เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอกสารประกอบการเรยี น รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม 3 (ค32201) ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศึกษา 2563 หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เร่ือง ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ ฟงกชันตรโี กณมติ ิ (Trigonometry) การวดั ความยาวสวนโคงและจุดปลายสวนโคง การวัดความยาวของสวนโคงและหาจดุ ปลายของสวนโคงของวงกลมหนึ่งหนวย Y ความยาวเสนรอบรปู ของวงกลมท่ีมีรัศมียาว r หนวย คือ 2πr หนวย แลว (0, 1) ความยาวเสนรอบรปู ของวงกลมที่มีรศั มียาว 1 หนวย เทากับ 2π หนวย ความยาวสวนโคงครง่ึ วงกลมเทากบั 2π = π หนวย (-1, 0) (1, 0) X 2 O 2π ความยาวสวนโคงเสย้ี ววงกลมเทากบั 4 = π หนวย 2 (0, -1) Y รปู ท่ี 1 (0, 1) ถา P(x, y) เปนจดุ ปลายสวนโคงของวงกลมหนงึ่ หนวย P(x, y) ที่วดั จากจดุ (1, 0) ไปตามสวนโคงเปนระยะ θ หนวย แลว (-1, 0) (1, 0) X 1. ถา θ < 0 จะวัดสวนโคงจากจุด (1, 0) ทศิ ทางตามเขม็ นา ิกา O 2. ถา θ = 0 จุดปลายสวนโคงคือ จุด (1, 0) 3. ถา θ > 0 จะวดั สวนโคงจากจุด (1, 0) ทศิ ทางทวนเขม็ นา กิ า (0, -1) รปู ที่ 2 ควอดรนั ตที่ 2 Y (-x, y) (0, 1) ควอดรันตท่ี 1 คาของฟงกชนั ตรีโกณมติ ิของจำนวนจรงิ θ เม่อื θ อยใู นควอดรนั ตตางๆ (-1, 0) (x, y) (1, 0) X เมอ่ื กำหนด (x, y) เปนจุดปลายสวนโคงทย่ี าว θ หนวย (-x, -y) (x, -y) บนวงกลมหนึ่งหนวย ดงั รปู ท่ี 3 ควอดรันตที่ 3 (0, -1) ควอดรันตท่ี 4 รูปท่ี 3 ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 1 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ Y B(0, 1) P(x, y) A(1, 0)X รูปที่ 4 กำหนด P(x, y) เปนจดุ ก่ึงกลางของสวนโคง AB เนอื่ งจากสวนโคง AB ยาว π หนวย 2 ดงั น้ันสวนโคง AP ยาวเทากับสวนโคง PB เทากบั π หนวย จะไดคอรด PB ยาวเทากับคอรด PA 4 นัน่ คอื PB = PA x2 + (y - 1)2 = (x - 1)2 + y2 x2 + y2 - 2y + 1 = x2 - 2x + 1 + y2 จะได x = y แต x2 + y2 = 1 เนอ่ื งจาก (x, y) เปนจุดบนวงกลม ดังนัน้ 2x2 = 1 x = 1 ±2 จะได จุดปลายสวนโคง P(x, y) ในแตละควอรันต ดงั รปู ท่ี 5 Y B(0, 1) A(1, 0)X ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 รูปที่ 5 ครคู เณศ สมตระกลู หนา 2

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ Y B(0, 1) Y P(x, y) B(1, 0) A(1, 0)X M(x, -y) A(1, 0)X รูปที่ 6 รปู ที่ 7 กำหนด P(x, y) เปนจุดซึ่งทำใหสวนโคง AP ยาว π หนวย 6 เน่ืองจาก สวนโคง AB ยาว π หนวย ดังนนั้ สวนโคง PB ยาว π หนวย 2 3 ใหจดุ M สมมาตรกบั จดุ P โดยมีแกน X เปนแกนสมมาตรจะไดวาสวนโคง AM ยาว π หนวย และ 6 จุด M มพี กิ ดั เปน (x, -y) ดังน้นั สวนโคง PM ยาว π หนวย จะไดคอรด PM ยาวเทากับคอรด PB 3 นน่ั คือ PM = PB y2 - (-y)2 = x2 + (y - 1)2 (y+ y)2 = x2 + y2 - 2y + 1 จะได 4y2 = x2 + y2 - 2y + 1 แต 4y2 = 1 - 2y + 1 เน่ืองจาก x2 + y2= 1 เปนจุดบนวงกลม 4y2 + 2y - 2 =0 2(2y2 + y - 1) =0 2(2y - 1)(y + 1) = 0 y = 1 , -1 2 จะได จดุ ปลายสวนโคง P(x, y) ในแตละควอรันต ดงั รูปที่ 7 ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 3 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ M(-x, y) Y Y B(0, 1) B(1, 0) P(x, y) A(1, 0)X A(1, 0)X รปู ที่ 8 รูปที่ 9 กำหนด P(x, y) เปนจุดซ่ึงทำใหสวนโคง AP ยาว π หนวย 3 เน่อื งจาก สวนโคง AB ยาว π หนวย ดงั น้ันสวนโคง PB ยาว π หนวย 2 6 ใหจดุ M สมมาตรกับจดุ P โดยมแี กน Y เปนแกนสมมาตรจะไดวาสวนโคง BM ยาว π หนวย และ 3 จดุ M มพี กิ ดั เปน (-x, y) ดังนัน้ สวนโคง PM ยาว π หนวย จะไดคอรด PM ยาวเทากับคอรด PA 3 นั่นคอื PM = PA x2 - (-x)2 = (x - 1)2 + y2 (x + x)2 = x2 + - 2x + 1 + y2 จะได 4x2 = x2 - 2y + 1 + y2 แต 4y2 = 1 - 2x + 1 เนอ่ื งจาก x2 + y2= 1 เปนจุดบนวงกลม 4x2 + 2x - 2 =0 2(2x2 + x - 1) = 0 2(2x - 1)(x + 1) = 0 x = 1 , -1 2 จะได จดุ ปลายสวนโคง P(x, y) ในแตละควอรันต ดงั รปู ที่ 9 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 4 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ Y P(0) = (1,X0) รปู ที่ 10 กำหนด แทน พิกัดของจดุ ปลายมมุ ในกรณีท่ีมุมมีขนาดใหญ เพื่อความสะดวกในการหาคา ในกรณนี จ้ี ะนยิ มแบงมุมเปน nπ ± θ เมือ่ n เปนจำนวนเตม็ โดยเริ่มตนจาก nπ แลวนับตอดวย ± θ ดงั ตวั อยางที่ 1 ตวั อยางท่ี 1 จงหาพิกัดจดุ ปลายมมุ ตอไปนี้ วิธีทำ 1) P( 3π ) 2) P( 4π ) 2 3 17π 2009π 3) P( 6 ) 4) P(- 4 ) 1) P( 3π ) = P(π + π) = (0, -1) หรอื P( 3π ) = P(2π - π) = (0, -1) 2 2 2 2 2) P( 4π ) = P(π + π ) = - 1 , - 3 3 2 2 3 3) P( 17π ) = P(3π - π ) = - 1 , - 3 6 2 2 6 4) P(- 2009π ) = P(-502π - π ) = 2 , - 2 4 2 2 4 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 5 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ แบบฝกหดั ที่ 1 เรื่อง การวัดความยาวสวนโคงและจุดปลายสวนโคง 1. จงหาพกิ ัดตอไปน้ี 2) P( -19π ) =………………………..……………… 2 1) P(-13π) =………………………..……………… 3) P(32π) =………………………..……………… 4) P( -35π ) =………………………..……………… 2 401π -815π 5) P( 2 ) =………………………..