี่ นแบบเชิงเสน 2. วธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ นเชงิ วงกลม ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 19 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบอื้ งตน วธิ เี รยี งสับเปล่ยี นเชิงเสน (Linear Permutation) บทนิยาม วธิ เี รยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เสน หมายถึง การจัดเรียงสง่ิ ของในแนวเสนตรง โดยถอื วาลำดบั ที่ของส่งิ ของ แตกตางกนั เปนวิธีทแี่ ตกตางกัน กฎขอท่ี 3 จำนวนวธิ ีเรียงสบั เปลยี่ นของส่งิ ของ n สิ่งที่แตกตางกนั ทงั้ หมด โดยจัดเรยี งคราวละ r สิง่ (1≤r ≤n ) เทากับ Pn,r = n! (n - r)! ตวั อยางที่ 10 มีหนงั สอื ทีแ่ ตกตางกัน 6 เลม ตองการนำหนังสือมา 4 เลม เพอ่ื จดั เรียงเปนแถวบนช้ันจะจัด ไดทั้งหมดกว่ี ธิ ี วิธีทำ จากสตู ร Pn,r = n! (n - r)! จากโจทย n = 6 และ r = 4 ดงั น้ัน P6,4 = 6! (6 - 4)! = 6! 2! = 6x5x4x3 = 360 นัน่ คอื จำนวนวธิ ที ่จี ะจัดเรยี งหนังสือ 4 เลม บนชัน้ จะจัดไดทง้ั หมด 360 วธิ ี กฎขอท่ี 4 จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปล่ยี นเชิงเสนของสงิ่ ของท่ีแตกตางกนั ท้งั หมด n สงิ่ เทากับ n! ตัวอยางที่ 11 มีคน 4 คน มายืนเรยี งแถว จะมีจำนวนวธิ จี ัดใหยนื ท้งั หมดก่ีวธิ ี วิธที ำ ตำแหนงท่หี น่งึ เลือกคนยืนได 4 วธิ ี ตำแหนงที่สองเลอื กคนยืนได 3 วิธี ตำแหนงที่สามเลือกคนยืนได 2 วิธี ตำแหนงท่ีส่เี ลอื กคนยนื ได 1 วธิ ี ดังนน้ั จำนวนวิธกี ารจดั ท้งั หมด = 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 วิธี ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 20 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน แบบฝกหัดท่ี 4 เร่ือง วิธีเรียงสับเปลย่ี นแบบเชิงเสนสง่ิ ของท่ีแตกตางกันทั้งหมด 1. จงหาคาของ 1) P7,3 2) P8,4 3) P20,2 2. ถา Pn,4 = 18 x Pn,12 จงหาคา n 3. จงพิสจู นวา Pn,1 + Pm,1 = Pn+m,1 สำหรับทกุ จำนวนเต็มบวก m และ n 4. จะสรางจำนวนทีม่ ี 4 หลกั จากเลขโดด 2, 4, 6, 8, 9 ไดทง้ั หมดกี่จำนวน โดยท่ีแตละจำนวนน้นั ตองไมมี เลขโดดในหลักใดซำ้ กันเลย 5. ในท่ีทำงานแหงหน่งึ มตี ำแหนงที่ตางกันวางอยู 5 ตำแหนง โดยที่เปนตำแหนงสำหรับชาย 3 ตำแหนง และ ตำแหนงสำหรบั หญิง 2 ตำแหนง มผี มู าสมคั รเขาทำงานเปนชาย 6 คน หญิง 5 คน จะมีวิธีจดั คนที่มาสมัคร เขาทำงานไดกว่ี ธิ ี ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 21 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบอ้ื งตน 6. จงหาจำนวนวิธีที่จะจดั ชาย 6 คน และหญงิ 3 คน ยืนเรียงแถวหนากระดาน โดยทไ่ี มมหี ญงิ 2 คนใด ยนื ตดิ กัน 7. จำนวนคท่ี ่เี ลขโดดในแตละหลักไมซำ้ กนั และมากกวา 300 แตนอยกวา 900 มีทั้งหมดกจี่ ำนวน 8. มคี น 8 คน จะมีวิธกี ารจัดคนเขาแถวกว่ี ิธี เม่ือจัดคนท้ังหมดเปน 2 แถว แถวละ 4 คน 9. จะจดั คน 5 คน ยนื เปนแถวเพ่อื ถายรูป โดยจะถายทลี ะก่ีคนก็ได จะมีภาพทแ่ี ตกตางกันทงั้ หมดกภ่ี าพ 10. มหี นงั สอื เคมี 3 เลมตางกัน หนังสือคณิตศาสตร 2 เลมตางกนั และหนังสอื ภาษาอังกฤษ 4 เลมตางกัน จะจดั วางหนงั สือทั้งหมดบนช้ันหนงั สือไดก่ีวธิ ี เมื่อ 1) ไมมเี ง่ือนไขเพ่มิ เติม 2) ถาหนังสอื คณิตศาสตรวางในตำแหนง หวั แถวและทายแถว 3) ถาหนังสอื วชิ าเดียวกนั อยูตดิ กัน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 22 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบือ้ งตน 11. มีเกาอ้ี 6 ตวั เรยี งกนั เปนแถวตรง มีคน 3 คน คือ กรวิภา ขนษิ ฐา และภาวดี จงหาวิธีทเ่ี ปนไปไดทั้งหมดที่ จะจัดใหคนท้ัง 3 นั่งเกาอี้ 6 ตวั นี้ โดยท่ี กรวกิ า ขนษิ ฐา และภาวดีน่งั ไมตดิ กัน 12. รถเกง 5 คนั เขาจอดในที่จอดรถซ่งึ จอดได 5 คันพอดี จะมวี ธิ กี ารเขาจอดทง้ั หมดไดกว่ี ิธี 13. ชาย 6 คน และหญงิ 6 คน ในจำนวนนี้มนี ายสมบัติและนางสาวสมศรรี วมอยดู วยถาใหผชู ายจับคูกบั ผูหญิงจะมวี ิธจี ับคไู ดกวี่ ธิ ี เมอื่ 1) ไมมีเงือ่ นไขใดเพ่ิมเตมิ 2) นายสมบัติจบั คูกบั นางสาวสมศรี 3) นายสมบัตไิ มคูกับนางสาวสมศรี 14. ครคู นหน่ึงนำนักเรยี นชาย 4 คน และนักเรยี นหญิง 4 คน มายนื ถายรูปรวมกับครู โดยยนื เปนแถวยาว จะมวี ธิ กี ารยนื ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี เม่ือ 1) ครยู นื ตรงกลาง 2) ครูยนื ตรงกลาง และนักเรียนชายยนื ตดิ กัน และนักเรียนหญงิ ยืนติดกัน ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 23 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน 3) ครูยืนตรงกลางและอยตู ดิ กบั นักเรียนชายคนหนึ่งและนักเรยี