เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร์

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 3 (ค32201) ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2563 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 3 เร่ือง เวกเตอร์

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร เวกเตอร (Vector) ระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ กำหนดเสนตรง XX′, YY′และ ZZ′ เปนเสนตรงที่ผานจุด O และตั้งฉากซึ่งกันและกันดังรูปที่ 1 ดังนั้นถาใหเสนตรงทั้งสามเสนเปนเสนจำนวน (real line) จะเรียกเสนตรง XX′, YY′และ ZZ′ วา แกนพิกัด X แกนพิกัด Y และแกนพิกัด Z หรือเรียกสั้นๆ วา แกน X (X - axis) แกน Y (Y - axis) และ แกน Z (Z - axis) ตามลำดับ และเรียกจุด O ซึ่งเปนจุดตัดของแกน X แกน Y และแกน Z วา จุดกำเนิด (origin) Z แกน Z O แกน Y Y แกน X X รปู ท่ี 1 เรียกรังสี OX, OY และ OZ ว า แกน X ทางบวก (Positive X - axis) แกน Y ทางบวก (Positive Y - axis) และ แกน Z ทางบวก (Positive Z - axis) ตามลำดับ และเรียกรังสี OX′, OY′และ OZ′วา แกน X ทางลบ (negative X - axis) แกน Y ทางลบ (negative Y - axis) และ แกน Z ทางลบ (negative Z - axis) ตามลำดับ โดยทั่วไปเมื่อเขียนรูปพิกัดในสามมิติ นิยมเขียนเฉพาะแกน X แกน Y และ แกน Z ทางบวก ซึ่งมี หวั ลูกศรกำกบั ดงั รปู ท่ี 2 และ 3 โดยละแกน X แกน Y และแกน Z ทางลบไวในฐานทเ่ี ขาใจ ZZ O Y OY X X รปู ท่ี 3 รูปท่ี 2 หนา 1 ครูคเณศ สมตระกูล ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร จากแกน X แกน Y และแกน Z จะกำหนดระนาบขึ้น 3 ระนาบ เรียกวา ระนาบอางอิง เรียก ระนาบที่กำหนดดวยแกน X และแกน Y วา ระนาบอางอิง XY เรียกระนาบที่กำหนดดวยแกน Y และแกน Z วา ระนาบอางองิ YZ และเรียกระนาบที่กำหนดดวยแกน X และแกน Z วา ระนาบอางองิ XZ หรือเรียกสั้นๆ วา ระนาบ XY ระนาบ YZ และ ระนาบ XZ ตามลำดบั ดงั รปู ท่ี 4 ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ ทั้งสามระนาบดังกลาวจะแบงระบบพิกัดฉากสามมิติ ออกเปน 8 บริเวณ คือ เหนือระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ และใตระนาบ XY จำนวน 4 บริเวณ เรียกแตละ บรเิ วณวา อัฐภาค (Octant) รปู ท่ี 4 รปู ท่ี 5 เม่ือกำหนดจดุ P เปนจดุ ใดๆ ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ จะสามารถระบุพิกัด (coordinate) ของจุด P โดยใชจำนวนจรงิ สามจำนวนเรียงกันตามลำดับหรือเรียกวา สามส่ิงอันดบั (ordered triple) ในรูป (x, y, z) เมื่อ x เปนจำนวนจริงบวก แสดงวาจุด P อยูหางจากระนาบ YZ ไปตามแนวแกน X ทางบวกเปนระยะ x หนวย เม่อื x เปนจำนวนจริงลบ แสดงวาจุด P อยูหางจากระนาบ YZ ไปตามแนวแกน X ทางลบ เปนระยะ x หนวย และเมอ่ื x เปน 0 แสดงวาจดุ P อยใู นระนาบ YZ เมื่อ y เปนจำนวนจริงบวก แสดงวาจุด P อยูหางจากระนาบ XZ ไปตามแนวแกน Y ทางบวกเปน ระยะ y หนวย เมื่อ y เปนจำนวนจริงลบ แสดงวาจุด P อยูหางจากระนาบ XZ ไปตามแนวแกน Y ทางลบ เปนระยะ y หนวย และเมือ่ y เปน 0 แสดงวาจดุ P อยูบนระนาบ XZ เม่ือ z เปนจำนวนจริงบวก แสดงวาจุด P อยูหางจากระนาบ XY ไปตามแนวแกน Z ทางบวกเปน ระยะ z หนวย เมื่อ z เปนจำนวนจริงลบ แสดงวาจุด P อยูหางจากระนาบ XY ไปตามแนวแกน Z ทางลบ เปนระยะ z หนวย และเมื่อ z เปน 0 แสดงวาจุด P อยบู นระนาบ XY เรียก (x, y, z) วา พิกัด ของจุด P และบางครั้งจะเขียนจุดและพิกัดกำกับไวดวยกันเปน P(x, y, z) ดงั รปู ที่ 5 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 2 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางที่ 1 จากรูป จงหาพิกัดของจุด B, C, D, E และ F เมื่อกำหนด A(2, 5, 3) วิธที ำ จดุ B มีพิกัดเปน (0, 5, 3) จดุ C มพี ิกัดเปน (0, 0, 3) จดุ D มีพิกดั เปน (2, 0, 3) จดุ E มพี กิ ัดเปน (2, 0, 0) จุด F มพี ิกัดเปน (2, 5, 0) จดุ G มีพกิ ัดเปน (0, 5, 0) ตัวอยางท่ี 2 จงเขยี นจดุ A (2, 2, -1), B(1, -3, 2) และ C(-1, 3, 3) ลงในระบบพิกดั ฉากสามมิติ วธิ ีทำ ระยะทางระหวางจุดสองจดุ ถาลากเสนผานจดุ P(x, y, z) ใหขนานกบั แกน Z ไปตัดระนาบ XY จะไดจุดตัดมีพิกัด Q(x, y, 0) เรียกจุดนี้วาเปน รูปท่ี 6 ภาพฉาย (Projection) ของจุด P บนระนาบ XY ในทำนองเดียวกันจะเรียกจุด R(0, y, z) วาเปนภาพฉาย ของจุด P บนระนาบ YZ และเรียกจุด S(x, 0, z) วาเปนภาพฉาย ของจดุ P บนระนาบ XZ ดังรูปที่ 6 และเรียกจุด P′(x, 0, 0), P′′(0, y, 0) และ P′′′(0, 0, z) วาเปนภาพฉายของจดุ P บนแกน X แกน Y และแกน Zตามลำดบั ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 3 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร การหาระยะทางระหวางจุดสองจุดใดๆ ในระบบพิกัดฉากสามมติ ิทำไดโดยใชภาพฉายของจดุ ท้งั สอง ในระนาบ XY และใชทฤษฎบี ทพีทาโกรัส ดงั นี้ ให P(x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) เปนจุดในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ ใหจุด A และ C เปนภาพฉายของจดุ P และ Q ในระนาบ XY ตามลำดับ สรางทรงส่เี หลีย่ มมุมฉาก ดงั รูปท่ี 7 จะได PQR เปนรูปสเ่ี หลย่ี มมุมฉาก โดยใชความรเู รอื่ งระยะทางระหวางจุดสองจุดในระนาบ XY จะได AC = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 รูปท่ี 7 เนอ่ื งจาก PR = AC และ QR = z2 - z1 (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 หนวย และ PQ2 = PR2 + QR2 ดังนั้น PQ2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 จะได PQ = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 นน่ั คือ ระยะทางระหวางจุด P(x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) คือ ทฤษฎีบท 1 ระยะทางระหวางจุด P(x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) หรอื PQ = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 ตวั อยางที่ 3 จงหาภาพฉายของจดุ P(2, 2, 3) บนระนาบ XY, YZ และ XZ วธิ ที ำ จากรูป 1) ภาพฉายของจุด P(2, 2, 3) บนระนาบ XY คอื (2, 2, 0) 2) ภาพฉายของจุด P(2, 2, 3) บนระนาบ YZ คือ (0, 2, 3) 3) ภาพฉายของจุด P(2, 2, 3) บนระนาบ XZ คือ (2, 0, 3) ตวั อยางท่ี 4 จงหาระยะทางระหวางจุด A(1, 0, 3) และ B(-1, 3, 2) วธิ ีทำ จากสตู ร PQ = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 จะได = (1 - (-1))2 + (3 - 0)2 + (2 - 3)2 = 4+9+1 = 14 ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 4 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหดั ที่ 1 เร่อื ง ระบบพกิ ดั ฉากสามมติ แิ ละระยะทางระหวางจุดสองจุด 1. จากรปู จงหาพิกดั ของจดุ มุมท่เี หลือของทรงสเี่ หลีย่ มมุมฉาก ซึง่ เปนหนาทง้ั หกขนานกบั ระนาบอางองิ 1) จดุ B คอื .................... 