แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

ข้นั สรุป 1) นกั เรยี นและครูร่วมกนั สรปุ ความรู้ เรอ่ื ง กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจานวนเชงิ ซ้อน ท่ไี ด้จาก การเรยี น และครูเปดิ โอกาสใหน้ กั เรียนซักถามปัญหาหรอื ขอ้ สงสัยต่างๆ 2) ครูใหน้ ักเรียนแบง่ กลุ่มทาแบบฝกึ หดั ที่ 5 ขอ้ ท่ี 7 - 12 หากนกั เรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในช่ัวโมง จะให้ นักเรยี นนากลบั ไปทาเปน็ การบา้ น แลว้ ครูและนักเรียนจะรว่ มกันเฉลยในช่วงโมงถดั ไป 3) ครแู นะนาให้นกั เรียนค้นคว้าหาโจทยเ์ พ่ิมเติมจากแหล่งเรียนร้ตู า่ งๆ 10. สื่อ อุปกรณ์ และแหลง่ เรยี นรู้ 1) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน

แผนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 ชว่ งชนั้ ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศกึ ษา 2563 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ น เวลา 1 ชว่ั โมง ชอื่ ครผู ู้สอน นายคเณศ สมตระกลู โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 10 เร่ือง กราฟและค่าสมั บรู ณ์ของจานวนเชิงซ้อน 1. ผลการเรยี นรู/้ มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เขา้ ใจจานวนเชงิ ซ้อนและใชส้ มบัตขิ องจานวนเชิงซอ้ นในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคญั จานวนเชงิ ซอ้ นเขียนอย่ใู นรูปของคู่อนั ดบั (a, b) หรือในรปู a + bi โดยที่ a เป็นสว่ นจรงิ และ b เปน็ สว่ นจนิ ตภาพ ดงั นนั อาจแทนจานวนเชิงซ้อน (a, b) ใดๆ ด้วยจุดในระนาบได้เชน่ เดียวกับการแทนคู่ อันดับในความสมั พันธ์ใดๆ ด้วยจุดในระนาบในระบบพกิ ดั แก และเรียกแกน X ว่า แกนจรงิ (real axis) เรียก แกน Y ว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรยี กระนาบนวี า่ ระนาบเชิงซ้อน (complex number) กราฟของจานวนเชิงซอ้ นมี 2 แบบ คอื 1) แทนดว้ ยจดุ ในระนาบเชงิ ซอ้ น 2) แทนด้วยเวกเตอร์ทมี่ ีจดุ เร่ิมตน้ ที่ (0, 0) และมีจุดสนิ สุดท่ี (a, b) บทนิยาม ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรือ modulus) ของจานวนเชงิ ซอ้ น (a, b) เขยี นแทนด้วย a + bi โดยท่ี a + bi = a2 + b2 ทฤษฎบี ท กาหนด z, z1 และ z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน จะได้วา่ 1) z = z z 2) z = -z = z 3) z1  z2 = z1  z2 4) z1 = z1 , z2  0 z2 z2 5) z-1 = z -1 6) z1 + z2  z1 + z2 7) z1 - z2  z1 - z2 8) zn = z n 9) z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10) z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2

3. ผลการการเรยี นรู้ท่คี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นกั เรียนสามารถ - เขา้ ใจจานวนเชงิ ซ้อนและใชส้ มบัตขิ องจานวนเชิงซ้อนในการแกป้ ัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แก้โจทย์ปญั หาเรื่องกราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - ใช้เหตุผลในการแก้ปญั หากราฟและคา่ สัมบูรณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - เชอ่ื มโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สื่อสาร สื่อความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล 3) ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) : นักเรียน - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวนิ ัย - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ด้านคณุ ลกั ษณะของผเู้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลศิ วชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสร้างสรรค์ 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใชป้ ัญญา 2) เง่ือนไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผ้เู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปญั หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หดั ท่ี 5 ขอ้ ท่ี 13 - 18 เรอื่ ง กราฟและค่าสมั บูรณ์ของจานวนเชิงซอ้ น

8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วิธีการวดั ผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑ์การประเมิน ด้านความรู้ (K) แบบฝึกหดั ท่ี 5 นักเรียนทาแบบฝกึ หดั 1. เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ น พจิ ารณาจากความ ขอ้ ท่ี 13 - 18 ถกู ตอ้ งร้อยละ 60 และใชส้ มบตั ิของจานวน ถกู ต้องของแบบฝึกหดั ขึนไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ เชิงซอ้ นในการแกป้ ัญหา ท่กี าหนด ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดบั 1) แกโ้ จทยป์ ญั หาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน กราฟและค่าสัมบรู ณ์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนได้คะแนนระดับ 2) ใช้เหตุผลในการ การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน แกป้ ญั หากราฟและ ขึนไป ถือว่าผ่าน คา่ สมั บรู ณ์ของจานวน แบบประเมินผลด้าน เชงิ ซ้อน ได้ ทักษะ/กระบวนการ นกั เรยี นได้คะแนนระดบั 3) เชอ่ื มโยงความรู้ต่างๆ การสงั เกต คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตร์ได้ ขึนไป ถือว่าผ่าน นักเรียนได้คะแนนระดับ 4) สื่อสาร สื่อ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ทักษะ/กระบวนการ ขึนไป ถือว่าผ่าน ความหมายทาง แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดับ คณิตศาสตร์ และ คณุ ลักษณะอันพงึ คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึนไป ถอื วา่ ผ่าน นาเสนอข้อมลู แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) ประสงค์ ขึ้นไป ถอื วา่ ผา่ น แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดบั 1) ทางานอยา่ งเป็น การสังเกต คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผ่าน ระบบรอบคอบ 2) มีระเบียบวนิ ยั การสงั เกต 3) มคี วามรับผิดชอบ การสงั เกต

9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ข้ันนา 1) ครูสนธนาทักทายนกั เรียน และทบทวนความรู้เรอื่ ง กราฟและคา่ สมั บูรณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน ตามตัวอยา่ งดังนี บทนยิ าม 8 คา่ สัมบูรณ์ (absolute value หรือ modulus) ของจานวนเชงิ ซ้อน (a, b) เขียนแทนดว้ ย a + bi โดยท่ี a + bi = a2 + b2 ทฤษฎบี ท 2 กาหนด z, z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน จะไดว้ า่ 1. z = z z 2. z = -z = z 3. z1  z2 = z1  z2 4. z1 = z1 , z2  0 z2 z2 5. z-1 = z -1 6. z1 + z2  z1 + z2 7. z1 - z2  z1 - z2 8. zn = z n 9. z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10. z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2 ขน้ั สอน 1) ครูใหน้ ักเรียนแบ่งกล่มุ ช่วยกันทาแบบฝึกหัดท่ี 5 ข้อที่ 13 - 18 เร่ือง กราฟและค่าสมั บูรณข์ อง จานวนเชงิ ซอ้ น และนาเสนอหน้าชนั เรียน 2) ในระหว่างท่ีนกั เรียนชว่ ยกนั ทาแบบฝกึ หดั ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปดิ โอกาสให้นกั เรยี นได้ ถามขอ้ สงสัย เพอ่ื ครจู ะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นได้ ขน้ั สรปุ 1) นกั เรยี นและครูร่วมกันสรปุ ความรู้ เรือ่ ง กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ น ทไ่ี ดจ้ าก การเรียน และครูเปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นซกั ถามปัญหาหรอื ข้อสงสัยต่างๆ 2) ครูใหน้ กั เรียนแบ่งกลุม่ ทาแบบฝึกหัดที่ 5 ข้อท่ี 13 - 18 หากนกั เรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในชวั่ โมง จะให้ นกั เรยี นนากลบั ไปทาเปน็ การบา้ น แล้วครแู ละนักเรียนจะร่วมกนั เฉลยในชว่ งโมงถัดไป 3) ครูแนะนาให้นักเรยี นค้นควา้ หาโจทยเ์ พิ่มเติมจากแหลง่ เรียนร้ตู ่างๆ 10. สอ่ื อุปกรณ์ และแหลง่ เรยี นรู้ 1) หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จานวนเชิงซ้อน

แผนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 ชว่ งชนั้ ท่ี 3 มัธยมศึกษาปีที่ 5 ปีการศึกษา 2563 รหัสวิชา ค 32202 ภาคเรียนท่ี 2 เวลา 1 ช่ัวโมง หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1 เร่ือง จานวนเชงิ ซอ้ น โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผู้สอน นายคเณศ สมตระกูล แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 11 เรอ่ื ง รปู เชงิ ข้ัวของจานวนเชิงซอ้ น 1. ผลการเรียนร้/ู มาตรฐานการเรยี นรู้ 1) เขา้ ใจจานวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบตั ิของจานวนเชงิ ซ้อนในการแก้ปัญหา 2. สาระสาคัญ กาหนด z เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นใดๆ บทนิยาม z = a + bi จะได้ r(cos  + isin  ) หรือ rcis หรอื r เปน็ รปู เชงิ ขัวของ จานวนเชงิ ซอ้ น a + bi โดยท่ี tan = b และ r= z = a2 + b2 a 3. ผลการการเรยี นรทู้ คี่ าดหวงั 1) ดา้ นความรู้ (K) : นกั เรยี นสามารถ - เข้าใจจานวนเชิงซ้อนและใช้สมบัติของจานวนเชิงซ้อนในการแก้ปญั หา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แก้โจทย์ปัญหาเรื่องรูปเชิงขัวของจานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแก้ปญั หารูปเชิงขวั ของจานวนเชงิ ซ้อน ได้ - เช่ือมโยงความรูต้ ่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ - สือ่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ดา้ นคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินัย - มีความรบั ผิดชอบ 4. ดา้ นคณุ ลักษณะของผเู้ รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสรา้ งสรรค์