นหญิงคนหน่ึง 4) ครูยนื รมิ สวนนักเรียนชายและนกั เรยี นหญิง ยนื สลบั กันทลี ะคน 15. มีครชู าย 2 คน ครหู ญงิ 2 คน นักเรียนชาย 2 คน และนกั เรยี นหญงิ 2 คน มายนื เรยี งแถวยาว จะมี วธิ ีการยืนทง้ั หมดก่วี ธิ ี เมื่อ ครูชายยนื ติดกนั ครูหญงิ ยืนติดกัน แตครชู ายและครหู ญิงไมยืนตดิ กนั 16. ถาตองการสลบั ตวั อักษรในคำวา PERFACE จะสลับไดกว่ี ิธี เมอื่ ตองการใหอักษรทีซ่ ้ำกันอยตู ิดกัน 1) ไมมเี งอื่ นไขใดเพิ่มเติม 2) อักษรท่ีซ้ำกนั อยูริม 3) อักษรทซ่ี ้ำกนั ตองไมอยูรมิ 4) ข้ึนตนดวยพยัญชนะ 5) ขนึ้ ตนดวยสระ ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 24 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบือ้ งตน 17. มีหนังสอื ทแี่ ตกตางกัน 8 เลม ในจำนวนน้เี ปนหนังสอื คณิตศาสตร 3 เลม ถาตองการจัดหนังสือเปน แถวยาวแถวเดียว จะจัดไดก่ีวิธี เมอ่ื 1) ไมมเี งื่อนไขเพิม่ เติม 2) หนังสอื คณติ ศาสตรอยตู ิดกนั ท้ัง 3 เลม 3) หนังสอื คณติ ศาสตรอยูแยกกนั ทุกเลม 18. มสี ามภี รรยารวม 2 คู ตองการใหสามภี รรยาท้งั 2 คูน้ี น่ังบนมาน่ังที่วางเรียงเปนแถวยาว 8 ตวั อยากทราบวาจะมีวธิ กี ารนงั่ ท่ีแตกตางกนั ท้ังหมดกี่วิธี เมอ่ื ตองการให 1) คนทั้ง 4 คน จะนง่ั ตัวใดก็ได 2) คนทั้ง 4 คน ตองน่ังตดิ กนั 3) คนทง้ั 4 คน ตองนัง่ ติดกันและสามีภรรยาแตละคตู องนัง่ ติดกนั ดวย 19. สามีภรรยารวม 4 คู มารวมงานเลีย้ งงานหนึ่ง ถาใหผูชายจับคเู ตนรำกบั ผูหญิง จะมีวิธกี ารจบั คูก่ีวธิ ี เมื่อ 1) ไมมเี งือ่ นไขเพิม่ เติม 2) นายเอ และนางบี ซึ่งเปนสามี ภรรยากัน เตนรำดวยกนั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 25 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบอ้ื งตน 20. มหี องเรยี น 5 หอง ใหแตละหองสงตวั แทน 2 คน เปนชาย 1 คน และหญิง 1 คน แลวนำตวั แทนมาเลือก ประธาน 1 คน รองประธาน 1 คน เลขานกุ าร 1 คน เหรญั ญิก 1 คน และประชาสัมพันธ 1 คน จะมี วธิ กี ารเลือกใหครบ 5 ตำแหนงกี่วธิ เี มอ่ื 1) ไมมเี งือ่ นไขเพิ่มเติม 2) ประธานและรองประธานเปนคนละเพศ 3) ไดผหู ญงิ อยางนอย 1 คน 21. ถาตองการทาสลี ูกเตาทุกหนาๆ ละสไี มซ้ำกนั จะมวี ธิ ที าสที ้ังหมดก่ีวธิ ี เม่อื 1) มสี ีท่ีแตกตางกัน 6 สี 2) มสี ีแตกตางกนั 7 สี 22. มีนักเรียน 6 คน และครู 2 คน นงั่ เรียงแถวยาว จงหาจำนวนวิธเี รียงสับเปลี่ยน เมื่อ 1) มนี ักเรยี น 2 คน น่งั อยรู ะหวางครูทง้ั สอง 2) มนี กั เรียน 3 คน นัง่ อยูระหวางครทู ้งั สอง 23. มีสามีภรรยารวม 6 คู มาน่งั เรียงแถวยาวบนมานง่ั ตวั หน่งึ จงหาจำนวนวิธเี รยี งสบั เปลี่ยนเมื่อ ชายและหญงิ นั่งสลับกนั ทลี ะคน และสามภี รรยาแตละคูตองน่ังติดกนั ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 26 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบือ้ งตน กฎขอที่ 5 ถามสี ิง่ ของอยู n ส่ิง ท่ีไมแตกตางกนั ท้ังหมด กลาวคือ สิ่ง สง่ิ กลมุ ที่ 1 มีของซ้ำกัน n1 สงิ กลมุ ท่ี 2 มีของซำ้ กนั n2 กลุมที่ 3 มีของซ้ำกัน n3 กลมุ ที่ k มีของซำ้ กนั nk สิง่ จำนวนวิธเี รยี งสับเปลี่ยนเทากับ n! เมื่อ n = n1 + n2 + n3 + ... + nk n1! x n2! x n3! x ... x nk! ตวั อยางท่ี 12 นำอกั ษรจากคำทก่ี ำหนดใหตอไปน้ี มาจัดเรียงสบั เปลีย่ นเปนแนวตรงทัง้ หมด จะทำไดกี่วิธี 1. BANANA 2. กรรมการ วิธีทำ 1. จาก BANANA แยกอกั ษรเปน B , AAA , NN จะพบวา มีอกั ษร “A” ซ้ำกัน 3 ตวั มีอักษร N ซ้ำกนั 2 ตวั จำนวนวิธเี รียงสับเปลี่ยน = 6! วิธี 3!2! 2. จาก กรรมการ แยกอกั ษรเปน รรร , กก , ม จำนวนวธิ ีเรียงสับเปล่ยี น = 6! วิธี 3!2! ตัวอยางที่ 13 มีหนังสอื คณติ ศาสตรทเ่ี หมือนกนั 3 เลม หนงั สือเคมที เี่ หมือนกนั 3 เลม หนังสือฟสกิ สท่ี ตางกนั 3 เลม ตองการนำหนังสอื ทัง้ หมดไปเรยี งกัน โดยใหหนังสือฟสิกสอยูติดกนั เสมอและ หนงั สือเคมีอยตู ดิ กนั เสมอดวย จะมวี ธิ ีจดั ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี วธิ ีทำ ฟสิกส1 ฟสิกส 2 ฟสกิ ส 3 คณติ เคมี เคมี เคมี คณิต คณิต ขัน้ ตอนที่ 1 หนังสอื ท่ีอยตู ดิ กันนับเปนหน่ึงกลุม เรียงสบั เปลี่ยนกลมุ ทั้งหมดได 5! = 20 วิธี 3! ขั้นตอนท่ี 2 หนงั สอื ที่อยตู ิดกันในกลุมเดียวกนั จะสามารถเรียงสบั เปลยี่ นได 3! = 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวธิ ีในการจดั เรียงหนงั สอื ทั้งหมดโดยใหหนังสือฟสิกสอยูตดิ กนั เสมอและหนังสอื เคมี อยูติดกันเสมอดวย คือ 20 x 6 = 120 วิธี ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 27 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบ้อื งตน ตวั