2) จดุ C คือ.................... 3) จุด D คือ.................... 4) จดุ E คือ.................... 5) จุด H คือ.................... 6) จุด G คือ.................... 2. จากรปู จงหาพิกดั ซึ่งเปนภาพฉายของจุด C(3, 3, 1) บนแกนและ ระนาบที่กำหนดใหตอไปน้ี 1) จุด B คือ.................... 2) จุด C คอื .................... 3) จดุ D คือ.................... 4) จุด E คอื .................... 5) จุด H คือ.................... 6) จดุ G คอื .................... 3. จงหารปู ท่วั ไปของพกิ ัดของจุดทอ่ี ยูบนแกน หรือระนาบท่ีกำหนดใหตอไปน้ี 1) จุดบนแกน X คือ.................... 2) จดุ บนแกน Y คือ.................... 3) จุดบนแกน Z คือ.................... 4) จดุ บนระนาบ XY คอื .................... 5) จดุ บนระนาบ YZ คอื .................... 6) จดุ บนระนาบ XZ คือ.................... 4. กำหนดระบบพิกัดฉากของจุดในปรภิ มู ิสามมิติ เขียนจดุ ในปรภิ มู ิสามมติ ทิ ก่ี ำหนดใหตอไปนี้ A(1, 1, 1) B(1, -1, 2) C(3, 2, -1) D(-1, -1, -2) ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 5 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 5. จงหาภาพฉายจุด P, Q บนระนาบ XY, YZ และ XZ เมื่อ P, Q มพี ิกัดเปน (3, -4, 8) และ (7, -2, 8) ตามลำดับ 1) ภาพฉายของ P บนระนาบ XY คือจดุ .................... 2) ภาพฉายของ P บนระนาบ YZ คอื จุด.................... 1) ภาพฉายของ P บนระนาบ XY คือจุด.................... 2) ภาพฉายของ P บนระนาบ YZ คือจุด.................... 3) ภาพฉายของ P บนระนาบ XZ คอื จุด.................... 6. จงหาระยะทางระหวางจุด P(1, -2, 7) และ Q(-2, -1, -1) 7. จงพจิ ารณาวา รปู สามเหล่ียมทมี่ จี ุดยอดท่ี A(1, 2, 1), B(-3, 7, 9) และ C(11, 4, 2) เปนรปู สามเหลยี่ ม ชนิดใด ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 6 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร เวกเตอร บทนยิ าม 1 ปรมิ าณท่ีมแี ตขนาดเพยี งอยางเดียว เรยี กวา ปรมิ าณสเกลาร (scalar quantity) สวนปรมิ าณที่ มที ัง้ ขนาดและทิศทาง เรยี กวา ปรมิ าณเวกเตอร (vector quantity) สวนของเสนตรงทบ่ี งบอกทศิ ทาง แทนปรมิ าณเวกเตอร โดยทว่ั ไปความยาวของสวนของเสนตรง จะบงบอกถึงขนาด และหัวลูกศรจะบงบอกทศิ ทาง สรุปไดดงั น้ี B จากรูปที่ 8 จะได 1) สญั ลกั ษณ AB หรือ AB คอื สวนของเสนตรงท่ี บงบอกทิศทางจาก A ไป B เรยี กส้นั ๆ วา เวกเตอรจาก A ไป B A รปู ที่ 8 2) เราเรียก A วา จดุ เริ่มตน (initian point) และ เรยี ก B วา จุดสิ้นสดุ (terminal point) 3) ในที่น้ี AB อานวา เวกเตอร เอ บี 4) ขนาด AB คอื ความยาวของสวนของเสนตรง AB ใชสญั ลักษณ AB ในกรณที ่ีตองการกลาวถึงเวกเตอรใดๆ โดยท่ีไมตองการ ระบจุ ุดเร่มิ ตนและจดุ ส้ินสุดของเวกเตอรจะใชสัญลักษณ u, v, w เปนตน ดงั รูปท่ี 9 และขนาดของเวกเตอร u, v, w จะเขียนแทนดวย u , v , w รูปท่ี 9 การกำหนดทิศทางของเวกเตอร จะกำหนดดวยคาของมุมที่เริ่มวัดจากแกนทิศเหนือไปในทิศทาง ตามเข็มนา ิกาจนถึงเวกเตอร ซึ่งคาของมุมนี้จะมีคาระหวาง 0o ถึง 360o และถาคาของมุมต่ำกวา 100o จะตองเขียน “0” นำหนา เพื่อใหไดตัวเลขครบ 3 ตัวทุกครั้ง ระบบการเขียนตัวเลขแบบนี้เรียกวาระบบ Three figure system ดังรปู ท่ี 10 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 รปู ที่ 10 ครคู เณศ สมตระกลู หนา 7

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร ตวั อยางที่ 5 นกตัวหนึง่ บินหาอาหารโดยเริ่มบนิ ไปทางทศิ ตะวันตกเฉียงเหนือเปนระยะทาง 2 กิโลเมตร บินตรงไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉียงเหนอื เปนระยะทาง 2 กิโลเมตร อยากทราบวานกตัวนี้อยูหาง จากจดุ เริม่ ตนเปนระยะทางเทาใด และอยใู นทศิ ใดของจุดเริม่ ตน วธิ ที ำ เนื่องจาก นกตัวน้เี รม่ิ เดนิ ทางจากจดุ A ไปทางทิศตะวันตกเฉยี งเหนอื ถงึ จดุ B เปนระยะทาง 2 กิโลเมตร แลวบนิ ตอไปถงึ จุด C เปนระยะทาง 2 กโิ ลเมตร ในทางทศิ ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ จากรูป ABC เปนรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก มมี ุม B เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะไดวา AC2 = AB2 + BC2 = 22 + 22 = 4+4 =8 AC = 2 2 ดังน้ัน นกตัวน้ีอยหู างจากจดุ เริม่ ตนเปนระยะทาง 2 2 กโิ ลเมตร ในทศิ เหนอื ของจุดเรมิ่ ตน บทนยิ าม 2 u และ v มที ิศทางเดียวกัน กต็ อเม่ือ ถาแทนเวกเตอรดวยสวนของเสนตรงที่มที ิศทางแลว สวนของเสนตรงทั้งสองขนานกันหรอื อยูในแนวเสนตรงเดยี วกัน และมหี วั ลกู ศรไปทางเดียวกัน จากรปู จะไดวา u , v , CD และ AB มีทิศทางเดยี วกนั บทนิยาม 3 u และ v มที ศิ ทางตรงกนั ขาม กต็ อเม่อื ถาแทนเวกเตอรดวยสวนของเสนตรงท่ีมที ิศทางแลว สวนของเสนตรงท้ังสองขนานกันหรืออยูในแนวเสนตรงเดยี วกนั และมหี ัวลกู ศรตรงขามกัน จากรูป u กบั v มที ศิ ทางตรงขามกนั และ CD กบั AB มที ิศทางตรงกนั ขาม ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 8 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร บทนิยาม 4 u และ v ขนานกัน ก็ตอเม่ือ เวกเตอรทัง้ สองมที ิศทางเดียวกันหรอื ทิศทางตรงกันขาม บทนยิ าม 5 u เทากบั v ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสองมีขนาดเทากนั และทิศทางเดียวกนั บทนยิ าม 6 นเิ สธของ u คือ เวกเตอรที่มขี นาดเทากบั ขนาดของ u แตมีทิศทางตรงขามกับทิศทางของ u สัญลักษณนิเสธของ u เขยี นแทนดวย -u ตวั อยางท่ี 6 กำหนดรปู หกเหลยี่ มดานเทามุมเทา ABCDEF ดงั รูป จงหาเวกเตอรตอไปนี้ เวกเตอรท่ีมีทศิ ทางเดยี วกัน ทิศทางตรงขามกนั เวกเตอรที่เทากัน และเวกเตอรทเ่ี ปนนเิ สธกัน และเวกเตอรท่ีขนานกนั E FD AC B วิธีทำ 1) เวกเตอรที่มที ิศทางเดียวกนั คือ AB กบั ED BC กบั FE CD กับ AF DE กับ BA EF กบั CB FA กับ DC 2) เวกเตอรท่ีมที ศิ ทางตรงขามกัน คอื AB กับ DE BC กบั EF CD กบั FA ED กบั BA FE กบั CB AF กบั DC 3) เวกเตอรที่เทากนั AB กับ ED BC กับ FE CD กับ AF DE กับ BA EF กับ CB FA กบั DC 4) เวกเตอรทเ่ี ปนนิเสธของกนั และกัน AB กบั DE BC กับ EF CD กับ FA ED กบั BA FE กับ CB AF กับ DC 5) เวกเตอรท่ีขนานกนั AB, ED , ED และ BA BC , FE , EF และ CB CD , AF , FA และ DC ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 9 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหดั ท่ี 2 เร่ือง เวกเตอร 1. จงเขยี นสวนของเสนตรงทีม่ ีทิศทางแทนปรมิ าณเวกเตอรตอไปน้ี 1) 120 เมตร ไปทางทิศเหนือ 2) 30 เมตร ไปทางทศิ 060 องศา 3) 80 กิโลเมตร ไปทางทิศ 300o 4) 10 กิโลเมตร ไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ 2. ชายคนหนง่ึ ออกเดินทางไปในทิศ 030o เปนระยะทาง 6 กิโลเมตร แลวเดนิ ทางตอไปในทิศ 150o เปน ระยะทาง 3 กโิ ลเมตร เขาจะอยหู างจากจุดเร่ิมตนเปนระยะทางเทาใดและอยูในทิศทางใดของจดุ เริ่มตน 3. นักเรียนคนหน่ึงถีบจกั รยานไปทางทิศตะวนั ออกเฉียงเหนือ 4 กโิ ลเมตร หลงั จากนัน้ ถีบจักรยานไปทาง ทิศตะวนั ตกเฉียงเหนือ 3 กิโลเมตร จงหาวาเดก็ คนน้ีอยหู างจากจดุ เรม่ิ ตนเปนระยะทางเทาใด ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 10 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร 4. ชายคนหนึ่งเดินไปทางทิศตะวันออกเฉยี งเหนือเปนระยะทาง 3 กโิ ลเมตร จากน้นั เดินไปทางทศิ 315o เปน ระยะทางอีก 3 กิโลเมตร ชายคนน้อี ยหู างจากจดุ เร่มิ ตนกกี่ โิ ลเมตร และอยูในทศิ ทางใดของจดุ เริม่ ตน 5. กำหนด ABCD เปนรปู สเี่ หลยี่ มดานขนาน ใชตอบคำถามตอไปนี้ 1) เวกเตอรท่ขี นานกบั AB คือ ......................... 2) เวกเตอรทข่ี นานกบั AD คอื ......................... 3) เวกเตอรที่เปนนิเสธของ AB คอื ......................... 4) เวกเตอรทีเ่ ทากบั CB คือ ......................... 5) เวกเตอรท่เี ปนนเิ สธของ BC คอื ......................... 6) AB = ......................... 7) AE = ......................... 8) -BC = ......................... 9) BC = ......................... 10) ED = ......................... 11) -AE = ......................... 12) -ED = ......................... 6. กำหนด ABCDEFGH เปนทรงส่เี หลย่ี มมุมฉาก จงหา 1) เวกเตอรทข่ี นานกนั 3 คู คือ 1.1 ...................................... 1.2 ...................................... 1.3 ...................................... 2) เวกเตอรทเ่ี ทากัน 3 คู คือ 2.1 ...................................... 2.2 ...................................... 2.3 ...................................... 3) เวกเตอรท่เี ปนนิเสธซึ่งกันและกนั 3 คู คือ 3.1 ...................................... 3.2 ...................................... 3.3 ...................................... ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 11 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร การบวกเวกเตอร บทนยิ าม 7 ถาจดุ เริ่มตนของ v เปนจดุ เดยี วกับจดุ ส้นิ สดุ ของ u แลว u + v เวกเตอรซง่ึ มีจดุ เรม่ิ ตนเปนจดุ เดียวกับจดุ เริ่มตนของ u และมีจดุ สน้ิ สดุ เปนจดุ เดียวกับจุดสิน้ สดุ ของ v การลบเวกเตอร บทนยิ าม 8 ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ผลลบของ u ดวย v หมายถึง ผลบวกของ u กับ นเิ สธของ v เขียนแทนดวย u - v นัน่ คือ u - v = u + (-v) หรอื เวกเตอรศนู ย (zero vector) บทนิยาม 9 เวกเตอรศนู ย (zero vector) หมายถงึ เวกเตอรทม่ี ีขนาดเปนศูนย หรอื เวกเตอรท่ีมีจุดเร่ิมตน และจุดสดุ ทายเปนจดุ เดียวกัน ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 12 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางท่ี 7 กำหนดรูปส่เี หล่ยี มดานขนาน ABCD ให u = AB และ v = AD จงเขียน AC, BD และ DB ในรูปของ u และ v C วิธีทำ D AB จาก u = AB และ v = AD AB + BC 1) เขียน AC ในรปู ของ u และ v จะได u+v AC = BA + AD = -AB + AD -u + v 2) เขียน BD ในรูปของ u และ v จะได BD = DA + AB = -AD + AB = -v + u 3) เขยี น DB ในรปู ของ u และ v จะได DB = = = ตัวอยางที่ 8 กำหนดรูปสเี่ หลยี่ มดานขนาน ABCD ให u = AB และ v = AD จงเขยี น BC, CD และ CA ในรูปของ u และ v C วธิ ที ำ D AB จาก u = AB และ v = AD 1) เขียน BC ในรูปของ u และ v จะได BC = AD = v 2) เขียน CD ในรปู ของ u และ v จะได CD = -AB = -u 3) เขียน CA ในรปู ของ u และ v จะได CB + BA = -BC - AB = -v - u ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 13 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร บทนยิ าม 10 กำหนด a เปนสเกลาร และ u เปนเวกเตอร ผลคูณของ u กบั สเกลาร a เปนเวกเตอร เขยี นแทนดวย au โดยที่ 1. ถา a = 0 แลว au = 0 2. ถา a > 0 แลว au จะมขี นาด a u หนวย และมที ศิ ทางเดยี วกบั u 3. ถา a < 0 แลว au จะมีขนาด a u หนวย และมที ศิ ทางตรงกันขามกบั u ทฤษฎบี ท 2 กำหนด a, b เปนสเกลาร และ u, v เปนเวกเตอร 1. 