แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

ตวั อย่างท่ี 30 จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 วิธที า กาหนด p(x) = x3 - 3x2 + 5x + 9 จานวนเตม็ ท่ีหาร 9 ลงตัว คือ ±1 , ±3, ±9 จากการตรวจสอบ p(1), p(-1), p(3), p(-3), p(9) และ p(-9) พบวา่ p(-1) = 0 ดงั นนั x + 1 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x + 1)(x2 - 4x + 9) ดังนัน x + 1 = 0 หรอื x2 - 4x + 9 = 0 ถา้ x2 - 4x + 9 = 0 จะได้ x = 4 ± 16 - 36 i = 2 ± 5i 2 น่ันคือ เซตคาตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 คอื -1, 2 + 5i, 2 - 5i ข้นั สอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกับสมการพหนุ ามตัวแปรเดียว พรอ้ มยกตัวอยา่ ง ดังนี ตัวอยา่ งท่ี 31 จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 วธิ ที า กาหนด p(x) = 2x4 + x3 - 2x - 1 เน่ืองจากจานวนเต็มที่หาร -1 คือ ±1 และจานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ ±1 , ±2 ดงั นนั จานวนตรรกยะ k ท่ีทาให้ p k  = 0 จะอยู่ในกลุ่มจานวนตอ่ ไปนีคือ ±1 , ±1 m m 2 จากการตรวจสอบพบวา่ p(1) = 0 และ p - 1  = 0 2 1 ดงั นนั x - 1 และ x + 2 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x - 1)(2x + 1)(x2 + x + 1) ดังนัน x - 1 = 0 หรือ 2x + 1 = 0 หรอื x2 + x + 1 = 0 ถ้า x2 + x + 1 = 0 แลว้ x = -1 ± 1 - 4 i = -1 ± 3i 22 นั่นคือ เซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 คอื - 1 , 1, -1 + 3i , -1 + 3i   2 2 2  

ตัวอย่างที่ 32 จงหาเซตคาตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 วิธที า กาหนด p(x) = x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 จานวนเตม็ ทีห่ าร 4 ลงตวั คือ ±1 , ±2, ±4 จากการตรวจสอบพบวา่ p(1) = 0 ดงั นัน x - 1 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x - 1)2(x2 + 4) = (x - 1)2(x + 2i)(x - 2i) จะไดว้ ่าสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 มีคาตอบ 4 คาตอบ คือ 1, 1, 2i และ -2i และมคี าตอบท่ีแตกต่างกนั ทงั หมด 3 คาตอบ 1, 2i และ -2i ดังนัน เซตคาตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 คือ 1, 2i, -2i 2) ครูใหน้ กั เรยี นแบ่งกลุ่มชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หดั ท่ี 10 ข้อที่ 1 ข้อย่อยท่ี 5 - 8 เร่ือง สมการพหุนาม ตัวแปรเดยี ว และนาเสนอหนา้ ชันเรียน 3) ในระหวา่ งท่นี กั เรยี นช่วยกนั ทาแบบฝึกหัด ครจู ะคอยให้คาแนะนาและเปิดโอกาสให้นักเรยี นได้ ถามขอ้ สงสัย เพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนในระหว่างเรียนได้ ข้นั สรุป 1) นักเรยี นและครูรว่ มกันสรุปความรู้ เรอ่ื ง สมการพหุนามตัวแปรเดียว ทไ่ี ด้จากการเรยี น และครู เปิดโอกาสให้นกั เรียนซักถามปัญหาหรือขอ้ สงสัยต่างๆ 2) ครใู หน้ กั เรยี นแบง่ กล่มุ ทาแบบฝึกหัดท่ี 10 ข้อท่ี 1 ข้อย่อยท่ี 5 - 8 หากนักเรยี นทาไมเ่ สร็จใน ช่ัวโมง จะให้นักเรยี นนากลับไปทาเป็นการบา้ น แล้วครูและนักเรยี นจะรว่ มกันเฉลยในช่วงโมงถดั ไป 3) ครแู นะนาใหน้ กั เรยี นคน้ ควา้ หาโจทยเ์ พิ่มเตมิ จากแหล่งเรยี นรู้ต่างๆ 10. สอ่ื อปุ กรณ์ และแหล่งเรยี นรู้ 1) หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 19 เรอ่ื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บูรณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมีเหตุผล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคิด แก้ปญั หาโดยใชป้ ญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หัด ท่ี 10 เรอื่ ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว ขอ้ ท่ี 1 ขอ้ ย่อยที่ 9 - 12 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู้ วิธีการวดั ผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมนิ ด้านความรู้ (K) แบบฝกึ หัดท่ี 10 นกั เรยี นทาแบบฝึกหัด 1. แกส้ มการพหนุ ามตัว พจิ ารณาจากความ แปรเดียวดีกรไี ม่เกนิ ส่ี ที่ ถกู ต้องของแบบฝกึ หดั ขอ้ ท่ี 1 ขอ้ ย่อยท่ี 9 - 12 ถูกตอ้ งรอ้ ยละ 60 มีสมั ประสทิ ธิเ์ ป็นจานวน เตม็ และนาไปใช้ในการ ขึนไป ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์ แกป้ ญั หา ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) ทก่ี าหนด 1) แกโ้ จทยป์ ัญหา การสังเกต สมการพหุนามตัวแปร แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ เดยี วดีกรไี มเ่ กนิ ส่ี ทม่ี ี ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน สมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวน ขนึ ไป ถอื วา่ ผา่ น เตม็ และนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา ได้ แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) ใช้เหตุผลแก้ปญั หา การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน สมการพหุนามตัวแปร ขึนไป ถือวา่ ผ่าน เดยี วดีกรไี ม่เกินสี่ ทม่ี ี สมั ประสิทธิเ์ ป็นจานวน เต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหาได้

