แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เมทริกซ์

5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใชความคิด แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หัด ที่ 2 เรอื่ ง ดเี ทอรมแิ นนต ขอท่ี 2 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑก ารประเมิน แบบฝกหัดที่ 2 ขอท่ี 2 ดานความรู (K) นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. หาดีเทอรม ิแนนตของ พิจารณาจากความ แบบประเมินผลดาน ถกู ตองรอ ยละ 60 เมทริกซ n x n เม่ือ n ถกู ตองของแบบฝกหดั ทกั ษะ/กระบวนการ ขึน้ ไป ถือวา ผานเกณฑ เปน จำนวนนบั ไมเ กิน ทก่ี ำหนด สาม แบบประเมินผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยป ญ หาเรื่อง การสงั เกต แบบประเมินผลดา น ขนึ้ ไป ถือวา ผา น ดีเทอรมิแนนตข อง ทกั ษะ/กระบวนการ เมทริกซขนาด 2 x 2 แบบประเมินผลดาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั และ 3 x 3 ได ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวา ผาน 2) ใชเหตผุ ลในการแก การสังเกต ปญหาดีเทอรมแิ นนต นักเรยี นไดคะแนนระดับ ของเมทริกซข นาด คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 2 x 2 และ 3 x 3 ได ขึ้นไป ถือวา ผา น นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรูตางๆ การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ ด ขึน้ ไป ถือวาผา น 4) สอ่ื สาร สอ่ื การสังเกต ความหมายทาง คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู

ผลการเรียนรู วธิ ีการวดั ผล เครือ่ งมือวดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค (A) แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดับ 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต คุณลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มรี ะเบียบวินยั การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผา น แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ขั้นนำ 1) ครูสนทนาทักทายนกั เรยี น แลว ทบทวนความรเู ร่อื ง ดเี ทอรม ิแนนต ดังน้ี ตวั อยา งที่ 13 1 4 2  วิธีทำ จงหาดีเทอรมิแนนซของเมทริกซ A = 2 -2 -1 3 -3 5  จากบทนิยาม 15 กระจายโคแฟกเตอรใ นแถวที่ 1 จะได M11 = -2 -1 = (-2)(5) - (-3)(-1) = -13 -3 5 = -7 M12 = -2 -1 = (-2)(5) - (3)(-1) 35 = -4 = -13 M13 = 2 -2 = (2)(-5) - (3)(-2) =7 3 -3 = -4 C11 = (-1) M(1+1) = (-1)2 (-13) C12 = 11 = (-1)3 (-7) C13 = = (-1)4 (-4) (-1) M(1+2) 12 (-1) M(1+3) 14

จากคา ของ C11 , C12 และ C13 จะหา det(A) ไดด ังน้ี det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A) = (1)(-13) + (4)(7) + (2)(-4) =7 1 4 2  ดังน้ัน ดเี ทอรมแิ นนซของเมทริกซ A = 2 -2 -1 หรือ det(A) คือ 7 3 -3 5  ขัน้ สอน 1) ครบู รรยายเกี่ยวกบั ทฤษฎขี องดีเทอรมแิ นนต พรอมยกตวั อยาง ดงั น้ี ทฤษฎบี ท 5 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตุรสั ท่ีมีขนาดเทากนั และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดวา 1. det(I) = 1 2. det(At) = det(A) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(An) = [ det(A) ]n 5. det(A-1 ) = 1 เมอื่ det(A) ≠ 0 det(A) 6. det(kA) = kndet(A) เม่ือ n คือมิติของ A 7. ถา det(A) = det(B) แลว ไมจำเปน ที่ A = B 8. ถา สมาชกิ ของเมทริกซ A มีแถวใดแถวหนึ่งหรอื หลักใดหลักหน่ึงเปน ศนู ยท งั้ หมด แลว det(A) เทากับศูนย 9. ถาสมาชกิ ของเมทรกิ ซ A มีสองแถวใดๆ หรือสองหลกั ใดๆ เหมือนกัน แลว det(A) เทากับศนู ย 10. ถาเมทริกซ A ที่กำหนดใหม สี มาชิกในสามเหลี่ยมบนหรือสามเหล่ียมลางเปนศูนยทั้งหมด แลว det(A) เทา กับ ผลคูณของสมาชกิ ในเสน ทแยงมมุ หลัก (Main diagonal) 11. ถา สมาชิกในสองแถวใดๆ หรือสองหลักใดๆ เปน c เทา ของกนั และกัน แลวดีเทอรม แิ นนตจ ะเทากับศูนย 12. ถา เมทริกซ B เกิดจากการสลบั แถวคใู ดคหู นง่ึ หรือหลักคูใ ดคูหน่งึ ของเมทริกซ A แลว det(B) = -det(A) 13. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคา คงท่ี c คูณแถวใดแถวหนงึ่ หรือหลักใดหลกั หนึ่งของ เมทรกิ ซ A แลว det(B) = c det(A)

14. ถาเมทริกซ B เกิดจากการนำคา คงท่ี c คูณแถวใดหรอื หลักใด แลวนำไปบวกกับแถว หรือหลกั อีกอันหน่ึง จะไดวา det(B) = det(A) บทนิยาม 16 กำหนด A เปน เมทริกซจัตุรัส 1. A เปนเมทรกิ ซเ อกฐาน (singular matrix) กต็ อเม่ือ det(A) = 0 2. A เปน เมทริกซไมเ อกฐาน (non-singular matrix) ก็ตอเมอื่ det(A) ≠ 0 1 2 3 จงหาดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซ 2  ตัวอยา งท่ี 14 3 4  3 4 5 123 123 วธิ ีทำ 234 = 111 ทฤษฎีบท 5 ขอ 14 [(-1)R1+ R2 ] 345 345 123 ทฤษฎบี ท 5 ขอ 14 [(-1)R1+ R3 ] = 111 ทฤษฎบี ท 5 ขอ 11 [R3= 2R2 ] 222 =0 1 2 3  จงหาดเี ทอรมิแนนตข องเมทริกซ 2  ตัวอยางท่ี 15 4 7  วธิ ที ำ 3 7 11 12 3 12 3 24 7 = 00 1 ทฤษฎบี ท 5 ขอ 14 [2R1 - R2 ] 3 7 11 3 7 11 บทนยิ าม 15 กระจายโคแฟกเตอร R2 บทนยิ าม 14 = (1)C23 (A) = (-1)2+3 1 2 3 7 = (-1)(1(7) - 2(3)) = -1

ตัวอยา งที่ 16 1 2 3 วิธีทำ จงหาดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซ 0 3 0 0 2 4 123 0 3 0 = (3)C22 (A) บทนยิ าม 15 กระจายโคแฟกเตอร R2 024 บทนิยาม 14 = (-1)2+2 1 2 3 7 = (3)(1(4) - 3(0)) = 12 ตัวอยา งท่ี 17 กำหนด A= 2 1 จงหา det(A4 ) วิธที ำ 1 2 เน่ืองจาก det(A4 ) = 2 1 1 2 = 2(2) - 1(1) = 3 จากทฤษฎบี ท 15 ขอ 4 det(An) = [ det(A) ]n จะได det(A4 ) = (det(A))4 = 34 = 81 ตัวอยา งท่ี 18 2 -1 3 วิธีทำ กำหนด A = 0 -2 1 จงหา det(A5 ) 0 -1 1 จาก 2 -1 3 = (-1)1+1 (2) −2 1 det(A) = 0 -2 1 −2 1 = 2(-2(1) - 1(-1)) = -2 0 -1 1 จากทฤษฎีบท 15 ขอ 4 det(An) = [ det(A) ]n จะได det(A5 ) = (det(A))5 = (-2)5= -32

2) ครใู หน กั เรียนแบงกลุมชว ยกนั ทำแบบฝกหดั ที่ 2 ขอท่ี 2 เรื่อง ดเี ทอรมแิ นนต และนำเสนอหนา ช้ันเรยี น 3) ในระหวา งท่ีนักเรียนชว ยกันทำแบบฝก หดั ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปดโอกาสใหนกั เรยี นได ถามขอสงสัย เพ่ือครจู ะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนในระหวา งเรยี นได ข้ันสรปุ 1) นักเรียนและครรู ว มกันสรปุ ความรู เรอ่ื ง ดเี ทอรม ิแนนต ท่ีไดจ ากการเรียน และครเู ปด โอกาสให นักเรียนซักถามปญ หาหรือขอสงสยั ตา งๆ 2) ครใู หน ักเรียนแบงกลมุ ทำแบบฝกหัดที่ 2 ขอท่ี 2 หากนักเรียนทำไมเ สร็จในชวั่ โมง จะใหนกั เรียน นำกลบั ไปทำเปนการบา น แลว ครูและนกั เรียนจะรวมกันเฉลยในชวงโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหนักเรยี นคนควาหาโจทยเพ่มิ เติมจากแหลง เรียนรูตางๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทริกซ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลุม สาระการเรียนรูคณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พมิ่ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2563 หนวยการเรยี นรูท ี่ 2 เรือ่ ง เมทรกิ ซ เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 8 เรอ่ื ง ดเี ทอรม แิ นนซข องเมทริกซข นาน 2 x 2 และ 3 x 3 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซ n x n เมื่อ n เปนจำนวนนบั ไมเ กนิ สาม 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซจตั รุ ัสขนาด 2 x 2 ใดๆ บทนยิ าม เขียนแทนดเี ทอรมแิ นนตข อง A ดวย det(A) หรอื A หรือ a b บทนิยาม c d ถา det(A) = a b เม่ือ a, b, c, d∈ แลว det(A) = ad - bc c d กำหนด A เปน เมทริกซจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 ใดๆ abc เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนตข อง A ดว ย det(A) หรอื A หรอื d e f ghi abc ถา det(A) = d e f เมือ่ a, b, c, d, e, f, g, h, i∈ แลว ghi abcab det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb gh i gh

