เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

เอกสารประกอบการเรยี น รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 (ค32202) ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2563 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน จำนวนเชงิ ซอน (Complex Number) จำนวนเชิงซอน บทนยิ าม 1 จำนวนเชงิ ซอน หมายถงึ จำนวนซงึ่ เขยี นในรูปของคูอนั ดบั (a, b) เม่ือ a และ b เปนจำนวนจริง ใดๆ มกี ารเทากัน การบวก และการคูณ ของจำนวนเชิงซอนเปนดงั น้ี กำหนด (a, b) และ (c, d) เปนจำนวนเชิงซอน 1. การเทากันของจำนวนเชงิ ซอน (a, b) = (c, d) กต็ อเม่ือ a = c และ b = d 2. การบวกจำนวนเชงิ ซอน (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. การคณู จำนวนเชิงซอน (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bd) ตวั อยางท่ี 1 จำนวนใดตอไปนเี้ ปนจำนวนเชงิ ซอน (2, 1), (1, 2 ), ( 3 + 2, 1), (3, 0), (0, -5), ( -2, -9 ), (1, - -3 ) และ ( - 2, -3i ) วธิ ีทำ จากบทนิยามจำนวนเชิงซอนเขยี นในรปู คูอนั ดบั (a, b) เม่ือ a, b∈ ดงั นัน้ (2, 1), (1, 2 ), ( 3 + 2, 1), (3, 0), (0, -5) เปนจำนวนเชิงซอน และ ( -2, -9 ), (1, - -3 ), ( - 2, -3i ) ไมเปนจำนวนเชิงซอน ตวั อยางที่ 2 จงทำเปนผลสำเร็จ = 2) (2, 3)(-1, 5) 1) (2, 3) + (-1, 5) = (a + c, b + d) วิธที ำ 1) (2, 3) + (-1, 5) = (2 + (-1), 3 + 5) = (1, 8) จาก (a, b) + (c, d) = ดงั นัน้ (2, 3) + (-1 + 5) (ac - bd, ad + bd) ((2)(-1) - (3)(5), (2)(5) + (3)(-1)) 2) (2, 3)(-1, 5) จาก (a, b)(c, d) ดังนั้น (2, 3)(-1, 5) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 1 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน บทนยิ าม 2 กำหนด x, y เปนจำนวนจรงิ และ z = (x, y) เปนจำนวนจรงิ ซอน 1. ถา y = 0 แลว (x, 0) คอื จำนวนจรงิ x 2. ถา y ≠ 0 แลว (x, y) เรียก จำนวนเชิงซอน (x, y) และ y ≠ 0 วา จำนวนจินตภาพ 3. ถา y ≠ 0 และ x = 0 จะได (0, y) เรียง จำนวนเชิงซอน (0, y) วา จำนวนจนิ ตภาพแท 4. เรียก x วา สวนจริง (real part) ของ z เขียนแทนดวย Re(z) เรียก y วา สวนจนิ ตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนดวย Im(z) ตัวอยางที่ 3 จงหาสวนจรงิ และสวนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซอนตอไปน้ี 1) (2, 3)2 + (1, 4) 2) ( 2 + 2, 3 )(2 - 2, 1) + (4, 2)2 วธิ ีทำ 1) (2, 3)2 + (1, 4) จาก (2, 3)2 + (1, 4) = (2, -3)(2, -3) + (1, 4) = (4 – 9, -6 - 6) + (1, 4) = (-5 + 1, -12 + 4) = (-4, -8) ดงั น้ันสวนจริง คือ -4 และ สวนจนิ ตภาพ คือ -8 2) ( 2 + 2, 3 )( 2 - 2, 1) + (4, 2)2 จาก ( 2 + 2, 3 )( 2 - 2, 1) + (4, 2)2 = ((4 - 2) - 3, ( 2 + 2 - 3(2 - 2 ) ) ) + (16 - 4, 8 + 8) = (2 - 3, -2 2 - 4 ) + (12, 16) = (-1 + 12, -2 2 + 12) = (11, -2 2 + 12) ดงั นัน้ สวนจริง คือ 11 และ สวนจนิ ตภาพ คือ -2 2 + 12 ตัวอยางท่ี 4 จงหาจำนวนจรงิ x, y เมือ่ (x + y, x - y) = (4, x - y) วิธที ำ จากการเทากันของจำนวนเชิงซอน จะได x+y = 4 …………………………(1) x-y = 2 …………………………(2) (1) + (2) ; 2x = 6 x= 3 ดงั น้นั y = 1 ∴ x = 3, y = 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 2 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน แบบฝกหัดที่ 1 เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอน 1. จงทำเคร่ืองหมาย ขอที่เปนจำนวนเชิงซอน และทำเคร่ืองหมาย ขอท่ีไมเปนจำนวนเชิงซอน (เม่ือกำหนดให ตวั แปร x ที่ใชเปนจำนวนจรงิ และ i เปนจำนวนเชงิ ซอน) .......... 1) (2, 1) .......... 2) ( -2, -9 ) .......... 3) (0, 3) .......... 4) ( 3, 0) .......... 5) ( - x , 0 ) .......... 6) ( x , x ) .......... 7) (0, -5) .......... 8) ( - 3, - -3 ) .......... 9) ( -1, 2 ) .......... 10) ( 5, -2 ) .......... 11) (i, -1) .......... 12) (2i, i) .......... 13) (2, 2x ) .......... 14) ( x , x ) .......... 15) ( - x , 0 ) 2. จงทำใหเปนผลสำเร็จ 2) (5, 0) + (-1, 0) = ………………………… 1) (2, 0) + (3, 0) = ………………………… 4) (-1, 0) + (7, 0) = ………………………… 3) (4, 0) + (2, 0) = ………………………… 6) (4, 0) + (-3, 0) = ………………………… 5) (3, 0) + (5, 0) = ………………………… 8) (3, 0) + ( 2 + 1, 0 ) = …………………… 7) (2, 0) + (2, 0) = ………………………… 10) ( 2 2, 0) + (2, 0) = ………………………… 9) (3, 0) + (2, 0) = ………………………… 12) (8, 0)(-3, 0) = …………………..………… 11) (1, 0)(4, 0) = …………………..………… 14) (2, 0)(2, 0) = …………………..………… 13) ( 3, 0)( 3, 0) = …………………..………… 16) (-3, 0)(0, 0) = …………………..………… 15) ( 2 3, 0)( 2 3, 0) = …………………..……. 18) ( 2 - 1, 0 )( 2 + 1, 0 ) = ……..……… 17) (8, 0)(2, 0) = …………………..……. 20) (21, 0)(1, 0) = ………………………… 19) (-4, 0)(-4, 0) = ………………………… 3. จงหาสวนจริง และสวนจินตภาพของ 2) (-2, -1)(5, -3) 1) (3, -4) + (6, 2) สวนจรงิ คอื .................... สวนจริง คือ .................... สวนจนิ ตภาพ คอื .................... สวนจินตภาพ คือ .................... ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 3 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 3) (1, 2) + (2, 3) + (3, 4) 4) 5(2, -3)(1, -2) สวนจรงิ คือ .................... สวนจริง คือ .................... สวนจนิ ตภาพ คอื .................... สวนจินตภาพ คอื .................... 