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑ์การประเมิน 3) เชือ่ มโยงความร้ตู า่ งๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขึนไป ถือวา่ ผ่าน 4) สื่อสาร สือ่ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขึนไป ถอื ว่าผา่ น คณิตศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มูล ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนได้คะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมิน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสังเกต คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผ่าน 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พึง คณุ ภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถือว่าผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ข้นั นา 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรยี น และทบทวนความรู้เรือ่ ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว ดงั นี ตวั อยา่ งท่ี 31 จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 วธิ ีทา กาหนด p(x) = 2x4 + x3 - 2x - 1 เนอื่ งจากจานวนเตม็ ทหี่ าร -1 คอื ±1 และจานวนเต็มทห่ี าร 2 ลงตัว คือ ±1 , ±2 ดงั นัน จานวนตรรกยะ k ท่ีทาให้ p k  = 0 จะอยใู่ นกลุ่มจานวนต่อไปนีคือ ±1 , ±1 m m 2 จากการตรวจสอบพบวา่ p(1) = 0 และ p - 1  = 0 2 1 ดงั นัน x - 1 และ x + 2 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x - 1)(2x + 1)(x2 + x + 1)

ดังนัน x - 1 = 0 หรือ 2x + 1 = 0 หรอื x2 + x + 1 = 0 ถ้า x2 + x + 1 = 0 แลว้ x = -1 ± 1 - 4 i = -1 ± 3i 22 นนั่ คอื เซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 คือ - 1 , 1, -1 + 3i , -1 + 3i   2 2 2   ตวั อยา่ งที่ 32 จงหาเซตคาตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 วธิ ีทา กาหนด p(x) = x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 จานวนเตม็ ที่หาร 4 ลงตวั คอื ±1 , ±2, ±4 จากการตรวจสอบพบว่า p(1) = 0 ดงั นัน x - 1 เป็นตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x - 1)2(x2 + 4) = (x - 1)2(x + 2i)(x - 2i) จะไดว้ ่าสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 มีคาตอบ 4 คาตอบ คือ 1, 1, 2i และ -2i และมคี าตอบท่ีแตกต่างกันทังหมด 3 คาตอบ 1, 2i และ -2i ดังนัน เซตคาตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 คือ 1, 2i, -2i ขัน้ สอน 1) ครูใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ ช่วยกันทาแบบฝึกหดั ที่ 10 ข้อที่ 1 ขอ้ ย่อยท่ี 9 - 12 เรอื่ ง สมการพหนุ าม ตัวแปรเดยี ว และนาเสนอหน้าชนั เรียน 2) ในระหว่างที่นักเรยี นชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หัด ครจู ะคอยให้คาแนะนาและเปิดโอกาสให้นักเรยี นได้ ถามขอ้ สงสยั เพ่อื ครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนในระหวา่ งเรียนได้ ข้ันสรุป 1) นักเรยี นและครูร่วมกนั สรุปความรู้ เร่ือง สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว ท่ไี ดจ้ ากการเรยี น และครู เปดิ โอกาสใหน้ ักเรียนซกั ถามปญั หาหรอื ข้อสงสัยตา่ งๆ 2) ครใู ห้นกั เรียนแบ่งกลุ่มทาแบบฝกึ หัดท่ี 10 ขอ้ ที่ 1 ข้อยอ่ ยท่ี 9 - 12 หากนักเรยี นทาไมเ่ สรจ็ ใน ชว่ั โมง จะใหน้ ักเรยี นนากลับไปทาเป็นการบ้าน แล้วครูและนกั เรียนจะร่วมกันเฉลยในช่วงโมงถดั ไป 3) ครแู นะนาใหน้ ักเรยี นค้นคว้าหาโจทย์เพ่มิ เติมจากแหล่งเรียนร้ตู ่างๆ 10. ส่อื อุปกรณ์ และแหลง่ เรยี นรู้ 1) หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 20 เร่อื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหุนามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บรู ณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใช้ความคดิ แก้ปัญหาโดยใชป้ ญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หัด ท่ี 10 เรอ่ื ง สมการพหุนามตวั แปรเดียว ขอ้ ที่ 1 ข้อยอ่ ยท่ี 13 - 16 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เครอ่ื งมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมนิ แบบฝึกหดั ท่ี 10 ดา้ นความรู้ (K) ขอ้ ท่ี 1 ขอ้ ยอ่ ยที่ นกั เรียนทาแบบฝึกหัด 1. แกส้ มการพหุนามตวั พิจารณาจากความ 13 - 16 ถูกตอ้ งรอ้ ยละ 60 แปรเดยี วดีกรไี มเ่ กินส่ี ที่ ถกู ต้องของแบบฝึกหัด ขนึ ไป ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์ มีสัมประสิทธ์เิ ปน็ จานวน แบบประเมินผลด้าน ท่ีกาหนด เต็มและนาไปใช้ในการ ทักษะ/กระบวนการ แกป้ ัญหา นักเรียนได้คะแนนระดับ ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลด้าน คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน 1) แกโ้ จทยป์ ญั หา การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถอื วา่ ผา่ น สมการพหนุ ามตวั แปร เดียวดีกรไี มเ่ กนิ สี่ ทมี่ ี นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ สมั ประสิทธ์ิเป็นจานวน คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน เต็มและนาไปใชใ้ นการ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน แก้ปัญหา ได้ 2) ใช้เหตผุ ลแกป้ ญั หา การสงั เกต สมการพหนุ ามตัวแปร เดียวดีกรีไมเ่ กินสี่ ที่มี สมั ประสิทธิ์เป็นจานวน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แกป้ ัญหาได้