บทนิยาม กำหนด A = aij nxn เม่อื n ≥ 2 บทนยิ าม ดเี ทอรม ิแนนตข องเมทรกิ ซทไี่ ดจ ากการตัดแถวที่ i และหลกั ท่ี j ของ A บทนยิ าม เรยี กวา ไมเนอร (Minor) เขียนแทนไมเนอรข อง aij ดวย Mij(A) กำหนด A = aij nxn เม่ือ n ≥ 2 ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij(A) เรียกวา ตวั ประกอบรว มเกี่ยว (Cofactor) เขยี นแทนตวั ประกอบรวมเกย่ี วของ aij ดว ย Cij(A) ใชส ญั ลักษณแ ทนโคแฟคเตอรเมทริกซของเมทริกซ A ดวย cof(A) กำหนด A = aij nxn เมื่อ n ≥ 2 ดีเทอรมิแนนตข อง A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) a11 a12 … a1n a2n เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนซข อง A ดวย det(A) หรอื a21 a22 …  an1 an2 … ann 3. ผลการการเรยี นรทู ่ีคาดหวัง 1) ดา นความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - หาดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซ n x n เมือ่ n เปน จำนวนนับไมเกนิ สาม 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโ จทยป ญหาเร่ือง ดเี ทอรมิแนนตข องเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาดเี ทอรมแิ นนตของเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - เชือ่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สอื่ สาร ส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวินัย - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค

5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคิด แกปญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่อื นไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 2 เรื่อง ดเี ทอรม แิ นนต ขอท่ี 3 - 5 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครอ่ื งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 2 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. หาดเี ทอรมิแนนตข อง พิจารณาจากความ ขอ ท่ี 3 - 5 ถกู ตองรอ ยละ 60 เมทรกิ ซ n x n เม่ือ n ถูกตองของแบบฝกหัด ข้นึ ไป ถือวาผานเกณฑ เปนจำนวนนับไมเ กิน แบบประเมินผลดาน ท่ีกำหนด สาม ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผาน ดีเทอรม ิแนนตของ เมทรกิ ซขนาด 2 x 2 แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั และ 3 x 3 ได ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ขน้ึ ไป ถือวาผาน 2) ใชเ หตผุ ลในการแก การสังเกต ปญหาดีเทอรมแิ นนต นักเรยี นไดคะแนนระดบั ของเมทริกซขนาด คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 2 x 2 และ 3 x 3 ได ขึ้นไป ถือวาผา น นกั เรยี นไดคะแนนระดับ 3) เชอื่ มโยงความรูตางๆ การสงั เกต คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ข้นึ ไป ถือวาผา น 4) สือ่ สาร สอื่ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดา น ความหมายทาง ทกั ษะ/กระบวนการ คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครือ่ งมอื วดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต คณุ ลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผา น 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผาน 9. กจิ กรรมการเรียนรู ขั้นนำ 1) ครูสนทนาทกั ทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรเู ร่ือง ดีเทอรม แิ นนต ดงั นี้ ทฤษฎบี ท 5 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจตั รุ ัสที่มีขนาดเทา กัน และ I เปน เมทรกิ ซเ อกลักษณ จะไดวา 1. det(I) = 1 2. det(At) = det(A) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(An) = [ det(A) ]n 5. det(A-1 ) = 1 เม่อื det(A) ≠ 0 det(A) 6. det(kA) = kndet(A) เมื่อ n คอื มติ ิของ A 7. ถา det(A) = det(B) แลว ไมจำเปน ท่ี A = B 8. ถา สมาชกิ ของเมทรกิ ซ A มีแถวใดแถวหนง่ึ หรอื หลกั ใดหลกั หนึง่ เปน ศนู ยท ้ังหมด แลว det(A) เทากับศนู ย 9. ถา สมาชิกของเมทริกซ A มีสองแถวใดๆ หรือสองหลกั ใดๆ เหมือนกนั แลว det(A) เทากับศนู ย 10. ถาเมทริกซ A ที่กำหนดใหมีสมาชกิ ในสามเหลี่ยมบนหรอื สามเหลี่ยมลางเปนศูนยท ้ังหมด แลว det(A) เทา กับ ผลคูณของสมาชกิ ในเสนทแยงมุมหลัก (Main diagonal) 11. ถา สมาชกิ ในสองแถวใดๆ หรอื สองหลกั ใดๆ เปน c เทา ของกันและกัน แลว ดเี ทอรมิแนนตจะเทา กบั ศูนย

12. ถาเมทริกซ B เกิดจากการสลบั แถวคใู ดคหู นง่ึ หรือหลักคใู ดคูห นึ่งของเมทริกซ A แลว det(B) = -det(A) 13. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคาคงท่ี c คณู แถวใดแถวหน่งึ หรือหลักใดหลักหน่ึงของ เมทรกิ ซ A แลว det(B) = c det(A) 14. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคา คงที่ c คณู แถวใดหรือหลกั ใด แลวนำไปบวกกับแถว หรือหลักอกี อนั หนง่ึ จะไดวา det(B) = det(A) บทนยิ าม 16 กำหนด A เปน เมทริกซจตั ุรัส 1. A เปน เมทริกซเอกฐาน (singular matrix) ก็ตอเมื่อ det(A) = 0 2. A เปนเมทริกซไ มเ อกฐาน (non-singular matrix) ก็ตอเม่อื det(A) ≠ 0 ขัน้ สอน 1) ครใู หน ักเรยี นชวยกันทำแบบฝกหัดท่ี 2 เรอ่ื ง ดีเทอรมิแนนต ขอท่ี 3 - 5 2) ในระหวา งทน่ี ักเรียนชวยกนั ทำแบบฝกหัด ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปดโอกาสใหน ักเรยี นได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอทน่ี กั เรียนทำเสร็จแลว เพ่อื ใหนักเรียนตรวจสอบความถูกตองของคำตอบ และเพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวา งเรียนได ข้ันสรุป 1) นกั เรยี นและครรู วมกันสรปุ ความรู เรือ่ ง ดีเทอรมแิ นนต ที่ไดจากการเรียน และครเู ปดโอกาสให นกั เรียนถามปญหาขอสงสยั ตางๆ 2) ครูใหนักเรียนทำแบบฝก หดั ท่ี 2 ขอ ที่ 3 - 5 หากนักเรียนทำไมเ สรจ็ ในชั่วโมง จะใหนักเรียนนำ กลบั ไปทำเปน การบา น แลวครแู ละนกั เรียนจะรวมกันเฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหน กั เรียนคน ควาหาโจทยเ พ่ิมเตมิ จากแหลง เรียนรตู า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลุม สาระการเรียนรูคณิตศาสตร คณิตศาสตรเ พมิ่ เติม 3 ชว งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2563 หนวยการเรยี นรูท ี่ 2 เรือ่ ง เมทรกิ ซ เวลา 1 ช่ัวโมง ชอื่ ครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 9 เรอ่ื ง ดเี ทอรม แิ นนซข องเมทริกซข นาน 2 x 2 และ 3 x 3 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) หาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซ n x n เมื่อ n เปนจำนวนนบั ไมเ กนิ สาม 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซจตั รุ ัสขนาด 2 x 2 ใดๆ บทนยิ าม เขียนแทนดเี ทอรมแิ นนตข อง A ดวย det(A) หรอื A หรือ a b บทนิยาม c d ถา det(A) = a b เม่ือ a, b, c, d∈ แลว det(A) = ad - bc c d กำหนด A เปน เมทริกซจัตรุ ัสขนาด 3 x 3 ใดๆ abc เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนตข อง A ดว ย det(A) หรอื A หรอื d e f ghi abc ถา det(A) = d e f เมือ่ a, b, c, d, e, f, g, h, i∈ แลว ghi abcab det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb gh i gh

บทนิยาม กำหนด A = aij nxn เม่อื n ≥ 2 บทนยิ าม ดเี ทอรม ิแนนตข องเมทรกิ ซทไี่ ดจ ากการตัดแถวที่ i และหลกั ท่ี j ของ A บทนยิ าม เรยี กวา ไมเนอร (Minor) เขียนแทนไมเนอรข อง aij ดวย Mij(A) กำหนด A = aij nxn เม่ือ n ≥ 2 ผลคณู ของ (-1)i+j และ Mij(A) เรียกวา ตวั ประกอบรว มเกี่ยว (Cofactor) เขยี นแทนตวั ประกอบรวมเกย่ี วของ aij ดว ย Cij(A) ใชส ญั ลักษณแ ทนโคแฟคเตอรเมทริกซของเมทริกซ A ดวย cof(A) กำหนด A = aij nxn เมื่อ n ≥ 2 ดีเทอรมิแนนตข อง A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) a11 a12 … a1n a2n เขยี นแทนดีเทอรมแิ นนซข อง A ดวย det(A) หรอื a21 a22 …  an1 an2 … ann 3. ผลการการเรยี นรทู ่ีคาดหวัง 1) ดา นความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - หาดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซ n x n เมือ่ n เปน จำนวนนับไมเกนิ สาม 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรยี นสามารถ - แกโ จทยป ญหาเร่ือง ดเี ทอรมิแนนตข องเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาดเี ทอรมแิ นนตของเมทริกซขนาด 2 x 2 และ 3 x 3 ได - เชือ่ มโยงความรตู างๆ ของคณิตศาสตรได - สอื่ สาร ส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวินัย - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผูเรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลิศวิชาการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค

5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏบิ ัตงิ านโดยใชความคิด แกปญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่อื นไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 2 เรื่อง ดเี ทอรม แิ นนต ขอท่ี 6 - 8 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครอ่ื งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 2 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. หาดเี ทอรมิแนนตข อง พิจารณาจากความ ขอ ท่ี 6 - 8 ถกู ตองรอ ยละ 60 เมทรกิ ซ n x n เม่ือ n ถูกตองของแบบฝกหัด ข้นึ ไป ถือวาผานเกณฑ เปนจำนวนนับไมเ กิน แบบประเมินผลดาน ท่ีกำหนด สาม ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผาน ดีเทอรม ิแนนตของ เมทรกิ ซขนาด 2 x 2 แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั และ 3 x 3 ได ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ขน้ึ ไป ถือวาผาน 2) ใชเ หตผุ ลในการแก การสังเกต ปญหาดีเทอรมแิ นนต นักเรยี นไดคะแนนระดบั ของเมทริกซขนาด คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 2 x 2 และ 3 x 3 ได ขึ้นไป ถือวาผา น นกั เรยี นไดคะแนนระดับ 3) เชอื่ มโยงความรูตางๆ การสงั เกต คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ข้นึ ไป ถือวาผา น 4) สือ่ สาร สอื่ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดา น ความหมายทาง ทกั ษะ/กระบวนการ คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครือ่ งมอื วดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต คณุ ลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผา น 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผาน 9. กจิ กรรมการเรียนรู ขั้นนำ 1) ครูสนทนาทกั ทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรเู ร่ือง ดีเทอรม แิ นนต ดงั นี้ ทฤษฎบี ท 5 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจตั รุ ัสที่มีขนาดเทา กัน และ I เปน เมทรกิ ซเ อกลักษณ จะไดวา 1. det(I) = 1 2. det(At) = det(A) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(An) = [ det(A) ]n 5. det(A-1 ) = 1 เม่อื det(A) ≠ 0 det(A) 6. det(kA) = kndet(A) เมื่อ n คอื มติ ิของ A 7. ถา det(A) = det(B) แลว ไมจำเปน ท่ี A = B 8. ถา สมาชกิ ของเมทรกิ ซ A มีแถวใดแถวหนง่ึ หรอื หลกั ใดหลกั หนึง่ เปน ศนู ยท ้ังหมด แลว det(A) เทากับศนู ย 9. ถา สมาชิกของเมทริกซ A มีสองแถวใดๆ หรือสองหลกั ใดๆ เหมือนกนั แลว det(A) เทากับศนู ย 10. ถาเมทริกซ A ที่กำหนดใหมีสมาชกิ ในสามเหลี่ยมบนหรอื สามเหลี่ยมลางเปนศูนยท ้ังหมด แลว det(A) เทา กับ ผลคูณของสมาชกิ ในเสนทแยงมุมหลัก (Main diagonal) 11. ถา สมาชกิ ในสองแถวใดๆ หรอื สองหลกั ใดๆ เปน c เทา ของกันและกัน แลว ดเี ทอรมิแนนตจะเทา กบั ศูนย

12. ถาเมทริกซ B เกิดจากการสลบั แถวคใู ดคหู นง่ึ หรือหลักคใู ดคูห นึ่งของเมทริกซ A แลว det(B) = -det(A) 13. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคาคงท่ี c คณู แถวใดแถวหน่งึ หรือหลักใดหลักหน่ึงของ เมทรกิ ซ A แลว det(B) = c det(A) 14. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคา คงที่ c คณู แถวใดหรือหลกั ใด แลวนำไปบวกกับแถว หรือหลักอกี อนั หนง่ึ จะไดวา det(B) = det(A) บทนยิ าม 16 กำหนด A เปน เมทริกซจตั ุรัส 1. A เปน เมทริกซเอกฐาน (singular matrix) ก็ตอเมื่อ det(A) = 0 2. A เปนเมทริกซไ มเ อกฐาน (non-singular matrix) ก็ตอเม่อื det(A) ≠ 0 ขัน้ สอน 1) ครใู หนักเรยี นชวยกันทำแบบฝกหัดท่ี 2 เรอ่ื ง ดีเทอรมิแนนต ขอท่ี 6 - 8 2) ในระหวา งทน่ี ักเรียนชวยกนั ทำแบบฝกหัด ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปดโอกาสใหน ักเรยี นได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอ ทน่ี กั เรียนทำเสร็จแลว เพ่อื ใหนักเรียนตรวจสอบความถูกตองของคำตอบ และเพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวา งเรียนได ข้ันสรุป 1) นักเรียนและครรู วมกันสรปุ ความรู เรือ่ ง ดีเทอรมแิ นนต ที่ไดจากการเรียน และครเู ปดโอกาสให นกั เรียนถามปญหาขอสงสยั ตางๆ 2) ครใู หน ักเรียนทำแบบฝก หดั ท่ี 2 ขอ ที่ 6 - 8 หากนักเรียนทำไมเ สรจ็ ในชั่วโมง จะใหนักเรียนนำ กลบั ไปทำเปน การบา น แลวครแู ละนกั เรียนจะรวมกันเฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรียนคน ควาหาโจทยเ พ่ิมเตมิ จากแหลง เรียนรตู า งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่มิ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 10 เรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผนั 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาเมทริกซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซ่ึง AB = BA = In บทนิยาม แลวจะเรียก B วา เมทริกซผ กผนั หรือตัวผกผนั การคูณ หรืออินเวอรก ารคูณของ ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซ A เขียนแทนดว ย A-1 บทนิยาม ถา A มีเมทรกิ ซผ กผนั แลว เมทริกซผ กผันของ A จะมเี พียงเมทริกซเดยี วเทา นน้ั ทฤษฎบี ท กำหนด A เปนเมทริกซขนาด n x n เมอื่ n ≥ 2 ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซผ ูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขยี นแทนเมทริกซผ ูกพันของ A ดวย adj(A) กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n เม่อื n ≥ 2 จะไดวา A มีอินเวอรสการคูณ กต็ อเมือ่ A เปน เมทรกิ ซไมเอกฐาน นั่นคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A) กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ ัสทม่ี ขี นาดเทา กนั โดยที่ A และ B เปนเมทริกซ ไมเ อกฐาน และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1) (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2) A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3) det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4) aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5) (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7) (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k ≠0

3. ผลการการเรียนรูท คี่ าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - หาเมทริกซผ กผันของเมทริกซ 2 x 2 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเรื่อง เมทริกซผกผันของเมทรกิ ซ 2 x 2 ได - ใชเหตผุ ลในการแกปญหาเมทรกิ ซผกผนั ของเมทรกิ ซ 2 x 2 ได - เชือ่ มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรไ ด - ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวินัย - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลกั ษณะของผเู รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ตั ิงานโดยใชความคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 3 เรื่อง เมทริกซผ กผนั ขอ ท่ี 1 - 3

8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) แบบฝก หัดท่ี 3 นักเรยี นทำแบบฝกหัด ขอท่ี 1 - 3 ถูกตองรอ ยละ 60 1. หาเมทริกซผกผนั ของ พจิ ารณาจากความ ขึน้ ไป ถือวาผานเกณฑ ท่ีกำหนด เมทรกิ ซ 2 x 2 ถกู ตองของแบบฝกหดั นกั เรียนไดคะแนนระดบั ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโจทยป ญ หาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน เมทรกิ ซผกผนั ของ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั เมทรกิ ซ 2 x 2 ได แบบประเมนิ ผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ทกั ษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวา ผา น 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสงั เกต นักเรียนไดคะแนนระดบั แกป ญหาเมทรกิ ซผ กผัน แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของเมทรกิ ซ 2 x 2ได ทักษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวาผา น นกั เรียนไดคะแนนระดับ 3) เชือ่ มโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมินผลดาน คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน 4) ส่ือสาร สือ่ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ความหมายทาง ประสงค ขึ้นไป ถือวาผา น แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณติ ศาสตร และ คุณลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผา น นำเสนอขอมูล แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ดา นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) ประสงค ขนึ้ ไป ถือวาผาน 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต ระบบรอบคอบ 2) มรี ะเบียบวนิ ยั การสังเกต 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสงั เกต