……………… 6) P( 2 ) =………………………..……………… 7) P( -917π ) =………………………..……………… 8) P( -1011π ) =………………………..……………… 2 2 9) P(200π) =………………………..……………… 10) P( 13π ) =………………………..……………… 6 11) P( 25π ) =………………………..……………… 12) P( 13π ) =………………………..……………… 4 3 13) P( -20π ) =………………………..……………… 14) P( -37π ) =………………………..……………… 3 6 15) P( 35π ) =………………………..……………… 16) P(- 7π ) =………………………..……………… 6 3 17) P( 2563π ) =………………………..……………… 18) P( 2563π ) =………………………..……………… 3 4 19) P( 2563π ) =………………………..……………… 20) P( -2563π ) =………………………..……………… 6 4 2020π 2020π 21) P( 2 ) =………………………..……………… 22) P( 3 ) =………………………..……………… 23) P( 2020π ) =………………………..……………… 24) P( 2020π ) =………………………..……………… 4 6 25) P( -5000π ) =………………………..……………… 26) P( -5123π ) =………………………..……………… 3 4 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 6 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชนั ไซนและโคไซน บทนยิ าม 1 เม่ือ (x, y) เปนจุดปลายสวนโคงทยี่ าว θ หนวย ฟงกชันไซน (sine) คือ เซตของคูอนั ดบั (θ, y) ฟงกชันโคไซน (cosine) คือ เซตของคูอันดับ (θ, x) (θ, y)∈sine จะได y = sineθ เขียนสน้ั ๆ วา y = sinθ (อานวา วายเทากับไซนทตี า) (θ, x)∈cosine จะได y = cosineθ เขยี นส้นั ๆ วา x = cosθ (อานวา เอกซเทากับคอสทีตา) ตัวอยางที่ 2 จากบทนยิ าม 1 จะไดวา ถา P 2π = - 1 , 3 แลว sin 2π = 3 และ cos 2π = -1 3 2 2 3 2 3 2 ถา P(-π) = (-1, 0) แลว sin(-π) = 0 และ cos(-π) = -1 ถา P 7π = - 3 , - 1 แลว sin 7π = - 1 และ cos 7π = - 3 6 2 2 62 62 ถา P 4π = - 1 , - 3 แลว sin 4π =- 3 และ cos 4π = - 1 3 2 2 3 2 3 2 กำหนดคาของฟงกชันตรีโกณ โดยวงกลมหน่งึ หนวย ซ่งึ มีจดุ ศูนยกลางอยทู จ่ี ุดกำเนิด เปนกราฟของ { }ความสมั พันธ (x, y)∈ × x2 + y2= 1 จะไดวา -1≤ y ≤1 และ -1≤ x ≤1 ดงั นน้ั คาของฟงกชัน ไซนและฟงกชันโคไซนจะเปนจำนวนจรงิ ตงั้ แต -1 ถงึ 1 น่นั คอื เรนจของฟงกชนั ไซนและฟงกชันโคไซน คือ เซตของจำนวนจริงตง้ั แต -1 ถงึ 1 และ โดเมนของฟงกชันทัง้ สองคือเซตของจำนวนจริง จากสมการ x2 + y2 = 1 เน่อื งจาก y = sinθ และ x = cosθ จะไดความสัมพันธของ sinθ และ cosθ ดงั นี้ (cosθ)2 + (sinθ)2= 1 เมือ่ θ เปนจำนวนจรงิ หรือ cos2θ + sin2θ = 1 เมอื่ θ เปนจำนวนจริง โดย cos2θ หมายถงึ (cosθ)(cosθ) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 7 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ จุดปลายสวนโคงท่ยี าว θ หนวย คอื จุด (x, y) และจุดปลายสวนโคงท่ยี าว -θ หนวย คือจุด (x, -y) Y B(0, 1) P1 (x, y) A(1, 0X) P2 (x, -y) รูปที่ 11 จากจดุ P(x, y) และ P(x, -y) จะไดวา x = cosθ, y = sinθ และ x = cos(-θ), -y = sin(-θ) ดงั นั้น cos(-θ) = cosθ และ sin(-θ) = -sinθ cos(-θ) = cosθ sin(-θ) = -sinθ นน่ั คอื ถาสามารถหาคาของฟงกชนั ไซนและโคไซนของจำนวนจริงใดๆ ได กจ็ ะสามารถหาคาของ ฟงกชนั ไซนและฟงกชนั โคไซนของจำนวนจริงลบ ทีเ่ ปนตัวผกผันการบวกของจำนวนจริงบวกนน้ั ๆ ไดดวย ตวั อยางที่ 3 จงหาคาของ sin -π และ cos -π วธิ ีทำ 6 6 เนือ่ งจาก sin π = 1 และ cos π = 3 2 2 6 6 จะได sin - π = -sin π = - 1 และ cos - π = cos π = 3 6 6 2 6 62 เนื่องจากเสนรอบวงของวงกลมหนึ่งหนวยมคี วามยาว 2π หนวย ดังน้ัน จดุ ปลายของสวนโคงบน เสนรอบวงของวงกลมหนึ่งหนวยยาว 2nπ + θ หนวย จะเปนจดุ เดยี วกบั จุดปลายของสวนโคงที่ยาว θ หนวย โดยทเ่ี ม่อื n เปนจำนวนเตม็ บวก จะวดั ระยะในทศิ ทางทวนเข็มนา ิกา n รอบ แตถา n เปนจำนวนเตม็ ลบ จะ วัดระยะในทศิ ทางตามเข็มนา กิ า n รอบ จะไดวา sin(2nπ + θ) = sinθ cos(2nπ + θ) = cosθ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 8 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ ตัวอยางที่ 4 จงหาคาของ sin 25π และ cos -11π วธิ ีทำ 43 sin 25π = sin 6π + π 4 4 = sin π 4 =2 2 และ cos -11π = cos -4π + π 3 3 = cos π 3 =1 2 เม่ือกำหนดจุดปลายสวนโคงทย่ี าว θ หนวย อยูในจตุภาคท่ี 2 π < θ < π Y 2 P(x, y) B A(1, 0X) O รปู ท่ี 12 ให P′(x′, y′) เปนจดุ ปลายสวนโคงทยี่ าว θ หนวย ดงั นั้น y′ = sinθ และ x′ = cosθ ให α = π - θ จะไดวา 0 < α < π 2 เนอื่ งจากสวนโคง AB ยาว π หนวย ดังนัน้ สวนโคง P′B ยาว α หนวย ใหจุด P(x, y) เปนภาพสะทอนของจดุ P′(x′, y′) โดยมแี กน Y เปนเสนสะทอน จะไดวาสวนโคง AP ยาว α หนวย และ y′= y, x′ = -x ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 9 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ เน่ืองจาก P(x, y) เปนจุดปลายสวนโคงทยี่ าว α หนวย ดังน้ัน y = sinα และ x = cosα แต y = y′ = sinθ = sin(π - α) และ -x = x′ = cosθ = cos(π - α) สรุปไดวา sin(π - α) = sinα เม่ือ 0 < α < π cos(π - α) = -cosα 2 เมื่อ 0 < α < π 2 ตวั อยางที่ 5 กำหนด sin π ≈ 13 จงหาคาประมาณของ วธิ ที ำ 50 12 1) sin 11π 2) cos 11π 12 12 1) sin 11π = sin π - π 12 12 = sin π 13 12 ≈ 50 2) เนือ่ งจาก sin2θ + cos2θ = 1 จะได sin2 π + cos2 π = 1 12 12 cos2 π = 1 - sin2 π 12 12 ≈ 1 - 13 2 50 2331 ≈ 2500 เนอื่ งจากจุดปลายสวนโคงท่ียาว π วัดในทิศทางทวนเข็มนา กิ าจะอยูในจตภุ าคท่ี 1 12 ดงั นัน้ cos π ≈ 2331 50 12 จะได cos 11π = cos π - π 12 12 = -cos π 12 ≈ - 2331 50 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 10 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ เมอ่ื กำหนดจดุ ปลายสวนโคงทีย่ าว θ หนวย อยูในจตภุ าคท่ี 3 π < θ< 3π Y 2 M P(x, y) B A(1, 0X) O รปู ท่ี 13 ให P′(x′, y′) เปนจุดปลายสวนโคงทีย่ าว θ หนวย ดังนัน้ y′ = sinθ และ x′ = cosθ ให α = θ - π จะไดวา 0 < α < π 2 เนือ่ งจากสวนโคง AB ยาว π หนวย ดงั นั้น สวนโคง BP′ ยาว α หนวย ใหจดุ M เปนภาพสะทอนของจดุ P′(x′, y′) โดยมแี กน X เปนเสนสะทอน และจุด P(x, y) เปน ภาพสะทอนของจดุ M โดยมีแกน Y เปนเสนสะทอน จะไดวาสวนโคง AP ยาว α หนวย และ y′= -y, x′ = -x เน่อื งจาก P(x, y) เปนจุดปลายสวนโคงท่ยี าว α หนวย ดงั นั้น y = sinα และ x = cosα แต -y = y′ = sinθ = sin(π + α) และ -x = x′ = cosθ = cos(π + α) สรุปไดวา sin(π + α) = -sinα เม่อื 0 < α < π 2 cos(π + α) = -cosα เมื่อ 0 < α < π 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 11 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ ตวั อยางท่ี 6 กำหนด sin π ≈ 17 จงหาคาประมาณของ วธิ ที ำ 100 18 1) sin 19π 2) cos 19π 18 18 1) sin 19π = sin π + π 18 18 = -sin π ≈ 18 17 2) เนอ่ื งจาก sin2θ + cos2θ = 1 - 100 จะได sin2 π + cos2 π = 1 18 18 cos2 π = 1 - sin2 π 18 18 ≈ 1 - 17 2 100 9711 ≈ 10000 เน่ืองจากจุดปลายสวนโคงทย่ี าว π วดั ในทิศทางทวนเข็มนา ิกาจะอยูในจตภุ าคที่ 1 18 ดงั นัน้ cos π 9711 ≈ 100 18 จะได cos 11π = cos π + π 12 18 = -cos π 18 ≈ - 9711 100 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 12 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ เมอื่ กำหนดจุดปลายสวนโคงท่ยี าว θ หนวย อยใู นจตุภาคที่ 4 π < θ< 3π Y 2 P(x, y) O A(1, 0X) รูปท่ี 14 ให P′(x′, y′) เปนจุดปลายสวนโคงทย่ี าว θ หนวย ดังนน้ั y′ = sinθ และ x′ = cosθ ให α = 2π - θ จะไดวา 0 < α < π 2 เน่ืองจากเสนรอบวงของวงกลมหนึง่ หนวยยาว 2π หนวย ดงั นนั้ สวนโคง P′A ยาว α หนวย ใหจุด P(x, y) เปนภาพสะทอนของจุด P′(x′, y′) โดยมแี กน X เปนเสนสะทอน จะไดวาสวนโคง AP ยาว α หนวย และ y′= -y, x′ = x เน่ืองจาก P(x, y) เปนจุดปลายสวนโคงทย่ี าว α หนวย ดงั นั้น y = sinα และ x = cosα แต -y = y′ = sinθ = sin(2π - α) และ x = x′ = cosθ = cos(2π - α) สรุปไดวา sin(2π + α) = -sinα เมื่อ 0 < α < π cos(2π - α) = cosα 2 เม่อื 0 < α < π 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 13 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ ตัวอยางท่ี 7 จงหาคาของฟงกชนั ไซนและโคไซนของ 11π วธิ ีทำ 6 sin 11π = sin 2π - π 6 6 = -sin π 1 6 2 = - cos 11π = cos 2π - π 6 6 = cos π 6 = 3 2 แบบฝกหัดท่ี 2 เรอ่ื ง ฟงกชนั ไซนและโคไซน 1. จงหาคาของ sinθ และ cosθ เมื่อ θ เปนจำนวนจรงิ ตอไปน้ี 1) 8π 2) -8π 3) 7π 4) - 7π 2 2 5) 57π 6) -57π 2. จงหาจำนวนจริง θ มา 5 จำนวนที่ทำให 2) cosθ = 1 1) sinθ = 0 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 14 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 3) sinθ = -1 4) cosθ = - 2 2 3. จงหาจุดปลายสวนโคงท่ียาว θ หนวย วาอยูในจตุภาคใดบาง เม่ือกำหนด 1) sinθ = 0.56 2) cosθ = -0.56 4. จงเขยี นฟงกชันไซนและโคไซนของจำนวนจริง 1) 5π 2) 7π 3 6 3) 9π 4) 7π 5 10 5) - 37π 6) -16π 12 7 5. จงหาคาของ sinθ และ cosθ เมื่อ θ เปนจำนวนจริงตอไปนี้ 1) - 5π 2) - 7π 4 4 3) 2π + π 4) 2π + 3π 4 4 ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 15 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 5) 3π + π 6) - 7π 6 3 7) - 7π 8) 13π 3 3 9) 37π 10) π- π 6 3 6. กำหนดให 0<θ < π และ sinθ = 1 จงหาคาของ 5 1) sin(π - θ) 2 2) sin(-θ) 3) sin(θ - π) 4) cosθ 5) cos(π + θ) 6) sin(θ - 2π) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 16 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ ฟงกชันตรีโกณมิติอนื่ ๆ บทนยิ าม 2 สำหรับจำนวนจริง θ ใดๆ 1. tanθ = sinθ เม่อื cosθ ≠ 0 2. secθ = cosθ เมือ่ cosθ ≠ 0 3. cosecθ = 1 เมื่อ sinθ ≠ 0 4. cotθ = cosθ เมอื่ sinθ ≠ 0 1 sinθ cosθ sinθ ฟงกชันแทนเจนต (tangent function) เขยี นแทนดวย tan (อานวา แทน) ฟงกชนั เซแคนต (secant function) เขยี นแทนดวย sec (อานวา เซก) ฟงกชนั โคเซแคนต (cosecant function) เขียนแทนดวย cosec หรือ csc (อานวาโคเซก) ฟงกชนั โคแทนเจนต (cotangent function) เขียนแทนดวย cot (อานวา คอต) จากบทนยิ าม 2 จะไดวา { }1. โดเมนของฟงกชัน tan และ sec คอื - x x = (2n + 1)π , n∈ 2 2. โดเมนของฟงกชัน cot และ cosec คอื - {x x = nπ, n∈ } 3. เรนจของฟงกชนั tan และ cot คือ 4. เรนจของฟงกชัน sec และ cosec คอื - {x -1 < x < 1} จากบทนยิ าม 2 จะไดความสัมพันธระหวางฟงกชันตรโี กณมติ ิ ดังน้ี 1. cotθ =1 เม่ือ tanθ ≠ 0 tanθ เม่ือ cosθ ≠ 0 2. 1 + tan2θ = sec2θ 3. 