อยางที่ 14 มีหนังสอื คณิตศาสตรเหมอื นกัน 6 เลม และเปนหนงั สอื ภาษาอังกฤษเหมอื นกนั 4 เลม จงหา จำนวนวิธที ่จี ะจัดหนังสอื ทั้ง 10 เลม วางบนชน้ั หนงั สอื โดยใหหนังสอื ทีอ่ ยหู วั แถวและ ทายแถวเหมอื นกัน วธิ ที ำ กรณที ี่ 1 ใหหนังสือคณติ ศาสตร อยูหวั แถวและทายแถวจะจัดได 1 วิธี สวนตรงกลางจดั เรียงหนงั สือท่ีเหลือจำนวน 8 เลม จะจดั ได 8! = 70 วิธี 4!4! กรณีท่ี 2 ใหหนังสือภาษาองั กฤษ อยูหวั แถวและทายแถวจะจัดได 1 วิธี สวนตรงกลางเปนการจดั เรียงหนงั สอื ที่เหลือ 8 เลม จะจัดได 8! = 28 วธิ ี 6!2! ดังนน้ั จำนวนวธิ ีทง้ั หมดทจี่ ะจดั เรยี งหนังสือ 10 เลมโดยใหหนงั สอื ทอ่ี ยหู วั แถวและทายแถว เหมือนกนั คอื 70 + 28 = 98 วิธี ตวั อยางที่ 15 มีลกู บอลสีแดงเหมอื นกนั 3 ลูก สีขาวเหมือนกนั 2 ลกู และสนี ้ำเงนิ เหมือนกนั 4 ลกู ถาตองการนำลูกบอลท้งั หมดมาวางเรียงเปนแถวยาว จะมีวธิ ีจัดเรียงกว่ี ิธเี ม่ือลูกบอลทม่ี ีสี เดียวกนั อยูติดกนั วธิ ีทำ ขน้ั ตอนที่ 1 ลูกบอลทสี่ ีเหมือนกนั มัดรวมกันไดสามมดั สับเปลย่ี นได 3! = 6 วธิ ี ขัน้ ตอนท่ี 2 ลกู บอลสแี ดงในมัดเดยี วกัน สับเปลีย่ นได 3! = 1 วิธี 3! 2! ข้ันตอนท่ี 3 ลกู บอลสีขาวในมัดเดยี วกัน สับเปลีย่ นได 2! = 1 วิธี ข้ันตอนที่ 4 ลูกบอลสนี ้ำเงนิ ในมัดเดยี วกัน สบั เปลีย่ นได 4! = 1 วธิ ี 4! ดงั นั้น จำนวนวิธีทงั้ หมดในการจัดเรยี งลูกบอลท่ีมีสีเดียวกนั อยตู ดิ กนั คือ 6 x 1 x 1 x 1 = 6 วิธี ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 28 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบือ้ งตน แบบฝกหดั ท่ี 5 เรอื่ ง วธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นเชิงเสนสิง่ ของที่ไมแตกตางกนั ท้งั หมด 1. มีหนงั สือคณติ ศาสตร 3 เลม หนงั สือภาอังกฤษ 2 เลม และหนังสอื ภาษาไทย 4 เลม ถาถือวาหนังสอื วิชา เดียวกันไมแตกตางกนั แลวจะจัดเรียงหนงั สือท้ังหมดบนช้ันวางหนงั สอื ไดก่ีวิธี 2. มหี ลอดไฟสขี าว 4 หลอด สแี ดง 5 หลอด และสีนำ้ เงิน 6 หลอด ตองการนำหลอดไฟทัง้ หมดไปประดบั ร้วั ในแนวเสนตรงจะประดบั ไดก่ีวิธที ีแ่ ตกตางกัน เมอื่ หลอดไฟสเี ดียวกันไมแตกตางกัน 3. จำนวนวธิ ีจัดเรยี งตัวอกั ษรในคำวา “ENTRANCE” ซ่งึ ตวั อักษร E ไมอยูตดิ กันเทากับเทาใด 4. ถาตองการสลบั ตวั อักษรในคำวา COOPERATOR จะสลับไดท้ังหมดก่วี ธิ ี เมื่อ 1) ไมมีเงื่อนไขเพมิ่ เตมิ 2) อกั ษร O อยูตดิ กนั ทง้ั 3 ตัว 3) ขนึ้ ตนดวยตัวอักษร R ทั้ง 2 ตวั ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 29 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน 5. มีหนงั สอื 4 วิชาทีแ่ ตกตางกนั แตละวิชามี 3 เลมที่เหมือนกัน ถาตองการจดั หนังสอื ท้งั หมดบนช้นั หนังสือ จะจัดไดท้ังหมดกี่วิธี เมือ่ 1) ไมมเี งอื่ นไขเพิ่มเติม 2) หนังสือวิชาเดียวกนั อยูดวยกนั 3) หนงั สือที่อยรู ิมทงั้ สองดานเปนวชิ าเดียวกนั 6. มหี นังสือภาษาไทยที่เหมือนกัน 3 เลม หนังสอื ภาษาอังกฤษทแี่ ตกตางกัน 2 เลม และหนังสอื ฝรงั่ เศสที่ เหมอื นกัน 5 เลม ถาตองการจดั หนงั สือทั้งหมดบนช้นั หนังสือเดียวกัน จะมีวธิ กี ารจดั ก่ีวิธี เมอ่ื 1) หนงั สือเลมใดอยูทใ่ี ดก็ได 2) หนงั สือวิชาเดยี วกนั ตองอยูตดิ กนั 3) หนังสือภาษาไทยอยูติดกนั ท้ัง 3 เลม แตหนังสือภาษาอังกฤษอยูแยกกนั 7. ชายผูหนึง่ มธี นบตั รใบละ 500 บาท จำนวน 4 ใบ ธนบัตรใบละ 100 บาท จำนวน 3 ใบ ธนบตั รใบละ 20 บาท จำนวน 2 ใบ และธนบตั รใบละ 10 บาท จำนวน 1 ใบ ถาชายผนู ้ตี องการจดั ธนบตั รท้ังหมดใน ซองธนบัตร จงหาจำนวนวธิ ีการจดั เรียงของธนบตั รทงั้ หมด เมื่อ 1) ไมมเี ง่อื นไขเพิ่มเติม 2) ธนบัตรทมี่ คี าเทากันอยูตดิ กนั 3) ธนบัตรทอี่ ยรู มิ ท้งั สองดาน เปนธนบัตรชนดิ เดียวกนั ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 30 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลกั การนบั เบอื้ งตน 8. ตองการสรางจำนวนท่มี ากกวาหน่ึงลาน โดยการนำเลขโดด 0, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 มาจัดเรยี งจะสราง จำนวนทงั้ หมดดงั กลาวไดกจ่ี ำนวน 9. มลี กู บอล 6 ลูก เปนสีแดง 1 ลกู สขี าว 1 ลูก สีเหลอื ง 1 ลูก และสดี ำ 3 ลกู ลกู บอลทุกลูกมขี นาดเทากัน เลือกลกู บอล 4 ลกู มาจดั เรียงเปนแถวตรงไดทงั้ หมดกีว่ ธิ ี 10. ถาตองการสรางเลข 6 หลัก โดยการนำตวั เลข 6 ตัว คอื 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 มาจดั เรียง จะสราง เลข 6 หลัก ดังกลาวไดทั้งหมดก่ีจำนวน เมือ่ ตองการให 1) จำนวนท่ีสรางมีคาระหวาง 100,000 และ 200,000 2) จำนวนท่ีสรางมคี ามากกวา 