5. บรู ณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตุผล ปฏบิ ัตงิ านโดยใช้ความคิด แก้ปัญหาโดยใช้ปัญญา 2) เงอื่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ที่ 6 เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อนในรูปเชิงขวั (Polar Form) 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวดั ผล เครือ่ งมือวัดผล เกณฑก์ ารประเมิน แบบฝึกหดั ท่ี 6 ด้านความรู้ (K) นกั เรียนทาแบบฝึกหัด 1. เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ น พจิ ารณาจากความ ถกู ต้องร้อยละ 60 และใชส้ มบตั ิของจานวน ถกู ตอ้ งของแบบฝึกหัด ขึนไป ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์ เชงิ ซ้อนในการแก้ปัญหา ท่กี าหนด ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 1) แกโ้ จทย์ปัญหาเรอื่ ง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน รปู เชงิ ขัวของจานวน ขนึ ไป ถือวา่ ผา่ น เชิงซอ้ น ได้ แบบประเมินผลด้าน นักเรียนได้คะแนนระดับ 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน แกป้ ญั หารูปเชิงขวั ของ ขึนไป ถือว่าผ่าน จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั 3) เชือ่ มโยงความรู้ต่างๆ การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ขนึ ไป ถือว่าผา่ น นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 4) สื่อสาร สอ่ื การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ทักษะ/กระบวนการ ขึนไป ถอื ว่าผ่าน คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มลู

ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวดั ผล เคร่ืองมอื วดั ผล เกณฑ์การประเมนิ ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) แบบประเมนิ นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 1) ทางานอย่างเป็น การสังเกต คณุ ลักษณะอนั พึง คณุ ภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถือวา่ ผ่าน แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดับ 2) มีระเบียบวินัย การสงั เกต คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตงั้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถือวา่ ผ่าน 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้ึนไป ถอื วา่ ผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ข้นั นา 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรยี น และทบทวนความรเู้ ร่อื ง จานวนเชงิ ซอ้ น ดังนี ตวั อยา่ งท่ี 17 กาหนด z1 = 2 - i และ z2 = 3 + i จงหา วธิ ีทา 1) z12 2) z2 1) z12 = 4 - 4i + i2 = 3 - 4i = 32 + (-4)2 =5 2) z2 = 3 + i = (3)2 + (1)2 = 10

ขน้ั สอน 1) ครูบรรยายเกีย่ วกับ เรือ่ ง รูปเชงิ ขวั ของจานวนเชิงซอ้ น พร้อมยกตวั อยา่ ง ดังนี จานวนเชิงซอ้ นในรูปเชงิ ขวั้ (Polar Form) การเขียนจานวนเชิงซ้อนนอกจากจะเขยี นในรูป a + bi แลว้ ยังเขยี นได้ในรูปเวกเตอร์ ที่แทน จานวนเชงิ ซ้อนนนั ทามุมกับแกน X เรียกจานวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขัว Polar Form หรือ Trigonometric Form ถ้า z = (a, b) = a + bi และ a > 0, b > 0 จะสามารถเขียนแสดง z ด้วยเวกเตอร์ในระนาบ เชิงซ้อนได้ดังนี Y r z = a + bi O aa b X รูปท่ี 5 กาหนด  เปน็ มุมบวกทเี่ ลก็ ท่ีสุดท่ีเวกเตอรท์ ากบั แกน X ทางดา้ นบวก ในทิศทางบวก (จากแกน X ทางดา้ นบวกวัดทวนเขม็ นาฬิกาไปยงั เวกเตอร์ทีแ่ ทนจานวนเชิงซ้อนนนั ) เรยี ก  ว่า แอมพลจิ ูด (amplitude) หรือ อารก์ วิ เมนต์ (argument) ของ z จาก z ในกราฟรูปที่ 5 จะหาพกิ ัดของ z ในรูปของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ กาหนด r = OZ = a2 + b2 จากรูปสามเหลี่ยมรปู ท่ี 5 จะได้ a = cos และ b = sin r r a = rcos และ b = rsin จาก z = a + bi จะได้วา่ z = rcos  + irsin  หรอื z = r(cos  + isin  ) ดังนัน z = a + bi สามารถเขยี นในรปู r(cos  + isin  ) โดยท่ี tan = b a เรยี ก z = r(cos  + isin  ) ว่า จานวนเชิงซอ้ นในรูปเชิงข้วั (Polar Form) ของ a + bi แต่ cos = cos( + 2k) และ sin = sin( + 2k) เม่ือ k เปน็ จานวนเตม็ ดังนนั r(cos( + 2k) + isin( + 2k) เปน็ รปู เชงิ ขวั ของจานวนเชงิ ซ้อน a + bi ด้วย

บทนิยาม 9 กาหนด z เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนใดๆ z = a + bi จะได้ r(cos  + isin  ) หรือ rcis หรือ r เปน็ รปู เชงิ ขัวของจานวนเชิงซอ้ น a + bi โดยที่ tan = b และ r= z = a2 + b2 a ตวั อย่างท่ี 19 จงเขียน z ทีก่ าหนดในรปู เชงิ ขวั วธิ ีทา 1) z = 1 + 3i 2) z = -1 + 3i 3) z = -1 - 3i 4) z = 1 - 3i 1) จาก z = 1 + 3i จะได้ a = 1, b = 3 และ tan = b = 3 จะได้  = 60o a 1 r = a2 + b2 = 12 + (- 3)2 = 2 ดังนนั z = 1 + 3i = 2(cos60o + isin60o ) 2) จาก z = -1 + 3i จะได้ a = -1, b = 3 และ tan = b = - 3 จะได้  = 120o a r = a2 + b2 = (-1)2 + ( 3)2 = 2 ดงั นัน z = -1 + 3i = 2(cos120o + isin120o ) 3) จาก z = -1 - 3i จะได้ a = -1, b = - 3 และ tan = b = -3 จะได้  = 240o a -1 r = a2 + b2 = (-1)2 + (- 3)2 = 2 ดังนัน z = -1 - 3i = 2(cos240o + isin240o ) 4) จาก z = 1 - 3i จะได้ a = 1, b = - 3 และ tan = b = -3 จะได้  = 300o a 1 r = a2 + b2 = 12 + (- 3)2 = 2 ดังนนั z = 1 - 3i = 2(cos300o + isin300o )

ตัวอย่างที่ 20 จงเขยี นจานวนเชงิ ซอ้ น 3(cos120o + isin120o ) ในรปู a + bi วิธที า 3(cos120o + isin120o ) = 3  - 1 + 3 i   2 2  = - 3 + 3i 22 ดังนัน 3(cos120o + isin120o ) = - 3 + 3 i 22 ขั้นสรปุ 1) นักเรียนและครูรว่ มกนั สรปุ ความรู้เร่อื ง รูปเชงิ ขัวของจานวนเชิงซอ้ น ทีไ่ ดจ้ ากการเรียน และเปิด โอกาสให้นักเรียนซกั ถามปญั หาหรือขอ้ สงสยั 2) ครูใหน้ กั เรยี นทาแบบฝึกหดั ท่ี 6 เรือ่ ง จานวนเชงิ ซ้อนในรปู เชิงขวั (Polar Form) ให้เสรจ็ ใน ช่ัวโมง แต่หากนกั เรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในช่ัวโมง ให้นกั เรียนนากลบั ไปทาเป็นการบา้ นแล้วร่วมเฉลยในช่วั โมงถัดไป 3) ครแู นะนาใหน้ กั เรียนคน้ คว้าหาโจทยเ์ พ่ิมเตมิ จากแหลง่ เรียนรตู้ า่ งๆ 10. สอ่ื อุปกรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง จานวนเชิงซ้อน

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 ปีการศึกษา 2563 รหสั วิชา ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ช่ัวโมง หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เรื่อง จานวนเชิงซอ้ น โรงเรียนมธั ยมวัดเบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผู้สอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 12 เร่ือง รปู เชิงขั้วของจานวนเชงิ ซอ้ น 1. ผลการเรียนร/ู้ มาตรฐานการเรยี นรู้ 1) เข้าใจจานวนเชงิ ซอ้ นและใชส้ มบัติของจานวนเชงิ ซอ้ นในการแก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด z เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ บทนิยาม z = a + bi จะได้ r(cos  + isin  ) หรือ rcis หรือ r เป็นรปู เชิงขัวของ ทฤษฎีบท จานวนเชงิ ซ้อน a + bi โดยท่ี tan = b และ r= z = a2 + b2 a กาหนด z1, z2 เป็นจานวนเชิงซอ้ น โดยท่ี z1  0, z2  0 z1= r1 (cos1+isin1) และ z2= r2 (cos2 +isin2 ) 1) z1z2= r1r2 (cos(1+ 2 ) + isin(1+ 2 )) 2) z1 = r1 (cos(1 - 2 ) + isin(1 - 2 )) z2 r2 3) 1= 1 ( cos2 - isin2 ) z2 r2 4) z1= r1 (cos(-1) + isin(-1)) 3. ผลการการเรยี นร้ทู ่ีคาดหวงั 1) ดา้ นความรู้ (K) : นกั เรียนสามารถ - เขา้ ใจจานวนเชงิ ซ้อนและใช้สมบัตขิ องจานวนเชงิ ซอ้ นในการแกป้ ญั หา 2) ดา้ นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปญั หาเรอื่ งรูปเชิงขัวของจานวนเชิงซอ้ น ได้ - ใช้เหตุผลในการแก้ปญั หารูปเชิงขัวของจานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - เชื่อมโยงความรตู้ า่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - ส่อื สาร สอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มลู

3) ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : นักเรียน - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินยั - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ด้านคุณลักษณะของผ้เู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสรา้ งสรรค์ 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตุผล ปฏบิ ัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปญั หาโดยใช้ปัญญา 2) เงือ่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคัญของผูเ้ รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ัญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หัด ที่ 7 เร่ือง การคูณ และการหารจานวนเชงิ ซ้อนในรปู เชงิ ขวั 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรียนรู้ วิธกี ารวดั ผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑ์การประเมนิ แบบฝกึ หดั ท่ี 7 ดา้ นความรู้ (K) นกั เรยี นทาแบบฝึกหัด 1. เขา้ ใจจานวนเชงิ ซ้อน พจิ ารณาจากความ ถกู ต้องร้อยละ 60 และใช้สมบตั ิของจานวน ถกู ตอ้ งของแบบฝกึ หัด ขึนไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ เชิงซ้อนในการแกป้ ญั หา ทีก่ าหนด ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ 1) แก้โจทย์ปัญหาเรอ่ื ง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน รูปเชงิ ขวั ของจานวน ขึนไป ถอื ว่าผ่าน เชิงซ้อน ได้ แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดับ 2) ใช้เหตุผลในการ การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน แกป้ ญั หารูปเชิงขัวของ ขนึ ไป ถอื ว่าผ่าน จานวนเชิงซอ้ น ได้

ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวดั ผล เครื่องมอื วดั ผล เกณฑ์การประเมนิ 3) เชื่อมโยงความรตู้ ่างๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนได้คะแนนระดบั ของคณติ ศาสตรไ์ ด้ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถอื ว่าผ่าน 4) สือ่ สาร สือ่ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดับ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถอื ว่าผ่าน คณิตศาสตร์ และ นาเสนอข้อมูล ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเปน็ การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน แบบประเมิน นักเรยี นได้คะแนนระดบั 2) มรี ะเบยี บวนิ ัย การสังเกต คุณลกั ษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื ว่าผา่ น 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นกั เรียนได้คะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถือวา่ ผา่ น 9. กิจกรรมการเรยี นรู้ ข้ันนา 1) ครูสนธนาทักทายนกั เรียน และทบทวนความรูเ้ รอ่ื ง รปู เชงิ ขวั ของจานวนเชิงซ้อน ดังนี ตัวอยา่ งท่ี 19 จงเขยี น z ท่กี าหนดในรูปเชิงขวั วิธที า 1) z = 1 + 3i 2) z = -1 + 3i 3) z = -1 - 3i 4) z = 1 - 3i 1) จาก z = 1 + 3i จะได้ a = 1, b = 3 และ tan = b = 3 จะได้  = 60o a 1 r = a2 + b2 = 12 + (- 3)2 = 2 ดังนนั z = 1 + 3i = 2(cos60o + isin60o )

2) จาก z = -1 + 3i จะได้ a = -1, b = 3 และ tan = b = - 3 จะได้  = 120o a r = a2 + b2 = (-1)2 + ( 3)2 = 2 ดงั นนั z = -1 + 3i = 2(cos120o + isin120o ) 3) จาก z = -1 - 3i จะได้ a = -1, b = - 3 และ tan = b = -3 จะได้  = 240o a -1 r = a2 + b2 = (-1)2 + (- 3)2 = 2 ดงั นนั z = -1 - 3i = 2(cos240o + isin240o ) 4) จาก z = 1 - 3i จะได้ a = 1, b = - 3 และ tan = b = -3 จะได้  = 300o a 1 r = a2 + b2 = 12 + (- 3)2 = 2 ดงั นัน z = 1 - 3i = 2(cos300o + isin300o ) ตวั อยา่ งที่ 20 จงเขยี นจานวนเชงิ ซ้อน 3(cos120o + isin120o ) ในรูป a + bi วิธีทา 3(cos120o + isin120o ) = 3  - 1 + 3 i   2 2  = - 3 + 3 i 2 2 ดังนนั 3(cos120o + isin120o ) = - 3 + 3 i 22

ขน้ั สอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกบั เร่อื ง รปู เชิงขวั ของจานวนเชิงซอ้ น พร้อมยกตัวอย่าง ดงั นี ทฤษฎีบท 3 กาหนด z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น โดยท่ี z1  0, z2  0 z1= r1 (cos1+isin1) และ z2= r2 (cos2 +isin2 ) 1. z1z2= r1r2 (cos(1+ 2 ) + isin(1+ 2 )) 2. z1 = r1 ( cos(1 - 2 ) + isin(1 - 2 ) ) z2 r2 3. 1= 1 ( cos2 - isin2 ) z2 r2 4. z1= r1 (cos(-1) + isin(-1)) ตวั อย่างท่ี 21 จงเขียนจานวนเชิงซ้อนตอ่ ไปนีใหอ้ ยใู่ นรูป a + bi เม่อื a และ b เป็นจานวนจริง 1) (2(cos18o + isin18o ))(5(cos42o + isin42o )) 2) (8(cos540o + isin540o )) (2(cos225o + isin225o )) วิธที า 1) จาก z1z2= r1r2 (cos(1+ 2 ) + isin(1+ 2 )) (ทฤษฎบี ท 4) จะได้ (2(cos18o + isin18o ))(5(cos42o + isin42o )) = 25(cos(18o + 42o ) + isin(18o + 42o )) = 10(cos(60o ) + isin(60o )) = 10 1 + 3 i  2 2  = 5(1 + 3i) = 5 + 5 3i 2) จาก z1 = r1 ( cos(1 - 2 ) + isin(1 - 2 )) (ทฤษฎบี ท 4) z2 r2 จะได้ (8(cos540o + isin540o )) (2(cos225o + isin225o )) = 4(cos(315o ) + isin(315o ) = 2 2 + 2 2i

ตัวอย่างท่ี 22 จงหาคา่ ของ 4 2 (cos45o - isin225o ) วิธที า 2(cos315o + isin315o ) 4 2 (cos45o - isin225o ) = 4 2 (cos45o + isin45o ) 2(cos315o + isin315o ) 2(cos315o + isin315o ) = 4 2 2 (cos(45o - 315o ) + isin(45o - 315o )) = 2 2(cos(-270o ) + isin(-270o )) = 2 2(cos(270o ) - isin(270o )) = -2 2 ดังนัน 4 2 (cos45o - isin225o ) = -2 2 2(cos315o + isin315o ) ขั้นสรุป 1) นกั เรียนและครูร่วมกันสรปุ ความรู้เร่ือง รูปเชิงขวั ของจานวนเชงิ ซอ้ น ทไ่ี ด้จากการเรยี น และเปิด โอกาสใหน้ กั เรียนซักถามปญั หาหรือข้อสงสัย 2) ครใู หน้ ักเรียนทาแบบฝกึ หัดท่ี 7 เรอื่ ง การคูณ และการหารจานวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชิงขวั ใหเ้ สร็จ ในช่ัวโมง แต่หากนกั เรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในชวั่ โมง ให้นักเรียนนากลับไปทาเปน็ การบ้านแล้วรว่ มเฉลยในชั่วโมง ถัดไป 3) ครูแนะนาใหน้ ักเรียนคน้ ควา้ หาโจทย์เพ่ิมเตมิ จากแหล่งเรยี นรูต้ า่ งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 ปีการศกึ ษา 2563 รหสั วชิ า ค 32202 ภาคเรียนท่ี 2 เวลา 1 ช่วั โมง หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 1 เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ น โรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพิตร ชื่อครผู ู้สอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 13 เรอื่ ง รปู เชิงข้ัวของจานวนเชงิ ซอ้ น 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) เข้าใจจานวนเชิงซอ้ นและใชส้ มบตั ิของจานวนเชิงซ้อนในการแกป้ ัญหา 2. สาระสาคญั กาหนด z เป็นจานวนเชิงซ้อนใดๆ บทนยิ าม ทฤษฎีบท z = a + bi จะได้ r(cos  + isin  ) หรอื rcis หรอื r เป็นรปู เชิงขัวของ ทฤษฎีบท จานวนเชงิ ซ้อน a + bi โดยที่ tan = b และ r= z = a2 + b2 a กาหนด z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น โดยท่ี z1  0, z2  0 z1= r1 (cos1+isin1) และ z2= r2 (cos2 +isin2 ) 1) z1z2= r1r2 (cos(1+ 2 ) + isin(1+ 2 )) 2) z1 = r1 (cos(1 - 2 ) + isin(1 - 2 )) z2 r2 3) 1= 1 ( cos2 - isin2 ) z2 r2 4) z1= r1 (cos(-1) + isin(-1)) ถา้ z = r(cos + isin) เป็นจานวนเชิงซ้อนท่ไี มเ่ ปน็ ศูนย์ และ n เป็นจานวนเตม็ จะได้ zn = r(cos(n) + isin(n)) 3. ผลการการเรยี นรู้ที่คาดหวัง 1) ดา้ นความรู้ (K) : นกั เรยี นสามารถ - เขา้ ใจจานวนเชงิ ซอ้ นและใชส้ มบัตขิ องจานวนเชิงซอ้ นในการแก้ปญั หา