1 + cot2θ = cosec2θ เมอ่ื sinθ ≠ 0 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 17 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ ตวั อยางท่ี 8 จงหาคาของ tanπ และ secπ วธิ ที ำ tanπ = sinπ secπ = 1 cosπ cosπ 0 1 = -1 = -1 =0 = -1 ตัวอยางท่ี 9 จงหาคาของ tan - 3π และ sec - 3π (2n + 1)π , วิธีทำ 22 2 เนื่องจาก tanθ และ secθ จะไมนยิ าม เม่ือ θ = n∈ ดงั นัน้ tan - 3π และ sec - 3π ไมนิยาม 2 2 ตวั อยางที่ 10 จงหาคาของ cosec 5π และ cot 5π cos 5π 22 2 วธิ ที ำ cosec 5π = 1 cot 5π = sin 5π 2 5π 2 2 sin 2 ( )= 1 ( )cos2π + π = 2 ( )sin sin 2π + π = 2π + π = 2 = 2 =1 sin π π 2 sin 2 cos π 2 = 1 0 1 1 =1 0 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 18 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ตวั อยางที่ 11 จงหาคาของ cosec3π และ cot3π วิธีทำ เนื่องจาก cosecθ และ cotθ จะไมนยิ าม เมือ่ θ = nπ, n∈ ดังนน้ั cosec3π และ cot3π ไมนิยาม ตัวอยางท่ี 12 จงหาคาของ sin π cos 5π + sin 4π cos π วิธที ำ 6 3 3 6 sin π cos 5π + sin 4π cos π = sin π cos π - π + sin π cos π 6 3 3 6 3 6 6 π+ 3 = sin π -cos π - sin π cos π 3 6 36 = - 2sin π cos π 3 6 = (-2) 3 3 2 2 = - 3 2 แบบฝกหดั ท่ี 3 เรอื่ ง ฟงกชันตรีโกณมติ ิอนื่ ๆ 1. จงหาคาของ 1) tan π 2) sec - π 3 3 3) cosec 5π 4) cot 4π 6 3 ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 19 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 2. จงหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงบางจำนวนเมื่อ 0 ≤θ ≤ π 2 θ sinθ cosθ tanθ cosecθ secθ cotθ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2. จงหาคาของ 1) sin π cos π + cos π sin π + sin 5π - tan 5π 2) sin 3π + tanπ ⋅ cos π - cot 5π 3 3 2 6 3 6 3 6 2 3) cos π - sin 5π + tan 9π - cos 5π 4) sin 5π + tan 7π - cos 3π sin 4π 3 4 6 6 6 4 3 2 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 20 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ สรปุ สูตร คร้ังท่ี 1 คาของฟงกชันมุม π - θ คาของฟงกชนั มุม π + θ คาของฟงกชนั มุม 2π - θ sin(π - θ) = sinθ sin(π + θ) = -sinθ sin(2π - θ) = -sinθ cos(π - θ) = -cosθ cos(π + θ) = -cosθ cos(2π - θ) = cosθ tan(π - θ) = -tanθ tan(π + θ) = tanθ tan(2π - θ) = -tanθ cosec(π - θ) = cosecθ cosec(π + θ) = -cosecθ cosec(2π - θ) = -cosecθ sec(π - θ) = -secθ sec(π + θ) = -secθ sec(2π - θ) = secθ cot(π - θ) = -cotθ cot(π + θ) = cotθ cot(2π - θ) = -cotθ เปน + Y คาของฟงกชันมุม 2π + θ เปน ทุกฟงกชนั เปน + sin(2π + θ) = sinθ Q2 Q1 A(1, 0X) cos(2π + θ) = cosθ Q3 Q4 tan(2π + θ) = tanθ cosec(2π + θ) = cosecθ เปน + เปน + sec(2π + θ) = secθ เปน + เปน + cot(2π + θ) = cotθ คาของฟงกชนั เม่ือมุมตดิ ลบ จากบทนยิ าม 2 sin(-θ) = -sinθ tanθ = sinθ , cosθ ≠ 0 เอกลกั ษณผลบวกเปน 1 cos(-θ) = cosθ secθ cosθ sin2θ + cos2θ = 1 tan(-θ) = -tanθ cosecθ 1 sec2θ - tan2θ = 1 cosec(-θ) = cosθ cotθ = cosθ , cosθ ≠ 0 cosec2θ - cot2θ = 1 sec(-θ) = secθ cot(-θ) = -cotθ = 1 , sinθ ≠ 0 sinθ cosθ = sinθ , sinθ ≠ 0 ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 21 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิของมมุ หนวยในการวัดมุมทีน่ ยิ มคอื องศา โดยถือวามมุ ทีเ่ กิดจาการหมุนสวนของเสนตรงไปครบหนึ่งรอบมี ขนาด 360 องศา และแบงหนวยองศาออกเปนหนวยยอย คอื ลปิ ดา (' ) และฟลปิ ดา (\") ดงั นน้ั 1o= 60′ และ 1′= 60′′ หนวยวดั มุมทีส่ ำคญั อีกหนวยหน่งึ คอื เรเดยี น (radian) r Or รูปที่ 15 มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับดวยสวนโคงของวงกลมทีย่ าวเทากับรัศมีของวงกลมนั้นเปน มุมที่มขี นาด 1 เรเดยี น เนื่องจากวงกลมที่มีรัศมียาว r หนวย จะมีเสนรอบวงยาว 2πr หนวย ดังนั้นมุมที่จุดศูนยกลาง วงกลมซึง่ รองรับดวยสวนโคงของวงกลมทีย่ าว 2πr หนวย จ่งึ มขี นาด 2πr เรเดยี น หรอื 2π เรเดียน และมุม r πr ที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับดวยสวนโคงที่ยาว πr หนวย จะมีขนาด r เรเดียน หรือ π เรเดียน สำหรับมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หนวย ซึ่งรองรับดวยสวนโคงของวงกลมที่ยาว a หนวย จะมขี นาด a เรเดยี น และถาใหขนาดของมุมดังกลาวเปน θ เรเดียน จะได θ = a r r เนื่องจากมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หนวย มีขนาด 2π เรเดียน หรือ 360 องศา ดงั นั้น 360 องศา = 2π เรเดยี น หรอื 180 องศา = π เรเดยี น ดงั นนั้ 1 องศา = π เรเดยี น ≈ 0.01745 180 180 และ 1 เรเดยี น = องศา ≈ 57.3o หรอื 57o18′ π จากความสัมพันธระหวางขนาดของมุมในหนวยองศาและหนวยเรเดียนที่กลาวมาขางตน จะไดวา เมอื่ ทราบขนาดของมมุ ในหนวยใดหนวยหน่ึงแลวจะสามารถหาขนาดของมุมน้ันในอีกหนวยได ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 22 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ ตวั อยางที่ 13 มมุ ทีม่ ีขนาด 4 เรเดียน มีขนาดกี่องศา 180 องศา วธิ ีทำ เน่ืองจาก π เรเดียน = องศา 4 × 180 ดงั นน้ั 4 เรเดยี น = องศา π = = 4 x 180 = 3.1416 = 229.18 229o 10′48′′ 229o 11′ ตวั อยางที่ 14 มมุ ที่มีขนาด 82 องศา มีขนาดกี่เรเดยี น π เรเดยี น วิธีทำ เน่ืองจาก 180 องศา = เรเดียน 82 × π เรเดียน ดังนั้น 82 องศา = 180 41π = 90 ตวั อยางท่ี 15 จงหาคาของ sin60o วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก 60 องศา = π เรเดยี น 3 ดังนน้ั sin60o = sin π 3 =3 2 ตวั อยางท่ี 16 จงหาคาของ sec(-405o) = sec(405o) วธิ ที ำ เนอื่ งจาก sec(-405o) = = sec(360o + 45o) = sec(45o) 2 = 2 = 22 2 2 ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 23 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ แบบฝกหดั ท่ี 4 เรอ่ื ง ฟงกชันตรโี กณมิตขิ องมุม 1. ขนาดของมุมทีม่ หี นวยเปนเรเดียนตอไปน้ี มีขนาดกีอ่ งศา 1) 4π 2) - 7π 4 3) - 2π 4) - 5π 3 6 5) 11π 6) 3 5 2. ขนาดของมุมท่ีมีหนวยเปนองศาตอไปนี้ มขี นาดกเ่ี รเดยี น 1) 300o 2) -112o 3) -315o 4) 880o ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 24 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 5. ถามุมอยูในตำแหนงมาตรฐาน จงหาวาดานส้นิ สดุ ของมุมขนาด θ ในแตละขออยูในจตภุ าคใด 1) sinθ = 5 ............................................... 2) cosθ = - 4 ............................................... 13 5 7 3) tanθ = 2 ............................................... 4) tanθ = 24 ............................................... 6. จงหาคาของ 1) 3tan2135o - sec2 300o 2) tan(-480o )- sin2 (-840o ) 2sin330o cos(-390o ) 3) cosec315o + cosec(-30o ) + cosec(-135o ) 4) sin210o + cos120o - tan330o sec0o + sec930o + sec(-240o ) sin210o + cos120o + tan330o 5) tan150o - tan(-120)o 6) tan315o + tan(-135o ) 1 + tan150otan(-120o ) 1 - tan315otan(-135o ) 7. จงหาคาของ cos320o + cos340o + cos360o + … + cos3160o ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 25 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ Y กราฟของฟงกชนั ตรีโกณมิติ X Y X รูปที่ 16 รูปท่ี 17 จากลกั ษณะกราฟ y = sin x สรุปไดดงั นี้ จากลักษณะกราฟ y = cos x สรปุ ไดดงั นี้ 1.กราฟเปนลูกคลน่ื ผานจุด (0, 0) 1. กราฟเปนลูกคลน่ื ไมผานจุด (0, 0) 2. โดเมนของฟงกชัน คือ 2. โดเมนของฟงกชัน คือ 3. เรนจของฟงกชันคือ [1, -1] 3.เรนจของฟงกชนั คือ [1, -1] นน่ั คอื 4. คาบ คอื 2π 4. คาบ คือ 2π 5. แอมพลิจดู คอื 1 5. แอมพลิจดู คือ 1 Y X รูปที่ 18 จากลกั ษณะกราฟ y = tan x สรปุ ไดดังนี้ 1. กราฟเปนลกู คลนื่ ผานจุด (0, 0) {2. โดเมนของฟงกชัน คือ x x ≠ nπ + π , n∈ } 2 3. เรนจของฟงกชันคือ 4. คาบ คือ π 5. แอมพลจิ ดู คือ ไมมี ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 26 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ Y X รูปที่ 19 จากลักษณะกราฟ y = cosec x สรุปไดดังนี้ 1. กราฟเปนลูกคล่ืน ไมผานจุด (0, 0) 2. โดเมนของฟงกชัน คือ {x x ≠ nπ, n∈ } 3. เรนจของฟงกชนั คือ (-∞, -1]∪[1, ∞] 4. คาบ คอื 2π 5. แอมพลิจูด คือ ไมมี Y Y X X รปู ท่ี 20 รปู ท่ี 21 จากลกั ษณะกราฟ y = sec x สรปุ ไดดังน้ี จากลกั ษณะกราฟ y = cot x สรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลกู คลน่ื ไมผานจุด (0, 0) 1. กราฟเปนลูกคลนื่ ไมผานจุด (0, 0) 2. โดเมน คือ {x x ≠ nπ, n∈ } { }2. โดเมน คอืx x ≠ nπ + π , n∈ 3. เรนจคอื 2 4. คาบ คอื π 5. แอมพลจิ ดู คือ ไมมี 3. เรนจคือ (-∞, -1]∪[1, ∞] 4. คาบ คือ 2π 5. แอมพลิจูด คอื ไมมี ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 27 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ คาบ (period) หมายถึง ความยาวของแตละชวงยอยที่สั้นที่สุดและกราฟในแตละชวงยอยมี ลักษณะเหมือนกนั แอมพลจิ ูด (amplitude) หมายถึง ครึง่ หน่ึงของผลตางระหวางคาสูงสุดและคาต่ำสุดของฟงกชัน ตวั อยางท่ี 17 จงเขียนกราฟของ y = sinx และ y = 2sinx ในระบบพกิ ดั ฉากเดียวกัน พรอมทงั้ หาจุดตัด แกน X โดเมน เรนจ คาบ และแอมพลจิ ดู ของฟงกชนั y = 2sinx วิธที ำ กำหนดคา x และหาคา y จาก y = sinx และ y = 2sinx ไดดังตาราง x -2π - 3π -π - π 0 π π 3π 2π 2 2 2 2 sinx 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 จากตารางสามารถเขยี นกราฟไดดงั นี้ จากกราฟสรุปไดดังน้ี 1. กราฟของ y = sinx และ y = 2sinx ตัดแกน X ท่ีจุดเดยี วกัน คือ จดุ (x, 0) เมื่อ x∈{...,-2π, -π, 0, ... } 2. โดเมนของฟงกชัน y = 2sinx คือ 3. เรนจของฟงกชนั y = 2sinx คือ [-2, 2] 4. คาบของฟงกชนั y = 2sinx คือ 2π 5. แอมพลิจดู ของฟงกชัน y = 2sinx คือ 2 - (-2) = 2 2 ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 28 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ ตัวอยางที่ 18 จงเขียนกราฟของ y = tanx พรอมท้ังหาจุดตดั แกน X โดเมน เรนจ คาบ และแอมพลิจูด วธิ ที ำ กำหนดคา x และหาคา y จาก y = sinx และ y = 2sinx ไดดงั ตาราง x - π -π - π 0 ππ π 4 3 6 34 6 31 tanx - 3 -1 -3 0 3 3 3 จากตารางสามารถเขียนกราฟไดดังนี้ จากกราฟสรปุ ไดดังน้ี 1. กราฟเปนลูกคลื่น ผานจดุ (0, 0) { }2. โดเมนของฟงกชัน คือ x x ≠ nπ + π , n∈ 2 3. เรนจของฟงกชนั คือ 4. คาบ คอื π 5. แอมพลจิ ูด คือ ไมมี