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑ์การประเมิน 3) เชือ่ มโยงความร้ตู า่ งๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขึนไป ถือวา่ ผ่าน 4) สื่อสาร สือ่ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขึนไป ถอื ว่าผา่ น คณิตศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มูล ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนได้คะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมิน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวนิ ยั การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผ่าน 3) มคี วามรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถือว่าผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ข้นั นา 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรยี น และทบทวนความรู้เรือ่ ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว ดงั นี ตวั อยา่ งท่ี 31 จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 วธิ ีทา กาหนด p(x) = 2x4 + x3 - 2x - 1 เนอื่ งจากจานวนเตม็ ทหี่ าร -1 คอื ±1 และจานวนเต็มทห่ี าร 2 ลงตัว คือ ±1 , ±2 ดงั นัน จานวนตรรกยะ k ท่ีทาให้ p k  = 0 จะอยใู่ นกลุ่มจานวนต่อไปนีคือ ±1 , ±1 m m 2 จากการตรวจสอบพบวา่ p(1) = 0 และ p - 1  = 0 2 1 ดงั นัน x - 1 และ x + 2 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x - 1)(2x + 1)(x2 + x + 1)

ดงั นนั x - 1 = 0 หรือ 2x + 1 = 0 หรอื x2 + x + 1 = 0 ถา้ x2 + x + 1 = 0 แล้ว x = -1 ± 1 - 4 i = -1 ± 3i 22 นนั่ คือ เซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 คือ - 1 , 1, -1 + 3i , -1 + 3i   2 2 2   ตัวอย่างที่ 32 จงหาเซตคาตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 วธิ ีทา กาหนด p(x) = x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 จานวนเตม็ ทีห่ าร 4 ลงตัว คือ ±1 , ±2, ±4 จากการตรวจสอบพบวา่ p(1) = 0 ดงั นนั x - 1 เปน็ ตวั ประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x - 1)2(x2 + 4) = (x - 1)2(x + 2i)(x - 2i) จะไดว้ ่าสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 มีคาตอบ 4 คาตอบ คอื 1, 1, 2i และ -2i และมีคาตอบทีแ่ ตกต่างกนั ทงั หมด 3 คาตอบ 1, 2i และ -2i ดังนนั เซตคาตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 คอื 1, 2i, -2i ข้ันสอน 1) ครูใหน้ ักเรยี นแบง่ กลมุ่ ช่วยกนั ทาแบบฝึกหัดท่ี 10 ข้อท่ี 1 ข้อย่อยที่ 13 - 16 เรือ่ ง สมการ พหนุ ามตัวแปรเดียว และนาเสนอหน้าชนั เรยี น 2) ในระหวา่ งทน่ี กั เรยี นช่วยกนั ทาแบบฝกึ หัด ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปดิ โอกาสให้นกั เรียนได้ ถามข้อสงสยั เพอ่ื ครจู ะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรยี นในระหวา่ งเรยี นได้ ข้ันสรปุ 1) นักเรยี นและครรู ่วมกันสรุปความรู้ เร่อื ง สมการพหุนามตัวแปรเดียว ทีไ่ ดจ้ ากการเรียน และครู เปดิ โอกาสให้นกั เรียนซักถามปัญหาหรือขอ้ สงสยั ตา่ งๆ 2) ครใู ห้นักเรยี นแบง่ กลมุ่ ทาแบบฝกึ หดั ที่ 10 ขอ้ ท่ี 1 ข้อยอ่ ยที่ 13 - 16 หากนักเรียนทาไมเ่ สรจ็ ใน ช่วั โมง จะใหน้ ักเรียนนากลบั ไปทาเปน็ การบ้าน แล้วครแู ละนกั เรียนจะร่วมกนั เฉลยในชว่ งโมงถัดไป 3) ครแู นะนาใหน้ ักเรียนค้นคว้าหาโจทยเ์ พิ่มเติมจากแหลง่ เรียนรตู้ า่ งๆ 10. สอ่ื อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 21 เร่อื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลักความมเี หตผุ ล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปัญหาโดยใช้ปัญญา 2) เงือ่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ท่ี 10 เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว ข้อท่ี 2 - 4 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมิน แบบฝกึ หดั ที่ 10 ดา้ นความรู้ (K) ข้อที่ 2 - 4 นกั เรียนทาแบบฝกึ หัด 1. แก้สมการพหุนามตวั พจิ ารณาจากความ ถกู ต้องร้อยละ 60 แปรเดยี วดกี รีไมเ่ กนิ สี่ ที่ ถูกตอ้ งของแบบฝกึ หัด แบบประเมินผลด้าน ขนึ ไป ถือวา่ ผ่านเกณฑ์ มีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวน ทักษะ/กระบวนการ ท่ีกาหนด เต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน 1) แก้โจทยป์ ญั หา การสงั เกต ขึนไป ถือว่าผ่าน สมการพหนุ ามตวั แปร เดียวดกี รีไมเ่ กินส่ี ที่มี นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั สมั ประสิทธิ์เป็นจานวน คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ ขึนไป ถือว่าผา่ น แกป้ ญั หา ได้ 2) ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหา การสังเกต สมการพหุนามตัวแปร เดียวดกี รีไมเ่ กนิ ส่ี ท่ีมี สมั ประสิทธ์เิ ป็นจานวน เตม็ และนาไปใช้ในการ แกป้ ัญหาได้