200,000 3) จำนวนทส่ี รางมคี ามากกวา 100,000 และเปนจำนวนคู 11. ชายคนหนงึ่ มธี งสำหรบั สงสญั ญาณ 7 ผืน เปนธงสีแดง 2 ผืน สขี าว 2 ผืน และสนี ำ้ เงนิ 3 ผนื ในการ สงสญั ญาณแตละสัญญาณจะตองใชธงทัง้ 7 ผืน โดยแขวนในแนวด่ิง และสญั ญาณขอความชวยเหลือ จะตองใชธงสีนำ้ เงนิ เปนผนื ทีอ่ ยบู นสดุ อยากทราบวา ชายผูนจี้ ะสงสญั ญาณไดกวี่ ธิ ี เม่ือ 1) สญั ญาณน้ันเปนสญั ญาณขอความชวยเหลือ 2) สญั ญาณนั้นไมใชสัญญาณขอความชวยเหลือ 3) สัญญาณนั้นมีธงสนี ำ้ เงินติดกนั อยางนอย 2 ผืน ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 31 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนับเบ้ืองตน 12. ถาตองการสลบั อักษรในคำวา engineering จะสลับไดทั้งหมดกีว่ ธิ ี เม่อื ตองการให 1) สระที่ซำ้ กนั อยูติดกัน 2) อักษร n อยตู ิดกนั ทัง้ 3 ตัว แตอกั ษร e อยตู ดิ กนั เพยี ง 2 ตัว 3) อกั ษรท่ีอยูริมท้ัง 2 ดาน เปนอักษรตัวเดียวกัน 13. จากรปู ตองการลากเสนจากจุด A ไปยงั จุด C โดยจะลากตามรอยเสนในตารางในทางทศิ เหนอื หรือทิศตะวันออก เทานัน้ อยากทราบวาลากเสนดังกลาวไดท้งั หมดกว่ี ธิ ี เม่อื ตองการให DFC GE A HB 2) ผานจุด H หรอื F อยางนอย 1 จดุ 1) ไมมเี งื่อนไขเพิ่มเติม 3) ผานจุด G แตไมผานจุด E ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 32 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนบั เบ้ืองตน 14. กำหนดแผนผงั เมืองหนึง่ ดงั รูป .P . A . O เสนทางในแผนผังแทนถนน ตองการเดินทางออกจากจุด O ไปยังจุด P โดยมีเงื่อนไขวาจะตอง เดินทางไปทางทิศเหนือหรือทิศตะวันออกเทานั้น จงหาจำนวนเสนทางเดินทั้งหมดจากจดุ O ไปยังจดุ P โดยท่ี 1) ไมมีเงื่อนไขเพม่ิ เตมิ 2) เสนทางตองผานจุด A 3) เสนทางตองไมผานจุด A 15. ชายคนหนึ่งยืนอยู ณ จุดจุดหนึง่ ถาตองการใหชายผูนีก้ าวเดนิ ไปขางหนา หรือกาวถอยหลังรวมแลว 11 กาว โดยกาวแตละกาวที่เดิน กาวยาวเทาๆ กนั ทุกคร้งั จงหาจำนวนวิธีการเดินของชายผนู ้ี เมอื่ หลงั จากที่เดินครบ 11 กาว แลวเขาจะไปอยู ณ ตำแหนงใหม ซ่ึง 1) อยูขางหนาหางจากจุดเดิม 5 กาว 2) อยูขางหลงั หางจากจุดเดิม 7 กาว ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 33 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนบั เบอื้ งตน วิธเี รียงสับเปล่ยี นเชงิ วงกลม พจิ ารณาการจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัว คอื A, B และ C เปนแถวตรงจะมีวธิ จี ดั เรยี งได 3! = 6 วธิ ี คอื ABC BCA CAB ACB BAC CAB วธิ กี ารจดั เรยี งตัวอักษร ABC, BCA และ CAB เปนการจัดเรียงแถวตรงทแี่ ตกตางกนั แตถานำ แตละวิธีมาจดั เปนวงกลม จะได จะเห็นวา การจัดเรียงทั้งสามแบบ ถอื วาเปนการจัดเรียงเปนวงกลมเพยี ง 1 วธิ ี เทานน้ั ในทำนอง เดียวกนั วิธกี ารจัดเรียงตวั อกั ษร ACB, BAC, และ CBA เปนการจัดเรยี งเปนวงกลมเพยี ง 1 วธิ ี คอื ดงั น้นั การจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัว เปนวงกลม จะจัดได 2 วิธี คอื แนวคิดในการหาจำนวนวธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงวงกลม (Circular Permutation) ของส่ิงของท่ี แตกตางกัน n ส่ิง อาจจะเริม่ โดยใหสิ่งของสง่ิ หนง่ึ อยูคงท่ี ณ ตำแหนงใดตำแหนงหน่งึ แลวจดั เรยี งสับเปลี่ยน สิง่ ของท่ีเหลืออยู n - 1 สิง่ จะไดจำนวนวธิ ีเรียงสับเปล่ยี นเชิงวงกลมทั้งหมดเทากบั (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 34 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบอื้ งตน กฎขอที่ 6 จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปล่ียนเชิงวงกลมสง่ิ ของทัง้ หมดทแ่ี ตกตางกนั n ส่ิง ชนิด 2 มิติ คอื (n - 1)! วธิ ี ตวั อยางที่ 16 จดั นักเรยี น 10 คน ใหน่งั รอบโตะกลม ซ่งึ มี 10 ท่ีนั่งไดทัง้ หมดกีว่ ธิ ี (10 - 1)! วธิ ี วธิ ที ำ จำนวนวธิ ที ี่จะจัดนกั เรียน 10 คน นั่งรอบโตะกลมซึ่งมี 10 ทน่ี ัง่ = 9! 