5) ((1, 2 ) + (4, 2))(-2, 1) 6) ( 2, 3) + (-1, 3)(-2, 1) สวนจรงิ คือ .................... สวนจริง คอื .................... สวนจนิ ตภาพ คือ .................... สวนจนิ ตภาพ คือ .................... 3. จงหาจำนวนจรงิ x, y ทสี่ อดคลองกับสมการ 2) (x + 2y, 3) = (3, 2x - y) 1) (x - y, x + y) = (2, 6) 3) (x + 2, 7) = (y, 3x - y) 4) (x, y)(4, 3) = (2, -1) ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 4 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน บทนิยาม 3 กำหนด a, b เปนจำนวนจรงิ และ z = a + bi เปนจำนวนเชงิ ซอน 1. จำนวนเชงิ ซอน (0, 1) เขยี นแทนดวย i เรียก i วาสวนจนิ ตภาพ 2. จำนวนเชิงซอน (0, b) เขียนแทนดวย bi 3. จำนวนเชงิ ซอน (a, b) เขยี นแทนดวย a + bi 4. จำนวนเชิงซอน a + bi และ c + di 1) (a + bi) = (c + di) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d 2) (a + bi) + (c + di) = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)i 3) (a + bi)(c + di) = (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i ตัวอยางท่ี 5 จงหาคาจำนวนเชิงซอนตอไปน้ใี นรปู a + bi 1) (0, 1)(0, 1) 2) (5, 0) + (0, 4) 3) (1 + i)(3 - i) วิธีทำ 1) จาก บทนิยาม 1 การคณู จำนวนเชิงซอน และบทนยิ าม 3 กำหนด (0, 1) เขยี นแทนดวย i จะได (0, 1)(0, 1) = -1 ดังน้นั i2 = -1 น่นั คอื (0, 1)(0, 1) = -1 + 0i 2) จากบทนยิ าม 1 การบวกจำนวนเชงิ ซอน จะได (5, 0) + (0, 4) = (5, 4) นัน่ คือ (5, 0) + (0, 4) = (5, 4) = 5 + 4i 3) จากบทนิยาม 3 (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i จะได (1 + i)(3 - i) = 3 + 3i - i + i2 = 3 + 3i - i + 1 = 4 + 2i นน่ั คอื (1 + i)(3 - i) = 4 + 2i ตวั อยางท่ี 6 จงหาคา a, b จาก 8 - 9bi = 4a – 2i วิธีทำ จากบทนยิ าม 3 (a + bi) = (c + di) ก็ตอเมอ่ื a = c และ b = d จะได 4a = 8 และ 9b = 2 a =2 และ b = 2 9 2 ดังนั้น a= 2 และ b = 9 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 5 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน หนวยจนิ ตภาพ กำหนดจำนวนเชงิ ซอน (0, a) = ai เปนจำนวนจนิ ตภาพแท เรยี ก i วาสวนจนิ ตภาพและ i2 = -1 และพจิ ารณาคาของ in เมือ่ n เปนจำนวนเต็มบวก ดงั นี้ i = i , i5 = i , i9 = i , i13 = i , i17 = i , i21 = i , i25 = i i2 = -1 , i6 = -1 , i10 = -1 , i14 = -1 , i18 = -1 , i22 = -1 , i26 = -1 i3 = -i , i7 = -i , i11 = -i , i15 = -i , i19 = -i , i23 = -i , i27 = -i i4= 1 , i8 = 1 , i12 = 1 , i16 = 1 , i20 = 1 , i24 = 1 , i28 = 1 จะเหน็ ไดวาคาของ in เมื่อ n เปนจำนวนเต็มบวก จะมีคาเพียง 4 คา คือ i, -1, -i และ 1 ซ่งึ ข้นึ กบั คาของ n ถาหาร n ดวย 4 ไดผลลัพธ k และเศษ r น่นั คือ n = 4k + r จะได in = i4k + r in = i4k ⋅ ir in = 1⋅ ir ดงั นั้น ถา r = 1 แลว in = ir = i ถา r = 2 แลว in = i2 = -1 ถา r = 3 แลว in = i3 = -i ถา r = 4 แลว in = i4 = 1 ตวั อยางที่ 7 จงหาคาของ (3 - 3i)2 2) (1 + i)20 1) (3 - 3i)2 (1 + i)20 = 9 - 18i + 9i2 = 9 - 18i - 9 วธิ ที ำ 1) = -18i 2) = ((1 + i)2 )10 = (1 + 2i + i2)20 = (1 + 2i - 1)20 = (2i)10 = (1024)i10 = -1024 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 6 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 1. จงทำใหเปนผลสำเร็จ แบบฝกหดั ที่ 2 1) (3 + 7i) + (2 - i)(3 + i) เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอน 2) (6 + 4i) + (3i - 7) + (5 - 2i) 3) i(12 - 4i)(3 + i) 4) (2i - 3)(5 - i) + (3 - 2i)(4 + 4i) 5) (5 - 2 3i) - (3 + 2 3i) 6) 3 - 3 3i - 6 - 3 48i + 15 - 3 75i 3 7) (2, -3)(-1, 1)(3 - 4i) 8) (2(1 + 3i))(i(2 + 4i)) ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 7 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 2) ((2 + i) + (3 + i))2 2. จงหาคาของ 1) (3 + 4i)2 3) ((1, 1)(1, -1))15 4) (2 - 2i)4 5) 3 - 3 i 2 6) ( 3 - 3i)7 22 7) 1 - 1 i 2 8) (-i)5(2 + 2i)4 22 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 8 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 9) i + i2+ i3+ … + i52 10) i + i2+ i3+ … + i2563 11) i68 + i69+ i70+ … + i321 12) i ⋅ i2 ⋅ i3 ⋅ ... ⋅ i40 13) i + i3+ i5+ … + i21 14) i - i2 + i3 - i4 + ... - i40 3. จงหาจำนวนจริง a และ b ในแตละขอตอไปน้ี 2) (a + 2b) - (2a - b)i = 8 - i 1) a - bi = 6 + 2i 3) a2 - b2i - a - 2bi = 8 - i 4) -8i3 = (a2 - 2a)i ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 9 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 5) (3 + 2i)2 = a + 2 + bi + 3i 6) a + b - 2abi = 5 - 12i 4. สวนจริง และสวนจนิ ตภาพของจำนวนเชิงซอน (1 + 3i )6( 1 + 1 i )22 22 5. ถา (1 + bi)3 = -107 + ki เมื่อ b, k เปนจำนวนจริง และ i = -1 แลวคาของ k เทากบั เทาใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/48] ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 10 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน บทนิยาม 4 กำหนด a, b เปนจำนวนจริง และ z = (a, b) เปนจำนวนเชิงซอน 1) เอกลกั ษณการบวกของ z คือ (0, 0) หรอื 0 2) เอกลักษณการคูณของ z คือ (1, 0) หรอื 1 3) อนิ เวอรสการบวกของ z คอื (-a, -b) หรือ -a - bi 4) อนิ เวอรสการคูณของ z คือ a - b หรอื a - bi a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 ตวั อยางที่ 8 จงหาอินเวอรสการบวกของ (3 - 2i)2 วิธีทำ (3 - 2i)2 = 9 - 12i + 4i2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i จาก บทนิยาม 4 อินเวอรสการบวกของ z คือ (-a, -b) หรือ -a - bi ดังนนั้ อนิ เวอรสการบวกของ (3 - 2i)2 คือ -5 + 12i ตัวอยางที่ 9 จงหาสวนจริงและสวนจนิ ตภาพของ อินเวอรสการบวกของ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 วธิ ที ำ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 = (7i + 4)i + (1 + 2i - 1) = (-7 + 4i) + 2i = -7 + 6i จากบทนิยาม 4 อินเวอรสการบวกของ z คือ (-a, -b) หรอื -a - bi จะได อินเวอรสการบวกของ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 คือ 7 - 6i ดงั น้ัน สวนจริงและสวนจินตภาพของอินเวอรสการบวกของ (3 + 2i)(i + 2)i + (1 + i)2 คอื 7 และ -6 ตามลำดบั ตัวอยางท่ี 10 จงหาอนิ เวอรสการคณู ตอไปน้ี 1) 3 - i 2) 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) วิธที ำ 1) 3 – i อินเวอรสการคณู ของ (a + bi) คอื a - bi a2 + b2 ดงั น้ัน อนิ เวอรสการคณู ของ 3 - i คือ 3+i = 3+ i 32 + (-1)2 10 ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 11 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 2) 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) ผลสำเร็จของ 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) = 3 + 2i + 5i - 1 = 2 + 7i อนิ เวอรสการคูณของ (a + bi) คอื a - bi a2 + b2 ดังนน้ั อินเวอรสการคณู ของ 3 + 2i + (1 - i)(2i - 3) คอื 2 + 7i = 2 + 7i 22 + 72 53 การลบจำนวนเชงิ ซอน บทนยิ าม 5 กำหนด (a, b) และ (c, d) เปนจำนวนเชิงซอน แลว (a, b) - (c, d) = (a, b) + (-c, -d) ตัวอยางท่ี 11 จงหาคาของ = 2) (3, -2) - (4, -2) 1) (3, 2) - (1, 4) = 4) (4i + 2) - (3, -1) 3) (2 + 3i) - (i - 2) = (3, 2) + (-1, -4) = (3 - 1, 2 - 4) วิธที ำ 1) (3, 2) - (1, 4) = (2, -2) = (3, -2) + (-4, 2) 2) (3, -2) - (4, -2) = (3 - 4, -2 - 2) = (-1, -4) 3) (2 + 3i) - (i - 2) = 2 + 3i - i + 2 4) (4i + 2) - (3, -1) = 4 + 2i = 4i + 2 + (-3, 1) 4i + 2 - 3 + i -1 + 5i ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 12 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน แบบฝกหัดที่ 3 เร่ือง อินเวอรสการบวก อินเวอรสการคูณ และการลบจำนวนเชิงซอน 1. จงหาอนิ เวอรสการบวกของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ในรปู a + bi 1) (3 - 7i)(2 - i) 2) (2 + 3i)(2 - i) อินเวอรสการบวกคอื ..................... อินเวอรสการบวกคอื ..................... 3) (6 - 3i)2 4) -2i(1 + 5i) + (2 - 5i) อินเวอรสการบวกคือ..................... อินเวอรสการบวกคอื ..................... 2. จงหาอินเวอรสการคณู ของจำนวนเชิงซอนในแตละขอตอไปนี้ 1) (2 + 3i)(1 - i) 2) ( 3 + 3i )(2 - 3i) อินเวอรสการคณู คือ..................... อินเวอรสการคณู คือ..................... 3) (1 + i)6(4i) 4) (i32 + i127)( 3 + 7i ) อนิ เวอรสการคูณคือ..................... อนิ เวอรสการคณู คือ..................... ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 13 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 3. จงหาผลลบของจำนวนเชงิ ซอนในแตละขอตอไปน้ี 2) (1 - i) - 2i - (3 - 5i) 1) (5 - 6i) - (2 + 3i) 3) ( 3 + i ) - (2 + 2i ) 4) 3i7- 10i8- 5i6- i73 4. กำหนด z = a + bi โดยท่ี z(2 - 3i) = จงหาอินเวอรสการคณู ของ z 5. จงหาคา in in = ……………………………… in = ……………………………… เมอื่ n ÷ 4 ลงตวั in = ……………………………… เม่ือ n ÷ 4 เหลือเศษ 1 in = ……………………………… เมื่อ n ÷ 4 เหลือเศษ 2 เมอ่ื n ÷ 4 เหลือเศษ 3 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 14 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน การหารของจำนวนเชงิ ซอน บทนิยาม 6 การหารจำนวนเชิงซอนดวยจำนวนเชิงซอน คอื การคูณจำนวนเชงิ ซอนท่เี ปนตัวตั้งดวย อินเวอรสการคณู ของตัวหาร ถา z1, z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน แลว z1 = z1z2-1 เมอ่ื z2 ≠ 0 z2 ตัวอยางที่ 12 จงทำเปนผลสำเร็จ 5 + 3i วิธที ำ 2 + 3i 2 3 เน่อื งจาก อินเวอรสการคณู ของ 2 + 3i คือ 13 - 13 i จากบทนยิ าม 6 ถา z1, z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน แลว z1 = z1z -1 เมื่อ z2 ≠ 0 z2 2 จะได 5 + 3i = (5 + 3i )( 2 - 3 i) 2 + 3i 13 13 10 6 15 9 = 13 + 13 i - 13 i + 13 = 19 - 9 i 13 13 ตวั อยางที่ 13 จงทำใหเปนผลสำเร็จ 2 + 3i - 5i + 1 วธิ ที ำ (2i - 3) - (4 + i) จะได 2 + 3i - 5i + 1 = 3 - 2i (2i - 3) - (4 + i) i-7 เนือ่ งจาก อนิ เวอรสการคูณของ i - 7 คอื - 7 - i 50 50 z1 จากบทนิยาม 6 ถา z1, z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน แลว z2 = z1z -1 เม่อื z2 ≠ 0 2 จะได 3 - 2i = (3 - 2i )( - 7 - i ) i-7 50 50 - 21 - 3 i + 14 i - 2 = 50 50 50 50 = - 23 + 11 i 50 50 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 15 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน สังยคุ ของจำนวนเชิงซอน บทนิยาม 7 กำหนด a, b เปนจำนวนจริง และ z = (a, b) = a + bi เปนจำนวนเชงิ ซอน จะมี (a, -b) เพียงจำนวนเดยี วเปนสงั ยุคของ z ถา z = (a, b) = a + bi แลว z = (a, -b) = a - bi ตัวอยางที่ 14 จงทำใหเปนผลสำเรจ็ 3 + 2 5i 2i150 + i179 วธิ ที ำ จากโจทยทำใหอยูในรปู อยางงายกอน และจากการท่ีนำสงั ยคุ มาคูณกนั ไดผลลพั ธเปนจำนวน จริง จงึ นำสังยคุ ของสวนมาคูณทงั้ เศษและสวน วิธีท่ี 1 3 + 2 5i = 3 + 2 5i 2i150 + i179 -2 - i = 3 + 2 5i -2 + i -2 - i × -2 + i = -6 - 4 5i + 3i - 2 5 (-2)2 - i2 = -6 - 2 5 + (3 - 4 5)i 5 วิธที ่ี 2 3 + 2 5i = (3, 2 5) 2i150 + i179 (-2, -i) = (3, 2 5) (-2, i) (-2, -i) × (-2, i) = -6 - 2 5 , 3 - 4 5 55 ทฤษฎบี ท 1 กำหนด z, z1 และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน จะไดวา 1) Re(z) = 1 (z + z) 2) Im(z) = 1 (z - z) 2 2i 3) z = z 4) 1 = 1 เมอ่ื z ≠ 0 z z 5) z1 + z2 = z1 + z2 6) z1 - z2 = z1 - z2 7) z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 8) z1 = z1 เมอื่ z2 ≠ 0 z2 z2 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 16 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน แบบฝกหัดที่ 4 เร่ือง การหาร และสังยุคของจำนวนเชงิ ซอน 1. กำหนดให z1 = 2 + 3i และ z2 = 4 - 3i จงหา 2) z1 + z2 1) z1 + z2 3) z1 - z2 4) z1 - z2 5) z1 ⋅ z2 6) z1 ⋅ z2 7) z2 8) z2 z1 z1 9) (z1-1 ) 10) (z1 )-1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 17 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 11) z1 12) z2 2. จงทำใหเปนผลสำเร็จและเขียนในรปู a + bi 2) 1 + i 25 1) 2 + i14 1-i i75 + i10 3. จงหาสังยคุ ของจำนวนเชงิ ซอน 2 + i + i4 + i9 + i16 - 1 - 3i 1 - i 2 + i 1 + 3i 4. จงหาอินเวอรสการคูณของ 1 - i - (2 + i)2 -3i 5. จงหาอนิ เวอรสการคูณของ 2i + 3 + 4i 3 + 4i 1 + i + 1+i ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 18 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 6. ให z1 และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน ถา z1-1 = 3 - 4 i เม่อื i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว z2 5 5 เทากบั เทาใด (เม่ือ z2 แทน สังยุค (conjugate) ของ z2) [PAT 1 (ก.ค.53/15)] 7. กำหนดให z = x + yi เปนจำนวนเชงิ ซอน เมือ่ x และ y เปนจำนวนจริงทส่ี อดคลองกับสมการ x(3 + 5i) + y(1 - i)3 = 3 + 7i ขอใดตอไปนีถ้ กู ตองบาง [PAT 1 (มี.ค.57)/14] ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 19 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน กราฟของจำนวนเชงิ ซอน เนื่องจากจำนวนเชิงซอนเขียนอยูในรูปของคูอันดับ (a, b) หรือในรูป a + bi โดยที่ a เปนสวนจรงิ และ b เปนสวนจนิ ตภาพ ดงั นน้ั อาจแทนจำนวนเชงิ ซอน (a, b) ใดๆ ดวยจุดในระนาบไดเชนเดียวกับการแทน คู อันดับในความสัมพันธ ใดๆ ด วยจุดในระนาบในระบบพิกัดแก และเรียกแกน X ว า แกนจริง (real axis) เรียกแกน Y วา แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรียกระนาบนี้วา ระนาบเชิงซอน (complex number) กราฟของจำนวนเชงิ ซอนมี 2 แบบ คือ 1. แทนดวยจดุ ในระนาบเชิงซอน 2. แทนดวยเวกเตอรทมี่ จี ดุ เรมิ่ ตนที่ (0, 0) และมีจดุ สิ้นสุดที่ (a, b) ตัวอยางที่ 15 จงเขียนกราฟของจำนวนเชงิ ซอน -3, 2i, 4 + 3i, 4 - i, -2 + 3i และ -1 - 3i วิธีทำ Y (-2, 3.) . (4, 3) (0, 2) (-3, 0) .X (-1, -3) . (4, -1) รูปท่ี 1 กราฟของจำนวนเชิงซอนแทนดวยจดุ ในระนาบเชงิ ซอน Y (-2, 3.) . (4, 3) (-3, 0) .X (-1, -3) . (4, -1) รูปท่ี 2 กราฟของเวกเตอรที่มีจดุ เร่ิมตนท่ี (0, 0) และมีจดุ ส้ินสุดที่ (a, b) ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 20 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน ตวั อยางท่ี 16 จงเขยี นกราฟแสดงจำนวนเชิงซอน z ทงั้ หมดในระนาบเชิงซอนซง่ึ สอดคลองกบั สมการ วธิ ที ำ ตอไปนี้ 1) z - i = z - 1 2) z - 2 ≤ 1 1) กำหนดจำนวนเชงิ ซอน z แทนดวย (a, b) = a + bi จาก z - i = z-1 a + bi - i = a + bi - 1 a + (b - 1)i = (a - 1) + bi a2 + (b - 1)2 = (a - 1)2 + b2 a2 + b2 - 2b + 1 = a2 - 2a + 1 + b2 -2a = -2b a=b เนอื่ งจากสมการ a = b เปนสมการเสนตรง ดังนน้ั เขยี นกราฟของจดุ ทั้งหมดในระนาบเชงิ ซอนที่ a = b ไดดังรปู ที่ 3 2) กำหนดจำนวนเชงิ ซอน z แทนดวย (a, b) = a + bi จาก z - 2 ≤ 1 a + bi - 2 ≤ 1 (a - 2) + bi ≤ 1 (a - 2)2 + b2 ≤ 1 (a - 2)2 + b2 ≤ 1 เนือ่ งจากอสมการ (a - 2)2 + b2 ≤ 1 เปนอสมการของกราฟวงกลม ดงั น้ัน เขยี นกราฟของจดุ ทั้งหมดในระนาบเชงิ ซอนท่ี (a - 2)2 + b2 ≤ 1 ไดดงั รูปที่ 4 YY 3 -3 3 X 1 2 3X -3 หนา 21 รูปที่ 4 รูปท่ี 3 ครูคเณศ สมตระกลู ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน บทนิยาม 8 คาสมั บรู ณ (absolute value หรือ modulus) ของจำนวนเชิงซอน (a, b) เขยี นแทนดวย a + bi โดยที่ a + bi = a2 + b2 ตวั อยางท่ี 17 กำหนด z1 = 2 - i และ z2 = 3 + i จงหา วิธีทำ 1) z12 2) z1 2 3) z2 4) -z2 1) z12 = 4 - 4i + i2 = 3 - 4i = 32 + (-4)2 =5 ( )2) z1 2 = 22 + (-1)2 2 = ( 5 )2 =5 3) z2 = 3 + i = (3)2 + (1)2 = 10 4) -z2 = -(3 + i) = -3 - i = (-3)2 + (-1)2 = 10 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 22 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน ทฤษฎีบท 2 กำหนด z, z1 และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอน จะไดวา 1. z = z⋅ z 2. z = -z = z 3. z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 4. z1 = z1 , z2 ≠ 0 z2 z2 5. z-1 = z -1 6. z1 + z2 ≤ z1 + z2 7. z1 - z2 ≥ z1 - z2 8. zn = z n 9. z1 + z2 2 = z1 2 + 2Re(z1 z2 ) + z2 2 10. z1 - z2 2 = z1 2 - 2Re(z1 z2 ) + z2 2 ตัวอยางที่ 18 จงหาคาสัมบูรณของ z เมอ่ื กำหนด z ดังนี้ 1) (1 + 2i)4i(5 - i) 2) 2 + 3i 1 + 2i 3) 1 + 2 + i 1 + 3i วิธที ำ 1) (1 + 2i)4i(5 -i) = (1 + 2i)4 i (5 -i) = 1 + 2i 4 5 -i = ( 5)4 26 2) 2 + 3i = 2 + 3i 1 + 2i 1 + 2i = 13 5 3) 1 + 2+i = 1 + 3i + 2 + i 1 + 3i 1 + 3i 3 + 4i = 1 + 3i ดังนัน้ 1 + 2 + i = 3 + 4i 1 + 3i 1 + 3i = 25 10 = 5 10 ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 23 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน แบบฝกหดั ที่ 5 เรื่อง กราฟและคาสมั บรู ณของจำนวนเชงิ ซอน 1. จงเขียนจุดและเวกเตอรแทนจำนวน 3 + 2i, 5 + i และผลบวกของสองจำนวนนี้ในระนาบเชิงซอน 2. จงหาคาสมั บูรณของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ 2) ( 5 + 2 3i)(- 3 - i) 1) -5 + 2i 3) 1 + i 5 4) 2-i - 3i + 2 2-i 1+i 1-i 5) 4 1 + 5 + 3i 6) -2(1 - i)2(1 + 3i) - 3i 2-i 7) (1 + 3i)2 8) 1 + 7i 7 4i(1 - 3i) 1-i ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 24 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 2) z3 = -4i100 + 3i51 3. จงหาคา z ตอไปน้ี 1) z2= -10 -2i(1 + i)(1 - 2i)(1 + 3i) 3) z2= 2 + i + 3 + 4i 4) z = - 1 - 3 i 3 2 - i 1 + 2i 22 5) z = 1 3 i - 4 4 + 2 i 6) z = 1 + 1 1 + - 2i 1- + 1 1 + 1 1 + i ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 25 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 4. ถา z = - 1 + 3 i และ w = 3 + 4i จงหาคาของ 22 1) z⋅w 2) z2 ⋅w3 3) z5 4) (z⋅w)4 w2 5. จงหาคาสัมบูรณของอินเวอรสการคณู ของ z เม่ือ 1) z = 8 - 3i 2) z = (5 - 2i)(8 + 15i)(8 - 6i) 3 + 2i (4 - 3i)(12 + 5i) 6. จงเขยี นกราฟแสดงจำนวนเชิงซอน z ท้งั หมดในระนาบเชงิ ซอนซ่งึ สอดคลองกับสมการหรืออสมการใน แตละขอตอไปนี้ 1) 3z + i = z + 3i 2) z - 2 + 3i < 3 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 26 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 7. ให z1 และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอนใดๆ และ z2 แทนสังยุค (conjugate) ของ z2 ถา 5z1 + 2z2 = 5 และ z2= 1 + 2i เมื่อ i2 = -1 แลว คาของ 5z1 เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.53)/34] 8. กำหนดให z เปนจำนวนเชงิ ซอนทส่ี อดคลองกบั สมการ z - 1 - 4i = 3i(z - i) ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง [PAT 1 (เม.ย.57)/21] 1) z + z = i(z - z) 2) z + 2 = 2 3) (z)2 - 8i = 0 4) z(1 - i)3 - 8i = 0 9. กำหนดให z1, z2 เปนจำนวนเชงิ ซอนซึ่ง z1+ z2 = 3 และ z1 ⋅ z2 = 3 + 4i คาของ z1 2 + z2 2 เทากบั เทาใด [PAT 1 (ก.ค.52)/27] ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 27 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 10. กำหนดให R แทนเซตของจำนวนจริง ให z1 = a + bi และ z2 = c + di เปนจำนวนเชงิ ซอน โดยที่ a, b, c, d∈ -{0} และ i = -1 สมมติวา มีจำนวนจริง t และ s ที่ z12 + z22 = t และ z1 - z2 = s ขอใดตอไปนีถ้ ูกตองบาง [PAT 1 (มี.ค.58)/13] 1) z1 = z2 2) Im(z1z2 ) = 0 11. ให A เปนเซตของจำนวนเชงิ ซอน z ทงั้ หมดที่สอดคลองกับ 2 z - 3z = 9i - 2 { }และ B =w 2 w = (1 + i)z , z∈A เมอ่ื i2 = -1 2+i ผลบวกของสมาชกิ ท้ังหมดในเซต B เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.55)/33] ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 28 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 12. กำหนดให z เปนจำนวนเชงิ ซอนทส่ี อดคลองกับสมการ z + 2z - 3z = 3 - 45i เม่ือ z แทน คาสัมบูรณ (absolute value) ของ z และ z แทนสังยุค (conjugate) ของ z คาของ z 2 เทากับเทาใด [PAT 1 (พ.ย.57)/9] 13. กำหนดให A เปนเซตของจำนวนเชิงซอนทั้งหมดท่สี อดคลองกับสมการ 3 z 2 - (28 - i)z + 4z2 = 0 และให B = { z + i z∈A} ผลบวกของสมาชกิ ทง้ั หมดในเซต B เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.57)/32] ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 29 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 14. กำหนดให z1 และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ z1+ z2 = 3 และ z1 - z2 = 1 (เมื่อ z แทนคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน z) คาของ z1 2 + z2 2 เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.55)/32] 15. กำหนดให z1 และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ z1 = 2 , z2 = 3 และ z1 - z2 = 1 แลวคาของ z1+ z2 เทากบั เทาใด (เม่อื z แทนคาสัมบรู ณของ z) [PAT 1 (พ.ย.57)/33] ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 30 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 16. กำหนดให z1 และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอนซึ่ง z1+ z2 2 = 5 และ z1 - z2 2 = 1 คาของ z1 2 + z2 2 เทากบั เทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.52)/27] 17. กำหนดให z1 และ z2 เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ z1 = z1+ z2 = 3 และ z1 - z2 = 3 3 คาของ 11z1 - 5z2 เทากับเทาใด ( z แทนสงั ยคุ (conjugate) ของ z) [PAT 1 (ม.