2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แก้โจทยป์ ญั หาเรื่องรปู เชิงขวั ของจานวนเชิงซ้อน ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกป้ ญั หารปู เชงิ ขัวของจานวนเชิงซอ้ น ได้ - เช่อื มโยงความรู้ตา่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - ส่ือสาร สอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ดา้ นคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : นกั เรียน - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มีความรับผิดชอบ 4. ด้านคณุ ลักษณะของผ้เู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลิศวิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลกั ความมเี หตุผล ปฏบิ ัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใช้ปญั ญา 2) เงอ่ื นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 7. ชนิ้ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหดั ท่ี 8 เร่อื ง การหากาลังที่ n ของจานวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขวั 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วิธกี ารวดั ผล เครื่องมอื วดั ผล เกณฑ์การประเมนิ แบบฝึกหดั ที่ 8 ด้านความรู้ (K) นกั เรียนทาแบบฝกึ หัด 1. เข้าใจจานวนเชงิ ซอ้ น พจิ ารณาจากความ ถูกตอ้ งร้อยละ 60 และใชส้ มบตั ขิ องจานวน ถกู ต้องของแบบฝกึ หัด ขนึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ เชิงซอ้ นในการแก้ปัญหา ทก่ี าหนด

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เคร่อื งมอื วดั ผล เกณฑก์ ารประเมิน ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั 1) แก้โจทยป์ ญั หาเรอ่ื ง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน รูปเชงิ ขวั ของจานวน ขึนไป ถือว่าผา่ น เชิงซ้อน ได้ แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดบั 2) ใชเ้ หตุผลในการ การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน แกป้ ัญหารูปเชิงขัวของ ขนึ ไป ถือว่าผา่ น จานวนเชงิ ซ้อน ได้ แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดบั 3) เชือ่ มโยงความรตู้ ่างๆ การสังเกต ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตร์ได้ ขนึ ไป ถอื วา่ ผา่ น แบบประเมนิ ผลด้าน นกั เรียนได้คะแนนระดับ 4) ส่อื สาร สอ่ื การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถือว่าผา่ น ความหมายทาง คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอข้อมูล ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเป็น การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมิน นกั เรยี นได้คะแนนระดับ 2) มรี ะเบยี บวินยั การสงั เกต คุณลักษณะอันพึง คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ้ ไป ถอื วา่ ผา่ น 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นักเรยี นได้คะแนนระดับ คุณลักษณะอันพึง คุณภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถือว่าผา่ น

9. กิจกรรมการเรยี นรู้ ขัน้ นา 1) ครสู นธนาทักทายนักเรยี น และทบทวนความรูเ้ ร่อื ง รูปเชิงขัวของจานวนเชิงซ้อน ดงั นี ตวั อย่างท่ี 21 จงเขียนจานวนเชงิ ซอ้ นต่อไปนใี หอ้ ยู่ในรปู a + bi เม่ือ a และ b เปน็ จานวนจริง 1) (2(cos18o + isin18o ))(5(cos42o + isin42o )) 2) (8(cos540o + isin540o )) (2(cos225o + isin225o )) วธิ ที า 1) จาก z1z2= r1r2 (cos(1+ 2 ) + isin(1+ 2 )) (ทฤษฎีบท 4) จะได้ (2(cos18o + isin18o ))(5(cos42o + isin42o )) = 25(cos(18o + 42o ) + isin(18o + 42o )) = 10(cos(60o ) + isin(60o )) = 10 1 + 3 i  2 2  = 5(1 + 3i) = 5 + 5 3i 2) จาก z1 = r1 ( cos(1 - 2 ) + isin(1 - 2 )) (ทฤษฎีบท 4) z2 r2 จะได้ (8(cos540o + isin540o )) (2(cos225o + isin225o )) = 4(cos(315o ) + isin(315o ) = 2 2 + 2 2i ตัวอย่างที่ 22 จงหาคา่ ของ 4 2 (cos45o - isin225o ) วิธีทา 2(cos315o + isin315o ) 4 2 (cos45o - isin225o ) = 4 2 (cos45o + isin45o ) 2(cos315o + isin315o ) 2(cos315o + isin315o ) = 4 2 2 (cos(45o - 315o ) + isin(45o - 315o )) = 2 2(cos(270o ) - isin(270o )) = -2 2

ขั้นสอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกับ เร่ือง รูปเชงิ ขัวของจานวนเชิงซ้อน พร้อมยกตัวอยา่ ง ดังนี ทฤษฎีบท 4 ถา้ z = r(cos + isin) เปน็ จานวนเชิงซ้อนทีไ่ ม่เปน็ ศนู ย์ และ n เป็นจานวนเต็ม จะได้ zn = r(cos(n) + isin(n)) ตัวอย่างที่ 23 จงหาคา่ ของ ( 3 + i)7 วธิ ีทา จาก zn = r(cos(n) + isin(n)) ทฤษฎบี ท 4 3 + i = 2(cos30o + isin30o ) ( 3 + i)7 = 27 (cos(730o ) + isin(730o )) = 128(cos210o + isin210o ) = 128 - 3 - 1 i  2 2  = -64 3 - 64i ดงั นัน คา่ ของ ( 3 + i)7 เท่ากบั -64 3 - 64i ตัวอย่างที่ 24 จงหาค่าของ  3 + 1 i 100 วธิ ีทา  2 2  จาก zn = r(cos(n) + isin(n)) ทฤษฎีบท 5 3 + 1 i = cos30o + isin30o 2 2 100 = cos3000o + isin3000o  3 + 1 i  = cos300o + isin300o  2 2 = cos60o - isin60o = 1 - 3i 22 100 ดงั นนั ค่าของ  3 + 1 i  เท่ากับ 1 - 3 i  2 2 2 2

จานวนเชิงซ้อนในรปู เชงิ ขัว r จะมีข้อดีคอื “สังยคุ คูณ หาร ยกกาลงั ” ไดง้ า่ ย ดงั นี 1. สงั ยุค ให้เปล่ียน  เป็นลบของของเดิม เชน่ 1) 260o = 2-60o 2) 120o = 1-20o 3) 5-50o = 5-50o 2. คณู ให้นา r มาคูณกนั และนา  มาบวกกัน เชน่ 1) (260o )  (310o ) = 670o 2) (5-20o ) (210o ) = 10-10o 3) (2260o )  (12310o ) = 24570o= 24210o 3. หาร ใหน้ า r มาหารกัน และนา  มาลบกนั เชน่ 1) (1260o ) = 450o 2) 5-20o = - 5 -30o (310o ) -210o 2 4. ยกกาลงั n ใหน้ า r มายกกาลัง n และเอา  มาคูณ n เชน่ 1) (260o )3= 23180o = 8180o 2) (-145o )10= (-1)10450o = 190o ตวั อยา่ งที่ 25 กาหนดให้ z =1+i จงหาคา่ ของ z4 z2 วธิ ที า เปลยี่ นจานวนเชงิ ซอ้ น 1 + i เปน็ รปู เชิงขวั จะได้ r = 12 + 12 และ tan = 1 = 1 เนอื่ งจาก 1 + i อยู่ใน Q1 ดังนนั  = 45o 1 จะได้ z = 245o และ z = 2-45o ดังนนั z4 = ( 245o )4 z2 ( 2-45o )2 = 4180 2-90 = 2270 = 2i นั่นคือ ถ้า z = 1 + i แลว้ z4 = 2i z2

ขน้ั สรปุ 1) นกั เรียนและครูร่วมกันสรปุ ความรู้เรอื่ ง รูปเชิงขวั ของจานวนเชงิ ซ้อน ที่ได้จากการเรียน และเปิด โอกาสใหน้ กั เรียนซกั ถามปัญหาหรอื ข้อสงสยั 2) ครใู ห้นกั เรยี นทาแบบฝึกหดั ที่ 8 เรอ่ื ง การหากาลังท่ี n ของจานวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขัว ให้เสร็จ ในชั่วโมง แต่หากนักเรยี นทาไมเ่ สรจ็ ในช่วั โมง ให้นักเรยี นนากลบั ไปทาเปน็ การบา้ นแลว้ รว่ มเฉลยในช่ัวโมง ถัดไป 3) ครแู นะนาให้นกั เรียนคน้ ควา้ หาโจทย์เพิม่ เตมิ จากแหล่งเรยี นรตู้ า่ งๆ 10. ส่อื อุปกรณ์ และแหลง่ เรยี นรู้ 1) หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่อื ง จานวนเชงิ ซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชัว่ โมง หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1 เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพติ ร ชื่อครผู สู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 14 เร่อื ง รากท่ี n ของจานวนเชิงซอ้ น 1. ผลการเรียนร/ู้ มาตรฐานการเรียนรู้ 1) หารากท่ี n ของจานวนเชงิ ซ้อน เม่อื n เป็นจานวนนบั ท่ีมากกว่า 1 2. สาระสาคัญ กาหนด x, z เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นใด และ n เปน็ จานวนเต็มบวก บทนิยาม x เปน็ รากที่ n ของ z ก็ต่อเมอื่ xn = z ทฤษฎบี ท ถา้ z = r(cos + isin) เป็นจานวนเชงิ ซ้อนท่ีไมเ่ ป็นศูนย์ แล้วรากท่ี n ของ z แล้ว zp = 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  n n rn เมอ่ื r = z และ p = 1, 2, 3, 4, …,n และ k = 0, 1, 2, 3, …, n - 1 3. ผลการการเรียนรทู้ ค่ี าดหวงั 1) ด้านความรู้ (K) : นกั เรยี นสามารถ - หารากที่ n ของจานวนเชงิ ซอ้ น เมอ่ื n เป็นจานวนนบั ท่มี ากกว่า 1 2) ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปญั หาเรอ่ื งรากที่ n จานวนเชิงซ้อน ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกป้ ญั หารากที่ n จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - เช่ือมโยงความรูต้ า่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สือ่ สาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล 3) ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นักเรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ัย - มคี วามรับผิดชอบ