ผลการเรยี นรู้ วิธีการวดั ผล เคร่ืองมือวัดผล เกณฑ์การประเมิน 3) เชื่อมโยงความรตู้ ่างๆ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดบั ของคณติ ศาสตรไ์ ด้ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถอื ว่าผา่ น 4) สือ่ สาร สือ่ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นได้คะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถือว่าผ่าน คณิตศาสตร์ และ นาเสนอข้อมูล ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเป็น การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นได้คะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื วา่ ผ่าน แบบประเมนิ นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวินัย การสังเกต คณุ ลักษณะอนั พึง คณุ ภาพตงั้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถือว่าผา่ น 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผา่ น 9. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ข้ันนา 1) ครสู นธนาทักทายนักเรียน และทบทวนความรเู้ ร่อื ง สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว ดังนี ตัวอยา่ งท่ี 30 จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 วิธที า กาหนด p(x) = x3 - 3x2 + 5x + 9 จานวนเต็มทหี่ าร 9 ลงตวั คอื ±1 , ±3, ±9 จากการตรวจสอบ p(1), p(-1), p(3), p(-3), p(9) และ p(-9) พบว่า p(-1) = 0 ดังนัน x + 1 เป็นตวั ประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x + 1)(x2 - 4x + 9) ดงั นัน x + 1 = 0 หรอื x2 - 4x + 9 = 0 ถา้ x2 - 4x + 9 = 0 จะได้ x = 4 ± 16 - 36 i = 2 ± 5i 2 นน่ั คอื เซตคาตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 คอื -1, 2 + 5i, 2 - 5i

ขนั้ สอน 1) ครบู รรยายเกีย่ วกับสมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว พร้อมยกตวั อย่าง ดังนี ตัวอยา่ งที่ 33 กาหนด 2 + 3i เปน็ คาตอบของสมการ x4 - 7x2 + 20x + 14 = 0 วธิ ที า จงหาเซตคาตอบของสมการนี กาหนด p(x) = x4 - 7x2 + 20x + 14 2 จากทฤษฎีบท 12 จะได้วา่ 2 - 3i เปน็ คาตอบของสมการดว้ ย เนอื่ งจาก (x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i)) = x2 - 4x + 7 และเมอ่ื นา x2 - 4x + 7 ไปหาร p(x) ได้ผลหารเปน็ x2 + 4x + 2 จะได้ p(x) = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 2) ถา้ x2 + 4x + 2 = 0 แล้ว x = -2 + 2 หรอื x = -2 - 2 ดงั นนั เซตคาตอบของสมการนี คอื 2 + 3i, 2 - 3i, -2 + 2, -2 - ตัวอยา่ งท่ี 34 จงหาสมการพหนุ ามดกี รี 4 ที่มีสมั ประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเตม็ มี 3, -4 และ 3 + i เปน็ คาตอบ วิธีทา และมี 1 เปน็ สมั ประสทิ ธนิ์ า จะได้ (x - 3)(x + 4)(x - (3 + i))(x - (3 - i)) = 0 (x2 + x - 12)(x2 - 6x + 10) = 0 x4 - 5x3 - 8x2 + 82x -120 = 0 2) ครูให้นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ ชว่ ยกันทาแบบฝึกหดั ท่ี 10 ข้อท่ี 2 - 4 เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว และนาเสนอหนา้ ชนั เรยี น 3) ในระหวา่ งที่นกั เรยี นชว่ ยกนั ทาแบบฝึกหัด ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปดิ โอกาสใหน้ ักเรยี นได้ ถามข้อสงสยั เพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรยี นในระหวา่ งเรยี นได้ ขัน้ สรปุ 1) นกั เรียนและครรู ว่ มกนั สรปุ ความรู้ เร่อื ง สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว ทไ่ี ดจ้ ากการเรียน และครู เปดิ โอกาสให้นกั เรยี นซกั ถามปญั หาหรือข้อสงสยั ตา่ งๆ 2) ครูให้นักเรียนแบ่งกลมุ่ ทาแบบฝึกหัดที่ 10 ขอ้ ท่ี 2 - 4 หากนกั เรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในช่วั โมง จะให้ นกั เรยี นนากลับไปทาเปน็ การบ้าน แลว้ ครูและนักเรียนจะรว่ มกนั เฉลยในช่วงโมงถัดไป 3) ครแู นะนาใหน้ กั เรียนค้นควา้ หาโจทยเ์ พ่มิ เติมจากแหล่งเรียนร้ตู ่างๆ 10. ส่อื อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนงั สือเรียนรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง จานวนเชงิ ซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 22 เร่อื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลักความมเี หตผุ ล ปฏิบัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปัญหาโดยใช้ปัญญา 2) เงือ่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ท่ี 10 เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว ข้อท่ี 5 - 7 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมิน แบบฝกึ หดั ที่ 10 ดา้ นความรู้ (K) ข้อที่ 5 - 7 นกั เรียนทาแบบฝกึ หัด 1. แก้สมการพหุนามตวั พจิ ารณาจากความ ถกู ต้องร้อยละ 60 แปรเดยี วดกี รีไมเ่ กนิ สี่ ที่ ถูกตอ้ งของแบบฝกึ หัด แบบประเมินผลด้าน ขนึ ไป ถือวา่ ผ่านเกณฑ์ มีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวน ทักษะ/กระบวนการ ท่ีกาหนด เต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน 1) แก้โจทยป์ ญั หา การสงั เกต ขึนไป ถือว่าผ่าน สมการพหนุ ามตวั แปร เดียวดกี รีไมเ่ กินส่ี ที่มี นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั สมั ประสิทธิ์เป็นจานวน คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ ขึนไป ถือว่าผา่ น แกป้ ญั หา ได้ 2) ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหา การสังเกต สมการพหุนามตัวแปร เดียวดกี รีไมเ่ กนิ ส่ี ท่ีมี สมั ประสิทธ์เิ ป็นจานวน เตม็ และนาไปใช้ในการ แกป้ ัญหาได้

ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวัดผล เครอ่ื งมอื วดั ผล เกณฑก์ ารประเมนิ 3) เชือ่ มโยงความรูต้ ่างๆ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดบั ของคณิตศาสตร์ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขึนไป ถือว่าผา่ น 4) ส่ือสาร สอ่ื การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถือว่าผา่ น คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มูล ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเป็น การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน แบบประเมนิ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดบั 2) มีระเบยี บวินัย การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ น 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพงึ คุณภาพตัง้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้ึนไป ถอื วา่ ผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขั้นนา 1) ครสู นธนาทักทายนกั เรียน และทบทวนความรเู้ รื่อง สมการพหุนามตวั แปรเดยี ว ดงั นี ตัวอย่างที่ 33 กาหนด 2 + 3i เปน็ คาตอบของสมการ x4 - 7x2 + 20x + 14 = 0 วธิ ีทา จงหาเซตคาตอบของสมการนี กาหนด p(x) = x4 - 7x2 + 20x + 14 2 จากทฤษฎบี ท 12 จะได้วา่ 2 - 3i เปน็ คาตอบของสมการดว้ ย เน่อื งจาก (x - (2 + 3i))(x - (2 - 3i)) = x2 - 4x + 7 และเมอ่ื นา x2 - 4x + 7 ไปหาร p(x) ได้ผลหารเปน็ x2 + 4x + 2 จะได้ p(x) = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 2) ถ้า x2 + 4x + 2 = 0 แลว้ x = -2 + 2 หรือ x = -2 - 2 ดังนนั เซตคาตอบของสมการนี คอื 2 + 3i, 2 - 3i, -2 + 2, -2 -