เพราะฟงกชันไมมีคาสงู สุดและคาตำ่ สุด ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 29 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ สูตรทนี่ ำมาใชในการวาดกราฟฟงกชันตรโี กณมิติ ฟงกชนั โดเมน คาบ แอมพลิจดู เรนจ y = Asin(Bx + C) 2π A [-1, 1] y = Acos(Bx + C) { }- (2n + 1)π y = Atan(Bx + C) 2 B A [-1, 1] y = Acosec(Bx + C) - {nπ} 2π y = Asec(Bx + C) ไมมี y = Acot(Bx + C) { }- (2n + 1)π B 2 ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) - {nπ} π ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) ไมมี B 2π B 2π B π B ตวั อยางที่ 19 จงหาคาบ แอมพลจิ ูด โดเมนและเรนจของฟงกชนั y = 3sin2x พรอมท้งั เขยี นกราฟ วิธที ำ จาก y = 3sin2x จะได 1. กราฟเปนลูกคลน่ื ไมผานจุด (0, 0) 2. โดเมนของฟงกชนั y = 3sin2x คอื 3. เรนจของฟงกชนั y = 3sin2x คอื [-3, 3] 4. คาบของฟงกชัน y = 3sin2x คอื 2π = π 2 5. แอมพลจิ ดู ของฟงกชนั y = 3sin2x คือ 3 = 3 จากขอมูลสามารถเขยี นกราฟไดดงั น้ี ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 30 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ( )กำหนดให π ตัวอยางที่ 20 0 < t < 2π และ y = 2sin 2t + จงหาคาต่ำสุดของ y พรอมทั้งหาคา t วิธที ำ 2 ท่ีทำให y มีคาต่ำสุด ( ) ( )เนอ่ื งจาก 2t + π π y = 2sin ดังน้นั y จะตำ่ สุด เมอ่ื sin 2t + ซง่ึ คาต่ำสุดคือ -1 2 2 ( )น่ันคือy = 2sin 2t + π จะต่ำสุดไดเทากบั 2(-1) = -2 2 3π 2 และเนอื่ งจาก sinθ จะเทากบั -1 เมอ่ื θ = 2nπ + เมอ่ื n เปนจำนวนเต็ม จะได 2t + π = 2nπ + 3π 2 2 2t = 2nπ + π t = nπ + π 2 ดังนั้น y จะต่ำสดุ เม่อื t= nπ + π เมือ่ n เปนจำนวนเตม็ 2 เนื่องจาก 0 < t < 2π ดงั น้นั n=1: t = -π + π = - π <0 ใชไมได 2 2 n = 0 : t = (0)π + π = π ใชได 2 3π 2 2 n=1: t=π + π = ใชได 2 n = 1 : t = 2π + π > 2π ใชไมได 3π 2 2 นัน่ คือ y ตำ่ สดุ เม่ือ t = π กบั t= 2 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 31 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ แบบฝกหดั ที่ 5 เรื่อง กราฟของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 1. จงหาคาบ แอมพลิจูด และเรจนของฟงกชันตอไปน้ี พรอมทั้งเขยี นกราฟ 1) y = 1 sinθ 2) y = 3sinθ 2 3) y = 3sin 1 θ 4) y = 4cos3θ 2 5) y = - 1 sin4θ 6) y = -2cos 1 θ 2 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 32 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 2. จงหาแอมพลิจดู ของกราฟตอไปนี้ ( )2) π -x 1) y = sin(x + π) y = -cos 2 3) 2y = 0.1sin2x 4) 4y = 3cos(2πt + 30o ) 3. จงหาคาบของกราฟตอไปนี้ 1) y = sin(x + π ) 2) y = -2cos(-x) 4) y = 0.008sec(2πt - 20o ) 2 3) y = 3tan2x 5) 4y = 5cosec π - 3t 6) 2y = -1cot(600nt + 60o ) 3 4. กำหนดให 0 < x < 2π และ y = 5sin 2x + π จงหาคาสูงสุดของ y พรอมทั้งหาคา x ที่ทำให y 2 มีคาสงู สดุ 5. กำหนดให 0 < t < 4π และ y = 3sin π - t จงหาคาต่ำสดุ ของ y พรอมทั้งหาคา t ท่ีทำให y 2 มคี าตำ่ สุด ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 33 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ ทบทวนสตู ร คร้งั ที่ 2 คาของฟงกชนั มุม 180o - θ คาของฟงกชนั มุม 180o + θ คาของฟงกชันมุม 2π - θ sin(180o - θ) = sinθ sin(180o + θ) = -sinθ sin(360o - θ) = -sinθ cos(180o - θ) = -cosθ cos(180o + θ) = -cosθ cos(360o - θ) = cosθ tan(180o - θ) = -tanθ tan(180o + θ) = tanθ tan(360o - θ) = -tanθ cosec(180o - θ) = cosecθ cosec(180o + θ) = -cosecθ cosec(360o - θ) = -cosecθ sec(180o - θ) = -secθ sec(180o + θ) = -secθ sec(360o - θ) = secθ cot(180o - θ) = -cotθ cot(180o + θ) = cotθ cot(360o - θ) = -cotθ เปน + Y คาของฟงกชันมุม 360o + θ เปน ทกุ ฟงกชันเปน + sin(360o + θ) = sinθ Q2 Q1 A(1, 0X) cos(360o + θ) = cosθ Q3 Q4 tan(360o + θ) = tanθ cosec(360o + θ) = cosecθ เปน + เปน + sec(360o + θ) = secθ เปน + เปน + cot(360o + θ) = cotθ เอกลกั ษณผลบวกเปน 1 ฟงกชันทเ่ี ปนสวนกลับ จากบทนยิ าม 2 sin2θ + cos2θ = 1 sec2θ - tan2θ = 1 cosecθ = 1 tanθ = sinθ , cosθ ≠ 0 cosec2θ - cot2θ = 1 secθ = sinθ secθ cosθ tanθ = cosecθ 1 1 cotθ = cosθ , cosθ ≠ 0 cosθ 1 Co - function 1 sinθ tanθ = , sinθ ≠ 0 sin π -θ = cosθ = cotθ คามมุ ทต่ี ิดลบ = cosθ , 2 = cosecθ sinθ sin(-θ) = -sinθ sinθ ≠ 0 tan π -θ cos(-θ) = -cosθ 2 tan(-θ) = -tanθ sec π -θ 2 ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 34 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ ฟงกชันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลตางของจำนวนจริงหรอื มุม สูตรของผลบวกและผลตางของมุมสองมุม 1. sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB 2. sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB 3. cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB 4. cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB 5. tan(A + B) = tanA + tanB 6. tan(A - B) = tanA - tanB 1 - tanAtanB 1 + tanAtanB cotBcotA - 1 cotBcotA + 1 7. cot(A + B) = cotB + cotA 8. cot(A - B) = cotB - cotA 9. sin π - θ = cosθ 10. sin π + θ = cosθ 2 2 11. sin 3π - θ = -cosθ 12. sin 3π +θ = -cosθ 2 2 13. cos π - θ = sinθ 14. cos π + θ = -sinθ 2 2 14. cos 3π - θ = -sinθ 15. cos 3π +θ = sinθ 2 2 16. tan π - θ = cotθ 17. tan π + θ = -cotθ 2 2 18. tan 3π - θ = cotθ 19. tan 3π + θ = -cotθ 2 2 20. cosec π - θ = secθ 21. cosec π + θ = secθ 2 2 22. cosec 3π - θ = -secθ 23. cosec 3π + θ = -secθ 2 2 24. sec π - θ = cosecθ 25. sec π + θ = -cosecθ 2 2 26. sec 3π - θ = -cosecθ 27. sec 3π + θ = cosecθ 2 2 28. cot π - θ = tanθ 29. cot π +θ = -tanθ 2 2 30. cot 3π - θ = tanθ 31. cot 3π + θ = -tanθ 2 2 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 35 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ ตัวอยางที่ 21 จงหาคาของ cos 3π - π วิธที ำ 43 จาก cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB จะได cos 3π - π = cos 3π cos π + cos 3π cos π 43 43 43 = -2 1+ 2 3 22 22 = 6- 2 4 ตัวอยางที่ 22 จงหาคาของ sin π cos π + cos π sin π 9 18 9 18 วธิ ที ำ จาก sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB จะได sin π cos π + cos π sin 1π8 = sin π + π 9 18 9 18 9 sin π = 6 = 1 2 ตัวอยางที่ 23 จงหาคาของ cos15o วิธีทำ จาก cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB จะได cos15o = cos(45o - 30o ) cos45ocos30o + sin45osin30o = = 2 3+ 2 1 22 22 = 6+ 2 4 ตวั อยางที่ 24 จงหาคาของ cos160ocos20o - sin160osin20o วิธที ำ จะได cos160ocos20o - sin160osin20o = cos(160o + 20o) = cos180o ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 36 = -1 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ ตัวอยางท่ี 25 จงหาคาของ tan 7π วิธที ำ 12 จาก tan(A + B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB จะได tan 7π = tan π + π 12 34 = tan π + tan π 3 4 1 - tan π tan π 3 4 = 3 +1 = = 1 - 3 (1) = = 1+ 3 3 +1 1+ 3 1- 3 ( 3 + 1)2 1-3 (4 + 2 3 )2 -2 -2 - 3 ตวั อยางท่ี 26 จงหาคามากสุดของ 3cosA + 4sinA วธิ ที ำ จะตองจัดรปู ในสูตร sinAcosB + cosAsinB หรอื cosAcosB + sinAsinB จากรูป จะไดวา sinθ = 3 และ cosθ = 4 35 5 5 5 เน่อื งจาก 3cosA + 4sinA = 5 (3cosA + 4sinA) 4 = 5 3 cosA + 4 sinA = 55 5(sinθcosA + cosθsinA) = 5sin(θ + A) เนอ่ื งจาก sin(θ + A) ≤ 1 ดงั น้นั คามากสดุ ของ 3cosA + 4sinA คือ 5(1) = 5 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 37 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ ตวั อยางท่ี 27 จงหาคาของ tan1o + tan44o + tan1o tan44o วิธที ำ จากสตู ร tan(A + B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB จะได tan1o + tan44o = tan(1o + 44o) 1 - tan1otan44o = 1 tan1o + tan44o = 1 - tan1otan44o = 1 1 - tan1otan44o tan1o + tan44o tan1o + tan44o + tan1otan44o ตวั อยางท่ี 28 กำหนดให A + B + C = 180o จงพสิ จู นวา tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC วธิ ีทำ เนอื่ งจาก A + B + C = 180o จะไดวา C = 180o - (A + B) tanC = tan(180o - (A + B)) = -tan(A + B) จาก tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC tanA + tanB = -tanAtanBtan(A + B) + tan(A + B) tanA + tanB = tan(A + B)(-tanAtanB + 1) tanA + tanB = tanA + tanB (-tanAtanB + 1) 1 - tanAtanB tanA + tanB = tanA + tanB ดังน้นั จะไดวา ถา A + B + C = 180o แลว tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 38 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ แบบฝกหัดท่ี 6 เรื่อง ฟงกชันตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลตางของจำนวนจริงหรอื มมุ 1. กำหนด sinA = 4 และ sinB = -3 ถา π < A < π และ π < B < 3π จงหาคาของ 5 5 2 2 1) sin(A + B) 2) sin(A - B) 3) cos(A + B) 4) cos(A - B) 2. กำหนด tanA = 3 และ cotB = 3 จงหาคาของ 4 2 1) tan(A + B) 2) tan(A - B) 3) cot(A + B) 4) cot(A - B) ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 39 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ 3. จงหาคาในแตละขอตอไปนี้ 2) cos75o 1) sin15o 3) sin 3π 4) cos - π 4 12 5) tan105o 6) cot π 12 4. จงเปลีย่ นใหอยูในรูปอยางงายโดยใชสตู รผลบวกและผลตางมมุ 1) sin π + θ 2) cos(π - θ) 2 3) cos 3π + θ 4) cot( π + θ) 2 2 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 40 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 2) cos105ocos60o + sin105osin60o 5. จงหาคาในแตละขอตอไปน้ี 1) sin20ocos25o + cos20osin25o 3) sin(60o + θ)cos(30o + θ) - cos(60o + θ)sin(30o + θ) 4) cos π +θ cos π - θ - sin π +θ sin π - θ 6 6 6 6 5) 2 cos15o - 2 sin15o 6) sin15o + cos15o 22 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 41 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 7) 3cos75o + sin75o 8) sin36otan18o + cos36o 9) tan10o + tan35o + tan10otan35o 10) (1 + tan95o)(1 + tan130o) 11) (tan32o - 1)(tan77o + 1) 12) (1 - cot22o)(1 - cot23o) 6. ถา x และ y เปนจำนวนจริงท่ีสอดคลองกับสมการ 3sin(x - y) = 2sin(x + y) แลว (tan3x) (cot3y) เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.57)/23] ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 42 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 7. ให ABC เปนรปู สามเหลย่ี มโดยท่ี sinA = 3 และ cosB = 5 คาของ cosC เทากับเทาใด 5 13 [PAT 1 (มี.