ี ค.54)/35] z1 z2 + z1z2 18. กำหนดให z เปนจำนวนเชงิ ซอนที่สอดคลองกบั สมการ 2 z + 1 = z + 4 คาของ z เทากบั เทาใด ( z แทนสงั ยคุ (conjugate) ของ z) [PAT 1 (ต.ค.55)/35] ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 31 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน จำนวนเชิงซอนในรปู เชิงขั้ว (Polar Form) การเขยี นจำนวนเชงิ ซอนนอกจากจะเขยี นในรปู a + bi แลวยังเขียนไดในรปู เวกเตอร ท่ีแทน จำนวนเชงิ ซอนนัน้ ทำมุมกับแกน X เรียกจำนวนเชิงซอนในรูปเชงิ ข้ัว Polar Form หรือ Trigonometric Form ถา z = (a, b) = a + bi และ a > 0, b > 0 จะสามารถเขยี นแสดง z ดวยเวกเตอรในระนาบ เชิงซอนไดดังนี้ Y z = a + bi r b Oa X รปู ท่ี 5 กำหนด θ เปนมุมบวกทเ่ี ลก็ ทส่ี ุดที่เวกเตอรทำกบั แกน X ทางดานบวก ในทิศทางบวก (จากแกน X ทางดานบวกวดั ทวนเข็มนา ิกาไปยังเวกเตอรทแ่ี ทนจำนวนเชงิ ซอนนัน้ ) เรยี ก θ วา แอมพลิจูด (amplitude) หรอื อารกิวเมนต (argument) ของ z จาก z ในกราฟรูปท่ี 5 จะหาพกิ ัดของ z ในรปู ของฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ กำหนด r = OZ = a2 + b2 จากรูปสามเหลย่ี มรูปที่ 5 จะได a = cosθ และ b = sinθ r r a = rcosθ และ b = rsinθ จาก z = a + bi จะไดวา z = rcos θ + irsin θ หรอื z = r(cos θ + isin θ ) ดังน้ัน z = a + bi สามารถเขียนในรูป r(cos θ + isin θ ) โดยที่ tanθ = b a เรียก z = r(cos θ + isin θ ) วา จำนวนเชงิ ซอนในรปู เชงิ ขว้ั (Polar Form) ของ a + bi แต cosθ = cos(θ + 2kπ) และ sinθ = sin(θ + 2kπ) เมอื่ k เปนจำนวนเตม็ ดงั นั้น r(cos(θ + 2kπ) + isin(θ + 2kπ) เปนรูปเชิงขว้ั ของจำนวนเชิงซอน a + bi ดวย ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 32 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน บทนิยาม 9 กำหนด z เปนจำนวนเชงิ ซอนใดๆ z = a + bi จะได r(cos θ + isin θ ) หรือ rcisθ หรอื r∠θ เปนรูปเชงิ ขัว้ ของจำนวนเชิงซอน a + bi โดยท่ี tanθ = b และ r= z = a2 + b2 a ตัวอยางที่ 19 จงเขยี น z ทกี่ ำหนดในรปู เชิงข้ัว 1) z = 1 + 3i 2) z = -1 + 3i 3) z = -1 - 3i 4) z = 1 - 3i วธิ ที ำ 1) จาก z = 1 + 3i จะได a = 1, b = 3 และ tanθ = b = 3 จะได θ = 60o a 1 r = a2 + b2 = 12 + (- 3 )2 = 2 ดังน้นั z = 1 + 3i = 2(cos60o + isin60o ) 2) จาก z = -1 + 3i จะได a = -1, b = 3 และ tanθ = b =- 3 จะได θ = 120o a r = a2 + b2 = (-1)2 + ( 3 )2 = 2 ดังน้นั z = -1 + 3i = 2(cos120o + isin120o ) 3) จาก z = -1 - 3i จะได a = -1, b = - 3 และ tanθ = b = -3 จะได θ = 240o a -1 r = a2 + b2 = (-1)2 + (- 3 )2 = 2 ดังน้ัน z = -1 - 3i = 2(cos240o + isin240o ) 4) จาก z = 1 - 3i จะได a = 1, b = - 3 และ tanθ = b = -3 จะได θ = 300o a 1 r = a2 + b2 = 12 + (- 3 )2 = 2 ดงั น้นั z = 1 - 3i = 2(cos300o + isin300o ) ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 33 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน ตัวอยางที่ 20 จงเขยี นจำนวนเชิงซอน 3 (cos120o + isin120o ) ในรูป a + bi วธิ ีทำ 3 (cos120o + isin120o ) = 3 - 1 + 3 i 2 2 = - 3 + 3i 22 ดังนนั้ 3 (cos120o + isin120o ) = - 3 + 3 i 2 2 แบบฝกหดั ท่ี 6 เรื่อง จำนวนเชิงซอนในรปู เชงิ ข้วั (Polar Form) 1. จงเขยี นจำนวนเชิงซอนตอไปนใ้ี นรปู เชิงข้ัว 2) -5 3 - 5i 1) -2 + 2 3i 3) (2 - i)(2 + i) 4) 1 - i 1 + i 2. จงเขยี นจำนวนเชิงซอนที่กำหนดในรูป a + bi 2) 2 (cos225o - isin(-315o )) 1) 2(cos120o + isin120o ) ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 34 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน ทฤษฎบี ท 3 กำหนด z1, z2 เปนจำนวนเชิงซอน โดยท่ี z1 ≠ 0, z2 ≠ 0 z1= r1 (cosθ1+isinθ1 ) และ z2= r2 (cosθ2 +isinθ2 ) 1. z1z2 = r1r2 (cos(θ1+ θ2 ) + isin(θ1+ θ2 )) 2. z1 = r1 ( cos(θ1 - θ2 ) + isin(θ1 - θ2 ) ) z2 r2 3. 1= 1 ( cosθ2 - isinθ2 ) z2 r2 4. z1= r1 (cos(-θ1 ) + isin(-θ1 )) ตวั อยางที่ 21 จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนใี้ หอยใู นรูป a + bi เม่ือ a และ b เปนจำนวนจริง 1) (2(cos18o + isin18o ))(5(cos42o + isin42o )) 2) (8(cos540o + isin540o )) (2(cos225o + isin225o )) วธิ ีทำ 1) จาก z1z2= r1r2 (cos(θ1+ θ2 ) + isin(θ1+ θ2 )) (ทฤษฎบี ท 4) จะได (2(cos18o + isin18o ))(5(cos42o + isin42o )) = 2⋅5(cos(18o + 42o ) + isin(18o + 42o )) = 10(cos(60o ) + isin(60o )) = 10 1 + 3 i 22 = 5(1 + 3i) = 5 + 5 3i 2) จาก z1 = r1 (cos(θ1 - θ2 ) + isin(θ1 - θ2 )) (ทฤษฎบี ท 4) z2 r2 จะได (8(cos540o + isin540o )) (2(cos225o + isin225o )) = 8 ( cos(540o - 225o ) + isin(540o - 225o )) 2 = 4(cos(315o ) + isin(315o ) = 2 2 + 2 2i ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 35 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน ตัวอยางท่ี 22 จงหาคาของ 4 2 (cos45o - isin225o ) วิธที ำ 2(cos315o + isin315o ) 4 2 (cos45o - isin225o ) = 4 2 (cos45o + isin45o ) 2(cos315o + isin315o ) 2(cos315o + isin315o ) = 4 2 2 (cos(45o - 315o ) + isin(45o - 315o )) 2 2 (cos(-270o ) + isin(-270o )) = 2 2 (cos(270o ) - isin(270o )) = -2 2 = ดังน้ัน 4 2 (cos45o - isin225o ) = -2 2 2(cos315o + isin315o ) แบบฝกหัดท่ี 7 เร่ือง การคูณ และการหารจำนวนเชงิ ซอนในรูปเชิงขวั้ 1. จงเขยี นจำนวนเชิงซอนในรปู a + bi 1) (4(cos150o + isin150o ))(cos180o + isin180o ) 2) 1 (cos330o + isin330o ) (2(cos(-30o ) + isin(-30o ))) 2 3) 2(cos150o + isin150o ) 4 2 (cos315o - isin45o ) ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 36 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 4) (3(cos120o + isin120o ))(4(cos(-40)o + isin(-40)o )) 6(cos(-10)o + isin(-10)o ) 5) (8(cos(-120o )+ isin(-120o ))(cos30o - isin30o ) 5) 2∠50o 6) (2∠25o )(1∠5o ) 2∠40o 2) กำหนดให w, z เปนจำนวนเชงิ ซอนซ่ึง w = z - 2i และ w 2 = z + 6 ถาอารกวิ เมนตของ w อยใู นชวง [0, π] และ w = a + bi เมอ่ื a, b เปนจำนวนจรงิ 2 [PAT 1 (ต.ค.52)/2-13] ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 37 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน ทฤษฎบี ท 4 ถา z = r(cosθ + isinθ) เปนจำนวนเชิงซอนท่ีไมเปนศนู ย และ n เปนจำนวนเตม็ จะได zn = r(cos(nθ) + isin(nθ)) ตัวอยางที่ 23 จงหาคาของ ( 3 + i)7 วิธที ำ จาก zn = r(cos(nθ) + isin(nθ)) ทฤษฎีบท 4 3 + i = 2(cos30o + isin30o ) ( 3 + i)7 = 27 (cos(7×30o ) + isin(7×30o )) = 128(cos210o + isin210o ) = 128 - 3 - 1 i 22 = -64 3 - 64i ดังนั้น คาของ ( 3 + i)7 เทากบั -64 3 - 64i ตัวอยางท่ี 24 จงหาคาของ 3 + 1 i 100 22 วิธีทำ จาก zn = r(cos(nθ) + isin(nθ)) ทฤษฎบี ท 5 3 + 1i = cos30o + isin30o 22 = cos3000o + isin3000o 3 + 1 i 100 22 = cos300o + isin300o = cos60o - isin60o = 1 - 3i 22 3 1i 100 1 3i 2 2 2 2 ดังนน้ั คาของ + เทากับ - ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 38 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน จำนวนเชงิ ซอนในรูปเชิงขว้ั r∠θ จะมีขอดคี ือ “สงั ยุค คูณ หาร ยกกำลัง” ไดงาย ดงั น้ี 1. สงั ยุค ใหเปล่ียน θ เปนลบของของเดิม เชน 1) 2∠60o = 2∠-60o 2) 1∠20o = 1∠-20o 3) 5∠-50o = 5∠-50o 2. คูณ ใหนำ r มาคูณกนั และนำ θ มาบวกกัน เชน 1) (2∠60o ) × (3∠10o ) = 6∠70o 2) (5∠-20o ) × (2∠10o ) = 10∠-10o 3) (2∠260o ) × (12∠310o ) = 24∠570o = 24∠210o 3. หาร ใหนำ r มาหารกนั และนำ θ มาลบกนั เช่น 1) (12∠60o ) = 4∠50o 2) 5∠-20o = - 5 ∠-30o (3∠10o ) -2∠10o 2 4. ยกกำลัง n ใหนำ r มายกกำลัง n และเอา θ มาคณู n เชน 1) (2∠60o )3 = 23∠180o = 8∠180o 2) (-1∠45o )10 = (-1)10∠450o = 1∠90o ตัวอยางท่ี 25 กำหนดให z = 1 + i จงหาคาของ z4 z2 วธิ ีทำ เปลีย่ นจำนวนเชงิ ซอน 1 + i เปนรูปเชิงขว้ั จะได r = 12 + 12 และ tanθ = 1 = 1 เนอื่ งจาก 1 + i อยูใน Q1 ดังนัน้ θ = 45o 1 จะได z = 2∠45o และ z = 2∠-45o ดังนั้น z4 = ( 2∠45o )4 z2 ( 2∠-45o )2 = 4∠180 2∠-90 = 2∠270 = 2i นัน่ คอื ถา z = 1 + i แลว z4 = 2i z2 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 39 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน แบบฝกหัดที่ 8 เรื่อง การหากำลังที่ n ของจำนวนเชิงซอนในรปู เชงิ ข้ัว 1. จงหาเขยี นจำนวนเชิงซอนตอไปนใี้ นรูป a + bi 2) ( 2 - 2i)5 1) (1 - i)10 3) - 1 - 1 i 8 4) (-1 + 3i)12 22 5) - 1 + 3 i 40 6) zn = 2(cos30o + isin30o )-20 22 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 40 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 2. จงหาผลสำเร็จของ (1 + 3i)6 (1 - i)3 ในรปู a + bi (-1 + i)4 3. ถา z1 = 1 + 3i และ z2 = 1 + 1 i จงหา (z1)6(z2)10 2 2 4. จงเขียน (2(cos80o + isin80o ))((cos40o + isin40o ) ในรูป a + bi (cos45o + isin135o )8 5. ถา n เปนจำนวนเต็มบวกทนี่ อยทีส่ ดุ ที่ทำให 2+ 2i n [PAT 1 (ก.ค.53)/33] 22 = 1 เม่อื i2 = -1 แลว n มีคาเทาใด ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 41 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน การหารากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอน บทนิยาม 10 กำหนด x, z เปนจำนวนเชงิ ซอนใด และ n เปนจำนวนเต็มบวก x เปนรากที่ n ของ z กต็ อเมื่อ xn = z ทฤษฎีบท 5 ถา z = r(cosθ + isinθ) เปนจำนวนเชิงซอนที่ไมเปนศูนย แลวรากที่ n ของ z แลว 1 cos( θ + 2kπ ) + isin( θ + 2kπ ) nn zp = rn เม่ือ r = z และ p = 1, 2, 3, 4, …,n และ k = 0, 1, 2, 3, …, n - 1 ตวั อยางที่ 26 จงหารากที่ 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) วิธีทำ 1 cos( θ + 2kπ ) + isin( θ + 2kπ ) ทฤษฎีบท 5 nn จาก zp = rn รากท่ี 2 ของ z จะมี 2 คา คือ z1 = 1 cos( θ + 2(0)π ) + isin( θ + 2(0)π ) เม่ือ k = 0 nn เม่อื k = 1 rn z2 = 1 cos( θ + 2(1)π ) + isin( θ + 2(1)π ) nn rn รากท่ี 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) คอื z1 = 1 cos( 60o ) + isin( 60o ) 22 16 2 = 4(cos30o + isin30o ) = 2 + 2 3i z2 = 1 cos( 60o + 360o ) + isin( 60o + 360o ) 22 16 2 = 4(cos210o + isin210o ) = -2 - 2 3i ดังน้ัน รากท่ี 2 ของ 16(cos60o + isin60o ) คือ 2 + 2 3i และ -2 - 2 3i ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 42 