1u = u 2. a(u + v) = au + av 3. (a + b)u = au + bv 4. (ab)u = a(bu) = b(au) ทฤษฎีบท 3 การขนานกันของเวกเตอร กำหนด u ≠ 0 และ v ≠ 0 u ขนานกบั v ก็ตอเม่ือมีจำนวนจริง m ซง่ึ u = mv ทฤษฎีบท 4 กำหนด u ≠ 0 , v ≠ 0 , u ไมขนานกับ v และ m,n∈ ถา mu + nv = 0 แลวจะไดวา m = 0 และ n = 0 ตวั อยางที่ 9 จงหาความสมั พันธระหวาง u กบั w เมือ่ 2u + w = 2w + 5u วิธที ำ เนอ่ื งจาก 2u + w = 2w + 5u 2u - 5u = 2w - w -3u = w u = - 1 w 3 1 จะไดวา u= 3 w ดงั น้นั u จะมขี นาด 1 w หนวย และมที ิศทางตรงกันขามกับ w 3 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 14 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางท่ี 10 จงแสดงวาสวนของเสนตรงที่เชอ่ื มจุดกง่ึ กลางของดานสองดานของรูปสามเหล่ียมใดๆ ยาวเปนคร่งึ หน่ึงของความยาวของดานทีส่ าม และขนานกับดานทส่ี าม วธิ ีทำ ให ABC เปนรปู สามเหล่ยี มที่มี M และ N เปนจดุ กึ่งกลางของดาน AB และ BC ตามลำดับ ดังรปู จะแสดงวาสวนของเสนตรง MN ยาวเปนครง่ึ หนงึ่ ของความยาวของดาน AC และ ขนานกบั ดาน AC B MN C A ให u = AB และ v = BC จะได AC = u + v, MB = 1 u และ BN = 1 v 2 2 เนอื่ งจาก MN = MB + BN = 1 u + 1 v 2 2 1 = 2 (u + v ) = 1 AC 2 1 ดังน้นั MN = 2 AC และ MN มที ิศทางเดียวกับ AC นั่นคือ สวนของเสนตรง MN ยาวเปนคร่ึงหนง่ึ ของความยาวของดาน AC และขนานกับดาน AC ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 15 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางที่ 11 จงแสดงวาเสนทแยงมุมของรูปส่ีเหลยี่ มดานขนานแบงครึ่งซง่ึ กนั และกัน วิธีทำ ให ABCD เปนรปู ส่ีเหลย่ี มดานขนาน และจุด E เปนจดุ ก่ึงกลางของเสนทแยงมุม AC ดังรปู จะแสดงวา DE = 1 DB 2 DC E AB จากรูป จะได AC = AB + BC และ AE = 1 AC 2 เน่ืองจาก DE = AE - AD = 1 ( AB + BC ) - AD 2 1 AB + 1 BC - AD = 22 เนื่องจาก ABCD เปนรูปสเี่ หล่ียมดานขนาน จะได BC = AD ดงั นน้ั DE = 1 AB + 1 AD - AD 22 1 = 2 ( AB - AD) = 1 DB 2 นั่นคอื เสนทแยงมุมของรปู สี่เหล่ียมดานขนานแบงครึง่ ซ่งึ กันและกนั ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 16 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหัดที่ 3 เรอ่ื ง การบวกเวกเตอร การลบเวกเตอร และการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร 1. กำหนดเวกเตอร u, v ดงั รูป จงเขยี นรูปแสดง v + u และ v - u v+u v-u u v 2. ABCDEF เปนรปู หกเหลี่ยมดานเทามมุ เทา ท่ีมีเสนทแยงมมุ ตัดกันท่ีจดุ O จงหาเวกเตอรท่เี ทากับเวกเตอร ในแตละขอตอไปน้ี 1) AB + OE = …………………………….. 2) AF + BC = …………………………….. 3) AD - AF = …………………………….. 4) FE - BA = …………………………….. 5) AO + OF = …………………………….. 6) (AB - OD) - BO = …………………………….. 3. จากรูปจงเขยี นเวกเตอร AB, CA, BD, DB, AF, FA, AE และ EA ในรปู ของเวกเตอร a, b, c, d, e, f 1) AB = …………………………….. 2) CA = …………………………….. 3) BD = …………………………….. 4) DB = …………………………….. 5) AF = …………………………….. 6) FA = …………………………….. 7) AE = …………………………….. 8) EA = …………………………….. ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 17 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 4. กำหนด u, v เปนเวกเตอรท่ีไมขนานกนั และ a, b เปนจำนวนจรงิ w = (a + 4b)u + (2a + b + 1)v และ s = (b - 2a + 2)u + (2a - 3b - 1)v ถา 3w = 2s แลว จงหาคาของ a และ b 5. จากรูป ถา P เปนจดุ กึง่ กลาง AB แลว จงแสดงวา OP = 1 (OA + OB) 2 A P OB 6. กำหนด ABCD เปนรปู สี่เหลีย่ มจตั รุ สั และ M, N เปนจดุ ก่งึ กลางของดาน BC และ CD ตามลำดับ ให u = AM และ v = AN จงเขียน AB ในรปู ของ u และ v ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 18 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 7. กำหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมท่ีมี D เปนจดุ บนดาน AC และ F เปนจุดบนดาน BC ถา AD = 1 AC , 4 BF = 1 BC และ DF = aAB + bBC แลว a มีคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค.52)/2-12] 3b 8. กำหนดให ABCD เปนรปู สี่เหลี่ยมดานขนาน M เปนจดุ บนดาน AD ซึง่ AM = 1 AD และ 5 N เปนจุดเสนทแยงมมุ AC ซึ่ง AN = 1 AC ถา MN = aAB + bAD แลว a + b เทากับเทาใด 6 [PAT 1 (มี.ค.52)/24] ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 19 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก บทนิยาม 11 เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสองมติ ทิ ม่ี จี ดุ เร่ิมตนทจ่ี ดุ กำเนิด และมีจดุ สนิ้ สุดทจี่ ุด A(a, b) a เขียนแทนดวยสัญลกั ษณ OA = b ดงั รูปท่ี 11 รปู ท่ี 11 บทนิยาม 12 กำหนด a และ b เปนจำนวนจริงใดๆ a จะเขียน b แทนเวกเตอรซึ่งเปนผลบวกของเวกเตอรสองเวกเตอร โดยที่ 1. ถา a > 0 แลว เวกเตอรนจ้ี ะมที ิศทางไปตามแนวแกน X ทางบวก เปนระยะ a หนวย 2. ถา a < 0 แลว เวกเตอรนจ้ี ะมที ิศทางไปตามแนวแกน X ทางลบ เปนระยะ a หนวย 3. ถา b > 0 แลว เวกเตอรน้ีจะมที ศิ ทางไปตามแนวแกน Y ทางบวก เปนระยะ b หนวย 4. ถา b < 0 แลว เวกเตอรนจ้ี ะมที ิศทางไปตามแนวแกน Y ทางลบ เปนระยะ b หนวย บทนยิ าม 13 กำหนด a, b, c และ d เปนจำนวนจริงใดๆ แลว ac b = d ก็ตอเม่ือ a = c และ b = d บทนิยาม 14 ถา AB มีจดุ เร่มิ ตนท่ี A(x1, y1) และจุดสน้ิ สดุ ท่ี B(x2, y2) เขยี นแทน AB ดวย x2 - x1 และถา x2 - x1 = a และ y2 - y1 = b y2 - y1 Y a แลวจะเขยี นแทน AB ดวย b ดังรปู ท่ี 12 B(x2, y2) A(x1, y1) x2 - x1 y2 - y1 X รปู ท่ี 12 ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 20 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ตวั อยางที่ 12 จงหา AB ซง่ึ กำหนด A เปนจดุ เร่ิมตนบนระนาบในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ ดังรปู พรอมท้งั บอกพิกัดของจุดปลาย B 2) X 1) X A(1, 3) 2 BY 2 BY 2 A(-3, -3) 3 วธิ ที ำ 1) เวกเตอรน้ีจะมีทิศทางไปตามแนวแกน X ทางบวก เปนระยะ 2 หนวย และ เวกเตอรน้จี ะมที ิศทางไปตามแนวแกน Y ทางลบ เปนระยะ 2 หนวย จะได จดุ B คือ (1 + 2, 3 - 2) = (3, 1) 3-1 2 ดงั นั้น AB = 1 - 3 = -2 2) เวกเตอรนจ้ี ะมที