ตวั อยา่ งที่ 34 จงหาสมการพหนุ ามดีกรี 4 ท่มี ีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเต็ม มี 3, -4 และ 3 + i เปน็ คาตอบ วิธที า และมี 1 เปน็ สัมประสิทธน์ิ า จะได้ (x - 3)(x + 4)(x - (3 + i))(x - (3 - i)) = 0 (x2 + x - 12)(x2 - 6x + 10) = 0 x4 - 5x3 - 8x2 + 82x -120 = 0 ขน้ั สอน 1) ครูใหน้ ักเรียนแบง่ กลมุ่ ชว่ ยกนั ทาแบบฝึกหดั ที่ 10 ขอ้ ที่ 5 - 7 เรอ่ื ง สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว และนาเสนอหนา้ ชันเรียน 2) ในระหวา่ งท่นี ักเรียนชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หดั ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปิดโอกาสใหน้ กั เรียนได้ ถามขอ้ สงสยั เพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนในระหว่างเรยี นได้ ขั้นสรปุ 1) นกั เรยี นและครูรว่ มกนั สรุปความรู้ เร่ือง สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว ทไี่ ด้จากการเรียน และครู เปิดโอกาสใหน้ ักเรยี นซกั ถามปญั หาหรอื ขอ้ สงสัยต่างๆ 2) ครใู ห้นักเรียนแบง่ กลมุ่ ทาแบบฝึกหัดที่ 10 ขอ้ ท่ี 5 - 7 หากนักเรียนทาไมเ่ สรจ็ ในช่วั โมง จะให้ นกั เรยี นนากลับไปทาเป็นการบ้าน แลว้ ครแู ละนกั เรียนจะร่วมกนั เฉลยในช่วงโมงถัดไป 3) ครูแนะนาให้นักเรยี นค้นควา้ หาโจทย์เพมิ่ เติมจากแหลง่ เรียนรตู้ ่างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 23 เร่อื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บรู ณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปญั หาโดยใช้ปญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผ้เู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ท่ี 10 เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว ข้อท่ี 8 - 10 8. การวัดและประเมินผล ผลการเรียนรู้ วิธกี ารวดั ผล เคร่ืองมือวดั ผล เกณฑ์การประเมนิ แบบฝกึ หดั ท่ี 10 ด้านความรู้ (K) ขอ้ ท่ี 8 - 10 นักเรยี นทาแบบฝกึ หัด 1. แก้สมการพหนุ ามตัว พิจารณาจากความ ถกู ตอ้ งร้อยละ 60 แปรเดยี วดีกรไี ม่เกนิ สี่ ที่ ถูกตอ้ งของแบบฝึกหัด แบบประเมนิ ผลด้าน ขึนไป ถือวา่ ผา่ นเกณฑ์ มสี มั ประสทิ ธเ์ิ ปน็ จานวน ทกั ษะ/กระบวนการ ทีก่ าหนด เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แกป้ ัญหา แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน 1) แกโ้ จทย์ปญั หา การสังเกต ขึนไป ถอื วา่ ผา่ น สมการพหนุ ามตัวแปร เดยี วดกี รไี มเ่ กินสี่ ทีม่ ี นกั เรยี นได้คะแนนระดับ สมั ประสิทธ์เิ ปน็ จานวน คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แก้ปัญหา ได้ 2) ใช้เหตุผลแก้ปญั หา การสังเกต สมการพหนุ ามตัวแปร เดยี วดกี รไี ม่เกินส่ี ท่มี ี สมั ประสทิ ธ์เิ ปน็ จานวน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แกป้ ญั หาได้

ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวดั ผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมิน 3) เช่ือมโยงความรู้ตา่ งๆ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ของคณิตศาสตร์ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื ว่าผ่าน 4) ส่ือสาร ส่ือ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน คณิตศาสตร์ และ นาเสนอข้อมลู ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวินยั การสงั เกต คุณลักษณะอันพึง คุณภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื วา่ ผ่าน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื ว่าผา่ น 9. กิจกรรมการเรียนรู้ ขนั้ นา 1) ครสู นธนาทักทายนกั เรยี น และทบทวนความรูเ้ ร่ือง สมการพหุนามตัวแปรเดียว ดังนี ทฤษฎบี ท 6 กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้ว่าคาตอบของสมการกาลังสอง ax2 + bx + c= 0 คอื 1. -b  b2 - 4ac เมือ่ b2 - 4ac  0 2a -b  b2 - 4ac i 2. เมอ่ื b2 - 4ac < 0 2a ทฤษฎีบท 7 ทฤษฎีบทหลักมูลของพชี คณิต (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทม่ี ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมดี ีกรีมากกวา่ ศนู ย์ จะได้ว่าสมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเป็นจานวนเชิงซ้อนอย่างนอ้ ยหนง่ึ คาตอบ