362,880 = = ตัวอยางที่ 17 มีนกั เรียนชาย 6 คน และนักเรยี นหญงิ 6 คน ตองการจัดนักเรยี นทง้ั หมดใหน่งั รอบโตะกลม ซ่งึ มี 12 ทนี่ ่ัง โดยทีน่ ักเรยี นชายกบั นักเรียนหญิงตองนั่งสลับกันจะมวี ธิ จี ัดทั้งหมดกี่วธิ ี วธิ ีทำ ช ชช ชช ช ขน้ั ตอนท่ี 1 จดั ใหนักเรยี นชาย 6 คน นง่ั รอบโตะกลม ทำได 5! วิธี ขั้นตอนท่ี 2 จัดนกั เรียนหญงิ 6 คน นั่งแทรกระหวางผูชาย ทำได 6! วธิ ี ดงั น้ัน จำนวนวิธีจัดใหนักเรียนชายและหญงิ นัง่ สลับกันเทากับ 5! × 6! = 86,400 วิธี ตวั อยางที่ 18 มชี าย 5 คน และหญงิ 4 คน ตองการจดั คนทงั้ 9 คน ยืนเปนวงกลมโดยไมมหี ญงิ สองคนใด ยืนติดกัน จะมวี ธิ กี ารจัดทั้งหมดก่ีวิธี วิธีทำ ชช ชช ช ขน้ั ตอนท่ี 1 จดั ใหชาย 5 คน ยนื เปนวงกลม ทำได 4! วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 จดั หญิงยืนแทรกระหวางผชู าย ทำได 5! วธิ ี ดังนั้น วิธจี ดั คน 9 คน ยนื เปนวงกลมโดยท่ไี มมีผูหญงิ สองคนใดยืนตดิ กนั เทากบั 4! × 5! = 2,880 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 35 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนบั เบือ้ งตน กฎขอที่ 7 จำนวนการเรยี งสงิ่ ของ n สง่ิ ทแี่ ตกตางกันท้ังหมดเปนวงกลมชนดิ 2 มติ ิท่ลี ะ r สงิ่ เทากบั Pn,r วิธี r ตัวอยางท่ี 19 บอปลาแหงหน่ึงเปนวงกลม อนุญาตใหเขาตกปลาไดทีละ 4 คน โดยใหน่ังอยรู อบบอถา ครอบครัวหนง่ึ มากัน 6 คน จะจดั คนในครอบครัวน้ี นงั่ รอบบอตกปลาไดกี่วิธี วธิ ีทำ จากสูตร Pn,r = n! r (n - r)! r จากโจทย n = 6 และ r = 4 ดังนั้น P6,4 = 6! 4 (2!)(4) = 720 8 = 90 นนั่ คอื จำนวนวิธจี ดั คนในครอบครวั นี้ นง่ั รอบบอตกปลาไดทง้ั หมด 90 วิธี กฎขอที่ 8 ถามสี ิง่ ของแตกตางกนั n สิ่ง จะไดจำนวนวิธเี รยี งสับเปล่ียนแบบวงกลมชนิด 3 มิติ ของส่ิงของ ทัง้ หมดเทากับ (n - 1)! วิธี 2 ตวั อยางท่ี 20 ในการรอยพวงมาลัยวงกลมดวยดอกไม 9 ดอกท่แี ตกตางกัน เปนสขี าว 2 ดอก สแี ดง 3 ดอก และสอี ่ืนๆ จะไดพวงมาลยั ที่แตกตางกนั ทั้งหมดกี่พวง เมือ่ สีขาวอยตู ิดกันและสีแดงอยูติดกัน วิธที ำ ข้ันที่ 1 มัดดอกไมสีขาวเปน 1 มดั และดอกไมสีแดงอกี 1 มัด ดั้งนัน้ ดอกไม 9 ดอก จึงคิดเสมอื นดอกไมเพียง 6 ดอก รอยดอกไม 6 ดอกเปนพวงมาลยั ได เทากบั (6 - 1)! = 5! = 60 วธิ ี 2 2 ข้ันท่ี 2 ดอกไมสขี าว 2 ดอกในมัดสลับที่กันได 2! เทากบั 2 วิธี ขั้นที่ 3 ดอกไมสีแดง 3 ดอกในมดั สลับทก่ี ันได 3! เทากับ 6 วธิ ี ดง้ั น้ัน จะไดพวงมาลัยที่แตกตางกันท้งั หมดกี่พวง เมื่อสขี าวอยูตดิ กนั และสีแดงอยูตดิ กนั เทากับ 60 x 2 x 6 = 720 วธิ ี ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 36 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบอ้ื งตน กฎขอท่ี 9 ถามสี ่งิ ของแตกตางกนั n ส่งิ จะนำมาเรียงสบั เปลี่ยนแบบวงกลมชนิด 3 มิติ เพยี งคราวละ r สิ่ง จะไดจำนวนวธิ จี ัดท้งั หมดเทากับ Pn,r 2r ตัวอยางท่ี 21 มลี กู ปดสีแตกตางกันท้งั หมด 10 ลูก นำมารอยเปนสรอยขอมือท่ีประกอบดวยลกู ปด 6 ลูก สีแตกตางกนั จะรอยเปนสรอยขอมือไดแตกตางกนั ทัง้ หมดก่เี สน วิธีทำ มลี กู ปดแตกตางกนั 10 ลูก แตนำมารอยเปนสรอยขอมือเพียงคราวละ 6 ลกู ดงั นั้น จะไดสรอยขอมือทีแ่ ตกตางกันท้งั หมดเทากบั P10,6 = 10! = 12,600 เสน 2(6) 2(6)(4!) กฎขอที่ 10 ถาของ n สง่ิ แบงเปน k กลุม โดยทกี่ ลุมที่ 1 มีของเหมือนกัน n1 สงิ่ กลมุ ที่ 2 มขี องเหมือนกนั n2 ส่ิง กลมุ ท่ี k มขี องเหมือนกนั nk สิง่ และ n = n1 + n2 + n3 + ... + nk โดยที่ ห.ร.ม (n1, n2, ... ,nk) = 1 แลว จะไดจำนวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ยี นเชงิ วงกลมของ n สงิ่ เทากับ (n-1)! วิธี n1! n2! ... nk! ตัวอยางที่ 22 มีลกู บอกสแี ดงเหมอื นกนั 2 ลกู สีเขียวเหมอื นกนั 3 ลูก สีขาวเหมอื นกัน 4 ลกู จะมีวธิ เี รยี ง สบั เปล่ียนเชิงวงกลมของลูกบอลท้ังหมดกวี่ ิธี วธิ ที ำ มีลกู บอลท้ังหมด 9 ลกู แตเปนสแี ดงเหมือนกัน 2 ลูก สเี ขยี วเหมือนกัน 3 ลกู และสขี าว เหมือนกัน 4 ลูก เนือ่ งจาก ห.ร.ม. ของ 2, 3 และ 4 เทากบั 1 ดังนัน้ จะมวี ธิ จี ัดเรยี งลกู บอลทั้งหมดแบบวงกลมได (9 - 1)! = 140 วิธี 2!3!4! ตวั อยางท่ี 23 มหี นงั สือคณติ ศาสตร 1 เลม เคมเี หมือนกัน 2 เลม ฟสิกสเหมอื นกัน 2 เลม และชวี วทิ ยา เหมอื นกัน 3 เลม จะนำหนงั สือทัง้ หมดมาเรียงเปนวงกลมไดกี่วธิ ี เมอื่ วชิ าชีววิทยาอยูติดกัน ทัง้ 3 เลม วิธที ำ มัดวชิ าชวี วทิ ยาไวเปน 1 มดั จงึ เหมือนมีหนังสอื ท้ังหมด 6 เลม ซ่ึงใน 6 เลมน้ี มีฟสกิ สเหมือนกัน 2 เลม เคมีเหมือนกัน 2 เลม คณติ ศาสตร 1 เลม และชวี วิทยา 1 มดั เนอ่ื งจาก ห.ร.ม. ของ 2, 2, 1 และ 1 เทากับ 1 ดังนน้ั จะนำหนงั สือทง้ั หมดมาเรยี งเปนวงกลมได (6 - 1)! = 30 วธิ ี 2!2! ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 37 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน แบบฝกหดั ที่ 6 เรื่อง วิธเี รยี งสับเปลยี่ นเชิงวงกลม 1. นกั เรยี นชาย 3 คน และนักเรียนหญิง 3 คน น่งั รอบโตะกลมซ่งึ มี 6 ทนี่ งั่ โดยท่นี ักเรียนชายนง่ั ติดกนั หมด และนกั เรยี นหญิงนัง่ ตดิ กนั หมด จะมวี ธิ ีนง่ั ท้งั หมดกีว่ ิธี 2. พอแมและลูกอีก 4 คน ไปรับประทานอาหารท่รี านอาหารแหงหนง่ึ ถาโตะอาหารเปนโตะกลม ซ่งึ มี 6 ทน่ี ่ัง แลวสมาชิกครอบครัวจะนัง่ ไดท้ังหมดกว่ี ธิ ี เมื่อ 1) ไมมเี งอื่ นไขเพิ่มเตมิ 2) พอและแมตองนง่ั ติดกนั 3) พอและแมตองนง่ั ตรงกันขามกนั 4) พอและแมตองนงั่ ไมติดกัน 3. ถาตองการจัดใหเด็กชาย 4 คน และเดก็ หญงิ 3 คน นงั่ เปนวงกลม โดยไมใหเด็กหญิงนง่ั ติดกนั จะจัดได ท้งั หมดกี่วธิ ี 4. มธี งของชาติตางๆ 5 ผนื ชาตลิ ะ 1 ผืน และธงชาติไทยขนาดไมเทากนั 2 ผืน นำมาจดั ประดบั รอบวงเวียน โดยไมใหธงไทยอยูตดิ กนั จะมีวิธีจดั ทงั้ หมดก่วี ิธี ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 38 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) หลักการนับเบอ้ื งตน 5. จดั คน 6 คน นงั่ ประชมุ รอบโตะกลมไดก่วี ิธี 6. จดั ผชู าย 6 คน ผหู ญิง 6 คน น่ังรอบโตะกลม ไดดกวี่ ธิ ี เมอื่ 1) ชายและหญิงนั่งสลับกนั ท่ีละ 1 คน 2) ชายและหญิงน่งั สลบั กันที่ละ 2 คน 7. ครอบครัวหนง่ึ มีลูก 4 คน 2 คนเปนคูแฝด จะมวี ธิ กี ารน่ังรับประทานอาหารรอบโตะกลมไดกี่วธิ ี ถา 1) พอนั่งติดกบั แมเสมอ 2) ลูกคูแฝดนั่งแยกจากกนั 3) ลูกแฝดทง้ั สองน่งั ติดกันและอยูระหวางพอกบั แม 8. มีลกู ปดสีตางกนั 10 ลกู จะมีวิธกี ารนำมารอยสรอยขอมอื ไดกว่ี ธิ ี 9. ในการประชุมรอบโตะกลม ผูรวมประชมุ มีพระ 2 รูป ฆราวาสชาย 2 คน หญงิ 3 คน จะจดั ที่น่ังรอบ โตะกลมไดก่วี ิธี ถาผหู ญิงจะตองไมนง่ั ตดิ กบั พระ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 39 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบ้ืองตน 10. มลี กู แกว 7 ลูก ซง่ึ มสี ีตางกนั ทงั้ หมด โดยมสี ีแดง สีขาว สีน้ำเงนิ และสอี น่ื ๆ จำนวนวิธีที่จะวางเรยี งลูกแกว เปนวงกลม โดยใหสีน้ำเงินอยตู ดิ กับสีขาวและติดกบั สแี ดงไดกี่วิธี 11. จากคำวา “THAT” นำมาเรยี งเปนวงกลมไดกี่วธิ ี 12. ตวั อกั ษรที่เปนสระในภาษาอังกฤษ อยางละ 1 ตัว มีวิธเี รยี งสบั เปลย่ี นแบบวงกลมก่ีวธิ ี เม่ือ 1) เปนวงกลมแบบพลกิ ไมได 2) เปนแบบพลกิ ได 13. ในการประชุมตวั แทนประเทศ ซึ่งประกอบดวย ไทย มาเลเซยี สิงคโปร อนิ โดนเิ ชยี และฟลปิ ปนส แตละ ประเทศสงตัวแทนเขาประชุมประเทศละ 2 คน และในการประชุมใหจดั ท่ีน่งั เปนวงกลมจะมวี ธิ ีการนงั่ ของ ผูแทนชาตติ างๆ กี่วิธี เมือ่ ตวั แทนชาติเดยี วกันนัง่ ติดกนั 14. มีคน 7 คน ในจำนวนนี้มีสมศักด์ิ สมคิด และสมชาย อยดู วยถาใหคนท้ังหมดนง่ั บนมานั่ง 7 ตัว จะมีวธิ กี าร นง่ั กีว่ ิธี เมือ่ ไมตองการใหสมศกั ดิห์ รอื สมคิด นงั่ ตดิ กับสมชาย โดยเรยี งเปนวงกลม ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 40 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบอ้ื งตน 15. มคี รอบครัว 4 ครอบครวั แตละครอบครวั ประกอบดวย พอ แม และลกู 2 คน ถาใหคนทัง้ หมดมานงั่ รอบโตะกลมตัวหนง่ึ จะมีวธิ ีการนงั่ ก่วี ธิ ี เมือ่ 1) ครอบครัวเดียวกันน่ังตดิ กัน 2) ครอบครวั เดยี วกนั น่งั ติดกันและพอแมน่ัง ตดิ กนั 16. มีเด็ก 8 คน ในจำนวนนี้มีเด็กชาย 3 คน ถาครนู ำเด็กท้ังหมดมานงั่ ลอมรอบเปนวงกลม จะมวี ธิ กี ารน่ัง ทั้งหมดก่วี ธิ ีเมื่อ 1) เด็กชายทงั้ สามนงั่ ตดิ กัน 2) เด็กชายทง้ั สามนั่งแยกกัน 3) เดก็ หญิงน่งั ตดิ กนั ทกุ คน 17. มีสามภี รรยา 4 คู มานั่งรับประทานอาหารรวมกนั โดยนัง่ ลอมรอบโตะกลมตวั หนง่ึ จงหาจำนวนวิธีการนงั่ ของคนท้งั หมด เมื่อ 1) ไมมีเง่ือนไขเพิ่มเติม 2) สามภี รรยาแตละคูน่งั ตดิ กัน 3) ชายและหญงิ น่ังสลับกันทีละ 1 คน 4) ชายและหญงิ นั่งสลบั กันทีละ 2 คน 5) มีสามีภรรยาอยางนอย 1 คนู ง่ั แยกกัน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 41 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบอื้ งตน 18. จงหาจำนวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียนของตวั อักษร A , A , B , B , B แบบวงกลม เม่ือ 1) ไมมเี งอ่ื นไขเพมิ่ เติม 2) อักษร A อยูติดกัน 3) อกั ษร A ไมอยูตดิ กัน 19. จงหาจำนวนวธิ เี รียงสบั เปล่ียนของตวั อักษร A , B , B , B , C แบบวงกลม เมื่อ 1) ไมมเี งอ่ื นไขเพมิ่ เติม 2) อกั ษร A และ C อยูติดกนั 3) อักษร A และ C ไมอยูติดกัน 4) อักษร B อยูตดิ กนั ทัง้ สามตัว 20. จงหาจำนวนวธิ เี รียงสบั เปล่ียนของตัวอักษร A , A , B , B , B , C , C แบบวงกลม เมื่อ 1) ไมมเี งื่อนไขเพม่ิ เติม 2) อกั ษร A อยตู ิดกนั 3) อกั ษร C อยแู ยกกนั 4) อักษร B อยูติดกันทั้งสามตัว ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 42 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) หลกั การนบั เบอ้ื งตน 21. ถานำลูกบิลเลียดซง่ึ มลี กั ษณะและขนาดเหมือนกัน สแี ดง 2 ลูก สีขาว 4 ลูก และสดี ำ 3 