ิศทางไปตามแนวแกน X ทางบวก เปนระยะ 3 หนวย และ เวกเตอรน้จี ะมีทิศทางไปตามแนวแกน Y ทางบวก เปนระยะ 2 หนวย จะได จดุ B คือ (-3 + 3, -3 + 2) = (0, -1) 0 - (-3) 3 ดงั นั้น AB = -1 - (-3) = 2 4 ตวั อยางท่ี 13 กำหนดให A(2, 3) และ AB = 5 จงหาจุด B วธิ ที ำ ให B(x, y) แทน จดุ B x-2 จะได AB = y - 3 4 x-2 5 = y-3 จากบทนยิ าม 13 จะได 4 = x - 2 และ 5 = y - 3 น่นั คอื x = 6 และ y = 8 ดงั นน้ั จุด B มีพิกดั เปน B(6, 8) ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 21 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร -4 ตวั อยางท่ี 14 กำหนดให B(2, 3) และ AB = 5 จงหาจุด A วธิ ีทำ ให A(x, y) แทน จุด A 2-x จะได AB = 3 - y -4 2-x 5= 3-y จากบทนยิ าม 13 จะได -4 = 2 - x และ 5 = 3 - y นัน่ คอื x = 6 และ y = -2 ดังน้ัน จดุ A มีพิกดั เปน A(6, -2) บทนิยาม 15 ให a, b, c เปนจำนวนจรงิ เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิท่ีมจี ดุ เร่ิมตนทีจ่ ดุ กำเนดิ และ a จดุ สิ้นสดุ ท่ี P(a, b, c) เขียนแทนดวยสญั ลักษณ b ดังรูปท่ี 13 c รปู ที่ 13 ตัวอยางที่ 15 จงหาเวกเตอรที่มจี ุดเริม่ ตนท่ีจุดกำเนิดและจุดสิ้นสุดอยทู ่จี ุดตอไปนี้ 1) P(3, 1, -2) 2) Q(0, -2, 5) 30 วิธที ำ 1) OP = 1 2) OQ = -2 -2 5 ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 22 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร ตวั อยางที่ 16 จงเขยี นเวกเตอรตอไปนใ้ี นระบบพิกัดฉากสามมิติเดยี วกนั โดยใหจดุ เริม่ ตนอยทู ่ีจุดกำเนิด 2 1 4 1) a = -1 2) b = 3 3) c = 0 3 4 -2 วิธีทำ เขยี นเวกเตอรโดยมจี ุดเริ่มตนทจ่ี ุดกำเนิด ไดดังนี้ บทนิยาม 16 เวกเตอรที่มีจุดเริ่มตนท่ี P1(x1, y1, z1) และจดุ สน้ิ สุด P2(x2, y2, z2) x2 - x1 เขียนแทนดวย P1P2 หมายถงึ เวกเตอร y2 - y1 ดงั รูปท่ี 14 z2 - z1 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 รูปท่ี 14 ครคู เณศ สมตระกลู หนา 23

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร บทนิยาม 17 การเทากันของเวกเตอรในระบบพกิ ัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ (เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสองมิต)ิ ac 1. b = d กต็ อเม่ือ a = c และ b = d ad 2. b = e ก็ตอเมื่อ a = d, b = e และ c = f (เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ) cf บทนยิ าม 18 นิเสธของเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b และ c เปนจำนวนจรงิ ใดๆ (เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสองมิต)ิ a a -a (เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ) 1. นิเสธของ b คือ - b หรอื -b a a -a 2. นเิ สธของ b คอื - b หรอื -b c c -c บทนิยาม 19 การบวกเวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ (เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ) a c a+c 1. b + d = b + d a d a+d (เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ) 2. b + e = b + e c f c+f ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 24 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร บทนิยาม 20 เวกเตอรศูนยในระบบพิกัดฉาก 0 1. 0 (เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมติ )ิ 0 2. 0 (เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ) 0 บทนิยาม 21 การลบเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก กำหนด a, b, c, d, e และ f เปนจำนวนจริงใดๆ a c a-c 1. b - d = b - d (เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ) a d a-d (เวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ) 2. b - e = b - e c f c-f บทนยิ าม 22 การคณู เวกเตอรดวยสเกลาร กำหนด a, b, c และ α เปนจำนวนจรงิ ใดๆ a αa (เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ) 1. α b = αb a αa (เวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมิติ) 2. α b = αb c αc ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 25 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางที่ 17 กำหนดให P มีพิกดั เปน (3, 4, -4) และ Q มีพิกัดเปน (5, 0, 7) จงหา PQ 5-3 5-3 2 วิธที ำ PQ = 0-4 = 0-4 = -4 7 - (-4) 7 + 4 11 2 -1 ตัวอยางที่ 18 กำหนดให u = 3 , v = 4 และ α = 3 จงหา u + v, u - v, -v และ αu 2 -1 2 + (-1) 2 - 1 1 วิธที ำ u + v = 3 + 4 = 3 + 4 = 3 + 4 = 7 2 -1 2 - (-1) 2 + 1 3 u - v = 3 - 4 = 3 - 4 = 3 - 4 = -1 -1 (-1)(-1) 1 -v = (-1) 4 = (-1)(4) = -4 2 3(2) 6 αu = (3) 3 = 3(3) =9 13 1 2 ตวั อยางท่ี 19 กำหนดให u = 2 ,v= 4 และ α = - จงหา u + 2v, 3u - v, -u 4 2 1 3 1 2(3) 1 6 1 + 6 7 วธิ ที ำ u + 2v = 2 + 2 4 = 2 + 2(4) = 2 + 8 = 2 + 8 = 10 4 2 4 2(2) 4 4 4 + 4 8 1 3 3(1) 3 3 3 3 - 3 0 3u - v = 3 2 - 4 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 6 - 4 = 2 4 2 3(4) 2 12 2 12 - 2 10 1 (-1)1 -1 -u = (-1) 2 = (-1)2 = -2 4 (-1)4 -4 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 26 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหดั ท่ี 4 เรื่อง เวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก 1. จงหา AB และ BA เมอ่ื กำหนด A และ B ดังตอไปนี้ 1) A(-2, 1), B(3, 2) 2) A(-1, 2), B(-2, -3) 3) A(-2, -8), B(-1, 2) 4) A(5, 2), B(-1, -1) 5) A(-2, 5, 3), B(-1, 5, 3) 6) A(1, -1, 2), B(2, -1, -1) 7) A(1, 1, -1), B(2, 0, -1) 8) A(0, 1 2), B(-1, 0, 1) ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 27 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร -1 2. กำหนด R(2, -3) และ RS = 4 จงหาจดุ S -2 3. กำหนด Q(-1, -3) และ PQ = -3 จงหาจุด P 3 4. กำหนด A(-1, -2, -3) และ AB = -1 จงหาจดุ B 4 -3 5. กำหนด Q(-2, -3, 3) และ PQ = 3 จงหาจุด P -4 ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 28 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร 6. จงหาเวกเตอรตอไปนี้ -2 -3 2 -4 2) 3 + -2 = ………………. 