ทฤษฎีบท 8 ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เปน็ พหุนาม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรับจานวนจรงิ c ใดๆ จะได้วา่ พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตวั ประกอบ ก็ต่อเมอ่ื p(c) = 0 ทฤษฎีบท 9 ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เปน็ พหุนาม โดยท่ี n เป็นจานวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจรงิ ซงึ่ an  0 ถา้ x - k เปน็ ตวั ประกอบของพหนุ าม p(x) โดยท่ี m และ k เปน็ จานวนเต็ม ซึ่ง m0 m และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แล้ว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตวั ทฤษฎบี ท 10 ให้ p(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธ์ิเป็นจานวนจริงและมดี ีกรี n เมอื่ n1 จะไดว้ า่ สมการ p(x) = 0 จะมีคาตอบทีเ่ ปน็ จานวนเชิงซ้อนทงั หมด n คาตอบ เม่อื นบั คาตอบทีซ่ ากัน ทฤษฎีบท 11 ถ้าจานวนเชิงซ้อน z เป็นคาตอบของสมการพหุนาม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมสี มั ประสิทธิ์ a1,a2, a3, …, an เปน็ จานวนจริง แลว้ z จะเปน็ คาตอบของสมการ พหุนามนี ข้นั สอน 1) ครูแบง่ กลุ่มนกั เรียนช่วยกันทาแบบฝึกหดั ที่ 10 ข้อท่ี 8 - 10 เร่อื ง สมการพหุนามตวั แปรเดียว และนาเสนอหนา้ ชนั เรยี น 2) ในระหว่างทนี่ กั เรียนชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หัด ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปดิ โอกาสให้นกั เรยี นได้ ถามขอ้ สงสัย เพอ่ื ครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนในระหว่างเรียนได้ ข้ันสรุป 1) นกั เรยี นและครรู ว่ มกนั สรุปความรู้ เร่ือง สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว ทไี่ ดจ้ ากการเรยี น และครู เปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นซกั ถามปญั หาหรอื ขอ้ สงสัยต่างๆ 2) ครูใหน้ ักเรยี นแบ่งกลมุ่ ทาแบบฝึกหัดที่ 10 ข้อที่ 8 - 10 หากนักเรียนทาไมเ่ สร็จในชว่ั โมง จะให้ นกั เรียนนากลับไปทาเปน็ การบา้ น แลว้ ครูและนกั เรียนจะร่วมกนั เฉลยในช่วงโมงถดั ไป 3) ครแู นะนาให้นกั เรยี นค้นคว้าหาโจทยเ์ พิ่มเติมจากแหล่งเรยี นรตู้ า่ งๆ 10. ส่ือ อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 24 เร่อื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บรู ณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใช้ความคิด แก้ปญั หาโดยใชป้ ญั ญา 2) เง่อื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หัด ท่ี 10 เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว ขอ้ ที่ 11 - 14 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วิธกี ารวดั ผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑ์การประเมิน แบบฝึกหดั ท่ี 10 ด้านความรู้ (K) ขอ้ ที่ 11 - 14 นกั เรียนทาแบบฝกึ หดั 1. แก้สมการพหุนามตวั พจิ ารณาจากความ ถกู ตอ้ งรอ้ ยละ 60 แปรเดียวดกี รไี ม่เกินสี่ ท่ี ถูกตอ้ งของแบบฝกึ หัด แบบประเมินผลด้าน ขึนไป ถือว่าผ่านเกณฑ์ มสี มั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวน ทกั ษะ/กระบวนการ ที่กาหนด เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แกป้ ัญหา แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน 1) แก้โจทย์ปญั หา การสงั เกต ขึนไป ถอื วา่ ผ่าน สมการพหนุ ามตัวแปร เดยี วดีกรไี ม่เกินส่ี ที่มี นักเรียนได้คะแนนระดบั สมั ประสทิ ธิ์เป็นจานวน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น แก้ปัญหา ได้ 2) ใช้เหตุผลแก้ปญั หา การสงั เกต สมการพหนุ ามตัวแปร เดยี วดกี รไี มเ่ กนิ ส่ี ท่ีมี สมั ประสิทธิเ์ ปน็ จานวน เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แกป้ ญั หาได้

ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวดั ผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมิน 3) เช่ือมโยงความรู้ตา่ งๆ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ของคณิตศาสตร์ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื ว่าผ่าน 4) ส่ือสาร ส่ือ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน คณิตศาสตร์ และ นาเสนอข้อมลู ด้านคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเปน็ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน แบบประเมิน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวินยั การสงั เกต คุณลักษณะอันพึง คุณภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื วา่ ผ่าน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื ว่าผา่ น 9. กิจกรรมการเรียนรู้ ขนั้ นา 1) ครสู นธนาทักทายนกั เรยี น และทบทวนความรูเ้ ร่ือง สมการพหุนามตัวแปรเดียว ดังนี ทฤษฎบี ท 6 กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้ว่าคาตอบของสมการกาลังสอง ax2 + bx + c= 0 คอื 1. -b  b2 - 4ac เมือ่ b2 - 4ac  0 2a -b  b2 - 4ac i 2. เมอ่ื b2 - 4ac < 0 2a ทฤษฎีบท 7 ทฤษฎีบทหลักมูลของพชี คณิต (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทม่ี ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมดี ีกรีมากกวา่ ศนู ย์ จะได้ว่าสมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเป็นจานวนเชิงซ้อนอย่างนอ้ ยหนง่ึ คาตอบ

ทฤษฎีบท 8 ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เปน็ พหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซึ่ง an  0 สาหรับจานวนจริง c ใดๆ จะไดว้ า่ พหุนาม p(x) มี x - c เปน็ ตัวประกอบ กต็ อ่ เม่ือ p(c) = 0 ทฤษฎีบท 9 ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เปน็ พหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจรงิ ซึ่ง an  0 ถ้า x - k เป็นตัวประกอบของพหนุ าม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ จานวนเต็ม ซง่ึ m0 m และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตัว ทฤษฎบี ท 10 ให้ p(x) เป็นพหนุ ามทมี่ ีสัมประสิทธเิ์ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่าสมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบที่เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นทงั หมด n คาตอบ เมือ่ นับคาตอบท่ีซากนั ทฤษฎีบท 11 ถ้าจานวนเชิงซอ้ น z เปน็ คาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสัมประสทิ ธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็นจานวนจรงิ แลว้ z จะเปน็ คาตอบของสมการ พหุนามนี ข้นั สอน 1) ครูแบ่งกลุ่มนักเรียนชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หัดท่ี 10 ข้อท่ี 11 - 14 เร่ือง สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว และนาเสนอหนา้ ชนั เรยี น 2) ในระหว่างทีน่ กั เรียนชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หดั ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปิดโอกาสให้นักเรียนได้ ถามขอ้ สงสัย เพอ่ื ครจู ะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นได้ ข้ันสรปุ 1) นกั เรยี นและครรู ่วมกนั สรุปความรู้ เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว ที่ไดจ้ ากการเรยี น และครู เปิดโอกาสใหน้ กั เรียนซักถามปัญหาหรอื ขอ้ สงสยั ต่างๆ 2) ครใู ห้นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ ทาแบบฝกึ หัดท่ี 10 ขอ้ ที่ 11 - 14 หากนกั เรียนทาไม่เสร็จในชัว่ โมง จะให้ นกั เรียนนากลับไปทาเป็นการบ้าน แล้วครูและนกั เรียนจะร่วมกันเฉลยในช่วงโมงถัดไป 3) ครูแนะนาให้นกั เรยี นคน้ ควา้ หาโจทย์เพ่ิมเติมจากแหล่งเรยี นรตู้ า่ งๆ 10. ส่ือ อปุ กรณ์ และแหลง่ เรยี นรู้ 1) หนังสือเรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง จานวนเชิงซ้อน