ค.54)/6] 8. ถา 1 - cot20o = x แลว x มีคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค.52)/2-5] 1 - cot25o 9. คาของ (1 + tan1o)(1 + tan2o)...(1 + tan44o) เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.54)/30] ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 43 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ ผลคูณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ สตู รผลคูณของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 2. 2cosAsinB = sin(A + B) - sin(A - B) 1. 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A - B) 4. 2sinAsinB = -cos(A + B) + cos(A - B) 3. 2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B) ตวั อยางท่ี 29 จงหาคาของ cos75osin525o วธิ ีทำ จาก 2cosAsinB = sin(A + B) - sin(A - B) จะได cos75osin525o = sin(75o + 525o ) - sin(75o - 525o ) 2 = sin600o - sin(-450o ) 2 = sin(540o + 60o ) + sin(360o + 90o ) 2 = -sin60o + sin90o 2 = - 3 +1 2 2 = 2- 3 4 ตวั อยางที่ 30 จงหาคาของ 2sin15osin165o วิธที ำ จาก 2sinAsinB = -cos(A + B) + cos(A - B) จะได 2sin15osin165o = -cos(15o + 165o) + cos(15o - 165o) = -cos180o + cos(-150o) = -cos180o + cos150o = -(-1) + cos(180o - 30o) = 1 - cos30o = 1- 3 2 = 2- 3 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 44 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ ผลบวกและผลตางของฟงกชนั ไซนและของฟงกชนั โคไซน สตู รผลบวกและผลตางของฟงกชันไซนและของฟงกชันโคไซน 1. sinA + sinB = 2sin A + B cos A- B 2. sinA - sinB = 2cos A + B sin A - B 2 2 2 2 A + B cos A- B A + B A - B 3. cosA + cosB = 2cos 2 2 4. cosA - cosB = -2sin 2 sin 2 ตวั อยางที่ 31 จงหาคาของ sin75o + sin15o วธิ ีทำ เน่ืองจาก sinA + sinB = 2sin A + B cos A- B 2 2 ดังนน้ั sin75o + sin15o = 2sin 75o + 15o cos 75o - 15o 22 = 2sin45ocos30o = 2 2 3 2 2 =6 2 ตวั อยางที่ 32 จงหาคาของ cos17π + cos11π B วิธที ำ 12 12 A + B A- เน่อื งจาก cosA + cosB = 2cos 2 cos 2 ดังนน้ั cos17π + cos11π = 2cos17π + 11π cos17π - 11π 12 12 24 24 2cos 7π cos π = 64 = 2 -cos π cos π 64 = 2- 3 2 22 = -6 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 45 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ แบบฝกหดั ท่ี 7 เรื่อง ผลคณู ของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ และผลบวกและผลตางของฟงกชนั ไซนและโคไซน 1. จงหาคาในแตละขอตอไปนี้ 2) sin 5π sin 1π2 1) 2cos75ocos15o 12 3) sin θ sin 3θ 4) cos20o - 2sin70osin50o 22 5) cos20ocos40ocos80o 6) cos10osin40ocos70o 2. จงหาคาในแตละขอตอไปน้ี 2) sin 1π2 - cos π 1) cos15o + cos75o 12 ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 46 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ 3) cos20o + cos100o - sin130o 4) sin80o - sin20o + cos230o 5) cos20o + sin50o 6) sin10o + sin20o - sin70o - sin80o sin80o 3. จงหาคาของ cos220o + cos240o + cos260o + … + cos2160o 4. จงหาคาของ 2sin260o(tan5o + tan85o) - 12sin70o [PAT 1 (มี.ค.55)/28] ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 47 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 5. sin25osin85osin35o ตรงกับขอใดตอไปน้ี [PAT 1 (พ.ย.57)/6] sin75o 1) tan15o 2) sin15osin75o 3) cos20ocos40ocos80o 4) sec420o 6. จงหาคาของ tan20o + 4sin20o [PAT 1 (ธ.ค.54)/31] sin20osin40osin80o 7. คาของ cos36o - cos72o เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.53)/30] sin36otan18o + cos36o ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 48 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ฟงกชนั ตรีโกณมิติมมุ ขนาดสองเทา สตู รของฟงกชนั ตรโี กณมิติมุมขนาดสองเทา 1. sin2A = 2sinAcosA 2. cos2A = cos2A - sin2A = 2tanA = 2cos2A - 1 3. tan2A = 1 + tan2A 4. cot2A = = 1 - 2sin2A 2tanA 1 - tan2A = 1 - tan2A cot2A - 1 1 + tan2A 2cotA ตวั อยางท่ี 33 จงหาคาของ 2sin15ocos15o = sin2(15o ) วิธที ำ 2sin15ocos15o = sin30o 1 = 2 ตวั อยางท่ี 34 ถา π<θ< 3π และ cosθ = - 12 จงหา cosec2θ และ tan2θ วิธีทำ 2 13 1 2tanθ cosec2θ = sin2θ tan2θ = 1 - tan2θ =1 = ( )2 5 2sinθcosθ 12 ( )1 - 5 2 12 ( )( )= 1 = 10 ×114149 = 12 2 - 5 - 12 13 13 = 169 120 120 119 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 49 ครูคเณศ สมตระกูล