1) 3 + -5 = ………………. -2 -5 -2 4 4) -3 - -2 = ………………. 3) 4 - -5 = ………………. -2 -4 = ………………. 6) -5 - -6 2 -1 5) -1 + 4 = ………………. 45 3 -2 7. กำหนดให A(1, 2), B(3, 5), C(-2, 4) และ D(-3, 3) จงหา AB + CD -2 3 -4 1 -2 8. กำหนด a = 4 , b = -6 , c = -5 , e = 2 , f = 3 จงหา -1 -2 1) 2a + 3b 2) 3a - 4b - 2c 3) นเิ สธของ c - 3b - 2a 4) 3e - 4f 5) -3f - 2e 6) นเิ สธของ 4e + 3f ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 29 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 9. จงตรวจสอบวาเวกเตอรท่ีกำหนดใหในแตละขอตอไปน้ี เวกเตอรคใู ดบางทีข่ นานกนั 1 2 -8 6 1 7 8 2 1) 2 , 1 , -4 , 3 , 3 , 0 , 0 , 4 1 0 -2 1 0 -1 1 2) 2, 3, -4 , 1, -3 , - 3 1 -2 -2 2 -2 - 2 3 10. กำหนดใหจุด A, B และ C(3, 1) เปนจุดบนเสนตรงเดียวกัน ถา AB = 3 AC และ BC = 2 5 -4 แลวจงหาพิกดั ของ A ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 30 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ขนาดของเวกเตอรในระบบพิกัดฉาก ถา PQ เปนเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ Y P มี พิกัดเปน (x1, y1) และ Q มีพกิ ัดเปน (x2, y2) P(x1, y1) Q(x2, y2) ดังรูปที่ 15 จะได PQ = x2 - x1 และ y2 - y1 = b y2 - y1 O x2 - x1 = a รปู ท่ี 15 X PQ = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 ถาให a = x2 - x1 และ b = y2 - y1 แลว จะได a PQ = b และขนาดของ PQ เทากับ a2 + b2 หนวย ถา AB เปนเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ A มีพิกัด เปน (x1, y1, z1) และ B มีพิกัดเปน (x2, y2, z2) Z x2 - x1 B(x2, y2, z2) ดังรูปท่ี 16 จะได AB = y2 - y1 และ z2 - z1 O A(x1, y1, z1) Y AB = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2 ถาให a = x2 - x1 , b = y2 - y1 และ c = z2 - z1 แลวจะ X รปู ที่ 16 a ได AB = b และขนาดของ AB เทากบั c a2 + b2 + c2 หนวย ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 31 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร บทนิยาม 23 ขนาดของเวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉาก กำหนด a, b, c, d และ f เปนจำนวนจริงใดๆ (เวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมิต)ิ a 1. ขนาดของเวกเตอร b คอื a2 + b2 a a2 + b2 + c2 (เวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ) 2. ขนาดของเวกเตอร b คือ c ตัวอยางที่ 20 จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน้ี a 1) u = b 2) PQ โดยที่ P มีพิกดั เปน (2, 1, 0) และ Q มีพิกัดเปน (-1, 1, 0) วธิ ีทำ 1) u= 32 + 42 = 9 + 16 = 25 =5 ดังนัน้ เวกเตอร u มขี นาดเทากับ 5 หนวย -1 - 2 2) PQ = 1 - 1 0-0 ดงั นน้ั PQ = (-3)2 + 02 + 02 =9 =3 นนั่ คอื เวกเตอร PQ มขี นาดเทากบั 3 หนวย ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 32 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร เวกเตอรหน่ึงหนวยในระบบพกิ ัดฉาก บทนยิ าม 24 เวกเตอรที่มีขนาดหนง่ึ หนวย เรียกวา เวกเตอรหนง่ึ หนวย (unit vector) บทนิยาม 25 เวกเตอรหนึ่งหนวยในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ 1 1. เวกเตอร i = 0 คอื เวกเตอรหนึ่งหนวยทขี่ นานกับแกน X และมที ิศทางเปนบวก 0 2. เวกเตอร j = 1 คอื เวกเตอรหน่ึงหนวยทขี่ นานกบั แกน Y และมีทิศทางเปนบวก เวกเตอรหนงึ่ หนวยในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ 1 1. เวกเตอร i = 0 คือ เวกเตอรหน่ึงหนวยทีข่ นานกบั แกน X และมีทิศทางเปนบวก 0 0 2. เวกเตอร j = 1 คอื เวกเตอรหนึ่งหนวยทข่ี นานกับแกน Y และมีทิศทางเปนบวก 0 0 3. เวกเตอร k = 0 คอื เวกเตอรหนึง่ หนวยท่ีขนานกับแกน Z และมีทศิ ทางเปนบวก 1 บทนิยาม 26 กำหนด a, b และ c เปนจำนวนจรงิ ใดๆ a 1. ถา u = b เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ แลว u = ai + bj a 2. ถา u = b เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ แลว u = ai + bj + ck c ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 33 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร บทนยิ าม 27 กำหนด u เปนเวกเตอรใดๆ และ u ≠ 0 และ a เปนจำนวนจริงใดๆ ทไี่ มเทากับศนู ย 1. เวกเตอรหน่งึ หนวยทข่ี นานและมีทิศทางเดยี วกบั u คอื u u 2. เวกเตอรหน่ึงหนวยทข่ี นานและมีทิศทางตรงขามกับ u คือ - u u 3. เวกเตอรท่ีมขี นาดเทากบั a หนวย และมที ศิ ทางเดียวกับ u คือ a ⋅u u 4. เวกเตอรที่มีขนาดเทากับ a หนวย และมที ิศทางตรงขามกบั u คือ - a ⋅u u ตวั อยางท่ี 21 กำหนด AB เปนเวกเตอรที่มีจุดเรม่ิ ตนท่ี A(2, -3) และจุดสิ้นสุดท่ี B(-4, 6) จงหา เวกเตอรหนึ่งหนวยท่ีมีทิศทางเดียวกบั AB ในรูปของ i และ j -4 - 2 -6 วิธที ำ เนอ่ื งจาก AB = 6 - (-3) = 9 และ AB = (-6)2 + 92 = 36 + 81 = 117 = 3 13 ดังน้ัน เวกเตอรหน่งึ หนวยที่มีทิศทางเดยี วกบั AB คือ -6 -6 -2 13 9 1 = 3 13 = 13 = -2 13 i + 3 13 j 3 13 9 3 13 13 13 3 13 13 ตัวอยางที่ 22 กำหนด AB เปนเวกเตอรทมี่ ีจุดเร่มิ ตนที่ A(1, 2, 0) และจดุ สิ้นสดุ ท่ี B(-2, 3, 1) จงหา เวกเตอรหนึ่งหนวยทม่ี ีทศิ ทางตรงขามกบั AB ในรปู ของ i, j และ k -2 - 1 -3 วธิ ีทำ เนือ่ งจาก AB = 3 - 2 = 1 1-0 1 และ AB = (-3)2 + (1)2 + (1)2 = 9 + 1 + 1 = 11 ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 34 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร ดังน้นั เวกเตอรหนงึ่ หนวยท่ีมีทิศทางตรงขามกบั AB คอื 3 3 11 -3 11 11 - 1 1 = - 1 = - 11 = 3 11 i - 11 j - 11 k 11 1 11 11 11 11 11 -1 - 11 11 11 ตัวอยางท่ี 23 จงหาเวกเตอรที่มขี นาดเทากับ 10 และมีทิศทางเดียวกบั u = 2i + 5 j วธิ ีทำ เนอื่ งจาก u = (2)2 + ( 5)2 = 4 + 25 = 