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 4 ชว่ งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศึกษาปที ี่ 5 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 ปกี ารศึกษา 2563 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน เวลา 1 ชว่ั โมง ช่อื ครผู ู้สอน นายคเณศ สมตระกูล โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 25 เร่ือง ทดสอบหลังเรยี น เรือ่ ง จานวนเชงิ ซ้อน 1. ผลการเรยี นรู/้ มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เข้าใจจานวนเชิงซ้อนและใชส้ มบัติของจานวนเชงิ ซ้อนในการแก้ปญั หา 2) หารากท่ี n ของจานวนเชงิ ซอ้ น เม่ือ n เปน็ จานวนนับที่มากกวา่ 1 3) แกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดียวดีกรีไม่เกนิ สี่ ท่ีมีสัมประสิทธิเ์ ป็นจานวนเต็ม และนาไปใช้ในการ แกป้ ญั หา 2. สาระสาคญั การแกโ้ จทย์ปญั หา เรือ่ ง จานวนเชงิ ซ้อน 3. ผลการการเรยี นรทู้ ่ีคาดหวัง 1) ดา้ นความรู้ (K) : นักเรียนสามารถ - แก้โจทยป์ ญั หาท่ีกาหนดให้ได้ 2) ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แก้โจทยป์ ญั หาเร่ือง จานวนเชิงซ้อน ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกโ้ จทย์ปญั หา - เชื่อมโยงความรตู้ า่ งๆ ของคณิตศาสตร์ได้ 3) ดา้ นคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : นกั เรียน - มคี วามซ่อื สตั ย์ สุจริต - มรี ะเบียบวินยั - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดา้ นคุณลักษณะของผเู้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลิศวิชาการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคดิ 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพยี ง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใช้ความคดิ แก้ปัญหาโดยใชป้ ัญญา 2) เงื่อนไขความรู้ 3) เงอื่ นไขคณุ ธรรม ปฏิบตั ิงานตามความสามารถที่ทาได้ อยา่ งพอเหมาะพอควร 6. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 7. ชิน้ งาน / ภาระงาน 1) แบบทดสอบหลังเรียน เร่อื ง จานวนเชงิ ซอ้ น จานวน 20 ข้อ 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวดั ผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑ์การประเมนิ ด้านความรู้ (K) พจิ ารณาจากความ แบบทดสอบหลังเรยี น นกั เรยี นทาแบบฝึกหดั 1. แก้โจทย์ปญั หาที่ ถกู ต้องของแบบทดสอบ ถกู ตอ้ งร้อยละ 60 กาหนดใหไ้ ด้ หลังเรยี น ขนึ ไป ถือว่าผา่ นเกณฑ์ ทก่ี าหนด ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลด้าน 1) แก้โจทยป์ ญั หาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื วา่ ผา่ น 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ แกโ้ จทย์ปญั หา ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น 3) เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดบั ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื ว่าผ่าน

ผลการเรียนรู้ วิธีการวดั ผล เคร่อื งมอื วดั ผล เกณฑก์ ารประเมิน ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) แบบประเมิน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 1) ทางานอยา่ งเป็น การสังเกต คณุ ลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื วา่ ผ่าน แบบประเมิน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวินยั การสงั เกต คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถือว่าผา่ น 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดค้ ะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คุณภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน 4) มีความซอ่ื สัตย์ สุจรติ การสงั เกต ประสงค์ ขึ้นไป ถอื ว่าผ่าน แบบประเมนิ นกั เรียนได้คะแนนระดบั คุณลักษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ้ ไป ถอื ว่าผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ 1) ครสู นทนาทกั ทายกับนกั เรยี น พร้อมแจ้งรายละเอยี ดของการสอบ 2) ให้นกั เรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรยี นเรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน เพอื่ วดั ความรพู้ ืนฐานของนักเรยี นเปน็ เวลา 50 นาที 3) ครตู รวจแบบทดสอบหลงั เรยี นเรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน รวบรวมคะแนน และแจ้งผลคะแนน การสอบใหน้ กั เรยี นทราบภายหลัง 10. ส่อื อปุ กรณ์ และแหล่งเรยี นรู้ 1) แบบทดสอบหลังเรยี น เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน จานวน 20 ขอ้