ลูก มาวางเรยี ง เปนวงกลม จงหาจำนวนวธิ กี ารวางเรียง 1) ไมมีเงือ่ นไขเพ่มิ เติม 2) สีดำอยตู ิดกันท้งั สามลกู แตสีแดงอยแู ยกกนั 22. มีหนงั สือคณติ ศาสตรท่เี หมือนกนั 4 เลม หนังสือฟสิกสที่ตางกัน 3 เลม และหนงั สือเคมีท่ีตางกนั 2 เลม ตองการจดั หนงั สือท้ังหมดเปนวงกลมจะมีวิธีการจัดก่วี ิธเี มื่อหนังสือชนิดเดียวกนั อยตู ดิ กัน 23. มลี ูกปดสีแตกตางกนั จำนวน 8 ลกู ในจำนวนน้มี ีสแี ดงและขาวอยูดวย ถานำลูกปดเหลานีท้ ั้งหมดมารอย เปนกำไลขอมือ จะไดกำไรท่ีแตกตางกนั ทง้ั หมดกวี่ ง 1) สีแดงอยูติดกับสขี าว 2) สแี ดงไมอยูติดกับสขี าว 3) สีแดงอยูตรงขามกับสขี าว 24. จงหาจำนวนวธิ ที ่ีจะนำชาย 5 คน มายนื ลอมเปนวงกลม 1) คราวละ 3 คน 2) คราวละ 4 คน 25) จะรอยกุญแจ 7 ดอก ในพวกกุญแจไดก่วี ธิ ี ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 43 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน วธิ ีการจัดหมู (Combination) บทนิยาม วธิ ีจดั หมู หมายถงึ การจดั ของ r สิ่ง ท่ีเลอื กมาจากของ n ส่งิ โดยมถือลำดบั หรือตำแหนงเปนสำคญั วิธจี ดั หมขู องสิ่งของครัง้ ละ r ส่งิ จากสิง่ ของแตกตางกนั n ส่ิง ถามอี ักษรท่ีแตกตางกัน 4 ตวั คือ A, B, C, D จะไดจำนวนวิธีการจัดหมขู องตวั อักษรคร้งั ละ 3 ตัว ดงั ตอไปน้ี คือ ABC, ABD, ACD และ BCD เทากบั 4 วธิ เี ทานน้ั ซงึ่ ถาเปนวธิ ีเรียงสับเปล่ียนจะพบวาแตละหมูมวี ีเรยี งสบั เปลย่ี นไดอีก 3! วธิ ี ดังน้ัน จำนวน วธิ เี รยี งสบั เปล่ยี นตัวอักษร 3 ตวั จาก 4 ตวั เทากบั 4 x 3! วธิ ี แตจากทเ่ี รยี นมาแลว เราทราบวาจำนวนวธิ เี รียง สับเปลย่ี นของสิ่งของ 3 ส่งิ จาก 4 สิง่ เทากับ P4,3 ดงั นัน้ 4 x 3! = P4,3 4 = P4,3 3! น่ันคือ จำนวนวธิ ีจดั หมสู ่ิงของ 3 สิ่งจาก 4 สงิ่ เทากบั Pn,r = n! r! r!(n - r)! เขียนแทนจำนวนวิธีจดั หมูสง่ิ ของ r สิ่งจากส่ิงของทแี่ ตกตางกัน n ส่งิ ดวยสญั ลกั ษณ nCr หรอื n Cr n หรอื Cn,r หรือ r กฎขอท่ี 11 วธิ กี ารจดั หมขู องสงิ่ ของครั้งละ r สงิ่ จากส่ิงของทแี่ ตกตางกัน n ส่ิง จำนวนวิธจี ดั หมูของส่งิ ของแตกตางกนั n สิ่ง โดยตองการจัดหมูครั้งละ r สง่ิ ( 0 ≤ r ≤ n) จะเขียนแทนดวยสญั ลักษณ Cn,r หรือ n โดยท่ี Cn,r = n = n! r r r!(n - r)! ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 44 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน 6666666 ตวั อยางท่ี 24 จงหาคาของ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 วิธีทำ 6 = 6! = 6! = 1 0 0!(6 - 0)! 0!6! 6 = 6! = 6! = 6 1 1!(6 - 1)! 1!6! 6 = 6! = 6! = 15 2 2!(6 - 2)! 2!6! 6 = 6! = 6! = 20 3 3!(6 - 3)! 3!6! 6 = 6! = 6! = 15 4 4!(6 - 4)! 4!6! 6 = 6! = 6! = 6 5 5!(6 - 5)! 5!6! 6 = 6! = 6! = 1 6 6!(6 - 6)! 6!0! 6 66 66 6 ขอสงั เกต 1) 0 = 6 , 1 = 5 , 2 = 4 2) 6666666 = 64 = 26 0+1+2+3+4+5+6 nn ในกรณที ว่ั ไป 1) r = n - r 2) n + n + n + n + ... + n = 2n 0 1 2 3 n ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 45 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบอื้ งตน ตัวอยางท่ี 25 มคี ณะกรรมการท่เี ปนชาย 4 คน และหญงิ 3 คน ตองการเลอื กคณะทำงาน 3 คน จาก คณะกรรมการชุดนี้ โดยตองการชาย 1 คน หญงิ 2 คน จะมวี ธิ ีเลือกคณะทำงานไดกี่วธิ ี วิธที ำ ข้นั ตอนที่ 1 จำนวนวธิ ีทีจ่ ะเลอื กชาย 1 คน จากชาย 4 คนได 4 = 4! = 4 วิธี 1 3!1! ขนั้ ตอนที่ 2 จำนวนวิธีทจ่ี ะเลอื กหญงิ 1 คน จากหญิง 3 คนได 3 = 3! = 3 วิธี 2 1!2! ดังน้นั จำนวนวธิ ีเลือกกคณะกรรมการเปนชาย 1 คน หญิง 2 คน ท้ังหมดเทากับ 4 x 3 = 12 วิธี กฎขอท่ี 12 ถามีจดุ แตกตางกันบนระนาบ n จุด โดยที่ไมมีสามจุดใดอยูบนเสนตรงเดียวกัน จะไดวา 1) จำนวนเสนตรงทล่ี ากผาน 2 จดุ ใดๆ n =2 2) จำนวนของรปู 3 เหล่ียม n =3 3) จำนวนของรูป r เหล่ียม n =r ตัวอยางที่ 26 กำหนดจดุ 6 จุด บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนง่ึ จงหาจำนวนวธิ ที จ่ี ะสรางรปู หลายเหล่ยี ม บรรจุภายในวงกลมโดยท่ีจดุ เหลานี้เปนจดุ ยอดมุม วิธีทำ กรณีที่ 1 สรางรูปหกเหลีย่ มได 6 = 6! = 1 รปู 6 0!6! กรณีที่ 2 สรางรูปหาเหล่ียมได 6 = 6! = 6 รปู 5 1!5! กรณที ี่ 3 สรางรปู ส่เี หลย่ี มได 6 = 6! = 15 รูป 4 2!4! กรณที ่ี 4 สรางรูปสามเหล่ยี มได 6 = 6! = 20 รูป 3 3!3! ดังนัน้ จำนวนวธิ ที ีจ่ ะสรางรปู หลายเหล่ียมบรรจุภายในวงกลมโดยท่ีจุดเหลาน้ีเปนจุดยอดมมุ ไดคอื 1 + 6 + 15 + 20 = 42 รปู ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 46 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) หลกั