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน ตวั อยางท่ี 27 จงหารากที่ 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) วธิ ที ำ 1 cos( θ + 2kπ ) + isin( θ + 2kπ ) ทฤษฎีบท 5 nn จาก zp = rn รากที่ 3 ของ z จะมี 3 คา คือ z1 = 1 cos( θ + 2(0)π ) + isin( θ + 2(0)π ) เมอื่ k = 0 nn เมอื่ k = 1 rn เมอ่ื k = 2 z2 = 1 cos( θ + 2(1)π ) + isin( θ + 2(1)π ) nn rn z3 = 1 cos( θ + 2(2)π ) + isin( θ + 2(2)π ) nn rn รากท่ี 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) คือ z1 = 1 cos( 120o ) + isin( 120o ) 33 43 = 3 4 (cos40o + isin40o ) z2 = 1 cos( 120o + 360o ) + isin( 120o + 360o ) 33 43 = 3 4 (cos160o + isin160o ) z3 = 1 cos( 120o + 720o ) + isin( 120o + 720o ) 33 43 = 3 4 (cos280o + isin280o ) ดังนั้น รากท่ี 3 ของ 4(cos120o + isin120o ) คือ 3 4 (cos40o + isin40o ) หรอื 3 4 (cos160o + isin160o ) หรือ 3 4 (cos280o + isin280o ) ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 43 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน ตวั อยางท่ี 28 จงหารากที่ 4 ของ -81 วิธที ำ 1 cos( θ + 2kπ ) + isin( θ + 2kπ ) ทฤษฎีบท 5 nn จาก zp = rn รากที่ 4 ของ z จะมี 4 คา คือ z1 = 1 cos( θ + 2(0)π ) + isin( θ + 2(0)π ) เมอ่ื k = 0 nn เมือ่ k = 1 rn เมื่อ k = 2 เมือ่ k = 3 z2 = 1 cos( θ + 2(1)π ) + isin( θ + 2(1)π ) nn rn z3 = 1 cos( θ + 2(2)π ) + isin( θ + 2(2)π ) nn rn z4 = 1 cos( θ + 2(3)π ) + isin( θ + 2(3)π ) nn rn รากที่ 4 ของ -81 คือ z1 = 1 cos( 180o ) + isin( 180o ) 44 814 = 3(cos45o + isin45o ) z2 = 1 cos( 180o + 360o ) + isin( 180o + 360o ) 44 814 = 3(cos135o + isin135o ) z3 = 1 cos( 180o + 720o ) + isin( 180o + 720o ) 44 814 = 3(cos225o + isin225o ) z4 = 1 cos( 180o + 1080o ) + isin(180o + 1080o ) 44 814 = 3(cos315o + isin315o ) ดงั นัน้ รากที่ 4 ของ -81 คือ 3(cos45o + isin45o ) หรือ 3(cos135o + isin135o ) หรอื 3(cos225o + isin225o ) หรือ 3(cos315o + isin315o ) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 44 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน แบบฝกหัดที่ 9 เรื่อง การหารากท่ี n ของจำนวนเชิงซอน 1. จงหารากท่ี 3 ของ -64 2. จงหารากที่ 4 ของ 81i 3. จงหารากท่ี 4 ของ -8 - 8 3i ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 45 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 4. จงหาจำนวนเชงิ ซอนท้งั หมดซึ่งสอดคลองกบั สมการตอไปนี้ 1) z4= 1 + 3i 2) z5 + i = 0 ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 46 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 3) z7 - 1 = 0 4) z8 + 4 + 4i = 0 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 47 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 5. กำหนดให z1, z2, z3 เปนรากของสมการ (z + 2i)3 = 81 จงหาคาของ z1 + z2 + z3 [PAT 1 (ธ.ค.54)/14] 6. กำหนด z = a + bi โดยท่ี a และ b เปนจำนวนจรงิ ท่ี ab > 0 และ i = -1 ถา z3 = i แลวคาของ iz5 + 2 2 เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.58)/29] ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 48 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน สมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว ทฤษฎีบท 6 กำหนด a, b และ c เปนจำนวนจรงิ ใดๆ และ a ≠ 0 จะไดวาคำตอบของสมการกำลังสอง ax2 + bx + c= 0 คือ 1. -b ± b2 - 4ac เมอ่ื b2 - 4ac ≥ 0 2a -b ± b2 - 4ac i 2. เม่อื b2 - 4ac < 0 2a ทฤษฎีบท 7 ทฤษฎบี ทหลกั มลู ของพีชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra) ให p(x) เปนพหนุ ามทีม่ ีสัมประสิทธเ์ิ ปนจำนวนจริงและมีดีกรมี ากกวาศูนย จะไดวาสมการ p(x) = 0 จะมคี ำตอบท่เี ปนจำนวนเชิงซอนอยางนอยหนึง่ คำตอบ ทฤษฎบี ท 8 ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) ให p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เปนพหุนาม โดยที่ n เปนจำนวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปนจำนวนจรงิ ซึง่ an ≠ 0 สำหรับจำนวนจรงิ c ใดๆ จะไดวา พหุนาม p(x) มี x - c เปนตัวประกอบ ก็ตอเม่ือ p(c) = 0 ทฤษฎบี ท 9 ทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ (Rational Factor Theorem) ให p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 เปนพหุนาม โดยที่ n เปนจำนวนเตม็ บวก และ an, an-1, an-2, …, a1, a0 เปนจำนวนจรงิ ซงึ่ an ≠ 0 ถา x - k เปนตวั ประกอบของพหุนาม p(x) โดยท่ี m และ k เปนจำนวนเต็ม ซงึ่ m≠0 m และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากบั 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตวั ทฤษฎีบท 10 ให p(x) เปนพหุนามที่มสี มั ประสิทธ์ิเปนจำนวนจรงิ และมีดีกรี n เม่อื n ≥1 จะไดวาสมการ p(x) = 0 จะมีคำตอบท่ีเปนจำนวนเชงิ ซอนทงั้ หมด n คำตอบ เม่อื นับคำตอบท่ีซ้ำกนั ทฤษฎีบท 11 ถาจำนวนเชงิ ซอน z เปนคำตอบของสมการพหุนาม xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an= 0 โดยมสี มั ประสิทธิ์ a1,a2, a3, …, an เปนจำนวนจรงิ แลว z จะเปนคำตอบของสมการ พหนุ ามน้ี ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 49 ครคู เณศ สมตระกูล