9. กิจกรรมการเรยี นรู ขน้ั นำ 1) ครูสนทนาทักทายนักเรยี น แลวทบทวนความรูเ รอ่ื ง ดีเทอรมิแนนต ดงั นี้ ตวั อยา งท่ี 11 จงหาดีเทอรมแิ นนตข องเมทริกซต อไปนี้ วธิ ีทำ 1) 1 0 2) -2 1 0 1  4 2 1) 10 = 1(1) - 0(0) 01 =0 2) -2 1 = (-2)(2) - (4)(1) 42 = -8 ขัน้ สอน 1) ครบู รรยายเกย่ี วกบั เรอื่ ง เมทริกซผกผัน พรอ มตัวอยาง ดังน้ี เมทรกิ ซผ กผัน บทนยิ าม 17 กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซ่งึ AB = BA = In แลว จะเรยี ก B วา เมทริกซผกผนั หรอื ตัวผกผนั การคณู หรืออนิ เวอรก ารคูณของเมทริกซ A เขียนแทนดว ย A-1 ทฤษฎบี ท 5 ถา A มีเมทริกซผกผัน แลวเมทริกซผกผนั ของ A จะมเี พียงเมทรกิ ซเดยี วเทา นัน้ บทนิยาม 18 กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n เมือ่ n ≥ 2 เมทริกซผ ูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขียนแทนเมทรกิ ซผูกพนั ของ A ดว ย adj(A) ทฤษฎบี ท 6 กำหนด A เปน เมทรกิ ซขนาด n x n เม่อื n ≥ 2 จะไดวา A มอี ินเวอรสการคูณ ก็ตอเมื่อ A เปน เมทริกซไมเอกฐาน นน่ั คอื ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A)

ตัวอยางท่ี 19 1 2 3 วิธีทำ กำหนดเมทริกซ A = 4 5 6 จงหาแอดจอยทเ มทริกซของเมทริกซ A 7 8 9 เน่ืองจาก adj(A) = [Cij(A)]t (บทนยิ าม 18) จะได M11 = 56 = (5)(9) - (8)(6) = -3 M12 = 89 = (4)(9) - (7)(6) = -6 46 79 M13 = 45 = (4)(8) - (7)(5) = -3 78 M21 = 23 = (2)(9) - (8)(3) = -6 89 M22 = 13 = (1)(9) - (7)(3) = -12 79 = -6 M23 = = (1)(8) - (7)(2) = -3 12 = -6 M31 = 78 = (2)(6) - (5)(3) = -3 M32 = 23 = (1)(6) - (4)(3) 56 M33 = = (1)(5) - (4)(2) C11 = 13 = -3 C12 = 46 = 6 C13 = = -3 C21 = 12 = 6 C22 = 45 = -12 C23 = = 6 C31 = (-1)1+1 M11 = -3 (-1)1+2 M12 (-1)1+3 M13 (-1)2+1 M21 (-1)2+2 M22 (-1)2+3 M23 (-1)3+1 M31

C32 = (-1)3+2 M32 =6 C33 = (-1)3+3 M33 = -3 -3 6 -3t -3 6 -3  -12   -12  นน่ั คอื adj(A) =  6 6 6  =  6 6 6  -3 -3 -3 -3 ตวั อยางท่ี 20 2 -3 5 วธิ ีทำ จงหาอนิ เวอรส การคูณของเมทรกิ ซ A = 0 -1 5 0 0 4 เน่อื งจาก A เปน เมทริกซจ ตั ุรัส และจากทฤษฎบี ท 15 ขอ 10 จะได det(A) = -8 และจากทฤษฎบี ท 6 อนิ เวอรสการคณู ของเมทริกซ คือ A -1 = 1 adj(A) det(A) M11 = -1 5 = -4 M12 = 0 5 =0 M13 = 0 -1 =0 0 4 = -12 0 4 =8 M23 = 00 =0 = -10 = 10 M33 = 2 -3 = -2 M21 = -3 5 M22 = 2 5 00 0 4 0 4 2 -3 0 -1 M31 = -3 5 M32 = 2 5 -1 5 0 5 C11 = (-1)1+1M11 = -4 C12 = (-1)1+2C12 = 0 C13 = (-1)1+3M13 = 0 C21 = (-1) M2+1 = 12 C22 = (-1)2+2M22 = 8 C23 = (-1) M2+3 = 0 21 23 C31 = (-1) M3+1 = -10 C32 = (-1)3+2M32 = -10 C33 = (-1)3+3C33 = -2 31

1  -4 0 0 t A-1 = -8   จะได  12 8 0  -10 -10 -2 1 -4 12 -10 8  -10 ดังนั้น A-1 = -  0 8 -2   0 0 ทฤษฎบี ท 7 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจ ตั ุรสั ทมี่ ีขนาดเทากัน ตัวอยา งที่ 21 โดยท่ี A และ B เปน เมทรกิ ซไมเอกฐาน และ I เปนเมทริกซเอกลกั ษณ จะไดวา วธิ ที ำ 1. (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2. A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3. det(adj(A)) = (det(A))n - 1 5. (A-1)t = (A t)-1 4. aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) det(A) det(A) 1 7. (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k≠0 กำหนด A = 1 -1 , B = 3 1 , C = 2 1 จงหา det(A2 ⋅adj(B)⋅C-1 ) 1 1  1 2 3 1 det( A2 ⋅adj(B)⋅C-1 ) = det(A2 )⋅det(adj(B))⋅det(C-1 ) ทฤษฎีบท 5 ขอ 3 = (det(A))2 ⋅det(adj(B))⋅(det(C))-1 ทฤษฎีบท 5 ขอ 4 = (det(A))2 ⋅(det(B))2-1 ⋅(det(C))-1 ทฤษฎบี ท 7 ขอ 3 = 22 ⋅ 5 ⋅ 1 -1 = -20 ตวั อยางที่ 22 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจตั รุ สั มิติ 4 x 4 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมติ ิ 4 x 4 วิธที ำ โดยที่ A(adj(A)) - BA = I ถา det(B) = 0 แลว det(A) มีคา เทา กับเทาใด จาก A(adj(A)) - BA = I det(A)⋅I - BA =I ทฤษฎบี ท 7 ขอ 2 det(A)⋅I - I = BA (det(A) - 1)⋅I = BA take det ทั้งสองขางของสมการ จะได

det[(det(A) - 1)⋅I] = det(BA) ทฤษฎบี ท 5 ขอ 6 = det(BA) ทฤษฎีบท 5 ขอ 3 (det(A) - 1)4 det(I) = det(B) ⋅ det(A) แทน det(B) = 0 (det(A) - 1)4 det(I) = 0 ⋅ det(A) = 0 (det(A) - 1)4 = 1 det(A) - 1 det(A) ขั้นสรปุ 1) นกั เรียนและครูรว มกนั สรปุ ความรูเรอ่ื ง เมทริกซผกผนั ท่ีไดจ ากการเรยี น และเปดโอกาสให นักเรียนซกั ถามปญหาหรือขอสงสัย 2) ครใู หน กั เรยี นทำแบบฝกหัดท่ี 3 เร่ือง เมทริกซผกผนั ขอท่ี 1 - 3 ใหเ สร็จในชวงโมง แตห าก นกั เรยี นทำไมเ สรจ็ ในชวั่ โมง ใหน ักเรียนนำกลบั ไปทำเปนการบา นแลว รวมเฉลยในชว่ั โมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหน ักเรยี นคน ควาหาโจทยเพ่มิ เติมจากแหลงเรียนรูตางๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนังสอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่มิ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 11 เรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผนั 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาเมทริกซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซ่ึง AB = BA = In บทนิยาม แลวจะเรียก B วา เมทริกซผ กผนั หรือตัวผกผนั การคูณ หรืออินเวอรก ารคูณของ ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซ A เขียนแทนดว ย A-1 บทนิยาม ถา A มีเมทรกิ ซผ กผนั แลว เมทริกซผ กผันของ A จะมเี พียงเมทริกซเดยี วเทา นน้ั ทฤษฎบี ท กำหนด A เปนเมทริกซขนาด n x n เมอื่ n ≥ 2 ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซผ ูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขยี นแทนเมทริกซผ ูกพันของ A ดวย adj(A) กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n เม่อื n ≥ 2 จะไดวา A มีอินเวอรสการคูณ กต็ อเมือ่ A เปน เมทรกิ ซไมเอกฐาน นั่นคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A) กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ ัสทม่ี ขี นาดเทา กนั โดยที่ A และ B เปนเมทริกซ ไมเ อกฐาน และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1) (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2) A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3) det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4) aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5) (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7) (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k ≠0

3. ผลการการเรียนรูท คี่ าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - หาเมทริกซผ กผันของเมทริกซ 2 x 2 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเรื่อง เมทริกซผกผันของเมทรกิ ซ 2 x 2 ได - ใชเหตผุ ลในการแกปญหาเมทรกิ ซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 ได - เชือ่ มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรไ ด - ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวินัย - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลกั ษณะของผเู รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา งสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ตั ิงานโดยใชความคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 3 เรื่อง เมทริกซผ กผนั ขอ ท่ี 4 - 8

8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครอ่ื งมือวัดผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) แบบฝกหดั ท่ี 3 นกั เรยี นทำแบบฝกหัด ขอ ที่ 4 - 8 ถกู ตองรอยละ 60 1. หาเมทรกิ ซผ กผนั ของ พิจารณาจากความ ขึ้นไป ถือวา ผา นเกณฑ ทกี่ ำหนด เมทริกซ 2 x 2 ถกู ตองของแบบฝกหดั นกั เรียนไดคะแนนระดบั ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเรื่อง การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น เมทรกิ ซผ กผันของ นกั เรียนไดคะแนนระดบั เมทริกซ 2 x 2 ได แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวาผา น 2) ใชเหตผุ ลในการ การสังเกต นกั เรยี นไดคะแนนระดับ แกป ญหาเมทริกซผ กผัน แบบประเมินผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของเมทรกิ ซ 2 x 2ได ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชือ่ มโยงความรูตา งๆ การสังเกต แบบประเมินผลดา น คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ทกั ษะ/กระบวนการ ขนึ้ ไป ถือวาผาน 4) สอ่ื สาร ส่ือ การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดับ คุณลักษณะอันพึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ความหมายทาง ประสงค ขึ้นไป ถือวาผา น แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คณิตศาสตร และ คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผา น นำเสนอขอมูล แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผา น 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต ระบบรอบคอบ 2) มรี ะเบียบวินยั การสังเกต 3) มคี วามรบั ผดิ ชอบ การสังเกต

9. กิจกรรมการเรียนรู ขัน้ นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรียน แลว ทบทวนความรูเรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผัน ดงั นี้ ตวั อยา งท่ี 21 กำหนด A = 1 -1 , B = 3 1 , C = 2 1 จงหา det(A2 ⋅adj(B)⋅C-1 ) วธิ ที ำ 1 1  1 2 3 1 det( A2 ⋅adj(B)⋅C-1 ) = det(A2 )⋅det(adj(B))⋅det(C-1 ) ทฤษฎีบท 5 ขอ 3 = (det(A))2 ⋅det(adj(B))⋅(det(C))-1 ทฤษฎบี ท 5 ขอ 4 = (det(A))2 ⋅(det(B))2-1 ⋅(det(C))-1 ทฤษฎีบท 7 ขอ 3 = 22 ⋅ 5 ⋅ 1 -1 = -20 ข้ันสอน 1) ครใู หน ักเรยี นชวยกันทำแบบฝกหดั ที่ 3 เร่อื ง เมทริกซผกผัน ขอ ที่ 4 - 8 2) ในระหวา งทีน่ ักเรยี นชวยกันทำแบบฝก หัด ครจู ะคอยใหคำแนะนำและเปด โอกาสใหนักเรยี นได ถามขอสงสัย และเฉลยคำตอบในขอ ทีน่ กั เรยี นทำเสร็จแลว เพ่ือใหนักเรียนตรวจสอบความถูกตองของคำตอบ และเพื่อครจู ะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนในระหวางเรียนได ขน้ั สรปุ 1) นักเรยี นและครูรว มกนั สรุปความรู เรอื่ ง เมทริกซผ กผนั ที่ไดจ ากการเรียน และครเู ปดโอกาสให นักเรียนถามปญหาขอสงสยั ตางๆ 2) ครูใหนกั เรียนทำแบบฝก หัดที่ 3 ขอท่ี 4 - 8 หากนักเรียนทำไมเสร็จในช่ัวโมง จะใหนักเรียนนำ กลบั ไปทำเปน การบาน แลวครูและนกั เรียนจะรว มกันเฉลยในชว งโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรยี นคน ควา หาโจทยเ พม่ิ เตมิ จากแหลงเรยี นรูตา งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เมทริกซ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่มิ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 12 เรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผนั 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาเมทริกซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซ่ึง AB = BA = In บทนิยาม แลวจะเรียก B วา เมทริกซผ กผนั หรือตัวผกผนั การคูณ หรืออินเวอรก ารคูณของ ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซ A เขียนแทนดว ย A-1 บทนิยาม ถา A มีเมทรกิ ซผ กผนั แลว เมทริกซผ กผันของ A จะมเี พียงเมทริกซเดยี วเทา นน้ั ทฤษฎบี ท กำหนด A เปนเมทริกซขนาด n x n เมอื่ n ≥ 2 ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซผ ูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขยี นแทนเมทริกซผ ูกพันของ A ดวย adj(A) กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n เม่อื n ≥ 2 จะไดวา A มีอินเวอรสการคูณ กต็ อเมือ่ A เปน เมทรกิ ซไมเอกฐาน นั่นคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A) กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ ัสทม่ี ขี นาดเทา กนั โดยที่ A และ B เปนเมทริกซ ไมเ อกฐาน และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1) (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2) A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3) det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4) aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5) (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7) (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k ≠0

3. ผลการการเรียนรูท คี่ าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - หาเมทริกซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง เมทริกซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาเมทรกิ ซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 ได - เชือ่ มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวินัย - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลกั ษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลติ งานอยา งสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบตั งิ านโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 3 เรื่อง เมทริกซผกผัน ขอท่ี 9 - 12

8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วิธกี ารวัดผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นความรู (K) แบบฝกหดั ท่ี 3 นักเรยี นทำแบบฝกหดั ขอท่ี 9 - 12 ถูกตองรอยละ 60 1. หาเมทรกิ ซผกผันของ พิจารณาจากความ ขึ้นไป ถือวา ผา นเกณฑ ทีก่ ำหนด เมทริกซ 2 x 2 ถกู ตองของแบบฝกหดั นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโจทยปญ หาเรื่อง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผาน เมทริกซผ กผันของ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั เมทริกซ 2 x 2 ได แบบประเมินผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึน้ ไป ถือวา ผา น 2) ใชเหตผุ ลในการ การสงั เกต นกั เรยี นไดคะแนนระดับ แกปญ หาเมทริกซผกผัน แบบประเมนิ ผลดาน คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ของเมทริกซ 2 x 2ได ทกั ษะ/กระบวนการ ขนึ้ ไป ถือวา ผาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรูตา งๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ทักษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผาน 4) สอ่ื สาร ส่อื การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ความหมายทาง ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดับ คณติ ศาสตร และ คณุ ลักษณะอนั พึง คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน นำเสนอขอมูล แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ดา นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค (A) ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผาน 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต ระบบรอบคอบ 2) มีระเบยี บวนิ ัย การสงั เกต 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต

9. กจิ กรรมการเรียนรู ขน้ั นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรียน แลวทบทวนความรูเรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผัน ดงั น้ี ตัวอยางที่ 22 กำหนด A และ B เปน เมทริกซจ ตั ุรัสมิติ 4 x 4 และ I เปน เมทริกซเ อกลักษณมติ ิ 4 x 4 วิธที ำ โดยท่ี A(adj(A)) - BA = I ถา det(B) = 0 แลว det(A) มีคาเทากับเทาใด จาก A(adj(A)) - BA = I det(A)⋅I - BA =I ทฤษฎีบท 7 ขอ 2 det(A)⋅I - I = BA (det(A) - 1)⋅I = BA take det ทัง้ สองขางของสมการ จะได det[(det(A) - 1)⋅I] = det(BA) (det(A) - 1)4 det(I) = det(BA) ทฤษฎบี ท 5 ขอ 6 (det(A) - 1)4 det(I) = det(B)⋅det(A) ทฤษฎีบท 5 ขอ 3 (det(A) - 1)4 = 0⋅det(A) แทน det(B) = 0 det(A) - 1 = 0 det(A) = 1 ข้นั สอน 1) ครใู หนกั เรียนชว ยกันทำแบบฝกหัดท่ี 3 เรอื่ ง เมทรกิ ซผ กผัน ขอท่ี 9 - 12 2) ในระหวางทีน่ ักเรยี นชว ยกันทำแบบฝกหดั ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปด โอกาสใหนักเรียนได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอท่ีนักเรียนทำเสร็จแลว เพอ่ื ใหน ักเรียนตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียนในระหวา งเรยี นได ขนั้ สรปุ 1) นกั เรียนและครรู ว มกนั สรุปความรู เรอื่ ง เมทริกซผ กผนั ที่ไดจ ากการเรียน และครเู ปด โอกาสให นกั เรียนถามปญหาขอสงสัยตางๆ 2) ครใู หนกั เรียนทำแบบฝก หดั ที่ 3 ขอ ท่ี 9 - 12 หากนกั เรียนทำไมเ สรจ็ ในชัว่ โมง จะใหนักเรียนนำ กลับไปทำเปน การบา น แลว ครแู ละนักเรยี นจะรว มกนั เฉลยในชวงโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหนกั เรียนคน ควา หาโจทยเพิ่มเตมิ จากแหลง เรียนรูตา งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนังสือเรียนรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทริกซ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่มิ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 13 เรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผนั 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาเมทริกซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซ่ึง AB = BA = In บทนิยาม แลวจะเรียก B วา เมทริกซผ กผนั หรือตัวผกผนั การคูณ หรืออินเวอรก ารคูณของ ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซ A เขียนแทนดว ย A-1 บทนิยาม ถา A มีเมทรกิ ซผ กผนั แลว เมทริกซผ กผันของ A จะมเี พียงเมทริกซเดยี วเทา นน้ั ทฤษฎบี ท กำหนด A เปนเมทริกซขนาด n x n เมอื่ n ≥ 2 ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซผ ูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขยี นแทนเมทริกซผ ูกพันของ A ดวย adj(A) กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n เม่อื n ≥ 2 จะไดวา A มีอินเวอรสการคูณ กต็ อเมือ่ A เปน เมทรกิ ซไมเอกฐาน นั่นคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A) กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ ัสทม่ี ขี นาดเทา กนั โดยที่ A และ B เปนเมทริกซ ไมเ อกฐาน และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1) (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2) A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3) det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4) aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5) (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7) (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k ≠0