4. ด้านคณุ ลักษณะของผ้เู รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลิศวชิ าการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสรา้ งสรรค์ 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใช้ความคิด แก้ปัญหาโดยใช้ปญั ญา 2) เงือ่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผูเ้ รียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หัด ท่ี 9 ข้อท่ี 1 - 3 เรอื่ ง การหารากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วิธีการวดั ผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑก์ ารประเมิน ด้านความรู้ (K) แบบฝกึ หดั ท่ี 9 นกั เรยี นทาแบบฝึกหดั 1. หารากท่ี n ของ พิจารณาจากความ ขอ้ ที่ 1 - 3 ถูกต้องร้อยละ 60 จานวนเชิงซ้อน เม่ือ n ถูกต้องของแบบฝึกหัด ขนึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ เป็นจานวนนับที่ แบบประเมนิ ผลด้าน ทก่ี าหนด มากกว่า 1 ทกั ษะ/กระบวนการ ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) นกั เรียนได้คะแนนระดับ 1) แกโ้ จทยป์ ัญหาเรื่อง การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน รากท่ี n จานวนเชิงซ้อน ทกั ษะ/กระบวนการ ขึนไป ถอื ว่าผ่าน ได้ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) ใชเ้ หตุผลในการ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน แกป้ ัญหารากที่ n ทักษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถือว่าผา่ น จานวนเชิงซอ้ น ได้ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ 3) เชอื่ มโยงความรู้ตา่ งๆ การสังเกต คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ขึนไป ถือวา่ ผา่ น

ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวดั ผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑ์การประเมิน 4) สอื่ สาร ส่อื การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนได้คะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขึนไป ถือวา่ ผา่ น คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มลู ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเปน็ การสงั เกต แบบประเมนิ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถือว่าผา่ น แบบประเมิน นักเรยี นได้คะแนนระดับ 2) มรี ะเบียบวินัย การสังเกต คณุ ลกั ษณะอันพงึ คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถอื วา่ ผ่าน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นได้คะแนนระดบั คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ น 9. กิจกรรมการเรียนรู้ ขนั้ นา 1) ครสู นธนาทกั ทายนกั เรยี น และทบทวนความรู้เร่อื ง รปู เชิงขัวของจานวนเชงิ ซ้อน ดังนี บทนิยาม 9 กาหนด z เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนใดๆ z = a + bi จะได้ r(cos  + isin  ) หรือ rcis หรอื r เปน็ รูปเชิงขัวของจานวนเชงิ ซ้อน a + bi โดยท่ี tan = b และ r= z = a2 + b2 a ทฤษฎีบท 3 กาหนด z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซ้อน โดยที่ z1  0, z2  0 z1= r1 (cos1+isin1) และ z2= r2 (cos2 +isin2 ) 1. z1z2= r1r2 (cos(1+ 2 ) + isin(1+ 2 )) 2. z1 = r1 ( cos(1 - 2 ) + isin(1 - 2 ) ) z2 r2 1= 1 3. z2 r2 ( cos2 - isin2 ) 4. z1= r1 (cos(-1) + isin(-1))

ทฤษฎีบท 4 ถ้า z = r(cos + isin) เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนท่ไี ม่เป็นศนู ย์ และ n เป็นจานวนเต็ม จะได้ zn = r(cos(n) + isin(n)) ข้นั สอน 1) ครูบรรยายเก่ียวกับ เรอื่ ง รากท่ี n ของจานวนเชิงซ้อน พร้อมยกตวั อย่าง ดงั นี การหารากที่ n ของจานวนเชิงซอ้ น บทนยิ าม 10 กาหนด x, z เป็นจานวนเชงิ ซ้อนใด และ n เป็นจานวนเต็มบวก x เป็นรากท่ี n ของ z ก็ต่อเมื่อ xn = z ทฤษฎบี ท 5 ถา้ z = r(cos + isin) เป็นจานวนเชิงซอ้ นทไ่ี ม่เปน็ ศนู ย์ แลว้ รากที่ n ของ z แลว้ zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  n n n เมอ่ื r = z และ p = 1, 2, 3, 4, …,n และ k = 0, 1, 2, 3, …, n - 1 ตวั อยา่ งท่ี 26 จงหารากที่ 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) วธิ ที า จาก zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  ทฤษฎบี ท 5 n n n รากที่ 2 ของ z จะมี 2 ค่า คอื z1 = 1  cos(  + 2(0) ) + isin(  + 2(0) )  เมือ่ k = 0 n n เมอื่ k = 1 rn z2 = 1  cos(  + 2(1) ) + isin(  + 2(1) )  n n rn รากที่ 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) คอื z1 = 16 1  cos( 60o ) + isin( 60o )  2  2 2  = 2 + 2 3i z2 = 1  cos( 60o + 360o ) + isin( 60o + 360o )   2 2  16 2 = 4(cos210o + isin210o ) = -2 - 2 3i ดงั นัน รากที่ 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) คือ 2 + 2 3i และ -2 - 2 3i

ตวั อยา่ งท่ี 27 จงหารากที่ 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) วิธีทา จาก zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  ทฤษฎบี ท 5 n n n รากที่ 3 ของ z จะมี 3 ค่า คือ z1 = 1  cos(  + 2(0) ) + isin(  + 2(0) )  เมอ่ื k = 0 n n เมือ่ k = 1 rn เม่อื k = 2 z2 = 1  cos(  + 2(1) ) + isin(  + 2(1) )  n n rn z3 = 1  cos(  + 2(2) ) + isin(  + 2(2) )  n n rn รากท่ี 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) คอื z1 = 4 1  cos( 120o ) + isin( 120o )  3  3 3  = 3 4 (cos40o + isin40o ) z2 = 4 1  cos( 120o + 360o ) + isin( 120o + 360o )  3  3 3  = 3 4 (cos160o + isin160o ) z3 = 4 1  cos( 120o + 720o ) + isin( 120o + 720o )  3  3 3  = 3 4 (cos280o + isin280o ) ดังนนั รากท่ี 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) คอื 3 4 (cos40o + isin40o ) หรือ 3 4 (cos160o + isin160o ) หรือ 3 4 (cos280o + isin280o )

ตัวอยา่ งท่ี 28 จงหารากท่ี 4 ของ -81 วธิ ที า จาก zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  ทฤษฎีบท 5 n n n รากที่ 4 ของ z จะมี 4 ค่า คอื z1 = 1  cos(  + 2(0) ) + isin(  + 2(0) )  เมือ่ k = 0 n n เมอ่ื k = 1 rn เมอ่ื k = 2 เมื่อ k = 3 z2 = 1  cos(  + 2(1) ) + isin(  + 2(1) )  n n rn z3 = 1  cos(  + 2(2) ) + isin(  + 2(2) )  n n rn z4 = 1  cos(  + 2(3) ) + isin(  + 2(3) )  n n rn รากที่ 4 ของ -81 คอื z1 = 1  cos( 180o ) + isin( 180o )   4 4  814 = 3(cos45o + isin45o ) z2 = 1  cos( 180o + 360o ) + isin( 180o + 360o )   4 4  814 = 3(cos135o + isin135o ) z3 = 1  cos( 180o + 720o ) + isin( 180o + 720o )   4 4  814 = 3(cos225o + isin225o ) z4 = 1  cos( 180o + 1080o ) + isin( 180o + 1080o )   4 4  814 = 3(cos315o + isin315o ) ดังนนั รากท่ี 4 ของ -81 คือ 3(cos45o + isin45o ) หรอื 3(cos135o + isin135o ) หรือ 3(cos225o + isin225o ) หรือ 3(cos315o + isin315o )

ขนั้ สรุป 1) นักเรียนและครูรว่ มกนั สรุปความรู้เร่ือง รากที่ n ของจานวนเชงิ ซ้อน ทไ่ี ด้จากการเรยี น และเปดิ โอกาสใหน้ กั เรียนซักถามปญั หาหรือข้อสงสัย 2) ครใู หน้ กั เรียนทาแบบฝกึ หัดที่ 9 ข้อท่ี 1 - 3 เร่อื ง การหารากที่ n ของจานวนเชงิ ซ้อน ให้เสร็จ ในช่ัวโมง แต่หากนกั เรยี นทาไมเ่ สร็จในชัว่ โมง ให้นกั เรียนนากลบั ไปทาเปน็ การบ้านแล้วร่วมเฉลยในชัว่ โมง ถดั ไป 3) ครแู นะนาให้นักเรยี นค้นคว้าหาโจทย์เพ่ิมเติมจากแหลง่ เรียนร้ตู ่างๆ 10. สอื่ อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชัว่ โมง หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1 เรื่อง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพติ ร ชื่อครผู สู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 15 เร่อื ง รากท่ี n ของจานวนเชิงซอ้ น 1. ผลการเรียนร/ู้ มาตรฐานการเรียนรู้ 1) หารากท่ี n ของจานวนเชงิ ซ้อน เม่อื n เป็นจานวนนบั ท่ีมากกว่า 1 2. สาระสาคัญ กาหนด x, z เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นใด และ n เปน็ จานวนเต็มบวก บทนิยาม x เปน็ รากที่ n ของ z ก็ต่อเมอื่ xn = z ทฤษฎบี ท ถา้ z = r(cos + isin) เป็นจานวนเชงิ ซ้อนท่ีไมเ่ ป็นศูนย์ แล้วรากท่ี n ของ z แล้ว zp = 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  n n rn เมอ่ื r = z และ p = 1, 2, 3, 4, …,n และ k = 0, 1, 2, 3, …, n - 1 3. ผลการการเรียนรทู้ ค่ี าดหวงั 1) ด้านความรู้ (K) : นกั เรยี นสามารถ - หารากที่ n ของจานวนเชงิ ซอ้ น เมอ่ื n เป็นจานวนนบั ท่มี ากกว่า 1 2) ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปญั หาเรอ่ื งรากที่ n จานวนเชิงซ้อน ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกป้ ญั หารากที่ n จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - เช่ือมโยงความรูต้ า่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สือ่ สาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล 3) ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นักเรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ัย - มคี วามรับผิดชอบ