29 ดังนัน้ เวกเตอรที่มขี นาดเทากับ 10 และมีทศิ ทางเดียวกับ u คอื 10 u 29 ตวั อยางที่ 24 จงหาเวกเตอรที่มขี นาดเทากับ 5 และมีทิศทางตรงขามกับ u = i + 2j - 2k วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก u = (1)2 + (2)2 + (-2)2 = 9 = 3 ดงั นัน้ เวกเตอรท่ีมีขนาดเทากับ 5 และมีทิศทางตรงขามกบั u คอื - 5u 3 3 ตวั อยางท่ี 25 จงหาเวกเตอรท่ีมขี นาดเทากับ 2 และขนานกับเวกเตอร -2 1 3 วิธีทำ เน่อื งจาก -2 = 32 + (-2)2 + 12 = 14 1 33 2 ดงั น้นั เวกเตอรท่ีมขี นาดเทากับ 2 และขนานกับเวกเตอร -2 คอื ± 14 -2 1 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 35 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหัดท่ี 5 เร่อื ง ขนาดและเวกเตอรหนง่ึ หนวยในระบบพกิ ดั ฉาก 1. จงเขยี นเวกเตอรตอไปนี้ในรปู ของ i และ j ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิและเขียนในรปู i, j และ k ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ เม่ือ O เปนจดุ กำเนดิ 1 1 1) OA = 4 = …………………………… 1) OS = 3 = …………………………… 4 3) AB โดยท่ี A(1, 2) และ B(-4, 1) 4) CD โดยท่ี C(-3, 4) และ D(1, -2) 5) PQ โดยที่ P(1, -1, 2) และ Q(3, 2, 6) 6) MN โดยท่ี M(0, 1, 2) และ N(-1, -4, 1) 2. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน้ี 3 1 2) b = -4 = …………………………… 1) a = 2 = …………………………… -1 3 4) u = 1 = …………………………… 3) u = 2 = …………………………… 1 6) u = 1 = …………………………… -4 5) u = 0 = …………………………… 3 -1 8) RS โดยที่ R(7, 4, 1) และ S(-1, 3, 5) 7) AB โดยท่ี A(1, 2) และ B(5, 7) ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 36 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 3. จงหาเวกเตอรหน่ึงหนวยที่มที ิศทางเดยี วกับเวกเตอรท่ีกำหนดให โดยเขยี นในรูปของ i และ j ในระบบ พกิ ดั ฉากสองมิตแิ ละเขยี นในรูป i, j และ k ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ 2 1 1) u = 1 2) u = -3 -1 3) AB โดยที่ A(1, -3) และ B(-4, 5) 4) CD โดยท่ี C(1, 5, 8) และ D(0, -3, 1) 4. จงหาเวกเตอรขนาด 3 หนวย ที่มที ิศทางตรงขามกบั u = 2i - 12 j 5. จงหาเวกเตอรที่มขี นาด 4 หนวย และขนานกบั เวกเตอร u = 3i - 4 j 6. จงหาเวกเตอรท่ีมขี นาด 10 หนวย และมีทศิ ทางเดียวกับเวกเตอร u = i - 3j - k ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 37 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร 7. ให u = 2i - 3j , v = -5i - j จงหาเวกเตอรท่ีมีขนาด u + v และมีทิศทางตรงขามกับ u - v -5 1 8. กำหนด AB = -8 , AC = 3 จงหา BC AC 3 -1 9. กำหนด xi + y j + 5k มีขนาด 8 หนวย x2 + y2 มคี าเทาใด 10. กำหนด AB = 6i + x j มีขนาด 10 หนวย จงหา x ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 38 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ผลคูณเชงิ สเกลาร (scalar product) บทนิยาม 28 ให u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิหรือสามมิติ a, b, c, d, e และ f เปนสเกลาร ผลคณู เชงิ สเกลาร (scalar product) ของ u และ v เขียนแทนดวย u⋅v อานวา ยู ดอท วี กำหนดดังนี้ 1. ถา u = ai + bj และ v = ci + dj เปนเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสองมติ ิ จะได u⋅v = ac + bd 2. ถา u = ai + bj + ck และ v = di + ej + fk เปนเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได u⋅v = ad + be + cf ตัวอยางท่ี 26 กำหนด u = 2i + 3j และ v = -3i + 4 j จงหา u⋅v วธิ ีทำ u⋅v = (2i + 3j)⋅(-3i + 4 j) = 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 =6 41 ตัวอยางที่ 27 กำหนด u = 1 และ v = -2 จงหา u⋅v -2 -3 41 วธิ ที ำ u⋅v = 1 ⋅ -2 -2 -3 = 4(1) + 1(-2) + (-2)(-3) = 4-2+6 =8 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 39 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร ทฤษฎบี ท 5 ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิหรอื สามมติ ิ และ a เปนสเกลาร จะไดวา 1. u⋅v = v ⋅u 2. u⋅(v + w) = u⋅v + u⋅w และ (v + w)⋅u = v ⋅u + w⋅u 3. a(u⋅v) = (au)⋅v = u⋅(av) 4. 0⋅u = 0 5. u⋅u = u 2 6. i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 และ i ⋅ j = j ⋅ k = j ⋅ k = 0 ทฤษฎบี ท 6 ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ที่ไมใชเวกเตอรศนู ย ในระบบพิกดั ฉากสองมิติหรือสามมติ ิ และ θ เปนขนาดของมมุ ระหวาง u และ v ซ่ึง 00 ≤ θ ≤1800 (มมุ ระหวางเวกเตอร หมายถึง มุมทีไ่ มใชมมุ กลบั ซึ่งมีแขนของมมุ เปนรงั สีทข่ี นานและมที ิศทางเดียวกบั เวกเตอร ท้ังสอง) ดังรูปที่ 18 จะไดวา u⋅v = u v cosθ รูปที่ 18 ทฤษฎีบท 7 ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพิกดั ฉากสองมติ หิ รอื สามมิติ จะไดวา 1. มุมระหวาง u กับ v เปนมุมปาน ก็ตอเมื่อ u⋅v < 0 2. มุมระหวาง u กบั v เปนมุมฉาก กต็ อเม่อื u⋅v = 0 3. มุมระหวาง u กับ v เปนแหลม กต็ อเมื่อ u⋅v > 0 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 40 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ตวั อยางที่ 28 จงหาโคไซนของมุมระหวาง u และ v เมือ่ 22 -4 2 1) u = 3 และ v = 1 2) u = 2 และ v = 7 4 -1 วธิ ที ำ 1) เน่อื งจากทฤษฎีบท 6 จะได cosθ = u⋅v uv และ u⋅v = 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7 u = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 v = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 ดงั น้ัน cosθ = 7 5 = 7 65 13 65 2) เนื่องจากทฤษฎบี ท 6 จะได cosθ = u⋅v uv และ u⋅v = (-4)(2) + 2(7) + 4(-1) = -8 + 14 - 2 = 2 u = (-4)2 + 22 + 42 = 16 + 4 + 16 = 36 = 6 v = 22 + 72 + (-1)2 = 4 + 49 + 1 = 54 = 3 6 ดังนนั้ cosθ = 2 6) = 6 6(3 54 ทฤษฎบี ท 8 ถา u ≠ 0 และ v ≠ 0 และ θ เปนมมุ ระหวาง u กับ v แลว 1. u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v