3. ผลการการเรียนรูท คี่ าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - หาเมทริกซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง เมทริกซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาเมทรกิ ซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 ได - เชือ่ มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวินัย - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลกั ษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบตั งิ านโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 3 เรื่อง เมทริกซผกผัน ขอท่ี 13 - 16

8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู วิธกี ารวดั ผล เครื่องมอื วดั ผล เกณฑก ารประเมนิ ดา นความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 3 นกั เรยี นทำแบบฝกหดั ขอ ท่ี 13 - 16 ถกู ตองรอ ยละ 60 1. หาเมทรกิ ซผ กผนั ของ พิจารณาจากความ ขึ้นไป ถือวา ผา นเกณฑ ทีก่ ำหนด เมทรกิ ซ 2 x 2 ถกู ตองของแบบฝกหัด นักเรียนไดคะแนนระดับ ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น เมทริกซผกผนั ของ นักเรยี นไดคะแนนระดบั เมทริกซ 2 x 2 ได แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสงั เกต นกั เรียนไดคะแนนระดับ แกปญหาเมทรกิ ซผกผนั แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ของเมทริกซ 2 x 2ได ทกั ษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตา งๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 4) ส่ือสาร สื่อ การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ความหมายทาง ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผาน แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณิตศาสตร และ คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน นำเสนอขอมลู แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ดา นคุณลักษณะอันพงึ ประสงค (A) ประสงค ข้ึนไป ถือวาผาน 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต ระบบรอบคอบ 2) มรี ะเบียบวนิ ยั การสังเกต 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต

9. กิจกรรมการเรยี นรู ขัน้ นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรียน แลว ทบทวนทฤษฎีทเี่ กีย่ วของกบั เมทริกซผกผนั ดงั นี้ ทฤษฎบี ท 5 กำหนด A และ B เปน เมทริกซจัตุรสั ทมี่ ขี นาดเทากนั และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1. det(I) = 1 2. det(At) = det(A) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(An) = [ det(A) ]n 5. det(A-1 ) = 1 เมอ่ื det(A) ≠ 0 det(A) 6. det(kA) = kndet(A) เม่ือ n คือมติ ิของ A 7. ถา det(A) = det(B) แลว ไมจำเปนท่ี A = B 8. ถาสมาชิกของเมทริกซ A มีแถวใดแถวหนึง่ หรือหลักใดหลกั หนงึ่ เปน ศูนยท งั้ หมด แลว det(A) เทา กับศูนย 9. ถา สมาชกิ ของเมทรกิ ซ A มีสองแถวใดๆ หรือสองหลักใดๆ เหมือนกนั แลว det(A) เทากับศูนย 10. ถาเมทริกซ A ท่ีกำหนดใหมสี มาชกิ ในสามเหลี่ยมบนหรอื สามเหลี่ยมลา งเปน ศูนยท้ังหมด แลว det(A) เทากบั ผลคูณของสมาชกิ ในเสน ทแยงมุมหลัก (Main diagonal) 11. ถาสมาชิกในสองแถวใดๆ หรอื สองหลกั ใดๆ เปน c เทา ของกนั และกัน แลวดีเทอรมแิ นนตจะเทากบั ศูนย 12. ถาเมทริกซ B เกิดจากการสลับแถวคใู ดคหู น่ึง หรือหลักคูใดคูหน่ึงของเมทรกิ ซ A แลว det(B) = -det(A) 13. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคาคงท่ี c คณู แถวใดแถวหนึง่ หรือหลักใดหลักหน่ึงของ เมทรกิ ซ A แลว det(B) = c det(A) 14. ถาเมทริกซ B เกิดจากการนำคา คงที่ c คูณแถวใดหรือหลกั ใด แลวนำไปบวกกับแถว หรือหลักอีกอนั หนง่ึ จะไดวา det(B) = det(A) ทฤษฎีบท 6 กำหนด A เปน เมทรกิ ซขนาด n x n เม่ือ n ≥ 2 จะไดวา A มีอนิ เวอรสการคูณ กต็ อเม่ือ A เปน เมทริกซไมเอกฐาน น่ันคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A)

ทฤษฎีบท 7 กำหนด A และ B เปน เมทริกซจตั รุ สั ทมี่ ีขนาดเทา กัน โดยท่ี A และ B เปนเมทริกซไมเ อกฐาน และ I เปนเมทริกซเอกลกั ษณ จะไดวา 1. (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2. A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3. det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4. aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5. (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7. (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k≠0 ข้ันสอน 1) ครใู หนักเรยี นชว ยกนั ทำแบบฝกหดั ท่ี 3 เรอ่ื ง เมทริกซผกผัน ขอ ที่ 13 - 16 2) ในระหวางทีน่ ักเรยี นชว ยกันทำแบบฝกหัด ครูจะคอยใหคำแนะนำและเปด โอกาสใหนักเรยี นได ถามขอสงสัย และเฉลยคำตอบในขอท่ีนกั เรียนทำเสรจ็ แลว เพื่อใหน ักเรยี นตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพื่อครจู ะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรยี นในระหวางเรียนได ขัน้ สรปุ 1) นกั เรยี นและครรู วมกันสรุปความรู เรอ่ื ง เมทริกซผ กผัน ที่ไดจากการเรียน และครเู ปด โอกาสให นกั เรยี นถามปญหาขอสงสยั ตางๆ 2) ครใู หนกั เรยี นทำแบบฝกหดั ท่ี 3 ขอ ท่ี 13 - 16 หากนกั เรยี นทำไมเสร็จในชว่ั โมง จะใหนักเรยี น นำกลับไปทำเปนการบาน แลวครูและนักเรยี นจะรวมกันเฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหนักเรียนคน ควาหาโจทยเพมิ่ เตมิ จากแหลงเรียนรูต างๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทริกซ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่มิ เติม 3 ชว งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหัสวิชา ค 32201 ภาคเรียนที่ 1 ปก ารศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชอ่ื ครูผูสอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 14 เรอ่ื ง เมทรกิ ซผกผนั 1. ผลการเรยี นร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) หาเมทริกซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 2. สาระสำคญั กำหนด A เปนเมทรกิ ซขนาด n x n ถามีเมทริกซ B ขนาด n x n ซ่ึง AB = BA = In บทนิยาม แลวจะเรียก B วา เมทริกซผ กผนั หรือตัวผกผนั การคูณ หรืออินเวอรก ารคูณของ ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซ A เขียนแทนดว ย A-1 บทนิยาม ถา A มีเมทรกิ ซผ กผนั แลว เมทริกซผ กผันของ A จะมเี พียงเมทริกซเดยี วเทา นน้ั ทฤษฎบี ท กำหนด A เปนเมทริกซขนาด n x n เมอื่ n ≥ 2 ทฤษฎบี ท เมทรกิ ซผ ูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ [Cij(A)]t เขยี นแทนเมทริกซผ ูกพันของ A ดวย adj(A) กำหนด A เปน เมทริกซขนาด n x n เม่อื n ≥ 2 จะไดวา A มีอินเวอรสการคูณ กต็ อเมือ่ A เปน เมทรกิ ซไมเอกฐาน นั่นคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A) กำหนด A และ B เปนเมทริกซจัตรุ ัสทม่ี ขี นาดเทา กนั โดยที่ A และ B เปนเมทริกซ ไมเ อกฐาน และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1) (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2) A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3) det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4) aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5) (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7) (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k ≠0

3. ผลการการเรียนรูท คี่ าดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - หาเมทริกซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญหาเร่ือง เมทริกซผกผนั ของเมทริกซ 2 x 2 ได - ใชเหตผุ ลในการแกป ญหาเมทรกิ ซผกผันของเมทริกซ 2 x 2 ได - เชือ่ มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวินัย - มคี วามรับผิดชอบ 4. ดา นคุณลกั ษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบตั งิ านโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 3 เรื่อง เมทริกซผกผัน ขอท่ี 17 - 20

8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู วิธกี ารวดั ผล เครื่องมอื วดั ผล เกณฑการประเมนิ ดา นความรู (K) แบบฝกหัดท่ี 3 นกั เรยี นทำแบบฝกหดั ขอ ท่ี 17 - 20 ถกู ตองรอยละ 60 1. หาเมทรกิ ซผ กผนั ของ พิจารณาจากความ ขึ้นไป ถือวา ผา นเกณฑ ทีก่ ำหนด เมทรกิ ซ 2 x 2 ถกู ตองของแบบฝกหัด นักเรียนไดคะแนนระดบั ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น เมทริกซผกผนั ของ นักเรยี นไดคะแนนระดับ เมทริกซ 2 x 2 ได แบบประเมินผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 2) ใชเ หตผุ ลในการ การสงั เกต นกั เรยี นไดคะแนนระดบั แกปญหาเมทรกิ ซผกผนั แบบประเมนิ ผลดา น คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ของเมทริกซ 2 x 2ได ทกั ษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผาน นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตา งๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดา น คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผา น 4) ส่ือสาร สื่อ การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ความหมายทาง ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผาน แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดับ คณิตศาสตร และ คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวา ผาน นำเสนอขอมลู แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ดา นคุณลักษณะอันพงึ ประสงค (A) ประสงค ข้ึนไป ถือวาผาน 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต ระบบรอบคอบ 2) มรี ะเบียบวนิ ยั การสังเกต 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต

9. กิจกรรมการเรยี นรู ขัน้ นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรียน แลว ทบทวนทฤษฎีทเี่ กีย่ วของกบั เมทริกซผกผนั ดงั นี้ ทฤษฎบี ท 5 กำหนด A และ B เปน เมทริกซจัตุรสั ทมี่ ขี นาดเทากนั และ I เปน เมทริกซเอกลักษณ จะไดว า 1. det(I) = 1 2. det(At) = det(A) 3. det(AB) = det(A)det(B) 4. det(An) = [ det(A) ]n 5. det(A-1 ) = 1 เมอ่ื det(A) ≠ 0 det(A) 6. det(kA) = kndet(A) เม่ือ n คือมติ ิของ A 7. ถา det(A) = det(B) แลว ไมจำเปนท่ี A = B 8. ถาสมาชิกของเมทริกซ A มีแถวใดแถวหนึง่ หรือหลักใดหลกั หนงึ่ เปน ศูนยท งั้ หมด แลว det(A) เทา กับศูนย 9. ถา สมาชกิ ของเมทรกิ ซ A มีสองแถวใดๆ หรือสองหลักใดๆ เหมือนกนั แลว det(A) เทากับศูนย 10. ถา เมทริกซ A ท่ีกำหนดใหมสี มาชกิ ในสามเหลี่ยมบนหรอื สามเหลี่ยมลา งเปน ศูนยท้ังหมด แลว det(A) เทากบั ผลคูณของสมาชกิ ในเสน ทแยงมุมหลัก (Main diagonal) 11. ถาสมาชิกในสองแถวใดๆ หรอื สองหลกั ใดๆ เปน c เทา ของกนั และกัน แลวดีเทอรมแิ นนตจะเทากบั ศูนย 12. ถาเมทริกซ B เกิดจากการสลับแถวคใู ดคหู น่ึง หรือหลักคูใดคูหน่ึงของเมทรกิ ซ A แลว det(B) = -det(A) 13. ถา เมทริกซ B เกิดจากการนำคาคงท่ี c คณู แถวใดแถวหนึง่ หรือหลักใดหลักหน่ึงของ เมทริกซ A แลว det(B) = c det(A) 14. ถาเมทริกซ B เกิดจากการนำคา คงที่ c คูณแถวใดหรือหลกั ใด แลวนำไปบวกกับแถว หรือหลักอีกอนั หนง่ึ จะไดวา det(B) = det(A) ทฤษฎีบท 6 กำหนด A เปน เมทรกิ ซขนาด n x n เม่ือ n ≥ 2 จะไดวา A มีอนิ เวอรสการคูณ กต็ อเม่ือ A เปน เมทริกซไมเอกฐาน น่ันคือ ถา det(A) ≠ 0 แลว A -1 = 1 adj(A) det(A)

ทฤษฎบี ท 7 กำหนด A และ B เปนเมทริกซจตั ุรัสท่ีมขี นาดเทา กัน โดยท่ี A และ B เปน เมทรกิ ซไมเ อกฐาน และ I เปน เมทริกซเอกลกั ษณ จะไดวา 1. (AB)-1 = B-1A-1 , (A-1)-1 = A 2. A ⋅adj(A) = adj(A)⋅A = det(A)⋅I 3. det(adj(A)) = (det(A))n - 1 4. aij-1 = Cji (A) = (-1)i+jMji (A) 5. (A-1)t = (A t)-1 det(A) det(A) 1 7. (kA)-1 = k ⋅ A -1 , k≠0 ข้ันสอน 1) ครใู หนักเรียนแบงกลมุ ชวยกนั ทำแบบฝก หดั ที่ 3 ขอท่ี 17 - 20 เรื่อง เมทริกซผกผนั และ นำเสนอหนาช้ันเรยี น 2) ในระหวา งท่นี ักเรียนชว ยกันทำแบบฝกหัด ครจู ะคอยใหคำแนะนำและเปดโอกาสใหนกั เรยี นได ถามขอสงสัย เพ่ือครจู ะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรยี นในระหวา งเรียนได ขน้ั สรุป 1) นักเรียนและครูรวมกันสรปุ ความรู เรือ่ ง เมทริกซผ กผัน ที่ไดจ ากการเรียน และครเู ปดโอกาสให นกั เรยี นซกั ถามปญ หาหรือขอสงสยั ตา งๆ 2) ครใู หนักเรียนแบงกลมุ ทำแบบฝก หดั ที่ 3 ขอที่ 17 - 20 หากนกั เรียนทำไมเ สร็จในชั่วโมง จะให นกั เรยี นนำกลบั ไปทำเปนการบาน แลวครแู ละนกั เรยี นจะรวมกันเฉลยในชว งโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรียนคนควาหาโจทยเพมิ่ เตมิ จากแหลงเรยี นรตู างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทริกซ

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรูคณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พม่ิ เตมิ 3 ชว งชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วิชา ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปก ารศกึ ษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรูท ่ี 2 เรอ่ื ง เมทริกซ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ชื่อครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรยี นรูที่ 15 เร่อื ง การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรียนรู 1) แกระบบสมการเชงิ เสนโดยใชเ มทริกซผ กผนั และการดำเนินการตามแถว 2. สาระสำคัญ ระบบสมการเชิงเสน ทีม่ ี m สมการ และมี n ตวั แปร คือ ระบบสมการทอ่ี ยูในรปู บทนิยาม a11x1 + a12x2 +  + a1nxn= b1 ทฤษฎบี ท a21x1 + a22x2 +  + a2nxn= b2  am1x1 + am2x2 +  + amnxn= bm เมอื่ x1, x2, x3, …, xn เปนตัวแปร และ aij, bi เปนจำนวนจรงิ สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เรียก (r1, r2, r3, …, rn) วา n สงิ่ อันดับ (ordered n-tuple) (r1, r2, r3, …, rn) เปน คำตอบของระบบสมการ ก็ตอเมอ่ื r1, r2, r3, …, rn เปน จำนวนจริงทเ่ี ม่ือนำไปแทนตวั แปร x1, x2, x3, …, xn ตามลำดับ ในแตละสมการแลว ไดส มการที่เปน จริงทัง้ หมด สามารถเขียนระบบ สมการน้ใี นรูปสมการเมทริกซ AX = B โดยที่  a11 a12  a1n   x1   b1         a21 a22  a2n   x2   b2  A =  , X =   , B =       am1 am2  amn   xn  bm      ถา AX = B แทนระบบสมการเชิงเสน ทีม่ จี ำนวนสมการเทากับจำนวนตัวแปร และ A จะเปน เมทรกิ ซจ ตั ุรสั ท่มี ีเมทริกซผกผันแลว แลว X = A-1B เปนคำตอบของ AX = B

บทนิยาม สำหรบั ระบบสมการเชิงเสน ท่ีประกอบดวย m สมการ n ตัวแปร ตอ ไปนี้ a11x1 + a12x2 +  + a1nxn= b1 บทนิยาม บทนยิ าม a21x1 + a22x2 +  + a2nxn= b2 บทนยิ าม  am1x1 + am2x2 +  + amnxn= bm จะเรียกเมทรกิ ซท่อี ยูในรูป  a11 a12  a1n b1    [A B] =  a21 a22  a2n b2      am1 am2  amn bm   วา เมทรกิ ซแตงเติมของระบบสมการ (Augmented matrix) การดำเนนิ การตามแถวของเมทรกิ ซแตงเติม 1) สลับแถวที่ i และแถวท่ี j ของเมทริกซ แทนดวยสญั ลักษณ Ri ↔ Rj 2) คณู สมาชิกในแถวที่ i ดวยคาคงตวั c เมื่อ c ≠ 0 แทนดวยสัญลกั ษณ cRi 3) คณู สมาชิกในแถวที่ i ดวยคาคงตัว c เมื่อ c ≠ 0 แลวนำไปบวกกบั สมาชิกในแถว ที่ j เมอ่ื i ≠ j แทนดว ยสญั ลกั ษณ cRi + Rj (แทนผลลพั ธน ใี้ นแถวท่ี j) เรยี ก การดำเนินการกบั เมทริกซแตละแบบน้ีวา การดำเนินการตามแถวข้นั มูลฐาน (Elementary row operation) ถา เมทริกซ B ไดจ ากการดำเนนิ การตามแถวบนเมทริกซ A จะกลา ววา เมทริกซ A สมมลู กบั เมทรกิ ซ B และเขียนแทนดวย A  B กำหนด AX = B และ CX = D แทนระบบสมการเชงิ เสน ถา [A B] สมมลู กบั [C D]แลว AX = B และ CX = D มคี ำตอบเหมือนกนั 3. ผลการการเรียนรทู ค่ี าดหวัง 1) ดา นความรู (K) : นักเรยี นสามารถ - แกร ะบบสมการเชงิ เสน โดยใชเมทรกิ ซผ กผันและการดำเนินการตามแถว 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ จทยปญหาระบบสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซผกผันและการดำเนนิ การตามแถว ได - ใชเ หตผุ ลแกปญ หาระบบสมการเชงิ เสนโดยใชเมทรกิ ซผกผันและการดำเนินการตามแถวได - เชือ่ มโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล

3) ดา นคุณลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวนิ ยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวชิ าการ 2) สอ่ื สองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมเี หตุผล ปฏบิ ตั ิงานโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ท่ี 4 เร่อื ง การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน ขอที่ 1 - 2 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครอื่ งมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน ดานความรู (K) แบบฝก หดั ท่ี 4 นกั เรยี นทำแบบฝกหดั 1. แกร ะบบสมการเชิง พจิ ารณาจากความ ขอ ท่ี 1 - 2 ถูกตองรอ ยละ 60 เสนโดยใชเมทรกิ ซผกผนั ถกู ตองของแบบฝกหดั ขึ้นไป ถือวาผานเกณฑ และการดำเนนิ การตาม แบบประเมินผลดา น ท่ีกำหนด แถว ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั ดานทักษะ / กระบวนการ (P) คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน 1) แกโ จทยปญหาระบบ การสังเกต ขึ้นไป ถือวาผาน สมการเชิงเสน โดยใชเ มท ริกซผกผันและการ ดำเนนิ การตามแถว ได

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวัดผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน 2) ใชเ หตุผลแกป ญ หา การสังเกต แบบประเมนิ ผลดา น นกั เรียนไดคะแนนระดบั ระบบสมการเชิงเสน โดย ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ใชเ มทรกิ ซผกผนั และ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น การดำเนนิ การตามแถว ได แบบประเมินผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน 3) เชอื่ มโยงความรูตา งๆ การสังเกต ข้นึ ไป ถือวา ผาน ของคณติ ศาสตรได แบบประเมนิ ผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 4) สือ่ สาร สอื่ การสังเกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวา ผาน ความหมายทาง คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล ดา นคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน 2) มรี ะเบียบวนิ ยั การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสงั เกต ประสงค ข้นึ ไป ถือวา ผา น แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ขั้นนำ 1) ครูสนธนาทักทายนักเรยี น พดู คุยถงึ หวั ขอ ท่ีจะเรียน 2) ครตู ั้งคำถามใหนกั เรยี นวา การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน มีวิธใี ดบาง แลวการแกระบบ สมการเชิงเสนโดยใชเ มทริกซผกผนั และการดำเนินการตามแถว ทำไดอยางไร 3) ครเู ปด โอกาสใหน ักเรยี นคดิ พิจารณา และเสนอความคิด

ข้ันสอน 1) ครูบรรยายเกีย่ วกบั การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน พรอมยกตัวอยา ง ดังน้ี การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน บทนยิ าม 19 ระบบสมการเชิงเสนทม่ี ี m สมการ และมี n ตัวแปร คอื ระบบสมการที่อยูในรปู a11x1 + a12x2 +  + a1nxn= b1 a21x1 + a22x2 +  + a2nxn= b2  am1x1 + am2x2 +  + amnxn= bm เมอื่ x1, x2, x3, …, xn เปนตัวแปร และ aij, bi เปน จำนวนจรงิ สำหรับ i∈{1, 2, 3, ..., m} และ j∈{1, 2, 3, ..., n} เรยี ก (r1, r2, r3, …, rn) วา n สิ่งอนั ดบั (ordered n-tuple) (r1, r2, r3, …, rn) เปน คำตอบของระบบสมการ กต็ อเมื่อ r1, r2, r3, …, rn เปน จำนวนจริงทเี่ มอ่ื นำไปแทนตวั แปร x1, x2, x3, …, xn ตามลำดับ ในแตล ะสมการแลวไดสมการทเ่ี ปนจรงิ ท้งั หมด สามารถเขียนระบบสมการนี้ในรปู สมการเมทริกซ AX = B โดยที่  a11 a12  a1n   x1   b1        A =  a21 a22  a2n  , X =  x2  , B =  b2          am1 am2  amn   xn  bm      ทฤษฎีบท 8 ถา AX = B แทนระบบสมการเชงิ เสนท่มี จี ำนวนสมการเทา กับจำนวนตัวแปร และ A จะเปน เมทรกิ ซจ ตั ุรัสที่มีเมทริกซผกผันแลว แลว X = A-1B เปนคำตอบของ AX = B หมายเหตุ ในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสนโดยใชเ มทริกซผกผันของเมทริกซข องสมั ประสทิ ธ์ิ เชน ถา เมทริกซของสมั ประสทิ ธิ์ไมมเี มทรกิ ซผกผนั แลว ระบบสมการอาจมีคำตอบเปน จำนวนอนันต หรือไมมคี ำตอบก็ได พิจารณาระบบสมการ x + y = 1, 2x + 2y = 2 กำหนด A = 1 1 , X = x และ B = 1 2 2  y  2 เขยี นระบบสมการในรปู สมการเมทรกิ ซ AX = B จะได 1 1x = 1 2 2 y 2 เนอ่ื งจาก det(A) = 0 ดงั นัน้ A ไมมเี มทริกซผกผนั ดงั น้นั ไมส ามารถหาคำตอบของระบบสมการนี้ โดยใชเมทริกซผกผนั ของเมทริกซส ัมประสิทธไิ์ ด

ตวั อยา งที่ 22 จงหาคำตอบของระบบสมการตอ ไปนี้ x + y = 3, 2x + 3y = 7 วธิ ที ำ กำหนด A = 1 1 , X = x และ B = 3 2 3  y  7 เขยี นระบบสมการในรปู สมการเมทริกซ AX = B จะได 1 1x = 3 2 3 y 7 หาเมทรกิ ซผกผนั ของ A จะได A -1 = 1 3 -1 = 3 -1 1(3)-1(2) -2 1  -2 1  เนอื่ งจาก X = A-1B ดงั นน้ั x =  3 -1 3  y  -2 1  7 = (3)(3) + (-1)(7) (-2)(3) + (1)(7) = 2 1 น่ันคอื x = 2 และ y = 1 ดังนั้น (2, 1) เปนคำตอบของระบบสมการ บทนยิ าม 20 สำหรบั ระบบสมการเชงิ เสน ท่ีประกอบดวย m สมการ n ตัวแปร ตอ ไปนี้ a11x1 + a12x2 +  + a1nxn= b1 a21x1 + a22x2 +  + a2nxn= b2  am1x1 + am2x2 +  + amnxn= bm จะเรียกเมทริกซทอ่ี ยูในรูป  a11 a12  a1n b1    [A B] =  a21 a22  a2n b2      am1 am2  amn bm   วา เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการ (Augmented matrix)

บทนยิ าม 21 การดำเนนิ การตามแถวของเมทรกิ ซแ ตงเตมิ 1. สลบั แถวท่ี i และแถวท่ี j ของเมทรกิ ซ แทนดว ยสญั ลกั ษณ Ri ↔ Rj 2. คูณสมาชกิ ในแถวท่ี i ดวยคาคงตัว c เม่ือ c ≠ 0 แทนดวยสญั ลกั ษณ cRi 3. คณู สมาชิกในแถวที่ i ดว ยคา คงตัว c เม่อื c ≠ 0 แลว นำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ j เมื่อ i ≠ j แทนดว ยสัญลักษณ cRi + Rj (แทนผลลัพธน ้ีในแถวท่ี j) เรียกการดำเนินการกับเมทริกซแตละแบบนว้ี า การดำเนนิ การตามแถวขนั้ มูลฐาน (Elementary row operation) บทนิยาม 22 ถา เมทริกซ B ไดจากการดำเนนิ การตามแถวบนเมทริกซ A จะกลาววา เมทรกิ ซ A สมมลู กับเมทริกซ B และเขียนแทนดวย A  B บทนิยาม 23 กำหนด AX = B และ CX = D แทนระบบสมการเชงิ เสน ถา [A B] สมมูลกบั [C D]แลว AX = B และ CX = D มีคำตอบเหมอื นกัน ตวั อยา งท่ี 23 จงแกส มการ 2X ⋅ -2 1 - -2 4 = -2 6 วธิ ที ำ  0 2  3 2  1 0 จาก 2X ⋅ -2 1 - -2 4 = -2 6  0 2  3 2  1 0 2X ⋅ -2 1 = -4 10  0 2  4 2  X ⋅ -2 1 = -2 5  0 2  2 1 X = -2 5 ⋅ -2 1-1  2 1  0 2 = -2 5 ⋅ - 1  02 -1  2 1 4 -2 =  - 1   -44 -8 4 -4 = 1 2 -1 1

ตัวอยางท่ี 24 จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน ตอ ไปน้ี 3x + 6y - z = 12 2y - 6z = -14 x + y + 2z = 9 3 6 -1 12  วิธีทำ เมทริกซแตง เตมิ ของระบบสมการนี้ คือ 0 2 -6 -14 1 1  2 9  ใชก ารดำเนินการตามแถวเพ่ือแปลงเมทรกิ ซแตง เตมิ ไดด ังนี้ 3 6 -1 12  1 1 2 9  R1 ↔ R3 0 2 -6 -14  0 2 -6 -14   1 1  3  2 9  6 -1 12  1 1 2 9  0   2 -6 -14  0 3 -7 -15  -3R1 + R3  1 1 2 9 1 0 1 -3  2  0 3 -7 -7  R2 -15 1 0 5 16 -R2 + R1 0 1 -3   -7  0 0 2 6  -3R 2 + R3  1 0 5 16  0 1 -3 -7 0  0 1 3  1 R3 2  1 0 0 1 -5R3 + R1 0 1 0 2 3R3 + R2 0 0 1 3