4. ดา้ นคุณลักษณะของผ้เู รียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เป็นเลิศวชิ าการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลกั ความมเี หตุผล ปฏบิ ัตงิ านโดยใช้ความคดิ แก้ปัญหาโดยใชป้ ัญญา 2) เงื่อนไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแก้ปัญหา 7. ชิ้นงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หดั ที่ 9 ข้อที่ 4 เร่อื ง การหารากที่ n ของจานวนเชิงซอ้ น 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรียนรู้ วธิ ีการวดั ผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑก์ ารประเมิน ด้านความรู้ (K) แบบฝึกหดั ที่ 9 นกั เรยี นทาแบบฝึกหัด 1. หารากที่ n ของ พิจารณาจากความ ขอ้ ท่ี 4 ถกู ตอ้ งร้อยละ 60 จานวนเชิงซ้อน เมอ่ื n ถูกต้องของแบบฝกึ หัด ขึนไป ถอื ว่าผ่านเกณฑ์ เป็นจานวนนับท่ี แบบประเมินผลด้าน ทีก่ าหนด มากกวา่ 1 ทกั ษะ/กระบวนการ ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ 1) แกโ้ จทยป์ ญั หาเร่ือง การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน รากท่ี n จานวนเชงิ ซ้อน ทกั ษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน ได้ นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) ใช้เหตผุ ลในการ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน แก้ปัญหารากที่ n ทักษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถือว่าผา่ น จานวนเชงิ ซ้อน ได้ นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ 3) เช่ือมโยงความรูต้ ่างๆ การสงั เกต คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ของคณติ ศาสตร์ได้ ขึนไป ถือวา่ ผ่าน

ผลการเรียนรู้ วิธกี ารวดั ผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑ์การประเมิน 4) สือ่ สาร สือ่ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถือว่าผ่าน คณิตศาสตร์ และ นาเสนอข้อมลู ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเป็น การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรียนได้คะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอันพึง คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถอื ว่าผา่ น แบบประเมนิ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) มีระเบียบวินยั การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือวา่ ผ่าน 3) มีความรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมิน นักเรยี นได้คะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผ่าน 9. กิจกรรมการเรยี นรู้ ขน้ั นา 1) ครสู นทนาทักทายนักเรยี น และทบทวนความรเู้ ร่อื ง รากท่ี n ของจานวนเชิงซอ้ น ดงั นี ตัวอย่างที่ 26 จงหารากท่ี 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) วิธที า จาก zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  ทฤษฎบี ท 5 n n n รากที่ 2 ของ z จะมี 2 คา่ คือ z1 = 1  cos(  + 2(0) ) + isin(  + 2(0) )  เม่อื k = 0 n n เม่ือ k = 1 rn z2 = 1  cos(  + 2(1) ) + isin(  + 2(1) )  n n rn รากที่ 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) คอื z1 = 16 1  cos( 60o ) + isin( 60o )  2  2 2  = 2 + 2 3i

z2 = 1  cos( 60o + 360o ) + isin( 60o + 360o )   2 2  16 2 = 4(cos210o + isin210o ) = -2 - 2 3i ดังนนั รากที่ 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) คือ 2 + 2 3i และ -2 - 2 3i ขั้นสอน 1) ครูให้นกั เรียนทาแบบฝึกหัดท่ี 9 เร่อื ง รากท่ี n ของจานวนเชิงซอ้ น ข้อท่ี 4 2) ในระหวา่ งท่ีนักเรียนช่วยกนั ทาแบบฝึกหดั ครจู ะคอยใหค้ าแนะนาและเปดิ โอกาสให้นกั เรยี นได้ ถามข้อสงสยั และเฉลยคาตอบในขอ้ ท่ีนกั เรียนทาเสร็จแลว้ เพอ่ื ใหน้ กั เรียนตรวจสอบความถกู ตอ้ งของคาตอบ และเพอื่ ครูจะสามารถตรวจสอบความเขา้ ใจของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นได้ ขนั้ สรุป 1) นักเรียนและครูร่วมกันสรุปความรู้เร่อื ง รากท่ี n ของจานวนเชงิ ซอ้ น ทไ่ี ดจ้ ากการเรียน และครู เปดิ โอกาสให้นกั เรยี นถามปญั หาขอ้ สงสยั ต่างๆ 2) ครูให้นักเรียนทาแบบฝกึ หัดท่ี 9 ขอ้ ท่ี 4 หากนักเรียนทาไมเ่ สร็จในชั่วโมง จะใหน้ ักเรยี นนา กลับไปทาเปน็ การบา้ น แล้วครูและนักเรยี นจะร่วมกันเฉลยในชว่ งโมงถัดไป 3) ครแู นะนาให้นกั เรยี นค้นควา้ หาโจทย์เพิม่ เติมจากแหล่งเรยี นร้ตู ่างๆ 10. สื่อ อปุ กรณ์ และแหล่งเรียนรู้ 1) หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรือ่ ง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เพิม่ เติม 4 ช่วงชน้ั ที่ 3 มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชัว่ โมง หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1 เรื่อง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมัธยมวดั เบญจมบพติ ร ชื่อครผู สู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 16 เร่อื ง รากท่ี n ของจานวนเชิงซอ้ น 1. ผลการเรียนร/ู้ มาตรฐานการเรียนรู้ 1) หารากท่ี n ของจานวนเชงิ ซ้อน เม่อื n เป็นจานวนนบั ท่ีมากกว่า 1 2. สาระสาคัญ กาหนด x, z เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นใด และ n เปน็ จานวนเต็มบวก บทนิยาม x เปน็ รากที่ n ของ z ก็ต่อเมอื่ xn = z ทฤษฎบี ท ถา้ z = r(cos + isin) เป็นจานวนเชงิ ซ้อนท่ีไมเ่ ป็นศูนย์ แล้วรากท่ี n ของ z แล้ว zp = 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  n n rn เมอ่ื r = z และ p = 1, 2, 3, 4, …,n และ k = 0, 1, 2, 3, …, n - 1 3. ผลการการเรียนรทู้ ค่ี าดหวงั 1) ด้านความรู้ (K) : นกั เรยี นสามารถ - หารากที่ n ของจานวนเชงิ ซอ้ น เมอ่ื n เป็นจานวนนบั ท่มี ากกว่า 1 2) ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปญั หาเรอ่ื งรากที่ n จานวนเชิงซ้อน ได้ - ใชเ้ หตุผลในการแกป้ ญั หารากที่ n จานวนเชงิ ซอ้ น ได้ - เช่ือมโยงความรูต้ า่ งๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สือ่ สาร ส่ือความหมายทางคณติ ศาสตร์ และนาเสนอข้อมูล 3) ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นักเรยี น - ทางานเปน็ ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ัย - มคี วามรับผิดชอบ

4. ด้านคณุ ลักษณะของผ้เู รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลิศวชิ าการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลาหนา้ ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยา่ งสรา้ งสรรค์ 5. บูรณาการตามหลกั ของปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัตงิ านโดยใช้ความคิด แก้ปัญหาโดยใช้ปญั ญา 2) เงือ่ นไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกึ หัด ท่ี 9 ข้อท่ี 5 - 6 เรอื่ ง การหารากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วิธีการวดั ผล เครอื่ งมือวดั ผล เกณฑก์ ารประเมิน ด้านความรู้ (K) แบบฝกึ หดั ท่ี 9 นกั เรยี นทาแบบฝึกหดั 1. หารากท่ี n ของ พิจารณาจากความ ขอ้ ที่ 5 - 6 ถูกต้องร้อยละ 60 จานวนเชิงซ้อน เม่ือ n ถูกต้องของแบบฝึกหัด ขนึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ เป็นจานวนนับที่ แบบประเมนิ ผลด้าน ทก่ี าหนด มากกว่า 1 ทกั ษะ/กระบวนการ ดา้ นทกั ษะ / กระบวนการ (P) นกั เรียนได้คะแนนระดับ 1) แกโ้ จทยป์ ัญหาเรื่อง การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตงั แต่ 3 คะแนน รากท่ี n จานวนเชิงซ้อน ทกั ษะ/กระบวนการ ขึนไป ถอื ว่าผ่าน ได้ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดับ 2) ใชเ้ หตุผลในการ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลด้าน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน แกป้ ัญหารากที่ n ทักษะ/กระบวนการ ขนึ ไป ถือว่าผา่ น จานวนเชิงซอ้ น ได้ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ 3) เชอื่ มโยงความรู้ตา่ งๆ การสังเกต คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ์ ด้ ขึนไป ถือวา่ ผา่ น

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวัดผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑ์การประเมิน 4) ส่อื สาร ส่อื การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรียนไดค้ ะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขนึ ไป ถือวา่ ผ่าน คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอข้อมูล ด้านคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอยา่ งเป็น การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นได้คะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พงึ คณุ ภาพตงั แต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดบั 2) มีระเบียบวนิ ัย การสังเกต คณุ ลักษณะอันพึง คุณภาพตัง้ แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ้ ไป ถือวา่ ผา่ น 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนได้คะแนนระดบั คุณลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึน้ ไป ถอื วา่ ผ่าน 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขั้นนา 1) ครูสนทนาทกั ทายนักเรียน และทบทวนความรู้เร่ือง รากท่ี n ของจานวนเชงิ ซ้อน ดงั นี ตวั อยา่ งท่ี 27 จงหารากที่ 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) วิธที า จาก zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  ทฤษฎบี ท 5 n n n รากท่ี 3 ของ z จะมี 3 ค่า คอื z1 = 1  cos(  + 2(0) ) + isin(  + 2(0) )  เมอ่ื k = 0 n n เมอ่ื k = 1 rn เมือ่ k = 2 z2 = 1  cos(  + 2(1) ) + isin(  + 2(1) )  n n rn z3 = 1  cos(  + 2(2) ) + isin(  + 2(2) )  n n rn