cosθ หรือ u + v 2 = u 2 + v 2 + 2u⋅v 2. u - v 2 = u 2 + v 2 - 2 u v cosθ หรือ u - v 2 = u 2 + v 2 - 2u⋅v 3. u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 4. u + v 2 - u - v 2 = 4u⋅v 5. (u + v)⋅(u - v) = u 2 - v 2 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 41 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ตวั อยางที่ 29 กำหนด u และ v เปนเวกเตอรในระนาบ โดยที่ u = 6, v = 8, u - v = 2 37 วธิ ที ำ จงหามมุ ระหวาง u กบั v จากทฤษฎบี ท 8 จะไดวา u- v2 = u 2 + v 2 - 2 u v cosθ (2 37 )2 = 62 + 82 - 2(6)(8)cosθ 148 = 36 + 64 - 96cosθ 96cosθ = -48 cosθ = - 48 cosθ 96 จากทฤษฎบี ท 6 จะไดวา 1 = - 2 θ = 120O ดงั น้ัน มุมระหวาง u กบั v คือ 120O ตวั อยางที่ 30 กำหนด u และ v เปนเวกเตอรในระนาบ โดยท่ี u = 10, v = 5, u + v = 12 จงหา u - v วธิ ีทำ จากทฤษฎีบท 8 จะไดวา u + v2+ u - v2 = 2u2+2 v2 122 + u - v 2 = 2(10)2 + 2(5)2 144 + u - v 2 = 200 + 50 u - v 2 = 106 ดังนั้น u-v = 106 น่นั คือ u - v = 106 ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 42 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหัดท่ี 6 เรื่อง ผลคูณเชงิ สเกลาร 1. จงหา u⋅v เม่ือกำหนด u และ v ดงั ตอไปนี้ 2) u = 2i + 5j และ v = j 1) u = 3i + 4 j และ v = 2i + j 3) u = -i + 3j + k และ v = 3i + 4k 4) u = -i - k และ v = 3i + j 2. จงหาขนาดของมุมระหวางเวกเตอรตอไปน้ี 2) u = 3i + j และ v = -2i + j 1) u = 3i + 2j และ v = 9i + 6j 3) u = 2i + j - k และ v = i + 2j + 4k 4) u = i - 2j - k และ v = i - j ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 43 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 24 1 3. กำหนด u = 3 , v = 1 และ w = -1 จงหา 1) (u⋅v) + (u⋅w) 2) (u + v)⋅(u + w) 3) v ⋅(u + v) 4) (u + v)⋅(u - v) -4 2 6 4. กำหนด u = 2 , v = 7 และ w = -3 จงหา 4 -7 0 1) (u⋅v) + (u⋅w) 2) (u + v)⋅(u + w) 3) v ⋅(u + v) 4) (u + v)⋅(u - v) ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 44 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 5. เวกเตอรในขอใดเปนเวกเตอรท่ีตง้ั ฉากกนั 2 -1 23 2) 6 และ 3 1) 3 และ -2 21 22 3) -2 และ 2 4) 1 และ -2 12 21 6. จงหาคาของ m เมื่อกำหนดเวกเตอร u = (1 - m)i + 2j และ v = mi + (m + 2) j 1) เวกเตอร u ตงั้ ฉากกบั v 2) เวกเตอร u มขี นาดเทากับ v 7. ถา u ตัง้ ฉากกบั v โดยที่ u ≠ 0 และ v ≠ 0 แลว จงแสดงวา 1) u + v 2 = u 2 + v 2 2) u - v 2 = u 2 + v 2 8. ถา u = 5, v = 3 และ u + v = 4 แลว 2u - v มคี าเทาใด ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 45 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 9. กำหนดให u, v และ w เปนเวกเตอรซง่ึ มสี มบัติ u = w และ u - v = v + w ถามุมระหวาง u และ v เทากบั π แลวมมุ ระหวาง v กบั w มขี นาดเทาใด 5 10. กำหนด u⋅w = 1 และ w ตง้ั ฉากกบั v ถา u = 4i - 5j และ v = -i + j จงหาเวกเตอร w 11. กำหนด u + v + w = 0 , u = 2 , v = 4 , w = 5 แลวจงหา u - v 12. ให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ถา u = v = 1, u - v = 3 และ u + v + w = 0 แลวจงหาขนาดของ w ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 46 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร 13. กำหนดให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ โดยที่ u = 1, v = 3 และ u ทำมมุ 60o กบั v คาของ u + v เทากบั เทาใด [PAT 1 (มี.ค.54)/15] 2u - v 14. กำหนด u และ v เปนเวกเตอร โดยท่ี u = i + 3 j , v = 3 และ u - v = 4 คาของ u + v เทากับเทาใด [PAT 1 (ก.ค.53)/16] 15. กำหนดให u และ v เปนเวกเตอรท่มี ีขนาดหน่งึ หนวย ถาเวกเตอร u + 2v ตั้งฉากกับเวกเตอร 2u + v แลว u⋅v เทากบั เทาใด [PAT 1 (มี.ค.52)/25] ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 47 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร 16. กำหนดให u และ v เปนเวกเตอรที่มีขนาดหน่งึ หนวย ถาเวกเตอร 3u + v ตง้ั ฉากกับเวกเตอร u + 3v แลวเวกเตอร 5u - v มีขนาดเทากบั เทาใด [PAT 1 (ก.ค.52)/24] 17. กำหนดให a และ b เปนเวกเตอรใดๆ ที่ไมเปนเวกเตอรศนู ย ขอใดตอไปนถี้ ูกตอง [PAT 1 (ต.ค.58)/27] 1) ถา a ขนานกบั b แลว a - b = a - b 2) ถา a + b 2 = a 2 + b 2 แลว a ตั้งฉากกับ b 3) ถาเวกเตอร a + b ตัง้ ฉากกบั เวกเตอร a - b แลว a = b 18. กำหนด ABC เปนรูปสามเหลยี่ ม โดยที่ดาน AB ยาว 5 หนวย ดาน BC ยาว 12 หนวย และมมุ ABC เทากับ 60o ถาเวกเตอร u = AB เวกเตอร v = BC และเวกเตอร w = CA แลว (2u - v)⋅w เทากบั เทาใด [PAT 1 (พ.ย.57)/12] ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 48 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ผลคณู เชิงเวกเตอร (cross product) บทนยิ าม 11 ให u = ai + bj + ck และ v = di + ej + fk ผลคณู เชงิ เวกเตอร (cross product) ของ u และ v เขียนแทนดวย u × v u × v อานวา เวกเตอรยู ครอส เวกเตอรวี ad bf - ce ผลลพั ธของ u × v = b × e คอื เวกเตอร cd - af หรอื ในรปู ดีเทอรมิแนนต cf ae - bd i jk bc ac ab u×v = a b c = e fi- d f j+ d ek def ทฤษฎีบท 9 ให u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ ที่ไมขนานกนั จะไดวา u × v เปนเวกเตอรทตี่ ้ังฉากกับ u และ v และมขี นาดเปน u × v = u v sinθ เม่ือ θ เปนขนาดของมมุ ระหวาง u และ v โดยท่ี 00 ≤ θ ≤1800 ดังรปู ที่ 19 รูปท่ี 19 สังเกตวา ถา u และ v เปนเวกเตอรท่ีไมขนานกนั จะไดวา u × v และ v × u เปนเวกเตอรที่ต้ังฉากกบั ระนาบทีผ่ าน u และ v และมที ศิ ทางตรงขามกนั ดงั น้นั u × v = -(v × u) ทฤษฎบี ท 10 ให u และ v เปนเวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ ท่ีขนานกัน จะไดวา u × v = 0 ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 49 ครคู เณศ สมตระกลู