การนบั เบอ้ื งตน กฎขอที่ 13 เสนทแยงมุมของรูปเหลย่ี ม หมายถงึ สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดมมุ สองจุดของรูปเหลย่ี ม โดยทส่ี วนของเสนตรงน้ัน จะตองไมเปนดานของรูปเหลี่ยมน้นั n จำนวนเสนทแยงมุมของรูป n เหล่ียม = 2 - n เสน ตวั อยางที่ 27 จงหาจำนวนเสนทแยงมุมของรปู 20 เหลี่ยมดานเทา วธิ ที ำ เน่อื งจากรูป 20 เหลย่ี ม มีจดุ ยอดทง้ั หมด 20 จุด ดังนัน้ จะสรางเสนทแยงมมุ ไดทัง้ หมด 20 - 20 = 20! - 20 = 170 เสน 2 18!2! กฎขอที่ 13 ถามเี สนตรงขนานกนั 2 ชุด ชุดหน่ึงมี m เสน ชดุ ท่ีสองมี n เสน จำนวนรปู สเี่ หลย่ี มดานขนานที่ mn เกิดจากการตัดกันของเสนตรงทั้งสองชุดเทากบั 2 2 รูป ตวั อยางที่ 28 มเี สนตรงทขี่ นานกันสองชุด ชุดทหี่ นึ่งมี 6 เสน ชดุ ท่สี องมี 7 เสน ถาใหเสนตรงที่ขนานกนั ทง้ั สองชุดตัดกนั จะเกดิ สี่เหล่ียมดานขนานทงั้ หมดก่รี ปู วธิ ที ำ ขัน้ ตอนท่ี 1 เสนตรงท่ขี นานกันชุดที่ 1 เลือกมา 2 เสน จะเลอื กได 6 = 6! = 15 วิธี 2 4!2! ขัน้ ตอนที่ 2 เสนตรงที่ขนานกันชดุ ที่ 2 เลอื กมา 2 เสน จะเลือกได 7 = 7! = 21 วธิ ี 2 5!2! ดงั นั้น จำนวนรูปสี่เหล่ยี มดานขนานทั้งหมดคือ 15 x 21 = 315 รปู หมายเหตุ จากตัวอยางท่ี 19 หากตองการหาจำนวนรูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสจะหาไดจาก (5 x 6) + (4 x 5) + (3 x 4) + (2 x 3) + (1 x 2) = 70 รูป ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 47 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบอ้ื งตน ความรูเบือ้ งตนเกย่ี วกับสำรับ “ไพ” 1. ไพสำรับหนงึ่ มี 52 ใบ 2. ไพ 1 สำรบั มี 4 ชุด คอื ชุดโพดำ ชุดโพแดง ชุดขาวหลามตัด และชุดดอกจิก 3. ไพแตละชดุ มี 13 ใบ คือ A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K 4. ไพหนา J, Q, K มีอยางละ 4 ใบ รวม 12 ใบ 5. ไพ 1 สำรบั เปนสีแดง (โพแดงและขาวหลามตัด) และสดี ำ (โพดำและดอกจิก) อยางละ 26 ใบ 6. “ชดุ ” คือ ดอกของไพ “ชนดิ ” คือ แตมของไพ ตัวอยางที่ 29 หยบิ ไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรบั ไดกี่วิธี เมือ่ 1) ไมมีเงือนไขเพิ่มเติม 2) ไดไพคิง 4 ใบ 3) ไดไพโพดำ 2 ใบ โพแดง 3 ใบ 4) ไดไพชดุ เดียวกนั ท้งั 5 ใบ วิธที ำ 1) หยบิ ไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรับ ดงั นน้ั จำนวนวิธีหยบิ ไพหยบิ ไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรับเทากับ 52 = 52! = 2,598,960 วธิ ี 2 5!47! 2) หยิบไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรับ ไดไพคิง 4 ใบ 4 ขั้นตอนท่ี 1 หยิบไพไดไพคงิ 4 ใบ เทากบั 4 = 1 วธิ ี 48 ข้ันตอนท่ี 2 หยิบไพ 1 ใบ จากไพท่เี หลือ เทากับ 1 = 48 วิธี ด้ังน้ัน จำนวนวิธหี ยิบไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรบั ไดไพคิง 4 ใบ เทากบั 1 x 48 = 48 วธิ ี 3) หยิบไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรบั ไดไพโพดำ 2 ใบ โพแดง 3 ใบ ข้ันตอนท่ี 1 หยบิ ไพไดไพโพดำ 2 ใบ เทากบั 13 = 13! = 78 วิธี 2 2!11! ขนั้ ตอนท่ี 2 หยิบไพไดไพโพแดง 3 ใบ เทากับ 13 = 13! = 286 วิธี 3 3!10! ดังน้ัน จำนวนวิธหี ยิบไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรบั ไดไพโพดำ 2 ใบ โพแดง 3 ใบ เทากับ 78 x 286 = 22,308 วธิ ี ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 48 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน 4) หยบิ ไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรับ ไดไพชดุ เดียวกนั ทงั้ 5 ใบ 4 ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กชนิดของดอก 1 ดอก จากทงั้ หมด 4 ดอก เลอื กได 1 = 4 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กไพ 5 ใบ จากไพ 13 ใบ เลอื กได 13 = 13! = 1,287 วิธี 3 5!8! ดงั นนั้ จำนวนวธิ ีหยิบไพ 5 ใบ จากไพ 1 สำรับ ไดไพชดุ เดียวกันทง้ั 5 ใบ เทากบั 4 x 1,287 = 5,148 วธิ ี แบบฝกหดั ท่ี 7 เร่ือง วิธีจัดหมูสงิ่ ของทีแ่ ตกตางกัน 1. ตองการเลอื กกรรมการชุดหนึ่งประกอบดวยนักเรยี นชาย 2 คน นกั เรียนหญงิ 2 คน และครู 1 คน จาก นกั เรยี นชาย 20 คน นกั เรียนหญงิ 25 คน และครู 7 คน จะเลอื กกรรมการไดทั้งหมดกี่วิธี 2. ในการคดั เลือกกรรมการ 3 คน จากสมาชิกสโมสร 20 คน ซ่ึงมสี มชายเปนสมาชกิ สโมสรแหงนี้ จะมีวธิ ี คดั เลือกไดกี่วธิ ี โดยที่ 1) สมชายตองไดรบั การคดั เลือกใหเปนกรรมการ 2) ใน 20 คน มี 2 คน เปนสามีภรรยากัน จะไดรับเลือกเปนกรรมการทง้ั สองคนไมได ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 49 ครูคเณศ สมตระกลู