รากที่ 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) คอื z1 = 4 1  cos( 120o ) + isin( 120o )  3  3 3  = 3 4 (cos40o + isin40o ) z2 = 4 1  cos( 120o + 360o ) + isin( 120o + 360o )  3  3 3  = 3 4 (cos160o + isin160o ) z3 = 4 1  cos( 120o + 720o ) + isin( 120o + 720o )  3  3 3  = 3 4 (cos280o + isin280o ) ดังนัน รากที่ 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) คอื 3 4 (cos40o + isin40o ) หรือ 3 4 (cos160o + isin160o ) หรอื 3 4 (cos280o + isin280o ) ตวั อยา่ งท่ี 28 จงหารากที่ 4 ของ -81 วิธที า จาก zp = r 1  cos(  + 2k ) + isin(  + 2k )  ทฤษฎีบท 5 n n n รากที่ 4 ของ z จะมี 4 ค่า คอื z1 = 1  cos(  + 2(0) ) + isin(  + 2(0) )  เมอ่ื k = 0 n n เมอ่ื k = 1 rn เมอ่ื k = 2 เมือ่ k = 3 z2 = 1  cos(  + 2(1) ) + isin(  + 2(1) )  n n rn z3 = 1  cos(  + 2(2) ) + isin(  + 2(2) )  n n rn z4 = 1  cos(  + 2(3) ) + isin(  + 2(3) )  n n rn รากท่ี 4 ของ -81 คือ z1 = 1  cos( 180o ) + isin( 180o )   4 4  814 = 3(cos45o + isin45o )

z2 = 1  cos( 180o + 360o ) + isin( 180o + 360o )   4 4  814 = 3(cos135o + isin135o ) z3 = 1  cos( 180o + 720o ) + isin( 180o + 720o )   4 4  814 = 3(cos225o + isin225o ) z4 = 1  cos( 180o + 1080o ) + isin( 180o + 1080o )   4 4  814 = 3(cos315o + isin315o ) ดงั นัน รากท่ี 4 ของ -81 คอื 3(cos45o + isin45o ) หรือ 3(cos135o + isin135o ) หรอื 3(cos225o + isin225o ) หรือ 3(cos315o + isin315o ) ขัน้ สอน 1) ครูให้นกั เรียนทาแบบฝึกหดั ท่ี 9 เร่ือง รากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน ข้อที่ 5 - 6 2) ในระหว่างทน่ี กั เรยี นชว่ ยกนั ทาแบบฝึกหดั ครูจะคอยใหค้ าแนะนาและเปดิ โอกาสใหน้ ักเรยี นได้ ถามข้อสงสัย และเฉลยคาตอบในข้อท่ีนักเรยี นทาเสรจ็ แลว้ เพอ่ื ใหน้ กั เรียนตรวจสอบความถกู ตอ้ งของคาตอบ และเพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขา้ ใจของนักเรียนในระหว่างเรยี นได้ ขน้ั สรุป 1) นกั เรียนและครูรว่ มกนั สรุปความรู้เรอ่ื ง รากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน ทไ่ี ด้จากการเรยี น และครู เปดิ โอกาสให้นกั เรียนถามปัญหาข้อสงสัยต่างๆ 2) ครใู ห้นักเรียนทาแบบฝกึ หัดที่ 9 ขอ้ ท่ี 5 - 6 หากนักเรียนทาไม่เสร็จในช่วั โมง จะใหน้ ักเรยี นนา กลบั ไปทาเปน็ การบ้าน แล้วครูและนกั เรยี นจะร่วมกันเฉลยในช่วงโมงถัดไป 3) ครแู นะนาให้นกั เรยี นค้นควา้ หาโจทยเ์ พ่มิ เตมิ จากแหล่งเรียนรู้ตา่ งๆ 10. สอื่ อปุ กรณ์ และแหลง่ เรยี นรู้ 1) หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 17 เรอ่ื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหุนาม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตัว ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ สี่ ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดยี วดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผู้เรยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บรู ณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใช้ปญั ญา 2) เงื่อนไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ที่ 10 เร่อื ง สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว ขอ้ ท่ี 1 ข้อย่อยที่ 1 - 4 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมนิ แบบฝึกหัดท่ี 10 ด้านความรู้ (K) ข้อที่ 1 ขอ้ ย่อยท่ี 1 - 4 นกั เรียนทาแบบฝึกหัด 1. แกส้ มการพหุนามตัว พิจารณาจากความ ถูกตอ้ งรอ้ ยละ 60 แปรเดยี วดีกรีไม่เกินสี่ ท่ี ถูกต้องของแบบฝกึ หดั แบบประเมินผลด้าน ขนึ ไป ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์ มีสมั ประสิทธิเ์ ปน็ จานวน ทักษะ/กระบวนการ ที่กาหนด เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดับ ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน 1) แกโ้ จทยป์ ญั หา การสงั เกต ขึนไป ถอื วา่ ผา่ น สมการพหนุ ามตัวแปร เดยี วดีกรไี ม่เกินส่ี ทม่ี ี นกั เรียนไดค้ ะแนนระดับ สมั ประสทิ ธ์ิเปน็ จานวน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน เต็มและนาไปใช้ในการ ขึนไป ถือวา่ ผ่าน แกป้ ญั หา ได้ 2) ใช้เหตผุ ลแก้ปัญหา การสงั เกต สมการพหนุ ามตวั แปร เดียวดีกรไี มเ่ กนิ ส่ี ทม่ี ี สมั ประสทิ ธิ์เปน็ จานวน เต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหาได้

ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวัดผล เครือ่ งมือวัดผล เกณฑ์การประเมิน 3) เชื่อมโยงความรูต้ ่างๆ การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นกั เรยี นไดค้ ะแนนระดับ ของคณติ ศาสตร์ได้ ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ขึนไป ถอื ว่าผา่ น 4) ส่ือสาร สอ่ื การสังเกต แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดบั ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขึนไป ถอื ว่าผา่ น คณติ ศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มูล ด้านคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเป็น การสังเกต แบบประเมิน นกั เรียนได้คะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถือว่าผ่าน แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดบั 2) มรี ะเบียบวนิ ัย การสังเกต คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพตง้ั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขึ้นไป ถอื วา่ ผา่ น 3) มคี วามรบั ผิดชอบ การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดับ คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขน้ึ ไป ถือว่าผา่ น 9. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขนั้ นา 1) ครูสนธนาทักทายนกั เรยี น พูดคยุ ถงึ หัวขอ้ ทจ่ี ะเรยี น 2) ครตู ังคาถามใหน้ กั เรียนว่า สมการพหนุ ามตวั แปรเดียวคอื อะไร แลว้ การแก้สมการแก้พหนุ าม ตวั แปรเดยี วมีวธิ ีการทาอย่างไรบา้ ง 3) ครูเปิดโอกาสให้นกั เรยี นคิดพิจารณา และเสนอความคิด ขน้ั สอน 1) ครูบรรยายเกย่ี วกบั สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว พรอ้ มยกตวั อย่าง ดังนี

ทฤษฎบี ท 6 กาหนด a, b และ c เป็นจานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของสมการกาลังสอง ax2 + bx + c= 0 คือ 1. -b  b2 - 4ac เมื่อ b2 - 4ac  0 2a -b  b2 - 4ac i เมอ่ื b2 - 4ac < 0 2. 2a ทฤษฎีบท 7 ทฤษฎีบทหลกั มูลของพชี คณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธ์เิ ปน็ จานวนจรงิ และมีดีกรมี ากกวา่ ศูนย์ จะไดว้ ่าสมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบทีเ่ ปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งนอ้ ยหนึ่งคาตอบ ทฤษฎีบท 8 ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซึง่ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะได้วา่ พหุนาม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ กต็ ่อเมื่อ p(c) = 0 ทฤษฎีบท 9 ทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหุนาม โดยที่ n เปน็ จานวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an  0 ถ้า x - k เป็นตวั ประกอบของพหนุ าม p(x) โดยท่ี m และ k เป็นจานวนเต็ม ซึง่ m0 m และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ทฤษฎีบท 10 ให้ p(x) เปน็ พหุนามที่มีสัมประสทิ ธิ์เป็นจานวนจรงิ และมดี กี รี n เมือ่ n1 จะได้ว่าสมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบทเี่ ปน็ จานวนเชิงซ้อนทงั หมด n คาตอบ เม่ือนับคาตอบที่ซากนั ทฤษฎีบท 11 ถ้าจานวนเชิงซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหุนาม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสัมประสทิ ธ์ิ a1,a2, a3, …, an เปน็ จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการ พหุนามนี

ตัวอยา่ งที่ 29 จงหาเซตคาตอบของสมการ x4 + 2x2 - 8 = 0 วธิ ที า เนือ่ งจาก x4 + 2x2 - 8 = (x2 - 2)(x2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x - 2i)(x + 2i) ดงั นัน เซตคาตอบของสมการ x4 + 2x2 - 8 = 0 คือ  2, - 2, 2i, 2i ตวั อย่างที่ 30 จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 วิธที า กาหนด p(x) = x3 - 3x2 + 5x + 9 จานวนเตม็ ท่ีหาร 9 ลงตัว คือ ±1 , ±3, ±9 จากการตรวจสอบ p(1), p(-1), p(3), p(-3), p(9) และ p(-9) พบว่า p(-1) = 0 ดังนัน x + 1 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) จะได้ p(x) = (x + 1)(x2 - 4x + 9) ดงั นัน x + 1 = 0 หรือ x2 - 4x + 9 = 0 ถา้ x2 - 4x + 9 = 0 จะได้ x = 4 ± 16 - 36 i = 2 ± 5i 2 น่ันคือ เซตคาตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 คอื -1, 2 + 5i, 2 - 5i 2) ครูใหน้ กั เรียนแบ่งกลมุ่ ชว่ ยกันทาแบบฝึกหัดท่ี 10 ข้อท่ี 1 ขอ้ ย่อยที่ 1 - 4 เรอื่ ง สมการพหนุ าม ตัวแปรเดยี ว และนาเสนอหน้าชันเรียน 3) ในระหวา่ งทีน่ กั เรยี นช่วยกนั ทาแบบฝกึ หัด ครจู ะคอยให้คาแนะนาและเปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นได้ ถามขอ้ สงสัย เพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนในระหว่างเรียนได้ ขนั้ สรปุ 1) นกั เรียนและครรู ว่ มกนั สรปุ ความรู้ เร่ือง สมการพหุนามตัวแปรเดียว ท่ไี ด้จากการเรยี น และครู เปิดโอกาสให้นักเรียนซักถามปัญหาหรือข้อสงสยั ต่างๆ 2) ครูใหน้ กั เรยี นแบ่งกล่มุ ทาแบบฝกึ หัดที่ 10 ขอ้ ท่ี 1 ขอ้ ย่อยที่ 1 - 4 หากนักเรียนทาไมเ่ สร็จใน ชว่ั โมง จะใหน้ กั เรยี นนากลบั ไปทาเป็นการบ้าน แลว้ ครแู ละนักเรยี นจะรว่ มกนั เฉลยในชว่ งโมงถัดไป 3) ครแู นะนาให้นักเรียนคน้ ควา้ หาโจทยเ์ พิม่ เติมจากแหล่งเรยี นรู้ตา่ งๆ 10. ส่ือ อปุ กรณ์ และแหลง่ เรียนรู้ 1) หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น

แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 ชว่ งชน้ั ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ปกี ารศึกษา 2563 รหัสวชิ า ค 32202 ภาคเรียนที่ 2 เวลา 1 ชั่วโมง หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน โรงเรยี นมธั ยมวดั เบญจมบพติ ร ชอื่ ครูผสู้ อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่ 18 เร่อื ง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. ผลการเรยี นร้/ู มาตรฐานการเรียนรู้ 1) แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ทีม่ ีสมั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา 2. สาระสาคัญ กาหนด a, b และ c เปน็ จานวนจริงใดๆ และ a  0 จะได้วา่ คาตอบของ ทฤษฎบี ท สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c= 0 คอื ทฤษฎีบท 1) -b  b2 - 4ac เม่ือ b2 - 4ac  0 ทฤษฎีบท 2a ทฤษฎบี ท -b  b2 - 4ac i เมื่อ b2 - 4ac < 0 2) 2a ทฤษฎีบทหลกั มลู ของพีชคณติ (Fundamental Theorem of Algebra) ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามทีม่ ีสมั ประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจริงและมีดีกรีมากกว่าศนู ย์ จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่ีเปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นอยา่ งน้อยหนงึ่ คาตอบ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (Factor Theorem) ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เป็นจานวนจริง ซง่ึ an  0 สาหรบั จานวนจรงิ c ใดๆ จะไดว้ ่า พหนุ าม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมือ่ p(c) = 0 ให้ p(x) เปน็ พหนุ ามที่มีสัมประสทิ ธเ์ิ ป็นจานวนจรงิ และมีดีกรี n เม่ือ n1 จะไดว้ ่า สมการ p(x) = 0 จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซอ้ นทังหมด n คาตอบ เมอ่ื นบั คาตอบที่ซากนั

ทฤษฎีบท ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ทฤษฎีบท ให้ p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เป็นพหนุ าม โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปน็ จานวนจริง ซงึ่ an 0 ถ้า x - k เปน็ ตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปน็ m จานวนเตม็ ซึง่ m  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กับ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั ถ้าจานวนเชงิ ซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหนุ าม xn + a1xn-1+ ... + an-1x + an= 0 โดยมีสมั ประสิทธ์ิ a1,a2, a3, …, an เป็น จานวนจรงิ แลว้ z จะเป็นคาตอบของสมการพหนุ ามนี 3. ผลการการเรยี นรู้ทค่ี าดหวัง 1) ด้านความรู้ (K) : นักเรยี นสามารถ - แกส้ มการพหุนามตวั แปรเดยี วดีกรีไมเ่ กนิ ส่ี ท่มี ีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหา 2) ด้านทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ้ จทย์ปัญหาสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสี่ ที่มสี มั ประสิทธิ์เปน็ จานวนเตม็ และ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา ได้ - ใชเ้ หตุผลแก้ปัญหาสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดกี รไี ม่เกินส่ี ทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ และนาไปใช้ในการแกป้ ญั หาได้ - เช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ของคณิตศาสตรไ์ ด้ - สอื่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนาเสนอขอ้ มูล 3) ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) : นกั เรยี น - ทางานเป็นระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผิดชอบ 4. ด้านคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปน็ เลศิ วิชาการ 2) สือ่ สองภาษา 3) ลาหน้าทางความคิด 4) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์

5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใช้ความคดิ แก้ปญั หาโดยใช้ปญั ญา 2) เงื่อนไขความรู้ 6. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป้ ญั หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝึกหัด ที่ 10 เร่อื ง สมการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว ขอ้ ท่ี 1 ข้อย่อยที่ 5 - 8 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู้ วธิ ีการวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมนิ แบบฝึกหัดท่ี 10 ด้านความรู้ (K) ข้อที่ 1 ขอ้ ย่อยท่ี 5 - 8 นกั เรียนทาแบบฝึกหัด 1. แกส้ มการพหุนามตัว พิจารณาจากความ ถูกตอ้ งรอ้ ยละ 60 แปรเดียวดีกรีไม่เกนิ สี่ ท่ี ถูกต้องของแบบฝกึ หดั แบบประเมินผลด้าน ขนึ ไป ถอื ว่าผา่ นเกณฑ์ มีสมั ประสทิ ธิเ์ ปน็ จานวน ทักษะ/กระบวนการ ที่กาหนด เตม็ และนาไปใชใ้ นการ แก้ปญั หา แบบประเมินผลด้าน นักเรยี นได้คะแนนระดับ ด้านทักษะ / กระบวนการ (P) ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตงั แต่ 3 คะแนน 1) แกโ้ จทยป์ ญั หา การสงั เกต ขึนไป ถอื วา่ ผา่ น สมการพหนุ ามตัวแปร เดยี วดีกรไี ม่เกินส่ี ทม่ี ี นกั เรียนไดค้ ะแนนระดับ สมั ประสทิ ธ์ิเปน็ จานวน คุณภาพตังแต่ 3 คะแนน เต็มและนาไปใช้ในการ ขึนไป ถือวา่ ผ่าน แกป้ ญั หา ได้ 2) ใช้เหตุผลแก้ปัญหา การสงั เกต สมการพหนุ ามตวั แปร เดียวดกี รไี มเ่ กนิ ส่ี ทม่ี ี สมั ประสิทธิ์เปน็ จานวน เต็มและนาไปใช้ในการ แก้ปัญหาได้

ผลการเรียนรู้ วธิ กี ารวดั ผล เครื่องมอื วัดผล เกณฑ์การประเมนิ 3) เช่อื มโยงความร้ตู า่ งๆ การสงั เกต แบบประเมินผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ ของคณติ ศาสตร์ได้ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ขนึ ไป ถอื วา่ ผ่าน 4) ส่อื สาร สือ่ การสังเกต แบบประเมนิ ผลด้าน นักเรียนไดค้ ะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตังแต่ 3 คะแนน ความหมายทาง ขึนไป ถือวา่ ผา่ น คณิตศาสตร์ และ นาเสนอขอ้ มลู ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) 1) ทางานอย่างเป็น การสังเกต แบบประเมนิ นักเรยี นไดค้ ะแนนระดบั คุณลักษณะอันพงึ คุณภาพตังแต่ 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค์ ขึนไป ถอื วา่ ผ่าน แบบประเมนิ นกั เรียนได้คะแนนระดับ 2) มรี ะเบียบวนิ ยั การสงั เกต คณุ ลักษณะอนั พงึ คุณภาพต้งั แต่ 2 คะแนน ประสงค์ ขนึ้ ไป ถือวา่ ผ่าน 3) มคี วามรับผิดชอบ การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรยี นได้คะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คุณภาพต้ังแต่ 2 คะแนน ประสงค์ ข้นึ ไป ถือว่าผา่ น 9. กิจกรรมการเรยี นรู้ ขั้นนา 1) ครูสนธนาทกั ทายนักเรยี น และทบทวนความรู้เรอื่ ง สมการพหุนามตวั แปรเดียว ดงั นี ตวั อย่างที่ 29 จงหาเซตคาตอบของสมการ x4 + 2x2 - 8 = 0 วธิ ที า เนื่องจาก x4 + 2x2 - 8 = (x2 - 2)(x2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x - 2i)(x + 2i) ดงั นัน เซตคาตอบของสมการ x4 + 2x2 - 8 = 0 คอื  2, - 2, 2i, 2i